Modelado Motor DC con Exitación Independiente

8/16/2019 Modelado Motor DC con Exitación Independiente

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1 Abstract— In this paper a new dynamic model for analogic

servomotors is proposed. Then, an analytical model is initially

developed, after which, through computer simulations the

obtained theoretical results are validated. Those results are

contrasted, with practical implementations, by employing a real

analog servo motor. This new model can capture the dynamics

resulting from the servomotor axis of rotation by including the

internal position feedback; as well as considering the increased

torque on the axle load, reached by means of their gear train.

The development of this new proposed model permits the

recovery of relevant properties of the servo motors. This will

allow the study and develop more advanced control techniques,

compared to those currently can be used by employing a classic

DC motor model.

Keywords— Servo motors, dynamical models, DC motors,

controllers.

I. I NTRODUCCIÓN

CTUALMENTE, los servomotores son ampliamenteutilizados para construir sistemas robotizados con

muchos grados de libertad y variadas morfologías, gracias a sureducido tamaño, precisión de movimientos y bajos costos.Físicamente, los servomotores están constituidos por un motorde corriente continua, un juego de engranajes para lareducción de velocidad de giro y aumento de torque en su ejemotriz, un potenciómetro conectado a este eje de salida, quees utilizado para conocer la posición, y un circuito de control

de realimentación que convierte una señal de entrada PWM(PWM: Pulse-Width Modulation. ) a tensión, comparándolacon la posición realimentada para luego amplificarla yaccionar un puente H para producir un giro a una determinadavelocidad.

Los servomotores presentan grandes errores de ajustes de posición y variaciones de posición cero causadas por cambiosde temperatura y del voltaje de alimentación. Sin embargo, para paliar estas dificultades se introdujeron los servomotoresdigitales, que son unas dos veces más costosos que losanalógicos, pero la mayoría de los servomotores disponiblesen el mercado siguen siendo analógicos.

En particular, las características de un manipuladorrobotizado están determinadas por la precisión mecánica de su

movimiento y las capacidades de esfuerzo, el número degrados de libertad, el nivel de manipulación del efectorterminal, los sensores, y la sofisticación y confiabilidad delcontrolador. Las señales de entrada para el conjunto

1C. Urrea, Grupo de Automática. Departamento de Ingeniería Eléctrica.

Universidad de Santiago de Chile. Avda. Ecuador Nº 3519. Estación Central,Santiago, Chile, [email protected]

1J. Kern, Grupo de Automática. Departamento de Ingeniería Eléctrica.Universidad de Santiago de Chile. Avda. Ecuador Nº 3519. Estación Central,Santiago, Chile, [email protected]

manipulador más controlador suelen ser trayectorias demovimientos deseadas o fuerzas aplicadas deseadas, noobstante, las entradas directamente aplicadas a lasarticulaciones de los manipuladores son generalmentecorrientes y tensiones eléctricas, o caudales y presioneshidráulicas o neumáticas. En el ámbito comercial, laarquitectura básica de la mayoría de estos manipuladores esfundamentalmente la misma, donde los motores eléctricos ylos servomotores son ampliamente utilizados como elementosactuadores acoplados a la cadena cinemática de eslabones [1-5]. Es debido a la enorme aplicación transversal deservomotores que a continuación se presenta el desarrollo de

un nuevo modelo dinámico de servomotores analógicos.

II. MODELO DE UN MOTOR CC SIN CARGA

En la Fig. 1 se muestra el diagrama esquemático de unmotor de Corriente Continua (CC) sin carga externa acopladaa su eje [6-8]. Si la corriente de campo i f se mantieneconstante, el motor puede controlarse por armadura (va).

Figura 1. Representación esquemática de un motor CC.

