Nemegyensúlyi termomechanikaVán Péter

Wigner FK RMI, Elméleti Fizika Osztály

– Miért termodinamika és mechanika?• Fogalmak és módszerek (folyadék 1)• Összefoglalás – tézisek

– Példák:• Ginzburg-Landau-egyenlet• Korteweg-folyadékok (folyadék 2)• Disszipatív relativisztikus folyadékok (folyadék 3)

Miért termodinamika és mechanika?– kutatási célok

statisztikus ↔ fenomenologikus

Homogén: statisztikus mechanika ↔ termosztatikaKontinuum: kinetikus gázelmélet ↔ irreverzibilis termodinamika,

lokális egyensúly +…?

Termosztatika: univerzalitás (abszolút hőmérséklet, Einstein) meglepő, mély kapcsolatok (Planck, …, Bekenstein, Verlinde)

Nemegyensúlyi termodinamika: Érvényes-e az univerzalitás? Megragadni az általánosságot.Egységes elmélet. Kulcs: mechanika.

"A theory is the more impressive the greater the simplicity of its premises is, the more different kinds of things it relates, and the more extended is its area of applicability. Therefore the deep impression which classical thermodynamics made upon me. It is the only physical theory of universal content concerning which I am convinced that, within the framework of the applicability of its basic concepts, it will never be overthrown."

Albert Einstein

Miért termodinamika és mechanika? – kutatási célok

statisztikus ↔ fenomenologikus

Homogén: statisztikus mechanika ↔ termosztatikaKontinuum: kinetikus gázelmélet ↔ irreverzibilis termodinamika,

lokális egyensúly +…?

Termosztatika: univerzalitás (abszolút hőmérséklet, Einstein) meglepő, mély kapcsolatok (Planck, …, Bekenstein, Verlinde)

Nemegyensúlyi termodinamika: Érvényes-e az univerzalitás? Általánosság.Egységes elmélet. Kulcs: mechanika.

Lokális egyensúly - lokálisan termosztatika.

Nemegyensúlyi termodinamika Onsager (1931) – homogén.

Eckart (1940) – térelmélet, entrópiaprodukcióPrigogine, Meixner, Casimir, de Grootkiterjesztés: Onsager és Machlup (1953), …

kinetikus momentum sorfejtés Racionális mechanika reológia: Maxwell, Kelvin, Poynting-Thomson,

Boltzmann (Volterra-elv). általánosított kontinuumok: Cosserat (1900)Truesdell-Noll (1965), Coleman, Gurtin, … , Vilaggio, Ball A mechanika matematikai elmélet.

lokális? egyensúly? Memória, elvek II. főtétel. Nincs termosztatika, Onsagerizmus hülyeség.

Konstitutív elmélet:

termodinamikai lezárás

Lokális egyensúly:

Folyadékok 1: Fourier-Navier-Stokes

Entrópiamérleg:

1, vpdvTdsde

.

,0

,0

ijiji

i

ijij

i

ii

vPqe

Pv

v

),,,( eevC i

ji

– alapváltozók:– konstitutív állapottér– anyagfüggvények

),,( evi

)(),( CPCq iji

),(),(),,( vesveTvep

0)((?)),( CJves ii

0)(11

.112

jiijij

ii

i

i

ii

ijiji

i

i

i

vpPTT

q

Tqv

TpvPq

TTqv

Tpe

T

aav

avaa itiii

t

1

Erők és áramok + izotrópia:

Fourier Navier-Stokes

Feltételek (problémák):- erő-áram rendszer- entrópiaáram- mérleg: kényszer, lendületmérleg nem?- sebesség? - belső és teljes energia: sebességfüggő termosztatika?

- Prigogine-tétel (1945), Brenner-diffúzió (2005-…)- magasabbfokú folyadékok, pl. Korteweg (1901):

ijjiijkk

kk

ijKor pP

pdvTdsdvvdede

vee

iiT

T

,2

2

0)(11 ji

ijiji

i vpPTT

q

.)(1,1 ijkkv

sji

ijiji

i vvpPTT

q

Nemlokális nemegyensúly?

