MODULE 3 : Construction d’un test d’hypothèses · tests de concordance). • Test...
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MODULE 3 : Construction d’un test d’hypothèses
Unité 1 : aspects méthodologiques
L’utilisation des intervalles de confiance comme moyen de décision est possible ; toutefois le décideur, tout en connaissant l’existence des erreurs qu’il peut commettre, n’est pas en mesure dévaluer les risques qui leur sont associés avant la prise de sa décision. La théorie des tests, en ramenant cette dernière au choix entre deux hypothèses antagonistes, notées 0H et 1H , rend la démarche plus rigoureuse.
L’hypothèse 0H est privilégiée dans le sens où l’observateur souhaite la retenir tant qu’elle n’est pas infirmée par l’expérience. Dès lors, le test a pour but de mesurer l’adéquation de cette hypothèse à la réalité observable, c’est-à-dire aux résultats fournis par un échantillon.
La démarche consiste tout d’abord à exprimer les erreurs en termes d’hypothèses « décider à tort » devient « décider de retenir une hypothèse alors que l’autre est vraie ». Ainsi, il devient possible de définir deux risques d’erreur et de calculer les probabilités qui leur correspondent, les probabilités étant liées au caractère aléatoire de tous les échantillons susceptibles d’être retenus.
Dans une deuxième étape, il s’agit de construire le test, c’est-à-dire de mettre au point l’instrument de mesure de l’adéquation recherchée. A cette fin, et dans une formulation ex ante, sont conjointement proposées une statistique d’échantillonage adéquate (appelée conventionnellement fonction discriminante) et une zone de rejet de l’hypothèse 0H (ou région critique) pour un risque d’erreur raisonnable. Une règle de décision est ensuite formulée, mais la décision proprement dite n’est prise qu’ultérieurement au vu de la valeur particulière retenue dans un échantillon particulier.
Comme pour tout instrument de mesure, il sera exigé d’un test d’hypothèse d’être performant. La puissance d’un test, c’est-à-dire la probabilité de refuser l’hypothèse 0H quand elle est fausse, est définie pour jouer ce rôle. Ainsi compte tenu de la diversité des situations concrètes envisageables, le critère de choix entre différents tests possibles sera celui correspondant à la puissance la plus élevée.
1. Risque d’erreur
Deux grands « cas » se présentent :
- ( )→≡ xFX loi inconnue (1)
- ( )→θ≡ ,xFX F connue, mais θ inconnu (2)
Les hypothèses à tester sont :
- ( )xFX:H0 ≡ (1)
- 00 :H θ=θ (2)
Soit on conservera l’hypothèse 0H , soit on la rejettera.
Les risques d’erreurs encourus par l’observateur peuvent alors être définis par :
• α : risque de première espèce : décider à tort que 0H est fausse. Sa probabilité s’écrit :
α = Prob[décider que 1H est vraie / 0H vraie] ou
α = Prob[rejeter 0H / 0H vraie]
α est fixé, souvent à 5%.
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• β : risque de deuxième espèce : décider à tort que 0H est vraie. Sa probabilité s’écrit :
β = Prob[décider que 0H est vraie / 1H vraie]
Il convient de noter que par un abus de langage, le risque et sa mesure sont confondus dans la pratique courante. Par exemple, l’expression « risque de première espèce » est utilisée à la place de « probabilité du risque de première espèce ».
Synthèse :
Décision
Décider 0H vraie Décider 1H vraie
0H α Etat de nature
1H β
2. Efficacité d’un test
Les deux cases vides du tableau précédent correspondent aux prababilités complémentaires à 1 de α et de β, mais ne traduisent pas des risques puisque dans les deux cas il n’y a pas d’erreur de décision. Dans celle de la première ligne, s’inscrirait la probabilité de retenir 0H quand celle-ci est vraie, cette probabilité doit être normalement élevée. En revanche, dans la case vide de la deuxième ligne se trouverait l’expression :
1 - β = 1 – Prob[décider 0H vraie / 1H vraie] = Prob[décider 1H vraie / 1H vraie]
c’est-à-dire la probabilité de rejeter l’hypothèse 0H quand elle fausse. Cette dernière probabilité est retenue comme caractéristique de la perfirmande d’un test d’hypothèses.
La puissance d’un test, notée η, est la probabilité de rejeter l’hypothèse 0H quand celle-ci n’est
pas vraie ; elle est égale à η = 1 - β où β est le risque de deuxième espèce.
La puissance d’un test est la mesure de l’efficacité de ce test. Elle est comparable à la précision dans le cas d’un instrument de mesure. Il devient évident qu’un test est considéré d’autant plus précis (par rapport à l’adéquation entre 0H et l’observation) que sa puissance est plus grande.
3. Elaboration d’une règle de décision
La démarche qui conduit à la prise de décision s’effectue en deux étapes. La première consiste à définir ex ante (avant tirage de l’échantillon) une statistique d’échantillonnage et une zone de rejet de l’hypothèse 0H pour un risque d’erreur donné, puis à élaborer une règle de décision. La deuxième étape s’accomplit ex post : une déicison est prise au vu d’une valeur particulière de la statistique retenue, conformément à la règle précédemment proposée.
3.1. Fonction discriminante
Etant donné un test d’hypothèses, la fonction discriminante ∆ est la statistique d’échantillonnage utilisée pour décider de l’acceptation ou du rejet de l’hypothèse 0H d’un test, celle-ci étant choisie en fonction de la caractéristique objet de ce test. La fonction discriminante retenue pour un test d’hypothèses doit être de loi de probabilité connue, lorsque l’hypothèse
0H d’un test s’exprime à l’aide d’une caractéristique θ d’une loi de probabilité.
Par exemple, 0H : « θ prend la valeur 0θ » (θ pouvant être aussi bien une moyenne qu’une variance ou une proportion). La fonction discriminante du test est en général un estimateur de la caractéristique (possédant les principales propriétés requises d’un bon estimateur) et sa loi de probabilité dépend donc de θ.
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3.2. Région critique
La région critique R d’un test d’hypothèses de fonction discriminante ∆ est l’ensemble des valeurs de ∆ qui induisent au rejet de l’hypothèse 0H avec un risque d’erreur donné. Cette nouvelle définition permet d’exprimer les décisions en termes de variables aléatoires. Les événements « décider que 1H est vraie » et « décider que 0H est vraie » se traduisent
respectivement par les événements : « ∆ n’appartient pas à R » et « ∆ appartient à R’ », R étant un intervalle de la droite des réels dont la forme (fermé, semi ouvert) et les bornes sont à préciser.
