Méthodes de démélange non-linéaires pour l’imagerie ...

HAL Id: tel-00950388https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00950388

Submitted on 21 Feb 2014

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Méthodes de démélange non-linéaires pour l’imageriehyperspectrale

Nguyen Nguyen Hoang

To cite this version:Nguyen Nguyen Hoang. Méthodes de démélange non-linéaires pour l’imagerie hyperspectrale. Autre.Université Nice Sophia Antipolis, 2013. Français. NNT : 2013NICE4113. tel-00950388

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00950388

https://hal.archives-ouvertes.fr

❯❱ PP

PP❯

♣♦r ♦t♥r r

♦tr ❯♥rsté ♦♣♥t♣♦s

♥t♦♥ ♥s ♥rs

Prés♥té t s♦t♥ ♣r

②♥ ♦♥ ②♥

ét♦s é♠é♥ ♥♦♥♥érs ♣♦r♠r ②♣rs♣tr

s♦t♥ é♠r

r②

♣♣♦rtrs ♠♠♥ ♦s ♦ ♥tr

♥❨s ♦r♥rt ♥sttt t♦♥ P♦②t♥q ♦♦s

①♠♥trs ♦②♥ ♥ss♦t r♥♦ P

Prr ♦r♥t ♦ ♦r♠ ♣érr ②♦♥

P ♦♥♥ ❯♥rsté ♥♦♦ r♦②s

rtrs ér r ❯♥rsté ♦♣♥t♣♦s

é♥ ②s ❯♥rsté ♦♣♥t♣♦s

s ♠tèrs

st s rét♦♥s

♥tr♦t♦♥ é♥ér

tt rt qst♦♥ ♠s ②♣rs♣trs t ♣♣t♦♥s

qst♦♥ s ♠s ②♣rs♣trs ♣♣t♦♥s

s♣ts ♥②s ♠ ②♣rs♣tr ét♦♥ ♠♥s♦♥

ét♦♥ sé sr s tr♥s♦r♠t♦♥s ♦t♦♥s sr tst♦♥ s ♠ét♦s rét♦♥ ♠♥

s♦♥s sst♦♥

sst♦♥ ♥♦♥s♣rsé sst♦♥ s♣rsé sst♦♥ ♦♠♥♥t ♥♦r♠t♦♥s s♣ts t s♣trs Pr♦rès ré♥ts ♥ sst♦♥

étt♦♥ é♠é♥ s ♠s ②♣rs♣trs

♦ès ♠é♥ ét♦♥ ♠♥s♦♥ ①trt♦♥ s ♥♠♠rs ét♦s ♥érs st♠t♦♥ s ♦♥♥s ét♦s ♥♦♥♥érs st♠t♦♥ s ♦♥♥s

r♥tt♦♥ s tr①

♦ès ♠é♥ t ♠ét♦s é♠é♥ ♥ér ♦è ♥ér ♦ès ♥♦♥♥érs

♦è ♥ér é♥érsé ♦è ♥t♠ ♦ès ♣♦st ♥♦♥♥érs

ét♦s ♥érs st♠t♦♥ s ♦♠♣♦sés ♣rs ét♦ ♦ P ❱

ét♦s ♥érs st♠t♦♥ s ♦♥♥s é♠é♥ sé sr t♦rst♦♥ ♠tr ♥♦♥♥ét

s ♠tèrs

é♠é♥ sé sr s ♣r♦♣rétés é♦♠étrqs ♦♥s♦♥

♦②① r♣r♦s♥ts ♥é♥r t ♠ét♦s ♦♥♣ts s rtérst♦♥ s ♥♦②① r♣r♦s♥ts

é♦rè♠ ♦♦rr♦♥s③♥ é♦rè♠ rr é♦rè♠ r♣rés♥t♥t

♦♥strt♦♥ ♥ ♥♦② ès s♠♣s ès ♥és t sr tr s♣ ss♦é

①♠♣s s ♥♦②① ♦②① ♣r♦ts ♦②① stt♦♥♥rs

①♠♣ ♣♣t♦♥ à rérss♦♥ ♦♥s♦♥

é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♣♣r♥tss rétés ❱rétés t ♣♣r♥tss rétés

♦t♦♥s rétés t ♣♣r♥tss rétés ♣♣r♥tss rétés

♦rt♠s ♣♣r♥tss rétés ét♦ P ét♦

♣♣r♥tss rétés t P r♥ P s♦♠♣ s♦s ♦r♠ P s♦s ♦r♠ P

é♠é♥ t ♣♣r♥tss rétés é♠é♥ ♥♦♥♥ér é♠é♥ ♥♦♥♥ér é♠é♥ ♥♦♥♥ér ❱

①♣ér♠♥tt♦♥ ♦♥♥és rts ♦♥♥és rés

♦♥s♦♥

é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠ ét♦s ♣ré♠

♥tr♦t♦♥ ♦r♠t♦♥ ♣r♦è♠ ♣ré♠

é♠é♥ s♣rsé ♣r ♣ré♠

s ♠tèrs

♦è ♠① ét♦ st♠t♦♥ ♣ré♠ tsé

é♠é♥ s♣rsé t♣ ♣♣r♥tss tr♥s♦r♠t♦♥ ♥rs t♣ st♠t♦♥ ♣ré♠

ét♦♥ ♥♦②① ♦②① sés sr ♣♣r♥tss rété ♦②① ♣rt♠♥t ♥érs

érst♦♥ s♣t ♦r♠t♦♥ ♦t♦♥

①♣ér♠♥tt♦♥s ♥s rérst♦♥ s♣t ♣♣t♦♥ rérst♦♥ s♣t

♦♥s♦♥

♦♥s♦♥

♦r♣

s rs

♦♥♥és qs ♣r ❱ ❬ ❪ ②♣rs♣tr ❬♦ss t ❪ Pr♦ér qst♦♥ s rét♥s ❬♥♦s t ❪ ét♥s ♠tér① ér♥ts ♥ ♦♥t♦♥ s ♥s réq♥

❬r♦♠ ❪ Pr♦ér trt♠♥t t ♥②s ❬ ♥♦s ❪ ♦♠♣♦s♥ts ♣r♥♣s ♥ ♥s♠ ♦♥♥és rt♠♥t s ♦♥♥és ss ♦ s♦♠♣ ❬ t ❪ Pr♦ér sst♦♥ ♥t♦♥ s ♦♥♥és ♥s ♥ s♣ r♥ ♠♥s♦♥ P①s ♠é♥ ♥s ♥ ♠ ②♣rs♣tr ❬③♥ t ❪ ① t②♣s ♣①s ♥s ♥ ♠ ②♣rs♣tr ♠é♥ ♥ér

♠é♥ ♥t♠ ♥♦♥♥ér ❬s str ❪ Pr♦ér é♠é♥ ❬Pr♥t P③ ❪ ♥s♠ ♦♥♥és ②♣rs♣trs ♦♠♣r♥♥t ♥♠♠rs

é♥ ♥ér é♥ ♥t♠ ❬ P③ ❪ Pr♦ér ❬♥ t ❪ Pr♦ér ❱ ❬s♠♥t♦ ♦ss ❪

①♠♣s sst♦♥ ♥r ♥s R2 ♦r sé♣rt♦♥

st ♥ ♣s ♥s s♣ ♥t ♣rès tr♥s♦r♠t♦♥ ♣r φ(x) =(x21,

√2x1x2, x

22) s ♦♥♥és ♥♥♥t ♥ér♠♥t sé♣rs

①♠♣s rété ❱rété ♥♠♥s♦♥♥ ♥♦r♣♦ré ♥s R3 ❱rété sssr♦ t s♦♥ ♥t♦♥ ♥s R2 s♦♠♣ ❬ t ❪ st♥ é♦ésq sr ♥ rété srq P Pr♦ér ♣♣r♥tss rété ❬♦s ❪ ❱rété ssr♦ ♣♦r σ = 0.5 t σ = π r♦t ♦rt♠ P ♥ér P t ♥♦♥♥ér ♦rt♠ P ♥ér P t ♥♦♥♥ér ♦rt♠ ❱ P ♥ér P t ♥♦♥♥ér rrr sr s ♦♥♥s ♣r t ❱ ♥ ts♥t P rrr sr s ♦♥♥s ♣r t ❱ ♥ ts♥t ❱ tr♦s ♠ét♦s rét♦♥ ♠♥s♦♥ sr ♦t

Pr♦è♠ éé♠♥tr ♣ré♠

s rs

Pr♦è♠ ♣ré♠ é♠é♥ s ♦♥♥és ssr♦ ♣r ♣ré♠ é♠é♥ s ♦♥♥és ♦t ♣r ♣ré♠ é♠é♥ ♥♦♥ ♥ér rérst♦♥ s♣t ♣♦r t ♥

s rts ♦♥♥ ♦r♥s ♠ét♦ ♣ré♠ s♥s ré

rst♦♥ s♣t ♠ét♦ ♣ré♠ rérst♦♥ s♣t é♠é♥ ♥♦♥ ♥ér rérst♦♥ s♣t ♣♦r t ♥

s rts ♦♥♥ ♦r♥s ♠ét♦ ♣ré♠ s♥s ré

rst♦♥ s♣t ♠ét♦ ♣ré♠ rérst♦♥ s♣t

st s t①

è♥ tr♦s ♠tér① ♦♠♣rs♦♥ s è♥ ♥q ♠tér① ♦♠♣rs♦♥ s ♦♠♣rs♦♥ s s ♦rt♠s ♣♦r t

st s rét♦♥s

A tr s ♦♥♥s t L×N

α ❱tr ♦♥♥ ♣①tr ♦sré

IN tr ♥tté t (N ×N)

m⊤λℓ

ℓè♠ ♥ MT s♦t tr R s♥trs s♣trs s ♥♠♠rs♥s ℓè♠ ♥ s♣tr

mi ❱tr s♣tr ♥ ♠tér

R tr s ♣①s t L×N

V S ❱♦♠ ♥ s♠♣① Sx ❱tr s ♦♥♥és ♥trés

y ❱tr s ♦♥♥é s♦rt

n ❱tr rt

r P①tr ♦sré

H s♣ rt à ♥♦② r♣r♦s♥t

X s♣ ♦♥♥és ♥trés s é♥ér

κ(·, ·) ♦② é♥ss♥t s♣ HK tr r♠ ♦rrs♣♦♥♥t ♥♦② κ(·, ·)R ♥s♠ s rés

R+ ♥s♠ s rés ♥♦♥♥éts

Rd s♣ ré ♠♥s♦♥ d

M tr ♦♥t s ♦♦♥♥s s♦♥t s s♣trs s ♠tér①

L ♦♠r ♥s s♣trs

N ♦♠r ♣①trs ♦srés

R ♦♠r s ♦♠♣♦sés ♣rs ♦ ♥♠♠rs

yi ♦rt ♦rrs♣♦♥♥t à ♥tré xi

♦♥t♦♥ s r

② ♦♥str♥ stsqrs

P s♦♠tr tr ♠♣♣♥

P r♥ ♣r♥♣ ♦♠♣♦♥♥t ♥②ss

① st s t①

♦ ♥r ♠♥

t ♠♥s♦♥ s♥

tr♥ r♥♥ ♣♣r♥tss à ♥♦② ♠t♣

♥♠♠ ♦s rt♦♥

rrr qrtq ♠♦②♥♥

t♦rst♦♥ ♥ ♠trs ♥♦♥♥éts

P Prt②♥r s s②st♠ ♥tt♦♥

P Pr♥♣ ♦♠♣♦♥♥t ♥②ss

P P♦st ♥♦♥♥r ♠①♥ ♠♦ ♠♦è ♠é♥ ♣♦st ♥♦♥♥ér

s♣ rt à ♥♦② r♣r♦s♥t

♦♦t♠♥sqr rr♦r

♠♣① r♦♥ ♦rt♠

❱ ♥r s ♦♠♣♦st♦♥

❱ é♣rtr à st ♠r

❱ ❱rt① ♦♠♣♦♥♥t ♥②ss

❱ ♠♥s♦♥ rt

♥tr♦t♦♥

♣rés♥t tès ♦t♦rt s♥srt ♥s r ①♣♦tt♦♥ s r♥s♠sss ♦♥♥és sss ♠r ②♣rs♣tr ♦♠♥ ♦♥♥ît t♠♥t ♥ é♦♣♣♠♥t r♣ ♥s ♥♦♠r① ♦♠♥s s s♥s ♦srt♦♥ rés♦t♦♥ ♠r♦s♦♣q ① és str♦♥♦♠qs ♥s s rsss ♥ s q ♠trs Pr♠ s qst♦♥s ♦rts s♠♥tt♦♥s s ♦♥♥és q s à s♦r s ♦ts ♥térêt q ② s♦♥t ♣rés♥ts st t♦tà t ♥tr t ♦♥stt ♥ ért rr♦ t♥♦♦q s♣r♣♦st♦♥ s♣t s ③♦♥s ♥térêt ♦♥t à s♥térssr ♣r♦è♠ é♠é♥ ♦ù ♥s ♥♦♥t①t ♥♦♥ s♣rsé st st♠r ♥♦♠r ♦♠♣♦sés réér♥ r♣rés♥tés ♥s ♥ ♥s♠ trs ②♣rs♣tr① ♥s q s♥tr s♣trt rt♦♥ ♦♥♥ ♥ ♥s ♠é♥ ❬s str ❪ tr ♣♦rt sr ♣r♦è♠ é♠é♥ s trs ②♣rs♣tr① ♥s ♥r s♣rsé ♦ù ♦♥ s♣♣♦s q s ♦♠♣♦sés réér♥ ♦♥t été étr♠♥és ♣r♦r ♥ ts♥t s ♣♣r♦s ①trt♦♥ ♣♣r♦♣rés tr ♥térssé st♥té à ♦♥str ❬❲♥tr s♠♥t♦ ♦ss ♦r♠♥ ❪♥s s ♦♥t♦♥s ♣r♦è♠ é♠é♥ s rés♠ à st♠t♦♥ s rt♦♥s♦♥♥ q ♦♠♣♦sé réér♥ ♥ q ♣① ♠

st♠t♦♥ s ♦♥♥s st é♥ér♠♥t ♥sé sr s♥ ♠♦è ♠é♥ ♥ér ér♥ts ♠ét♦s s♦♥t ♥sés ♥s ❬♥③ ♥ ♦♦♥ t ②s t ♦♥♥ r ❪ Pr ①♠♣ ♠ét♦ ♣rés♥té ♥s❬♥③ ♥ ❪ st♠ s ♦♥♥s ♥ ♠♥♠s♥t ♥ ♦ût qrtqs♦s ♦♥tr♥t ♣♦stté t s♦♠♠ ♥té strté é♦♠étrq ért♥s ❬♦♥♥ r ❪ s à r s rt♦s ♦♠s ♣♦②èrs♥s s♣ ♥♥ré ♣r s ♣①trs ②♣rs♣tr① ♣r♥♣ ♥t ♣r♠èr st ♦♥①té ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ ❯♥ très ♦ût rtérs s♦♥

s ♥trt♦♥s ♥tr s ♠tér① ♣♥t é♥érr s ♣é♥♦♠è♥s ♥♦♥♥érs q r♥t êtr ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥s s ♦♥♥s rsqs♥♦♥ ssr s ♠♦ès ♥♦♥♥érs ♦♥t été ré♠♠♥t ♥tr♦ts♥s ttértr ♥ t♥r ♦♠♣t s ts t♦♥s ♣r ①♠♣ ♠♦è ♥t♠ ❬♣ ❪ t s ♣♣r♦①♠t♦♥s ts q ♠♦è ♥éré♥érsé ❬♠ t ❪ s ♠ét♦s é♠é♥ ♥♦♥♥ér t♥t♥t♥rsr s ♠♦ès t st♠r s ♦♥♥s ♥s ❬♠ t ❪♥ ♦rt♠ é♦♥♦t♦♥ ♥♦♥♥ér ♣♦r ♠♦è ♠é♥ ♥ér é♥érsé st ♣r♦♣♦sé t ♦♥stt s ♥♦♠r① tr① sésr ♥ér♥ ②és♥♥ tt ♠ét♦ ♣rés♥t t♦t♦s ♥ ♦♠♣①té t♦r éé t st ♦♥sré ①s♠♥t ♠♦è ♥ér é♥érsé ♥s❬s♥t♦r♥ s♠♥t♦ ♦ss ❪ s trs ♥s♥t ♦♥sérr s ♠♦ès ♠é♥ ♣s é♥ér① ♥ é♥ér♥t s s♣trs

st s t①

réér♥ rts ♣r r♦s♠♥t s s♥trs ♦♠♣♦sés ♣rs ♥ ♣r♥r♥ ♦♠♣t s é♥ts ts s♦♥ ♠èr sr s ér♥ts ♠tér①♣♥♥t ♥st ♣s sé ♥tr s tr♠s r♦sés q ♦♥♥rt é♥érr Pr rs ♥ r♦s♠♥t ♥s♠ s ♦♠♣♦sés ♣rs ♥tés ♦♥rt s♥s ♥ ♦t à ♥ ①♣♦s♦♥ t ♣r♦è♠ ❯♥ tr strté♣♦ss ♦♥sst à tsr s ♠ét♦s ♣♣r♥tss rétés ts q s♦♠♣ ❬ ♥♥♠ ❪ t ❬♦s ❪ ♥ ② rés♦r♥ ♣r♦è♠ é♠é♥ ♥ér ♥♥ ♥s ❬♥ t ❪ s trs ♦r♠♥t ♥ ♥♦ ♣r♠ sé sr s ♥♦②① r♣r♦s♥ts ♠♦è r♣♦ssr ♥ ♣r♦sss ♠é♥ ♥ér ♦♠♣été ♥trt♦♥s ♥♦♥♥érs ①♣r♠és♥s ♥ s♣ rt à ♥♦② r♣r♦s♥t tt ♠ ♠♦ès ♣rés♥t♥ ♥tr♣rétt♦♥ ♣②sq r t ♣r♠t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s ♥trt♦♥s♦♠♣①s ♥tr s ♦♠♣♦sés réér♥

tt tès s à ①♣♦rr ♥♦s ♦s ♣♦r é♠é♥ ♥♦♥♥érs ♦♥♥és ②♣rs♣trs ♦t ♦r ♥ ♦♥sér♥t s ♦ù s s♣trss ♦♠♣♦sés réér♥ s♦♥t ♦♥♥s ♥♦s ①♣♦t♦♥s s ♠ét♦s ssqs é♠é♥ ♥ér ♥ ② ♥tér♥t ♥♦s és ♣r ♣♣r♥tss rétésPsrs ♠ét♦s s♦♥t ♣rés♥tés t étés ♣♦r ♥tért♦♥ rt ♦ ♥rt♥♦r♠t♦♥s ♥s s ét♣s é♠é♥ ♥st ♥♦s ♥s♦♥s s ♦ù s♦♥♥és ♣♣r♥tss érté trr♥ s♦♥t s♣♦♥s t rés♦♦♥s ♣r♦è♠ é♠é♥ ♥s ♦♥t①t ♣♣r♦ ♣r♦♣♦sé ♦♥sst ♥ ♥tt♦♥ ♣♣t♦♥ s♣ s ♦srt♦♥s s ♣①trs rs s♣ strs ♦♥♥ ❯♥ t ♣r♦è♠ st t ♣ré♠ ❬r t ❪s♦♥ tr♠♥♦♦ ♥ ♦ ♥ ♠♥ r♥♥

♦♠♥t st strtré ♥s ♣tr tt rt ♣tr ♣rés♥t s tr♠♥♦♦s ♠r ②♣rs♣tr Psrs♣r♦è♠s trt♠♥t s ♦♥♥és ②♣rs♣trs s♦♥t ♥tr♦ts ♥♦t♠♠♥t rét♦♥ ♠♥s♦♥ sst♦♥ étt♦♥ t ♥♥ é♠é♥

♣tr ♦è ♠é♥ t ♠ét♦s é♠é♥ ♥ér ♣tr ♣rés♥t s ♠♦ès ♠é♥ sté ♥ ♠r ②♣rs♣tr ♦♠♣①té t ♣tt♦♥ q ♠♦è st sté Ps qqs♠ét♦s ♣♦r é♠é♥ ♥ér s♦♥t étés s ♦rt♠s ♦♥stt♥t ♥ s♦ ♣♦r ♣rés♥tt♦♥ ♥♦s ♣r♦♣rs ♠ét♦s é♠é♥♥♦♥♥érs

♣tr ♥é♥r s ♥♦②① ♣tr ♥tr♦t s ♠ét♦s ♥é♥r ♣♦r é♦rr s ♥♦②① r♣r♦s♥ts ♣tés ① ♣♣t♦♥s ♥sés s tr♠♥♦♦s s é♥t♦♥s s rtérstqs t qqs ♠ét♦s à ♥♦②① s♦♥t ♣rés♥tés s♠ét♦s ♥♦②① s♦♥t ♥tr s ♣ré♦♣t♦♥s é♦♣♣és ♥s s♣trs à sr

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♣♣r♥tss rétés ♥s ♣tr ♥♦s ♥②s♦♥s s ♠ét♦s é♠é♥ ssqs ♦♣ér♥t sr

st s t①

s rétés ♣ré♠♥t st♠és ♦s ♣rés♥t♦♥s é♠♥t s tsts ♣♦rr s ♦rt♠s ♣r♦♣♦sés

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♠ét♦ ♣ré♠♦s ② ♣r♦♣♦s♦♥s ♥ ♠ét♦ ♦r♥ é♠é♥ sé sr ♣r♦è♠ ♣ré♠ ❯♥ é♦t♦♥ t ♦rt♠ ♥♦r♣♦r♥t s ♥♦r♠t♦♥s s♣ts st ♥tr♦t ♣♦r ♥ ♥ ♥ r♦stss s s♠t♦♥s s♦♥t é♠♥t résés ♣♦r r s ♦rt♠s

♣tr

tt rt

♦♠♠r qst♦♥ ♠s ②♣rs♣trs t ♣♣t♦♥s

qst♦♥ s ♠s ②♣rs♣trs

♣♣t♦♥s

s♣ts ♥②s ♠ ②♣rs♣tr

ét♦♥ ♠♥s♦♥

ét♦♥ sé sr s tr♥s♦r♠t♦♥s

♦t♦♥s sr tst♦♥ s ♠ét♦s rét♦♥ ♠♥s♦♥s

sst♦♥

sst♦♥ ♥♦♥s♣rsé

sst♦♥ s♣rsé

sst♦♥ ♦♠♥♥t ♥♦r♠t♦♥s s♣ts t s♣trs

Pr♦rès ré♥ts ♥ sst♦♥

étt♦♥

é♠é♥ s ♠s ②♣rs♣trs

♦ès ♠é♥

ét♦♥ ♠♥s♦♥

①trt♦♥ s ♥♠♠rs

ét♦s ♥érs st♠t♦♥ s ♦♥♥s

ét♦s ♥♦♥♥érs st♠t♦♥ s ♦♥♥s


♥s ♣tr ♥♦s ♥tr♦s♦♥s s ♣r♥♣s qst♦♥ ♠s ②♣rs♣trs ♥s q s ♣r♥♣s ♣♣t♦♥s ♥♠♥t ♥♦s ♣rés♥t♦♥s rè♠♥t ♥♦s ♦♥trt♦♥s ♥s ♦♠♥

♣tr tt rt

qst♦♥ ♠s ②♣rs♣trs t ♣♣t♦♥s

♠r ②♣rs♣tr ♦♠♠ s trs ♠♦s ♠r s♣tr qrt s ♥♦r♠t♦♥s sr ♥ ♣rt s♣tr étr♦♠♥étq ÷ ♠♥ st s♥s à ♠èr ♥s ♦♠♥ t s s♦♥ tr♦s ♥ss♣trs ♣r♥♣s r♦ rt t ♠r s♣tr s♠♥t s♣tr♥ ♥ ♥♦♠r ♣s ♦ ♠♦♥s ♠♣♦rt♥t ♥s tt t♥♦♦ s ♥♦t♠♠♥tà qérr s ♥♦r♠t♦♥s à s ♠ts s

s ♣trs t s②stè♠s trt♠♥t ♦rrs♣♦♥♥ts s♦♥t é♦rés ♥ ♣♦♦r êtr é♣♦②és ♥s ♥♦♠r ♣♣t♦♥s ts q rtr ♠♥ér♦ ♣②sq t sr♥ trr s ♣trs qèr♥t s s♥① ♣r♦♥♥t s ♦ts ♠és sr ♥ r ♣ s♣tr étr♦♠♥étq ①strt♥s ♠tér① ②♥t s s♥trs s♣trs ♥qs q ♣r♠tt♥t s♥tr s♥s ♠ïté

qst♦♥ s ♠s ②♣rs♣trs

s ♣trs ②♣rs♣tr① r♥t s ♥♦r♠t♦♥s s♦♥ ♥ ♦t♦♥♠s ♥ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♣ s♣tr étr♦♠♥étqs ♠s s♦♥t ♥st ♦♠♥és ♣♦r ♦r♠r ♥ ♦♥♥és ②♣rs♣trs st♥é à êtr trté t ♥②sé r ♣rés♥t ♥ ①♠♣ ②♣rs♣tr é♥éré ♣r s ♣trs ér♦♣♦rtés r♦r♥ ❱s ♥rr♠♥ ♣tr♦♠tr ❱ ❬ ❪ ts s ♦♥♥és ♣♥t ss êtr é♥érés ♣r s stts ♦♠♠ ②♣r♦♥ Pr rss ♣trs ♣♦rtts s♦♥t ss tsés ♣♦r rt♥s ①♣ér♠♥tt♦♥s t éts❬rts ❪ q ♣① ♥ ♠ ②♣rs♣tr ♦♥sst ♥ ♥ tr ♦♥t♥ s ♦♠♣♦s♥ts r♥♦ à ♥ ♣r♦♣rété rét♥ ♠tér ♥s♥ ♥ réq♥ ♦♥♥é r str ♣r♦♣♦s qté ♥♠ ②♣rs♣tr é♣♥ s rés♦t♦♥ s♣tr ss ♥ q s rés♦t♦♥ s♣t rés♦t♦♥ s♣tr st é♥ ♣r rr q ♥ réq♥ Ps s ♥s s♦♥t étr♦ts ♣s s ♥♦r♠t♦♥s rs s♦♥t sr♠♥♥ts t♥t ♣r à ♠ê♠ ♥tt♦♥ s ♦ts ♠és ♥ r♥ ♦♥♥t ♥♦tr q s s ♣tts ♦♥t s ♣tés étt♦♥ ♣ss t s♦♥t stts à s r♣♣♦rts s♥srrt é♦rs q♠t té s ♠ét♦s trt♠♥t ♠♣♦②és s s ②♣rs♣tr①♦r♥ss♥t ♥ ♥♦r♠t♦♥ rét♥ s♣tr q st r♣♣♦rt é♥rréé sr é♥r ♥♥t ♣♦r q ♥ s♣tr rét♥ st ♥r♥r s♥s ♥té q s st ♥s ♥tr ❬❪ r str ♣r♦ér qst♦♥ s ♦♥♥és rét♥ s rét♥s r♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♥ s♣tr ♣♦r ♣♣rt s ♠tér① r é♥r ♥s s ♥ss♣trs st s♣rsé ♦ s♦ré à ér♥ts rés s s♣trs rét♥r♥t s♦♥ s ♠tér① ♠és r str t s rs ♥ r① s ♦rs ♥q♥t s ♥s ♣♦r sqs s ♠tér① s♦r♥t s♥t♠♥t é♥r ♥♥t s ♥s s♦♥t ♣♣és ♥s s♦r♣t♦♥


r ♦♥♥és qs ♣r ❱ ❬ ❪

r ②♣rs♣tr ❬♦ss t ❪

♣tr tt rt

♦r♠ é♥ér ♥ ♦r s♣tr t ♣♦st♦♥ s ♥s s♦r♣t♦♥ ♣♥têtr tsés ♣♦r ♥tr t st♥r s ér♥ts ♠tér① Pr ①♠♣ éétt♦♥ ♥ ♣s r♥ rét♥ q s s♦s ♥s ♣r♦ ♥rr♦ t♥ ré①♦♥ ♠♦♥r ♠èr r♦

♥s ♥ t ♦♠♣rs♦♥ ♦♥♥t str ♠r ②♣rs♣tr ♣rr♣♣♦rt à ♠r ♠ts♣tr st♥t♦♥ r♣♦s sr ♥♦♠r ♥ss♣trs ♦ t②♣ ♠srs ♦① ♥ t♥q é♣♥ ♦t ♣♣t♦♥ ♠r ♠ts♣tr ♣r♦♣♦s ♣srs ♠s ♥ ♥s srètst étr♦ts P♦r tt rs♦♥ ♠r ♠ts♣tr ♥ ♣r♦t ♣s s♣tr♦♥t♥ ♥ ♦t ♠r ②♣rs♣tr r♥♦ à ♥ ♦♥t♥♠ ♥sétr♦ts ♥s ♥ ♣tr ♦♥stté s♠♥t ♥s ♣t é♠♥t êtr②♣rs♣tr s ♦r ♥tr à ♥♠ ♥s ♥ ②♥t ♥♠ rr ❯♥ tr tr♠ ss ♠♥t♦♥♥é st ♠r trs♣tr st résré ① ♣trs t②♣ ♥trér♦♠ètr ②♥t ♥ rés♦t♦♥ s♣tr très♥ ♠tt♦♥ tt t♥♦♦ st ♦♠ très éé ♦♥♥és

r Pr♦ér qst♦♥ s rét♥s ❬♥♦s t ❪

♣♣t♦♥s

♦r♥ tt t♥♦♦ été é♦♣♣é ♣♦r ①♣♦tt♦♥ ♠♥èr t é♦♦ râ à ♣♦ssté ♥tr s ♠♥ér① ér♥ts rrr


r ét♥s ♠tér① ér♥ts ♥ ♦♥t♦♥ s ♥s réq♥❬r♦♠ ❪

♣étr♦ t . . . r t ♥♦♠rss ♣♣t♦♥s ♥s s ♦♠♥srés ♦①st♥t Pr♠ s ♦♥ ♣t tr é♦♦ sr♥ trr ♠ str♦♥♦♠ ♥ rè é♠♥t s ♣♣t♦♥s ♥s trt♠♥ts ♠♥srts st♦rqs s ♣♣t♦♥s ♠r ②♣rs♣tr ♥ ss♥tt♠♥t r♦îtr

rt♦r♣ é♦♦q t ①♣♦rt♦♥ ♠♥èr s♦♥t ♣r♠ s ♣♣t♦♥s♣r♥♣s q é♥é♥t t♥♦♦ ②♣rs♣tr ♥♦♠r① ♠♥ér①t r♦s ♣rés♥t♥t s ♠♦ts rtérstqs ♥s r s♣tr étr♦♠♥étq q ♣r♠t ♥tr r ♦♠♣♦st♦♥ ♠q t s ♦♥♥s rts sér♥ts ♠tér① ♣rés♥ts s ♣trs à ♥ étr♦t ♣♥t êtr ♠rqéssr s ♣ts♦r♠s ér♦♣♦rtés t s♣ts t s♣♦sr ♥ rés♦t♦♥ ss♥t ♣♦r ♥tr s rtérstqs ♠ ♠é t st♥r à st♥s ♠tér① ♥trs ♦♥stt♥t ♣♣rt s éts ts♥t s ♦♥♥és②♣rs♣trs ♥s r ♣♣t♦♥s é♦♦qs ♦♥r♥♥t s ③♦♥s trrs rs ♦ s♠rs r s♦s s ♠ts éétt♦♥ t s s♦s s♦♥t rrsPr ♦♥séq♥t s rtérstqs é♦♦qs s♦♥t ♠① ♣résrés t ①♣♦sésq ♥s s ré♦♥s tr♦♣s ❬♦♦♠♥ ❲r ❪

str♦♥♦♠ ts ♣s ♣ s ♠rs ②♣rs♣tr① ♣♦r étr ♦r♠t♦♥ t é♦t♦♥ s ♦ts str♦♥♦♠qs ♦♠♠ tt t♥♦♦ ♦♥♥ès à ♥ ♦♥♥és ♦ù ① s ♦♥rs ♦♥s st é♥t♦♥♥é très ♥♠♥t st ♣♦ss étr ♣rés♦♥ ♦s♥ ♥ r é♠ss♦♥ ♦s♦r♣t♦♥ ♥ ts♥t ♥ r ♣ ♥s s♣trs ♣r♠t ♦srr ♥rs ♥ ♦♠ t ♥ ♣r♦♦♥r é♥♠♦♥s t s s ♦♥♥és♠r très éé ttr ①♠♣ ♥♦t♦♥s q s s ♦♥♥és qs ♣r❯ t❯♥t ♣tr♦s♦♣ ①♣♦rr ❬♦♥ t ❪ tt♥♥t s

♣tr tt rt

qà 2400× 2400× 3000 ♣①s ♣♦s qst♦♥ ♦♠♣①té t s ♦ûtst♦rs ♣♦r s ♦rt♠s ♣♣qés à t②♣ ♦♥♥és

♠r ②♣rs♣tr ♦♥tr ss à ♣r♦tt♦♥ ♥r♦♥♥♠♥t ♣♣rt s ♣②s ①♥t ♥ sr♥ ♥ ♦♥t♥ s é♠ss♦♥s ♣r♦ts ♣r s♥trs ♣r♦t♦♥ é♥r r♦♥ t ♠③♦t ♣r s ♥♥értrs éts ♠♥♣① q ♣♥t sérr ♥r① ♣r s ♠♥trs ♥s q♣r ♥♦♠r① trs t②♣s s♦rs ♥strs s ttés ♦♥trô s♦♥té♥ér♠♥t ♣rtqés à s②stè♠s é♥t♦♥♥ ①trts ♦♣és às t♥qs s♣tr♦s♦♣ ♥rr♦ rt♥s t②♣s ♠srs ♣r♠tt♥té♠♥t ét♦♥ qté r ♠s s ♥ s♦♥t ♣s très ♣♦♣rs ♥rs♦♥ ♥rtt sr s ♠srs ♦♣s ②♣r♠ ♥ ♠r ♥rr♦②♣rs♣tr ♦r ♠♥t♥♥t ♣♦ssté ♦t♥r ♥ ♠ ♦♠♣èt s é♠ss♦♥s rést♥t s ♠♥és ♥strs à ♣rtr ♥ ♠♣♠♥t st♥t s♥s♦r s♦♥ s②stè♠s é♥t♦♥♥ ①trts ❬r② t ❪

t♥♦♦ ②♣rs♣tr ♦ é♠♥t s rôs ♠♣♦rt♥ts ♥s sr♥ ♠tr ♠r ②♣rs♣tr ② st ♣rtèr♠♥t t ♥ rs♦♥ ♦♥tr♠srs q s ♥ttés ♠trs rss ♣r♥♥♥t ♠♥t♥♥t ♣♦r ♦♥trr sr♥ ér♥♥

♥t ♠r ②♣rs♣tr st q s ♠ét♦s ♥♦♥t s♦♥ ♥ ♦♥♥ss♥ ♥ é♥t♦♥♥ ♣sq s♣tr ♥tr st qs ♥q ♣① à ♦♥t♦♥ q s ♣♦sttrt♠♥ts ♣ss♥t ①♣♦tr s ♦♥♥és ♥sr ♥s♠ ♠r ②♣rs♣tr ♣t ss ♣r♦tr s rt♦♥s s♣ts♥tr s ér♥ts s♣trs ♥s ♥ ③♦♥ ♣r♠tt♥t tsr s ♠♦èss♣tr♦s♣t① ♣s ♦♠♣①s ♣♦r ♥ s♠♥tt♦♥ ♦ ♥ sst♦♥ ♠ ♣s ♣rés ♣♥♥t s ♥♦♥é♥♥ts ♣r♥♣① s♦♥t ♦ût t ♦♠♣①té st ♥éssr r♦rr à s trs r♣s t à s ♣tés st♦ ♠♣♦rt♥ts r ♦♠ ♥ ②♣rs♣tr ♣t ①ér s♥t♥s ♠é♦tts ♦s s trs ♠♥t♥t ♦♥sér♠♥t ♦ûtqst♦♥ t trt♠♥t s ♦♥♥és ②♣rs♣trs

s♣ts ♥②s ♠ ②♣rs♣tr

♦♠♠ ♠♥t♦♥♥é ♣réé♠♠♥t ♠r ②♣rs♣tr ♦r ♥♦♠rss♦♣♣♦rt♥tés ♥s s ♦♠♥s ér♥ts ♣♥♥t tt t♥♦♦ ♣♦s ss♣srs és ♥s trt♠♥t t ♥②s ♥ ♣t tr

rté s♣tr rté s♥tr s♣tr ♥ ♠tér ♣têtr très ♠♣♦rt♥t ♥s s ♣♣t♦♥s tééétt♦♥ ♥ rs♦♥ s rt♦♥s s ♦♥t♦♥s t♠♦s♣érqs rt ♣tr ♦♠♣♦st♦♥s ♠tér① s ♠tér① ♥t♦r t . . . ♥s rt♥ s sèr ♥tr ♥ ♠tér ♦♥♥é à ♣rtr ♥ ♦tèq s♣trs

P① ♠é♥ ③♦♥ ♦rt s♦ ♣r ♥ s ♣① st é♥ér♠♥t ss③r♥ ♥s s ♦♥t♦♥s rét♥ ♥ ♣① st ♠é♥ t♦s s

ét♦♥ ♠♥s♦♥

s♣trs s ♠tér① q rés♥t ♥s tt ③♦♥ ♥ ♦rs à trtr s♣①s ♠é♥ ♣①s ♣rs ♦ù ♥ s ♠tér srt r♣rés♥té

❱♦♠ ♦♥♥és ♠♣♦rt♥t t r♥ ♠♥s♦♥ ♦♥♥és ♥♦♠rsst♥qs trt♠♥t s♥ s♠♥t résrés à s ♦♥♥és ♠♥s♦♥ ♣♥t ♥ ♣s s♣♣♦rtr ♥ t ♣ss à é

♣♣rss♦♥ s ♥trér♥s ♥♦♠r① s♥① ♥ss ♣♦r ♥ ♣tr♠r ♦r♥r ♣♥t ♥r ss ♣♦r ♥ ♣tr ②♣rs♣tr♥s s ♦♥t♦♥s t ♣ré♦r s♣♣r♠r s ♥trér♥s ♥ ♦rr♥ ♠r ♦♥trst ① s♥① ♥térêt

P♦r ♠îtrsr s ♣r♦è♠s t s♣tr ① ♠♥s ♣srs ♣♣t♦♥s♠r ②♣rs♣tr ♣t r♥♦②r à ♣srs tâs ts q

ét♦♥ ♠♥s♦♥ rér ♠♥s♦♥ s♣tr ♥ tr ♥②ss ♦♥♥és t♦t ♥ ♣résr♥t réstt ♥②s

sst♦♥ ttrr ♥ étqtt ss ♦ ♣r♦té ss àq ♣① ♥ ♠♦ s♣rsé ♦ ♥♦♥s♣rsé

étt♦♥ rrr s ♣①s ♦rrs♣♦♥♥t à s s♥trs s♣trs s♣éqs ♦♥♥s ♦ ♥♦♥

étt♦♥ ♥♠♥ts tr♦r s ♥♠♥ts ♠♣♦rt♥ts ♥tr ① ♦♥♥és ②♣rs♣trs ♥ ♠ê♠ ③♦♥ é♦r♣q

é♠é♥ st♠r rt♦♥ ♦♥♥ q ♠tér ♣rés♥t ♥s ③♦♥ ♦rt ♣r ♣tr

r str ♥ ♣r♦éé ♦♠♣t ①♣♦tt♦♥ ♠s ②♣rs♣trs♥s s st♦♥s s♥ts ♥♦s ♥tr♦s♦♥s ♥ ét ♥ s tâs

ét♦♥ ♠♥s♦♥

t ♠♣♦rt♥t s ♦♥♥és t r♥ ♠♥s♦♥ s ♠s ②♣rs♣trs ♥trî♥♥t s tés ♥s tr♥s♠ss♦♥ s ♦♥♥és st♦ t♥②s rs♠♥t ♠♥s♦♥ s♣tr ♣t êtr rét ♥ ①♣♦t♥t ♦rrét♦♥ s♣tr st ♣♦ss rér tt ♠♥s♦♥ ♥ s s♥t s♦t srs tr♥s♦r♠t♦♥s ♣♣r♦♣rés râ à ♥ P ♣r ①♠♣ s♦t ♣r sét♦♥t rr♦♣♠♥t ♥s s ♦rt♠s ts♥t s tr♥s♦r♠t♦♥s ♦♥t ♣♦rt tr♦r ♥ s♦ss♣ ♦♣t♠ s♥s rt♥s ♦ts ♠①♠r♥ ♠①♠ t . . . s ♦♥♥és s♦♥t ♥st ♣r♦tés sr s♦ss♣Pr rs s ♠ét♦s sés sr sét♦♥ ♥s s♥t à ♦sr ♥ s♦s♥s♠ ♥s t♦t ♥ ♣résr♥t qté s réstts ♦♠♠ ♣♦r trstâs rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♣t êtr s♣rsé ♦ ♥♦♥s♣rsé ♥ér ♦♥♦♥♥ér ♥s tt ♣rt ♥♦s ♦♥s ♥♦s ♦♥♥trr sr qqs ♠ét♦s rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♦♥♥s ts♥t s tr♥s♦r♠t♦♥s t ♣r♦t♦♥s ér♥ts s♦♥ ♦t rré

♣tr tt rt

r Pr♦ér trt♠♥t t ♥②s ❬ ♥♦s ❪

ét♦♥ sé sr s tr♥s♦r♠t♦♥s

❯♥ ♠ét♦ ssq ♥♦♥s♣rsé st ♥②s ♥ ♦♠♣♦s♥ts ♣r♥♣sP ❬♦ ❪ q ♦♥sst à tr♥s♦r♠r s rs ♦rréés ♥ ♥♦srs é♦rréés st ♥ ♣♣r♦ à ♦s é♦♠étrq s rss♦♥t r♣rés♥tés ♥s ♥ ♥♦ s♣ s♦♥ s rt♦♥s ♥rt ♠①♠t sttstq rr ♣♦rt sr s ①s ♥é♣♥♥ts ①♣q♥t ♠① rté r♥ s ♦♥♥és ♦rsq ♦♥ t ♦♠♣rssr ♥ ♥s♠ rs s ♣r♠rs ①s ♥②s ♥ ♦♠♣♦s♥ts ♣r♥♣s s♦♥t s ♠rs♦① ♣♦♥t ♥rt ♦ r♥ s ♥♦s rs s♦♥t♥♦♠♠és ♦♠♣♦s♥ts ♣r♥♣s t s①♣r♠♥t s♦♥ s ①s ♣r♥♣① tt♣♣r♦ ♣r♠t rér ♥♦♠r rs t r♥r ♥♦r♠t♦♥ ♠♦♥sr♦♥♥t ♥ ♦♠♠♥ ♣r r ♠tr ♦r♥ C ♥ t ♦♥♥és X t m× n m ♠♥s♦♥ t n ♥♦♠r ♦srt♦♥s

