MR_GP

Geophysique Petrolie`re

Herve PerroudUniversite de Pau et des Pays de lAdour

January 15 2012revision February 5, 2013

Contents

1 Traitement du signal sismique 4

1.1 Introduction, rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Signal et bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Signaux periodiques et quasi-periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Exemples de signaux en Sciences de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.5 Analyse frequentielle des signaux, notion de spectres . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.6 Crite`re pour lechantillonnage, signaux numeriques . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Operateurs pour le traitement sismique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Transformee de Fourier rapide, theore`me de la convolution . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Transformee en Z dune sequence numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 Definition des filtres, deconvolution, filtre inverse . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Pre-traitement des donnees sismiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Traitement des amplitudes, edition des traces . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Filtrage passe-bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3 Filtrage f-k, separation dondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.4 Trace synthetique, mode`le convolutionnel 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

1.3.5 Notion de fantomes, reverberations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.6 Deconvolution, egalisation spectrale, anti-reverberation . . . . . . . . . . . . 18

1.3.7 Corrections statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Imagerie sismique 21

2.1 Principes de limagerie sismique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Les differentes approches possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Les differentes notions de vitesses, impedance acoustique . . . . . . . . . . 22

2.1.3 Les grands principes pour limagerie sismique . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.4 La section a` offset nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.5 Resolution verticale et laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.6 Differents types de multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Analyse en Point-Milieu-Commun (CMP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Milieux Dixiens, mode`le NMO, milieu effectif . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.2 Couverture en point-milieu commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.3 Analyse de vitesse, crite`re de semblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.4 NMO, stretch NMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.5 Section somme, deconvolution multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.6 Statiques residuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Prise en compte du pendage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.1 Pendage vrai, pendage temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.2 Impact du pendage sur le mode`le NMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.3 Operateur DMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.4 Migration temps, migration profondeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2

32.3.5 Mode`le de vitesse pour la migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.6 Artefacts de migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Chapter 1

Traitement du signal sismique

1.1 Introduction, rappels

1.1.1 Definitions

Les signaux sont definis comme des supports physiques dune information, et representes mathe-matiquement par des fonctions dune ou plusieurs variables. Linformation transportee se manifestepar les variations spatiales ou temporelles de cette fonction. On distingue differentes categories designaux:

- signal analogique (fonction continue de variables continues), discret (variable echantillonnee), nume-rique (valeur aussi discretisee).

- signal deterministe (caracterise par une evolution predictible) ou aleatoire (dont les variations nobe-issent qua` des lois statistiques).

Exemples de signaux analytiques: Dirac, peigne, signe, porte, sinusode, exponentiel, . . .

Un syste`me de traitement du signal est un syste`me qui traite des signaux pour en extraire linfor-mation transportee. On introduira ici quelques notions de traitement du signal, avec comme objectifde separer le signal utile des autres, et de loptimiser pour les operations dimagerie sismique.

1.1.2 Signal et bruit

Definitions:

4

CHAPTER 1. TRAITEMENT DU SIGNAL SISMIQUE 5

Bruit: strictement, fluctuations aleatoires des quantites mesurees, liees a` lenvironnement dusite de mesures ou au syste`me denregistrement.

Signal: variation recherchee de ces quantites mesurees

Mesure = superposition du signal et du bruit. Le rapport S/B (Signal/Bruit) indique la qualite etla fiabilite de mesure. On laugmente en repetant les mesures dun facteur

n, si n est le nombre de

mesures repetees (operation dite de sommation).

1.1.3 Signaux periodiques et quasi-periodiques

Rappel des notions de periode, frequence, longueur donde, nombre dondes, amplitude, pour lessignaux periodiques. Relation frequence-longueur donde.

Extension aux notions de periode, frequence, longueur donde,... dominante pour les signauxtransitoires ou quasi-periodiques.

1.1.4 Exemples de signaux en Sciences de la Terre

Exemples de signaux reels:

- 1D, 2D

- temporel, spatial

- geologique, geophysique, . . .

1.1.5 Analyse frequentielle des signaux, notion de spectres

Fonctions periodiques

Theore`me de Fourier: Toute fonction periodique peut etre decomposee en une somme infinie determes trigonometriques harmoniques, soit

h(t) =n=0

An sin(2pint/T + n) (1.1)

ou T est la periode de la fonction h(t). Lindice n est le degre de lharmonique, n = 0 correspondau terme constant, n = 1 au mode fondamental, de periode T (et donc de frequence f0 = 1/T ), et


n > 1 aux modes harmoniques, de periode T/n ou de frequence f = n/T = n.f0. Les coefficientsAn et n diffe`rent pour chaque fonction h(t), et determine le role de chaque frequence.

Notion de spectre damplitude et de phase

Une fonction periodique est donc totalement caracterisee par les jeux de coefficients (An)n=0, et(n)n=0,. On appelle spectre damplitude et de phase ces deux jeux de coefficients. On les representegraphiquement par deux graphes Amplitude/frequence et Phase/frequence. Ces graphes sont discretspour une fonction periodique (des valeurs non nulles napparaissent que pour les frequences multiplesde f0). Lecart minimal entre deux harmoniques donne le mode fondamental (c-a-d la frequence f0).La frequence maximale contenue dans le signal est donnee par le dernier coefficient An non nul.

On a donc deux modes possibles (et duaux) de representation dune fonction periodique quel-conque: le domaine temporel (ou spatial) et le domaine frequentiel. On pourra utiliser lun ou lautreen fonction du proble`me a` traiter.

Generalisation aux fonctions non-periodiques

Pour une fonction h(t) a` support borne, on peut generaliser le theore`me de Fourier en periodisantle signal en dehors de son support (on le repe`te a` linfini). On obtient alors un signal periodique deperiode egale a` la duree de h(t), et donc de frequence fondamentale linverse de sa duree. Le pasde discretisation en frequence sera donc dautant plus petit que le support est etendu. Par passage a`la limite, on montre quune fonction non periodique a` support infini admet un spectre en frequencecontinu. Pour une analyse fine du contenu frequentiel dun signal, on a donc besoin de lobserver surune duree importante.

On appelle bande passante dun signal la largeur a` mi-hauteur de son spectre damplitude.

1.1.6 Crite`re pour lechantillonnage, signaux numeriques

Les signaux geophysiques sont generalement des fonctions reelles continues. Ils sont donc definispar une infinite de valeurs, elles-memes definies par une infinite de decimales. Pour pouvoir traiterces signaux dans des syste`mes construits a` laide doutils informatiques, il est necessaire de reduireces deux infinites a` des nombres finis bornes. On va donc considerer deux operations dites denumerisation des signaux, lechantillonnage et la discretisation du signal. Ces operations devrontetre conduites suivant certaines re`gles pour eviter de corrompre les signaux (aliasing, saturation).


Theore`me de lechantillonnage

Crite`re de Shannon: Pour quun signal soit correctement echantillonne, il faut un minimum de 2points par cycle de la frequence la plus elevee contenu dans le signal.

Si fe est la frequence dechantillonnage, egale a` 1/t (pas dechantillonnage en temps) ou 1/x(pas dechantillonnage en distance), et fmax la frequence maximale du spectre du signal, on doit doncavoir fe 2fmax

Pour un pas dechantillonnage fixe fe, on definit donc une frequence limite, appelee frequence deNyquist fN , egale a` fe/2. Cette frequence ne doit pas etre depassee dans le signal a` echantillonnerpour que le crite`re de Shannon soit respecte.

Aliasing

Laliasing ou repliement de spectre, est un phenome`ne qui apparait lorsque le crite`re de Shannonnest pas respecte. Ce phenome`ne est universel, de`s lors que lon a affaire a` un signal echantillonne,meme si cela nest pas explicite (cf effet stomboscopique, ou images de mouvement en video oucinema).

Tant que le signal ne contient aucune frequence superieure a` fN , la frequence apparente du signalechantillonnee est identique a` celle du signal analogique. En revanche, toute frequence superieure a`fN donnera lieu a` une frequence apparente repliee dans lintervalle [fN ,+fN ], qui pourra donc etreconfondue avec une frequence reelle de cet intervalle.

Pour eviter laliasing, il y a deux solutions:

- choisir une frequence dechantillonnage superieure a` deux fois la frequence maximale contenuedans le signal, ce qui suppose que cette dernie`re est connue.

- eliminer (filtrer) du signal les composantes de frequence superieure a` fN avant echantillonnage(filtre anti-aliasing). Ce filtrage est donc necessairement analogique.

Dynamique

La dynamique dun signal ou dun syste`me est le rapport entre lamplitude maximale et lampli-tude minimale mesurable. La fonction analogique sera dautant mieux representee par la fonctionnumerique que la dynamique est elevee.

La dynamique est donnee par lexpression 20 log10(Amax/Amin) en dB (decibel).

On denomme souvent par lsb (least significant bit) la valeur minimale mesurable. Elle represente


la precision des mesures. Toutes les valeurs discretisees seront des multiples de lsb, c-a-d f(t) =k.lsb, avec k entier. Pour discretiser la valeur dun signal, il suffit donc de determiner le coefficiententier k.

La representation des nombres entiers par les syste`mes informatiques fait appel a` la notion de bit(binary digit) et de mots (ou vecteur de bits). La taille dun mot (n bits) defini directement le nombrede valeurs codables en binaire (2n). La dynamique de ce type de codage est donnee par 20 log10(2n),c-a-d 6n dB.

Un tel syste`me admet des valeurs minimales (lsb) et maximales codables (2n.lsb). Toute valeurdu signal en dehors de cette intervalle sera tronquee (mise a` zero ou saturee). La precision nominaledes valeurs numerisees est de lsb/2.

Pour utiliser correctement la dynamique dun numeriseur (convertisseur analogique-numerique),il est generalement utile de preparer le signal pour que ses amplitudes minimales et maximales soientadaptees: on parle de pre-amplification. Le gain de cet amplification peut etre fixe, ou automatique-ment ajustable: controle automatique de gain (AGC en anglais). Il est alors adapte en permanenceen fonction de lamplitude du signal entrant. Ceci permet daugmenter la dynamique globale dunumerisateur, meme si la dynamique vraie ou instantanee est inchangee.

