UNIVERZA V MARIBORU

Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko

Dalibor Igrec

NAČRTOVANJE ROBUSTNEGA REGULATORJA Z METODO QFT

Magistrsko delo

Maribor, januar 2010

Avtor: Dalibor Igrec, univ. dipl. inž. el.

Naslov: Načrtovanje robustnega regulatorja z metodo QFT

Naslov v angleščini: Robust control design with QFT

UDK: 681.5.015.8(043.3)

Ključne besede: metoda QFT, Nicholsov diagram, negotovost parametrov, vzorec objekta, robustna stabilnost

Število strani: 121

Obdelava besedila: Dalibor Igrec, univ. dipl. inž. el.

Razmnoževanje: Laboratorij za sisteme in vodenje, UM FERI Maribor

Število izvodov: 8

Kraj in datum: Maribor, januar 2010

My learning of QFT began in 1990 and I was captivated by its simplicity and brilliance. I jumped in at once, and since then have been learning, teaching, and applying this

wonderfully practical tool at IIT Bombay. I have just this much to say to the memory of Professor Horowitz (1920-2005): “Thank you, sir for this wonderful invention.”

Professor P. S. V. Nataraj of IIT, Bombay, India

Zahvala

Za pomoč in koristne nasvete pri magistrskem delu se iskreno

zahvaljujem komentorju dr. Amorju Chowdhuryu. Povrhu tega se

zahvaljujem tudi mentorju izr. prof. dr. Rajku Svečku ter družini, ki mi je

ves čas stala ob strani.

Načrtovanje robustnega regulatorja z metodo QFT

UDK: 681.5.015.8(043.3)

Ključne besede: metoda QFT, Nicholsov diagram, negotovost parametrov, vzorec objekta,

robustna stabilnost

Povzetek:

Načrtovanje regulatorja v frekvenčni domeni po Horowitzovi [2] metodi, oziroma metodi

QFT, se je izkazala za učinkovito pri razvoju robustnih regulatorjev za doseganje standardnih

zahtev frekvenčne domene tako pri sistemih z enim vhodom in enim izhodom (SISO) kot pri

sistemih z več vhodi in več izhodi (MIMO). Razlog za učinkovitost metode QFT je neposredno

upoštevan problem zmanjšanja negotovosti objekta. Namen naloge je predstaviti načrtovanje

regulatorja s metodo QFT, ki je verjetno edina znana tehnika načrtovanja vodenja, kjer je zajeto

hkratno upoštevanje faze in negotovosti objekta. Prednost metode je možnost doseganja

robustne stabilnosti ter robustnega učinka z minimalnim učinkom povratne vezave [7]. Metoda

QFT je grafično-analitični postopek načrtovanja vodenja, ki zahteva precej predpriprav pri

oblikovanju vzorcev objekta ter empiričnih izkušenj, obenem pa daje načrtovalcu precej

manevrskega prostora in direktnega vpogleda v spremembe regulatorja pri načrtovanju.

Temeljna ovira metode je določanje mej objekta v Nicholsovem diagramu, saj izračun mej

metode QFT eksponentno narašča z natančnostjo vzorca objekta. Za nazornejšo predstavitev

metode je predstavljen eksperiment na realnem objektu, kjer je izvedeno vodenje sistema z

regulatorjem načrtovanim s metodo QFT. Dobljeni rezultati so primerjani z rezultati vodenja

sistema z regulatorjem načrtovanim po metodi H∞.

Robust control design with QFT

UDK: 681.5.015.8(043.3)

Keywords: QFT design, Nichols chart, parameter uncertainty, plant template, robust

stability

Abstract:

The frequency domain controller design methodology by Horowitz [2], namely

quantitative feedback theory (QFT), has proved to be very effective in terms of designing robust

controllers to meet standard frequency domain specifications for both single input single-output

(SISO) and multiple-input multiple-output (MIMO) systems. The reason for this is that QFT

directly addresses the plant uncertainty reduction issue, the primary reason for feedback; hence

allowing for the minimum energy to be demanded from a plant to meet certain performance

specifications. The aim of the present work is to present the usage of the QFT method for the

controller design. It is a graphic technique for designing feedback controllers which is probably

the only known technique that simultaneously considers large parametric uncertainty and phase

information. The ability to satisfy robust stability and different performance constraints with the

minimum possible cost of feedback [7] is the biggest advantage of the method. The downside is

that the method, though systematic and powerful in hands of an experienced control engineer,

has only recently lent itself to a formal mathematical form as is the case with the more recent

paradigms such as H∞ control and µ-synthesis. A major advantage of QFT is that the design is

performed in the frequency domain. This enables a good insight into the plant operation and

difficulties that may arise during the controller design. Uncertainties can be caused either by

changing the plant characteristics or ambient conditions or by unknown external disturbances.

QFT starts by defining the plant and then specifying its uncertainties. The defined uncertainties

are then used to determine the differential gain and phase from the nominal ones, over the range

of frequencies through which the plant operates. At each distinct frequency, differential gains

and phases are used to generate the Plant template. The given example illustrates the steps taken

in the QFT controller design. To allow for a more illustrative presentation we made an

experiment with a real object with the controller designed according to the QFT method. In the

work we show the complete procedure of the QFT design from the model analysis to the

controller design. At the end we also compared the system performances of the QFT and H∞

controller design.

Kazalo

POVZETEK............................................................................................................................................................... 5

ABSTRACT ............................................................................................................................................................... 6

KAZALO .................................................................................................................................................................... 7

KAZALO SLIK .........................................................................................................................................................10

1 UVOD...............................................................................................................................................................13 1.1 Vsebina naloge po poglavjih......................................................................................................15

2 TEORIJA VODENJA SISTEMOV..................................................................................................................17 2.1 Postopek načrtovanja vodenja sistemov......................................................................................17

2.1.1 Regulacijski problem........................................................................................................18 2.1.2 Prenosne funkcije in frekvenčne karakteristike..................................................................20

2.2 Vodljivost in spoznavnost sistemov ...........................................................................................20 2.2.1 Vodljivost sistemov..........................................................................................................21 2.2.2 Spoznavnost sistemov ......................................................................................................21

2.3 Modeliranje in simulacija ..........................................................................................................21 2.4 Analiza sistemov v frekvenčni domeni.......................................................................................24

2.4.1 Polarni diagram................................................................................................................24 2.4.2 Nicholsov diagram ...........................................................................................................25

2.5 Stabilnost regulacijskih sistemov ...............................................................................................26 2.5.1 Nyquistov stabilnostni kriterij...........................................................................................27

2.6 Občutljivost in komplementarna občutljivost sistema .................................................................29 2.7 Odstopanja ................................................................................................................................30

2.7.1 Strukturna odstopanja.......................................................................................................30 2.7.2 Parametrična odstopanja...................................................................................................31

2.8 Analiza stabilnosti .....................................................................................................................32 2.8.1 Analiza stabilnosti s Khartionovim teoremom...................................................................32 2.8.2 Analiza stabilnosti z mejnim teoremom ............................................................................32

3 TEORIJA REGULIRANIH SISO SISTEMOV...............................................................................................34 3.1 Uvod .........................................................................................................................................34 3.2 Osnovne lastnosti frekvenčne domene........................................................................................34

3.2.1 Relativna stabilnost, frekvenca fazne rezerve, pasovna širina ............................................35 3.2.2 Pogojno stabilni sistemi....................................................................................................36 3.2.3 Visoko frekvenčno ojačanje..............................................................................................36

3.3 Lastnosti zaprte zanke................................................................................................................38 3.3.1 Časovna domena ..............................................................................................................39

8

3.3.2 Frekvenčna domena..........................................................................................................39 3.3.3 Preslikava lastnosti sistema iz časovne v frekvenčno domeno............................................40

3.4 Omejitve učinkovitosti objektov z neminimalno fazo (NMP)......................................................44 3.4.1 Stabilni objekti .................................................................................................................44 3.4.2 Nestabilni objekti .............................................................................................................50

4 OPIS METODE QFT.......................................................................................................................................58 4.1 Uvod .........................................................................................................................................58

4.1.1 Različni pristopi pri oblikovanju vzorca............................................................................58 4.1.2 Ekstrakcija mejne linije ....................................................................................................61 4.1.3 Oblikovanje mejne linije...................................................................................................61 4.1.4 Povzetek ..........................................................................................................................63

4.2 Oblikovanje vzorcev..................................................................................................................63 4.2.1 Izračun meje vzorca .........................................................................................................64 4.2.2 Dokaz ..............................................................................................................................67 4.2.3 Opombe ...........................................................................................................................69

4.3 Princip načrtovanja....................................................................................................................70 4.4 Potek načrtovanja ......................................................................................................................73

4.4.1 Mejni krivulji ...................................................................................................................73 4.4.2 Izbrane frekvence.............................................................................................................74 4.4.3 Vzorci objekta..................................................................................................................74 4.4.4 Nominalni model..............................................................................................................76 4.4.5 Meje robustne stabilnosti in robustnega učinka .................................................................76 4.4.6 Spreminjanje oblike..........................................................................................................80 4.4.7 Načrtovanje predfiltra.......................................................................................................84

5 EKSPERIMENT ..............................................................................................................................................85 5.1 Modeliranje objekta...................................................................................................................85 5.2 Načrtovanje regulatorja..............................................................................................................93

5.2.1 Lineariziran model objekta ...............................................................................................93 5.2.2 Zahteve vodenja ...............................................................................................................94 5.2.3 Mejni krivulji ...................................................................................................................94 5.2.4 Nominalni model..............................................................................................................96 5.2.5 Izbrane frekvence.............................................................................................................96 5.2.6 Vzorci objekta..................................................................................................................97 5.2.7 Meje robustne stabilnosti..................................................................................................97 5.2.8 Meje robustnega učinka....................................................................................................98 5.2.9 Spreminjanje oblike..........................................................................................................99 5.2.10 Načrtovanje predfiltra ...............................................................................................105

5.3 Rezultati..................................................................................................................................106

6 PRIMERJAVA METOD QFT IN H∞ ............................................................................................................110 6.1 Metoda H∞ ..............................................................................................................................110 6.2 Metoda QFT............................................................................................................................111 6.3 Primerjava metod ....................................................................................................................111 6.4 Primerjava delovanja regulatorjev............................................................................................112

9

6.5 Sklep.......................................................................................................................................112

7 ZAKLJUČEK.................................................................................................................................................114

8 LITERATURA...............................................................................................................................................115

ŽIVLJENJEPIS.......................................................................................................................................................121

10

Kazalo slik

Slika 2.1: Odnos med sistemom, modeliranjem in simulacijo....................................................... 22 Slika 2.2: Polarni diagram ........................................................................................................... 25 Slika 2.3: Regulacijski sistem...................................................................................................... 28 Slika 2.4: Kompleksna preslikava................................................................................................ 29 Slika 2.5: Struktura zaprtozančnega sistema ................................................................................ 29 Slika 3.1: Zaprto-zančni sistem z dvema prostostnima stopnjama ................................................ 34 Slika 3.2: Nicholsov diagram sistema z odprto zanko s prikazanimi parametri ............................. 35 Slika 3.3: Različne odprte zanke sistemov s različnimi odzivi pri visokih frekvencah .................. 37 Slika 3.4: Graf prenosne funkcije šuma senzorja za različne tipe regulatorjev .............................. 38 Slika 3.5: Shema reguliranega sistema......................................................................................... 38 Slika 3.6: (a) Stopnični odziv mora biti med obema krivuljama, (b) prenosna funkcija

občutljivosti glede na krivulje iz (a) v frekvenčni domeni ............................................ 42 Slika 3.7: (a) Izhod objekta mora biti med krivuljama a(t) in b(t), (b) črtkana krivulja predstavlja

šibkejši pogoj .............................................................................................................. 43 Slika 3.8: Fazna rezerva proti amplitudni rezervi pri različnih vrednostih α in aφω ................ 46

Slika 3.9: Zančno ojačanje od ( )L s kjer je φω blizu maksimuma ( )1 3.5L j dBω+ > − ........... 47

Slika 3.10: Primerjava treh prenosnih funkcij kjer ( )1L s vsebuje ničlo pri 3, ( )2L s ničlo pri 6,

( )dL s pa zakasnitev 2 3T = ................................................................................... 49

Slika 3.11: Nicholsov diagram prenosne funkcije z enostavno kompleksno ničlo pri različnih faktorjih dušenja 2 1, 1ML sα = = ............................................................................. 50

Slika 3.12: Definicija zgornje in spodnje amplitudne rezerve (ML, MH), fazne rezerve (φ ), frekvence fazne rezerve ( φω ) in frekvence amplitudne rezerve ( Mω ).......................... 51

Slika 3.13: Frekvenca fazne rezerve φω in fazna rezerva φ (zgoraj) ter amplitudni rezervi

(spodaj) proti nω pri 0.5ξ = ...................................................................................... 53

Slika 3.14: Nicholsov diagram enačbe (3.34) pri 0.5ξ = in različnih vrednostih nω .................. 54

Slika 3.15: Nicholsov diagram enačbe (3.34) pri 1ξ = in različnih vrednostih nω ...................... 55

Slika 3.16: Nicholsov diagram ( )1L s in ( )2L s .......................................................................... 56

Slika 4.1: Meje tolerance za ojačanje zaprte zanke....................................................................... 71 Slika 4.2: Zaprta zanka sistema ................................................................................................... 71 Slika 4.3: Diagram poteka načrtovanja regulatorja ....................................................................... 73 Slika 4.4: Mejni krivulji v časovni in frekvenčni domeni ............................................................. 74 Slika 4.5: Območje negotovosti parametrov objekta .................................................................... 75 Slika 4.6: Vzorec objekta pri določeni frekvenci.......................................................................... 75 Slika 4.7: Preslikava meje stabilnosti izbranih frekvenc iz Bodejevega diagrama v Nicholsov

diagram....................................................................................................................... 77 Slika 4.8: U krivulja .................................................................................................................... 78 Slika 4.9: Določitev mejne linije pri izbrani frekvenci ................................................................. 79

11

Slika 4.10: Mejni liniji za fazo 0º do -360º................................................................................... 80 Slika 4.11: Nicholsov diagram za kompleksni pol na levi in kompleksno ničlo na desni strani ..... 82 Slika 4.12: Nicholsov diagram za lead in lag element .................................................................. 83 Slika 4.13: Nicholsov diagram za Notch filter za različne ξ faktorje............................................. 83 Slika 5.1: Model objekta ............................................................................................................. 85 Slika 5.2: Spreminjanje induktivnosti objekta v odvisnosti od položaja krogle ............................. 88 Slika 5.3: Izmerjena statična karakteristika F i xm ( , ) ................................................................... 89 Slika 5.4: Aproksimirana statična karakteristika F i xm ( , ) ........................................................... 89 Slika 5.5: Razlika med izmerjeno in aproksimirano statično karakteristiko ∆F i xm ( , ) .................. 90 Slika 5.6: Parameter k x1( ) ......................................................................................................... 91 Slika 5.7: Parameter k x2 ( ) ......................................................................................................... 91 Slika 5.8: Parameter k x3( ) ......................................................................................................... 92 Slika 5.9: Parameter k x4 ( ) ......................................................................................................... 92 Slika 5.10: Parameter k x5( ) ....................................................................................................... 93 Slika 5.11: Stopnični odziv zgornje in spodnje mejne prenosne funkcije ...................................... 95 Slika 5.12: Mejna linija pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – dovoljena sprememba ojačanja zaprte

zanke v Bodejevem diagramu in ( )0P s izbran pri delovni točki x = 15 mm .............. 95

Slika 5.13: Različne vrednosti ( )R ijδ ω pri izbranih frekvencah................................................. 96

Slika 5.14: Odprto-zančni odziv v Nicholsovem diagramu z vzorci pri izbranih frekvencah objekta ........................................................................................................................ 97

Slika 5.15: Meja stabilnosti pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – proces načrtovanja ........................ 98 Slika 5.16: Meja stabilnosti pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – končni rezultat .............................. 98 Slika 5.17: Mejna linija pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – dejanska sprememba ojačanja zaprte

zanke v Nicholsovem diagramu ................................................................................... 99 Slika 5.18: ( )L s pri ( ) 1C s = ...................................................................................................100

Slika 5.19: Povečano ojačanje na 2200.......................................................................................100 Slika 5.20: Dodan integrator 1s− ................................................................................................101 Slika 5.21: Dodana realna ničla ( 1)s + ......................................................................................101 Slika 5.22: Dodana realna ničla ( 10)s + ....................................................................................102 Slika 5.23: Dodana realna ničla ( 30)s + ...................................................................................102

Slika 5.24: Dodan kompleksni pol 6 2 3 610 ( 10 10 )s s+ + ..........................................................103

Slika 5.25: ( )L s s končnim regulatorjem ..................................................................................104

Slika 5.26: Spreminjanje oblike v Nicholsovem diagramu (vsi koraki v enem diagramu) ............104 Slika 5.27: Rezultat spreminjanja oblike v Nicholsovem diagramu .............................................105 Slika 5.28: Izbira predfiltra v Bodejevem diagramu ....................................................................106 Slika 5.29: Občutljivosti sistema za tri različne odmike krogle....................................................107 Slika 5.30: Stopnični odziv zaprte zanke sistema ........................................................................108 Slika 5.31: Primerjava odzivov v delovnem območju .................................................................109

12

Seznam kratic GM Gain margin PM Phase margin QFT Quantitative feedback theory SISO Single-input single-output MIMO Multi-input multi-output TF Transfer function LTI Linear time-invariant LTV Linear time-varying RHP Right half plane MP Minimum-phase LHP Left half plane NMP Nonminimum-phase DOF Degree-of-freedom 2DOF Two-degree-of-freedom 1DOF One-degree-of-freedom dB Decibels UHFB Universal high frequency bound

13

1 UVOD

Robustno vodenje je veja teorije vodenja sistemov, ki se ukvarja z analizo in sintezo

sistemov z zajetimi negotovostmi modela. Omenjeni problem rešuje z ustreznim načrtovanjem

regulatorja in povratne vezave. V zadnjih desetletjih so bile razvite številne metode sinteze v

robustnem vodenju, kot so H∞ metode, strukturirana singularna vrednost (»structured singular

value«) in teorija kvantitativne povratne zanke imenovana metoda QFT [2].

Načrtovanje vodenja sistemov je pogosto povezano z negotovostjo sistemov in s tem

povezanimi težavami pri uporabi ustreznih regulatorjev, vzdrževanju stabilnosti sistema in

preprečevanju neželenih učinkov kot npr. zunanjih motenj in perturbacij sistema. Za

odpravljanje učinka negotovosti se uporabljajo adaptivni regulatorji, kjer se parametri objekta

(proge) sproti identificirajo, kar ustrezno vpliva na dinamično sintezo regulatorja in robustni

regulatorji, ki upoštevajo najslabše možne pogoje celotne družine modelov objekta s stališča

negotovosti ob nespremenjenem regulatorju. Delovanja sistemov v realnosti nikoli ne poznamo

v celoti, saj se njihovo delovanje spreminja s časom zaradi staranja komponent, spreminjanja

parametrov ali spremembe delovnih pogojev (obremenitve, motnje). Cilj načrtovanja je izdelati

takšen regulator, ki bo zagotavljal stabilno in zadovoljivo performančno delovanje vodenega

sistema.

Vodenje sistemov predstavlja področje, ki je v povezavi s teorijo sistemov, teorijo

simulacij, računalništvom, robotiko, številnimi drugimi področji in s sodobno tehnologijo

odločilno krojilo razvoj številnih teoretičnih in praktičnih znanj, katerih rezultati so omogočili

povsem drugačen način življenja. Regulacija pa predstavlja pomemben in teoretično

najzahtevnejši pojem področja vodenja sistemov, ki je bolj kot očitno prisoten v vsakdanjem

življenju. Človeški organizem vsebuje ogromno zelo kompliciranih regulacijskih zank. V

tehniških regulacijskih sistemih pa so regulacijski algoritmi lahko zelo enostavni ali pa tudi

silno komplicirani, tako da postopki načrtovanja zahtevajo dobro poznavanje številnih zahtevnih

metod ob ustreznem predznanju matematike, fizike in teorije sistemov.

Avtomatsko vodenje je vedno igralo pomembno vlogo pri razvoju znanosti in inženirske

prakse. Razen izjemne vloge pri vodenju vesoljskih ladij, izstrelkov v vojni industriji, izvedbi

avtopilotskih sistemov v letalski industriji in vodenju robotskih sistemov, je vodenje oz.

14

avtomatska regulacija kot nekoliko ožje področje vodenja sistemov postala ključni in integralni

del sodobnih industrijskih procesov. To velja predvsem v procesni industriji za regulacijo tlaka,

temperature, vlažnosti, viskoznosti, pretoka, itd. Uporabnost se je razširila tudi na druga

področja kot npr. ekonomijo, biologijo, biomedicinske sisteme, urbanizacijo in ekologijo.

Avtomatizacija tehnološko vse bolj zahtevnih in zapletenih proizvodnih procesov

omogoča večjo produktivnost, boljšo kvaliteto izdelkov, večjo ponovljivost proizvodnje, manjšo

porabo energije ter nenazadnje tudi sociološke in ekološke izboljšave proizvodnih procesov.

Ker sta regulacija in avtomatsko vodenje osnovna gradnika avtomatizacije le-teh, je uporaba

klasičnih in sodobnih metod vodenja dinamičnih sistemov nepogrešljiva v skoraj vseh

proizvodnih procesih in predstavlja eno izmed osnov uspešne proizvodnje.

Teorija kvantitativne povratne zanke (QFT), ki jo je razvil Horowitz [1], [2], [6], [21],

[22], [23] predstavlja serijo robustnih sinteznih tehnik s povratno vezavo. Metoda QFT

načrtovanja robustnih regulatorjev [2] se je razvila v zadnjih 25 letih sistematičnega ukvarjanja

z negotovostjo modelov. Začetki reševanja problematike segajo v leto 1980, ko sta Gera in

Horowitz objavila članek o uporabi Bodejevega ojačitveno-faznega integrala za ugotavljanje

karakteristike nominalne zanke z iteracijskim postopkom [2]. Postopek ni bil vedno

konvergenčen, prav tako je bila za rešitev potrebna aproksimacija. Postopek je bil avtomatiziran

z uporabo orodja QFT Toolbox [1], ki je poenostavil postopek iteriranja in uporabo

aproksimacij višjega reda. Thompson in Nwokah [24] sta za izračunavanje uporabila nelinearne

tehnike programiranja, kjer sta meje QFT funkcij določila s pretvorbo QFT funkcij v H∞

funkcije. Bryant in Halikias [25] sta uporabila linearne tehnike programiranja, vendar so bili

njuni rezultati močno poenostavljeni in zaradi neupoštevanja polov in ničel funkcij nesposobni

zagotavljanja stabilnosti sistemov. Zhao in Jayasuriya [26] sta uporabila Youlovo

parametrizacijo za transformiranje QFT funkcije v eno-dimenzionalen problem, vendar se s tem

lahko avtomatično spreminja le en parameter regulatorja.

Metoda QFT poudarja, da je povratna vezava potrebna samo zaradi negotovosti in zato

mora biti količina povratne informacije neposredno povezana z velikostjo negotovosti in

zunanjimi motnjami [14]. Metoda QFT je primerna za objekte s negotovimi parametri tako

strukturiranimi kot nestrukturiranimi. Da bi metodo razlikovali od klasičnih in modernih teorij

vodenja, kjer so dolgo zanemarjali negotovost objekta, so kasneje dodali in poudarili besedo

kvantitativna. Metoda QFT uporablja predstavitev v obliki vhodno-izhodnega opisa, za razliko

od moderne regulacijske teorije, ki uporablja prostor stanj v časovni domeni.

Houpis [27] je povzel naslednje prednosti metode QFT:

• rezultat metode QFT je robustna konstrukcija, ki ni občutljiva na spremembe objekta,

15

• preverjanje objektov znotraj vzorca ni potrebno,

• morebitne omejitve v metodi so takoj vidne,

• dosegljive zahteve vodenja je mogoče določiti zgodaj v procesu,

• metodo je mogoče hitro prilagoditi novim zahtevam vodenja,

• struktura regulatorja je vnaprej določljiva.

