1/19/2016 Mohr Circles and Conic Sections

https://www.uwgb.edu/dutchs/structge/MOHR004.HTM 1/4

Mohr Circles and Conic SectionsSteven Dutch, Natural and Applied Sciences, University of Wisconsin ‐ Green BayFirst‐time Visitors: Please visit Site Map and Disclaimer. Use "Back" to return here.

 

What is the formula for the radius r of the ellipse atleft? The familiar Cartesian coordinate formula isshown below the ellipse.We begin by noting that:

x = r cos Ay = r sin A

and substituting those formulas into the Cartesianequation.

When we do that substitution, we get:

r2cos2A/a2 + r2sin2A/b2 = 1, from which we can isolate r to get:

cos2A/a2 + sin2A/b2 = 1/r2

We can eliminate the squared trigonometric terms by recalling that:

(cos2A ‐ sin2A) = (2cos2A ‐ 1) = (1 ‐ 2sin2A) = cos2A and therefore:

cos2A = (1 + cos2A)/2 sin2A = (1 ‐ cos2A)/2

Plugging these values back into the formula for 1/r2, we get:

(1/a2)(1 + cos2A)/2  + (1/b2)(1 ‐ cos2A)/2 = 1/r2

We can now isolate the cos2A terms to get:

(1/b2 + 1/a2)/2 ‐ (1/b2 ‐ 1/a2)(cos2A)/2 = 1/r2

This looks surprisingly like our Mohr Circle derivation for stress, except we derived that strictly from vectoranalysis without thinking of ellipses at all (It's no accident). The only slightly puzzling feature is that we'vereversed the a and b terms and there is a minus sign in front of the trigonometric term.

The reason for the changes is clear at left. In this MohrCircle space, all radii are mapped as their inverse

1/19/2016 Mohr Circles and Conic Sections

https://www.uwgb.edu/dutchs/structge/MOHR004.HTM 2/4

squares (called quadratic extensions). Since a is bigger,its inverse square is smaller. All the other rules of MohrCircles still apply.

Now, what does h (red) represent? The radius of theMohr Circle is (1/b2 ‐ 1/a2)/2, so h = ((1/b2 ‐1/a2)/2)sin2A. What does that represent on theellipse?

We might suspect (rightly, it turns out) that h has something to do with shear, as the correspondingcoordinate does on the Mohr Circle for stress. Let's begin with a circle and deform it into our ellipse asshown below:

On the left we have a circle with a tangent line P'Q'. On the circle the radius is perpendicular to thetangent. On the right the diagram has been flattened by a factor b/a. All the triangles on the left are similar,but not on the right. Also the radius is no longer perpendicular to the tangent. The angle C, the change inangle due to flattening, is a measure of shear. Dimensions in the horizontal direction are unchanged. Wehave to do a tedious bit of trig manipulation but it's perfectly straightforward.

Tan B' = OQ'/OP and Tan B = OQ/OP = (b/a)OQ'/OP = (b/a) Tan B'

Tan A = y/x = (b/a)y'/x = (b/a) Tan A'

Tan C = Cot(A+B) = (1 ‐ Tan A Tan B)/(Tan A + Tan B)

Now:

Tan B = (b/a) Tan B', Tan B' = Cot A' = 1/Tan A', and Tan A' = (a/b)Tan A. Therefore:Tan B = (b2/a2)/ Tan A. Thus, 

Tan C = 

(1 ‐ Tan A Tan B)/(Tan A + Tan B) = (1 ‐ (b2/a2)Tan A/Tan A)/(Tan A + (b2/a2)/ Tan A) = (1 ‐ (b2/a2)/(Tan A + (b2/a2)/ Tan A) = 

1/19/2016 Mohr Circles and Conic Sections

https://www.uwgb.edu/dutchs/structge/MOHR004.HTM 3/4

(a2 ‐ b2)/(a2Tan A + b2/Tan A) = (a2 ‐ b2)Tan A/(a2Tan2A + b2) = (a2 ‐ b2)(Sin A/Cos A)/(a2Sin2A/Cos2A + b2) = (a2 ‐ b2)(Sin ACos A)/(a2Sin2A + b2Cos2A)

