Numerimicrocka integracija (NA_7)

1 Kako glasi Newton-Leibnitzova formula za egzaktno izramicrocunavanje inte-

grala Opiite kako izgleda opacuteca integracijska formula za priblimicrozno izramicrocu-

navanje integrala to su microcvorovi integracije a to temicrozinski koecijenti

Kako izgledaju formule Gaussovog tipa to znamicroci egzaktnost formule

to je greka integracijske formule

2 Kako se deniraju Newton-Cotesove formule zatvorenog tipa a kako Newton-

Cotesove formule otvorenog tipa

3 Trapezna formula izvedite formulu i pokamicrozite da je egzaktna na poli-

nomima stupnja _ 1 ali ne i na polinomima stupnja 2

4 Izvedite trapeznu formulu pomoacutecu interpolacijskog polinoma p1(x) te izvedite

formulu za pogreku trapezne formule E1(f) Izvedite formulu za E1(f)

koja slijedi iz teorema o integralnoj srednjoj vrijednosti

5 Iskamicrozite i dokamicrozite teorem o integralnoj srednjoj vrijednosti

6 Simpsonova formula izvedite formulu i pokamicrozite da je egzaktna na poli-

nomima stupnja _ 3 Navedite konamicrocnu formulu za greku E2(f) ako je f

microcetiri puta neprekidno derivabilna Kako se dolazi do te formulepolazeacuteci

od interpolacijskog polinoma p2(x)

7 to su to produljene formule Izvedite produljenu trapeznu formulu

Izvedite formulu za greku ET

n (f) za slumicrocaj dvaput neprekidno derivabilne

f Koje ocjene momicrozemo dobiti iz te formule za greku (napiite ih)

8 Midpoint formula izvedite formulu i i pokamicrozite da je egzaktna na poli-

nomima stupnja _ 1 Kako glasi formula za greku E0(f) za slumicrocaj dvaput

neprekidno derivabilne f

9 Izvedite produljenu midpoint formulu kako glasi formula za greku EM

n (f)

za slumicrocaj dvaput neprekidno derivabilne f

Nelinearne jednadmicrozbe (NA_8)

1 Denirajte pojmove konvergencija s redom konvergencije p _ 1 linearna

konvergencija faktor linearne konvergencije

2 Opiite algoritam metode raspolavljanja Posebno objasnite kako ocjen-

jujemo greku te postupak zaustavljanja Za koje n acutece biti j_ 1048576 xnj _

(izvedite nejednakost)

3 Metoda raspolavljanja izvedite dinamimicrocku ocjenu za greku j_ 1048576 xnj u

slumicrocaju neprekidno derivabilne f na [a b]

4 Opiite algoritam metode pogrenog polomicrozaja Izvedite formulu za _1048576x0

u slumicrocaju dvaput neprekidno derivabilne f na [a b] to se momicroze zakljumicrociti

o _ 1048576 xn

5 Metoda sekante kako se denira niz iteracija (xn) Citirajte (i dokamicrozite)

teorem o konvergenciji metode sekante

6 Metoda tangente opiite kako se denira niz iteracija (xn) izvedite for-

mulu za _ 1048576 xn+1

7 Metoda tangente citirajte (i dokamicrozite) teorem o lokalnoj konvergenciji

8 Metoda tangente izvedite ocjene za greku j_ 1048576 xnj

9 Metoda tangente citirajte (i dokamicrozite) teorem o globalnoj konvergenciji

10 Metoda jednostavne iteracije kako deniramo jednostavnu iteracijsku

funkciju objasni na primjeru Newtonove metode na primjeru jednadmicrozbe

x2 1048576 a = 0 pokamicrozi nekoliko razlimicrocitih namicrocina zapisa u obliku x = g(x)

11 Dovoljan uvjet da jednostavna iteracija ima barem jedno rjeenje (citiraj

i dokamicrozi Lemu)

12 Dovoljan uvjet da jednostavna iteracija ima jedinstveno rjeenje (citiraj i

dokamicrozi Lemu)

13 Kako deniramo Lipschitzovo svojstvo to je to kontrakcija Kako po-

moacutecu Lagrangeovog teorema sredbnje vrijednosti momicrozemo ustanoviti da

je neKa funkcija g kontrakcija Daj primjer

14 Citiraj i dokamicrozi teorem o konvergenciji metode jednostavne iteracije

15 Citiraj i dokamicrozi teorem o lokalnoj konvergenciji metode jednostavne it-

eracije (kad je pomicrocetna iteracija izabrana dovoljno blizu rjeenju _) Ilus-

triraj primjerom jednadmicrozbe x2 1048576 a = 0

Nelinearne jednadmicrozbe (NA_8)

1 Denirajte pojmove konvergencija s redom konvergencije p _ 1 linearna

konvergencija faktor linearne konvergencije

2 Opiite algoritam metode raspolavljanja Posebno objasnite kako ocjen-

jujemo greku te postupak zaustavljanja Za koje n acutece biti j_ 1048576 xnj _

(izvedite nejednakost)

3 Metoda raspolavljanja izvedite dinamimicrocku ocjenu za greku j_ 1048576 xnj u

slumicrocaju neprekidno derivabilne f na [a b]

4 Opiite algoritam metode pogrenog polomicrozaja Izvedite formulu za _1048576x0

u slumicrocaju dvaput neprekidno derivabilne f na [a b] to se momicroze zakljumicrociti

o _ 1048576 xn

5 Metoda sekante kako se denira niz iteracija (xn) Citirajte (i dokamicrozite)

teorem o konvergenciji metode sekante

6 Metoda tangente opiite kako se denira niz iteracija (xn) izvedite for-

mulu za _ 1048576 xn+1

7 Metoda tangente citirajte (i dokamicrozite) teorem o lokalnoj konvergenciji

8 Metoda tangente izvedite ocjene za greku j_ 1048576 xnj

9 Metoda tangente citirajte (i dokamicrozite) teorem o globalnoj konvergenciji

10 Metoda jednostavne iteracije kako deniramo jednostavnu iteracijsku

funkciju objasni na primjeru Newtonove metode na primjeru jednadmicrozbe

x2 1048576 a = 0 pokamicrozi nekoliko razlimicrocitih namicrocina zapisa u obliku x = g(x)

11 Dovoljan uvjet da jednostavna iteracija ima barem jedno rjeenje (citiraj

i dokamicrozi Lemu)

12 Dovoljan uvjet da jednostavna iteracija ima jedinstveno rjeenje (citiraj i

dokamicrozi Lemu)

13 Kako deniramo Lipschitzovo svojstvo to je to kontrakcija Kako po-

moacutecu Lagrangeovog teorema sredbnje vrijednosti momicrozemo ustanoviti da

je neKa funkcija g kontrakcija Daj primjer

14 Citiraj i dokamicrozi teorem o konvergenciji metode jednostavne iteracije

15 Citiraj i dokamicrozi teorem o lokalnoj konvergenciji metode jednostavne it-

eracije (kad je pomicrocetna iteracija izabrana dovoljno blizu rjeenju _) Ilus-

triraj primjerom jednadmicrozbe x2 1048576 a = 0