M­RME Collaboration Event, Warwick 260107Presentation – Elena Nardi and Paola Iannone

INTRODUCTION

In this session we draw on our work with the mathematicians at UEA and elsewherein order to consider issues of collaboration between mathematicians andmathematics educationalists ­ and thus engage with the question in the title of thesymposium 'Mathematicians and Mathematics Educationalists: Can wecollaborate?’

The title of our presentation is ‘Yes!’ and we substantiate this claim in two parts: PART I: Present issues that mathematicians have raised regarding collaborationwith mathematics educators in our interviews with them. We draw on a relevantchapter from Elena’s upcoming book 

NARDI E (2007, in press) Amongst Mathematicians: Teaching and LearningMathematics at University Level , USA: Springer

and the material summarised in our PME28 paper

NARDI E and IANNONE P (2004) On the Fragile, Yet Crucial RelationshipBetween Mathematicians and Researchers in Mathematics Education,Proceedings of the 28th Annual Conference of the International Group forPsychology in Mathematics Education, 14­18 July 2004, Bergen, Norway.Volume III, p401­408. 

PART II: Present an outcome of our recent work 

NARDI E & IANNONE P (2006) How To Prove It: a brief guide for teachingProof to mathematics undergraduates. Commissioned by the HigherEducation Academy (Mathematics, Statistics and Operational Researchbranch). ISBN 978­0­9539983­8­8

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 1  

as a good example of how this collaboration can work. We present the guide aswell as mathematicians' evaluative comments on the guide that we collected in thecourse of its production.

All three (the book, the paper and the booklet) come from a series of studies fundedby the Nuffield Foundation, the Learning and Teaching Support Network and theHigher Education Academy. In these we conducted half­day interviews with groupsof mathematicians from six mathematics departments in the UK. The overall aimwas to explore mathematicians’ perspectives on the teaching and learning ofmathematics at university level. Preparation for the interviews took place through aDataset that interviewees had been asked to read and comment on prior to theinterview. Each Dataset contained data examples and a brief literature review on aparticular learning theme. These themes were: 

Mathematical Reasoning: Proof and Proving Techniques Mathematical Concepts: Functions and LimitsMediating Mathematical Meaning: Words, Symbols and Diagrams

Discussion in the interviews also branched out to issues of Pedagogy as well asissues of Educational Research, and particularly, the relationship between our twocommunities, M, that of mathematicians and, RME, that of mathematics educators.The views on the latter is what we draw on here. Elena is doing Part I and Paola isdoing Part II. 

Part I: Elena Nardi

STRUCTURE

So what issues have the mathematicians raised in these interviews regardingcollaboration with mathematics educators? In the next few minutes In what follows Isummarise – with almost crude determination! ­ their views under the followingheadings:

1. Benefits 

(i) Benefits from using mathematics education research(ii) Benefits from engaging with mathematics education research

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 2  

2. Reflection and critique of the practices of RME – on the ways RME…

(i) Do Research (an evaluation of Qualitative Inquiry and conditionsunder which it could work for mathematicians)

a. …currentlyb. … and other ways RME could be doing it!

(ii) Theorise(iii)Write(iv)Disseminate

Some separate but relevant issues the interviewees raised included Stereotypes(stereotypical representation of mathematicians in educational research) andGender (the complexity of the issue of participation of women in mathematics andits representation in educational research) but it is outside the scope of thispresentation to include these here.

I note that there is an increasingly substantial amount of writing on the issue we areexploring here. I am using 30 pieces of this writing as the theoretical/historical basisfor the chapter my presentation here draws on. The following five have influencedthe creation of the chapter particularly strongly: 

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 3  

Artigue,   M.   (1998).   Research   in   mathematics   education   through   the   eyes   ofmathematicians.   In   A.   Sierpinska   &   J.   Kilpatrick   (Eds.),  MathematicsEducation   as   a   research   domain:   a   search   for   identity  (pp.   477   ­   490).Dordrecht / Boston / London: Kluwer Academic Publishers.