C =1

m

m∑

i=1

xixTi

s ♦♥♥és s♦♥t ♥st ♣r♦tés sr s k ♣r♠rs trs ♣r♦♣rs tt ♠tr C ♣r♠tt♥t rér t s ♦♥♥és m à k r strs ① ♦♠♣♦s♥ts ♣r♥♣s ♥ ♥s♠ ♦♥♥és ♠♥s♦♥ ① st ♣♦ss ♣♣qr P ♥ rér t ♥ ②♣rs♣trt ①trr ss rtérstqs ts ♦♠♣♦s♥ts ♣r♥♣s t ér ♥s r s trs trt♠♥ts ♥ t trt♠♥t ♦rs ♥ r♦♥strt♦♥è s ♦♥♥és ♠ré rét♦♥ r ♠♥s♦♥ ♥st ♣s ♥éssr

ét♦♥ ♠♥s♦♥

♠♥t ♣♣r♦♣ré ♦rsq ♣réè ♥ ♦♣ért♦♥ sst♦♥ ♣sq ♥ s♣s à ♣résrr sé♣rté sss ♥ rs♦♥ s sss trs ♠é

r ♦♠♣♦s♥ts ♣r♥♣s ♥ ♥s♠ ♦♥♥és

t♦s ♦♥t été ♥tr♦ts ♥ ♣t tr ♣r♠ s ♦sst P P❬♥ ❪ ♦ ♥♠♠ ♦s rt♦♥ ❬r♥ t ❪ s ♠ét♦s ♥♥t P ♦♥♥t♦♥♥ ♥ ss♥t s ♦♠♣♦s♥ts ♣r♥♣s ♥♦♥t♦♥ s ♠ét♦s ♣♥♥t ♠♥♥t ♥ st♠t♦♥ ♣rés rt q ♣t êtr ♥s rt♥ s ♣s rtèr ♥st ♣s♣♣r♦♣ré ♥s s s ♦ù s ♥trér♥s s♦♥t ♠♣♦rt♥ts P♦r st♠r r♥ rt ♥ q ♥ s♣tr ♣♦r ♥ ♠tr ♦r♥ rt ♦♥ ♣t êtr s♣♣♦sé q s♥ ♥ q ♣① ♥ ♦rt ♦rrét♦♥ ss ♦s♥s s♣t t s♣tr ♥s rés ♥ ♣rét♦♥ ♥ér ♣t êtrss♦é à ♦♠♣♦s♥t rt r♥ rt ♣t êtr st♠é ♦♠♠ r♥ s ♦♠♣♦s♥ts rt ♥ t♦s s ♣①s st♠t♦♥ s ♣r♠ètrs rt ♣t êtr ♣s ♣rés s ♣rét♦♥ ♥ér st ♠♥é ♥s s ③♦♥s♦♠♦è♥s

❯♥ tr ♠ét♦ st ♥②s sr♠♥♥t ♥ér sr ❬ t ❪ st ♥ t♥q s♣rsé st♥r rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♥s ♦♠♥ r♦♥♥ss♥ s ♦r♠s ♦♥sst à ♣r♦tr s ♦♥♥és r♥s ♠♥s♦♥s sr ♥ s♣ ♠♥s♦♥ ♦ù t♦tss sss s♦♥t ♥ sé♣rés s trt ♣r ♠①♠st♦♥ ♥ q♦t♥t ② é♥♠♦♥s tt ♠ét♦ ♣t ♦♥♥r s réstts ♥tt♥s s sé♥t♦♥s ♥ ss s♦♥t strés s♦♥ ♥ ♦ ♠t♠♦ ♥②s sr♠♥♥t sr ♦ ❬②♠ ❪ st ♦♥ç ♣♦r sr♠♦♥tr ttté P♦r ♠r ②♣rs♣tr q ♣t ♣rés♥tr s rtérstqs♠t♠♦s ♥s q ss ♣t ♦♥♥r ♠rs ♣r♦r♠♥sq ♦r♥

♥s ♥♦♠r① s s ♦♥♥és ②♣rs♣trs ♣♥t ♥ ♣s r ♥s

♣tr tt rt

♥ ②♣r♣♥ ♠è♥ à s réstts sés q ♥♥t sr s ♣r♦érs trt♠♥t à sr s ré♥ts é♦♣♣♠♥ts ♥s ♦♠♥ ♣♣r♥tsss rétés ♣r♠tt♥t ♣r tt té rété st ♠♥s♦♥s ♦♥♥és ♣♥t êtr ssés ♥s t s♣ ♠♥s♦♥

Pr♠ s ♠ét♦s ♦♥ ♣t tr s ♣s ♦♥♥s P ❬ t ❪P ❬ ♥♥♠ ❪ ❬♦s ❪ P st ♥♠ét♦ é♦♣♣é à ♣rtr P ♥ ts♥t st ♥♦② ❬r♦♥s③♥ ❪P ♦♠♠♥ ♣r r ♠tr ♦r♥ s ♦♥♥és r♣rés♥tés♥s ♥ s♣ rt à ♥♦② r♣r♦s♥t r♥ ♠♥s♦♥

C =1

m

m∑

i=1

Φ(xi)Φ(xi)T

Φ(·) ♥ ♣♣t♦♥ ♠♣t ♦♥♥é ♦♥séq♥t ♦① ♥ ♥♦② s♦♥♥és tr♥s♦r♠és s♦♥t ♥st ♣r♦tés sr s k ♣r♠rs trs ♣r♦♣rs tt ♠tr à ♠ P tt ♣♣r♦ ts st ♥♦② ♣♦r ér r t♦r rs♠♥t ♥st ♣s tr tr♦r ♥ ♥♦②♣r♦r♠♥t ♣♦r ♥ ♣r♦è♠ ♦♥♥é s♦rt q P ♥ ♦♥♥ ♣s t♦♦rs ♦♥s réstts ♣♦r rt♥s ♣r♦è♠s Pr ①♠♣ st ♦♥♥ q ♦♥♥ ♣ètrs ♣r♦r♠♥s ♣♦r s ♣♦♥ts stés sr ♥ rété t②♣ ss ♦ ♦r♣rès

s♦♠♣ ❬ ♥♥♠ ❪ st ♥ s ♠ét♦s rét♦♥ ♠♥s♦♥♥té s ♣s r♠♥t tsés P♦r tt ♠ét♦ s st♥s é♦ésqs s♦♥t trts s♦♥ ♥ ♠étrq ♥♥ râ à ♠ét♦ ❬♦① ♦① ❪ ♦rt♠ ♦r♥t ♥ ♠ét♦ s♠♣ ♣♦r st♠r é♦♠étr ♥tr♥sèq ♥ rété ♦♥♥és râ à ♥ st♠t♦♥ ♣♣r♦①♠t st♥ q ♣♦♥t à ss ♦s♥s s♦♠♣ st très t é♥ér♠♥t♣♣ à ♥ r é♥t t②♣ ♦♥♥és r ♦♥♥ ♥ réstt♦t♥ s♦♠♣ tt ♠ét♦ sr sté ♥s st ♦t♦♥s q ①st♥ é♦t♦♥ tt ♠ét♦ ♥♠rs♦♠♣ ❬♥♦ t ❪ t ♦rt♠ s à ♠♥tr té t♦r ♣r① ♥ rt♥ ♣rt ♣rés♦♥ s réstts

♦rt♠ ❬♦s ❪ été ♣r♦♣♦sé ♥ ♠ê♠ t♠♣s qs♦♠♣ ♣r ♥ éq♣ ♦♥rr♥t ♣srs ♥ts ♣r r♣♣♦rt à s♦♠♣♥♦t♠♠♥t ♥ ♦♣t♠st♦♥ ♣s r♣ r♣♦s♥t sr s ♠trs é♣rss t ♥♠r qté s réstts sr ♥♦♠r① ♣r♦è♠s ♦♠♠♥ ♣r étr♠♥r ♥ ♥s♠ ♣s ♣r♦s ♦s♥s ♣♦r q q ♣♦♥t ♥st ♥ ♥s♠ ♣♦s ♣♦r q ♣♦♥t q ért ♠① ♥t♥t q ♦♠♥s♦♥ ♥ér ss ♦s♥s ♣rtr s ♥♦r♠t♦♥s ts♥♥ ♥ t♥q ♦♣t♠st♦♥ à s trs ♣r♦♣rs ♣♦r é♥r s♣ r♣rés♥tt♦♥ s ♦♥♥és ♣s éqt

sst♦♥

r rt♠♥t s ♦♥♥és ss ♦ s♦♠♣ ❬ t ❪

♦t♦♥s sr tst♦♥ s ♠ét♦s rét♦♥ ♠♥s♦♥s

♥s rt♥s s tst♦♥ ♥ ♠ét♦ rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♣t♠é♦rr s ♣r♦r♠♥s ♥s ♦♥t①t ♥②s s ♠s ②♣rs♣trs♣♥♥t st ♣♦ss q tst♦♥ ts t♥qs ♣ss♥t érr s♣r♦r♠♥s ♣r r♣♣♦rt à ts♥t ♠♥s♦♥ ♦r♥ ♥♥ qst♦♥ ♦① ♠♥s♦♥ s♣ r♣rés♥tt♦♥ ♥ ♠r ♦rt ♥s r ♥ ♣r♦è♠ sst♦♥ s♣rsé st é ♥♦♠r sss

sst♦♥

t♥t ♦♥♥é ♥ ♥s♠ ♦srt♦♥s ♣①trs ♣r♦è♠ sst♦♥ ♦♥sst à ttrr ♥ étqtt ♥q à q ♣① P♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♦♥ ♣t r♦rr ♣ré♠♥t à ♥ ♦rt♠ é♠é♥ ♥ ①trr s ♦♥ts ♦♥♥ ♥ s trs ♣r♠ètrs t ♣r♦è♠ s♥ tr♦ ♥s rét r str ♥ ♣r♦éé sst♦♥

♣tr tt rt

st♥rP♦r sst♦♥ ♦♥♥és ②♣rs♣trs t♦♦rs ①st ♣srs

t②♣s ♣r♦è♠s sst♦♥ ♥s st ♣♦ss ♥sr ♥ r s♣rsé ♦ ♥♦♥s♣rsé s♦♥ ①st♥ ♥ érté trr♥ ♦ ♥♦♥ ♣♣r♦ ♥♦♥s♣rsé ♣t sérr ét ét♥t ♦♥♥é s♥ ♥♦r♠t♦♥ sr ♥♦♠r sss à sr♠♥r ♥ q ♦♥r♥ ♣♣r♦ s♣rsé ♠ét♦♥ ♠♥s♦♥♥té ♦♥stt ♥ é rt♥ ét♥t ♦♥♥é ♠♥s♦♥ s ♣①trs rr ♥♦♠r ♦♥♥és ♣♣r♥tss é♥ér♠♥t s♣♦♥s♥ ♠é♦rr s ♣r♦r♠♥s s ♦rt♠s st r♦♠♠♥é ①♣♦tr♦♥♦♥t♠♥t s ♥♦r♠t♦♥s s♣trs t s♣ts ♥ ♦♥s♦♥ st ♥ ♣rtq ♠♣♦rt♥t r♦rr à s ♦rt♠s ♣rétrt♠♥t s t r♣s

r Pr♦ér sst♦♥

sst♦♥ ♥♦♥s♣rsé

sst♦♥ ♥♦♥s♣rsé ♦t r à s♥ ♦♥♥és étqtés Psrs ♣♣r♦s ♣♦r sr♠♦♥tr ♣r♦è♠ ♦♥t été ♣r♦♣♦sés ♥ ♥②s ♦♥♥és ②♣rs♣trs str♥ s♠♥tt♦♥ érrq ♣♣r♦♦t str♥ ❬rs t ❪ s à étr t♦♠tq♠♥t s rr♦♣♠♥ts ♥s s♣ s rtérstqs ♥ st♠♥t s ♥trs qss qst♦♥ ♥tr rst ♦① ♥♦♠r sss

s♠♥tt♦♥ érrq ♣♦r t ♣r♦r ♥ ♥s♠ s♠♥tt♦♥s ♠ à ér♥ts ♥① éts s s♠♥tt♦♥s r♦ssèrs ♣♥têtr ♣r♦ts ♥ s♦♥♥♥t s ré♦♥s s♠♥tt♦♥s ♣s ♥s ❯♥ ♦rt♠t②♣q st s♠♥tt♦♥ érrq rérs ❬r t ❪ st ♥ ②r t♥q r♦ss♥ ré♦♥ t str♥ s♣tr t ♥ s♠♥tt♦♥ ♠trés♦t♦♥ ♥s q s ré♦♥s① ♥① s ♣s ♥s ♣♥t êtr ss♦és à s ré♦♥s à s ♥① ♣s

sst♦♥

r♦ssrs q ré♦♥ ♣t êtr s ♥s érr s♠♥tt♦♥s ♥ és♥r ♥ s♠♥tt♦♥ ♦♣t♠ ♣♦r ♥ ré♦♥ ♦♥♥é

sst♦♥ ♠s sé sr s ♦ts st ss t ♥②s ♠ssé sr s ♦ts ♦ ❬♥ t ❪ ♥s ♦♠♥ tééétt♦♥ t♥q ♦♥t♦♥♥ à s és ♠t♣s t ts s ♥♦r♠t♦♥s s♣trs ♠♦r♣♦♦qs ts t①trs strtr t ♦♥t①ts ♣♦rrr♦♣r ç♦♥ ♥♦♥s♣rsé s ♣①s ♥s s ♦ts ♦ ♣s ♦♥♥♣♦r tt t♥♦♦ st ♥♥s ♦♥t♦♥ tt♣ ♦♥t♦♥♦♠ ♣t s♠♥tr ♠ ♦r♥ ♥ ♦ts ♦♥♥tés é♥t♠♥t à ér♥ts♥① t ♦sr t♦♠tq♠♥t ♦ s♠t♦♠tq♠♥t ♥ ♥ ♦♣t♠♣♦r q ♦t

sst♦♥ s♣rsé

sst♦♥ s♣rsé ts s ♣①s éà étqtés ♣♦r é♦rr ♥ssr ①st ♣srs strtés ♣♦r sst♦♥ s♣rsé ♦r♥♦s ♦♠♠♥ç♦♥s ♣r s ♣♣r♦s ssqs

ssr ts♥t st♥ ♠♥♠ q ss♥ ♥ ♣① à ss ♣s ♣r♦

ssr ♠①♠♠ rs♠♥ é ♣r♦té ttrt♦♥♥ ♣① à ♥ ss à à ♦s r♥ t ♦r♥ sé♥t♦♥s ♣♣r♥tss s♣♦♥s

s ssrs sr♠♥♥ts q s♥t à ssr ♥ ♥s♠ ♣①trs♥s s sss ér♥ts ♥ ts♥t ♥ ♦♥t♦♥ sr♠♥♥t q ♠♥♠srrr sst♦♥ Psrs t②♣s ♦♥t♦♥s sr♠♥♥ts ♣♥têtr ♣♣qés ♣s♣r♦s♦s♥s rrs és♦♥ ♦♥t♦♥s ♥érs♦♥t♦♥s ♥♦♥♥érs t . . .

s t②♣s ssrs ssqs s♦♥t très s♥ss à ♠♥tt♦♥ ♠♥s♦♥ s ♦♥♥és P♦r s r♥s ♠♥s♦♥s t s♣♦sr ss♠♠♥t ♦♥♥és ♣♣r♥tss tst♦♥ s ♥♦②① st ♥ ♦♥♥ s♦t♦♥ ♣♦r ♣r♦è♠ ♣r♥♣ st ♦r ♥ s ♣s ♣♦♣rs ♣♦r sst♦♥ s♣rsé ②♣rs♣tr sst♦♥ ts♥t s ♠ét♦sà ♥♦②① ♦♠♠♥é tst♦♥ s sé♣rtrs à st ♠r ❱❬②♥s t ♠♣s❱s r③③♦♥ ❪ st ♥♦② ♣r♠t ①♦rt♠s ♦♣érr ♥s ♥ s♣ rt r♥ ♠♥s♦♥ ♦r ♥♥♥s q s ♦♥♥és ♣♣r♥tss ♣♥t ♥r ♥ér♠♥t sé♣rs s❱ s♥t ♦♥ à tr♦r ♥ ②♣r♣♥ à ♠r ♠①♠ ♣♦r sé♣rr s ♦♥♥és♣♣r♥tss ♥s t s♣ r str ♣r♥♣ tt ♣♣r♦s tés ssst♥t ♣♥♥t ♣♦r ♠s ♥ ÷r t②♣ ♣♣r♦♥ ♣rtr ♦① ♥♦② trs ♦rt♠s sst♦♥ ♣♦♣rsr♣♦s♥t sr s rés① ♥r♦♥s ❬♥tss♦♥ t ❪ ♣r♣tr♦♥ ♠t♦ ♣♣r♥tss ♣r rétr♦♣r♦♣t♦♥ r♥t été r♠♥t tsé♦♠♣rés ① ♠ét♦s à ♥♦② s rés① ♥r♦♥s s♦♥t ♥t s♥ss à ♠ét♦♥ ♠♥s♦♥♥té ♦t♦s s ♥ ♣♦sttrt♠♥t s♣t st ♣

♣tr tt rt

r ♥t♦♥ s ♦♥♥és ♥s ♥ s♣ r♥ ♠♥s♦♥

♣qé s rés① ♥r♦♥s ♣♥t é♠♥t sérr s Pr♠ s trs♠ét♦s sst♦♥ s♣rsés ♦♥ ♣t tr sst♦♥ ♣r s♦ss♣s❬ t ❪ t ♣♣r♥tss rétés ❬ t ❪

sst♦♥ ♦♠♥♥t ♥♦r♠t♦♥s s♣ts t s♣trs

Psrs ♦rt♠s t♥♥t à ♦♠♥r s ♥♦r♠t♦♥s s♣ts t s♣trs♣♦r ♠é♦rr s réstts sst♦♥

sst♦♥ sé sr s ♣r♦s ♠♦r♣♦♦qs s ts♥t s ♦♣ért♦♥s ♦rtr t r♠tr ♥ ♥r s ♥♦r♠t♦♥s s♣ts ❬♥tss♦♥ t ❪ ♦rsq st ♦♣é à ♥ ssr❱ tt ♠ét♦ ♣t ♦♥♥r très ♦♥s réstts trs ♦rt♠s ♦♥t ss été é♦♣♣és s♦♥ ♠ê♠ ♣r♥♣ s ♣r♦s♠♦r♣♦♦qs ét♥s ❬P③ t ❪ s ♣r♦s ttrts ♠♦r♣♦♦qs ❬r t ❪ s ♣♣r♦s ♠♦r♣♦♦qs s ss♥s ②r♦r♣qs ❬r t ❪

sst♦♥ ♥tér♥t ♥ s♠♥tt♦♥ ❬r t ❪ tt ♠ét♦ ♦♠♥ ♥ ssr ♥♦♥s♣rsé t ♥ ❱ ♣♦r ssr q ♣① ♥ ♥tér♥t s ♥♦r♠t♦♥s s♣ts

sst♦♥ ss♦♥t ♠♣s r♦ t ❱ ❬r t ❪ ♥ ♠♣ r♦ st tsé ♥s ♣♦sttrt♠♥t ♣♦r ①♣♦tr s♥♦r♠t♦♥s s♣ts

Pr♦rès ré♥ts ♥ sst♦♥

♥s tt st♦♥ ♦♥ é♥♠èr qqs t♥♥s ♥♦s ♥ sst♦♥s ♦♥♥és ②♣rs♣trs

sst♦♥ s♠s♣rsé ♣r♦éé ts à ♦s s é♥t♦♥sétqtés t ♥♦♥ étqtés P♦r s ♣♣t♦♥s rés s ♦♥♥és ♥

étt♦♥

trî♥♠♥t s♦♥t é♥ér♠♥t s à ♦t♥r ♥ r♥ ♥♦♠r ♥ ts ♦♥ é♠♥t s é♥t♦♥s ♥♦♥ étqtés q r♥t êtr rt♠♥t s à é♥érr ❯♥ ♦rt♠ t②♣ st ❱ tr♥st ❱s ❬r③③♦♥ t ❪ st sé sr tst♦♥ ♦♥♦♥t sé♥t♦♥s étqtés t ♥♦♥étqtés ♥s r ♥ ♣r♦sss tért à♣♣r♥tss tr♥st

♣♣r♥tss t sét♦♥♥ s é♥t♦♥s s ♣s ♥♦r♠ts ♥s ♥r♦♣ ♥ts sqà ♣rés♥t ♥♦♠rss strtés ♣♣r♥tss ts ♦♠♠♠♥ ♦♥t été ♣r♦♣♦sés ♥ r ♠♥ à♠♥ ♣t êtr tsé ♦♥ ♣r t♦♣♣r♥tss s♠s♣rsé

é♠é♥ s ♠s ♥t sst♦♥ ❬♦♣♦ t ❪ é♠é♥s♣tr ♣t êtr tsé ♣♦r ①trt♦♥ rtérstqs ♥t sst♦♥ s♣rsé é♠é♥ ♣t êtr résé ç♦♥ s♣rsé ♦♥♥ésétqtés ♦ ♥♦♥s♣rsé ♠ ♦r♥

♥tért♦♥ sst♦♥ t ♥ é♠é♥ s♣tr ♣♣r♥tsst ❬♦♣♦ t ❪

étt♦♥

étt♦♥ ♥ ♥s ♥ ♠ ②♣rs♣tr s r♣♣♦rt à tst♦♥ t rés♦t♦♥ s♣tr s ♠s ②♣rs♣trs ♣♦r rt♦r♣r s♠♣♠♥ts ♥ ♦t ♦ ♥ rtérstq ♥ s♥tr s♣tr ♦s♣t ♣rtèr étt♦♥ ♥ ♠r ②♣rs♣tr r♥♦ à♣srs t♥qs trt♠♥t t ♠♦s qst♦♥ t s♦♥ ♥♦r♠t♦♥ r♦♥♥ss♥ ♣r ♦r♠ s♥tr ②♣rs♣tr t①tr t♥s ♥ ♦ ♣srs ♥s s s ♥térêt s♦♥t s♦♥t ♣s ♣tts q t s ♣①s ♠ étt♦♥ s s♣①qs ♦ s♦♥t ♠é♥ésà trs t②♣s ♦rtr ♥♦♥ és s♥ ♥ ♣① t ♦♥ r♦rr♣r♦s à s ♣rétrt♠♥ts ts q é♠é♥ s♣tr ♣♦r éttr s ss ♠s ②♣rs♣trs s♦♥t ts à étt♦♥ s r s r♥♦♥t à♥ ♦♥t♥♠ ♥s s♣trs t ♦r♥ss♥t r♥s q♥ttés ♦♥♥és àt rés♦t♦♥ s♣tr ♥ ♠ ②♣rs♣tr s ♣r♦♣rétés s♣trsts q ♦♥trst rté s♠t t sr♠♥té ♣♥t êtrtsés ♣♦r éttr s s ♥ s♣①q

♥ q étt♦♥ ♣ss êtr ♥sé ♦♠♠ ♥ ♣r♦è♠ sst♦♥ à① sss ② qqs ér♥s ♠rs ♦t ♦r ♥♦♠r ♣①s♦rts ♣r ♣t êtr ♣tt t st ♦r ss③ é♥t♦♥s♥trî♥♠♥t ♣♦r st♠r s sttstqs ss ♣s ♥ rs♦♥ ♦♠♥♥ s ♣①s ♦♥ ♥♦♥ ♠♥♠st♦♥ ♣r♦térrr ♥st ♣s ♥ ♦♥ ♦① st ♣réér ♠①♠sr ♣r♦té étt♦♥ ♥ r♥t ♣r♦té ss r♠ ♦r♥é

t♥t ♦♥♥é ♥ s♣tr ♦sré r ♥ tst ssq ♦♥sst à ♦♠♣rr r♣

♣tr tt rt

♣♦rt rs♠♥ é♥ ss♦s à ♥ s

Λ(r) =p(r| ♣rés♥t)p(r| s♥t)

s ♦t êtr ①é s♦rt à stsr ♥ ♦♠♣r♦♠s ♥tr ♣r♦té ♦♥♥étt♦♥ t ♣r♦té ss r♠ ért ♣r ♦r ♦♣ért♦♥♥ ré♣tr ♥ ♣rtq ♦① s rt êtr té s♥s r♦rrà ♥ ♥tr♥t♦♥ ①térr ♥s ♦♥t①t ♥ éttr t②♣ à ♠♥t♥r t① ss r♠ ♦♥st♥t ♥é♣♥♠♠♥t s ♣r♠ètrs ♥s♥ ♣r♦è♠


♥ ♠r ②♣rs♣tr s ♣trs qèr♥t s♦♥t s sè♥s ♥s sqs ♥♦♠rss sst♥s ♠térs étér♦è♥s ♦♥tr♥t s♣tr♠sré r♥r st ♦rs qé ♣① ♠é♥ s ♣①s ♠é♥s♦♥t réq♥ts ♥s s ♠s ②♣rs♣trs ♥ rs♦♥ ♥ rés♦t♦♥ s♣t♥ss♥t ♣tr ♦ ♥ rs♦♥ s ts ♠é♥s ♥t♠s r str s ♣①s ♠é♥ ♥s ♥ ♠ ②♣rs♣tr ♥ ♣s s ts ♠é♥s s♣tr① ② ♦♣ trs s♦rs ♣rtrt♦♥ q ♣♥ttr ♦♥sér♠♥t s ♠s ②♣rs♣trs Pr ①♠♣ s ♣rtrtrst♠♦s♣érqs s♦♥t ♥ s♦r ♣♦t♥t ♠é♥ Pr rs s ts s♦♥ré①♦♥ ♠t♣s ♣♥t é♠♥t ♥trî♥r s ♥①tts ♠♦è ♥♥ s ♦♠rs t s ♦♥t♦♥s ér rés ♣♥t ♥tr♥r s

r P①s ♠é♥ ♥s ♥ ♠ ②♣rs♣tr ❬③♥ t ❪

♣①s ♠é♥ ♣♥t sérr très ê♥♥ts ♥s s ♣r♦éés ♥②s t


trt♠♥t s ♠s ②♣rs♣trs Pr ①♠♣ ♥ ♣r♦ér sst♦♥ ♣① ♣r ♣① ♣t êtr sé♠♥t tr♦♠♣é t ♣rés♥ ♠é♥❯♥ r♠è ♦♥sstrt à ♠♥tr rés♦t♦♥ s♣t ♠ é♥♠♦♥ss ts ♠é♥ ♥t♠ ♥s s ♠tér① ♦♠♦è♥s ts q s s♦s t sss ♥tr♥♥♥t ♥é♣♥♠♠♥t ♥ rés♦t♦♥ ♠ê♠ r ♦t♦♥s q ts ♠é♥s ♥tr ♠tér① s♦♥t ♥tr ♥♦♥♥ér sàs s s♣trs♠srés s ♠ét♦s é♠é♥ ♦r♥t s ♣tés ♥tr♣rétt♦♥ ♠♣♦r

r ① t②♣s ♣①s ♥s ♥ ♠ ②♣rs♣tr ♠é♥ ♥ér ♠é♥ ♥t♠ ♥♦♥♥ér ❬s str ❪

t♥t ♥s ♥♦♠r① sé♥r♦s ttqs ♣♦r sqs s éts s♣①qss♦♥t ss♥ts ❬s str ❪ é♠é♥ s♣tr st ♥ ♣r♦érs♦♥ q ♥ s♣tr ♠sré st é♦♠♣♦sé ♥ ♥ ♥s♠ s♣trs éé♠♥trs ♦ ♥♠♠rs t ♥ ♥s♠ rt♦♥s ♦rrs♣♦♥♥ts ♦ ♦♥♥sPs r♠♥t s r♥rs ♥q♥t ♣r♦♣♦rt♦♥ ♥ s ♥♠♠rs r♣rés♥tés ♥s ♣① ♠é♥ s ♥♠♠rs ♦rrs♣♦♥♥t ① éé♠♥ts♦♥sttts ♥tés ♥s sè♥ ♦♠♠ s s♦s s ♠ét① t ❯♥ ♣①tr st t ♣r s ♥ s réèr qà ♥ s éé♠♥t ❯♥ ♠ ②♣rs♣tr♣t ♥ ♦♥t♥r ♥ ♣① ♣r

① ♠s ♦rt♠s é♠é♥ ♣♥t êtr ♥tés s♦♥ ♥tr s ♠é♥s ♦♥sérés ♥ér t ♥♦♥♥ér ♥s ♥ ♠♦è ♠é♥♥ér s ♦♠♣♦s♥ts ♠r♦s♦♣q♠♥t ♣rs s♦♥t s♣♣♦sés êtr ré♣rts ç♦♥ ♦♠♦è♥ ♥s s ♣ts st♥ts sè♥ ②♣rs♣tr ♥s ♥ ♠é♥♥♦♥♥ér s ♦♠♣♦s♥ts ♠r♦s♦♣q♠♥t ♣rs s♦♥t ♥t♠♠♥t ♠é♥és s♦rt♠s éés à t②♣ ♠é♥ s♥t à ♥tr ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♥♥érr♥t s s♣trs s ♠tér① t r ♦♥♥ ♣①tr qs ❯♥♦♥♥ss♥ ♣r♦r ♣♣r♦♦♥ s ♠tér① st ♠♣♦rt♥t

♥ ♠♥èr é♥ér ♣r♦è♠ é♠é♥ s♣tr st ♥ s ♣rtr ♣r♦è♠ ♥rs é♥érsé q s à st♠r s ♣r♠ètrs s②stè♠ ♥ts♥t ♥ ♦ ♣srs ♦srt♦♥s ♥ s♥ ②♥t ♥tr s②stè♠♥t rrr ♣tr ❯♥ ♣r♦éé é♠é♥ ♦♠♣t ♦♠♠♥ ♣r ♥ ♦♥♥és sr q ♥ ♦rrt♦♥ t♠♦s♣érq éà été ♣♣qé ❯♥rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♣t êtr ♣♣qé s♦♥ ♦rt♠ é♠é♥ ♦s♣rès tt ét♣ ♥ ①trt♦♥ s ♥♠♠rs st ♣rtqé ♣♦r tr♦r s

♣tr tt rt

s♣trs ♦♥sttts sè♥ s ♦rt♠s ①st♥ts st♠♥t s ♦♥♥s♣rès ♦ ♦♥♦♥t♠♥t à ①trt♦♥ s ♥♠♠rs ♣r♦ér ♦♠♣èt stsé♠tq♠♥t r♣rés♥té sr r ♥ s ét♣s st été♥s s st♦♥s s♥ts

r Pr♦ér é♠é♥ ❬Pr♥t P③ ❪

♦ès ♠é♥

é♥t♦♥ ♥ ♠♦è ♣②sq ♠é♥ s♣tr st ♥ ét♣ ss♥t♣♦r é♠é♥ s ♠♦ès s♥t à érr ♦♠♠♥t s ♦♠♣♦s♥ts ♦♥sttts ♥ ♣① s ♦♠♥♥t ♣♦r ♣r♦r s s♣trs ♠srés s t♥t♥t r♣r♦r ♣②sq ♦♥♠♥t t♥t ♣é♥♦♠é♥♦♦ ②♣rs♣tr s♦rt♠s é♠é♥ s♥t à tsr s ♠♦ès ♣♦r tr ♦♣ért♦♥


♥rs♦♥ q ♣♦r t st♠r s ♥♠♠rs t rs ♦♥♥s ♥ q♣①tr ♠

♣rtr s ① ♣r♥♣① t②♣s ♠é♥s ①st♥ts ♦♥ ét ①♠s é♥érs ♠♦ès ♠é♥

P♦r ♠♦è ♥ér ❬s str ❪ sr ♠é ♦rrs♣♦♥♥t à q ♣① st ♦♥stté ♣ts ♦♠♦è♥s r②♦♥♥♠♥t réé♦♠♥ s s♣trs s éé♠♥ts ♦♥sttts ♥s s ♠ê♠s ♣r♦♣♦rt♦♥s q rs♦♥♥s rs♣ts ♥s s ①st ♥ rt♦♥ ♥ér ♥tr s ♦♥♥s s sst♥s t s♣tr ♠sré ♦t r = r1, r2, . . . , rL s♣tr rét♥ qs ♣r ♣tr L ♥♦♠r ♥s mi s♣tr i ♠tér ♦♥sttt α = α1, α2, . . . , αR tr s ♦♥♥s R ♥♦♠r ♠tér① t n ♥ rt ♥ ♦♥

r = α1m1 + α2m2 + · · ·+ αRmR + n

♥s ♠♦è s ♦♥♥s ♦♥t ré♣♦♥r ① ♦♥tr♥ts ♣♦stté t s♦♠♠ ♥té

αi ≥ 0, ∀i ∈ 1, . . . , R

R∑

i=1

αi = 1.

P♦r ♠♦è ♥♦♥♥ér ♠♦è ♠é♥ ♥♦♥♥ér st éé♠♥t ♣s♦♠♣① ♥ rs♦♥ s ♥trt♦♥s ♥t♥t ♣①tr ♥ ♣t érr ♠♦è éqt♦♥

r = Ψ(α,M) + n

♦ù Ψ st ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♥♥ér qs ♠♦ès tt ♠ ♦♥t éàété ♥tr♦ts ♣r ①♠♣ ♠♦è ♥ér é♥érsé ❬♠ t ❪ ♠♦è ♥t♠ ❬s♠♥t♦ ♦ss ❪ ♦ ♠♦è ♣♦st ♥♦♥♥ér❬t♠♥♥ t ❪

ét♦♥ ♠♥s♦♥

ét♣ rét♦♥ ♠♥s♦♥ été ♣rés♥té ♥s st♦♥ ♥s tt♣rt ♥♦s ♦♥s ♥t ♥♦s ♥térssr à rr ♥♦♠r ♠♥s♦♥s♥éssrs stàr ♥♦♠r s♦rs ♣r♠ts q ♦♥stt♥t ♠ ②♣rs♣tr ♦ ♥♦r ♥♦♠r ♥♠♠rs ♥ ♣t tr qqs ♠ét♦sts ❱ ❬♥ t ❪ ②♠ ❬♦ss s♠♥t♦ ❪ ♦ ♥♦r ❬♥ t ❪

❱rt ♠♥s♦♥t② ❱ tt ♠ét♦ ♣rt ♣r♥♣ q q♦♠♣♦sé éé♠♥tr st ♣rés♥t ♠♦rtr♠♥t ♥s ♥ ♥ s♣tr♦ù ♥♥ s trs ♦♠♣♦sés st ♥é ♦♥ ♣♦♥t st♠t♦♥ ❱ r♣♦s sr ♦♠♣rs♦♥ s rs ♣r♦♣rs s ♠trs ♦r♥ t ♦rrét♦♥ s ♣①s trs ♦srés

♣tr tt rt

②♣rs♣tr s♣ ♥tt♦♥ ♠♥♠♠ rr♦r ②♠ ♣r♥♣ tt ♣♣r♦ st ♣r♦ ♥ ♥②s ♥ ♦♠♣♦s♥ts ♣r♥♣s t♦t♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t s rtérstqs rt ♥t♥t s ♦srt♦♥s

♥ ♦♦ ①♠③t♦♥ tt ♠ét♦ ♣♣♦rt ♥ ♠♦t♦♥ à ❱ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t q s rs ♣r♦♣rs ♦rrs♣♦♥♥t rt s♦♥t ♥tqs sr s ♠trs ♦r♥ t ♦rrét♦♥♥ ♦tr s rs ♣r♦♣rs ♦rrs♣♦♥♥t s♥ ♥♠♠rs s♦♥t ♣sr♥s ♥s ♠tr ♦rrét♦♥ q ♥s ♠tr ♦r♥ t♥q ①♣♦t t t ♦♥♥ ♥ ♠ét♦ ♥tèr♠♥t t♦♠tq q♥ ♠♥ ♥ ♣r♠ètr ♥ ♥tré ♦♠♠ ❱ ♥ st♠t♦♥ rt♦♠♠ ②s♠

①trt♦♥ s ♥♠♠rs

♥ ①trr s ♥♠♠rs ♣srs ♠ét♦s ♦♥t été é♦♣♣és rt♥s s ♠ét♦s s♣♣♦s♥t ①st♥ ♣①s ♣rs ♥s sè♥ t s♦♥sèr♥t ♦♠♠ s ♥♠♠rs Pr♠ s ♦♥ ♣t tr s ♠ét♦sssqs ♦♠♠ ❬❲♥tr ❪ ❬♥ t ❪ ♦ ♥♦r ❱❬s♠♥t♦ ♦ss ❪

♦rt♠ ♣♦r t tr♦r s ♥♠♠rs ♥ ♠①♠s♥t ♦♠ s♠♣① é♥ ♣r s r♥rs s s♦♠♠ts q é♥ss♥t s♠♣①s♦♥t s ♥♠♠rs rrés à ♦♥t♦♥ q ①st ♥ ♣① ♣r ♣♦r q♥♠♠r ♥s ♠ trté r str ♣r♦♣♦s ❯♥ ét♣ rét♦♥ ♠♥s♦♥ st ♣♣qé ♥t tsr t ♦rt♠ r s s ♦♠ ♠♥♥t ér étr♠♥♥t ♥ ♠tr rré ♦rt♠

r ♥s♠ ♦♥♥és ②♣rs♣trs ♦♠♣r♥♥t ♥♠♠rs

étr♠♥ s ♥♠♠rs ♠♥èr sss ♦t ♦r ♦rt♠♦♠♠♥ ♣r ♥ ♣♦♥t ♥tsé ç♦♥ ét♦r t ♣s rr ♥ tr ♣♦♥t


q ♠①♠s ♦♠ s♠♣① S1i = t, ri ♣♦♥t st ♦s ♦♠♠ ♣r♠r ♥♠♠r t étqté m1 ♣♦rst s rr s s♠♣①sS2i = (m1, ri) ♣♦♥t ri ♠①♠s♥t ♦♠ s♠♣① st sét♦♥♥é♦♠♠ ét♥t ①è♠ ♥♠♠r t étqtém2 ♣r♦sss ♦♥t♥ sqà q s R ♥♠♠rs rqs ♥t été étr♠♥és

♦rt♠ ❱ r♣♦s sr t q tr♥s♦r♠t♦♥ ♥ ♥ s♠♣①st é♠♥t ♥ s♠♣① ♥ ♣r♦tt s ♦♥♥és s♦♥ ♥ rt♦♥ q st ♦rt♦♦♥ s♦ss♣ ♥♥ré ♣r s ♥♠♠rs q ♦♥t été tr♦és sq à ♣♦♥t ♣s é♦♥é ♦r♥t ♥ ♥♠♠r s♣♣é♠♥tr ♦rt♠ ♥♥s tért♦♥s sqà q tt♥ ♥♦♠r s♦té ♥♠♠rs ❱trt st♥ ♥tr ♥ ♣♦♥t t s♦ss♣ ♥♥ré ♣r s ♥♠♠rs t♦rt♠ st s♠r à à ér♥ q ❱ ts ♥ ♣r♦sss rtérst♦♥ rt ♥ rér s♥sté rt st résé ♥ts♥t é♦♠♣♦st♦♥ ♥ rs s♥èrs ❱ ♣♦r ♦t♥r ♣r♦t♦♥q r♣rés♥t ♠① s ♦♥♥és s♥s ♣ss♥ ♠①♠

s ♠ét♦s ♣♥t êtr r♥és ♥ ♦t♥t s ♥♦r♠t♦♥ s♣ts ♣rétrt♠♥t s♣t ♥ ♠♦ ♣s ♦rt♠ s♣tr P♦r s ♠♦t♦♥s♦♥ s♣♣♦s q s s♥trs ♣rs ♠r♥t ♥s s ③♦♥s s♣t♠♥t ♦♠♦è♥s ❯♥ ♥ ♦♠♦é♥été s♣t st éé st tsé ♥ é♥rs ré♦♥s ♦♠♦è♥s râ à ♥ ♦rt♠ sst♦♥ q sr♥t à r①trt♦♥ s ♥♠♠rs ❬rt♥ P③ ❪ ①st ss s ♦rt♠s♥tér♥t s ♥♦r♠t♦♥s s♣t♦s♣trs s♦s ♦r♠ tr♥s♦r♠t♦♥s ♠♦r♣♦♦qs ♦♠♠ ❬P③ t ❪ ♦ ❬♦ t ❪

rès s♦♥t ♦♥ ♥ tr♦ ♣s ♣①s ♣rs ♥s ♥ sè♥ ②♣rs♣tr s s rqèr♥t tst♦♥ ♣♣r♦s s♣éqs Pr♠ s ♦♥ ♣ttr ❱ ❬ ♦ss ❪ ❬♥r① t ❪ ❱❬♦ ❪ t ❬r♠♥ t ❪ s ♠ét♦s rr♥t ♥ s♠♣① ♦♠ ♠♥♠♠ q ♥r♠ t♦s s ♣①s sè♥ s t♦rs♥t ♦t♦♥ ♦♥tr♥t ♣♦stté ♣r s rt♦♥s ♦♥♥ r ♥ ♣rés♥ rt ♦ s ♣rtrt♦♥s s trs s♣tr① ♣♥t s str ♥ ♦rs s♠♣① Pr rs ❱ rés♦t ♥ ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ ♣♣qé ①♦♥♥és ♦r♥ q ♦♥sst à ♠♥♠sr ♦♥♦♥t♠♥t rrr r♦♥strt♦♥t ♦♠ s♠♣①

♦① ♥ ♠ét♦ ①trt♦♥ é♣♥ ♦♣ t②♣ ♦♥♥és s♣♣t♦♥s t ♦① ♦rt♠ é♠é♥ tsé


❯♥ ♦s s ♥♠♠rs ①trts t st♠r rs ♦♥♥s rs♣ts ♣r♦è♠ ♣s s♦♥t été trté ♥ ts♥t ♠♦è ♠é♥ ♥ér ❯♥é ♣r♠t st tr♦r s ♦♥♥s q ♠♥♠s♥t rrr r♦♥strt♦♥‖r−Mα‖2 ♦ùM és♥ ♠tr s ♥♠♠rs r♥és ♥ ♦♦♥♥ ♣♥♥t réstt ♥ t♥t ♣s ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♣♦stté t s♦♠♠ ♥té ♠ét♦ s à rés♦r ♣r♦è♠ ❬♥③ ♥ ❪ ♥ ♠♥♠s♥t

