MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY ...i MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY PROBABILISTIK...

i

MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY

PROBABILISTIK

STUDI KASUS PADA OPTIK YOGYA

SKRIPSI

Ditujukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Vincentius Prabowojati Wicaksana

NIM: 053114013

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2009

ii

ECONOMIC ORDER QUANTITY PROBABILISTIC INVENTORY MODELS

CASE STUDY OF YOGYA OPTIK

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the SARJANA SAINS Degree

In mathematics

By:


Student Number: 053114013

Study Program of Mathematics Science Department of Mathematics

Faculty of Science and Technology

Sanata Dharma University

Yogyakarta

2009

v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 12 Agustus 2009

Penulis,


vi

HALAMAN PERSEMBAHAN

Dum Spiro SpeDum Spiro SpeDum Spiro SpeDum Spiro Spero......ro......ro......ro......

Age Quod Agis......Age Quod Agis......Age Quod Agis......Age Quod Agis......

Vos Estis Sal Terrae......Vos Estis Sal Terrae......Vos Estis Sal Terrae......Vos Estis Sal Terrae......

““““Bukan Kebesaran yang Menentukan Menang atau Bukan Kebesaran yang Menentukan Menang atau Bukan Kebesaran yang Menentukan Menang atau Bukan Kebesaran yang Menentukan Menang atau

Kalah, yang Penting Jadilah wajar Apa Adamu dan Kalah, yang Penting Jadilah wajar Apa Adamu dan Kalah, yang Penting Jadilah wajar Apa Adamu dan Kalah, yang Penting Jadilah wajar Apa Adamu dan

Menjadi Dewasa......Menjadi Dewasa......Menjadi Dewasa......Menjadi Dewasa......””””

“Bila Engkau tidak dapat menjadi Pohon cemara di “Bila Engkau tidak dapat menjadi Pohon cemara di “Bila Engkau tidak dapat menjadi Pohon cemara di “Bila Engkau tidak dapat menjadi Pohon cemara di bukit, bukit, bukit, bukit,

Jadilah belukar yang Indah di tepi parit...”Jadilah belukar yang Indah di tepi parit...”Jadilah belukar yang Indah di tepi parit...”Jadilah belukar yang Indah di tepi parit...”

Skripsi ini Kupersembahkan UntukSkripsi ini Kupersembahkan UntukSkripsi ini Kupersembahkan UntukSkripsi ini Kupersembahkan Untuk::::

Tuhan Yesus Tuhan Yesus Tuhan Yesus Tuhan Yesus Atas anugerahnya, Berkat,Atas anugerahnya, Berkat,Atas anugerahnya, Berkat,Atas anugerahnya, Berkat,LLLLindungan dan Penyertaannyaindungan dan Penyertaannyaindungan dan Penyertaannyaindungan dan Penyertaannya

Bapak Bapak Bapak Bapak &&&&dan Ibu atas Doa, Sedan Ibu atas Doa, Sedan Ibu atas Doa, Sedan Ibu atas Doa, Semangat,Dukungan, Bimbingan&Cintanyamangat,Dukungan, Bimbingan&Cintanyamangat,Dukungan, Bimbingan&Cintanyamangat,Dukungan, Bimbingan&CintanyaSSSSelaluelaluelaluelalu

Kakakku Ignas, adikku Hendri danKakakku Ignas, adikku Hendri danKakakku Ignas, adikku Hendri danKakakku Ignas, adikku Hendri dan Dion, Atas segala DukungannyaDion, Atas segala DukungannyaDion, Atas segala DukungannyaDion, Atas segala Dukungannya

Semua TemanSemua TemanSemua TemanSemua Teman----temankutemankutemankutemanku

Almamaterku, Almamaterku, Almamaterku, Almamaterku, SANATA DHARMASANATA DHARMASANATA DHARMASANATA DHARMA

viii

ABSTRAK

Dalam proses penjualan yang dilakukan oleh toko Optik Yogya, terdapat be-

berapa barang yang harus tersedia untuk memenuhi kebutuhan konsumen. Ada per-

masalahan yang terjadi ketika barang yang dibutuhkan tidak tersedia dan juga jika

barang yang tersedia melebihi kapasitas atau over.

Kedua masalah yang dihadapi dapat dimodelkan dengan model inventori Eco-

nomic Order Quantity merupakan sebuah model dalam bidang riset operasi dan sta-

tistika yang berguna untuk membuat keputusan dalam masalah persediaan barang.

Model inventori Economic Order Quantity dapat dibedakan menjadi dua, yaitu model

deterministik dan probabilistik berdasar ada tidaknya data yang tersedia. Pada studi

kasus Optik Yogya, hasil yang diperoleh dengan menggunakan perhitungan model

inventori Economic Order Quantity lebih baik jika dibandingkan dengan keadaan

sebenarnya.

ix

ABSTRACT

In the selling process carried out by Yogya Optik, few goods must be availa-

ble in order to meet the need of the consument. The problems occurs when the goods

that the customer want are not available and when the available goods are exceeding

its maximum capasity.

Both problems can be modeled using Economic Order Quantity model. inventory

used in operation research and statistics. This model is very useful in making decision

to solve problems in goods stocking. Economic Order Quantity model inventory can

be classified into two types, namely deterministic model and probabilistic model

based on the availabity of the data. In the case study of Yogya Optik, the results ob-

tained by using Economic Order Quantity inventory model better than the actual situ-

ation.

x

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur, penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus,

sehingga karena kasih, izin dan karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan dengan

baik.

Dalam penyusunan skripsi ini penulis memiliki banyak hambatan sehingga

membutuhkan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala

kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan Kaprodi

Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan banyak waktu,

pikiran, nasehat dan penuh kesabaran telah membimbing penulis selama

penyusunan skripsi.

2. Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan FST-USD.

3. Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji.

4. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku dosen penguji.

5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing akademik.

6. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Sc., yang pernah menjadi dosen pembimbing akademik

bagi penulis.

7. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., yang telah banyak membantu penulis.

8. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan bekal

ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

xi

9. Bapak Tukija dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administraasi dan

urusan-urusan akademik selama penulis kuliah serta Karyawan Perpustakaan

USD yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.

10. Kedua orang tuaku serta kakakku Ignas dan adik-adikku Hendrikus dan Dion

yang selalu memberikan dukungan kepadaku dalam segala hal, kasih sayang,

pengorbanan, doa, motivasi dan kepercayaan yang sangat berarti.

11. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis menyadari masih ada kekurangan dalam skripsi ini, untuk itu saran serta

kritik yang membangun sangat diharapkan dalam peningkatan kualitas skripsi ini, dan

akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Yogyakarta, Agustus 2009

Penulis,


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ………………………………….... vii

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

ABSTRACT ..................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ..................................................................................... x

DAFTAR ISI .................................................................................................... xi

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah ....................................................................... 1

B. Perumusan Masalah .............................................................................. 3

C. Batasan Masalah ................................................................................... 4

D. Tujuan Penulisan .................................................................................. 4

E. Metode Penulisan ................................................................................. 4

F. Manfaat Penelitian ................................................................................ 5

G. Sistematika Penulisan ........................................................................... 5

xiii

BAB II DIFERENSIAL, FUNGSI KONVEKS DAN TEORI PROBABILITAS 7

A. Diferensial............................................................................................... 7

B. Fungsi konveks ............................................................................. 11

C. Teori Probabilitas........................................................................... 12

BAB III MODEL INVENTORI.................................................................. 31

A. Parameter-parameter Persediaan....................................................... 31

B. Model Economic Order Quantity Deterministik Satu Barang............. 23

C. Model Economic Order Quantity Deterministik Banyak Barang......... 34

D. Model Economic Order Quantity Deterministik Diskon...................... 36

E. Model Economic Order Quantity Deterministik Back Order................ 38

F. Model Economic Order Quantity Probabilistik................................... 52

BAB IV APLIKASI MODEL INVENTORI PROBABILISTIK...................... 67

PADA OPTIK YOGYA............................................................. ..... 67

A. Analisis dengan Data yang tersedia......................................................... 67

B. Simulasi ................................................................................................... 73

BAB V PENUTUP...................................................................................... ...... 100

A. Kesimpulan............................................................................................ 100

B. Saran.............................................................................................. 101

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 102

BAB I

Pendahuluan

A. Latar Belakang Masalah

Dalam dunia perekonomian kita sering mengenal berbagai

permasalahan yang nyata dalam hidup. Permasalahan itu ada dari zaman

dahulu hingga sekarang. Salah satu permasalahan yang sangat penting dan

hampir dihadapi oleh semua bidang usaha adalah inventori atau yang lebih

kita kenal persediaan.

Inventori (Persediaan) adalah setiap sumberdaya yang disimpan

(stored resource) yang digunakan untuk memuaskan kebutuhan pelanggan

pada saat ini atau masa depan. Bagi banyak perusahaan dan toko, inventori

mencerminkan sebuah investasi, dan investasi ini sering lebih besar daripada

yang seharusnya. Hal ini dikarenakan perusahaan-perusahaan atau toko-toko

lebih mudah untuk memiliki inventori just-in-case (berjaga-jaga kalau ada

apa-apa) daripada inventori just-in-time (persediaan seperlunya) karena

berbagai pertimbangan dan kondisi yang ada.

Setiap perusahaan atau toko saat ini tentunya memiliki manager

operasi yang bertugas dalam bidang inventori. Setiap manager operasi

tentunya harus menyadari bahwa mengatur inventori yang baik dan tepat

sangatlah penting. Hal itu dikarenakan stok (jumlah barang) inventori,

berpengaruh besar terhadap kelangsungan aktivitas keseharian perusahaan

dan toko. Jika stok inventori mengalami gangguan, maka dapat dimungkinkan

2

perusahaan ataupun toko tersebut mengalami kerugian yang besar. Selain itu

juga, jika perusahaan atau toko ingin mengurangi biaya pengeluaran dengan

membatasi stok inventori di tangan, sebaliknya konsumen akan merasa tidak

puas bila suatu produk stok inventorinya habis. Oleh karena itu, perusahaan

atau toko harus mencapai keseimbangan antara inventori dan tingkat layanan

konsumen.

