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MODELINGINSTRUCTION:UMEPISÓDIOARGUMENTATIVOSOBREÁREADORETÂNGULO

Article·November2017

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EdnilsonSouza

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MODELING INSTRUCTION: UM EPISÓDIO ARGUMENTATIVO

SOBRE ÁREA DO RETÂNGULO

Ednilson Sergio Ramalho de Souza

Universidade Federal do Oeste do Para-UFOPA.

ednilson.souza@ufopa.edu.br

Adilson Oliveira do Espírito Santo

Universidade Federal do Pará-UFPA.

adilson@ufpa.br

Resumo:

A Modeling Instruction consiste de uma didática de modelagem desenvolvida nos anos 1980 pelo físico-

educador David Hestenes e que tem recebido grande aceitação por parte de educadores norteamericanos de

matemática e de ciências. O objetivo dessa didática é promover a reformulação de modelos mentais

incoerentes quando adequadamente coordenados a modelos conceituais, ou seja, modelos matemáticos e

modelos científicos. Focaliza a argumentação científica colaborativa mediada por pequenos quadros

brancos (whiteboards) que favorecem o compartilhamento de pensamentos e de ações. Analisar um

episódio argumentativo sobre área do retângulo por meio da didática hestenesiana é o objetivo principal

deste texto. Os sujeitos da pesquisa foram treze futuros professores de um curso de licenciatura integrada

em matemática-física de uma universidade do oeste paraense. Realizamos abordagem qualitativa do tipo

estudo de caso. A questão de pesquisa foi saber: como a argumentação científica com apoio de whiteboards

pode favorecer a compreensão de fundamentos matemáticos sobre área do retângulo? Os resultados

evidenciam potencialidades para aprendizagem em matemática por meio do movimento argumentativo

colaborativo mediadas por múltiplas representações.

Palavras-chave: Modeling Instruction. Argumentação Científica. Ensino de Matemática.

Introdução

Desenvolvida nos anos 1980 por um grupo de pesquisa liderado pelo físico-

educador David Orlin Hestenes, conforme a AMTA1 (2017), a Modeling Instruction2 tem

recebido grande aceitação por parte de educadores em ciências e em matemática de

diversos países, a exemplo do Canadá e do Japão. Embora não seja muito conhecida aqui

no Brasil, pesquisas nos últimos trinta anos apontam que ela pode ser considerada eficaz

para promover a aproximação de modelos mentais incoerentes com os modelos

considerados científicos (WELLS, 1987; HALLOUN e HESTENES, 1987; WELLS,

1 American Modeling Teachers Association: http://modelinginstruction.org/.

2 No decorrer do texto, usaremos a sigla MI para o termo em língua inglesa Modeling Instruction. Evitamos

a tradução para o Português para não correr o risco de significados equivocados.

X CNMEM – Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: história, atualidades e projeções.

Maringá – PR, 23 a 25 de novembro de 2017. ISSN 2176-0489

HESTENES, SWACKHAMER, 1995; DESBIEN 2002; BREWE, 2008; JACKSON,

DUKERICH e HESTENES, 2008: BREWE, KRAMER, O’BRIEN, 2009;

HEIDEMANN, ARAÚJO e VEIT, 2012; DYE et all., 2013; KILPELA, 2013;

DITMORE, 2016; EZEQUIEL, 2016).

Nosso objetivo principal é analisar um episódio argumentativo sobre área do

retângulo com uso da MI. Especificamente, objetivamos: analisar um ciclo de modelagem

sobre área do retângulo; avaliar fatores potencializadores e fatores limitantes da

argumentação científica mediada por whiteboards3; levantar implicações para o ensino

de matemática. A questão diretriz de pesquisa foi saber: como a argumentação científica

com apoio de whiteboards pode favorecer a compreensão de fundamentos matemáticos

sobre área do retângulo? Para isso, realizamos abordagem predominantemente qualitativa

do tipo estudo de caso (CRESWELL, 2014). A Análise textual discursiva (MORAES e

GALIAZZI, 2016) apontou lacunas sobre fundamentos matemáticos subjacentes ao uso

da equação 𝐴 = 𝑏𝑥ℎ, sugerindo que o processo de argumentação mediada por modelos

conceituais expressos por múltiplas representações pode reverter tais lacunas e favorecer

a aprendizagem em matemática.