♣tr tt rt

rrr qrtq s♦s s ♦♥tr♥ts ♣r♥♣ ♥t tt ♣♣r♦st ♦♥①té ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥

①st trs ♣♣r♦s r♣♦s♥t sr ♠♦è ♥ér s ①♠♣s s♦♥térts ♥s ❬♦♦♥ t ②s t ♦♥♥ r ❪ strté é♦♠étrq ért ♥s ❬♦♥♥ r ❪ s à st♠r s♦♥♥s ♥ ♥t s rt♦s ♦♠s ♣♦②èrs ♥s s♣ ért♣r s ♣①trs tt ♠ét♦ ♥ ♦ût t♦r

rt♥s ♦rt♠s ①trt♦♥ ♣♥t ♦r♥r ♥ st♠t♦♥ s ♦♥♥ss♠t♥é♠♥t ♥♦t♠♠♥t s ♠ét♦s ♥ r♣♦s♥t ♣s sr ②♣♦tès ♣①♣r ①st ss s t♥qs sés sr s ♣r♥♣s sé♣rt♦♥ s♦rs q ♥ ♥ésst♥t ♣s q s ♥♠♠rs s♦♥t ♦♥♥s ♥ ♣t tr♥②s ♥ ♦♠♣♦s♥ts ♥é♣♥♥ts ❬②r♥♥ ❪ t t♦rst♦♥ ♥ ♠trs ♥♦♥♥éts

s ♠ét♦s r♣♦s♥t sr ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♥ér ♦ ♠é♥ s♠s ②♣rs♣trs ♥s s s ♠é♥s ♥t♠s ♣r ①♠♣ s réstts♣♥t sérr séèr♠♥t sés st ♦rs ♥éssr r♦rr à s ♠ét♦s é♠é♥ ♥♦♥♥ér

ét♦s ♥♦♥♥érs st♠t♦♥ s ♦♥♥s

Psrs ♦rt♠s t ♠♦ès ♠é♥ ♦♥t été é♦♣♣és ♣♦rr ① ♥♦♥♥értés ♥s s sè♥s ②♣rs♣trs ♦♠♠ ♠♥t♦♥♥é ♥s s st♦♥s ♣réé♥ts s ♠♦ès ♥♦♥♥érs ♣♥t êtr♥tr♦ts ♣♦r t♥r ♦♠♣t s ts ♣r ①♠♣ ♠♦è ♥ér é♥érsé ❬♠ t ❪ ♠♦è ♠é♥ ♣♦st ♥♦♥♥ér❬tt♥ r♥♥ ❪ t ♠♦è ♥t♠ ❬♣ ❪ s ♠ét♦s é♠é♥ ♥♦♥ ♥ér s♥t à ♥rsr s ♠♦ès t à st♠r s ♦♥♥s♥s ❬♠ t ❪ ♥ ♦rt♠ é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣♦r ♠♦è ♠é♥ ♥ér été ♣r♦♣♦sé sé sr ♥ér♥ ②és♥♥ tt ♠ét♦♣rés♥t t♦t♦s ♥ ♦♠♣①té t♦r éé t ♥st ♦♥sré q ♠♦è♥ér ♥s ❬s♥t♦r♥ s♠♥t♦ ♦ss ❪ s trs érss♥t ♥s♠ s ♥♠♠rs ♥ ♦t♥t s tr♠s r♦sés s♥trs rts ♣♦r ♠♦ésr s ts s♦♥ ♠èr sr s ér♥ts♠tér① ♣♥♥t ♥st ♣s ♥tr s tr♠s r♦sés q r♥têtr sét♦♥♥és t ♦tés t♦♥♥r s ♥♠♠rs t♦s s tr♠s r♦sés ét♥t ♥sés t ♥s♠ s ♥♠♠rs ♣♦rrt r♦îtr ç♦♥ très s♥t ❯♥ tr strté ♣♦ss ♦♥sst à tsr s ♠ét♦s♣♣r♥tss rétés ts q s♦♠♣ ❬ ♥♥♠ ❪ t ❬♦s ❪ ♦♠♠ ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♥s ♦♠♥t s ♠ét♦s♣r♠tt♥t tst♦♥ ♠ét♦s ♥érs ♥s rété ♥s é♥ ♥♥♥s ❬♥ t ❪ s trs ♦r♠♥t ♥ ♥♦ ♣r♠ sé sr s♥♦②① r♣r♦s♥ts r♣♦s sr ②♣♦tès q ♠é♥s♠ ♠é♥ ♣têtr ért ♣r ♥ ♠é♥ s♣tr ♥ér s ♥♠♠rs ♦♠♣été ♣r ♥ tr♠ tt♦♥s ♥♦♥♥érs é♥ ♥s ♥ s♣ rt à ♥♦② r♣r♦s♥t


tt ♠ ♠♦ès ♣rt♠♥t ♥érs ♥ ♥tr♣rétt♦♥ ♣②sq rt ♣r♠t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s ♥trt♦♥s ♦♠♣①s ♥tr s ♥♠♠rs

ét♣ st♠t♦♥ s ♦♥♥s ♣t êtr ♦♠♣ ♥s ♦♥t①t♦ù s ♦♥♥s s♦♥t ♦♥♥s ♣♦r rt♥s ♣①s ♣♣és ♦♥♥és ♥trî♥♠♥t ❯♥ ♣r♦sss ♣♣r♥tss st ♥st ♣♣qé ♥ st♠r s ♦♥♥s s ♣①s rst♥ts ♣r ①♠♣ ❬♦r♥rt t ♠s t t♠♥♥ t ❪ ❯♥ ♠ét♦ ❬P③ P③ ❪ ts ♥ rés ♥r♦♥s ♣♦r ♣♣r♥r s ♣r♦♣rétés s ♠é♥s ♥♦♥♥érs à ♣rtr ♥ ♥s♠ ♣♣r♥tss ♥ ♠♦ s♣rsé ♦ s♠s♣rsé ♣r♦è♠ ♣s ♠♣♦rt♥t st s♣♦♥té ♠té s ♦♥♥és ♥trî♥♠♥t ♥s❬t♠♥♥ t ❪ ♠♦è ♦♥séré st ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ér ♦♥t♦♥s à s r s ♣♦♥ért♦♥s s♦♥t st♠és sr s s é♥t♦♥s♣♣r♥tss


♥s tr ♥♦s ét♦♥s s ♠ét♦s ♣♣r♥tss s rétés t s♥tér♦♥s ♥s s ♠ét♦s é♠é♥ ♣♦r ♠① ①trr s ♥♠♠rs tst♠r rs ♦♥♥s

♦r ♥♦s ♦♥sér♦♥s s ♠ét♦s ♣♣r♥tss rétés ♥ ♣♦♦r ② ♣♣qr s t♥qs é♠é♥ ♥ér ♦s ♠♦♥tr♦♥s q♥s ♥ ♦♥t①t ♣♣r♥tss s♣rsé st♠t♦♥ s ♦♥♥s à ♣rtr ♦♥♥és ♣♣r♥tss ♣t êtr ♥sé ♦♠♠ ♥ ♣r♦è♠ ♣ré♠❬♦♥♥ r ❪ ♥ q ♣♣t♦♥ s♣ s ♦srt♦♥s rss♣ s rtérstqs st ♣r♠èr ♠♣♦rt♥ ♣♦r s ♠ét♦s à ♥♦②r♣r♦s♥t ♣♣t♦♥ ♥rs ♣t êtr é♠♥t t P♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♣ré♠ ♥s r ♥♦tr ♣♣t♦♥ ♥♦s ♥♦s ♦♥♥tr♦♥s sré♦rt♦♥ ♥ ♣♣t♦♥ s♣ tr♥s♦r♠é s ♣①trs é♥ ♣ré râ à ♥ ♥♦② r♣r♦s♥t rs s♣ ♠♥s♦♥ s trs ♦♥♥ ♦s ♦♥sér♦♥s é♠♥t ♣r♦è♠ sét♦♥ ♥♦②r♣r♦s♥t ♦s ♠♦♥tr♦♥s q s ♥♦②① ♣rt♠♥t ♥érs ♦♥stt♥t ♥s♦t♦♥ ♣♣r♦♣ré ♦♠♣♦s♥t ♥♦♥♥ér ♥♦② ♣♦♥t êtr ♥ts♠♥t é♥ à ♣rtr t♥qs ♣♣r♥tss rétés ♥tr♦t♦♥♥ rérst♦♥ s♣t t②♣ ❱ t♦t rt♦♥ st é♠♥t sté t①♣ér♠♥té ❬♦r t ❪ ♣♦r trr ♣rt ♥♦r♠t♦♥ s♣t ♥♥tér♥t t②♣ ♥♦r♠t♦♥ ♥♦s ♠é♦r♦♥s r♦stss s ♦rt♠s

♣tr

♦ès ♠é♥ t ♠ét♦s é♠é♥ ♥ér

♦♠♠r ♦è ♥ér

♦ès ♥♦♥♥érs

♦è ♥ér é♥érsé

♦è ♥t♠

♦ès ♣♦st ♥♦♥♥érs

ét♦s ♥érs st♠t♦♥ s ♦♠♣♦sés ♣rs

ét♦

♦ P

❱


é♠é♥ sé sr t♦rst♦♥ ♠tr ♥♦♥♥ét

é♠é♥ sé sr s ♣r♦♣rétés é♦♠étrqs

♦♥s♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ér♦♥s qqs ♠♦ès ♠é♥ ②♣rs♣tr①♥s q r s♥s ♣②sq Ps ♥♦s ♥tr♦s♦♥s s ♣r♥♣① ♦rt♠s é♠é♥ sss ttértr q sr♦♥t tsés ♣r st à ttr ♦♠♣rs♦♥ ♥♠♥t ♥♦s é♦qr♦♥s s ♣sts ♥ ♠é♦rr s t♥qs

♦è ♥ér

éà ♣rés♥té ♣tr ♠♦è ♥ér s à r♣rés♥tr ♥ sé♥r♦s♠♣ ♠é♥ ♦rrs♣♦♥ s ♦ù sr ♠é ♥ ♥ ♣① ♦♥♥é st♦♥stté ♣ts ♦♠♦è♥s r②♦♥♥♠♥t réé ♦♠♥ ♦rs s s♣trss éé♠♥ts ♦♥sttts ♥s s ♠ê♠s ♣r♦♣♦rt♦♥s q rs ♦♥♥s rs♣ts r str ♣r♥♣ ♥ ♠♦♥tr♥t q ♠♦è ♠é♥ ♦♥séré ♣♦r ♥ sè♥ é♣♥ é♠♥t é ♦♥séré ss s♠♣ s♦t ♠♦è ♥st ♣s à ♥ér r ♦rs ♠♣é♠♥tt♦♥ ♠ét♦s é♠é♥ s ♥ ♣♦♥t t♦r t sés à é♦♣♣r ♠♦èsért

r =Mα+ n

♣tr ♦ès ♠é♥ t ♠ét♦s é♠é♥ ♥ér

♦ù r st s♥tr s♣tr ♦sré ♥ ♥ ♣①tr M st ♥ ♠tr t L×R s s♥trs s♣trs s éé♠♥ts ♦♥sttts L ♥♦♠r ♥s s♣trs R ♥♦♠r ♦♠♣♦sés ♣rs t α st tr s ♦♥♥s♦rrs♣♦♥♥t ① éé♠♥ts ♣rs rr♦♣és ♥ ♦♦♥♥ ♥s ♠tr M ttéqt♦♥ ♣t sérr ♠♥èr ♣s ♦♠♣t à é sè♥ à trtr s♦s ♦r♠

R =MA+N

♦ù R st ♠tr s ♣①trs t L×N N ♥♦♠r ♦srt♦♥s ♥s sè♥ ②♣rs♣tr N ♠tr rt ♦rrs♣♦♥♥t à q♣① ♠♦è ♥ér ♦t stsr s ♦♥tr♥ts ♣♦stté t s♦♠♠♥té érts ♥s s ♦♥tr♥ts ♠♣♦s♥t q q ♣①tr s st ♥s ♥ s♠♣① ♦♥① ♦♥t s s♦♠♠ts s♦♥t s ♦♠♣♦sés ♦♥sttts sè♥ r str ♥ t ♦♥rt♦♥

éqt♦♥ sèr rés♦r ♣r♦è♠ é♠é♥ ♥ér ♦rrs♣♦♥♥t ♣r ♠♦♥rs rrés ♦♥tr♥ts s M st ♦♥♥ ♥s s ♦♥trr ♦♥♣t ♥sr ♥ ♠ét♦ t②♣ ♣♦r st♠r s♠t♥é♠♥t s s♣trss ♦♠♣♦sés ♦♥sttts t rs ♦♥♥s ♥s sè♥

r é♥ ♥ér é♥ ♥t♠ ❬ P③ ❪


♥s rt♥s sè♥s ②♣rs♣trs s ts ♥♦♥♥érs s♦♥t ♥éts t♣♥t sr s réstts s ♦♥ ts s ♠ét♦s ♥érs s ts ♣♥têtr ♠r♦s♦♣qs t é♥érés ♣r s ré①♦♥s ♠t♣s ♦ ♥♦r ♣r s ♥trt♦♥s ♥t♠s ♥tr s ♠tér① ♥s ③♦♥ ♠é ♥s ♦♥t①t ♣♣rt


♥♦♥t♦r♥ é♦♣♣r s ♠♦ès é♠é♥ ♥♦♥♥érs ss ♣srs ♠♦ès t②♣ ♦♥t été é♦♣♣és ♥s ttértr s t♥♥t à ♠♠rs ♣é♥♦♠è♥s ♣②sqs s♦s♥ts t♦t ♥ ♥t à rs♣tr ♥ ♦♠♣r♦♠s♥tr ♣rés♦♥ ♠♦è t s ♦♠♣①té sàs ♥ ♣r♦ér ♥rs♦♥♦s ér♦♥s ss♦s s ♠♦ès s ♣s stés sq

♦è ♥ér é♥érsé

♠♦è s à é♥érsr ♠♦è ♥ér ♥ ♦♥sér♥t s tr♠s r♦sés♣♦r ♣♣r♦r s ts ré①♦♥s ♠t♣s ♠r♦s♦♣qs ❯♥ t sé♥r♦♣t êtr r♥♦♥tré ♣♦r s sè♥s qss sr s ③♦♥s ♦rstèrs ♦ù s ♥trt♦♥s ♥tr s♦ t s s ♥trs ér♥ts s♦♥t ♠t♣s ♠♦è♥ér ♥é s ♥trt♦♥s ♠♣q♥t ♣s ① ♠tér① q sts♦♥ ♣♣t♦♥ ♦srt♦♥ r st ♠♦ésé ♣r

r =R∑

i=1

αimi +R−1∑

j=1

R∑

k=j+1

βj,kmj ⊙mk + n

♥s q ⊙ r♣rés♥t ♣r♦t ♠r é♥ ♣r

mj ⊙mk =

m1,j

mL,j

⊙

m1,k

mL,k

=

m1,jm1,k

mL,jmL,k

s ♦♥ts βjk r♣rés♥t♥t ♣r♦♣♦rt♦♥ s rét♥s ♠t♣s sés ♣r ré①♦♥ ♥tr s ① ♠tér① mj t mk trt s ♣♦t♦♥s ré①♦♥s♠t♣s ét♥t ♣s ♦♥ q trt ♥♦r♠ rét♥ s♥ tr♦ rét s♦♥ts ♣♥t ♦♥ sérr s♦s ♦r♠ βjk = γjkαjαk 0 6 γjk 6 1♥ ♦tr ♥ q s tr♠s ♥trt♦♥ ♦rr s♣érr s♦♥t é♠♥t rçs ♣r ♣tr ②♣rs♣tr s ①♣ér♥s ♠♥és ♥s ❬♦♠rs t ❪♦♥t ♠♦♥tré q s tr♠s ♣♥t êtr ♥éés ér♥ts r♥ts ♠♦è ♥ér ♦♥t été ♣r♦♣♦sés ♥s ttértr s ♠♦ès èr♥t ♣rs ♦♥tr♥ts tté ♠♣♦sés sr s ♦♥♥s ♠♦è ♣r♦♣♦sé ♥s❬s♠♥t♦ ♦ss ❪ ♥♦♠♠é ♠♦è s♠♥t♦ r♣♦s srs ♦♥tr♥ts s♥ts

R∑

i=1

αi +

R−1∑

j=1

R∑

k=j+1

βjk = 1

♠♦è ♦♥sèr s tr♠s r♦sés ♦♠♠ ♥♦① éé♠♥ts ♦♥sttts sè♥ s ♦♥ts βjk ♣♦r ♦♥♥s ♦rrs♣♦♥♥ts ♠♦è ért♥s ❬♥ t ❪ èr r♥r ♣r

R∑

i=1

αi = 1 βjk = αjαk


♠♦è ttr ♥ rt♦♥ été ♥tr s ♦♥ts β t ♣r♦t s♦♥♥s tt ②♣♦tès ♥ ♣s stt♦♥ ♣②sq s♦ ♥♠♥t ♠♦è ♥ér é♥érsé é♥ ♥s ❬♠ t ❪ st ♦♥♥é ♣r

r =Mα+

R−1∑

j=1

R∑

k=j+1

γjkαjαkmj ⊙mk + n

s♦s s ♦♥tr♥tsR∑

i=1

αi = 1 αi > 0

0 6 γjk 6 1 γjk > 0

♦ù γjk és♥ ♥trt♦♥ ♥tr s éé♠♥ts ♦♥sttts j t k ♠♦è st ♥é♥érst♦♥ ♥térss♥t ♠♦è ♥ér ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t s ♣é♥♦♠è♥s s♦♥ ♠t♣s ♠r♦s♦♣qs

♦è ♥t♠

♥ ss s ts ♥♦♥♥érs ♠r♦s♦♣qs s ♠s ②♣rs♣trs s♦♥tss ♦rr♦♠♣s ♣r s ♣é♥♦♠è♥s à é ♠r♦s♦♣q ttr ①♠♣♥s r ♣♣t♦♥s é♦♦qs s ♠♥ér① s♦♥t ♠é♥és à ♥ és♣①q s és s♣ts s♦♥t é♥ér♠♥t ♣s ♣tts q ♦♥r trt s ♣r s ♣♦t♦♥s r str ♣é♥♦♠è♥

♥ s s♥t sr té♦r tr♥srt rt ♦♥ é♦♣♣é ♣srs ♠♦èsté♦rqs ②♥t ♣♦r t érr ♣rés♦♥ s ♥trt♦♥s ss ♣r ♠èr ♦rs r♥♦♥tr s ♠é♥s ❯♥ ♣♣r♦ st ♦♥♥é ♣r ♣♥s ❬♣ ❪ ♦ù ért s ♥trt♦♥s ♥t♠s ♣②sqs ♥ ts♥t ♣srs q♥ttés s♥ts st ♥ ♠♦è ♣♦st ♥♦♥♥ér ♥t tté ♣srs ♠♦ès ♠é♥ ♥♦♥♥érs s♠♣és ♦♥t été ♣r♦♣♦sés ♣♦rrtérsr rt♦♥ ♥♦♥♥ér ♥tr s éé♠♥ts ♦♥sttts ♥s ♥ ♠é♥♥s ❬ ♥ ❪ s trs é♥ss♥t ♥ ♠♦è ♥②tq ♣♦r ①♣r♠rs rét♥s ♠srés ♥ ♦♥t♦♥ s ♣r♠ètrs ♥tr♥sèqs ① ♠é♥s ♣r①♠♣ rt♦♥ ♠ss s rtérstqs s ♣rts ♥s ♥sté t t s é♦s ♠♦♥♦s♣rs♦♥ ♦t♦s ♠♦è é♣♥ ss♦rt♠♥t ♣r♠ètrs ♠♣rqs r ♥ésst ♦♥♥ss♥ ♣rt ♣♦st♦♥ t ♦r♥tt♦♥ ♣tr ♣r r♣♣♦rt à ③♦♥ ♦sré P♦r ttrs♦♥ st♠t♦♥ s ♣r♠ètrs t②♣ ♠♦ès sèr ♥ ♣rtq

♦ès ♣♦st ♥♦♥♥érs

s ① ♠♦ès ♣réé♥ts ér♥t ♥é♣♥♠♠♥t ① t②♣s ts ♥♦♥♥érs à ① és ér♥ts ♥ érr ♦♥♦♥t♠♥t s ts ♠r♦s♦♣qs t ♠r♦s♦♣qs ♥ ♠♦è à ① tr♠s été ♣r♦♣♦sé ♥s


❬♦s t tt♥ r♥♥ ❪

r =R∑

i=1

αimi + αR+1 g

R∑

j=1

fjwj

+ n.

♣r♠r tr♠ ért ♠é♥ ♥ér é ♠r♦s♦♣q t♥s q s♦♥ r♥ ♦♠♣t ♥ ♠é♥ ♥t♠ ♥ éé♠♥t ♦♥sttt t♦♥♥♣♦♥éré ♣r ♥ ♦♥t ♦♥♥

tr ♣rt ♥s ❬t♠♥♥ t ❪ s trs ♦♥t ♣r♦♣♦sé ♥ ♠♦è à♠ê♠ érr ♥ r♥ rété sss ♥♦♥♥értés st ♦t♥ ♥♦♥sér♥t ♥ é♦♣♣♠♥t s♦♥ ♦rr ♥ ♠♦è ♠é♥ ♣♦st ♥♦♥♥ér PP Ps ♣résé♠♥t ♣①tr ♦sré st ♠♦ésé ♣r

r = g

(R∑

i=1

αimi

)+ n

♥s q g st ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♥♥ér é♥ ♣r ♥ ♣♦②♥ô♠ ré ①

g : [0, 1]L −→ RL

x 7−→ x+ b (x⊙ x)

tt ♦♥t♦♥ st ♣r♠étré ♣r ♥ ♦♥t ré b ♥ tté♥r ♦ ♠♥r ♦♠♣♦s♥t ♥♦♥♥ér ♠♦è ♣t s réérr

r =Mα+ b(Mα)⊙ (Mα) + n

♥ ♥♦t q s rét ♠♦è ♥ér ♦rsq b = 0 ♥ ♦tr s trs ♦♥t♠♦♥tré q st ss♠♠♥t ① ♣♦r érr ♣♣rt s ♠♦ès ♥érs♥♥ ♥ ♠♦♥t ①♣rss♦♥ g st ♣♦ss érr ♥♦♠r① t②♣s ♥♦♥♥értés s t♥t st q ♠♦è é♠é♥ ♠r ss♠♠♥t s♠♣♣♦r êtr ♥rsé


♣rès ♦r sté ér♥ts ♠♦ès ♠é♥ ♦♥ s♥térssr à ♠s ♥ ÷r ♥ ♣r♦ér ♦♠♣èt é♠é♥ ♦s ♦♥s ♣rés♥tr s♠ét♦s sés sr s ♠♦ès ♦♠♠ ♠♥t♦♥♥é ♣tr ♥ î♥ ssq ♦♠♠♥ rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♣r♦è♠ ♣s ①trt♦♥ s♦♠♣♦sés ♦♥sttts rét♦♥ ♠♥s♦♥ st ♥ ♦♣t♦♥ ♥ rér ♦♠♣①té t♦r ①trt♦♥ s ♦♠♣♦sés ♣rs ♣t êtr résé ♦ s♥s rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♥s tt st♦♥ ♦♥ ét qqs ♠ét♦s♦♥♥s ①trt♦♥ s ♦♠♣♦sés ♣rs

❯♥ ♦♠♣♦sé ♣r ♣t êtr é♥ ♦♠♠ ♥ s♥tr s♣tr é♠♥t ♣r♣♦r ♥ ss tt ♥♦t♦♥ ♦t êtr st♥é ♣① ♣r trt♦♥♥♠♥t tsé ♥s ①♣♦tt♦♥ s ♦♥♥és ②♣rs♣trs ♦ù tr♠ ♣① és♥ ♥ ♣①tr ♠♥s♦♥ L ❯♥ ♣① st t ♣r s s s♥tr s♣tr ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♦♠♣♦sé ♣r ss ♣♣é ♦♠♣♦sé ♦♥sttt ♥s st


ét♦

♠ét♦ été ♥t♠♥t ♥tr♦t ♥s ❬❲♥tr ❪ st ♥ s ♦rt♠s s ♣s tsés ♣♦r ①trt♦♥ s ♦♠♣♦sés ♣rs r♣♦ssr r♦ss♥ ♥ s♠♣① ♥s ♥ s♣ ♠♥s♦♥ L ♦♥t s R s♦♠♠tss♦♥t sét♦♥♥és ♣r♠ s ♦srt♦♥s t♥t ♦♥♥é ♥ ♦♥rt♦♥ s♠♣①à ♥ tért♦♥ ♦♥♥é ss② r♠♣r ♥ ♦srt♦♥ s♥t ♦ s♦♠♠t ♣r ♥ tr ♦srt♦♥ ♥ r r♦îtr ♦♠ s♠♣① ♣r♦éé st stré ♣r r t st ért ♣r ♦rt♠ s♥t

q s♦♠♠t st sss♠♥t r♠♣é ♣r ♣①tr ♥ ♦rs tst

♦♠ s♠♣① ♦r♠é ♣rès q ssttt♦♥ st é ♦♠ s♠♣① r♦ît râ à ♥ s ssttt♦♥s ♣①tr ♥ ♦rs tst r♠♣ s♦♠♠t ♦♥r♥é

♣r♦sss st ré♣été t♥t q t♦s s ♣①tr ♦♥stt♥t sè♥♥♦♥t ♣s été tstés

r

♠s ♥ ÷r tt ♠ét♦ ♥ésst sr♠♦♥tr ♣srs tés ♣r♠èr ♦♥r♥ ♥♦♠r ésré R ♦♠♣♦sés ♣rs P♦r ♦♥♣t r♦rr à s ♣r♦érs ts q ❱ ❬♥ t ❪ ♦ ♥♦r ②s♠ ❬♦ss s♠♥t♦ ❪ ①è♠ qst♦♥ ♦♥r♥ ♦① ♥s♠ ♥t s ♣①trs ♦♥stt♥t s s♦♠♠ts s♠♣① ❯♥♥tst♦♥ s st ss♥t ♣♦r ♦t♥r ♥ réstt ♥ ♦rrt t éérr ♦♥r♥ ♦rt♠ P♦r ♥ ♦rt♠ été♥tr♦t ♥s ❬ t ❪ t ♦rt♠ trt rr♦r ♥②ss r♣♦s sr s ♣r♦érs é♠é♥ ♣rt ts♥t ♣r ①♠♣ ❬♥③ ♥ ❪ ♥ ♣r♦r ♥ séq♥ ♣①trs ♥t①

❯♥ r♥r ♣r♦è♠ r♣♦s sr t q♥ s ♣①tr ♥t r♠♣♠♥t st ♦♥séré à ♦s ♥ ♦♥séq♥ t ♦rt♠ ♦t♦♥ ♥♦♥t ♣s rr ①st s♦t♦♥ r♥ ♠♣♦ss ♦♠♣t t♥ t ♣r♦è♠ Psrs strtés ♦♥t été ♣r♦♣♦sés ♥ ♠é♦rr tt


stt♦♥ ♥ ♣♦rs♥t s♦♥ ♣r♦♣r ♦t t ♦♣t♥t ♥ rtèr ♦♥r♥ s♣éq Pr♠ ① ♦♥ ♣t tr ❬❳♦♥ t ♥③ t P③ ♥ ❪

ér♦♥s ♦rt♠ ❬P③ ♥ ❪ ♦♥stté s ét♣s ♣réé♠♠♥t érts

st♠t♦♥ ♥♦♠r R ♦♠♣♦sés ♣rs ❯tsr ❱ ♦ ②s♠

ét♦♥ ♠♥s♦♥ ❯tsr ♣♦r rér ♠♥s♦♥ s ♣①trs ♦srés L à R − 1 t tr ♥s ♦♠ ss♠♣①s

♥tst♦♥ ♦t m(0)1 ,m

(0)2 , . . . ,m

(0)R ♥s♠ s ♦♠♣♦sés ♣rs ♥

tsés ♣r ♦rt♠

♦♠ tért♦♥ k r ♦♠ s♠♣① Sk ♦♥t ss♦♠♠ts s♦♥t s ♦♠♣♦sés ♣rs m(k)

1 ,m(k)2 , . . . ,m

(k)R ♥ ts♥t

VS =1

(R− 1)!

∣∣∣∣∣t(

1 1 . . . 1

m(k)1 m

(k)2 . . . m

(k)R

)∣∣∣∣∣

ré♣été ♦♠ P♦r q ♣①tr r r s ♦♠s ss♠♣①s S(r,m(k)

2 , . . . ,m(k)R ) S(m(k)

1 , r, . . . ,m(k)R ) S(m(k)

1 ,m(k)2 , . . . , r)

♥ s ssttt♦♥s ♥ ♣r♠t r♦tr V (Sk) ♥ ♣s ♠♦r♥s♠ s ♦♠♣♦sés ♣rs r ♥♦♥ ♣r♦ér r♠♣♠♥t ♣r r s♦♠♠t à ♥s♠ ②♥t ♦♥t ♣s r♥ r♦ss♠♥t V (S)

♦ P

♦rt♠ ♠♣① r♦♥ ♦rt♠ ❬♥ t ❪ s à ①trr s ♥♠♠rs ésrés ♥ ts♥t r♦ss♥ ♥ séq♥ s♠♣①s ♦♠♠♥ ① s♦♠♠ts t ♦t sss♠♥t s s♦♠♠ts s♠♣①①trts s ♣①trs ♦srés ♦rt♠ sè ♦rsq ♥♦♠r s♦♠♠ts tt♥t t R ♣ré♠♥t st♠é ♣r ❱ ♦ ②s♠ r ért ♣r♦sss ♥ sét♦♥♥r ♥ ♣① ♣♣r♦♣ré ♦♠♠ s♦♠♠t ♥t♥ ♣r♦sss sét♦♥ t q ♣rès st tsé

♦sr ç♦♥ ét♦r ♥ ♣①tr t ♥s ♥s♠ ♦♥♥és

r♦r ♥ ♣①tr m1 ♣r♠ s ♣①trs r sè♥ q ♠①♠s étr♠♥♥t ∣∣∣∣t

(1 1

t r

)∣∣∣∣P♦r r r♥r st ♥éssr r♦rr à ♥ rét♦♥ L à 1

♥ ts♥t s♠♣♠♥t ♥ P ♦

♦♥♥t ♥♦tr q ♣r♦t♦♥ ♣r♠r s♦♠♠t m1 st étr♠♥é ♣r ♣① é♥éré ét♦r♠♥t t ♦① ♥ tr ♣① t ♣t é♥érr ♥ trs♦♠♠t m1 ♦t♦s s ①♣ér♥s résés ♥s ❬♥ t ❪ ♠♦♥tr♥tq ♣① t ♥ q ♣ t sr réstt ♥ ♦rt♠ st ♦♥ért ♦♠♠ ss♦s


r Pr♦ér ❬♥ t ❪

♥tst♦♥ ❯tsr ❱ ♦ ②s♠ ♣♦r st♠r R ♥tsr m1 ♥ ts♥t ♣r♦sss ért sss ♥ ♥♦t n = 1

P♦r n ≥ 1 t ♣♦r q ♣① r tsté ♦♠ V (m1,m2, ...mn, r)

s♠♣① à ♣rtr

V (m1,m2, ...mn, r) =1

n!

∣∣∣∣t(

1 1 . . . 1 1

m1 m2 . . . mn r

)∣∣∣∣

❯♥ t♥q rét♦♥ ♠♥s♦♥ st ♥éssr ♣♦r q ♠tr♦♥séré ♥s ①♣rss♦♥ sss s♦t rré

r♦r mn+1 t q

mn+1 = argmaxrV (m1,m2, ...mn, r)

♦rt♠ s ♣♦rst sqà q t♦s s s♦♠♠ts ♥t été étr♠♥és

t ♦rt♠ ♥ ♦ût t♦r Pr rs ♥s♠ s s♦♠♠ts♦t♥s st ♦♥sst♥t q st ♥ ♣♦♥t ♦rt ♣r r♣♣♦rt ① trs ♦rt♠s♥ r♥ ♥ésst ♥ rét♦♥ ♠♥s♦♥ à q tért♦♥ q♦♥stt ♥ ss rt♥ ♠ét♦

❱

❱ ❱rt① ♦♠♣♦♥♥t ♥②ss ❬s♠♥t♦ ♦ss ❪ st ♥♠ét♦ ♥♦♥s♣rsé r♣♦s♥t sr t q t♦t tr♥s♦r♠t♦♥ ♥ ♥s♠♣① st ss ♥ s♠♣① ♦♥t s s♦♠♠ts rst♥t ♥♥és t ♦rt♠♦♠♠ s ♣réé♥ts s♣♣♦s ①st♥ ♣①s ♣rs ♥s sè♥ ②♣rs♣tr ♣r♦tt ♠♥èr tért s ♦♥♥és ♥s ♥ rt♦♥ ♦rt♦♦♥ s♦ss♣ é♥ ♣r s s♦♠♠ts éà étr♠♥és ♥♦ s♦♠♠t ♦rrs♣♦♥


♣♦♥t ♦♥t ♣r♦t♦♥ st ♣s é♦♥é s♠♣① ♦r♥t ①ét♦♥ ♦rt♠ s ♣♦rst sqà q t♦s s s♦♠♠ts ♥t été étr♠♥éss ♣r♦r♠♥s ❱ s♦♥t ♠♦♥s ss ♦♥♥s q s ♣♦r♥ ♦♠♣①té ♠♦♥r t ♣r♦t♦♥ ♥♦t♦♥s q st ♥s♥s à ♣rés♥ ♥ tr ♠♥t♦♥ γ t q r =Mγα+ n r strs ♣r♦t♦♥s tés

r Pr♦ér ❱ ❬s♠♥t♦ ♦ss ❪


tt ét♣ t st à ①trt♦♥ s ♦♠♣♦sés ♣rs s ♦rt♠s ♣rèss♣♣♦s♥t ♦♥ q s ♦♠♣♦sés ♦♥t été ♣ré♠♥t étr♠♥és s s♦♥t s♦♥tqés ♦rt♠s é♠é♥ s♣rsés ♥ ♦tr s r♣♦s♥t sr s ♠♦ès ♠é♥ éà ♣rés♥tés ♦rs ♣r♠èr st♦♥ ♥s tt ♣rt♦♥ s ♦♥sr ① ♦rt♠s é♠é♥ ♥ér s ♠ét♦s ♥♦♥♥érsr♣♦s♥t sr s ♣r♥♣s ♣s ♦♠♣①s t sr♦♥t ♦♥ é♦qés ♥s st

P♦r ♥ ♠♦è ♠é♥ ♥ér r = Mα + n s♥s ♦♥tr♥ts ♦♥ ♣ttsr ♠ét♦ s ♠♦♥rs rrés ♣♦r st♠r tr s ♦♥♥s s♦t

α = rminα

‖r −Mα‖2

s♦t♦♥ ♣r♦è♠ st s♦t♦♥ très ♦♥♥

α = (M⊤M)−1M⊤r

❯♥ s♦t♦♥ ♥②tq s ♠♦♥rs rrés s♦s ♦♥tr♥t t②♣ été ①st♥♥t ♦♥tr♥t s♦♠♠ ♥té ♣r♦è♠ rés ♥s ♥tr♦t♦♥


♦♥tr♥t ♥♦♥♥étté Psrs ♦rt♠s ♦♥t été ♣r♦♣♦sés ♥ stsr à s ♦♥tr♥ts ♦♥t ② ♦♥str♥ st qrs❬♥③ ♥ ❪ ♣r♦è♠

α = rminα

‖r −Mα‖2

s♦s s ♦♥tr♥ts 0 α 1 ♣t êtr sé♠♥t rés♦ ♣r ♣r♦r♠♠t♦♥ qrtq P♦r ♥térr ♦♥tr♥t s♦♠♠ ♥té ♦t ♥ tr ♥à ♠tr M ♦♥t t♦s s éé♠♥ts s♦♥t é① à 1 ♥ t ♠ê♠ ♣①tr ♦sré r t ♦♥ ♥tr♦t ♥ ♣r♠ètr δ δ ≥ 0 ts q

r =

(δr

1

)t M =

(δM

1

)

♣r♦è♠ s rés♦t ♦rs r t M ♦t♦♥s q r♥t à ♦tr♥ tr♠ ♣é♥té tr♠ tt ① ♦♥♥és ♥ ♣r♠ètr rérst♦♥ 1/(2δ2) ♦♥tr♥t s♦♠♠ ♥té ♥st ♦♥ ♣s strt♠♥t éré♥ ♣r♦é♥t ♥s

é♠é♥ sé sr t♦rst♦♥ ♠tr ♥♦♥♥ét

s ♦rt♠s ♦♥t été é♦♣♣és ♥ st♠r s♠t♥é♠♥t ♠tr s♦♠♣♦sés ♣rs t s ♦♥♥s s ♣①trs sè♥ ❬♦ r♠♥ t ♥r① t ♦ss ❪ é♥ér♠♥ts ♦rt♠s ♥①♣♦t♥t ♣s ②♣♦tès ①st♥ ♣①s ♣rs sté♦rq ♣♦r s ♠ét♦s st t♦rst♦♥ ♥ ♠trs ♥♦♥♥éts ♥s r ♥ ♣♣t♦♥ à ♠r ②♣rs♣tr st t♦rsr ♠trR ♥♦♥♥ét ♥ ① ♠trs ♥♦♥♥éts ♠tr s ♥♠♠rs M t L × R t ♠tr s ♦♥♥s A t R × N N ♥♦♠r♦srt♦♥s ♣r♦è♠ ♣t sérr ♥s

minM ,A

1

2‖R−MA‖2F

st à A 0 t M 0

s♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♥st ♣s ♥q ♥ét♥t ♣r rs ♣s ♦♥♦♥t♠♥t ♦♥① ♣r r♣♣♦rt à M t A ♦♥♥t ♦♥ ♦tr s ♦♥tr♥ts♥ rstr♥r s♣ s s♦t♦♥s ♦rt♠ ❱ ❬♦ ❪♣r♦♣♦s ♦tr ♦♥tr♥t ♦♠ ♠♥♠♠ ♣r♦è♠ ♣t ♦♥ s ♦r♠r ♥s

minM ,A

1

2‖R−MA‖2F + λJ (M)

st à M 0 t A 0 t 1⊤RA = 1

⊤N

♥s q 1⊤N st ♥ tr ♥ t N ♦♥t s éé♠♥ts s♦♥t é① à 1 ♣r♠r tr♠ st rrr r♦♥strt♦♥ q à tr♦r ♥ s♠♣① r♦♥sr♥t t♦ts s ♦♥♥és ①è♠ st rstrt♦♥ ♦♠ s♠♣① q


t♥ à r♥r ss ♦♠♣t q ♣♦ss tr♠ J (M) st ♦♥♥é ♣r

J (M) =

∣∣∣∣t(

1 1 . . . 1

m1 m2 . . . mR

)∣∣∣∣2

2(R− 1)!

