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MÉTODOS
QUANTITATIVOS
APLICADOS À
CONTABILIDADE
Profa.: Patricia Maria Bortolon, D.Sc.
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Fundamentos de Testes
de Hipóteses: Testes
para Uma Amostra
Cap. 9
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Exercício 1
Defina a hipótese nula e a hipótese alternativa
para a seguinte situação: inspeciona-se uma
amostra de 142 peças de uma grande remessa,
encontrando-se 8% defeituosas. O fornecedor
garante que não haverá mais de 6% de peças
defeituosas em cada remessa. O que tentamos
descobrir é se a afirmação do fornecedor é
verdadeira.
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Exercício 2Um fornecedor de mancais comprometeu-se a enviar
para uma firma lotes que não contenham mais de 2% de
defeituosos. O comprador extrai amostras ao receber a
remessa, para verificar a qualidade.
a.indique Ho e H1
b.O fornecedor não deseja remeter lotes com elevado
risco de devolução em razão de número excessivo de
unidades defeituosas, mas também não deseja remeter
lotes com percentagem de defeituosos muito menor que
a estabelecida, de modo que ele também, fornecedor,
faz seu teste antes de proceder à remessa. Indique Ho e
H1.
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Exercício 3
Via de regra, em um tribunal os integrantes do
júri não se deixam enganar por provas falsas,
quer sejam a favor ou contra o réu. Tais
enganos ocorrem sim, mas com baixa
probabilidade. Tendo em mente a “filosofia” do
teste de hipóteses da inferência estatística com
qual alternativa se deve trabalhar?
(a) O réu é inocente até prova em contrário.
(b) O réu é culpado até prova em contrário.
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Teste de Hipóteses: σ conhecido
Para um teste bi-caudal da média, σ conhecido:
Converta a estatística da amostra ( X ) em uma estatística de
teste
Determine o valor crítico de z para o nível de confiança
especificado a partir de uma tabela ou usando o Excel
Decisão: se a estatística de teste cair na região de rejeição, rejeite
H0; caso contrário não rejeite Ho
n
σ
μXZ
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Teste de Hipótese: σ conhecido
Não rejeita H0 Rejeita
H0
Rejeita
H0
Há dois valores
críticos
definindo as
regiões de
rejeição /2
-Z
0
H0: μ = 3
H1: μ ≠ 3
+Z
/2
Valor
crítico
inferior
Valor
crítico
superior
3
Z
X
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Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo: Teste a afirmação de que o verdadeiro peso médio das barras de chocolate produzidas em uma fábrica é igual a 3 onças.
Declare as hipóteses nula e alternativa
H0: μ = 3 H1: μ ≠ 3 (este é um teste bi-caudal)
Especifique o nível desejado de significância
Suponha que = .05 seja escolhido para este teste
Escolha um tamanho de amostra
Suponha que um tamanho de amostra n = 100 seja
escolhido
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Teste de Hipótese: σ conhecido
2.0.08
.16
100
0.8
32.84
n
σ
μXZ
Determine a técnica adequada
σ é conhecido então pode-se usar o teste Z
Estabeleça os valores críticos
Para = .05 os valores críticos de Z são ±1.96
Colete os dados e calcule a estatística de teste
Suponha que os resultados da amostra sejam:
n = 100, X = 2.84
(σ = 0.8 é presumido a partir de dados históricos da
empresa)
Então a estatística de teste é:
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Teste de Hipótese: σ conhecido
Rejeita H0 Não rejeita H0
A estatística de teste está na região de rejeição?
= .05/2
-Z= -1.96 0
Rejeita H0 se
Z < -1.96 ou
Z > 1.96;
caso
contrário não
rejeite H0
= .05/2
Rejeita H0
+Z= +1.96
Aqui, Z = -2.0 < -1.96, então a
estatística de teste está na região de
rejeição de Ho
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Teste de Hipótese: σ conhecido
Decida e interprete o resultado
Como z = -2.0 < -1.96, você rejeita a hipótese
nula e conclui que há evidências suficientes de
que a média do peso das barras de chocolate
não é igual a 3 onças.