Na próxima seção, aprofundaremos discussões metodológicas sobre a MI,

especificamente, sobre o ciclo de modelagem e sobre o discurso de modelagem. Em

seguida, faremos análise de um episódio argumentativo durante o cálculo da área de um

retângulo. Finalizaremos apontando possíveis implicações da MI para o ensino brasileiro

de matemática.

Modeling Instruction

A MI é uma didática com pressupostos epistemológicos advindos da Teoria da

Modelagem (HESTENES, 1987; 2006; 2010; 2015), uma teoria cognitiva que procura

relacionar o mundo conceitual, o mundo mental e o mundo real para orientar práticas de

modelagem e planejamento curricular em ciências e em matemática. A Teoria da

Modelagem confere à MI forte fundamentação metodológica, especialmente a partir de

duas técnicas complementares com eficácias comprovadas: o ciclo de modelagem

(WELLS, 1987) e o discurso de modelagem (DESBIEN, 2002).

3 Whiteboards são quadros brancos portáteis de aproximadamente 70 cm x 70 cm nos quais registram-se

modelos conceituais que servem para nortear argumentações científicas.

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Ciclo de modelagem

De maneira geral, um ciclo de modelagem pode ser organizado em dois

momentos: o desenvolvimento do modelo e a aplicação (ou implementação) do modelo.

Figura 1 – Estrutura de um ciclo de modelagem.

Fonte: Elaboração nossa (2017).

O desenvolvimento do modelo pode ser planejado em três ações: 1) discussão do

tema; 2) laboratório de investigação e 3) sessão de whiteboard. O tema a ser modelado

pode ser de diferentes naturezas: um experimento de laboratório ou experimento de baixo

custo financeiro, uma situação da realidade, uma simulação computacional etc. Após a

escolha do tema, é necessário problematizá-lo com o objetivo principal de evidenciar

variáveis e constantes, ou seja, grandezas científicas que se inter-relacionam e que

comporão o futuro modelo conceitual. Hestenes (1987) argumenta que a discussão de um

tema é orientada por alguma teoria científica, pois é a teoria que especifica quais tipos de

objetos e de propriedades podem ser modelados e quais tipos de modelos podem ser

desenvolvidos. Algumas perguntas podem nortear a discussão do tema: quais grandezas

estão variando no sistema? Quais grandezas permanecem constantes? Quais grandezas

afetam outras grandezas? Hestenes (2010) propõe que na fase de descrição sejam

evidenciados os cinco tipos de estruturas universais dos modelos, a saber: estrutura

sistêmica, estrutura geométrica, estrutura descritiva, estrutura de interação e estrutura

temporal. Por fim, define-se uma questão de modelagem a ser investigada por toda a

classe.

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Definida a questão de modelagem, a classe é organizada em grupos colaborativos

para dar início ao laboratório de investigação. A palavra laboratório não deve ser

entendida como um ambiente fechado cheio de equipamentos técnicos, mas um momento

em que serão planejadas e realizadas atividades que envolverão a observação de campo,

a experimentação, a prática de determinada arte ou habilidade, enfim, os erros e os

acertos. O trabalho com grupos é importante para gerar uma comunidade de

aprendizagem (DESBIEN, 2002), pois nos debates intergrupos e intragrupos é que a

maior parte das aprendizagens ocorre. O normal é que cada grupo contenha de três a cinco

componentes.

A questão de modelagem orienta a produção e representação de dados qualitativos

e dados quantitativos pelos próprios estudantes. Isso envolve discussões para o

planejamento de procedimentos necessários e o levantamento de informações em fontes

diversas (internet, livros, entrevistas, visitas de campo, experimentos). O produto do

laboratório de investigação é um conjunto de informações que devem ser logicamente

organizadas em um modelo conceitual fazendo-se uso de múltiplas inscrições simbólicas

(verbal escrita, algébrica, diagramática, gráfica), de modo a subsidiar respostas à questão

de modelagem. Os modelos conceituais são registrados nos whiteboards,

preferencialmente, utilizando-se marcadores de texto de diferentes cores. Desse modo,

cada whiteboard organiza um modelo (ou parte dele) que será defendido e discutido

coletivamente pela classe.