Le calcul des bornes de la région critique passe par l’expression des risques α et β en fonction de R, c’est-à-dire :
[ ]vraieH/CobPr 0≥∆=α
[ ]vraieH/CobPr 1<∆=β avec C : seuil critique.
3.3. Décision
Tous les éléments sont à présent réunis pour mettre au point une règle de décision. Cette dernière peut s’énoncer ex ante (avant tirage de l’échantillon) de la manière suivante : ne pas accepter l’hypothèse 0H au risque d’erreur α, si la valeur particulière de la fonction
discriminante ∆ (qui est une variable aléatoire) dans l’échantillon qui sera prélevé ultérieurement appartient à la région critique. Ainsi, il ne reste plus qu’à prendre la décision finale au vu de l’échantillon particulier. L’échantillon en présence conduit à cette conclusion, mais un autre échantillon peut très bien entraîner une décision contraire. On dira : j’accepte ou je refuse l’hypothèse 0H au risque de α% et compte tenu de l’information à ma disposition.
4. Typologie des tests d’hypothèses
4.1. Tests non paramétriques
Un test est dit non paramétrique lorsque l’état de nature exprimé par les hypohtèses est formulé en termes qualitatifs. Deux genres de tests non paramétriques seront présentés (appelés aussi tests de concordance).
• Test d’adéquation entre la distribution observée ou empirique et la distribution théorique de la population.
• Test d’indépendance : ici l’échantillon est assimilé à un tableau d’effectif ou de contingence croisant deux caractères associés à chaque individu observé.
4.2. Tests paramétriques
• Tests de signification d’un paramètre :
00 :H θ=θ (m, σ, p)
• Tests de comparaison ou d’égalité de deux paramètres :
210 :H θ=θ (deux populations)
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5. Synthèse : démarche à suivre pour construire un test d’hypothèses
Niveau population
• Enoncer les hypothèses 0H et 1H
• Préciser les hypothèses de travail : loi de la variable dans la population…
Niveau échantillon ex ante
• Trouver une forme discriminante et proposer en la justifiant une forme de la région critique.
• Spécifier la loi de probabilité de la fonction discriminante dans le cadre de l’hypothèse 0H .
• Calculer la frontière de la région critique, étant donné un risque de première espèce α.
Niveau échantillon ex post
• Décider au vu de la valeur prise par la fonction discriminante dans l’échantillon particulier ⇒ formuler une règle de décision : Si valeur ∈ R, 0H rejetée
Si valeur ∉ R, 0H acceptée.
Unité 2 : Test du χ2
1. Test d’adéquation
1.1. Données du problème
Soit un échantillon aléatoire de taille n prélevé dans une population à laquelle est associée une variable aléatoire X. Un tableau des effectifs (fréquences absolues) est construit en regroupant les observations en k classes qui sont suivant le cas, soit des intervalles de valeurs (des classes), soit des valeurs entières uniques de la variable aléatoire X.
Classes Effectifs Effectifs
[ [10 e,e 1n 1x 1n
M M M M
[ [i1i e,e−
in ix in
M M M M
[ [k1k e,e−
kn nx kn
n n
La loi de la variable aléatoire X est soit :
- parfaitement déterminée,
- non parfaitement déterminée.
Les ix sont-elles les images de X ?
1.2. Construction du test
La démarche analytique est comparable à celle retenue pour la théorie de l’estimation. Le modèle théorique se situe ex ante, c’est-à-dire avant tirage. Ultérieurement, le prélévement d’un échantillon permettra d’accepter ou de refuser l’hypothèse 0H avec, bien entendu, un risque d’erreur toutefois mesurable.
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1.2.1. La formulation de l’hypothèse 0H
Soit une population à laquelle est associée une variable X liée à un paramètre θ et dont la loi de probabilité est notée L(θ). La question que l’on se pose est la suivante : les observations ix
sont-elles adéquates au modèle. On fait l’hypothèse 0H selon laquelle )(LX θ≡ (par exemple
)6;m(NX ≡ ou )(PX λ≡ avec m, σ, λ calculés sur les échantillons).
En posant comme vraie cette hypothèse, on peut calculer les probabilités ip rattachées à chaque classe i de la manière suivante :
� X : variable aléatoire continue
[ ]i1ii eXeobPrp <<=−
� X : variable aléatoire discrète
[ ]ii xXobPrp ==
Classes Effectifs Fréquences relatives if
Si 0H vraie
ip ∑= ii pF
[ [10 e,e 1n 1f 1p
M M M M
[ [i1i e,e−
in
nn
f ii = ip
M M M M
[ [k1k e,e−
kn
nn
f kk = kp
n 1f
k
1ii =∑
=
• soit lues dans les tables, dans le cas des variables aléatoires discrètes,
• soit calculés, dans le cas des variables aléatoires continues.
Il faut centrer et réduire les bornes des classes : ( )σ≡ ,mNX
[ ]
σ−<<σ
−=<< −
−
mpU
mePeXeP i1i
i1i )1;0(NU ≡
[ ] ( ) ( ) i1iii1i PuFuFuUuP =−=<<−−
1.2.2. La fonction discriminante
Les données en présence sont :
- Un échantillon aléatoire de taille n qui sera prélevé, l’effectif total de cet échantillon est réparti au hasard sur les k classes formant ainsi le tableau des effectifs observés notés in pour la classe i.
- Les probabilités ip qui sont calculées sur la base de l’hypothèse 0H (et à la suite d’un découpage de l’intervalle des valeurs possibles conformément aux classes du tableau de l’échantillon).
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L’adéquation entre l’hypothèse 0H ( )(LX θ≡ ) et l’observation est mesurée par la « distance » entre la distribution empirique et la distribution théorique, c’est-à-dire par une fonction des écarts entre in et inp . La fonction retenue est la suivante :
N.B. L’échantillon à prélever étant de taille n et les individus répartis au hasard entre les classes, l’effectif in de la classe i est une variable binomiale.
( )∑=
−k
1i i
2ii
npnpn
C’est une statistique d’échantillonnage puisque les in sont des variables aléatoires associées à l’échantillon qui sera prélevé. Elle est retenue comme fonction discriminante du test de l’adéquation d’une distribution empirique à un modèle théorique.
Karl Pearson a demontré, en cherchant la limite de la loi multinomiale, que :
( ) ( )1rknp
npn 2vraieHsi
n
k
1i i
2ii
0−−χ→−
∞→=∑
avec r : nombre de paramètres à estimer, k : nombre de classes,
in : effectifs observés,
inp : effectifs théoriques.
( )2f χ
α fixé (en principe 5%)
si aucun paramètre n’est à estimer
on a )1k(2 −χ , cas où la loi est parfaitement déterminée.