❯♥ tr ♠ét♦ q ♣r♠t ss résr é♠é♥ s♥s ②♣♦tès ①st♥ ♣①trs ♣rs st ❱ ér♥ ♠r ♥tr ❱ t ❱ st q ♣r♠t ♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♣♦stté

♥t s ♠ét♦s s st ♥s ♣♦ssté st♠r s♠t♥é♠♥t♥s♠ s ♣①s ♣rs t s ♦♥♥s ♥ ♦tr s ♣r♠tt♥t ①♣♦trs ♥♦r♠t♦♥s s♣ts ♦rt♠ ♣rés♥té ♥s ❬♦r t ❪ ts t♦rst♦♥ ♥ ♠trs ♥♦♥♥éts ♥ ♥tér♥t s ♥♦r♠t♦♥s s♣ts♣♦r ♠é♦rr s ♣r♦r♠♥s ♦t♦s s ♣r♥♣s sss rés♥t t♦♦rs ♥s ♦♠♣①té t♦r t ♥♦♥♦♥①té ♣r♦è♠

é♠é♥ sé sr s ♣r♦♣rétés é♦♠étrqs

♣r♦è♠ st♠t♦♥ s ♦♥♥s ♣t s rés♦r ♣r ♥ ♦r♠t♦♥é♦♠étrq ♣r♦è♠ ❬♦♥♥ r ❪ ♥ ♣t ♦♥sérr s ♦♥♥s ♦♠♠ s ♦♦r♦♥♥és r②♥trqs s ♣♥t êtr ♦t♥s s♦t♦♠♠ ♥ r♣♣♦rt ♦♠s s♠♣①s s♦t ♦♠♠ ♥ r♣♣♦rt s st♥s ♣♣rt q s ♦♠s t st♥s s♦♥t ♥ét♠♥t és ♦rs ♣s①trt♦♥ s ♦♠♣♦sés ♣rs ♣r ①♠♣ t q st ♦♥ ♣♦ss ①♣♦tr s réstts éà qs ♣♦r ér s ♦♥♥s s♥s ♥ s♣♣é♠♥tr ♥ r①♥t ♦♥tr♥t ♣♦stté t ♥ ♦♥sr♥t ♦♥tr♥t s♦♠♠ ♥té ♣r♦è♠ é♠é♥ sért ♦♠♠ ♥ s②stè♠♥ér ért ss♦s

(1 1 . . . 1

m1 m2 . . . mR

)α =

(1

r

)

s②stè♠ st s♣♣♦sé rré t t R × R s♥♥t ♣r ♠ê♠ q♥♦♣ért♦♥ rét♦♥ ♠♥s♦♥ smi r ♦r été ♣rtqé ♣ré♥ ts♥t rè r♠r s♦t♦♥ s②stè♠ ♥ér ♣t sérr ♥s

αi =

t

(1 . . . 1 . . . 1

m1 . . . r . . . mR

)

t

(1 . . . 1 . . . 1

m1 . . . mi . . . mR

)

t♥t ♦♥♥é s♠♣① S = m1,m2, . . . ,mR ♦♥ r♠rq q é♥♦♠♥tr ①♣rss♦♥ sss st ♣r♦♣♦rt♦♥♥ ♦♠ S ♦♥♥é ♣r

V S =1

(R− 1)!t

(1 1 . . . 1

m1 m2 . . . mR

)


♠ê♠ ♥♠értr st ♣r♦♣♦rt♦♥♥ ♦♠ s♠♣① S\mi ∪ r ♥ rést q

αi =VS\ mi∪r

V S

i = 1, 2, . . . , R s ♦♠s s♦♥t ♣ré♠♥t és ♦rs ♠s ♥÷r ♥ ♣t ss érr s éqt♦♥s s♦s ♦r♠ st♥sq ♥♦s ♣r♠t ♥térr s st♠t♦♥s ♥s s ♦rt♠s sés sr s st♥s ♦♠♠ ❱ ♦

V S =1

(R− 1)!δ(mi)V S\mi

♦ù δ(mi) st st♥ ♥tr s♦♠♠tmi t s♦ss♣ ♥♥ré ♣r s trss♦♠♠ts S st♠t♦♥ s ♦♥♥s ♣t ♦♥ sérr

αi =δ(r)

δ(mi)

♣♦r i = 1, 2, . . . , R ♥s s s sss ♦♥tr♥t ♥♦♥♥étté st♦é s ①st s ♣①s ♥ ♦rs s♠♣① S ♦r♠é ♣r s ♦♠♣♦sés ♣rs♥ ♦tr t♦ts s tr♠s ♦♠ t st♥ s♦♥t ♦r♥tés r s♥ ♣têtr ♣♦st ♦ ♥ét ♥ ♦♥t♦♥ ♦rr séq♥ é♥ ♣r s s♦♠♠tss s♠♣①s ♥s s s ♦♠s ♦ ôté ②♣r♣♥ ♦ù s tr♦ ♣① r ♣♦r ♦r♠ st♥

♦♥s♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s ♥tr♦t s ♠♦ès ♠é♥ s ♣s tséss ♠♦ès ♣r♠tt♥t é♦rr s ♦rt♠s ①trt♦♥ ♦♠♣♦sés ♣rst st♠t♦♥ s ♦♥♥s s ♠♦ès t ♠ét♦s ♥érs ♣rés♥tés ♥s ♣tr ♠r♥t sqs ♦rsqs s♦♥t ♦♥r♦♥tés à s ♠é♥s ♦♠♣①ss ♦rt♠s é♠é♥ ♥♦♥♥érs s♦♥t é♦♣♣és ♥s st à t t

♣tr

♦②① r♣r♦s♥ts ♥é♥rt ♠ét♦s

♦♠♠r ♦♥♣ts s

rtérst♦♥ s ♥♦②① r♣r♦s♥ts

é♦rè♠ ♦♦rr♦♥s③♥

é♦rè♠ rr

é♦rè♠ r♣rés♥t♥t

♦♥strt♦♥ ♥ ♥♦②

ès s♠♣s

ès ♥és

t sr tr s♣ ss♦é

①♠♣s s ♥♦②①

♦②① ♣r♦ts

♦②① stt♦♥♥rs

①♠♣ ♣♣t♦♥ à rérss♦♥

♦♥s♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ♣rés♥t♦♥s s ♦♥♣ts ♦♥♠♥t① té♦r s♥♦②① r♣r♦s♥ts ❬r♦♥s③♥ ❪ tt té♦r st ss♥t ♥s ♥♦tr ét♣♦r é♦♣♣r s t♥qs ♥♦♥♥érs ♣♦r é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♥st ♥♦s ♣rés♥t♦♥s s ♠ét♦s sés sr tt té♦r t tsés ♥s tttès ❱♦r ❬P♦t♥ ❪ ♣♦r ♥ ♣rés♥tt♦♥ été

♦♥♣ts s

é é♥ér s ♠ét♦s à ♥♦② ♦♥sst à ♥tr s ♦♥♥és s♣s ♦srt♦♥s X ♥s ♥ s♣ ♦♥t♦♥♥H râ ♦♥♦rs ♥ ♣♣t♦♥♥♦♥ ♥ér

φ : X → Hx 7→ φ(x)

tt ét♣ st ♣ré à ♠s ♥ ÷r ♥ ♦rt♠ ♣♣r♥tss ♥s ♥♦ s♣ H ❯♥ ①♠♣ str♥t ♥térêt ♥ t tr♥s♦r♠t♦♥ s♦♥♥és st ♣r♦♣♦sé ♥s r t ② st sé♣rr ♦♥♥és

♣tr ♦②① r♣r♦s♥ts ♥é♥r t ♠ét♦s

r ①♠♣s sst♦♥ ♥r ♥s R2 ♦r sé♣rt♦♥ st♥ ♣s ♥s s♣ ♥t ♣rès tr♥s♦r♠t♦♥ ♣r φ(x) = (x21,

√2x1x2, x

22)

s ♦♥♥és ♥♥♥t ♥ér♠♥t sé♣rs

♥ ① sss ♦rs q ♥s s♣ ♥tré ♣r♦è♠ st ♥♦♥sé♣r ♠♦②♥ ♥ sr♠♥♥t ♥ér ♥t ♥ ♦♥sér♥t tr♥s♦r♠t♦♥ φ(·)q à t♦t tr ♣♥ ss♦ s tr♦s ♣♦②♥ô♠s ré 2 ♦♥sttés à ♣rtr ss ♦♦r♦♥♥és

φ : R2 → R3

(x1, x2) 7→ (x21,√2x1x2, x

22)

♥ ts♥t tt tr♥s♦r♠t♦♥ sr sr♠♥♥t ♥s H st ♥ ②♣r♣♥sé♣rtr P♦r x ∈ R

p t φ ♥ tr♥s♦r♠t♦♥ ♦r♥ss♥t s ♣r♦ts s ♦♠♣♦s♥ts x ré d ♠♥s♦♥ H st (d+p−1)!

d!(p−1)! tt ♣♣r♦ st ♣♦r s ①♠♣s s♠♣s ♥s s s♣s X ♠♥s♦♥ ♥♣t r♠♥t ♣s êtr ♣♣qé à s ♣r♦è♠s ♣s ♦♠♣①s Pr ①♠♣♣♦r d = 5 t x ♥ tr ♦♠♣♦sé s ♣①s ♥ ♠ ♠♥s♦♥ 16 × 16s♣ ♥t st ♠♥s♦♥ 1010 ♣♥♥t ♣♦r rt♥s tr♥s♦r♠t♦♥s φt r s♣ ♠ H ♦rrs♣♦♥♥t st ♣♦ss r ♣r♦t sr♥s H s♥s ♦r à ①♣tr φ st résé ♣r s ♦♥t♦♥s ♣♣és♥♦②① é♥s ♦♠♠ st

é♥t♦♥ ❯♥ ♥♦② st ♥ ♦♥t♦♥ κ : X ×X → R q ♣♦r t♦t x x′ X

κ(x,x′) = 〈φ(x), φ(x)′〉H

♦ù φ st ♥ tr♥s♦r♠t♦♥ X rs ♥ s♣ é♥ér♠♥t ♦♥t♦♥♥ H ♠♥

♣r♦t sr 〈 ·, ·〉H

♣r♥♦♥s ①♠♣ ♣r♦t sr ♥tr ① tr♥s♦r♠és φ(x) tφ(z) ♣t s r ♥s

〈x, z〉H =(x21,

√2x1x2, x

22

)(z21 ,

√2z1z2, z

22

)⊤

=((x1, x2) (z1, z2)

⊤)2

= 〈x, z〉2

= κ(x, z)


♠♥èr ♣s é♥ér ♣♦r x x′ ∈ Rp t d ∈ N ♦♥ ♣t ♠♦♥trr q s

♦♥t♦♥s ♦r♠κ(x,x′) = 〈x,x′〉d

♦rrs♣♦♥♥t ♣r♦t sr ♥s s♣ ♦♠♣♦sé ♣r t♦s s ♣r♦ts ré d s éé♠♥ts x t x′ ❬P♦♦ ❪ ♠♠♥t ♥♠♣♦rt q ♦♥t♦♥κ ♥ ♣t r♣rés♥tr ♥ ♣r♦t sr ♦s ①♣♦r♦♥s à st♦♥ s♥t s♦♥t♦♥s q κ ♦t r♠♣r ♣♦r ♣♦♦r ♦r ♥ t ♦♥t♦♥


♥s tt st♦♥ ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ♦r♠♠♥t s ♣r♦♣rétés s s♣s ss♦és à ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦② ♥s q s ♦♥t♦♥s q♥ ♦♥t♦♥ ♦t r♠♣r♣♦r êtr ♥ ♥♦② r♣r♦s♥t ♦♠♠♥ç♦♥s ♣r ♥tr♦r qqs é♥t♦♥s♥éssrs ♣♦r st

é♥t♦♥ ❯♥ s♣ H st ♠♥ ♥ ♣r♦t sr s ①st ♥ ♦r♠

♥ér 〈 ·, ·〉H s②♠étrq t à rs rés t q ♣♦r t♦t x ∈ H ♦♥

〈x,x′〉 ≥ 0 été ♥q♠♥t ♣♦r x = 0 ♥ t ♦rs q H st ♥ s♣

♣rért♥

P♦r r♣♣ ♣r♦t sr ér s ♣r♦♣rétés s♥ts ♣♦r f, g, h ∈ H tα ∈ R

〈f, g〉H = 〈g, f〉H 〈f + g, h〉H = 〈f, h〉H + 〈g, h〉〈α f, g〉H = α〈f, g〉H 〈f, f〉H = 0 ⇔ f = 0

①♠♣ ♥ ♣r♦♣♦s ♣rès ♣srs ①♠♣s ♣r♦ts srs ss

♣r♦t sr s ♦♥t ér ♥♦r♠ ♥♥ ♥s Rp st ♦♥♥é

♣r

〈x,x′〉 = x⊤x′ =p∑

i=1

xix′i, ∀x,x′ ∈ R

p

❯♥ ♣r♦t sr ♣♦r s♣ s ♦♥t♦♥s rré ♥térs L2(X )

L2(X ) = f :

∫

X|f(x)|2dx <∞

X ♥ ♥s♠ ♦♠♣t st ♦♥♥é

〈f, g〉L2(X ) =

∫

Xf(x) g(x) dx, ∀f, g ∈ L2(X ),

♦ù g(x) és♥ ♦♠♣① ♦♥é g(x)


s♣ s ♣♦②♥ô♠s ♦♠♦è♥s ré s ♦♠♣♦s♥ts x ∈ Rp

é♥ ♣r

Hd = f : f =∑

|α|=dwα x

α,

st ♠♥ ♣r♦t sr t ❲② ❬r ♠ ❪

〈f, g〉Hd=∑

|α|=d

wαvαCdα

,

♣♦r t♦t f t g ∈ Hd f =∑wαx

α α st ♥ ♥s♠ ♥s t q

α = α1, α2, . . . , αp ∈ (N ∪ 0)p, |α| =∑pj=1 αj , x

α = xα11 . . . x

αpp

Cdα =d!

α1! . . . αp!,

♦♥t ♠t♥♦♠ ss♦é à ♣r (α, d)

é♥t♦♥ ❯♥ s♣ H ♠♥ ♥ ♣r♦t sr 〈 ·, ·〉H st ♥ s♣

rt s st ♦♠♣t ♣♦r ♥♦r♠ ‖f‖2H = 〈f, f〉H stàr s t♦ts s sérs

② ♦♥r♥t ♥s H

é♥t♦♥ ♥ ♣♣ s♣ rt à ♥♦② r♣r♦s♥t ♥ s♣

rt H ♦♥t♦♥s é♥s sr X à rs rés t ts q ♣♦r t♦t

x ∈ X s ♦♥t♦♥s ét♦♥ δx(f) é♥s ♣r δx(f) = f(x) s♦♥t ♦r♥és

Pr é♥t♦♥ H st ♥ s ①st ♥ ré M t q

|f(x)| < M‖f‖H, ∀x ∈ X , ∀f ∈ H

tt ♣r♦♣rété ♦♥t réstt s♥t

é♦rè♠ ♦t H ♥ s♣ rt ♦♥t♦♥s é♥s sr X t ♠♥

s ♦rt♦♥♦r♠é ψk∞k=0 s♣ H st ♥ s

∞∑

k=0

|ψk(x)|2 <∞,

♣♦r t♦t x ∈ X ♣r♦t sr ss♦é à H st ♦rs é♥ ♣r

κ(x,x′) =∞∑

k=0

ψk(x)ψk(x′)

Pr♦♣rété ♦t H ♥ ♥♦② κ ♣r♦♣rété r♣r♦s♥t r♦♥s③

♥ ❬r♦♥s③♥ ❪ st é♥ ♣♦r f ∈ H ♣r

〈κ(x, ·), f〉H = f(x)

♥ ♣rtr

〈κ(x, ·), κ(x′, ·)〉H = κ(x,x′)


é♥t♦♥ ❯♥ ♠tr ré K t n× n t tr♠ é♥ér Kij st t

s♠é♥ ♣♦st s st s②♠étrq t ér

n∑

i=1

n∑

j=1

αiαjKij ≥ 0

♣♦r t♦t séq♥ ♥♦♠rs rés αii=1,2,...,n ♥ ♦tr ♥été st strt

♦rs K st t é♥ ♣♦st

ç♦♥ éq♥t s rs ♣r♦♣rs ♥ ♠tr s♠é♥ ♣♦st s♦♥tt♦ts ♣♦sts ♦ ♥s t s ♥ ♠tr é♥ ♣♦st s♦♥t strt♠♥t♣♦sts

é♥t♦♥ ♥ ♣♣ ♠tr r♠ ♠tr s♠é♥ ♣♦st ♦♥t

tr♠ é♥ér ♣t sérr Kij = κ(xi,xj)

é♥t♦♥ ❯♥ ♦♥t♦♥ κ : X × X 7→ R q ♣♦r t♦t séq♥ xii=1,2,...,n

♦♥♥ à ♥ ♠tr r♠ st t s♠é♥ ♣♦st

♥ ♥♦t q ♥♠♣♦rt q ♣r♦t sr st s♠é♥ ♣♦st

é♦rè♠ ♦♦rr♦♥s③♥

♣rès s ♣r♦♣rétés ♥ ♣r♦t sr ♥ ♥♦② κ ♦t t♦t é♥êtr s②♠étrq t érr ♥été ②rt③

κ(x,x′)2 = 〈φ(x), φ(x′)〉2H ≤ ‖φ(x)‖2H ‖φ(x′)‖2H = κ(x,x)κ(x′,x′)

♦t♦s s ① ♦♥t♦♥s ♥ r♥tss♥t ♣s à s ss ①st♥ ♥ s♣H ss♦é à κ té♦rè♠ s♥t ♦r♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♥éssr t ss♥t♠ssté ♥ ♦♥t♦♥ à ♥♦②

é♦rè♠ t♦t ♦♥t♦♥ κ s♠é♥ ♣♦st sr X ×X ♦rrs♣♦♥ ♥

♥q ♦♥t♦♥s é♥s sr X à rs rés t ré♣r♦q♠♥t

Pr ❯♥ ♠♦②♥ ♦♥strr s♣ rt à ♥♦② r♣r♦s♥t ss♦é àκ st ♦♥sérr tr♥s♦r♠t♦♥ φ s♥t

φ : X → Hx 7→ κ(x, ·)

♦ù φ(x) = κ(x, ·) és♥ ♥ ♦♥t♦♥ s♠é♥ ♣♦st sr X ♦t♥ ♥ ①♥t ♣r♠r r♠♥t φ à x t H s♣ ♥♥ré ♣r s ♦♥t♦♥s κ(x, ·) x ∈ X t♥t ♦♥♥é ① ♦♥t♦♥s H

f(·) =n∑

i=1

αiκ(xi, ·) g(·) =n′∑

j=1

βjκ(x′j , ·)


n, n′ ∈ N αi, βj ∈ R t x,x′ ∈ X ♦♥ ♦♥sèr ♦r♠ ♥ér s♥t

〈f, g〉H =n∑

i=1

n′∑

j=1

αiβjκ(xi,x′j)

♦♥t ♦♥ r à é♠♦♥trr q st ♥ ♣r♦t sr ♥s H ♥ ♥♦t ♥♣r♠r q♥ ts♥t s é♥t♦♥s f, g t s②♠étr κ ♦♥ ♣t ♠ttrtt ①♣rss♦♥ s♦s ♦r♠

〈f, g〉H =

n′∑

j=1

βjf(xj)

n∑

i=1

αig(xi)

st r q 〈 ·, ·〉H st à r ré s②♠étrq t ♥ér Prrs ♦♠♠ κ st s♠é♥ ♣♦st ♦♥

〈f, f〉H =

n∑

i=1

n∑

j=1

αiαjκ(xi,xj) ∀f ∈ H

Pr ♦♥séq♥t ♣♦r t♦t ♠ s ♦♥t♦♥s hi t ♦♥ts γi ∈ R ♦♥

N∑

i=1

N∑

j=1

γiγj〈hi, hj〉H = 〈N∑

i=1

γihi,N∑

j=1

γjhj〉H ≥ 0

q ♠♦♥tr q 〈 ·, ·〉H st s♠é♥ ♣♦st rst ♥♥ à ♣r♦r ♣r♦♣rété

〈f, f〉H = 0 ⇔ f = 0 ∀f ∈H

♣♦r é♠♦♥trr q st ♥ ♣r♦t sr r ♣rès éqt♦♥ t♦t ♦♥t♦♥ f ∈ H ér

〈f, κ(x, ·)〉H =n∑

i=1

αiκ(x,xi) = f(x)

♥ ♣rtr〈κ(x, ·), κ(x′, ·)〉H = κ(x,x′)

♣rtr s éqt♦♥s t ♥♦s ♥ és♦♥s q

f(x)2 = 〈f, κ(x, ·)〉2H ≤ 〈f, f〉H κ(x,x)

q ♣r♦ ♣r♦♣rété ♥s 〈 ·, ·〉H st ♥ ♣r♦t sr sr H ♥ tr♥s♦r♠r H ♥ ♥ s♣ rt st ♦♠♣étr ♦♥♦r♠é♠♥t à❬r♦♥s③♥ ❪ ♠♥èr à q t♦t st ② ② ♦♥r râ à H st ♥ s♣ rt à ♥♦② r♣r♦s♥t ♣rès ♦♥t♦♥κ r♣rés♥t ♥ ♣r♦t sr ♥s H st ♣♣é ♥♦② r♣r♦s♥t H

ré♣r♦q té♦rè♠ ♣t êtr é♠♦♥tré ♥ s♣♣②♥t sr té♦rè♠ r♣rés♥tt♦♥ s③ ❬ ♠♦♥ ❪ ♣rès té♦rè♠ ①st ♣♦r


t♦t x ∈ X ♥ ♦♥t♦♥ κ(x, ·) ∈ H q ér r rést q ♦♥t♦♥ κ(x,x′) é♥ X × X ♥s R st s②♠étrq ér é♠♥t

M∑

i=1

M∑

j=1

αiαjκ(xi,xj)H = 〈M∑

i=1

αiκ(xi, ·),M∑

j=1

αjκ(xj , ·)〉H

= ‖M∑

i=1

αiκ(xi, ·)‖2H ≥ 0

♣♦r t♦t α1, . . . , αM ∈ R Pr ♦♥séq♥t κ st s♠é♥ ♣♦st ss♦é à κ st é♥ér♠♥t ♣♣é s♣ ♥♦♥q s rtérs

tqs t κ(x, ·) s♦♥ ♣♣t♦♥ ♥♦♥q ss♦é ♦t♦♥s q ♥ q s ①r♥rs s♦♥t ♥qs ♣rès té♦rè♠ ♦♦rr♦♥s③♥ ①st ♥ ♥♥té ♦♥t♦♥s φ t s♣s H ts q ♦♥ t

é♦rè♠ rr

♥ ♥t ♠♦♥trr q t♦t ♦♥t♦♥ s♠é♥ ♣♦st ♦rrs♣♦♥ à ♥♣r♦t sr ♥s ♥ s♣ rt ♥s tt st♦♥ ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ♦♥t♦♥ rr q ♦♥r♠ réstt ♥s s ♦♥t♥ ♥ ♦r♥ss♥t s♦ts ♥éssrs ♣♦r ①♣tr s♣ ♥s q s ♦♥♥és s♦♥t ♥tés

♣rès té♦r rt♠t ❬♦r♥t rt ❪ t♦t ♦♥t♦♥♦♥t♥ t s②♠étrq κ(x,x′) ♠t ♥ é♦♠♣♦st♦♥ ♦r♠

κ(x,x′) =∞∑

i=0

λi ψi(x)ψi(x′)

♦ù λi t ψi s♦♥t s rs ♣r♦♣rs t s trs ♣r♦♣rs ♦♣értr ♥tér

(Tκf)(·) =∫

Xκ(x, ·) f(x) dx

❯♥ ♦♥t♦♥ ss♥t ♣♦r q s♦t ♥ ♣r♦t sr st q s ♦♥ts λi s♦♥t ♣♦sts ♥ ♣t ♥ t ♥s s ♦♥strr sé♠♥t ♥tr♥s♦r♠t♦♥ φ stss♥t Pr ①♠♣

φ : X 2 → ℓ2

x 7→ (√λ0 ψ0(x),

√λ1 ψ1(x), . . . )

⊤

♥ ♠♦♥tr ♦rs

〈φ(x), φ(x)′〉ℓ2 = 〈[√

λiψi(x)]i,[√

λiψi(x′)]i〉ℓ2

=∑

i

√λi ψi(x)

√λi ψi(x

′)

=∑

i

λi ψi(x)ψi(x′)

= κ(x,x′)


té♦rè♠ s♥t étt ♥ ♦♥t♦♥ ♥éssr t ss♥t ♣♦r q s ♣r♠ètrs λi s♦♥t ♣♦sts

é♦rè♠ P♦r r♥tr q♥ ♦♥t♦♥ κ ♦♥t♥ t s②♠étrq ♣ss sérr

s♦s ♦r♠ s ♦♥ts λi ♣♦sts st ♥éssr t ss♥t

q ♦♥t♦♥ ∫

X

∫

Xκ(x,x′) f(x) f(x′) dx dx′ ≥ 0

s♦t éré ♣♦r t♦t f ∈ L2(X )

Pr Pr ♦♠♠♦té ♥♦t♦♥s H = L2(X) ♣rès té♦r rt♠t ❬♦r♥t rt ❪ s rs λii t ♦♥t♦♥s ♣r♦♣rs ψii ♣♣rss♥t ♥s ér♥t

∫

Xκ(x, ·)ψi(x) dx = λi ψ(·)

λi ∈ R, ψi ∈ H t 〈ψi, ψj〉H = δij ♥ ♣ré♠t♣♥t ♣r∫X ψj(x)dx t

♥ ts♥t ♣r♦♣rété s②♠étr κ ♦♥ ♦t♥t∫

X

∫

Xκ(x,x′)ψi(x)ψj(x′) dx dx′ = λi δij

♦ù r♥èr été é♦ ♦rt♦♦♥té s ♦♥t♦♥s ♣r♦♣rs ♣rès r♥tr ♣♦r t♦t ♦♥t♦♥ f s♣ ♥♥ré ♣r ψii st ♥éssr tss♥t ♣♦r q s rs ♣r♦♣rs λi s♦♥t ♣♦sts P♦r ♣r♦r té♦rè♠ rst à ♠♦♥trr q rst r ♣♦r t♦t f ∈ H r ψii ♦r♠ ♥ s♦rt♦♥♦r♠é H ♦t ♦♥t♦♥ f ∈ H ♣t ♦♥ s é♦♠♣♦sr s♦s ♦r♠

f =∑

i

αiψi

♦ù s αi s♦♥t s ♦♥ts rés ♥ ♦♠♥♥t t ♦♥ tr♦∫

X

∫

Xκ(x,x′) f(x) f(x′) dx dx′ =

∑

i

∑

j

αi αj

∫

X

∫

Xκ(x,x′)ψi(x)ψj(x′) dx dx′

=∑

i

λi α2i

♣♣♦s♦♥s q ♦♣értr ♥tér ♥s tt ①♣rss♦♥ s♦t ♥ét s ♦♥tsα2i ♣♣rss♥t ♥s tr♠ r♦t ♠♣q q ①st ♠♦♥s ♥

r ♣r♦♣r λi < 0 ♥ ♠♣♦s♥t ♣♦stté ♦♣értr ♥tér ♣♦r t♦t f ∈H ♦♥ ♠♣♦s ♥s ♣♦stté s ♦♥ts λi ♦♠♠ ♥♥♦♥é ♣r té♦rè♠

♦♥t♦♥ st♣ q t♦t ♠tr r♠ é♥éré ♣r κ ♦t êtrs♠é♥ ♣♦st ♥ trs tr♠s κ ♦t êtr ♥ ♦♥t♦♥ s♠é♥ ♣♦st ♥ ♦r réstt ♦♦rr♦♥s③♥ s ♦♥t♦♥s κ q ér♥t ♣r♦♣rété s♦♥t é♥ér♠♥t ♣♣és ♥♦②① rr

♠rq té♦rè♠ ♦♦rr♦♥③♥ s♣♣q ① ♦♥t♦♥s κ ♦♥t♥s

♦ é♥s ♣♦♥t ♣r ♣♦♥t té♦rè♠ rr ♥ s♣♣q q① ♦♥t♦♥s κ

♦♥t♥s

♦♥strt♦♥ ♥ ♥♦②

é♦rè♠ r♣rés♥t♥t

♥ ♦r♠♥t ♥ ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ ♥s ♥ H ♦♥ ♠♦♥tr s♦srt♥s ♦♥t♦♥s q s♦t♦♥ ♦♣t♠ ♣t s①♣r♠r s♦s ♦r♠ ♥♦♠♥s♦♥ ♦♥t♦♥s s ♥é♣♥♠♠♥t ♠♥s♦♥ H st♦r♠sé ♣r té♦rè♠ s♥t

é♦rè♠ ♦t H ♥ ♥♦② κ Ω : [0,∞) → R ♥ ♦♥t♦♥ ♠♦♥♦t♦♥

strt♠♥t ér♦ss♥t X ♥ ♥s♠ t c : (X ,R2)n → R ∪ ∞ ♥ ♦♥t♦♥

♦ût ♦♥t♦♥ f ∈ H ♠♥♠s♥t rsq rérsé

c((x1, y1, f(x1)), . . . , (xn, yn, f(xn))) + Ω(‖f‖H)

♠t ♥ r♣rés♥tt♦♥ ♦r♠ f(x) =∑n

i=1 αiκ(xi,x)

♦♥strt♦♥ ♥ ♥♦②

♦s ♦♥s ♦rs st♦♥ ♣réé♥t q ♦♥t♦♥ s♠é♥ ♣♦stté st ♥éssr t ss♥t ♣♦r ér s ♥ ♦♥t♦♥ ♥tst ♥ ♥♦② ❯♥ ♦♥séq♥ ♠♣♦rt♥t réstt st q st♥ sér rès ♣r♠tt♥t ♦♠♥r s ♥♦②① ♥ ♥ ♥♦② ♠① ♣té① ♦♥♥és ❯♥ ①♠♣ r♠♥tr ♥♦② ♦♥strt à ♣rtr ♥ ♥♦② réér♥ st ♥♦② ♥♦r♠sé

κ(x,x′) =κ(x,x′)√

κ(x,x)κ(x′,x′)

♥tr♣rétt♦♥ é♦♠étrq ♥ t tr♥s♦r♠t♦♥ st ♦♥♥é ♣s ♦♥trs tr♥s♦r♠t♦♥s s♦♥t ♣♦sss ♦♠♠♥ç♦♥s ♣r é♥♦♥r s ♣s éé♠♥trs

ès s♠♣s

♠♠ ♦t κ1 t κ2 ① ♥♦②① é♥s sr X ×X a ∈ R+ f ♥ ♦♥t♦♥ à

rs rés B ♥ ♠tr s♠é♥ ♣♦st κ3 ♥ ♥♦② é♥ sr Z × Zt g : X 7→ Z ♥s s t♦ts s ♦♥t♦♥s s♥ts s♦♥t s ♥♦②①

κ(x,x′) = κ1(x,x′) + κ2(x,x

′)

κ(x,x′) = aκ1(x,x′)

κ(x,x′) = κ1(x,x′)κ2(x,x′)

κ(x,x′) = f(x)f(x′)

κ(x,x′) = x⊤Bx′

κ(x,x′) = κ(g(x), g(x′))


ès ♥és

été ♠♦♥tré ♥s ❬♦♠♥♥ t ❪ q ss s ♦♥t♦♥s ♥♦②①étt r♠é ① ♦♣ért♦♥s é♥♦♥és ♥s ♠♠ ♣réé♥t q s♥ q♥①st ♣s trs ♦♣ért♦♥s sr s ♦♥t♦♥s ♦♥sr♥t ♣r♦♣rété s♠é♥ ♣♦stté ♦s ré♣rt♦r♦♥s à ♣rés♥t qqs rès ♥és q ♦♠♥♥t s ♦♣ért♦♥s éé♠♥trs

♦r♦r t♥t ♦♥♥é κ1 ♥ ♥♦② t f ♥ ♦♥t♦♥ à rs rés ♦♥

t♦♥

κ(x,x′) = f(x) f(x′)κ1(x,x′)

st ♥ ♥♦②

Pr ♣♣t♦♥ s rès t ♦♥ ♣r♦ q st ♥ ♥♦② ♣♦r t♦t f àrs rés ♦rt♦r ♣♦r f à rs ♣♦sts st ♥ ♥♦② ♥ ♣r♥s s ♥♦② qss♦♦♥ ❯♥ ♥♦② s♦♦♥ ♦♥sr s ♥s ♥tr strs tr♥s♦r♠és

♠rq ♥♦② ♥♦r♠sé st ♥ ♥♦② s♦♦♥ ♦ù f(x) = 1√κ(x,x)

♦r♦r ♦t m ♥♦②① κ1, κ2, . . . , κm é♥s sr X × X t α ∈ Rm+ s

♦♥t♦♥s s♥ts

κ(x,x′) =m∑

i=1

αi κ(x,x′)

κ(x,x′) =m∏

i=1

κi(x,x′)

s♦♥t s ♥♦②①

s ♣r♦♣rétés ♠♣q♥t q ♦♥t♦♥

κ(x,x′) = p+(κ1(x,x′))

♦ù p+(·) st ♥ ♣♦②♥ô♠ à ♦♥ts ♣♦sts t κ1 ♥ ♥♦② sr X × X st ♥♥♦② ♥ ♣rtr ♥ ♣r♥♥t ♠t é♦♣♣♠♥t ♥ sér ♦♥t♦♥①♣♦♥♥t ♦♥ ♣r♦ q

κ(x,x′) = exp(κ1(x,x′))

st ♥ ♥♦② ♦♥ ♥ ét q exp(〈x,x′〉/σ2) st ♥ ♥♦② ♣♦r σ ∈ R+♣rès ♥♦r♠st♦♥ ♦r ♦♥ ♦t♥t ♥♦② ss♥ ❬③♠♥ t ♦sr t ❪

exp(〈x,x′〉/σ2)√exp(‖x‖2/σ2) exp(‖x′‖2/σ2)

= exp

(−‖x− x′‖2

2σ2

)

♦♥strt♦♥ ♥ ♥♦②

♦r♦r ♦t x = [x1, . . . ,xN ]⊤ t x′ = [x′

1, . . . ,x′N ]

⊤ ∈ X κ1, . . . , κNs♦♥t s ♥♦②① é♥s sr X1 ×X1, . . . ,XN ×XN rs♣t♠♥t xi x

′i ∈ X

♦rs r s♦♠♠ rt κ1 ⊕ · · · ⊕ κN é♥ sr X × X ♣r

κ1 ⊕ · · · ⊕ κN (x,x′) = κ1(x1,x

′1) + · · ·+ κN (xN ,x

′N )

st ♥ ♥♦② ♠♥èr s♠r r ♣r♦t t♥s♦r κ1 ⊗ κN é♥ ♣r

κ1 ⊗ · · · ⊗ κN (x,x′) = κ1(x1,x

′1)× . . . × κN (xN ,x

′N )

st ♥ ♥♦②

♠rq s♦♠♠ rt t ♣r♦t t♥s♦r ♥♦②① ♦♠♥♥t s

♥♦②① é♥s sr s s♣s ♥trés ♣♦♥t êtr ér♥ts ♣r♠t

trtr s ♦♥♥és ♥tr ér♥t ♣r ①♠♣

♦r♦r t♥t ♦♥♥é f ♥ ♦♥t♦♥ à rs rés t q(f) ♥ strt♦♥

♣r♦té ♥s ss ♦♥t♦♥s F ♦♥t♦♥ s♥t st ♥ ♥♦②

κ(x,x′) =∫

Ff(x) f(x′) q(f) df

réstt ♣t êtr é♠♦♥tré ♥ ♥♦t♥t q ♣sq f(x)f(x′) st ♥ ♥♦② ♣♦rt♦t f ∈ F t q q(f) ≥ 0 ♠t ♦♣értr ♥tér st ♥ ♦♠♥s♦♥♥ér à ♦♥ts ♣♦sts ♥♦②① s ♥♦②① ♦♥strts s♦♥ rè s♦♥t é♥ér♠♥t ♣♣és ♥♦②① ♦r♥ts P♦r F ♥s♠ s ♦♥t♦♥s àrs ±1 st ♠♦♥trr q ♥♦② ♦t♥ st ♥♦r♠sé

κ(x,x′) =∫

Ff(x) f(x′) q(f) df =

∫

Fq(f) df = 1

t sr tr s♣ ss♦é

♦s ♥♦♥s ♦r ♦♠♠♥t rér ♥♦① ♥♦②① à ♣rtr ♥♦②①①st♥ts st s♦♥t t ♦♠♣r♥r t q ♥ rt♥ ♦♣ért♦♥ srs♣ ♠ ss♦é Pr ①♠♣ s ♦♥ ♦♥sèr s♦♠♠ ① ♥♦②① ♦♥♣t érr

κ1(x,x′) + κ2(x,x

′) = 〈φ1(x), φ1(x′)〉H1 + 〈φ2(x), φ2(x′)〉H2

=⟨(φ1(x)

φ2(x)

),

(φ1(x

′)φ2(x

′)

)⟩H

= 〈φ(x), φ(x′)〉H

q s♥ q φ(·) ∈ H st ♦♥té♥t♦♥ s trs φ1(·) ∈ H1 t φ2(·) ∈ H2 st ♠♣♦rt♥t s♦♥r q s ♥tr♣rétt♦♥s ♣♦r s ♥♦②① ♥ s♦♥t ♣s♥qs éqt♦♥ ♣r ①♠♣ ♦♥ ♣t ♣r♦♣♦sr φ(x) = (φ2(x), φ1(x))


♠♦♥tr♥t ♥s q φ ♥st ♣s ♥q ❯♥ tr ①♠♣ q ♠♦♥tr q s♣♠ ♠ê♠ ♥st ♣s ♥q st ♦♥♥é ♣r κ1 + κ1 = 2κ1

2κ1(x,x′) = 2〈φ1(x), φ(x′)〉H = 〈

√2φ1(x),

√2φ(x′)〉H

♥ t ♣sq q ①st ♠♦♥s ① ♥tr♣rétt♦♥s ér♥ts ♣♦sss ♣♦rφ(x) ♥ ♥ tr♠ trs ♦♥té♥és tr ♥ tr♠ ♥ ♠s à é❯♥ tr ♣♣r♦ ts ♣♦r ♦♥♦r s ♥♦②① ♦♥sst à tr♥s♦r♠rrt♠♥t s♣ ♠ t rr à ①♣r♠r réstt ♥ tr♠ ♣r♦tssrs ♥q♠♥t

①♠♣ ♥♦② ♥♦r♠sé st ♦t♥ ♣r ♥♦r♠st♦♥ s trs

φ(·) ♥ t

⟨ φ(x)

‖φ(x)‖H,

φ(x′)‖φ(x′)‖H

⟩H=

〈φ(x), φ(x′)〉H‖φ(x)‖H‖φ(x′)‖H

=κ(x,x′)√

κ(x,x)κ(x′,x′)= κ(x,x′)

♥ ♠sr ♥s ♦s♥s ♥ θ ♥tr s ① trs φ(x) t φ(x′)

①♠♣ ♦♥sér♦♥s ♦♣ért♦♥ ♥tr q tr♥s♦r♠ φ(x) ♥ φ(x) ♣r

tr♥st♦♥ ♥ tr ♦t♥ ♣r ♦♠♥s♦♥ ♥ér ♥s ♥s♠

♣♣r♥tss ♦r♠♠♥t

φ(x) , φ(x) +

n∑

i=1

γi φ(xi)

♦ù γi ∈ R, i = 1, . . . , n ♥ ♦t♥t ♣♦r ♣r♦t sr

〈φ(x), φ(x′)〉 =⟨φ(x) +

n∑

i=1

γiφ(xi), φ(x′) +

n∑

i=1

γiφ(x′i)⟩

= 〈φ(x), φ(x′)〉 −n∑

i=1

γi〈φ(x), φ(xi)〉 −n∑

i=1

γi〈φ(xi), φ(x′)〉

+

n∑

i=1

n∑

j=1

γiγj〈φ(xi), φ(xj))〉

= κ(x,x′)−n∑

i=1

γiκ(x,xi)

−n∑

i=1

γiκ(x′,xi) +

n∑

i=1

n∑

j=1

γiγjκ(xi,xj)

, κ(x,x′)

Pr ♦♥strt♦♥ κ st t♦♦rs ♥s s ♣rtr γi = 1/n ♦♥ r

tr♦ ♠ét♦ ♥tr ♦♥♥és ❬rst♥♥ ❪ P♦r ♥ ♣r♦è♠

sst♦♥ ss ♦sr

γi = 1/n+

①♠♣s s ♥♦②①

♦ù n+rs♣ n− st ♥♦♠r ♥s étqtts yi = +1rs♣ −1 ♣r♠t

♣♦st♦♥♥r ♦r♥ s ♦♥♥és à ♠st♥ s ♥trs ♥rts s ①

sss

♠rq ♠tr r♠ K ss♦é ♥♦② ♥tré κ ♣t s ♥♦tr

K = K− Γ⊤K−KΓ+ Γ

⊤KΓ

♦ù Γ = [γ, . . . ,γ] ∈ Rn×n γ tr ♦♦♥♥ t q γ = (γ1, . . . , γn) ∈ R

n ♥s

s ♣rtr γi = 1/n ♥ ♥♦t♥t 1 ♠tr s②♠étrq ♠♥s♦♥ n × n

tr♠ é♥ér 1 ♦♥ ♦t♥t

K = K− 1

n1K− 1

nK1+

1

n21K1

①♠♣s s ♥♦②①

♥s tt st♦♥ ♥♦s t♦♥s qqs ①♠♣s ♥♦②① ss♣ts êtrtsés ♥ ♣rtq s ♥♦②① ♣r♦ts t s ♥♦②① stt♦♥♥rs s ♥♦②①s♦♥t ♣r♥♣♠♥t tsés sr s ♦♥♥és t♦rs

♦②① ♣r♦ts

s ♥♦②① ♣r♦ts s♦♥t ♦♥t♦♥ ♣r♦t sr s ♦srt♦♥s ❯♥♦♥t♦♥ ♥éssr ♣♦r q♥ ♦♥t♦♥ t②♣ κ(x,x′) = κ(〈x,x′〉) s♦t ♥♥♦② st q ér ♣♦r t♦t ξ ≥ 0 ❬ö♦♣ t ❪

κ(ξ) ≥ 0

δξκ(ξ) ≥ 0

δξκ(ξ) + ξδ2ξκ(ξ) ≥ 0

♦ù δξ és♥ ♦♣értr éré ♣rt ♣r r♣♣♦rt à ξ tt ♦♥t♦♥ st♥éssr ♠s ♣s ss♥t P♦r s ♥♦②① é♥s sr s♣èr ♥té ♥♦♥t♦♥ ♥éssr t ss♥t st ♦♥♥é ♣r té♦rè♠ s♥t

é♦rè♠ ❬♦♥r r ❪ ♦t κ(〈x,x′〉) é♥ sr s♣èr

♥té ♥s s♣ rt H

H st ♠♥s♦♥ ♥♥ ♦rs κ st ♥ ♥♦② s s♦♥ é♦♣♣♠♥t ♥

sér ②♦r st à ♦♥ts ②♦r ♣♦sts ♥q♠♥t

κ(ξ) =

∞∑

i=0

αiξi, αi ≥ 0

H st ♠♥s♦♥ ♥ ♦rs κ st ♥ ♥♦② s s♦♥ é♦♣♣♠♥t ♥

♣♦②♥ô♠ ♥r PNi st à ♦♥ts ♣♦sts ♥q♠♥t

κ(ξ) =∞∑

i=0

αiPNi , αi ≥ 0


s ♥♦②① ♣r♦ts s ♣s ré♣♥s s♦♥t s ♥♦②① ♣♦②♥♦♠① ♦♠♦è♥s t♥♦♥♦♠♦è♥s ❬♦sr t ❱♣♥ ❪ q ♥♦s é♥ss♦♥s ♦r♠♠♥t♥s s ①♠♣s t q s♥t

①♠♣ ♥♦② ♣♦②♥♦♠ ♦♠♦è♥

κ(x,x′) = 〈x,x′〉d

é♥ sr X × X X ⊂ Rp X 6= ∅ t d ∈ N+

té s ♥♦②① st ♠♥t é♠♦♥tré ♥ ♣♣q♥t rè ♠♠ t♥t ♦s q ♥éssr P♦r ♠① ♦♠♣r♥r rô ①♣♦s♥td ①♣t♦♥s ♥ tr♥s♦r♠t♦♥ φ ♣♦ss ss♦é à ♥♦② Pr ♣♣t♦♥ té♦rè♠ ♥♦♠ ♦♥ étr♠♥

〈x,x′〉d =

p∑

j=1

xjx′j

d

=

p∑

j1,...,jd=1

xj1 . . . xjdx′j1 . . . x

′jd

=∑

|α|=dCαd x

αx′α

♦ù ♦♥ r♦♥♥ît ♥ tr♥s♦r♠t♦♥ ♥s s♣ s ♣♦②♥ô♠s ré dPsq Cαd > 0 ♣♦sr

φ : Rp → Hd

x 7→ √Cαd x

α|α|=d

♥♦s ♣r♠t tr♦r ♠♠ét♠♥t 〈x,x′〉d = 〈φ(x), φ(x)〉Hd Pr ①♠♣

♣♦r x ∈ R2

(d = 1) : φ(x) = (x1, x2)

(d = 2) : φ(x) = (x21,√2x1x2, x

22)

(d = 3) : φ(x) = (x31,√3x21x2,

√3x1x

22, x

32)

(d = 4) : φ(x) = (x41,√4x31x2,

√6x21x

22,√4x1x

32, x

42)

Pr é♥♦♠r♠♥t ♦♥ ♠♦♥tr ❬P♦♦ ②♦r rst♥♥ ❪

dim(Hd+) =

(p− 1 + d

p− 1

)

N

♦ù (·)N st ♦♥t ♥♦♠ s ♥trs ♥trs

①♠♣ ♥♦② ♣♦②♥♦♠ ♥♦♥♦♠♦è♥

κ(x,x′) = (〈x,x′〉+ θ)d

é♥ sr X × X X ⊂ Rp X 6= ∅ t d ∈ N+ t θ > 0

①♠♣s s ♥♦②①

♥ ♣♦r ①♣♥s♦♥ ♠t♥♦♠

(〈x,x′〉+ θ)d =d∑

s=0

(d

s

)