Na primeira sessão de whiteboard, as equipes apresentam seus modelos

conceituais e justificam procedimentos e pensamentos. O professor assume a importante

tarefa de orientar os discursos dos estudantes de maneira a fazer com que insiram suas

justificativas em teorias e em leis científicas, sendo que os modelos conceituais servem

de âncoras para tal inserção. Isso possibilita que os estudantes associem seus modelos

mentais às inscrições simbólicas ao interpretá-las cientificamente em meio a explicações,

justificativas e previsões. Esse processo de argumentação científica com apoio expresso

de múltiplas representações pode favorecer à reformulação de modelos mentais

incoerentes. Conforme os modelos vão sendo compartilhados pelos grupos, as discussões

entre os pontos convergentes e os pontos divergentes permitem compreensão comum

sobre a estrutura epistêmica dos modelos conceituais.

Conforme a Figura 1, a aplicação do modelo pode ser planejada em três ações: 4)

resolução colaborativa; 5) sessão de whiteboard e 6) avaliação. Esse momento inicia com

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a discussão de problemas cuidadosamente escolhidos com foco no interesse pedagógico

da disciplina e que suscitem a estrutura epistêmica do modelo conceitual recém

desenvolvido pelos grupos. Importante ressaltar que não se trata de uma lista longa de

exercícios, mas preza-se pela qualidade de poucos problemas a serem resolvidos de

maneira colaborativa para alcançar os assuntos de interesse pedagógico.

Os problemas de aplicação são importantes porque os estudantes aprofundam

compreensões ao ramificarem o modelo conceitual na análise de aspectos matemáticos e

de interpretações científicas. Hestenes (1987) sublinha que a ramificação é um processo

principalmente matemático e é importante para se trabalhar propriedades e implicações

especiais do modelo conceitual. Por exemplo, equações são resolvidas para determinar

trajetórias com várias condições iniciais, resultados são representados e analisados

analiticamente e graficamente. Quando existe necessidade e condições apropriadas, o

modelo ramificado é validado pela avaliação empírica, em alguns casos, a validação

envolve refinados experimentos de laboratório.

As soluções dos problemas de aplicação geram relatórios escritos. Neles, as

equipes organizam suas respostas ao sistematizarem os procedimentos realizados e

apresentarem discussões críticas sobre os problemas. Em nova sessão de whiteboard,

cada equipe defende suas resoluções e justificam procedimentos e pensamentos.

Novamente, o professor assume a importante tarefa de orientar os discursos dos

estudantes de modo a fazer com que insiram suas justificativas em teorias e leis

científicas. Conforme as soluções dos grupos vão sendo compartilhadas e refinadas, a

estrutura epistêmica do modelo conceitual ganha novos significados que favorecem

transferências cognitivas para situações diversas.

A avaliação é formativa durante todo o ciclo de modelagem, mas o professor pode

checar de alguma maneira a aprendizagem individual dos estudantes e decidir em resolver

outros problemas de aplicação ou iniciar um novo ciclo para o estudo de outro campo

conceitual. Nesse sentido, temos utilizado portfólios de aprendizagem e alcançado bons

resultados avaliativos. Ambrósio (2013) argumenta que o portfólio consiste de uma

coleção de trabalhos realizados pelos estudantes que permite acompanhar seus

desenvolvimentos por meio de diferentes formas de análise, avaliar, executar e apresentar

produções desencadeadas de ações de ensino e de aprendizagem desenvolvidas num

determinado tempo-espaço. Nesse processo, o estudante guarda suas produções,

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produções essas que vão mostrar pistas, evidências, vestígios dos conceitos, fatos,

procedimentos, atitudes desenvolvidas durante um tempo mediado pelo docente.

No decorrer de um ciclo de modelagem, é essencial que o professor possua

habilidades para gestão argumentativa em sala de aula, é o chamado discurso de

modelagem.

Discurso de modelagem

Uma pesquisa de doutorado desenvolvida por Dwain Desbien (2002) mostrou que

somente desenvolver e aplicar modelos conceituais sem que o professor promova

situações argumentativas em que os estudantes possam discutir sobre conhecimentos

factuais, conhecimentos procedimentais, conhecimentos epistemológicos resulta em

ganho de aprendizagem no FCI4 considerado baixo. Por outro lado, a presença de

processos argumentativos em ambiente de ensino sem que ocorra construção e aplicação

de modelos conceituais resulta em ganho de aprendizagem igualmente baixo no FCI. Em

vista disso, o autor chegou à conclusão de que é imprescindível que o professor possua

alguns conhecimentos específicos para gerir situações argumentativas em ciclos de

modelagem.