1.2 Operateurs pour le traitement sismique

1.2.1 Transformee de Fourier rapide, theore`me de la convolution

Transformee de Fourier

La notion de transformee de Fourier est une generalisation aux fonctions quelconques de lanalysede Fourier des fonctions periodiques. Elle permet de passer de la description dune fonction dans ledomaine temporel t (ou spatial x) a` sa description dans le domaine frequentiel f (ou nombre dondesk). La transformee de Fourier inverse realise le passage inverse.

La transformee de Fourier secrira avec une integrale pour les fonctions analogiques (continues)ou avec une sommation pour les fonctions discretisees. Cest une quantite complexe, meme pour dessignaux reels. En analogique, avec t le temps et f la frequence, pour h(t) et H(f) des fonctionscomplexes:

TF (h(t)) = H(f) = +

h(t)e2ipiftdt (1.2)

H(f) = |H(f)|.ei(f) (1.3)TF1(H(f)) = h(t) =

+

H(f)e+2ipiftdf (1.4)


En numerique, avec t = ntt, nt = 1, Nt et f = nff, nf = 1, Nt, h(t) devient h(ntt) =h(nt), H(f) devient H(nff) = H(nf ), avec f = 1/Ntt. On a alors:

H(nf ) =Nt1nt=0

h(nt)e2ipinttnff (1.5)

=Nt1nt=0

h(nt)e2ipintnf/Nt (1.6)

h(nt) = 1/NtNt1nf=0

H(nf )e2ipintnf/Nt (1.7)

Remarques:

- On a TF1(TF (h(t))) = h(t), ce qui rend compte du caracte`re inverse de ces 2 transformations.A un signe pre`s, la TF inverse est similaire a` la TF.

- si h(t) est une fonction reelle (cas des signaux mesures), alors H(f) = H(f), c-a-d la partiereelle de la TF est paire (Re(H(f)) = Re(H(f))), la partie imaginaire est impaire (Im(H(f)) =Im(H(f))). Ceci signifie quon peut determiner la TF pour les frequences negatives par symetriea` partir de la TF aux frequences positives.

- H(0) =Nt1nt=0 h(nt), c-a-d Nt fois la moyenne de la fonction h. La TF a` frequence nulle donne

donc la composante continue de la fonction. Lenergie du signal sobtient par la somme des carres desechantillons de h(t), ou par la somme (identique) des carres des modules des echantillons de H(f).

- pour les fonctions discretisees, la TF et la TF inverse sont periodiques, et de periode Nt (care2ipintnf/Nt = 1 si nt ou nf est un multiple de Nt). Du fait de la periodicite et de la symetrie, il ny adonc que Nf = Nt/2 + 1 valeurs independantes pour caracteriser la TF discre`te.

- La TF dune fonction retardee en temps sobtient par dephasage de la TF en frequence: TF (h(ta)) = H(f).e2ipifa. Le spectre damplitude (c-a-d le module de H(f)) est inchange, le spectre dephase (argument de H(f)) est decale de 2pifa.

- pour Nt = 2m, il existe un algorithme rapide de calcul de la TF discre`te (FFT).

- On obtient la TF2D dun signal 2 dimensions (par exemple une section sismique) en appliquantsuccessivement la TF aux deux variables, ce qui correspond au passage du domaine (temps t, distancex) au domaine (frequence f , nombre donde k).

Exemple:

TF de la fonction porte de duree T : T = 1 si T/2 t +T/2, 0 sinon.

TF (T ) = T/2T/2

e2ipiftdt = T.sin(pifT )/pifT = T.sinc(pifT ) (1.8)


La TF de la fonction porte est donc la fonction sinus cardinale, de pseudo-periode double delinverse de la duree de la porte. On a un resultat similaire si on conside`re la TF inverse dune porteen frequence.

Produit de convolution

Le produit de convolution decrit la transformation dun signal par un syste`me lineaire de fonctioncaracteristique r(t). On obtient alors la reponse du syste`me au signal dentree e(t):

En analogique:

(e r)(t) = e(t) r(t) = +

e(s).r(t s)ds (1.9)

En numerique (avec e(n) defini par N valeurs):

(e r)(n) = e(n) r(n) =N1m=0

e(m).r(nm) (1.10)

Dans ce dernier cas, on verifie aisement que si e(n) est un Dirac (1, 0, 0, 0, . . .), on a bien e(n) r(n) = r(n), c-a-d que r(n) est bien la reponse du syste`me a` une impulsion de Dirac. Le Dirac est enfait lelement neutre de la convolution.

Le produit de convolution est commutatif (er = re) et distributif (e(r1+r2) = er1+er2).Si e est de duree N et r de duree M , alors e r est de duree N +M 1. La TF et la convolution sontdes operations lineaires.

On montre le theore`me important suivant: La TF de la convolution de deux fonctions est egale auproduit des TF de ces fonctions (TF (h(t) g(t)) = TF (h(t)).TF (g(t))). La TF transforme doncun produit de convolution dans le domaine temporel en simple produit dans le domaine frequentiel.Ce produit de quantites complexes correspond au produit des spectres damplitudes (module) et a`la somme des spectres de phase (argument). De facon duale, la TF du produit de 2 fonctions est laconvolution de leurs TF.

Retour sur le Dirac: Considerons ci-dessus la convolution de la fonction h(t) par un Dirac (note(t)). On a TF (h(t) (t)) = TF (h(t)) = TF (h(t)).TF ((t)), dou` TF ((t)) = 1. La TF dunDirac (signal infiniment court) est donc une fonction constante, c-a-d infiniment longue. On dit quele Dirac a un spectre plat et infini, c-a-d quil contient toutes les frequences, avec la meme amplitude,et toutes a` phase nulle. On a un resultat similaire avec un Dirac retarde (TF ((t a)) = e2ipifa).

Lexpression du Dirac en analogique sobtient par (t) = TF1(1) =+ e

2ipiftdf .

Inversement, un Dirac en frequence correspond a` un terme constant sil est a` frequence nulle, oua` une sinusode pure a` cette frequence sil est a` frequence non nulle.


Correlation

La correlation est un operateur permettant de mesurer la ressemblance entre deux signaux, memesi decales en temps (cf correlation statistique de deux variables). Pour des signaux numeriques, elleest obtenue par lequation suivante:

cx,y(n) =N1m=0

x(m).y(m+ n) = x(n) y(n) (1.11)

On appelle energie dinteraction la TF du signal correlation. Elle est egale au produit de la TF dusignal x par le conjugue de la TF du signal y. Son spectre damplitude est donc obtenu par le produitdes spectres damplitude de x et y. Son spectre de phase est obtenu par la difference de leur spectresde phase.

Lautocorrelation correspond au cas particulier ou` x et y sont identiques. Son spectre damplitudeest le carre du spectre de x, son spectre de phase est nul (elle est donc symetrique). Elle permetdevaluer la largeur dun signal en temps, ou didentifier des repetitions dans le signal et leur periode(par exemple pour les reflexions multiples).

1.2.2 Transformee en Z dune sequence numerique

On conside`re une sequence finie de nombres reels, tel quun signal echantillonne, notee (hn)n=0,N .La transformee en Z de cette sequence est le polynome de la variable complexe Z de degre N definipar:

H(Z) =N

0 hnZn

Cette transformee permet de representer le traitement du signal par des operations sur des polynomes.En particulier, la convolution de deux sequences correspond au produit de leur transformee en Z. LaTransformee de Fourier est un cas particulier de transformee en Z, pour lequel on a Z = e2ipift.

1.2.3 Definition des filtres, deconvolution, filtre inverse

Definition des filtres

Les filtres sont des syste`mes qui agissent sur un signal dentree e(t) (ou excitation) pour produireun signal de sortie s(t) = F (e(t)) (ou reponse du syste`me F ). Par exemple, en sismologie, oupourra dire que lensemble Terre + enregistreur est un filtre qui transforme un seisme (excitation) ensismogramme (reponse).


Un syste`me est dit causal si la reponse ne prece`de jamais lexcitation:

e(t) = 0, t < t0 s(t) = 0, t < t0

Cela signifie que le filtre F est independant de lentree e; ce sont les seuls syste`mes physiquementrealisables.

Un syste`me est dit lineaire si la reponse depend lineairement de lexcitation, c-a-d

F [e1(t) + e2(t)] = F (e1(t)) + F (e2(t))

Cest le principe de superposition, qui nous permettra de construire de nouveaux filtres en combi-nant des filtres elementaires.

Un syste`me est stationnaire (ou invariant dans le temps) si

s(t) = F (e(t)) s(t t0) = F (e(t t0))

Un filtre est dit stable si un signal dentree borne est transformee en un signal de sortie borne:

|e(t)| < A,t |s(t)| < B, t

Reponse impulsionnelle, fonctions de transfert

La reponse impulsionnelle est le signal de sortie dun filtre excite par un Dirac. Soit un filtre Finvariant et lineaire, et une impulsion dentree (t). On note R(t) = F ((t)) la reponse impulsion-nelle.

Connaissant cette reponse impulsionnelle, on peut determiner la reponse de ce filtre pour toussignaux numeriques dentree e(t) =

+ e(u)(t u):

F (e(t)) =+ e(u)F ((t u)) =

+ e(u)R(t u) = e(t) R(t)

La sortie du filtre correspond donc a` la convolution du signal dentree par la reponse impulsion-nelle du filtre.

Si on conside`re maintenant une fonction h(t) periodique, decomposee en serie de Fourier, et sareponse au filtre F :

h(t) =n=0 An sin(2pint/T + n)

F (h(t)) =n=0 AnF (sin(2pint/T + n))

On voit quil suffit de connaitre la reponse du filtre pour les entrees trigonometriques harmoniques,


pour determiner la reponse a` toute entree periodique.

Propriete: La reponse dun filtre a` une fonction dentree harmonique (monochromatique) est unefonction harmonique de meme frequence, mais damplitude et de phase differente. On appellerafonction de transfert du filtre la fonction qui transforme lensemble des fonctions harmoniques enlensemble de leur reponses. On la representera sous forme de spectres damplitude et de phase enfonction de la frequence (courbes de reponses en frequences), donnant lamplitude et la phase desortie pour une amplitude 1 et une phase 0 en entree. Cette fonction de transfert correspond a` la TFde la reponse impulsionnelle, quon designe aussi par gain complexe.