El flujo magnético ψ generado por el circuito de campo delmotor es proporcional (k f ) a la corriente de campo i f :

f f k iψ = (1)

El par τ m desarrollado por el motor es proporcional (k 1) alflujo magnético y a la corriente de armadura ia:

1m ak iτ ψ = (2)

Si la corriente de campo es constante, el flujo magnético setransforma en una constante (k 2), de manera que la ecuación

(2) puede escribirse como:

( )1 2m ak k iτ = (3)

Considerando 1 2ak k k = , el par desarrollado por el motor

puede escribirse como:

m a ak iτ = (4) donde:

C. Urrea, Member , IEEE and J. Kern, Member , IEEE

Characterization, Simulation and Implementationof a New Dynamic Model for a DC Servomotor

A

IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 12, NO. 6, SEPTEMBER 2014 9


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k a : Constante de par del motor.

Cuando la armadura gira, se induce en ella un voltajedenominado fuerza electromotriz inversa (vb) que es proporcional (k ) al producto del flujo magnético y a lavelocidad angular , de la forma:

b mv k ψ θ = (5)

para un flujo magnético constante, la fuerza electromotrizinversa es directamente proporcional a la velocidad angular,considerando ,

bk k ψ = la fuerza electromotriz inversa puede

escribirse como:

b b mv k θ = (6)

donde:k b : Constante de fuerza electromotriz inversa.

Aplicando las leyes de Kirchhoff al circuito de armadura, secumple que:

a

a a a a b

div L R i v

dt = + +

(7)

En el dominio s y despejando la corriente de armadura en(7), se tiene:

a ba

a a

V V I

L s R

−=

+ (8)

o bien:

a b ma

a a

V k s I

L s R

− Θ=

+ (9)

La ecuación de par del motor corresponde a [9-11]:

m m m m m J Bτ θ θ = + (10)

donde: J m : Momento de inercia del motor. Bm : Fricción viscosa del motor.

Al igualar las ecuaciones (4) y (10), se tiene:

a a m m m mk i J Bθ θ = + (11)

En el dominio s y despejando la corriente de armadura en(11), se tiene:

2m m m m

a

a

J s B s I

k

Θ + Θ= (12)

Igualando las ecuaciones (8) y (12) se obtiene:

( ) ( )a a a b m a a m m mk V k k s L s R J s B s− Θ = + + Θ (13)

( ) ( )a a m m m a b ma

a

L s R J s B s k k sV

k

+ + Θ + Θ= (14)

( ) ( )m a

a a a m m a b

k

V L s R J s B k k s

Θ=

+ + + (15)

La ecuación (15) señala la relación entre la posición del ejedel motor CC y la tensión de alimentación aplicada en suarmadura, su representación en diagrama de bloques semuestra en la Fig. 2:

Figura 2. Diagrama de bloques de un motor CC.

III. MODELO DE UN MOTOR CC CON CARGA ACOPLADA PORE NGRANAJES

Si se acopla una carga al eje del motor a través de unconjunto de engranajes, ésta se transmitirá al mismo deacuerdo a la relación de los engranajes presentes en el acople[12-14]. La Fig. 3 muestra un motor de corriente continua concarga externa acoplada a su eje:

Figura 3. Representación esquemática de un motor CC con carga externaacoplada con engranajes.

Dado que, al mantener la corriente de campo constante, el par del motor puede controlarse mediante la tensión dearmadura como su entrada; esta situación se ilustra en eldiagrama de bloques presentado en la Fig. 4.

aV

Figura 4. Diagrama de bloques de un motor CC con carga externa acoplada

por engranajes.

Si se considera el efecto de la carga acoplada porengranajes sobre el eje del motor, de acuerdo a la zona

achurada del esquema, es posible construir el diagrama que semuestra en la Fig. 5:

Figura 5. Esquema que muestra el efecto de la carga reflejada en el eje delmotor.

998 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 12, NO. 6, SEPTEMBER 20


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La función de transferencia que relaciona el par del motorsin carga T o con la posición de la carga Θ L corresponde a:

( )

( )

( )1

m m L

o L L

m m

n

J s B s

nT ns J s B

J s B s

+Θ=

+ ⋅ +

+

(16)

( ) ( )2 2 L

o m L m L

n

T J n J s B n B s

Θ=

+ + +

(17)

donde:

1

2

nn

n= (18)

n1 : Número de dientes del engranaje de entrada (motor).n2 : Número de dientes del engranaje de salida (carga).n : Relación de engranajes.