Tais conhecimentos fazem parte do que se tem chamado de discurso de

modelagem. O objetivo do discurso de modelagem é motivar os estudantes na criação de

interações dialógicas em sala de aula. Consultando a literatura, é possível identificar dois

tipos básicos de discursos de modelagem: a gestão socrática (referente ao modo como o

filósofo Sócrates aplicava sua dialética) e a gestão desbieniana (idealizada por Dwain

Desbien).

Na gestão socrática, o professor induz situações argumentativas ao questionar

diretamente pequenos grupos colaborativos ou mesmo a classe toda, o discurso principal

geralmente é do tipo professor ↔ estudantes. Nesse tipo de discurso, o professor assume

a função de conduzir argumentações por meio de questionamentos e de problematizações,

ele assume a função de lançar diretamente perguntas para os grupos ou para toda a classe.

Embora seja o mais comum em ciclos de modelagem, nesse tipo de discurso a interação

intergrupos precisa ser continuamente estimulada. Nesse tipo de gestão, o professor toma

4 Force Concept Invetory, um teste de múltipla escolha mundialmente utilizado contendo trinta questões

cujo objetivo é avaliar o ganho de aprendizagem em mecânica newtoniana.

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parte como ator principal do discurso ao direcionar questionamentos aos grupos, que

raramente interagem entre si (Figura 2, esquerda).

Figura 2 – Gestão socrática (esquerda) vs Gestão desbieniana (direita).

Fonte: Elaboração nossa (2017).

Por outro lado, na gestão desbieniana, o professor “orbita” o processo discursivo,

que focaliza principalmente as interações estudante ↔ estudante. Nesse caso, as

perguntas partem dos próprios grupos em direção a outros grupos ou em direção a toda a

classe, ou seja, os próprios grupos ficam responsáveis por induzir argumentações

científicas por meio de questionamentos (Figura 2, direita). Isso não quer dizer que o

professor é passivo no andamento do discurso intergrupos, ao contrário, ele é ativo no

sentido de “semear” ideias em determinados grupos, ideias que serão transformadas em

questionamentos geradores de argumentação. Além disso, o professor usa seu

conhecimento disciplinar para oferecer ferramentas de modelagem, atividades, materiais

de apoio, terminologias científicas.

Importante frisar que, na gestão desbieniana, o professor desloca-se da posição de

ator principal do discurso para a posição de ator coadjuvante ao interagir indiretamente

com comunidade de aprendizagem. Isso faz com que o discurso fique focalizado nos

próprios grupos colaborativos, que aumentam o nível interacional e formam uma

comunidade de aprendizagem que se fortalece com o tempo.

Um episódio argumentativo sobre área do retângulo

Na presente seção, nossa intenção é entender como a argumentação científica com

apoio de whiteboards pode favorecer a compreensão de fundamentos matemáticos sobre

área do retângulo. Elaboramos uma atividade de MI cujo objetivo foi desenvolver um

modelo conceitual para avaliar a produção de lixo de papel na escola e discutir sobre a

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necessidade de utilizar outros recursos em substituição ao material impresso. A atividade

foi aplicada no primeiro semestre do ano de 2016 durante uma disciplina de Estágio I em

Física ministrada pelo primeiro autor deste artigo para uma turma do PARFOR (Programa

Nacional de Formação de Professores) no município de Almeirim, oeste do estado do

Pará, norte do Brasil. Os sujeitos da pesquisa foram treze acadêmicos de um curso de

licenciatura integrada em matemática-física de uma universidade federal brasileira.

Para produção de dados, realizamos um ciclo de modelagem conforme Figura 1.

As falas dos sujeitos durante a sessão de whiteboards foram tratadas de acordo com regras

de transcrição de Carvalho (2006). Realizamos, portanto, uma pesquisa qualitativa do tipo

estudo de caso (CRESWEEL, 2014) com procedimentos interpretativos apoiados na

análise textual discursiva (MORAES e GALIAZZI, 2016).

Para avaliar o grau de complexidade dos argumentos, as transcrições foram

esquadrinhadas a partir do layout de argumentação de Toulmin (2006), como ilustrado na

figura que segue.