Setelah mengetahui beberapa permasalahan di ataas, dalam skripsi ini

akan dibahas tentang inventori Toko Optik Jogja yang berada di kota Jogja

dan Ambon. Optik Jogja merupakan salah satu toko yang menjual dan

menyalurkan kaca mata, soft lens, lensa kacamata serta lap kacamata. Untuk

mendukung proses penjualannya, Optik Jogja memiliki manager yang

mempunyai wewenang dan tugas untuk mengontrol, mendata dan

mengendalikan stok inventori bingkai kacamata, lensa, lap kacamata dan

lainnya.

Meskipun mempunyai manager yang bertugas mengontrol stok

inventori, namun sering kali stok inventori tidak berada pada level yang telah

ditetapkan sebelumnya. Stok inventori sering berada jauh di atas maksimum

stok, bahkan sering juga mengalami kehabisan. Hal ini sering mengakibatkan

konsumen kecewa, karena barang yang diinginkannya tidak tersedia. Selain

itu juga, jumlah pesanan kacamata dan lensa yang berlebihan kadang menjadi

sia-sia karena tidak digunakan dan tidak jarang mengakibatkan kerugian.

Menyadari kenyataan tersebut penulis akan menganalisa faktor-faktor

apa sajakah yang sebenarnya sangat berpengaruh dalam penentuan banyaknya

3

stok inventori. Selain itu, Penulis juga akan menganalisa banyaknya barang

yang ada, jenis dan tingkat penjualannya, yang selama ini kurang maksimal.

Setelah faktor-faktor yang berkaitan dengan proses inventori selesai

dikumpulkan, faktor-faktor tersebut akan dianalisa lebih lanjut dengan

menggunakan model inventori.

Model inventori yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah model

Economic Order Quantity (EOQ). Dalam masalah nyata, permasalahan

ekonomi sangatlah tidak pasti. Masalah tersebut dapat muncul dan berubah

setiap saat seturut perkembangan kondisi yang terjadi. Oleh karena ketidak

pastian tersebut,model EOQ nantinya akan dianalisa juga dengan cara

probabilistik yaitu dengan mempertimbangakan kemungkinan-kemungkinan

yang terjadi.

Hasil dari analisa dan perhitungan tersebut, nantinya diharapkan

dapat dijadikan suatu landasan dan acuan dalam menggambil keputusan untuk

proses inventori selanjutnya dengan mempertimbangkan faktor-faktor yang

mungkin akan terjadi pada masa yang akan datang. Sehingga, nantinya Toko

Optik Jogja mendapatkan keuntungan yang maksimal.

A. Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian yang telah dipaparkan dalam latar belakang, pokok

permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Apakah yang dimaksud model inventori?

2. Parameter-parameter apa sajakah yang dibutuhkan dalam Inventori?

4

3. Bagaimana menganalisa persamaan EOQ secara deterministik dan

probabilistik?

4. Bagaimana menerapkan model inventori dalam kasus nyata pada Toko

Optik Jogja?

B. Batasan Masalah

Batasan masalah dalam skripsi ini adalah:

1. Teori probabilitas hanya dibahas sebatas yang terkait langsung dengan

permasalahan, sedangkan hal-hal yang sifatnya elementer tidak dibahas

2. Data-data yang digunakan hanya pada Toko Optik Jogja pada tahun 2007

dan 2008.

3. Model inventori yang akan dibahas pada skripsi ini hanya model Economic

Order Quantity (EOQ).

4. Pada simulasi hanya dipakai proses pengunaannya saja, tanpa membahas

dasar teorinya.

5. Pada simulasi data bilangan random didapatkan menggunakan excel.

C. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk:

1. Mengetahui dasar-dasar Model Inventori.

2. Mengetahui model inventori Economic Order Quantity (EOQ).

3. Mengaplikasikan model inventori EOQ pada kasus nyata toko optik Jogja.

D. Metode Penulisan

Metode penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu

dengan menggunakan buku-buku, jurnal, dan makalah yang telah dipublikasi-

kan. Untuk aplikasi dan penerapan pada Toko Optik Jogja, data-data berupa

5

stok inventori dan jumlah penjualannya diperoleh langsung dari Toko Optik

Jogja.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan skripsi ini adalah:

1. Dapat mengetahui dasar model inventori.

2. Dapat mengetahui parameter-parameter yang berpengaruh dalam model

inventori.

3. Dapat mengetahui model EOQ secara detail.

4. Dapat mengetahui cara pengaplikasian langsung model inventori.

F. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Perumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Maanfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan

6

Bab II DIFERENSIAL, FUNGSI KONVEKS DAN TEORI

PROBABILITAS

A. Diferensial

B. Fungsi konveks

C. Teori Probabilitas

BAB III MODEL INVENTORI

A. Parameter-parameter inventori

B. Economic Order Quantity (EOQ) Deterministik

C. Economic Order Quantity (EOQ) Probabilistik

BAB IV APLIKASI MODEL INVENTORI PADA TOKO OPTIK

JOGJA

A. Data data parameter yang dibutuhkan

B. Perhitungan dengan Economic Order Quantity (EOQ)

BAB V KESIMPULAN

A. Kesimpulan

B. Saran

7

Bab II,

Diferensial, Fungsi Konveks dan Teori Probabilitas

2.1 Diferensial

Definisi 2.1.1

Andaikan y=f(x) terdeferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx merupakan

diferensial dari variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan sembarang dari x.

Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy di definisikan oleh

�� = ��(�)�� Berikut merupakan grafik peraga dari diferensial

Gambar 2.1.1 Fungsi � = �(�) Andaikan P(x0,y0) adalah titik tetap pada grafik fungsi � = �(�), seperti terlihat pada gambar 2.1.1. Pandang P sebagai titik asal, dx dan dy merupakan

sumbu-sumbu koordinat baru yang sejajar dengan sumbu koordinat.

Dalam sistem koordinat yang baru, garis singgung di P persamaannya

adalah sebagai berikut �� = ��, dimana adalah kemiringan garis, =��(��). Sehingga persamaan garis singgung ini dapat ditulis menjadi �� =

8

��(��)��. Dari persamaan tersebut dx disebut diferensial dari x dan dy disebut differensial dari y.

Maksimum dan minimum fungsi

Definisi 2.1.2

Andaikan S adalah daerah asal fungsi f, yang memuat titik c. Dikatakan bahwa:

1.�(�)adalah nilai maksimum � pada �, jika �(�) ≥ �(�)untuk semua � di � 2.�(�)adalah nilai minimum � pada �, jika �(�) ≤ �(�)untuk semua � di � 3. �(�) adalah nilai ekstrim f pada S, jika �(�) adalah nilai maksimum atau

minimum

Berikut ini merupakan grafik ilustrasi dari Definisi 2.1.2

Gambar 2.1.3 Gambar 2.1.4


9

Gambar 2.1.3 dan 2.1.4 masing-masing menunjukkan sketsa sebagian

grafik yang mempunyai maksimum di c. Sedangkan gambar 2.1.5 dan 2.1.6

masing-masing menunjukan sebagian grafik yang mempunyai nilai minimum di c.

Untuk menentukan daerah asal S agar fungsi f terdefinisi dan dapat

menghasilkan prasyarat nilai ekstrim dan titik kritis yang digunakan untuk

menentukan kemungkinan nilai-nilai c yang memberikan nilai ekstrim, digunakan

definisi berikut

Definisi 2.1.3

Andaikan S, adalah daerah asal f yang memuat titik c, dikatakan bahwa

1. f(c) adalah nilai maksimum relatif f, jika terdapat interval terbuka (a,b), yang

memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b).

2. f(c) adalah nilai minimum relatif f, jika terdapat interval terbuka (a,b), yang

memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b).

3. f(c) adalah nilai ekstrim relatif f, jika terdapat f(c) sedemikian sehingga f(c)

adalah nilai maksimum relatif atau minimum relatif .

Berikut ini merupakan grafik ilustrasi dari Definisi 2.1.3


10

Gambar 2.1.9

Gambar 2.1.7 memperlihatkan fungsi yang tidak memiliki nilai ekstrim relatif,

walaupun berlaku ��(�) = 0. Sedangkan gambar 2.1.8 dan 2.1.9 masing-masing memperlihatkan grafik fungsi dengan ekstrim maksimum dan ekstrim minimum.

Dari gambar 2.1.8 dan 2.1.9 juga, pada saat �(�) merupakan nilai ekstrim fungsi �(�), maka terlihat bahwa ��(�) = 0 dan disekitar x=c, ��(�) berubah nilainya dari positif ke negatif untuk ekstrim maksimum, serta berubah dari negatif ke

positif untuk ekstrim minimum.

Teorema 2.1.1 Uji turunan pertama ekstrim relatif

Andaikan fungsi f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

1. Jika ��(�) > 0 untuk semua nilai x pada a

11

Teorema 2.1.2 Teorema titik kritis

Andaikan fungsi f didefinisikan pada interval I yang memuat titik c. Jika f(c)

adalah nilai ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu

dari:

1. Titik ujung interval I.

2. Titik stationer dari f, yakni ��(�) = %. 3. Titik singular dari f, yakni ��(�)tidak ada.

Dari teorema 2.1.1 dapat ditarik kesimpulan bahwa persyaratan yang harus

dipenuhi untuk terjadinya nilai ekstrim di c adalah f kontinu dan S adalah

interval tertutup.

2.2 Fungsi Konveks

Definisi 2.2.1

S adalah suatu himpunan, dan S disebut himpunan konveks jika ∀'(,')*� maka semua kombinasi konveks dari �+ dan �, juga berada dalam S. Misalkan fungsi f yang bernilai real tersebut didefinisikan paada himpunan

konveks C di Rn. Fungsi tersebut dikatakan fungsi konveks jika untuk setiap

�+ dan �, di C dan - ≥ 0, . ≥ 0, - + . = 1, maka �(-�+ + .�,) ≤ -�(�+) + .�(�,)

Sedangkan fungsi f disebut konveks tegas bila

�(-�+ + .�,) < -�(�+) + .�(�,) Untuk setiap �+ dan �, di C dengan �+ ≠ �,.

12

Jika akan diinterpretasikan secara geometris, fungsi konveks f adalah

fungsi sedemikian sehingga jika �+ dan �,, sembarang titik di Rn pada grafik f , maka titik-titik segmen garis [�+, �,] yang menghubungkan �+ dan �, terletak pada atau di atas grafik f.

2.3 Teori Probabilitas

A. Peubah Acak Kontinu

Misalkan terdapat sebuah ruang contoh dari pelamparan uang logam

sebanyak tiga kali dapat dituliskan sebagai berikut

� = 2333, 334, 343, 433, 344, 434, 443, 4445 Dengan G menunjukan sisi gambar, dan A menunjukan sisi angka.

