Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat

8/18/2019 Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat

1/14

MODUL PERKULIAHAN

STATISTIKA & PROBABILITAS

POKOK BAHASAN :

Distribusi Sampling

Teri Limit Pusat

FakultasProgramStudi

TatapMuka

KodeMK

DisusunOleh

FTPD Teknik Sipil 05 11006 Sediyanto,ST,MM

Abstrat Kompetensi

Distribusi Sampling dan Teori Limit

Pusat. Teori limit pusat merupakanteori yang sangat penting dalamstatistika inferensial karena denganteori ini memungkinkan untukmemprediksi parameter populasidari sampel tanpa harus mengetahuibentuk distribusi populasi

Mahasiswa mampu menjelaskan

pengertian sampling random danteori limit pusat

!01" 1

Statistik # Probabilitas

Pusat $ahan A%ar dan e&earning

Sediyanto, ST,MM http:www.mer!ubuana.a!.id


2/14

Pendahuluan

Distribusi sampling adalah distribusi dari mean"mean yang diambil se!ara berulang kali

dari suatu populasi. #ila pada suatu populasi tak terhingga dilakukan pengambilan sampel

se!ara a!ak berulang"ulang hingga semua sampel yang mungkin dapat ditarik dari populasi

tersebut. Sampel yang diambil dari populasi terbatas dan sebelum dilakukan pengambilan

sampel berikutnya sampel unit dikembalikan kedalam populasi. Proses ini dilakukan berulang"

ulang dalam jumlah yang sangat banyak sehingga dihasilkan sampel

$%

sebanyak buah sampel

n%&$"n'%

#ila sampel"sampel yang dihasilkan dihitung rata"ratanya maka akan menghasilkan nilai rata"

rata yang berbeda hingga dapat disusun menjadi suatu distribusi yang disebut distribusi rata-

rata sampel . #ila dihitung de(iasi standarnya dinamakan de(iasi standar distribusi rata"rata

sampel atau kesalahan baku rata"rata (standard error rata-rata)

Distribusi sampling merupakan dasar atau langkah awal dalam statisti! inferensial

sebelum mempelajari teori estimasi, dan uji hipotesis. )ntuk memahami distribusi sampling ini

perlu kita ketahui suatu ketentuan yang dapat membedakan beberapa ukuran antara sampel

dan populasi

)kuran"ukuran untuk sampel dan populasi

$ilai &karakteristik' SampelStatistik

PopulasiParameter

Mean &rata"rata hitung' * +Standar de(iasi jumlah S )nit $ $

Misalkan suatu populasi yang mempunyai mean -+ dengan $ elemen dan standar de(iasi - . Dilakukan pengambilan sampel random yang besarnya &/,/01. /n',dihitung rata"rata / dan

simpangan baku s. Sampel yang diambil berulang kali ini akan menghasilkan berma!am"

ma!am nilai rata"rata. Dari sampel satu sampai sampel ke n didapatkan rata"rata hitung

*1.. *n0. Mean atau rata"rata dari sampel"sampel ini &*1.*n' kalau disusun akan membentuk

suatu distribusi. Distribusi dari nilai mean"mean sampel inilah yang di sebut sampling harga

mean.

!01" 2





3/14

P2P)L3S4*,*011..*nMean -+ Standar de(iasi -

Sampel Sampel 0 Sampel 5 Sampel n/i1../n /i11/n /i11./n /i11./n

* *0 *5 *n

Distribusi sampling

Sifat"sifat Distribusi Sampling

6entral Limit Theorem &teorema limit pusat', mendasari teori inferensial.

. Sampel random dengan n elemen diambil dari populasi normal mempunyai Mean -+ ,

7arian -0,maka distribusi sampling harga mean akan mempunyai mean sama dengan +

dan (arian atau standar de(iasi - 8n. Standar de(iasi distribusi sampling harga mean ini

dikenal sebagai 9Standar rror;0. #ila populasi berdistribusi normal maka distribusi sampling dari mean tersebut juga

berdistribusi normal.

* " +


4/14

kesalahan sampling &sampling error'. De(iasi standar distribusi rata"rata sampel disebut

kesalahan baku rata"rata.