Pri načrtovanju vodenja po metodi QFT kvantitativno opredelimo specifikacije

negotovosti in dovoljena odstopanja izhodnega signala v frekvenčnem delovnem področju. Cilj

metode je zagotoviti, da bo pri vsaki frekvenci izhodni signal objekta v razredu dovoljenih.

V primerjavi z ostalimi optimizacijskimi metodami načrtovanja robustnega vodenja ima

metoda QFT nekaj prednosti, kot na primer možnost upoštevanja faznih zamikov v procesu

načrtovanja ali možnost izbire med zahtevnostjo načrtovanja procesa in kompleksnostjo

regulatorja. Omenjena prednost je še posebej pomembna, saj omogoča izdelavo preprostih

regulatorjev, ki jih je v praksi mogoče enostavno implementirati.

Čeprav so številne raziskave [28], [29], [30], [31], [32] pokazale, da je pristop metode

QFT bolj splošen, pa metoda QFT ne more zagotoviti zanesljivosti in točnosti nastalih vzorcev

objektov in meja regulatorja. Zato pogosto manjka ocena napake. Težave pri metodi QFT se

pojavljajo pri izbiri končnih izbranih frekvenc, končnih približkih v oblikovanju vzorca in v

končni izbiri faz mejne linije, kot je pokazano v [33] in [34]. Težave se pojavljajo zaradi tega,

ker je metoda zasnovana na uporabi točkovnih metod, iz česar sledi:

• točkovne metode in izračuni z realnimi števili (plavajočo vejico) ne morejo

neposredno opisati sklopov, ki vsebujejo neskončno mnogo ali nepreštevno število

točk [35, 5. del],

• pri uporabi točkovnih metod ni nobene indikacije, še manj pa zagotovila, da so

rezultati pravilni ali celoviti [36].

1.1 Vsebina naloge po poglavjih

V uvodnem delu je v splošnem predstavljeno področje načrtovanja robustnih sistemov s

pregledom stanja in razvoja ter osnovnih prednosti metode QFT.

Drugo poglavje obravnava teorijo vodenja sistemov. Sem spadajo vodljivost in

spoznavnost sistemov ter modeliranje in simulacija. Predstavljena je analiza sistemov v

frekvenčnem področju s pomočjo polarnega in Nicholsonovega diagrama. Opisani so še analiza

16

stabilnosti s Khartionovim in z mejnim teoremom, strukturna in parametrična odstopanja ter

občutljivost in komplementarna občutljivost sistema.

Tretje poglavje opisuje osnovne lastnosti frekvenčne domene, v katero spadajo relativna

stabilnost, frekvenca fazne rezerve in pasovna širina. Predstavljene so lastnosti zaprte zanke v

časovnem in frekvenčnem področju. Opisani so še nestabilni in stabilni objekti.

Četrto poglavje opisuje metodo QFT. Podrobno je razložen postopek za oblikovanje

vzorcev s matematičnim izračunom, izrekom in dokazom. Opisan je še princip načrtovanja

regulatorja s pomočjo QFT metode.

Peto poglavje opisuje eksperiment, ki zajema modeliranje realnega objekta in potek

načrtovanja regulatorja po QFT metodi na tem objektu. Nato so predstavljeni rezultati, ki

zajemajo voden sistem z QFT regulatorjem in z reduciranim sub-optimalnim H∞ regulatorjem na

celotnem delovnem področju.

Šesto poglavje opisuje primerjavo metod in delovanja regulatorjev načrtovanih s metodo

QFT in H∞.

V zaključku so predstavljena sklepna razmišljanja ter smernice nadaljnjih raziskav.

17

2 TEORIJA VODENJA SISTEMOV

2.1 Postopek načrtovanja vodenja sistemov

Pri vodenju sistemov skušamo z ustreznim spreminjanjem vhodnih veličin procesa doseči

primerne odzive procesa. Pri načrtovanju mora načrtovalec zadostiti številnim ciljem, ki jih

običajno obravnavamo postopoma, v več korakih načrtovanja, [15]:

1. proučevanje sistema in pridobivanje izhodiščnih informacij o zahtevah načrtovanja,

2. modeliranje in prilagajanje modela (poenostavljanje, dopolnjevanje do primerne

kompleksnosti),

3. izbira oz. določitev vhodnih in izhodnih veličin,

4. skaliranje (normiranje) spremenljivk in analiza načrtovanega modela,

5. načrtovanje izvajanja meritev, izbira primernih senzorjev in aktuatorjev ter njihova

namestitev,

6. izbira konfiguracije sistema vodenja,

7. izbira strukture regulatorja,

8. določitev zahtev načrtovanja, ki vključujejo tudi vse predvidene omejitve,

9. načrtovanje regulatorja,

10. analiza delovanja načrtovanega zaprtozančnega sistema in preverjanje ali le-ta zadošča

vsem zastavljenim zahtevam; če temu ni tako, je potrebno ustrezno modificirati

regulator ali/in zahteve načrtovanja,

11. simulacija sistema vodenja s pomočjo računalnika ali/in s testno napravo,

12. če je potrebno, ponovimo nekatere korake načrtovanja,

13. izberemo primerno strojno in programsko opremo za končno izvedbo vodenja,

14. testiranje in vrednotenje delovanja vodenega sistema in v kolikor je potrebno, dodatno

sprotno uglaševanje.

18

V teoriji načrtovanja vodenja se običajno osredotočimo na koraka 9 in 10, to je na metode

načrtovanja regulatorjev in analizo zaprtozančnih sistemov. Zanimivo pa je, da je mnogo realnih

sistemov realiziranih brez upoštevanja teh dveh korakov.

Celo pri kompleksnih sistemih z več vhodi in izhodi je mogoče na takšen način načrtovati

delujoči zaprtozančni sistem. Pri tem je pogosto v rabi hierarhično in kaskadno načrtovanje

regulacijskih zank ob uporabi zgolj pristopov sprotnega uglaševanja (uporaba korakov 1, 3, 5, 6,

7, 13 in 14). Vsekakor pa drži, da je celo v takšnih primerih včasih težko vnaprej določiti

primerno regulacijsko strukturo. Pri tem se seveda pojavi potreba po bolj sistematičnem

pristopu in orodjih za načrtovanje.

Čeprav drži, da brez načrtovanja ni pričakovati rešitve problemov vodenja, nikoli ne

smemo zanemariti dejstva, da je analiza sistema osrednjega pomena za uspešnost reševanja. Ne

samo, da razkriva lastnosti obravnavanega procesa in s tem tudi potencialne probleme, ki jih

moremo pri delu pričakovati. Odpira tudi možnosti argumentirane izbire med številnimi

metodami načrtovanja in argumentirano izbiranje med rezultati načrtovanja, kar pa je običajno

pri obravnavi sistemov vodenja nakazano le površno.

Ena od lastnosti sistemov vodenja je vodljivost, ki pogojuje doseganje primernih lastnosti

zaprtozančnega sistema. Odvisna je od lokacije senzorjev in aktuatorjev. Zato bi v nekaterih

primerih pri načrtovanju morali dodati tudi korak 0, ki bi zagotavljal primerno načrtovanje same

procesne opreme. Ideja pravzaprav ni nova, saj sta nanjo že leta 1943 opozorila Ziegler in

Nichols [16] nekako takole:

»Pri izvedbi zaprtozančnih sistemov se moramo zavedati, da regulator in proces tvorita

celoto; uspešnost vodenja je tako odvisna od obeh. Tudi relativno slabo načrtovan regulator

lahko deluje sprejemljivo z lahko vodljivim sistemom, medtem ko je najkompleksnejši regulator

lahko neuspešen pri slabo načrtovanem sistemu.«

Res je sicer, da tudi v takšnih primerih dajejo v splošnem napredno načrtovani regulatorji

boljše rezultate, vendar pa obstaja določena meja, ki jo omogoča izbrana instrumentacijska

oprema in ki je zato ni mogoče preseči.

2.1.1 Regulacijski problem

Cilj obnašanja reguliranega sistema je, da s spreminjanjem regulirnega signala ( )u t

dosežemo želeni potek izhodnega signala ( )y t . Pri tem večkrat ločimo med regulacijskim

(regulacijski problem - regulator problem) in sledilnim (servo problem) načinom delovanja. V

obeh primerih želimo vzdrževati signal pogreška čim manjši. Le-ta je lahko definiran kot:

19

( ) ( ) ( )1e t r t y t= − (2.1)

ali kot:

( ) ( ) ( )2e t y t r t= − (2.2)

Algoritem ustreznega prilagajanja signala ( )u t temelji na načrtovanem regulatorju C(s).

Za ustrezno načrtovanje regulatorja C(s) potrebujemo vnaprej znano informacijo o pričakovanih

motnjah in referenčnih signalih, v splošnem pa moramo poznati tudi model sistema P(s) ter

model, preko katerega delujejo motnje na izhod Pd(s), kar lahko zapišemo kot:

( ) ( ) ( ) ( )u dy s P s P s d s= + (2.3)

kjer smo z d(s) označili motilni signal.

Glavni razlog težav izvira iz dejstva, da modela P(s) in Pd(s) nista povsem zanesljiva,

oziroma se lahko s časom tudi spreminjata. Ko se želimo spoprijeti s tovrstnimi problemi, se

izkaže priročna vpeljava koncepta nezanesljivosti modela. Namesto, da bi obravnavali en sam

model sistema P(s), lahko opazujemo obnašanje razreda modelov ( ) ( ) ( )pP s P s E s= + , kjer je

nezanesljivost ali perturbacija modela E(s) omejena, sicer pa nepoznana. V mnogih primerih

uporabljamo za izražanje E(s) utežne funkcije ( )w s :

( ) ( ) ( )E s w s s= ∆ (2.4)

kjer je ( )s∆ normalizirana preturbacija, kar pomeni, da je amplituda (norma) ( )s∆ manjša ali

enaka 1.

Definirajmo nekaj pojmov, ki so pogosto v rabi pri obravnavi tovrstnih problemov:

• Nominalna stabilnost (»nominal stability«)

Sistem je stabilen za nominalen model è brez upoštevanja nezanesljivosti.

• Nominalno obnašanje (»nominal performance«)

Sistem zadošča zahtevam glede obnašanja pri nominalnem modelu è pri modelu brez

upoštevanja nezanesljivosti.

• Robustna stabilnost (»robust stability«)

Sistem je stabilen za vse perturbirane modele v okolici nominalnega, vključno z

najslabšo možnostjo nezanesljivosti.

• Robustno obnašanje (»robust performance«)

20

Sistem zadošča zahtevam glede obnašanja za vse perturbirane modele v okolici

nominalnega, vključno z najslabšo možnostjo nezanesljivosti.

2.1.2 Prenosne funkcije in frekvenčne karakteristike

Za predstavitev sistemov z diferencialnimi enačbami (vključno s prostorom stanj)

uporabljamo prenosne funkcije ( )P s in frekvenčne karakteristike ( )P jω iz naslednjih

razlogov:

• zelo informativen vpogled v postopek načrtovanja je mogoče dobiti z opazovanjem

preprostih, frekvenčno-odvisnih grafov,

• na takšen način je mogoče definirati pomembne lastnosti sistema, kot sta pasovna

širina in resonančni vrh,

• serijsko povezavo sistemov lahko v frekvenčni domeni določimo z enostavnim

množenjem posameznih blokov, za kar je v časovni domeni potrebno uporabiti

konvolucijski integral,

• poli in ničle so pri univariabilnih sistemih eksplicitno razvidni v faktorizirani

predstavitvi,

• nezanesljivosti laže obravnavamo v frekvenčni domeni, kar je povezano z dejstvom,

da je dva sistema mogoče obravnavati kot podobna, če imata frekvenčni karakteristiki,

ki ležita blizu skupaj. Pri predstavitvi sistema v prostoru stanj lahko že majhna

sprememba katerega od parametrov povzroči velike spremembe v odzivu sistema.

Prenosno funkcijo linearnega, časovno nespremenljivega sistema lahko predstavimo kot:

( )1 2 0

1 2 01 2

1 2 0

......

m m mm m m

n n nn n

b s b s b s b sP ss a s a s a

− −− −

− −− −

+ + + +=

+ + + + (2.5)

V primeru multivariabilnih sistemov je ( )P s matrika prenosnih funkcij. V enačbi (2.5)

predstavlja n red sistema. Razliko n - m, ki kaže na to, za koliko je število polov večje od števila

ničel, imenujemo relativni red sistema.

2.2 Vodljivost in spoznavnost sistemov

Vodljivost sistema zagotavlja, da regulirna veličina lahko deluje na vsa stanja sistema, ki

ga regulira. Ker le teh včasih ni možno meriti ali pa so meritve zelo drage, s pomočjo

21

opazovalnikov iz merjenih izhodov določimo spremenljivke stanja, kar je možno le v primeru,

če je sistem spoznaven.

Večina fizikalnih sistemov je vodljivih in spoznavnih, lahko pa se zgodi, da to ne velja za

njihove modele, ki jih uporabljamo pri načrtovanju regulacijskih sistemov.

2.2.1 Vodljivost sistemov

Sistem je vodljiv v smislu spremenljivk stanj, če je možno z omejenim vhodnim signalom

začetno stanje ( )0x t pripeljati v končno stanje ( )1x t v končnem časovnem intervalu 0 1t t t≤ ≤ .

Vodljive sisteme je možno zapisati v vodljivostni kanonični obliki.

Pogoj za vodljivost izpeljemo iz časovnega odziva sistema zapisanega v prostoru stanj, pri

čemer predpostavimo končno stanje ( )1 0x t = .

Ker so pri modalni obliki stanja odvisna le od vhodnega signala, ne pa od povezav med

stanji, je zato to zelo primerna oblika za proučevanje vodljivosti.

2.2.2 Spoznavnost sistemov

Sistem je spoznaven, če lahko stanje ( )0x t določimo s pomočjo opazovanega vhodnega in

izhodnega signala ( )y t v končnem časovnem intervalu 0 1t t t≤ ≤ . Sistem je spoznaven, če

vsaka spremenljivka stanja deluje na izhod. Spoznavnost sistema je pomembna takrat, kadar

želimo iz merjenega izhoda določiti spremenljivke stanja (vse ali samo nekatere).

2.3 Modeliranje in simulacija

Modeliranje in simulacija sta dva neločljiva postopka, katera vsebujeta kompleksne

aktivnosti v zvezi s konstrukcijo modelov, ki predstavljajo realne objekte, in eksperimentiranje

z modeli v smislu pridobivanja podatkov o obnašanju modeliranega procesa. Pri tem je

modeliranje vezano predvsem na relacije med realnim procesom in njegovimi modeli.

Simulacija pa se ukvarja s povezavo med matematičnim in simulacijskim modelom. Slednji

tvori kot svoj izhod časovne odzive, ki jih vrednotimo glede na obravnavani proces, kar nekako

zaključi celotni krog (slika 2.1).

22

Slika 2.1: Odnos med sistemom, modeliranjem in simulacijo

Namen proučevanja sistemov s pomočjo modeliranja in simulacije je doseganje različnih

ciljev ne da bi morali eksperimentirati na realnem objektu, pri čemer gre tako za opis kot tudi za

razlago njegovega obnašanja. Pristop je uporaben celo v primeru, ko obravnavani sistem še ne

obstaja.

Cilji so:

• izboljšati poznavanje in razumevanje nekaterih mehanizmov delovanja obravnavanega

sistema,

• napovedovati obnašanje sistema v različnih situacijah, kjer kakršnikoli nivo predikcije

predstavlja koristno informacijo,

• omogočiti načrtovanje sistemov vodenja in njih vrednotenje,

• oceniti parametre procesa, ki niso direktno merljivi,

• preizkušati občutljivost sistemskih parametrov,

• optimizirati obnašanje sistema,

• omogočiti učinkovito odkrivanje napak v sistemu,

• omogočiti raziskavo primerov, ki bi bili v realnem svetu dragi, tvegani ali

problematični, kar je pomembno tudi pri simulatorjih za učenje operaterjev.

Čeprav obstaja mnogo tehnik modeliranja in je na voljo precej različnih simulacijskih

orodij, pa se moramo zavedati, da niti model niti računalnik ne moreta popolnoma nadomestiti

človeških odločitev, presoje, intuicije in izkušenj, ki še vedno igrajo odločilno vlogo pri

določanju vrednosti in uporabnosti modelov v praktičnih aplikacijah. Pri tem je modeliranje bolj

problemsko orientirano, medtem ko je simulacija relativno neodvisna od obravnavanega

primera.

23

Čeprav je človek zaradi svojih sposobnosti spomina, asociacij, intuicije, razpoznavanja

vzorcev, računanja itd. izredno primeren za pristop k gradnji modela, saj je to v bistvu

formalizacija in abstrakcija realnega procesa, pa se je tudi tu kmalu srečal z nekaterimi

omejitvami. S slednjimi se je seveda najprej soočil na področju čutil, saj je jasno, da so šele

senzorski sistemi ustrezno razširili območje človekovih čutil. Kot v omenjenem primeru, se je

tudi pri modeliranju pojavilo vprašanje, kako razširiti človeške sposobnosti. To vprašanje je bilo

rešeno s prihodom računalnikov.

Sledijo definicije modela, ki prikazujejo njegove osnovne značilnosti:

• model je objekt ali koncept, ki predstavlja nekaj drugega, se pravi, da je realnost

prenesena v neko uporabno in razumljivo obliko,

• model je poenostavljena predstavitev realnega sistema, ki naj omogoči razumevanje,

razlago, spremembe ali ohranitve lastnosti, napovedovanja in morda tudi vodenje

obravnavanega sistema,

• model je nadomestek nekega konkretnega sistema ali opreme. Model naj obravnava le

bistvene aspekte realnega sistema,

• model poudarja tiste učinke gradnikov sistema, ki so pomembni s stališča namena

modeliranja,

• model mora predstaviti naše znanje o sistemu v primerni obliki tudi na nekaterih

drugih medijih (papir, računalniški spomin).

• model mora biti kar najbolj enostaven, saj je razvoj univerzalnega modela nemogoč,

razvoj prekompleksnega modela pa je nepraktičen in neekonomičen.

Podobno kot za model je v nadaljevanju naštetih nekaj definicij simulacije, ki prikažejo

prepletenost modeliranja in simulacije in se tičejo predvsem največ uporabljane računalniške

simulacije:

• simulacija je metoda, ki omogoča študij obnašanja sistema s pomočjo

eksperimentiranja na ustreznem modelu,

• simulacija omogoča eksperimentiranje z modelom v realnem, skrajšanem ali

podaljšanem času,

• simulacija omogoča zamenjavo realnega procesa in kompleksnih meritev z enostavnim

in cenenim računalnikom, ki dovoljuje eksperimentiranje brez tveganja in daje

ilustrativne rezultate,

24

• računalniška simulacija pomeni tek specialnega programa, katerega rezultat je časovni

odziv modela, ki opisuje obnašanje modeliranega procesa,

• simulacija pomeni postopek za reševanje diferencialnih enačb z zaporednim

integriranjem (diferencialno enačbo integriramo tolikokrat, kolikor je njen red).

2.4 Analiza sistemov v frekvenčni domeni

Linearne sisteme obravnavamo v frekvenčni domeni s pomočjo frekvenčnih karakteristik.

Frekvenčna karakteristika je lastnost sistema, ki pove, kako se sistem v ustaljenem stanju odziva

na sinusni vhodni signal. Posnamemo jo tako, da preko določenega področja spreminjamo

frekvenco sinusnega signala na vhodu in merimo ustrezen izhodni signal v ustaljenem stanju.

Zaradi številnih dobro izdelanih metod se frekvenčni pristop pogosto uporablja tako pri

analizi kakor tudi pri načrtovanju regulacijskih sistemov. Predvsem ga učinkovito uporabljamo

pri analizi absolutne in relativne stabilnosti. Pri tem je potrebno poznati le frekvenčno

karakteristiko odprto-zančnega sistema (prenosne funkcije), iz katere sklepamo na stabilnost

zaprto-zančnega sistema. Druga prednost je v dejstvu, da je možno enostavno eksperimentalno

določiti frekvenčno karakteristiko, saj potrebujemo le sinusni signalni generator in ustrezno

merilno opremo za merjenje (snemanje) izhodnega signala.

2.4.1 Polarni diagram

Polarni diagram predstavlja frekvenčno karakteristiko ( )P jω v kompleksni ravnini.

Vsaka točka je podana s polarnim zapisom kompleksorja ( ) ( ) ( )j P jP j P j e ωω ω ∠ = pri

določeni frekvenci. V intervalu od 0 do ∞ kompleksor zariše polarni diagram. Pozitivni fazni

kot je definiran od pozitivne realne osi proti določenemu kompleksorju v obratni smeri urinega

kazalca. Primer polarnega diagrama prikazuje slika 2.2.

25

Slika 2.2: Polarni diagram

Določitev polarnega diagrama je nekoliko zahtevnejši postopek kot npr. računanje Bode-

jevega diagrama, saj absolutne vrednosti v tem primeru ne moremo dobiti s seštevanjem

prispevkov posameznih gradnikov. Zato se včasih posredno uporablja Bode-jev diagram tudi za

določitev polarnega diagrama. Običajno pa za izris polarnega diagrama kot tudi za druge oblike

frekvenčne karakteristike z ustreznimi računalniškimi programi.

2.4.2 Nicholsov diagram

Nicholsov diagram predstavlja združitev obeh Bodejevih diagramov v en diagram.

Frekvenčno karakteristiko predstavimo v diagramu, v katerem na abscisno os nanašamo

fazni kot, na ordinatno os pa logaritem absolutne vrednosti ( )( )20log P jω . Glede na ostale

frekvenčne diagrame nudi Nicholsov diagram nekatere prednosti v načrtovalnih postopkih (npr.

določitev relativne stabilnosti, metoda QFT, ...).

Sprememba ojačanja v frekvenčni karakteristiki ( )P jω vpliva v Nicholsovem diagramu

tako, da se krivulja premika navzgor oz. navzdol, njena oblika pa se ne menja. Nicholsov

diagram frekvenčne karakteristike ( )1

P jω je simetričen glede na koordinatno izhodišče

prenosne funkcije ( )P jω , ker velja

( ) ( )120log 20 log P jP j

ωω

= − (2.6)

26

( ) ( )1 P jP j

ωω

∠ = −∠

(2.7)

Primer Nicholsovega diagrama je prikazan na sliki 5.14 (poglavje 5.2.6).

2.5 Stabilnost regulacijskih sistemov

Stabilnost predstavlja pomembno kvalitativno lastnost sistema avtomatskega vodenja. Pri

načrtovanju vodenja je zagotovljena stabilnost primarna zahteva, šele ko je stabilnost

zagotovljena je mogoče zadostiti druge kvalitativne lastnosti. S teorijo stabilnosti so se

znanstveniki ukvarjali vse od začetka teorije diferencialnih enačb. Osnovna naloga teorije je

podati zaključke o obnašanju stanj (trajektorije stanja) sistema brez reševanja diferencialnih

enačb sistema. Teorija stabilnosti obravnava obnašanje sistema v daljšem časovnem obdobju,

oziroma kako se obnaša stanje sistema ko gre t → ∞ . Eden izmed prvih, ki so se ukvarjali s

stabilnostjo mehaničnih sistemov v "sodobnem" pomenu, je bil Joseph Louis Lagrange, ki je

trdil, da je ravnovesno stanje ne-vzbujenega sistema stabilno, če je na minimumu potencialne

energije [76]. Prvo diskusijo o nestabilnosti sistema vodenja je opravil Fuller, predlagal je, naj

teleskop rotira nasprotno od rotacije Zemlje, da bi lahko dlje časa opazoval zvezde [77]. V ta

namen so potrebovali kvalitetni sistem za regulacijo hitrosti vrtenja teleskopa. Kot regulator so

v tistem času uporabljali centrifugalno nihalo. Airy (1840) je opazil, da pri regulaciji hitrosti

teleskopa lahko regulator hitrosti privede sistem v nestabilno področje ter s tem povzroči

"divje" obnašanje teleskopa. Po Fullerju je Airy prvi analiziral dinamiko sistema vodenja s

pomočjo diferencialne enačbe. Pomemben napredek pri obravnavi stabilnosti je prispeval ruski

matematik Alexander Mihajlovič Ljapunov (1892), ko je definiral splošno zasnovane

stabilnosti, ki so veljale za linearne in nelinearne sisteme. Poleg Ljapunova so se v tem času s

stabilnostjo linearnih sistemov ukvarjali še: James Clerk Maxwell, Edward John Routh, I.A.

