Corso di Radioattivita' II Corso di Laurea in Fisica

Universita' degli studi di PaviaAnno Accademico 2019/2020

Dr. Andrea FontanaIstituto Nazionale di Fisica Nucleare

Sezione di Pavia

Modulo di Astrofisica Nucleare

Schema del Corso

Integrato da...

Il sito web del corso

http://www.pv.infn.it/~fontana

Each of these reactions is exothermic and the total thermonuclear energy release is about 26 MeV per 4He nucleus formed. This energy must be released at a rate of 4 × 1026 W in order to power the solar luminosity.

The interaction required to effect fusion is different for each of the reactions: reaction (1) relies on the weak nuclear interaction, reaction (2) relies on the electromagnetic interaction and reaction (3) relies on the strongnuclear interaction. As a result, the first reaction in the chain, reaction (1), is by far the slowest.

A proton at the centre of the sun takes, on average, about 5 billion years before it fuses with another proton to produce a deuteron. The deuteron so produced is snapped up to form a 3He in about a second and the average time needed for two 3He to collide and form a 4He nucleus is approximately 300000 years.It follows that the first reaction in the chain, the slow weak reaction (1), governs the rate at which energy is released by the proton–proton chain.

The solar luminosity is currently being supplied by a chain of thermonuclear reactions called the proton–proton chain. The dominant reactions are:

Solar luminosity

(1)

(2)

(3)

Vite medie e interazioni

E’ stato Fermi a dare una teoria convincentequantitativa del decadimento b

Costante di Fermi: Gf = 1.166 10-5 GeV-2 (hc)3

ne

e

n p

t

x

Interazione “di contatto”fra “correnti”

Mutuando concettipresi dalla teoriadelle interazionielettro-magnetiche

Il moto di una “carica” nello spazio-tempo e’ una “corrente”

L’intensita’ della forza e’ proporzionale ad una quantita’:

(“G” preso ad imitazione della costante di Newton)

Una sorta di “carica debole” in analogia alla carica elettrica.

Interazioni deboli

Il decadimento b del neutrone secondo l’interazione elettro-debole come la conosciamo oggi

d u

ne

W-

e

d

u u

d

neutrone

protone

n p e ne Ridefinizionedella costante di FermiGf = 2 g2/(8 Mw

2)in terminidi una nuovacostante “g”ma questo e’inessenziale

1) Un neutrone (carica = 0). E' fatto da un quark up, e due down.

2) Uno dei quark down si trasforma in un quark up. Dato che il down ha carica -1/3e l'up 2/3, per conservare la carica bisogna che il processo sia mediato da unaparticella W- , che porti via una carica di -1.

3) Il neutrone così è diventato un protone. La W- emessa si allontana.

4) Un elettrone e un antineutrino prendono vita dal bosone virtuale W-

5) Il protone, l'elettrone e l'antineutrino si

allontanano l'uno dall'altro.

14

Tipi di interazione debole

n

ene

W-

n

2q 1q

W- W

leptonica semi-leptonica non-leptonica .

interazioni di corrente carica

1q 2q

4q3q

decadimenti non leptonici di adroni strani

u

u d

d

s

d

u

u

W-

n

0udu

u d

d

s

W-

p

-u

ne

e

torna ad essere il diagramma diFermi

La teoria di Fermiin prima approssimazioneda’ ancora risultati accettabili!

d u

ne

W-

e

du u

d

p

Per energie E << Mw c2

l’effetto del W e’ trascurabile

Mw=80.4 GeV/c2

E<20 MeV per processi nucleari

16

Il decadimento b del neutrone

Le caratteristiche del neutrone riportate dal Particle Data Group (PDG)

isospin

Vita media: 885.7 0.8 s (media di tutte le misure)

eepn n

25

26

Proprieta dei nuclei

Gia nel 1911 Rutherford, per spiegare i risultati del suo esperimento di

diffusione di particelle α da nuclei pesanti ricavo che il nucleo

assimilabile ad una sfera di raggio r ∼ 10−13 cm.

