MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CARDY EN EL FENÓMENO DE PERCOLACIÓN

MODELING, SIMULATION AND IMPLEMENTATION OF THE CARDY EQUATION IN THE PERCOLATION PHENOMENON

Luisa Fernanda Mahecha Mora 1 Harold Vacca González2

Resumen: En el presente artículo se presenta el análisis, modelamiento, simulación e

implementación de la ecuación de Cardy en el fenómeno de percolación; Se presenta el diseño

de un circuito el cual sintetiza éste fenómeno; implementando la transformación de Schwarz-

Christoffel se deduce la ecuación integral, se obtiene la solución de ésta de manera

aproximada, solucionando su versión diferencial mediante el método Runge-Kutta utilizando

un Toolbox de Matlab [1] e implementando la función hipergeométrica de Gauss. Para observar

el comportamiento del circuito, se analiza la salida del sistema tanto en la simulación como en

el montaje físico; además, implementando métodos numéricos, se aproximará obteniendo así

una alternativa de solución y por último se comparará los resultados experimentales con los

obtenidos teóricamente.

Palabras clave: Modelamiento, Ecuaciones Diferenciales, Percolación, Cardy, Método

numérico, transformación de Schwarz-Christoffel.

Abstract: In this paper we present the analysis, modeling, simulation and implementation of

the Cardy equation in the percolation phenomenon; The design of a circuit is presented, which

synthesizes this phenomenon; The implementation of the Schwarz-Christoffel transformation is

deduced from the integral equation, the solution is obtained in this approximate way, solving its

differential version by means of the Runge-Kutta method using a Matlab Toolbox [1] and

implementing the Gaussian hypergeometric function. To observe the behavior of the circuit, the

1 Estudiante Tecnología en Electrónica, Universidad Distrital Francisco José de Caldas; Correo electrónico:

lfmahecham@correo.udistrital.edu.co 2 MSc. En Matemática Aplicada, Docente Universidad Distrital Francisco José de Caldas; Correo electrónico:

hvaccag@udistrital.edu.co

output of the system is analyzed both in the simulation and in the physical assembly; In addition,

by implementing numerical methods, it approaches a solution and finally compares it with the

experimental results with those obtained theoretically.

Keywords: Modeling, Differential Equations, Percolation, Cardy, Numerical method, Schwarz-

Christoffel transformation.

1. INTRODUCCIÓN

A mediados de la década de 1950, Broadbent y Hammersley formularon el problema de la

percolación debido a la cuestión de qué tan probable es que el centro de una piedra porosa se

moje cuando se coloca en un recipiente con agua[2], cautivó a los matemáticos de la época,

tanto así que hoy en día este fenómeno desempeña un papel fundamental en la mecánica

estadística y se considera una rama de la teoría de la probabilidad, y aunque posee un modelo

matemático bien definido aún hoy los métodos de análisis y predicción rigurosa de su

comportamiento han resultado mucho más difíciles de lo esperado.[3]

A través de la historia, entender la teoría de la percolación ha facilitado la comprensión de

diversos sistemas físicos; el conocimiento de la percolación tiene una importancia inmensa

teóricamente en campos tan diversos como la biología, la física y la geofísica, y también tiene

una importancia práctica en el proceso de recuperación de petróleo.

Fue realmente hasta 1980 cuando H. Kesten [2] basándose en el trabajo de T. Harris comprobó

que la probabilidad crítica de percolación de enlace en 𝑧2 es 1

2 . Al analizar bidimensionalmente

la percolación crítica por medio de la retícula triangular(Figura 1), ahora ésta se comprende en

su totalidad gracias al Schramm - Loewner Evolution (SLE) [4] el cual es una forma de obtener

curvas aleatorias invariantes conformes.

Figura 1: Retícula triangular[4]

En esta perspectiva J.L. Cardy dedujo una ecuación diferencial (4) sujeta a las condiciones de

frontera 𝜑(0) = 0, 𝜑(1) = 1, aunque se conoce la forma integral de la solución y una forma

proporcional a la función hipergeométrica, en este documento se presenta el diseño de un

circuito el cual sintetiza el fenómeno de percolación modelado con la ecuación de Cardy;

implementando la transformación de Schwarz-Christoffel se deduce la ecuación diferencial, se

obtiene la solución de ésta para su versión integral, así como la correspondiente emanada de

la función hipergeométrica de Gauss. Para observar el comportamiento del circuito, se analiza

la salida del sistema tanto en la simulación en MatLab como en el montaje físico;

implementando Runge Kutta de orden 4 se aproximará obteniendo una alternativa de solución,

por último, se compararán los resultados experimentales con los obtenidos teóricamente.

2. ANTECEDENTES

El estudio de la percolación en las últimas décadas se ha convertido en un tema investigado

desde varias ramas de la ciencia; debido al análisis de este fenómeno, se puede comprender

el proceso del paso de un fluido a través de un medio poroso, y gracias a esto se ha podido

desarrollar sistemas de purificación de agua, estudios en los suelos, comportamiento de

materiales ferromagnéticos, entre otros.

A continuación, se hablará de algunos trabajos desarrollados en donde se obtienen modelos

matemáticos de percolación y sus diferentes métodos de solución.

La percolación fue introducida en el año 1957 por Broadbent y Hammersley [2] en donde

plantearon un modelo probabilístico para el flujo de un fluido, con el fin de analizar si el centro

de una piedra porosa se moja al sumergirse en un líquido; esta investigación llamó la atención

de diferentes investigadores, debido a sus diversas aplicaciones.

