Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double...

29
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 : !, #$ %& % ’, ’: ≤ ! ≤ ), ≤ # ≤ . )& %& , + !, #$ - . , !, #$ - ! #. ℎ !, #$ 01 1 % ’ ℎ !# − 0&, + 3# 0 ℎ )& %& 1 ’ ℎ 1&3 ℎ 3− 3& & % 1 ℎ !# − 0& ) )&+ )# ’ )1 )# ℎ 5 = !, #$ , 7% 15.2 , ;% 1069$ . ?&3 = ∬ !, #$ - .. @ && ℎ 1&3 ℎ 0& 5 = 4 − ! − # , 1 %& ’: 0 ≤ ! ≤ 2 , 0 ≤ # ≤ 1 , ℎ !# − 0&. ℎ & 00& ℎ ! − ! 7% 15.4$ ;% 1069. @ℎ 1&3 B .!$ CDE CDF !. +ℎ .!$ ℎ − & !. 7 ℎ 1& !, + 3# && .!$ ℎ %& Chapter Three Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

Transcript of Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double...

Page 1: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1

������ ���� � ���� ��� ����: �� �������� � �������� � !, #$ ������� �� � ������%�&�� ��%��� ',

': � ≤ ! ≤ ), � ≤ # ≤ �. ���)&� ����%��& �� �, +������ �� ∬ � !, #$- �. , �� ∬ � !, #$- �! �#.

�ℎ�� � !, #$�� 0�����1� �������� �1�� ��%��� ' �� �ℎ� !# − 0&���, +� 3�# �����0��� �ℎ� ���)&� ����%��& �� � �1�� ' �� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� 3 − ��3�������& ��&�� ��%��� �1�� �ℎ� !# − 0&��� )������ )�&�+ )# ' ��� �)�1� )# �ℎ� ������� 5 = � !, #$ , 7�%��� 15.2 , ;�%� 1069$ .

?�&�3� = ∬ � !, #$- �..

@� ��&��&��� �ℎ� 1�&�3� ����� �ℎ� 0&��� 5 = 4 − ! − # , �1�� ������%�&�� ': 0 ≤ ! ≤ 2 , 0 ≤ # ≤ 1 , �� �ℎ� !# − 0&���. ���ℎ �&���� 0��0������&�� �� �ℎ� ! − �!��� 7�%��� 15.4$ ;�%� 1069. @ℎ� 1�&�3� �� B . !$CDECDF �!. +ℎ��� . !$�� �ℎ� ����� − ��������& ���� �� !. 7�� ���ℎ 1�&�� �� !, +� 3�# ��&��&��� . !$ �� �ℎ� ����%��&

Chapter Three Multiple Integrals

Double Integral

Double Integrals as Volume

Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

Page 2: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 2

. !$ = B 4 − ! − #$GDHGDF �# , +ℎ��ℎ �� �ℎ� ���� ����� �ℎ� ���1� 5 = 4 − ! − # �� �ℎ� 0&��� �� ����� − ������� �� !. I� ��&��&����% . !$, ! �� ℎ�&� ��!�� ��� �ℎ� ����%������ ��J�� 0&��� +��ℎ ���0��� �� #. K�3)����% �ℎ� �+� ����%��&�, +� ��� �ℎ�� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ������ ��&�� ��

?�&�3� = B . !$CDECDF �! = B L B 4 − ! − #$�#GDHGDF MCDECDF �!

= B [4# − !# − GOE ]GDFGDHCDECDF �! = B LQE − !MCDECDF �! = [QE ! − CO

E ]F E = 5

���ℎ �&���� 0��0������&�� �� �ℎ� # − �!��� 7�%��� 15.5$ ;�%� 1070. @ℎ� 1�&�3� �� B . #$GDHGDF �#. +ℎ��� . #$�� �ℎ� ����� − ��������& ���� �� #. 7�� ���ℎ 1�&�� �� #, +� 3�# ��&��&��� . #$ �� �ℎ� ����%��& . #$ = B 4 − ! − #$CDECDF �! , +ℎ��ℎ �� �ℎ� ���� ����� �ℎ� ���1� 5 = 4 − ! − # �� �ℎ� 0&��� �� ����� − ������� �� #. I� ��&��&����% . #$, # �� ℎ�&� ��!�� ��� �ℎ� ����%������ ��J�� 0&��� +��ℎ ���0��� �� !. K�3)����% �ℎ� �+� ����%��&�, +� ��� �ℎ�� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ������ ��&�� ��

?�&�3� = B . #$GDHGDF �# = B L B 4 − ! − #$�!CDECDF MGDHGDF �#

= B [4! − COE − !#]CDFCDEGDHGDF �# = B 6 − 2#$GDHGDF �# = [6# − #E]F H = 5

THEOREM 1 Fubini’s Theorem (First Form)

I� � !, #$ �� ���������� �ℎ���%ℎ��� �ℎ� ������%�&�� ��%��� ': � ≤ ! ≤ ), � ≤ # ≤ �, �ℎ�� ∬ � !, #$- �. = B B � !, #$ST �! �#UV = B B � !, #$UV �# �!ST .

Page 3: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 3

W! 1: K�&��&��� ∬ � !, #$- �. ��� � !, #$ = 1 − 6!E# ��� ': 0 ≤ ! ≤ 2, −1 ≤ # ≤ 1. X�&Y : ∬ � !, #$- �. = B B 1 − 6!E#$EF �! �#HZH = B ! − 2![#$FEHZH �#

= \ 2 − 16#$HZH

�# = [2# − 8#E]ZHH = 4. '�1�����% �ℎ� ����� �� ����%������ %�1�� �ℎ� ��3� ���+��.

\ \ 1 − 6!E#$HZH

�# �!EF

= \ # − 3!E#E$ZHHEF

�! = \ 1 − 3!E$ − −1 − 3!E$EF

�!

= B 2EF �! = 2!]FE = 4

Theorem 2 Fubini’s Theorem(stronger Form ^�� � !, #$)� ���������� �� � ��%��� '. 1- I� ' �� ������� )# � ≤ ! ≤ ), %H !$ ≤ # ≤ %E !$, +��ℎ %H ��� %E ���������� �� [�, )], �ℎ�� ∬ � !, #$- �. = B B � !, #$_O C$_` C$ST �#�!. 2- I� ' �� ������� )# � ≤ # ≤ �, ℎH #$ ≤ ! ≤ ℎE #$, +��ℎ ℎH ��� ℎE ���������� �� [�, �], �ℎ�� ∬ � !, #$- �. = B B � !, #$aO G$a` G$UV �!�#.

W! 2: 7��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� 0���3 +ℎ��� )��� �� �����%&� �� �ℎ� !# −0&��� )������ )# �ℎ� ! − �!�� ��� �ℎ� &���� # = ! ��� ! = 1 ��� +ℎ��� ��0 &��� �� �ℎ� 0&��� 5 = � !, #$ = 3 − ! − #. X�&Y: X�� 7�%��� 15.11 �� ;�%� 1075 . 7�� ��# ! )��+��� 0 ��� 1

# 3�# 1��# ���3 # = 0 �� # = ! 7�%��� 15.11)$. b����,

Double Integral over Bounded Nonrectangular Regions

Page 4: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 4

1 = B B 3 − ! − #$CF �#�!HF = B [3# − !# − GOE ]GDFGDCHF �! = B L3! − [CO

E MHF �!