?esalahan baku tidak hanya menggambarkan besarnya penyimpangan atau kesalahan yang

diakibatkankan pengambilan sampel, tetapi dapat pula digunakan untuk menggambarkan

ketepatan estimasi terhadap populasi. #ila kesalahan baku ke!il berarti penyebaran rata"ratasampel juga ke!il, maka estimasi terhadap parameter populasi akan lebih tepat dan sebaliknya,

bila nilai kesalahan baku besar berarti penyebarannya juga besar maka estmasi terhadap

parameter populasi menjadi kurang tepat.

Distribusi Rata-rata

Distribusi rata"rata diperoleh dengan pengambilan sampel yang dilakukan berulang hingga

semua kemungkinan sampel yang dapat diambil dari populasi tersebut terpenuhi. Selanjutnya,

rata"rata masing"masing sampel dihitung.*,*0,*5,1,..*k

$ilai rata"rata yang dihasilkan berbeda"beda sehingga dapat disusun menjadi distribusi

yang disebut distribusi rata"rata sampel. #ila dari rata"rata yang dihasilkan itu dihitung pula rata"

rata dan de(iasi standarnya maka akan dihasilkan rata"rata dari distribusi rata"rata &+0' dan

de(iasi standar distribusi rata"rata &0'

@ata"rata dari distribusi rata"rata sampel akan sama dengan rata"rata populasi dan

de(iasi standar distribusi rata"rata dinamakan kesalahan baku &standard error= SE) samadengan de(iasi standar populasi dibagi dengan akar n

+/ - + 1111111111111111111.persamaan 0

/ - 1111111111111111111.persamaan 5

8n

Pengambilan sampel dari populasi tak terhingga dibedakan berdasarkan bentuk distribusi

populasi, yaitu populasi yang berdistribusi normal dan populasi yang tidak berdistribusi normal

PENGAMB!AN SAMPE! PADA P"P#!AS DS$RB#S N"RMA!

Pengambilan sampel yang dilakukan berulang dari populasi yang berdistribusi normal memiliki

!iri sebagai berikut.

!01" 4





5/14

. ?esalahan baku &S' lebih ke!il dibandingkan dengan simpangan baku &de(iasi standar'

populasi nya0. Makin besar sampel makin ke!il kesalahan baku &S'

PENGAMB!AN SAMPE! PADA P"P#!AS $DAK BERDS$RB#S N"RMA!

)ntuk mengetahui bentuk distribusi sampel pada populasi tidak berdistribusi normal akan akan

menghasilkan rata"rata sampel yang sama dengan rata"rata populasi + - +, dan apabila

jumlah sampel ditambah sedikit saja maka akan menghasilkan distribusi rata"rata yang

mendekati distribusi normal.

$E"R !M$ P#SA$ (%EN$RA! !M$ $&E"REM)

Teori limit pusat adalah hubungan antara bentuk distribusi populasi dengan bentuk distribusisampling rata"rata. Aubungan tersebut sebagai berikut :

. @ata"rata dari distribusi rata"rata sampel sama dengan rata"rata populasi dan tidak

bergantung pada besarnya sampel dan bentuk distribusi populasi

+ -+

0. Dengan penambahan jumlah sampel maka distribusi rata"rata sampel maka distribusi rata"

rata sampel akan mendekati distribusi normal dan tidak bergantung pada bentuk distribusi

populasi

Teori limit pusat merupakan teori yang sangat penting dalam statistika inferensial karena

dengan teori ini memungkinkan untuk memprediksi parameter populasi dari sampel tanpa harus

mengetahui bentuk distribusi populasi. Dari teori ini diketahui bahwa untuk pendekatan ke

distribusi normal, distribusi rata"rata sampel tidak membutuhkan sampel yang besar.

DS$RB#S PR"P"RS

!01" 5





6/14

Distribusi proporsi sampel tidak berbeda dengan distribusi rata"rata. 2leh karena itu, semua

ketentuan yang berlaku untuk distribusi rata"rata sampel berlaku pula untuk distribusi proporsi.

#ila (ariabel * terdapat pada populasi $ maka proporsi (ariabel * terhadap populasi adalah

*$ - p. #ila dari populasi tersebut diambil sampel sebesar n maka akan terdapat (ariabel /

dan proporsi (ariabel tersebut adalah /n - p .