Figura 2: Percolación en la red hexagonal.[5]

Una interpretación simple para formular el límite de la escala invariantemente compatible, fue

el expuesto por Langlands, Pouliot y Saint-Aubin [6] en esta publicación obtuvieron un método

que consistía en un dominio conectado ‘Ω’ con los puntos de frontera (a, b, c y d),

sobrepusieron una retícula con malla ‘Γ’ sobre ‘Ω’ y estudiaron la probabilidad que hay en un

grupo abierto que une el arco [a,b] con el arco [c,d] en el límite de ‘Ω’; el resultado de este

análisis conllevó a la conjetura de que las probabilidades de cruce tienen un límite de escala

invariantemente compatible. Luego, utilizando la teoría de campo conforme (CFT), Cardy [7]

pudo derivar el valor exacto de las probabilidades de cruce, asumió tres puntos de frontera

(0,1,∞) y obtuvo una ecuación diferencial que modela eficientemente la percolación [8], la

solución a esta ecuación resultó ser una función hipergeométrica 𝐹12 , dada por:

Π(𝐶+, [1 − 𝑢, 1], [∞, 0]) =Γ (

23)

Γ (13) Γ (

43)

𝑢13 𝐹12 (

1

3,2

3;4

3; 𝑢) =: 𝐹(𝑢)

(1)

Existen diversas definiciones para la función anterior, entre ellas, escribiéndola como una

integral de la siguiente manera:

𝐹(𝑢) =∫ (𝑣(1 − 𝑣))

−23𝑑𝑣

𝑢

0

∫ (𝑣(1 − 𝑣))−

231

0𝑑𝑣

(2)

Carleson observó que la función hipergeométrica [9] mapea el semiplano en un triángulo

equilátero.

En [8] además SLE establece la cadena de Loewner que se obtiene al tomar 𝑤(𝑡) = √𝑘𝐵𝑡,𝑘 ∈

[0, ∞), de esta manera, se muestra que la rejilla resultante será muy probablemente una curva

continua de Höder.

Figura 3: Percolación crítica en Celosía triangular. La ley de la interfaz converge a SLE cuando la malla se vuelve cero.[10]

En Figura 3, se evidencia un rectángulo con dos esquinas opuestas como ‘a’ y ‘b’, uniéndose

con una línea discontinua que conecta a ‘a’ y ‘b’ dentro del espacio ‘Ω’. La ley de la curva

depende del enrejado superpuesto; como la malla tiende a cero, esta ley converge. Luego, en

[11] Schramm decidió describir los límites de escala de los perímetros de clúster o las

interfaces para los modelos de celosía, esto condujo a la introducción de SLE.

Teniendo en cuenta la invariancia conforme propuesta por Langlands, se dice que en la Figura

4 una expresión que define es la siguiente:

𝐹𝐷({𝑦1, … , 𝑦𝑘}) = 𝐹𝑇𝐷({𝑦1, … , 𝑦𝑘}), donde {𝑦1, … , 𝑦𝑘} se refiere a la colección de segmentos de

frontera que son conectados a un clúster común.[3]

Figura 4: Dos funciones asociadas con el limite continuo del primer tipo de modelo critico.[3]

La frontera para D consiste en cuatro segmentos, la invariancia conforme implica que la

probabilidad dependa solo del cruce del radio y está dada por:

𝑓(𝑥1, … , 𝑥4) = 𝜑(𝑢(𝑥1, … , 𝑥4)) 𝑐𝑜𝑛 𝑢(𝑥1, … , 𝑥4) =(𝑥1−𝑥2)(𝑥3−𝑥4)

(𝑥1−𝑥3)(𝑥2−𝑥4)

(3)

J. Cardy propuso una ecuación para la cantidad anterior que esta descrita por:

𝑢(𝑢 − 1)𝑑2𝜑

𝑑𝑢2+

2

3(1 − 2𝑢)

𝑑𝜑

𝑑𝑢= 0

(4)

Con condiciones de frontera evaluadas en 𝜑(0) = 0, 𝜑(1) = 1, de esta manera aclaramos que

la solución puede ser integral o ya sea por medio de la función hipergeométrica de Gauss, la

forma integral está dada de la siguiente manera:

𝜑(𝑢) = ∫𝑑𝑥

[𝑥(1 − 𝑥)]2 3⁄

𝑢

0

(5)

También se puede expresar por condiciones de operadores diferenciales[3]:

𝐿𝑛 = − ∑(𝑥𝑗−𝑥1)𝑛+1𝜕

𝜕𝑥𝑗

∞

𝑗≠1

(6)

Para el caso de la función hipergeométrica, encontramos esta solución también propuesta con

John Cardy[7]:

Aplicando la propiedad Γ(𝛼 + 1) = 𝛼Γ(α) función gama en (1), obtenemos la siguiente

expresión:

𝜋((𝑋1, 𝑋2), (𝑋3, 𝑋4)) =3Γ (

23)

Γ (13)

2 𝜂1 3⁄ 𝐹1(1

3,2

3,4

3; 𝜂)

(7)

𝜋((𝑋1, 𝑋2), (𝑋3, 𝑋4)) = 1 −3Γ (

23)

Γ (13)

2 (1 − 𝜂)1 3⁄ 𝐹1(1

3,2

3,4

3; 1 − 𝜂)

(8)

De esta manera, la percolación proporciona una prueba realmente importante de las ideas de

CFT gracias a que las simulaciones numéricas a gran escala se realizan más fácilmente, Cardy

en [7] cruza las probabilidades en el lenguaje de la teoría de campo conforme, y deriva

expresiones exactas. En La predicción de Cardy para πh para la percolación bidimensional

procede en dos pasos que son: identificar la probabilidad πh con la diferencia de dos funciones

de partición con límite condiciones para el modelo de Potts de 1 estado y usar la teoría de

campo conforme en c = 0 para obtener una expresión analítica para esta diferencia.[7]