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Teste de Hipótese: σ conhecido
As 6 etapas do Teste de Hipóteses:
1. Defina a hipótese nula, H0 e a hipótese alternativa
H1
2. Escolha o nível de significância, α, e o tamanho da
amostra n.
3. Determine a técnica estatística adequada e o teste a
ser realizado.
4. Encontre os valores críticos e determine a região de
rejeição.
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Teste de Hipótese: σ conhecido
5. Colete os dados e calcule a estatística de
teste a partir da amostra.
6. Compare a estatística de teste com o valor crítico
para determinar se a estatística de teste caiu na
região de rejeição. Faça a decisão estatística:
Rejeitar H0 se a estatística de teste cair na região
de rejeição. Escreva a decisão no contexto do
problema em questão.
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Teste de Hipótese: σ conhecido
A abordagem do p-valor
O valor-p é a probabilidade de ser obtida uma estatística de teste igual ou mais extrema do que o resultado da amostra, considerando que a hipótese nula H0 seja verdadeira
Também conhecido como nível observado de significância
Menor valor de a partir do qual H0 pode ser rejeitada
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Teste de Hipótese: σ conhecido
A abordagem do p-valor
Converta a estatística da amostra (ex. X) para
a estatística de teste (ex. Estatística Z)
Obtenha o p-valor em uma tabela ou usando
o Excel
Compare o p-valor com
Se p-valor < , rejeita H0
Se p-valor , não rejeita H0
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Teste de Hipótese: σ conhecido
A abordagem do p-valor
Exemplo: Quão provável é encontrar uma amostra com média igual a 2,84 (ou algo mais distante da média, em qualquer direção) se a verdadeira média é = 3.0?
.02282.0)P(Z
.02282.0)P(Z
X = 2.84 é traduzida para
uma estatística Z = -2.0
p-valor
=.0228 + .0228 = .0456
.0228
/2 = .025
-1.96 0
-2.0
Z1.96
2.0
.0228
/2 = .025
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Teste de Hipótese: σ conhecido
A abordagem do p-valor
Compare o p-valor com
Se p-valor < , rejeita H0
Se p-valor , não rejeita H0
Aqui: p-valor = .0456 = .05
Como .0456 < .05,
você rejeita a hipótese
nula
.0228
/2 = .025
-1.96 0
-2.0
Z1.96
2.0
.0228
/2 = .025
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Teste de Hipótese: σ conhecido
Relação com Intervalo de Confiança
100
0.8 (1.96) 2.84 a
100
0.8 (1.96) - 2.84
Para X = 2.84, σ = 0.8 e n = 100, o intervalo
para um nível de confiança de 95% é:
2.6832 ≤ μ ≤ 2.9968
Como o intervalo não contém o valor da média
especificado na hipótese (3.0), você rejeita a hipótese
nula a um nível de significância = .05
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Teste de Hipótese: σ conhecido
Testes Unicaudais
Em muitos casos, a hipótese alternativa se
concentra em uma determinada direção
H0: μ ≥ 3
H1: μ < 3
H0: μ ≤ 3
H1: μ > 3
Este é um teste de cauda à esquerda (ou
inferior) já que a hipótese alternativa foca
em valores menores do que a média 3
Este é um teste de cauda à direita (ou
superior) já que a hipótese alternativa foca
em valores maiores do que a média 3.
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Teste de Hipótese: σ conhecidoTeste de cauda à esquerda
Há somente um valor crítico, já que a área de
rejeição concentra-se em uma cauda apenas.
Rejeita
H0
Não Rejeita
H0
α
-Z
μ
Z
X
Valor crítico
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Teste de Hipótese: σ conhecidoTeste de cauda à direita
Há somente um valor crítico, já que a área de
rejeição concentra-se em uma cauda apenas.