Figura 3 - Layout geral de argumento.

Fonte: Toulmin, 2006 (p. 150).

Esse esquadrinhamento foi necessário para identificar as falas quanto ao grau de

estruturação em argumento elementar, argumento básico ou argumento avançado.

Consideramos que uma estrutura argumentativa elementar possui apenas os dados (D),

garantias (W) e conclusões (C). Uma estrutura argumentativa básica, além desses três,

apresenta qualificadores (Q) e/ou condições de refutação (R). Já uma estrutura

argumentativa avançada acrescenta a esses elementos um apoio (B) às justificativas.

Detectado o grau de estruturação argumentativa, as falas dos sujeitos foram

interpretadas por meio de análise textual discursiva. A análise compreendeu três

instâncias: a unitarização, a categorização e o metatexto. Num primeiro instante, da

unitarização, houve identificação dos elementos de significado em cada fragmento de

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análise. Num segundo instante, houve percepção de significados e sentidos com relação

ao conceito de área do retângulo, possibilitando gerar categorias de dois tipos:

pensamento de senso comum e pensamento com cientificidade. Num terceiro instante, foi

elaborado um metatexto com os resultados dos passos anteriores.

Quadro 1 – Episódio argumentativo: área do papel.

Turno Verbal Ação/gestos

2

(02'15'') PC

5: Lembrando lá da geometria... desenhei uma folha... a unidade que

dava... dava em milímetros... e eu transformei logo para metros... então

duzentos e dez milímetros equivale a zero virgula vinte e um metros...

que era altura da folha... ou a largura... nesse caso aqui o comprimento

que seria igual à base... dava duzentos e noventa e sete milímetros... eu

transformei para zero vírgula duzentos e noventa e sete metros... então

aí... eu calculei a área de uma folha... a área de uma folha é igual à base

vezes a altura... que é um retângulo... calculei uma área medida em metros

quadrados... por isso que eu fiz aquelas transformações antes... então zero

vírgula vinte e um vezes zero vírgula duzentos e noventa e sete é igual a

zero vírgula zero seiscentos... seis mil... seis mil duzentos e trinta e sete

metros quadrados... ou zero vírgula zero seis aproximadamente... só que

eu não usei essa aproximação... depois... eu usei a proporção... que a

informação que tinha lá... na capa do negócio lá ((PC se refere à

gramatura da folha de papel A4) dizia que setenta e cinco gramas por

metro quadrado... aí logo veio uma dúvida antes de eu resolver isso eu

via aqui... quanto era que valia... quantas folhas eu formaria um metro...

então eu peguei um metro e dividi pela área de uma folha... então para

mim formar um metro de um/ um metro quadro dessas folhas de papel a

quatro eu usaria aproximadamente dezesseis folhas... que é o que ia

ser/equivaler a essa ((incompreensível))... então eu joguei da proporção

setenta e cinco gramas está para um metro assim como o valor da massa

de uma folha está para a área de uma folha... multipliquei os meios pelos

extremos... e achei o valor em grama... a massa de uma folha é quatro

vírgula seis... aproximadamente... gramas... aí como eu precisava achar o

peso... eu transformei essa grama para quilograma... ficou zero vírgula

zero quatro meia sete sete cinco... gramas... aí eu achei o peso... para achar

o peso... nós sabemos que o peso é a massa vezes a gravidade... então eu

queria achar apenas de uma folha... então a massa de uma folha... que é

isso aqui que foi encontrado vezes a gravidade que é dez... então a massa

de uma folha é zero vírgula zero quatro seis sete cinco... sete sete cinco...

Aponta para o

whiteboard.

Aponta para o

valor da massa

no whiteboard.

3

(5'02'')

Professor-pesquisador: Alí em cima por que que você transformou para

metros?

Aponta para a

parte superior do

whiteboard.

4

(5’06’’)

PC: Aqui... por que... a área é medida em metros quadrados... então por

isso que eu transformei essa informação... para facilitar o cálculo...

Aponta para a

parte superior

do whiteboard.

5

(5’16’’)

Professor-pesquisador: E como foi que você fez para calcular a área?

6

(5’18’’)

PC: A área... base vezes altura...

7

(5’22’’)

Professor-pesquisador: E da onde você tirou essa informação bases vezes

altura?