N

θd−s〈x,x′〉s =∑

|α|≤d

(d

|α|

)

N

θd−|α|Cαd xαx′α

♦ù ♦♥ r♦♥♥ît ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ér à ♦♥ts ♣♦sts ♥♦②① ♦♠♦è♥s ♥ ♣♣q♥t ♦♥ tr♦ q st ♥ ♥ ♥♦② ♠♥èrs♠r à ①♠♣ ♣réé♥t ♦♥ ♠♦♥tr q♥ s♣ ♠ ss♦é st

φ : Rp → Hd+

x 7→ √(

d

|α|

)

N

θd−|α|Cαd xα|α|≤d

♦ù Hd+ st s♣ s ♣r♦ts s éé♠♥ts x ♦rr ♥érr ♦ é à dPr é♥♦♠r♠♥t ❬②♦r rst♥♥ ❪

dim(Hd+) =

(p+ d

d

)

N

♠rq ♣♦s s ♦♠♣♦s♥ts ♥ ♥♦② ♣♦②♥♦♠ st stré s♦♥√Cdα ♥s s ♦♠♦è♥ ♥s s ♥♦♥♦♠♦è♥ ♠♥tr ♣r♠ètr θ

♣r♠t ♠♥r ♦♥trt♦♥ rt s ♣♦②♥ô♠s ♣s t ré

s ♥♦②① ♣♦②♥ô♠① ♦♠♦è♥s t ♥♦♥♦♠♦è♥s ♥ s♦♥t ♣s ♦♥t♥s ♥ ❯♥ qst♦♥ q ♥t ♥tr♠♥t à s♣rt st s♦r s ♦♥ ♣t r tts♦♥t♥té ♥ ♦♥sér♥t s ♥ ①♣♦s♥t ré réstt s♥t ♠♦♥trq ♥s s ♣♦②♥♦♠ ♥♦♥♦♠♦è♥ ♥ ①♣♦s♥t ré ♦♥t s♦s rt♥s②♣♦tèss à ♥ ♦♥t♦♥ q ♥st ♣s ♥ ♥♦②

♦②① stt♦♥♥rs

s ♥♦②① stt♦♥♥rs ♣♣és é♠♥t ♥♦②① ♥r♥ts ♣r tr♥st♦♥é♣♥♥t x−x′ té♦rè♠ s♥t ♣r♠t érr s ♥ ♦♥t♦♥ t②♣κ(x,x′) = κ(x− x′) st ♥ ♥♦② ❬♦♥r ❪

é♦rè♠ ❯♥ ♦♥t♦♥ ♦♥t♥ κ(x,x′) = κ(x− x′) st s♠é♥ ♣♦st

sr X s st ♦r♠

κ(x,x′) =∫

Rp

cos(r⊤(x− x′))f(dr)

♦ù st ♥ ♠sr ♣♦st ♥ sr Rp

❯♥ ♥♦② stt♦♥♥r q é♣♥ ‖x−x′‖ st ♣♣é ♥♦② r ❯♥ ♦♥t♦♥ss♥t ♣♦r q♥ ♦♥t♦♥ t②♣ κ(‖x−x′‖X ) s♦t ♥ ♥♦② r st qér ♣♦r t♦t ξ > 0 t t♦t ♥tr k ≥ 0 ❬r ♠ ❪

(−1)kδξκ(ξ) ≥ 0


♥♦② r ♣s réq♠♠♥t tsé st ♥♦② ss♥ éà ♥ st rtérsé ♣r ♥ ♦♥t♥♠ rs ♣r♦♣rs q s♥ q s♦♠♣♦s♥ts φ ♥ s♦♥t ♣s ♥ ♥♦♠r ♥ ♦♠♠ ér κ(x,x′) = 1 ♣♦rt♦t x,x′ ∈ X s ♦♥♥és tr♥s♦r♠és s♦♥t ♥♦r♠ ♥tr ♣s ét♥t♦♥♥é q ‖φ(x)‖ = 1 ♦♥

cos(∠(φ(x), φ(x′))) = 〈φ(x), φ(x′)〉 = κ(x,x′) > 0

Pr ♦♥séq♥t t♦s s é♥t♦♥s ♦♣♥t ♠ê♠ ♦rt♥t ♥s s♣ tr♥s♦r♠é ❯♥ s ♦rt♦♥♦r♠é ♣♦r s♣ ss♦é à ♥♦② éà ététr♦é ♦r ❬t♥rt t ❪ ❯♥ réstt ♣s ♠♦st q s ♦♥t♥t ①r ♥ s♣ ♠ st ♣rés♥té ♥s ❬P♦t♥ ❪

♠rq t♥t ♦♥♥é κ(x,x′) = e−‖x−x

′‖2

2σ2 é♥ ♣♦r x,x′ ∈ X X ♥ s♦s

♥s♠ ♥♦♥ Rp t 0 < σ <∞ ♦♥

κ(x,x′) = 〈φ(x), φ(x′)〉l2

φ : X → l2 tr♥s♦r♠t♦♥ é♥ ♣r

φ : R2 → l2

x 7→ e−‖x‖2

2σ2

[√Cpασ2kk!

xα

]

‖α‖=k,k=0

♦ù Ckα s♦♥t s ♦♥ts ♠t♥♦♠① t xα ♥ ♣r♦t s ♦♠♣♦s♥ts x

♦rr |α|

♠rq ♣rès ♣r♠ètr σ ♥ ♥s tr♥s♦r♠t♦♥ φ ♠

♣t ♥♦② ss♥ s♦s ♦r♠ ♥ ♣♦♥ért♦♥ à ♦s ♦ t ♦

s ♦♠♣♦s♥ts x réstt ♠♦♥tr é♠♥t q ♦♥trt♦♥ s ♣♦②♥ô♠s

ér♦t ♣s t q k! ♦rr k ♣♦r t♦t σ ≥ 1

①♠♣ ♣♣t♦♥ à rérss♦♥

♥ ♥t♥t s ♦♥♥és ♥s ♥ s♣ ♠ r♥ ♠♥s♦♥ s ♥♦②①♣r♠tt♥t é♦♣♣r s rs♦♥s ♥♦♥♥érs ♠ét♦s ♥érs r ♣♥ té♦rq ♦♥t♦♥ ♥♦② é♥t ♥ s♣ rt♥ t t♦r♣r♦s♥tt s♦♠étrq ♣r tr♥s♦r♠t♦♥ ♥♦♥♥ér s♣ ♥t t ♥s qst rés♦ ♣r♦è♠ ♥ér ♥tr♦t♦♥ ♥♦②① s♣éq♠♥t ♣tésà ♥ ♣r♦é♠tq ♦♥♥é ♥♦s ♣r♠tt♥t ♦r ♥ r♥ ①té ♣♦rs♣tr à s stt♦♥s très rss r♦♥♥ss♥ ♦r♠s séq♥s é♥♦♠qs rtèrs étt♦♥ s♣♠s ♥♦sts ♥♦tr q sr ♣♥♦rt♠q s ♦rt♠s s♦♥t ♣s ♣é♥sés ♣r ♥♦♠r ♦srt♦♥s q♣r ♥♦♠r rs é♥♠♦♥s s rs♦♥s ♣r♦r♠♥ts s ♦rt♠s

♦♥s♦♥

♣r♠tt♥t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s ss ♦♥♥és ♦♠♥ss ♥s s t♠♣s ♣ts

s ♠ét♦s à trs s♣♣♦rts ♣♥t êtr ♠ss ♥ ♦r ♥ stt♦♥ rérss♦♥ stàr ♣♦r ♣♣r♦①♠t♦♥ ♦♥t♦♥s q♥ Y s s♦rts stq♥ttt ♥s s ♥♦♥ ♥ér ♣r♥♣ ♦♥sst à rrr ♥ st♠t♦♥ ♦♥t♦♥ ♣r s é♦♠♣♦st♦♥ sr ♥ s ♦♥t♦♥♥ ♦♥ ♦♥sèr ♥tr♠ tt ① ♦♥♥és t②♣ ♠♦♥rs rrés ♣é♥sés ♦r♠t♦♥ ♦♥tr♥ts ♥s H sért

minf∈H 1

2‖f‖2H + 12λ

∑ni=1 ξ

2i

f(xi) = yi + ξi i = 1, . . . , n

s♦t♦♥ ♣r♥ ♦r♠ ♥ ♦♥t♦♥ q st ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ér ♥♦②①s ♦♥ts s♦♥t s rs ♣r♦è♠ ♦♥♥és ♣r rés♦t♦♥ s②stè♠ ♥ér s♥t

(K+ λI)α = y

♥s tt ♦r♠t♦♥ q ♣t êtr r♣rs ♣♦r sst♦♥ t st♠t♦♥ ♥stés t♦ts s ♦srt♦♥s s♦♥t tr s♣♣♦rt (A = 1, . . . , n) ♥♦t♥r ♣r♠♦♥ ♦♥♥t ♠♦r tr♠ tt ① ♦♥♥ésPr♠ t♦ts s s♦t♦♥s ♥ss rt♥ ♥s r s♣♣♦rtt♦r rrss♦♥ ❬♠♦ ö♦♣ ❪ st ♥ ♦♥t♦♥ ét♦♥ ♥ rs♦ tr♦♥qé ♣♣é ss ♦t t♥s♥s ♣r♦è♠ ♦♥tr♥tssért

minf∈H,b∈R 12‖f‖2H + C

∑ni=1 ξi

|f(xi) + b− yi| ≤ t+ ξi

0 ≤ ξi i = 1, . . . , n

t ♦r♠t♦♥ éq♥t ♥ tr♠ ♦t ♣é♥sé st

minf∈H,b∈R

1

2‖f‖2H + C

n∑

i=1

max(0, |f(xi) + b− yi| − t)

st ♥ ♣r♦r♠♠ qrtq ♣r♠étrq

♦♥s♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s ♣rés♥té qqs ♣r♥♣s ♦♥♠♥t① sr s♠ét♦s à ♥♦②① ♦s ♦♥s ss ♥tr♦t s rès ♣♦r ♦♥♦r s ♥♦②①t ♦♥♥é s ①♠♣s s♠♣s ♥♦②① ♥♥ ♥♦s ♦♥s stré r ♠s ♥÷r ♥s r ♥ ♣r♦è♠ rérss♦♥ ❯♥ t ♣♣r♦ sr r♣rs♥s st ♣♦r é♠é♥ s ♦♥♥és ②♣rs♣trs

♣tr

é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r♣♣r♥tss rétés

♦♠♠r ❱rétés t ♣♣r♥tss rétés

♦t♦♥s rétés t ♣♣r♥tss rétés

♣♣r♥tss rétés

♦rt♠s ♣♣r♥tss rétés

ét♦ P

ét♦

♣♣r♥tss rétés t P

r♥ P

s♦♠♣ s♦s ♦r♠ P

s♦s ♦r♠ P

é♠é♥ t ♣♣r♥tss rétés

é♠é♥ ♥♦♥♥ér

é♠é♥ ♥♦♥♥ér

é♠é♥ ♥♦♥♥ér ❱

①♣ér♠♥tt♦♥

♦♥♥és rts

♦♥♥és rés

♦♥s♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ét♦♥s s ♠ét♦s ♣♣r♥tss rétés ♦s①♦♥s é♠♥t rt♦♥ ♥tr s ♠ét♦s t ♥ ♠ét♦ à ♥♦② P♦s ♠♦♥tr♦♥s ss q♥ ♠ét♦ ♣♣r♥tss rétés ♣t êtr tsé♦♠♠ ♥ ét♣ rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♥ ♣ré à ♠s ♥ ÷r ♥♦rt♠ trt♠♥t ♥ér ♣r ①♠♣ é♠é♥ ♦t♥♥t ♥ ♥s♥ ♥ trt♠♥t ♥♦♥♥ér ❯♥ t ♠ét♦ ♣t é♠♥t êtr tsért♠♥t ♣♦r ①trt♦♥ s ♦♠♣♦sés ②♣rs♣tr① ♣rs t st♠t♦♥ rs ♦♥♥s râ à s st♥s é♦ésqs ♥♠♥t ♥♦s ♣rés♥t♦♥ss réstts s♠t♦♥ ♥ strr té s ♣r♥♣s ♥s s ♠é♥s ♦rt♠♥t ♥♦♥♥érs

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♣♣r♥tss rétés

♥ ♠♦ës ❱rété ssr♦

r ①♠♣s rété

❱rétés t ♣♣r♥tss rétés

♦t♦♥s rétés t ♣♣r♥tss rétés

❯♥ rété ♠♥s♦♥ n n ∈ R st ♥ s♣ t♦♣♦♦q ♦♠♥t♥ Pr ①♠♣ ♥ ♦r st ♥ rété ♠♥s♦♥ ♥ t ♥ srst ♥ rété ♠♥s♦♥ ① ❯♥ rété és♥ ♦♥ ♥ ♥s♠ ♣♦♥tsq ♣♣rt♥♥♥t à ♥ ré♦♥ q s♣♣r♥t ♦♠♥t à ♥ t s♣ s trs①♠♣s s♦♥t ts q ♥♦s ♣♦♦♥s ♦t♥r ♥ r ♥ r♣♥t ♥ s♠♥t sr ♠ê♠ ♥ ②♥r ♦ ♥ ô♥ ♥ r♣♥t ♥ ♥ ♣♥ sr ♠ê♠ ❯♥ tr①♠♣ ssq rété à ♦r st r♥ ♦ës ♥s tt tès♥♦s tsr♦♥s réq♠♠♥t ♥ rété tst ssr♦ q st r♣rés♥tésr r

♣♣r♥tss rétés st ♥ ♣♣r♦ ré♥t ♥ ♣♦♣r ♣♦r rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♥ ♥s♠ ♦♥♥és stré sr ♥ rété Pr♦s s ① ♥♦t♦♥s s♦♥t ♦♥♦♥s ♣♣r♥tss rété ♣♦r ♦t r♣rés♥tr ♥ t strt♦♥ ♦♥♥és ♥s ♥ s♣ ♥ ♠♥s♦♥ ♣s ♥ ♦♥sr♥t s ♣r♦♣rétés rtérstqs s ♠ét♦s tsésr♣♦s♥t sr é ♣r♥♣ q ♠♥s♦♥ ♥♦♠rss rétés st t q s ♣♥t êtr érts ♣r ♥ ♦♥t♦♥ é♥ à ♣rtr qqs♣r♠ètrs s♦s♥ts ♥ trs tr♠s s é♥t♦♥s ♦♥r♥és s♦♥t ♥tr♥sèq♠♥t strés s♦♥ ♥ s♣ ♠♥s♦♥ ♠s ♣♦♥és ♥s ♥s♣ ♠♥s♦♥ éé P♦r strr ♣s ♥ éts ♥♦t♦♥ rété ♣r♥♦♥s ①♠♣ ♥ ♦r r♣rés♥té ♥s r ♥ ♥♦t q ♦rst é♥ ♥s R

3 ♠s ♥ ♦♠ t ♥ sr ♥s ♠♥s♦♥ ①tr♥sèq tr♦s st ♦s♦èt ♣sq ♦r ♣t êtr ♣r♠étré ♣r ♥ sr ❯♥ ç♦♥ ♦r♠sr tt ♥tt♦♥ s t ♣r é ♥ rété ♦r st ♥ rété ♥♠♥s♦♥♥ r s♣♣r♥t ♦♠♥t à R

1

é♥t♦♥ ❯♥ ♦♠é♦♠♦r♣s♠ st ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥t♥ ♦♥t ♥rs st é

♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥t♥

é♥t♦♥ ❯♥ rété M ♠♥s♦♥ d st ♥ ♥s♠ ♦♠♥t ♦♠é♦

❱rétés t ♣♣r♥tss rétés

r ❱rété ♥♠♥s♦♥♥ ♥♦r♣♦ré ♥s R3

♠♦r♣ à Rd tr♠♥t t ♣♦r t♦t x ∈ M ①st ♥ ♦s♥ t♦r

x ♥♦té Nx t ♥ ♦♠é♦♠♦r♣s♠ f : Rd → Nx s ♦s♥s s♦♥t s rts

♦s t ♥s♠ s rts st ♣♣é ts

♣♣r♥tss rétés

ré rtèr ♣♦♣r s ♠ét♦s rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♠♥t♦♥♥és ♣tr s ♦♥t ♥♦♠rss ♠ts ét♥t ♦♥♥é r ♥éssté♦♣érr ♥s ♥ s♣ ♥ q ♥ s♦♠♠♦ ♣s ♥ strt♦♥ s♦♥♥és ♥s ♥ rété Pr ①♠♣ ♣♦r s ♦♥♥és ssr♦ ♥ qs ♦♥♥és s♦♥t ♥tt♠♥t ♥s ♥ s♣ ♠♥s♦♥ 2 ♥ P ♥st ♣s♥ ♠sr ①trr ♦rrt♠♥t tt strtr ♠♥s♦♥♥ s ♠ét♦s♣♣r♥tss rétés s♦♥t ♣♥♥t P ♦♣ér♥t sr s rétés

♦♥t s ♦♥♥és x1,x2, . . . ,xn ∈ RD s♣♣♦sés strés ♥s ♥ rété

♠♥s♦♥ ♥tr♥sèq d P♦r s♠♣r ♦♥ s♣♣♦s q♥ ♥q rt stss♥t ♣♦r r♣rés♥tr s ♣r♦è♠ sért

Pr♦è♠ ♦♥t s ♦♥♥és x1,x2, . . . ,xn ∈ RD strés sr ♥ rété M

♠♥s♦♥ d q ♣t êtr ért ♣r ♥ ♥q rt é♥ ♣r f : M → Rd

♥ rr y1,y2, . . . ,yn ∈ Rd ts q y1

= f(xi)

r str ♥ sssr♦ t s♦♥ ♥t♦♥ ♥s ♥ s♣ à ① ♠♥s♦♥srâ à ♠ét♦ s♦♠♣ ♥ ♥♦t q rt♦♥ ♦s♥ ♥tr s é♥t♦♥sst ♣résré rést t q ①st ♥ ♦♠é♦♠♦r♣s♠ f M ♥s R2


r ❱rété sssr♦ t s♦♥ ♥t♦♥ ♥s R2 s♦♠♣ ❬ t ❪


r st♥ é♦ésq sr ♥ rété srq


♦rs tt st♦♥ ♥♦s ♦♥s ♣ssr ♥ r s ① ♣r♥♣① ♦rt♠s ♣♣r♥tss rétés ①st♥ts s♦♠♣ ❬ ♥♥♠ ❪t ❬♦s ❪ ① sr♦♥t ♣r st ♣♣qés trt♠♥ts ♦♥♥és ②♣rs♣trs ♦t♦♥s éà q q ♦rt♠ sté ♥ésst é♥t♦♥ ♥ ♦s♥ t k s♥ q ♦s♥ rété♣t êtr ss♠é à ♥ s♣ ♥

ét♦ P

s♦♠♣ ❬ ♥♥♠ ❪ rét♦♥ s♦♠tr tr ♠♣♣♥ st ♥ s ♣r♠rs ♦rt♠s q t été é♦♣♣é ♣♦r ♣♣r♥tss rétés ♣t êtr ♦♥séré ♦♠♠ ♥ ①t♥s♦♥ ♠ét♦ t♠♥s♦♥ ♥ ❬♦① ♦① ❪ ssq ♣♦r ♥térr s ♥♦r♠t♦♥s ss♠♥ ♥s ♥ s♣ ♥ s♦♠♣ s ♦♠♣♦s ① ét♣s ♣r♥♣s

st♠t♦♥ s st♥s é♦ésqs st♥s sr ♦♥ ♥ rété ♥trs ♣♦♥ts ♥tré à ♥ ♠ét♦ st♠t♦♥ ♣s ♦rt ♠♥sr ♥ r♣ k ♣s ♣r♦s ♦s♥s r str st♥é♦ésq sr ♥ rété srq

❯tst♦♥ ♠ét♦ ♣♦r tr♦r s ♣♦♥ts ♥s s♣ ♥ ♠♥s♦♥ ♦♥t s st♥s ♦rrs♣♦♥♥t ♠① ① st♥sé♦ésqs tr♦és à ét♣

st♠t♦♥ s st♥s é♦ésqs

♥ s♣♣♦s q s ♦♥♥és s♦♥t sss ♥ rété M ♠♥s♦♥ d ♥s♥s RD t ♥♦s s♦t♦♥s tr♦r ♥ ♦♠é♦♠♦r♣s♠ f M ♥s R2 s♦♠♣rr ♥ ♣♣t♦♥ s♦♠étrq q ♣résr s st♥s ♥tr s ♣♦♥ts


♥ trs tr♠s s xi xj s♦♥t s ♣♦♥ts sr ♥ rété t G(xi,xj) st♥é♦ésq ♥tr ① ♥ rr ♦rs ♥ ♣♣t♦♥ f : M → R

d t q

‖f(xi)− f(xj)‖ = G(xi,xj)

♥ ♦tr ♦♥ s♣♣♦s q rété st ss♠♠♥t réèr ♥ q st♥é♦ésq ♥tr s ♣♦♥ts ♦s♥s s♦t ♣♣r♦①♠t♠♥t ♥♥ ♥s st♥ ♥♥ R

D ♦♥sttt ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ rs♦♥♥ st♥ é♦ésq ♥tr ① ♣♦♥ts ♦s♥s rété P♦r s ♣♦♥ts é♦♥és ♦♥♥t ♣r♦ér tr♠♥t P♦r r ♦rt♠ s♦♠♣ ♦♥strt ♥r♣ k ♣s ♣r♦s ♦s♥s ♦♥t s rrêts s♦♥t ♣♦♥érés ♣r s st♥s♥♥s Ps ♣♣r♦①♠ st♥ é♦ésq ♥tr ♣♦♥ts q♦♥qs♥ s♦♠♠♥t s ♣♦s s rrêts ♣s ♦rt ♠♥ ♥tr ① ♦t♥ ♣r ♠ét♦ str ❬str ❪ ♦ ♦② ❬♦② ❪

t♠♥s♦♥ ♥

❯♥ ♦s s st♥s é♦ésqs és ♥tr t♦ts ♣rs ♣♦♥ts ♦rt♠ s♦♠♣ st♠ s ♠s s ♣♦♥ts ♥s R

D s♦rt q s st♥s♥♥s ♥tr ① s♦♥t ♣♣r♦①♠t♠♥t és ① st♥s é♦ésqs st ♥ t♥q ssq q ♣t êtr tsé ♣♦r

♣r♦è♠ ♣s é♥ér♠♥t trté ♣r st s♥t t♥t ♦♥♥é ♥♠tr D ∈ R

n×n ss♠♥s ♦rt♠ ♦♥strt ♥ ♥s♠ ♣♦♥ts♦♥t s st♥s ♥♥s ♥tr ① ♦rrs♣♦♥♥t ♣♣r♦①♠t♠♥t ①ss♠♥s ♦r♥s ♣r D ①st ♥♦♠rss ♦♥t♦♥s ♦ût ♣♦r tttâ t ♥ r♥ rété ♦rt♠s ♣♦r ♠♥♠sr s ♦♥t♦♥s ♦ût♦rt♠ r♣♦s sr té♦rè♠ s♥t q étt ♥ ♥ ♥tr s♣s ♠trs st♥s ♥♥s t s♣ s ♠trs r♠

é♦rè♠ ❯♥ ♠tr ♥♦♥♥ét s②♠étrq D ∈ Rn×n tr♠s ♦

♥① ♥s st ♥ ♠tr st♥ ♥♥ s t s♠♥t s

B= −1

2HDH H

= I − 1

n11

⊤

st s♠é♥ ♣♦st B st ♠tr r♠ ♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥

♠♦②♥♥ ♥tré s ♦♠♣♦s♥ts D ♣♦r st♥s ♥tr♣♦♥ts

té♦rè♠ ♥s♣r ♥ t♥q ♣♦r ♦♥rtr ♥ ♠tr st♥ ♥♥ ♥ ♥ ♠tr r♠ ♦t X ♥s♠ s ♣♦♥ts ♠s ♥s Rd t B ♠tr r♠ ♦rrs♣♦♥♥t B =XX⊤ P♦r ♦t♥r X B ♦♥ ♣r♦èà ♥ é♦♠♣♦st♦♥ s♣tr B = UΛU⊤ ♥ ♣♦s ♦rs X = UΛ

1/2 ♦rsqD ♥st ♣s ♥ ♠tr ♥♥ ♣r ①♠♣ st à ♣♣t♦♥ s♦♠♣ ♠tr B é♥ sss ♥ ♣t êtr ♥ ♠tr s♠é♥ ♣♦st t ♦♥♥ ♠tr r♠ P♦r sr♠♦♥tr à ♣r♦tt B sr ô♥ s♠trs s♠é♥s ♣♦sts ♥ ♥♥♥t ss rs ♣r♦♣rs ♥éts


♥ é♥ér X := UΛ1/2+ st ♥ ♦♥rt♦♥ à n ♠♥s♦♥s ♥ résr

♥ rét♦♥ ♠♥s♦♥ D à d D > d ♦♥ ♣r♦tt é♥ér♠♥t X srss d ♦♠♣♦s♥ts ♣r♥♣s

♦t X= UΛ

1/2+ ♦♥rt♦♥ à n ♠♥s♦♥s ♥ ♦♥séq♥ UΛ

1/2+ U⊤

st é♦♠♣♦st♦♥ s♣tr XX⊤ ♣♣♦s♦♥s q ♦♥ ts ♥ P ♣♦r♣r♦tr s ♦♥♥ésX sr ♥ s♣ à d ♠♥s♦♥s ♥ r♣♣ q t ♦rt♠r♥♦XV ♦ù V ∈ R

n×d ♦♥t s ♦♦♥♥s v s♦♥t ♦♥♥és ♣r s trs ♣r♦♣rs X⊤X : v1, . . . ,vd s trs ♣r♦♣rs s♦♥t és ♣r

X⊤Xvi = ξivi

(UΛ1/2+ )⊤(UΛ

1/2+ )vi = ξivi

(Λ1/2+ U⊤UΛ

1/2+ )vi = ξivi

Λ+vi = ξivi

tt r♥èr ①♣rss♦♥ ♠♦♥tr q tr♦♥tr té st à ♣t êtr♦♥♦♥t♠♥t ♣rtqé ♣r P ♦rs ♣s rét♦♥ à d ♠♥s♦♥s Prrs s rs ♣r♦♣rs ξi réè♥t ♠♣♦rt♥ rt q ♠♥s♦♥

♦rt♠

♦rt♠ s♦♠♣ ♦♥sst à st♠r s st♥s é♦ésqs ♥ ts♥t ♣s ♦rt ♠♥ sr ♥ r♣ ♣s tr♦r ♥ ♥t♦♥ s st♥s ♥s♥ s♣ ♥ à ♠ét♦ r rés♠ ♦rt♠❯♥ rtérstq ♣rtèr♠♥t t ♣♦r s♦♠♣ st q ♦r♥t t♦♠tq♠♥t ♥ st♠t♦♥ ♥♦♠r ♠♥s♦♥s rété s♦s♥t ♥♣rtr ♥♦♠r rs ♣r♦♣rs ♥♦♥ ♥s tr♦és ♣r ♦♥♥ tt♠♥s♦♥ s♦s♥t ♣♥♥t ♥ ♣rés♥ rt t ♥rtts ♥s ♣r♦sss st♠t♦♥ st à ♥♦tr q ért ♥tr s rs ♣r♦♣rs ♦♠♥♥tst s rs ♣r♦♣rs s♦♥rs ♦ s♣♣♦sé♠♥t ♥s ♣t êtr téré ♥♥s♦♠♣ s♣♦s ♥ r♥t ♦♣t♠té ❬r♥st♥ t ❪ ♥ t s♦♠♣st ssré ré♣érr ♣r♠étr ♥ rété s♦s s ②♣♦tèss s♥ts

rété st s♦♠étrq ♥téré ♥s RD

s♣ ♣r♠étrq s♦s♥t st ♦♥① stàr st♥ ♥tr① ♣♦♥ts q♦♥qs ♥s s♣ ♣r♠étrq st ♦♥♥é ♣r ♥ st♥ é♦ésq q s tr♦ ♥tèr♠♥t à ♥térr s♣ ♣r♠étrq

rété st ♥ é♥t♦♥♥é ♣rt♦t

rété st ♦♠♣t

♣r tt ♦♣t♠té ♦♠♠♥ ♣r ♠♦♥trr q ss♠♠♥té♥t♦♥s s st♥s sr r♣ s r♣♣r♦♥t s st♥s é♦ésqss♦s♥ts ♠t s st♥s s♦♥t ♥♥s t rt♦r♥ ♣résé♠♥t s ♣♦♥ts ♥tés ♥s s♣ ♠♥s♦♥ rét ♥ ♦tr st♦♥t♥ ♣tts rt♦♥s ♥ ♥tré s trs♥t ♣r ♣tts rt♦♥s ♥


♥trés x1,x2, . . .xn ∈ RD, k

♦♥♦r ♥ r♣ ♦s♥ à ♣rtr s k ♣s ♣r♦s ♦s♥s s♣♦s wij := ‖xi − xj‖ ♣♦r s rêts (xi,xj)

r s st♥s ♣s ♦rt ♠♥ ♥tr t♦ts s ♣rs ♣♦♥tsà ♦rt♠ str ♦ ♦② ♥r s rrés s st♥s♥s ♥ ♠tr D Dii = 0 t Dij ≥ 0

P♦sr B= −1

2HDH ♦ù H= I − 1

n11⊤ st ♥ ♠tr ♥tr

r é♦♠♣♦st♦♥ s♣tr B = UΛU⊤

♦♥strr Λ+ ♥ ♣♦s♥t [Λ+]ij = max(0,Λij)

①r ♠♥s♦♥ ♥tr♥sèq d ♦rrs♣♦♥♥t ♥♦♠r ♦♠♣♦s♥ts♥♦♥ ♥s Λ+

r X∗ = UΛ1/2+

ér ♠♥s♦♥ ♥ r♥t s d ♣r♠rs ♥s X : Y = [x]n×d

t♦r♥r Y

r P

s♦rt ♦rt♠ ♥ rs♦♥ tt r♦stss ① ♣rtrt♦♥s s♦t♦♥ ♦♥r s②♠♣t♦tq♠♥t rs rt rré s♦♠♣ été é♦♣♣é s♦♥ ① rt♦♥s ♣r♥♣s s♦t érr s tr♥s♦r♠t♦♥s ♦♥♦r♠ss♦t érr très r♥s ♥s♠s ♦♥♥és ❬♦r♥ t ❪

♣r♠èr ♣♣r♦ st ♣♣é s♦♠♣ t ♦r qst♦♥ q st q♦♣ t②♣s ♥t♦♥s ♥ ♦♥sr♥t ♣s s st♥s ♠s s ♥s s♦♠♣ ♥ r♥t ♦♣t♠té té♦rq s♠ à s♦♠♣ ♠s ①q rété s♦t é♥t♦♥♥é ♥♦r♠é♠♥t

①è♠ ①t♥s♦♥ ♥♠r s♦♠♣ st sé sr s ♣♦♥ts r♣èr♣♦r éérr s st♥s ♥tr s ♣♦♥ts ♣♦r ♥s s♦♠♣s ① ét♣s ♥ésst♥t O(n3) ♦♣ért♦♥s q st ♦q♥t ♣♦r s r♥s♥s♠s ♦♥♥és é s ♦♥sst à sét♦♥♥r ♥ ♣tt ♥s♠ l♣♦♥ts r♣èr ♦ù D < ℓ < n ♥st s st♥s é♦ésqs ♣♣r♦①♠ts q ♣♦♥t ① ♣♦♥ts r♣èr s♦♥t és ♥st st ①été sr ♠tr ℓ × ℓ st♥s ♥tr s ♣♦♥ts r♣èr ♥♥ s ♣♦♥ts rst♥tss♦♥t ♥♦r♣♦rés ♥ rs st♥s ① ♣♦♥ts r♣èr tt t♥q rét ♦♠♣①té s♦♠♣ O(n3) à O(dnℓ log n+ ℓ3)


ét♦

♦rt♠ ♦② ♥r ♠♥ ❬♦s ❪ r♣♦s sr♥ ♥tt♦♥ très ér♥t é ♥t sst♦♥ ♥ rété ♦♠♠♥ ♦t♦♥ ♣ts s ♥t t ♦s♥ st ♣tt t rété ss♠♠♥t ss s ♣ts s♦♥t ♦♠♥t ②♣r♣♥s ♥ ♦tr ♣r♦t♦♥ rété sr s ♣ts ♥tèr ♣s ♦♥rt♦♥ s ♦♥♥ésé st ♦♥ ♥tr s ♣ts t rtérsr é♦♠étr ♥tr ① t tr♦r ♥ ♥t♦♥ ♥s R

d q ♦♥sr tt é♦♠étr ♦ ♥ s♣♣♦sq s ♣ts ♦① s ♥t s♦rt q s r♦♥strt♦♥s ♦s s♦♠♥♥t ♥ ♥ s②stè♠ ♦ ♦♠♠ ♥s t♦ts s ♠ét♦s ♣♣r♥tss rétés ♥♦♠r ♦s♥s ♦s st ♥ ♣r♠ètr étr♠♥♥t ♥s ♠s♥ ÷r ♦rt♠ ♦t N (i) ♥s♠ s k ♣s ♣r♦s ♦s♥s ♣♦♥txi ♣r♠èr ét♣ ♦rt♠ ♠♦és rété ♦♠♠ ♥ ♦t♦♥ ♣ts t s à rtérsr é♦♠étr ♦ P♦r ♠ét♦ s àr♣rés♥tr xi ♦♠♠ ♥ ♦♠♥s♦♥ ♦♥① ss k ♣s ♣r♦s ♦s♥s s♦♥ts ♣♦♥ért♦♥ s♦♥t ♦ss ♥ ♠♥♠sr rrr qrtq r♦♥strt♦♥ q ♣♦♥t

J(W ) =∑

i

∥∥xi −∑

j∈Ni

wij xj∥∥2

♠tr ♣♦s W st tsé ♦♠♠ ♥ ssttt à é♦♠étr ♦ s♣ts ♥tt♠♥t tr [W ]i réè s♣♦st♦♥ s ♣♦♥ts t♦r xi ♥ ♣s ①st s ♦♥tr♥ts sr s ♣♦s q ♥ ♦t s s♦♠♠rà ♥ t [W ]ij = wij = 0 s j /∈ N (i) ♦♥tr♥t ♠♣q q st ♥♠ét♦ ♦ ♦♥tr♥t r♥ s ♣♦s ♥r♥ts ① tr♥st♦♥s ♦s s q xi st ♥ tr♥st♦♥ α ♦rs

∥∥xi +α−∑

j∈Ni

wij(xj +α)∥∥2 =

∥∥xi −∑

j∈Ni

wijxj∥∥2

t W ♥ s♥ tr♦ ♣s té ♥ ♦tr W st ♥r♥t ① r♦tt♦♥s t ♠ssà é ♦

❯♥ s♦t♦♥ ♥②tqW à ♣r♦è♠ ①st ♦t♥ à ♣rtr ♠ét♦s trs r♥ ♥s s ♣♦s r♦♥strt♦♥ ♣♦r q ♣♦♥t xis♦♥t ♦♥♥és ♣r

wij =

∑k∈N (i) c

−1jk∑

ℓ,m∈N (i) c−1ℓm

♦ù c−1ℓm st ♦♠♣♦s♥t (ℓ,m) ♥rs ♠tr ♦r♥ ♦ C

♦♥t s ♥trés s♦♥t é♥s ♣r

cℓm= (xi − xℓ)⊤(xi − xm) ℓ,m ∈ N (i).

s♦♥ ét♣ ♦rt♠ s à tr♦r s ♠s yi s ♣♦♥ts xi ♥s Rd

rs♣t♥t ♦♥rt♦♥ st♠é ♠♦②♥ ♠tr W P♦r r ♦♥


♦♥sèr ♦♥t♦♥ ♦ût s♥t

J(Y ) =∑

i

∥∥∥yi −∑

j

wijyj

∥∥∥2

à ♠♥♠sr ♣r r♣♣♦rt à Y = [y1, . . . ,yn] ♥ ♣t érr J(Y ) = Y ⊤MY

M= (I −W )⊤(I −W ).