Goldin,   G.   A.   (2003).   Developing   complex   understandings:   on   the   relation   ofmathematics   education   research   to   mathematics.  Educational   Studies   inMathematics, 54(2/3), 171 ­ 202.

Ralston,   A.   (2004).   Research   mathematicians   and   mathematics   education:   acritique. Notices of the American Mathematical Society, 51, 403 ­ 411.

Sfard, A. (1998a). A mathematician's view of research in mathematics education: aninterview with Shimshon A. Amitsur. In A. Sierpinska & J. Kilpatrick (Eds.),Mathematics Education as a research domain: a search for identity (pp. 445 ­458). Dordrecht / Boston / London: Kluwer Academic Publishers.

Sfard,   A.   (1998b).   The   many   faces   of   mathematics:   do   mathematicians   andresearchers  in mathematics education speak about  the same thing?  In A.Sierpinska   &   J.   Kilpatrick   (Eds.),  Mathematics   Education   as   a   researchdomain: a search for identity  (pp. 491 ­ 512). Dordrecht / Boston / London:Kluwer Academic Publishers.

All ‘quotations’ I am presenting are adapted from the text in the book chapter. Thetext in the book is written in the format of a dialogue between two characters M andRME. Dialogues are entirely data­grounded compositions. I am presenting these astriggers for discussion and further reflection.

BENEFITS I ­  Benefits from using mathematics education research

The value of educational research I: offering solutions to problems

M:  I would be interested in recommendations, in good ideas on how to overcomethe problems. The solutions! 

The value of educational research II: articulating problems

M:  … my background drives my preference towards the experimental methodbut   my   emphasis   is   clearly   on   identifying   sources   of   difficulty,   helpingstudents overcome difficulty, boosting confidence, achieving learning. 

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 4  

…   beyond   generic   teacher   training   there   is   a   domain   specific   need   tounderstand these problems.

The value of educational research III: content­specific ‘teacher training’  

M:  …   there   is   a   need   to   translate   those   into   specific   recommendations   formathematics… [UK university  training courses for  new lecturers]  are oftenbogged down to epitomizing the worst aspects of professional education bybeing content­less... the difference between the specific, the meaningful andthe  vague  is  a  big  one!  And  I  am not  saying   that   talking  across  variousdisciplines cannot be illuminating…

BENEFITS II ­  Benefits from engaging with mathematics education research

The value of  engagement with educational   research  I:  the potent  experience ofparticipation in a collaborative study

M:  … there are things I will teach differently. There are things I understand betterof   mathematics   students.   I   appreciate   the   questioning   aspects   of   thediscussion and I realise how one should be liaising with the other lecturersand discussing what things we are doing that confuse them. 

Openness, diversity, written feedback, spoken word, communication

The value of engagement with educational research II: a ‘reality check’ of studentdifficulty

M:  …   discussing   the   examples   is   a   very   good   starting   point,   and   a   well­structured one. By seeing these often terrifying pieces of writing I am facedwith the harsh reality of student difficulty …

The   value   of   engagement   with   educational   research   III:   acquaintance   withilluminating theoretical constructs

M:  …Say you have someone who has to run classes and for some reason oranother   their   view of  mathematics   is   instrumental… Suppose  that  such  aperson one day meets Concept Image and all that. All of a sudden he learns

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 5  

that these things are all out there and that changes that person’s professionalview entirely…

REFLECTION AND CRITIQUE OF THE PRACTICES OF RME I – Doing Research (an evaluation of Qualitative Inquiry and conditions under which it could work formathematicians)

Yes, there was extensive discussion in the interviews of the substantially differentepistemologies of   the two communities.  Yes,  there was  initially  a preference forquantitative, experiement­based, generalisable and readily applicable pedagogicalrecommendations. And yes,  there was often exasperation with  the perceived aschaotic  absence of  unified  theoretical   frameworks,  established/shared definitionswithin RME. However there was also acknowledgement of institutional resistanceto allowing educational research to influence reform of practice at universitylevel. And we did note a shift in the course of the study, a shift   towards a moremethodologically  open  preference,  more  embracing  of,   for  example,  naturalisticqualitative  methods.  Here   I   list   seven  characteristics   /  evaluative  comments  onthose:

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 6  

Openness, diversity of perspectives

M:  … an occasion to … talk about the beliefs I already hold… I appreciate therichness and diversity of views exchanged … and I do not necessarily thinkwe need to come up with one right one.