= [[COE − Cc

E ]CDFCDH = 1. �ℎ�� �ℎ� ����� �� ����%������ �� ��1����� 7�%��� 15.11�$, �ℎ� ����%��& ���

�ℎ� 1�&�3� �� 1 = B B 3 − ! − #$HG �!�#HF = B [3! − COE − !#]CDGCDHHF �# z

= B L3 − HE − # − 3# + GOE + #EM �#HF = B LeE − 4# + [E #EM �#HF (3,0,0)

= [eE # − 2#E + GcE ]FH = 1. (1,0 ,2) z=3-x-y

@ℎ� �+� ����%��&� �f��&, �� �ℎ�# �ℎ��&� )�. (1,1,1)

Y x=1 y=x y x=1 y=x

y=x x=y x=1 (1,0,0) y=x y

Y=0 x x x (1,1,0)

W! 3: K�&��&��� ∬ ghi CC- �. , +ℎ��� ' �� �ℎ� �����%&� �� �ℎ� !# − 0&��� )������ )# �ℎ� ! − �!��, �ℎ� &��� # = !, ��� �ℎ� &��� ! = 1. X�&Y: )# ����%������ ����� +��ℎ ���0��� �� # ��� �ℎ�� +��ℎ ���0��� �� !, B B ghi CCCFHF �#$ �! = B G ghi CCHF $FGDC�! = B sin !HF �! = − cos 1$ + 1 ≅ 0.46. I� +� ��1���� �ℎ� ����� �� ����%������ ��� ����30� �� ��&��&���

B B ghi CCHG �!HF �# , +� ��� ���00�� )# �ℎ� ���� �ℎ�� B ghi CC �! ������ )�

�!0������ �� ���3� �� �&�3�����# ��������.

Page 5: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 5

Procedure for finding limits of integration

A) To evaluate ∬ � !, #$- �. �1�� � ��%��� ' , ����%�����% ����� +��ℎ ���0��� �� # ��� �ℎ�� +��ℎ ���0��� �� !, ��J� �ℎ� ��&&�+��% ���0�: 1 − XJ���ℎ �ℎ� ��%��� �� ����%������ ��� &�)�& �ℎ� )������% ���1�� 2 − I3�%��� � 1������& &��� ^ ������% �ℎ���%ℎ ' �� �ℎ� ��������� �� ���������% #. p��J �ℎ� # − 1�&��� +ℎ��� ^ ������ ��� &��1��. @ℎ��� ��� �ℎ� &�3��� �� ����%������. 3 − Kℎ���� ! − &�3��� �ℎ�� ���&��� �&& 1������& &���� �ℎ���%ℎ '. @ℎ� ����%��& �� ∬ � !, #$- �. = B B � !, #$GD√HZCOGDHZC �#�!.HF

r$ @� �1�&���� �ℎ� ��3� ���)&� ����%��& �� �� �������� ����%��& +��ℎ �����

�� ����%������ ��1����� , �ℎ� 0�������� ���� ℎ���5����& &���� ������� ��

1������& &����. ∬ � !, #$�.- = B B � !, #$sHZGOHZG �! �#HF

y &��1�� �� # = √1 − !2

1

!E + #E = 1 1 ����� �� # = 1 − !

! + # = 1 L enter at x=1-y

x x=0 x=1 0

&��1�� �� ! = s1 − #E

Finding the limits of Integration

Page 6: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 6

W! 4: XJ���ℎ �ℎ� ��%��� �1�� +ℎ��ℎ �ℎ� ����%������ B B 4! + 2$ECCO �# �!EF , ��J�� 0&��� ��� +���� �� �f��1�&��� ����%��& +��ℎ �ℎ� ����� �� ����%������ ��1�����. 4 # = 2! (2,4)

��&Y: @ℎ� ��%��� �� ����%������ �� %�1�� )# # = !E �ℎ� ���f��&���� !E ≤ # ≤ 2!, ��� 0 ≤ ! ≤ 2. ! = GE ! = s#

I� �� �ℎ������� �ℎ� ��%��� )������ )# �ℎ� ���1�� # = !E, ��� # = 2! , )��+��� ! = 0 ��� ! = 2. @� ���� �ℎ� &�3��� ��� ����%�����% �� �ℎ� ��1���� �����, +� �3�%��� � ℎ���5����&

&��� 0�����% ���3 &��� �� ��%ℎ� �ℎ���%ℎ �ℎ� ��%���. I� ������ �� ! = #2 ��� &��1�� �� ! = s#. ��� # )��+��� # = 0 �� # = 4. B B 4! + 2$√GtO �! �#uF = B 4 CO

E + 2!uF ]G/E√G �# = B 2# + 2s#uF − GOE − #$�#

= GOE + u[ #cO − Gc

w ]Fu = HwE + [E[ − wuw = 8. W1�&���� �ℎ� ����%��&� �� W!������� 1 − 8 ��� �J���ℎ �ℎ� ��%���

�� ����%������: 1 − B B 4 − #E$EF �# �! ,[F 2 − B B ! + # + 1$HZH �! �#FZH , 3 − B B !E# − 2!#$�# �! , FZE[F 4 − B B sin ! + cos #$�! �#,xFExx

5 − B B ! sin # �# �!,CFxF 6 − B B �CyGzi GFzi {H �! �# , 7 − B B # �# �!,ghi CFxF 8 − B B �! �# GOGEH . In Exercises 9-14, integrate the func�on f(x, y) over the given region.

H.W 1

Page 7: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 7

9 − � !, #$ = CG �1�� �ℎ� ��%��� �� �ℎ� ����� f������� )������ )# �ℎ� &����

# = !, # = 2! , ! = 1 , ! = 2. 10 − � !, #$ = !E + #E �1�� �ℎ� �����%�&�� ��%��� +ℎ��� 1������� 0,0$, 1,0$

��� 0,1$. 11 − � !, #$ = # − √! �1�� �ℎ� �����%�&�� ��%��� ��� ���3 �ℎ� ����� f�������

)# �ℎ� &��� ! + # = 1. 12 − � !, #$ = !E + 3!# �1�� �ℎ� ������%&� ': 0 ≤ ! ≤ 1, 0 ≤ # ≤ 1. 13 − � !, #$ = HCG �1�� �ℎ� ������%&� ': 1 ≤ ! ≤ 2 , 1 ≤ # ≤ 2. 14 − � !, #$ = # cos !# �1�� �ℎ� ������%&� ': 0 ≤ ! ≤ | , 0 ≤ # ≤ 1. I� W!������� 15 − 20 , �J���ℎ �ℎ� ��%��� �� ����%������ ��� +���� �� �f��1�&��� ����%��& +��ℎ �ℎ� ����� �� ����%������ ��1�����.