II. főtételkovariancia (téridő)elméletköziség:

homogénnemrelativisztikus kontinuum egységes elméletrelativisztikus kontinuum

Módszerek:– függvénytani elemzés + anyagi objektivitás (kovariancia)

deriváltak, Coleman-Noll-eljárás, Liu-eljárás– mechanika leválasztása (zárójelek): GENERIC– mikroerő mérleg, virtuális teljesítmény (mechanika)– belső változók

Van ilyen?

– Általánosított hővezetés (Guyer-Krumhansl)– ‘Gradiens’ anyagok a mechanikában (mikroszerkezet)

rugalmasságtan,képlékenységtan (Fleck-Hutchinson, Gurtin),folyadékkristályok (Oseen-Frank),mikrorepedezés, porózus anyagok,homok (Goodman-Cowin),nyírófelületek szerkezete,– Korteweg-folyadékok – Turbulencia– Struktúraképző egyenletek (fázismező)

Ginzburg-Landau, Cahn-Hilliard, etc… és ezeken túl– …

1. Konstruktív módszert dolgoztam ki a klasszikus kontinuumfizika térben gyengén nemlokális elméleteiben az anyagi tulajdonságokat meghatározó konstitutív relációk meghatározására. A módszer a második főtétel alkalmazásán alapul, a racionális termodinamika Liu-eljárását terjeszti ki.

Ezt a módszert alkalmaztam a következő esetekben:a) Klasszikus irreverzibilis termodinamikab) Egy belső változós, kényszer nélküli, másodrendűen gyengén nemlokális

kontinuumelmélet: Ginzburg-Landau-egyenlet.c) Egy belső változós, kényszer nélküli, másodrendűen gyengén nemlokális

kontinuumelmélet: általánosított kontínuummechanikad) Korteweg-folyadékoke) Merev, izotrop hővezetők

2. Termodinamikai reológiaa) Térfogati reológiab) Objektív időderiváltak

3. Speciális relativisztikus disszipatív folyadékoka) Gibbs-relációb) Generikus stabilitás

Lokális nemegyensúly: homogén termodinamika

kontinuum homogénközönséges differenciálegyenletek

Onsager, Fényes, Truesdell-Bharatha, …véges idejű termodinamika, entrópiatermelés minimalizálás,

…II. főtétel: egyensúly aszimptotikus stabilitása (Matolcsi Tamás)

összentrópia: Ljapunov-függvényPl. exergia = összentrópia × állandó

kontinuum homogénGibbs-reláció: entrópia értelmezés.A homogén egyensúly lineáris stabilitása

relativisztikusan: generikus stabilitás

Fla a

Ginzburg-Landau (szokásos variációs)

))(d( a aafla kk – II. főtétel?

– variációs, de miért?– ?ak iit

dVaaafaF ii )

2)(()( aafF k

kaa )(d

Ginzburg-Landau-egyenlet

0 gat

0 iSit js

),,( aaa iji )i

SJsg ,,(

Liu-eljárás (Farkas-lemma)

),( aas i )(),()( 0 CgsaajCj aiii

S

0

gssa

ias i

sslaa

iat i

konstitutív állapottér konstitutív függvények0 ga ii

t

Ván P., Continuum Mechanics and Thermodynamics, 17(2):165–169, (2005).

a alapváltozó

),,( aaaC xxx

Liu-egyenletek:

0)(

ga

sas

xxs

),(

),(0

;;

33 aajgsJfJ

aass

ss

xaxx

xa

aa

x

xx

x

)()( 321

321321

agagagagaaJaJaJasasas

xxxxxxtxt

xxxxxxxxxtxxtxt

))()(())()(()()( CgaCCgaCCJCs xtxtxxt

konstitutív állapottér

0)()()()()(

2211

33321

gagJagJgJasasasa

xxxxx

xxxxtxxtxt

Lagrange-Farkas-szorzók

Történet:Farkas Gyula (1894) és I-Shih Liu (1972)lineáris algebra

Új :

A kényszer deriváltja is kényszer.Az entrópiaáram konstitutív.