Anteriormente mencionábamos la universalidad de la percolación, es por esto que hablaremos

de diferentes aplicaciones de esta teoría; en primer lugar tenemos método de Monte Carlo,

que en este caso se utilizará para analizar el modelo de percolación de sitios en una red

cuadrada homogénea de dos dimensiones, en [12] se desarrolló un algoritmo capaz de utilizo

una Nexys3 Spartan-6 FPGA. Para poder obtener la probabilidad de percolación de una red

de dimensión LxL, para distintas concentraciones, es necesario sortear una distribución

aleatoria de sitios ocupados dentro de la red, recorrer los LxL sitios de la red, detectar los

clúster existentes [13] y verificar si existe un clúster percolante. Para el método de Monte

Carlo, es necesario realizar el proceso varias veces para que el resultado sea confiable.

Figura 5:Curva de Probabilidad de percolación para diferentes valores[12]

.

Ahora bien, en la Figura 5 se muestra la probabilidad de percolación para dos redes con

diferentes valores de L. El punto donde ambas curvas se cortan indica el umbral de

percolación. Como se puede ver, este procedimiento requiere mucho tiempo cuando se lo

implementa con procesadores secuenciales.

El sistema tiene diferentes bloques, entre los cuales un generador random, un detector de

percolación que consiste como tal en identificar el tipo de percolación por condiciones de borde

periódicas, de esta manera, se debe determinar si existe un clúster perco|SSlante; para esto,

se supone que se parte de un borde lateral cualquiera, por ejemplo del borde izquierdo de la

red y se analiza si algún sitio ocupado de la primera columna pertenece a un clúster percolante

que asimila un camino eléctrico ente dos sitios extremos de la red, donde cada sitio del

clúster es conductor sólo si su estado está ocupado. Finalmente los otros dos bloques son de

control que consiste en sincronizar todas las tareas y se inicia con un reset del sistema, de

entrada salida que sirve para seleccionar los datos a trabajar y entrada salida serial que se

encarga de la comunicación con el PC. En la Figura 6 se observa el esquema del sistema

planteado.[12]

Figura 6: Esquema general del sistema.[12]

De esta manera al analizar el sistema se evidencia que el tiempo necesario para estabilizar la

salida del detector de percolación, es menor que el requerido por el generador para configurar

la red y varía con la ocupación de la misma. El caso más desfavorable en el detector se da

cuando se forma el clúster percolante de mayor longitud, que para una red de 2n x2n está

formado por 22n-1 sitios (lo que equivale a una ocupación del 50%). En el caso de una red de

32x32, el tiempo necesario para que se estabilice la señal de salida del detector, es el tiempo

que tarda en propagarse la señal a través de 512 sitios ocupados de la red. En la Figura 7 se

evidencia las curvas de percolación para 32x32 y 16x16

Figura 7: Curvas de Percolación para 32x32 y 16x16.[12]

En segundo lugar, se verá un tema muy interesante que es el mecanismo de percolación de la

red de nanotubos de carbono, realizado por Ming Zhang y Lei Wen que básicamente consiste

en estructuras de red que son utilizadas comúnmente como los canales de conducción de los

transistores de película delgada (TFT), la dependencia de la resistencia del canal en la longitud

del canal, la densidad de tubo, y la longitud promedio. En [14] se realizó un algoritmo capaz de

proporcionar los caminos reales de percolación. El material Nanotubos de carbono de pared

simple (SWNT) es muy prometedor para los transistores de película delgada (TFT) por sus

propiedades únicas, como la alta conducción de corriente, aunque el problema existente es

que dependiendo del umbral de percolación podría llegar a causar un corto circuito, todo el

canal puede ser considerado como un circuito de gran escala que consiste en resistencias

puras. Y el comportamiento de la red se puede dividir en dos partes, el tubo-tubo

interrelaciones contactos y los caminos de percolación. Por lo tanto, con el fin de predecir

cuantitativamente cómo la red geométrica características podrían afectar la percolación canal

y la conducción, se necesita un modelo analítico general para ser establecido con múltiples

variables independientes tales como la longitud de canal, longitud media de tubo y la densidad

del tubo. En la Figura 8 se mostrará la relación de resistencias con la utilización del método de

Monte-Carlo.

Figura 8: Cambio del circuito con la implementación de los nanotubos.[14]

A través de este proceso, todos los contactos tubo-tubo se encuentran en Figura 9 y se

almacena en una matriz adyacente. Sin embargo, hay muchos tubos independientes con sólo

una conexión a todos los otros tubos o ninguna, lo que significa que no participan en la

percolación de corriente y no deben ser considerados durante el cálculo de la resistencia total

del canal. Por lo tanto, en la siguiente etapa un algoritmo específico se implementa para

recortar todas las ramas inútiles de la red mediante las matrices de y los datos de la red se

traduce en un archivo de lista de conexiones y calcula el HSPICE.

Figura 9: La red recortado cortando las ramas inútiles iterativamente, (B) y (c) el zoom-en las figuras que muestran los tubos permanecido y sus puntos de contacto en diferentes aumentos local, (D) el circuito equivalente de (c). Hay tres tipos de contactos de cruce de percolación verdadera: Tipo de cabeza por cabeza (el izquierdo), tipo cruzado (el del medio) y el tipo de triple camino (de la derecha).[14]

3. DEDUCCIÓN ECUACIÓN DE CARDY

Utilizando la fórmula de mapeo conforme del semiplano superior sobre un polígono cerrado

propuesto por Schwarz-Christoffel [15] donde se toma n puntos sobre el eje real 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛,

por lo que sus imágenes 𝑤1 = 𝑓(𝑥1), … , 𝑤𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛) sean los vértices de un polígono de n lados

bajo una función analítica.