8

(5’28’’)

PC: Tá aqui na imagem que é um retângulo... cálculo da área de um

retângulo... é a base vezes a altura...

Aponta para o

whiteboard.

9 EF: Por causa do/da embalagem né...

5 Para manter o anonimato, usaremos algumas iniciais dos nomes dos sujeitos participantes.

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(5’35’’)

10

(5’40’’)

LC: O formato da folha...

11

(5’44’’)

Professor-pesquisador: Se não fosse retângulo?

12

(5’48’’)

PC: Se fosse um triângulo teria que usar outra fórmula... se fosse um/uma

circunferência... pi erre ao quadrado...

Fonte: Dados da pesquisa de campo (2016).

No quadro acima, apresentamos um episódio argumentativo que vai do turno 2 ao

turno 12 e que será nosso objeto de análise. No turno 2, verifica-se que, a partir dos dados

presentes no whiteboard, o sujeito PC concluiu que a área de uma folha de papel é

proximamente igual a 0,06 m². Conclusão justificada na garantia de que, sendo a folha

em forma de retângulo, para encontrar tal valor ele multiplicou o valor da base, 0,21 m,

pelo valor da altura, 0,297 m. Além disso, concluiu que a massa de apenas uma folha de

papel corresponde a 4,6 g, justificando que tal valor foi calculado ao aplicar a proporção

direta obtida da gramatura do papel A4 (75g/m²). Por fim, PC concluiu que o peso de uma

folha de papal A4 corresponde a aproximadamente 0,04 N, cuja garantia para esta

afirmação foi que o peso foi calculado multiplicando-se a massa da folha de papel em

quilogramas pela aceleração da gravidade local, ou seja: 0,004 kg x 10 m/s². Além disso,

verifica-se que PC apresentou o qualificador “aproximadamente” para suas afirmações,

contudo, não apresentou condições de refutação ou apoio científico para o uso da equação

𝐴 = 𝑏 𝑥 ℎ.

Na Figura 4 a seguir, utilizamos o layout geral de Toulmin (2006) para estruturar

o argumento de PC. Interessante frisar que o discurso de MS foi passível de ser

estruturado em um argumento do tipo DCWQ, portanto, podendo ser considerado um

argumento básico coerente. A presença do whiteboard no movimento argumentativo de

PC pode ter contribuído para gerar um argumento estruturalmente coerente, pois o

whiteboard serviu de foco para o desenvolvimento do raciocínio. A todo momento, PC

recorria às informações contidas nas inscrições simbólicas e as transformava em

afirmativas ou dados do argumento. Percebe-se que o discurso argumentativo de PC teve

origem nas inscrições simbólicas registradas no whiteboard, isso significa que essas

inscrições podem ter sido associadas a modelos mentais coerentes que apoiaram um

raciocínio argumentativo igualmente coerente.

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Figura 4 - Estrutura DCW do argumento do sujeito PC.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Consideramos razoável pensar que tal coerência argumentativa pode estar

relacionada, ao menos em parte, à presença ostensiva do whiteboard no movimento

argumentativo. A ostensividade das inscrições simbólicas registradas no whiteboard foi

essencial para apoiar o raciocínio de PC no processo argumentativo. Denota-se, portanto,

a importância dessas inscrições como influenciadoras de modelos mentais. Para entender

tal influência na perspectiva da teoria hestenesiana, é necessário compreender um modelo

conceitual como um modelo mental coordenado a inscrições simbólicas (HESTENES,

2015). Nessa visão, “a justificativa de raciocínio baseado em modelo requer a tradução

de modelos mentais em inferências a partir de modelos conceituais que podem ser

compartilhados publicamente” (HESTENES, 2015, p. 13, tradução nossa). Ou seja, o

sujeito PC elaborou seu argumento na medida que traduziu seu modelo mental em

inferências apoiadas nas inscrições simbólicas presentes no whiteboard. Isso sugere que

a qualidade de um argumento, ou seja, sua potência justificatória depende da capacidade

de o sujeito associar modelos mentais a inscrições simbólicas no processo discursivo.