Müller-féle K vektor és a racionális termodinamika.A fejlődési egyenlet maga konstitutív:

Termodinamikailag, nem variációs elvvel. Objektivitás.

Ván P., Periodica Polytechnica, Ser. Mechanical Engineering, 49(1):79–94, (2005).

Liu-eljárás:

- Elsőrendűen gyengén nemlokális: Fourier-Navier-Stokes- Teljes energiával (+lendületmérleg) és belső energiával ugyanaz.- Heurisztikus módszer feltételei tisztázódnak

(erő-áram módszer, entrópiáram, lendületmérleg, stb…)

Folyadékok 2: Fourier-Navier-Stokes+Korteweg.

.0

,0

,0

iTiT

ijij

i

ii

qe

Pv

v

),,,,,,( TiTj

ii

iji eevvC

– alapváltozók:– konstitutív állapottér

– anyagfüggvények

),,( evi

)(),(),(),( CJCsCPCq iS

iji

0)()()()(

)()()()(0

CqeCCPvC

vCvCCJCsiTiT

jij

ii

iii

iii

ii

Ván P. and Fülöp T., Proceedings of the Royal Society, London A, 462(2066):541–557, (2006).

Liu-eljárás eredménye:

‘termosztatika’

Entrópiaáram:

Entrópiaprodukció:

Ideális folyadék:

Lokális(?) egyensúly (?): Generikus stabilitás ok.

iij

jj

ijj

iT

iS Jvsvs

TPvqJ

ji 0

2

21

)2/,,( 2vess Tie

022

11 22

jij

ijk

iji

ijj

iT vsTsTpP

TTPvq

ik

sssTPik j

ijk

ijid

22

2

i

iii dAdpTdsdvvde 2

0)( pppe e

ijjiijkk

kk

ijKor pP

Schrödinger-Madelung-folyadék:izotróp, additív

homogén:

2

22),,(

iSchM

iSchM eses

sssTPik j

ijk

ijid

22

2

UTP i

ijid

j )()( ssUii

Potenciál tulajdonság, Lagrange-sűrűség:

),,(),,( ii eses

2

)ln(),(

i

i ks

RR

TTU

iiSchMii

iSchM

SchM

0

2

0 224

mT

R

SchM

2

,2

0

Fisher-entrópiaBohm-potenciál

Potenciálként:

Folyadék-tömegpont:

Bernoulli-egyenlet

Tömegpont: de Broglie, Bohm, Vigier, Dürr-Goldstein-Zhangi (pl. PRL 2004)

Folyadék: Madelung (1926), Jánossy, Jackiw (2002-2003 örvények, nemábeli mértékterek)

Logaritmikus tag:Bialynicki-Birula, Weinberg (-)

Disszipáció, sztochasztikus (Fényes)

UvPv

UPiiij

idji

iijidj

0

Schrödinger egyenlet

iiii

iS

vjSmv

e

,

,

diszjunkt

Folyadékok 3: Fourier-Navier-Stokes+Eckart

Történet: homogén (?)Planck-Einstein (1907), Tolman, Laue, Pauli, Eddington

? Ott (1963), Landsberg, van Kampen, Callen-Horowitz, Dunkel-Hanggi (2007), Costa-Matsas, …

Történet: kontinuumNemegyensúlyi termo: Eckart (1940), Landau-Lifsic, [de Groot (1980),

Prigogine, Kluitenberg]Kauzalitás: Müller (1967), Israel-Stewart (1970-75)Generikus stabilitás: Hiscock-Lindblom (1980-85)Divergencia típus: Liu-Müller-Ruggeri (1986), Lindblom, GerochNehézion-fizika: Muronga-Rischke (2002), Heinz, Romatschke, Kodama,…

első és másodrend, kinetikus elmélet, AdS-CFT, nincs egzakt megoldás, …

.0

,0

T

N

iidGvpdVTdSdE

.