Pour appliquer un filtre en frequence, il suffit donc de multiplier la TF du signal dentree par lafonction de transfert du filtre (produit des amplitudes, addition des phases). Un filtre phase nul ne joueque sur les amplitudes, mais ne peut etre causal, pour raison de symetrie. Un filtre phase minimal estcausal, et minimise leffet sur le spectre de phase.

Exemples de filtres

Filtres dans le domaine temps/distance, 1D ou 2D: lissage par fene`tre glissante, correspondanta` la convolution du signal avec une fonction definie par un nombre de points et un coefficient pourchaque point. Fonctionnement assez intuitif, mais temps de calcul assez lourd. Il y a des proble`mespour traiter les echantillons au bord (prevoir un peu de marge).

Filtre dans le domaine frequentiel: Le filtre est determine par sa fonction de transfert, et sa bandepassante. On obtient la sortie par TF de lentree, multiplication par la fonction de transfert, et TFinverse. Cette approche est efficace si on utilise une TF rapide (FFT). On defini ainsi des filtrespasse-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande, . . .

Combinaison de filtre: En serie, la sortie dun premier filtre est dirigee vers lentree dun second.Alors, il y a convolution des reponses impulsionnelles, et donc produit des fonctions de transfert. Enparalle`le, une meme entree est envoye sur deux filtres et les sorties reunies. Cette fois, il y a additiondes reponses impulsionnelles, et donc aussi des fonctions de transfert.

Deconvolution

Loperation de deconvolution est loperation inverse de la convolution. Pour lapplication dunfiltre, la deconvolution consiste a` retrouver le signal dentree, connaissant la reponse impulsionnelleet le signal de sortie. Ou alors de trouver la reponse impulsionnelle, connaissant le signal dentree etle signal de sortie.

En terme de Transformee en Z, la convolution correspond au produit de polynomes et la deconvolutiondonc au quotient de polynomes, ou fraction rationnelle. La difficulte vient du fait que meme pour despolynomes de degre fini, le calcul du quotient conduit en general a` un degre infini, ce qui pose desproble`mes pratiques.


Filtre inverse

Le filtre inverse est le filtre qui correspond a` loperation de deconvolution, c-a-d le filtre quil fautappliquer au signal de sortie pour retrouver le signal dentree. Alors la combinaison en serie du filtreet du filtre inverse revient a` une operation neutre, c-a-d une convolution par un Dirac. On obtient doncaisement le resultat que la TZ du filtre inverse est linverse de la TZ du filtre initial. La` encore, onrencontre le proble`me du degre infini du filtre inverse exact. On est donc amene a` substituer au filtreinverse exact mais infini, un filtre inverse approche mais fini, dit filtre de Wiener. Il est approche ausens des moindres carres, c-a-d en choisissant le filtre h1(t) tel que la quantite

N0 ((nt) h(nt)

h1(nt))2 soit minimale, une fois choisie la longueur N du filtre. Lobtention de ce filtre de Wienerse fait par resolution dun syste`me lineaire constitue grace a` la matrice dautocorrelation du filtre a`inverser dune part, et lintercorrelation de ce filtre avec la sortie desiree dautre part.

1.3 Pre-traitement des donnees sismiques

1.3.1 Traitement des amplitudes, edition des traces

Dans un milieu homoge`ne, lenergie de londe sismique (de volume) se repartit de facon egalesur lensemble de la surface du front de londe, qui a la forme dune sphe`re, centree au point source,ou dune hemisphe`re pour une source en surface. Dans les deux cas, la surface du front donde estau carre de son rayon, produit du temps de propagation par la vitesse. On en deduit que lenergiesattenue en fonction du carre du temps, et donc lamplitude de londe en fonction du temps, (puisqueracine carree de lenergie). Ce phenome`ne porte le nom de divergence geometrique de londe, etconduit a` une diminution rapide de lamplitude de londe avec le temps de propagation, qui vienteventuellement sajouter a` leffet dattenuation intrinse`que du milieu, surtout pour les frequencesles plus elevees de la bande passante sismique. De ce fait, une representation brute des donneessismiques ne va montrer du signal que au voisinage de la source et pour des temps courts. Pourvisualiser lensemble des signaux enregistrees, il sera necessaire de traiter les amplitudes, et on adifferentes facons de le faire:

- controle par loperateur du gain de laffichage (percentiles, clipping, conversion en db,. . . )

- compensation de la divergence geometrique (mutiplication par un t, . . . ), ou de lattenuation

- egalisation laterale (division de chaque trace par son amplitude moyenne)

- controle automatique du gain (division de lamplitude de chaque echantillon par lamplitude moyennedans une fenetre centree de taille choisie)

Certains des moyens ci-dessus (egalisation, agc) impliquent la perte des valeurs reelles des am-plitudes. Ceci nempeche pas lobtention dune image sismique fiable du point de vue de sa geometrie.


On parle alors dune approche cinematique, c-a-d respectant les temps de propagation. Pour linterpre-tation plus poussee en termes de proprietes physiques du milieu, il est necessaire de preserver les am-plitudes, on parle alors dune approche dynamique; dans ce cas, les procedes degalisation et dagcsont a` proscrire.

A noter que les ondes de surface ont une divergence geometrique cylindrique (et non spherique),ce qui conduit a` une moindre attenuation de lenergie, si bien que leur amplitude devient rapidementsuperieure a` celle des ondes de volume quand on seloigne de la source. Etant lentes, elle arrive avecun certain retard par rapport aux ondes de volume, mais peuvent interferer avec des ondes de volumereflechies en profondeur.

Il apparait generalement dans les donnees sismiques que certains recepteurs, en petit nombre,sont deficients, et ne produisent que des traces bruites. Ce nest pas un proble`me grave en sismiquemultitrace du fait de la redondance des donnees, de`s lors que le nombre de telles traces reste reduit.Afin deviter que ces traces genent le traitement ou laffichage des traces valides, elles font lobjetdune mise a` zero (en anglais trace killing). De la meme facon, on peut etre amene a` mettre a` zeroune portion des traces qui ne contient que du bruit, par exemple avant larrivee des premiers signauxenregistres sur chaque recepteur. On parle alors de trace muting. Pour eviter des artefacts detraitement, il est preferable de realiser le mute de facon progressive plutot que brutale, en utilisantdes zones dites tampons (tapers).

1.3.2 Filtrage passe-bande

Du fait de sa propagation dans le sous-sol, londe sismique est un signal dit band-limited, c-a-dque son spectre damplitude est limitee a` une bande de frequences, dite bande sismique, meme si lasource utilisee a un spectre plus large (par exemple un Dirac, qui a une bande infinie). Cette bandesismique depend de la profondeur dinvestigation et la taille des dispositifs, elle se reduit rapidementquand ces dimensions augmentent, sans toutefois totalement disparaitre, puisque on peut percevoirdes echos de seismes meme a` travers tout le globe. Pour la sismique marine, par exemple, la bandesismique va de quelques hz a` 70-80 hz en general. Cette limitation de la bande sismique a un impactdirect sur la resolution des images sismiques (cf paragraphe resolution).

Lenregistrement des traces sismiques contient des signaux sur lensemble de la gamme de frequencesdefinie par lechantillonnage (0 a` frequence de Nyquist), choisie bien entendu pour contenir au moinstoute la bande sismique. Generalement, dautres signaux (bruits ou parasites) viennent se superposera` lenregistrement aux signaux sismiques, dans lensemble de la gamme de frequence. Dautre part,les signaux sismiques enregistres sont de differentes origines (onde de volume, de surface, directe,sonore, . . . ), pas uniquement des ondes reflechies dans le sous-sol qui vont conduire a` limage sis-mique recherchee. Il est donc necessaire de separer ces differentes contributions au signal enregistre,afin disoler le signal utile, des autres signaux nuisibles. Il y a plusieurs techniques pour cela, dont laplus commune est le filtrage passe-bande.

Lidee est dutiliser le crite`re frequence pour isoler la partie utile du signal enregistre. Pour cefaire, il faut analyser les spectres damplitude correspond aux differents signaux enregistres, par anal-


yse de Fourier. On pourra ainsi tenter de definir une plage de frequence ou` le signal utile est dominant,puis construire un filtre en ne conservant que cette plage de frequences, et en mettant a` zero les sig-naux aux autres frequences. La fonction de transfert du filtre sera donc une porte damplitude unite,entre la frequence minimum et la frequence maximum definies par lanalyse spectrale. La forme dela porte doit etre trapezodale, afin de limiter les artefacts de calcul (inclusion de bande tampons).Le spectre de phase est de preference nul, pour eviter de modifier les phases des signaux filtres, ouphase minimum. Pour appliquer le filtre, il faut calculer la TF du signal sismique, multiplier le spectreobtenu par la fonction de transfert, puis calculer la TF inverse pour obtenir le signal sismique filtre.

Le filtre passe-bande peut aussi etre vu comme la combinaison en serie dun filtre passe-haut (oucoupe bas), qui elimine les basses frequences, et dun filtre passe-bas (ou coupe haut) qui elimine leshautes frequences. La fonction de transfert est alors obtenue par multiplication dun echelon a` droite,par un echelon a` gauche, donnant la porte du filtre passe-bande.

On appelle bande passante du filtre la largeur de la porte a` mi-hauteur. Cette bande passante, etdonc la resolution des images sismiques, sera directement issue de la plage de frequence choisie. Ilest souhaitable pour optimiser la resolution davoir la bande sismique la plus large possible.

1.3.3 Filtrage f-k, separation dondes

Le filtrage passe-bande ne peut etre efficace que pour separer des signaux de frequences differentes,ce qui peut etre le cas pour divers bruits, ou pour des ondes de surface en sismique terrestre. En re-vanche, il ne peut rien si les frequences des signaux a` separer se recouvrent largement, il est alorsnecessaire de chercher un autre crite`re pour separer ces signaux. Du fait des proprietes de la TF2D,la pente des signaux lineaires est un crite`re possible de separation.