21 α−χ )1k(2 −χ
1.2.3. La région critique
Dans la relation précédente, la variable du 2χ mesure la distance « entre les effectifs observés et les effectifs théoriques. Une grande valeur de cette variable est symptomatique de la non concordance entre la distribution observée et le modèle théorique. En conséquent, il existe un seuil c au-delà duquel l’hypothèse 0H ne peut pas être retenue.
α = Prob[rejeter 0H / 0H vraie] : risque de première espèce
[ ]21
2oobPr α−χ>χ=α avec
( )∑=
−=χk
1i i
2ii2
o npnpn
1.2.4. La règle de décision
Si )12k(21
2o −−χ≥χ α− rejet de 0H au risque de première espèce α%.
Si )12k(21
2o −−χ<χ α− 0H acceptée au risque de première espèce α%.
α−1 α
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1.3. Considérations pratiques
Remarque : ce test s’applique à des données en classes. Il est asymptotique (n → ∞).
Si 0H : xx FF →′
Classes Effectifs Si 0H vraie
ip inp ( )2ii npn − ( )
i
2ii
npnpn −
[ [10 e,e 1n 1p 1np ( )211 npn −
M M M
[ [i1i e,e−
in ip inp ( )2ii npn − ( )i
2ii
npnpn −
M M M
[ [k1k e,e−
kn kp knp ( )2kk npn −
n 1 n ( )∑=
−=χk
1i i
2ii2
o npnpn
Simplification :
( ) ∑ ∑∑∑∑∑ +−=−+=−+
=−=χ=
nn2np
nn2np
np
n
np
npn2pnn
npnpn
i
2i
iii
2i
i
ii2i
22i
k
1i i
2ii2
o
nnp
nk
1i i
2i2
o −=χ ∑=
On peut donc calculer
−=χ ∑=
1pn
nn
k
1i i2
2i2
o
Regroupement des classes :
Si on a des classes de très faibles probabilités ( ip petits donc inp petits), on regroupe les
classes entre elles : en effet, on rique de voir 2oχ augmenter artificiellement et on risque de
rejeter 0H .
Pour éviter ce risque, on regroupe les classes lorsque les valeurs de inp et in sont trop
petites. En pratique, si inp est inférieur à 5.
S’il y a regroupement de classes, le degré de liberté du 2χ change et devient s – r – 1, avec s nombre de classes après regroupement.
Remarque : Le 2χ peut être considéré comme une méthode d’estimation : on l’appelle
méthode du 2χ minimum.
2. Test d’indépendance
On veut tester l’indépendance éventuelle de deux caractères attachés à chaque individu d’une même population.
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Dans ce cas, les deux distributions d’effectifs sont transcrites sous forme de tableaux à double entrée (ou tableaux de contingence), la distribution empirique résultant de l’observation et la distribution théorique étant déterminée à partir des fréquences… ?
2.1. Données du problème
Soit un échantillon aléatoire de taille n issu d’une population dont les individus possèdent deux caractères A et B (qualitatifs ou rendus tels). Le tableau des effectifs qui est construit se présente sous la forme suivante :
B
A 1B jB kB .in
1A 11n … j1n … k1n .1n
M
iA 1in … ijn … 1in .in
M
pA 1pn … pjn … pkn .pn
j.n 1.n … j.n … k.n n
ijn individus possèdent à la fois les deux modalités iA et jB ,
.in individus possèdent la modalité iA (∀ la modalité de B),
j.n individus possèdente la modalité jB (∀ la modalité de A).
2.2. Construction du test
2.2.1. Formulation de l’hypothèse
La condition d’indépendance entre les deux caractères A et B est exprimée par l’hypothèse :
0H : A et B indépendants
A possède p modalités : 1A … pA
B possède k modalités : 1B … kB
Sur chaque individu, on note la valeur du caractère A et celle du caractère B : { }ji b,a
2.2.2. Fonction discriminante
L’effectif total n de l’échantillon à prélever sera réparti au hasard dans les cellules d’un tableau à double entrée.
L’effectif ijn des individus possédant la modalité iA et jB est une variable aléatoire quels que
soient i et j.
On forme la fonction discriminante :
( )∑∑= =
−=χ
p
1i
k
1j ij
2ijij2
o np
npn
ijn représente les effectifs observés,
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ijnp les effectifs théoriques correspondant au cas de l’indépendance.
Sous l’hypothèse 0H , 2oχ suit approximativement une loi du 2χ
( ) ( )1rpknp
npn 2Hsi
n
p
1i
k
1j ij
2ijij2
o
0
−−χ−
=χ →∑∑∞→= =
avec r nombre de paramètres.
[ ] { }jijiij b,aIBAIobPrp =∩∈=
j..i
Hsi
ij pPp0
×=
B
A 1B … jB … kB .in
1A .1p
M
iA .ip
M
pA
j..iij pPp ×=
.pp
j.p 1.p … j.p … k.p 1
Recherche du nombre de paramètres à estimer :
.ip → à estimer p – 1
j.p → à estimer k – 1
Recherche du degré de liberté :
(pk – r- 1) = pk – p – k + 2 – 1
= pk – p – k + 1
= k (p - 1) - (p - 1)
=(p - 1) (k - 1)
nn
p .i.i =
nn
p J.j. =
p + k -2
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( ) ( )
( )
+−=
+−=
+−=
−
=
−−=χ
∑∑
∑∑ ∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑∑∑
∑∑
∑∑∑∑
= =
= = = = ==
= = = == =
= =
= == =
p
1i
k
1j j..i
2ij
p
1i
k
1j
p
1i
k
1j
k
1j
p
1i.i2ij
j..i
2ij
p
1i
k
1j
p
1i
k
1j j..i2
2j.
2.i
j..i
j..iijp
1i
k
1j j..i
2ij
p
1i
k
1j j..i
2j..i
ij
p
1i
k
1j j..i
2j..iij
p
1i
k
1j ij
2ijij2
o
12nn
nn
j.nnn
1n
n2
nn
nn
nnn
nn
nnn
nnn2
nn
nn
n
n
nn
n
n
n
nn
nn
pnp
pnpn
np
npn
( )( )1k1p1nn
nn 2
Hsi
n
p
1i
k
1j j..i
2ij2
o0 −−χ→
−=χ∞→= =
∑∑
2.2.3. Région critique et règle de décision
( )2f χ
21 α−χ ( ) )1k(1p2 −−χ
Si 21
2o α−χ≥χ rejet de 0H au risque de première espèce α%.
Si 21
2o α−χ<χ 0H acceptée au risque de première espèce α%.