A continuación se considera el mapeo 𝑤 = 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑥1)𝛼

𝜋⁄ en el semiplano superior 𝑦 ≥ 0

, donde 𝑥1 𝑦 𝛼 son números reales, 𝛼 comprendida entre 0 ≤ 𝛼 ≤ 2𝜋; éste mapeo se compone

de una translación 𝑇(𝑧) = 𝑧 − 𝑥1 y la función de poder real 𝐹(𝑧) = 𝑧𝛼

𝜋⁄ ; 𝑧 rota ∝

𝜋 a través del

origen para incrementar o disminuir su argumento 𝜃 de 𝑧 a un argumento 𝜃∝

𝜋 de 𝑤.

La curva parametrizada por 𝑤 = 𝑓(𝑡) es la imagen del eje real, con vector tangente 𝑓′(𝑡) que

forma un ángulo 𝑎𝑟𝑔𝑓′(𝑡) con el semieje real positivo, de esta manera, se debe encontrar

funciones en el cual su derivada en cada uno de sus intervalos presente un argumento

constante, así, solo cambie de argumento -por no ser analítica- en los puntos 𝑥𝑖, por lo tanto,

derivando 𝑓(𝑧) se tiene:

𝑓′(𝑧) =𝛼

𝜋(𝑧 − 𝑥1)(𝛼

𝜋⁄ )−1 (9)

Por consiguiente, 𝑓′(𝑧) ≠ 0, si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 y 𝑦 > 0, resulta que 𝑤 = 𝑓(𝑧) es un mapeo conforme

en cualquier punto con 𝑧 con 𝑦 > 0. Así consideramos una nueva función f(z), analítica en

𝑦 > 0 y cuya derivada sea:

𝑓′(𝑧) = 𝐴(𝑧 − 𝑥1)(𝛼1

𝜋⁄ )−1(𝑧 − 𝑥2)(𝛼2

𝜋⁄ )−1(𝑧 − 𝑥𝑛)(𝛼𝑛

𝜋⁄ )−1

(10)

Donde 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 son reales y A es una contante compleja, usualmente hay cierto grado de

libertad para escoger los puntos 𝑥𝑘 en el eje x, de esta manera, se podría simplicar el calculo

de 𝑓(𝑧). Como se decía anteriormente, el mapeo de Schwarz-Christoffel puede ser usado para

construir un mapeo sobre una región poligonal cerrada, para poder hacerlo, se requiere

implementar la formula usando 𝑛 − 1 de los 𝑛 ángulos interiores del polígono delimitado.

Una formula general para 𝑓(𝑧) es dada por la siguiente integral:

𝑓(𝑧) = 𝐴 ∫(𝑧 − 𝑥1)(𝛼1

𝜋⁄ )−1(𝑧 − 𝑥2)(𝛼2

𝜋⁄ )−1(𝑧 − 𝑥𝑛)(𝛼𝑛

𝜋⁄ )−1𝑑𝑧 + 𝐵 (11)

Donde A y B son constantes complejas; finalmente solo queda reemplazar y solucionar la

integral.

Ahora bien, se conoce en que consiste el mapeo de Schwarz-Christoffel por lo que se

procederá a deducir la ecuación integral de Cardy, para ello se implementará un mapeo

conforme del semiplano superior sobre una región poligonal cerrada de tres lados, de esta

manera, se definen los vértices: 𝑤0 = 0, 𝑤2 = 1 y 𝑤3 =1

2+

1

2√3𝑖 y los puntos 𝑥𝑛 del eje real,

además, se debe tener en cuenta que para implementar esta fórmula se tienen 𝑛 − 1 lados de

los ángulos interiores a éste, por lo tanto, al reemplazar 3 − 1 = 2, con esto, se tendrá libre

elección para definir los puntos 𝑥1 y 𝑥2, así 𝑥1 = 0 y 𝑥1 = 1.

Figura 10: Eje real con puntos 𝒙𝟏 = 𝟎,

𝒙𝟐 = 𝟏. Elaboración propia.

Figura 11: Mapeo conforme de un triangulo

equilátero. Elaboración propia.

Como el mapeo es sobre un triángulo equilátero se conoce el valor de sus ángulos, 𝛼1 = 𝛼2 =

𝛼3 =𝜋

3, ahora, se reemplaza estos valores en la formula general:

𝑓′(𝑧) = 𝐴(𝑧 − 0)−2

3⁄ (𝑧 − 1)−2

3⁄ (12)

Así se tendría que 𝑓′(𝑧):

𝑓′(𝑧) = 𝐴(𝑧)(−23⁄ )(𝑧 − 1)(−2

3⁄ ) (13)

De esta manera, se sabe que no existe una antiderivada de 𝑓′(𝑧) = 𝐴(𝑧 − 0)−2

3⁄ (𝑧 − 1)−2

3⁄

que pueda expresarse en términos de funciones elementales; como f’ es analítica en el dominio

𝑦 < 0, se sabe que existe una antiderivada en este dominio dada por la siguiente integral:

𝑓(𝑧) = 𝐴 ∫1

𝑆2

3⁄ (𝑆 − 1)2

3⁄𝑑𝑠 + 𝐵

𝑍

0

(14)

Ahora, se hallarán las constantes complejas A y B, evaluando 𝑓(0) para encontrar la constante

B, por lo tanto, evaluando:

𝑓(0) = 𝐴 ∫1

𝑆2

3⁄ (𝑆 − 1)2

3⁄𝑑𝑠 + 𝐵

0

0

(15)