On peut montrer quun signal lineaire de pente a dans une section sismique, quelque soit sondecalage temporel, sera transforme par TF2D en un signal lineaire de pente 1/a passant par lorigine.Ainsi, deux signaux superposes, de meme frequence mais de pentes differentes dans la section sis-mique, auront leurs spectres f k disjoints. Il sera alors possible de definir un gabarit de filtre(extension de la notion de porte du filtre passe-bande au cas 2D), soit une ligne polygonale fermeedans le domaine f k, pour determiner la fonction de transfert du filtre (amplitude 1 a` linterieur, 0a` lexterieur, plus des bandes tampons) permettant de les separer.

Dans les sections sismiques marines, cette methode permet de separer les ondes reflechies desondes directes source-recepteurs, se propageant a` proximite de la surface de leau, donc sans interetpour limagerie. En sismique terrestre, cette methode permet deliminer des signaux indesirablescomme les ondes directes sonore, de surface ou dite ground-roll. En pratique, on peut rencontrer unproble`me daliasing spatial, si lechantillonnage en distance (lintertrace) est trop large, car il apparaitalors un repliement des signaux dans le domaine f k qui peut gener la definition du gabarit optimal.Le proble`me est dautant plus present que la vitesse des ondes est faible. Pour en limiter limpact,on peut etre amener a` appliquer un traitement prealable a` la section sismique en horizontalisant lessignaux lineaires a` filtrer, afin quil apparaissent avec une pente verticale dans le domaine f k.


Il existe dautres types de filtrage pour la separation dondes, bases sur des transformations dedomaine. Cest par exemple le cas de la transformee dite tau-p, ou transformee de radon lineaire,qui decompose une section sismique en une serie deve`nements lineaires, definis par leur pente p etleur intercepte a` lorigine .

1.3.4 Trace synthetique, mode`le convolutionnel 1D

Comme indique plus haut, lenregistrement sismique (sismogramme, ou trace) peut etre vu commele resultat du filtrage dune ondelette source par un filtre terrain, plus du bruit. Si on suppose connules proprietes physiques du sol, il est possible den deduire la reponse impulsionnelle du filtre terrain,et donc de simuler un sismogramme ou une trace par convolution avec une source. On parle alors detrace synthetique. Si une telle trace synthetique est similaire a` une trace reelle enregistree, on pourradire que le terrain reel peut-etre decrit par les proprietes physiques du sol ayant genere cette tracesynthetique.

Pour effectuer cette simulation, il faut faire une certain nombre de simplifications, qui sont resumeesdans ce quon appelle le mode`le convolutionnel 1D:

- Le milieu heteroge`ne peut etre represente par un ensemble de couches horizontales homoge`nes, c-a-dde vitesse et densite constante

- La propagation de londe sismique se fait a` incidence normale sur les limites de couches, c-a-d verti-cale. Dans ce cas, la reflectivite dune interface est donnee par le contraste dimpedance acoustiquenormalise, soit r = (2V2 1V1)/(2V2 + 1V1).

- Londelette source est stationnaire en temps (si necessaire, apre`s correction de divergence geometrique).

- Le bruit est negligeable (rapport signal/bruit eleve).

Pour obtenir la reponse impulsionnelle du sol, on imagine une source Dirac qui se propage verti-calement et se repartit a` chaque interface entre une onde reflechie (damplitude r) et une onde trans-mise. Chaque interface va donc contribuer par une impulsion ponderee en amplitude, eventuellementnegative, et decalee au temps AR de la reflexion, a` la trace sismique qui serait enregistree en surfacedans ces conditions. Cette simulation inclus les reflexions primaires (un simple AR) et des reflexionsmultiples entre chaque couche. Lamplitude des multiples decroit rapidement dans la mesure ou` lescoefficients de reflexion sont generalement faibles, et donc tendent vers zero quand on les multiplieentre eux. Le resultat est une trace constituee de petites impulsions reparties de facon irregulie`re surlensemble de la duree decoute. Finalement, la trace synthetique est obtenue en convoluant cettereponse par londelette source, ce qui revient a` remplacer chaque impulsion par une ondelette sourceponderee en amplitude, puis a` sommer toutes ces ondelettes.


1.3.5 Notion de fantomes, reverberations

Si on conside`re une experience sismique comme le filtrage dun signal source par le milieu depropagation, elle pourra donc etre representee mathematiquement par la convolution du signal sourceet de la reponse impulsionnelle du sol (cf mode`le convolutionnel 1D). Pour ce faire, il est necessairede connatre precisement le signal source emis, ce qui nest pas toujours aise. Un solution consistea` prevoir des capteurs specifiques permettant denregistrer ce signal source. Neanmoins, ce signalenregistre va contenir plusieurs contributions, en particulier lors dexperiences sismiques marines.En effet, la source est immergee (canons a` air), et omnidirectionnelle, elle emet donc de lenergieaussi bien vers le fond que vers la surface, et lenergie arrivant a` la surface de la mer va subir unereflexion totale, et repartir vers le fond, avec un leger retard par rapport a` lenergie initiale dependantde la profondeur de la source, et de la vitesse de propagation dans leau. On parle deffet fantome, etla source enregistree sera due a` linterference de lenergie initiale et de lenergie reflechie en surface,ce qui va alterer la forme du signal emis. Il convient de choisir la profondeur de la source en fonctionde sa frequence pour optimiser cette combinaison. Il y a egalement un effet fantome du cote desrecepteurs, pour les memes raisons.

De la meme facon, on a un effet de reverberation dans la couche deau, quand lenergie emise,puis reflechie au fond de leau, revient vers la surface de leau et sy reflechie de nouveau totalement.Elle est a` nouveau propagee vers le fond, et va conduire a` la propagation dun second train dondes a`travers le milieu. Cette reverberation peut se produire plusieurs fois, en fonction de lenergie emise, etde la profondeur de leau, meme si lenergie diminue progressivement avec le nombre de reflexions.Leffet de reverberation existe egalement pour lenergie incidente sur les recepteurs.

Pour la convolution avec la reponse impulsionnelle du sol, il est donc necessaire dinclure les effetsde fantomes et de reverberation au signal source emis, afin de representer comple`tement lexperiencesismique. Ceci se fait en etablissant les reponses de chaque processus, et en les combinant par addition(filtres en paralle`le) ou par convolution (filtres en serie).

1.3.6 Deconvolution, egalisation spectrale, anti-reverberation

Le calcul de la trace synthetique correspond a` un proble`me direct, c-a-d a` predire la reponse dunmilieu suppose connu. Ce proble`me a une solution unique. Ceci permet eventuellement de comparercette reponse a` celle dun milieu reel inconnu. Le proble`me de limagerie sismique est un proble`meinverse: a` partir de la reponse enregistree sur le milieu reel inconnu, determiner les caracteristiquesde ce milieu. Pour sassurer de la validite de la solution, on pourra verifier que la trace synthetiquecorrespondante reproduit correctement la trace enregistree. En general, le proble`me inverse na pasune solution unique, et il peut saverer necessaire de disposer dinformations complementaires pourle resoudre. Une facon de la faire est dimposer des contraintes sur le milieu (par exemple coucheshorizontales homoge`nes).

La deconvolution correspond au proble`me inverse de la trace synthetique. Elle consiste a` essayerde retrouver la reponse impulsionnelle du sol a` partir de la trace enregistree. On a vu precedemment


comment determiner un filtre inverse. Si on dispose de londelette source (enregistree), on pourrautiliser cette technique pour appliquer le filtre inverse de londelette source a` la trace enregistree(operation dite de de-signature), ce qui devrait nous donner la reponse impulsionnelle du sol, soit lareflectivite en fonction du temps double. Il restera encore a` determiner les impedances acoustiques,dite inversion en impedance, puis vitesses et densites.

Dans le cas ou` londelette source na pas ete enregistree, on peut essayer dapprocher de faconstatistique ces caracteristiques. En effet, elle est incluse dans la trace sismique. Lautocorrelation dela trace sismique permet destimer la spectre damplitude de londelette, et une hypothe`se de phaseminimum permet de la reconstituer. A partir de la`, on se retrouve dans le cas de la de-signature.

Lautocorrelation permet egalement destimer les periodes de repetition dans le signal enregistre,par exemple dans le cas de reverberation dans la couche deau. On peut donc utiliser cette informationpour eliminer les effets de reverberation (filtre anti-reverberation). Cela consiste a` determiner le filtrede Wiener qui permet de predire leffet des repetitions a` la periode obtenue par lautocorrelation,puis a` soustraire cette prediction de la trace enregistree. On appelle ce processus un filtre derreur deprediction (prediction error filter).

1.3.7 Corrections statiques

La dernie`re phase de pre-traitement concerne la prise en compte des effets lies a` lirregularite dela surface dacquisition. En effet, la topographie du sol va affecter les distances a` parcourir par londesismique reflechie, et donc les temps de parcours. Il est donc necessaire de corriger des effets de latopographie pour obtenir des images correctes des reflecteurs en profondeur. Pour cela, un releve to-pographique de la surface doit etre effectue en plus des mesures sismiques, et un niveau de referenceest choisi (dit datum) auquel lensemble des mesures sismiques seront rapportees. On appelle correc-tions statiques delevation les corrections effectuees pour compenser ces effets topographiques. Cescorrections sont dites statiques, car cest lensemble de la trace sismique qui est corrigee par decalagevers le haut (correction negative) ou vers le bas (correction positive).

Dautre part, le milieu superficiel comporte generalement une zone a` faible vitesse sismique, ditezone alteree, depaisseur et de vitesse variable, liee au niveau de saturation en eau du sous-sol. Lestemps de parcours des ondes descendantes et montantes seront affectees, et il faudra donc apporter unecorrection, dite correction statiques de zone alteree, aux temps mesures. Pour ce faire, il faut connaitrelepaisseur et la vitesse de la zone alteree, ce qui necessite des mesures specifiques, soit par carottageset mesure de temps de trajets verticaux, soit par application de techniques dondes refractees. Lesparame`tres a` connaitre sont lelevation, le niveau du datum, lepaisseur de la zone alteree, la vitessede la zone alteree, et le vitesse de la couche sous-jacente, dite vitesse de remplacement.