#ila pengambilan sampel dilakukan berulang dan masing"masing sampel dihitung proporsinya

maka akan diperoleh nilai proporsi yang berbeda"beda. $ilai"nilai tersebut dapat disusun

menjadi distribusi yang disebut disribusi proporsi . @ata"rata proporsi populasi sama dengan p

dan kesalahan baku proporsi sama dengan akar pB dibagi n.

+prop - p 1111111111111111111.persamaan C

prop - 8 pBn 1111111111111111111.persamaan

Persamaan diatas berlaku bila fraksi sampel x/n lebih kecil dari 5% atau bila populasi

tak terhingga dengan sampel yang relatif kecil dibandingkan populasi . #ila fraksi sampel lebih

besar dari 5% atau populasi terbatas maka rumus di atas harus dikalikan dengan faktor

perkalian seperti pada distribusi rata"rata hingga persamaan kesalahan baku proporsi menjadi

sebagai berikut.

prop - &8 pBn' / &8 $"nn"' 11111111.11.11.persamaan E

Semua persamaan diatas berlaku bila sampel lebih besar atau sama dengan 5F karena

dengan sampel sebesar itu terjadi pendekatan ke distribusi normal hingga semua ketentuan

untuk distribusi normal dapat digunakan. Gika sampel kurang dari 5F maka kur(a akan menjauhi

distribusi normal sehingga perlu dilakukan perhitungan nilai


7/14

Dari hasil pengamatan yang lalu diperkirakan terdapat I penduduk balita menderita giJi

kurang. Dari populasi itu diambil sampel sebanyak FF anak. Tentukan probabilitas dari FF

anak tersebut terdapat lebih dari 0F anak dengan giJi kurang.

p - F,

B - F,Kn - FF

/ - 0F

p - / - 0FFF - F,0

n

prop - 8 pBFF - 8 &F, / F,K'FF - F,F5E

&/n' " p

< - prop - &F,0F"F,'F,F5E - ,5

Dari distribusi normal standar diperoleh nilai F,CHH. Probabilitas untuk mendapatkan lebih dari

0F anak menderita giJi kurang adalah F, F,CHH - F,FK05.

)raian untuk distribusi proporsi sejalan dengan untuk distribusi rata"rata. Misalkan

populasi diketahui berukuran $ yang didalamnya didapat peristiwa 3 sebanyak N diantara $.

Maka didapat parameter proporsi peristiwa 3 sebesar + - &N$'. Dari populasi ini diambil

sampel a!ak berukuran n dan dimisalkan didalamnya ada peristiwa 3 sebanyak /. Sampel inimemberikan statistik proporsi peristiwa 3 - /n. Gika semua sampel yang mungkin diambil dari

populasi itu maka didapat sekumpulan harga"harga statistik proporsi. Dari kumpulan ini kita

dapat menghitung rata"ratanya, diberi symbol /n.

)ntuk itu ternyata bahwa, jika ukuran populasi ke!il dibandingkan dengan ukuran

sampel, yakni &n$' O I, maka :

+/n - 1111111111111111111.persamaan K

&" ' $ " n /n - 8 8 111111persamaan

n $ "

!01" 7





8/14

dan jika ukuran populasi besar dibandingkan dengan ukuran sampel, yakni &n$' Q I maka :

+/n -

&" '

/n - 8 11111111111.111.persamaan F n

/n dinamakan kekeliruan baku proporsi atau galat baku proporsi .

)ntuk ukuran sampel n !ukup besar, berlaku : Gika dari populasi yang berdistribusi binom

dengan parameter untuk peristiwa 3, F Q Q , diambil sampel a!ak berukuran n dimana

statistik proporsi untuk peristiwa 3 - &/n', maka untuk n !ukup besar, distribusi proporsi &/n'

mendekati distribusi normal dengan parameter sepeti dalam persamaan jika &n$' O I, dan

seperti dalam persamaan F' jika &n$' Q I.