15 − \ \ �# �! ,uZECF

EF

16 − \ \ �# �!uZECE

HF

, 17 − \ \ �! �# ,√GG

HF

18 − \ \ �!�#.E√G

uF

19 − B B �# �! }~H ,EF 20 − B B �! �# .H√GHF

W1�&���� �ℎ� ����%��&� �� W!������� 21 − 23 )# �1�&�����% �� �f��1�&��� ����%��& �)������ )# ��1�����% �ℎ� ����� �� ����%������.

21 − \ \ !E �CG �!�# HG

HF

, 22 − \ \ 2 #E sin !#EC

EF

�# �! , 23 − \ \ ! �EG4 − #uZCO

FE

F �#�!

24 − 7��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��&�� +ℎ��� )��� �� �ℎ� ��%��� �� �ℎ� !# − 0&��� �ℎ�� �� )������ )# �ℎ� 0���)�&� # = 4 − !E ��� �ℎ� &��� # = 3! , +ℎ�&� �ℎ� ��0 �� �ℎ� ��&�� �� )������ )# �ℎ� 0&��� 5 = ! + 4.

Page 8: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 8

��� � �� ������ ������ � �� �� �

.��� = ∬ �.-

W! 1: 7��� �ℎ� ���� �� �ℎ� ��%��� ' )������ )# # = ! ��� # = !E �� �ℎ� ����� f�������. y y=x (1,1)

. = B B �# �!CCOHF = B ! − !E$HF �! = COE − Cc

[ ]FH = Hw . y=x # = !E

x

W! 2: 7��� �ℎ� ���� �� �ℎ� ��%��� ' ���&���� )# �ℎ� 0���)�&� # = !E ��� �ℎ� &��� # = ! + 2 . X�&Y: I� +� ����%���� +��ℎ ���0��� �� ! �ℎ�� �� # , +� +�&& ��1���� �ℎ� ��%��� ' ���� �+� ��%���� 'H & 'E. y (2,4)

. = ∬ �.-` + ∬ �.-O = B B �! �#√GZ√GHF + B B �! �#√GGZEuH

�� �ℎ� ��ℎ�� ℎ���, ��1�����% �ℎ� ����� y=x+2 R2 y=x2

�� ����%������ %�1��: R1 x

. = B B �# �! ,�yECOEZH �&���&# �ℎ�� ����&� �� ��30&�� ���

. = B #]COCyEEZH �! = B ! + 2 + !E$EZH �! = COE + 2! + Cc

[ ]ZHE = �E

First and second Moments and centers of Mass

p��� ��� p�3��� ���3�&�� ��� �ℎ�� 0&���� ��1����% ��%���� �� !# − 0&���. ������#: � !, #$, p���: p = ∬ � !, #$ �.

7���� 3�3����: pC = ∬ #� !, #$ �., pG = ∬ !� !, #$ �.

������ �� 3���: !̅ = �t� , #� = �~�

Areas, Moments , and Centers of Mass

Page 9: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 9

p�3���� �� ������� ������ 3�3����$: .)��� �ℎ� ! − �!�� ∶ IC = ∬ #E� !, #$ �.

.)��� �ℎ� # − �!�� ∶ IG = ∬ !E� !, #$ �.

.)��� �ℎ� ���%��: I� = ∬ !E + #E$ � !, #$�. = IC + IG

'���� �� %#������: .)��� �ℎ� ! − �!��: 'C = sIC p⁄

.)��� �ℎ� # − �!��: 'G = sIG p⁄

.)��� �ℎ� ���%�� ∶ '� = sI� p⁄

W! 3: . �ℎ�� 0&��� ��1��� �ℎ� �����%�&�� ��%��� )������ )# �ℎ� ! − �!�� ��� �ℎ� &���� ! = 1 ��� # = 2! �� �ℎ� ����� f�������. @ℎ� 0&����� ������# �� �ℎ� 0���� !, #$�� � !, #$ = 6! + 6# + 6. 7��� �ℎ� 0&����� 3���, ����� 3�3���, ������ �� 3��

3�3���� �� �������, ��� ����� �� %#������ �)��� �ℎ� ���������� �!��. X�&Y: p = \ \ � !, #$EC

F�# �! =H

F\ \ 6! + 6# + 6$EC

FH

F�# �! = \ 6!# + 3#E + 6#$FECH

F �!

= \ 12!E + 12!E + 12!$HF

�! = 8![ + 6!E$FH = 14

7���� 3�3��� ∶ pC = \ \ #� !, #$ECF

�# �! = \ \ # 6! + 6# + 6$ECF

�# �!HF

HF

= \ 3!#E + 2#[ + 3#E]FECHF

�! = \ 12![ + 16![ + 12!E$�!HF

= 3!u + 4!u + 4![]FH = 11.

Page 10: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 10

pG = \ \ !� !, #$ECF

�# �! = \ \ ! 6! + 6# + 6$ECF

�# �!HF

HF

= \ 6!E# + 3!#E + 6!#$FEC�!HF

= \ 12![ + 12![ + 12!E$�!HF

= 6!u + 4![$FH = 10

������ �� 3���: !̅ = �t� , #� = �~� , !̅ = HFHu = eQ , #� = HHHu

IC = ∬ #E� !, #$ �. = B B #E 6! + 6# + 6$ECF �# �!HF = B 2!#[ + [E #u + 2#[$FEC �!HF

= B 16!u + 24!u + 16![$�!HF = 8!e + 4!u$FH = 12

��3�&��&#, �ℎ� 3�3��� �� ������� �)��� �ℎ� # − �!�� �� IG = ∬ #E� !, #$ �. = B B !E 6! + 6# + 6$ECF �# �!HF = 39/5

I� = IC + IG = 12 + [�e = ��e 'C = sIC p⁄ = s12 14⁄ = s6 7⁄ , 'G = sIG p⁄ = s39 70⁄ , '� = sI� p⁄ = s99 70⁄ W! 4: 7��� �ℎ� �������� �� �ℎ� ��%��� �� �ℎ� ����� f������� �ℎ�� �� )������ �)�1�

)# �ℎ� &��� # = ! ��� )�&�+ )# �ℎ� 0���)�&� # = !E. X�&Y: X�� � = 1 , p = \ \ 1C

CO

HF

�# �! = \ #HF

]COC �! = \ ! − !E$HF

�! = !E2 − ![3 ]FH = 16

pC = B B #CCOHF �# �! = B GOEHF ]COC �! = B CO

E − C�E $HF �! = Cc

w − C�HF]FH = HHe

pG = B B !CCOHF �# �! = B !#HF ]COC �! = B !E − ![$HF �! = Cc[ − uu]FH = HHE

Page 11: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 11

���3 �ℎ��� 1�&��� �� p, pC ��� pG , +� ���� ∶ !̅ = �t� = HE , #� = �~� = Ee

@ℎ� �������� �� �ℎ� 0���� LHE , Ee M.