Il raggio venne determinato con numerosi esperimenti e si trovo un

ottimo accordo con la relazione:

r = r0A1/3 r0 ∼ 1.3fm

Densita di numero dei nucleoni: indipendente da A e uguale per tutti i

nuclei

n =A

V=

3A

4πr30A

=3

4πr30

∼ 1038cm−3

Densita di massa: costante per tutti i nuclei

ρ = nmp =3mp

4πr30

∼ 1014gcm−3

27

Modello a goccia (Weizsacker)

Proprieta dei nuclei:

• densita costante: la materia nucleare e incomprimibile presenta

proprieta analoghe ad un liquido;

• dipendenza quasi lineare esistente tra energia di legame di un nucleo

ed il suo numero di massa, simile alla dipendenza lineare del calore

di vaporizzazione di un liquido dalla sua massa;

• saturazione delle forze nucleari (B/A cost.), simile alle forze

chimiche di legame delle molecole in un liquido.

Sviluppo del modello a goccia del nucleo, che porto alla formula

semiempirica per lenergia di legame.

28

Range forze nucleari

Relazione tra N e Z in quanto i punti rappresentativi giacciono dentro

una piccola regione, quasi una linea nel piano N-Z.

Energia di legame per nucleone costante:

B

A= cost → B ∝ A

Importante proprieta delle forze nucleari: a corto range. Ogni singolo nucleone

all interno del nucleo interagisce solo con i nucleoni circostanti (quelli ”a

contatto”) e non con tutti gli A nucleoni. Questa peculiarita delle forze

nucleari spiega la salita iniziale della curva da B/A in funzione di A e la zona di

”plateau” successiva. 29

Confronto tra forze nucleari e elettriche

30

Parametrizzazione dell’ energia di legame

Formula semi-empirica di massa (SEMF):

B = avA− aSA2/3 − aCZ (Z − 1)A−1/3 − aA

(A− 2Z )2

A± aPδ

Termini di volume, di superficie, di Coulomb, di asimmetria e di pairing:

parametrizzazione globale valida per tutti i nuclei noti!

31

Termine di volume

• avA rappresenta il termine di volume discendente direttamente dalla

relazione B/A cost.

32

Termine di superficie

• aSA2/3 rappresenta il termine di superficie. Schematizzando il nucleo

come una sfera di densit uniforme e raggio R = r0A1/3, si ricava che

la superficie esterna del nucleo vale 4πR2 = 4πr20A

2/3. I nucleoni

che stanno sulla superficie, il cui numero e ovviamente proporzionale

ad A2/3, risultano meno legati di quelli che si trovano immersi nella

materia nucleare: da qui deriva il segno negativo.

33

Termine di Coulomb

• aCZ (Z − 1)A−1/3 rappresenta il termine coulombiano di repulsione

tra i protoni confinati allinterno del nucleo. Immaginando il nucleo

come una sfera uniformemente carica, lenergia potenziale di tale

distribuzione vale: U e va a diminuire (segno negativo) lenergia di

legame. Naturalmente per Z=1 non c’e repulsione.

34

Termine di asimmetria

• aA(A−2Z)2

A e un termine aggiuntivo nei nuclei Z ed N non sono

indipendenti, ma tendono ad eguagliarsi. Questo significa che nuclei

per i quali Z=A/2 sono pi stabili e quindi hanno pi alta energia di

legame: deviazioni dalluguaglianza Z=A/2 per eccesso o per difetto

portano ad una diminuzione. Gli —N-Z— nucleoni in eccesso sono

considerati responsabili di un deficit di energia di legame del nucleo.

35

Termine di asimmetria

36

Termine di pairing

I nuclei possono essere divisi in tre gruppi per quanto riguarda la loro

stabilita:

• nuclei pi stabili, quelli con Z ed N entrambi pari (per questo detti

”pari-pari”)

• nuclei meno stabili ”pari-dispari” e ”dispari-pari”, aventi A dispari.

• nuclei dispari-dispari che di regola sono instabili (i nuclei

dispari-dispari stabili sono solo quattro: 2H, 6Li , 10B, 14N).

37

Termine di pairing

Un cambio di un’ unita nella carica nucleare Z ad A fissato trasforma un

nucleo pari-pari in uno dispari-dispari (o viceversa), e fa quindi variare

bruscamente l energia di legame.

Questo effetto non ovviamente spiegabile con una analogia idrostatica e

si deve introdurre un ulteriore termine ”ad hoc”: esso espresso come

δA−1/2.