𝐵 = 0

Para hallar la constante A, se evaluará 𝑓(1), luego reemplazando:

𝑓(1) = 𝐴 ∫1

𝑆2

3⁄ (𝑆 − 1)2

3⁄𝑑𝑠

1

0

(16)

Si Γ denota el valor de la integral, entonces:

Γ = 𝐴 ∫1

𝑆2

3⁄ (𝑆 − 1)2

3⁄𝑑𝑠

1

0

(17)

Así 𝐴 =1

Γ , de esta manera se obtiene la forma integral de la ecuación de Cardy que modela

el fenómeno de percolación:

4. MÉTODOS DE SOLUCIÓN

a. Método Runge-Kutta (RK)

El método de Runge-Kutta es un conjunto de métodos implícitos y explícitos para dar una

aproximación a la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la idea de RK es sustituir

el problema de valor inicial, de esta manera, sea (19) una ecuación diferencial ordinaria:

Con 𝑓: Ω ⊂ ℝ × ℝ𝑛 → ℝ𝑛 donde Ω es un conjunto abierto con la condición que el valor inicial

sea:

De están manera, Runge Kutta en su forma más general se puede expresar así:

Γ = ∫1

𝑆2

3⁄ (𝑆 − 1)2

3⁄𝑑𝑠

1

0

(18)

𝑦′ = 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)) (19)

(𝑡0, 𝑦0) ∈ Ω (20)

Donde h representa el paso entre los números sucesivos y los coeficientes 𝑘𝑖 representan los

términos de aproximación, por lo tanto, el método tiene la siguiente forma:

donde 𝑎𝑖 son constantes y los 𝑘𝑖 son:

𝑘1 = f(𝑡𝑖 , 𝑦𝑖) (23)

𝑘2 = 𝑓(𝑡𝑖 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞11𝑘1ℎ) (24)

𝑘3 = 𝑓(𝑡𝑖 + 𝑝2ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞21𝑘1ℎ + 𝑞22𝑘2ℎ) (25)

𝑘𝑛 = 𝑓(𝑡𝑖 + 𝑝𝑛−1ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞𝑛−1,1𝑘1ℎ + 𝑞𝑛−1,2𝑘2ℎ + ⋯ + 𝑞𝑛−1,𝑛−1𝑘𝑛−1ℎ) (26)

i. Método de Runge Kutta de orden 4 (RK4)

En este documento se hace uso del método de Runge Kutta de orden 4, lo que equivaldría a

utilizar el método de Taylor hasta ℎ4 [16]. Este es uno de los procedimientos más difundidos y

a la vez más exactos para obtener la solución numérica del problema de valor inicial [17]:

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ ∑ 𝑏𝑖𝑘𝑖

𝑠

𝑖=1

(21)

𝑦𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + ℎ (𝑎1𝑘1 + 𝑎2𝑘2+. . . + 𝑎𝑛𝑘𝑛) , (22)

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +ℎ

6 (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)

(27)

donde:

𝑘1 = 𝑓(𝑡𝑖 , 𝑦𝑖) (28)

𝑘2 = 𝑓(𝑡𝑖 + ℎ/2, 𝑦𝑖 + ℎ𝑘1/2) (29)

𝑘3 = 𝑓(𝑡𝑖 + ℎ/2, 𝑦𝑖 + ℎ𝑘2/2) (30)

𝑘4 = 𝑓(𝑡𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑘3) (31)

De esta manera, se implementó RK4 con un toolbox de Matlab [18] para dar solución

a la ecuación diferencial de Cardy, los resultados de la aproximación se observan en

la Figura 12 y en la Tabla 1.

Figura 12: Solución ecuación diferencial utilizando RK4 en MatLab. Elaboración propia.

Tabla 1

𝑥 0 110⁄ 2

10⁄ 310⁄ 4

10⁄ 510⁄ 6

10⁄ 710⁄ 8

10⁄ 910⁄ 1

𝑓(𝑥) 0 0.235 0.326 0.390 0.445 0.486 0.550 0.606 0.666 0.755 0.987

b. Función hipergeométrica de Gauss.

Despejando el operador diferencial de segundo orden en la ecuación diferencial de Cardy, se

obtiene [19]

Otra de las soluciones de la ecuación de Cardy() se halló utilizando la función hipergeometrica

de Gauss, denominada así por Carl F. Gauss, la cual es solución de la siguiente ecuación

diferencial:[20]

En donde a, b y c son constantes de:

Como se obtuvo anteriormente, 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1 son puntos singulares de la ecuación, ahora, se

obtendrán soluciones a esta de la siguiente manera ():

𝑑2𝜑

𝑑𝑢2= −

2

3

(1 − 2𝑢)

𝑢(1 − 𝑢)

𝑑𝜑

𝑑𝑢

(32)

𝑥(1 − 𝑥)𝑦′′ + [𝑐 − (𝑎 + 𝑏 + 1)𝑥]𝑦′ − 𝑎𝑏𝑦 = 0 (33)

𝑃(𝑥) =𝑐 − (𝑎 + 𝑏 + 1)𝑥

𝑥(1 − 𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) = −

𝑎𝑏

𝑥(𝑥 − 1)′

(34)

Donde 𝑐0 ≠ 0 y r es un número que debe determinarse, hallando así 𝑦′ y 𝑦′′ de () y

reemplazándola en (), la ecuación diferencial se convierte en:

Donde los posibles valores de r son: 𝑟 = 0 𝑦 𝑟 = 1 − 𝑐, para 𝑟 = 0 como el coeficiente de 𝑥𝑘

con 𝑘 ≥ 1,de esta forma, se tiene que:

Se utiliza la sustitución 𝑘 − 1 = 𝑛, de esta manera, se obtiene la siguiente fórmula para los

coeficientes 𝑐𝑛:

Por inducción matemática se establece que:

Con estos coeficientes () se puede escribir como:

𝑦 = ∑ 𝑐𝑛(𝑥)𝑛+𝑟

∞

𝑛=0

(35)

(𝑟 − 1 + 𝑐)𝑐0 + ∑{(𝑘 + 𝑟)(𝑘 + 𝑟 − 1 + 𝑐)𝑐𝑘 − [(𝑘 + 𝑟 − 1)(𝑘 + 𝑟 − 2)+∝ (𝑘 + 𝑟 − 1) + 𝑎𝑏]𝑐𝑘−1} × 𝑥𝑘

∞

𝑘=1

(36)

(𝑘 + 𝑐 − 1)𝑐𝑘 − [(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)+∝ (𝑘 − 1) + 𝑎𝑏]𝑐𝑘−1 = 0 , 𝑘 ≥ 1, (37)

𝑐𝑛+1 =(𝑛 + 𝑎)(𝑛 + 𝑏)

(𝑛 + 𝑏)(𝑛 + 𝑐)𝑐𝑛, 𝑛 = 0,1,2, ⋯

(38)

𝑐𝑛 =(𝑎)𝑛(𝑏)𝑛

𝑛! (𝑐)𝑛

(39)

Por lo que (40) se conoce como la serie hipergeométrica y es denotada:[20]

Ahora, se obtiene una aproximación de la ecuación de Cardy utilizando la función

hipergeometrica, para ello, se desarrolló un software en MatLab y de esta manera, se obtiene

una acertada aproximación de la ecuación diferencial de Cardy modificando el grado del

polinomio (grado 10, 50,100):

Principalmente se obtuvo la solución tomando polinomios de grado 10:

Figura 13: Solución ecuación de Cardy por función hipergeométrica tomando un polinomio de

grado 10 en Matlab. Elaboración propia.

De acuerdo a la Figura 13 se tabuló, obteniendo los siguientes datos:

Tabla 2

𝑦 = ∑(𝑎)𝑛(𝑏)𝑛

𝑛! (𝑐)𝑛

𝑥𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

(40)

𝑓1(𝑎, 𝑏, 𝑐|𝑥) =(𝑎)𝑛(𝑏)𝑛

𝑛! (𝑐)𝑛

𝑥𝑛

𝑛!

(41)

𝑥 0 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10

6/10 7/10 8/10 9/10 1

𝑓(𝑥) 0 0.2673 0.3433 0.4012 0.452 0.5 0.5479 0.5985 0.6551 0.7231 0.8111

Para un polinomio de grado 50 se obtuvo la siguiente gráfica:

Figura 14: Solución ecuación de Cardy por función hipergeométrica tomando un polinomio de grado 50 en Matlab. Elaboración propia.

De acuerdo a la Figura 14 se tabuló, obteniendo los siguientes datos:

Tabla 3

𝑥 0 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10

6/10 7/10 8/10 9/10 1

𝑓(𝑥) 0 0.2673 0.3433 0.4012 0.452 0.5 0.548 0.5988 0.6567 0.7326 0.8872

Para un polinomio de grado 100 se obtuvo la siguiente gráfica:

Figura 15: Solución ecuación de Cardy por función hipergeométrica tomando un polinomio de grado 100 en Matlab. Elaboración propia.

De acuerdo a la Figura 15 se tabuló, obteniendo los siguientes datos:

Tabla 4

𝑥 0 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10

6/10 7/10 8/10 9/10 1

𝑓(𝑥) 0 0.2673 0.3433 0.4012 0.452 0.5 0.548 0.5988 0.6567 0.7327 0.9102

c. Solución integral de ecuación de Cardy.

Ahora se verificará que la integral es solución de la ecuación diferencial de Cardy (4), de esta

manera sabemos que esta es nuestra solución teórica, para comprobarlo se tomará (5)

Se deriva dos veces, para luego reemplazarla en (4),

𝜑(𝑢) = ∫𝑑𝑥

[𝑥(1 − 𝑥)]2 3⁄

𝑢

0

(42)

Y para 𝑑2𝜑

𝑑𝑢2:

Ahora los valores obtenidos se remplazan en la ecuación diferencial de Cardy.

Lo que nos da que la igualdad se cumple, por lo tanto la integral (5) es solución de la ecuación

diferencial (4).

Se solucionó la integral en Matlab, con lo que se encontraron los siguientes valores, además

en la Figura 16Figura 16: Solución integral de la ecuación de Cardy. se puede visualizar la

gráfica solución.

𝑑𝜑

𝑑𝑢=

1

[𝑢(𝑢 − 𝑢)]2 3⁄

(43)

𝑑2𝜑

𝑑𝑢2=

2(1 − 2𝑥)

3(𝑥(𝑥 − 1))5

3⁄

(44)

𝑢(1 − 𝑢)𝑑2𝜑

𝑑𝑢2=

2(1 − 2𝑥)

3(𝑥(𝑥 − 1))5

3⁄+

2

3(1 − 2𝑢) (

1

[𝑢(𝑢 − 𝑢)]2 3⁄) = 0

(45)

0 = 0 (46)

Figura 16: Solución integral de la ecuación de Cardy.