Višnegradski (1876), A. Stodola (1893) in A. Hurwitz (1895). Vsi so se ukvarjali z iskanjem

pogojev, ki jih morajo zadovoljiti koeficienti linearne diferencialne enačbe, da bo sistem

stabilen. Za razliko od Maxwella (1868) in Višnegradskega (1876), ki sta trdila, da je edino za

sistem tretjega reda mogoče postaviti takšne pogoje, je Routh (1877) v nagrajenem delu (Adam

Prize Essay) prišel do splošnih pogojev stabilnosti linearnega sistema za sistem, ki ga opisuje

linearna diferencialna enačba poljubnega reda [78]. Podrobnejši opis danes zelo pomembnega

področja raziskovanja – teorije stabilnosti dinamičnih sistemov, 1ahko najdemo v literaturi [79].

Stabilnost lahko obravnavamo iz vhodno-izhodnega opisa, kjer analiziramo, ali se odziv

sistema obnaša »ustrezno« v določenem pomenu, ko na sistem deluje določeno znano vzbujanje.

Poleg vhodno-izhodnega opisa lahko stabilnost sistema obravnavamo s spremljanjem

27

asimptotičnega obnašanja stanj sistema v okolici ravnovesja periodičnih nihanj sistema. Tedaj

govorimo o notranji stabilnosti v smislu stabilnosti po Ljapunovu [80]. Pojem »stabilnost«

običajno uporabljamo za sistem, vendar to ni popolnoma korektna raba tega pojma. Stabilno je

vse, kar se lahko obdrži v daljšem časovnem obdobju. V dinamični teoriji in teoriji vodenja je o

stabilnosti pravilno govoriti ne samo za sistem, temveč tudi za njegova stanja - ravnovesja ali

gibanja. Edino, če sistem vsebuje samo eno ravnovesno stanje, je razumna raba pojma

»stabilnost sistema«. Če pa obstaja več ravnovesnih stanj, tedaj je pravilno uporabljati pojem

»stabilnost ravnovesnih stanj«. Ker imajo linearni sistemi samo eno ravnovesno stanje, se je v

teoriji linearnih sistemov udomačil pojem stabilnosti sistema, za razliko od nelinearnih

sistemov, pri katerih lahko obstaja več kot eno ravnovesno stanje.

Splošno uporabljena načina za določitev absolutne stabilnosti regulacijskih sistemov:

• iskanje korenov karakteristične enačbe ( ) ( )1 0P s C s+ = (slika 2.3),

• uporaba Routhovega stabilnostnega kriterija.

Vendar pa informacija o tem, ali je sistem stabilen ali ne (absolutna stabilnost) ni najbolj

uporabna v raznih postopkih načrtovanja vodenja. Zato potrebujemo metode, ki razen

informacije o absolutni stabilnosti pokažejo tudi, koliko je sistem »oddaljen« od meje

stabilnosti oz. na kakšen način lahko sistemu to »oddaljenost« spremenimo, kar določa t.i.

relativna stabilnost. Ena od možnosti za določitev absolutne in relativne stabilnosti je Nyquistov

stabilnostni kriterij [14].

2.5.1 Nyquistov stabilnostni kriterij

Nyquistov stabilnostni kriterij ima naslednje značilnosti, ki omogočajo uspešno uporabo

pri analizi in načrtovanju regulacijskih sistemov:

• daje enako informacijo o stabilnosti lineranih sistemov kot Routhov kriterij,

• razen absolutne stabilnosti daje informacijo o »oddaljenosti« sistema od meje

stabilnosti in omogoča izboljšati stabilnostne lastnosti,

• kot izhodišče uporablja frekvenčno karakteristiko odprtozančne prenosne funkcije in

omogoča določitev zaprtozančne stabilnosti,

• učinkovito se lahko uporablja za sisteme z mrtvim časom,

• metodo se lahko modificira za nelinearne sisteme.

Izhodišče za obravnavo predstavlja regulacijski sistem na sliki 2.3:

28

Slika 2.3: Regulacijski sistem

Karakteristična enačba ima obliko

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 mj

n

K s z s z s zF s P s C s

s s p s p s p+ + +

= + =+ + +

KK

(2.8)

Značilnosti sistema, ki je podan na sliki 2.3 oz. z enačbo (2.8) v zvezi s poli in ničlami:

1. Vrste polov in ničel

• ničle odprto-zančne prenosne funkcije ( ) ( )P s C s ,

• poli odprto-zančne prenosne funkcije ( ) ( )P s C s ,

• zaprto-zančni poli so poli prenosne funkcije ( )( )

Y sR s

oz. ničle karakterističnega izraza

( ) ( ) ( )1F s P s C s= + oz. koreni karakteristične enačbe ( ) ( ) ( )1 0F s P s C s= + = .

2. Poli karakterističnega izraza ( ) ( ) ( )1F s P s C s= + so enaki polom odprto-zančne prenosne

funkcije ( ) ( )P s C s .

3. Za zaprto-zančno stabilnost ni nobenih omejitev glede lege polov in ničel odprto-zančne

prenosne funkcije ( ) ( )P s C s . Važno je le, da so poli zaprto-zančne prenosne funkcije oz.

koreni karakteristične enačbe v levem delu ravnine s .

Za določitev stabilnosti je potrebno preslikati določene točke iz ravnine s s pomočjo

kompleksne funkcije (preslikave) ( )F s (ali ( ) ( )P s C s ) v ravnino ( )F s (ali ( ) ( )P s C s ).

Preslikavo točke 0s iz ravnine s v ravnino ( )F s prikazuje slika 2.4:

29

Slika 2.4: Kompleksna preslikava

2.6 Občutljivost in komplementarna občutljivost sistema

Naloga vodenja je zagotavljanje čim manjšega pogreška sledenja ( ) ( ) ( )e t r t y t= −

med referenčnim signalom ( )r t in izhodnim signalom ( )y t , kadar je ( )y t moten z motilnim

signalom ( )d t , oziroma se spreminja referenčni signal ( )r t .

Slika 2.5: Struktura zaprtozančnega sistema

Mero za velikost tega pogreška imenujemo mera učinka in je v frekvenčni domeni

definirana z funkcijama občutljivosti ( )S jω in komplementarne občutljivosti sistema ( )T jω .

Izhod y sistema (slika 2.5) zapišemo kot:

rPCrdyPCyrPCdy

PCedy

)1()1()(

++−=+−+=

+=

(2.9)

Prenosna funkcija občutljivosti sistema za vhod w d r= − je tako definirana:

30

11 )()(

)()(

−− +=+==

−=−+

LIPCIweS

rdryPCI

L

we321

(2.10)

Komplementarna občutljivost je definirana kot:

11 )()( −− +=+= LILPCIPCT (2.11)

Zveza med občutljivostjo in komplementarno občutljivostjo je definirana z naslednjim

izrazom:

S T I+ = (2.12)

od tod izvira tudi ime za ( )T s komplementarna občutljivost na enoto I .

2.7 Odstopanja

Odstopanje je splošna oznaka za razhajanje obnašanja modela procesa in obnašanja

dejanskega procesa. Takšno splošno formulacijo pa lahko podrobneje opredelimo in sicer tako,

da odstopanja razdelimo na podvrste: parametrična in strukturna odstopanja.

Zaradi dveh razlogov se vodeni proces ne more obnašati kot model zaprtozančnega

sistema:

• motenj iz okolice sistema (veličine na katere ne moremo vplivati preko regulirnih

veličin in so običajno neodvisne od parametrov procesa),

• odstopanja matematičnega modela, ki ga uporabljamo pri postopku načrtovanja

vodenja glede na dejanski proces. Ta odstopanja predstavljajo razliko med modelom in

procesom. Njihovi učinki so odvisni od vodenja. Odstopanja modela od procesa

predstavimo kot dodaten model z neznano dinamiko.

2.7.1 Strukturna odstopanja

Frekvenčna analiza robustnosti vodenja je možna le, kadar poznamo odstopanja

(perturbacije), saj vrednotenje robustnosti temelji na vrednotenju vpliva odstopanj. Zaradi vseh

vzrokov odstopanj modela od dejanskega procesa privzamemo, da je dinamično obnašanje

procesa predstavljeno ne le z enim linearnim časovno nespremenljivim modelom, ampak z

množico modelov. To množico obravnavamo kot en linearno časovno nespremenljivi model z

ustreznimi odstopanji - perturbacijami. Odstopanje - perturbacija pomeni razlike med

posameznimi elementi omenjene množice.

31

Takšen časovno nespremenljivi linearni model procesa z ustreznimi odstopanji lahko

predstavimo na več različnih načinov [10]:

• aditivni model,

• multiplikativni izhodni model,

• multiplikativni vhodni model.

Strukturna odstopanja so običajno posledica nepopolnega ali neustreznega opisa strukture

procesa, do česar lahko pride zaradi linearizacije nelinearnih podsistemov, zaradi zanemarjanja

dinamike.

Glede na dostopno informacijo o odstopanjih delimo odstopanja na nestrukturirana in

strukturirana [10].

Nestrukturirana odstopanja so tista, pri katerih je znan le vpliv celotnih odstopanj na

obnašanje procesa, ne pa tudi mesto v procesu, kjer se pojavljajo. Takšna odstopanja so

relativno groba predstavitev odstopanj v frekvenčni domeni in opisujejo meje velikosti celotnih

odstopanj od nominalnega modela procesa.

Strukturirana odstopanja poleg vrednosti podajajo tudi informacijo o položaju elementa,

kjer to odstopanje nastopa. Sprememba obnašanja procesa je tako opisana s toleranco

odstopanja elementa ali več elementov tega sistema.

Velikost odstopanj tako, strukturiranih kot nestrukturiranih, vrednotimo z normo •∞

.

2.7.2 Parametrična odstopanja

Parametrična odstopanja predstavljajo razhajanja vrednosti parametrov procesa od

njihovih nominalnih vrednosti.

Prenosna funkcija je linearni model.

11 1 0

11 1 0

( ) ; m m

m mn n

n n

a s a s a s aP s m nb s b s b s b

−−

−−

+ + + += ≤

+ + + +LL

a a a i mi i i≤ ≤ =, , , 0 1 K (2.13)

b b b j nj j j≤ ≤ =, , , 0 1 K

Za koeficiente bi, aj prenosne funkcije P s( ) običajno predpostavimo, da so konstantni,

kar pa ne drži, ko so ai in bj funkcije fizikalnih parametrov npr. (kapacitivnost, induktivnost,

32

upornost) in so bolj ali manj nepoznani. Posledica je neustreznost polov in ničel prenosne

funkcije P s( ) .

Ker se fizikalni parametri spreminjajo le v omejenem območju, so tudi spremembe

koeficientov ai in bj omejene. Če bi želeli proučiti stabilnost vodenega sistema z negotovimi

koeficienti, bi lahko analizirali stabilnost pri vseh možnih kombinacijah koeficientov, vendar se

analiza poenostavi z uporabo Khartionovega teorema.

2.8 Analiza stabilnosti

2.8.1 Analiza stabilnosti s Khartionovim teoremom

Za polinom n-tega reda:

A s a s a s a s ann

nn( ) = + + + +−

−1

11 0L (2.14)

katerega koeficienti so v mejah

a a a i ni i i≤ ≤ =, , , 0 1 K (2.15)

velja, da za vsako tako neskončno družino polinomov obstajajo štirje kritični polinomi:

k s a a s a s a s a s a s a s

k s a a s a s a s a s a s a s

k s a a s a s a s a s a s a s

k s a a s a s a s a s a s a s

1 0 1 22

33

44

55

66

2 0 1 22

33

44

55

66

3 0 1 22

33

44

55

66

4 0 1 22

33

44

55

66

( )

( )

( )

( )

= + + + + + + +

= + + + + + + +

= + + + + + + +

= + + + + + + +

L

L

L

L

(2.16)

Zato je dovolj, da opravimo analizo stabilnosti polinomov (2.16). Če so vsi štirje stabilni,

bo polinom A s( ) stabilen ob vseh možnih kombinacijah vrednosti koeficientov ai

( , , , )a a a i ni i i≤ ≤ = 0 1 K [11].

2.8.2 Analiza stabilnosti z mejnim teoremom

Nekoliko drugačen pristop omogoča mejni teorem, kjer obravnavamo koeficiente

karakterističnega polinoma kot linearne funkcije vektorja parametrov p. Zapis polinoma (2.14)

preoblikujemo:

A s a p s a p s a p s a pnn

nn( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + +−

−1

11 0L (2.17)

33

pri čemer je p vektor z elementi p k Nk = 1 2, ,Kb g . Tako ima na primer člen an(p)sn obliko:

a p s p p p snn

Nn( ) ( ... )= + + +1 2 (2.18)

Izraz (2.14) zapišemo v obliki:

A s s p sk kk

N

( ) ( ) ( )= +=

∑Φ Φ01

(2.19)

Polinomi Φk s k N( ) , , = 1 2Kb g imajo konstantne koeficiente s parametri

p k Nk = 1 2, ,Kb g , ki so omejeni na področju p p pk k k≤ ≤ . Družina polinomov podana z

izrazom (2.19), tvori polinomski politop.

Celotna izpeljava je opisana v [10].

34

3 TEORIJA REGULIRANIH SISO SISTEMOV

3.1 Uvod

V poglavju so predstavljene osnovne lastnosti sistemov z enim vhodom in enim izhodom

(SISO) brez upoštevanja robustnosti. Najprej so definirani in obravnavani pojmi: amplitudna

rezerva, fazna rezerva, pasovna širina in frekvenca fazne rezerve. Nato je razloženo, zakaj je

tako pomembno zmanjšati pasovno širino regulatorja, v kontekstu katerega je definirano visoko-

frekvenčno ojačanje.

Regulator je uspešno načrtovan takrat, ko ustreza zahtevam za vodenje zaprte zanke.

Uporabljata se časovna in frekvenčna domena. Čeprav ni direktnega prenosa opisov časovne

domene v frekvenčno domeno, sta podana dva algoritma, ki skušata to vrzel premostiti.

3.2 Osnovne lastnosti frekvenčne domene

Slika 3.1 prikazuje zaprto-zančni sistem z dvema prostostnima stopnjama.

Slika 3.1: Zaprto-zančni sistem z dvema prostostnima stopnjama

35

3.2.1 Relativna stabilnost, frekvenca fazne rezerve, pasovna širina

Primer Nicholsovega diagrama sistema z odprto zanko je prikazan na sliki 3.2. Vključuje

5 parametrov, ki označujejo sistem odprte zanke in imajo močan vpliv na obnašanje sistema

zaprte zanke:

1. Frekvenca fazne rezerve (»Crossover frequency«) φω : predstavlja frekvenco, kjer je

odprta zanka 0 dB, ( ) 0L j dBφω = ,

2. Fazna rezerva (»Phase margin«) φ : predstavlja fazo odprte zanke pri frekvenci fazne

rezerve nad 180− ° , ( )arg 180L j φφ ω= + ,

3. Frekvenca amplitudne rezerve (»Gain margin frequency«) Mω : predstavlja frekvenco,

kjer je ( ) 180ML jω = − ° ,

4. Amplitudna rezerva (»Gain margin«) M: predstavlja razdaljo ( )ML jω v dB od točke -1 v

Nyquistovem diagramu ( 0 , 180dB − ° v Nicholsovem diagramu), ( )20log MM L jω= − ,

5. Pasovna širina (»Bandwidth«) bω : predstavlja frekvenco, kjer je amplituda zaprte zanke

enaka 3dB− , ( )( )

31

b

b

PC jdB

L jωω

= −+

.

Slika 3.2: Nicholsov diagram sistema z odprto zanko s prikazanimi parametri

36

V splošnem amplitudna in fazna rezerva relativne stabilnosti predstavljata dobro stran

dveh pomembnih pojavov zaprto-zančnih sistemov:

• koliko negotovosti lahko objekt še dopušča, da bo zaprta zanka ostala stabilna (npr. če

je amplitudna rezerva 10 dB, lahko sistem dopušča povečanje ojačanja za 10 dB brez

izgube zaprto-zančne stabilnosti),

• uporaba zgornje meje kot amplitude prenosne funkcije zaprte zanke (od senzorja šuma

do izhoda objekta), spodnje meje pa kot občutljivosti.

Pri velikih amplitudnih in faznih rezervah je dušenje resonance zaprte zanke vključeno v

frekvence okoli pasovne širine bω , vendar pa resna izguba izvira iz povečanja odziva šuma

senzorja na vhodu objekta [14].

3.2.2 Pogojno stabilni sistemi

Prenosne funkcije odprtih zank sistemov v praksi imajo lahko pozitivne in negativne

amplitudne rezerve. Če ima odprto-zančni sistem pozitivne amplitudne rezerve pomeni, da ko je

zanka zaprta, sistem postane nestabilen, če se ojačanje odprte zanke preveč poveča. Nasprotno

je v obratnem primeru, če ima odprto-zančni sistem negativne amplitudne rezerve. Takrat

postane zaprto-zančni sistem nestabilen, če se ojačanje odprte zanke preveč zmanjša. Takšne

sisteme imenujemo pogojni stabilni sistemi.

3.2.3 Visoko frekvenčno ojačanje

Eden od faktorjev, ki omejuje pasovno širino sistema, je šum senzorja na vhodu objekta.

Poglejmo primer za tri različne regulatorje objekta 21 s , od katerih imajo vsi skoraj enako

nizko frekvenčno obnašanje odprte zanke in enako frekvenco fazne rezerve, imajo pa različne

odzive pri visokih frekvencah (njihove odprte zanke so prikazane na sliki 3.3).

37

Slika 3.3: Različne odprte zanke sistemov s različnimi odzivi pri visokih frekvencah

Graf prenosne funkcije šuma senzorja na vhodu objekta ( ) ( )( )1C j L jω ω+ je prikazan

na sliki 3.4. Če je razpon šuma senzorja skoncentriran nad 80 rad/sek, je regulator ( )3C jω

prevladujoč nad regulatorji ( )1C jω in ( )2C jω , ( )2C jω pa prevladujoč nad ( )1C jω

( ( )1C jω ojača visoko frekvenčni šum za 7 dB bolj kot ( )2C jω in za 20 dB bolj kot ( )3C jω ).

Pomemben element primerjave med obema regulatorjema je: koliko je šum senzorja ojačan v

visoko-frekvenčnem pasu (glede na medsebojno primerjavo). Iz tega sklepamo, da je visoko-

frekvenčno ojačanje enega sistema večje od drugega za x dB-ov, če je visoko-frekvenčno

ojačanje šuma senzorja večje od drugega za x dB-ov. To temo sta podrobno obdelala Helton in

Merino [83] z upoštevanjem kompromisa med pasovno širino in učinkovitostjo regulatorja.

38

Slika 3.4: Graf prenosne funkcije šuma senzorja za različne tipe regulatorjev

3.3 Lastnosti zaprte zanke

Slika 3.5 predstavlja shemo reguliranega sistema. Prenosni funkciji ( )P s pripada

množica negotovih objektov P . Prenosni funkciji ( )C s in ( )F s predstavljata regulator in

predfilter, ki sta načrtovana z namenom doseganja robustne stabilnosti sistema in lastnosti

zaprte zanke.

Slika 3.5: Shema reguliranega sistema

39

Lastnosti zaprte zanke opisujemo v časovni in/ali frekvenčni domeni.

3.3.1 Časovna domena

Lastnostni zaprte zanke sistema na sliki 3.5 so običajno predstavljene kot razmerje med

vhodnimi in izhodnimi signali objekta. Ti signali morajo biti omejeni tako, da sistem deluje v

svojem delovnem območju z zahtevanimi časovnimi odzivi.

3.3.2 Frekvenčna domena

Lastnosti zaprte zanke sistema na sliki 3.5 so običajno predstavljene kot razmerje med

vhodnimi in izhodnimi sistemskimi prenosnimi funkcijami objekta. Te so (pri zapisu

( ) ( ) ( ) ( )L j P j C j H jω ω ω ω= ):

1. Zmanjševanje motnje na izhodu objekta - občutljivost: za vsak P P∈ velja, da je

prenosna funkcija med motnjo na izhodu objekta in izhodom objekta omejena z:

( ) ( )11 s

yd L j

δ ωω

= <+

(3.3)

2. Zmanjševanje motnje na vhodu objekta: za vsak P P∈ velja, da je prenosna funkcija

med motnjo na vhodu objekta in izhodom objekta omejena z:

( )( ) ( )

1 pd

P jyu L j

ωδ ω

ω= <

+ (3.4)

3. Ujemanje modela: za vsak P P∈ velja, da je oddaljenost prenosne funkcije med r in y

od dane optimalne prenosne funkcije ( )mF jω omejena z:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1m m m

P j C j F jy F j F jr L j

ω ω ωω ω δ ω

ω− = − <

+ (3.5)

4. Sledenje: za vsak P P∈ velja, da je amplituda prenosne funkcije med r in y omejena z:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1P j C j F j

L jω ω ω

α ω β ωω

≤ ≤+

(3.6)

5. Zmanjševanje šuma: za vsak P P∈ velja, da je prenosna funkcija med izhodom senzorja

in izhodom objekta omejena z:

40

( ) ( )( ) ( )

1 n

P j C jyn L j

ω ωδ ω

ω= <

+ (3.7)

6. Učinek regulacije: za vsak P P∈ velja, da je prenosna funkcija med izhodom senzorja in

vhodom objekta omejena z:

( )( ) ( )

1 c

C jun L j

ωδ ω

ω= <

+ (3.8)

Če poenostavimo in postavimo 1H = , potem za točke 1 do 4 velja:

( ) ( )

( )( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

1lim 01

lim 01

lim 01

max1

lim 1min

1

m

C j

C j

mC jF j F j

P j

C j

P j

L j

P jL j

L j F jF j

L j

L j F jL j

L j F jL j

ω

ω

ω

ω ω

ω

ω

ω

ω

ωω

ω ωω

ω

ω ωω

ω ωω

→∞

→∞

→∞

≡

→∞

=+

=+

− =+

+=

+

(3.9)

3.3.3 Preslikava lastnosti sistema iz časovne v frekvenčno domeno

Enostavne direktne preslikave iz časovne v frekvenčno domeno ni. V praksi obstajajo

postopki, ki dajejo zelo dobre rezultate. V primeru, kadar načrtovalec ni zadovoljen z rezultati,

postopek ponavlja z dodajanjem ojačanja pri nizkih frekvencah (z ustreznimi spremembami pri

visokih frekvencah, da še zadostijo zahtevam vodenja), dokler niso doseženi želeni rezultati.

Priporočljivo je znižati zahteve vodenja v frekvenčni domeni nad določeno frekvenco hω

ter zadostiti le zahtevam ojačanja in fazne rezerve do te frekvence. To je uporabno predvsem

zaradi zmanjševanja učinka regulatorja z zanemarljivim vplivom na lastnosti zaprte zanke. Do

frekvence hω pridemo s iteracijskim postopkom. Ta je enostaven za izvedbo, prav tako je

enostavno oceniti kompromis med hω , učinkom regulatorja in lastnostmi sistema v časovni

domeni [14].

41

3.3.3.1 Postopek metode

Postopek temelji na predvidenih strukturah modela objekta in regulatorja (znano je število

polov in ničel objekta in regulatorja). Tako se za podan vhod izračuna struktura glede na podane

zahteve vodenja. Ideja je v iskanju parametrov predvidenega objekta in modelov regulatorjev z

uporabo maksimuma ali minimuma amplitude rezultirajoče prenosne funkcije na jω osi ter

zahtev podanih v frekvenčni domeni.

Primer:

Predpostavimo da objekt predstavlja preprost integrator 1 s , vključen v reguliran sistem,

ki mora zadostiti sledečim zahtevam zaprte zanke v časovni domeni: stopnični odziv objekta na

motnjo mora biti omejen z dvema krivuljama prikazanima na sliki 3.6a. Če je struktura

regulatorja preprost pol, potem je ( ) ( )C s k s a= + .

Prvi korak predstavlja izračun strukture modela izhoda objekta:

( ) ( ) ( )( )

2

1 1 1 11 1

s ay s kP s C s s s s as ks s a

+= ⋅ = ⋅ =

+ + +++

¸ (3.10)

Drugi korak je iskanje a in k da zadostijo zahtevam v časovni domeni. To množico

izhodov v frekvenčni domeni označimo s ( ) y s .

