repository.uksw.edu · MODEL BIAYA GARANSI SATU DIMENSI POLIS FRW (NON-RENEWING FREE REPLACEMENT...
Transcript of repository.uksw.edu · MODEL BIAYA GARANSI SATU DIMENSI POLIS FRW (NON-RENEWING FREE REPLACEMENT...
MODEL BIAYA GARANSI SATU DIMENSI POLIS FRW
(NON-RENEWING FREE REPLACEMENT WARRANTY)
STUDI DATA SEKUNDER TENTANG PENGGANTIAN KLEP MESIN DIESEL
ONE DIMENTIONAL WARRANTY COST MODEL OF
NON-RENEWING FREE REPLACEMENT WARRANTY (FRW) POLICY
A STUDY OF SECONDARY DATA ABOUT THE REPLACEMENT OF
DIESEL ENGINES’ VALVE SEATS
Oleh :
Eldaberti Greselda
662012006
TUGAS AKHIR
Diajukan kepada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika guna
memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai Gelar Sarjana Sains
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA
2016
ii
iii
iv
v
MOTTO
Tidak ada yang kebetulan dalam hidup ini dan tidak ada satupun kejadian yang
terjadi tanpa seijin Tuhan. Jikalau Tuhan mengijinkan hal itu terjadi, pasti Tuhan
memiliki maksud supaya kita semakin serupa dan segambar dengan Dia dan
supaya kita percaya bahwa Tuhan membuat segalanya indah pada waktu-Nya.
Tuhan tidak pernah berjanji untuk memberikan hidup yang mudah tanpa
tantangan dan rintangan. Tapi Tuhan selalu berjanji untuk memberi kekuatan
dalam kelemahan, penghiburan dalam duka cita, serta kelegaan bagi yang letih
lesu dan berbeban berat. Bahkan Tuhan juga berjanji untuk memberikan masa
depan yang penuh harapan sesuai dengan firman-Nya, “Sebab Aku ini mengetahui
rancangan-rancangan apa yang ada pada-Ku mengenai kamu, demikian firman
TUHAN, yaitu rancangan damai sejahtera dan bukan rancangan kecelakaan,
untuk memberikan kepadamu hari depan yang penuh harapan.” (Yeremia 29:11).
Dalam menghadapi kehidupan ini kita hanya butuh iman, dimana “Iman
adalah dasar dari segala sesuatu yang kita harapkan dan bukti dari segala
sesuatu yang tidak kita lihat.” (Ibrani 11:1). Sehingga kita mampu berjalan
menghadapi hidup bersama Tuhan tanpa keraguan.
Bukan karena hidup kita bahagia maka kita menjadi bahagia, tapi karena kita
bahagia maka hidup kita menjadi bahagia.
PERSEMBAHAN
Karya ini ku persembahkan untuk:
Mama dan kakak tercinta
vi
KATA PENGANTAR
Puji Syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan karunia-Nya, penulis
dapat menyelesaikan skripsi sebagai syarat menyelesaikan Studi Strata 1 pada
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen
Satya Wacana.
Dalam skripsi ini terdiri dari 2 makalah utama. Makalah pertama berjudul
“Model Biaya Garansi Satu Dimensi Polis FRW (Non-Renewing Free
Replacement Warranty) Studi Data Sekunder Tentang Penggantian Klep Mesin”
yang telah dipublikasi dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika yang diselenggarakan oleh Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA
UNY pada tanggal 14 November 2015. Kemudian makalah kedua berjudul
“Model Biaya Garansi Yang Melibatkan Distribusi Empirik Halus” yang telah
dipublikasi dalam Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains 2015 yang
diselenggarakan oleh Program Studi Pendidikan Fisika, Universitas
Muhammadiyah Purworejo pada tanggal 12 Desember 2015.
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membaca.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini,
penulis mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun untuk penulis.
Akhir kata, penulis ucapkan terimakasih. Tuhan Yesus Memberkati.
Salatiga, 18 Januari 2016
Penulis
vii
UCAPAN TERIMA KASIH
Dalam penyusunan naskah makalah ini tidak terlepas dari bantuan dan
dorongan dari berbagai pihak yang memungkinkan makalah ini dapat
terselesaikan. Maka pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima
kasih atas segala bimbingan, bantuan, dan dukungan kepada :
1. Dr. Bambang Susanto, selaku Kepala Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Matematika.
2. Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si selaku dosen pembimbing utama,
terimakasih atas ide, bimbingan, dan masukan kepada Penulis.
3. Tundjung Mahatma, S.Pd, M.Kom, selaku dosen pembimbing
pendamping, terimakasih atas bimbingan dan koreksi yang diberikan.
4. Dosen pengajar di Program Studi Matematika, Dr. Bambang Susanto,
Dra. Lilik Linawati, M.Kom., Dr. Adi Setiawan, M.Sc., Tundjung
Mahatma, S.Pd, M.Kom., Didit Budi Nugroho, D.Sc., Dr. Hanna Arini
Parhusip, dan Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si yang telah memberikan
ilmu pengetahuan dan pengalaman kepada penulis selama studi di FSM
UKSW serta Pak Edy sebagai Laboran Matematika yang telah
memberikan banyak bantuan kepada Penulis.
5. Bu Eni dan Bu Ketut sebagai TU FSM, terima kasih atas segala
bantuannya untuk Penulis.
6. Mama tercinta, Lucia Endra Susilawati terimakasih atas semangat,
dorongan, doa, dan motivasi yang tak ternilai bagi Penulis saat Penulis
mengalami jatuh bangun dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
Terimakasih juga sudah selalu menemani saat Penulis sedang
menyelesaikan tugas akhir ini, serta untuk semua kerja keras mama
sampai Penulis dapat menyelesaikan jenjang perguruan tinggi.
viii
7. Kakak tercinta, Jordan Grestandhi terimakasih untuk omelan dan
ceramahannya yang sangat membangun, terlebih untuk setiap dukungan
dan motivasi yang telah diberikan kepada Penulis.
8. Yang jauh disana, Thunesya Widi Prasetya, terimakasih untuk
dukungan, motivasi dan doanya.
9. Teman-teman Progdi Matematika 2012, Tya, Cinthya, dan Lisa, untuk
pengalaman, tawa, dan kebersamaannya dalam menempuh perkuliahan.
Walau terkadang kita sering berbeda pendapat dan pemikiran, tapi
Penulis yakin bahwa itulah bagian dari perjalanan kita selama
menempuh perkuliahan yang tak akan terlupakan. Tetap semangat dan
menjadi berkat dimanapun kalian berada kelak dan “See you on top
girls”.
10. Serta semua pihak yang terlibat dalam pembuatan tugas akhir ini yang
tidak bisa Penulis sebutkan satu per satu. Terimakasih atas dukungan,
semangat, dan doanya.