𝑥 0 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10

6/10 7/10 8/10 9/10 1

𝑓(𝑥) 0 0.258 0.364 0.415 0.452 0.5 0.540 0.600 0.647 0.763 1

5. Sintetización

Se realizó una simulación en Simulink de Matlab que constaba de un conjunto de bloques

que describe la ecuación diferencial de Cardy, para esto fue necesario despejar la derivada

de mayor orden en la ecuación de la siguiente manera:

𝑑2𝜑

𝑑𝑢2= −

2

3

(1 − 2𝑢)

𝑢(1 − 𝑢)

𝑑𝜑

𝑑𝑢

(42)

En la Figura 17 se implementa una función rampa que será la representación de 𝑢 en la

ecuación.

Figura 17: implementación ecuación de Cardy en Simulink. Elaboración propia.

De esta manera, cada conjunto de bloques tiene su equivalente expresión matemática,

iniciando con el numerador en la ecuación (42), como se observa en la Figura 18, 𝑢 es

amplificada dos veces, pasa por un restador (−2𝑢) y se suma con una constante 1,

obteniendo (1 − 2𝑢).

Figura 18: Expresión (𝟏 − 𝟐𝒖) en Simulink. Elaboración propia.

Para formar la expresión del denominador, 𝑢 será negativo al pasar por el restador, luego

se le adiciona 1, quedando así (1 − 𝑢), seguidamente como se observa en (42) aún falta

multiplicar la expresión por u, por ello se implementó un multiplicador que operará las

expresión anterior, quedando así: 𝑢(1 − 𝑢).

Figura 19: Expresión 𝒖(𝟏 − 𝒖) en Simulink. Elaboración propia.

Luego el numerador se multiplica (−2

3) veces y pasa a dividirse con la segunda expresión,

obteniendo: −2

3

(1−2𝑢)

𝑢(1−𝑢), el único paso restante es integrar la expresión dos veces, así

evidentemente al derivar por primera vez se eliminará la derivada de orden 1, y la segunda

vez se obtendrá la solución de la ecuación diferencial.

Figura 20: División e integración en Simulink. Elaboración propia.

Ahora bien, enla Figura 21 y Figura 23 se evidencia la solución de la ecuación de Cardy:

Figura 21: Simulación Simulink ecuación de Cardy tomando los puntos 𝒙𝟏 = 𝟎 y 𝒙𝟐 = 𝟎, 𝟓. Elaboración propia.

Tomando valores en 𝑥1 = 0 y 𝑥2 = 0,5, se muestra en la Figura 22 que para un valor en

𝑥1 = 0 le corresponde el valor en 𝑦1 = 0 y para un valor en 𝑥2 = 0,5 le corresponde un valor

de 𝑦 = 0,49489.

Figura 22: Valores en y, simulación en Simulink (parte 1). Elaboración propia.

Ahora tomando valores en 𝑥1 = 0,5 y 𝑥2 = 1 de la Figura 23 :

Figura 23: Simulación Simulink ecuación de Cardy tomando los puntos 𝒙𝟏 = 𝟎, 𝟓 y 𝒙𝟐 = 𝟏. Elaboración propia.

Tomando valores en 𝑥1 = 0,5 y 𝑥2 = 1, se muestra en la ()que para un valor en 𝑥1 = 0,5 le

corresponde el valor en 𝑦1 = 0,49489 y para un valor en 𝑥2 = 1 le corresponde un valor de

𝑦 = 1.

Figura 24: Valores en y, simulación en Simulink( parte 2). Elaboración propia.

Seguidamente al haber implementado la sintetización anterior se desarrolló una comunicación

serial entre simulink y el microcontrolador Psoc 5lp, para poder realizar esta comunicación fue

necesario pasar el dato a 8 bits, por lo tanto se multiplico la salida por 255, después se paso

este dato por la función floor que toma los datos fraccionarios y los aproxima a el valor entero

mas cercano por debajo.

Figura 25: conversión y discretización de la señal al enviar.

Fue necesario discretizar la señal, ya que estaba en tiempo continuo, esto con el fin de darle

un delay al enviar los datos, al recibir la psoc estos datos se implementó un DAC de 8 bits y

finalmente esto fue visualizado en un osciloscopio digital, evidentemente en la Figura 26 se

muestra que en el eje x la señal abarca un valor de 0 hasta 110ms.

Figura 26: señal de salida del sistema.

Así mismo en el eje y vemos que la señal en su punto mínimo es 0 y en su punto máximo es

de 1vcomo se observa en Figura 27.

Figura 27: Salida del sistema eje y.

Para finalizar se tomaron 10 valores diferentes para x, que variaban cada 10.1ms, que se muestran en la Figura 27

𝑥 0 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 1

𝑓(𝑥) 0 0.240 0.304 0.384 0.464 0.504 0.536 0.648 0.720 0.848 1

6. Análisis de estabilidad a. Espacio de Estados

Una manera de analizar sistemas de ecuaciones diferenciales como los obtenidos en el

apartado 4, es mediante su representación en el espacio de estados (forma matricial), para

ello se parte de la ecuación (43).

�̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (43)

En donde A es la matriz que depende de los parámetros concentrados del sistema, B es la

matriz de entrada del sistema, U es el vector de entrada, X es el vector de estado. Teniendo

en cuenta la ecuación (4) se expresó el sistema como una matriz de estados.

[

𝑑𝑥𝑑𝑡⁄

𝑑𝑦𝑑𝑡

⁄] = [

0 1

−2

3

(1 − 2𝑢)

𝑢(1 − 𝑢)0

] [𝑥𝑦] − [

00

] 𝐵

(44)

b. Exponentes Máximos de Lyapunov

Los exponentes de Lyapunov se han utilizado ampliamente en ingeniería como herramienta

para el estudio cualitativo de la estabilidad de un sistema de tiempo continuo o discreto; ellos

miden la tasa exponencial de divergencia de dos órbitas adyacentes en el espacio de

fases,[21].