I� W!������� 1 − 8, �J���ℎ �ℎ� ��%��� )������ )# �ℎ� %�1�� &���� ��� ���1��. @ℎ�� ���� �ℎ� ��%����� ���� )# ���)&� ����%��&�:

1$ @ℎ� ���������� �!�� ��� �ℎ� &��� ! + # = 2. 2$ @ℎ� ! − �!��, �ℎ� ���1� # = �C , ��� �ℎ� &���� ! = 0, ! = ln 2. 3$ @ℎ� # − �!�� , �ℎ� &��� # = 2!, ��� �ℎ� &��� # = 4. 4$ @ℎ� 0���)�&� ! = −#E ��� �ℎ� &��� # = ! + 2. 5$ @ℎ� 0���)�&� ! = #E ��� ! = 2# − #E. 6$ @ℎ� 0���)�&� ! = # − #E ��� �ℎ� &��� ! + # = 0. 7$ @ℎ� ��3��&&�0�� # = 2√1 − !E ��� �ℎ� &���� ! = ±1, # = −1. 8$ .)�1� )# # = !E, )�&�+ )# # = −1 , �� �ℎ� &��� )# ! = −2, ��� �� �ℎ� ��%ℎ� )# # = 2! − 1. XJ���ℎ �ℎ� ��%��� ��� �ℎ�� ���� �ℎ� ���� ��� �ℎ� ����%��&� �� �!������� 9 − 14

9$ B B �! �#EGtOcwF , 10$ B B �# �!C EZC$ZC[F , 11$ B B �# �!��g Cghi C

��F , 12$ B B �! �#GyEGOEZH , 13$ B B �# �!HZCZECFZH + B B �# �!HZCZ~O

EF . 14$ B B �# �!FCOZuEF + B B �# �!√CFuF . 15$ 7��� �ℎ� ������ �� 3��� �� � �ℎ�� 0&��� �� ������# � = 3, )������ )# �ℎ�

&���� ! = 0, # = !, ��� �ℎ� 0���)�&� # = 2 − !E �� �ℎ� ����� f�������. 16$ 7��� �ℎ� 3�3���� �� ������� ��� ����� �� %#������ �)��� �ℎ� ����������

�!�� �� � �ℎ�� ������%�&�� 0&��� �� �������� ������# � )������ )# �ℎ�

&���� ! = 3 ��� # = 3 �� �ℎ� ����� f�������.

H.W 2

Page 12: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 12

17$ 7��� �ℎ� �������� �� �ℎ� ��%��� �� �ℎ� ����� f������� )������ )# �ℎ�

! − �!��, �ℎ� 0���)�&� #E = 2! ��� �ℎ� &��� ! + # = 4. 18$ 7��� �ℎ� �������� �� �����%�&�� ��%��� ��� ���3 �ℎ� ����� f�������

)# �ℎ� &��� ! + # = 3.

Polar coordinates:- Represent by the pair �, �$ +ℎ��� �$�� � ��# ���3 �ℎ� ���%�� �� � ��!�� 0���� 0$, ��� � �� �ℎ� �������� ��%&� )��+��� ������& ��# �� ��# �;. @ℎ� ��%&� �$�� 0�����1� +ℎ��� 3������� P (r, �)

������� �&�J+��� ��� ��%���1� +ℎ�� 3������� r

�&��J+���. �

I� 0�&�� ����������� �ℎ� �������� +�&& )� � �, �$ o initial ray x

��� �� �$�� ���������� �� � 0�&�� ��%��� %�1�� )# 0 ≤ ℎH �$ ≤ � ≤ ℎE �$, � ≤ � ≤ � , +ℎ��� � − − − � ≤ 2|

��, I = ∬ � �, �$- �. = B B � �, �$aO �$a` �$�� � �� ��

I� � �, �$ = 1, �ℎ�� �ℎ� 1�&�� �� �ℎ� ����%��& �� �$�� �ℎ� ���� �� '$

I = ∬ ��� ��- � � = � �$

X� .��� �� ' = B �OE�� �� = . �

. �� �ℎ� ���� ���&���� )# �ℎ� ���1� � = � �$ �

.��� )��+��� �+� ���1�� . = B �̀OZ�OOE�� �� � �

Double Integral in Polar Coordinates

�E �H

Page 13: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 13

W! 1: 7��� �ℎ� ���� ���&���� )# �ℎ� &�3�������� �E = 2�E cos � . ��&Y: . = B �O

E�� �� = B E TO ��g E�E�� ��

��+ �� �1�&���� � ��� � ��J� cos 2� = 0

2� = cosZH 0 = ∓ xE → � = ∓ xu , �� � = − xu ��� � = xu

. = B E TO ��g E�Ex/uZx/u �� = TO ghi E�E ]Zx/ux/u = TOE ¢sin xE − sin − xE£ = TO

E [1 + 1] = �E

�ℎ� ����& ���� = 2 �E

W! 2: 7��� �ℎ� ���� )������ )# �ℎ� ���1� � = 2 + cos � , ��� �ℎ� &��� � = 0, � = xE

X�&Y: . = B Ey��g �$OE�D�O�DF �� = HE B 4 + 4 cos � + cosE �$�OF ��,

= HE ¤4� + 4 sin � ⃒F�O + B HZ��g E�$E

�OF ��¦=HE ¤4� + 4 sin � + HE � − Hu sin 2� |F

�O¦ = | + 2 + x{ = �{ | + 2. W! 3: 7��� �ℎ� ���� ������ �ℎ� �������� � = � 1 + cos �$��� ������� �ℎ� ����&� � = �

X�&Y: ℎ��� +� ℎ�1� �H & �E �� +ℎ��ℎ �H = � 1 + cos �$ ��� �E = �

�� �����3��� �ℎ� &�3��� �� ����%������ ��� � &�, &�� �H = �E � = xE

�� � = � 1 + cos �$, cos � = 0 → � = cosZH 0 = ∓ |/2

. = B �̀OZ�OOE�Dx/E�DZx/E �� = 2 B [TO Hy��g �$OZTO]Ex/EF �� = � = − xE

= �E B 1 + 2 cos � + cosE � − 1$x/EF �� = �E B 2 cos � + HZ��g E�$Ex/EF ��

= �E[2 sin � + HE � − Hu sin 2�]F�O = �E ¢2 + xu£ = TO

u [8 + |].

2 1

Page 14: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 14

Changing Cartesian Integrals into Polar Integrals

Sometimes adouble integrals eaiser to evaluate using polar coordinates. @ℎ�� �� ��0����&&# ���� �� �ℎ� ��%��� �� ����%������ ��� )� ����&# ������� ����% � 0�&�� �f������. @ℎ� ��&&�+��% ���3�&� ��� ���1����� )��+��� ������%�&� ��� 0�&�� �����������

��� ������. ! = � cos � , # = � sin � , �E = !E + #E , tan � = GC

'�����%�&� ����������� ;�&�� �����������

∬ � !, #$ �. ∬ � �, �$ � �� ��

�. = �! �# �. = � �� ��

Y ∆�

�E �E = �E�

∆# �H = �H� ∆� = �E − �H

∆! x �H

��� &��%�ℎ = � = ��

&�� �H ≅ �E ≅ �

∆. = � ∆� ∆� , ∆� = ��

∆� = �� , �. = � �� ��

�� �� %�����& ! = � cos � , # = � sin �

�� ! = % �, �$ , # = ℎ �, �$

∬ � !, #$- �! �# = ∬ � % �, �$, ℎ �, �$$µ |¶(�, �)| �� ��

Page 15: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 15

@ℎ� ������ ¶ �, �$�� �ℎ� ¶���)��� �� �ℎ� ����������� ��������3�����. I� 3������

ℎ�+3��ℎ �ℎ� ��������3����� �� �!0�����% �� ����������% �ℎ� ���� ������ �0����

�� · �� · �� ��������3�� ���� '. @ℎ� ¶���)��� �����3����� �� ¶���)��� �� �ℎ� ���������� ��������3����� ! = % �, �$ , # = ℎ �, �$