Mathematical specificity

M:  …a good starting point because [this type of research] is very mathematicallyspecific…

Mathematical common grounds

M:  … if I had serious anxiety that there was no common ground, it would haverapidly started to feel this could be a waste of time; or that you would end uphaving nothing interesting to say ... To me the fact that we both understoodwhat we were talking about made a huge difference.

The power of an evocative transcript

M:  … real people struggling with a real difficulty, in real time…these data wouldclick with [lecturers’] own experiences. 

Quantitative data: diminished returns…

M:  … somehow the quantitative story about learning is devoid of meaning. A tickbox   of   the   average   understanding   of   the   concept   of   group   among   thestudents is a figure that has absolutely no meaning at all in it, in comparisonwith exploring the individual detailed discourse of each student …

Reform of practice can only follow from reflection and meticulous analysis ofcurrent practice 

M:  … If we were sort of on the fly during the process changing how, for example,we presented certain concepts, what we would be saying would change veryrapidly and we would be somehow observing something, while participating init … it would be like trying to hit a moving target.

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 7  

Carefully constructed, focused openness

M:  …has elements of control  where that  is appropriate, and un­control  wherealso appropriate. … we have stayed clear of the unhelpful smudging togetherof parameters that your naturalistic data is sometimes in danger of pushing ustowards. I would hate this if it was all vague and unfocused.

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 8  

REFLECTION AND CRITIQUE OF THE PRACTICES OF RME I – Doing Research(other ways RME could be done)

Enriching the agenda of collaborative research I: self, students

M.  … bring along examples myself.…ask students to do so themselves and comment on other students’ work.…a   perfect   role   reversal,   of   exposing   these   [interviews]   to   the   students,having lecturers thinking hard about what students are understanding …

Enriching the agenda of collaborative research II: further focal points

M:  … longitudinal analysis of course work, student responses to exam papers…

REFLECTION AND CRITIQUE OF THE PRACTICES OF RME II – Theorising

[during the interviews we showed M a few examples of RME theorisation]

Suspicion   towards   the   capacity   of   a   ‘flowchart’   to   represent   the   complexity   ofmathematical   understanding,   doubt   about   its   capacity   as   a   descriptive   andexplanatory tool

M:  Does   this   diagram   cover   all   the   possible   reasons   students   may   haveproblems with [names topic]? Why does someone run fast or slow, or not atall? There could be thousands of reasons for this and I am not sure any suchmodel can point at all of these. And where would all the exceptional casesgo? I would struggle to get much use from this... [while acknowledging that]…a diagrammatic  or  concise  theoretical   representation may be an almostimpossible task… as Tolstoy said: all happy families are alike but unhappyfamilies are unique. You need to constantly revisit and refine these models…

REFLECTION AND CRITIQUE OF THE PRACTICES OF RME III – Writing

M:  …   more   specific   cases,   examples…   minimize   jargon­laden   text…   avoidindecipherable presentations

  [but then again]

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 9  

… some  jargon  is   inevitable  because  there  are subtle  concepts   involved.Engaging with thoughts expressed in different languages is part of academiclife! And we do it automatically for other subjects in science, in engineeringetc….trying to understand mathematics education is actually a fun exercise,in the same way in which you can read a political essay … you can take acertain pleasure just from that! 

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 10  

REFLECTION AND CRITIQUE OF THE PRACTICES OF RME IV – Disseminating

On textM:   To have transcripts in front of me of what I actually said is an entirely new and

revealing   medium   to   me…I   realized   the   substantial   differences   betweenspeaking about  and writing mathematics,  especially   in  a  teaching context.And I wonder whether a transcript accurately and richly enough reflects thetone, intensity etc of a conversation?