Jika dari hasil pelemparan tersebut ditanyakan berapa kali sisi gambar muncul,

maka nilai numerik 0,1,2, atau 3 dapat diberikan.

Dari hasil yang diberikan tersebut, sebenarnya merupakan besaran acak

yang nilainya ditentukan oleh hasil percobaan. Nilai-nilai tersebut dapat

dipandang sebagai nilai-nilai yang dapat diambil oleh suatu peubah acak atau

variabel acak X tertentu yang dalam hal ini menyatakan berapa kali sisi gambar

muncul bla sekeping uang logam dilempar tiga kali.

Berdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa peubah acak

merupakan suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh

setiap unsur dalam contoh. Kemudian, digunakan huruf kapital misalkan X untuk

melambangakan suatu peubah acak, dan huruf kecilnya x untuk menyatakan satu

di antara nilai-nilainya.

13

Pada kenyataannya, banyaknya kemungkinan dari suatu percobaan

mungkin saja tidak terhingga atau tidak tercacah. Misalkan, akan menghitung

jumlah barang yang terjual dalam sebuah toko dalam waktu tertentu. Dengan

mengasumsikan waktu dalam hal ini hari, maka sangatlah jelas bahwa didapat tak

hingga banyaknya kemungkinan barang terjual dalam interval waktu tertentu yang

tidak dapat di dapatkan secara pasti. Oleh karena itu, bila suatu ruang contoh

mengandung takhingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik

pada sebuah garis, maka ruang itu disebut ruang contoh kontinu.

Peubah acak yang didefinisikan dalam ruang contoh kontinu disebut

peubah acak kontinu. Dalam hal ini, peubah acak kontinu digunakan untuk data

yang diukur, misalnya jumlah barang yang dibutuhkan, jarak dan lain sebagainya.

B. Fungsi kepekatan

Fungsi peluang yang digambarkan oleh kurva biasa disebut fungsi

kepekatan. Kebanyakan fungsi kepekatan yang mempunyai penerapan praktis

dalam analisis data statistik bersifat kontinu untuk semua nilai X. Karena luas

daerah akan digunakan untuk menyatakan peluang, dan nilai dari peluang itu

sendiri adalah positif, maka fungsi kepekatan teletak seluruhnya di atas sumbu-x.

Fungsi kepekatan didefinisikan sedemikian sehingga luas di daerah bawah

kurva dan di atas sumbu-x sama dengan satu. Bila suatu fungsi kepekatan

dinyatakan oleh kurva diantara batas x1 dan x2 seperti pada gambar dibawah ini

maka peluang X mengambil nilai antara

diaksir yang terletak antara

Oleh karena itu, fungsi

kontinu X bila luas daerah dibawah kurva dan di atas sumbu

dan bila luas daerah di bawah kurva antara

terletak antara a dan b

C. Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang paling penting dalam

bidang statistika dan banyak dipakai dalam memecahkan persoalan. Berikut

merupakan gambar kurva distribusi normal:

mengambil nilai antara x1 dan x2 sama dengan luas daerah yang

yang terletak antara x1 dan x2 di bawah fungsi kepekatannya.

Oleh karena itu, fungsi f disebut fungsi kepekatan bagi peubah acak

bila luas daerah dibawah kurva dan di atas sumbu-x sama dengan satu,

dan bila luas daerah di bawah kurva antara x1 =a dan x2=b menyatakan peluang

b.

Distribusi Normal



merupakan gambar kurva distribusi normal:

Gambar 2.3.1 distribusi normal

14

sama dengan luas daerah yang

bawah fungsi kepekatannya.

disebut fungsi kepekatan bagi peubah acak

sama dengan satu,

menyatakan peluang X



Dari gambar di atas,

genta disebut peubah acak normal. Persamaan matematik untuk sebaran peluang

peubah acak normal tergantung pada dua parameter

dan simpangan bakunya. Oleh karena itu dapat dilamb

kepekatan bagi x dengan

Dari keterangan di atas, dapat didefinisikan kurva normal, yaitu bila

adalah suatu peubah acak normal dengan nilai tengah

persamaan kurva normalnya adalah:

6(�; 8, 9

Bila nilai-nilai

ditentukan dengan pasti.

Luas daerah dibawah kurva Normal

Kurva dengan sembarang sebaran peluang kontinu atau merupakan fungsi

kepekatan yang dibuat sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva itu

dibatasi oleh � � �+ nilai antara � � �+ dan dengan :��+ $ 8 $ �

Dari gambar di atas, suatu peubah acak kontinu x yang memiliki sebaran


peubah acak normal tergantung pada dua parameter 8 dan 9, yaitu nilai tengah dan simpangan bakunya. Oleh karena itu dapat dilambangkan nilai

dengan ;��; 8, 9�. Dari keterangan di atas, dapat didefinisikan kurva normal, yaitu bila

adalah suatu peubah acak normal dengan nilai tengah 8 dan ragam persamaan kurva normalnya adalah:

9� � 19√2= >?+,@'?AB C) , D6EDF G ∞ $ � $nilai 8 dan 9 diketahui, maka kurva normal itu telah dapat

ditentukan dengan pasti.

Luas daerah dibawah kurva Normal



dan � � �, sama dengan peluang peubah acak dan � � �,. Berikut merupakan ilustrasi grafik kurva normal �, � yang dinyatakan oleh luas daerah yang diaksir

15

yang memiliki sebaran


, yaitu nilai tengah

angkan nilai-nilai fungsi

Dari keterangan di atas, dapat didefinisikan kurva normal, yaitu bila x

dan ragam 9,, maka $ ∞

diketahui, maka kurva normal itu telah dapat



sama dengan peluang peubah acak x mengambil

ut merupakan ilustrasi grafik kurva normal

yang dinyatakan oleh luas daerah yang diaksir

Kemudian untuk mengetahui nilai dari daerah yang diaksir tersebut, dapat

ditransformasikan sembarang peubah acak

normal z dengan nilai tengah nol dan ragam satu. Dimana

Nilai tengah z adalah nol, karena:

Sedangkan ragamnya adalah

Bila x berada diantara

diantara nilai-nilai:

IContoh 2.3.1:

Untuk sebaran normal dengan

peubah acak x bernilai lebih besar dari 362.

Jawab:

Sebaran peluang

diberikan dalam gambar berikut


ditransformasikan sembarang peubah acak x menjadi satu nilai peubah acak

dengan nilai tengah nol dan ragam satu. Dimana

I � � G 89 adalah nol, karena:

J�I� � 19 J�� G 9� � 19 J�9 G 9� � 0 Sedangkan ragamnya adalah

9K, � 9�'?A� BL, � 19, 9', � 9,9, � 1 berada diantara � � �+ dan � � �,. Maka peubah acak z berada

I+ � �+ G 89 �M6 I, � �, G 89 Untuk sebaran normal dengan 8 � 300 dan 9 � 50 hitunglah peluang

bernilai lebih besar dari 362.

Sebaran peluang normal yang menunjukan luas daerah yang diinginkan

diberikan dalam gambar berikut

16


menjadi satu nilai peubah acak

. Maka peubah acak z berada

hitunglah peluang

normal yang menunjukan luas daerah yang diinginkan

17

Untuk menghitung :�� > 362), harus dihitung luas daerah aksiran disebelah kanan nilai � = 362. Ini dapat dilakukan dengan mentransformasikan � = 362 menjadi nilai z sehingga didapatkan luas daerah di sebelah kiri z dari tabel

normal, dan kemudian mengurangkan daerah tersebut dengan satu. Sehingga

diperoleh

I = �, − 89 = 362 − 30050 = 1.24 Dengan demikian

:(� > 362) = :(I > 1.24) = 1 − :(I > 1.24)

= 1 − 0.8925 = 0.1075

18

BAB III

MODEL INVENTORI

Model inventori merupakan suatu strategi bidang perekonomian yang

menggunakan model matematika untuk menentukan banyak persediaan barang

yang disimpan dan yang harus disediakan oleh perodusen itu sendiri. Hal ini

diperlukan agar produsen barang dapat menyuplai barang dengan baik kepada

konsumen tanpa harus kehabisan barang sehingga kebutuhan pasar dapat dipenuhi

dan keuntungan dapat diperoleh.

Model inventori dapat dibedakan menjadi dua, yakni model inventori

deterministik dan inventori probabilistik. Model inventori deterministik ditandai

oleh karakteristik tingkat permintaan dan periode kedatangan pesanan dapat

diketahui sebelumnya secara pasti. Apabila salah satu ataupun kedua parameter

tersebut tidak dapat diketahui secara pasti sebelumnya, harus didekati dengan

distribusi probabilitas, maka hal tersebut memberikan suatu model inventori

probabilistik.

3.1. Parameter-Parameter persediaan

Seperti yang telah diketahui, pada umumnya produsen memproduksi barang

serta menjualnya kembali kepada konsumen. Hal ini tentunya memerlukan proses

yang panjang. Berdasarkan proses tersebut, terdapat dua karakteristik utama

parameter-parameter masalah inventori, yaitu tingkat permintaan dan periode

kedatangan pesanan.

19

Tingkat permintaan dan periode kedatangan sangat berpengaruh dalam

penentuan jumlah barang produksi maupun yang disimpan dan pendapatan

produsen. Hal itu dikarenakan di dalam tingkat permintaan dan periode

kedatangan terdapat beberapa parameter yang sangat bepengaruh. Para meter-

parameter tersebut diantaranya adalah:

a. Biaya Pesan (Ordering cost)

Biaya pesan merupakan biaya yang muncul saat terjadi proses pemesanan

barang. Biaya-biaya pembuatan surat, telepon, fax, dan beberapa lainnya yang

muncul karena proses pemesanan barang merupakan contoh biaya pesan.

Biaya pesan akan dilambangkan dengan BP. Biaya ini dapat diperoleh

dengan:

UVM�M W>XM6 = YZ[\]^]_à b`c`d e`^] f[ghib[(j)k(li^`c \h`m` f[g h^[d màn bhZ[c]`gZà(o)) p]dc`_ \`gàn e[^h`fZ`ch bhf[eà(q)

atau dapat ditulis sebagai bentuk

U: = rs � (3.1.1) Dari bentuk di atas, diasumsikan bahwa jika semakin banyak pesanan, maka

biaya yang dikeluarkan semakin kecil. Berikut ini merupakan ilustrasi dengan

kurva biaya pesan.