Biarlah Tuhan Yesus yang akan membalas semua yang telah diberikan kepada
Penulis dengan berkat dan kasih yang berlimpah.
ix
DAFTAR ISI
Halaman Judul .......................................................................................................... i
Pernyataan Keaslian Karya Tulis Tugas Akhir ....................................................... ii
Pernyataan Bebas Royalty dan Persetujuan Publikasi ........................................... iii
Lembar Pengesahan ............................................................................................... iv
Motto dan Persembahan .......................................................................................... v
Kata Pengantar ....................................................................................................... vi
Ucapan Terima Kasih ............................................................................................ vii
Daftar Isi ........................................................................................................ ix
Daftar Lampiran ..................................................................................................... xi
Abstrak ...................................................................................................... xii
BAB I. PENDAHULUAN .................................................................................. xiv
1. Latar Belakang ................................................................................................ xiv
2. Perumusan Masalah ...................................................................................... xvii
3. Tujuan Penelitian .......................................................................................... xvii
4. Batasan Masalah ........................................................................................... xviii
5. Manfaat Penelitian ........................................................................................ xviii
BAB II. MAKALAH .......................................................................................... xix
Makalah Pertama : Model Biaya Garansi Satu Dimensi Polis FRW
(Non-Renewing Free Replacement Warranty) Studi
Data Sekunder tentang Penggantian Klep Mesin
Makalah Kedua : Model Biaya Garansi yang Melibatkan Distribusi
Empirik Halus
x
BAB III. PENUTUP .......................................................................................... xlvi
Kesimpulan .................................................................................................... xlvi
Saran ..................................................................................................... xlvi
Lampiran ................................................................................................... xlvii
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Kode Matlab untuk mengestimasi ekspektasi kegagalan dengan
SMVTI yang melibatkan distribusi gamma ................................. L.1
Lampiran 2. Kode Matlab untuk memperoleh hasil estimasi dan gambar dengan
menggunakan fungsi distribusi empirik ...................................... L.2
Lampiran 3. Kode Matlab untuk menampilkan data dalam grafik fungsi
distribusi empirik, fungsi distribusi empirik halus, dan fungsi
distribusi gamma .......................................................................... L.3
Lampiran 4. Kode Matlab untuk mengestimasi ekspektasi kegagalan dengan
SMVTI yang melibatkan distribusi empirik halus ...................... L.4
Lampiran 5. Pembuktian rumus dalam memodelkan kegagalan-kegagalan dari
waktu ke waktu (modelling failures over time) kasus komponen
non-repairable ............................................................................. L.5
Lampiran 6. Pembuktian convolution ............................................................... L.6
Lampiran 7. Tentang program easyfit ............................................................... L.7
xii
ABSTRAK
Garansi disediakan oleh produsen manufaktur untuk memberikan jaminan atas
mutu dan kehandalan produknya. Data garansi yang digunakan adalah data
penggantian klep mesin diesel. Dalam makalah pertama dibahas bagaimana
memperoleh model dan estimasi biaya garansi satu dimensi polis non-renewing
free replacement warranty (polis FRW) dengan strategi penggantian. Model
kegagalannya dapat melibatkan distribusi parametrik atau nonparametrik. Dari
penelitian ini, diperoleh model kegagalannya melibatkan distribusi parametrik
yaitu distribusi gamma. Sedangkan dalam makalah kedua, model kegagalan yang
digunakan merupakan distribusi non-parametrik yaitu distribusi empirik halus.
Estimasi biaya garansi dari kedua makalah dengan masing-masing model
kegagalannya, diperoleh melalui metode Second Mean Value Theorem for
Integrals (SMVTI) termodifikasi dengan perubahan peubah. Hasil dari estimasi
biaya garansi dengan melibatkan distribusi kegagalan gamma atau empirik halus
cukup dekat. Meskipun begitu, tidak berarti bahwa kedua estimasi tersebut sama,
karena pembandingnya hanya 𝑀 𝑡 , ekspektasi banyak kegagalan. Sehubungan
dengan itu, perlu adanya penelitian lanjut untuk pembanding lain, seperti variansi
atau simpangan baku dari 𝑀 𝑡 dan uji perbandingan estimasi 𝑀 𝑡 .
Kata kunci: garansi, model pembaruan, polis FRW, model biaya garansi satu dimensi,
strategi penggantian, distribusi empirik halus, SMVTI.
xiii
ABSTRACT
Warranty is provided by a manufacturer to guarantee the quality and reliability
of its products. The warranty data used in this research is about the replacement of
valve seat of diesel engines. Described in the first paper is the modeling and
estimation of warranty costs for one dimensional non-renewing free replacement
warranty (FRW) policy with replacement strategy. Its failures model may involve
parametric or nonparametric distribution. It is found that the failures model
involves a parametric distribution, namely the gamma distribution. The second
paper applied the failures model, which is nonparametric distribution, namely the
smoothed empirical distribution. The estimation of warranty costs from both
papers with each of the failures model, is obtained by using Second Mean Value
Theorem for Integrals (SMVTI) method, modified by the changes of the variable.
The resulting estimation involving both the failure distribution of gamma and
smoothed empirical distribution is very similar. Nevertheless, it does not mean
that the estimation of the two models are equal, because the standard of
comparison is merely 𝑀 𝑡 , the average of failure. Therefore further research is
needed for comparison, for example the variance or deviation from 𝑀 𝑡 and
comparison of 𝑀 𝑡 estimation test.
Key word : warranty, renewal model, FRW policy, one dimensional warranty cost
model, replacement strategy, smoothed empirical distribution, SMVTI
xiv
BAB I
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Perhatian konsumen saat membeli suatu produk manufaktur ada pada
kehandalan produk. Produk yang dibeli diharapkan mampu berfungsi dengan
baik dan tidak mengalami kegagalan untuk selang waktu tertentu. Langkah
yang dapat diambil produsen manufaktur untuk menjamin kepuasan konsumen
terhadap kehandalan produknya adalah melalui garansi.
Garansi (Warranty) merupakan suatu kontrak antara produsen dan
konsumen, yang mewajibkan produsen manufaktur untuk memberikan
kompensasi (perbaikan, penggantian, pengembalian uang, dsb) kepada
konsumen terhadap kegagalan-kegagalan (satu/lebih) item atau komponen
pada produk yang terjadi selama masa garansi ditentukan sejak transaksi jual-
beli produk (Sasongko, 2014). Garansi memberikan proteksi kepada
konsumen dan produsen. Bagi konsumen, garansi merupakan jaminan mutu
dan jaminan terhadap kinerja (performances) produk yang tidak sesuai dengan
kinerja yang dijanjikan produsen. Sedangkan bagi produsen, garansi
memberikan batasan klaim konsumen terutama klaim yang tidak valid,
contoh: klaim kerusakan produk akibat penggunaan yang salah oleh
konsumen. Pengadaan garansi ini menyebabkan tambahan biaya bagi
produsen, disebut biaya garansi.