On dissemination venues – what mathematicians read…M:  … the Notices of the AM… not necessarily conference papers and journal

articles…pedagogically thoughtful books say Pólya, Stewart & Tall …

Part II: Paola Iannone

In 2006 we were commissioned by the HEA­MSOR to produce a guide “that willprovide support to those teaching “Proof” to Pure Mathematicians”. We decided todraw on our experience of teaching mathematics to undergraduates, on our recentcollaborative   projects   with   mathematicians   and   our   research   in   mathematicseducation to produce a booklet (called the Guide thereafter) that would be research­based and practice­oriented. Although proof has never been the sole focus of ourresearch, it has always been one of its main themes. 

Underlying   the   production   of   the  Guide  are   the   principles   ofParticipatory/Partnership   research;   in   particular   the   belief   that   integration   ofinnovation in mathematics teaching at university level is only manageable if drivenand owned by the mathematicians who teach at this level. For this reason we drewvery heavily on the data gathered from the LTSN Project in the design and contentof the Guide and we decided to engage groups of mathematicians, from UEA andelsewhere in the UK and abroad, in evaluating a first draft of the Guide.

Based on our data as well  as a scrutiny of  relevant  literature we structured theGuide as follows:

1. Introduction2. Conceptualising formal mathematical reasoning and the necessity of Proof3. “Proof” by example: syndrome or starting point?

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 11  

4. Proof by counterexample: is one as good as many?5. Proof by mathematical induction: conveying a sense of the domino effect 6. Proof by contradiction: spotting the… contradiction7. Epilogue

We designed sections 2­6 as follows:

• An example of students’ work illustrating the theme of the section• A   dialogue   from   Elena’s   book   that   refers   to   the   theme   illustrated   in   the

previous example• The   presentation   of   (some)   educational   findings   relevant   to   the   issues

highlighted by the example• Some pedagogical recommendations relevant to the theme based on relevant

literature and on our data • References

We then wrote a “sample section” (“Proof” by example: syndrome or starting point?)and organised two group interviews with mathematicians (from UEA and from otherinstitutions) in order to evaluate the sample in the light of the Guide’s  overall aims.

The “sample section was structured as follows:

Student Example:

The  following problem was set   to   first  year undergraduate students during  theircourse in basic analysis and linear algebra

Let A be a non­zero nxn matrix such that A∙A=A2=0 (the zero matrix). Show that Ais not invertible. Give an example of a matrix A such that A∙A=A2=0.

One of the students handed in this response:

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 12  

Book excerpt: M comments on the above as follows:

M: I am often asked by students who recognize that doing the 2x2 case only mightnot  be enough  in  the end but   then again  they often behave as  if   it   is… it  wasenough for Cayley and Hamilton by the way. You know, they did the case 2x2 andthen in the appendix they offered the 3x3 case. That’s it. That’s their proof! Andstudents are often happy to live in Flatland! But there is a slightly different issuehere as well: in this question I wouldn’t be surprised if they resisted the invitation toconstruct   an   example.   They   often   resist   hard   our   efforts   to   get   them   to   giveexamples. They don’t like doing examples. They want somehow the characters intheir  solutions  to be  in  the question already.  They don’t  want   to be required  toconstruct any new characters! Let alone explain how these characters came to be.

(From Chapter 3 of Nardi (in press ­ 2007) Amongst Mathematicians: Teaching andLearning Mathematics at University Level,  Springer)

After this introduction to the topic of the section we summarised some  findingsfrom mathematics education research we perceived as helpful in highlighting theissue under discussion. Those were: 

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 13  

 

• The work of Healy and Hoyles (2000) with 14/15 years old students on proof (inHealy, L., & Hoyles, C.: (2000) A study of proof conceptions in Algebra. Journalfor Research in Mathematics Education, 31(4), 396 – 428).

