Modellare2

Daniele MariniCon contributi di Maurizio Rossi

Mesh con curve parametriche 3D

Si possono creare superfici a maglia (mesh) composte dalla combinazione di curve parametriche nello spazio, qui un esempio di una maglia:

Lofting

• Le superfici lofted sono anche chiamate ruled surfaces (superfici rigate), ottenute per interpolazione (trascinamento) di curve parametriche 3D lungo rette o altre curve parametriche 3D (sono anche chiamate patch di Coons)

Video 6

• Data una curva parametrica bicubica, con c0, c1, c2, c3 punti di controllo (P e c sono vettori in 3D):

P(u) = c0 u3 + c1 u2 + c2 u + c3

• Viene detta curva generatrice e rappresenta la sezione trasversale su cui trascinare un’altra curva P(v) per costruire una superficie P(u,v).• È necessario definire un sistema di riferimento chiamato “frame” per definire l’orientamento di ogni faccia.

Costruzione per trascinamento (sweep) lungo curve parametriche 3D

P(u) = c0 u3 + c1 u2 + c2 u + c3P(u) = c0 u3 + c1 u2 + c2 u + c3

il frame di Frenet

Video 7

Per definire il frame di Frenet relativo alla curva parametrica:P(u) = c0 u3 + c1 u2 + c2 u + c3

l’origine è un punto qualsiasi lungo la curva P , i 3 versori del riferimento sono T, N, B così definiti:

T vettore unitario tangente alla curva in Pper costruirlo ricordiamo che:T = V / |V| dove V =3 c0u2+ 2 c1u + c2 è la derivata della curva P

N = K/ |K| chiamato vettore normaledove K = V x A x V/ |V| e A è la derivata seconda della curva (A = 6c0u + 2c1)

B = T x N chiamato vettore binormale

il frame di Frenet

Il frame di Frenet può essere utile anche per definire un sistema di riferimento per una telecamera virtuale nella animazione

il frame di Frenet

Occorre anche definire come suddividere in intervalli la sezione:

• la divisione di u in intervalli uguali può produrre quadrangoli non uniformi, • si sceglie la parametrizzazione rispetto alla lunghezza degli archi: se la curvatura è elevata si avranno più poliedri rispetto a tratti con curvatura bassa.

il frame di Frenet

Oggetti complessi composti da molte patch si creano con tecniche di interpolazione di punti campione, imponendo continuità tra le varie “patch”.

La continuità limitata al primo ordine garantiscel’assenza di “buchi”, ma dà luogo a superfici con“spigoli” indesiderati. Si impongono continuitàdella derivata prima e seconda.

Superfici parametriche complesse

Decimazione dei triangoli

• Perché triangoli?– Sono piani!

• Come decimare? – Ridurre i triangoli in

regioni “piatte”– Preservare l’aspetto

• Stimare la curvatura:

€

Δf

Δu,Δf

Δv

€

Δf

Δu,Δf

Δv

Video 8

Metodo di Schroeder• Determinare gli spigoli “rilevanti per

l’aspetto”: questi vanno tenuti• Classificare i vertici:

1. Punti interni generici2. Punti comuni a triangoli con T connessione3. Punti del contorno4. Punti di uno spigolo rilevante per l’aspetto5. Punti comuni a 3 o più spigoli rilevanti per l’aspetto

(punti vertice)

1.Punti interni generici–Si possono eliminare se la distanza del punto dalla superficie approssimata è inferiore a una soglia assegnata

2.Punti comuni a triangoli con T connessione–Non si possono eliminare

3.Punti del contorno–Si possono eliminare se la distanza dalla retta congiungente i vertici adiacenti è inferiore a una soglia assegnata

4.Punti di uno spigolo rilevante per l’aspetto–Si possono eliminare se la distanza dalla retta congiungente i vertici adiacenti è inferiore a una soglia assegnata

5.Punti comuni a 3 o più spigoli rilevanti per l’aspetto (punti vertice)

–Non si possono eliminare

Triangolazione

• Triangolazione di Delaunay e diagrammi di Voronoi

Partizione del piano

in celle t.c. tutti i

punti di una cella

sono piu’ vicini al

vertice generatore

della cella di ogni

altro punto

Algoritmo di Sibson• Data una coppia di triangoli adiacenti, si

esamina e si scambiano se un vertice e’ interno al cerchio circoscritto:

Un esempioVideo 9

Volumi

• CSG• Boundary representation (Brep)• suddivisione spaziale• superfici mediali

Ciascuno schema deve permettere di risolvere il problema dell’appartenenza di un punto al semispazio individuato dal solido

Volumi: Schemi di rappresentazione

CSG - Geometria solida costruttiva

• Constructive Solid Geometry• Si basa su operazioni booleane su modelli

solidi elementari

CSG: i solidi primitivi

•Sfera

•Piramide

•Parallelepipedo

•Cono

•Cilindro

•toro

Albero CSG• Le forme base possono

essere composte con operatori booleani: unione, intersezione, differenza

• La composizione può essere rappresentata con un albero

Esempio CSG

Video 10

La modellazione solida richiede specifiche informazioni per individuare sottospazi e per determinare se un punto appartiene a un sottospazio.

