MODELO MATEMÁTICO

VIVIANA MARCELA BAYONA CÁRDENAS

CODIGO: 2073474

UNIVERSIDAD INDUSTIAL DE SANTANDER

FACULTAD FISICOQUIMICA

ESCUELA DE INGENIERIA DE PETROLEOS

2.010

MODELO MATEMÁTICO

VIVIANA MARCELA BAYONA CÁRDENAS

TRABAJO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA PRESENTADO A:

INGENIERO

EDUARDO CARRILLO ZAMBRANO

UNIVERSIDAD INDUSTIAL DE SANTANDER

FACULTAD FISICOQUÍMICA

ESCUELA DE INGENIERIA DE PETROLEOS

2.010

MODELO MATEMÁTICO

1. DEFINICIONES DE MODELO MATEMATICO

Modelado matemático en la ingeniería de yacimientos, es la representación de los

procesos de transferencia de masa, y en algunos casos de energía, que ocurren en un

yacimiento mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales (+ C.I. + C.F.+ otras)

y a su solución matemática.

Las ecuaciones diferenciales, ED, que constituyen un modelo matemático, se

obtienen aplicando los principios de conservación de masa y/o energía en un

volumen elemental, representativo del medio poroso.

La descripción completa de un problema de flujo de fluidos en un yacimiento

requiere de:

Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones de estado, que describen el comportamiento volumétrico y de

fases de los fluidos.

Ecuaciones de movimiento de las fases en el medio poroso: Ecuación de

Darcy ó Forcheimmer (flujo no Darciano).

Ecuaciones adicionales apropiadas.

Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de

las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la

población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El

objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez

predecir su comportamiento en el futuro.

El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:

1. Encontrar un problema del mundo real

2. Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables

(dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples

para tratarse de manera matemática.

3. Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclusiones

matemáticas.

4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son

diferentes, se reinicia el proceso.

Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con

problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.

Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo

real; las cuales se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraicamente como

gráficamente.

En el campo de las ciencias aplicadas, un modelo matemático es un tipo de modelo

científico que utiliza algún formulismo matemático para expresar relaciones,

proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones

entre variables y/o entidades u operaciones.

Estos modelos se utilizan para analizar los comportamientos de sistemas complejos

ante situaciones que resultan difíciles de observar en la realidad.

El significado de Modelo matemático en matemática fundamental. En concreto en

matemáticas se trabajan con modelos formales. Un modelo formal para una cierta

teoría matemática es un conjunto sobre el que se han definido un conjunto de

relaciones unarias, binarias y trinarias, que satisface las proposiciones derivadas del

conjunto de axiomas de la teoría. La rama de la matemática que se encarga de

estudiar sistemáticamente las propiedades de los modelos es la teoría de modelos.

2. EJEMPLO DE MÉTODO MATEMATICO EN LA PRODUCCION DE

PETROLEO.

Un yacimiento petrolero es un medio poroso que contiene hidrocarburos. El material sólido,

la roca, se conoce como matriz porosa y sus huecos están llenos de fluidos. Tres fases:

agua, aceite y gas. En la fase agua solo hay H2O. En las fases aceite y gas hay muchos

hidrocarburos de distinta composición.

El objetivo principal de la simulación de yacimientos es predecir su comportamiento futuro

y encontrar maneras de optimizar la recuperación de algunos hidrocarburos.

Dos características importantes de un yacimiento son la naturaleza de la roca y de los

fluidos que la “llenan”. Un yacimiento es heterogeneo: sus propiedades dependen

fuertemente del espacio.

Por ejemplo: un yacimiento fracturado.

La porosidad y la permeabilidad cambian dramáticamente. Las ecuaciones gobernantes son

similares a las de un yacimiento ordinario, pero tienen dificultades adicionales.

Proceso general de la MMC.

La modelación matemática y computacional (MMC) consiste de la construcción de

modelos matemáticos de fenómenos que ocurren en la naturaleza y en procesos

industriales, y de la solución de éstos mediante el uso de técnicas numéricas y

computacionales.

MODELO MATEMÁTICO

La formulación matemática se hará usando el método axiomático.

En este método se identifican:

“Propiedades extensivas”: aquellas que se pueden expresar como una integral de volumen.

“Propiedades intensivas” : cualquier extensiva por unidad de volumen.

Las propiedades intensivas son aquellas que no dependen de la cantidad de sustancia del

sistema, por este motivo no son aditivas. En otras palabras no dependen de la masa.

Ejemplos: temperatura, velocidad, volumen específico (vol./ masa), punto de ebullición,

punto de fusión, densidad, magnitud escalar o vectorial.

Las propiedades extensivas si dependen de la cantidad de sustancias del sistema y son

recíprocamente equivalentes a las intensivas.