Salah satu polis garansi adalah polis non-renewing free replacement
warranty (sering disebut polis FRW). Polis FRW mewajibkan produsen
melakukan perbaikan atau penggantian komponen produk yang mengalami
kegagalan tanpa pungutan biaya dari konsumen. Apabila terjadi klaim akibat
kegagalan komponen, setelah dilakukan pembetulan atau pemulihan
(rectification) pada komponen yang gagal, masa garansi tidak diperbarui atau
dengan kata lain masa garansi berakhir tetap seperti yang ditentukan di dalam
kontrak garansi. Saat komponen produk gagal pada masa garansi, kinerja
xv
produk dapat dipulihkan melalui perbaikan atau penggantian komponen
repairable yang gagal. Apabila kegagalan produk terjadi pada komponen non-
repairable, kinerja produk hanya dapat dipulihkan melalui penggantian
(replacement).
Pengadaan garansi menyebabkan tambahan biaya (disebut biaya garansi)
bagi produsen, yang melekat pada harga jual produk yang ditawarkan produsen
ke konsumen. Biaya garansi sangat bergantung pada jenis polis dan strategi
yang diterapkan pada produk.
Dalam beberapa penelitian membahas tentang model biaya garansi yang
melibatkan distribusi kegagalan parametrik. Baik (2004, 2006) memberikan
model biaya garansi polis FRW strategi perbaikan minimum dan penggantian
melibatkan distribusi kegagalan Weibull. Blischke (1994, 2011) juga
membahas hal yang sama untuk contoh penggunaan model biaya garansi polis
FRW melibatkan distribusi kegagalan berdistribusi Weibull dan Eksponensial.
Biaya garansi sangat dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan
produk bergaransi. Beberapa penelitian membahas tentang penghitungan
ekspektasi banyak kegagalan produk bergaransi polis FRW strategi
penggantian yang diperoleh dari persamaan integral pembaruan (renewal
integral equations). Beberapa metode numerik diusulkan untuk menghitung
persamaan integral pembaruan satu dimensi antara lain metode Riemann-
Stieljies diusulkan oleh Min Xie (Baik, dkk, 2004) dan Second Mean Value
Theorem for Integrals oleh Maghsoodloo dan Helvaci (2014). Sasongko
(2014) memodifikasi metode yang dilakukan Maghsoodloo dan Helvaci
(2014) dengan melakukan perubahan peubah untuk kasus polis FRW dua
dimensi strategi penggantian.
Data garansi bersifat sangat rahasia bagi perusahaan. Hal ini menyebabkan
para analis data yang tidak berkepentingan langsung dengan perusahaan
mengalami kesulitan untuk mendapatkan data tersebut. Sehingga para analis
data hanya memperoleh sedikit data. Imbasnya, data kurang bagus dalam
memberikan informasi yang cukup apabila dimodelkan menggunakan
xvi
distribusi parametrik. Selain itu, dari penelitian-penelitian sebelumnya
membahas tentang model biaya garansi yang melibatkan distribusi kegagalan
parametrik. Untuk itu pemahaman fungsi distribusi parametrik sangat
diperlukan. Namun, pada kenyataannya para pengamat garansi belum tentu
mengerti dan memahami tentang fungsi distribusi parametrik. Hal inilah yang
menjadi perhatian, bagaimana cara lain untuk memperoleh model dan estimasi
biaya garansi tanpa melibatkan distribusi kegagalan parametrik.
Salah satu contoh dari distribusi kegagalan non-parametrik adalah
distribusi empirik halus. Peluang empirik diperoleh dengan mengelompokkan
data ke dalam suatu interval, dimana frekuensi data dalam setiap interval dapat
digunakan untuk menentukan peluang pada nilai-nilai diinterval tersebut.
Fungsi distribusi empirik merupakan peluang empirik kumulatif. Peluang dan
fungsi distribusi empirik inilah yang banyak dikenal oleh banyak orang
khususnya pengamat garansi. Namun, model biaya garansi biasanya
melibatkan fungsi distribusi yang kontinu, sedangkan fungsi distribusi empirik
bersifat diskrit. Oleh karena itu, fungsi distribusi empirik perlu diperhalus atau
disebut fungsi distribusi empirik halus.
Data yang akan penulis bahas adalah data tentang penggantian klep mesin
diesel (valve seat of diesel engine) yang diperoleh dari Blischke (2011). Klep
mesin adalah suatu cincin yang dipasang di permukaan yang bersentuhan
dengan kepala seker (cylinder head). Sehingga klep mesin selalu menerima
benturan dan gas pembakaran yang sangat panas. Akibatnya, sering terjadi
kegagalan atau kerusakan klep mesin. Apabila klep mesin rusak, efek
kerusakan pada mesin cukup besar hingga menyebabkan mesin mati. Hal
inilah yang menjadi alasan mengapa klep mesin harus sering dicek, diganti,
dan tentunya membutuhkan garansi.
xvii
2. Perumusan Masalah
Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah :
a. Bagaimana memperoleh model biaya garansi satu dimensi polis FRW
strategi penggantian untuk data penggantian klep mesin diesel dengan
masa garansi tertentu melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau non-
parametrik?
b. Bagaimana menghitung biaya garansi dari model yang diperoleh
menggunakan metode numerik (yang diusulkan penulis) yaitu metode
Second Mean Value Theorem for Integrals termodifikasi dengan
perubahan peubah?
c. Apabila model biaya garansi yang diperoleh (a) melibatkan distribusi
kegagalan parametrik, lalu bagaimana memperoleh model biaya garansi
satu dimensi polis FRW strategi penggantian untuk data penggantian klep
mesin diesel dengan masa garansi tertentu melibatkan distribusi kegagalan
non-parametrik yaitu distribusi empirik halus?
d. Bagaimana menghitung biaya garansi dari model kegagalan yang
melibatkan distribusi empirik halus menggunakan metode numerik (yang
diusulkan penulis) yaitu metode Second Mean Value Theorem for
Integrals termodifikasi dengan perubahan peubah?