20

BP

q

Gambar 3.1.1. kurva biaya pesan

b. Biaya Simpan (Carrying cost)

Biaya simpan muncul jika terdapat proses penyimpanan suatu barang.

Beberapa contoh biaya simpan diantaranya adalah sewa gudang, keamanan,

asuransi, dan biaya-biaya lain yang muncul karena proses penyimpanan.

Sedangkan biaya-biaya lain yang tetap ada meski persediaan tidak ada bukanlah

termasuk kategori biaya penyimpanan.

Biaya simpan per periode dilambangkan dengan BS, yang dapat diperoleh

dengan

UVM�M XVWM6:>tV%�> = uUVM�M XVWM6�VFvDX w u �VFvDXW>tV%�>w Dalam model ini, pada umumnya akan melakukan pemesanan secara bertahap

dan kontinu atau dengan kata lain pemesanan dilakukan dalam beberapa kali

pemesanan dan dalam waktu tertentu, hal ini yang disebut suatu siklus. Jika

21

diasumsikan rata-rata inventori dalam suatu siklus adalah q, unit dan panjang

siklus qj, maka

uUVM�M XVWM6W>tV%�> w = (tMEM − tMEM W>XM6M6 1 XVFvDX)(WM6xM6y XVFvDX)(biaya simpan per barang) = s2 @srC ℎ = s

,ℎ2r

Sehingga

UVM�M XVWM6MFED = s,ℎ2r urs w = ℎs2

Atau dapat ditulis sebagai fungsi

U� = s2 ℎ (3.1.2) Apabila semakin banyak barang yang dipesan, maka biaya penyimpanan

semakin tinggi. Berikut ini merupakan bentuk kurva biaya pesan. Diasumsikan

kurva berbentuk linear terhadap q

BS

q

Gambar 3.1.2. kurva biaya simpan

22

c. Biaya Pembelian (Purchase cost)

Biaya pembelian muncul pada saat dilakukan pembelian suatu barang. Biaya

Pembelian dilambangkan dengan BP yang dapat dinyatakan sebagai berikut

UVM�M W>>vVM6 = ℎMtyM W>>vVM6(W) × >DEDℎM6 �MvM 1 W>tV%�>(r)

Atau dapat ditulis sebagai fungsi

U: = W × r (3.1.3)

d. Biaya Kehabisan Persediaan (Stockout cost)

Biaya kehabisan persediaan muncul pada saat persediaan barang habis

ataupun tidak tersedia lagi sehingga peluang untuk mendapatkan keuntungan tidak

tercapai. Hal ini dapat diakibatkan karena mesin rusak, karyawan tidak bekerja,

terlambatnya pengiriman barang dan lainnya.

Biaya kehabisan persedian dalam suatu siklus dapat dinyatakan sebagai

berikut. UVM�M >ℎMVXM6 W>tX>�VMM6:>tV%�> = u UVM�M >ℎMVXM6 W>tX>�VMM6�VFvDX w u �VFvDX:>tV%�>w Misalkan jumlah unit yang tidak tersedia se, maka rata-rata kekurangan

barang dalam interval waktu ∆E adalah q?q, , dengan panjang interval ∆E adalah q?qj . Dari hal tersebut dapat dituliskan, UVM�M >ℎMVXM6 W>tX>�VMM6XVFvDX = (tMEM − tMEM F>FDtM6yM6 MtM6y ) �(WM6xM6y V6E>tMv)�(biaya simpan per barang)

23

= s − sX2 us − sXr w ℎ = Ys − sXk2ℎ2r

Jika terdapat jq siklus per tahun maka,

UVM�M >ℎMVXM6 W>tX>�VMM6EMℎD6 = Ys − sXk2ℎ2r rs = Ys − sXk

2ℎ2s

U: = (s − se),ℎ2s (3.1.4) 3.2 Model Economic Order Quantity (EOQ) deterministik satu barang

Model Economic Order Quantity (EOQ) deterministik merupakan model

inventori yang dalam perhitungannya memperhitungkan dua macam biaya

persediaan paling dasar, yaitu biaya pesan dan biaya simpan. Selain itu juga,

model EOQ deterministik bergantung pada tarif dasar harga barang dan tenggang

waktu pemesanan barang.

Untuk memperoleh suatu model awal yang baik, tentunya dibutuhkan

beberapa asumsi dan syarat awal. Berikut ini merupakan asumsi-asumsi yang

dibutuhkan dalam model EOQ deterministik yang harus dicapai.

1. Permintaan saat memesan barang dan tarif dasar harga barang tetap atau

tidak berubah dalam jangka waktu tertentu.

2. Jeda pemesanan antara periode yang satu dan yang lainnya bernilai nol

atau dapat dikatakan tidak boleh terjadi jeda antara waktu pemesanan

periode satu dan berikutnya sehingga pemesanan bersifat kontinu.

3. Persediaan akan dipesan sebesar q unit dan datang secara serentak.

24

Misalkan �s� adalah total biaya tahunan yang dikeluarkan jika dipesan q unit barang dengan jeda periode sama dengan nol dan dinotasikan sebagai berikut

�s� � UVM�M W>XM6 + UVM�M W>>vVM6 + UVM�M XVWM6 Kemudian rumusan tersebut dikombinasikan dengan parameter-parameter

yang telah dibahas sebelumnya sehingga menghasilkan (s) = jq � + :r + q, ℎ

Untuk meminimumkan total biaya tahunan (TC(q)), maka ditentukan

�(s) = 0, sehingga menghasilkan �(s) = − r�s, + ℎ2 = 0

atau

r�s, = ℎ2 s, = 2r�ℎ

Sehingga diperoleh,

s+ = ,jo_ atau s, = −,jo_

Persamaan q2 tidak memberikan arti apa-apa karena tidak ada jumlah

barang yang bernilai negatif. Sehingga didapatkan sebuah persamaan dalam q

yang digunakan dalam mencari jumlah q yang maksimum, yakni

25

sd`Ze = 2r�ℎ (3.2.1) Untuk mendapatkan gambar kurva EOQ deterministik, persamaan �(s)

diturunkan sekali lagi dan diperoleh.

�′(s) = 2 joq ≥ 0 untuk semua s > 0 sehingga �(s) merupakan fungsi cekung. Berikut ini merupakan gambar

dari fungsi (s)

biaya Tc(q)

h(q/2)

Sd/q

0 q jumlah barang

Gambar 3.2.1 kurva biaya TC(q)

Seperti yang disebutkan di atas, model dasar EOQ deterministik lebih

memperhitungkan dua macam biaya yang utama, yaitu biaya pesan dan biaya

simpan. Oleh karena itu biaya total persediaan (BTP) dapat ditulis sebagai berikut.

Biaya Total persediaan=Biaya Pesan+ Biaya Simpan

atau dapat ditulis dengan,

26

BTP=BP+BS

dan dinotasikan sebagai berikut:

U: = rs � + s2 ℎ (3.2.2) Dengan nilai q yang maksimum, dapat dicari biaya total persediaan, yaitu

dengan memasukan nilai q yang didapatkan pada persamaan awal BTP sehingga

U: = rs � + s2 ℎ

= 2r� + s2ℎ2s

= 2r� + 2r�ℎ

, ℎ22r�ℎ

= 2r� + 2r�22r�ℎ

= 2r�2r�ℎ

perhatikan bahwa

27

U:, � 4r,�,2r�ℎ = 4r,�,ℎ2r�

= 2r�ℎ sehingga

U:dha = √2r�ℎ (3.2.3) 3.2.1 Siklus Pesan Ulang (Reorder Cycle)

Salah satu hal yang juga penting dalam model inventori adalah mengetahui

siklus pemesanan ulang barang. Model EOQ yang secara matematis dinyatakan

pada persamaan (3.2.1) merupakan gabungan antara model sistem periodik dan sistem pemesana tetap. Model sistem periodik merupakan model inventori dimana

pembelian dilakukan secara periodik. Interval waktu yang digunakan dalam

pembelian selalu sama, misalkan dalam satu minggu, satu bulan, dan seterusnya.

Sebagai konsekuensinya pembelian persediaan selalu menyesuaikan dengan

kebutuhan, sehingga jumlah persediaan yang dibeli belum tentu sama pada setiap

periode pembelian. Berikut ini merupakan kurva model sistem periodik

persediaan

|| || || waktu

Gambar 3.2.2 kurva sistem periodik

28

Sedangkan model sistem pemesanan tetap adalah model inventori dimana

pembelian dilakukan dengan jumlah yang tetap sehingga menjelaskan bagaimana

penambahan persediaan yang selalu sama dalam interval waktu kedatangan yang

berbeda. Berikut merupakan kurva model sistem pemesanan tetap

Persediaan

q

waktu

Gambar 3.2.3 Kurva sistem pemesanan tetap

Dari model di atas, diketahui bahwa kebutuhan dalam periode perencanaan

adalah D dan penambahan persediaan adalah q. Sehingga, siklus pemesanan ulang

dapat ditulis dengan

�VFvDX W>XM6 DvM6y = >DEDℎM6 �MvM W>tV%�> W>t>6�M6MM6DvMℎ MtM6y �M6y �VW>XM6 X>EVMW W>>XM6M6 Atau dinotasikan sebagai

: = rs (3.2.1.1) Selanjutnya, untuk menentukan periode waktu pemesanan ulang didapatkan

dari membagi periode waktu perencanaan (W) misalkan 12 bulan, 56 minggu, atau

356 hari dengan siklus pesan ulang (P) atau dapat ditulis:

29

:>tV%�> MFED W>>XM6M6 DvM6y = W>tV%�> MFED W>t>6�M6MM6XVFvDX W>XM6 DvM6y atau dinotasikan sebagai

= : (3.2.1.2) Dari persamaan (3.2.1.1) dan (3.2.1.2) didapatkan bahwa satuan periode

waktu yang digunakan dalam setiap siklus pesan ulang Y, sangat bergantung pada

periode waktu perencanaan W.

Berikut ini merupakan penjelasan siklus pesan ulang dalam bentuk kurva

persediaan

q

| || | || | || | waktu

t1 t2 t3 t4

Gambar 3.2.4 Kurva siklus pesan ulang

Dari gambar 3.2.4 di atas, persedian barang datang serentak sebesar q di ti,

untuk i=1,2,3,...,n. Selanjutnya, persediaan itu digunakan selama (ti ,ti+i ) Ketika

persediaan habis di ti+1, maka barang datang serentak sebesar q. Siklus ini seperti

yang telah dijelaskan di atas berulang sebanyak jq dengan penambahan barang

selalu sama sebesar q dan juga dengan siklus pesan ulang ti-ti+1, untuk i=1,2,...,n.