2.3. Considérations pratiques
Dans les cases du tableau de contingence, mettre :
ijj..i
2ij cnn
n=
−=χ ∑∑= =
p
1i
k
1jij
2o 1cn
2oχ est toujours positif.
α−1 α
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2.4. Test d’homogénéité
On a un ensemble d’échantillons k21 EEE LL relatifs à des observations sur un caractère A.
A, caractère observé , possède p modalités.
E
A 1E … jE … kE .in
1A .1n
M
iA .in
M
pA
ijn
.pn
j.n j.n n
ijn : nombre d’observations de ij AE ∈
Question : peut-on considérer que tous les échantillons sont issus de la même population ?
Si oui, on dira qu’il y a homogénéité dans la population.
Si non, on dira qu’il y a hétérogénéité dans la population.
Y a-t-il homogénéité entre échantillons vis à vis de A ?
0H : homogénéité entre échantillon.
Cette hypothèse revient à teste :
0H : indépendance entre A et l’appartenance à un échantillon.
( )( )1k1p1nn
nn 2
Hsi
n
p
1i
k
1j j..i
2ij2
o0 −−χ→
−=χ∞→= =
∑∑
A 1E … jE … kE
1A 11n j1n k1n .1n
M
iA 1in ijn ikn .in nn
p
1i
k
1jij =∑∑
= =
M
pA 1pn pjn pkn .pn
1.n … j.n … k.n n
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( )2f χ
21 α−χ ( ) )1k(1p2 −−χ
Règle de décision :
Si 21
2o α−χ≥χ rejet de 0H au risque de première espèce α%.
Si 21
2o α−χ<χ 0H acceptée au risque de première espèce α%.
( )
=β=α
vraieH
fausseH/HaccepterobPr
vraieH/HrejeterobPr
1
00
00
Unité 3 : Test paramètriques
Il existe deux types de tests paramètriques :
- les tests de signification des paramètres,
- les tests de comparaison des paramètres.
1. Test de signification des paramètres
1.1. Problématique
Population : )(LX θ≡ θ paramètre inconnu
⇓ L loi connue
00 :H θ=θ hypothèse à tester
11 :H θ=θ hypothèse alternative
⇓
Echantillons possibles � Fonction discriminante
Région critique
�
Règle de décision : soit on conserve 0H , soit on la rejette.
�
Echantillon particulier � Valeur particulière de θ
α−1 α
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Soit une population dont un paramètre θ est inconnu et un estimateur θ de θ défini à partir de tous les échantillons de taille n. La donnée d’un échantillon particulier et donc d’une valeur
particulière de θ permettra de déterminer un intervalle de confiance de θ qui reste malgré tout inconnu.
Le test de signification d’un paramètre consiste à poser a priori le entre deux valeurs numériques pour θ ou encore le choix entre une valeur précise et un ensemble du type « plus grand que » ; « plus petit que » ou « différent de ».
Dans le premier cas, il s’agit de tester une hypothèse 0H simple contre une hypothèse
antagoniste 1H simple aussi ; dans le second, c’est une hypothèse 0H simple qui est opposée
à 1H composite.
( )( )
=β=α
vraieH/HaccepterobPr
vraieH/HrejeterobPr
10
00
1.2. Test de signification de la moyenne d’une loi normale lorsque la variance est connue
);m(NX σ≡ σ connu, m ?
( )n0 xx L échantillon de X.
• si n est petit, il faut être certain de l’hypothèse de normalité.
);m(NX σ≡
• si n est grand : utilisation de l’approximation noramle :
∑ ∑ ∑
σ→ 2iii ;mNindX
100 mm/mm:H ==
On cherche sur l’échantillon un estimateur de m : X
n;m(NX σ≡
)1,0(N
n
mX≡
σ
−
( )uf
1uα
21u α− u
α−1 α2
α1
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si 0H vraie )1,0(N
n
mX 0 ≡σ
−
<σ
−<=α− α−α 21 10 u
n
mXuobPr1
σ+<<σ+=α− α−α numX
numobPr1
21 100
σ+σ+∈=α− α−α num;
numXobPr1
21 100
Règle de décision :
σ+σ+∉
σ+σ+∈
α−α
α−α
rejetéeHn
um;n
umXsi
acceptéeHn
um;n
umXsi
0100
0100
21
21
α risque de première espèce : ( )vraieH/HrejeterobPr 00=α 00 mm:H =
( )vraieH/HaccepterobPr 10=β 11 mm:H =
=
σ+σ+∈=β α−α 1100 mm/n
um;n
umXobPr21
Si 1H : n;m(NX 1 σ≡
)1,0(N
n
mX 1 ≡σ
−
[ ]
σ−−
σ−=
σ−<σ
−<σ−=
=<<=β
n
maF
n
mbF
n
mb
n
1X
n
maobPr
mm/bXaobPr
11
11
1
Rappel : η=β−1 puissance du test
[ ]vraieH/HrejeterobPr1 10=β−
Courbe d’efficacité du test : ( ){ }1mβ , variation de β en fonction de 1m
Courbe de puissance : ( ){ }1mη
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� Intervalle bilatéral symétrique : 221 α=α=α
( )uf
2/uα 2/1u α− u
01100 mm:H/mm:H ≠=
<σ
−<=α− α−α 2/10
2/ u
n
mXuobPr1
Règle de décision :
σ±∉
σ±∈
α−
α−
rejetéeHn
umXsi
acceptéeHn
umXsi
02/10
02/10
� Intervalle unilatéral à droite : α=α=α 21 0
( )uf
α−1u u
01100 mm:H/mm:H >=
α−1 α/2
α/2
α−1 α
Echantillonnage M3
EchMod3 16/42
+σ<=
<σ
−=α−
α−
α−
01
10
mn
uXobPr
u
n
mXobPr1
Règle de décision :
+σ≥+σ<
α−
α−
rejetéeHmn
uXsi
acceptéeHmn
uXsi
001
001
Ici
[ ]
=+σ≥==α
α− 001
00
mm/mn
uXobPr
vraieH/HrejeterobPr
� Intervalle unilatéral à gauche : 021 =αα=α
( )uf
αu u
01100 mm:H/mm:H <=
+σ>=
>σ
−=α−
α
α
0
0
mn
uXobPr
u
n
mXobPr1
Règle de décision :
+σ≤+σ>
α
α
rejetéeHmn
uXsi
acceptéeHmn
uXsi
00
00
1.3. Test de signification de la moyenne d’une loi normale lorsque la variance est inconnue
);m(NX σ≡ σ inconnu, m ?
n;m(NX σ≡ on prend un échantillon de taille n.