Sea 𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐹(𝑥) en donde 𝑥(0) = 𝑥0. Sea 𝑥(𝑡, 𝑥0) la solución de (18), si se adiciona una

perturbación en la condición inicial del sistema ∆𝑥0, esta quedaría 𝑥(𝑡, 𝑥0 + ∆𝑥0); ahora,

mediante series de Taylor se verifica que el error entre las dos soluciones debe cumplir que:

∆𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡, 𝑥0 + ∆𝑥0) − 𝑥(𝑡, 𝑥0) ≅ 𝐽𝑥0(𝑥(𝑡, 𝑥0))∆𝑥0 (45)

𝐽𝑥0(𝑥(𝑡, 𝑥0)) es el Jacobiano de la ecuación solución evaluado en el punto (𝑡, 𝑥0); por lo tanto,

la separación de las dos trayectorias es:

‖∆𝑥(𝑡)‖ = ‖𝐽𝑥0(𝑥(𝑡, 𝑥0))‖‖∆𝑥0‖ = lim

𝑡→∞‖∆𝑥0‖𝑒𝜆𝑡 (46)

En donde 𝜆 se define como el máximo exponente de Lyapunov, de (19) se obtiene:

𝜆 = lim𝑡→∞

[ lim∆𝑥0→0

1

𝑡‖𝐽𝑥0

(𝑥(𝑡, 𝑥0))‖‖∆𝑥0‖] (47)

Para una ecuación diferencial de orden n, indica que existen n exponentes de Lyapunov

asociados a esta, además, un exponente negativo implica que el punto de equilibrio

seleccionado es estable, las señales convergen hacia dicho punto; un exponente positivo

indica la presencia de caos en el sistema; por lo tanto, un exponente positivo, puede mostrar

la sensibilidad a las condiciones iniciales.[22][23]

A continuación se implementó un algoritmo para calcular los exponentes de Lyapunov en la

ecuación diferencial de Cardy,[23]. En la Figura 28 se evidencia el comportamiento del sistema

y en la Tabla 5 se muestran los exponentes de Lyapunov demostrando que 𝑥 presenta

estabilidad debido a que sus exponentes son negativos y 𝑦 demuestra instabilidad debido a

que sus exponentes son positivos.

Figura 28: Exponentes de Lyapunov en la ecuación de Cardy. Elaboración propia.

Tabla 5: Exponentes de Lyapunov variables de salida 𝒙 y 𝒚. Elaboración propia

Tiempo(s) Exponentes de Lyapunov Variable (𝑥)

Exponentes de Lyapunov Variable (𝑦)

0,011 -0,000304279 0,000304279

0,101 -0,00304831 0,00304831

0,201 -0,006109972 0,006109972

0,301 -0,009186706 0,009186706

0,401 -0,012280257 0,012280257

0,501 -0,015392401 0,015392401

0,601 -0,018524948 0,018524948

0,701 -0,021679747 0,021679747

0,801 -0,024858689 0,024858689

0,901 -0,028063713 0,028063713

1,001 -0,031296809 0,031296809

7. ANÁLISIS Y RESULTADOS

A continuación en la Tabla 6 se observa la comparación de los diversos métodos de

solución de la ecuación de Cardy, así mismo se comparará cada método con la solución

teórica(integral de Cardy), de esta manera se obtiene un margen de error.

Tabla 6: Comparación métodos de solución ecuación de Cardy. Elaboración propia.

𝒙 Hiper % Circuito % RK4 % Simu % Integral

0.1 0.267 3.488 0.240 6.976 0.235 8.914 0.234 9.302 0.258

0.2 0.343 5.769 0.304 16.483 0.326 10.439 0.317 12.912 0.364

0.3 0.401 3.373 0.384 7.469 0.390 6.024 0.382 7.951 0.415

0.4 0.452 0.000 0.464 2.654 0.445 1.548 0.440 2.654 0.452

0.5 0.500 0.000 0.504 0.800 0.486 2.800 0.495 1.000 0.500

0.6 0.548 1.481 0.536 0.740 0.550 1.850 0.549 1.666 0.540

0.7 0.598 0.333 0.648 8.000 0.606 1.000 0.604 0.666 0.600

0.8 0.656 1.391 0.720 11.282 0.666 2.936 0.670 3.554 0.647

0.9 0.732 4.062 0.848 11.140 0.755 1.048 0.765 0.262 0.763

1.000 0.910 9.000 1.000 0.000 0.987 1.300 1.000 0.000 1.000

De esta manera observamos que, aunque la función hipergeometrica no alcanza a llegar a 1,

es la función que más se acerca al valor de la integral, es decir, los datos teóricos debido a su

bajo índice porcentual de error.

8. CONCLUSIONES

Implementando el mapeo de Schwarz Christoffel sobre un triángulo equilátero se dedujo la

ecuación integral que describe el fenómeno de percolación.

De acuerdo con los máximos exponentes de Lyapunov se analizó la presencia de caos,

concluyendo que existe estabilidad en la variable independiente de la ecuación diferencial

de Cardy e inestabilidad en la variable dependiente, lo que representa perfectamente el

comportamiento del sistema a lo largo del dominio.

Se solucionó la ecuación de Cardy por diversos métodos, llegando en todos los casos a la

gráfica solución con un pequeño margen de error respecto a la solución teórica(integral),

aunque se evidencia en la Tabla 6 que el método de aproximación más efectivo fue la

función hipergeométrica de Gauss.

Se obtuvo la respuesta electrónica de la ecuación de Cardy, con lo que se evidenció un

pequeño margen de error, de esta manera se garantiza que puede ser una manera de

solucionar la ecuación diferencial de Cardy.

9. REFERENCIAS

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