Les corrections statiques sont dites surface-consistent, c-a-d quelle ne dependent que du lieuconsidere, et pas de la source ou du recepteur considere. Elles sont donc estimees pour chaqueposition, et ensuite appliquees a` chaque source ou recepteur qui y sera place. Pour les sources, il fauten outre tenir compte de la profondeur si elle est enterree (cas de lexplosif). La correction statiquetotale est la somme de la correction statique de source et de la correction statique de recepteur.

Chapter 2

Imagerie sismique

2.1 Principes de limagerie sismique

2.1.1 Les differentes approches possibles

Les donnees sismiques forment des blocs de donnees de dimension superieure a` lespace a` imager(3 pour le 2D, 5 pour le 3D). On peut les representer en coordonnees source, recepteur, temps, ou bienpoint-milieu, offset, temps, les dimensions spatiales etant a` une ou deux composantes pour le 2D ou le3D. Il y a donc redondance dinformations (couverture multiple), et il faudra operer une compressiondes donnees pour obtenir limage finale, cette operation portant le nom de sommation (stack).

Pour des reflecteurs pentes, les points de reflexion ne sont pas situes verticalement sous les pointsde mesure. Les ondes reflechies remontent en surface en formant un angle pouvant etre importantavec la verticale, meme pour de courtes distances source-recepteur. Il existe donc deux referentiels deposition, celui de surface ou` sont situes sources et recepteurs, et celui de sub-surface, ou` sont localisesles reflexions. Pour construire limage sismique de la sub-surface a` partir des donnees sismiquesde surface, il faudra donc operer ce changement de referentiel, cette operation portant le nom demigration.

La sismique consiste a` mesurer des temps de trajet (on parle de temps double pour la sismiquereflexion de surface). Ce temps double est evidemment lie a` la profondeur du reflecteur, par lintermediairedune vitesse de propagation (t = 2z/v). Il est souhaitable pour une interpretation geologiquedobtenir une image finale en profondeur, ce qui necessitera une conversion temps - profondeur. Ilest a` noter que la precision de limage profondeur depend autant de la precision de limage sismique,que de la precision sur la vitesse utilisee, ce qui nest pas le cas pour les images temps.

Ces 3 operations (sommation, migration, conversion) peuvent etre enchainees de differentes facons,ce qui conduit a` differentes approches de limagerie sismique, en fonction des donnees disponibles,des cibles a` atteindre, et des ressources mobilisables:

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CHAPTER 2. IMAGERIE SISMIQUE 21

- Lapproche traditionnelle de migration apre`s sommation (post-stack migration): les operations sontrealisees dans lordre sommation - migration - conversion. Cette approche est la plus economique, carelle commence par la reduction de la redondance, et les operations suivantes, pouvant etre lourdes,sont realisees sur un volume reduit de donnees. Les informations vitesses sont obtenues en cours detraitement, il nest pas necessaire de disposer dun mode`le initial. Cette approche donne des resultatssatisfaisants pour des milieux geologiques simples, y compris en 3D. Elle rencontre ses limites dansles milieux geologiques complexes, dou` le besoin dapproches alternatives.

- Lapproche migration temps avant sommation (pre-stack time migration): migration temps - som-mation - conversion profondeur. La migration temps ne necessite quun mode`le de vitesse approxi-matif, et ameliore la lisibilite des images sismiques en repositionnant les reflecteurs correctement. Lasommation en est donc facilitee. Limage migree temps est donc amelioree si necessaire, sans etreentachee par les incertitudes sur la vitesse. Cest uniquement la dernie`re operation de conversion quidepend directement de la vitesse, et quil faudra mettre a` jour si des informations vitesse nouvellessont obtenues (diagraphies, VSP, . . . ).

- Lapproche migration profondeur avant sommation (pre-stack depth migration): migration/conversionprofondeur - sommation. Cest lapproche la plus correcte quand le milieu geologique est complexe,mais qui est aussi la plus che`re, et qui necessite de disposer du mode`le de vitesse aussi exact quepossible (information a priori). Idealement, il faut connatre la sous-sol pour pouvoir limager! Cestcependant la methode de reference dans lindustrie, car celle qui semble la plus fiable, pour peuque les phases anterieures dexploration aient permis de definir un bon mode`le de vitesse (sismique,carottage, diagraphie, ou mesures de puits).

Pour ces differentes approches, on pourra distinguer une mise en oeuvre dite cinematique, pourlaquelle seuls les temps de parcours et donc les profondeurs sont evalues, dune approche dite dy-namique, pour laquelle les amplitudes des reflexions sont egalement preservees. Cette dernie`re seranecessaire pour interpreter les images pas seulement en terme de geometrie des interfaces, mais aussien termes de proprietes physiques des milieux rencontres (caracterisation).

2.1.2 Les differentes notions de vitesses, impedance acoustique

Les differentes notion de vitesses utilisees en sismique sont les suivantes:

- Vitesse instantanee: vitesse locale du materiau geologique, telle que mesuree en diagraphie sonic,ou sur echantillon en laboratoire. Cest le rapport entre un petit increment de distance et le tempsnecessaire pour le parcourir. Cette vitesse est une caracteristique du milieu de propagation (coeffi-cients elastiques), elle diffe`re en fonction du type dondes (P, S, surface, . . . ), et pour le cas anisotropeaussi en fonction de la direction (vitesse horizontale, verticale, . . . ). Dans un milieu poreux plus oumoins sature, comme le sous-sol, elle correspond a` une combinaison des caracteristiques du solide,du fluide et du squelette.

- Vitesse dintervalle: Pour les milieux tabulaires, formes de couches considerees comme homoge`nes,on definit la vitesse dintervalle comme la distance parcourue pour traverser la couche divisee par


le temps requis. Cela correspond a` lintegrale de la vitesse instantanee entre lentree et la sortie dela couche, rapportee a` lintervalle de temps. Cette vitesse dintervalle est mesurable par la sismiquereflexion, ce qui nest pas le cas de la vitesse instantanee, car il faut un echo correspondant a` unediscontinuite geologique pour obtenir une mesure de temps de propagation.

- Vitesse moyenne: Cest la vitesse qui correspond au temps total requis pour parcourir la distancetotale entre source et recepteur. Cest donc lintegrale de la vitesse instantanee sur lensemble duparcours divisee par le temps de parcours, ou la moyenne des vitesses dintervalles, ponderees parle temps relatif de parcours dans chaque couche. Cest donc la vitesse apparente de londe sismiquesi on connait la distance parcourue, comme par exemple dans le cas de mesure de sismique de puits(source en surface, recepteur en puits, dit VSP).

- Vitesse RMS: Cest une vitesse moyenne egalement, mais ici une moyenne quadratique, c-a-d unemoyenne des carres des vitesses (RMS = Root Mean Squares). En sismique reflexion, cette vitessejoue un role particulier, dans la theorie du milieu effectif quon verra plus loin. Une importanterelation, dite loi de Dix, permet de relier vitesses dintervalles et vitesses RMS dans un milieu multi-couche horizontal:

V 2int(n) =V 2rms(n)tnV 2rms(n1)tn1

tntn1

ou` tn est le temps de transit dans la couche n.

Dans les cas dun milieu homoge`ne, toutes ces vitesses sont equivalentes. En general, les vitessesont tendance a` crotre avec la profondeur, les vitesses moyennes sont alors plus faibles que les vitessesdintervalle, la vitesse RMS dans une moindre mesure.

Lois temps-profondeur: Une fois les vitesses etablies, il devient possible de convertir temps dou-ble en profondeur (z(t)), et inversement profondeur en temps double (t(z)). Ces lois sont utiles pourla phase de conversion temps-profondeur, ou pour le calage de la sismique avec les informations depuits.

Impedance acoustique: Limpedance acoustique correspond a` la capacite du milieu a` sopposerau passage dune onde elastique. On lobtient par le produit vitesse fois masse volumique.

Reflectivite: Cest la quantite qui est a` lorigine des reflexions sismiques. Une image sismiquecorrespond a` une section de reflectivite, quil faudra ensuite interpreter en termes geologiques. Lareflectivite correspond au contraste dimpedance acoustique, elle est donc nulle en domaine ho-moge`ne, et non nulle seulement sil y a localement des variations de vitesse ou de densite, par exemplea` des limites de formations, ou pour differents contacts geologiques.

2.1.3 Les grands principes pour limagerie sismique

Le comportement des ondes sismiques se propageant dans le sous-sol respecte certains grandsprincipes physiques, qui sont rappeles ici:


- Principe de Huyghens: Ce principe decrit la facon dont un front donde se propage. Un front dondeest une surface reliant tous les points du milieu dans le meme etat vis a` vis de la propagation de londe(en phase). Le premier dentre eux separe les points du milieu non encore atteints par londe de ceuxqui lont deja` ete. Ces fronts donde definissent des surfaces physiques (visibles) dites isochrones,c-a-d de meme temps de propagation depuis la source. Dans un milieu homoge`ne, ce sont des sphe`resconcentriques, centrees sur la source. Les lignes orthogonales aux fronts donde sont les rais, quinont pas dexistence physique, mais qui permettent de materialiser le chemin suivi par lenergiesismique. Dans un milieu homoge`ne, ils sont rectilignes. Le principe de Huyghens specifie quetout point dun front donde peut etre considere comme une nouvelle source emettant dans toutes lesdirections de lespace. Le front donde resultant apre`s un delai dt sera obtenu en additionnant chaquefront donde elementaire issu de chacun de ces points, c-a-d en prenant lenveloppe de ces frontsdonde elementaires (partie constructive dans la sommation). Ceci permet de calculer la propagationdes front dondes a` travers lensemble du milieu, de proche en proche. Cela fonctionne aussi pour laretro-propagation vers la source.

- Principe de Fermat (ou de stationnarite): Il permet de determiner le chemin suivi par londe entre unpoint origine, et un point arrivee (rai). Ce sera le chemin donnant le temps de parcours minimal (enmilieu homoge`ne, le chemin est donc rectiligne). Il peut secrire sous forme differentielle en statuantque cest celui pour lequel la derivee du temps de parcours par rapport au chemin suivi sannule, cequi correspond au chemin dit stationnaire, du fait de la stabilite du temps de parcours a` son voisinage.On peut aisement en deduire les lois de reflexion et de refraction, dite de Snell-Descartes, ci-dessous.