Rejeita
H0
Não Rejeita
H0
α
Z
μ
Valor crítico
Z
X
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Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo de teste com cauda à direita
Um gerente de uma companhia telefônica acha que a
conta mensal de telefone celular dos clientes aumentou,
e agora tem um valor médio maior do que $52 por mês.
A companhia deseja testar essa afirmação. Dados
históricos mostram que o desvio padrão é igual a $10.
H0: μ ≤ 52 a média é menor ou igual a $52 por mês
H1: μ > 52 a média é maior do que $52 por mês
Forma do teste de hipótese:
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Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo de teste com cauda à direita
Suponha que = .10 seja escolhido para o teste
Encontre a região de rejeição:
Rejeita H0Não rejeita H0
= .10
Z0
Rejeita H0
1- = .90
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Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo de teste com cauda à direita
Qual é o Z dado a = 0.10?
Z .07 .09
1.1 .8790 .8810 .8830
1.2 .8980 .9015
1.3 .9147 .9162 .9177z 0 1.28
.08a = .10
Valor Crítico
= 1.28
.90
.8997
.10
.90
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Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-25
Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo de teste com cauda à direita
Obtenha a amostra e calcule a estatística de
teste.
Suponha que uma amostra com os seguintes
resultados: n = 64, X = 53.1 (=10
assume-se conhecido a partir de dados
históricos)
Então a estatística de teste é:
0.88
64
10
5253.1
n
σ
μXZ
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Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-26
Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo de teste com cauda à direita
Conclua e interprete o resultado:
= .10
1.280
Rejeita H0
1- = .90
Z = .88
Não é possível rejeitar H0 já que Z = 0.88 ≤ 1.28
i.e.: não há evidências suficientes de que a conta média de celular é maior do que $52
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Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-27
Teste de Hipótese: σ conhecido
Exemplo de teste com cauda à direita
Calcule o p-valor e compare com
Rejeita
H0
= .10
Não Rejeitar H0 1.28
0
Rejeita H0
Z = .88 .1894
.810610.88)P(Z
6410/
52.053.1ZP
53.1)XP(
p-valor = .1894
Não rejeitar H0 já que o p-valor = .1894 > = .10
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Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-28
Teste de Hipóteses:
σ desconhecido
Se o desvio padrão da população não é
conhecido usa-se o desvio padrão amostral S.
Devido a essa mudança, deve-se usar a
distribuição t ao invés da distribuição Z para
testar a hipótese nula sobre a média.
Todas as demais etapas, conceitos e
conclusões são os mesmos.
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Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-29
Teste de Hipóteses:
σ desconhecido
Lembre que a estatística t com n-1graus de
liberdade é:
n
S
μXt 1-n
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Teste de Hipóteses:
σ desconhecido - Exemplo
Afirma-se que o valor médio das diárias de hotel em Nova
York é $168 por noite. Uma amostra aleatória de 25 hotéis
resultou em X = $172.50 e S = 15.40. Teste a afirmação a um
nível de significância = 0.05.