♠♥♠st♦♥ rtèr sss ♥ésst ♠♣♦sr s ♦♥tr♥ts sr Y ♥s♣rt é♥érté ♣sq ♣r♦è♠ st ♥r♥t ♣r ♦♠♦tét ♦♥ ♠♣♦s Y Y ⊤ = I q ♦♥tr♥t ♣r rs tr♥s♦r♠t♦♥ à êtr r♥ d♥♥ ♦♥ ♣♦s Y 1 = 0 ♥ ♥trr s ♦♥♥és yi ♥ ♠♦♥tr q rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♦♥tr♥t ♥ésst ♠①♠st♦♥ ♥ q♦t♥t ② ♦♥t s♦t♦♥ st ♦t♥ ♥ rt♥♥t s d + 1 trs ♣r♦♣rs M ss♦és ①♣s s rs ♣r♦♣rs r♥r ♥t 1 t ss♦é à r ♣r♦♣r 0 ♥♦t ♣s êtr rt♥ r ♦rrs♣♦♥ à tr♥st♦♥ s ♦♥♥és

♦♥♦r♠ ♥♠♣ ❬ ❪ st ♥ t♥q q ♣t êtr tsé♥ ♦♥♦♥t♦♥ ♣♦r ♦r♥r ♥ st♠t♦♥ t♦♠tq d ♠♥s♦♥ rété st rés♠é ♥s r t stré ♣r r

r Pr♦ér ♣♣r♥tss rété ❬♦s ❪


♥trés x1,x2, . . .xn ∈ RD, k, d

r s ♣♦s r♦♥strt♦♥ P♦r q ♣♦♥t xi r C t W

Pr♥rM = (I−W )⊤(I−W ) t r s trs ♣r♦♣rsMn×d ss♦és① d ♣s ♣tts rs ♣r♦♣rs ♥♦♥ ♥s

♥♦②r réstt Y =Mn×d

r


s ♠ét♦s ♣rés♥tés sss ♣♥t s①♣r♠r à ♣rtr ♥ ♦r♠t♦♥à ♥♦② s♦♠♣ ♣r ①♠♣ ts ♣♦r ♥t♦♥ s ♦♥♥és stéq♥t à P q ♣r♠t ♥tr♦r ♠s ♥ ÷r P t st ♥♦② tsé ♥s ❬♠ t ❪ s trs ♦♥t ♠♦♥tré rt♦♥♥tr s ♠ét♦s ♣♣r♥tss rétés t s ♠ét♦s P

♦s s ♦rt♠s rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♣rt♥t ♥ rtérstq♦♠♠♥ ♥ qs ♥s♥t ♦r ♥ strtr ♦ ♦s♥ sr s♦♥♥és ♣s ①♣♦t tt strtr ♦ ♣♦r r♦♥strr rété ♥s ♥s♣ ♠♥s♦♥ ♥érr tt rt♦♥ ♦s♥ ♦ st é♥ ♥ ts♥t s k ♦s♥s s ♣s ♣r♦s ♥s s♣ ♥ t ♣t êtr ért ♣r♥ r♣ ♣♥♥t ç♦♥ ♦♥t s ♦rt♠s ts♥t tt strtr ♦s♥ st t♦t à t ér♥t ♥sé ♥s ♦♥t①t ♥tért♦♥ s♥♦②① ♥s s ♦rt♠s ♣rt♥t ♦♥ ♥ strté s♠r ♥ ♦♥strt♦r ♥ ♠tr r♠ s ♦♥♥és ♣♣r♥tss ♦♥st♦♥ tt ♠tr à ♥♦② é♥t ♥ ♥t♦♥ r♥t strtr ♠♥s♦♥ rété ♦s ♦♥s ♦r ♣rés♥tr ♠ét♦ P ♣s ♥♦s ♥♦sttr♦♥s à ré♥tr♣rétt♦♥ s ♦rt♠s s♦♥ P

r♥ P

♥s s ♠ét♦s ♥♦② s ♥♦②① ♣♥t êtr ♦♥sérés ♦♠♠ ♥ ♠sr s♠rté ♥♦♥♥ér ♦t ♥ ♥s♠ ♥♦♥ X t ♥ ♥♦② é♥ ♣♦st κ s ♦♥♥és ♥tré x1,x2, . . . ,xn ∈ X é♥ss♥t ♥ s♦ss♣ RDP s ♦♠♣♦s♥ts ♣r♥♣s s ♦♥♥és φ(x1), φ(x2), . . . , φ(xn)

♥s s♣ rt H r H ♣t êtr ♠♥s♦♥ ♥♥ ♣r♦è♠ P♦t êtr tr♥s♦r♠é ♥ ♥ ♣r♦è♠ q ♣t êtr rés♦ ♥ tr♠s ♥♦② ♥s t ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♠tr ♦r♥ ♥s H

C :=1

n

n∑

i=1

φ(xi)φ(xi)⊤


P♦r ♦♥sr ♠tr C ♦rs ♠ê♠ q H ♣t êtr ♠♥s♦♥ ♥♥♦♥ rr s rs ♣r♦♣rs λ ≥ 0 t s trs ♣r♦♣rs ♦rrs♣♦♥♥t vstss♥t éqt♦♥

Cv = λv

♦t♦♥s q t♦t s♦t♦♥ s♥srt ♥s ♥ s♦ss♣ ♥♥ré ♣r s♠s φ(xi) s s♦t♦♥s v trs ♣r♦♣rs C ♣♥t êtr r♣rés♥tés ♣r

v =

n∑

i=1

αiφ(xi)

♣r♦è♠ st éq♥t à

φ(xℓ)Cv = λφ(xℓ)v ∀ℓ = 1, . . . , n

♥ sstt♥t ♥s ♦♥ ♦t♥t

nλKα = K2α

♦ù α st ♥ tr ♦♦♥♥ ♦♠♣♦s♥ts αi i = 1, . . . , n ♣r♦è♠ s rétà tr♦r s ♦♥ts αi ♥ rés♦♥t tt é♦♠♣♦st♦♥ ♥ éé♠♥ts ♣r♦♣rs

nλα = Kα

♣♦r s rs ♣r♦♣rs λ ♥♦♥ ♥s♥ ♣t é♠♦♥trr q ①trt♦♥ ℓe rtérstq φ(x) ♠♦②♥

ℓe tr α(ℓ)j ♣♦r ♦r♠

〈φ(x),v(ℓ)〉H =1√λ(ℓ)

n∑

i=1

α(ℓ)i κ(xi,x) =

1√λ(ℓ)

Kα(ℓ)

tr 1√λ(ℓ)

♠r ♣♦r ssrr v(ℓ)⊤v(ℓ) = 1 ♦♠♠ ♣♦r P P♥ésst q s ♦♥♥és ♥s H s♦♥t à ♠♦②♥♥ ♥ ♥ é♥ér ♥ésst♥ ♣rétrt♠♥t ♠ê♠ s s ♦♥♥és s♦♥t à ♠♦②♥♥ ♥ ♥s s♣ X ♥tr s ♦♥♥és ♣t êtr té ♥ sstt♥t ♠tr K ♣r

K′ = (I − ee⊤)K(I − ee⊤)

e = 1√n[1, . . . , 1]⊤

s♦♠♣ s♦s ♦r♠ P

♦♠♠ ♣♦r s♦♠♣ ♦♥strt ♦r ♥ ♠tr st♥s ♥trs ♣rs ♦♥♥és ♣♥♥t tsr st♥ ♥♥ s♦♠♣♦♥strt ♥ r♣ s②♠étrq t ♣♣r♦①♠ st♥ é♦ésq râ à ♥♦rt♠ ♣s ♦rt ♠♥ st ♣♣qé à tt ♠tr st♥é♦ésq t ♥t♦♥ rré st ♦♥♥é ♣r s trs ♣r♦♣rs ♦rrs♣♦♥♥t ① rs ♣r♦♣rs s ♣s ♣tts ♦♠♠ s♦♥é ♥s ❬❲♠s ❪


♦♥ ♣t ♥tr♣rétr râ à P ♠ê♠ ç♦♥ ♦♥ ♣t ♣r♥r sst♥s tsés ♥s s♦♠♣ t ♦♥sérr ♠tr r♠ s♥t

Ks♦♠♣ = −1

2(I − ee⊤)S(I − ee⊤)

♦ù S st ♠tr s st♥s é♦ésqs rré t e = 1√n[1, . . . , 1]⊤ st

tr st♥é à ♥trr Ks♦♠♣ é♥♠♦♥s ♥♦s ♥ s♣♦s♦♥s ♥ r♥tsr rtèr é♥ ♣♦st tt ♠tr ♦t♦s ♥s ♠t ♦♥t♥♣♦r ♥ rété ss st♥ é♦ésq ♥tr s ♣♦♥ts st ♣r♦♣♦rt♦♥♥ à st♥ ♥♥ ♥s s♣ s ♣r♠ètrs ♠♥s♦♥ rété❬r♠s ♦♥♦♦ ❪ st ♦♥♥ q κ(x,x′) = −‖x−x′‖β st é♥ ♣♦st♣♦r 0 < β ≤ 2 ♥s ♠t ♦♥t♥ −S st ♦♥ é♥ ♣♦st t♦t ♦♠♠Ks♦♠♣ ❱♦r ♣s ♥s ❬ö♦♣ ♠♦ ❪ ♥s éqt♦♥ ♣♣qé à ♠tr Ks♦♠♣ ♣r q ♣♣t♦♥ ♦r♥ ♣r P st ♦♥♥é ♣r s trs ♣r♦♣rs ss♦és ① ♣s r♥s rs ♣r♦♣rs Ks♦♠♣♦♥ ♦♥stt ♥ ♣rtq q tst♦♥ s ♣r♦t♦♥s ♣r s trs ♣r♦♣rs♦♠♥♥ts P ♦♥♥ ♥ réstt ♦♠♣r à s♦♠♣

s♦s ♦r♠ P

♦rt♠ ♦♥strt ♥ ♠tr ♣♦s ♦r♥ss♥t ♠r ♣♣r♦①♠t♦♥ ♥ ♦♥♥é ♣r ss ♦s♥s s♥s s ♠♦♥rs rrés tt ♠trst é♥ ♣r M = (I −W )⊤(I −W ) q ♥ r ♣r♦♣r ♠①♠ λ♠① t♥ ♣s ♣tt r ♣r♦♣r ♥ ss♦é tr ♣r♦♣r ♥♦r♠ e ♦♠♠s trs trs ♣r♦♣rs s♦♥t ♦rt♦♦♥① à e s♦♠♠ rs ♦♠♣♦s♥tst 0 P♦r ♣♣t♦♥ rré st é♥ à ♣rtr s trs ♣r♦♣rsss♦és ① rs ♣r♦♣rs s r♥s n− d à n− 1 ♦s é♥ss♦♥s

K := (λ♠①I −M)

Pr ♦♥strt♦♥ K st ♥ ♠tr é♥ ♣♦st s♦♥ tr ♣r♦♣r ♣r♥♣ st e t s ♦♦r♦♥♥és s trs ♣r♦♣rs s r♥s 2 à d + 1 ♦r♥ss♥t♣♣t♦♥ rré ♠♥èr éq♥t ♦♥ ♣t ♦♥sérr

K = (I − ee⊤)K(I − ee⊤)

t tsr ss trs ♣r♦♣rs ss♦és ① rs ♣r♦♣rs ♦♠♥♥ts s r♥s 2 àd+ 1 étt ♥ ♦♥♥①♦♥ rt P q ♦♥srt é♠♥t ♠tr K

é♠é♥ s ♠s ②♣rs♣trs ♣r ♣♣r♥

tss rétés

♦s ♦♥s ♣rés♥té ♠♦è ♠é♥ ♥ér t s ♠♦ès ♥♦♥♥érs♣♦r s ♠s ②♣rs♣trs ♣tr s ♠ét♦s ①trt♦♥ s


♦♠♣♦sés ♣rs t st♠t♦♥ s ♦♥♥s s♦♥t s♦♥t ① ét♣s ♥é♣♥♥ts ♥s ♣r♦ér é♠é♥ ♦s ♥♦s ♦♥♥tr♦♥s sr s♠ét♦s ①trt♦♥ q s♣♣♦s♥t ①st♥ ♣①s ♣rs ts q t ❱ ♠s ♦♣t♦♥s ♦r♠s♠ é♦♠étrq é♦♣♣é ♥s❬♦♥♥ r ❪ ♥ t s ♠ê♠s ♦rt♠s ♣r♠t ♦♥♦♥t♠♥t ①trr s ♦♠♣♦sés ♣rs t st♠r ♦♥♦♥t♠♥t s ♦♥♥s s♣①trs ♠ trté s ♦♥♥s ② s♦♥t é♥s ♦♠♠ s ♦♦r♦♥♥és r②♥trqs ♥s ♥ s♣ ♠♥s♦♥ rét t ♣♥t êtr éés♣r s r♣♣♦rts ♦♠s s♠♣①s ♦ st♥s

s ♣♣r♦s r♣♣és sss r♣♦s♥t sr ♥ ♠♦è é♠é♥ ♥érs ♦♥s♥t à s réstts sérs♠♥t sés s ♠♦è ♠é♥ s♦s♥tst ♥♦♥♥ér ❯♥ strté ♣♦ss st r♦rr à s ♠ét♦s ♣♣r♥tss rété ♣♦r ♣r♥r ♥ ♦♠♣t é♦♠étr s ♦♥♥és Ps ♣résé♠♥t st à ①♣♦tr s st♥s é♦ésqs st♠és ♣r s♦♠♣ t r♣rés♥tt♦♥ s ♦♥♥és ♥s ♥ s♣ ♥ ♠♥s♦♥ rét ♦r♥ ♣r ♥s st ♥ rs♦♥ ♥♦♥♥ér s ♦rt♠s t ❱ sté♦♣♣é st ♥ ♦♥trt♦♥ ♦r♥ tt tès

é♠é♥ ♥♦♥♥ér

♦rt♠ ♣♦r t tr♦r s ♦♠♣♦sés ♣rs ♥ ♠①♠s♥t ♦♠ s♠♣① ♦r♠é ♣r s ♣①trs ♠ trté s s♦♠♠tsé♥ss♥t s♠♣① s♦♥t s ♦♠♣♦sés ♣rs rrés q ♦♥t êtr ♣rés♥ts♥s ♥s♠ ♦♥♥és

P♦r é♦♣♣r ♥ rs♦♥ ♥♦♥♥ér ♥ ♣r♠èr ♣♣r♦♦♥sst à ♦♣tr ♦♠♠ ♣rétrt♠♥t s ♦♥♥és ♣tôt q t♦t tr♣♣r♦ rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♥ér t q P r♦♠♠♥é ♣r strs rés ♥ ♥t♦♥ s ♦♥♥és ♥s ♥ s②stè♠ ♦♦r♦♥♥és♦ ♥q ♠♥s♦♥ ♥érr ♠s ♥ ÷r sr tt♥♦ r♣rés♥tt♦♥ ♦tt ♥ à ♥ sé♠ ♥rs♦♥ ♥♦♥♥ér

s♦♠♣ tstr ♦tt à ♥ ♠tr st♥s é♦ésqs ♥trs ♣①trs ♠ trté ①♣♦tt♦♥ s ♥♦r♠t♦♥s ♥ésst♥ r♦r♠t♦♥ ♦rt♠ ♦♠ st é♥ér♠♥tté ♥ ♦♥sér♥t étr♠♥♥t ♣rès

VS =1

(R− 1)!

∣∣∣∣t(

1 1 . . . 1

m1 m2 . . . mR

)∣∣∣∣

♦ù s mi és♥♥t s s♦♠♠ts ♦♥sérés ♦♠♠ r♣♣é sss étr♠♥♥t ♥ésst r♦rr à ♥ rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♣r ♣r♦t♦♥s ♦♥♥és ♥s ♥ s♣ ♠♥s♦♥ k − 1 q ♣♦rrt êtr t s ♦♥ ♦♣tt tt ♠ét♦ ♣♣r♥tss rétés ♥♦♥ st ♣♦ss r♦rr étr♠♥♥t ②②♥r ♦♠♠ été ♠♦♥tré ç♦♥ ♥é♣♥♥t ♥s ❬♦♥♥ r ②♥ t ❪ tt ♦r♠t♦♥


r♣♦s sr s st♥s ♥♥s ♥trs♦♠♠ts t ♥ ♥ésst ♣s rét♦♥ ♠♥s♦♥

♦t dij ♥ st♥ ♥tr s s♦♠♠tsmi tmj ♦♠ rré s♠♣①é♥ ♣r s mii=1,...,R ♥s RL st ♦♥♥é ♣r

V 2S =

(−1)R

2R−1((R− 1)!)2t(C1,...,R)

♥s q

C1,...,R =

(D2

1,...,R 1

1⊤ 0

)

♦ù 1 st ♥ tr 1 t D21,...,R st ♠tr t q D2

1,...,R(i, j) = d2ij ♥♥♦t q ♦♥ ♣t é♠♥t réérr ♥ r♠♣ç♥t

t(C1,...,R) = −(d⊤1 C−12,...,R d1) t(C2,...,R)

d1 = (d212, . . . , d21R, 1)

⊤ ♥♥ ♦♥ ♣t é♠♥t r st♥ ♥tr s♦♠♠t m1 t s♦ss♣ ♥♥ré ♣r s trs s♦♠♠ts (m2, . . . ,mR) ♥s

δ(m1) =

(d⊤1 C

−12,...,R d1

2

) 12

s éqt♦♥s s s st♥s ♦ss s♦♥t ♥♥s s réstts ♦t♥ss♦♥t s ♠ê♠s q ❬♦♥♥ r ❪ ♥ ♣ré♦♥s tst♦♥ s st♥s é♦ésqs s ♦♠s ét♥t té ♦♥ rété s ♦♦r♦♥♥és ♥s s s♦♥t s ♦♦r♦♥♥és sr rété stà ♥ ♠ét♦ é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♥♦♥s♣rsé ♦r♥ ♣r♠tt♥t①trr ♦♥♦♥t♠♥t s ♦♠♣♦sés ♣rs t rs ♦♥♥s s♥ ♠trté ♥ ②♣♦tès sr ♥tr ♠♦è ♥♦♥♥ér ♥st t

é♠é♥ ♥♦♥♥ér

ér♥ ♦rt♠ étr♠♥ sss♠♥t ss♦♠♠ts s♠♣① ♦t ♦r ♦rt♠ ét ♣r ♥ s♦♠♠t ♦s ç♦♥ ét♦r t ♣s rr ♥ tr ♣♦♥t s♥ ♠ q ♠①♠s ♦♠ s♠♣① S1i = t, ri ♣♦♥t st ♦s ♦♠♠ ♣r♠r ♦♠♣♦sé♣r t étqté m1 ♣♦rst s rr s s♠♣①s S2i = (m1, ri) ♥♦ ♣♦♥t ri q ♠①♠s ♦♠ s♠♣① st sét♦♥♥é ♦♠♠①è♠ ♦♠♣♦sé ♣r t étqté m2 ♣r♦sss st téré sqà q s R♦♠♣♦sés ♣rs rqs ♥t été étr♠♥és

ré♠ s s ♦♠ à q rr ♥ ♥♦ s♦♠♠t♣♥♥t ♥s s ♦r♠t♦♥ ssq ♠♥ ss ♥ ét♣ rét♦♥ ♠♥s♦♥ à q tért♦♥ ♣♦r ♦♠ ♣r térr tt♣r♦ér s st♥s é♦ésqs ♣♦r s♦♠♣ ♦ ♥ s♣ ♥ ♠♥s♦♥ rét ♣♦r st♠és à q ♣s ♦rt♠ sèrrt tr♦♣


♦t① ♦♠♠ ♣♦r ♦♥ ♣ré♦♥s tsr ♦♠♠ ♣rétrt♠♥tà ♦rt♠ ♦♥♥t♦♥♥ é♥t♠♥t ♣♦r st♠r ♦♥♦♥t♠♥t s ♦♥♥s ♦ ①♣♦tr ♦r♠t♦♥ ②②♥r s st♥s é♦ésqs ♦r♥s ♣r s♦♠♣

é♠é♥ ♥♦♥♥ér ❱

♦rt♠ ❱ r♣♦s sr t q tr♥s♦r♠t♦♥ ♥ ♥ s♠♣①st é♠♥t ♥ s♠♣① ♥ ♦♥séq♥ ♣r♦tt ♥s♠ s ♦♥♥és sr ♥s♦ss♣ ♦rt♦♦♥ s♦ss♣ ♥♥ré ♣r s ♦♠♣♦sés ♣rs éà sét♦♥♥és ♣♦♥t ♣s é♦♥é ♦♥stt ♥♦ ♦♠♣♦sé ♣r t ♣r♦ér sttéré sqà q ♥♦♠r s♦té éé♠♥ts t été ♦t♥ tt ♣r♦érst s♠r à ♠s sé sr st♥ ♥ s♦♠♠t s♠♣①à s s ♣t êtr té râ à ♦r♠t♦♥ ②②♥r s st♥s é♦ésqs ♦r♥s ♣r s♦♠♣ ♦rs ♠ét♦ ♣têtr ♠s ♥ ÷r ♦♠♠ ♥ trt♠♥t ♥♦♥♥ér ♣ré à ♦rt♠ ❱♦r♥


tt st♦♥ s à tstr s ♦rt♠s érts sss sr s ♦♥♥éss♠és t sr ♥ sè♥ ré ♣tt t

♦♥♥és rts

s ♦♥♥és rts ♦♥sérés ♣♣rt♥♥♥t à R3 t s♦♥t strés

sr ♥ rété ♠♥s♦♥♥ t②♣ ssr♦ st ♣r♠étré ♣r ♥r σ ♣r♠tt♥t ♥ ♠♥tr ♦rr à ♠sr q tt r r♦îts ♦♦r♦♥♥és ♥ ♣♦♥t ri ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥♥ ♦ αi ♦♦r♦♥♥éssr s♠♣① ♦r♥ s①♣r♠ ♣r

ri1 = αi1 sin(σαi1) + 1

ri2 = αi1 cos(σαi1) + 1

ri3 = αi2 + 1

♥ rs♣tr ♦♥tr♥t s♦♠♠ à ♥ ♦♥♥ 3 ♦♠♣♦sé ♣r sté♥ ♣r αi3 = 1− (αi1 + αi2) ♥ ①♥t ♥ s ♦♥ts ♦♥♥ à 1 strs ét♥t à 0 ♦♥ rtr♦ s ♦♠♣♦sés ♣rs ♦♥t s ♦♦r♦♥♥és ♥s R3 s♦♥t

m1 = (sin(σ) + 1, cos(σ) + 1, 1)⊤

m2 = (1, 1, 2)⊤

m3 = (1, 1, 1)⊤

r r♣rés♥t rété ♣♦r ① rs σ ér♥ts Ps σ ♠♥t ♣s ♦rr rété st ♠♣♦rt♥t é♠é♥ s ♦♥♥és


11.1

1.21.3

1.41.5 1

1.21.4

1.61.8

2

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

yx

z

11.2

1.41.6

1.8

0

0.5

1

1.51

1.2

1.4

1.6

1.8

2

r ❱rété ssr♦ ♣♦r σ = 0.5 t σ = π r♦t

rété ssr♦ été té sr ♥ ♥s♠ 1000 é♥t♦♥s ♥ ts♥ts ♦rt♠s sés sr ♣♣r♥tss rété ♥♦♠r ♦♠♣♦sés ♣rs été ①é à R = 3 ①trt♦♥ s ♦♠♣♦sés ♣rs été résé t ❱ ♥s r rs♦♥ ♥ér t ♥♦♥♥ér

♣r♦t♦♦ ♥ér ♦♥ssté à ♣♣qr ♣ré♠♥t ♥ P ♣♦r rér ♠♥s♦♥ s ♦♥♥és à 2 Ps s tr♦s ♦rt♠s ♦♥t été ♣♣qés♣♦r st♠r ♦♥♦♥t♠♥t s ♦♠♣♦sés ♣rs t rs ♦♥♥s ♥s s ♦♥♥és ♣r♦t♦♦ ♥♦♥♥ér ♦♥ssté ♥ ♣rt à ♣♣qr ♦♠♠ ♥♣rétrt♠♥t ♥♦♥♥ér ♣s à ♠ttr ♥ ÷r s ♠ét♦s ♥érs tr♣rt à r s st♥s é♦ésqs ♣r s♦♠♣ t ♣♣qr s ♠ét♦s♥érs s

♥s s s♠t♦♥s ♣♦r s♦♠♣ t t k ♦s♥ été ①é à ♥ ♦sré q ♦♥♥s ♣r♦r♠♥s ét♥t ♦t♥s ♣♦r 5 ≤ k ≤ 20P♦r k < 5 ♠é♦rs ♣r♦r♠♥s ♦♥t ♣ êtr ♦srés s ♦rt♠s ♦♥tété ♦♠♣rés ♥ ♦♥t♦♥ r ♣r♠ètr σ ♥s ♥tr [0, 5] r♣ s♣érr ♥s s rs t ♦r♥t r ♠♦②♥♥ ♥ s♣tr ♠♥♠♠ ♥tr s ♦♠♣♦sés ♣rs st♠és mi t érté trr♥mi s♦t

θ =1

R

R∑

i=1

minj

arccos

(mi ·mj

‖mi‖‖mj‖

)

♥ ♣t ♦♥sttr q s ♦rt♠s ♥♦♥♥érs ♦♥♥♥t s rs ♣tssr t♦t ♠♠ σ t ♦t♥♥♥t ♠rs réstts q s ♦rt♠s♥érs ♦r♥① ♣♥♥t ♦rsq ♦rr ♥♦♥♥érté ♠♥t s♦rt♠s ♥ ♣r♥♥♥t ♣s à ♦♥t♦♥♥r ♠♥èr stss♥t r♣ ♥érr ♥s s rs t ♦r♥t rrr ♥tr s ♦♥♥s st♠ést rs rs réér♥ s♦t

E =1

R

R∑

k=1

mink′

(1

N

N∑

i=1

|αik − αik′ |)


♦ù N = 1000 és♥ t ♥s♠ ♦♥♥és ❯♥ ♦s ♥♦r s ♦rt♠s ♥♦♥♥érs ♣rés♥t♥t ♠rs ♣r♦r♠♥s q rs tr ♦♥érs s rs t ♣rés♥t♥t s ♠ê♠s réstts ♥ ♠♥èr ér♥t q ♣r♠t ♦♠♣rr s ♣r♦r♠♥s t ❱s♥t qs s♦♥t ss♦és à s♦♠♣ ♦ rs♣t♠♥t ♣♣rt q s♦♠♣ st ♣s ♣r♦r♠♥t q ♠s ♥ésst ♥t s

♦♥♥és rés

♦s ♦♥s tsté ♥ ♦rt♠ réér♥ ❱ q ♦♥♥ s réstts s♥s s s rté ♦ ♥♦♥ rté s tr♦s ♠ét♦s rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♥ér P t ♥♦♥♥ér s♦♠♣ t sè♥ ♦s st ♥ s♦s♠ t 50 × 50 st ♦t ❯ ♥s s ♠s tr♦s ♠tér① ♣r♥♣① s♦♥t r♣rés♥tés s♦ t s éét① tt ♠♣rés♥t ♦rts ♥♦♥♥értés ① ♥trs ♥tr s ♠tér① ♣♣rt qs ♠ét♦s ♥♦♥♥érs ♠é♦r♥t ♦♥trst sr s ③♦♥s ♥ ♥t ♥tà q ♦♥r♠ q t été ♦sré sr s ♦♥♥és rts

♦♥s♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s été s ♠ét♦s ♣♣r♥tss rétést t ♥ ♠ét♦ ♥♦♥♥ér P rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♦s♦♥s ♣r♦♣♦sé ♥ ♣r♦t♦♦ ♦r♥ ♣♦r ①trt♦♥ ♥♦♥♥ér s ♦♠♣♦sés♣rs ♥ ♠ ②♣rs♣tr t st♠t♦♥ ♦♥♦♥t rs ♦♥♥s s♣rs♣ts tr ♦♥r♥♥t ♥ ét ♣♣r♦♦♥ ♦r♠s♠ é♦♠étrq ❬♦♥♥ r ❪ ♦♣té ♣♦r ♥ ♠r ♣rs ♥ ♦♠♣t s♦♥tr♥ts sr s ♦♥♥s st♠és ♥ étt tt ♣♣r♦ ♥ ♣r♠t q ♦♥sttr ♣♦str♦r q ♠é♥ st♠é ♣♦r rt♥s ♣①trs ♥② stst♣s ♠tt♥t t ♥ s té ♦ ♠♦è é♠é♥ ♦s s♥s♦rr ♣♦r t♥t s♦t♦♥

♦♥s♦♥

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.05

0.1

0.15

0.2

σ

Spe

ctra

l Ang

le

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

σ

Abu

ndan

ce e

rror

ISOMAP NFINDR

Linear NFINDR

LLE NFINDR

r ♦rt♠ P ♥ér P t ♥♦♥♥ér

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.05

0.1

0.15

0.2

σ

Spe

ctra

l ang

le

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

σ

Abu

ndan

ce e

rror

ISOMAP SGAlinear SGALLE SGA

r ♦rt♠ P ♥ér P t ♥♦♥♥ér


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.05

0.1

0.15

0.2

σ

Spe

ctra

l Ang

le

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

σ

Abu

ndan

ce e

rror

ISOMAP VCAlinear VCALLE VCA

r ♦rt♠ ❱ P ♥ér P t ♥♦♥♥ér

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

σ

Abu

ndan

ce e

rror

Abundance error for algorithms with ISOMAP

NFINDRSGAVCA

r rrr sr s ♦♥♥s ♣r t ❱ ♥ ts♥t P

♦♥s♦♥

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09Abundance error for algorithms with LLE

σ

Abu

ndan

ce e

rror

NFINDR

SGA

VCA

r rrr sr s ♦♥♥s ♣r t ❱ ♥ ts♥t


r ❱ tr♦s ♠ét♦s rét♦♥ ♠♥s♦♥ sr ♦t

♣tr

é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥♠ét♦ ♣ré♠

♦♠♠r ét♦s ♣ré♠

♥tr♦t♦♥

♦r♠t♦♥ ♣r♦è♠ ♣ré♠


♦è ♠①

ét♦ st♠t♦♥ ♣ré♠ tsé

é♠é♥ s♣rsé

t♣ ♣♣r♥tss tr♥s♦r♠t♦♥ ♥rs

t♣ st♠t♦♥ ♣ré♠

ét♦♥ ♥♦②①

♦②① sés sr ♣♣r♥tss rété

♦②① ♣rt♠♥t ♥érs

érst♦♥ s♣t

♦r♠t♦♥

♦t♦♥

①♣ér♠♥tt♦♥s

♥s rérst♦♥ s♣t

♣♣t♦♥ rérst♦♥ s♣t

♦♥s♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ♥ ♠ét♦ é♠é♥ ♥♦♥♥ér sésr ♣r♥♣ ♣ré♠ ♥s ♥♦♠♠é ♣r ♦♠♠♥té ♠♥ r♥♥❱♦r ❬♦♥♥ r ❪ ♣♦r ♥ ♣rés♥tt♦♥ été ♣r♦è♠ ts s♦t♦♥s ①st♥ts ♣rès ♦r été tt ♣♣r♦ ♥♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ♣r♦è♠ sét♦♥ ♠♦è ♦s ♠tt♦♥s ♥t sr s ♠♦ès ♣rt♠♥t ♥érs ♥ ♠♦♥tr♥t q ♦♠♣♦s♥t ♥♦♥♥ér t②♣ ♠♦è♣t êtr ♥ts♠♥t étr♠♥é ♣r ♣♣r♥tss rété ♥♠♥t♥♦s ♦♥sér♦♥s ♣r♦è♠ é♠é♥ ♥s é♥ ♥ ♦♥sér♥t ♥ tr♠ rérst♦♥ s♣t ♦♠♣é♠♥tr

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠

ét♦s ♣ré♠

♥tr♦t♦♥

s ♠ét♦s ♥♦②① ♦♠♠ ♣rés♥tés ♥s ♣tr s♥t à é♦♣♣r s ♠ét♦s ♥tt♦♥ ♥♦♥♥érs s ♥ s ♣r♥♣s rtr s ♣♣r♦s st ♦♥♥ s♦s ♥♦♠ st ♥♦② t ①♣♦t t q♥r♥ ♥♦♠r t♥qs trt♠♥t ♦♥♥és ♥ é♣♥♥t ♣s ①♣t♠♥t s ♦♥♥és s♠ê♠s ♠s ♥ ♠sr s♠rté ♥tr s t q♥♣r♦t sr P♦r ♦♥♦r ♥ ①t♥s♦♥ ♥♦♥♥ér t♥qs ♦r♥♠♥t ♥érs ♦♥ ♣t ♣♣qr ♥ tr♥s♦r♠t♦♥ ♥♦♥♥ér ① ♦♥♥ést ♠ttr ♥ ÷r s ♠ét♦s ♥érs ♥s s♣ s rtérstqs ♥sé♥ ♦♥ st ♥♦② tt tr♥s♦r♠t♦♥ ♣t êtr sé♠♥t résé ♥r♠♣ç♥t s ♣r♦ts srs ♣r ♥ ♥♦② r♣r♦s♥t st éq♥t ♣r♦ts srs ♥s s♣ s rtérstqs ts ♦rt♠s♣rés♥t♥t s ♣r♦r♠♥s rs ♣r r♣♣♦rt à rs ♦♠♦♦s ♥érs ♣♦r♥ ♦♠♣①té t♦r ♥tq

♥s q tr♥s♦r♠t♦♥ ♥♦♥♥ér s♣ s ♥trés X rs s♣s rtérstqs H st ♥tr ♥s s ♠ét♦s à ♥♦② tr♥s♦r♠t♦♥♥rs H à X ♣t é♠♥t êtr ♥ ♥térêt ♣r♠♦r st ♣r ①♠♣ s ♣♦r ♦rt♠ P q ♦r♥t ♥ ♠♦②♥ értr s s♥① ♦♠s ♥s s♣ H ♠s ♥♦r ♣s s és ♣♦r rtr♦r s ♦♥♥és ♥sr s♣ r♣rés♥tt♦♥ ♥t X ♥s r ♥ ♣♣t♦♥ é♠é♥ ♥♦♥♥ér s ♦♥♥és ②♣rs♣trs st r ♦rrs♣♦♥r à ♥s♣tr ♠é♥ ♦sré ♥ ♥téé♥t s♦s ♦r♠ ♥ tr ♦♥♥rs♠♥t sèr q tr♥s♦r♠t♦♥ ♥rs ♥①st ♣s ♥ é♥érss qqs éé♠♥ts H ②♥t ♥ ♣ré♠ ♥s X ♣r♦è♠ ♣ré♠ ♦♥sst à tr♦r ♥ ♥téé♥t ♣♣r♦①♠t ♥s X à t♦t éé♠♥t H st à ss♥t♠♥t ♥ ♣r♦è♠ rét♦♥ ♠♥s♦♥ s ①qst♦♥s ét♥t ♥t♠♠♥t és ♥s r é♦t♦♥ st♦rq

♣r♦è♠ ♣ré♠ ttré ♥ ♥térêt ♦♥sér ♦rs s q♥③r♥èrs ♥♥és tr♦ s♦♥ ♦r♥ ♥s ❬ t ❪ ♦ù ♥ ♠ét♦ ♣♦♥t ① ♣♦t♥t♠♥t ♥st st ♣rés♥té ♥s ❬♦ s♥ ❪ strs sèr♥t ♥ rt♦♥ ♥tr s st♥s ♥s X t ♥s H ♣♣t♦♥♥ t♥q t②♣ ♦♥♥ ♥ st♠t♦♥ tr♥s♦r♠t♦♥ ♥rs rré tt ♣♣r♦ ♦rt ♦ à ♥ sér trs t♥qs q ts♥ts ♦♥♥és ♣♣r♥tss ♥s s ① s♣s ♦♠♠ ♥♦r♠t♦♥ ♣ré♦♠♠ ♣♣r♥tss rété ❬♦s ♥♥♠ ❪t s ♠ét♦s ♦t♦s♠♣ ❬♥♦ t rs t ❪

♦r♠t♦♥ ♣r♦è♠ ♣ré♠

❯♥ ♣r♦è♠ st ♠ ♣♦sé s ♠♦♥s ♥ s tr♦s ♦♥t♦♥s s♥ts qrtérs♥t s ♣r♦è♠s ♥ ♣♦sés s♥s ♠r st ♦é

♥ s♦t♦♥ ①st

ét♦s ♣ré♠

s♦t♦♥ st ♥q

é♣♥ ♦♥t♥û♠♥t s ♦♥♥és ♦♥t♦♥ stté

rs♠♥t ♥tt♦♥ ♥téé♥t x∗ ♥s X ♥ éé♠♥t q♦♥q ψ ♥s H st ♥ ♣r♦è♠ ♠ ♣♦sé s♠♣ t q dim(H) ≫ dim(X )ss ①strt x∗ t q φ(x∗) = ψ ♥ srt ♣s ♥éssr♠♥t ♥q

♦t ψ ♥s s♣ s rtérstqs H ♥ rs♦♥ té♦rè♠ r♣rés♥t♥t é♦rè♠ ♣tr ♦♥ ♣t érr ψ =

∑ni=1 αiκ(xi, ·) x1, . . . ,xn

s ♦♥♥és ♣♣r♥tss ♥s X ♥ r à rés♦r ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥

x∗ = rminx∈X

‖n∑

i=1

αiκ(xi, ·)− κ(x, ·)‖2H

t rtèr r♣r♦s♥t ♥♦② ♦♥ ♣t st♠r ♥ ♣ré♠ x∗ ♥♠♥♠s♥t ♦♥t♦♥ ♦ût s♥t

J (x) = κ(x,x)− 2n∑

i=1

αiκ(x,xi)

♥ rés♦r ♣r♦è♠ ♦♥ ♣rés♥t ♣rès ① ♣♣r♦s ♣♦♣rs

♦rt♠s s♥t r♥t

s ♠ét♦s s♥t r♥t s♦♥t s t♥qs ♦♣t♠st♦♥ ♣r♠s ♣s s♠♣s s ♥ésst r♥t ♦♥t♦♥ ♦t ♥♦té xJ (x) ♥s s ♦r♠ ♣s s♠♣ r st♠é x(n) st ♠s à ♦r♥ x(n+1) ♥ s♥t ♥ rt♦♥ ♦♣♣♦sé à r♥t ♦♥t♦♥ ♦ûtq st ♠♥♠sr ♥s

x(n+ 1) = x(n)− ηx J (x(n))

♦ù η st ♥ ♣s s♦♥t ♦♣t♠sé ♥ ts♥t ♥ ♣r♦ér rr ♥érs tr♥ts ♣s s ①st♥t ts q ♠ét♦ t♦♥ rs♠♥t ♦♥t♦♥ ♦t st ♥tr♥sèq♠♥t ♥♦♥♦♥① ♥s ♥ ♦rt♠ r♥t s♥t t ♣ ♥ sès ét♥t ♦♥♥é ♣rés♥ ♠♥♠s ♦① ♥ésst♥t s ①ét♦♥s ré♣étés ♥ rt♥r ♥♠♥t ♥s♦t♦♥ ♣t

ét♦s ♣♦♥t ①

①♣rss♦♥ ♥♦② r♣r♦s♥t ♥♥r♥tH ♦r♥t s ♥♦r♠t♦♥s ts♣♦r é♦rr s t♥qs ♦♣t♠st♦♥ ♣s ♣♣r♦♣rés Ps ♣résé♠♥t r♥t ①♣rss♦♥ s♣♦s ♥ ①♣rss♦♥ ♥②tq ♣♦r ♣♣rts ♥♦②① ♥ ♥♥♥t ♦♥ s♠♣ ♣r♦ér ♦♣t♠st♦♥ ♥ ♦tss♥t rt♠♥t à ♥ t♥q ♣♦♥t ① ♥ ♣r♥♥t ♣r ①♠♣ ♥♦②ss♥ ♠♥♠st♦♥ ♦♥t♦♥ ♦t ♦tt à

x J (x) = − 2

σ2

n∑

i=1

αi exp

(‖x− xi‖22σ2

)(x− xi)

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠

♥ ♥♥♥t tt ①♣rss♦♥ ♦♥ st ♠♥é sé♠ s♥t

x(n+ 1) =

∑ni=1 αiκ(x(n),xi)xi∑ni=1 αiκ(x(n),xi)

κ(x(n),xi) = exp(‖x(n)−xi‖22σ2 ) sé♠ ♣t êtr r♣r♦t ♣♦r trs

♥♦②① ♣r ①♠♣ ♥♦② ♣♦②♥♦♠ ré prs♠♥t tt ♠ét♦ ♣♦♥t ① ♥é♣♣ ♣s ① ♠♥♠ ♦

① t ♥♦♥♦♥①té ♦♥t♦♥ ♦ût t t♥♥ à êtr ♥stP♦r étr tt stt♦♥ s ♣r♦è♠s rérsés ♣♥t êtr ♠♥t ♦r♠és ♦♠♠ ♥s ❬r♠s♥ ♥s♥ ❪ ❯♥ ♣r♦♣rété ♥térss♥t ♠ét♦ ♣♦♥t ① st q s♦t♦♥ ♣r♦è♠ sért s♦s ♦r♠x∗ =

∑ni=1 βixi ♣♦r rt♥s ♦♥ts β1, β2, . . . , βn à étr♠♥r ♥s s

♣ rr s ♣r♠ètrs st ♦♥trôé ♣r ♦♣♣♦st♦♥ ① t♥qs s♥t r♥t q ①♣♦r♥t s♣ ♥tr

t ♣ré♠

♣r♦è♠ ♣ré♠ s♣♣r♥t à ♥ rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♥ss ① s ♦♥ r à ♥♦r♣♦rr s ♦♥♥és ♥s ♥ s♣ ♠♥s♦♥♦♣ ♣s ♥ r♣♣ q ♥t s ♦♥♥és ♥s ♥ s♣ ♠♥s♦♥ ♥ t♥t ♣résrr s st♥s ♣r♥♣ été ♣♣qé sès ♣r♦è♠ ♣ré♠ ♥s ❬♦ s♥ ❪ ♦♥sér♦♥s qst♥ ♥s s♣ s rtérstqs δ2i = ‖ψ − κ(xi, ·)‖2H t s♦♥ ♦♠♦♦♥s s♣ ♥tré ‖x∗−xi‖2 ç♦♥ é s st♥s s♦♥t ♦♥srés ♣r tr♥s♦r♠t♦♥ q s♥

‖x∗ − xi‖2 ≈ ‖ψ − κ(xi, ·)‖2H

♣♦r t♦t i = 1, 2, . . . , n st érr q s ①st ♥ i t q ψ = φ(xi)♥♦s ♦t♥♦♥s ♣ré♠ x∗ = xi ❯♥ ♠♥èr ♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♦♥sstà ♠♥♠sr rrr qrtq ♠♦②♥♥ ♥tr s st♥s s♦t

x∗ = rminx

n∑

i=1

∣∣‖x∗ − xi‖2 − ‖ψ − κ(xi, ·)‖2H∣∣2

P♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ ♥ ♣r♠èr strté ♦♥sst à r♦rrà ♥ ♠ét♦ ♣♦♥t ① à q ♦♥ ♦tt ♥tr♠♥t ♥ ♥♥♥t r♥t tt ♦♥t♦♥ ♦ût ♦♥t à ①♣rss♦♥ s♥t

x∗ =

∑ni=1(‖x∗ − xi‖ − δ2i )xi∑ni=1(‖x∗ − xi‖ − δ2i )

❯♥ tr ♣♣r♦ ♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♦♥sst à ①♠♥r sé♣ré♠♥t sétés ♣♦r q i q ♠è♥ ① n éqt♦♥s

2〈x∗,xi〉 = 〈x∗,x∗〉+ 〈xi,xi〉 − δi


♣♦r i = 1, 2, . . . , n ♥s s ①♣rss♦♥s ♥♦♥♥ ♣♣rît é♠♥t ôtér♦t 〈x∗,x∗〉 ❯♥ ç♦♥ s♥ é♣rtr st ♦♥sérr s ♦♥♥és ♥trésxi ♥s s ♦♥t♦♥s ♥ ♣r♥♥t ♠♦②♥♥ ♠♣rq q ♠♠r éqt♦♥ sss ♦♥ ♦tt à

〈x∗,x∗〉 = 1

n

n∑

i=1

(δ2i − 〈xi,xi〉)

♦t ε tr ②♥t ♣♦r ♥trés 1n

∑ni=1(δ

2i − 〈xi,xi〉) ♦s ♦r♠ ♠tr

♣r♦è♠ sért

2X⊤x∗ = (X⊤X)− [δ21 , δ22 , . . . , δ

2n]

⊤ + ε

♦ù X = [x1,x2, . . . ,xn] t (·) st ♦♣értr ♦♥ (X⊤X) tr ♦♦♥♥ ♥trés 〈xi,xi〉 ♣ré♠ st ♦♥ ♦t♥ ♣r s♦t♦♥♥②tq s♥t

x∗ =1

2(XX⊤)−1X((X⊤X)− [δ21 , δ

22 , . . . , δ

2n]

⊤)

P♦r q tt t♥q ♣ss êtr ♣rtq♠♥t ♠s ♥ ÷r à ♠ ♦rt♠ s ♥ rt♥ ♦s♥ st ♦♥séré ♣♦r tt ♠ét♦ ♣ré♠tt ♣♣r♦ ♦r s ♦r③♦♥s sr ♥ ♠ t♥qs éts s ♠ét♦s rét♦♥ ♠♥s♦♥ t ♣♣r♥tss rété ❬t②♥r t ❪

à ♣résrt♦♥ s st♥s t q st ♣♦ss é♦♣♣r s ♠ét♦s ♣ré♠ ♣résr♥t s ♣r♦ts srs ♥ ts♥t ♥t strté ♠sr ♥r st é♠♥t ♦♥sré P♦r tt rs♦♥ tt♠ét♦ st t ♣r tr♥s♦r♠t♦♥ ♦♥♦r♠ ❯♥ t♥q ♣r♦♣♦sé ré♠♠♥t♥s ❬♦♥♥ r ❪ ♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♣ré♠ r♣♦ssr ♥ t tr♥s♦r♠t♦♥ tt ♣♣r♦ st ♦♣té ♥s st ♦ù srété t ♣♣qé ♣r♦è♠ é♠é♥ s ♦♥♥és ②♣rs♣trs


♣r♥♣ rr ♥ ♣ré♠ été tsé ♥s ♣srs ♣♣t♦♥s ♦♥t rt♥s ♥s ❬♦♥♥ r ❪ Pr♠ s ♦♥ ♣t trtst♦♥ ♥ ♣ré♠ ♦♥♦♥t♠♥t P ♣♦r ①trt♦♥ s rtérstqs ért ♠s t♦♦st♦♥ ♥s s rés① ♣trst ♦s ts♦♥s ♣r♥♣ ♣♦r é♠é♥ s ♠s ②♣rs♣trs

♥ s♣♣♦s s♣♦sr ♣①trs s♣tr① t s ♦♥♥s ♦rrs♣♦♥♥ts q ♦♥stt ♥s♠ ♣♣r♥tss sr q ♦♥ ♥s♣♣qr ♥ ♠ét♦ ♣♣r♥tss s♦s ♦r♠ ♥ rr ♥♦♥t♦♥ ♣ré♠ st st♥é à st♠r s ♦♥♥s ♣①trs ♥♦♥étqtés ❯♥ t ♣♣r♦ st t s♣rsé ♣r r♣♣♦rt r♥♦♥s♣rsé ♦ù ♥ s s♣trs s ♦♠♣♦sés ♣rs ♥ s ♦♥♥s ♥ s♦♥t♦♥♥s ❱♦r qqs ①♠♣s ♣♣r♦s s♣rsés ♥s ❬♦r♥rt t

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠

♠s t t♠♥♥ t ❪ ♥s ❬t♠♥♥ t ❪ tr♥s♦r♠t♦♥ q st♠ s ♦♥♥s ♣♦r t♦t ♣①tr st ♥ ♦♠♥s♦♥♥ér ♦♥t♦♥s à s r s ♣♦s s ♦♥t♦♥s s♦♥t st♠és à ♣rtrs é♥t♦♥s ♣♣r♥tss ❯♥ ♦rt♠ ♠♦♥rs rrés ♦rt♦♦♥① st♥st ♣♣qé ♥ rér ♥♦♠r ♦♥t♦♥s s ♥tr♥♥t ♥s ♠♦è ♥s ♣tr ♥♦s ♠♦♥tr♦♥s q ♣r♦sss ♣♣r♥tss ♣♦rst♠t♦♥ s ♦♥♥s à ♣rtr s ♦♥♥és ♣♣r♥tss ♣t êtr ♦♥séré ♦♠♠ ♥ ♣r♦è♠ ♣ré♠ rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ s à st♠r♥ tr♥s♦r♠t♦♥ ♥rs s♣ r♥ ♠♥s♦♥ s ♣①trs rss♣ ♠♥s♦♥ s trs ♦♥♥ ♥ ♦♥sèr é♠♥t ♣r♦è♠ sét♦♥ ♥♦② t ♠♦♥tr♦♥s q s ♥♦②① ♣rt♠♥t ♥érs s♦♥ts ♠♦ès ♣♣r♦♣rés ♦♠♣♦s♥t ♥♦♥♥ér ♥♦② ♣t êtr ♦♥ç ♣rs t♥qs ♣♣r♥tss rétés ts q s ♣rés♥tés ♣tr♣réé♥t ❯♥ t♥q rérst♦♥ s♣t st é♠♥t sté t ①♣ér♠♥té ♥s ♣tr rérst♦♥ ❱ été tsé sès ♥s ttértr ❬♦r t ❪ ♥ ♥tér♥t t②♣ ♥♦r♠t♦♥ ♥♦s ♠♦♥tr♦♥sq ♦♥ ♠é♦r s ♣r♦r♠♥s ♥♦s ♦rt♠s

♦è ♠①

♦t r = [r1, r2, . . . , rL]⊤ ♥ ♣①tr ♦sré L ♥♦♠r ♥s

s♣trs ♦s s♣♣♦s♦♥s q ♣①tr r st ♥ ♠é♥ R s♣trs ♦♠♣♦sés ♣rs mi ♦t♦♥s M = [m1,m2, . . . ,mR] ♠tr t (L × R)

s s♥trs s♣trs s ♦♠♣♦sés ♣rs t α tr ♠♥s♦♥ R s♦♥♥s ss♦és à r ♥ ♦♥sèr t♦t ♦r ♠♦è ♠é♥ ♥éréà ♣rés♥té ♣tr ♦ù q ♣①tr ♦sré st ♥ ♦♠♥s♦♥♥ér s s♣trs s ♦♠♣♦sés ♣rs ♣♦♥érés ♣r s ♦♥♥s stàr

r =Mα+ n

♦ù n st ♥ tr rt tr ♦♥♥ α st é♥ér♠♥t étr♠♥é♥ ♠♥♠s♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦ût ♣r ①♠♣ rrr r♦♥strt♦♥ qrtq♠♦②♥♥ s♦s ♦♥tr♥t ♥♦♥♥étté t s♦♠♠ ♥té

αi ≥ 0, ∀i ∈ 1, . . . , R

R∑

i=1

αi = 1.