,

jnuN

PuququeuT

jTT

qJ

0),(

JusnesS

0

0

junnN

PuququeeTu

0)()(12

uTT

TqupP

TTj

Eckart-tag

.

,

jnuN

PuququeuT

011

TqvpP

T ii

jiijij

ijj

i

Pqqe

T

dednTds

Eckart-elmélet

.0

,0

T

N

Erők és áramok + izotrópia:

Fourier Navier-Stokes

Feltételek (problémák):– erő-áram rendszer– entrópiaáram– mérleg: kényszer, lendületmérleg nem?– sebesség? – belső és teljes energia: sebességfüggő termosztatika? Megkerülhetetlen.

+– kauzalitás– generikus stabilitás– kinetikus kompatibilitás– áramlás választás (Eckart és Landau-Lifsic)– Disszipáció? Tér- és időszerűség?

0)()(12

uTT

TqupP

TTj

uuuTTq v)(),(

Liu-eljárás:

- Konstitutív függés redukciója - Lendületmérleg is kényszer!- Tetszőleges áramlás

Termodinamika elemzés:

),,,,,,,,(

uenuenuenC

– alapváltozók:– konstitutív állapottér

– anyagfüggvények

),,( uen

)(),(),(),(),( CJCsCPCjCq S

)()()()()(0 CTCCNCCS

.0

,0

T

N

.

,

jnuN

PuququeuT

Ván P. Journal of Mechanics of Materials and Structures, 3(6):1161–1169, 2008.

Következmények:

1.

2.

3. Generikus stabilitás. 4. Kinetikus kompatibilitás.

qeuTuEeE

nesnesnqesesq

qse a

aa

,

,~),(ˆ),,(

22

2222

q

qq

))(,,()( 1CqnesCs a

awjqT

J 1

0

ATNS 0,

wu

Twu

nTsqwpe

dnTdsdqwde

Pl. gyorsulásfüggetlen entrópiaprodukció:

Ván P., Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, P02054, (2009).

0),,(

JusnqesS

Javított Eckart-emélet:

junnN

PuququeeTu

0

hwwpeq )(Speciális választás, kinetikus elmélet:

0)(

1

2

1

uquqqupepe

TTTq

uqqhpPTT

j

jTT

qJ

Ván and Bíró, EPJ, 155, 201, (2008) és Physics Letters B, 709(1-2):106-110, (2012).

duqwpedqwdedupwdEwudnTds ))(()(

0

PuquqqueT

Interdiszciplináris

VISSZACSATOLÁSOK:

homogén-kontinuum, relativisztikus-nemrelativisztikus, kinetikus-fenomenologikus

1. relativisztikus disszipatív folyadékok: Liu-Farkas, kinetikus, relativisztikus hőmérséklet, generikus

stabilitás2. nemrelativisztikus gyengén nemlokális folyadékok: Liu-Farkas, téridő, generikus stabilitás, kvantummechanikai

kapcsolat3. Sebességmező: Eckart és Landau-Lifsic, Brenner

További ellenőrzés, jogosítás: kísérletek, sőt mérnöki tapasztalat: kövek és talajok, hővezetés, …

és kvark-gluon plazma

UNIVERZÁLIS? MAKRO-MIKRO?

Köszönöm a figyelmet!

1. Konstruktív módszert dolgoztam ki a klasszikus kontinuumfizika térben gyengén nemlokális elméleteiben az anyagi tulajdonságokat meghatározó konstitutív relációk meghatározására. A módszer a második főtétel alkalmazásán alapul, a racionális termodinamika Liu-eljárását terjeszti ki.