J L : Momento de inercia de la carga. B L : Fricción viscosa de la carga.n

2 J L : Momento de inercia de la carga referida al eje del

motor.n

2 B L : Fricción viscosa de la carga referida al eje del motor.

Definiendo:2

o m L J J n J = + (19)

2o m L B B n B= + (20)

donde: J o : Momento de inercia total referida al eje del motor. Bo : Fricción viscosa total referida al eje del motor,

y reemplazando (19) y (20) en la ecuación (17), la nuevafunción de transferencia que relaciona el par del motor sin

carga T o con la posición de la carga Θ L puede escribirse comose indica en la ecuación (21). El diagrama de bloquesequivalente completo se muestra en la Fig. 6.

( ) L

o o o

n

T J s B s

Θ=

+ (21)

Figura 6. Diagrama de bloques equivalente de un motor CC con carga externaacoplada por engranajes.

De acuerdo al diagrama de bloques equivalente presentadoen la Fig. 6, la función de transferencia asociada se señala enecuación (22).

( ) ( )a L

a a a o o a b

k n

V L s R J s B k k s

Θ=

+ + + (22)

IV. MODELO DE UN SERVOMOTOR CC CON CARGA

Si se proporciona realimentación de posición al conjuntomotor CC y acoplamiento de carga por engranajes,considerado en la Fig. 3, bastará con agregar un circuito decontrol para conformar lo que se conoce con el nombre deservomotor, como se aprecia en la Fig. 7. Un servomotor

posee la característica de situarse en una determinada posición, de acuerdo a su capacidad de giro, y mantenerseestable en dicha posición [15-18].

Sistema deengranajes

Realimentación

de Posición

Comparador

Amplificador

Puente H

APWM

V i’Conversor

PWM a Tensión

V iPWM

Conversor

Tensión a PWM

Servomotor

Ra La

R f

J m

L f

Bm

va

ia

vb

v f

i f

m m

L

L

n1

n2

p

ve

k s

k p2

k p1

V i’

V i

Figura 7. Diagrama esquemático de un servomotor acoplado a un manipulador

robotizado como carga.

Las señales de control aplicadas a este tipo de actuadores para posicionar el eje del engranaje de salida en undeterminado ángulo, son de tipo modulación por ancho de pulsos PWM.

En la Fig. 8 se aprecia un diagrama de bloques de unservomotor acoplado a un manipulador robotizado comocarga.

Figura 8. Diagrama de bloques de un servomotor acoplado a un manipuladorrobotizado como carga.

De acuerdo al diagrama de bloques de un servomotoracoplado a un manipulador robotizado presentado en la Fig. 8,el torque sin carga τ o (o torque total) puede escribirse como lasuma del toque del motor τ m y el torque de carga transferido aleje del motor nτ L, como se aprecia en la ecuación (23).

o m Lnτ τ τ = + (23)

Reescribiendo las ecuaciones (6) y (10), en términos de lacoordenada generalizada de posición qm, se tiene:

b b mv k q= (24)

m m m m m J q B qτ = + (25)

Ahora, la ecuación (4) puede escribirse como:

o a ak iτ = (26)

URREA OÑATE AND KERN MOLINA : NEW DYNAMIC MODEL FOR SERVO MOTORS 9


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Reemplazando la ecuación (24) en la (7) y la ecuación (25)en la (23), se tiene:

aa a a a b m

o m m m m L

div L R i k q

dt

J q B q nτ τ

= + +

= + +

(27)

(28)

Reemplazando la ecuación (26) en la (27),

a aa o o b m

a a

L Rv k q

k k τ τ = + + (29)

y la ecuación (28) en la (29), se obtiene:

( )

( )

...aa m m m m La

am m m m L b m

a

Lv J q B q n

k

Rq B q n k q

k

τ

τ

= + + +

+ + +

(30)

ordenando la ecuación (30) se tiene:

...a a aa m m m m ma a a

a b am m L L

a a

k L Lv J q B J q

R R R

k k L B q n n

R Rτ τ

= + + +

+ + +

(31)

despejando Lτ de (31) se consigue,

1...