α−1
α
Echantillonnage M3
EchMod3 17/42
Utilisation de la loi de Student :
( )n
smX
1nT
1ns
mX −≡−≡
−
− ( )
−χ≡σ 1nns 2
2
2
( )∑ −=2
i2 XX
n1
s ( )∑ −−
=2
i2 XX
1n1
s
( ))1n(Tf −
1tα
21t α− T(n-1)
100 mm/mm:H ==
<
−−<=α− α−α 21 1
0 t
1ns
mXtobPr1
−+<<−+=α− α−α 1n
stmX1n
stmobPr121 100
Règle de décision :
−+−+∉
−+−+∈
α−α
α−α
rejetéeH1n
stm;1n
stmXsi
acceptéeH1n
sum;1n
stmXsi
0100
0100
21
21
( )vraieH/HaccepterobPr 10=β 11 mm:H =
=
−+−+∈=β α−α 1
b
10
a
0 mm/1n
stm;1n
stmXobPr21
444 3444 21444 3444 21
Si )1n(T
1ns
mX:H 1
1 −≡
−
−
α−1
α1 α2
α1+α2=α
Echantillonnage M3
EchMod3 18/42
−−−
−−=
−−<
−−<
−−=β
1ns
maF
1ns
mbF
1ns
mb
1ns
mX
1ns
maobPr
11
111
Fonction de répartition de la loi de Student
Si n-1>30, T(n-1)≡N(0,1)
Si n-1<30, tables de la fonction de répartition de T(n-1).
� Intervalle bilatéral symétrique : 2/21 α=α=α
( )Tf
2/tα 2/1t α− T(n-1)
01100 mm:H/mm:H ≠=
−+<<−+=
<
−−<=α−
α−α
α−α
1nstmX
1nstmobPr
t
1ns
mXtobPr1
2/102/0
2/10
2/
Règle de décision :
−±∉
−±∈
α
α
rejetéeH1n
stmXsi
acceptéeH1n
stmXsi
02/0
02/0
α−1 α/2
α/2
Echantillonnage M3
EchMod3 19/42
� Intervalle unilatéral à droite : α=α=α 21 0
( )Tf
α−1t T(n-1)
01100 mm:H/mm:H >=
+−<=
<
−−=α−
α−
α−
01
10
m1n
stXobPr
t
1ns
mXobPr1
Règle de décision :
+−≥+−<
α−
α−
rejetéeHm1n
stXsi
acceptéeHm1n
stXsi
001
001
� Intervalle unilatéral à gauche : 021 =αα=α
( )Tf
αt T(n-1)
01100 mm:H/mm:H <=
α−1 α
α−1
α
Echantillonnage M3
EchMod3 20/42
+−>=
>
−−=α−
α
α
0
0
m1n
stXobPr
t
1ns
mXobPr1
Règle de décision :
+−≤+−>
α
α
rejetéeHm1n
stXsi
acceptéeHm1n
stXsi
00
00
1.4. Test de signification de la variance d’une loi normale
);m(NX σ≡ 2σ ?
21
220
20 /:H σ=σσ=σ
On prend un échantillon de taille n.
)1n(ns 2
2
2−χ≡
σ
( )2f χ
12αχ 21
2α−χ )1n(2 −χ
χ<σ<χ=α−
α−α212
22
21
nsobPr1
Si
χ<σ<χ=α−
α−α212
0
22
021
nsobPr1:H
σχ<<σχ=α−α−α nsnobPr1
202
12
202
21
α−1
α1 α2
α1+α2=α
Echantillonnage M3
EchMod3 21/42
Règle de décision :
σχσχ∉
σχσχ∈
α−α
α−α
rejetéeHn;nssi
acceptéeHn;nssi
0
202
1
2022
0
202
1
2022
21
21
( )vraieH/HaccepterobPr 10=β
σ=σ
σχ<<σχ=βα−α
21
2
b
202
12
a
202 /nsnobPr
214342143421
Si )1n(ns
:H 221
2
1 −χ≡σ
σ−
σ=
σ<σ<σ=β
21
21
21
21
2
21
anF
bnF
nb
nsnaobPr
Fonction de répartition de )1n(2 −χ
� Intervalle bilatéral symétrique :
( )2f χ
12αχ 21
2α−χ )1n(2 −χ
20
211
20
20 :H/:H σ≠σσ=σ
χ<σ<χ=α− α−α
22/12
22
2/ns
obPr1
Si
χ<σ<χ=α− α−α
22/12
0
22
2/0ns
obPr1:H
σχ<<σχ=α− α−α nsnobPr1202
2/12
202
2/
α−1
α/2 α/2
α1+α2=α/2
Echantillonnage M3
EchMod3 22/42
Règle de décision :
σχσχ∉
σχσχ∈
α−α
α−α
rejetéeHn;nssi
acceptéeHn;nssi
0
202
2/1
202
2/2
0
202
2/1
202
2/2
� Intervalle unilatéral à gauche : 021 =αα=α
( )2f χ
αχ2 )1n(2 −χ
20
211
20
20 :H/:H σ<σσ=σ
[ ])1n(obPr1 22 −χ<χ=α− α
Si
σ<χ=α− α 20
22
0ns
obPr1:H
σχ>=α− α nsobPr12022
Règle de décision :
σχ≤
σχ>α
α
rejetéeHnssi
acceptéeHnssi
0
2022
0
2022
α−1
α
Echantillonnage M3
EchMod3 23/42
� Intervalle unilatéral à droite : α=α=α 21 0
( )2f χ
21 α−χ )1n(2 −χ
20
211
20
20 :H/:H σ>σσ=σ
Si
χ<σ=α− α−
212
0
2
0ns
obPr1:H
σχ<=α− α− nsobPr1202
12
Règle de décision :
σχ≥
σχ<α−
α−
rejetéeHnssi
acceptéeHnssi
0
202
12
0
202
12
1.5. Test de signification d’une proportion
100 pp/pp:H ==
Soit X une variable aléatoire. Soient deux modalités dans une population :
p1q)A(pA
p)A(pA
−==→
=→
Un échantillon est tiré dans la population. La variable X associée au tirage d’un individu est une variable de Bernouilli. La variable Y associée au tirage de n individus est une variable binomiale (nombre de fois où A se produit).
( )npq,npN)p,n(BY L→≡
→=
npq
,pNnY
f
• Si n est petit, si 0H vraie : ( )0p,nBY ≡ , lecture dans la table de la loi binomiale.