We recall that cos2A/a2 + sin2A/b2 = 1/r2. The bottom term in the formula is thus equal to a2b2/r2. So wecan now write:

Tan C = (a2 ‐ b2)(Sin ACos A)/(a2b2/r2)  = r2(a2 ‐ b2)/a2b2)(Sin ACos A)= r2(1/b2 ‐ 1/a2)(Sin ACos A) Now Sin 2A = 2 Sin A Cos A, so we have:= (r2(1/b2 ‐ 1/a2)/2)Sin 2A= r2h

So: h = Tan C/r2 = (1/r2)Tan C. 

Writing it this way allows us to see that thegeometrical relationship at left must hold.

Hyperbolas and Mohr Circles

The equation of a hyperbola is similar to that of an ellipse, differing only in one sign:

x2/a2 ‐ y2/b2 = 1

Note a couple of significant facts:

When x = 0,  y2 = ‐b2. In other words, there is no y‐intercept.When y = 0, x2 = a2 . The x‐intercepts are x = a and x = ‐a.When x and y approach infinity, y/x approaches b/a. In other words, the hyperbola approaches the lines

y = xb/a and y = ‐xb/a. These lines are called asymptotes.

We can proceed exactly as we did for the ellipse, and get the polar equation

r2cos2A/a2 ‐ r2sin2A/b2 = 1, from which we can obtain

(1/a2 ‐ 1/b2)/2 + (1/b2 + 1/a2)(cos2A)/2 = 1/r2

1/19/2016 Mohr Circles and Conic Sections

https://www.uwgb.edu/dutchs/structge/MOHR004.HTM 4/4

This formula leads to the MohrCircle shown here.

Where the Mohr Circle crosses thevertical axis, 1/r2 is zero and r isinfinite. These points correspond tothe asymptotes of the hyperbola.

The Mohr Circle above is a little different from the ellipse only because we chose the ellipse orientation sothe long axis was always horizontal and labelled a. For both the ellipse and hyperbola, the ratio b/a affectsthe relative proportions in the x‐ and y‐ directions. It doesn't make sense to speak of a "long" or "short" axisof a hyperbola, and the ratio b/a can have any value. The larger b/a is, the more open the hyperbolas. 

If the Mohr circle passes through the origin, the conic section is on the borderline between an ellipse and ahyperbola, a parabola. However, it can't be drawn. A Mohr Circle through the origin means 1/b2 = 0 or binfinite. The equation for an ellipse reduces from x2/a2 + y2/b2 = 1 to x2/a2 = 1 or x = +/‐a. The equation fora hyperbola reduces from x2/a2 ‐ y2/b2 = 1 to x2/a2 = 1 and again to x = +/‐a. In the case of the ellipse, weimagine we are in the middle of an ellipse with an infinitely long b axis. 

Stress, Strain, and Conic Sections

A circle deformed uniformly becomes an ellipse, so it's easy to see the connection between strain andellipses. But why do Mohr Circles work for stress? We said nothing about ellipses in deriving the MohrCircle for stress. Because there's a connection between stress and ellipses, too. In fact, all tensor quantities(of which stress and strain are two examples) can be described in terms of conic sections.

If we have two principal stresses, S1 and S2, we can draw an ellipse with axes 1/S12 and 1/S22, and drawthe ellipse  x2/S12 + y2/S22 = 1. For any given plane, we plot the pole to the plane. The normal stress is theinverse square of the radius of the ellipse (1/r2) along the pole direction. The shear stress is TanC/r2. Thisellipse is called the stress ellipse. For situations where one stress is tensional and one compressional, theMohr circle corresponds to a hyperbola rather than an ellipse, so the proper name for stress ellipses orhyperbolas is stress conic.

Return to Course SyllabusReturn to Techniques Manual IndexReturn to Professor Dutch's Home PageCreated 29 November 2000, Last Update 1 December 2000Not an official UW Green Bay site