- Lois de Snell-Descartes: Ces deux lois definissent le comportement des rais sismiques lorsque londerencontre sur son chemin une discontinuite dimpedance acoustique. Il y a alors partage de lenergieen une onde reflechie restant dans le milieu dincidence, et une onde refractee transmise dans lesecond milieu. Dans les deux cas, la quantite p = sin()

V, dite parame`tre du rai, ou` est langle entre

le rai et la normale a` linterface, est conservee, ce qui permet den deduire angle de reflexion (egala` langle dincidence) et angle de refraction si les vitesses sont connues. La loi de refraction permetde determiner une incidence critique dans le cas ou` la vitesse augmente, au dela` de laquelle lenergiesismique ne peut plus etre transmise, on parle alors de reflexion totale.

- Principe de reciprocite: Il stipule simplement quil y a symetrie comple`te entre source et recepteuren sismique, c-a-d quon peut permuter leur role sans quil ny ait de changement, ni sur le temps deparcours, ni sur le chemin suivi, ni sur lamplitude du signal.

2.1.4 La section a` offset nul

Cette section correspond a` un resultat intermediaire obtenu apre`s loperation de sommation danslapproche traditionnelle de limagerie sismique. Elle correspond a` la sismique qui aurait ete en-registree avec un dispositif mono-canal, source et recepteurs confondus. Dans ce cas, les trajetsdescendant et montant de londe sont confondus, le long du rai dit normal, c-a-d orthogonal aux in-terfaces (angle dincidence et de reflexion nul). Il sagit dune section en temps, dite non-migree,car la migration post-sommation reste a` effectuer. Cette section offset nul peut ressembler a` limagesismique dans certains cas, ou sen distinguer nettement dans dautres cas. Pour mieux linterpreter,


il est souhaitable de pouvoir la simuler, et il existe differentes facon de le faire (rais normaux, pointsdiffractants, reflecteur explosif, . . . ).

Simulation par rais normaux: Pour la realiser, on trace des rais normaux aux interfaces, et oncalcule les temps de trajets jusqua` atteindre la surface denregistrement. On reporte ensuite les tempsobtenus (doubles) a` la verticale sous les points demergence des rais. Les eve`nements sismiques sontalors obtenus en reliant ces points entre eux.

Couches horizontales homoge`nes: Limage dune couche horizontale homoge`ne est un eve`nementaussi horizontal, pour un temps correspond a` 2Z/V . Dans le cas de plusieurs couches superposees,de vitesses dintervalle differentes, on obtient aussi une serie deve`nements horizontaux, mais leurseparation en temps nest pas similaire aux epaisseurs. Une acceleration conduit a` la reduire, unralentissement a` laugmenter.

Couches pentees: Si on introduit un pendage sur une interface lineaire, leve`nement correspon-dant de la section offset nul sera egalement lineaire et pente. On appelle pendage-temps le pendageapparent de cet eve`nement, different du pendage reel. Ce nest pas un veritable angle, puisque quil nesagit plus dun rapport de longueur, sans dimension, mais dun rapport temps/distance, de dimensioninverse a` une vitesse (on parle de lenteur). Si on le note , et le pendage reel , on a alors la relationtan() = 2

Vsin() dans un milieu homoge`ne de vitesse V . Il est a` noter que le point de reflexion

nest pas a` la meme position laterale que son point representatif dans la section a` offset nul. Cestpourquoi loperation de migration sera necessaire pour obtenir limage sismique finale.

Anticlinal: Parmi les formes geologiques simples de reference, on peut distinguer deux formesdinteret particulier car elles correspondent a` des pie`ges specifiques dhydrocarbures, la forme anti-clinale des domes, et la forme synclinale des chenaux. Pour la premie`re, en tracant les rais normaux,on constate que ces rais divergent vers la surface, ce qui implique que limage du dome va se trouverelargie dans la section a` offset nul. Compte tenu des longueurs des rais normaux, la forme du domeest conservee, mais elle est moins prononcee quen profondeur. Le flanc gauche est deplace vers lagauche, le flanc droit vers la droite.

Synclinal: La forme synclinale est plus complexe, et peut apparaitre de facon tre`s differente selonsa profondeur. Si on conside`re une forme de cuvette circulaire, tout depend ou` se situe le centre dela cuvette (foyer) par rapport a` la surface du sol. En cas de foyer au dessus de la surface, la forme decuvette est maintenue, quoique resserree. Si le foyer est exactement au niveau de la surface, limagede la cuvette se reduit a` un point unique, tous les rais normaux convergeant vers ce point. Enfin, si lefoyer est sous la surface du sol, il y a inversion de la forme de la cuvette, qui apparaitra alors commeun dome, dautant plus large que le foyer est profond. Linversion conduit egalement a` un changementde cote de limage, le bord gauche de la cuvette a` droite, et le bord droit a` gauche. Si on conside`remaintenant un chenal constitue dune cuvette mais aussi de ses flancs et des epontes, on aboutit a` laforme classique dite de triplication, car il peut y avoir jusqua` trois rais normaux, provenant de troisparties distinctes de linterface, convergeant vers un meme point de la surface, a` des temps differents,donc formant trois images distinctes sur une meme verticale de la section a` offset nul.

Simulation par points diffractants: Pour prendre en compte deventuelles discontinuites dans lesous-sol, la methode des rais normaux nest pas adaptee, car les points de discontinuites nont pas de


pendage exprime, et on ne peut donc definir la direction orthogonale. On fait alors appelle a` la notionde point diffractants, issue de la theorie de la diffraction (effet de fente) et du principe de Huyghens.Un tel point diffractant recevant une energie sismique va reemettre cette energie de facon equivalentedans toutes les directions de lespace. On va donc etudier limage dun tel point diffractant isole.Puis, on pourra considerer chaque interface du milieu comme une serie de tels points juxtaposes, etcalculer limage resultante comme la somme des images de chacun de ces points.

Point diffractant: Limage du point diffractant isole est une hyperbole dont lapex est a` laplombdu point, a` un temps correspondant a` une propagation verticale aller-retour, et dont les asymptotes sontde pentes inverses a` la vitesse du milieu, pouvant setendre a` linfini de part et dautre. Cependant, sion prend en compte la divergence geometrique, lamplitude diminue dun facteur 1/t le long de cettehyperbole, ce qui en limite la portee utile.

Faille: Une faille correspond a` un contraste lithologique pouvant conduire a` une reflexivite non-nulle. Cependant, en sismique verticale, une faille a` fort pendage ne pourra donner lieu a` une imagesismique car elle ne renverra pas denergie dans le dispositif dacquisition, de longueur limitee. Ellepourra alors etre detectee par le decalage quelle introduit sur les temps de parcours, si son rejetvertical est suffisant. Elle pourra egalement generer des diffractions si une interface est brutalementinterrompue, a` la manie`re dun effet de fente en optique. Les points dintersection interface/failles secomportent alors comme des points diffractants, dont les images (hyperboles) viennent se superposeraux images des interfaces.

2.1.5 Resolution verticale et laterale

La resolution verticale de la sismique est defini comme la plus petite distance verticale perme-ttant la separation de deux eve`nements distincts. Elle est bien entendu dependante de la frequencedominante de londelette sismique. Elle est evaluee a` /4 a` laide du crite`re de Rayleigh, issu deloptique. La resolution laterale depend de cette resolution verticale, et setend a` lensemble despoints de linterface qui sont soumis a` londe sismique dans la bande de largeur /4, quon appellezone de Fresnel.

Crite`re de Rayleigh: Deux points sont separables si leur distance depasse la moitie de leur largeur.Applique a` la sismique reflexion, cela implique que le delai temporel entre les deux eve`nements doitetre superieur a` la demi-periode dominante. Comme on est en temps double, cela implique un delaitemps simple du quart de la periode. Converti en profondeur, on obtient le crite`re de separationvertical dun quart de longueur donde. Toute couche depaisseur inferieur de sera pas correctementresolue, c-a-d quon ne pourra pas determiner lepaisseur de la couche, ou` la reflectivite des differentesinterfaces. On aura une combinaison de ces differentes caracteristiques. Il est a` noter que cetteresolution tend a` augmenter avec la profondeur, comme la longueur donde, si la vitesse croit. Il nefaut pas confondre la resolution de la sismique et le pouvoir de detection, qui represente la plus petiteepaisseur dune couche qui puisse donner lieu a` une reflexion. Cette limite est generalement evalueea` /30, mais depend de la reflectivite et du niveau de bruit.

Zone de Fresnel: Pour determiner la taille de la zone de Fresnel, on represente le front donde


tangent en un point de linterface, et le front correspondant apre`s une propagation de /4. Tout lespoints de linterface inclus entre ces deux fronts donde ne pourront etre separes, ils definissent doncla portion de linterface qui va contribuer de facon constructive a` londe reflechie. La rayon de la zonede Fresnel augmente avec la profondeur, il est donne de facon approchee par la relation:

r =

z2

= V2

tf

2.1.6 Differents types de multiples

A chaque fois quune onde rencontre une interface, il y a partage de lenergie incidente en uneonde reflechie et une onde transmise, en fonction de sa reflectivite. Quand il sagit de la premie`refois que londe traversant un milieu donne rencontre cette interface, on dit quil sagit dune reflexionprimaire. Cependant, du fait de lensemble de ses reflexions, londe peut se retrouver en de multi-ples occasions dans la meme configuration. Il sagira alors de reflexions dites multiples. Elles sontnecessairement tardives par rapport aux reflexions primaires correspondantes, mais elles peuvent etresynchrones avec des reflexions primaires dinterfaces plus profondes, voire etre confondues avec.Cest lun des pie`ges classiques poses aux interpretateurs des sections sismiques. On distinguera cequi est designe par multiples courtes periodes, lies aux effets des couches minces, qui affectent es-sentiellement la forme de londelette (cf resolution), des multiples longues periodes, pour lesquelsles eve`nements primaires et multiples sont separes en temps, qui sont decrits ci-dessous. Pour lesdistinguer, on conside`re linterface la plus superficielle qui produit un retour de londe vers le bas.