Tretji korak je izračun v frekvenčni domeni:

( ) ( ) ( )1 max

1 y y js j

s y jL s ω

ω

ω∈

=

=+

(3.11)

Rezultati izračuna [ ]1,8a ∈ in [ ]2,12k ∈ so prikazani na sliki 3.6b.

42

Slika 3.6: (a) Stopnični odziv mora biti med obema krivuljama, (b) prenosna funkcija občutljivosti glede na krivulje iz (a) v frekvenčni domeni

3.3.3.2 Krishnanova in Cruickshanksova tehnika

Predpostavimo da so lastnosti v časovni domeni predstavljene v obliki

( ) ( ) ( )2 2y t m t v t− ≤ (3.12)

kjer je ( )y t signal zaprte zanke in ( )m t , ( )v t določeni časovni funkciji. To pomeni, da ( )y t

naj ne odstopa od ( )m t za več kot ( )v t . Šibkejši pogoj kot ta je naslednji

( ) ( ) ( )2 2

0 0, 0

t ty t m t v t t− ≤ ∀ ≥∫ ∫ (3.13)

kar pomeni, da se namesto zgornje meje ( ) ( )y t m t− uporabi ( )v t . Energija signala na

intervalu [ ]0, t je omejena z energijo signala ( )v t v istem intervalu (za vsak t). Krishnan in

Cruickshanks predlagata uporabo tega šibkejšega pogoja za katerega je zadosten pogoj v

frekvenčni domeni ustrezanje spodnji neenakosti [86]

( ) ( ) ( )y j m j v jω ω ω− ≤ (3.14)

Glavna pomanjkljivost te metode je uporaba šibkejšega pogoja, vendar v splošnem

predstavlja razumno alternativo prvotni metodi.

Primer:

Za splošno predstavljen sistem na sliki 3.1 zapišemo

( ) ( ) ( )a t y t b t≤ ≤ (3.15)

43

kjer sta ( )a t in ( )b t predstavljena na sliki 3.7a. To razširimo v

( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ,2 2

a b b ay t m t v t m t v t+ −− ≤ = = (3.16)

prikazani ravno tako na sliki 3.7a.

Zapis v frekvenčni domeni je sledeč

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1rP j C j F j

m j v jP j C j

ω ω ωω ω

ω ω− ≤

+ (3.17)

ki z izbranim predfiltrom ( ) ( )rF s m s= predstavlja občutljivost sistema

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

1m j

v j L j P j C jL j

ωω ω ω ω

ω≤ =

+ (3.18)

Amplitudi ( )m jω ω in ( )v jω ω sta prikazani na sliki 3.7b na mestu ( )m jω in ( )v jω

zaradi priročnosti pri risanju grafa.

Metoda temelji na uporabi šibkejšega pogoja pri visokih frekvencah s katerim ohranimo

pasovno širino. Črtkana krivulja na sliki 3.7b predstavlja šibkejši pogoj ( )v jω ω , ki je

uporabljen pri načrtovanju.

Slika 3.7: (a) Izhod objekta mora biti med krivuljama a(t) in b(t), (b) črtkana krivulja predstavlja šibkejši pogoj

44

3.4 Omejitve učinkovitosti objektov z neminimalno fazo (NMP)

Objekti NMP so tisti, katerih modeli vsebujejo eno ali več ničel, ki ležijo izključno v

desni polravnini (RHP ničle). Vzorčenje po naravi vsebuje zakasnitev, zato regulirani sistemi, ki

vsebujejo vzorčenje, avtomatsko spadajo v skupino objektov NMP. Dobro znan primer

predstavlja inverzno nihalo na vozičku (Kailath 1980), na katerem je pojav NMP enostavno

razložljiv: če želimo, da se konica nihala premakne v desno, se mora voziček najprej premakniti

v levo, nato konica pade na desno in voziček se premakne v desno. Konica se rahlo premakne v

levo in nato v desno. Potrebno je več časa, da se konica premakne na želeno mesto na desni

strani v primerjavi z objektom, ki se najprej premakne v levo.

Frekvenca fazne rezerve odprte zanke φω objekta NMP ima zgornjo mejo, kar pomeni, da

je omejena tudi amplituda zančnega ojačanja pri frekvencah nižjih od frekvence fazne rezerve.

Razlog je v odvisnosti med amplitudo in fazo v Bodejevem diagramu. V objektih z minimalno

fazo se odprta zanka oblikuje s lead-lag, lag-lead, itd. elementi, s čimer se doseže katerakoli

zahtevana frekvenca fazne rezerve. Toda pri objektih NMP sta frekvenca fazne rezerve

zančnega ojačanja in zančno ojačanje pri nizkih frekvencah omejena.

3.4.1 Stabilni objekti

Vsako stabilno prenosno funkcijo odprte zanke lahko razstavimo v ( ) ( ) ( )ML s L s A s= ,

kjer ( )ML s predstavlja minimalno fazo (stabilno, brez ničel v desni polravnini) in ( )A s , ki

predstavlja visokoprepustno prenosno funkcijo (stabilno, za katero velja ( ) 1A jω = za vse ω ).

Primer:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )1 1 1

2 3 2 3 1

ML s A s

s s sL ss s s s s

− + −= = ⋅

+ + + + +

6447448

(3.19)

Na osnovi povezave med amplitudo in fazo v Bodejevem diagramu za prenosne funkcije z

minimalno fazo sklepamo: če je faza stabilne prenosne funkcije z minimalno fazo na velikem

frekvenčnem področju fiksirana (npr. na φ stopinj), lahko v tem frekvenčnem področju

uporabimo približek s prenosno funkcijo 90k sφ [14]. Približek je enakovreden zahtevi kjer

mora amplituda v Bodejevem diagramu imeti nespremenljiv naklon na velikem frekvenčnem

področju. S dodajanjem tega približka, ki omeji pasovno širino regulatorja, dodatno

45

pripomoremo k predpostavki, saj ta v veliki meri zadovolji večino realnih sistemov v praksi.

Numerična preverjanja sledijo v nadaljevanju.

Predpostavka P3.1

Približek med frekvenco fazne rezerve φω in frekvenco amplitudne rezerve Mω prenosne

funkcije minimalne faze ( )ML s zapišemo kot

( ) 2MkL s

s α≈ (3.20)

Pod predpostavko, da ( )L s vsebuje enostavno ničlo v desni polravnini pri a , takrat

zapišemo ( ) ( )Ma sL s L sa s

−=

+ in tako dobimo

( ) ( )1arg 2 tan ; ML j a φω απ ω ω ω ω−= − − ≤ ≤ (3.21)

Donos fazne rezerve φ , frekvence fazne rezerve φω in frekvence amplitudne rezerve Mω

zapišemo

( )1tan

2

def

a aφ

φ

ω α π φω

− −=

= (3.22)

( )1tan

2

defM

aM aα πω

ω −

=

= (3.23)

Iz zgornjih enačb (3.22), (3.23) in predpostavke P3.1 zapišemo amplitudno rezervo

22 tan

2tan

2

aM

a

M

αα

φ

απ φω

απω

+

= =

(3.24)

Iz vseh treh enačb (3.22), (3.23) in (3.24) je možno izračunati povezave med amplitudno

rezervo, fazno rezervo, frekvenco fazne rezerve in α . Te so prikazane na sliki 3.8.

46

Slika 3.8: Fazna rezerva proti amplitudni rezervi pri različnih vrednostih α in aφω

Primer:

Objekt z enostavno ničlo v desni polravnini pri 3a = se glasi

( ) 1 38

sP ss s

−= ⋅

+ (3.25)

pri fazni rezervi 40º in amplitudni rezervi 10M dB= (slika 3.8) so

0.61, 0.275, 3 0.275 0.825a aaφ φ φα ω ω ω= = = ⋅ = ⋅ = (3.26)

Tako s pomočjo enačbe (3.24) dobimo

10log 2.6 0.875 2.82M

Mφω ω

α= ⋅ = ⋅ = (3.27)

S spreminjanjem oblike povečujemo φω po pravilu ( )1 3.5L j dBω+ > − , ki ohranja

enako ojačanje in fazno rezervo:

( ) ( )2

2

2.8 7.8 5.53.5 0.67

s sL s P ss s

+ += ⋅

+ + (3.28)

Ta prenosna funkcija je prikazana na sliki 3.9. Njena frekvenca fazne rezerve je 0.93

rad/s, ki je višja od ocenjene vrednosti, temelječa na predpostavki P3.1, za 12%. Potrebno je

47

upoštevati, da je cena tega majhnega povečanja 150% povečanje Mω in zato zelo veliko

povečanje ojačanja šuma na vhodu objekta ter minimalnega časa vzorčenja v digitalnih

sistemih.

3.4.1.1 Razširitev na več ničel v desni polravnini z ali brez zakasnitve

Objekti NMP z enostavno realno ničlo v desni polravnini

Dobro oceno razmerja med amplitudno rezervo, fazno rezervo in frekvenco fazne rezerve

dosežemo z zamenjavo ničel v desni polravnini z enakovredno enostavno ničlo katere faza je

približek prvega reda prvotnih ničel. Preprosta formula: ničle v desni polravnini, ki se nahajajo

na 1, , nz zL , zamenja z , ki ga dobimo iz spodnjega približka prvega reda pri nizki frekvenci

1

1

11 1arg arg1 1 1

n

n

s zs z s zs z s z s z

−− −≈

+ + +L (3.29)

ki daje

1

1 1 1

nz z z≈ + +L (3.30)

Slika 3.9: Zančno ojačanje od ( )L s kjer je φω blizu maksimuma ( )1 3.5L j dBω+ > −

48

Približek je veljaven v frekvenčnem področju kjer so vsi vključeni parametri

nadomestljivi z linearnim razmerjem tani iz z

ω ω≈ . Rezultate je mogoče pojasniti s naslednjimi

prenosnimi funkcijami odprte zanke, ki sledijo predpostavki P3.1

( )

( ) ( )( )( )( )

( )

1 2

2 2

2

33

6 66 6

, 2 3sTd

k sL ss s

s skL ss s skL s e T

s

α

α

α−

−= ⋅

+− −

= ⋅+ +

= =

(3.31)

Enakovredna ničla 0z ničel v desni polravnini od ( )2L s in Pade-jev približek zakasnitve

prenosne funkcije ( )dL s je pri vrednosti 3. Prenosna funkcija je prikazana na sliki 3.10 z

amplitudno rezervo okoli 10dB in fazno rezervo približno 40º. Vse tri prenosne funkcije so

skoraj enake vse do Mω , amplitudna rezerva ( )2L s je le za 1dB nižja od ( )1L s in za 1.5dB

nižja od ( )dL s . Da bi dobili enako amplitudno rezervo za vse tri prenosne funkcije, mora biti

frekvenca fazne rezerve ( )2L s in ( )dL s približno 0.7 /rad s , kar predstavlja odmik manjši od

12% glede na ( )1L s .

49

Slika 3.10: Primerjava treh prenosnih funkcij kjer ( )1L s vsebuje ničlo pri 3, ( )2L s ničlo pri 6,

( )dL s pa zakasnitev 2 3T =

Objekti NMP z enostavno dušeno ničlo v desni polravnini

Po predpostavki P3.1 ( )L s preprosto zapišemo kot

( )2 2

2 2 2

22

k s sL ss s sα

ξω ωξω ω

− += ⋅

+ + (3.32)

Faktor dušenja se nagiba proti 0, njegov Nicholsov diagram konvergira proti trem ravnim

črtam na sliki 3.11. Od tod je razmerje med amplitudno rezervo M, fazno rezervo φ , Mω in

frekvenco fazne rezerve φω za dušeno kompleksno ničlo v desni polravnini pri ω kjer

konvergira 0ξ →

( )1

20log2

M

Mφ

φ π α

ω ω

ωω α

= −

=

=

(3.33)

50

Slika 3.11: Nicholsov diagram prenosne funkcije z enostavno kompleksno ničlo pri različnih faktorjih dušenja 2 1, 1ML sα = =

3.4.2 Nestabilni objekti

Obstoj nestabilnih polov postavlja spodnjo mejo na dosegljivo pasovno širino. Nestabilna

odprta zanka s poli v desni polravnini mora v Nicholsovem diagramu sekati linijo [ )1,− −∞ . To

pomeni, da mora imeti končno spodnjo amplitudno rezervo LM , vendar zgornja amplitudna

rezerva ne sme obstajati. Za zmanjšanje ojačanja šuma senzorja je potrebno zmanjšati visoke

frekvence. Zato mora imeti regulator več polov kot ničel, faza odprte zanke pri visokih

frekvencah pa se mora približati 270− ° , kar predstavlja obstoj Mω . Sledi obravnava: kako najti

minimalni φω pri podani spodnji amplitudni rezervi LM , zgornji amplitudni rezervi HM , fazni

rezervi φ in polih sistema v desni polravnini. Grafično predstavitev vseh vključenih parametrov

predstavlja slika 3.12.

51

Slika 3.12: Definicija zgornje in spodnje amplitudne rezerve (ML, MH), fazne rezerve (φ ), frekvence fazne rezerve ( φω ) in frekvence amplitudne rezerve ( Mω )

3.4.2.1 Nestabilni objekti z enostavnim polom v desni polravnini

Za razpravo uporabimo nestabilno prenosno funkcijo z enostavnim polom v desni

polravnini in končno amplitudno rezervo

( )2

2 21 2n

n n

kL ss a s s

ωξω ω

= ⋅− + +

(3.34)

V splošnem pol normaliziramo s postavitvijo 1a = . Kadar pa je 1a ≠ , nω zamenja naω ,

Mω zamenja Maω in φω zamenja a φω , so enačbe in rezultati sledeči

( )( ) ( )

2

2 22 2 21 2

L n

n n

ML j ωω

ω ω ω ξω ω=

+ − + (3.35)

( ) 1 12 2

2arg tan tan n

n

L j ξω ωω π ω

ω ω− −

= − + − − (3.36)

Za frekvenco fazne rezerve φω pri ( ) 1L j φω = se enačba (3.35) glasi

( ) ( )2 22 2 2 21 2L n n nM φ φ φω ω ω ξω ω ω= + − + (3.38)

52

Za zagotavljanje stabilnostnega pogoja ( )1 0L LM M dB> > mora veljati sledeča

neenakost

( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 42 1n nφ φ φ φω ω ξω ω ω ω− + + > (3.39)

Fazni kot zgornje frekvence amplitudne rezerve Mω iz enačbe (3.36) je ob upoštevanju

( )arg ML jω π= − sledeč

1 12 2

2tan tan n MM

n M

ξω ωπ π ω

ω ω− −

− = − + − − (3.40)

katerega rezultat je

2 2M n nω ω ξω= − (3.41)

Z namestitvijo enačbe (3.41) v enačbo (3.35) dobimo ( HM podan v aritmetični enoti)

( )2

12 1 2

n L

H n n

MM

ωξ ω ξω

=+ −

(3.42)

Za zagotavljanje stabilnostnega pogoja 1HM < (v aritmetični enoti) mora veljati sledeča

neenakost

( )21

2 1 2n L

n n

Mωξ ω ξω

<+ −

(3.43)

Enačbi (3.42) in (3.38) predstavljata tesno povezavo med amplitudnima rezervama LM ,

HM in frekvenco fazne rezerve φω . Naslednje pomembno bistvo je fazna rezerva φ . Iz enačbe

(3.36) ta izpolnjuje

1 12 2

2tan tan n

n

φφ

φ

ξω ωπ φ π ω

ω ω− −

− + = − + − − (3.44)

2 2

2 tan1 tan

n

n

φ φ

φ φ

ξω ω ω φω ω ω φ

−=

− + (3.45)

Z uporabo enačb (3.38, 3.42 in 3.45) dobimo množico grafov v odvisnosti od fazne

rezerve φ , amplitudnih rezerv LM , HM in frekvence fazne rezerve φω za različne ξ . Tako

53

najprej spremenimo obliko enačbe (3.36) z upoštevanjem ω in s ciljem doseči maksimum

( )L jω pri φω ω= . Rezultat je rešitev naslednje enačbe 4. reda

( ) ( ) ( )4 2 2 2 3 2 4 31 2 2 4 2 2 2 0n n n n n n nφ φξω ω ω ξ ω ξω ξω ω ω ξω− + − + − − + − = (3.46)

Ob uporabi φω kot funkcije nω dobimo fazno rezervo iz enačbe (3.44), LM iz enačbe

(3.38), HM pa iz enačbe (3.42). Te povezave so predstavljene na sliki 3.13 pri 0.5ξ = , kjer je

maksimum fazne rezerve pri dani normalizirani frekvenci n aω in minimum pri aφω dosežen

v vsakem primeru.

Slika 3.13: Frekvenca fazne rezerve φω in fazna rezerva φ (zgoraj) ter amplitudni rezervi

(spodaj) proti nω pri 0.5ξ =

Slika 3.14 prikazuje odprto zanko v Nicholsovem diagramu za n aω = 3.65, 5.3, 8.3,

14.5, 33 in 100 s fazno rezervo 30, 40, 50, 60, 70 in 80º. Slika 3.15 je enaka kot slika 3.14 le s

1.0ξ = . Očitno je, da je fazna rezerva nižja kot pri 0.5ξ = , vendar ima višjo amplitudno

rezervo.

54

Slika 3.14: Nicholsov diagram enačbe (3.34) pri 0.5ξ = in različnih vrednostih nω

3.4.2.2 Primeri in omejitve

V mnogih reguliranih sistemih v praksi je glavni interes zmanjšanje nω čim bolj je to

mogoče. Z njim zmanjšamo ojačanje šuma senzorja na vhodu objekta. Rezultate iz slike 3.13

uporabimo pri iskanju omejitev odprte zanke polov v desni polravnini.

Primer:

Predvidevajmo, da potrebujemo fazno rezervo 40φ = ° . Iz slike 3.13c odčitamo

5.3n aω = , saj predstavlja najnižjo vrednost, ki jo lahko uporabimo. Iz istega grafa odčitamo

še ostale vrednosti 1.8aφω = , 5.8LM dB= ter 7.2HM dB= iz slike 3.13d. Ti rezultati se

ujemajo v Nicholsovem diagramu na naslednji sliki 3.14, ki prikazuje nekatere ( )L jω ustrezne

enačbi (3.34).

Prenosne funkcije odprte zanke v praksi so bolj zapletene kot tukaj prikazane, saj

vsebujejo več polov in ničel kot enačba (3.34). Vendar pa osnovne značilnosti (v smislu najnižje

pasovne širine) ne glede na poenostavljeno strukturo enačbe (3.34) ostajajo enake.

55

Slika 3.15: Nicholsov diagram enačbe (3.34) pri 1ξ = in različnih vrednostih nω

3.4.2.3 Razširitev na več polov v desni polravnini

Objekti s enostavnim polom v desni polravnini

Razumno oceno razmerja med amplitudno rezervo, fazno rezervo in frekvenco fazne

rezerve dosežemo z zamenjavo polov v desni polravnini z enim enakovrednim polom, katerega

faza je približek prvega reda glede na originalne pole pri visokih frekvencah. Razlog je prevlada

območja pri visokih frekvencah nad pasovno širino enačbe. Preprosta formula: pole v desni

polravnini postavljene na 1, , np pL zamenja pol p , ki je približek prvega reda

1

1

11 1arg arg1 1 1

n

n

p sp s p sp s p s p s

++ +≈

− − −L (3.47)

ki daje

1 np p p≈ + +L (3.48)

Razlog za izbiro tega približka je v frekvenčnem področju v katerem za vse parametre

velja ipω = in približek tani iz z

ω ω≈ . Približek je ponazorjen s naslednjo prenosno funkcijo

56

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

1 2 2

2 2 2

4 84 21.2 21.2 1 4

1 3 81 3 21.2 21.2 1 4

sL ss s s s

s sL s

s s s s s

+= ⋅

− + + +

+ += ⋅

− − + + +

(3.49)

( )1L s ima strukturo enačbe (3.34) z največjo fazno rezervo 40° . ( )2L s ima enako

strukturo, kjer je ( ) ( )4 4s s+ − zamenjan s približkom ( )( ) ( )( )1 3 1 3s s s s+ + − − . Obe

prenosni funkciji sta prikazani na sliki 3.16. Očitno je, da so fazna rezerva, zgornja amplitudna

rezerva in frekvenca fazne rezerve ( )2L s zelo blizu ( )1L s . Spodnja frekvenca amplitudne

rezerve ( )2L s je za 1.5dB nižja od tiste v ( )1L s , kar predstavlja približno 12% vsote

amplitudnih rezerv H LM M+ .

Slika 3.16: Nicholsov diagram ( )1L s in ( )2L s

Objekti z visoko pod-dušenimi poli v desni polravnini

Po predpostavki P3.1 je ( )L s zapisan v obliki

( )2 2

2 2 2

22

n n

n n

s skL ss s sα

ξω ωξω ω

+ += ⋅

− + (3.50)

57

Ko se faktor dušenja ξ približuje proti 0 njegov Nicholsov diagram konvergira k

minimalni fazi pri frekvencah višjih od nω . Takrat jo obravnavamo kot prenosno funkcijo z

minimalno fazo v tem frekvenčnem področju.

58

4 OPIS METODE QFT

4.1 Uvod

V nadaljevanju sledi kratek pregled obstoječih algoritmov in postopkov metode QFT, ki

so potrebni pri oblikovanju vzorca ter pridobivanju in oblikovanju mejne linije.

4.1.1 Različni pristopi pri oblikovanju vzorca

Vzorec objekta je množica točk, ki predstavlja frekvenčni odziv sistema pri izbrani

frekvenci. V literaturi se vzorci pojavljajo tudi kot sklop vrednosti ali sklopi slik [2]. Problem

načrtovanja vzorcev tako imenujemo tudi problem oblikovanja vzorca ali problem

preračunavanja sklopa vrednosti.

Obstajajo različni pristopi pri reševanju problema načrtovanja vzorca. Najenostavnejši

način je mrežna metoda. Pri tej metodi je vsak parameter postavljen v mrežo, za katero se

vrednosti prenosne funkcije izračunavajo za vsako možno kombinacijo mrež parametrov.

Horowitz [21] je za načrtovanje vzorca predlagal mrežo iz minimalno treh točk za vsak negotov

parameter posebej.

Mrežna metoda je enostavna in uporabna brez znanih omejitev glede na vrsto

parametričnih odvisnosti ali oblik prenosnih funkcij. Vendar ima nekaj pomanjkljivosti:

• zahteva veliko računanja (še posebej kadar imamo veliko število parametrov),

• nastanejo notranje točke vzorca zaradi katerih so v določenih primerih oblika in

njegove meje nerazločne,

• izbira primernih mrež je zahtevna (zaradi slabe izbire je mogoče, da nekaj kritičnih

točk izpustimo).

Cohen [37] predstavi rekurzivno mrežno metodo za izračunavanje sklopov prenosnih

funkcij s parametrično negotovostjo. Predlaga razširitev mrežne metode na način, da se mreža

lokalno prilagodi in s tem doseže predpisana razdalja med sosednjima točkama v sklopu

vrednosti. Prednost tega načina v primerjavi z enostavno mrežno metodo je, da je mogoče

vnaprej določiti ločljivost sklopa vrednosti. S tem se zmanjša število potrebnih preračunavanj.

59

Da načrtovalec izbere pravilno kombinacijo parametrov, ki definirajo meje, mora imeti

poglobljeno znanje o sistemu in z njim povezanimi negotovostmi. V istem delu avtorji

predstavijo algoritem za izračun zunanjih mej tako nastalih vzorcev.

East [38], [39] predlaga algoritem za oblikovanje krožnega vzorca objektov v Nyquistovi

ravnini. Postopek načrtovanja upošteva ničle in pole prenosne funkcije z nekoreliranimi

intervalnimi koeficienti. Prednosti metode so predvsem v tem, da je algoritem enostavno

realizirati s računalnikom, ter da so zunanje meje vzorca enostavno določljive. Rezultati

algoritma so izključno konveksne oblike vzorcev.

Bailey [40] predlaga algoritem za oblikovanje vzorca na intervalu racionalne prenosne

funkcije. Pri tej metodi upoštevamo preslikave, ki jih je mogoče ponazoriti kot razmerje med

polinomom števca in polinomom imenovalca. Predpostavimo, da na jω -osi ni polov ali ničel.