3. Tujuan Penelitian
Tujuan dalam penelitian ini adalah :
a. Memperoleh model biaya garansi satu dimensi polis FRW strategi
penggantian untuk data penggantian klep mesin diesel dengan masa
garansi tertentu melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau non-
parametrik.
b. Menghitung biaya garansi dari model yang diperoleh menggunakan
metode numerik (yang diusulkan penulis) yaitu metode Second Mean
Value Theorem for Integrals termodifikasi dengan perubahan peubah.
xviii
c. Memperoleh model biaya garansi satu dimensi polis FRW strategi
penggantian untuk data penggantian klep mesin diesel dengan masa
garansi tertentu melibatkan distribusi kegagalan non-parametrik yaitu
empirik halus.
d. Menghitung biaya garansi dari model kegagalan yang melibatkan
distribusi empirik halus menggunakan metode numerik (yang diusulkan
penulis) yaitu metode Second Mean Value Theorem for Integrals
termodifikasi dengan perubahan peubah.
4. Batasan Masalah
Makalah ini hanya berbatas pada garansi satu dimensi polis FRW strategi
penggantian. Dengan asumsi yang digunakan meliputi biaya per klaim yang
tetap sehingga model biaya garansi hanya dipengaruhi oleh ekspektasi banyak
kegagalan komponen produk bergaransi. Asumsi lain adalah persediaan
komponen jumlahnya tak terbatas, komponen-komponen identik dan saling
bebas, tidak menggunakan komponen yang berbeda merek/brand, semua
klaim tentang kegagalan komponen produk dilaporkan langsung dan valid,
serta waktu penggantian dilakukan sangat singkat sehingga dapat diabaikan.
5. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penulisan penelitian ini adalah menjadi informasi tentang
model biaya garansi bagi produsen klep mesin diesel di masa yang akan
datang. Bagi engineer, penelitian ini dapat menjadi sebuah informasi tentang
kehandalan produk, yang bisa di kembangkan di masa mendatang. Selain itu,
bagi pengamat garansi, hal ini diharapkan dapat memberikan informasi berupa
cara dan hasil yang diperoleh dalam penelitian ini.
xix
BAB II
MAKALAH
Makalah pertama
Judul : Model Biaya Garansi Satu Dimensi Polis FRW (Non-
Renewing Free Replacement Warranty) Studi Data
Sekunder tentang Penggantian Klep Mesin
Dipresentasikan pada : Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika UNY 2015 yang diselelnggarakan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta pada tanggal 14
November 2015
Publikasi : Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika “Mengembangkan Kecakapan Abad 21
Melalui Penelitian Matematika dan Pendidikan
Matematika”
(http://eprints.uny.ac.id/view/subjects/prosiding.html)
Makalah kedua
Judul : Model Biaya Garansi yang Melibatkan Distribusi
Empirik Halus
Dipresentasikan pada : Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains UMP 2015
yang diselenggarakan oleh Program Studi Pendidikan
Fisika, Universitas Muhammadiyah Purworejo pada
tanggal 12 Desember 2015
Publikasi : Prosiding (dalam proses)
MAKALAH 1 (Telah diseminarkan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika FMIPA UNY, 14 November 2015)
1
ISBN 978-602-73403-0-5
2
perbaikan minimum dan penggantian melibatkan distribusi kegagalan Weibull. Blischke, dkk. [4, 5], juga
membahas hal yang sama untuk contoh penggunaan model biaya garansi polis FRW melibatkan distribusi
kegagalan Weibull dan Eksponensial.
Data garansi yang dimiliki produsen atau perusahaan manufaktur bersifat rahasia. Hal ini menyebabkan
para analis data yang tidak berkepentingan langsung dengan perusahaan mengalami kesulitan untuk
mendapatkan data tersebut. Terkadang para analis data hanya memperoleh sedikit data. Imbasnya, data
kurang bagus dalam memberikan informasi yang cukup apabila dimodelkan menggunakan model yang
melibatkan distribusi parametrik. Oleh karena itu, kajian model yang melibatkan distribusi non-parametrik
sebagai distribusi kegagalan dari data perlu diperhatikan.
Biaya garansi sangat dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan produk pada masa garansi. Beberapa
penelitian membahas tentang penghitungan ekspektasi banyak kegagalan produk bergaransi polis FRW
strategi penggantian yang diperoleh dari persamaan integral pembaruan (renewal integral equations).
Beberapa metode numerik diusulkan untuk menghitung persamaan integral pembaruan satu dimensi antara
lain metode Riemann-Stieljies diusulkan oleh Min Xie [2] dan Second Mean Value Theorem for Integrals
(SMVTI) diusulkan oleh Maghsoodloo dan Helvaci [6]. Sasongko [1] memodifikasi metode pada [6] dengan
melakukan perubahan peubah untuk kasus polis FRW dua dimensi strategi penggantian.
Makalah ini membahas bagaimana memperoleh model dan estimasi biaya garansi satu dimensi polis
FRW dengan strategi penggantian. Model biaya garansi yang dibahas melibatkan distribusi kegagalan
parametrik atau non-parametrik. Metode untuk estimasi biaya garansi yang diusulkan dalam makalah ini
adalah SMVTI termodifikasi, dengan perubahan peubah.
Data yang dibahas dalam makalah ini adalah data penggantian klep mesin diesel yang diperoleh dari [5].
Klep mesin adalah cincin yang dipasang di permukaan yang bersentuhan dengan kepala seker dan selalu
menerima benturan serta gas pembakaran yang sangat panas sehingga sering terjadi kegagalan atau
kerusakan klep mesin. Apabila klep mesin rusak, efek kerusakannya juga berimbas pada mesin hingga dapat
menyebabkan mesin tidak dapat bekerja. Hal inilah yang menyebabkan klep mesin harus sering dicek,
diganti, dan membutuhkan garansi.
Asumsi pada makalah ini meliputi besar biaya per klaim yang tetap sehingga model biaya garansi hanya
dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan komponen produk bergaransi. Asumsi lain adalah persediaan
komponen jumlahnya tak terbatas, komponen-komponen identik dan saling bebas, tidak ada perubahan
merek/brand komponen, semua klaim tentang kegagalan komponen produk dilaporkan langsung dan valid,
serta waktu penggantian dilakukan sangat singkat sehingga dapat diabaikan. Beberapa asumsi lainnya ada di
dalam model biaya garansi yang dijelaskan pada bagian II.
Dua hal yang menjadi tujuan makalah ini adalah perolehan model biaya garansi satu dimensi polis FRW
strategi penggantian yang melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau non-parametrik dan estimasi biaya
garansi dari model tersebut menggunakan metode SMVTI termodifikasi dengan perubahan peubah,
berdasarkan data tentang penggantian klep mesin diesel yang diperoleh dari [5].
Diharapkan makalah ini menjadi informasi tentang model biaya garansi dan sebagai bahan pertimbangan
mengenai kebijakan produsen klep mesin diesel di masa yang akan datang. Bagi teknisi (engineer) klep
mesin diesel, penelitian ini dapat menjadi informasi tentang evaluasi kehandalan klep mesin diesel hasil
desainnya. Sedangkan bagi pengamat atau analis data garansi, penelitian ini dapat memberikan informasi
berupa cara menganalisis sedikit data garansi menggunakan distribusi parametrik atau non-parametrik.