Ejemplos: masa, cantidad de movimiento. La naturaleza escalar y vectorial es compartida

por ambas propiedades.

MODELO DISCRETO

Modelo petróleo negro: 9 ecs. por nodo de la malla y el mismo número de incógnitas,

(�w; �o; �g;Sw;So;Sg; uw; uo; ug). Modelo composicional: ecuaciones

en cada nodo, con el mismo número de incógnitas. Nc es el número de componentes.

Para 80,000 nodos:

En general no existe solución analítica del modelo matemático. Se usan métodos numéricos

para aproximar las soluciones bajo diferentes circunstancias. El problema se transforma en

un modelo discreto: Desratización del espacio:

Discretización de las ecuaciones matemáticas continuas.

En los métodos numéricos tradicionales se requiere de la construcción de una malla sobre el

dominio físico de estudio.

En SYP la generación de la malla es un proceso muy complejo, pues las mallas son

irregulares y con fallas. Otra opción son los métodos libres de malla.

ANEXO

PROGRAMA PARA VISUALIZAR Y MANIPULAR MODELOS

MATEMÁTICOS EN 3, 4, 5 Y 6 DIMENSIONES

Fuente: DE TODO UN POCO.

16 del 4 de 2010

Este programa K3DSurf es un programa para visualizar y manipular modelos

matemáticos en tres, cuatro, cinco y seis dimensiones. K3DSurf soporta las

ecuaciones paramétricas e isosuperficies. K3DSurf es un programa (GPL) que

generan las superficies 3D con fórmulas matemáticas (implícita o explícita de las

ecuaciones) con posibilidad de animación y efectos morphing. También es un

"Modelador" para PovRay en el área de la superficie paramétrica

K3DSurf puede ser utilizado por quien esté interesado en 3D funciones de dibujo y

Matemáticas no requieren competencias especiales por los usuarios. La mayoría del

trabajo se realizó con la intención de hacer K3DSurf tan simple como sea posible,

pero sin ningún riesgo en la eficiencia.K3DSurf utilizar descripciones paramétricas

de que los modelos físicos. El método paramétrico de representar las superficies

curvas de utiliza una función para asignar una porción de R2 (el dominio) a un

parche de la superficie en R3.

Debido a que cualquier posición en el plano, y por lo tanto cualquier posición en la

revisión de la superficie, únicamente puede ser dada por dos coordenadas, la

superficie se dice que está parametrizada por esas coordenadas.

ecuaciones paramétricas pueden ser implícitas o explícitas:

** Explícito ecuaciones:

En una ecuaciones explícitas, x, y y z son dadas por cada uno de los parámetros de

funciones separadas u y v.

Ejemplo: u = X, Y = u + v, Z = cos (v + u)

** Ecuaciones implícitas: En este momento, sólo las ecuaciones implícitas como Z

^ n = f (X, Y) con (n mod 2 = 1) se apoyan en K3DSurf.

Ejemplo: Z = exp (x ^ 2 + y ^ 2), Z ^ 7 = exp (x * cos (y ))...

K3DSurf programa está desarrollado para ser utilizado por los usuarios

principiantes de graduados en nivel bajo en la ciencia matemática, simplemente

probando ejemplos (más de 50) dado con él y haciéndolos con Povray.

Agregar o quitar algunas funciones de las ecuaciones y visualizar los nuevos

resultados es la mejor manera de entender los comportamientos 3D de funciones

matemáticas.

2D y 3D Diseñadores: scripts Punto De Vista (y otros formatos de archivo)

generados por K3DSurf también se pueden integrar en escenas complejas. Adición

de texturas a los objetos de malla en Povray, por ejemplo, es sencillo.

Profesores y alumnos pueden estudiar altura del nivel de las superficies con muy

complicado K3DSurf. hyperobjects 4D/5D es otro campo en el que las

competencias de talento puede dar su mejor esfuerzo para descubrir nueva entidad

con artefactos que no son obvios de entender para un neófito.

ecuaciones de imágenes para representar formas específicas puede ser algo difícil y

requiere experiencia tanto en el terreno matemáticos y programación en 3D pero la

mayoría de la "experiencia exigente", creo, es la creación de ecuaciones específicas

con comportamientos específicos al girar en el hiperespacio (4D/5D).

Características:

Visualización interactiva con los eventos del ratón (A la derecha: Girar, Medio:

traducir e izquierda: Escala).

Animación en tiempo real (rotación) y se transforman (mediante la introducción de

la variable t_time). Animación y morfo también pueden ser controlados por los

controles que afectan al uso de la CPU y la actividad t_time.