• Si n est grand, si 0H vraie : ( )000 qnp,npNY →
α−1
α
Echantillonnage M3
EchMod3 24/42
→=
nqp
,pNnY
f 000
Si )1,0(N
nqp
pf:H
00
00 ≡
−
( )uf
1uα
21u α− u
+<<+=
<−<=α−
α−α
α−α
nqp
upfnqp
upobPr
u
nqp
pfuobPr1
0010
000
100
0
21
21
Règle de décision :
++∉
++∈
α−α
α−α
rejetéeHnqp
up;nqp
upfsi
acceptéeHnqp
up;nqp
upfsi
000
1000
0
000
1000
0
21
21
� Intervalle bilatéral symétrique : 221 α=α=α
( )uf
2/uα 2/1u α− u
α−1 α2
α1
α1+α2=α
α−1 α/2
α/2
Echantillonnage M3
EchMod3 25/42
01100 pp:H/pp:H ≠=
±∈=
<−<=α−
α
α−α
nqp
upfobPr
u
nqp
pfuobPr1
002/0
2/100
02/
Règle de décision :
±∉
±∈
α
α
rejetéeHnqp
upfsi
acceptéeHnqp
upfsi
000
2/0
000
2/0
� Intervalle unilatéral à gauche : 021 =αα=α
( )uf
αu u
01100 pp:H/pp:H <=
+>=
>−=α−
α
α
nqp
upfobPr
u
nqp
pfobPr1
000
00
0
Règle de décision :
+≤
+>
α
α
rejetéeHnqp
upfsi
acceptéeHnqp
upfsi
000
0
000
0
α−1
α
Echantillonnage M3
EchMod3 26/42
� Intervalle unilatéral à droite : α=α=α 21 0
( )uf
α−1u u
01100 pp:H/pp:H >=
+<=
<−=α−
α−
α−
nqp
upfobPr
u
nqp
pfobPr1
0010
100
0
Règle de décision :
+≥
+<
α−
α−
rejetéeHnqp
upfsi
acceptéeHnqp
upfsi
000
10
000
10
2. Test de comparaison ou d’égalité des paramètres
2.1. Problématique
Soient deux populations :
( )( )22
11
LX
LX
θ≡θ≡
avec 21 et θθ inconnus.
210 :H θ=θ
Fonction discriminante
Région critique
Décision Echantillons particuliers
L’hypothèse 21 θ=θ peut être formulée sous la forme : 021 =θ−θ . Le test de comparaison de deux paramètres revient en un test de signification à zéro de la différence entre ces paramètres (ou signification à 1 du rapport des deux paramètres).
α−1 α
Echantillonnage M3
EchMod3 27/42
2.2. Test de comparaison des moyennes de deux lois normales lorsque les variances sont connues
( )( )222
111
,mNX
,mNX
σ≡
σ≡
On tire deux échantillons de taille 1n et 2n dans ces deux populations.
• Si 21 n,n sont petits, formulation de l’hypothèse de normalité.
• Si 21 n,n sont grands, approximation par la loi normale.
0mmmm:H 21210 =−⇔=
λ=− 211 mm:H
σ≡
σ≡
2
222
1
111
n;mNX
n;mNX
( ) ( )
σ+σ−≡−
2
22
1
21
2121 nn;mmNXX
( ) ( ))1,0(N
nn
mmXX
2
22
1
21
2121 ≡σ
+σ
−−−
( )uf
1uα
21u α− u
Si ( )
<σ+σ−−<=α− α−α 21 1
2
22
1
21
210 u
nn
0XXuobPr1:H
( )
σ+σ<−<σ+σ=α− α−α 2
22
1
21
1212
22
1
21
nnuXX
nnuobPr1
21
α−1 α2
α1
α1+α2=α
Echantillonnage M3
EchMod3 28/42
Règle de décision :
( )
( )
σ+σσ+σ∉−
σ+σσ+σ∈−
α−α
α−α
rejetéeHnn
u;nn
uXXsi
acceptéeHnn
u;nn
uXXsi
02
22
1
21
12
22
1
21
21
02
22
1
21
12
22
1
21
21
21
21
( )vraieH/HaccepterobPr 10=β
[ ]λ=−<−<=β 2121 mm/bXXaobPr
Si 1H vraie ( )
)1,0(N
nn
XX
2
22
1
21
21 ≡σ+σ
λ−−
( )
σ+σλ−<
σ+σλ−−<
σ+σλ−=β
2
22
1
21
2
22
1
21
21
2
22
1
21
nn
b
nn
XX
nn
aobPr
σ+σλ−−
σ+σλ−=β
2
22
1
21
2
22
1
21
nn
aF
nn
bF
( ){ }λβ courbe d’efficacité
( ){ }λη courbe de puissance β−=η 1
� Intervalle bilatéral symétrique: 221 α=α=α
( )uf
2/uα 2/1u α− u
α−1 α/2
α/2
Echantillonnage M3
EchMod3 29/42
Si ( )
<σ+σ−−<=α− α−α 2/1
2
22
1
21
212/0 u
nn
0XXuobPr1:H
( )
σ+σ<−<σ+σ=α− α−α 2
22
1
21
2/1212
22
1
21
2/nn
uXXnn
uobPr1
Règle de décision :
( )
( )
σ+σ±∉−
σ+σ±∈−
α
α
rejetéeHnn
uXXsi
acceptéeHnn
uXXsi
02
22
1
21
2/21
02
22
1
21
2/21
� Intervalle unilatéral à gauche : 021 =αα=α
( )uf
αu u
21211
21210
mm0mm:H
0mmmm:H
<⇔<−
=−⇔=
Si ( )
>σ+σ
−=α− αu
nn
XXobPr1:H
2
22
1
21
210
( )
σ+σ>−=α− α 2
22
1
21
21nn
uXXobPr1
α−1
α
Echantillonnage M3
EchMod3 30/42
Règle de décision :
( )( )
σ+σ≤−
σ+σ>−
α
α
rejetéeHnn
uXXsi
acceptéeHnn
uXXsi
02
22
1
21
21
02
22
1
21
21
� Intervalle unilatéral à droite : α=α=α 21 0
( )uf
α−1u u
21211
21210
mm0mm:H
0mmmm:H
>⇔>−
=−⇔=
Si ( )
<σ+σ
−=α− α−1
2
22
1
21
210 u
nn
XXobPr1:H
( )
σ+σ<−=α− α− 2
22
1
21
121nn
uXXobPr1
Règle de décision :
( )( )
σ+σ≥−
σ+σ<−
α−
α−
rejetéeHnn
uXXsi
acceptéeHnn
uXXsi
02
22
1
21
121
02
22
1
21
121
Interprétation des contre-hypothèses :
⇒≠ 211 mm:H la moyenne a-t-elle varié ?
⇒> 211 mm:H la moyenne a-t-elle diminué ?