II. METODE PENELITIAN 2.1. Model Umum Biaya Garansi
Terlebih dahulu diberikan notasi-notasi pada model umum biaya garansi yaitu
𝑆 : p.a. (peubah acak) total biaya kompensasi yang dikeluarkan produsen untuk suatu komponen produk
bergaransi dengan polis tertentu,
𝑁 : p.a. banyak kegagalan suatu komponen produk bergaransi dalam masa garansi tertentu,
𝐶𝑖 : p.a. besar biaya kompensasi yang diberikan atas klaim kegagalan ke- i suatu komponen produk
bergaransi.
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
3
Peubah 𝑆 didefinisikan sebagai
𝑆 = 𝐶𝑖
𝑁
𝑖=0
= 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑁 (1)
Ekspektasi biaya garansi 𝐸 𝑆 dan variansinya 𝑣𝑎𝑟 𝑆 dapat diperoleh dengan asumsi-asumsi kebebasan
yang dikenakan pada (1) menurut [7] yaitu :
a. Bersyarat di 𝑁 = 𝑛; 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 adalah p.a. identik dan saling bebas dengan suatu peubah 𝐶,
b. Bersyarat di 𝑁 = 𝑛, distribusi peluang peubah acak 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 tidak bergantung 𝑛,
c. Distribusi peluang 𝑁 tidak bergantung pada sembarang nilai 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 .
Berdasarkan [5, 7], ekspektasi biaya garansi dan variansinya adalah
𝐸 𝑆 = 𝐸 𝑁 𝐸 𝐶 (2)
𝑣𝑎𝑟 𝑆 = 𝐸 𝑁 𝑣𝑎𝑟 𝐶 + 𝑣𝑎𝑟 𝑁 (𝐸[𝐶])2 (3)
Fokus model berada pada persamaan (2). Untuk kasus komponen non-repairable dengan asumsi-asumsi
dan batasan pada bagian I serta asumsi efek inflasi diabaikan, maka 𝐸 𝐶 konstan atau 𝐸 𝐶 = 𝑐𝑠 , sehingga
persamaan (2) menjadi
𝐸 𝑆 = 𝑐𝑠𝐸 𝑁 (4)
dengan 𝑐𝑠 adalah biaya yang dikeluarkan produsen untuk mengganti komponen yang gagal dengan
komponen baru.
Hal menarik selanjutnya adalah bagaimana formulasi 𝐸 𝑁 untuk kasus komponen non-repairable.
Peubah acak 𝑁 adalah fungsi terhadap waktu atau 𝑁 adalah proses hitung satu dimensi dan perolehan
formulasi 𝐸 𝑁 melibatkan proses stokastik. Persamaan (4) menunjukkan bahwa model biaya garansi
dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan.
2.2. Memodelkan Kegagalan Pertama (Modelling First Failure)
Notasi peubah-peubah acak yang digunakan untuk memodelkan kegagalan komponen adalah :
𝑋𝑛 : p.a. kontinu tak-negatif yang menyatakan umur komponen saat terjadi kegagalan ke- 𝑛,
𝑇𝑛 : p.a. kontinu tak-negatif yang menyatakan antar umur komponen saat kegagalan ke- (𝑛 − 1) hingga ke-
𝑛 dimana 𝑇𝑛 = 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1 , 𝑛 = 1,2,3, … dengan 𝑋0 = 0,
𝑁 𝑡, 𝑠 : proses hitung satu dimensi atau peubah acak yang menyatakan banyak kegagalan komponen pada
interval umur 𝑡, 𝑠 . Untuk interval 0, 𝑡 , penulisan 𝑁 0, 𝑡 = 𝑁 𝑡 dimaksudkan agar lebih
singkat.
Peubah acak 𝑇1 = 𝑋1 memiliki fungsi distribusi kegagalan
𝐹 𝑡 = Pr 𝑇1 ≤ 𝑡 (5)
Fungsi survival atau fungsi kehandalan/realibitas yang menyatakan peluang komponen belum pernah
gagal hingga umur 𝑡 didefinisikan oleh
𝑅 𝑡 = 𝐹 𝑡 = Pr 𝑇1 > 𝑡 = 1 − Pr 𝑇1 ≤ 𝑡 = 1 − 𝐹 𝑡 (6)
Fungsi hazard menginterpretasikan laju kegagalan komponen pertama kali. Fungsi hazard menyatakan
laju kegagalan komponen pada interval 𝑡, 𝑡 + ∆𝑡 bersyarat belum pernah terjadi kegagalan hingga umur 𝑡.
Fungsi hazard dinotasikan 𝑡 dan didefinisikan oleh
𝑡 = lim∆𝑡→0
Pr 𝑡 < 𝑇1 < 𝑡 + ∆𝑡 | 𝑇1 > 𝑡
∆𝑡=
1
𝑅 𝑡
𝑑𝐹(𝑡)
𝑑𝑡 (7)
2.3. Memodelkan Kegagalan-Kegagalan dari Waktu ke Waktu (Modelling Failures Over Time) Kasus
Komponen Non-Repairable [1]
Hubungan ketiga peubah acak 𝑋𝑛 , 𝑇𝑛 , dan 𝑁 𝑡 ada pada himpunan waktu yang saling ekuivalen yaitu
𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 ≡ 𝑡 𝑋𝑛 ≤ 𝑡} ≡ 𝑡 𝑇𝑖
𝑛
𝑖=1
≤ 𝑡 (8)
Ilustrasi persamaan (8) pada Gambar 1.
ISBN 978-602-73403-0-5
4
Gambar 1. Hubungan Peubah-Peubah pada Gambar 2. Contoh Grafik Laju Kegagalan
Proses Titik Satu Dimensi Strategi Penggantian
Melalui persamaan (8), peluang 𝑁 𝑡 = 𝑛 diperoleh dari
Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = Pr 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 − Pr 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 + 1 (9a)
Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = Pr 𝑇𝑖
𝑛
𝑖=1
≤ 𝑡 − Pr 𝑇𝑖
𝑛+1
𝑖=1
≤ 𝑡 (9b)
Untuk kasus komponen non-repairable, laju kegagalan setelah kegagalan ke-𝑛 serupa saat laju kegagalan
komponen sejak pertama kali digunakan, seperti pada ilustrasi Gambar 2.