♠♦è sss s♣♣♦s q s trs ♦♥♥ α s st♥t ♥s ♥s♠♣① R s♦♠♠ts ❯♥ ♦♥séq♥ rt st q s ♣①trs r str♦♥t é♠♥t ♥s ♥ s♠♣① ♦♥t s s♦♠♠ts s♦♥t s R s♣trs s ♦♠♣♦sés ♣rs ①st ♥♦♠rss stt♦♥s ♦ù ♦♥ r♥♦♥tr s ♣é♥♦♠è♥s s♦♥ ♠t♣ ♠♦è ♣t ♦♥ êtr ♥♣♣r♦♣ré t êtr ♥ts♠♥t r♠♣é ♣r ♥ ♠♦è ♥♦♥♥ér ♦t ♠é♥s♠ ♠é♥ é♥ér

r = Ψ(α,M) + n


A

αi

ri

Ψ

?rj

R

r Pr♦è♠ éé♠♥tr ♣ré♠

Ψ ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♥♥ q é♥t s ♥trt♦♥s ♥tr s ♦♠♣♦s♥tss♣trs ♠tr M s♦s ♦♥tr♥ts

♦♠♠ strés ♥s r s ♠♦ès t r♣♦s♥t t♦s① sr ♥ tr♥s♦r♠t♦♥ s♣ ♥tré ♠♥s♦♥ A s trs♦♥♥ α ♥ s♣ s♦rt r♥ ♠♥s♦♥ R s ♦♥♥és ②♣rs♣trs r ♥s ♦♥t①t ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♣r♦è♠ st♠t♦♥ s♦♥♥s ♦♠♠ ♥ ♣r♦è♠ ♣ré♠ ❬♦♥♥ r ❪ rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♣ré♠ s à st♠r tr♥s♦r♠t♦♥ ♥rs q ♣r♠t♦t♥r α à ♣rtr r à ♣rtr s ♦♥♥és ♣♣r♥tss

ét♦ st♠t♦♥ ♣ré♠ tsé

tt st♦♥ ♣rés♥t ♥ r ♦r♥ sé sr ♣r♦è♠ ♣ré♠ ♣♦r é♠é♥ s♣rsé s ♦♥♥és ②♣rs♣trs ❱♦r r ♥ ♣r♠ttr ♠♦è ♠① r♣rés♥tr rt♥s ♣é♥♦♠è♥s ♠é♥ ♦♠♣①s♦♥ ♥srt ♠ét♦♦♦ ♥s ♦♥t①t s s♣s rt à ♥♦② r♣r♦s♥t ♥ t ♣ R

♦t H ♥ s♣ rt ♦♥t♦♥s à rs rés ψ é♥s sr R ts♦t 〈 ·, ·〉H ♣r♦t sr ss♦é à H ♥ s♣♣♦s ①st♥ ♥ ♦♥t♦♥♥ét♦♥ δr é♥ ♣r δr[ψ] = ψ(r) ♥ér ♣r r♣♣♦rt à ψ t ♦r♥é ♣♦rt♦t r R ♥ rt té♦rè♠ r♣rés♥tt♦♥ s③ ①st ♥ ♦♥t♦♥é♥ ♣♦st ♥q r 7→ κ(r, ·) ♥s H q stst ❬r♦♥s③♥ ❪

ψ(r′) = 〈ψ, κ(·, r′)〉H, ∀ψ ∈ H

♣♦r t♦t r′ ∈ R ❱♦r ❬r♦♥s③♥ ❪ ♣♦r ♥ ♥tr♦t♦♥ été ♥ r♠♣ç♥t ψ ♣r κ(·, r) ♥s ♦♥ ♦t♥t

κ(r, r′) = 〈κ(·, r), κ(·, r′)〉H

♣♦r t♦t r r′ ∈ R éqt♦♥ st à ♦r♥ tr♠ é♥érq ♥♦②

r♣r♦s♥t ♣♦r qr κ ♥ ♥♦t♥t ♣r Φ tr♥s♦r♠t♦♥ q ss♦

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠

♦♥t♦♥ ♥♦② κ(·, r) à q ♦♥♥é ♥tré r éqt♦♥ ♠♣q q

κ(r, r′) = 〈Φ(r),Φ(r′)〉H.

♥♦② é ♦♥ ♣r♦t sr t♦t ♣r éé♠♥ts R ♥tés ♥ss♣ H s♥s ♥ ♦♥♥ss♥ ①♣t Φ t H ♥s ♦♠♥ ♠♥ r♥♥ t éé st ♦♥♥ s♦s ♣♣t♦♥ st ♥♦② ♦♠♠stré ♥s r tr♥s♦r♠t♦♥ ♥rs rs s♣ A ♥ ♥trα ét♥t ♦♥♥é κ(·, r) H st ♥ tâ ss♥t ♠ét♦ st♠t♦♥ ♣ré♠ ♠s ♥ ÷r été ré♠♠♥t ♣r♦♣♦sé ♥s ❬♦♥♥ r ❪ s à é♥r ♥ tr♥s♦r♠t♦♥ q ♣résr s ♣r♦ts srs ♥s s♣ ♥tré A t ♥s s♣ ♦♥t♦♥s H t♥t ♦♥♥é r ♣r♠t ♦♥st♠r α à ♣rtr κ(·, r) st♦♥ s♥t st ♦♥sré à tt ♣♣r♦t à s♦♥ ♣♣t♦♥ é♠é♥ s♣rsé

é♠é♥ s♣rsé

t♥t ♦♥♥é ♥ ♥s♠ ♦♥♥és ♣♣r♥tss (α1, r1), . . . , (αn, rn)♦♥ s♦t st♠r ♣ré♠ α ♥ A t♦t éé♠♥t κ(·, r) H ♣♣r♦♣r♦♣♦sé ♦♠♣♦rt ① ét♣s ♦r ♣♣r♥tss tr♥s♦r♠t♦♥ ♥rs ♣s st♠t♦♥ ♣ré♠

t♣ ♣♣r♥tss tr♥s♦r♠t♦♥ ♥rs

Pr té♦rè♠ r♣rés♥tt♦♥ ❬ö♦♣ t ❪ ♦♥ ♣t ♠tr s♥stt♦♥s à s♣ ♥♥ré ♣r s n ♦♥t♦♥s ♥♦② κ(·, r1), . . . , κ(·, rn)♦♥♥tr♦♥s♥♦s s♠♥t sr ♥ s♦ss♣ ♥♥ré ♣r ℓ ♦♥t♦♥sà étr♠♥r ♥♦tés ψ1, . . . , ψℓ ℓ ≤ n ♦r♠

ψk =n∑

i=1

λki κ(·, ri), k = 1, . . . , ℓ.

A

αi

κ(·, ri)

ΨH

?κ(·, rj)

H

r Pr♦è♠ ♣ré♠

é♠é♥ s♣rsé

♦s ♦♥sér♦♥s é♠♥t ♦♣értr ♥②s C : H → Rℓ é♥ ♣r

Cϕ = [〈ϕ, ψ1〉H . . . 〈ϕ, ψℓ〉H]⊤.

st st ♠♣♦rt♥t ♥♦tr q k ♦♠♣♦s♥t r♣rés♥tt♦♥ t♦t éé♠♥t κ(·, r) H é♥ ♣r ♠ ψ1, . . . , ψℓ st ♦♥♥é ♣r ♣r♦t♦♥ sr ψk s♦t

〈κ(·, r), ψk〉H = ψk(r) =

n∑

i=1

λki κ(r, ri).

♦♥t♦♥ ♥♦② κ(·, r) q st ♠ r ♥s H st ♦♥ r♣rés♥té ♣r tr ♦♥r ℓ s♥t

ψr = [ψ1(r)ψ2(r) . . . ψℓ(r)]⊤.

♥ é♥r ♦♠♣èt♠♥t ♦♣értr ♥②s C ♥ st♠♥t s ♣r♠ètrs♥♦♥♥s λki à ♣rtr s ♦♥♥és ♣♣r♥tss (αi, ri) ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♦♥sérr rt♦♥ s♥t ♥tr s ♣r♦ts srs ♥s s♣ s ♦♥♥sA t ♥ s ♥♦tt♦♥ ♥s s♣ s ♦♥t♦♥s H ♣r♠étrés ♣rs ♣①trs

α⊤i αj = ψ

⊤riψrj + εij , ∀ i, j = 1, . . . , n

♦ù εij és♥ ♠♥q st♠♥t ♠♦è sss ♦t♦♥s q ♥② ♥ ♦♥tr♥t sr s ♦♥t♦♥s ♥②s ψk ♠s à ♣rt r ♦r♠ t ♦♥tr♥t st♠♥t ♦♥s ♠♥t♥♥t s ♣r♠ètrs λki ♥s s♦rt q r♥ ♠♣rq εij s♦t ♠♥♠♠ stàr

minψ1,...,ψℓ

1

2

n∑

i,j=1

(α⊤i αj −ψ⊤

riψrj )2 + η P (ψk, . . . , ψℓ)

♦ù P st ♥ ♦♥t♦♥ rérst♦♥ t η ♥ ♣r♠ètr ré tsé ♣♦r♦♥trôr ♦♠♣r♦♠s ♥tr st♠♥t s ♦♥♥és t rérst♦♥ s♦t♦♥ ♦s ♦♥s tsr ♣é♥st♦♥ ℓ2 é♥ ♣r

P (ψk, . . . , ψℓ) =

ℓ∑

k=1

‖ψk‖2H

♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ ♣t êtr réért s♦s ♦r♠ ♠tr

minL

1

2‖A−KL⊤LK‖2F + η tr(L⊤LK)

♦ù A t K s♦♥t s ♠trs r♠ ♦♥t s (i, j)è♠s ♥trés rs♣t♠♥té♥s ♣r α⊤

i αj t κ(ri, rj) t L ♠tr ♥tré (i, j) ♦♥♥é ♣r λij ♥♣r♥♥t éré ♦ût ♣r r♣♣♦rt à L⊤L ♣tôt q ♣r r♣♣♦rt à L ♥♦s♦t♥♦♥s

L⊤L =K−1(A− ηK−1)K−1

♥s q st ♥♦s ♠♦♥tr♦♥s q s L⊤L st ♥éssr ♣♦r r ♣ré

♠

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠

t♣ st♠t♦♥ ♣ré♠

♦♥sér♦♥s ♦r s ♥ ♦♥t♦♥ q♦♥q ϕ H ♦♥♥é q ♣tsérr ♦♠♠ st

ϕ =

ℓ∑

i=1

φi κ(·, ri) + ϕ⊥,

s ♦♥ts φi ét♥t ♥ ♦♥♥é ♣r♦è♠ t ϕ⊥ ♥ ♦♠♣é♠♥t ♦rt♦♦♥ à s♣ ♥♥ré ♣r s ♦♥t♦♥s κ(·, ri) k ♥tré r♣rés♥tt♦♥ ϕ st ♦♥ ♦♥♥é ♣r

〈ϕ, ψk〉H =n∑

i,j=1

φi λkj κ(ri, rj).

♦t ϕ r♣rés♥tt♦♥ ϕ ♣r ♦♣értr ♥②s C ♠♥♠st♦♥ r♥ rrr st♠♥t é♥ ♥s ♣r r♣♣♦rt à ♣ré♠α ét♥t ♦♥♥é ϕ ♥tr α⊤αi t ϕ⊤ψri ♣♦r i = 1, . . . , n ♦♥t ♣r♦è♠♦♣t♠st♦♥

α = argminα

1

2‖Λ⊤α−KL⊤

LKφ‖2

= argminα

1

2‖Λ⊤α− (A− ηK−1)φ‖2

s♦s ♦♥tr♥ts ♥♦♥♥étté t s♦♠♠ ♥té Λ st ♠tr ♦♥t i ♦♦♥♥ st tr αi t φ st tr ♦♥t i ♥tré st φi i = 1, . . . , n

♥ ♦♥sèr ♠♥t♥♥t s ♣rtr ♦ù ♦♥ r ♣ré♠ α ♦♥t♦♥s ♦r♠ κ(·, r) ♣r♦è♠ ♣♣r♥tss sss ♣r r♣♣♦rt à ♣ré♠ α κ(·, r) s r♠è♥ à

α = argminα

1

2‖Λ⊤α− (A− ηK−1)K−1ψr‖2

s♦s s ♦♥tr♥ts ♥♦♥♥étté t s♦♠♠ ♥té t♦♦rs ψr tr é♥ ♥s ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ ♦♥① ♣t êtr rés♦ ♣r ♠ét♦ ❬♥③ ♥ ❪ ♦ ♣r ❬♥ t ❪

ét♦♥ ♥♦②①

♦♥t♦♥ ♥♦② κ(·, r) ♥t s ♦srt♦♥s r ♥s ♥ s♣ à ♠♥s♦♥très éé ♦r ♥♥ H rtérs s♣ s s♦t♦♥s ♣♦r rt♦♥♥♦♥♥ér ♥tr s ♦♥♥és ♥tré t s ♦♥♥és s♦rts α t r s ①♠♣sssqs s♦♥t ♥♦② ss♥ κ(ri, rj) = exp

(−‖ri − ri‖2/2σ2

) σ r

r ♥ t s ♥♦②① ♣♦②♥♦♠① ♥♦♥♦♠♦è♥s κ(ri, rj) = (1 + r⊤i rj)q

q ∈ N∗ ♦s ♦♥s à ♣rés♥t ♣r♦♣♦sr qqs ♥♦②① s♣éqs t s tstr

♥s st♦♥ s♥t ♥ ♣rt ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♦♥♦r rt♠♥t s♥♦②① à ♣rtr s ♥♦r♠t♦♥s ①trts s ♦♥♥és tr ♣rt ♥♦s ♦♥s♣rés♥tr ♥ ♥♦② ♣rt♠♥t ♥ér q ♣r♦é s♦♥ té ♥s s ♣r♦è♠s é♠é♥ ♥♦♥♥ér s ♦♥♥és ②♣rs♣trs ❬♥ t ❪

ét♦♥ ♥♦②①

♦②① sés sr ♣♣r♥tss rété

♥s ❬♠ t ❪ t ♦♠♠ r♣rés♥té ♥s ♣tr ♣r♦è♠ ♣♣r♥tss rété st trté P ♣r♥♣ ♠s ♥ é♥ strtr s♦s♥t s ♦♥♥és ♣t êtr ♥sé ♦♠♠ ♥ ♠ét♦ rét♦♥ ♠♥s♦♥ ♥♦♥ ♥ér sé sr s ♥♦r♠t♦♥s ♦s ♦rt♠ ❬♦s ❪ ♦ ♥ st♥ é♦ésq ♦rt♠s♦♠♣ ❬ ♥♥♠ ❪ s t♥qs ♣♥t êtr tsés ♣♦r♦♥♦r s ♥♦②① q ♣résr♥t rt♥s rtérstqs strtr rété s♣ R q s ri ♣♣rt♥♥♥t ♥s s♣ H s κ(·, ri)

ttr ①♠♣ ♦♥ ♦♥sèr s ♥♦②① à s r κ(ri, rj) = f(‖ri−ri‖) f ∈ C∞ ❯♥ ♦♥t♦♥ ss♥t ♣♦r q tt ss ♥♦②① s♦t é♥♣♦st st ♠♦♥♦t♦♥ ♦♠♣èt ♦♥t♦♥ f q st é♥ ♦♠♠ st

(−1)k f (k)(r) ≥ 0, ∀r ≥ 0

♦ù f (k) és♥ k♠ éré f ❬r ♠ ❪ tsr st♥ ♥♥ dij = ‖ri− rj‖ f(·) ♦♥ ♣t tsr s st♥s ♦r♥s♣r s♦♠♣ tt ♣♣r♦ ♦♥sst à ♦♥strr ♥ r♣ ♥ s②♠étrqà ♥ rtèr k ♣s ♣r♦s ♦s♥s t ♣♣qr ♦rt♠ str♣♦r r ♣s ♦rt ♠♥ sr r♣ ♥tr q ♦♥♥é rs♠♥t ♠tr r♠K s♦ ♦♥strt t ♠♥èr ♥ ♥ r♥t êtré♥ ♣♦st tt té ♣t êtr sr♠♦♥té ♥ ts♥t q ♥♦ s♦♥♥és ♥s ♥ s♦ss♣ ♥ ♠♥s♦♥ ♦ù s ♦♥rs rêtss♦♥t ♠① ♣résrés ❯♥ tr♥t st ♦rr ♠trK s♦ à êtr é♥♣♦st ♥ ts♥t ♥ s ♣♣r♦s érts ♥s ❬♥♦③ ♦ ❪

♦②① ♣rt♠♥t ♥érs

♠♦è s♣♣♦s ♥ rt♦♥ ♥ér ♥tr s ♦♥ts ♦♥♥t s ♣①trs ①st t♦t♦s ♥♦♠rss stt♦♥s érts ♥s ♥♣réé♥t ♣tr ♦ù ♠♦è st ♥♣♣r♦♣ré t ♣t êtr r♠♣é ♣r ♥ ♠♦è ♥♦♥♥ér ♥s ❬♥ t ❪ s trs st♥t t ét♥t ♥ ♥♦②♣rt♠♥t ♥ér ♦♥stté ♥ ♦♠♣♦s♥t ♥ér ♣r♠étré ♣r ♠tr M s♣trs s ♦♠♣♦sés ♣rs t ♥ ♦♠♣♦s♥t ♥♦♥♥ér s♣♣♦sé♦♠r s ♠♥qs ♠♦è ♣♦r ♠♠r s ♣é♥♦♠è♥s ré①♦♥s ♠t♣s ♥♦♠rss ①♣ér♠♥tt♦♥s sr s ♦♥♥és s♠és t rés ♦♥t ♣r♠sstrr ①té t té tt ss ♠♦ès ♥s ♠ê♠ s♣rtq tt ét ♣♦r ♣r♦è♠ é♠é♥ ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠ ♥♦ssér♦♥s tsr s ♥♦②① ♦r♠

κ′(ri, rj) = (1− γ)r⊤i Σrj + γκ′(ri, rj)

κ′(ri, rj) ♥ ♥♦② r♣r♦s♥t Σ ♥ ♠tr s♠é♥ ♣♦st t γ ♥♣r♠ètr ♥tr [0, 1] tsé ♣♦r str ♥ ♦♠♣r♦♠s ♥tr s ♦♠♣♦s♥ts ♥érs t ♥♦♥♥érs ♠é♥ ♥s s ①♣ér♠♥tt♦♥s à sr

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠

♥♦s ♦♥s tsé ♥♦② Σ = (MM⊤)† s♦t

κ′(ri, rj) = (1− γ)r⊤i (MM⊤)†rj + γκ′(ri, rj)

♦ù (·)† és♥ ♦♣értr ♣s♦♥rs ♥ ♣t ♠♦♥trr q♥s ♣♦r γ = 0 ♥♦② sss ♦♥t à st♠tr ♠①♠♠ rs♠♥ ♥ ♣rés♥♥ sé♥r♦ ♠é♥ ♥ér

érst♦♥ s♣t

♦r♠t♦♥

st♦♥ ♣réé♥t été ♦♥sré à st♠t♦♥ s ♦♥♥s ♣r ♣♣r♥tss ♥ tr♥s♦r♠t♦♥ ♥rs ♣rés♥t ♥♦s s♦♥s à ♠é♦rr s réstts♥ ♥tér♥t ♦rrét♦♥ s♣t ♥tr s ♣①trs ♥s ♥ ♦s♥ ♣r♦è♠ été ♦ré ♥s ❬♦r t ❪ ♥s s ♥ér ♥ ♦t♥t ♥rérst♦♥ t②♣ rt♦♥ t♦t ❱ tt s♦t♦♥ été ét♥ ♣r♦è♠ é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♠ét♦s à ♥♦② ♥s ❬♥ t ❪♥♦t♠♠♥t ♥♦② ♣rt♠♥t ♥ér é♦qé ♣réé♠♠♥t ♥♦s♣t♦♥s ♣r♥♣ à ♠ét♦ ♣ré♠ é♦♣♣é ♥s ♣tr

♦t A ♠tr s trs ♦♥♥ stàr A = [α1, . . . ,αn] ♥ ♣r♥r ♥ ♦♥sért♦♥ s rt♦♥s ♥tr ♣①trs ♦s♥s ♣r♦è♠ é♠é♥ ♣t ♦rs êtr rés♦ ♥ ♠♥♠s♥t ♦♥t♦♥ ♦ût é♥ér s♥t♣r r♣♣♦rt à ♠tr A

J(A) = Jrr(A) + ν Js♣(A)

s♦s s ♦♥tr♥ts ♥♦♥♥étté ♠♣♦sés à q ♥tré A t s♦♠♠♥té ♠♣♦sé sr q ♦♦♥♥ A P♦r tr s ♥♦tt♦♥s s ①♦♥tr♥ts sr♦♥t ①♣r♠és ♣r

A 0

A⊤1R = 1N

♦♥t♦♥ Jrr(A) r♣rés♥t rrr ♠♦ést♦♥ t♥s q Js♣(A) st ♥tr♠ rérst♦♥ ♣♦r ♦rsr s♠t s ♦♥♥s ♣①trs♦s♥s ♣r♠ètr ♥♦♥♥ét ν ♦♥trô ♦♠♣r♦♠s ♥tr été ① ♦♥♥és t s s♠ts ♥tr ♣①trs

♥ ♣r♥r s rt♦♥s s♣ts ♥tr ♣①trs ♥ ♦♥sért♦♥ ♦♥t♦♥ rérst♦♥ s♥t st tsé

Js♣(A) =N∑

n=1

∑

m∈N (n)

‖αn −αm‖1

♦ù ‖ ·‖1 és♥ ♥♦r♠ ℓ1 ♥ tr t N (n) ♥s♠ s ♦s♥s ♣① n tr♠ rérst♦♥ ♦rs ♦♠♦é♥été s♣t s ♣①trs ♦s♥s

érst♦♥ s♣t

q rt êtr rtérsé ♣r s trs ♦♥♥ ♣r♦s s♥s ♥ rt♥ ♠étrq ♥s ♣rt é♥érté ♥s ♣tr ♥♦s ♠t♦♥s ♦s♥ ♣① n ♥ ♣r♥♥t s 4 ♣①s s ♣s ♣r♦s s♦t ♥①és ♣r n − 1 t n + 1

♦♥tïté ♥ n−w t n+w ♦♥tïté ♦♦♥♥ ♦s é♥ss♦♥s s ♠trs t (N×N)H← tH→ q ♥t ér♥ ♥tr q tr♦♥♥ t s♦♥ ♦s♥ t r♦t rs♣t♠♥t ♠ê♠ ♥♦s♥♦t♦♥s H

↑t H

↓s ♠trs ♥t ér♥ ♥tr s trs ♦♥♥

t r ♦s♥ t t s rs♣t♠♥t s ♥♦tt♦♥s ♦♥t♦♥ rérst♦♥ ♣t êtr réért s♦s ♦r♠ ♠tr ♥s

Js♣(A) = ‖AH‖1,1

H ♠tr(H←H→H↑

H↓

) t (N × 4N) t ‖ ‖1,1 s♦♠♠ s

♥♦r♠s ℓ1 s ♦♦♥♥s ♥ ♠tr ♥ rè q tt ♦♥t♦♥ rérst♦♥st ♦♥① ♠s ♥♦♥ ss q ♥ésst s ♦rt♠s ♦♣t♠st♦♥ ♣tés♥ ♦♥sér♥t à ♦s rrr ♠♦ést♦♥ t tr♠ rérst♦♥ ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ ♥t

minA

N∑

n=1

1

2‖Λ⊤αn − (A− ηK−1)K−1ψr‖2 + ν ‖AH‖1,1

s♦s ♦♥tr♥t A 0 t A⊤1R = 1N

♦ù ν ♦♥trô ♦♠♣r♦♠s ♥tr été ① ♦♥♥és t s s♠ts ♥tr ♣①trs Ps s♠♣♠♥t ♥♦s érr♦♥s A ∈ S+1 ♣♦r és♥r s ♦♥tr♥ts ♣♦stté t s♦♠♠ ♥té sr A

♦t♦♥

ê♠ s ♣r♦è♠ st ♦♥① ♥ ♣t êtr rés♦ ♠♥t ♥ rs♦♥ tr♠ rérst♦♥ ♥♦♥ ss ♥ r♠ér à t ♥♦♥é♥♥t ♥♦s réér♦♥s s♦s ♦r♠ éq♥t s♥t

minA∈S+1

N∑

n=1

1

2‖Λ⊤αn − (A− ηK−1)K−1ψr‖2 + ν ‖U‖1,1

s♦s ♦♥tr♥t V = A t U = V H

♦ù ① ♠trs U t V t ① ♦♥tr♥ts ♦♥t été ♥tr♦ts tt ♣♣r♦à rs sé♣rés été ♥t♠♥t ♣r♦♣♦sé ♥s ❬♦st♥ sr ❪ ♠tr U ♣r♠t é♦♣r ♦♥t♦♥ rérst♦♥ ♥♦♥ss ♣r♦è♠qrtq ♠tr V ♣r♠t r①r s ♥s ♥tr s ♣①trs♦♠♠ été ♥s ❬♦st♥ sr ❪ tt ♠ét♦ t r♠♥ st♣rtèr♠♥t ♣♦r r à ♥ r ss ♣r♦è♠s rérsés

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠

♣r ♥♦r♠ ℓ1 ♥ ♣♣q♥t r à ♦r♠t♦♥ s♥t st ♦t♥

A(k+1),V (k+1),U (k+1) =

argminA∈S+1,V ,U

N∑

n=1

1

2‖Λ⊤αn − (A− ηK−1)K−1ψr‖2

+ ν ‖U‖1,1 +ζ

2‖A− V −D(k)

1 ‖2F +ζ

2‖U − V H −D(k)

2 ‖2F

D(k+1)1 =D

(k)1 +

(V (k+1) −A(k+1)

)

D(k+1)2 =D

(k)2 +

(V (k+1)H −U (k+1)

)

♦ù ‖·‖2F és♥ ♥♦r♠ r♦♥s t ζ ♥ ♣r♠ètr ♣♦st Pr q ♦♥ st♣r♥ à sé♣rr rt♥s ♦♠♣♦s♥ts ♦♥t♦♥ ♦ût ♦♥ st à ♣rés♥t ♥♠sr ♠♥♠sr ♠♥t ♥ ♠♥♠s♥t tért♠♥t ♣r r♣♣♦rtà A V t U s tr♦s ét♣s ♦rrs♣♦♥♥ts s♦♥t s s♥ts

t♣ ♣t♠st♦♥ ♣r r♣♣♦rt à A

♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ s ♠t à

A(k+1) = argminA∈S+1

N∑

n=1

1

2

(‖Λ⊤αn − (A− ηK−1)K−1ψr‖2 + ζ‖αn − ξ(k)n ‖2

)

♦ù ξ(k)n = V(k)n −D(k)

1,n V n t D1,n és♥♥t rs♣t♠♥t n ♦♦♥♥ Vt D1 ♥ ♣t ♦srr q ♣r♦è♠ ♣t êtr é♦♠♣♦sé ♥ s♦s♣r♦è♠s♥ ♠♣q♥t ♥ tr ♦♥♥ αn rést tst♦♥ ♠tr V ♥s ♦r♠t♦♥ ♦♥sér♦♥s ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ ♦

α(k+1)n = argmin

αn

1

2‖Λ⊤αn − (A− ηK−1)K−1ψr‖2 + ζ‖αn − ξ(k)n ‖2

s♦s ♦♥tr♥t αn 0

α⊤n 1R = 1

st♠t♦♥ αn st ♥ ♣r♦è♠ qrtq ♦♥tr♥ts q ♣t êtr rés♦sé♠♥t ♣r♦sss ♦t êtr ré♣été ♣♦r n = 1, . . . , N ♥ ♦t♥r A(k+1) s♠trs A(k+1) t V (k+1) ♦♥t st ♣rés♥té ♣rès ♣r♠tt♥t ér ♠tr D(k+1)

1 ♥ ts♥t éqt♦♥

t♣ ♣t♠st♦♥ ♣r r♣♣♦rt à V

♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ s tr♦ rét à

V (k+1) = argminV

‖A(k) − V −D(k)1 ‖2F + ‖U (k) − V H −D(k)

2 ‖2F


♥♥t♦♥ éré ♣r r♣♣♦rt à V ♦♥t à

(A(k) − V −D(k)

1

)−(U (k) − V H −D(k)

2

)H⊤ = 0

♦♥t s♦t♦♥ st ♦rs ♦♥♥é ♣r

V (k+1) =(A(k) −D(k)

1 + (U (k) −D(k)2 )H⊤

)(I +HH⊤)−1

t♣ ♣t♠st♦♥ ♣r r♣♣♦rt à U

♥♥ ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ q rst à ♦♥sérr st s♥t

U (k+1) = argminU

ν‖U‖1,1 +ζ

2‖U − V (k)H −D(k)

2 ‖2F

s♦t♦♥ ♣t êtr ①♣r♠é ♣r ♦♥t♦♥ s s♦♣ s♦t ♠r♥ s♦t

U (k+1) = rs

(V (k)H +D

(k)2 ,

σ

ζ

)

♦ù rs(·, τ) és♥ ♣♣t♦♥ ♦♠♣♦s♥t ♣r ♦♠♣♦s♥t ♦♥t♦♥ s s♦♣ é♥ ♥s

rs(x, τ) = s♥(x) max(|x| − τ, 0)

♥ ♦♥s♦♥ ♣r♦è♠ st rés♦ ♥ ♣♣q♥t ♠♥èr tért t ♦ù ♦♣t♠st♦♥ ♣t êtr té ♣r s ét♣s à s tért♦♥s s ♣♦rs♥t sqà q♥ rtèr rrêt s♦t stst ♥ ♣t♠♦♥trr q s ♣r♦è♠ ♥ s♦t♦♥ A∗ q q s♦t ζ > 0 ♦rs séq♥ é♥éré A(k) ♦♥r rs ♦♣t♠♠ A∗ ❬st♥ rtss ❪


♥s rérst♦♥ s♣t

♥s tt st♦♥ ♦♥ ♣rés♥t ♣srs tsts ♥ r s ♦rt♠s♥t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t rérté s♣t s sè♥s tst ♦♥séréss♦♥t s♦t s②♥tétqs s♦t rés

♦♥♥s ♥♦r♠s sr s♠♣①

♦s ♦♥s é♥éré rtrr♠♥t s trs ♦♥♥ s♦♥ ♥ strt♦♥ ♥♦r♠ sr s♠♣① é♥ ♣r s ♦♥tr♥ts ♣s s ♦♥s tsés♣♦r s②♥tétsr ♥ ♠ 50×50 ♣①trs à ♣rtr s♣trs ①trts ♦tèq ❱ s s♣trs s ♦♠♣♦s♥t ♥s ♦♥tës ♦r♥t ♣ s ♦♥rs ♦♥ 0, 3951 à 2, 56 ♠r♦♠ètrs s tr♦s ♠♦ès

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠

♦♥sérés ét♥t ♠♦è ♥ér ♠♦è ♥ér é♥érsé γij = 1t ♠♦è ♣♦st ♥♦♥♥ér é♥ ♣r ❬tt♥ r♥♥ ❪

r = (Mα)ξ + n

♦ù (·)ξ és♥ r ①♣♦♥♥t ξ ♣♣qé à q ♥tré tr ♥r♠♥t ♣r♠ètr ξ été ①é à 0, 7 s ♠s ♦♥t été ♦rr♦♠♣s ♥rt ♥ ss♥ t s♦♥ ① ♥① = 30 t = 15

P♦r ♥ ♠r ♦♠♣rs♦♥ s ♣r♦r♠♥s ♥♦s ♦♥s ♦♥séré s ♦rt♠s s♥ts q ♥♦♣èr♥t ♣s à ♣rtr ♥ s ♣♣r♥tss ♥ ♥♦② ss♥ ♥ ♣ss♥t σ = 4 t ♦rt♠ ②és♥éé ♠♦è ♥ér é♥érsé ② ❬♠ t ❪

s ♦rt♠s ♦♥t été ♦♠♣rés à s ♠ét♦s ♥ésst♥t ♦♥♥ss♥♥ s ♣♣r♥tss ♦♥t ♣rés♥té ♣réé♠♠♥t

ét♦ à ♦♥t♦♥s rs s t ❬t♠♥♥ t ❪ tt ♠ét♦ r♣rés♥t ♦♥t♦♥ ♥rs ♥♦♥♥ér ♥ ts♥t ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ér ♦♥t♦♥s rs s s s rs ♠♦②♥♥ss ♦♥t♦♥s s ♦ï♥♥t s ♦♥♥és ♣♣r♥tss s ♦♥ts s♦♥t st♠és à ♣rtr s ♦♥♥és ♣♣r♥tss ♥♦♠r ♦♥t♦♥s tsés st ♠té ♥ ts♥t ♥ ♠ét♦ t②♣ ♣r♠tétr ♥ ♦♠♣r♦♠s ♥tr s ♣r♦r♠♥s ♦t♥s t ♦ût t♦r

ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣srs ♦① ♥♦②① r♦s t②♣s ♥♦②① ♦♥t été ♦♥sérés ♥♦② ♣♦②♥♦♠ ♦♠♦è♥ ré d = 2 ♥♦② ss♥ rr ♥ σ = 4 t ♥♥ ♥♦② ♣rt♠♥t♥ér γ = 0.1 t ♥ ♦♠♣♦s♥t ♥♦♥♥ér ss♥♥ ♣r♠ètrσ = 4 tr♠ rérst♦♥ η été ①é à η = 10−3 s ♥♦②① sés sr ♣♣r♥tss rétés s♦♠♣ ét♥t ♣♣r♦♣ré ♣♦r s ♦♥♥ésstrtrés s♦♥ ♥ rété ♥♦s ♦♥s ♦s ♥ résrr s ♣♦r s♦♥♥és ssr♦ ♣rés♥tés ♥s ♣tr ♣réé♥t

t s ♣♣r♥tss été ①é à T = 200 rrr qrtq r♦♥strt♦♥

=

√√√√N∑

i=1

‖ai − ai‖2

♥tr s ♦♥♥s st♠és t s ♦♥♥s rés été é ♣♦r q♥trté s ♦rt♠s ① sè♥s ♦♥sttés R = 3 t R = 5 ♦♥t été♦♥sérés s réstts s♦♥t ♣rés♥tés ♥s t t t

♦s ♣♦♦♥s ♦♥sttr q sst éré ♣♦r é♠é♥ s ♦♥♥és ♥ér♠♥t ♦♠♥és ♣sq ♠♦è ♠é♥ ♦rrs♣♦♥ ♠♦è é♠é♥ ♦rt♠ ②és♥ ss ♠♦è ♥ér é♥érsé sst éré♣r♦r♠♥t ♦rsq été ♦♥r♦♥té ① ♠♦ès ♠é♥ ♥ér t ♥ér♠s ♥ à ♥ ♠♦è ♠é♥ ♣♦st ♥♦♥♥ér s à très s ♦rt♠s sés sr s ♦♥♥és ♣♣r♥tss très ♦♥♥s ♣r♦r♠♥s t ♥ r♦stss sàs rt ♦♥t été ♦srés ♠ét♦ s ♠♥é à ♦♥s réstts ♠s st ♣ ① sàs s ♥♦♥♥értés q


è♥ tr♦s ♠tér① ♦♠♣rs♦♥ s

30 15 ♥ér ♥ér P ♥ér ♥ér P

②

Pré♠ ♣♦②♥♦♠ Pré♠ ss♥

Pré♠ ♣rt ♥ér

è♥ ♥q ♠tér① ♦♠♣rs♦♥ s

30 15 ♥ér ♥ér P ♥ér ♥ér P

②

Pré♠ ♣♦②♥♦♠ Pré♠ ss♥

Pré♠♣rt ♥ér

①♣ér♠♥ttr ♦rt ♣♦♦r ♦sr ♣♣r♦ ♣r♦♣♦sé s♣♦s tt①té t♦t t sèr ♥tt♠♥t ♦ts ♥ t♠♣s

♦♥♥és ssr♦

♦rt♠ ♣r♦♣♦sé été ♠s ♥ ÷r sr s ♦♥♥és rt♠♥t é♥éréss♦♥ rété ssr♦ ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♥♦② ♣rt♠♥t ♥ér ss♠♥t ♣♦r ♦♠♣♦s♥t ♥♦♥♥ér ♥ ♥♦② ss♥ rr σ = 4 t♥ ♥♦② ♦♥strt à ♣rtr s st♥s é♦ésqs ♦♥t été ♦♥sérés

♦s ♣♦♦♥s r ♥ ♦♠♣rs♦♥ r♣ s ♦rt♠s ts♥t ♦ ♥♦♥ ♥♦② sé sr ♣♣r♥tss ♥ ♥s♠ ♦♥♥és rts rétéssr♦ ♦♠♠ ért ♥s ♣tr ♣réé♥t r str q r♥r ♦♥t à ♠rs ♣r♦r♠♥s ♠ê♠ ♣♦r ♥ ♣r♠ètr ♥♦♥♥érté ♠♣♦rt♥t

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

σ

RM

SE

Nongeo KernelGeoKernel

r é♠é♥ s ♦♥♥és ssr♦ ♣r ♣ré♠

♦♥♥és rés

sè♥ ♦♥séré ♣♦r tt ①♣ér♥ st qs ♣r ❱ sr ♦t st ♦♠♣♦sé L = 189 ♥s s♣trs ❯♥ s♦s♠ t50× 50 ♣①s été ♦s s ♦♠♣♦sés ♣rs ♥♦♠r tr♦s éétt♦♥ s♦ ♦♥t été ①trts à ♦rt♠ ❱ r ♠♦♥tr réstt♦t♥ ♦rt♠ ♣ré♠ à ♥♦② ♣rt♠♥t ♥ér ♥ ts♥ts ♠ê♠s ♣r♠ètrs q ♥s st♦♥ ♣réé♥t r♣ s ♦♥♥s♦t♥s st♥ r♠♥t s tr♦s ♦♠♣♦s♥ts ♣rés♥ts ♥s ♠

♣♣t♦♥ rérst♦♥ s♣t

① ♠s ♦♥sttés ♣①trs s♣t♠♥t ♦rréés ♦♥t été é♥érés♣♦r s ①♣ér♥s s♥ts s s♣trs s ♦♠♣♦sés ♣rs tsés ♦♥t été trés sr ♥s ♦tèq ❱

♣r♠r ♦♥♥és ♦♠♣♦sés 50×50 ♣①trs st é♥éréà ♥q s♥trs s ♣①trs ♦♥ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♠é♥s ♦♠♣♦sés ♣rs s♦♥ s ♣r♦♣♦rt♦♥s [0.1149, 0.0741, 0.2003, 0.2055, 0.4051]⊤ ♣r♠èr ♥ r ♦r♥t s rts ♦♥♥ ♥ érté trr♥ s ♦♠♣♦sés ♣rs ♦♥sérés s ♦♥♥és rét♥ ♦♥t été é♥érés à ♣rtr ♥♠♦è ♥ér ♦r♠

ri =Mαi +R∑

p=1

R∑

q=p+1

αi,p αi,qmp ⊗mq + vi

♦ù ⊗ és♥ ♣r♦t ♠r ♥s s ♣r♦♣♦rt♦♥s ♦r♥s ♣r s rts


r é♠é♥ s ♦♥♥és ♦t ♣r ♣ré♠

♦♥♥ é♦qés sss s ♦srt♦♥s ♦♥t été ♦rr♦♠♣s ♣r ♥ rt♥ ss♥ t é à

①è♠ ♦♥♥és ♥♦té t ♦♥t♥♥t 75 × 75 ♣①s ♠①ts été é♥éré ♥ ts♥t 5 s♥trs s♣trs réér♥ s rts ♦♥♥s ♦♠♣♦sés ♣rs ♦♥t été é♥érés ♠ê♠ ♠♥èr q ♣♦r ♠ ♥s ❬♦r t ❪ ♣r♠èr ♥ tt r ♦♥stt érté trr♥ s ♦♥♥s s 5 ♠tér① s ③♦♥s s♣t♠♥t ♦♠♦è♥s s tr♥st♦♥s ♥tts ♣♥t êtr r♠♥t ♦srés r s s rts♦♥♥ ♥ ♦♥♥és ②♣rs♣trs été é♥éré ♠♦è ♥ér r♣♣é sss ♣♣qé ① 5 s♥trs s♣trs réér♥ sè♥ été ♦rr♦♠♣ ♣r ♥ rt ♥ ss♥ t ♥ 20

s ♦rt♠s t s♥s rérst♦♥ s♣t ♦♥t été tstés ♣♦r ♦♠♣rrrs ♣r♦r♠♥s t é♠♦♥trr ♥térêt ♦tr t②♣ ♥♦r♠t♦♥ ♥ s réér♥ ♠ét♦ été ♦♥séré ♥s s ①♣ér♥s s ♣r♠ètrs ré s ♦rt♠s ♦♥t été ①és à ♣rtr ①♣ér♥s ♣ré♠♥rs sr s♦♥♥és ♥é♣♥♥ts ♥ s♠♣ rr sr s rs é♥s ♣rès