Seperti dalam distribusi rata"rata, disinipun akan digunakan n O 5F untuk memulai

berlakunya sifat diatas. )ntuk perhitungan, daftar distribusi normal baku dapat digunakan dan

untuk itu diperlukan transformasi :

/n "

J - 1111111111111..persamaan

/n

Gika perbedaan antara proporsi sampel yang satu dengan yang lainnya diharapkan tidak

lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka berlaku :

/n Q d 1111111111111...persamaan 0

?arena /n mengandung faktor dengan - parameter populasi, maka persamaan 0berlaku jika parameter sudah diketahui besarnya. Gika tidak, dapat ditempuh cara konseratif

dengan mengambil harga kekeliruan baku atau galat baku yang terbesar, yakni & ' - R.

!01" 8





9/14

6ontoh :

3da petunjuk kuat bahwa FI anggota masyarakat tergolong kedalam golongan 3. Sebuah

sampel a!ak terdiri atas FF orang telah diambil.

a. Tentukan peluangnya bahwa dari FF orang itu akan ada paling sedikit orang darigolongan 3.

b. #erapa orang harus diselidiki agar persentase golongan 3 dari sampel yang satu dengan

yang lainnya diharapkan berbeda paling besar dengan 0I

Penyelesaian :

Populasi yang dihadapi berukuran !ukup besar dengan - F,F dan - F,F.

a. )ntuk ukuran sampel FF, diantaranya paling sedikit tergolong kategori 3, maka paling

sedikit /n - F,.?ekeliruan bakunya adalah :

& '

/n - 8

n

F,F / F,F

- 8 FF

- F,F5.

F, F,F

#ilangan J paling sedikit - - ,EH.

F,F5

Dari daftar normal baku, luasnya - F, F,C0 - F,FCH.

Peluang dalam sampel itu akan ada paling sedikit kategori 3 adalah F,FCH.

!01" 9





10/14

b. Dari persamaan F dengan - F, dan - F, sedangkan d - F,F0, maka :

F, / F,

8 n Q F,F0 , sehingga n O 00

Paling sedikit sampel harus berukuran 00.

DS$RB#S SMPANGAN BAK#

Seperti biasa kita mempunyai populasi berukuran $. Diambil sampel"sampel a!ak

berukuran n, lalu untuk tiap sampel dihitung simpangan bakunya, yaitu s. Dari kumpulan inisekarang dapat dihitung rata"ratanya, diberi simbul +s dan simpangan bakunya, diberi simbul s.

Gika populasi berdistribusi normal atau hampir normal, maka distribusi simpangan baku, untuk n

besar, biasanya n O FF, sangat mendekati distribusi normal dengan :

+s - 11111111111111.persamaan 5

s - 11111111111111.persamaan C

8 0n

dengan - simpangan baku populasi.

Transformasi yang diperlukan untuk membuat distribusi menjadi normal baku adalah :

J - s "

s

6ontoh :7arians sebuah populasi yang berdistribusi normal E,0 diambil sampel berukuran 00.

Tentukan peluang sampel tersebut akan mempunyai simpangan baku lebih dari 5,.

Gawab :

!01" 10





11/14

7arians E,0 berarti - 8E.0 - 0,. )kuran sampel !ukup besar, maka distribusi simpangan

baku mendekati distribusi normal dengan rata"rata +s - 0, dan simpangan baku

0,

Persamaan C s - - F,K. 8 CF

Transformasi bilangan J untuk s - 5, adalah

5, 0,

J - - K,CH.

F,K

Praktis tidak mungkin terjadi sampel berukuran 00 dengan simpangan baku lebih dari 5,.

DS$RB#S MEDAN

Gika populasi berdistribusi normal atau hampir normal, maka untuk sampel a!ak berukuran n O

5F, distribusi median Me akan mendekati distribusi normal dengan rata"rata +Me dan simpangan

baku Me.

+Me - + 111111111111111.persamaan

,055

Me - 111111111111111.persamaan E 8n

DS$RB#S SE!S& RA$A-RA$A

#ila kita mempunyai dua populasi sebesar dengan standart de(iasi ₁ dan ₂. Dari

kedua populasi tersebut diambil sampel se!ara independen masing"masing n₁ dan n₂ yang

dilakukan berulang"ulang.