Gambar 2 menunjukkan bahwa 𝑇1 ,𝑇2 , 𝑇3 , … , 𝑇𝑛 berdistribusi identik dan saling bebas atau i.i.d dengan 𝐹 𝑡
pada (5), sehingga 𝑇𝑖𝑛𝑖=1 ~𝐹 𝑛 𝑡 dimana 𝐹 𝑛 𝑡 adalah n-fold convolution “dari dan dengan” 𝐹 𝑡
sendiri. Dengan demikian (9b) menjadi
Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝐹 𝑛 𝑡 − 𝐹 𝑛+1 𝑡 (10)
Selanjutnya, ekspektasi banyak kegagalan komponen pada interval [0, 𝑡) diperoleh dari
𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑛Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛
∞
𝑛=1
= 𝐹 𝑛 𝑡
∞
𝑛=1
(11)
Berdasarkan [1], persamaan (11) dapat disederhanakan menjadi
𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑀 𝑡 (12)
dimana 𝑀 𝑡 disebut persamaan integral pembaruan yang didefinisikan sebagai
𝑀 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹 𝑢
𝑡
0
(13a)
atau
𝑀 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐹 𝑡 − 𝑢 𝑑𝑀 𝑢
𝑡
0
(13b)
Ekspektasi banyak kegagalan komponen produk pada masa garansi [0, 𝑡) diperoleh dari persamaan (12).
Fokus makalah ini adalah menghitung 𝑀 𝑡 pada persamaan (13a) menggunakan metode SMVTI
termodifikasi dengan perubahan peubah yang dijelaskan pada Lampiran A. Ekspektasi biaya garansi pada (4)
diperoleh setelah menghitung ekspektasi banyak kegagalan pada persamaan (12).
2.4. Fungsi Distribusi Kegagalan pada Model Pembaruan
Persamaan 𝑀 𝑡 (juga disebut model pembaruan) pada (13a) melibatkan fungsi distribusi kegagalan
𝐹(𝑡)seperti pada (5). Fungsi distribusi kegagalan tersebut dapat menggunakan keluarga distribusi parametrik
untuk peubah acak kontinu tak-negatif seperti distribusi Eksponensial, Gamma, Beta, Weibull, dan
sejenisnya, (distribusi Normal, t-student, dan sejenisnya tidak dapat digunakan). Oleh karena berbagai
macam keluarga distribusi dapat digunakan, maka perlu estimasi 𝐹(𝑡) dari data klaim garansi, dinotasikan
𝐹 𝑡; 𝛀 dimana 𝛀 adalah (dapat lebih dari satu) vektor parameter. Estimasi 𝐹 𝑡; 𝛀 dapat dilakukan melalui
uji goodness of fit yaitu uji Kolmogorov-Smirnov (KS test, Lampiran C) dengan terlebih dahulu
mengestimasi 𝛀 melalui metode Maximum Likelihood Estimation (MLE, Lampiran B).
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
5
Data klaim garansi yang sedikit sering menyebabkan estimasi 𝐹 𝑡; 𝛀 menjadi kurang bagus (KS test
dapat menerima atau menolak semua hipotesis keluarga distribusi kegagalan parametrik, estimasi parameter
melalui MLE tidak akurat). Oleh karena itu, penggunaan distribusi yang terbentuk dari sedikit data dapat
menjadi solusi yaitu distribusi kegagalan non-parametrik seperti distribusi empirik atau Kernel [8] di
Lampiran E.
2.5. Data
Data yang digunakan merupakan data sekunder yang diperoleh dari [5]. Data tersebut merupakan data
tentang penggantian klep mesin diesel dari pengamatan 41 mesin diesel (nama produk dirahasiakan) masing-
masing dalam interval waktu pengamatan tertentu. Dari 41 mesin diesel, 24 mesin mengalami satu hingga
empat kali kegagalan pada klep mesin dan segera dilakukan penggantian klep mesin yang gagal saat umur
mesin seperti tertampil pada Tabel 1 (asumsi lama waktu dari klep gagal hingga klep selesai diganti baru di
bengkel diabaikan). TABEL 1. DATA UMUR MESIN DIESEL SAAT PENGGANTIAN KLEP
ID
Mesin
Lama
Waktu
Pengamatan
(hari)
Data Umur Mesin saat
Penggantian Klep (hari)
ID
Mesin
Lama Waktu
Pengamatan
(hari)
Data Umur Mesin saat
Penggantian Klep (hari)
𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑿𝟒 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑿𝟒
251 761
403 593
252 759
404 589 573
327 667 98
405 606 165 408 604
328 667 326 653 653
406 594 249
329 665
407 613 344 497
330 667 84
408 595 265 587
331 663 87
409 389 166 206 348
389 653 646
410 601
390 653 92
411 601 410 581
391 651
412 611
392 650 258 328 377 621 413 608
393 648 61 539
414 587
394 644 254 276 298 640 415 603 367
395 642 76 538
416 585 202 563 570
396 641 635
417 587
397 649 349 404 561
418 578
398 631
419 578
399 596
420 586
400 614 120 479
421 585
401 582 323 449
422 482
402 589 139 139
TABEL 2. DATA ANTAR UMUR KEGAGALAN MESIN DIESEL SAAT PENGGANTIAN KLEP
ID Mesin Data Antar Umur Kegagalan Klep (Tahun)
𝑻𝟏 𝑻𝟐 𝑻𝟑 𝑻𝟒
327 0.2685
328 0.8932 0.8959 0.0000
330 0.2301
331 0.2384
389 1.7699
390 0.2521
392 0.7068 0.1918 0.1342 0.6685
393 0.1671 1.3096
394 0.6959 0.0603 0.0603 0.9370
395 0.2082 1.2658
396 1.7397
397 0.9562 0.1507 0.4301
400 0.3288 0.9836
401 0.8849 0.3452
402 0.3808 0.0000
404 1.5699
405 0.4521 0.6658 0.5370
406 0.6822
407 0.9425 0.4192
408 0.7260 0.8822
409 0.4548 0.1096 0.3890
411 1.1233 0.4685
415 1.0055
416 0.5534 0.9890 0.0192
Banyak Data 𝒏𝟏 = 𝟐𝟒 𝒏𝟐 = 𝟏𝟓 𝒏𝟑 = 𝟕 𝒏𝟒 = 𝟐
ISBN 978-602-73403-0-5
6
Tampak pada Tabel 1, keseluruhan data umur mesin saat kegagalan klep ada di dalam interval waktu
pengamatan, sehingga data tersebut termasuk dalam kategori complete data. Selanjutnya, data diolah untuk
memperoleh data antar umur kegagalan 𝑇𝑛 = 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1 , 𝑛 = 1,2,3,4, dengan 𝑋0 = 0 dalam satuan tahun
(dibagi 365 hari). Data antar umur kegagalan klep tertampil pada Tabel 2.
