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Sesión 13.2

Cónicas: Parábola

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Consideraciones previas

Antena

Reflector parabólico

La señal satelital es recibida porla antena e ingresa al decodificador,y las imágenes se ven en la TV.

Reflect

or

para

bólic

o

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Generación de cónicas

Parábola Elipse Hipérbola

La ecuación algebraica que caracteriza a las cónicas es:

022 FEyDxCyBxyAx

donde A, B y C no son todas cero

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Geometría de la parábola

Definición

Una parábola es el conjunto de puntos en un planoque equidistan de una recta fija (la directriz)y un punto fijo (el foco).

Línea directriz

F: Foco

Distancia ala directriz

Punto (x; y) de la parábola

V: Vértice

Distancia al foco

FV

Eje de la parábola

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Comprensión de la definición de la parábola

1. Demuestre que el vértice de la parábola confoco (0; 1) y directriz y = -1 es (0; 0).

2. Obtenga una ecuación para la parábola que se muestra en la figura.

y = -1

Parábola

Foco

Vértice

Eje

Directriz

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Ecuación canónica de la parábola con el eje focal en el eje y

d(P, F) = d(P; directriz)

Gráficas de x2 = 4py con:a) p > 0 b) p < 0

x

y

F(0; p)

y = -p

P(x; y)

|p|

|p|

x2=4py

x2=4py);( yxP

);0( pF

p

py

x

x2=4py

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Ejercicios

1. Determine el foco, la directriz y el ancho focal de la parábola:

a)

b)

214

y x

2 6x y

8

y

xF(p, 0)

x = -p

P(x, y)

p p

y2=4px

y

xF(p, 0)

x = -p

P(x, y)

|p||p|

y2=4px

d(P, F) = d(P, directriz)

Gráficas de y2 = 4px con:a) p > 0 b) p < 0

Ecuación canónica de la parábola con el eje focal en el eje x

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Ejercicios

2. Determine el foco, la directriz y el ancho focal de la parábola:

a) y2 = –8x b) x= 2y2

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Parábolas con vértice en (0; 0)

Ecuaciónestándar

Abre

Foco

Directriz

Eje

Longitud focal

Ancho focal

x2 = 4py

Hacia arribao hacia abajo

(0; p)

y = -p

eje y

|p|

|4p|

y2 = 4px

Hacia la der.o hacia la izq.

(p; 0)

x = -p

eje x

|p|

|4p|

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Ejercicios

3. Determine la ecuación estándar de una parábola cuya directriz es la línea x = 2 y cuyo foco es el punto (-2; 0)

4. Determine la ecuación estándar de una parábola que satisface las condiciones dadas:

a) Foco (-4; 0), directriz x = 4.

b) Vértice (0; 0), se abre a la derecha, y anchura focal 8.

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Traslación de parábolas

(h; k)

(h; k+p)

x

y

Parábolas con vértice (h; k) y focos en el punto:a) (h; k+p) b) (h+p; k)

x

y

(h; k)

(h+p; k)

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Parábolas con vértice (h, k)

Ecuaciónestándar

Abre

Foco

Directriz

Eje

Longitud focal

Ancho focal

(x–h)2 = 4p(y–k)

Hacia arribao hacia abajo

(h; k+p)

y = k – p

x = h

|p|

|4p|

(y–k)2 = 4p(x–h)

Hacia la derechao hacia la izq.

(h+p; k)

x = h – p

y = k

|p|

|4p|

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Ejercicios

5. Obtenga la forma estándar de la ecuación de la parábola con vértice (3; 4) y foco (5; 4).

6. Determine la ecuación estándar de una parábola que satisface la condición dada: foco (3; 4), directriz y = 1.

7. Pruebe que la gráfica de la ecuación es una parábola y obtenga su vértice, foco y directriz

y2 – 2y + 4x - 12 = 0

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Modelación

La cadena CMD (Cable Mágico Deportes) para transmitir los encuentros de fútbol, utiliza reflectores parabólicos, colocados en las líneas laterales del campo deportivo, con un micrófono ubicado en el foco del reflector con la finalidad de captar las conversaciones entre los jugadores en el campo. Si cada reflector parabólico es de 3 pies de ancho y un pie de profundidad, ¿dónde se debería colocar el micrófono?

V(0, 0)

(1,5; 1)

x

y

(-1,5; 1)

F(0, p)

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Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios: 6, 18, 20, 22, 30,34 y 36 de la página 641.

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

Importante