⇒< 211 mm:H la moyenne a-t-elle augmenté ?
α−1 α
Echantillonnage M3
EchMod3 31/42
2.3. Test de comparaison des moyennes de deux lois normales lorsque les variances sont inconnues
( )( )222
111
,mNX
,mNX
σ≡
σ≡ 21,σσ inconnus
0mmmm:H 21210 =−⇔=
λ=− 211 mm:H
( ) ( )
σ+σ−≡−
2
22
1
21
2121 nn;mmNXX
21,σσ inconnus, donc utilisation de la loi de Student. Il faut au préalable tester l’hypothèse 222
21σ=σ=σ (Cf. § suivant)
Remarque : si 22
21 σ≠σ , on ne peut pas utiliser le test de Student. On utilise alors les tables
statistiques de Darmois.
( ) ( ) ( )
2121
222
211
212121
n1
n1
2nnsnsn
mmXX2nnT
+−+
+
−−−≡−+
( )Tf
1tα
21t α− T
Si ( )
<+−+
+−−<=α− α−α 21 1
2121
222
211
210 t
n1
n1
2nnsnsn
0XXtobPr1:H
+−++<−<+−+
+=α− α−α2121
222
211
1212121
222
211
n1
n1
2nnsnsn
tXXn1
n1
2nnsnsn
tobPr121
α−1
α1 α2
α1+α2=α
Echantillonnage M3
EchMod3 32/42
Règle de décision :
( )
( )
+−+++−+
+∉−
+−+++−+
+∈−
α−α
α−α
rejetéeHn1
n1
2nnsnsn
t;n1
n1
2nnsnsn
tXXsi
acceptéeHn1
n1
2nnsnsn
t;n1
n1
2nnsnsn
tXXsi
02121
222
211
12121
222
211
21
02121
222
211
12121
222
211
21
21
21
( )vraieH/HaccepterobPr 10=β
[ ]λ=−<−<=β 2121 mm/bXXaobPr
( )
+−++
λ−<+−+
+λ−−<
+−++
λ−=β2121
222
211
2121
222
211
21
2121
222
211
n1
n1
2nnsnsn
b
n1
n1
2nnsnsn
XX
n1
n1
2nnsnsn
aobPr
+−++
λ−−
+−++
λ−=β2121
222
211
2121
222
211
n1
n1
2nnsnsn
aF
n1
n1
2nnsnsn
bF
Fonction de répartition de ( )2nnT 21 −+
• Si →<−+ 302nn 21 lecture dans les tables de la fonction de répartition de la loi de Student.
• Si →>−+ 302nn 21 ( ) )1,0(N2nnT L21 →−+
� Intervalle bilatéral symétrique : 2/21 α=α=α
( )Tf
2/tα 2/1t α− T(n-1)
211210 mm:H/mm:H ≠=
α−1 α/2
α/2
Echantillonnage M3
EchMod3 33/42
<+−+
+−<=α− α−α 2/1
2121
222
211
212/ t
n1
n1
2nnsnsn
XXtobPr1
Règle de décision :
( )
( )
+−++∉−
+−++∈−
α−
α−
rejetéeHn1
n1
2nnsnsn
tXXsi
acceptéeHn1
n1
2nnsnsn
tXXsi
02121
222
211
2/121
02121
222
211
2/121
� Intervalle unilatéral à droite : α=α=α 21 0
( )Tf
α−1t T
211210 mm:H/mm:H >=
( )
<+−+
+−=α− α−1
2121
222
211
21 t
n1
n1
2nnsnsn
XXobPr1
Règle de décision :
( )( )
+−++≥−
+−++<−
α−
α−
rejetéeHn1
n1
2nnsnsn
tXXsi
acceptéeHn1
n1
2nnsnsn
tXXsi
02121
222
211
121
02121
222
211
121
α−1 α
Echantillonnage M3
EchMod3 34/42
� Intervalle unilatéral à gauche : 021 =αα=α
( )Tf
αt T
211210 mm:H/mm:H <=
( )
+−++
−<=α− α
2121
222
211
21
n1
n1
2nnsnsn
XXtobPr1
Règle de décision :
( )( )
+−++≤−
+−++>−
α
α
rejetéeHn1
n1
2nnsnsn
tXXsi
acceptéeHn1
n1
2nnsnsn
tXXsi
02121
222
211
21
02121
222
211
21
2.4. Test de comparaison des variances de deux lois normales
( )( )222
111
,mNX
,mNX
σ≡
σ≡ ?21 σ=σ
λ=σ−σ
=σσ⇔σ=σ
22
211
22
212
2210
:H
1:H
On tire dans la population 1 un échantillon de taille 1n , de moyenne 1X et d’écart-type 1S .
On tire dans la population 2 un échantillon de taille 2n , de moyenne 2X et d’écart-type 2S .
( )1n;1nFS
S
Sn
1n1n
Sn212
1
22
22
21
222
221
22
1
211 −−≡
σ
σ⋅=
−⋅
σ
σ⋅
−
Si ( )1n;1nFS
S:H 212
2
21
0 −−≡
α−1
α
Echantillonnage M3
EchMod3 35/42
( )Ff
1Fα
21F α− )1n,1n(F 21 −−
Si
<<=α− α−α 21 12
2
21
0 FS
SFobPr1:H
Règle de décision :
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
−−−−∉
−−−−∈
α−α
α−α
rejetéeH1n;1nF;1n;1nFS
Ssi
acceptéeH1n;1nF;1n;1nFS
Ssi
02112122
21
02112122
21
21
21
� Intervalle bilatéral symétrique :
( )Ff
1Fα
21F α− )1n;1n(F 21 −−
1:H/1:H22
21
122
21
0 ≠σ
σ=
σ
σ
Si
<<=α− α−α 2/12
2
21
2/0 FS
SFobPr1:H
α−1
α1 α2
α1+α2=α
α−1
α/2 α/2
α1+α2=α/2
Echantillonnage M3
EchMod3 36/42
Règle de décision :
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
−−−−∉
−−−−∈
α−α
α−α
rejetéeH1n;1nF;1n;1nFS
Ssi
acceptéeH1n;1nF;1n;1nFS
Ssi
0212/1212/22
21
0212/1212/22
21
Attention à la lecture des tables de Fischer :
( ) ( )1n;1nF1
1n;1nF212/1
212/−−
=−−
α−α
� Intervalle unilatéral à droite : α=α=α 21 0
( )Ff
α−1F )1n;1n(F 21 −−
1:H/1:H22
21
122
2
01
>σ
σ=
σ
σ
Si
−−<=α− α− )1n;1n(FS
SobPr1:H 2112
2
21
0
Règle de décision :
• Si 1S
S22
21 >
−−≥
−−<
α−
α−
rejetéeH)1n;1n(FS
Ssi
acceptéeH)1n;1n(FS
Ssi
021122
21
021122
21
• Si 1S
S1
S
S21
22
22
21 >⇒<
( )1n;1nFS
S1212
1
22 −−≡ α−
α−1
α
Echantillonnage M3
EchMod3 37/42
−−<
−−≥
α−
α−
acceptéeH)1n;1n(FS
Ssi
rejetéeH)1n;1n(FS
Ssi
012121
22
012121
22
� Intervalle unilatéral à gauche : 021 =αα=α
( )Ff
αF )1n;1n(F 21 −−
1:H/1:H22
21
122
2
01
<σ
σ=
σ
σ
Si
−−>=α− α )1n;1n(FS
SobPr1:H 212
2
21
0
Règle de décision :
• Si 1S
S22
21 >
−−≤
−−>
α
α
rejetéeH)1n;1n(FS
Ssi
acceptéeH)1n;1n(FS
Ssi
02122
21
02122
21
• Si 1S
S1
S
S21
22
22
21 >⇒<
( )1n;1nFS
S1212
1
22 −−≡ α−
−−>
−−≤
α
α
acceptéeH)1n;1n(FS
Ssi
rejetéeH)1n;1n(FS
Ssi
01221
22
01221
22
α−1
α
Echantillonnage M3
EchMod3 38/42
2.5. Test de comparaison de deux proportions
Soit X1 une variable aléatoire. Soient deux modalités dans une population :
11
1
p1q)A(pA
p)A(pA
−==→
=→
Un échantillon est tiré dans la population. La variable X1 associée au tirage d’un individu est une variable de Bernouilli. La variable Y1 associée au tirage de n1 individus est une variable binomiale (nombre de fois où A se produit).