• The work of Harel and Sowder (1998) and the notion of Proof Scheme (in Harel,G. and Sowder, L.: (1998) ‘Students’ proof schemes: Results from exploratorystudies’,   in   E.   Dubinsky,   A.   Schoenfeld   and   J.   Kaput   (eds.),  Research   inCollegiate   Mathematics   Education,   III,   American   Mathematical   Society,Providence, RI, pp. 234–283).

• Some of the work that has been done around the idea of generic examples (forexample  in  Mason, J.  H.:   (2002)  Mathematics  teaching practice.  A guide  foruniversity and College lecturers, Horwood Publishing Series in Mathematics andApplications).

• The   idea   of   transparent   pseudo   proof   (in  Movshovitz­Hadar   N.:(1998)Transparent   pseudo­proofs   –   abridge   to   formal   proofs.   Proceedings   of   theInternational Conference on the Teaching of Mathematics, University of Aegean,Samos, Greece, New York: John Wiley and Sons).

After   this   we   introduced   a  pedagogical   discussion  and   some   examples   thatillustrated some of the above ideas. One of those examples was:

Theorem: Show that the sum of an even number and an odd number is an oddnumber.

And the following students’ responses (these are fictional students responses thistime)

• Because for example 17=10+7• Because for example 10, which is 2x5 plus 5 is 15• Because for example 10+7=17• Because for example 10, which is 2x5 plus 7 is 17• Because for example 10, which is 2x5 plus 7 which is 3x2+1 is 2x5+(3x2+1)

=2(5+3)+1 which is odd.

After the responses we had a list of questions that those might raise: What issueeach one of this responses raise? Which one is the closest to a transparent pseudoproof? How would you, as a teacher, respond to each one of the above?

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 14  

Closing the sample section we gave a list of references to the educational findingswe had cited.

MATHEMATICIANS’ COMMENTS

The mathematicians’ comments on the sample chapter were very rich and can bedivided into two types:

• On the specific subject matter (“proof” by example) and • On  the  structure  and  content  of   the  guide   (particularly  with   regard   to   its

appeal to the target audience, the mathematicians) 

Among the latter comments the mathematicians raised the following issues:

1. How to introduce the topic on each section. The mathematicians appreciatedthe concreteness of the introduction. This was students’ work, something thatthey were very familiar with.

2. Language.  This   is   a   big   issue.   If   we   were   to   reach   the   mathematicians’community  we would  have  to   leave  our   ‘genre  speech’  behind  and adopt  alanguage   that   is   accessible   for   people   from   outside   our   own   mathematicseducation community.

3. One of the mathematicians stressed the necessity to allow the reader to shiftfrom “marking” mode to “understand why” mode  (in her own words). Wethought that the dialogues after the students’ extracts would serve just this aim. 

4. One of the main aims of the guide should be to allow reflection on one owns’practice. This emerged very strongly also from the LTSN data. 

5. The mathematics  in   the sample section was scrutinised very closely.  A finebalance needs to be achieved between mathematical arguments that are trivial ­hence can be  disregarded  ­  and   those which are so  complex  that   they canobscure the pedagogical issue at stake. Much to our surprise talking of proofslike “the sum of two even number is an even number” was not considered to betoo elementary. 

6. “Practice   tips”  like   the   use   of   the   blackboard   etc  were   not   consideredimportant. There are already books that include those (see Baumslag, B. 2000Fundamentals  of  Teaching Mathematics  at  University  Level,   Imperial  CollegePress,  or  Mason,   J.  H.:   (2002)  Mathematics   teaching  practice.   A  guide   foruniversity and College lecturers, Horwood Publishing Series in Mathematics and

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 15  

Applications.)   and   the  mathematicians   thought   that  putting   the  emphasis  oncontent   (proof)   rather   than   delivery   of   content   (don’t   stand   in   front   of   theblackboard when you speak etc) in much preferable. 

We believe the Guide accommodates the above comments and offers a good example ofproductive   ways   in   which   collaborative   consideration   of   pedagogical   issues   can   takeplace.

M­RME Collaboration Event ­ Warwick 260107 – Presentation P Iannone – 16