Multiples de surface: Si cette interface la plus superficielle est la surface du sol (ou de la mer), ondit quon a un multiple de surface (SRM: surface related multiple). Cela concerne donc les multiplesfond de leau (aller-retour dans la couche deau), les effets de reverberation (au moins un AR dans lacouche deau, cote source ou recepteur, en plus dune propagation dans le sous-sol, denommes aussipeg-legs), ou dautres configurations. Ces multiples disparaissent si on annule la reflectivite de lasurface.

Multiples internes: Ce sont les autres multiples, lies a` des reflexion multiples au sein des couchesinternes du sous-sol, sans intervention de la surface. Ils sont plus difficiles a` identifier.

La section offset nul permet didentifier lapparition de multiples par les observations suivantes:

- repetition periodique deve`nements, damplitude decroissante

- pendage deve`nements qui augmente avec le niveau de repetition

- eve`nements pentes croisant des eve`nements primaires moins pentes

- amplification des variations laterales damplitude

Une partie importante du traitement sismique est dediee a` lelimination de ces reflexions multiples,mais il sagit dun proble`me difficile, qui ne peut pas toujours etre resolu de facon parfaite.


2.2 Analyse en Point-Milieu-Commun (CMP)

2.2.1 Milieux Dixiens, mode`le NMO, milieu effectif

Dans un premier temps, on va considerer des milieux stratifies, formes de couches homoge`nesisotropes superposees, de pendage faible a` nul (tel que le cosinus du pendage puisse etre considereegal a` 1). On denomme ce type de milieu Dixien pour signifier quils sont conformes aux hy-pothe`ses permettant dappliquer la loi de Dix sur les vitesses RMS. Pour ce type de milieu, les pointsde reflexion sur les differentes interfaces (cdp) sont tous situes a` la verticale du point-milieu source-recepteur en surface (cmp), avec des trajectoires montantes et descendantes symetriques (Fermat).La collection point-milieu-commun est donc utilisee pour rassembler et traiter lensemble des echosreflechis provenant des reflecteurs situes verticalement sous le point-milieu. La procedure sera repeteepour chaque point-milieu le long de la ligne dacquisition en 2D, ou chaque bin en 3D.

Pour un milieu a` une seule couche (milieu homoge`ne), de vitesse V , le theore`me de Pythagorepermet dobtenir le temps de trajet t(x) de londe reflechie pour une distance source-recepteur x par:

t2(x) = t2(0) + x2

V 2

Cette relation, quon appelle mode`le NMO, correspond a` une loi hyperbolique, symetrique parrapport a` loffset x (reciprocite), dapex situe a` loffset nul avec un temps de trajet t(0), et dasymptotelineaire t = x

V. On appelle normal move out, ou NMO, la quantite t(x) t(0), c-a-d le delai

introduit par loffset source-recepteur sur le temps de trajet de londe reflechie. Il conviendra decorriger le temps de parcours de londe reflechie (correction NMO, ou dynamique), tel quobservepour un couple source-recepteur quelconque doffset x, de cette quantite NMO pour estimer t(0) =t(x) (t(x) t(0)). Une fois cela realise pour tous les offsets, on pourra sommer toutes les tracescorrigees, afin de construire la section a` offset-nul. Pour ce faire, il faut donc dabord evaluer lavitesse V par lanalyse de vitesse.

Pour les milieux multi-couches, on peut montrer que lequation NMO ci-dessus reste une as-sez bonne approximation du temps de trajet de londe reflechie si on utilise la vitesse RMS descouches sus-jacentes a` la place de la vitesse V du milieu homoge`ne. Cette approximation est val-able tant que loffset nexce`de pas la profondeur de linterface, lerreur commise etant inferieure aupas dechantillonnage usuel (4 ms). On pourra alors definir un milieu effectif, milieu homoge`ne devitesse Vrms, qui produit le meme effet pour londe reflechie que le milieu multi-couches heteroge`ne,c-a-d le meme temps de reflexion en fonction de loffset. Cette notion de milieu effectif pourra etrereutilisee pour dautres phases du traitement.

2.2.2 Couverture en point-milieu commun

Pour une acquisition strictement 2D et regulie`re (marine), differents couples source-recepteur ontle meme point-milieu exactement. On appelle alors couverture le nombres de traces enregistrees


pour un meme point-milieu. Cette couverture (fold) va determiner leffet damelioration du rapportsignal/bruit apporte par la procedure de sommation. En dehors des effets de bord, elle atteint unevaleur nominale egale a` ng.g

2.s. Cest une caracteristique importante du syste`me dacquisition.

Pour des acquisitions 2D non-regulie`res (slalom-lines terrestres), ou pour des acquisitions 3D, lespoints-milieux sont disperses, et on regroupe les traces en bin, intervalle defini par des dimensionsinline et crossline, inferieures a` la taille des zones de fresnel. On peut donc considerer les collectionsen bin comme des collections point-milieu commun pour le traitement. La couverture devient lenombre de traces par bin.

2.2.3 Analyse de vitesse, crite`re de semblance

Apre`s regroupement des traces en point-milieu commun, ou bin, il faut effectuer une analyse devitesse afin de pouvoir ensuite effectuer les corrections dynamiques (NMO). Il sagit pour chaquereflexion dans la collection point-milieu commun destimer la vitesse correspond au mode`le NMO.Pour ce faire, il faut comparer ce mode`le (loi analytique, qualifiee de bande-infinie) aux donneesenregistrees echantillonnees (bande-limitee). Pour etablir cette comparaison, differentes normes ontete proposees, dont la plus repandue est la semblance, donnee par la relation suivante pour une matricede donnees nxm a(i, j):

s(i) =(m

j=1a(i,j))2

mm

j=1a(i,j)2

, i = 1, n

Cette semblance est un reel positif, compris entre 0 et 1, qui evalue la ressemblance des valeursconstituant une ligne de la matrice. Si ces valeurs sont constantes, la semblante vaut 1. Si elles sontaleatoires, la semblance vaut 0. Pour appliquer cette norme a` nos donnees, il faut dabord choisir unevitesse et appliquer les corrections NMO. Si la vitesse est optimale, les temps corriges de la reflexionsont tous egaux a` t(0), et donc les differentes traces sont parfaitement en phase, et la semblancemaximale. Sinon, les donnees corrigees ne sont pas bien en phase et la semblance degradee.

Lanalyse (ou scan) de vitesse consiste donc a` selectionner une gamme de vitesses a` tester (min,max et pas par exemple), a` calculer la semblance de la collection CMP pour chacune de ces vitesses, eta` constituer ainsi une carte de semblance, avec un echantillonnage vertical en temps et un echantillonnagehorizontal en vitesse. Pour chaque t(0) correspondant a` une reflexion, la vitesse optimale correspon-dra a` la valeur maximale de semblance, que lon pourra selectionner manuellement ou automatique-ment sur la ligne horizontale adequate de la carte de semblance. La loi de vitesses NMO sera con-stituee de lensemble des paires (t(0), Vnmo) qui auront ete selectionnees sur la carte de semblance.Ce travail peut etre realise sur chaque CMP quand le pointe est automatique, plus generalement surune selection de CMP repartis sur la zone detude quand le pointe est manuel. Pour les autres CMP,on pourra interpoler entre les les lois de vitesses NMO des CMP les plus proches. Dans le cas desmilieux Dixien, ces vitesses NMO, mesurees sur les donnees, peuvent etre assimilees a` des vitessesRMS. On peut alors en deduire les vitesses dintervalle par la loi de Dix.


2.2.4 NMO, stretch NMO

A lissue de lanalyse de vitesse NMO, on dispose dune serie de lois de vitesses pour une selectionde CMP distribues dans la zone detude. A partir de ces vitesses NMO mesurees dans les donneessismiques (data-driven), une loi de vitesse NMO peut etre evaluee pour chaque CMP. Il est doncpossible dappliquer les corrections dynamiques a` lensemble des donnees sismiques. Cependant, ily a un certain nombre de difficultes qui peuvent apparatre a` cette etape:

- limite doffset pour la validite de lapproximation NMO (on a vu que loffset ne doit pas exceder laprofondeur pour que le mode`le NMO garde une precision acceptable).

- etirement du signal apre`s NMO (le NMO depend du temps, et donc varie le long de la trace, provo-quant un etirement des signaux, et donc une perte de resolution)

- duplication des eve`nements croises (deux corrections a` appliquer au meme echantillons, avec 2vitesses differentes)

- effet des pendages, que lon verra plus loin (DMO)

Le parame`tre cle pour controler ces effets est louverture du dispositif, c-a-d le rapport entredemi-offset et profondeur du reflecteur, ou tangente de langle de reflexion (ouverture 1 corresponda` un angle de 45 degres, soit demi-offset = profondeur). Pour limiter les inconvenients du NMO,il suffit de limiter louverture utilisee pour construire la section offset-nul. Cela permet a` la foisdassurer une precision suffisante du NMO, de controler leffet detirement (stretch NMO), et deviterles eve`nements croises, qui apparaissent pour des ouvertures elevees. Pour operer cette limitation, onpeut imposer une valeur de stretch a` ne pas depasser, ce qui limite automatiquement louverture. Toutechantillon qui produit un stretch superieur a` ce seuil est mis a` zero (stretch mute). Ceci produit uneperte de signaux principalement pour les eve`nements les plus superficiels, mais cest le prix a` payerpour conserver une bonne resolution de la section offset-nul.

2.2.5 Section somme, deconvolution multidimensionnelle

La section offset-nul est finalement obtenue par sommation des traces sismiques apre`s correctionNMO dun meme CMP. Chaque CMP produit donc une trace, et la section offset-nul est la collectionde ces traces sommes, chacune placee verticalement a` la position du CMP. Cest une collection offset-constant particulie`re, car dune part lamplitude nest pas directement mesuree sur le terrain maisobtenue par une combinaison des amplitudes des autres sections offset-constant, et dautre part lerapport signal/bruit est ameliore du fait de la sommation, dun facteur egal a` la racine carree de lacouverture. En general, la couverture saffaiblit sur les bords de la zone detude, quil convient doncde limiter pour ecarter ces effets de bords. On aura donc interet a` prevoir une zone dacquisition pluslarge que la zone cible.