( )11111L
111 qpn,pnN)p,n(BY →≡
→=
1
111
1
1nqp
,pNnY
f
Soit X2 une variable aléatoire. Soient deux modalités dans une population :
22
2
p1q)B(pB
p)B(pB
−==→
=→
Un échantillon est tiré dans la population. La variable X2 associée au tirage d’un individu est une variable de Bernouilli. La variable Y2 associée au tirage de n2 individus est une variable binomiale (nombre de fois où B se produit).
( )22222L
222 qpn,pnN)p,n(BY →≡
→=
2
222
2
2nqp
,pNnY
f
λ=−=−⇔=
211
21210
pp:H
0pppp:H
+−→−
2
22
1
1121
L21 n
qpnqp
;ppNFF
Si ( )
)1,0(N
nqp
nqp
0FF:H
2
22
1
11
210 ≡
+
−−
( )uf
1uα
21u α− u
α−1 α2
α1
α1+α2=α
Echantillonnage M3
EchMod3 39/42
+<−<+=
<
+−<=α−
α−α
α−α
2
22
1
11121
2
22
1
11
1
2
22
1
11
21
nqp
nqp
uFFnqp
nqp
uobPr
u
nqp
nqp
FFuobPr1
21
21
111
111
F1qq
Fpp
−=→
=→
222
222
F1qq
Fpp
−=→
=→
Or ici on teste F1q?qqq
Fp?ppp
21
21
−=→==
=→==
On prend pour variable aléatoire F :
21
21nnYY
F+
+=
L’estimateur F de p est égal à :
21
2211nn
FnFnF
+
+=
Si ( ) ( )
+−<−<
+−=α− α−α
21121
210 n
1n1
F1FuFFn1
n1
F1FuobPr1:H21
Utilisation de F et non pas de 1F et 2F
Règle de décision :
( ) ( )
( ) ( )
+−
+−∉−
+−
+−∈−
α−α
α−α
rejetéeHn1
n1
F1Fu;n1
n1
F1FuFFsi
acceptéeHn1
n1
F1Fu;n1
n1
F1FuFFsi
021
121
21
021
121
21
21
21
Interprétation de l’hypothèse 0H : différence non significative entre les fréquences relatives observées.
( )vraieH/HaccepterobPr 10=β
λ=−=−⇔=
211
21210
pp:H
0pppp:H
[ ]λ=−<−<=β 2121 pp/bFFaobPr
( ) ( ) ( ) ( )
+−−<
+−−−<
+−−=β
2
22
1
11
21
2
22
1
11
2121
2
22
1
11
21
nqp
nqp
ppba
nqp
nqp
ppFF
nqp
nqp
ppaobPr
Echantillonnage M3
EchMod3 40/42
( ) ( )
+−−−
+−−=β
2
22
1
11
21
2
22
1
11
21
n
qp
n
qp
ppaF
n
qp
n
qp
ppbaF
111
111
F1qq
Fpp
−=→
=→
222
222
F1qq
Fpp
−=→
=→
On remplace 1p et 2p par leurs estimateurs.
� Intervalle bilatéral symétrique : 221 α=α=α
( )uf
2/uα 2/1u α− u
211210 pp:H/pp:H ≠=
Si ( )( )
<
+−
−−<=α− α−α 2/1
21
212/0 u
n1
n1
F1F
0FFuobPr1:H
Règle de décision :
( ) ( )
( ) ( )
+−±∉−
+−±∈−
α
α
rejetéeHn1
n1
F1FuFFsi
acceptéeHn1
n1
F1FuFFsi
021
2/21
021
2/21
α−1 α/2
α/2
Echantillonnage M3
EchMod3 41/42
� Intervalle unilatéral à droite : α=α=α 21 0
( )uf
α−1u u
211210 pp:H/pp:H >=
( )( )
( ) ( )
+−<−=
<
+−
−−=α−
α−
α−
21121
1
21
21
n1
n1
F1FuFFobPr
u
n1
n1
F1F
0FFobPr1
Règle de décision :
( ) ( )
( ) ( )
+−≥−
+−<−
α−
α−
rejetéeHn1
n1
F1FuFFsi
acceptéeHn1
n1
F1FuFFsi
021
121
021
121
� Intervalle unilatéral à gauche : 021 =αα=α
( )uf
αu u
211210 pp:H/pp:H <=
α−1 α
α−1
α
Echantillonnage M3
EchMod3 42/42
( )( )
( ) ( )
+−>−=
>
+−
−−=α−
α
α
2121
21
21
n1
n1
F1FuFFobPr
u
n1
n1
F1F
0FFobPr1
Règle de décision :
( ) ( )
( ) ( )
+−≤−
+−>−
α
α
rejetéeHn1
n1
F1FuFFsi
acceptéeHn1
n1
F1FuFFsi
021
21
021
21