Dari kedua populasi tersebut akan diukur !iri"!iri tertentu yang sama misalnya rata"rata + ₁ dan

+₂ . pengukuran dilakukan melalui sampel"sampel yang dihasilkan yaitu ₁ dan ₂. @ata rata

sampel yang diambil dari populasi pertama dan kedua masing"masing disusun menjadi

!01" 11





12/14

distribusi rata"rata dan standar de(iasinya. ?emudian rata"rata tersebut dihitung selisihnya

maka akan diperoleh selisih rata"rata dengan rumus sbb:

+ " ₂ U - +₁ " +₂ 111111111111111.persamaan H

" ₂ U -8& V '111111111111111.persamaan K

#ila jumlah sampel !ukup besar maka distribusi sampel akan mendekati distribusi normal

< - 1111111111111.persamaan

6ontoh :

@ata"rata tinggi mahasiswa laki"laki E5 !m simpangan bakunya .0 !m, sedangkan tinggi

mahasiswa perempuan rata"rata 0 !m dan simpangan bakunya C. !m. dari kedua klpk

diambil sampel a!ak se!ara independen berukuran sama sejumlah CF orang. #erapa peluang

rata"rata tinggi mahasiswa laki"laki paling sedikit F !m lebihnya dari rata"rata tinggi mahasiswa

perempuan.

Penyelesaian

Ditanya peluang paling sedikit F !m

+₁-+/₁-E5 !m +₂-+/₂-0 !m ₁-/₁- .0 !m ₂-/₂-C. !m

n₁- n₂ -CF maka + ₁" ₂ - &E5"0'!m - !m

₁" ₂ - &.0 / .0' V &C. / C.' - F.EFK5 !m

< - F - ".EE

F.EFK5

Luas daerah normal baku - F. V F.C - F. Peluang - F..

DS$RB#S SE!S& PR"P"RS

!01" 12





13/14

Distribusi selisih proporsi sejalan dengan distribusi selisih rata"rata. #ila besar dua populasi $₁

dan $₂ yang berdistribusi binominal memliki e(ent yang sama *₁ dan *₂ maka proporsi e(ent

tersebu adalah *₁$₁ - P₁ dan *₂$₂ - P₂

Pada kedua populasi diambil sampel se!ara independent, n₁ dan n₂ yang masing"masing

terdapat e(ent /₁ dan /₂ sehingga diperoleh proporsi /₁n₁ - ₁ dan /₂n₂ - ₂. Selisih kedua

proporsi adalah p₁ " p₂.

#ila pengambilan sampel dilakukan berulang maka akan dihasilkan sekumpulan proporsi

sampel dari kedua populasi yang hasilnya berbeda sehingga masing"masing dapat disusun

menjadi distribusi sampel proporsi. #ila dihitung selisih masing"masing proporsi maka akan

dihasilkan distribusi selisih proporsi. Dari distribusi selisih proporsi dapat dihitung rata"rata danstandar de(iasinya sbb:

- p₁ " p₂ 11111111111111.persamaan 0F

- 8&p₁B₁ n₁' &p₂B₂ n₂' 111111...persamaan 0

#ila besarnya sampel yang diambil dari kedua populasi sama atau lebih besar dari 5F maka

distribusi binominal akan mendekati distribusi normal sehingga digunakan rumus :


14/14

- 8&F.F / F.'FF V &F.FC / F.'FF

- F.F5

< - &F.FH"F.FF'F.F5 - F.FH

Probabilitas perbedaan antara daerah 3 dan # paling banyak F.HI - F. V F.F0H - F.0H.

Daftar Pustaka . Pro f. Dr. 3gus 4 rian to , , 9Stat is ti k : ?onsep Dasar dan 3p li kasinya; ,

Gakarta, ?en!ana, 0FFE0 . Dr. 4 r. Aar inaldi , M.ng , 9Pr insip"Pr insip S ta ti st ik untuk Teknik dan

Sains;,Gakarta, rlangga, 0FF.5. Prof. Dr. Sudjana, M3.,MS!., ;Metoda Statist ika;, #andung, Tarsito, 0FFHC. Sudaryono, M.Pd., 9Stat istika Probabil i tas WTeoriX3pl ikasiY ; , Nogyakarta,

3ndi, 0F0.

!01" 14




Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat

Documents

Transcript of Modul5-OL_Pengertian Random Sampling Dan Teori Limit Pusat