1

a a a a L a m m m m m

a a a a

a b am m L

a a

k L L Rv J q B J q

R R R n L

k k R B q n

R n L

τ

τ

= − ⋅ − +

− + +

(32)

Si se expresa la posición del eje del motor en términos de la

posición del eje de la carga (posición del eje del engranaje desalida que ahora se denota por q), de acuerdo a la relación(33), se tiene:

1mq q

n= (33)

1 1 1 1- - -...

1 1

a a a a a

L a m m m

a a a a a

a b a

m L

a a

k L R L Rv J q B J q

R R n n L R n n L

k k R B q n

R n n L

τ

τ

= +

+ +

(34)

La ecuación (34) corresponde a una ecuación diferencial detercer orden, ésta puede simplificarse si se considera que endiversas aplicaciones, la inductancia de armadura La esdepreciable [2]. Por lo tanto, despreciando la inductancia dearmadura en la expresión (31) y contemplando (33), se llega a:

1 1a a ba m m L

a a

k k k v J q B q n

R n R nτ

= + + +

(35)

y despejando τ L en la expresión (35), se obtiene:

1 1 1a a b L a m m

a a

k k k v J q B q

n R n R nτ

= − − +

(36)

Considerando pérdidas por fricción estática y de Coulomb:

f ec, se consigue:1 1

...

1 1 1

a L a m

a

a bm ec

a

k v J q

n R n

k k B q f q

n R n n

τ

= − −

+ +

(37)

Si se observa el diagrama de bloques presentado en la Fig.8, en donde se considera la realimentación de posición y elcircuito de control del servomotor, puede escribirse la tensiónde alimentación de armadura del motor CC como:

1 2a s p p i sv Ak k k v Ak pq= − (38)

donde: A : Ganancia del amplificador corriente (puente H)

k s : Sensibilidad del comparadork p1 : Ganancia del conversor de tensión a PWMk p2 : Ganancia del conversor de PWM a tensión

p : Ganancia del sensor de posición (potenció-metro)

Reemplazando la expresión (38) en la ecuación (35) yconsiderando las pérdidas por fricción estática y de Coulomb,se tiene:

1 2 ...

1 1 1

a a s p p i s

a a

a bm m ec L

a

k k Ak k k v Ak pq

R R

k k J q B q f q n

n R n nτ

− =

+ + + +

(39)

Si se considera k p1k p2 = k p en la expresión (39) y se despeja

Lτ , se llega a nuestro nuevo modelo dinámico de un

servomotor, dado por:

1 1...

1 1 1

a

L s p i m

a

a b a

m s ec

a a

k Ak k v J q

n R n

k k k B q Ak pq f q

n R n R n

τ

= − −

+ + +

(40)

Para evitar la discontinuidad de la fricción de Coulomb en

el cruce por cero, es posible utilizar la función que señala en(41) en donde k es una constante que se utiliza para aumentaro reducir la pendiente de la curva en dicho cruce por cero.

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

1

2

1 sgntanh ...

2

1 sgntanh

2

ec ec

ec

q f q F kq

q F kq

+= +

−

(41)



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6/8


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Figura 20. Curva PWM correspondiente a 0º del eje del servomotor.


Los datos obtenidos se resumen en la Tabla II y en las Figs.23, 24 y 25.

TABLA II. DATOS OBTENIDOS PARA EL SERVOMOTOR HS 755 HB.

q (°) Vi (V) ADCi ta (useg) f (Hz) Vo (V) ADCo

0 0,609 250 646 61 0,590 21245 1,002 411 1078 61 0,912 35090 1,425 582 1526 61 1,253 497

135 1,827 748 1974 61 1,572 636180 2,246 920 2438 61 1,908 782


0,609

1,002

1,425

1,827

2,246

020406080

100120140160180200

0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500

P o s i c i ó n : q ( ° )

Tensión de entr ada: Vi (V)

Posición del eje del servo motor

Figura 23. Posición del eje del servomotor en función de la tensión deexcitación de entrada