(Análises através de gráfico da probabilidade normal indicam que a
distribuição da população pode ser aproximada pela distribuição normal)
H0: μ = 168
H1: μ 168
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Teste de Hipóteses:
σ desconhecido - Exemplo
H0: μ = 168
H1: μ ≠ 168
α = 0.05
n = 25
é desconhecido, então usamos a estatística t
Valor Crítico:
t24 = ± 2.0639
Rejeita H0Rejeita H0
α/2=.025
-t n-1,α/2
Não rejeita H0
0
α/2=.025
-2.0639 2.0639
t n-1,α/2
Determine as regiões de rejeição
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Teste de Hipóteses:
σ desconhecido - Exemplo
a/2=.025
-t n-1,α/2 0
a/2=.025
-2.0639 2.0639
t n-1,α/2
1.46
25
15.40
168172.50
n
S
μXt 1n
Não é possível rejeitar H0: não há evidências suficientes de
que o custo médio verdadeiro é diferente de $168
1.46
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Teste de Hipóteses:
Relação com Intervalos de
Confiança
Para X = 172.5, S = 15.40 e n = 25, o
intervalo para um nível de confiança de 95% é:
166.14 ≤ μ ≤ 178.86
Como o intervalo contém a média especificada
na hipótese (168), não se pode rejeitar a hipótese
nula a um nível de significância = .05
25
15.4 (2.0639) 172.5 a
25
15.4 (2.0639) - 172.5
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Teste de Hipóteses:
σ desconhecido
Lembre que assume-se que a estatística da amostra vem de uma amostra aleatória extraída de uma população com distribuição normal
Se a amostra for pequena (< 30) deve-se testar a hipótese de normalidade da população.
Se a amostra é grande, o Teorema do Limite Central é aplicável e a distribuição da média amostral é normal.
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Teste de Hipóteses
Proporções
Variáveis categóricas
Dois possíveis resultados
“Sucesso” (observa-se certa característica)
“Fracasso” (a característica não é observada)
π indica a fração ou proporção da população
em que “sucesso” é observado. É o
parâmetro da população.
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Teste de Hipóteses
Proporções
A proporção de “sucesso” na amostra é indicada por p
Quando nπ e n(1-π) são ambos maiores do que 5, a
distribuição de p pode ser aproximada pela distribuição
normal com as seguintes média e desvio padrão:
amostra da tamanho
amostra na sucessos de número
n
Xp
pμn
)(1σ
p
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Teste de Hipóteses
Proporções
A distribuição amostral de p é
aproximadamente normal, então a estatística
do teste é a Z com valor:
n
pZ
)1(
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Teste de Hipóteses
Proporções - Exemplo
Uma empresa de marketing afirma que o índice de resposta de sua mala direta é de 8%. Para testar essa afirmativa, uma amostra aleatória de 500 correspondências foi pesquisada e encontrou-se 30 respostas. Teste a afirmação com um nível de significância = .05.
Primeiro, verifique:
n π = (500)(.08) = 40
n(1-π) = (500)(.92) = 460
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Teste de Hipóteses
Proporções - Exemplo
H0: π = .08 H1: π ≠ .08
α = .05
n = 500, p = .06
Valores Críticos: ± 1.96
z0
Rejeita Rejeita
.025.025
1.96-1.96
Determine a região de rejeição
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Teste de Hipóteses
Proporções - Exemplo
Não rejeitar H0 a
= .05
Estatística de Teste: Decisão:
Conclusão:
Não há evidência
suficiente para rejeitar a
afirmação da empresa
sobre o índice de
resposta ser de 8%.
1.648
500
.08).08(1
.08.06
n
)(1Z
p
z0
.025.025
1.96-1.96
-1.648
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Armadilhas potencias do teste
de hipóteses e questões éticas
Adote métodos aleatórios na amostragem para reduzir potenciais vieses.
Não use respondentes humanos sem consentimento informado
Escolha o nível de significância, α, antes da coleta de dados
Não “espione os dados” para escolher entre teste unicaudal ou bicaudal, ou para determinar o nível de significância
Não pratique “descarte de dados” para esconder observações que não suportem as hipóteses formuladas
Divulgue todos os resultados relevantes
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Resumo do capítulo
Neste capítulo, nós vimos
Apresentamos a metodologia do teste de hipóteses
Usamos o teste Z para médias (σ conhecido)
Discutimos as abordagens do valor crítico e o p-valor para testar as hipóteses
Fizemos testes unicaudais e bicaudais
Usamos o teste t para médias (σ desconhecido)
Usamos o teste Z para proporções
Discutimos armadilhas e questões éticas