2.6. Algoritma Penentuan Distribusi Kegagalan
Setelah data antar umur mesin kegagalan klep diperoleh (Tabel 2), algoritma untuk menentukan distribusi
kegagalan dari data perlu dirancang. Algoritma yang diusulkan adalah algoritma yang memperhatikan
kemungkinan data tidak mengikuti distribusi parametrik yang dikenal sehingga, apabila hal tersebut terjadi,
model yang melibatkan distribusi non-parametrik adalah solusi untuk data tersebut.
Pada Tabel 2, data antar umur kegagalan 𝑇2 mungkin saja mengikuti distribusi kegagalan yang berbeda
dengan 𝑇1 karena kondisi mesin setelah kegagalan klep pertama kali berbeda dengan kondisi mesin saat klep
mesin belum pernah gagal, begitu juga untuk 𝑇2 dan 𝑇3, dst. Sehingga, analisis data dilakukan secara bertahap
dimana 𝑇1 ∪ 𝑇2 (gabungan 𝑇1 dan 𝑇2) diuji apakah masih mengikuti distribusi dari 𝑇1, begitu juga 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪𝑇3terhadap 𝑇1 dan 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 ∪ 𝑇4 terhadap 𝑇1. Oleh karena itu, diperlukan suatu statistik inferensial untuk
menguji dua sampel data apakah mengikuti distribusi kegagalan yang sama. Uji yang dapat digunakan adalah
uji Kolmogorov-Smirnov Dua Sampel (Two Sample KS Test, Lampiran D). Algoritma yang diusulkan juga
perlu memperhatikan beberapa hal tersebut.
Algoritma penentuan distribusi kegagalan disajikan dalam pseudocode dan flowchart pada Gambar 3.
Algoritma tersebut memuat penghitungan ekspektasi banyak kegagalan pada akhir langkah setelah model
pembaruan 𝑀(𝑡) telah ditentukan apakah melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau non-parametrik.
Pseudocode Penentuan Distribusi Kegagalan Data Garansi Strategi Penggantian
I. Mulai.
II. Insialisasi data antar umur kegagalan klep yaitu 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , dan 𝑇4 dengan banyaknya data berurutan
𝑛1, 𝑛2, 𝑛3 dan 𝑛4. Inisialisasi 𝑚 = 4, 𝑘 = 1.
III. Estimasi distribusi parametrik 𝐹 1(𝑡; Ω) dari 𝑇1 sebanyak 𝑛1.
IV. Peroleh data baru 𝑌𝑘 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ …∪ 𝑇𝑘 sebanyak 𝑝 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 dan
𝑌𝑘+1 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ …∪ 𝑇𝑘+1 sebanyak 𝑞 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘+1.
V. Lakukan pengujian apakah 𝑌𝑘+1 berdistribusi 𝐹 1(𝑡; Ω) melalui KS test dua sampel 𝑌𝑘 dan 𝑌𝑘+1.
VI. Jika hasil uji pada langkah V adalah YA, maka lanjut ke langkah VII. Jika hasil uji pada langkah V
adalah TIDAK, maka lanjut ke langkah X.
VII. 𝑘 = 𝑘 + 1. VIII. Cek apakah 𝑘 = 𝑚? Jika YA, lanjut ke langkah IX. Jika tidak, kembali ke langkah IV.
IX. Hitung ekspektasi banyak kegagalan 𝑀(𝑡) melibatkan 𝐹 1(𝑡; Ω) menggunakan metode SMVTI.
X. Estimasi distribusi non-parametrik 𝐹 𝑒(𝑡) dari 𝑇1 sebanyak 𝑛1.
XI. Hitung ekspektasi banyak kegagalan 𝑀 𝑡 melibatkan 𝐹 𝑒(𝑡) menggunakan metode SMVTI..
XII. Selesai.
2.7. Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan menggunakan Metode SMVTI
Penjelasan lengkap tentang metode SMVTI berada di Lampiran A. Penghitungan ekspektasi banyak
kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) melalui metode SMVTI yaitu
I
V
XII
IIIIII IV
X XI
TIDAK
IX
TIDAK
VIII YAVIIVI YA
II
Gambar 3. Flowchart Penentuan Distribusi Kegagalan Data Garansi Strategi Penggantian
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
7
𝑀(𝑡) = 1 + 𝑀 𝑥𝑖−1 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖−1 − 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
(14)
Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡,
dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 , lalu inisialisasi awal 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 =
𝐹 𝑥1 , ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu
memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1, dari persamaan berikut
𝑀 𝑥𝑖 = 1 + 𝑀 𝑥𝑗−1 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗−1 − 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗
𝑖
𝑗=1
(15)
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Estimasi distribusi parametrik 𝐹 1(𝑡; Ω) dari 𝑇1 sebanyak 𝑛1 menggunakan bantuan program easyfit yang
memberikan estimasi berbagai distribusi parametrik yang dikenal saat ini. Easyfit memberikan estimasi dari 55
jenis distribusi parametrik, termasuk distribusi parametrik dari peubah acak kontinu tak-negatif. Hasil estimasi
tersebut selanjutnya dipilah berdasarkan kategori distribusi parametrik dari peubah acak kontinu tak-negatif
yang beberapa diantaranya tertampil pada Tabel 3.
TABEL 3. ESTIMASI DISTRIBUSI PARAMETRIK 𝑭 𝟏(𝒕;𝛀) DARI 𝑻𝟏 SEBANYAK 𝒏𝟏
Nama
Distribusi Parameter (MLE)
KS-Test Keputusan
Statistik P-Value Stat. Uji Sig. 𝛼
Gamma 𝛼 = 2.291 ; 𝛽 = 0.3133 0.1018 0.9431 1.358 0.05 H0 tidak ditolak
Burr 𝑘 = 8.1675 ; 𝛼 = 1.7434 ; 𝛽 = 2.5473 0.1021 0.9422 1.358 0.05 H0 tidak ditolak
Weibull 𝛼 = 1.5966 ; 𝛽 = 0.76302 0.1084 0.9121 1.358 0.05 H0 tidak ditolak
Beta Parameter bentuk : 𝛼1 = 0.5416 ; 𝛼2 = 1.0345
Parameter batas : 𝑎 = 0.1671; 𝑏 = 1.8142 0.1295 0.7692 1.358 0.05 H0 tidak ditolak
Lognormal 𝜎 = 0.6872 ; 𝜇 = −0.55248 0.1394 0.6885 1.358 0.05 H0 tidak ditolak
Log logistik 𝛼 = 2.2613 ; 𝛽 = 0.54809 0.1629 0.4963 1.358 0.05 H0 tidak ditolak
Eksponensial 𝜆 = 1.3929 0.2101 0.2084 1.358 0.05 H0 tidak ditolak
Parreto 𝛼 = 0.80862 ; 𝛽 = 0.1671 0.2211 0.1644 1.358 0.05 H0 tidak ditolak
Berdasarkan Tabel 3, distribusi gamma yang memiliki statistik KS-test terkecil (p-value terbesar)
mengartikan bahwa selisih nilai fungsi distribusi gamma terhadap fungsi distribusi dari data untuk setiap titik
adalah yang terkecil dibanding distribusi parametrik lainnya (peluang data mengikuti distribusi gamma
terbesar). Sehingga 𝑇1~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼 = 2.291, 𝛽 = 0.3133 adalah distribusi parametrik yang terpilih untuk
model pembaruan pada (13a). Fungsi distribusi 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼 = 2.291, 𝛽 = 0.3133 adalah
𝐹1 (𝑡; 𝛼 ,𝛽 ) =
𝑥𝛼 −1𝑒−
𝑥
𝛽
𝛽 𝛼 Γ 𝛼 𝑑𝑥
𝑡
0
(16)
Setelah memperoleh estimasi distribusi parametrik 𝐹1 𝑡; Ω yaitu 𝐹1
(𝑡; 𝛼 ,𝛽 ) pada (16), langkah selanjutnya
adalah langkah IV seperti pada pseudocode dan flowchart penentuan distribusi kegagalan melalui KS-test dua
sampel seperti yang telah dijelaskan di bagian 2.6. Hasil langkah IV tersebut tertampil pada Tabel 4.