Ezt a módszert alkalmaztam a következő esetekben:a) Klasszikus irreverzibilis termodinamikab) Egy belső változós, kényszer nélküli, másodrendűen gyengén nemlokális

kontinuumelmélet: Ginzburg-Landau-egyenlet.c) Egy belső változós, kényszer nélküli, másodrendűen gyengén nemlokális

kontinuumelmélet: általánosított kontínuummechanikad) Korteweg-folyadékoke) Merev, izotrop hővezetők

2. Termodinamikai reológiaa) Térfogati reológiab) Objektív időderiváltak

3. Speciális relativisztikus disszipatív folyadékoka) Gibbs-relációb) Generikus stabilitás

Kitekintés

- Dinamika: nem(csak) Hamilton-elv (Lagrange-függvény) alapjáncsak ideális

- Egyenlőtlenség megoldás: nemcsak kvadratikus és linearizáltképlékenység, hővezetés

- Belső változók módszere: reológia- Nemcsak folyadékok: szilárd test kinematika (mi a deformáció?)

objektivitás- Gyengén nemlokális statisztikus fizika: Fisher-entrópia- Gyengén nemlokális relativisztikus folyadékok,

örvények?- Nemextenzív és nemadditív: szétválaszthatóság, nulladik főtétel

Sebességmező: új eredmények.

Pl. kontinuum átlagolásból:

Van der Waals gázzal

./)(,)(

0

0

ppvvpTTvpqe

Entrópia a (információ elméleti, prediktív, bayesi) statisztikus fizikában (Jaynes, 1957):

Az információ mértéke egyértelmű általános fizikai feltételek mellett.

(Shannon, 1948; Rényi, 1963) – Extenzivitás (átlag, sűrűség)– Additivitás

)()()( 2121 fsfsffs

fkfs ln)( (egyértelmű megoldás)

Entrópia a “gyengén nemlokális” (?) statisztikus fizikában (Fisher, Frieden, Plastino, …):

– Izotrópia))(,(),( 2DffsDffs

– Extenzivitás

– Additivitás

),(~),(~))(,( 22112121 DffsDffsffDffs

)()()( 2121 fsfsffs

)(')(')(

)(')(')(

2211212

1212211

fsffsfffsf

fsffsfffsf

1

2

2

121

)(')(')('ffs

ffsffs

.)(' constfsf

Cfdff

fs ln)(

ffs ln)(

2

2

12 )(ln))(,(

fDfkfkDffs

FisherBoltzmann-Gibbs-Shannon

(egyértelmű megoldás)

- Maxent : véges tartó, hatványfarok- Magasabb deriváltakat nem érdemes

-2 -1 1 2x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

R

18

,12

),5,2,5.1,3.1,2.1,1.1,1(4 111

mkk

kk

k

.2

,j

iijk

kij

ii

vv

Tq

Isotropic linear constitutive relations,<> is symmetric, traceless part

Equilibrium: .),(.,),(.,),( consttxvconsttxconsttxn i

iii

Linearization, …, Routh-Hurwitz criteria:

00)(

,0,0,0,0

TT

TTpnpp

T

nnn

,0

,0

,0

iijj

jj

ii

jiiji

ii

i

ii

Pvkk

vPqv

vnn

Hydrodynamic stability )( 22 sDetT

Thermodynamic stability(concave entropy)

Fourier-Navier-Stokes

0)(11 ji

ijiji

i vnTsPTT

q p

Termodinamikai elmélet)a(fa Dinamikai törvény:

,...),c,v(a

1 Sztatika (egyensúlyi tulajdonságok)

S

aaS,,

T1

eS

2 Dinamika

0)a(f)a(DSa)a(DS)a(S

1 + 2 + elszigetelt rendszer

S Ljapunov függvénye a dinamikai törvény egyensúlyának

Irreverzibilitás közelítés az egyensúlyhoz

Folyadékok 2: Fourier-Navier-Stokes

.

,0

,0

ijiji

i

ijij

i

ii

vPqe

Pv

v

),,,,( eevC i

jii

– alapváltozók:– konstitutív állapottér– anyagfüggvények

),,( evi

0)(11 ji

ijiji

i vpPTT

q

Feltételek (problémák): erő-áram rendszer entrópiaáram lendületmérleg nem? konstitutív sebesség? (belső és teljes energia)− magasabbfokú folyadékok, pl. Korteweg (1901).

)(),(),(),( CJCsCPCq iS

iji