Kadar vsi polinomski koeficienti neodvisno nihajo, sta meji vzorcev imenovalca in števca

pravokotnika v kompleksni ravnini, ki ju je mogoče izračunati. Dejansko mejo vzorca v

amplitudno/fazni ravnini izračunamo z upoštevanjem različnih točk iz teh dveh vzorcev.

Rezultat metode so dejanske meje vzorca. Kadar pa so posamezni koeficienti polinomov

odvisni, ali kadar obstaja odvisnost med posameznimi polinomi, je končni rezultat le približek

zunanjih mej vzorca.

Barmish [41] predstavi koncept dekompozicije z drevesno strukturo (TSD), kjer je v

kompleksni ravnini mogoče mejne sklope vrednosti zapletenih prenosnih funkcij izračunati z

osnovnimi računskimi operacijami +,-,*,/ (med mejnimi sklopi vrednosti elementarnih

prenosnih funkcij).

Gutman [42], [43] predlaga algoritem za izračun sklopov vrednosti negotove prenosne

funkcije (definirane s koeficienti v realni obliki) z negotovim zamikom in nestrukturirano

negotovostjo. Pri tem predpostavimo, da vsak negotov parameter pripada omejenemu in

enostavno povezanemu intervalu. Predpostavimo še, da so vsi parametri neodvisni drug od

drugega ter da so posamezni členi formule prav tako neodvisni. Tako najprej izračunamo robove

vzorca osnovnih členov. Nato izvedemo dvodimenzionalni pregib in dobimo končne meje.

Prednost te metode je, da je mreža definirana v Nicholsovem diagramu, kjer je prikazan končni

sklop vrednosti. Metoda predstavlja primer TSD pristopa.

Fialho [44] predlaga algoritem za direktni izračun mej vzorca v Nicholsovi ravnini za

racionalne prenosne funkcije z negotovostjo neodvisnih parametrov. Metoda temelji na

konceptu Kharitonovih polinomov [45]. Vzorec je pri katerikoli frekvenci mogoče oblikovati z

upoštevanjem največ 32 Kharitonovih členov.

60

Ohta [46] uporabi aritmetiko nekonveksnih poligonskih intervalov (NPIA), da oceni

sklope vrednosti prenosnih funkcij v sprejemljivem času. NPIA je izračun, definiran na sklopu

vseh poligonov v kompleksni ravnini. Obravnava poseben razred prenosnih funkcij, katerih

imenovalci in števci so linearne funkcije negotovih parametrov.

Eszter in Pena [47] obravnavata sisteme, ki nastanejo neposredno iz aplikacijskih

problemov, vključno s tistimi z večkrat povezanimi sklopi. Predstavita razširitev TSD koncepta.

V prvem koraku povezane sisteme razdelimo na podsisteme. V drugem pa sklope vrednosti

pridobimo s kombiniranjem vzorcev podsistemov z delovanjem znotraj mej njihovih sklopov

vrednosti. Obravnava tudi delitveni algoritem za operacije med večkrat povezanimi sklopi.

Teorem mapiranja (»mapping theorem«) [45] podaja način izračuna konveksnega ovoja

sklopa vrednosti linearnih negotovih sistemov. Konveksni ovoj predstavlja enostaven poligon,

katerega vrhove dobimo iz vrhov področja negotovih parametrov. Barmish in Tempo [48] ta

teorem razširita na bolj splošni razred negotovih sistemov s pomočjo posplošenega teorema

mapiranja.

Chen in Ballance [50] predstavita algoritem za neposredno računanje mej vzorca

negotovega sistema z linearnimi in nelinearnimi negotovostmi. Negotovi sistemi so omejeni na

sisteme, ki nimajo izključno imaginarnih polov in tiste, pri katerih v desni polravnini ni

kompenziranih (okrajšanih) ničel in polov. Postavita teorijo, da je mogoče pri takih prenosnih

funkcijah meje izračunati samo z robovi negotovih področij ter kritičnimi notranjimi točkami.

Kritične notranje točke je mogoče identificirati z rešitvijo sklopa enačb z uporabo programske

opreme. Mejo izračunamo na robovih ter najdenih kritičnih notranjih točkah. V primerjavi z

metodami po Kharitonovem teoremu so vzorci, ki jih dobimo po tej metodi, kompaktnejši.

Nataraj in Sardar predlagata dva IATG algoritma v [51] in [52]. Splošna lastnost teh

algoritmov je možnost apliciranja na katerokoli prenosno funkcijo ter da nastali vzorci zmeraj

vsebujejo originalni vzorec.

Algoritmu, predstavljenem v [51], ponavljajoče parametre razdelimo s pomočjo

arbitrarnega razdelitvenega faktorja, katerih funkcije amplitudnih velikosti uporabimo na

kombinacijah parametrov. Vzorec ocenimo z uporabo vzporedne ocene funkcij zaradi česar je

algoritem zelo hiter. Pomanjkljivosti te metode sta manjkajoča navodila za izbiro razdelitvenih

faktorjev ter nezmožnost ocenitve rezultatov metode.

Algoritem predstavljen v [53] uporablja prilagodljivo razdelitev parametrov, s katerim

nastanejo vzorci arbitrarne točnosti. Algoritem pri vsaki ponovitvi uporabi korak posplošenega

Gauss-Seidelovega algoritma, ki pospeši proces konvergence. Algoritem je precej počasen, saj

je vsak pododdelek ponovno razdeljen na zaporedni način.

61

4.1.2 Ekstrakcija mejne linije

Lasky in Ravani [54] predstavita metodo za hitro oceno mejne linije v Nicholsovem

diagramu, ki temelji na oceni konveksnega ovoja, katere rezultat je prekrivajoča mejna linija.

Metoda je uporabna za sisteme z negotovimi členi z mrtvim časom.

Agamennoni [55] predstavi algoritem za ekstrakcijo konveksnega ovoja meje vzorca iz

danega vzorca v kompleksni ravnini. Algoritem vključuje premikanje vzdolž meje vzorca v

korakih izbranega kota.

Boje [56] predstavi algoritem za eliminacijo notranjih točk danega vzorca, s čimer

zmanjša število točk vzorca v Nicholsovi ravnini.

4.1.3 Oblikovanje mejne linije

Ključni korak metode QFT predstavlja preslikava lastnosti zaprte zanke v frekvenčni

domeni v domene v Nicholsonovem diagramu z dodatki faznih in amplitudnih vrednosti

regulatorja. Te domene imenujemo meje metode QFT. Rezultat je regulator nominalne prenosne

funkcije zanke, ki je znotraj meja pri vsaki izbrani frekvenci.

V posebnem razredu racionalnih funkcij Fialho [44] uvede metodo izračunavanja mej.

Pokaže, da je za ta razred objektov mogoče natančno izračunati meje z uporabo največ 32 eno-

parametričnih družin racionalnih funkcij, s ti. Kharitonovimi členi.

Za posebni razred splošnih objektov, kjer sta tako števec kot imenovalec polinoma, Zhao

in Jayasuriya [57] predlagata računsko učinkovit algoritem za meje robustne stabilnosti in

odpravo motenj. Meje izračunamo z reševanjem sklopa simultanih neenakosti pri vsaki

frekvenci z uporabo Kharitonovih polinomskih rezultatov. Izpeljemo eksplicitne enačbe za

določitev frekvenčno odvisnih prepovedanih regij, ki se jim ( )0L s mora izogniti. Te enačbe

neposredno uporabimo za oblikovanje mej, pri tem pa ni potrebe po običajnem

enodimenzionalnem iskanju faze prenosne funkcije nominalne zanke.

V nadaljevanju sledi pregled algoritmov za splošne strukture objektov in negotovosti.

V prvotnem zapisu metode QFT [58] so bile meje dosežene s poskusi in napakami, z

manipulacijami vzorca objektov v Bodejevem diagramu. Kasneje Horowitz in Sidi [59]

predlagata enak proces v Nicholsovem diagramu.

Longdon in East [60] predlagata enostavno geometrijsko tehniko za izračunavanje mej z

določeno občutljivostjo z uporabo ravnila. Metoda je natančna v primeru, kadar je mogoče

odstopanja parametrov objekta ponazoriti s konveksnim poligonom. Metoda je primerna za

62

ročno ali računalniško uporabo. Njena implementacija je enostavnejša kot algoritemsko iskanje

s poskusom in napako.

East [38] predlaga postopek razvit posebej za CAD sintezo prenosnih funkcij zanke

neposredno iz podatkov variacij objekta. Ballance in Gawthrop [61] nato razvijeta QFT program

za načrtovanje reguliranih sistemov, ki temeljijo na Eastovih zamislih. Vendar v Eastovem

pristopu obstajajo določene napake [62].

Nekateri avtorji predlagajo algoritem za oblikovanje mej na podlagi iskanja (npr. v [63] in

[64]). Vendar so ti algoritmi razmeroma počasni zaradi same narave iskalnega procesa.

Kot posledica tega več avtorjev predlaga učinkovitejše algoritme za oblikovanje mej, ki

temeljijo na pristopu kvadratnih neenakosti. Wang [65] predstavi neenakost za pridobivanje mej

na nominalni prenosni funkciji ( )0L s za doseganje robustnih sledilnih lastnosti. Neenakost

izpeljemo glede na nominalni objekt 0L , negotov objekt in sledilne mejne lastnosti. Avtorji

pokažejo, da je meja pri dani frekvenci mejna linija sklopa krožnic v kompleksni ravnini.

Chait in Yaniv [66] predstavita lastnosti zaprtih zank in meje v obliki kvadratnih

neenakosti. Obdelata širok spekter problemov robustnih učinkov: amplitudne in fazne meje,

odpravljanje šuma, odpravljanje motenj izhoda in vhoda objekta, ujemanje modelov, sledljivost

in učinek. Za vsakega od teh problemov podata enostaven algoritem oblikovanja mej, ki temelji

na sklopu kvadratnih neenakosti. Pri objektu predvidevata le strukturirano negotovost.

Chait in Yaniv [67] prav tako predstavita neposredno metodo QFT v z-domeni za

diskretne negotove sisteme z vzorčenimi podatki. Meje z-domene izračunamo iz sklopa

kvadratnih neenakosti, ki vzorčene podatke preslikajo v meje metode QFT (podobno kot pri

zveznih časovnih sistemih). Oblikujejo se meje za robustno stabilnost, robustno ojačanje in

fazni kot. Neposredna metoda z-domene zaradi uporabe bilinearne transformacije odpravi

problem ovoja.

Nordgren [3] predstavi objekte modelov z ničlami in poli v desni polravnini, časovnimi

zamiki in določenimi visoko frekvenčnimi nestrukturiranimi negotovostmi. Robustno stabilnost,

sledenje in odpravljanje motenj izpeljemo glede na funkcije občutljivosti in urejene negotovosti

objekta. Thompson [68] opisuje strukturo mej pri nizkih frekvencah in poda izraz v obliki

zaprtega gradienta.

Chait [33] razširi pristop kvadratnih neenakosti na objekte z nestrukturiranimi

negotovostmi.

Rodrigues [34] predstavi izboljšan algoritem za izračun mej z uporabo kvadratnih

neenakosti. Pri izračunu mej metode QFT se točnost meje povečuje z večanjem števila točk

63

vzorca, ki jih upoštevamo pri izračunu, vendar se pri tem povečuje tudi zahtevnost računanja.

Uporaba verzije Edgevega teorema z realnim korenom predvideva, da je realni koren sklopa

polinomov enak realnemu korenu sklopa robov. V [45] Rodrigues predstavi teoretične rezultate,

iz katerih je razvidno, da je pri izračunu mej potrebno upoštevati samo vrhove konveksnega

ovoja. Na ta način dobimo natančnejšo mejo z uporabo natančnejših konveksnih ovojev vzorca,

ne da bi pri tem povečali zahtevnost računanja.

Eitelberg [69] predstavi metodo, ki zagotavlja sledenje tolerance napake kljub

negotovostim v povratni vezavi sistema. Postopek temelji na občutljivostni funkciji in ne

vključuje dodatnega načrtovanja v primeru, kadar sledenje vsebuje nično nominalno napako

(»zero nominal error«).

4.1.4 Povzetek

Obstoječi algoritmi za oblikovanje mej temeljijo na točkah in uporabljajo le končen sklop

objektov iz vzorca objektov. Za oblikovanje mej uporabimo približek končnega vzorca, ki pa ne

daje nikakršnih zagotovil, da so meje veljavne za celotno družino objektov. Meje v algoritmih

izračunamo le na končnem številu faznih vrednosti regulatorja, ki jih izbere uporabnik

(ponavadi v faznem razponu [ ]2 ,0π− , vsakih pet stopinj). Mej pri ostalih faznih vrednostih ne

izračunavamo, temveč jih linearno interpoliramo iz sosednjih (izbranih) faz. Tako ni zagotovil,

da so meje veljavne v celotnem faznem razponu - v splošnem ni zagotovil, da so meje,

izračunane s točkovnimi algoritmi, veljavne za celotno družino objektov in celotno fazno

območje regulatorja.

4.2 Oblikovanje vzorcev

Prvi in ključni korak metode QFT predstavlja oblikovanje vzorcev negotovih objektov. To

pomeni ugotavljanje nujnih notranjih točk negotovih parametrov, ki ležijo na mejah vzorcev

objekta. Meje vzorcev so podane z robovi negotovih parametrov in identificiranimi notranjimi

točkami.

Pri metodi QFT je ključno opisati objekt z negotovostmi, vključno s parametričnimi,

nestrukturiranimi in mešanimi negotovostmi v frekvenčni domeni. Zato je nujno potrebno

poznavanje analize frekvenčnih lastnosti in izračunavanja frekvenčnih odzivov takih objektov.

Pri metodi QFT se vse negotovosti preoblikujejo v vzorce objektov v Nicholsovem ali

Nyquistovem diagramu. Termin vzorec se nanaša na skupino frekvenčnih odzivov negotovih

objektov. Za preprosto povezane vzorce je potrebno in hkrati tudi dovolj delati samo z mejami

vzorcev po metodi QFT [2].

64

Najbolj pogosta metoda oblikovanja vzorcev objektov je omejevanje nastavitev

parametrov in izračun vrednosti prenosnih funkcij v diskretnih točkah parametrov. To je

računalniški pristop, katerega rezultat je veliko število nepotrebnih notranjih točk v vzorcih. Pri

vzorcu s q negotovimi parametri, kjer se za vsak parameter uporablja n mrežnih točk, bi se

vrednost prenosne funkcije izračunala qn krat. Tako bi npr. pri vzorcu s petimi negotovimi

parametri bilo potrebno preračunati prenosno funkcijo 100.000-krat, če bi bil vsak parameter

razdeljen 10-krat. Ker je to prvi korak v procesu oblikovanja povzroča veliko breme v sledečih

izračunih mej robustne stabilnosti in mej robustnega obnašanja [1].

Zaradi tega je bilo v preteklosti predlaganih več pristopov poenostavitve procesa

oblikovanja vzorcev za objekte s negotovimi strukturami [12]. Bailey in Hui [70] sta preučila

problem tako, da so negotovi parametri v števcu in imenovalcu neodvisni in sorodni. Fu [71] in

Barlett [72] trdita, da ko so negotovi parametri v števcu in imenovalcu neodvisni in sorodni, se

meje vzorcev oblikujejo z robovi množice parametrov. S pomočjo sistema Kharitonovega

polinoma in Kharitonovega segmenta so Tesi in Vicino [73] ter Keel in Bhattacharyya [74, 75]

pokazali, da se frekvenčni odziv lahko doseže s Kharitonovim polinomom ali Kharitonovim

segmentom.

Pri oblikovanju strukture negotovih parametrov ni omejitev. V splošnem je razvit

postopek za oblikovanje vzorca negotovih objektov, vključno z nelinearnimi in multilinearnimi

perturbacijami. Ta temelji na Jacobian-ovi funkciji, ki namesto direktnega izračuna vzorca

problem preoblikuje na testiranje ničle negotovega polinoma. Posledično je ugotovitev meje

vzorca enaka testiranju mej ničle negotovega polinoma.

4.2.1 Izračun meje vzorca

V negotovem objektu

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

0 1

0 1

,,

,

m iii

n iii

n q n q sN s qP s q

D s q d q d q s=

=

+= =

+∑∑

(4.1)

predstavlja q vektor negotovih parametrov. Z zgornjo strukturo lahko opišemo skoraj vse fizične

objekte s strukturiranimi negotovostmi vključno z multilinearnimi in nelinearnimi

negotovostmi. Vsak od p negotovih parametrov qi se neodvisno nahaja znotraj intervala

,i iq q . Vektor negotovih parametrov q pripada množici

: , , 1, ,pi i iQ q q R q q q i p= ∈ ≤ ≤ = K (4.2)

65

Pri fiksni frekvenci bo frekvenčni odziv objekta (4.1) z negotovimi parametri q Q∈

predstavljal rezultat v kompleksni ravnini, ki se imenuje vzorec objekta, definiran z

( ) ( ) , :P P j q q Qω ω= ∈ (4.3)

V metodi QFT se analiza in sinteza reguliranega sistema izvajata v Nicholsovem

diagramu. V praksi je dokazano [30], da točke parametrov, ki prispevajo k mejam vzorcev v

Nyquistovem diagramu, prispevajo tudi k tistim v Nicholsovem diagramu.

Pri obravnavi primera predpostavimo:

• P4.1: objekt (4.1) nima izključno imaginarnih polov za vsak q Q∈ ,

• P4.2: objekt (4.1) nima kompenziranih ničel in polov v desni polravnini za vsak

q Q∈ .

Naj bo

( ) ( ) ( ), , , ,F q y N j q y D j qω ω ω= − × (4.4)

kjer y predstavlja kompleksno spremenljivko, ( )ωϒ pa množico y točk za katere velja

( ), , 0F q yω = :

( ) ( ) : , , 0,y F q y q Qω ωϒ = = ∈ (4.5)

Množico ( )ωϒ imenujemo ničelna množica od ( ), ,F q yω . Sledeč predpostavkam P4.1

in P4.2 je enostavno pokazati da je

( )P P ω= (4.6)

samo če velja

( )y ω∈ ϒ (4.7)

in

( )P P ω= ∂ (4.8)

samo če velja

( )y ω∈∂ϒ (4.9)

kjer ( )ω∂ϒ označuje mejo množice ( )ωϒ .

66

Zaradi teh predpostavk je izračun vzorca enakovreden testiranju ničle polinoma

( ), ,F q yω pod vplivom negotovega parametra q Q∈ . Tako sta na osnovi predpostavk P4.1 in

P4.2 P in ϒ enakovredna.

Sedaj lahko funkciji ( ),P j qω in (4.1) zapišemo kot

( ) ( ) ( )( ) ( )

, ,,

, ,r i

r i

N q jN qP j q

D q jD qω ω

ωω ω

+=

+ (4.10)

Postavimo

y jσ θ= + (4.11)

kjer sta σ in θ realni spremenljivki. Takrat enačba (4.4) postane

( ) ( ) ( )( )

, , , , , ,

y y i i y i

F q y F q y j F q y

N D D j N D D

ω ω ω

σ θ θ σ

= ℜ + ℑ

= − + + − − (4.12)

Definicije

• D4.1: notranje točke množice negotovih parametrov Q se dodelijo vsem točkam razen

tistim na robovih množice parametrov Q,

• D4.2: leva stran (polravnine) množice negotovih parametrov Q se nanaša na

podmnožico množice parametrov Q, kjer se levo ležeči (polravnine) parametri lahko

premikajo v poljubnih smereh, vsi ostali pa so določeni v njihovih končnih točkah.

Izrek

Objekt (4.1) z negotovimi parametri Pq Q R∈ ⊂ izpolnjuje predpostavki P4.1 in P4.2

edino takrat, kadar točke množice negotovih parametrov Q (2) prispevajo k meji vzorca

( ),P j qω v kompleksni ravnini.

Glede na definicije in enačbe sklepamo:

• I4.1: upoštevamo le točke na robu množice negotovih parametrov Q,

• I4.2: za vse levo ležeče parametre množice negotovih parametrov Q, sestavljene iz

1 1 2, , , , , , 1,2, ,

l

Tll l lq q q l l l p ∈ ∈ K K K in 2 l q≤ ≤ velja, da točke zadostujejo

pogojema

67

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )1

1

, , , ,

2, , , ,

l

l

l l

l l

l l

l l

F q y F q y

q qrank

F q y F q y

q q

ω ω

ω ω

∂ ℜ ∂ ℜ ∂ ∂ < ∂ ℑ ∂ ℑ ∂ ∂

L

L

(4.13)

in

( ), , 0lF q yω = (4.14)

4.2.2 Dokaz

Za osnovo uporabimo objekt z dvema negotovima parametroma. Tega nato razširimo na

objekt s p negotovimi parametri. Dokazati moramo, da točke iz množice Q, ki ne izpolnjujejo

pogojev izreka, ne prispevajo k meji vzorca. Domnevamo, da obstaja točka 0y na meji množice

ničel ν od ( )0 0, ,F q yω , tj. na meji vzorca, kjer pa točka 0q iz množice negotovih parametrov

Q ne izpolnjuje pogojev izreka I4.1 in I4.2. To pomeni da

( )0 0, , 0F q yω = (4.15)

Taylorjeva razširitev funkcije ( ), ,F j q yω v točki ( )0 0,q y prinaša

( ) ( ) ( )

0 0

0 0 0 0 0 0, , , , , ,

q q y y

F q y F q q y y F q y

F Fq yq y

δ ω ω δ δ ω

δ δ= =

= + + −

∂ ∂= +

∂ ∂

(4.16)

Postavimo y jσ θ= + . ( )0 0, ,F j q yω predstavlja kompleksno funkcijo, 0q pa negotov

parameter, ki se ne pokorava pogoju izreka I4.1. To pomeni, da 0q ne leži na robovih množice

negotovih parametrov Q. Zato lahko zgornjo enačbo zapišemo kot

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

0

1 2 1

2

1 2 q q

F Fq q qF

MqF F F

q q

δδ δσδδ δθ

=

∂ ℜ ∂ ℜ ∂ ∂ℜ = + ℑ ∂ ℑ ∂ ℑ

∂ ∂

(4.17)

Kjer Fℜ in Fℑ predstavljata realni in imaginarni del funkcije F . M predstavlja

matriko, ki je rezultat F y∂ ∂ pri 0y y= . Ker 0q ne izpolnjuje pogoja (4.13) pomeni, da ima

matrika

68

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

0

1 2

1 2 q q

F Fq q

F Fq q

=

∂ ℜ ∂ ℜ ∂ ∂ ∂ ℑ ∂ ℑ

∂ ∂

(4.18)

popolni rank. To pomeni, da za katerikoli σδ in θδ obstajata 1qδ in

2qδ tako da velja

0FF

δδ

ℜ = ℑ

(4.19)

To izhaja iz

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , , , ,F q q y y F q y F q yω ω δ ω+ + = + (4.20)

katerega rezultat je

( ) ( )0 0 0 0, , , , 0F q q y y F q yω ω+ + = = (4.21)

To pomeni, da je ( )0 0, ,F q q y yω + + prav tako v množici ν oziroma vzorcu objekta. Ker

za vsako dovolj majhno perturbacijo v katerokoli smer na 0σ in 0θ (na 0y ) obstaja q Q∈ tako,

da velja y yδ ν+ ∈ . Ta predstavlja točko 0y , ki ni element množice ν∂ (ni na meji vzorca

objekta). To pa je v nasprotju s predpostavko.

Objekt s p dimenzionalnimi negotovimi parametri je sestavljen iz p-dimenzionalnega

mnogokotnika in vsebuje stranice od p-te to 0-te razsežnosti. Zato moramo preveriti ali točke

vsake l-stranice ( )2p l≤ ≤ prispevajo k meji vzorca. Preučimo l-stranico množice negotovih

parametrov Q sestavljeno iz 1 2 1 2, , , , , , , 1, 2, ,

l

ll l l lq q q q l l l n = ∈ K K K . To pomeni, da so

ostali p l− negotovi parametri določeni v njihovih končnih točkah. Glede na zgornjo razpravo

enačba (4.17) postane

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

11

10

l

l

l l l

ll l

ll l

q q

F Fqq qF

MF F F q

q q

δδ δσδ δθ

δ

=

∂ ℜ ∂ ℜ ∂ ∂ℜ

= + ℑ ∂ ℑ ∂ ℑ ∂ ∂

L

ML

(4.22)

Torej le točke na l-stranici izpolnjujejo pogoj (4.14) in so razporejene na vzorec objekta.