3.2.2 Hubungan Parameter D dan q

Setelah mengetahui siklus pemesanan ulang, berikut ini merupakan hubungan

antara parameter D atau kebutuhan selama periode perencanaan yang diberikan

dalam persamaan (3.1.1) yang akan dipenuhi oleh

pesanan ulang atau P

persamaan :. � sebagai berikut:

Gambar 3.

3.2.3 Tingkat Pemakaian Persediaan

Tingkat pemakaian

penggunaan persediaan dalam suatu siklus pemesanan. Persediaan

digunakan secara bertahap selama periode

kurva tingkat persediaan.

dalam persamaan (3.1.1) yang akan dipenuhi oleh q dalam beberapa kali siklus

P. Dari persamaan �3.2.1.1� dan �3.2.1.2� . Persamaan tersebut dapat dibuat dalam bentuk kurva

Gambar 3.2.5 Kurva kebutuhan periode perencanan

Tingkat Pemakaian Persediaan

Tingkat pemakaian persediaan memberi gambaran mengenai kecepatan

penggunaan persediaan dalam suatu siklus pemesanan. Persediaan

digunakan secara bertahap selama periode Y sampai habis. Berikut ini merupakan

kurva tingkat persediaan.

q

30

dalam beberapa kali siklus

diperoleh suatu

. Persamaan tersebut dapat dibuat dalam bentuk kurva

Kurva kebutuhan periode perencanan

persediaan memberi gambaran mengenai kecepatan

penggunaan persediaan dalam suatu siklus pemesanan. Persediaan q kemudian

Berikut ini merupakan

Gambar 3.

Tingkat pemakaian satu periode perencanaan dapat diperoleh dengan

V6yFME W>MFMVM6 XMED

sedangkan tingkat pemakaian satu siklus pesanan ulang dapat diperoleh

dengan

V6yFME W>MFMVM6

Kemudian dari persamaan

Gambar 3.2.6 Kurva tingkat pemakaian persediaan


XMED W>tV%�> W>t>6�M6MM6 � [\]^]_à b`c`d f[ghib[ `Z^] f[g[aà`à

� r sedangkan tingkat pemakaian satu siklus pesanan ulang dapat diperoleh

W>MFMVM6 XMED XVFvDX W>XM6 DvM6y � >DED~M6 �MvMW>tV%�> MFED � s

Kemudian dari persamaan �3.2.1.1� dan �3.2.1.2�maka, r � :. s:.

31

gkat pemakaian persediaan


e`^] f[ghib[f[g[aà`à

�3.2.3.1� sedangkan tingkat pemakaian satu siklus pesanan ulang dapat diperoleh

�MvM XMED W>tV%�>MFED W>t>6�M6MM6 �3.2.3.2�

32

Atau,

r � s dengan kata lain

∆r∆ = ∆s∆ (3.2.3.3)

Jadi, tingkat pemakaian dalam satu periode perencanaa adalah sama dengan

tingkat pemakaian dalam suatu siklus pesanan ulang.

3.2.4 Saat Memesan Ulang

Hal yang dibutuhkan juga dalam model EOQ adalah mengetahui kapan

harus memesan ulang barang agar nantinya datang tepat waktu dengan jumlah yang

sesuai dengan yang diinginkan. Selain itu juga, dalam saat memesan ulang

diasumsikan waktu antara pesan dibuat dan pesanan datang atau yang disebut lead

time telah diketahui sebelumnya secara pasti.

Sesuai dengan penjelasan tentang siklus pemesanan, bahwa penambahan

sebesar q yang datang pada t1 akan habis dipakai pada t2. Pada waktu t2 tersebut,

penambahan barang akan datang serentak. Hal ini mengakibatkan terjadi dua

kejadian sekaligus yaitu persediaan sebelumnya q habis dan penambahan q tepat

datang secara serentak pada t2.

Jika L adalah lead time, dan Y adalah Panjang waktu dalam satu siklus pesan

ulang, maka pesanan ulang harus dilakukan saat t1 atau t0+Y-L atau t2-L. Oleh

karena itu, Persediaan sebesar R, merupakan persediaan yang harus tersedia selama

lead time. Jadi, jika ada persedian sebesar

agar penambahan sebesar

indikator persediaan yang menandai saat pesan ulang harus dibuat. Maka,

menandai saat pesan ulang dilakukan.

Berikut ini merupakan gambar kurva saat melakukan pemesanan ulang

Karena telah diasumsikan bahwa tingkat pemakaian selama

diketahui secara pasti sebelumnya dan tidak berubah, yaitu sesuai dengan

persamaan (3.2.3.2), maka hal ini berakibat

Atau,

dengan kata lain

. Jadi, jika ada persedian sebesar R pada saat t1 maka pesanan ulang dibuat

agar penambahan sebesar q datang serentak di t2. Hal ini berakibat

indikator persediaan yang menandai saat pesan ulang harus dibuat. Maka,

menandai saat pesan ulang dilakukan.


Gambar 3.2.7 Kurva pemesanan ulang

Karena telah diasumsikan bahwa tingkat pemakaian selama


), maka hal ini berakibat

= :. s:. � s

dengan kata lain

∆∆ � ∆s∆

33

maka pesanan ulang dibuat

. Hal ini berakibat R merupakan

indikator persediaan yang menandai saat pesan ulang harus dibuat. Maka, t1=t2-L


Karena telah diasumsikan bahwa tingkat pemakaian selama lead time dapat


(3.2.4.1�

34

Dari persamaan (3.2.3.2) dapat menjamin agar prediksi persediaan habis dan

pesanan datang tepat pada waktunya.

3.2.5 Model Economic Order Quantity (EOQ) Deterministik Banyak Barang

Pada model EOQ ini, sebenarnya memiliki perinsip yang sama dengan

model satu barang. Hanya saja, dalam model banyak barang ini, barang-barang

yang dihitung lebih dari satu, tetapi asumsi-asumsi yang digunakan masih sama.

Pertama-tama dalam model ini haruslah ditentukan terlebih dahulu periode

dalam pesan ulang. Karena dalam model ini mencakup banyak barang, nantinya

akan digunakan indeks i sebagai keterangan barang ke i. Dalam kasus ini rh dan sh berbeda untuk setiap barang, sehingga periode pesan ulang yang pada model ini dilambangkan dengan Pi dan dirumuskan :h � jq , hal ini berakibat :h akan berbeda untuk setiap barang.

Berdasarkan asumsi bahwa pemesanan ulang untuk beberapa atau seluruh

barang memiliki periode yang sama, maka Pi=P. Oleh karena itu, dari persamaan

�3.2.2) harus diubah agar terdapat P terlebih dahulu sehingga dapat diketahui periode pesan ulang untuk EOQ multi item. Dari persamaan (3.2.2)

U: = rs � + s2 ℎ

Karena : = jq atau s = j maka,

U: = :� + rℎ2: (3.2.5.1)

35

Karena ini merupakan kasus banyak barang, maka persamaan �3.2.5.1)diubah menjadi,

U: = :. �h +a

h+ rh . ℎh2:

ah+

dimana i=1.....n,

Atau,

U: = : �h +a

h+12: rh. ℎh

ah+

(3.2.5.2)

Diketahui syarat BTP minimum untuk P adalah b(l)b = 0. Maka,

�(U:)�: = �ha

h+− 12 :?, rh . ℎh

ah+

�ha

h+− 12 :?, rh . ℎh

ah+

= 0

�ha

h+= 12 :?, rh. ℎh

ah+

�ha

h+= 12:, rh . ℎh

ah+

:, = ∑ rh . ℎhah+2 ∑ �hah+

: = ∑ rh . ℎhah+2 ∑ �hah+ (3.2.5.3)

36

P pada (3.2.5.3) merupakan P optimal yang sama untuk setiap item i. Hal

tersebut dapat memungkinkan pemasok mengirimkan beberapa item berbeda pada

saat yang sama sehingga mendapatkan BTP persamaan (3.2.5.2) minimum juga.

3.2.6 Model Economic Order Quantity (EOQ) dengan Potongan Pembelian

(Quantity Discount)

Dalam dunia usaha salah satu hal yang dapat terjadi adalah potongan harga

dalam pembelian. Hal tersebut tentunya dapat terjadi jika pembelian dalam jumlah

yang banyak sesuai kesepakatan produsen.

Pada model awal diasumsikan bahwa harga pembelian atau q tetap. Hal ini

tentunya menimbulkan kerancuan, karena pada model ini harga menurun jika

jumlah pembelian bertambah banyak. Hal ini jelas membuat model awal EOQ

tidak valid lagi, karena asumsi harga pembelian tidak terpenuhi. Oleh karena itu,

pada model EOQ potongan pembelian, biaya pembelian diganti dengan biaya

yang telah dikurangi harga potongan �~W�. Model BTP EOQ potongan pembelian dapat dirumuskan sebagai berikut,

BTP=Biaya Pesan + Biaya Simpan +Biaya Potongan Pembelian

Dengan,

UVM�M W%E%6yM6 W>>vVM6 = ℎMtyM W%E%6yM6(ℎf) × >DEDℎM6 �MvM 1 W>tV%�>(r) Atau dapat ditulis sebagai fungsi

U:: = ℎf × r (3.2.6.1) Sehingga,

U: = rs � + s2 ℎ + ℎfr (3.2.6.2)

Misalkan terdapat dua harga pembelian

(3.2.6.2) dapat diubah menjadi:

U:Dengan sc adalah batas banyak barang yang di beli untuk mendapatkan

diskon. Berikut ini merupakan kurva perbandingan kedua

Gambar 3

Dari gambar 3.2

maksimum dengan biaya minimum

,jo_ . Kemudian, ada kemungkinan letak nilai atau yang dimaksud zona I,

Nilai dari sc�> s

Misalkan terdapat dua harga pembelian ~f+ dan ~f, maka persamaan.2) dapat diubah menjadi:

U: � U:+ � rs � / s2 ~ / ~f+r , s ! sc U:, � rs � / s2 ~ / ~f,r , s > sc adalah batas banyak barang yang di beli untuk mendapatkan

diskon. Berikut ini merupakan kurva perbandingan kedua BTP:

Gambar 3.2.8 Kurva tingkat pemakaian persediaan

2.8 dapat terlihat bahwa, fungsi U:+ dan U:dengan biaya minimum pada titik tengah kedua kurva

. Kemudian, ada kemungkinan letak nilai q maksimum yaitu antara

atau yang dimaksud zona I, �sd, sc� atau zona II, dan , �sd, ∞� atau zona III.sd� dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut:

U:,�sc� � U:+�sd�

BTP1

BTP

qm

37

maka persamaan

adalah batas banyak barang yang di beli untuk mendapatkan

persediaan

U:, mencapai q kedua kurva dengan sd �

maksimum yaitu antara �0, sd� � atau zona III.

dengan persamaan sebagai berikut:

BTP2

38

rs � / s2 ℎ + ℎf,r = U:+(sd) s, + 2Yℎf,r − U:+(sd)kℎ s + 2r�ℎ (3.2.6.3)

Sehingga dari gambar 3.2.8 juga dapat ditentukan q* yaitu:

s∗ = sd jika s terletak pada zona I atau IIIsc jika s terletak pada zona II Dimana q* merupakan jumlah barang maksimum yang akan dipesan

berdasarkan penentuan di ataas. Dari penentuan s∗ kemudian dapat disubtitusikan ke dalam persamaan (3.2.6.3) untuk mendapatkan BTPmin

3.2.7 Model Economic Order Quantity (EOQ) Back Order

Pada model EOQ dasar, diasumsikan bahwa pesanan akan datang tepat

pada saat persediaan habis sehingga masalah kehabisan persediaan tidak penah

terjadi. Pada model EOQ back order, kemungkinan terjadinya kehabisan

persediaan ada dan telah dapat diprediksi sebelumnya. Oleh karena itu, dalam

model ini biaya kehabisan persediaan juga diperhitungkan dalam mencari

peminimuman biaya total persediaan.

Berikut ini merupakan ilustrasi gambar perbedaan antara model EOQ

dasar dan back order

Gambar 3.

Dari gambar peraga, jelas terlihat kehabisan persediaan dapat terjadi. Hal

tersebut digambarkan dengan daerah yang diaksir hitam. Berikut ini merupakan

gambar ilustrasi EOQ

q

Gambar 3.2.9 Kurva perbandingan EOQ dasar dan back order



gambar ilustrasi EOQ back order.

Gambar 3.2.10 Kurva back order

q

39

back order



40

Dari ilustrasi tersebut, biaya total persediaan EOQ back order dapat

dituliskan sebagai berikut

BTP=Biaya Pesan +Biaya Kehabisan Persediaan+ Biaya Simpan ketika

barang habis

Dalam rumusan BTP EOQ back order, rumus biaya pesan dan biaya

kehabisan persediaan sama dengan yang telah diberikan sebelumnya yaitu

persamaan (3.1.1) dan (3.1.4), sedangkan biaya simpan dihitung ketika barang

habis. Berikut ini merupakan rumusan biaya simpan ketika barang habis. Biaya

simpan ketika barang habis dapat diperoleh dengan

UVM�M XVWM6 F>EVFM MtM6y ℎMVXMFED = uUVM�M XVWM6 F>EVFM MtM6y ℎMVX�VFvDX w u�VFvDXMFEDw

Jika diasumsikan rata-rata kehabisan barang dalam suatu siklus adalah q,

unit, panjang siklus qj , dan ℎe adalah biaya kehabisan persediaan , maka

uUVM�M XVWM6 F>EVFM MtM6y ℎMVX�VFvDX w = (tMEM − tMEM F>ℎMVXM6 MtM6y 1 XVFvDX) (WM6xM6y XVFvDX)(biaya simpan per barang)

= se2 @ser C ℎe = se

,ℎe2r

Sehingga

41

UVM�M XVWM6 F>EVFM MtM6y ℎMVXMFED = se,ℎe2r urs w = ℎese,2s (3.2.7.1) Misalkan (s, se) adalah total biaya tahunan yang dikeluarkan jika barang

habis.

(s, se) =Biaya Pesan +Biaya Kehabisan Persediaan+Biaya Simpan ketika barang habis (s, se) = rs � + (s − se)

,ℎ2s + ℎese,

2s = rs � + s

, − 2s. se + se,2s ℎ + ℎese,

2s

= rs � + (s − se)2s ℎ + se,(ℎ + ℎe)2s

Untuk meminimumkan total biaya tahunanTC(q, se), maka ditentukan £l£q = £l£q = 0. sehingga diperoleh,

¤�¤s = 0 − r�s, + ℎ2 − se

,(ℎ + ℎe)2s = 0 ℎ2 = r�s, + se

,(ℎ + ℎe)2s ℎ2 = 2r� + se

,(ℎ + ℎe)2s, s, = 2r� + se,(ℎ + ℎe)ℎ

42

s = 2r� + se,(ℎ + ℎe)ℎ (3.2.7.2) ¤�¤se = 0

−ℎ + se(ℎ + ℎe)s = 0 ℎ = se(ℎ + ℎe)s

se = ℎs(ℎ + ℎe) (3.2.7.3)

Dari persamaan (3.2.7.2) dan (3.2.7.3) diperoleh,

s, = 2r� uℎs(ℎ + ℎe)w

, (ℎ + ℎe)ℎ

s, = 2r� +ℎ,s,(ℎ + ℎe)ℎ

2r� = ℎs, − ℎ,s,(ℎ + ℎe)

s, = 2r�(ℎ + ℎe)ℎ[(ℎ + ℎe) − ℎ¥

s, = 2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe

s = 2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe (3.2.7.4)

43

Kemudian persamaan (3.2.7.4) disubtitusikan ke dalam persamaan (3.2.7.3)

sehingga,

se � ~�~ / ~e� 2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe se = 2r�(ℎ + ℎe),ℎℎe(ℎ + ℎe),

se = 2r�ℎℎe(ℎ + ℎe) (3.2.7.5)

Sesuai dengan gambar peraga, qmaks diperoleh dari q dikurangi se. Sehingga qmaks= q-se

sd`Ze = 2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe − 2r�ℎℎe(ℎ + ℎe)

Atau dapat disederhanakan menjadi

sd`Ze = 2r�ℎ ℎe(ℎ + ℎe) (3.2.7.6)

Dari persamaan (3.2.7.4) dan (3.2.7.5) diperoleh,

(s, se) = U: = rs � + (s − sX)2s ℎ + sX2(ℎ + ℎX)2s

44

� r�2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe +ℎ2 2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe − ℎ 2r�ℎℎe(ℎ + ℎe) + ses se(ℎ + ℎe)2

= r� ℎℎe2r�(ℎ + ℎe) + ℎ2 2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe − 2r�ℎ¦

ℎe(ℎ + ℎe)+ ℎ(ℎ + ℎe) se(ℎ + ℎe)2

= ℎℎer,�,2r�(ℎ + ℎe) + 2r�(ℎ + ℎe)ℎ,

ℎℎe2, − 2r�ℎ¦

ℎe(ℎ + ℎe) + ℎse2

= ℎℎer,�,2r�(ℎ + ℎe) + 2r�(ℎ + ℎe)ℎ,

ℎℎe2, − 2r�ℎ¦

ℎe(ℎ + ℎe) + ℎ2 2r�ℎℎe(ℎ + ℎe)

= ℎe r�ℎ2ℎe(ℎ + ℎe) + (ℎ + ℎe) r�ℎ2ℎe(ℎ + ℎe) − 2ℎ r�ℎ2ℎe(ℎ + ℎe) + ℎ r�ℎ2ℎe(ℎ + ℎe)

= ℎe √r�ℎ§2ℎe(ℎ + ℎe) + (ℎ + ℎe)√r�ℎ§2ℎe(ℎ + ℎe) − 2ℎ

√r�ℎ§2ℎe(ℎ + ℎe) + ℎ√r�ℎ§2ℎe(ℎ + ℎe)

= √r�ℎ[ℎe + (ℎ + ℎe) + 2ℎ + ℎ¥§2ℎe(ℎ + ℎe)

= √r�ℎ[2ℎe¥§2ℎe(ℎ + ℎe)

45

U:dha = 4r�ℎℎe,

§2ℎe(ℎ + ℎe) Jadi, BTP minimum untuk EOQ back order adalah,

U:dha = §2r�ℎℎe§(ℎ + ℎe) Atau,

U: J±² UM�F ±t�>t = √r�ℎ ℎe(ℎ + ℎe) (3.2.7.7)

Contoh soal 3.2.8 model deterministik satu barang

Sebuah supermarket Alma ingin memesan sepeda untuk persediaannya

yang akan dijual dalam waktu 1 tahun ke depan. Supermarket tersebut ingin

mengetahui tingkat pemesanan barang, penentuan siklus pesan ulang, panjang

waktu siklus pesanan ulang, tingkat penjualan per hari dan perhitungan biaya total

persediaan yang dikeluarkannya bila diketahui data sebelumnya kebutuhan dalam

satu periode sejumlah 600 buah per tahun dengan 240 hari kerja efektif, kemudian

total biaya pesan per barang yang dikeluarkan sebesar Rp.250,- untuk tiap kali

pemesanan dengan jeda waktu pemesanan atau lead time 10 hari dan biaya simpan

Rp.30,- per barang per tahun.

46

Dari permasalahan di atas akan ditentukan:

1. Tingkat pemesanan barang.

2. Penentuan siklus pesan ulang.

3. Panjang waktu siklus pesanan ulang.

4. Tingkat penjualan per hari.

5. Biaya total persediaan yang dikeluarkan

Penyelesaian:

Diketahui:

D :600 buah/tahun, untuk 240 hari kerja efektif

S :Rp.250,00 untuk setiap kali pesan

h :Rp.30,00 per unit per tahun

L :10 hari

Jawab:

1. Penentuan tingkat penambahan persediaan yang ekonomis. Dari persamaan (3.2.1),

sd`Ze = 2r�ℎ

sd`Ze = 2�600�250�30 sd`Ze = 100

Jadi, tingkat penambahan persediaan yang ekonomis adalah 100 unit.

47

2. Penentuan siklus pesanan ulang. Dari persamaan (3.2.1.1),

: = rs

: = 600100 : = 6FMvV Jadi, dalam satu tahun periode perencanaan akan terjadi 6 kali pesanan. 3. Penentuan panjang waktu dalam satu siklus pesanan ulang.