Crear copiando imágenes de la ventana de dibujar o utilizando el trazador de rayos

mejores en la red: Povray.

MODELO MATEMÁTICO PARA EXTRACCIÓN DE PETRÓLEO

AMC. Un modelo matemático obtenido en investigación galardonada con el Premio

Weizmann–Kahn podría mejorar la eficiencia de la extracción del petróleo en lechos

porosos.

El modelo podría ayudar a entender y resolver los problemas de obstrucción de pozos

petroleros. Foto: AMC.

Un modelo matemático obtenido en investigación galardonada con el Premio Weizmann–

Kahn de la Academia Mexicana de Ciencias, podría mejorar la eficiencia de la extracción

del petróleo en lechos porosos. Este modelo, que obtuvo el galardón en el área de ingeniería

y tecnología, podría ayudar a entender y resolver los problemas de obstrucción de pozos

petroleros y mejorar los procesos que involucran emisiones de contaminantes como el

transporte de residuos en acuíferos.

El proyecto realizado por Francisco José Valdés Parada, egresado del posgrado en ciencia

en ingeniería química de la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa

(UAM-I), actualmente es utilizado en la mejora del diseño de los sistemas de propulsión de

cohetes espaciales en Toulouse, Francia.Valdés Parada explicó que, desde la década de los

60, se llevaron a cabo estudios teóricos y experimentales que analizan la drástica

disminución de la velocidad en la que se transporta un fluido (como petróleo o agua)

cuando ingresa en un medio poroso (un pozo o un ducto obstruido).En su tesis de doctorado

premiada por la AMC y por la Asociación Mexicana de Amigos del Instituto Weizmann de

Ciencias, el investigador mejoró estos modelos matemáticos utilizados hasta ahora ya que

agrega “coeficientes de transporte” que no eran considerados con anterioridad y que

permiten entender mejor lo que ocurre en la realidad.La estructura geométrica

microscópica, la densidad, viscosidad, permeabilidad, las reacciones químicas, entre otros,

son algunos de los elementos que incorporó Valdés Parada a su modelo matemático, que

permiten una mejor descripción de una gran variedad de procesos y sistemas. Así, analiza la

forma cómo fluye el líquido desde el centro de una roca o desde sus límites u orillas

(frontera), considerando las características microscópicas de la estructura por donde pasa el

fluido. “Mi modelo consta de una ecuación diferencial que nos dice cómo se da el

transporte del fluido en los límites de frontera (orillas)”, dice Valdés.

Por ejemplo, se podría aplicar para predecir mejor las condiciones para extraer petróleo de

las fracturas de los yacimientos o de las rocas porosas que contienen petróleo. Asimismo,

con estos datos se podrían mejorar los equipos y las tecnologías necesarias para extraer de

forma más eficiente el fluido.Se trata de la representación de las condiciones físicas a

instrumentos, técnicas y resultados numéricos. “Nuestros modelos tienen una cercana

relación con lo que sucede en la realidad”, afirmó Valdés Parada.Un modelo matemático

utiliza instrumentos de la teoría matemática como ecuaciones, operaciones y variables, para

estudiar comportamientos de sistemas complejos en situaciones difíciles de observar, como

es el caso del flujo del petróleo en pozos fracturados y de las aguas negras en drenajes

obstruidos.

El ingeniero químico, quien realizó la tesis bajo la tutoría de Jesús Alberto Ochoa Tapia,

investigador de la UAM–I, dijo que su modelo matemático utiliza ecuaciones que le

permiten plantear modelos que se pueden traducir en el desarrollo y optimización de

procesos y tecnologías.El trabajo no se restringe al transporte de cantidad de movimiento de

un fluido sino también aborda la transferencia de masa y calor, por lo que su aplicación

podría realizarse en la ingeniería petrolera, química, hidráulica e inclusive biológica.Valdés

Parada realizará un posdoctorado en la Universidad Estatal de Oregon para aplicar esta

metodología a sistemas biológicos, como transporte en biopelículas y el transporte

bieogeoquímico de elementos pesados como el uranio.El Premio Weizmann-Kahn es

entregado para reconocer tesis doctorales de investigadores menores de 35 años, en el caso

de ser hombres, y de 38 años, en el caso de las mujeres.“Este reconocimiento no sólo es

para la investigación llevada a cabo, sino también al proceso de formación que recibí en la

UAM durante mis estudios de maestría y doctorado”, expresó Valdés Parada.

BIBLIOGRAFÍA

WWW.WIKIPEDIA.COM

WWW.MONOGRAFIAS.COM

HTTP://CIENCIAS.JORNADA.COM.MX/CIENCIAS/NOTICIAS/MO

DELO-MATEMATICO-PARA-EXTRACCION-DE-PETROLEO