¶ �, �$ = ¸¹C¹� ¹C¹�¹G¹� ¹G¹�¸ = ¹C¹� ¹G¹� − ¹G¹� ¹C¹� , �� ¶ �, �$ = ¹ C,G$¹ �,�$

ℎ��� +� ℎ�1� ! = � cos � , # = � sin �

¶ �, �$ = ¸¹C¹� ¹C¹�¹G¹� ¹G¹�¸ = ºcos � −� sin �sin � � cos � º = � cosE � + sinE �$ = �

�� ∬ � !, #$- �!�# = ∬ � � cos �µ , � sin �$ |�|�� ��=∬ �(� cos �µ , � sin �) ��� ��.

@� �1�&���� » �(�, �)-

�. �1�� ���%��� ' �� 0�&�� �����������, ����%�����%

����� +��ℎ ���0��� �� � ��� �ℎ�� +��ℎ ���0��� �� � , ��J� �ℎ� ��&&�+��% ���0�: 1) XJ��%ℎ �ℎ� ��%��� ��� &�)�& �ℎ� )������% ���1��. y

!E + #E = �E 2 !E + #E = 4

4 = �E, � = 2 √2 ' (√2, √2)

# = � sin � , √2 = � sin � , � = √Eghi � = √2 csc � x

2) 7��� �ℎ� � − &�3��� �� ����%������: I3�%��� � ��# (^)���3 �ℎ� ���%�� ������% �ℎ���%ℎ (')�� �ℎ� ��������� �� ���������% (�). p��J (�)1�&��� +ℎ��� (&)������ ��� &��1�� (').

Finding limits of Integration in Polar Coordinates

Page 16: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 16

@ℎ��� 1�&�� �� � − &�3��� ��0��� �� �ℎ� ��%&� �$ �ℎ�� ^$ y &��1� �� � = 2 3�J�� +��ℎ �ℎ� 0�����1� ! − �!���. 2 R 3$ 7��� �ℎ� � − &�3��� �� ����%������: √2 ����� �� � = √2 csc � 7��� �ℎ� �3�&&��� ��� &��%��� x

� − 1�&��� �ℎ�� )���� '. y L X� �ℎ� ����%��& �� √2 �E&��%��� � �� xE

�H�3�&&��� � x

» � �, �$-

�. = \ \ � �, �$�ODE

�̀ D√E �g� ���� ��.

�DxE�Dxu

W! 1: 7��� �ℎ� 3�3��� �� ������� �)��� �ℎ� ���%��� �� � �ℎ�� 0&��� �� ������# � !, #$ = 1, )������ )# �ℎ� f������ ����&� !E + #E = 1 �� �ℎ� ����� f�������. X�&Y: @ℎ� 3�3��� �� ������� �� I� � = xE +ℎ��� I� = ∬ !E + #E$- �. !E + #E = 1 L

I� = B B !E + #E$√HZCOF �# �!HF r=1 � = 0 I���%������ +��ℎ ���0��� �� # %�1��: o r=0 x

B !E √1 − !EHF + HZCO$cO[ �!, �� ����%��& �������&� �� �1�&���� +��ℎ��� ��)&��. r�� �� +� �ℎ��%� �ℎ� ���%���& ����%��& �� 0�&�� ����������, ��)��������% , ! = � cos � , # = � sin � , !E + #E = �E ��� ��0&����% �!�# )# �����

I� = \ \ !E + #E$√HZCO

F�#�!H

F= \ \ �E$H

F� ����

xEF

I� = \ �u4 ]FH ��xE

F= \ 14

xEF

�� = |8

R

R

R

Page 17: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 17

W! 2: W1�&���� ∬ �COyGO- �# �!, +ℎ��� ' �� �ℎ� ��3������&�� ��%��� )������ )# �ℎ� ! − �!�� ��� �ℎ� ���1� # = √1 − !E. ∬ �COyGO- �# �! = B B ��OHFxF � ���� = B HE ��O]FHxF �� = B HExF � − 1$�� = xE � − 1$

# = √1 − !E

� = 1

-1 � = | � = 0 1 x

W! 3: �����3��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��&�� )�&�+ �ℎ� ������� � !, #$ = 4 − !E − #E, �)�1� �ℎ� !# − 0&��� �1�� �ℎ� ��%��� )������

)# !E + #E = 1 & !E + #E = 4. ∬ � !, #$ �. = ∬ � �, �$ � �� ��

� !, #$ = 4 − !E + #E$ = 4 − �E

!E + #E = �E

� = 1 & � = 2

\ \ 4 − �E$EH

ExF

� �� �� = \ \ 4� − �[$EH

�� ��ExF

= \ 4�E2ExF

− �u4 ]HE��

B 8 − 4$ExF − L2 − HuM �� = B �uExF �� = �u �]FEx = �E |. W! 4: �����3��� �ℎ� 1�&�3� �� 5 = s9 − !E − #E�1�� �ℎ� ��%��� !E + #E ≤ 4 �� �ℎ� ����� ������. � !, #$ = s9 − !E − #E , � �, �$ = √9 − �E

!E + #E ≤ 4 , �E ≤ 4, � ≤ 2

Page 18: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 18

\ \ Ls9 − �EMEF

� �� ��xE

F= \ − 12

xEF

\ 9 − �E$HEE

F −2�$�� ��

\ − 12 23 xE

F. 9 − �E$[/E]FE$ �� = \ 9 − 5√53

x/EF

$�� = ¼27 − 5√56 ½ |

W! 5: W1�&���� B B s !E + #E$[O√�ZCOF[F �#�! . X�&Y: )# ���1�����% �� 0�&�� �����������

� �, �$ = s �E$[O = �[, # ≥ 0 ��� # ≤ s9 − !E

B B �[�D[�DFx/EF . � �� �� = B ��ex/EF ]F[ �� = Eu[HF | ! ≥ 0 ��� ! ≤ 3

#E ≤ 9 − !E

#E + !E ≤ 9 , �E ≤ 9

� ≤ 3

I� � !, #, 5$�� � �������� ������� �� � �&���� )������ ��%��� � �� �0���, ���ℎ ��

�ℎ� ��%��� ����0��� )# � ��&�� )�&& �� �&�30 �� �&�#, �ℎ�� �ℎ� ����%��& �� � �1��

� 3�# )� ������� �� ���0&� ����%��& �� � �1�� �. 5

∭ � !, #, 5$À �! �# �5

! #

Triple Integrals in Rectangular Coordinates

Page 19: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 19

I� � !, #, 5$�� �������� ��� �f��& 1 �ℎ�� �ℎ� ���0&� ����%��& +�&& )� �ℎ� 1�&�3� �� � �&���� , )������ ��%��� � �� �0���

1 = ∭ �1À . @ℎ�� ����%��& ���)&�� �� �� ��&��&��� �ℎ� 1�&�3�� �� ��&��� ���&���� )# ���1��

��������. Á���� ��Â�� �� Ã��� ��

�� �1�&���� � ���0&� ����%��& )# �00&#��% � �ℎ��� ��3�������& 1������ �� 7�)����� @ℎ����3 �� �1�&���� �� )# �ℎ��� ��0����� ���%&� ����%�������. .� +��ℎ

���)&� ����%��&�, �ℎ��� �� � %��3����� 0�������� ��� ������% �ℎ� &�3��� �� ����%������ ��� �ℎ��� ���%&� ����%��&�

@� �1�&���� ∭ � !, #, 5$À �1 z

�1�� � ��%��� �, ����%���� ����� +��ℎ ���0��� �� Ä , �ℎ�� +��ℎ ���0��� �� Å, ����&&# +��ℎ ���0��� �� !. 5 = �2 !, #$

1$ XJ���ℎ �ℎ� ��%��� � �&��% +��ℎ ��� " shadow" ' 1������& 0��É������$�� �ℎ� !# − 0&���. &�)&� �ℎ� D �00�� ��� &�+�� )������% �������� �� � ��� �ℎ� �00�� ��� &�+�� )������% ���1�� �� '. 5 = �1 !, #$ 2$ 7��� �ℎ� 5−&�3��� �� ����%������: ���+ � &��� p 0�����% �ℎ���%ℎ ��#0���& 0���� !, #$�� ' 0���&&�& �� �ℎ� 5 − �!��. a y .� Ä ���������, p ������ � �� 5 = �H !, #$ # = %H !$ ��� &��1�� �� 5 = �E !, #$. @ℎ��� ��� �ℎ� x b ' # = %E !$ 5 − &�3��� �� ����%������. 3$ 7��� �ℎ� Å − &�3��� �� ����%������: ���+ � &��� ^ �ℎ���%ℎ !, #$0���&&�& �� �ℎ� # − �!��. .� # ���������, ^ ������ ' ��

Page 20: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 20

# = %H !$��� &��1�� �� # = %E !$. leave at z2=f2(x,y) @ℎ��� ��� �ℎ� # − &�3��� �� ����%������. D M 4$ 7��� �ℎ� ! − &�3��� �� ����%������: �ℎ���� ! − &�3��� �ℎ�� ���&��� �&& &���� �ℎ���%ℎ ' 0���&&�& �� �ℎ� # − �!�� enter at z1=f1(x,y) ! = � ��� ! = ) �� �ℎ� 0�������% ��%���$ y @ℎ��� ��� �ℎ� ! − &�3��� �� ����%������. x R y=g1(x) y=g2(x) L

@ℎ� ����%��& �� \ \ \ � !, #, 5$ÊDËO C,G$ÊDË̀ C,G$

GD_O C$GD_` C$

CDSCDT

�5 �# �!. 7�&&�+ ��3�&�� 0��������� �� #�� �ℎ��%� �ℎ� ����� �� ����%������. @ℎ� "shadow" �� ��%��� � &��� �� �ℎ� 0&��� �� �ℎ� &��� �+� 1����)&�� +��ℎ ���0���

�� +ℎ��ℎ �ℎ� �������� ����%������ ��J�� 0&���. @ℎ� �)�1� 0�������� �00&��� +ℎ���1�� � ��&�� ��%��� � �� )������ �)�1� ��� )�&�+ )# � �������, ��� +ℎ�� �ℎ� "shadow" ��%��� ' �� )������ )# � &�+�� ��� �00�� ���1�. W! 1: 7��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��%��� � ���&���� )# �ℎ� �������� 5 = !E + 3#E, ��� 5 = 8 − !E − #E. X�&Y: @ℎ� 1�&�3� �� 1 = ∭ �5 �# �!À D (-2,0,4)

@� ���� �ℎ� &�3��� �� ����%������ ��� (2,0,4) (-2,0,0)

�1�&�����% �ℎ� ����%��&, +� ����� �J���ℎ

�ℎ� ��%���. @ℎ� �������� �� �� ��%��� ��������� (2,0,0) L y

�� �ℎ� �&&�0����& �#&����� !E + 3#E = 8 − !E − #E

�� !E + 2#E = 4, 5 > 0

R

(x,y) x2+2y

2=4

Z=x2+3y

2

Z=8-x2-y

2

Page 21: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 21

@ℎ� )������# �� �ℎ� ��%��� ', �ℎ� 0��É�������� � ���� �ℎ� !# − 0&���, �� �� �&&�0�� +��ℎ �ℎ� ��3� �f������ !E + 2#E = 4. @ℎ� upper )������# �� ' �� �ℎ� ���1� # = s 4 − !E$/2. @ℎ� &�+�� )������# ��

�ℎ� ���1� # = −s 4 − !E$/2. 5 − &�3��� �� ����%������, �ℎ� &��� p 0�����% �ℎ���%ℎ � �#0���& 0���� !, #$�� '

0���&&�& �� �ℎ� 5 − �!�� ����� � �� 5 = !E + 3#E ��� &��1�� �� 5 = 8 − !E − #E. # − &�3��� �� ����%������.@ℎ� &��� ^ �ℎ���%ℎ !, #$ 0���&&�& �� �ℎ� # − �!�� ������

' �� # = −s 4 − !E$/2 ��� &��1�� �� # = s 4 − !E$/2. 7���&&# +� ���� �ℎ� ! − &�3��� �� ����%������. .� ^ �+��0� ������ ', �ℎ� 1�&�� �� ! 1����� ���3 ! = −2

�� −2,0,0$ �� ! = 2 �� 2,0,0$. @ℎ� 1�&�3� �� � �� 1 = Í �5 �# �!

À= \ \ \ �5 �# �!.{ZCOZGO

COy[GO

s uZCO$/E

Zs uZCO$/EE

ZE

1 = \ \ 8 − 2!E − 4#E$s uZCO$/E

Zs uZCO$/EE

ZE�# �!

1 = \[ 8 − 2!E$# − 43 #[]Zs uZCO$/Es uZCO$/EEZE

�!

1 = \[2 8 − 2!E$ 4 − !E2 $H/EEZE

− 83 4 − !E2 $[/E]�!

1 = \[8 4 − !E$2 4 − !E2 $H/EEZE

− 83 4 − !E2 $[/E]�!

Page 22: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 22

1 = \ Î8 − 83Ï ¼4 − !E2 ½[/EEZE

�! = 163 \ 4 − !E$[/EEZE

�!