Karena diketahui kebutuhan 600 unit sepeda direncanakan untuk satu tahun, maka estimasi biaya simpan juga dihitung dengan asumsi hari kerja efektif dalam satu tahun adalah 240 hari.

Dari persamaan (3.2.1.2) = : = 2406 = 40 hari. Jadi, panjang waktu setiap siklus pesanan ulang adalah 40 hari.

4. Perhitungan tingkat penjualan per hari untuk menentukan saat pesan ulang.

Dari persamaan (3.2.3.3),

∆r∆ � ∆s∆ Karena s = 100 dan unit per hari. Diketahui juga bahwaselama lead time adalah ulang adalah pada saat persediaan tinggal 25 unit atau pada hari keatau hari ke-30 setelah pesanan datang.Berikut ini merupakan kurva siklus pemesanan ulang

5. Penghitungan biaya total persediaan,

Dari persamaan U:dha U:dha U:dha

Atau U:dha

dan � 40 maka tingkat penjualan per hari adalah unit per hari. Diketahui juga bahwalead time adalah 10 hari. Maka penjualan

adalah 10 x 2,5�25 unit. Oleh karena itu saat memesan ulang adalah pada saat persediaan tinggal 25 unit atau pada hari ke

30 setelah pesanan datang. Berikut ini merupakan kurva siklus pemesanan ulang

Penghitungan biaya total persediaan, persamaan �3.2.3�

dha � √2r�~ dha � √2�600�250�30 dha � 3000

dha � jq � / q, ~

48

maka tingkat penjualan per hari adalah +��»� � 2,5 Maka penjualan

unit. Oleh karena itu saat memesan ulang adalah pada saat persediaan tinggal 25 unit atau pada hari ke G

U:dha U:dha U:dha

Sehingga biaya Total Persediaan Rp.3.000,00, terdiri dari biaya pesan Rp1.500,00 dan biaya simpan Rp1.500,00.Berikut ini merupakan ilustrasi kurva

Contoh soal 3.2.9 model EOQ

Sebuah supermarket Alma ingin memesan mo

akan dijual dalam waktu 1 tahun kedepan. Supermarket

tingkat penambahan unit yang tidak tersedia, penentuan siklus pesan ulang dan

biaya total persediaan bila diketahui data sebelumnya kebutuhan dalam

periode sejumlah 600

total biaya pesan per barang yang dikeluarkan sebesar Rp.

pemesanan, biaya simpan Rp.

persediaan Rp.2000,-

dha � 600100 250 / 1002 30 dha � 1.500 / 1.500 dha � 3000

Sehingga biaya Total Persediaan Rp.3.000,00, terdiri dari biaya pesan Rp1.500,00 dan biaya simpan Rp1.500,00. Berikut ini merupakan ilustrasi kurva U:dha

model EOQ back order

Sebuah supermarket Alma ingin memesan motor untuk persediaannya yang

akan dijual dalam waktu 1 tahun kedepan. Supermarket tersebut ingin mengetahui


biaya total persediaan bila diketahui data sebelumnya kebutuhan dalam

periode sejumlah 600.000 unit per tahun dengan 300 hari kerja efektif, kemudian

total biaya pesan per barang yang dikeluarkan sebesar Rp.10.000,

biaya simpan Rp.400,- per barang per tahun dan biaya kehabisan

- per unit.

49

Sehingga biaya Total Persediaan Rp.3.000,00, terdiri dari biaya pesan

tor untuk persediaannya yang

tersebut ingin mengetahui


biaya total persediaan bila diketahui data sebelumnya kebutuhan dalam satu

hari kerja efektif, kemudian

,- untuk tiap kali

dan biaya kehabisan

50

Dari permasalahan di atas akan ditentukan:

1. Tingkat pemesanan barang.

2. Biaya total persediaan yang dikeluarkan.

3. Frekuensi pesanan dalam satu tahun.

4. Panjang waktu siklus pesanan ulang.

Penyelesaian:

Diketahui:

D :600.000unit/tahun, untuk 300 hari kerja efektif

S :Rp.10.000,00

~e :Rp.2.000,00 per unit h :Rp.400,00 per unit per tahun

Jawab 1. Penentuan tingkat penambahan persediaan yang habis.

Tingkat persediaan q optimal s � 2r��~ / ~e�~~e

s � 2�600.000)(10.000)(400 + 2.000)(400)(2.000) s = 6.000 D6VE

2. Tingkat persediaan maksimum

51

sd`Ze � 2r�~ ~e�~ / ~e�

sd`Ze � 2�600.000)(10.000)400 2.000(400 + 2.000) sd`Ze = 5.000

Dengan demikian, se= q- qmaks se = 6.000 − 5.000 = 1.000 D6VE

D. Penghitungan biaya total persediaan Dari persamaan (3.2.7.2)

U: = §2r�ℎℎe§(ℎ + ℎe)

U: = §2(600.000)(10.000)(400)(2.000)§(400 + 2.000) U: = W. 2.000.000,00

2 Frekuensi pesanan dalam satu tahun

Dari persamaan(3.2.1.1) : = rs : = 600.0006.000 : = 100FMvV

Jadi, dalam satu tahun periode perencanaan akan terjadi 100 kali pesanan.

52

3 Penentuan panjang waktu dalam satu siklus pesanan ulang. Diketahui hari kerja efektif dalam satu tahun adalah 300 hari. Dari persamaan(3.2.1.2),

= : = 300100

= 3 hari. Jadi, panjang waktu setiap siklus pesanan ulang adalah 3 hari.

3.3 EOQ Probabilistik

Seperti yang telah dipaparkan di atas, model Economic Order Quantity

(EOQ) probalistik merupakan model inventori yang dalam perhitungannya

permintaan barang, kebutuhan dalam satu periode dan waktu lead time tidak dapat

diketahui sebelumnya secara pasti. Hal tersebut mengakibatkan asumsi pesanan

datang saat persediaan habis dapat dimungkinkan tidak terpenuhi. Oleh karena itu

harus didekati dengan distribusi probabilitas.

Hal yang memungkinkan jika permintaan dan lead time tidak dapat diketahui

sebelumnya adalah sebagai berikut:

1. Pesanan habis tepat pada saat pesanan tiba.

2. Persediaan habis ketika pesanan belum tiba.

3. Persediaan belum habis saat pesanan tiba.

Berikut ini merupakan gambar peraga untuk kemungkinan-kemungkinan

yang terjadi

Pada +, persediaan sebesar q diperkirakan akan pesanan datang tepat pada saat itu. Kondisi ini terjadi jika permintaan dan saat

pesan tiba tidak berdeviasi, atau secara pasti dapat ditentukan sebelumnya.

Pada ,, persediaan q sudah habis terpakai pada datang pada E». Hal ini berakibat akan terjadi kehabisan persediaan selama

Pada ¦ pemakaian persediaan sesuai dengan yang direncanakan yaitu habis pada EÀ, tetapi karena pesanan datang pada saat persediaan selama EÀ,

Pada », terjadi kelebihan barang. Hal ini disebabkan pesanan yang diharapkan datang pada saat

barang masih tersedia.

Dari empat kemungkinan di atas, hal yang menyimpang dari perkiraan semula

tersebut tentunya akan mengakibatkan kerugian yang besar. Oleh karena itu,

untuk mengantisipasinya harus dibentuk persediaan cadangan (

dengan pendekatan distribusi probabilitas normal.

Gambar 3.3.1 kemungkinan persediaan

, persediaan sebesar q diperkirakan akan habis pada

pesanan datang tepat pada saat itu. Kondisi ini terjadi jika permintaan dan saat


, persediaan q sudah habis terpakai pada E¦ tetapi persediaan bar. Hal ini berakibat akan terjadi kehabisan persediaan selama

pemakaian persediaan sesuai dengan yang direncanakan yaitu habis

, tetapi karena pesanan datang pada saat EÁ maka terjadi kehabisan , EÁ. , terjadi kelebihan barang. Hal ini disebabkan pesanan yang

diharapkan datang pada saat EÂ tiba lebih awal pada saat EÃ, padahal persediaan barang masih tersedia.


ersebut tentunya akan mengakibatkan kerugian yang besar. Oleh karena itu,

untuk mengantisipasinya harus dibentuk persediaan cadangan (

dengan pendekatan distribusi probabilitas normal.

53

habis pada E, sehingga pesanan datang tepat pada saat itu. Kondisi ini terjadi jika permintaan dan saat


tetapi persediaan baru

. Hal ini berakibat akan terjadi kehabisan persediaan selama E¦, E». pemakaian persediaan sesuai dengan yang direncanakan yaitu habis

maka terjadi kehabisan

, terjadi kelebihan barang. Hal ini disebabkan pesanan yang

, padahal persediaan


ersebut tentunya akan mengakibatkan kerugian yang besar. Oleh karena itu,

untuk mengantisipasinya harus dibentuk persediaan cadangan (safety stock)

3.3.1 Persediaan Cadangan (

Permintaan yang berlebih

secara pasti, maka penyimpangan tersebut dapat didekati dengan distribusi normal

karena permintaan pada saat

dengan i=1,2,3,.....,n dan

dengan bantuan teorema limit pusat dapat dicari nilai harapan

Var(Xi) yang mendekati distribusi normal. Hal ini berakibat

permintaan dan lead time

pendekatan. Berikut merupakan peraga pendekatan dengan kurva normal

Dari kurva tersebut, jika rata

dalam satu siklus (misalnya dalam interval waktu (t

rata (mean) atau 8 kurva normal, maka perilaku penyimpangan permintaan akan menyebar disekitar 8memperkirakan persediaan cadangan (

penyimpangan variabel

dengan 9.

q

Persediaan Cadangan ( Safety Stock )

yang berlebih pada waktu Lead time tidak dapat diketahui


permintaan pada saat lead time sangatlah banyak atau dilambangkan

dan Xi adalah variabel random yang saling bebas, sehingga

dengan bantuan teorema limit pusat dapat dicari nilai harapan E(Xi)

yang mendekati distribusi normal. Hal ini berakibat nantinya perilaku

lead time dapat diperkirakan sebelumnya

pendekatan. Berikut merupakan peraga pendekatan dengan kurva normal

Gambar 3.3.2 pendekatan kurva normal

Dari kurva tersebut, jika rata-rata permintaan selama masa tenggang pesanan

dalam satu siklus (misalnya dalam interval waktu (t1,t2)) ditrasformasikan ke rata

kurva normal, maka perilaku penyimpangan permintaan akan

sehingga deviasi penyebaran itu akan dapat digunakan untuk

memperkirakan persediaan cadangan (safety stock) yang berdasar pad

penyimpangan variabel-variabel yang mempengaruhinya. Hal tersebut dinyatakan

54

tidak dapat diketahui


sangatlah banyak atau dilambangkan Xi

riabel random yang saling bebas, sehingga

E(Xi) dan variansi

nantinya perilaku

dapat diperkirakan sebelumnya dengan hasil

pendekatan. Berikut merupakan peraga pendekatan dengan kurva normal.

rata permintaan selama masa tenggang pesanan

)) ditrasformasikan ke rata-

kurva normal, maka perilaku penyimpangan permintaan akan

sehingga deviasi penyebaran itu akan dapat digunakan untuk

yang berdasar pada perilaku

variabel yang mempengaruhinya. Hal tersebut dinyatakan

Untuk memperkirakan persediaan cadangan, akan digunakan distribusi

normal untuk pendekatannya. Berikut ini merupakan peraga dari distribusi

normal, dengan x menyatakan permintaan pada waktu tertentu selama masa

tunggu.