In ogni caso si tratta di definire semispazi e applicareoperazioni insiemistiche per aggregare isemispazi.

Un semispazio algebrico è definito come:

( ){ }H x y z p x y z= ≤, , | ( , , ) 0

e p(x,y,z) è un polinomio reale con coefficienti reali

Rappresentazione di volumi per contorni: B-rep

•Con lo schema CSG si possono ottenere forme assai complesse applicando tecniche di “sweep”

•Nello schema B-rep un solido è rappresentato da una superficie delimitata da facce, spigoli e vertici. Gli elementi di una rappresentazione B-rep possono intersecarsi solo lungo spigoli o vertici descritti nella struttura.

•Operatori booleani possono essere applicati anche a un volume B-rep

Volumi: Rappresentazione B-rep versus

CSG

•Gli schemi B-rep si dividono in due grandi classi:•Manifold B-rep•Non manifold B-rep

•Manifold (varietà lineari): ammettono spigoli comuni a due sole facce e vertici comuni a più spigoli raccolti in un conoide

•Non manifold: ammettono un numero pari qualsiasi di facce comuni a uno spigolo, si distingue il volume interno dall’esterno

Volumi: Rappresentazione B-rep

Volumi poliedrici: Formula di Eulero

• La formula di Eulero: è una condizione che deve essere verificata affinché la superficie del solido sia corretta (no buchi)

V - E + F = 2

• V = vertici• E = lati (spigoli)• F = facce

Schemi a suddivisione spaziale

• Mesh - conformi al contorno• BSP tree - non conformi al contorno• Voxel (Octree) - non conformi al contorno

• Mesh: possono essere organizzate in tetraedri, esaedri o altri poliedri – sono usate nel calcolo ad elementi finiti.

• Binary Space Partition tree: sono suddivisioni ricorsive dello spazio 3D in regioni disgiunte, la radice denota un piano separatore - un esempio è octree

Suddivisione spaziale: octree

Voxel

La conversione tra schemi di rappresentazione non è semplice:

• da CSG a B-rep è ben compresa e facile;• da B-rep a CSG ci sono punti oscuri in particolare per conformare la rappresentazione al contorno;• nel caso dei poliedri la conversione B-rep -> CSG è analoga alla conversione B-rep -> BSP tree.

Conversioni tra schemi di rappresentazione

Ogni sistema di modellazione deve risolvere i problemi:

1. Intersezione tra superfici2. Offset di una superficie (luogo di punti a

distanza costante da una superficie)3. Blending - superficie smooth tra due superfici4. Deformazioni locali o globali

Software di modellazione

Feature based designConstraint based design

•Feature based: consiste nel definire elementi di forma aventi un significato specifico (slitte, fori, tasche, …)

•Modellazione a vincoli: significa imporre vincoli numerici o geometrici (anche fisici o strutturali) a un modello.•La valutazione dei vincoli è assai complessa: il problema può essere sovradeterminato (troppi vincoli), sottodeterminato (troppo pochi); in generale si esprimono con sistemi di equazioni.

Approcci emergenti alla modellazione

Meta balls o soft balls

• Simulare forme naturali, soffici, prive di bordi

• Rappresentare forme costruite con la creta

• Meta balls: simili a gocce d’acqua, quando si avvicinano si uniscono; si possono descrivere con funzioni di potenziale

Video 11

Ad esempio si immagini di avvolgere con un drappo una scena fatta di forme geometriche

Esempi di fusione

Modellazione con soft balls

Una sfera soffice a cui è stato sottratto un cubo soffice

Primitive soft• Derivano da superfici equipotenziali,

ovvero campi scalari descritti da una funzione f(x,y) dipendente da una distanza d.

• La funzione f(x,y) è implicita!– es: circonferenza (2D):

• forma esplicita parametrica: x(t)=r*cos(t); y(t)=r*sin(t)

• forma implicita: f(x,y) r2=x2+y2

• Risolvere per funzioni implicite è complesso

Primitive soft (segue)

• La forma implicita f(x,y,z) identifica un luogo di punti in 3D

• Interessa trovare tutti i punti che soddisfano l’equazione: va valutata per prove ed errori

Primitive soft (segue)

• Se abbiamo due o più equazioni implicite possiamo sommarle, dovremo valutare il campo risultante.

• In ogni punto dello spazio il campo è il risultato del contributo dei due (o più) campi descritti da ogni singola funzione

Primitive soft (segue) Dobbiamo avere:

• Una funzione generatrice di un campo, in ogni punto P il campo è funzione della distanza d(P) da un punto dato (es. campo termico, campo di intensità di illuminazione, ...) • Una funzione che descrive il “potenziale del campo” f(d(P)). Dà il valore del campo in ogni punto (funzione di un vettore ad argomenti scalari),es: f(P) = (1-d2/R2)2 con d <= R (distanza)• Se abbiamo più generatori del campo dobbiamo miscelarne il contributo per valutare il campo di potenziale totale• Il campo risultante si rappresenta visualizzando superfici equipotenziali, o iso superfici.

La modellazione con funzioni implicite e isosuperfici si presta alla animazione di forme e alla soluzione efficiente della ricerca di collisioni

Esempi di MetaBalls