&�� ! = 2 sin � , �! = 2 cos � ��

! − &�3��� ∶ −2 �� 2 +�&& )� − xE �� xE

1 = 163 \ 4 − 4 sinE �$ [/Ex/E

–x/E2. cos � �� = 8 . 163 \ 1 − sinE �$[/E cos � ��x/E

–x/E

1 = 8 . 163 \ cosE �$[E cos � ��x/E–x/E

= 8 . 163 \ cosu � ��x/EZx/E

1 = 8 . 163 \ cosE �$Ex/E

–x/E �� = 8 . 163 \ Î1 + cos 2�2 ÏEx/E

–x/E ��

1 = 2 . 163 \ 1 + 2 cos 2� + cosE 2�$x/E–x/E

�� W! 2: 7�����% �ℎ� &�3��� �� ����%������ �� �ℎ� ����� �# �5 �!

��� �0 �ℎ� &�3��� �� ����%������ ��� �1�&�����% �ℎ� ���0&� ����%��& �� � �������� � !, #, 5$�1�� �ℎ� �����ℎ����� � +��ℎ 1������� 0,0,0$, 1,1,0$, 0,1,0$ ��� 0,1,1$ .

��&Y: +� �J���ℎ � �&��% +��ℎ ��� �ℎ���+ ' �� �ℎ� !# − 0&��� 1 (0,1,1)

@ℎ� �00�� ��%ℎ� − ℎ���$)������% ������� �� � x+z=1 y=x+z D

&��� �� �ℎ� 0&��� # = 1. �ℎ� &�+�� &��� − ℎ���$ (0,1,0)

)������% ������� &��� �� �ℎ� 0&��� # = ! + 5 1 (1,1,0)

@ℎ� �00�� )������# �� ' �� �ℎ� &��� 5 = 1 − !.

Page 23: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 23

@ℎ� &�+�� )������# �� �ℎ� &��� 5 = 0. 7���� +� ���� �ℎ� # − &�3��� �� ����%��&

@ℎ� &��� �ℎ���%ℎ � �#0���& 0���� !, 5$�� ' 0���&&�& �� �ℎ� # − �!�� ������

� �� # = ! + 5 , ��� &��1�� �� # = 1

��!� +� ���� 5 − &�3��� �� ����%��&, �ℎ� &��� ^ �ℎ���%ℎ !, 5$ 0���&&�& �� �ℎ� 5 − �!�� ������ ' �� 5 = 0 ��� &��1�� �� 5 = 1 − !$. 7���&&# +� ���� �ℎ� ! − &�3��� �� ����%��&. .� ^ �+��0� ����� ', �ℎ� 1�&�� ��

! 1����� ���3 ! = 0 �� ! = 1 , @ℎ� ����%��& ��

\ \ \ � !, #, 5$HCyÊ

HZCF

HF

�# �5 �!. W! 3: '�1������% W!�30&� 2 ����% �ℎ� ����� �5 �# �!

��&Y: @� ����%���� � !, #, 5$�1�� �ℎ� �����ℎ����� � �� �ℎ� ����� �5 �# �!, +� 0�����3 �ℎ� ���0� �� �ℎ� ��&&�+��% +�#. 7���� +� ���� �ℎ� 5 − &�3��� �� ����%������ . . &��� 0���&&�& �� �ℎ� 5 − �!�� �ℎ���%ℎ � �#0���& 0���� !, #$�� �ℎ� !# − 0&��� �ℎ���+ ������ �ℎ� �����ℎ�����

�� 5 = 0 ��� �!��� �ℎ���%ℎ �ℎ� �00�� 0&��� +ℎ��� 5 = # − !

��!� +� ���� �ℎ� # − &�3��� �� ����%������, �� �ℎ� !# − 0&���, +ℎ��� 5 = 0, �ℎ�

�&�0�� ���� �� �ℎ� �����ℎ����� ������� �ℎ� 0&��� �&��% �ℎ� &��� # = !. . &��� �ℎ���%ℎ !, #$0���&&�& �� �ℎ� # − �!�� ������ �ℎ� �ℎ���+ �� �ℎ� !# − 0&��� �� # = ! ��� �!��� �� # = 1. 7���&&# +� ���� �ℎ� ! − &�3��� �� ����%������. .� �ℎ� &��� 0���&&�& �� �ℎ� # − �!�� �� �ℎ� 0��1���� ���0 �+��0� ��� �ℎ� �ℎ���+

�ℎ� 1�&�� �� ! 1����� ���3 ! = 0 �� ! = 1 �� �ℎ� 0���� 1,1,0$.

Page 24: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 24

@ℎ� ����%��& �� \ \ \ � !, #, 5$GZCF

HC

HF

�5 �# �!

I� � !, #, 5$ = 1 �ℎ�� 1 = \ \ \ �5 �# �!GZCF

HC

HF

= \ \ # − !$HC

HF

�# �!

1 = \[12 #E − !#]GDCGDHHF

�! = \ Î12 − ! + 12 !EÏ �!HF

= [12 ! − 12 !E + 16 ![]FH = 16

+� %�� �ℎ� ��3� ����&� )# ����%�����% +��ℎ �ℎ� ����� �# �5 �!

1 = \ \ \ �# �5 �!HCyÊ

HZCF

HF

= 16

W! 4: ���% ��������� ������ �� ����%������ z

W��ℎ �� �ℎ� ��&&�+��% ����%��&� %�1�� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��&�� �ℎ�+� �� �ℎ� ��%��� y+z=1

�$ B B B �! �# �5EFHZÊFHF

)$ B B B �! �5 �#EFHZGFHF 2 y

�$ B B B �# �! �5HZÊFEFHF x

�$ B B B �# �5 �!HZÊFHFEF

�$ B B B �5 �! �#HZGFEFHF

�$ B B B �5 �# �!HZGFHFEF

Page 25: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 25

+� +��J ��� +��ℎ �ℎ� ����%��&� �� 0���� )&�

1 = \ \ \ �! �5 �#EF

HZGF

HF

= \ \ 2HZGF

HF

�5 �# = \ 2 1 − #$ HF

�# = 1

.&�� 1 = \ \ \ �# �! �5HZÊF

EF

HF

= \ \ 1 − 5$EF

HF

�! �5 = \[! − 5!]FEH

F�5

1 = \ 2 − 25$�5HF

= 1

@ℎ� ����%��&� �� 0���� �, �, �, ��� � �&�� %�1� 1 = 1

���� �� � ��� �� ����� � �� ��

@ℎ� �1���%� 1�&�� �� � �������� � �1�� � ��%��� ' �� �0��� �� ������� )# �ℎ� ���3�&�

.1���%� 1�&�� �� � �1�� ' = HÒ�ÓÔÕ} �Ë - ∭ 7 �1-

I� 7 !, #, 5$ = s!E + #E + 5E , �ℎ�� �ℎ� �1���%� 1�&�� �� 7 �1�� ' �� �ℎ� �1���%� �������� �� 0����� �� ' ���3 �ℎ� ���%��. I� 7 !, #, 5$�� �ℎ� ������# �� �ℎ� ��&��

�ℎ�� ����0��� � ��%��� ' �� �0���, �ℎ�� �ℎ� �1���%� 1�&�� �� 7 �1�� ' �� �ℎ� �1���%� ������# �� �ℎ� ��&�� �� ����� �� 3��� 0�� ���� 1�&�3�. W! 3: 7��� �ℎ� �1���%� 1�&�� �� � !, #, 5$ = !#5 �1�� �ℎ� ��)� )������ )# �ℎ�

���������� 0&���� ��� �ℎ� 0&���� ! = 2 , # = 2 , ��� 5 = 2 �� �ℎ� ����� ������. ��&Y: �� �J���ℎ �ℎ� ��)� +��ℎ ����%ℎ �����& �� �ℎ�+ �ℎ� &�3��� �� ����%������

Page 26: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 26

The volume of the cube is 2$ 2$ 2$ = 8

@ℎ� 1�&�� �� �ℎ� ����%��& �� � �1�� �ℎ� ��)� �� B B B !#5EFEFEF �! �# �5 =

B B COEEFEF # 5 ]FE �# �5 = B B 2 # 5 �# �5EFEF = B 2 GO

EEF ]FE �5 = B 4 5 �5EF = 4 ÊOE ]FE = 8.