Pada gambar peraga kurva normal di atas menjelaskan cakupan luas area pada

kurva normal di mana penyimpangan atau deviasi

�� G 8� dan dinyatakan dalam standar deviasi ini, penyimpangan-penyimpangan

tenggang pesanan) terhadap

9 � ∑ÄÅDengan 8 adalah rata



menyatakan permintaan pada waktu tertentu selama masa

Gambar 3.3.3 kurva normal


kurva normal di mana penyimpangan atau deviasi x terhadap rata

dan dinyatakan dalam standar deviasi 9. Pada kasus persediaan cadangan penyimpangan �h ( permintaan pada waktu ke

tenggang pesanan) terhadap 8 dinyatakan dalam 9 melalui: �'?A�)ÄÅ( a ;

adalah rata-rata yang dapat dirumuskan

8 � E%EMv xDvM~ MtM6y MFED � ∑ �hah+6

55



menyatakan permintaan pada waktu tertentu selama masa


terhadap rata-rata �8� adalah . Pada kasus persediaan cadangan

( permintaan pada waktu ke i selama masa

(3.3.1.1)

�3.3.1.2�

56

Dengan i menunjukan indeks jumlah barang per satuan waktu yang berjalan dari

1-n

Selanjutnya, 9 dari persamaan (3.3.1.1) digunakan untuk menemukan luas area dalam kurva normal melalui:

I � �h G 89 �3.3.1.2� Kemudian dengan bantuan tabel normal, dapat dicari nilai z, dimana z berkaitan

dengan empat digit bilangan di belakang koma yang menjelaskan berapa persen

luas area yang dicakup 9. Setelah mendapatkan nilai z, dapat ditentukan berapa besar persediaan cadangan yaitu:

:>tX>�VMM6 �M�M6yM6 � probabilitas kekurangan persediaan × XEM6�Mt �>VMXV atau dapat ditulis,

�� G 8� � I × 9 �3.3.1.3)

3.3.2 Model EOQ Probabilistik Dasar

Berbeda dengan model EOQ deterministik, model EOQ probabilistik

memperhitungkan perilaku permintaan, dan tenggang waktu pesanan datang ( lead

time) yang tidak pasti atau tidak dapat ditentukan sebelumnya secara pasti.

Ketidakpastian permintaan dan tenggang waktu pesanan tersebut

memunculkan dua masalah baru. Pertama, keinginan produsen untuk

mendapatkan persediaan cadangan tentunya akan menambah jenis biaya baru

yang tidak diperhitungkan sebelumnya pada EOQ deterministik. Kedua, jika

persediaan cadangan tidak diadakan maka akan timbul juga biaya kehabisan

57

persediaan. Kedua jenis biaya tersebut berbanding terbalik, dimana jika

persediaan banyak maka kehabisan persediaan akan kecil dan sebaliknya.

Oleh karena itu, model EOQ pada model probabilistik nantinya akan

ditambahkan dua biaya baru yaitu biaya persediaan cadangan dan biaya kehabisan

persediaan. Misalkan �s� adalah total biaya tahunan yang dikeluarkan, �s� � UVM�M :>XM6 / UVM�M �VWM6 / VM�M W>>vVM6 /VM�M F>~MVXM6 W>tX>�VMM6 XMED W>tV%�> / VM�M W>tX>�VMM6 �M�M6yM6

�s� � rs � / s2 ~ / :r / U:f / U: �3.3.2.1) Dalam hal ini, persamaan (3.3.2.1) tidak dapat diturunkan untuk mendapatkan

sd`' secara langsung seperti pada EOQ deterministik karena U: �M6 U: merupakan biaya yang diperhitungkan dalam penurunan untuk mencari q. Selain

itu juga, BKP dan BPC saling mempengaruhi dengan arah berlawanan dan

merupakan unsur biaya persediaan yang harus diminimumkan.

Karena kehabisan persediaan disebabkan oleh kemungkinan tingkat

pemakaian persediaan yang berbeda dari yang direncanakan atau tenggang waktu

pesanan berbeda dari yang telah dijanjikan, maka besar kecilnya biaya kehabisan

persediaan atau BKP sangat bergantung pada sampai berapa besarkah peluang

kehabisan persediaan selama masa tenggang pesanan. Berikut ini merupakan

ilustrasi analisa BKP:

Dari peraga tersebut diasumsik

pesanan atau dapat dituliskan

ulang dan �h adalah kebutuhan dalam masa tenggang pesan. Kehabisan persediaan dalam masa tenggang pesanan dapat ditunjukan oleh

melampaui t. Sedang masalah kehabisan persediaan. Hal tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:

Kehabisan persediaan dalam masa tenggan

tenggang pesanan – jumlah barang

Karena ada beberapa kemungkinan

harapan kehabisan persediaan

adalah:

Dengan n menyatakan satuan waktu dalam masa tenggang suatu siklus.

Gambar 3.3.4 ilustrasi BKP

Dari peraga tersebut diasumsikan HP adalah harapan pemakaian tenggang

atau dapat dituliskan J�Æ�, kemudian t adalah jumlah barang saat pesan adalah kebutuhan dalam masa tenggang pesan. Kehabisan

persediaan dalam masa tenggang pesanan dapat ditunjukan oleh

Sedang �h yang tidak melampaui t tidak akan mengakibatkan masalah kehabisan persediaan. Hal tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:

Kehabisan persediaan dalam masa tenggang = Kebutuhan dalam masa

jumlah barang saat pesan ulang

� �h G t Karena ada beberapa kemungkinan �h dengan peluang :�

harapan kehabisan persediaan atau J�U:� dalam masa tenggang suatu

��h G t�:��h�ah+ menyatakan satuan waktu dalam masa tenggang suatu siklus.

58

adalah harapan pemakaian tenggang

adalah jumlah barang saat pesan

adalah kebutuhan dalam masa tenggang pesan. Kehabisan

persediaan dalam masa tenggang pesanan dapat ditunjukan oleh �h yang tidak akan mengakibatkan

masalah kehabisan persediaan. Hal tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:

= Kebutuhan dalam masa

��h�, maka nilai masa tenggang suatu siklus

menyatakan satuan waktu dalam masa tenggang suatu siklus.

59

Jika biaya kehabisan persedian per unit ~e, maka biaya kehabisan persediaan per siklus atau BKPs adalah:

U:e � VM�M F>~MVXM6 W>tX>�VMM6 W>t D6VE � F>D6yFV6M6 F>~MVXM6 W>tX>�VMM6 Atau,

U: � ~e ��h G t�:��h�a

h+

U: � ~eJ�U:�

Dan karena dalam satu periode perencanaan diketahui sebelumnya terdapat

siklus pemesanan sesuai dengan persamaan �3.2.1.1) maka BKPp dalam satu periode dapat dibentuk menjadi:

U:f � ~e rs J�U:� �3.3.2.2�

Setelah mendapatkan BKPp akan dicari biaya simpan persediaan cadangan.

Dari ilustrasi gambar 3.3.4, ditunjukan bahwa jumlah persediaan cadangan adalah

�t G J�Æ��. Seperti yang telah diketahui, jika ~ adalah biaya simpan per unit per periode, maka biaya simpan persediaan cadangan adalah:

U: � ~�t G J�Æ�� 3.3.2.3�

Dari persamaan �3.3.2 .1) , (3.3.2 .2� dan �3.3.2 .3� didapatkan �s� adalah

60

�s� � rs � / s2 ~ / :r / U:f / U: �s� � rs � / s2 ~ / :r / ~e rs J�U:� / ~�t G J�Æ�� 3.3.2 .4) Untuk meminimumkan total biaya tahunanTC(q), maka ditentukan

blbq � 0. sehingga diperoleh:

��s � G rs, � / ~2 G r~eJ�U:�s, � 0

~2 � r� / r~eJ�U:�s,

s, � 2rY� / ~eJ�U:�k~

Jadi:

s � ,jYoÇ_È��k_ atau s, � G ,jYoÇ_È��k_

Persamaan q2 tidak memberikan arti apa-apa karena tidak ada jumlah

barang yang bernilai negative. Sehingga didapatkan sebuah persamaan dalam q

yang digunakan dalam mencari jumlah q yang maksimum, yakni

sd`Ze � 2rY� / ~eJ�U:�k~ �3.3.2.5�

61

Oleh karena itu biaya total persediaan (BTP) dapat ditulis sebagai berikut.

U: � UVM�M :>XM6 / UVM�M �VWM6

/VM�M F>~MVXM6 W>tX>�VMM6 / VM�M W>tX>�VMM6 �M�M6yM6

atau dapat ditulis dengan,

U: � rs � / s2 ~ / É ~e rs J�U:�Ê / ~�t G J�Æ�� 3.3.2.6� Dengan nilai q yang maksimum, dapat dicari biaya total persediaan, yaitu

dengan memasukan nilai q yang didapatkan pada persamaan awal BTP sehingga

U: � rs � / s2 ~ / U: / U:

� r�2rY� / ~eJ�U:�k~

/2rY� / ~eJ�U:�k~ ~

2

/ ~erJ�U:�2rY� / ~eJ�U:�k~

MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY ...i MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY PROBABILISTIK...

Documents

Transcript of MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY ...i MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY PROBABILISTIK...