Rezultat je dosežen.

69

4.2.3 Opombe

• O4.1: Množica P ni nujno enostavno povezana.

• O4.2: Pri 0ω = funkcija ( )0, ,F q y postane funkcija realnih vrednosti in enačba

(4.13) več ne drži. A to v tem primeru ni pomembno, saj za izračun vzorca

potrebujemo le minimum in maksimum realnih vrednosti funkcije ( ) ( )0 0n q d q .

• O4.3: V enačbi (4.13) ni možno, da bi bila celotna vrstica matrike enaka 0, saj je

funkcija ( ), ,F q yω ali prenosna funkcija ( ),P j qω neodvisna od ustreznega

parametra il

q . Zato je testiranje enačbe (4.13) enako rešitvi spodnjih 1l − enačb

( ) ( )

( ) ( )

, , , ,

0, , , ,

l l

l li j

l l

l li j

F q y F q yq q

F q y F q yq q

ω ω

ω ω

∂ℜ ∂ℜ

∂ ∂=

∂ℑ ∂ℑ

∂ ∂

(4.23)

kjer je i določen v območju 1,2, ,i l= K , j v območju 1, 2, ,j l= K in j i≠ .

S kombinacijo enačbe (4.23) in pogoja (4.14) dobimo množico 1l + enačb in 2l +

spremenljivk 1 2, , ,

ll l lq q qK , σ in θ . Po zamenjavi spremenljivk 1 2, , ,

ll l lq q qK dobimo

krivuljo ( ), 0H σ θ = , ki opisujejo točke vzorca ( ),P j qω v Nicholsovem diagramu.

Te točke so razporejene na kritičnih notranjih linijah kjer izpolnjujejo pogoje (4.13) in

(4.14).

• O4.4: Izračun frekvenčnega odziva negotovega objekta je potreben le v točkah na

robovih ter v tistih, ki izpolnjujejo pogoja (4.13) in (4.14). Potrebno je preveriti ali

obstajajo točke na l-stranici množice negotovih parametrov Q, ki izpolnjujejo pogoje

(4.13) in (4.14). Prav tako je potrebno rešiti množico 1l + enačb. Simbolično

računanje ima pomembno vlogo v tem postopku. Ena od teh je izračun Jacobianove

matrike. Ker notranje točke na l-stranici izpolnjujejo pogoje (4.13) in (4.14)

sestavljajo krivuljo (če le-te obstajajo), kar pomeni, da obstaja neskončno numeričnih

rešitev za množico enačb. V splošnem so to nelinearne enačbe. Vendar, kot je dobro

znano, so koeficienti prenosne funkcije polinomske funkcije negotovih parametrov. Za

večino realnih sistemov v praksi velja, da je eksponent polinomov negotovih

parametrov ( )in q in ( )id q v (1) nižji od 3. Te enačbe rešujemo z obstoječimi

programskimi orodji za simbolično računanje (npr. Matlab).

70

Postopek za izračun vzorca objekta je sledeč:

1. Objektu (4.1) s negotovimi parametri določimo frekvenco ω in postavimo l p= ,

2. Z reševanjem sklopa enačb (4.13) in (4.14) identificiramo točke na l-stranici, ki prispevajo k

meji vzorca.

3. Postavimo 1l l= − in ponavljamo korak 2 dokler ne pridemo do 2l = .

4. Nazadnje izračunamo vrednosti ( )P jω na robovih in v točkah dobljenih v koraku 2 in 3.

4.3 Princip načrtovanja

Cilj robustnega vodenja je zadovoljivo performančno obnašanje vodenega sistema kljub

nepopolnemu poznavanju objekta. Zadovoljivo performančno obnašanje lahko opišemo kot

ojačanje ( )H jω prenosne funkcije zaprte zanke, ki leži v dovoljenem območju Bodejevega

diagrama na sliki 4.1 (osenčeno polje):

( ) ( ) ( )0 j H j jα ω ω β ω≤ ≤ ≤ (4.24)

Amplituda želene prenosne funkcije zaprte zanke je do določene frekvence enaka 0dB,

nato pa hitro pada. Ponavadi so meje ( )α ω in ( )β ω določene tako, da je sprememba

( ) ( )β ω α ω− dovolj majhna, da ne povzroča nestabilnosti in zadovolji performančne kriterije

v frekvenčnem območju hω ω< . Pri izbiri mej ( )α ω in ( )β ω je nerealno določiti ozko

spremembo nad frekvenco hω , saj je naraščanje občutljivosti sistema v visoko frekvenčnem

območju neizogibno. Predvidevamo, da so vrednosti ( ) ( )β ω α ω pri hω ω? zelo velike,

medtem ko so dejanske vrednosti ( )α ω in ( )β ω majhne.

71

Slika 4.1: Meje tolerance za ojačanje zaprte zanke

Za doseganje robustnosti je potrebno zadostiti vsem pogojem, prikazanim na sliki 4.1. Pri

objektih z neminimalno fazo moramo za fazo prenosne funkcije zaprte zanke dodatno definirati

tolerančne meje [6].

Elektromehanski objekti so lahko predstavljeni kot modeli, ki vsebujejo strukturirano in

nestrukturirano odstopanje [11]. Nestrukturirana odstopanja so zajeta z QFT metodo preko

omejitve amplitude zaprte zanke. Omejitev zagotavlja stabilnost za vse objekte iz družine

objektov z nestrukturiranim odstopanjem.

Slika 4.2: Zaprta zanka sistema

72

Cilj metode QFT za družino objektov z mešano negotovostjo je določitev točno določenih

parov natančnih, racionalnih in stabilnih prenosnih funkcij ( )C s in ( )F s v sistemu z dvema

prostostnima stopnjama (»2-DOF«) prikazanim na sliki 4.2, na način, da dosežemo:

• robustno stabilnost: zaprta zanka sistema je stabilna za vse objekte iz družine

objektov z mešano negotovostjo oziroma sistem je stabilen za vse perturbirane modele

v okolici nominalnega, vključno z najslabšo možnostjo nezanesljivosti,

• robustni učinek: vsi objekti družine izpolnjujejo zadane karakteristike v časovni in

frekvenčni domeni (čas vzpona, prenihaj, pogrešek, ...) oziroma sistem zadošča

zahtevam glede obnašanja za vse perturbirane modele v okolici nominalnega, vključno

z najslabšo možnostjo nezanesljivosti.

Med načrtovanjem mora biti ojačanje regulatorja ( )C s čim manjše. Med vsemi

regulatorji, ki zadostujejo pogojem, imenujemo tistega z minimalnim visoko frekvenčnim

ojačanjem optimalni regulator [7].

Vzemimo objekt, ki ga opisuje funkcija ( ),P s λ , in sta 1, , nλ λ λ= K realni vektor

parametrov objekta ter s Laplaceova spremenljivka. Predpostavimo, da parameter objekta iλ

neodvisno niha v določenih realnih intervalih 0iΛ tako, da imamo sklop parametrov objekta

0 01 , ,o

nΛ = Λ ΛK . Nominalni vektor parametrov objekta označimo z 0λ .

Predpostavimo, da je ta družina objektov vstavljena v strukturo z dvema prostostnima

stopinjama z regulatorjem ( )C s in predfiltrom ( )F s kot kaže slika 2. V tem primeru lahko na

kratko podamo korake metode QFT [59]:

1. Oblikovanje vzorca: za vsako izbrano frekvenco ω predstavimo vzorec objekta

( ) 0: , ,G P s λ λ= ∈ Λ v Nicholsovem diagramu,

2. Oblikovanje mejne linije: za vsako izbrano frekvenco vzorec objekta G premikamo

po zaprti zanki specifikacij robustne stabilnosti in robustnega učinka v zunanje meje

regulatorja v Nicholsovem diagramu,

3. Oblikovanje zanke: določimo prenosno funkcijo regulatorja ( )C s tako, da so pri

vsaki izbrani frekvenci zadovoljene meje, ki so bile ustvarjene v drugem koraku,

4. Oblikovanje predfiltra: določimo prenosno funkcijo predfiltra ( )F s tako, da

zadovoljimo zahtevam robustne sledljivosti.

73

Postopek načrtovanja regulatorja po QFT metodi je sestavljen iz več korakov. Diagram

poteka na sliki 4.3 predstavlja posamezne faze, ki so podrobneje predstavljene v nadaljevanju.

Slika 4.3: Diagram poteka načrtovanja regulatorja

4.4 Potek načrtovanja

4.4.1 Mejni krivulji

Slika 4.4 levo prikazuje stopnična odziva zgornje in spodnje mejne krivulje glede na

podane zahteve vodenja. Slika 4.4 desno prikazuje ti mejni krivulji v frekvenčni domeni. mM v

frekvenčni domeni se ujema z maksimalnim dovoljenim prenihajem pM v časovni domeni

( m pM M≈ ). ( )R ijδ ω predstavlja razliko v dB med mejnima krivuljama pri določeni izbrani

frekvenci iω . mM in vrednosti ( )R ijδ ω imajo ključno vlogo pri načrtovanju regulatorja.

74

Slika 4.4: Mejni krivulji v časovni in frekvenčni domeni

4.4.2 Izbrane frekvence

Množico frekvenc izberemo tako, da bodo meje vseh izbranih frekvenc zadostovale

pogojem za vse frekvence v opazovanem območju [2]. Frekvence so empirično določljive po

priporočilu v [14]. Pri grafičnem načrtovanju si pri izbiri frekvenc pomagamo s fizičnimi

oblikami vzorcev objekta ali vrednostmi ( )R ijδ ω . Med postopkom načrtovanja ne preverjamo

robustne stabilnosti ter robustnega učinka mej pri vseh frekvencah, temveč le pri tistih, katere

fizične oblike vzorca objekta ali vrednosti ( )R ijδ ω se razlikujejo od že prej izbranih (pri nižji

frekvenci). Z višanjem števila izbranih frekvenc se viša zapletenost načrtovanja.

4.4.3 Vzorci objekta

Vzorci objekta prikazujejo učinek negotovosti parametrov na ojačanje in fazo nominalne

zanke pri izbrani frekvenci. Učinek negotovosti parametrov je sorazmerno enak pri vseh

izbranih frekvencah.

Primer objekta predstavljenega s prenosno funkcijo:

( ) ( ) , , 1,10K aP s K as s a

⋅= ∈

+ (4.25)

Območje negotovosti parametrov objekta je prikazano na sliki 4.5.

75

Slika 4.5: Območje negotovosti parametrov objekta

S preslikavo tega območja v Nicholsov diagram dobimo vzorec objekta pri določeni

frekvenci. Matematično to predstavlja preračun vseh notranjih in mejnih točk območja v

amplitude in faze objekta pri določeni frekvenci v Nicholsovem diagramu. Primer rezultata

takšnega preračuna za eno frekvenco je prikazan na sliki 4.6.

Slika 4.6: Vzorec objekta pri določeni frekvenci

76

4.4.4 Nominalni model

Vzorec na sliki 4.6 lahko vsebuje neskončno število objektov (zaradi vseh možnih

kombinacij sprememb negotovosti parametrov). Zato izberemo takšen nominalni model ( )0P s ,

ki bo predstavljal vse ostale. Izberemo katerikoli objekt v vzorcu, pomembno je le, da tega

istega uporabljamo ves čas načrtovanja. Dobimo ga tako, da v prenosno funkcijo lineariziranega

modela objekta vstavimo izbrane koeficiente iz intervala negotovosti parametrov. Po nekaterih

priporočilih [8] se izbere tisti nominalni model, katerega točka v Nicholsovem diagramu leži v

spodnjem levem vogalu (za vse izbrane frekvence).

V primeru enačbe (4.25) je to točka A na slikah 4.5 in 4.6. Nominalni model je pri

določenih vrednostih parametrov 1k a= = sledeč

( ) ( )01

1P s

s s=

+ (4.26)

4.4.5 Meje robustne stabilnosti in robustnega učinka

4.4.5.1 Robustna stabilnost (U krivulja)

Meje robustne stabilnosti služijo kot vodilo pri načrtovanju regulatorja ( )C s za izbrane

frekvence. Poznamo grafični in analitični način pridobivanja teh mej.

Grafični način

Mejo stabilnosti vseh izbranih frekvenc sestavljajo nominalne točke, čigar vzorec se

dotika kroga območja stabilnosti v Nicholsovem diagramu (desna slika 4.7). Slika 4.7 prikazuje

preslikavo največjega dovoljenega ojačanja mM iz Bodejevega diagrama v Nicholsov diagram.

V nobenem primeru odprta zanka objekta ne sme prečkati tega območja (pri nobeni frekvenci).

Iz tega sledi, da je maksimalna dovoljena amplituda odvisna od omejitvenega kriterija ( )β ω ,

ki predstavlja supremum zgornje meje ( ( )β ω∞

). Tako dobimo mejo stabilnosti za nizke

frekvence.

Postavitev meje stabilnosti za visoke frekvence si zamislimo tako, da postavimo pisalo na

nominalno točko vzorca za določeno izbrano frekvenco. Nato celotni vzorec premikamo okoli

kroga območja stabilnosti, medtem ko še vedno držimo pisalo v nominalni točki vzorca. Slika

4.7 prikazuje, kako v korakih pri določeni izbrani frekvenci premikamo vzorec v smeri urinega

kazalca okoli kroga območja stabilnosti. Obris, ki ga vidimo na sliki 4.7 (s pisalom narisan

obris), je meja stabilnosti za pripadajočo izbrano frekvenco. Dobljen obris je na zgornji strani

77

fiksno določen z območjem stabilnosti (polna črta), na spodnji pa odvisen od same oblike

vzorca (črtkana črta).

Slika 4.7: Preslikava meje stabilnosti izbranih frekvenc iz Bodejevega diagrama v Nicholsov

diagram

Analitični način

Pri visokih frekvencah lahko vsako racionalno funkcijo zapišemo kot

( )( )

( )1

1

,

m

iin e

ii

s zCJ s Css p

ω=

=

+= → → ∞

+

∏

∏ (4.27)

kjer e predstavlja presežek ničel nad poli. Da vzorec objekta ne prečka mM pri visokih

frekvencah moramo spodnji del območja stabilnosti navzdol razširiti

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )max min max minlimLm J j Lm J Lm J Lm C Lm C V dBω

ω→∞

∆ = − = − = (4.28)

kjer ( )Lm x predstavlja ( )1020log x .

V primeru enačbe (4.25) je tako

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2max min

max min

lim

100 1 40

V Lm J j

Lm Ka Lm j Lm Ka Lm j

Lm Ka Lm Ka Lm Lm dBω

ω

ω ω→∞

= ∆

= − − −

= − = − =

(4.29)

Slika 4.8 prikazuje razširjeno področje stabilnosti, ki ga imenujemo univerzalna

visokofrekvenčna meja ali U krivulja.

78

Slika 4.8: U krivulja

4.4.5.2 Robustni učinek (mejna linija)

V sistemu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

1F s L s

Y s R s T s R sL s

= =+

(4.30)

predstavljajo ( )Y s izhod, ( )R s vhod, ( )T s pa komplementarno občutljivostno funkcijo. Za

( )L s velja

( ) ( ) ( )L s C s P s= (4.31)

Ker sta ( )C s in ( )F s fiksna dobimo

( )( ) ( )( ) ( )( )1

L jLm Y j Lm T j Lm

L jω

ω ωω

∆ = ∆ = ∆ +

(4.32)

( )( ) ( )( )Lm L j Lm J jω ω∆ = ∆ (4.33)

Za dosego predstavljenih lastnosti mora sprememba v ( )( )Lm T jω povzročiti premik v

področje med mejnima krivuljama predstavljenima na sliki 4.4 desno. Ta omejitev prenesemo

na mejno linijo v Nicholsovem diagramu.

Postopek določitve mejne linije pri izbrani frekvenci je sledeč:

79

1. Iz slike 4.4 desno odčitamo vrednosti ( )R ijδ ω za vse izbrane frekvence iω .

2. Vzorec objekta izbrane frekvence iω postavimo v Nicholsov diagram kjer stranico A-

B poravnamo s linijo 0º.

3. S pomočjo M linij ( ) ( )( )( )1Lm L j L jω ω+ , ki v Nicholsonovem diagramu služijo

kot vodilo pri načrtovanju, premikamo vzorec objekta gor ali dol tako dolgo, dokler

razlika ( )( )Lm T jω∆ med dvema M krivuljama, ki sta na skrajnih robovih vzorca

objekta, ne doseže vrednosti ( )R ijδ ω .

Pomembno in nujno je zadostiti sledeči pogoj

( )( ) ( ) ( )( ) ( )R i i i R iLm T j Lm j j jω α ω β ω δ ω∆ = − = (4.34)

4. Kadar je enačba (4.34) izpolnjena predstavlja točka A (oz. tista, ki je izbrana kot

nominalni model - A' na sliki 4.9) točko na mejni liniji ( )R iB jω . Na sliki 4.9 smo

vzorec objekta premaknili iz položaja 1 v položaj 2.

5. Korake 2 do 4 ponavljamo v intervalu 10 180− ° → − ° oz. tako dolgo, dokler vzorec

objekta ne preseka U krivulje. Dobljene točke povežemo in dobimo mejno linijo

( )R iB jω .

6. Korake 2 do 5 ponavljamo za vse izbrane frekvence iω izbrane v prvem koraku.

Slika 4.9: Določitev mejne linije pri izbrani frekvenci

80

Kadar je postopek zaključen dobimo množico mejnih linij (za vsako izbrano frekvenco

posebej). Slika 4.10 prikazuje primer U krivulje, dveh mejnih linij, vzorca objekta in potek

nominalne prenosne funkcije odprte zanke ( )0 iL jω .

Slika 4.10: Mejni liniji za fazo 0º do -360º

Točka A vzorca objekta na sliki 4.10 označenega s 1 določa točko nominalne prenosne

funkcije odprte zanke ( )0 iL jω pri iω . Medtem ko vzorec označen s 2 predstavlja premaknjen

vzorec v tisto področje, kjer razlika ( )( )Lm T jω∆ doseže vrednost ( )R ijδ ω . S tem se določi

točka na mejni liniji ( )R iB jω pri iω .

4.4.6 Spreminjanje oblike

Načrtovanje regulatorja s spreminjanjem oblike (»loop shaping«) izvajamo tako, da

dosežemo:

• robustno stabilnost: pri vsaki izbrani frekvenci je pripadajoči odziv odprte zanke

desno od pripadajoče meje stabilnosti ali na njej,

• robustni učinek: pri vsaki izbrani frekvenci je pripadajoči odziv odprte zanke nad

pripadajočo mejno linijo ali na njej.

Spreminjanje oblike pomeni dodajanje ojačanja, ničel ali polov v odprto zanko objekta. Je

metoda načrtovanja regulatorja ( )C s na način, da odprta zanka prenosne funkcije

81

( ) ( ) ( )L s C s P s= zadosti določenim zahtevam. Najpomembnejša zahteva je, da mora ( )L s

zadovoljiti Nyquistov stabilnostni kriterij [14]. Ostale so: doseganje robustne stabilnosti,

robustnega učinka, zadostitev zahtevam vodenja, ...

Pri objektih z neminimalno fazo obstajajo določene omejitve pri izvajanju »loop shaping«

metode zaradi povezave med amplitudo in fazo, ki sta podana s Hilbertovim transformom in

Bodejevim integralom. Te so še posebej izrazite takrat, kadar objekt vsebuje zakasnilni člen ali

pa je odprtozančno nestabilen. Vse to zmanjšuje svobodo pri izbiri regulatorja (njegove

strukture) in v določenih primerih vsiljuje nasprotovajoče si zahteve, katerega rezultat je, da

regulatorja sploh ni mogoče načrtati.

Osnovni elementi, ki jih dodajamo v odprto zanko objekta ( )L s med načrtovanjem

regulatorja, so:

• ojačanje: k,

• pol ali ničla: p

s p+,

s pp+

,

• lead ali lag element: s as b

++

,

• pol ali ničla drugega reda: 2

2 22s sωξω ω+ +

, 2 2

2

2s sξω ωω

+ +,

• Notch filter: 2 2

12 2

2

22

s ss s

ξ ω ωξ ω ω

+ ++ +

.

Efekt ojačanja k je premik ( )L jω navzgor za k dB, če je k > 0 dB, oz. navzdol, če je k < 0

dB. Pol postavljen pri –p premakne ( )L jω za ( )2 210log 1 p dBω− + in ( )1tan degpω−− .

Premik v točki [ ],degdB ničle in pola drugega reda z različnimi ξ faktorji kaže slika 4.11.

Premik v točki [ ],degdB lead/lag elementa kaže slika 4.12. Maksimalna (minimalna) faza lead

(lag) elementa s as b

++

se prikaže pri abω = in predstavlja 190 2 tan a bφ −= −o . Premik v

točki [ ],degdB Notch filtra z različnimi ξ faktorji kaže slika 4.13.

Kratka priporočila za načrtovanje [14]:

1. dodamo ojačanje, da zadovoljimo zahtevam pri nizkih frekvencah (meje QFT metode),

82

2. dodamo lead in/ali lag element, da zadovoljimo zahtevam mejne linije pri nizkih

frekvencah, bolj pomembno pri tem pa je, da z njim znižamo ojačanje celotnega

regulatorja,

3. dodamo lead element, da zadovoljimo zahtevam mejne linije pri visokih frekvencah,

4. z zniževanjem visoko frekvenčnega ojačanja znižujemo pasovno širino regulatorja (s

popravljanjem parametrov dodanih elementov); to ponavljamo tako dolgo, da dobimo

zadovoljive rezultate,

5. po potrebi dodamo presežke polov nad ničlami in/ali obratno.

Slika 4.11: Nicholsov diagram za kompleksni pol na levi in kompleksno ničlo na desni strani

Slika 4.11 prikazuje Nicholsov diagram za kompleksni pol ( ) 12 216 2 16 1s sξ−

+ + na levi

in kompleksno ničlo ( )2 216 2 16 1s sξ+ + na desni strani.

83

Slika 4.12: Nicholsov diagram za lead in lag element

Slika 4.12 prikazuje Nicholsov diagram za lead 11

s as b

++

in lag element 11

s bs a

++

za različne

vrednosti a b , b=16.

Slika 4.13: Nicholsov diagram za Notch filter za različne ξ faktorje

Slika 4.13 prikazuje Nicholsov diagram za Notch filter 2 2

2 2

16 2 16 116 2 16 1

s ss s

ξ+ ++ +

za različne ξ

faktorje.

Dodatni nasveti pri načrtovanju [2]:

84

• Pri načrtovanju ( )0L jω je potrebno paziti, da se ( )0 iL jω nahaja na pripadajoči

mejni liniji oz. tik nad njo. S tem ( ) ( )( )1L j L jω ω+ ohrani minimalno pasovno

širino.

• Krajšanje polov ali ničel je prepovedano zato, da se lahko katerakoli ničla ali pol v

desni polravnini od ( )P s vključi v ( )L s .

• Če ima ( )P s presežek polov nad ničlami enak e mora imeti ( )L s ta presežek vsaj

e i+ , kjer je 1i ≥ . Če je pasovna širina prevelika, takrat vrednost i še povečamo.

Zadovoljive rezultate ( )L s dobimo pri vrednostih 3e i+ ≥ [2].

• Če se ( )R ijδ ω nenehno ne povečuje s frekvenco dodamo kompleksi pol ali ničlo.

4.4.7 Načrtovanje predfiltra

Načrtovanje ( )0L s v smislu zadovoljevanja zahtev mejnih linij še ne zagotavlja, da so

zahteve vodenja izpolnjene. Ta garantira le, da so odstopanja ( ) ( ) ( )( )1T j L j L jω ω ω= +

nižja ali enaka dovoljenim. Kadar se mora ( )T jω nahajati med mejnima krivuljama (poglavje

4.4.1) moramo sistemu dodati predfilter.

Kratka priporočila pri načrtovanju predfiltra [2]:

1. Vzorce objekta združimo s ( )0L jω in jih vrišemo v Nicholsov diagram. To naredimo

tako, da nominalne točke vzorcev objektov izbranih frekvenc iω postavimo na točke

( )0 iL jω . Nato s pomočjo M linij določimo minT in maxT za vsako iω .