Leffet de la sommation conduit donc a` ameliorer le rapport signal/bruit pour chaque CMP. Celapermet eventuellement de faire ressortir des eve`nements sismiques non-visibles sur les donnees avant


sommation. Cependant, chaque CMP est traite independamment de ces voisins, il peut donc appa-raitre des signaux plus ou moins correles spatialement sur la section somme. Les eve`nements sis-miques recherches doivent avoir une certaine correlation laterale, c-a-d sur plusieurs CMPs voisins.Tout les signaux incoherents spatialement seront interpretes comme du bruit. On peut donc traiter lasection somme pour tenter de reduire ce bruit au profit des signaux coherents. Cest lobjet du filtragede prediction post-sommation (aussi appele deconvolution fx, ou multidimensionnelle).

2.2.6 Statiques residuelles

A lissue de cette procedure, on a obtenu des lois de vitesses NMO et une section somme, quipeuvent servir de reference pour verifier la qualite des corrections statiques realisees au cours dutraitement. Une analyse par inter-correlation des donnees sismiques corrigees NMO avant sommationpar rapport a` la section somme de reference peut mettre en evidence des decalage systematiques pourcertaines positions sources ou recepteurs. On pourra en deduire des corrections statiques residuellesqui permettront dameliorer encore analyse de vitesse et sommation pour produire une section sommeet des lois de vitesses affinees. Cette procedure est particulie`rement utile pour les donnees sismiquesterrestres, ou` il est difficile dobtenir des corrections statiques parfaites.

2.3 Prise en compte du pendage

2.3.1 Pendage vrai, pendage temps

Le pendage vrai est un angle, nombre sans dimension defini grace a` un rapport entre deux longueurs,lune verticale, lautre horizontale (z/x). Il est utile de noter que pour un couple source/recepteurparticulier, londe sismique voit un pendage apparent, dans lazimuth de propagation, qui peut varierde 0 au pendage vrai geologique, selon que cet azimuth est dans la direction strike ou dip. Cela estparticulie`rement important en 3D puisque les differents couples-recepteurs ont differents azimuths, etdonc differents pendages apparents.

Dans les sections sismiques temps (offset nul), ce pendage vrai conduit a` des eve`nements pentes,presentant un pendage apparent dit pendage-temps, defini par un rapport entre un temps vertical, etune distance horizontale (t/x), donc de dimension s/m, soit linverse dune vitesse (on parle delenteur). Pour un reflecteur lineaire en milieu homoge`ne, on a etabli la relation entre ces deux types dependage precedemment. De`s que ce pendage-temps devient significatif, il sera necessaire de prendreen compte ses effets.


2.3.2 Impact du pendage sur le mode`le NMO

Le mode`le NMO est base sur la relation hyperbolique entre temps de trajet de londe reflechie etoffset source-recepteur. Cette loi a ete etablie pour un reflecteur horizontal dans un milieu homoge`ne,et etendu aux milieux Dixiens par le milieu effectif. On peut montrer que on peut etendre son ap-plication en cas de pendage a` condition dutiliser une vitesse apparente liee au pendage par la formuleVrms/cos() (on parle alors de NMO pendage-dependant). Lanalyse de vitesse NMO conduit donca` cette vitesse apparente (vitesse optimale de sommation), dependante du pendage.

Dautre part, on peut constater en considerant plusieurs couples sources-recepteurs de meme pointmilieu que le pendage introduit une dispersion des points de reflexion le long du reflecteur, dautantplus seve`re que le pendage ou loffset est eleve. Cette dispersion est problematique car lors de la som-mation dune collection CMP apre`s NMO, meme optimal, on va combiner des reflexions provenant depoints distincts, et leur dispersion peut saverer bien superieure a` la zone de fresnel, si le pendage ouloffset est important. Il y a donc perte de resolution de limage resultante. Pour eviter cet effet, uneprocedure supplementaire a ete concue, denommee Dip Move-Out (DMO) permettant de resoudre ceteffet de dispersion. La sequence de traitement passe alors de NMO-Somme a` NMO-DMO-Somme.Un avantage supplementaire du DMO est que la vitesse optimale pour la sommation apre`s DMOredevient la vitesse Vrms, comme en labsence de pendage.

2.3.3 Operateur DMO

Lorsquon cherche a` appliquer NMO et DMO, le pendage du reflecteur est inconnu. En revanche,il est probable que le pendage est tre`s similaire entre points voisins dun reflecteur, correspondant a`des CMP voisins en surface. Le principe du DMO consiste donc a` rechercher pour chaque point duneve`nement sismique le lieu de tous les points de reflexion possibles correspondants dans la sectionoffset-nul, c-a-d pour tous les pendages possibles, a` partir du point obtenu apre`s NMO, correspondantau pendage nul. Ce lieu est appele operateur DMO, dequation (elliptique) :

x2

h2+

20t2N

= 1

ou` chaque point possible est localise par ses coordonnees (x, 0) par rapport au temps apre`sNMO tN , pour un demi-offset h. En considerant les operateurs DMO obtenus pour des CMPs voisins,la selection du pendage est obtenue la` ou` il y a une coherence spatiale. Loperateur DMO est tangentau reflecteur au point de reflexion reel. Lenveloppe de tous les operateurs DMO produit limage dureflecteur dans la section offset nul. Le DMO est realise en collection offset constant (h constant),pour chaque offset, apre`s NMO. La sommation des sections offset constant apre`s NMO et DMOproduit la section offset nul finale.


2.3.4 Migration temps, migration profondeur

Dans une section offset nul presentant des pendage-temps significatifs, les eve`nements sismiqueslocalises sous un point de la surface ne sont pas a` leur position exacte, ce qui induit des deformationsdes reflecteurs (cf triplications par exemple). La migration (apre`s sommation) consiste a` operer unrepositionnement de ces eve`nements a` leur vrai place, soit en restant dans le domaine temps (migra-tion temps), soit en passant dans le domaine profondeur (migration profondeur). Pour realiser unemigration, il est necessaire dutiliser des informations sur les vitesses sismiques, mais la dependancede limage migree a` la vitesse utilisee est bien moindre dans le cas de la migration temps. Par exem-ple, les reflecteurs sub-horizontaux ne sont pas affectes par la migration temps, quelque soit la vitesseutilisee. En revanche, pour la migration profondeur, meme les eve`nements sub-horizontaux serontaffectes par une vitesse erronee.

Il y a de nombreuses methodes pour mettre en oeuvre la migration, qui debordent du cadre de cecours. Le choix de la methode va dependre de la connaissance prealable du mode`le de vitesse, et dutype de milieu (homoge`ne, vitesse variable verticalement, vitesse variable aussi lateralement). Dansle cas de la migration temps, limage migree reste en domaine temps, si bien quune phase ulterieurede conversion temps-profondeur pourra saverer necessaire ensuite, par exemple via des mesures devitesse realisees en puits quand ils deviennent disponibles.

La migration peut aussi etre realisee sur des collections de traces avant sommation (section offsetconstant par exemple). Chaque section est alors migree, et produit donc une image independantedu sous-sol. En couverture multiple, on obtient ainsi diverses images pour un meme sous-sol, sibien quon peut les sommer pour obtenir limage moyenne finale. On parle alors de migration avantsommation.

2.3.5 Mode`le de vitesse pour la migration

Au cours de la phase de construction de la section a` offset nul, des informations sont obtenuessur les vitesses de sommation. Apre`s DMO, ces vitesses peuvent etre assimilees a` des vitesses RMS,si bien que dans ses limites dutilisation, la loi de Dix permet destimer les vitesses dintervalle desdifferentes couches. Les vitesses RMS peuvent aussi etre utilisees comme vitesses de milieux effectifshomoge`nes pour certaines methodes de migration. Les vitesses obtenues ainsi sont generalementsuffisantes pour realiser une migration temps, mais peuvent saverer insuffisamment precises pour lesmigration ou conversion profondeur.

Quand la section offset nul comporte des hyperboles de diffraction, liees a` des objets de petitesdimensions ou des points singuliers, la vitesse effective du milieu est directement observable parlintermediaire des pentes asymptotiques de ces diffractions, egales a` 2/V . Une bonne vitesse demigration doit conduire a` la focalisation de ces hyperboles en un point unique situe a` son apex.

Pour la migration profondeur, il devient indispensable de disposer dun bon mode`le de vitesse,comportant la partie dite basses-frequences, ou grandes longueur dondes, des variations de la vitesse


de propagation dans le sous-sol. Ce mode`le doit etre assez precis pour pouvoir calculer des tempsde parcours exacts entre tous points du sous-sol et la surface. Alors la migration profondeur peutproduire une image profondeur precise du sous-sol, but ultime de limagerie sismique. Dans le casde la migration avant sommation, il existe la possibilite danalyser ces vitesses de migration en com-parant les images obtenues pour differents offsets avant de les sommer. Les deviations eventuellesentre ces differentes images proviennent des erreurs commises dans le mode`le de vitesse de migra-tion, qui doivent etre corrigees pour obtenir des collections point-image parfaitement planes avantsommation.

2.3.6 Artefacts de migration

Lapplication des algorithmes de migration aux sections sismiques conduit generalement a` lappa-rition de certains artefacts, en particulier la` ou apparaissent des discontinuites dans les images (parexemple objet pointu au fond de leau). Ces artefacts se presentent sous forme de cercles ouvertsvers le haut, souvent designes sous le terme de sourires de migration. Ils permettent de reperer aupremier coup doeil si une section a ete migree. En presence de diffractions sur la section offset nul,la migration conduit a` des points de forte amplitude, ou a` des taches plus ou moins etalees si la vitessede migration est imparfaite. De meme, les triplications (croisement deve`nements sismiques) doiventdisparatre apre`s migration, sauf vitesse de migration erronee.

Dans le cas de structures 3D, la migration doit etre realisee aussi en 3D, sinon il risque dapparaitredes effets de decalages selon lazimuth dacquisition du fait des differences de pendages apparents.

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