ét♦ ♥ér ❬♥③ ♥ ❪ s ♣r♠ètrs rérst♦♥ λ ♥s♠ 0.0001, 0.001, 0.01, 0.1 ♦♥t été tstés

♦rt♠ ♣ré♠ s♥s rérst♦♥ s♣t ℓ1 ♥♦② ♣rt♠♥t ♥ér γ = 0, 1 été rt♥ ♥ ♥♦② ss♥ rr ♥ σ = 4 ♥♦♠r ♦♥♥és ♣♣r♥tss été rtrr♠♥t①é à T = 200 t ♣r♠ètr rérst♦♥ η à 10−3

♦rt♠ ♣ré♠ rérst♦♥ s♣t ℓ1 s ♠ê♠s ♣r

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠

0

0.5

1

Real abundances

RMSE = 0.0454

RMSE = 0.0546

RMSE = 0.1426

r é♠é♥ ♥♦♥ ♥ér rérst♦♥ s♣t ♣♦r t♥ s rts ♦♥♥ ♦r♥s ♠ét♦ ♣ré♠ s♥s rérst♦♥s♣t ♠ét♦ ♣ré♠ rérst♦♥ s♣t

♠ètrs q sss ♦♥t été ♦ss ♦♥r♥♥t s ♣r♠ètrs rérst♦♥ s♣t ζ t ν s ♦♥t été ①és ♦♠♠ ♥qé ♣rès

♠ s tsts ♦♥t ♦♥t à λ = 0, 01 ♣♦r t ζ = 1 ν = 0, 1

♣♦r ♦rt♠ ♣r♦♣♦sé ♠ s tsts ♣ré♠♥rs ♦♥t ♣r rs♠♥é à λ = 0, 01 ♣♦r ζ = 20 ν = 0, 5 ♣♦r ♦rt♠ ♣r♦♣♦sé

s ♦♥♥s st♠és s♦♥t ♣rés♥tés ♥s s rs rrr r♦♥strt♦♥ st ♣rés♥té ♥s t P♦r s ① ♠s ♦♥ ♣t ♦♥sttrq ♦rt♠ ♥ ♣s ♠♥é à s ♣r♦r♠♥s stss♥ts ♥ ♥♦t ♥♠é♦rt♦♥ s ♣r♦r♠♥s ♣♦r ♠ét♦ ♣ré♠ ♠ê♠ s s rrrsst♠t♦♥ ♠sq♥t ♣rt♠♥t s strtrs s♣ts ♥♥ ♠ét♦ s♣t♠♥t rérsé ♣rés♥t ♥ rrr r♦♥strt♦♥ ♣s t rt♦♥♥ ♣s r tst♦♥ ♥♦r♠t♦♥ s♣t ♣♣♦rt é♠♠♥ts ♥ts ♣♦r ♣r♦sss é♠é♥ ♥♦♥ ♥ér


r é♠é♥ ♥♦♥ ♥ér rérst♦♥ s♣t ♣♦r t♥ s rts ♦♥♥ ♦r♥s ♠ét♦ ♣ré♠ s♥s rérst♦♥s♣t ♠ét♦ ♣ré♠ rérst♦♥ s♣t

♦♠♣rs♦♥ s s ♦rt♠s ♣♦r t

♦rt♠s

Pré♠ s♥s ré s♣t Pré♠ ré s♣t

♣tr é♠é♥ ♥♦♥♥ér ♣r ♥ ♠ét♦ ♣ré♠

♦♥s♦♥

♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s ♣rés♥té ♥ ♦rt♠ é♠é♥ ②♣rs♣tr à ♣r♥♣ ♣ré♠ ♥ ♥♦♠r ♦♥♥és ♣♣r♥tssss♥t t ♦rt♠ ♠♦♥tré q st ♣t à st♠r ♦♥t♦♥ ♠é♥♥♦♥♥ér s ♠tér① ♦s ♦♥s é♠♥t ♥tr♦t ♥s tt ♠ét♦ ♥rérst♦♥ sé sr ♥♦r♠t♦♥ s♣t tt ♠♦t♦♥ ♥♦s ♣r♠s ♠é♦rr ♦♥sér♠♥t qté s ♠s r♦♥strts

♦♥s♦♥

♥s tt tès ♥♦s ♦♥s ♣rés♥té s s♣ts t♥♦♦ ♠r ②♣rs♣tr ♥ ♦♥♥tr♥t sr é é♠① ♥♦♥♥ér P♦r tttâ ♥♦s ♦♥s ♣r♦♣♦sé tr♦s s♦t♦♥s ♣r♠èr ♦♥sst à ♥térr s ♥ts ♣♣r♥tss rétés ♥s s ♠ét♦s é♠① ssq ♣♦r♦♥♦r rs rs♦♥s ♥♦♥♥érs s réstts s ♦♥♥és é♥érés sr ♥rété ♥ ♦♥♥ ssr♦ ♦♥♥ s réstts ♣r♦♠ttrs s ♠ét♦s♦♥t♦♥♥♥t ♦♣ ♠① ♠♥tt♦♥ ♥♦♥♥érté ♣♥♥ts♥ ♦♥tr♥t ♥♦♥♥étté ♥s s ♠ét♦s rst ♥ qst♦♥ ♦rt ♣♦r s ♠é♦rt♦♥s à tr♦r ①è♠ ♣r♦♣♦st♦♥ s à tsr ♠ét♦ ♣ré♠ rérss♦♥ ♠tr ♥♦② ♣♦r st♠r ♥tr♥s♦r♠t♦♥ ♥rs s♣ ♦♥♥és ♥trés s ♣①s rs s♣ s♦♥♥s ♦t s ♥♦r♠t♦♥s s♣ts s♦s ♦r♠ rt♦♥ t♦t sté♠♥t ♥tr♦t ♣♦r r♥r ♦rt♠ ♣s r♦st rt é♥♠♦♥s ♣r♦è♠ ♦t♥t♦♥ s ♦♥♥és rété trr♥ ♥éssrs ♣♦r ét♣ ♣♣r♥tss ♠t ♣♣t♦♥ t②♣ ♦rt♠s

♦r♣

❬r♠s♥ ♥s♥ ❪ r♠s♥ t ♥s♥ ♥♣t s♣ r

r③t♦♥ st③s ♣r♠s ♦r r♥ P ♥♦s♥ ♥ r♥♥♦r ♥ Pr♦ss♥ P ♥tr♥t♦♥ ❲♦rs♦♣ ♦♥♦ ♣s té ♥ ♣

❬③♠♥ t ❪ ③♠♥ rr♠♥ t ♦③♦♥♦r ♦rt ♦♥t♦♥s ♦ t ♣♦t♥t ♥t♦♥ ♠t♦ ♥ ♣ttr♥ r♦♥t♦♥ r♥♥ ♥t♦♠t♦♥ ♥ ♠♦t ♦♥tr♦ té ♥ ♣

❬t♠♥♥ t ❪ ❨ t♠♥♥ ♦♦♥ ♥ t ❨ ♦r♥rt♦♥♥r ♥♠①♥ ♦ ②♣rs♣tr ♠s s♥ r ss ♥t♦♥s ♥

♦rt♦♦♥ st sqrs ♥ Pr♦ ♥t ♦s ♠♦t ♥s ②♠♣ ❱♥♦r ♥ ② té ♥ ♣

❬t♠♥♥ t ❪ ❨ t♠♥♥ ♠ ♦♦♥ t ❨ ♦r♥rt ♣♦②♥♦♠ ♣♦st ♥♦♥♥r ♠♦ ♦r ②♣rs♣tr ♠ ♥♠①♥ ♥ Pr♦ ❱♥♦r ♥ ② té ♥ ♣s t

❬t♠♥♥ t ❪ ❨ t♠♥♥ ♠ ♦♦♥ t ❨ ♦r♥rt ♣rs ♦♥♥r ♣tr ❯♥♠①♥ ❯s♥ P♦st♥♦♥♥r ①♥ ♦

♦r ②♣rs♣tr ♠r② ♠ Pr♦ss♥ r♥st♦♥s ♦♥ ♦ ♥♦ ♣s té ♥ ♣

❬rs t ❪ P rs ♥ t ♣r♦ ♦♥♥t♥ t ♦t♦s♠♣

♥ ♣r♠ ♣r♦♠s ♥ r♥ ♠t♦s ♥ Pr♦ ❱P té♥ ♣

❬r♦♥s③♥ ❪ r♦♥s③♥ ♦r② ♦ r♣r♦♥ r♥s r♥st♦♥s ♦ t♠r♥ t♠t ♦t② ♦ té ♥ ♣s t

❬♦♥ t ❪ ♦♥ t r♦ t s ♦ t ❯ ♣♣♦rtt♥q ❯♥rstté ②♦♥ té ♥ ♣

❬♥tss♦♥ t ❪ ♥tss♦♥ P ♥ t rs♦② r

♥t♦r ♣♣r♦s rss sttst ♠t♦s ♥ sst♦♥ ♦ ♠ts♦r

r♠♦t s♥s♥ t r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥♦ ♣s té ♥ ♣

❬♥tss♦♥ t ❪ ♥tss♦♥ Psrs t ♠s♦♥ ss

t♦♥ ♥ tr ①trt♦♥ ♦r r♠♦t s♥s♥ ♠s r♦♠ r♥ rs

s ♦♥ ♠♦r♣♦♦ tr♥s♦r♠t♦♥s r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♣s té ♥ ♣

❬♥♦ t ❪ ❨ ♥♦ P♠♥t P ❱♥♥t ♦①t ♠t t♦s♠♣ ①t♥s♦♥s ♦r s♦♠♣ ♥♠♣s

♥ ♣tr str♥ ♥ Pr♦ P té ♥ ♣s t

♦r♣

❬r♠♥ t ❪ r♠♥ r rstr♦♠ r♥st ♥♥ t ♥t♥t♦♥ sttst ♣♣r♦ t♦ ♥t②♥ ♥♠♠rs ♥

②♣rs♣tr ♠s r♥s ♦s ♠♦t ♥s♥ ♦ ♣s té ♥ ♣s t

❬r♥st♥ t ❪ r♥st♥ ❱ ♥♦r t ♥♥♠ r♣ ♣♣r♦①♠t♦♥s t♦ ♦ss ♦♥ ♠ ♥♦s té ♥ ♣

❬♥ t ❪ ♥ ♥ss♦t ♦t t ❩ ♥♣ ♠♣r t♦♠

t st♠t♦♥ ♦ t ♥♠r ♦ ♥♠♠rs ♥ ②♣rs♣tr ♠s té ♥ ♣

❬♦ss s♠♥t♦ ❪ ♦ss t P s♠♥t♦ ②♣rs♣tr ss♣ ♥tt♦♥ r♥st♦♥s ♦s♥ ♥ ♠♦t♥s♥ ♦ ♣s té ♥ ♣s t

❬♦ss t ❪ ♦ss ♦ss P③ ♦♦♥ Pr♥t P r t ♥ss♦t ②♣rs♣tr ❯♥

♠①♥ r ♦♠tr ttst ♥ ♣rs rss♦♥s ♣

♣r♦s té ♥ ♣

❬r t ❪ r ❲st♦♥ t ö♦♣ r♥♥ t♦ ♥ ♣r♠s♦♠ ♣s Prss ♠r té ♥♣

❬♦r♠♥ ❪ ❲ ♦r♠♥ t♦♠t s♣tr ♥♠①♥ ♦ ❱ t

s♥ ♦♥① ♦♠tr② ♦♥♣ts ♥ Pr♦ ❱ ♦rs♦♣ ♦♠ ♣s té ♥ ♣

❬♦♥r ❪ ♦♥r r♠♦♥ ♥②ss ♥ t t♦r② ♦ ♣r♦t② ❯♥rst② ♦ ♦r♥ Prss té ♥ ♣

❬♦sr t ❪ ♦sr ②♦♥ t ❱ ❱♣♥ tr♥♥ ♦rt♠ ♦r ♦♣t♠

♠r♥ ssrs ♥ Pr♦ ♦ t t ♥♥ ❲♦rs♦♣ ♦♥ ♦♠♣tt♦♥r♥♥ ♦r② ♣s té ♥ ♣s t

❬r③③♦♥ t ❪ r③③♦♥ t r♦♥♥ ♥♦ tr♥st

❱ ♦r s♠s♣rs sst♦♥ ♦ r♠♦ts♥s♥ ♠s r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ r♠♦t s♥s♥ ♦ ♣s té ♥ ♣

❬♠♣s❱s r③③♦♥ ❪ ♠♣s❱s t r③③♦♥ r♥s ♠

t♦s ♦r ②♣rs♣tr ♠ sst♦♥ r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♥♦ ♣s té ♥ ♣

❬♥ ❪ ♥ t ♥trr♥ ♥ ♦sst Pr♥

♣ ♦♠♣♦♥♥ts ♥②ss r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ r♠♦t s♥s♥♦ ♣s té ♥ ♣

❬♥ t ❪ ♥ ❲ ❲ t ❨ ②♥ ♥ r♦♥

♠t♦ ♦r s♠♣①s ♥♠♠r ①trt♦♥ ♦rt♠ r♥s

♦r♣

t♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♥♦ ♣s té ♥ ♣s t

❬♥ t ❪ ♥ ❲ ❳♦♥ ❲ ❲ t ♥ ♥r s♣tr ♠①tr ♥②sss ♣♣r♦s t♦ st♠t♦♥ ♦ rt

♠♥s♦♥t② ♥ ②♣rs♣tr ♠r② ♦ ♥♦ ♣♣ ♦

r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♣s té ♥ ♣s t

❬♥ t ❪ ♥ r r♠③ t P ♦♥♥ ♦♥♥t st♥qr ♦rt♠ r♥st♦♥s ♦♥ ♥ Pr♦ss♥♦ ♥♦ ♣s ♥♦ té ♥ ♣

❬♥ t ❪ ♥ r t P ♦♥♥ ♦♥♥r ♥♠①♥ ♦ ②♣r

s♣tr t s ♦♥ ♥r♠①tr♥♦♥♥rtt♦♥ ♠♦ r♥st♦♥s ♦♥ s♥ ♣r♦ss♥ té ♥ ♣s t

❬♥ t ❪ ♥ r t P ♦♥♥ ♦♥♥r ❯♥♠①♥ ♦ ②

♣rs♣tr t s ♦♥ ♥r①tr♦♥♥rtt♦♥ ♦ r♥st♦♥s ♦♥ ♥ Pr♦ss♥ ♦ ♥♦ ♣s ♥ té ♥ ♣

❬♥ t ❪ ♥ ② t t♥ r♠♦r

t♦ st♠t ♦rst ♣r♠trs r♦♠ r tr♥sts r ♠r② ♥

♠♥ r♥♥ s st② ♥ ♥ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥♦ ♣♣ rt srt♦♥ ♥ ♦♥♦r♠t♦♥ ♦ ♣s té ♥ ♣

❬③♥ t ❪ ③♥ r♦s t P③ r♣s ♣r♦ss♥ ♥t♠♣♠♥tt♦♥ ♦ P ♦r ②♣rs♣tr ♠ ♦♠♣rss♦♥ ♦r♥♦ ♣♣ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♥♦ ♣s té ♥ ♣

❬♦s t ❪ ♦s P r ❲s♦♥ t ❩r ❯s♥ ♣②sss ♠

r♦s♦♣ ♥ ♠r♦s♦♣ ♠①tr ♠♦s ♦r ②♣rs♣tr ♣① ♥♠①♥♦rt♠s ♥ ♥♦♦s ♦r ts♣tr ②♣rs♣tr ♥ ❯trs♣tr ♠r② ❳❱ ♦ ♣s té ♥♣

❬♦r♥t rt ❪ ♦r♥t t rt t♦s ♦ ♠t♠t ♣②ss ♥trs♥ té ♥ ♣s t

❬♦① ♦① ❪ ♦① t ♦① t♠♥s♦♥ ♥ ♣♠♥♥ ♦♥♦♥ té ♥ ♣s t

❬rst♥♥ ❪ rst♥♥ ♣♣♦rt t♦r ♥ r♥ ♠♥s ♣♣♦rtt♥q t♦r t té ♥ ♣

❬r ♠ ❪ r t ♠ ♥ t ♠t♠t ♦♥t♦♥s

♦ r♥♥ t♥ ♦ t ♠r♥ t♠t ♦t② ♦ ♣s té ♥ ♣s t

♦r♣

❬ ♥♥♠ ❪ ❱ t ♥♥♠ ♦ ♦♠tr r♠♦r ♦r ♥♦♥♥r ♠♥s♦♥t② rt♦♥ ♣s Prss té ♥ ♣s t

❬str ❪ ❲ str ♥♦t ♦♥ t♦ ♣r♦♠s ♥ ♦♥♥①♦♥ t r♣s♠rs t♠t ♣s té ♥ ♣

❬♦♦♥ t ❪ ♦♦♥ ♦ss♦ ♦♦♥ ❨ ♦r♥rt t r♦ ♦♥t ②s♥ ♥♠♠r ①trt♦♥ ♥ ♥r ♥♠①♥ ♦r ②

♣rs♣tr ♠r② r♥st♦♥s ♦♥ ♥ Pr♦ss♥ ♦ ♥♦ ♣s té ♥ ♣s t

❬♦♣♦ t ❪ ♦♣♦ ❩♦rt ❱ P③ t P ♠ ❯♥♠①♥♣r♦r t♦ s♣rs sst♦♥ ♦ ②♣rs♣tr ♠s ♦s♥♥ ♠♦t ♥s♥ ttrs ♦ ♣s té ♥ ♣

❬♦♣♦ t ❪ ♦♣♦ P③ t P ♠ ♥trt♦♥ ♦ ss

t♦♥ ♥ s♣tr ♥♠①♥ ②rr♥♥ ❲♦rs♦♣ ♦♥ ♠♦t ♥s♥ té ♥ ♣

❬ P③ ❪ t P③ ♥t ♥s ♥ ②♣rs♣tr t ♥②ss t♦r ♦♥ ②♣rs♣tr ♠♥ ♥ té♥ ♣

❬ t ❪ P rt t t♦r Pttr♥ sst♦♥ ♥ ❲② ♥trs♥ té ♥ ♣

❬st♥ rtss ❪ st♥ t P rtss ♥ t ♦s

♦r s♣tt♥ ♠t♦ ♥ t ♣r♦①♠ ♣♦♥t ♦rt♠ ♦r ♠①♠ ♠♦

♥♦t♦♥ ♦♣rt♦rs t♠t Pr♦r♠♠♥ ♦ ♣s té ♥ ♣

❬rs t ❪ ♥t rs ♥sr t t②♠ sr② ♦♥ ♣rtt♦♥ str♥ ♦rt♠s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♥tr♣rs♦♠♣t♥ ♥ s♥ss ②st♠s ♦ té ♥ ♣

❬t②♥r t ❪ P t②♥r é♦♥♥ t r♥ ♣ ♣r♦rs s♥

♥♦ r♥♥ ♥qs ♥ ♥ q♦t t ♥tr♥t♦♥ ♦♥r♥♦♥ ♦♠♣tr ❱s♦♥ ♦ ♥r♦ té ♥ ♣

❬♥ t ❪ ❲ ♥ r t ♦♠♣rt st② t♥

♥ ♥♦♥♥r ♠♦ ♥ ♦♠♠♦♥ ♥r ♠♦ ♦r ♥②s♥ ♦rt♦r②

s♠t♦rst ②♣rs♣tr t ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♠♦t ♥s♥♦ ♥♦ ♣s té ♥ ♣

❬♦② ❪ ❲ ♦② ♦rt♠ ♦rtst ♣t ♦♠♠♥t♦♥s ♦ t ♦ ♣ té ♥ ♣

❬♦st♥ sr ❪ ♦st♥ t sr ♣t r♠♥ t♦ ♦r

r③ Pr♦♠s ♠♥ ♦ ♣s té ♥ ♣

❬r♥ t ❪ r♥ r t ♥ ♣♣t♦♥

♥♠♠ ♦s rt♦♥ r♥s♦r♠ ♦ ♦♠♣rss♦♥ ♥ ♥♥

♦r♣

②♣rs♣tr ♠♦t ♥s♥ t ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ②♠♣♦s♠ ♦ ♣ té ♥ ♣

❬r♠s ♦♥♦♦ ❪ r♠s t ♦♥♦♦ ❲♥ ♦s s♦♠♣ r♦r t

♥tr ♣r♠tr③t♦♥ ♦ ♠s ♦ rtt ♠s ♣♣♦rt t♥qt♥♦r ❯♥rst② té ♥ ♣

❬♠ t ❪ ♠ ❨ t♠♥ ♦♦♥ t ❨ ♦r♥rt ♦♥♥r ♥♠①♥ ♦ ②♣rs♣tr ♠s s♥ ♥r③ ♥r ♠♦ r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♥♦ ♣s té ♥ ♣s t

❬♠ t ❪ ♠ ❨ t♠♥ ♦♦♥ t ❨ ♦r♥rt ♦♥♥r ♥♠①♥ ♦ ②♣rs♣tr ♠s s♥ ♥r③ ♥r ♠♦ r♥st♦♥s ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♥♦ ♣s ♦♠r té ♥ ♣

❬♠ t ❪ ♠ t ö♦♣ r♥ ♦

t ♠♥s♦♥t② rt♦♥ ♦ ♠♥♦s ♣♣♦rt t♥q ①P♥ ♥sttt ür ♦♦s ②r♥t té ♥ ♣s t

❬♣ ❪ ♣ rt♦♥ rt♥ s♣tr♦s♦♣② ♦r② ♦r♥♦ ♦♣②s sr ♦ ♥♦ ♣s té ♥♣s t

❬♥③ ♥ ❪ ♥③ t ♥ ② ♦♥str♥ st sqrs

♥r ♠①tr ♥②ss ♦r ♠tr q♥tt♦♥ ♥ ②♣rs♣tr ♠r② r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♥♦ ♣s té ♥ ♣s t

❬♥r① t ❪ ♥r① r P③ rt♥ t P③ ♥ ♠♥♠♠ ♦♠ ♥♦s♥ ♦rt♠ ♦r ♥♠♠r ♥tt♦♥ ♥

♥♥ st♠t♦♥ ♥ ②♣rs♣tr t ♦ ♥♦ ♣♣

r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♣s té ♥ ♣s t

❬②♥ t ❪ ②♥ r③♥♦ t P ♥rs ♦♥♥r s♣tr♥♠①♥ ② ♦s s♠♣① ♦♠ ♠①♠③t♦♥ ♦r♥ ♦ ♥Pr♦ss♥ ♦ ♥♦ ♣s ♥ té ♥ ♣

❬♦♠♥♥ t ❪ ♦♠♥♥ ö♦♣ t ♠♦ tt♦r r

♦ ♠t♦s ♥ ♥ r♥♥ té ♥ ♣

❬♦♥♥ r ❪ P ♦♥♥ t r ♦♥ t ♣r♠ ♣r♦♠♥ r♥ ♠♥s rt ♠t♦ ♥ ♥ r♥♥ ♦r ♥ Pr♦ss♥ P ♥tr♥t♦♥ ❲♦rs♦♣ ♦♥ té ♥♣

❬♦♥♥ r ❪ P ♦♥♥ t r ♦♠tr ❯♥♠①♥ ♦ r②♣rs♣tr ♠s r②♥tr ♦♦r♥t ♣♣r♦ r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ té ♥ ♣s t

♦r♣

❬♦♥♥ r ❪ P ♦♥♥ t r Pr♠ ♣r♦♠ ♥ r♥

s ♠♥ r♥♥ ♥ Pr♦ss♥ ③♥ ♦ ♥♦ ♣s r té ♥ ♣s t

❬rts ❪ rts ❯s ♦ ②♣rs♣tr t t ♥t♥st② ♠s ♦r

t♦♠t ♥ ♦♥ té ♥ ♣

❬②r♥♥ ❪ ②r♥♥ t ♥♣♥♥t ♦♠♣♦♥♥t ♥②ss

♦rt♠s ♥ ♣♣t♦♥s r t♦rs ♦ ♣s té ♥ ♣

❬♦r t ❪ ♦r ♦ss t P③ ♦t r

t♦♥ rt③t♦♥ ♥ s♣rs ②♣rs♣tr ♥♠①♥ ♥ ②♣rs♣tr ♠♥ ♥ Pr♦ss♥ ♦t♦♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ❲P r ❲♦rs♦♣ ♦♥ ♣s ②♣rs♣tr ♠ ♥ ♥ Pr♦ss♥ ♦t♦♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ❲P r ❲♦rs♦♣ ♦♥ ♥ té ♥ ♣s t

❬ ♥ ❪ t ❨ ♥ ♣tr ♥ ♣t ♦♠♣①t②s ②♣r

s♣tr ❯♥♠①♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ r♥st♦♥s ♦♥♦ ♥♦ ♣s té ♥ ♣

❬♦ ❪ ♦ Pr♥♣ ♦♠♣♦♥♥t ♥②ss ♣ ♣r♥r❱r té ♥ ♣

❬♦r♥ t ❪ ♦r♥ ❨ ♥ t ♦ ♥s ♥ ♥r ♥♦r♠t♦♥ ♣r♦ss♥ s②st♠s Pr♦♥s ♦ t rst ♦♥r♥s té ♥ ♣

❬tt♥ r♥♥ ❪ tt♥ t r♥♥ ♥s ♥ ♥♦♥♥r ♥

s♦r s♣rt♦♥ ♥ Pr♦ ♥tr♥t♦♥ ②♠♣♦s♠ ♦♥ ♥♣♥♥t ♦♠♣♦♥♥t ♥②ss ♥ ♥ ♥ ♣rt♦♥ ♣s té ♥ ♣s t

❬tt♥ r♥♥ ❪ tt♥ t r♥♥ ♥s ♥ ♥♦♥♥r ♥

s♦r s♣rt♦♥ Pr♦ ♥tr♥t♦♥ ②♠♣♦s♠ ♦♥ ♥♣♥♥t ♦♠♣♦♥♥t ♥②ss ♥ ♥ ♥ ♣rt♦♥ ♣s té ♥ ♣

❬s str ❪ s t str ♣tr ♥♠①♥ ♥ Pr♦ss♥ ③♥ ♦ ♥♦ ♣s té ♥♣s t

❬♦ s♥ ❪ ♦ t ❲ s♥ ♣r♠ ♣r♦♠ ♥ r♥

♠t♦s ♥ Pr♦ té ♥ ♣s t

❬ t ❪ ❨ ❩ ❨♦ ❩ ❩ t ♥ ssss♥ ♥

♣rt♥ ♣r♦t♥ ♥trt♦♥s ② ♦♠♥♥ ♠♥♦ ♠♥ t ♠

t♣ ♥♦r♠t♦♥ ♥trt♦♥ ♦♥♦r♠ts ♦ ♥♦ ♣♣ ♣ té ♥ ♣s t

❬ ♦ss ❪ t ♦ss ♥♠♠ ♦♠ s♠♣① ♥

②ss st ♦rt♠ t♦ ♥♠① ②♣rs♣tr t ♥ Pr♦♥s ♦ t

♦r♣

♥tr♥t♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ②♠♣♦s♠ ♦ ♣s té ♥ ♣s t

❬ t ❪ ♦ss t P③ ♣trs♣t ②♣rs♣tr

♠ s♠♥tt♦♥ s♥ ss♣ ♠t♥♦♠ ♦st rrss♦♥ ♥ r

♦ r♥♦♠ s r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥♦ ♣s té ♥ ♣

❬ t ❪ r♦r t ♥ ♦ ♠♥♦ r♥♥s

♥rst♥♦r ♦r ②♣rs♣tr ♠ sst♦♥ r♥st♦♥s♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♣s té ♥♣

❬♥♦s t ❪ ♥♦s r♥ t ②♣rs♣tr

♠ Pr♦ss♥ ♦r t♦♠t rt tt♦♥ ♣♣t♦♥s té♥ ♣

❬rt♥ P③ ❪ rt♥ t P③ ♦♥s s♣t ♣r♣r♦ss♥

♦r ♥♠♠rs ①trt♦♥ ♥ ②♣rs♣tr ♥♠①♥ r♥st♦♥s♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ttrs ♦ ♣s té♥ ♣

❬♦ ❪ ♦ t ♥♠♠r ①trt♦♥ r♦♠ ② ♠① t

s♥ ♠♥♠♠ ♦♠ ♦♥str♥ ♥♦♥♥t♠tr① t♦r③t♦♥ r♥st♦♥s ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♣s té ♥ ♣s t

❬r♦♠ ❪ ♥ r♦♠ ♥tr♦t♦♥ t♦ ②♣rs♣tr ♠♥ té ♥ ♣

❬ t ❪ ö♦♣ ♠♦ ür ♦③ t äts r♥ P ♥ ♥♦s♥ ♥ tr s♣s ♥ Pr♦ P té ♥ ♣s t

❬♥♦③ ♦ ❪ ♥♦③ t ♦ r♦♠ ♥♥t t♦ ♣♦st s♠

♥t ♠trs ♥ t❨♥ ❨♥ ♠s ♦ ♥ r ♦ ♦t r trs trtr ②♥tt ♥ ttst Pttr♥♦♥t♦♥ ♦♠ ♦ tr ♦ts ♥ ♦♠♣tr ♥ ♣s ♣r♥r r♥ r té ♥ ♣

❬r t ❪ r ♥tss♦♥ ❲s t r③③♦♥ ♦r♣♦♦ ttrt ♣r♦s ♦r t ♥②ss ♦ r② rs♦

t♦♥ ♠s r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♣s té ♥ ♣

❬ ❪ tt♣ rs♣♥s♦ té ♥ ♣s t

❬s♠♥t♦ ♦ss ❪ P s♠♥t♦ t ♦ss ❱rt①♦♠♣♦♥♥t ♥②ss st ♦rt♠ t♦ ♥♠① ②♣rs♣tr t r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♥♦ ♣s ♣r té ♥ ♣s t

♦r♣

❬s♠♥t♦ ♦ss ❪ P s♠♥t♦ t ♦ss ♦♥♥r ♠①tr ♠♦ ♦r ②♣rs♣tr ♥♠①♥ ♥ Pr♦ P ♦♠ té ♥ ♣s t

❬s♠♥t♦ ♦ss ❪ P s♠♥t♦ t ♦ss ❯♥

♠①♥ ②♣rs♣tr ♥t♠t ♠①trs ♥ Pr♦ P ♦♠ té ♥ ♣

❬ t ❪ t♥③ ③r r t P t♦♠t ♥♠♠r ①trt♦♥ r♦♠ ②♣rs♣tr t ♦r ♠♥r ①♣♦

rt♦♥ ♥ Pr♦ t ♥t r♦r♥ ♠♦t ♥s ♦♥ ♥ ①st ♥②♠♣ ♠♦t ♥s tt ♥ ♣s té ♥♣

❬♦♦♠♥ ❪ ♦♦♠♥ ②♣rs♣tr rt♥ ♦ tt♦♥ t ②

♥rr♦♥ ②r♦r♦♥ s P tss ♥s ♣ té♥ ♣

❬r ❪ ❩ r r♥s ♥s ♥ ♣♣♦rt ❱t♦r ♥s Ptss str♥ t♦♥ ❯♥rst② ♥rr té ♥ ♣

❬Pr♥t P③ ❪ Pr♥t t P③ r② ♦ ♦♠tr ♥ sttst

♥♠①♥ ♦rt♠s ♦r ②♣rs♣tr ♠s ♥ ②♣rs♣tr ♠ ♥♥ Pr♦ss♥ ♦t♦♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ❲P ♥❲♦rs♦♣ ♦♥ ♣s té ♥ ♣

❬P③ ♥ ❪ P③ t ♥ ♥ ♠♣r♦ ♦rt♠

♥ ♠♣♠♥tt♦♥ ♦rt♠s ♥ ♥♦♦s ♦r ts♣tr ②♣rs♣tr ♥ ❯trs♣tr ♠r② ❳ Pr♦♥s ♦ t P ♦ ♣s té ♥ ♣

❬P③ P③ ❪ P③ t P③ ♣tr ♠①tr ♥②ss ♦ ②♣rs♣tr

s♥s s♥ ♥t♥t② st tr♥♥ s♠♣s ♦s♥ ♥♠♦t ♥s♥ ttrs ♦ ♥♦ ♣s r♣ té ♥♣

❬P③ t ❪ P③ P rt♥③ Pr③ t P③ ♣ts♣tr ♥♠♠r ①trt♦♥ ② ♠t♠♥s♦♥ ♥ ♠♦r♣♦♦ ♦♣rt♦♥s r♥st♦♥s ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♣s té ♥ ♣

❬P③ t ❪ P③ P rt♥③ P③ t Pr③ ♠♥s♦♥t②

rt♦♥ ♥ sst♦♥ ♦ ②♣rs♣tr ♠ t s♥ sq♥s ♦

①t♥ ♠♦r♣♦♦ tr♥s♦r♠t♦♥s r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♣s té ♥ ♣

❬P♦♦ ❪ P♦♦ ♥ ♦♣t♠ ♥♦♥♥r ss♦t r ♥ ♦♦②r♥ts ♦ ♣s té ♥ ♣s t

❬P♦t♥ ❪ P♦t♥ és♦♥ ♣r ♠ét♦s ♥♦②① ♥ trt♠♥t s♥

♥qs st♦♥ t é♦rt♦♥ ♥♦②① ♣tés P tss❯♥rsté ♥♦♦ r♦②s té ♥ ♣s t

♦r♣

❬s♥t♦r♥ ❪ s♥t♦r♥ t ♦♥♥r s♣tr ♠①tr ♥②

ss ♦r ②♣rs♣tr ♠r② ♥ ♥ ♥♥♦♥ ♥r♦♥♠♥t ♦s♥♥ ♠♦t ♥s♥ ttrs ♦ ♥♦ ♣s té ♥♣s t

❬ ♠♦♥ ❪ t ♠♦♥ t♦ ♦ ♠♦r♥ ♠t♠t ♣②ss ♦ ♥t♦♥ ♥②ss ♠ Prss ♥ ♦ té ♥♣

❬♦ t ❪ ♦ r ❩♥ ♥③ rrs t ♥ ♥trt♦♥ ♦ s♣ts♣tr ♥♦r♠t♦♥ ♦r t ♠♣r♦ ①

trt♦♥ ♦ ♥♠♠rs ♠♦t ♥s♥ ♦ ♥r♦♥♠♥t ♦ ♣s té ♥ ♣

❬♦s ❪ ♦s t ♦♥♥r ♠♥s♦♥t② rt♦♥ ②

♦② ♥r ♠♥ ♥ ♣s té ♥ ♣s t

❬♥③ t ❪ ♥③ rt♥ t P③ Pr ♠♣♠♥tt♦♥

♦ t ♥♠♠r ①trt♦♥ ♦rt♠ ♦♥ ♦♠♠♦t② r♣s

♣r♦ss♥ ♥ts ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ②♠♣♦s♠ ♥tr♥t♦♥ ♣s té ♥ ♣

❬r② t ❪ P r♠②♥ r② t ♦♥ t t♥♦ s

♥tt♦♥ ♥ q♥tt♦♥ r♦♠ tr♥t st ♣♠s t ♥ ♠♥

♦rrtr♥s♦r♠ s♣tr♦♠tr ♥ Pr♦♥s ♦ P ❱♦ té ♥ ♣

❬♦♥r ❪ ♦♥r P♦st ♥t ♥t♦♥s ♦♥ s♣rs t té ♥ ♣

❬ö♦♣ ♠♦ ❪ ö♦♣ t ♠♦ r♥♥ t r♥s Prss ♠r ♠r té ♥ ♣

❬ö♦♣ t ❪ ö♦♣ Ptt ②♦r ♠♦ t ❲♠s♦♥ st♠t♥ t s♣♣♦rt ♦ ♠♥s♦♥ strt♦♥ ♣♣♦rt t♥q r♦s♦t sr té ♥ ♣

❬ö♦♣ t ❪ ö♦♣ rr t ❲♠s♦♥ ♥r③ r

♣rs♥tr t♦r♠ ♣♣♦rt t♥q r♦ ♦②♦♦② ♦ ❯♥rst② ♦ ♦♥♦♥ ❯ té ♥ ♣

❬ ❪ t ♥②ss ♥ ①t♥s♦♥ ♦ s♣tr ♠t♦s

♦r ♥♦♥♥r ♠♥s♦♥t② rt♦♥ Pr♦♥ Pr♦♥s ♦t ♥ ♥tr♥t♦♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♥ r♥♥ ♣s té ♥ ♣

❬ ♥♦s ❪ t ♥♦s ♥ ♣r♦ss♥ ♦r ②♣rs♣tr ♠ ①♣♦tt♦♥ ♥ Pr♦ss♥ ③♥ ♦ ♥♦ ♣s té ♥ ♣

❬♠♦ ö♦♣ ❪ ① ♠♦ t r♥r ö♦♣ t♦r ♦♥ ♣

♣♦rt ❱t♦r rss♦♥ ♣♣♦rt t♥q r♦ té ♥♣

♦r♣

❬♦♠rs t ❪ ♦♠rs ♥♥t t♣♥ t♥s ❱♥ r❩♥ ❲❲ ❱rstrt♥ t P ♦♣♣♥ ♦♥♥r ②♣rs♣tr ①tr

♥②ss ♦r tr ♦r st♠ts ♥ ♦rrs ♠♦t ♥s♥ ♦ ♥r♦♥♠♥t ♦ ♥♦ ♣s ♥ té ♥ ♣

❬t♥rt t ❪ t♥rt s t ♦ ♥ ①♣t sr♣t♦♥

♦ t r♣r♦♥ r♥ rt s♣s ♦ ss♥ r♥s ♣♣♦rtt♥q ♦s ♠♦s t♦♥ ♦rt♦r② té ♥ ♣

❬②♠ ❪ ②♠ ♦ sr sr♠♥♥t ♥②ss ♦r ♣rs

♠♥s♦♥t② t♦♥ Pr♦♥s ♦ t r ♥tr♥t♦♥♦♥r♥ ♦♥ ♥ r♥♥ ♣s té ♥ ♣

❬②♥s t ❪ ②♥s ❱♥ st r♥tr ♦♦rt ❱♥ st sqrs s♣♣♦rt t♦r ♠♥s ❲♦r ♥t♥♣♦r té ♥ ♣

❬r t ❪ ❨ r ♥tss♦♥ ♥ss♦t t t♦♥ t♣ s♣trs♣t sst♦♥ ♣♣r♦ ♦r ②♣rs♣tr t r♥st♦♥s ♦♥ ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦ ♣s té ♥ ♣

❬r t ❪ ❨ r ♥ss♦t t ♥tss♦♥

♠♥tt♦♥ ♥ sst♦♥ ♦ ②♣rs♣tr ♠s s♥ trs tr♥s

♦r♠t♦♥ Pttr♥ ♦♥t♦♥ ♦ ♣s té ♥♣

❬r t ❪ ❨ r ♥ss♦t t ♥tss♦♥ ❱ ♥ s ♠t♦ ♦r rt sst♦♥ ♦ ②♣rs♣tr

♠s ♦s♥ ♥ ♠♦t ♥s♥ ttrs ♦ ♣s té ♥ ♣

❬r t ❪ ❨ r t♦♥ ♥tss♦♥ t ♥ss♦t ♠rrs ♣♣r♦ ♦r t t♦♠t st♦♥ ♦ s♥ s

♠♥tt♦♥ r♦♠ rr st ♦ ♠ s♠♥tt♦♥s ♦ ♣s té ♥ ♣

❬②♦r rst♥♥ ❪ ②♦r t rst♥♥ r♥ ♠t♦s ♦r ♣ttr♥ ♥②ss ♠r ❯♥rst② Prss té ♥ ♣s t

❬♠s t ❪ ♠s ♦♥t♦♥♥s t ♦tr♦♠s ♠s♣rs ②♣rs♣tr ❯♥♠①♥ t t ss♦ ♥ ♥ Pr♦P ♣s té ♥ ♣s t

❬②s t ❪ ②s ♦♦♥ ❨ ♦r♥rt t ♥tr ♥r

♥♠①♥ ♦ ②♣rs♣tr ♠s s♥ s r♥t ♠t♦ ttst♥ Pr♦ss♥ P P t ❲♦rs♦♣ ♣s ♣t té ♥ ♣s t

❬♦r♥rt t ❪ ❨ ♦r♥rt ♦♦♥ t ♥ ♠s♣rs♥r s♣tr ♥♠①♥ s♥ rr ②s♥ ♠♦ ♦r ②♣rs♣tr

♠r② r♥st♦♥s ♦♥ ♥ Pr♦ss♥ ♦ ♥♦ ♣s té ♥ ♣s t

♦r♣

❬❱♣♥ ❪ ❱ ❱♣♥ ♥tr ♦ sttst r♥♥ t♦r② ♣r♥r ❨♦r ❨ té ♥ ♣

❬❲r ❪ ❲r ♥♦ s r♠♦t s♥s♥ ♦ ♦♠♣① ♦ts r♦♥

t♦♥ ♦ s♣tr ♥ s♣t ♣ttr♥s rst♥ r♦♠ ♥tr ②r♦r♦♥ Ptss ❯trt ❯♥rst② té ♥ ♣

❬❲♠s ❪ ❲♠s ♥ ♦♥♥t♦♥ t♥ r♥ P ♥ tr

t♠♥s♦♥ ♥ ♥ r♥♥ ♣s té ♥♣

❬❲♥tr ❪ ❲♥tr ♥ ♦rt♠ ♦r st t♦♥♦♠♦s s♣tr

♥♠♠r tr♠♥t♦♥ ♥ ②♣rs♣tr t ♥ Pr♦ P ♣tr♦♠tr② ❱ ♦♠ ♣s té ♥ ♣s t

❬❳♦♥ t ❪ ❲ ❳♦♥ ♥ ❲ ♣s t ♥st ♦rt♠s t♦ ♠♣♠♥t ♦r ②♣rs♣tr ♥♠♠r ①

trt♦♥ t ♦♣s ♥ ♣♣ rt srt♦♥s ♥ ♠♦t ♥s♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♣s té ♥ ♣

Méthodes de démélange non-linéaires pour l’imagerie ...

Documents

Transcript of Méthodes de démélange non-linéaires pour l’imagerie ...