38

Contributi energia di legame

parametro MeV

aV 15.8

aS 18.3

aC 0.714

aA 23.2

aP 12

Best-fit globale di tutti i nuclei noti!

1. Weizsacker, 1935

2. Bethe-Backer, 1936

3. Myers-Swiatecki, 1966

39

Confronto formula-dati: energia di legame

B = avA− aSA2/3 − aCZ (Z − 1)A−1/3 − aA

(A− 2Z )2

A± aPδ

40

Confronto formula-dati: energia di legame per nucleone

e = B/A

41

Energia di legame: plot

B = avA− aSA2/3 − aCZ (Z − 1)A−1/3 − aA

(A− 2Z )2

A± aPδ

42

Massimo della formula di massa

Due calcoli interessanti:

• Derivata di B rispetto a Z: B massimo definisce rapporto Z/N

ottimale per equilibrio: accordo con dati

dB

dZ= 0 (1)

N

Z≈ 1 +

aC2aA

A2/3 (2)

• Derivata di B/A rispetto a A: nucleo piu stabile

de

dA→ A ∼ 63 Cu

vicino ai valori misurati: A=62 (Ni) e A=58 (Fe)

43

Limiti della formula di massa

Esistono sistemi nucleari stabili per A molto grande? A →∞?

Introducendo

I =N − Z

A

si scrive l’ energia di legame per nucleone in forma piu moderna:

e = B/A = av − aSA−1/3 − aCZ (Z − 1)A2/3(1− I )2 − aAI

2 ± aPδ/A

Si nota la divergenza del termine coulombiano per A →∞: questo

comporta l’ esistenza di stati legati solo per sistemi neutronici

I = 1 (Z = 0)

Risulta:

e ∼ aV − aA ∼ 16− 23MeV ∼ −8MeV

Nessuno stato legato di soli neutroni a livello nucleare.

44

Diprotone

45

Nuclei esotici

46

Nuclei esotici

47

Nuclei borromeani

48

Fasci di nuclei radioattivi

49

Ipernuclei

50

Energia di legame di ipernuclei

51

Esperimento FINUDA

52

Esperimento LUNA

53

Contributo gravitazionale

E su scala maggiore? Valutiamo contributo gravitazionale (i neutroni

hanno massa Mn=939 MeV):

EG =3GM2

5RR = r0A

1/3

Energia di legame per nucleone:

e = aV − aSA−1/3 − aAI

2 +3GM2

n

5r0A2/3

nel limite for A →∞:

e = aV − aA +3GM2

n

5r0A2/3

Esiste un valore critico Ac corrispondente ad una energia di legame nulla.

54

Un nuovo equilibrio

Questo corrisponde a trovare il numero minimo di neutroni per avere uno

stato legato dalla gravita

0 = aV − aA +3GM2

n

5r0A2/3

A2/3c =

5

3

(aV − aA)r0GM2

n

con il risultato

Ac =5

3

(aV − aA)r0GM2

n

]3/2

corrispondente a:

Ac ∼ 5× 1055

R ∼ 5 Km!

55

Stella di neutroni

Gas di fermi gigante racchiuso in una sfera di raggio R: stella sorretta da

pressione di degenerazione.

Momento di Fermi:

kF = (3π2n)1/3 n =A

VV =

4

3πR3

kF = (9π

4)1/3 A

1/3

R

Energia totale: cinetica media + gravitazionale

E =3A

5

k2F

2Mn− 3

5

G (AMn)2

R

Equilibrio ( dEdR = 0) porta a soluzione per:

R =1

GM3n

(9π

4)2/3A−1/3

56

Stella di neutroni

Per M ≈ 1.5M� si ha:

A =M

Mn∼ 1.8× 1057

R = 10.5 Km

n = 4× 1014 g

cm3

SEMF e gravita spegano stelle di neutroni entro un fattore ∼ 20!

Una stella di neutroni e un nucleo gigante... Approssimazioni:

1. stella non pura materia neutronica (β-equilibrio);

2. ρ ∼ 4× ρ0, densita di saturazione → muoni, iperoni, quarks liberi

3. relativita generalenon trascurabile

57

Anatomia di una stella di neutroni

58

Anatomia di una stella di neutroni

59

Anatomia di una stella di neutroni

60

Anatomia di una stella di neutroni

61