2. Določimo vrednosti ( )RULm T in ( )RLLm T pri različnih vrednostih iω . RUT in RLT

predstavljata zgornjo in spodnjo mejno krivuljo ( ( )jα ω in ( )jβ ω na sliki 4.4).

3. Dobljene vrednosti v korakih 1 in 2 vrišemo v Nicholsov diagram

( ) ( )maxRULm T Lm T − in ( ) ( )minRLLm T Lm T − glede na ω (4.35)

4. ( )F s sestavimo tako, da ( )( )Lm F jω leži znotraj grafov dobljenih v 3. koraku.

( )F s mora zadovoljevati kriterij ( )0

lim 1s

F s→

= .

85

5 EKSPERIMENT

5.1 Modeliranje objekta

Regulirati želimo višino lebdenja kovinske krogle v magnetnem polju. Model objekta

sestavljata kovinska krogla in elektromagnet (slika 5.1). Na kroglo, ki leži pod

elektromagnetom, delujeta magnetna sila Fm in gravitacijska sila Fg. Velikost in smer delovanja

magnetne sile je pogojena z delovanjem elektromagneta. Ker je elektromagnet nepremičen

bomo predpostavili, da se smer delovanja ne spreminja. Krogla se lahko premika le v navpični

smeri.

Slika 5.1: Model objekta

Nominalni parametri objekta:

• masa krogle m = 147 g ,

• maksimalna višina D = 0 025. m ,

• upornost navitja elektromagneta R = 2 8. Ω ,

86

• induktivnost elektromagneta L0 0 377= . H ,

• induktivnost krogle L1 0 02875= . H ,

• koeficient zmanjševanja induktivnosti ε = 64 3775 1, -m .

Model opisujejo enačbe

u t i t R d tdt

( ) ( ) ( )= +

ψ

, (5.1)

ψ ( ) ( ) ( )t L t i t= , (5.2) v v vF F Fm g= + . (5.3)

Vse tri sile (3) so na isti nosilki, zato lahko vektorski zapis izpustimo in obravnavamo

problem kot skalarni problem po višini.

m d x tdt

F Fm g

2

2

( )= + (5.4)

F mgg = (5.5)

Magnetna energija je funkcija, magnetnega fluksa in velikosti reže oziroma posredno

pozicije krogle.

W f x f Li xmag = =( , ) ( , )ψ (5.6)

Difrencial Wmag je

dWW

idi

Wx

dxmagmag mag=

∂

∂+

∂

∂, (5.7)

sestavljen iz električnega dela in mehanskega

dW dW dWmag el meh= +

dW iLdi i dLel = + 2 (5.8)

dW F dxmeh m= − (5.9)

∂∂

−FHG

IKJ +

∂∂

− +FHG

IKJ =

Wi

iL diW

xi dL

dxF dxmag mag

m2 0 (5.10)

Ker je tok i neodvisen od pozicije x sledi

∂

∂=

Wi

iLmag , (5.11)

87

∂

∂= −

Wx

i dLdx

Fmagm

2 . (5.12)

Izraza (5.11) in (5.12) integriramo po poziciji x in po toku i ter dobimo funkcijo magnetne

energije

W f x iLdi f x Limag

i

= + = +z( ) ( )0

2

2 (5.13)

Funkcijo Wmag (5.13) parcialno odvajamo po x in dobimo

∂

∂= +

Wx

df xdx

i dLdx

mag ( ) 2

2 (5.14)

Izenačitev izrazov (5.12) in (5.14) vodi do izraza

F df xdx

i dLdxm = − +

( ) 2

2. (5.15)

Ob toku i = 0 je magnetna sila enaka Fm = 0 ne glede na pozicijo x, tako velja za prvi

člen izraza (5.15) df x

dx( )

= 0 in magnetna sila je določena z izrazom:

F i dLdxm =

2

2 (5.16)

Induktivnost L je sestavljena iz induktivnosti L0 , ki jo prispeva elektromagnet in

induktivnosti L1 , ki je prispevek krogle. Prispevek krogle eksponencialno pada z večanjem

razdalje med kroglo in elektromagnetom. Za celotno induktivnost L velja aproksimativni

predpis

L L L e x= + −0 1

ε

88

0 5 10 15 20 250.38

0.38

0.39

0.39

0.4

0.40

0.41

x (mm)

L (H

)

Slika 5.2: Spreminjanje induktivnosti objekta v odvisnosti od položaja krogle

Rezultanta sil, ki delujejo na kroglo je:

m d xdt

i dLdx

mg

mx L i e mg

x Lm

i e g

x

x

2

2

2

1 2

1 2

2

2

2

= +

= − +

= − +

−

−

&&

&&

ε

ε

ε

ε

(5.17)

Napetost na izvoru, ki je enaka vsoti padcev napetosti:

u iR ddt

u iR L didt

i dLdt

u iR L didt

i dLdx

dxdt

u iR L L e didt

i L e dxdt

iL L e

u iR i L e x

x x

xx

= +

− = +

− = +

− = + −

=+

− +

− −

−−

ψ

ε

ε

ε ε

εε

0 1 1

0 11

1

c h

c h c h& &

(5.18)

89

Slika 5.3: Izmerjena statična karakteristika F i xm ( , )

Slika 5.4: Aproksimirana statična karakteristika F i xm ( , )

90

Slika 5.5: Razlika med izmerjeno in aproksimirano statično karakteristiko ∆F i xm ( , )

Razlika med statično karakteristiko nelinearnega modela (5.16) in dejansko izmerjeno

karakteristiko F i xm ( , ) je velika v neposredni bližini elektromagneta x mm= −0 3b g , v

preostalem delu x mm= −4 25b g pa se karakteristiki dokaj ujemata ∆F i x Nm ( , ) ,< ±0 5 .

Za nelinearni model objekta, ki ga opisujeta izraza (5.17) in (5.18) naredimo linearizacijo

v delovni točki ob pogoju ravnovesja sil;

0 = v (5.19)

02

1 2= − + =−εφεL

mi e g i xx ( , ) (5.20)

0 1

0 11=

+− + =

−−

L L eu iR i L e v i x u vx

xε

εε ϕc h c h ( , , , ) (5.21)

91

Izraza (5.20) in (5.21) parcialno odvajamo in dobimo:

k i xi

Lm

ie x1

1=∂

∂= − −φ ε ε( , )

0 5 10 15 20 256

7

8

9

10

11

12

13

14

x (mm)

k 1

Slika 5.6: Parameter k x1( )

k i xx

Lm

i e x2

21 2

2=

∂∂

= −φ ε ε( , )

0 5 10 15 20 25480

500

520

540

560

580

600

620

640

x (mm)

k 2

Slika 5.7: Parameter k x2 ( )

92

k i x u vu L L e x3

0 1

1=

∂∂

=+ −

ϕε

( , , , )c h

0 5 10 15 20 252.46

2.48

2.5

2.52

2.54

2.56

2.58

2.6

2.62

2.64

x(mm)

k 3

Slika 5.8: Parameter k x3( )

k i x u vi

R L e vL L e

x

x41

0 1

=∂

∂=

− ++

−

−

ϕ ε ε

ε

( , , , )c h

0 5 10 15 20 25-7.6

-7.55

-7.5

-7.45

-7.4

-7.35

-7.3

-7.25

-7.2

-7.15

-7.1

x (mm)

k 4

Slika 5.9: Parameter k x4 ( )

93

k i x u vv

i L eL L e

x

x51

0 1

=∂

∂=

+

−

−

ϕ ε ε

ε

( , , , )c h

0 5 10 15 20 25-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

x (mm)

k 5

Slika 5.10: Parameter k x5( )

k i x u vx

L i L e vL L e

x

x60

21

0 1

2 0=∂

∂=

−

+=

−

−

ϕ ε ε

ε

( , , , )

c h

Prenosna funkcija lineariziranega modela objekta je

P s k ks k s k k k s k k

( )( )

=− − + +

1 33

42

2 1 5 2 4

(5.22)

5.2 Načrtovanje regulatorja

Metoda QFT temelji na grafični predstavitvi prenosne funkcije odprte zanke v

Nicholsovem diagramu. Diagram omogoča viden efekt spremembe odprte zanke na prenosni

funkciji zaprte zanke sistema. Postopek načrtovanja bomo prikazali na izbranem primeru.

5.2.1 Lineariziran model objekta

Izraz (5.23) opisuje prenosno funkcijo lineariziranega modela objekta. S spreminjanjem

koeficientov k1, k2, k3, k4, k5 in k6 dobimo družino prenosnih funkcij lineariziranega modela.

Meje intervalov negotovosti koeficientov k1 do k5 so določene v odvisnosti od razdalje med

elektromagnetom in kroglo.

94

Prenosna funkcija lineariziranega modela objekta

P s k ks k s k k k s k k

( )( )

=− − + +

1 33

42

2 1 5 2 4

(5.23)

Intervali negotovih parametrov k1 do k5

[ ][ ][ ][ ][ ]

1

2

3

4

5

7;13

540;640

2.5;2.6

7.25; 7.55

4.7; 2.6

k

k

k

k

k

∈

∈

∈

∈ − −

∈ − −

(5.24)

5.2.2 Zahteve vodenja

Linearizirani model objekta je nestabilen. Kot izhodišče načrtovanja postavimo zahteve

vodenja:

• prenihaj na stopnico mora biti manjši od 60%,

• čas postavitve sistema mora biti krajši od 0,5 sekunde,

• stacionarni pogrešek naj bo manjši od 5%,

• sistem naj bo robustno stabilen.

5.2.3 Mejni krivulji

Iz zahtev določimo prenosni funkciji, ki opisujeta zgornjo in spodnjo mejno krivuljo [14]

zaprto-zančnega sistema:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

1113.5424 1113.54

522.9112 522.9

j j

j j

α ωω ω

β ωω ω

=+ ⋅ +

=+ ⋅ +

(5.25)

95

Slika 5.11: Stopnični odziv zgornje in spodnje mejne prenosne funkcije

Slika 5.12: Mejna linija pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – dovoljena sprememba ojačanja zaprte

zanke v Bodejevem diagramu in ( )0P s izbran pri delovni točki x = 15 mm

96

5.2.4 Nominalni model

Izberemo prenosno funkcijo nominalnega objekta ( )0P s iz množice negotovih objektov.

Nominalni model ( )0P s je izbran pri delovni točki x = 15 mm , kjer so parametri 1k =9.8 ,

2k =638 , 3k =2.58 , 4k =-7.45 , 5k =-3.7 .

Nominalni model v našem primeru, ki je prikazan na sliki 5.12

( )0 3 2

25.2847.45 601.74 4753.1

P ss s s

=+ − −

(5.26)

5.2.5 Izbrane frekvence

Pri izbiri frekvenc si pomagamo s vrednostmi ( )R ijδ ω . Te se morajo pri različnih

frekvencah iω po vrednosti čim bolj razlikovati. Izbrali smo jih grafično. Na sliki 5.13 je

prikazanih pet izbranih frekvenc, ki so za izbrani primer: 2, 5, 10, 20, 45 [rad/s]. Vrednosti

( )R ijδ ω pri teh frekvencah so: 2 [rad/s] = 0.71 dB, 5 [rad/s] = 3.15 dB, 10 [rad/s] = 7.74 dB,

20 [rad/s] = 16 dB, 45 [rad/s] = 21.5 dB. Izbrali bi lahko tudi druge frekvence in ne točno te.

Pomembno je le, da so razlike med njimi čim večje.

Slika 5.13: Različne vrednosti ( )R ijδ ω pri izbranih frekvencah

97

5.2.6 Vzorci objekta

Določimo vzorce, ki prikazujejo učinek negotovosti parametrov na ojačanje in fazo

nominalne zanke pri izbrani frekvenci. Na sliki 5.14 so vzorci prikazani s sivim območjem (pet

vzorcev na spodnji strani slike), ki se zmanjšujejo z večanjem izbrane frekvence. Z izbiro

izbranih frekvenc (poglavje 5.2.5) so vzorci objekta avtomatsko določeni.

Slika 5.14: Odprto-zančni odziv v Nicholsovem diagramu z vzorci pri izbranih frekvencah

objekta

5.2.7 Meje robustne stabilnosti

Določimo meje stabilnosti vseh izbranih frekvenc katere sestavljajo nominalne točke,

čigar vzorec se dotika kroga (območja) 8.6 dB (sliki 5.15, 5.16). Z določitvijo tega območja

dobimo mejo stabilnosti pri nizkih frekvencah. Meje robustne stabilnosti pri visokih frekvencah

bomo poiskali na grafični način. Najprej postavimo pisalo na nominalno točko vzorca pri

določeni izbrani frekvenci in celotni vzorec premikamo okoli kroga 8.6 dB, medtem ko še

vedno držimo pisalo v nominalni točki vzorca. Slika 5.15 prikazuje, kako v 32-ih korakih pri

izbrani frekvenci 10 [rad/s] premikamo vzorec v smeri urinega kazalca okoli kroga 8.6 dB.

Obris, ki ga vidimo na sliki 5.16 (s pisalom narisan obris), je meja stabilnosti za pripadajočo

izbrano frekvenco. Tako smo dobili meje stabilnosti še pri visokih frekvencah.

98

Slika 5.15: Meja stabilnosti pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – proces načrtovanja

Slika 5.16: Meja stabilnosti pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – končni rezultat

5.2.8 Meje robustnega učinka

Določimo mejno linijo (»performance boundary«) pri izbrani frekvenci. Slika 5.17

prikazuje postopek pri izbrani frekvenci 10 [rad/s]. Pri fazi odprte zanke -110º smo premaknili

vzorec navzdol, kjer je bila pri položaju 2 sprememba ojačanja zaprte zanke enaka dovoljeni

spremembi ojačanja zaprte zanke ( )10R jδ pri 10 [rad/s] v meji tolerance na sliki 5.13.

99

Slika 5.17: Mejna linija pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – dejanska sprememba ojačanja zaprte

zanke v Nicholsovem diagramu

5.2.9 Spreminjanje oblike

Načrtovanje regulatorja s spreminjanjem oblike (»loop shaping«) izvajamo po korakih oz.

priporočilih [14] s pomočjo programskega orodja [1]. Načrtovanje temelji na principu poskusa

in napake. Končno potrditev dobimo šele s performančnim testom (Slika 5.30) in če so zahteve

vodenja izpolnjene, je načrtovanje končano. V nasprotnem primeru načrtujemo ponovno in

uporabimo drug nabor elementov QFT metode, ali pa drugačne vrednosti le-teh.

Kateri element dodamo je odvisno od trenutne oblike in lege krivulje v Nicholsovem

diagramu (Slika 5.26). Za lažjo izbiro najprej preverimo, kako in kam želimo, da se krivulja v

naslednjem koraku premakne. S tem zožimo nabor možnih in olajšamo izbiro naslednje

dodanega elementa. Z dodajanjem ne pretiravamo, saj vsak na novo dodan element poviša red

regulatorja, s tem pa tudi njegovo kompleksnost in izvedbo v praksi.

Na začetku postopka sinteze izberemo regulator ( )C s =1 tako, da je ojačanje nominalne

zanke ( )0L s enako:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0L s P s C s P s= = (5.27)

Pričnemo tako, da v Nicholsov diagram vrišemo ( )L s pri ( ) 1C s = (Slika 5.18 krivulja

A). Prenosna funkcija regulatorja:

( ) 1C s = (5.28)

100

Slika 5.18: ( )L s pri ( ) 1C s =

Povečamo ojačanje na ( ) 2200C s = in premaknemo ( )L s navzgor, s tem zadovoljimo

zahtevam pri nizkih frekvencah (Slika 5.19 krivulja B). Prenosna funkcija regulatorja:

( ) 2200C s = (5.29)

Slika 5.19: Povečano ojačanje na 2200

Dodamo integrator 1s− s katerim odpravimo stacionarni pogrešek, kar je ena od zahtev

vodenja. (Slika 5.20 krivulja C). Prenosna funkcija regulatorja:

101

2200( )C ss

= (5.30)

Slika 5.20: Dodan integrator 1s−

Dodamo realno ničlo ( 1)s + in z njo zvišamo zančno ojačanje in fazno rezervo, krivuljo

premaknemo v desno (Slika 5.21 krivulja D). Prenosna funkcija regulatorja:

2200 2200( ) sC ss+

= (5.31)

Slika 5.21: Dodana realna ničla ( 1)s +

102

Podobno storimo v naslednjih dveh korakih. Dodamo realni ničli ( 10)s + (Slika 5.22

krivulja E) in ( 30)s + (Slika 5.23 krivulja F). Prenosna funkcija regulatorja:

3 2

3

41 340 300( )136.4 10

s s sC ss−

+ + +=

⋅ (5.32)

Slika 5.22: Dodana realna ničla ( 10)s +

Slika 5.23: Dodana realna ničla ( 30)s +

Iz krivulje F je razvidno, da je sistem pri nizkih frekvencah v mejah pričakovanega.

Dodamo še kompleksni pol 6 2 3 610 ( 10 10 )s s+ + , ki premakne krivuljo v drugo smer, obrne

103

fazo in tako zadosti pogojem pri visokih frekvencah. (Slika 5.24 krivulja G). S tem izenačimo

število polov in ničel, ki je eden od pogojev za izvedljivost sistema.

Slika 5.24: Dodan kompleksni pol 6 2 3 610 ( 10 10 )s s+ +

Prenosna funkcija regulatorja:

6 3 8 2 9 9

3 3 2 6

7.333 10 3.007 10 2.493 10 2.2 10( )10 10

s s sC ss s s

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

+ + (5.33)

Kot rezultat dobimo regulator, ki še ne zadosti v celoti podanim zahtevam vodenja. S

spreminjanjem parametrov posameznih elementov znižamo visoko frekvenčno ojačanje ter

krivuljo ( )L s premaknemo v QFT zahtevano področje [14]. ( )L s s končnim regulatorjem je

prikazana na sliki 5.25 krivulja H.

104

Slika 5.25: ( )L s s končnim regulatorjem

Vsi koraki pri načrtovanju regulatorja s spreminjanjem oblike so še enkrat prikazani na

sliki 5.26.

Slika 5.26: Spreminjanje oblike v Nicholsovem diagramu (vsi koraki v enem diagramu)

V primeru, da ima končni regulator previsoki red strukture, odziv sistema pa je v mejah

zahtevanega, izvedemo redukcijo regulatorja. Z odvzemanjem QFT elementov opazujemo

dogajanje s krivuljo v Nicholsovem diagramu. Če je krivulja blizu zahtevani ter če s popravkom

parametrov preostalih elementov dobimo performančno zadovoljive rezultate, smo redukcijo

uspešno izvedli.

105

Slika 5.27 prikazuje spremembo ojačanja in faze odprte zanke ( )L s pri frekvenci 10

[rad/s] ob dodanem končnem regulatorju, katerega prenosna funkcija je:

7 3 8 2 9 9

3 3 2 6

1.18 10 4.644 10 3.541 10 2.369 10( )1.086 10 1.073 10

s s sC ss s s

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

+ ⋅ + ⋅ (5.34)

Slika 5.27: Rezultat spreminjanja oblike v Nicholsovem diagramu

5.2.10 Načrtovanje predfiltra

Na koncu postopka določimo še predfilter ( )F s tako, da zadostimo mejam performanc

(Slika 5.28). Na sliki 5.28 je območje A Bodejevega diagrama rezultat spreminjanja oblike

komplementarne občutljivostne funkcije T(s). Pravilno spreminjanje oblike zagotavlja, da je

širina področja odziva manjša ali enaka širini meje tolerance. Izbrani predfilter nam da odziv v

mejah tolerance prikazanih na sliki 5.1. Rezultat predfiltra je viden kot območje B na sliki 5.28.

Prenosna funkcija predfiltra:

5

3 2 4 5

1.825 10( )411.9 4.231 10 1.82 10

F ss s s

⋅=

+ + ⋅ + ⋅ (5.35)

106

Slika 5.28: Izbira predfiltra v Bodejevem diagramu

5.3 Rezultati

Občutljivost in komplementarno občutljivost sistema smo preverili v treh delovnih točkah

(slika 5.29) in ugotovili, da QFT regulator zagotavlja sistemu zahtevano občutljivost ter

komplementarno občutljivost v celotnem delovnem področju.

107

Slika 5.29: Občutljivosti sistema za tri različne odmike krogle

Sistem z QFT regulatorjem smo preizkusili tudi performančno z odzivom na stopnično

vzbujanje in ugotovili, da regulator zagotavlja zahtevano obnašanje sistema v celotnem

delovnem področju.

Delovanje sistema vodenega z QFT regulatorjem smo primerjali z delovanjem sistema

vodenega z H∞ regulatorjem. Reducirani sub-optimalni H∞ regulator smo zasnovali po postopku

[10]. Utežnostne funkcije za določitev performančnih zahtev in modeliranje dinamike

nestrukturiranih odstopanj pa smo določili po priporočilih [11]. Izbrali smo utežnostne funkcije

metode H∞:

1

105,5( )

1,5

s

W ss

+=

+, 2( ) 0W s = ,

3

3

3 3

2503,5( )

0,15 250

sW s

s

+ = +

(5.36)

Prenosna funkcija reduciranega sub-optimalnega H∞ regulatorja:

7 3 8 2 9 8

3 3 2 6

1.105 10 3.823 10 2.923 10 3.934 10( )2.360 10 1.251 10

s s sC ss s s

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

+ ⋅ + ⋅ (5.37)

108

Slika 5.30: Stopnični odziv zaprte zanke sistema

Slika 5.31 prikazuje stopnični odziv sistemov vodenih z QFT regulatorjem in z

reduciranim sub-optimalnim H∞ regulatorjem na celotnem delovnem področju. Razvidno je, da

performančno sistem voden z QFT regulatorjem deluje bolje kot sistem voden z reduciranim

sub-optimalnim H∞ regulatorjem. Poleg direktne primerjave odzivov je pri primerjavi metod

potrebno upoštevati tudi dejstvo, da je prenosna funkcija sub-optimalnega H∞ regulatorja pred

redukcijo sedmega reda. Slednje je vsekakor pomanjkljivost pri izvedbi sub-optimalnega H∞

regulatorja, ki pa se jo da deloma kompenzirati z redukcijo.

109

Slika 5.31: Primerjava odzivov v delovnem območju

110

6 PRIMERJAVA METOD QFT IN H∞

6.1 Metoda H∞

Cilj metode H∞ je poiskati optimalen regulator ( )C s , ki zagotavlja stabilnost regulirane

zanke in upošteva motnje, ki jih povzročajo negotove strukture objekta. Fleksibilne strukture se

upoštevajo tako, da v proces načrtovanja vključimo ovojnico dinamike negotovosti.

Prvi korak načrtovanja s metodo H∞ predstavlja analiza prenosnih funkcij objekta glede na

potrebe in podane zahteve vodenja. S spreminjanjem oblike (»loop shaping«) v naslednjem

koraku je mogoče definirati parametre utežnostnih prenosnih funkcij, ki se uporabijo med

načrtovanjem. Z njimi sistem prilagodimo v skladu z zahtevami vodenja. Naslednja korak je

optimizacija utežnostnih parametrov prenosnih funkcij. Zadnji korak predstavlja zmanjšanje

velikostnega reda regulatorja (redukcija). S tem odstranimo oz. kompenziramo nepotrebne pole,

ki jih vpelje postopek načrtovanja.

Metoda H∞ je prirejena za nadzor dinamike objekta z velikimi negotovimi strukturami.

Med procesom načrtovanja je mogoče upoštevati različne kriterije sinteze:

• robustna stabilnost mej (občutljivost in komplementarna občutljivost); funkciji:

( ) ( ) ( )( ) 11S s P s C s

−= + in ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1

1T s P s C s P s C s−

= + s ( )P s kot

prenosno funkcijo objekta,

• filtriranje visokih frekvenc za zmanjšanje prenosa šuma,

• omejitev ojačanja regulatorja za nadzor šuma senzorja in naprave, ki se prenaša

znotraj regulirane zanke,

• neposredni nadzor nad frekvenco fazne rezerve odprte zanke (»open loop cross over

frequency«) ter statičnim ojačanjem regulatorja s pomočjo parametrov utežnostnih

filtrov,

• v proces izdelave je mogoče vključiti tudi dodatne zahteve.