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Por outro lado, um fator que parece ser limitante ao movimento argumentativo no

decorrer da sessão de whiteboard diz respeito ao fundamento matemático para justificar

as afirmações e conclusões. À primeira vista, por ter elaborado um modelo conceitual

funcional para analisar o problema do cálculo da área da folha de papel, poderíamos ficar

satisfeitos com as respostas apresentadas por PC. Contudo, a estrutura básica DCWQ do

seu argumento contendo apenas dados, conclusões, garantias e qualificadores revela que

é necessária a ação pedagógica no discurso de modelagem para evidenciar os apoios

científicos (B) subjacentes aos procedimentos realizados e passar para um argumento

estruturalmente avançado.

Nessa ótica, no trecho que vai do turno 3 ao turno 12 no episódio argumentativo

transcrito no Quadro 1, verifica-se o estabelecimento um discurso socrático entre o

professor e três estudantes cujo objetivo foi evidenciar o apoio científico subjacente ao

uso da equação 𝐴 = 𝑏𝑥ℎ usada no cálculo da área da folha de papel. Ao questionar como

foi mesmo que você fez para calcular a área da folha de papel? nossa intenção foi revelar

o fundamento matemático dessa equação. Contudo, ficou evidente nas respostas

apresentadas que os sujeitos possuíam modelos mentais de senso comum que associavam

o cálculo de áreas predominantemente ao formato da superfície da folha de papel ao

apresentarem respostas do tipo: multipliquei a base vezes a altura...; pela imagem dá para

saber... pois é um retângulo e a área de um retângulo é calculada multiplicando-se a

base vezes a altura...; professor... nesse caso... o formato da folha indica que a área pode

ser calculada dessa maneira... Ou seja, nenhum estudante envolvido no episódio

argumentativo indicou outra maneira de obter a equação para o cálculo da área, por

exemplo, desenhando-se um retângulo subdividido em grade e estabelecendo-se relações

entre o número de grades e a área total do retângulo maior, o que poderia levar à

compreensão do fundamento matemático da equação.

A análise textual discursiva revelou duas categorias de modelos mentais:

pensamento com cientificidade para calcular corretamente a área da folha de papel e

pensamento de senso comum para justificar o cálculo da área. Infere-se que os

pensamentos de senso comum dos sujeitos precisavam ser enriquecidos com elementos

científicos. A ausência de apoio científico para justificar o uso da equação sugere que os

sujeitos sabiam operacionalizá-la, mas não possuíam modelos mentais capazes de

estabelecer fundamentos matemáticos apropriados para tal operação. Portanto, o

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movimento argumentativo mostrou-se importante para favorecer o enriquecimento e

reformulação de modelos mentais.

Considerações finais

Nosso objetivo nesse artigo foi analisar um episódio argumentativo sobre área do

retângulo com uso de whiteboards. Esperamos ter alcançado, ao menos parcialmente, tal

objetivo, posto que passaremos a levantar algumas implicações da pesquisa para o ensino

de matemática.

A primeira implicação diz respeito à necessidade de inclusão dos whiteboards nas

ações pedagógicas em aulas de matemática. Vimos que, a todo momento, os sujeitos da

pesquisa apontavam para seus whiteboards para interpretar informações contidas nas

inscrições simbólicas, transformando-as em afirmativas ou conclusões dos argumentos.

Nesse ponto, o ciclo de modelagem e o discurso de modelagem são importantes como

ferramentas pedagógicas para o professor de matemática que queira planejar suas aulas

visando aprendizagem de conceitos matemáticos em ambiente de MI.

Outra implicação foi o fato de que os sujeitos operacionalizavam majestosamente

as equações e obtinham resultados aceitáveis para o valor da área da folha de papel.

Contudo, ao serem questionados sobre garantias científicas que autorizavam o uso dessas

equações, eles mostraram possuir modelos mentais incompletos que associavam as

equações predominantemente ao formato retangular da folha de papel. Tal constatação

mostrou que o trabalho pedagógico do professor em suscitar justificativas para as

conclusões dos estudantes, justificativas essas apoiadas em apoios científicos, pode ser

um bom caminho para “fazer surgir” fundamentos matemáticos subjacentes às inscrições

simbólicas utilizadas pelos sujeitos em aulas de matemática.

Em nossa despedida, esperamos apenas ter lançado sementes no terreno da

Modeling Instruction e convidamos outros pesquisadores a germiná-las para que, no

futuro, possamos colher bons frutos para o ensino brasileiro de matemática.

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Agradecemos à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

pela bolsa Prodoutoral-UFOPA.

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