∴ .1���%� 1�&�� �� !#5 �1�� �ℎ� ��)� = HÒ�ÓÔÕ} ∭ !#5 �1 = H{ 8$ = 1

Masses and Moments in Three Dimensions

p���: p = ∭ �- �1 � = ������#$

����� 3�3���� �)��� �ℎ� ���������� 0&����: pGÊ ∭ !- � �1, pCÊ = ∭ # - � �1, pCG = ∭ 5- � �1

������ �� 3���: !̅ = ∭ CÙ UÒ� , #� = ∭ GÙ UÒ� , 5̅ = ∭ Ê Ù UÒ�

p�3���� �� ������� ������ 3�3����$

IC = ∭ #E + 5E$ � �1, IG = ∭ !E + 5E$ � �1, IÊ = ∭ !E + #E$ � �1

p�3��� �� ������� �)��� � &��� ^: IÓ = ∭ �E � �1 , � !, #, 5$: �������� ���3 0���� !, #, 5$ �� &��� ^. '����� �� %#������ � )��� � &��� ^: 'Ú = sIÚ p⁄

W! 1: 7��� IC, IG , IÊ ��� �ℎ� ������%�&�� ��&�� �� �������� ������# � �ℎ�+� �� �ℎ� ��%���

IC = B B B #E + 5E$ÛOZÛOÜOZÜO

ÝOZÝO � �! �# �5 c

= 8 B B B #E + 5E$T/EFS/EFV/EF � �! �# �5 y

4 � � B B #E + 5E$�# �5ÜOFÝOF x a

Page 27: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 27

= 4� � B Gc[V/EF + 5E# ]GDFGDS/E = 4� � B Sc

EuV/EF + ÊOSE $ �5

4� � LScVu{ + VcSu{ M = TSV Ù HE )E + �E$ = �HE )E + �E$. ��3�&��#, IG = �HE �E + �E$ ��� IÊ = �HE �E + )E$. W! 2: 7��� �ℎ� ������ �� 3��� �� � ��&�� �� �������� ������# � )������ )�&�+ )# �ℎ� ���J ': !E + #E ≤ 4 �� �ℎ� 0&��� 5 = 0 ��� �)�1� )# �ℎ� 0���)�&��� 5 = 4 − !E − #E

��&Y: )# ��33���# , !̅ = #� = 0 z

. @� ���� 5̅ +� ����� ��&��&���

pCG = ∬ B 5 ÊDuZCOZGOÊDF- � �5 �# �! z=4-x2-y

2

= ∬ ÊOE- ]FuZCOZGO � �# �!

= ÙE ∬ 4 − !E − #E$E- �# �! y

= ÙE B B 4 − �E$EEFExF � �� �� 0�&�� ����������$ x

= ÙE B [− Hw 4 − �E$[]FEExF �� = HwÙ[ B ��ExF = 32 xÙ[ . p = » \ � �5 �# �!uZCOZGO

F-= 8|� →→ 5̅ = pCGp = 43 , ������ !̅, #�, 5̅$ = Î0,0, 43Ï.

Triple Integrals

1$ ����� ��! ��������� �������� ���0&� ����%��&� ��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ������%�&�� ��&�� �� �ℎ� ����� ������ )������ )# �ℎ� ���������� 0&���� ��� �ℎ� 0&���� ! = 1, # = 2 , ��� 5 = 3. W1�&���� ��� �� �ℎ� ����%��&�.

R

H.W 3

Page 28: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 28

2$ ����� ��! ��������� �������� ���0&� ����%��&� ��� �ℎ� 1�&�3� �� �����ℎ����� ��� ���3 �ℎ� ����� ������ )# �ℎ� 0&��� 6! + 3# + 25 = 6. W1�&���� ��� �� �ℎ� ����%��&�. 3$ ����� ��! ��������� �������� ���0&� ����%��&� ��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��%��� �� ����� ������ ���&���� )# �ℎ� �#&����� !E + 5E = 4, ��� �ℎ� 0&��� # = 3. W1�&���� ��� �� �ℎ� ����%��&�. 4$ W1�&���� �ℎ� ����%��&�:-

IH = \ \ \ !E + #E + 5E$HF

HF

HF

�5 �# �!, IE = \ \ \ �5 �! �# {ZCOZGO

COy[GO

[GF

√EF

I[ = \ \ \ 1!#5 �! �# �5 }H

}H

}H

, Iu = \ \ \ �5 �# �! [Z[CZGF

[Z[CF

HF

Ie = B B B # sin 5xFxFHF �! �# �5, Iw = B B B ! �5 �# �!uZCOZGFHZCOFHF 5$ @ℎ� ��%��� �� ����%������ �� �ℎ� ����%��& z Top: y+z=1 B B B �5 �# �!HZGFHCOHZH , �ℎ�+� �� �ℎ� ��%��� , side:y=x2 (-1,1,0) '�+���� �ℎ� ����%��& �� �� �f��1�&��� �������� x 1 (1,1,0) �� �ℎ� ����� �$ �# �5 �!, )$ �# �! �5, �$ �! �# �5, �$ �! �5 �#, �$ �5 �! �#. (0,-1,1) z=y

2 z 6$ 7�%��� )�&�+ �ℎ�+� �ℎ� ��%��� �� (1,-1,1) ����%������ �� �ℎ� ����%��& (1,-1,0) y B B B �5 �# �! .GOFFZHHF x '�+���� �ℎ� ����%��& �� �� �f��1�&��� �������� �� �ℎ� ����� �$ �# �5 �!, )$ �# �! �5, �$ �! �# �5, �$ �! �5 �#, �$ �5 �! �#. 7$ 7��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��%��� )��+��� �ℎ� �#&����� 5 = #E ��� �ℎ� !# − 0&��� �ℎ�� �� )������ )# �ℎ� ���� 1������& 0&���� ! = 0, ! = 1 , # = −1 , # = 1. z

x y

Page 29: Multiple Integrals · CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1 ... Multiple Integrals Double Integral Double Integrals as Volume Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals

CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 29

8$ 7��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��%��� �� �ℎ� ����� ������ )������ )# �ℎ� ���������� 0&����, �ℎ� 0&��� # + 5 = 2, ��� �ℎ� �#&����� ! = 4 − #E. Z

X y