646

1078

1526

1974

2438

0

50

100

150

200

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

P o s i c i ó n : q ( ° )

Ancho del pulso: ta (us)

Pos ición del eje del servomotor

Figura 24. Posición del eje del servomotor en función del ancho del pulsoPWM

045

90

135

180

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

0 50 100 150 200 T e n s i ó n d

e r e a l i m e n t a c i ó n :

V o

( V )

Posición: q (°)

Tensión de r ealimentación del s ervomotor

Figura 25. Tensión de realimentación del potenciómetro del servomotor enfunción de la posición

VI. CONCLUSIONES

Las mediciones obtenidas a partir de la implementacióndesarrollada, para analizar el comportamiento del servomotorHS 755 HB, muestran que el modelo presentado mediante lasecuaciones (40) y (41) representa, dentro de los rangosestablecidos en la Tabla I, la dinámica de un servomotor

analógico. Las curvas obtenidas (señaladas en las Figs. 23, 24y 25) exponen un comportamiento predominantemente lineal,como lo establece el modelo y su simulación. Se observa en larespuesta del servomotor una reacción de tipo proporcionalintegral, esto puede explicarse si se considera la sensibilidaddel comparador interno del circuito controlador del tipoHT7003 (chip del cual el fabricante no entrega información) presente en el servomotor Hitec HS 755 HB, junto con laganancia asociada a la excitación del puente H; todo esto

URREA OÑATE AND KERN MOLINA : NEW DYNAMIC MODEL FOR SERVO MOTORS 10


8/8

sumado a la propiedad del potenciómetro de realimentación de posición de mantener un determinado valor cuando sesuspende la acción de movimiento del eje del servomotor.Este comportamiento queda representado en el modelo propuesto al considerar la sensibilidad k s y la ganancia A juntocon la integración de la velocidad (ver Fig. 8). Es importanteseñalar además que, en el contexto de la implementacióndesarrollada en un inicio, el servomotor presenta vibraciones y pequeños saltos al posicionarse en un determinado ángulo. Talsituación fue resuelta al alimentar el servomotor con unafuente de tensión independiente de la fuente del circuito decontrol, esto debido a que la conmutación del puente Hinterno provoca altos peaks de corriente, lo que contamina laalimentación del sistema, además, es necesario reducir eltiempo de muestreo de la señal de tensión analógica deexcitación incorporando pequeños delays entre cada muestra,con el objetivo de dar tiempo a la extinción de los ruidostransitorios persistentes por la conmutación del puente H y delaccionamiento del motor. Adicionalmente, junto con estasmedidas se utiliza una referencia externa de alta estabilidad(LM336z2.5) para el funcionamiento del conversor análogo-

digital del dispositivo micro-controlador.

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha contado con el apoyo del ProgramaPostdoctoral de la Universidad de Santiago de Chile; y delFondo de Fomento al Desarrollo Científico y Tecnológico(FONDEF) por medio del Proyecto FONDEF CA12I10167.Chile.

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Claudio Urrea was born in Santiago, Chile. He received theM.Sc. Eng. and the Dr. degrees from Universidad de Santiagode Chile, Santiago, Chile in 1999, and 2003, respectively; and

the Ph.D. degree from Institut National Polytechnique deGrenoble, France in 2003. Ph.D. Urrea is currently Professor atthe Department of Electrical Engineering, Universidad de

Santiago de Chile, from 1998. He has developed and implemented a RoboticsLaboratory, where intelligent robotic systems are development andinvestigated. He is currently Director of the Doctorate in EngineeringSciences, Major in Automation, at the Universidad de Santiago de Chile.

John Kern was born in Santiago, Chile. He received the M.Sc.Eng. and the Dr. degrees from Universidad de Santiago deChile, Santiago, Chile in 2010 and 2013, respectively. JohnKern is currently Professor of electronic engineering in theareas of automatic control and robotics, since 1999 and studies

post doctorate in Fault-Tolerant Systems at the Universidad deSantiago de Chile. He has developed laboratories: theory and control systems,signals and communication system, and electronics.


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