111

6.2 Metoda QFT

Metoda QFT se izkaže za uporabno pri načrtovanju vodenja kompleksnih SISO sistemov.

Omogoča načrtovanje regulatorjev za sisteme z negotovimi parametri. Načrtovanje po metodi

QFT zahteva nabor parametrov objekta za katerega se načrtuje vodenje, ki predstavljajo celotno

območje variacij negotovosti in so zato uporabljene pri načrtovanju za ugotavljanje negotovosti

modela objekta. Za vsako izbrano frekvenco v frekvenčni matriki se izračuna frekvenčni odziv

značilnih primerov, znanih kot vzorec sistema.

Prvi korak načrtovanja predstavlja preučevanje zahtev delovanja in, če je le mogoče,

njihove pretvorbe v meje načrtovanja metode QFT. Robustno stabilnost in meje delovanja

načrtujemo ločeno. Meje združimo po posameznih frekvencah, ki določajo enotno mejo, kateri

mora biti zadoščeno pri spreminjanju oblike zanke (pravimo ji vzorec objekta). Načrtovanje s

metodo QFT je proces poskusov in napak, ki je močno odvisen od izkušenj načrtovalca.

Načrtovanje regulatorjev s metodo QFT omogoča regulatorje nizkega reda, ki so zanimivi

zaradi obvladovanja strukture prenosne funkcije regulatorja. Vsi poli in ničle so rezultat metode

in ne samega procesa. Poskrbeti moramo da vzorci pokrivajo celotno območje negotovosti

objekta. Kot pri vseh ostalih robustnih metodah, kjer robustnost temelji na modelu negotovosti,

se lahko zgodi, da rezultat ni robusten za skrajne primere, ki niso bili upoštevani pri

načrtovanju.

Pri načrtovanju regulatorjev za MIMO sisteme je metoda načrtovanja QFT le delno

uspešna. Če se problem lahko razdeli v enostavne nepovezane probleme SISO, se metoda QFT

lahko uporabi, povezave med različnimi prostostnimi stopnjami pa se upoštevajo kot zunanje

motnje. Kljub temu metoda ne pridobi podatkov o povezavah med stopnjami, saj se ne

upoštevajo pri procesu načrtovanja. Zato z njo dosežemo le nabor regulatorjev SISO. Kljub

temu, da lahko pričakujemo uporabo naprednejših metod QFT načrtovanja regulatorjev, pri

katerih se bo uporabljala direktna MIMO metoda QFT, trenutno ni možno načrtovati

regulatorjev z veliko vhodi in izhodi z obstoječimi MIMO metodami QFT. Problem predstavlja

predvsem pomanjkanje programske podpore in prezapletene metode načrtovanja.

6.3 Primerjava metod

V primeru metode H∞ se pri sistemih z negotovimi parametri negotovosti lotimo s

pomočjo ovojnice dinamike negotovosti. Ovojnico izberemo na podlagi izkušenj in opisa

dinamike negotovosti. Sledi načrtovanje regulatorja, ki predstavlja iterativni optimizacijski

proces. Za dani nabor parametrov utežnostnih funkcij dobimo rezultat, ki predstavlja optimalni

regulator H∞. Z metodo H∞ lahko z isto metodologijo načrtujemo SISO in MIMO regulatorje.

112

Pri metodi QFT se z negotovostjo zaradi negotovih parametrov sistema spoprimemo z

začetnim naborom – vzorci objekta. Že v procesu načrtovanja moramo poskrbeti, da nabor

vzorcev vsebuje vse izbrane frekvence. Rezultat ni optimalen zaradi svoje odvisnosti od

izkušenosti načrtovalca. Za dani nabor zahtev, kriterijev načrtovanja in njihovih meja, rezultat

metode QFT ni enoličen.

6.4 Primerjava delovanja regulatorjev

Pri sistemih z eno ali dvema-prostostnima stopnjama so rezultati obeh metod primerljivi

glede na robustnost in doseženi odziv. Obe metodi omogočata obravnavanje negotovosti zaradi

negotovih parametrov objekta. Doseženi učinek metode je odvisen od razpoložljivega modela

negotovosti (ovojnica dinamike negotovosti pri metodi H∞ oziroma zadosten nabor značilnih

ekstremnih primerov pri metodi QFT – izbranih frekvenc). Metoda H∞ omogoča boljši nadzor

ojačanja regulatorja pri visokih frekvencah, kot metoda QFT, in s tem zmanjšuje prenos šuma in

nasičenja sistema.

Pri sistemih s šest in več prostostnimi stopnjami metoda H∞ dovoljuje integracijo

povezovanja dinamik neposredno v fazi načrtovanja. Tudi v primerih, ko povezovanje ni veliko,

ima metoda H∞ boljše rezultate v smislu napake kot metoda QFT.

6.5 Sklep

Načrtovanje robustnih regulatorjev uporabljamo za vodenje sistemov z negotovimi

parametri. Med procesom načrtovanja se za dinamične strukture upošteva negotovost modela

objekta.

Z metodo H∞ dosežemo dobro robustnost regulatorja zaradi zadostne ovojnice dinamike

negotovosti. Metoda načrtovanja za sisteme MIMO je podobna metodi za sisteme SISO.

Omogoča dobro razumevanje rezultatov načrtovanja in enostavno določanje zahtev.

Pri metodi QFT načrtovanja ne moremo avtomatizirati. Načrtovalec je potreben na vsaki

stopnji načrtovanja, za uspeh načrtovanja pa so še posebej pomembne njegove izkušnje. Zaradi

tega ima načrtovalec nadzor nad celotnim procesom načrtovanja in se lahko odloči za

zanemarjanje določenih specifikacij oziroma omejitev. Regulator, načrtovan z metodo QFT,

lahko zadosti strogim zahtevam sistemov z zahtevno dinamiko, ki jih je težko doseči z drugimi

metodami.

Pri enostavnih SISO negotovih objektih obe metodi dosegata podobne rezultate. Rezultat

obeh metod so robustni regulatorji, ki lahko regulirajo velike dinamične strukture. Za bolj

113

zapletene MIMO negotove objekte pa se priporoča uporaba metode H∞, saj je metodologija

načrtovanja podobna tisti pri sistemih SISO. Za enostavnejšo uporabo metode QFT v problemih

MIMO bodo potrebne še dodatne raziskave in razvoj.

Prednost metode QFT je, da ima načrtovalec direkten vpogled v potek načrtovanja, saj si

sam postavi strukturo regulatorja. Nadalje ima možnost upoštevanja faznih zamikov v procesu

načrtovanja, česar rezultat je znižana struktura regulatorja, kar pa H∞ nima.

114

7 ZAKLJUČEK

Metoda QFT je grafična metoda načrtovanja regulatorjev za SISO in deloma MIMO

negotove objekte. Pri načrtovanju regulatorjev za MIMO sisteme je metoda QFT uporabna, če

se problem lahko razgradi v enostavne nepovezane SISO probleme.

Osnovna ideja metode je razdeliti proces načrtovanja na več stopenj, od katerih vsaka

predstavlja poenostavljen problem povratne zanke SISO ali MISO. Ker proces zahteva veliko

računanja in grafične podpore, so računalniški programi še posebej primerni za načrtovanje [1].

Pri enostavnih SISO objektih metoda QFT dosega podobne rezultate kot ostale metode

načrtovanja robustnega vodenja. Prednost metode QFT je, da ima načrtovalec direkten vpogled

v potek načrtovanja, saj sam postavi strukturo regulatorja. Ker ima ves čas kontrolo nad

procesom načrtovanja lahko sproti upošteva fazne zamike (kar pri LQG, H∞ ali H2 metodah ni

izvedljivo [10]). Rezultat je znižana struktura regulatorja.

Metoda QFT je uporabna pri načrtovanju vodenja kompleksnih SISO sistemov. Pri metodi

QFT načrtovanje ni avtomatizirano in je načrtovalec potreben na vsaki stopnji načrtovanja.

Pozitivna lastnost tega je, da ima načrtovalec nadzor nad celotnim postopkom načrtovanja in se

lahko odloči za zanemarjanje določenih specifikacij oziroma omejitev. Načrtovanje s metodo

QFT je postopek poskusov in napak, ki je močno odvisen od izkušenj načrtovalca.

Rezultat načrtovanja s metodo QFT so regulatorji nižjega reda, ki so uporabni zaradi

obvladovanja strukture regulatorja. Vsi poli in ničle so rezultat metode in ne samega

analitičnega postopka kot pri LQG, H∞ ali H2 metodi.

Algoritmi za oblikovanje mej metode QFT so splošno uporabni in jih je mogoče razdeliti

na algoritme, ki temeljijo na iskanju in tiste, ki temeljijo na kvadratnih neenakostih. Algoritmi,

temelječi na iskanju, so počasnejši zaradi same narave iskalnega procesa. Algoritmi, ki temeljijo

na kvadratnih neenakostih, imajo dodatno prednost, saj omogočajo rešitve zaprte oblike za

vrednosti mej.

115

8 LITERATURA

[1] C. Borghesani, Y. Chait, O. Yaniv, The QFT Frequency Domain Control Design Toolbox, 2001.

[2] Isac M. Horowitz, Quantitative Feedback Design Theory (QFT), QFT Publications,

Boulder, Colorado, 1993. [3] R. Nordgren, O.D.I. Nwokah, M.A. Franchek, A New Perspective on the Formulation of

QFT, Proceedings of the American Control Conference, 2, 1716-1720, San Francisco, California, June, 1993.

[4] K. Zhou, John C. Doyle, K. Glover, J. Doyle Robust and Optimal Control, Prentice

Hall, 1st edition, 1995. [5] C. Houpis, John D Azzo, Linear Control System Analysis and Design, The McGraw-

Hill Companies, 1995. [6] I. M. Horowitz, M. Sidi, Optimum synthesis of non­minimum phase feedback system

with plant uncertainty, Int. J. Control, 1978. [7] D. F. Thompson, Gain-Bandwidth Optimal Design for the New Formulation

Quantitative Feedback Theory, J. of Dynamic Systems, Measurement, and Control, V. 120, No. 3, 1998.

[8] J. Ackermann, A. Bartlett, D. Kaesbauer, W. Sienel, R. Steinhauser, Robust Control:

Systems with Uncertain Physical Parameters, London: Springer-Verlag, 1993. [9] Zhao, Y., Jayasuriya, S., Robust Stabilization of Uncertain Systems with Parametric

Uncertainties, Procs.12th IFAC Conf., Sydney, Australia, Vol. 6, 1993. [10] A. Chowdhury, Robustna sinteza regulacijskih sistemov z upoštevanjem performančnih

kriterijev : doktorska disertacija. Maribor, 2001. [11] K. Zhou, John C. Doyle, Essentials of Robust Control, Prentice Hall, 1998. [12] Wenhua Chen, Donald J. Ballanc, Plant Template Generation in Quantitative Feedback

Theory, University of Glasgow, 1998. [13] Wenhua Chen, Donald J. Ballanc, On Choice of the Nominal Plant in Quantitative

Feedback Theory, University of Glasgow, 1997.

116

[14] O. Yaniv, Quantitative Feedback Design of Linear and Nonlinear Control Systems, Kluwer Academic Publishers, 1999.

[15] M. Atanasijević-Kunc, Izbrana poglavja iz teorije avtomatskega vodenja, Študijsko

gradivo, Ljubljana, 2006. [16] M. Atanasijević-Kunc, Sinteza računalniškega načrtovanja vodenja multi-variabilnih

sistemov, Doktorska disertacija, Fakulteta za elektrotehniko, Ljubljana, 1997. [17] Lj. Kuljača, D. Đonlagić, Z. Vukić, S. Tešnjak, Nelinearni sistemi avtomatskega

vodenja (knjiga I), FERI Maribor, 1998. [18] R. Karba, Modeliranje procesov, Založba FE in FRI, Univerza v Ljubljani, Ljubljana,

1999. [19] B. Zupančič, Sinteza Zvezni regulacijski sistemi – I. del, Založba FE in FRI, Univerza v

Ljubljani, Ljubljana, 1996. [20] B. Zupančič, Sinteza Zvezni regulacijski sistemi – II. del, Založba FER, Univerza v

Ljubljani, Ljubljana, 1995. [21] I. M. Horowitz, Survey of quantitative feedback theory (QFT), International Journal of

Control, 53, 255-291, 1991. [22] C. H. Houpis, Rassmusen, S. J., Quantitative Feedback Theory: Fundamentals and

Applications, Marcel Dekker, New York, 1999. [23] O. Yaniv., Quantitative feedback design of linear and nonlinear control systems,

Kluwer Academic Publishers, Boston, 1999. [24] D. F. Thompson, O.D.I.Nwokah, Analytical loop shaping methods in quantitative

feedback theory, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 116, 169-177, 1994.

[25] G. F. Bryant, G. D. Halikias, Optimal loop-shaping for systems with large parameter

uncertainty via linear programming, Int. J. Control, 1995. [26] Y. Zhao, S. Jayasuriya, An H-infinity formulation of quantitative feedback theory, Trans.

of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 120, 305-313, 1998.

[27] C. H. Houpis, R. R. Sating, S. Rasmussen, S. Sheedon, Quantitative feedback theory

technique and applications, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 120, 305-313, 1998.

[28] Y. Chait, C. V. Hollot, A comparison between H-infinity methods and QFT for a SISO

plant with both parametric uncertainty and performance specifications, O.D.I. Nwokah, editor, Recent developments in quantitative feedback theory, 33-40, 1990.

117

[29] S. Jayasuriya, Frequency domain design for robust performance under parametric, unstructured, or mixed uncertainties, Trans. of the ASME journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 115, 439-451, 1993.

[30] O. D. I. Nwokah, S. Jayasuriya, Y. Chait, Parametric robust control by quantitative

feedback theory, AIAA Journal of Guidance and Control, 5, 207-214, 1992. [31] O. Yaniv, I. Horowitz, Quantitative feedback theory - reply to criticisms, International

Journal of Control, 40, 945-962, 1987. [32] Y. Zhao, S. Jayasuriya, An H-infinity formulation of quantitative feedback theory, Trans.

of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 120, 305-313, 1998.

[33] Y. Chait, C. Borghesani, Y. Zheng, Single loop QFT design for robust performance in

the presence of nonparametric uncertainties, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 117, 420-424, 1995.

[34] J. M. Rodrigues, Y. Chait, C. V. Hollot, An efficient algorithm for computing QFT

bounds, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 119, 548-552, 1997.

[35] R. E. Moore, Global optimization to prescribed accuracy, Computers Math. Appl., 21,

25-39, 1991. [36] J. E. Dennis, R. B. Schnabel, Numerical methods for unconstrained optimization and

nonlinear equations, Pretence-Hall, New York, 1983. [37] B. Cohen, M. Nordin, P. O. Gutman, Recursive grid methods to compute value sets of

transfer functions with parametric uncertainty, In Proc. Of ACC, 3861-3865, 1995. [38] D. J. East, A new approach to optimum loop synthesis, International Journal of Control,

34(4):731-748, 1981. [39] D. J. East, On the determination of plant variation bounds for optimum loop synthesis,

International Journal of Control, 35(5):891-908, 1982. [40] F. N. Bailey, D. Panzer, G. Gu, Two algorithms for frequency domain design of control

systems, International Journal of Control, 48, 1787-1806, 1988. [41] B. R. Barmish, J. Ackermann, H. Hu, The tree structured decomposition: A new

approach to robust stability anaylsis, Proc. Conf. Infor. Sci. Syst., Princeton University, 1990.

[42] P. O. Gutman, C. Baril, L. Neumann, An image processing approach for computing

value sets of uncertain transfer functions, Proc. 29th IEEE Conf. Decision and Control, volume 3, pages 1224-1229, Honolulu, HI, USA, 1990.

118

[43] P. O. Gutman, C. Baril, L. Neumann, An algorithm for computing value sets of uncertain transfer functions in factored real form, Proc. 29th IEEE Conf. Decision and Control, volume 39, pages 1268-1273, Honolulu, HI, USA, 1994.

[44] I. J. Fialho, V. Pande, P. S. V. Nataraj, Design of feedback systems using Kharitonov's

segments in QFT, Proc. First QFT Symposium, pages 457-470, Dayton, Ohio, USA, 1992.

[45] S. P. Bhattacharyya, H. Chapellat, L. H. Keel, Robust Control – The Parametric

Approach, Pretence Hall, New York, 1995. [46] Y. Ohta, L. Gong, H. Haneda, Polygon interval arithmetic and interval evaluation of

value sets of transfer functions, IEICE Trans. On Fundamentals of Electronics, Communication and Computer Sciences, E77-A(6):1033-1042, 1994.

[47] E. G. Eszter, R. S. S. Pena, Computation of algebraic combinations of uncertainty value

sets, IEEE Trans. on Automat. Control, 39(11):2315-2318, 1994. [48] B. R. Barmish, R. Tempo, On mappable nonlinearities in robustness anaylsis, Proc. 3rd.

ECC '95, volume 2, pages 1430-1435, Rome, Italy, 1995. [49] B. H. Wilson, B. Eriylmaz, B. Shafai, Improving control design for nonlinear

parametric uncertainty, International Journal of Control, 66(6):863-883, 1997. [50] W. Chen, D. J. Balance, Plant template generation for uncertain plants in QFT, Trans.

of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 121:359-364, 1999.

[51] G. Sardar, P. S. V. Nataraj, A template generation algorithm for non-rational transfer

functions in QFT designs, Proc. 36th IEEE Conf. Decision and Control, 2684-2689, San Diego, USA, 1997.

[52] P. S. V. Nataraj, G. Sardar, Template generation for continuous transfer functions using

interval analysis, Automatica, 36:111-119, 2000. [53] P. S. V. Nataraj, G. Sardar, Computation of QFT bounds for robust sensitivity and gain-

phase margin, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 36, 111-119, 2000.

[54] T. A. Lasky, B. Ravani, Use of convex hulls for plant template approximation in QFT

design, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 119(3):598-600, 1997.

[55] O. Agamennoni, J. L. Figueroa, A. Palazoglu, Robust contoller design under highly

structured uncertainty, International Journal of Control, 70(5):721-733, 1998. [56] E. Boje, Finding nonconvex hulls of QFT templates, Trans. of the ASME Journal of

Dynamic Systems, Measurement and Control, 112:230-231, 2000.

119

[57] Y. Zhao and S. Jayasuriya, On generation of QFT bounds for general interval plants, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 116(4):618-627, 1994.

[58] I. M. Horowitz, Synthesis of feedback systems, Academic Press, New York, 1963. [59] I. M. Horowitz, M. Sidi, Synthesis of feedback systems with large plant ignorance for

prescribed time-domain tolerances, International Journal of Control, 16(2):289-309, 1972.

[60] L. Longdon, D. J. East, A simple geometrical technique for determining loop frequency

bounds which achieve prescribed sensitivity specifications, International Journal of Control, 30(1):153-158, 1979.

[61] D. J. Ballance, P. J. Gawthrop, Control system design via a QFT approach, Proc. IEE

conference on Control '91, volume 1, pages 476-480, Edinburgh, UK, 1991. [62] D. J. Ballance, Comments on the papers »A new approach to optimum loop synthesis«

and »On the determination of plant variation bounds for optimum loop synthesis«, International Journal of Control, 55(1):241-248, 1992.

[63] P. S. V. Nataraj, A MATLAB based toolbox for synthesis of lumped linear and nonlinear

and distributed systems, IEEE/IFAC Symposium on Computer Aided Control System Design, pages 513-518, 1994.

[64] O. Yaniv, QFT software, Israel, 1990. [65] G. C. Wang, C. W. Chen, S. H. Wang, Equation for loop bound in QFT, Proc. IEEE

Conf. Decision and Control, pages 2968-2969, England, 1991. [66] Y. Chait, O. Yaniv, Multi-input/single-output computer-aided control design using

QFT, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 3(1):47-54, 1993. [67] Y. Chait, O. Yaniv, Direct control design in sampled-data uncertain systems,

Automatica, 29(2):365-372, 1993. [68] D. F. Thompson, Gradient formulations for sensitivity-based QFT performance bounds,

Proc. of ACC, pages 3975-3976, Seattle, Washington, USA, 1996. [69] E. Eitelberg, QFT design for tracking error tolerance, Automatica, 36:319-326, 2000.

[70] F. N. Bailey, C. H. Hui, A fast algorithm for computing parametric rational functions, IEEE Trans. Automatic Control, 34(11):1209-1212, 1989.

[71] M. Fu, Computing the frequency response of linear systems with parametric

perturbation, Systems & Control Letters, 15:45-52, 1990. [72] A. C. Barlett, Computation of the frequency response of systems with uncertain

parameters: a simplification, Int. J. Control, 57:1293-1309, 1993.

120

[73] A. Tesi, A. Vicino, Kharitonov segments suffice for frequency response analysis of

interval plant-controler families, Control of Uncertain Dynamic Systems, 403-415, CRC Press, Littleton, MA, 1991.

[74] L. H. Keel, S. P. Bhattacharyya, Frequency domain design of interval controllers,

Control of Uncertain Dynamic Systems, 423-438, CRC Press, Littleton, MA, 1991. [75] L. H. Keel, S. P. Bhattacharyya, Robust parametric classical control design, IEEE

Trans. Automatic Control, 39:1524-1530, 1994. [76] J. J. O'Connor, E. F. Robertson, Lagrangian and Hamiltonian mechanics, Computer

Based Learning Unit, University of Leeds, 1997 [77] R. Plume, G. A. Fuller, F. Helmich, The James Clerk Maxwell Telescope Spectral

Legacy Survey, PASP, Volume 119, Issue 851, pp. 102-111., 2007 [78] R. N. Clark, The Routh-Hurwitz stability criterion, Control Systems Magazine, IEEE,

Volume 12, Issue 3, Page(s):119 - 120, 1992 [79] V. L. Kharitonov, Asymptotic stability of an equilibrium position of a family of systems

of linear differential equations, Differential Uravnen, 14(11):2086-2088, 1978 [80] C. Risito, On the Ljapunov stability of a system with known first integrals, Springer

Netherlands, 0025-6455, Volume 2, Number 4 / December, 1967 [81] A. Gelb, W. E. Vander Velde, Multiple-input describing functions and nonlinear system

design, McGraw-Hill Book Company, 1968 [82] B. Friedland, Advanced Control System Design, Pretence Hall, New Jersey, 1996 [83] J. W. Helton, O. Merino, Classical Control Using H-infinity Methods Theory

Optimization, SIAM, Philadelphia, 1998 [84] N. Cohen, Y. Chait, O. Yaniv, C. Borghesani, Stability Analysis Using Nichols Chart,

International Journal of Robust and Nonlinear Control, Vol. 4, pp. 3-20, 1994 [85] O. Yaniv, Quantitative Design Method for MIMO Uncertain Plants to Achieve

Prescribed Diagonal Dominant closed-loop MP Tolerances, Int. Jour. of Control, Vol. 27, no. 2, pp. 519-528, 1988

[86] K. R. Krishnan, A. Cruickshanks, Frequency Domain Design of Feedback Systems for

Specified Insensitivity of Time-Domain Response to Parameter Variations, Int. Jour. of Control, Vol. 25, No. 4, pp. 609-620, 1977

[87] D. Igrec, A. Chowdhury, R. Svečko, Uporaba metode QFT “Quantitative Feedback

Theory” pri načrtovanju robustnega vodenja, Elektroteh. vestn., 2008, letn. 75, št. 1/2,

str. 37-43

121

Življenjepis

Ime in priimek: Dalibor Igrec Rojen: 23. 12. 1974 Maribor Šolanje: 1982–1990 Osnovna šola Rado Robič Limbuš 1990–1994 Srednja elektrotehniška in računalniška šola Maribor 1994–2000 Dodiplomski študij; smer Avtomatika; Fakulteta za

elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Univerza v Mariboru

2000-2010 Podiplomski magistrski študij; smer Regulacije,

Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Univerza v Mariboru

Zaposlitev: 2000–2005 Glavni razvojni inženir pri podjetju Ultra d.o.o.,

Razvojni center Maribor 2005–2006 Produktni vodja pri podjetju Telargo d.o.o.,

Poslovna enota Maribor 2006–2009 Svetovalec na področju tehnologij pri podjetju Ultra

d.o.o., Razvojni center Maribor 2009 Svetovalec na področju tehnologij pri podjetju

Margento R&D d.o.o., Maribor