TABEL 4. HASIL UJI KS-TEST DUA SAMPEL
K Data Sampel KS-Test Dua Sampel
Keputusan Ket I II Statistik P-Value Stat. Uji Sig. 𝛼
1 𝑌1 = 𝑇1 𝑌2 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 0.1122 0.9921 1.36 0.05 H0 tidak ditolak 𝑌2~𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 )
2 𝑌2 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 𝑌3 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 0.0819 0.9989 1.36 0.05 H0 tidak ditolak 𝑌3~𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 )
3 𝑌3 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 𝑌4 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 ∪ 𝑇4 0.0245 0.9999 1.36 0.05 H0 tidak ditolak 𝑌4~𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 )
Berdasarkan Tabel 4, 𝑌2 i.i.d. terhadap 𝑇1~𝐹1 (𝑡; 𝛼 ,𝛽 ), berarti bahwa penambahan data 𝑇2 pada 𝑇1 yaitu
𝑇1 ∪ 𝑇2 memiliki distribusi yang sama dengan 𝑇1 jika hanya jika 𝑇2 berasal dari populasi yang sama dengan
𝑇1, dengan kata lain 𝑇2 i.i.d. terhadap 𝑇1. Hal tersebut berlaku juga untuk 𝑌3 i.i.d. terhadap 𝑇1 dan 𝑌4 i.i.d.
terhadap 𝑇1. Sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , dan 𝑇4 i.i.d. terhadap 𝑇1yang memiliki
fungsi distribusi 𝐹1 (𝑡; 𝛼 ,𝛽 ) pada (16).
Setelah didapati bahwa data antar umur kegagalan 𝑇1 , 𝑇2, 𝑇3 , dan 𝑇4 i.i.d. terhadap 𝑇1, maka model pembaruan
pada (13.a) dapat diperoleh yaitu
ISBN 978-602-73403-0-5
8
𝑀 𝑔 𝑡 = 𝐹1 𝑡; 𝛼 ,𝛽 + 𝑀 𝑔 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹1
𝑡; 𝛼 ,𝛽
𝑡
0
(17)
Dengan ini berarti (12) menjadi 𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑀 𝑔(𝑡) sehingga model biaya garansi seperti pada (4) menjadi
𝑆 = 𝑐𝑠𝑀 𝑔(𝑡). Selanjutnya, estimasi 𝑀 𝑔 𝑡 pada (17) dilakukan dengan menggunakan metode SMVTI.
Melalui SMVTI, 𝑀 𝑔 𝑡 pada (17) diestimasi. Lalu, diperoleh ekspektasi banyak kegagalan dan estimasi
biaya garansi dengan masa garansi 0.5; 1; 1.5; 2; dan 2.5 tahun adalah seperti tertampil pada Tabel 5.
TABEL 5. EKSPEKTASI BANYAK KEGAGALAN DAN ESTIMASI BIAYA GARANSI UNTUK MASA GARANSI TERTENTU Masa Garansi
(Tahun) Ekspektasi Banyak Kegagalan Estimasi Biaya Garansi
0.5 0.4262 0.4262 𝑐𝑠
1 1.1055 1.1055 𝑐𝑠
1.5 1.7970 1.7970 𝑐𝑠
2 2.4887 2.4887 𝑐𝑠
2.5 3.1803 3.1803 𝑐𝑠
Tampak pada Tabel 5, estimasi biaya garansi meningkat sebanding dengan lama masa garansi. Peningkatan
estimasi biaya garansi terhadap masa garansi hampir linier.
IV. SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan data tentang penggantian klep mesin diesel yang telah diolah, melalui algoritma penentuan
distribusi kegagalan, didapati data tersebut mengikuti distribusi kegagalan parametrik yaitu distribusi
𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼 = 2.291, 𝛽 = 0.3133 . Selanjutnya, estimasi biaya garansi dengan masa garansi tertentu
diperoleh dari model pembaruan yang melibatkan distribusi gamma tersebut melalui metode SMVTI pada
Tabel 5. Estimasi biaya garansi meningkat sebanding dengan lama masa garansi.
Didapati data mengikuti distribusi parametrik melalui algoritma penentuan distribusi kegagalan. Hal
tersebut menyebabkan perlu adanya kajian atau penelitian lebih lanjut untuk data garansi yang tidak
mengikuti distribusi parametrik sehingga model dan estimasi biaya garansi nantinya melibatkan distribusi
non-parametrik.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Sasongko, L.R., (2014). Copula untuk Memodelkan Kegagalan Dua Dimensi pada Produk Bergaransi dengan Strategi
Penggantian. Tesis Pascasarjana Magister Aktuaria-ITB. Bandung. [2] Baik, J., Murthy, D. N. P. dan Jack, N. (2004). Two-Dimensional Failure Modelling with Minimal Repair. Naval Research
Logistics. 51. 345–362. [3] Baik, J., Murthy, D. N. P. and Jack, N. (2006). Erratum:Two-Dimensional Failure Modeling with Minimal Repair, Naval Research
Logistics, 53, 115-116. [4] Blischke, W. R., Murthy, D. N. P. (199ss4). Warranty Cost Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York. [5] Blischke, W. R., Karim, R., Murthy, D. N. P. (2011). Warranty Data Collection and Analysis. Springer Series in Reliablity
Engineering, London. [6] Maghsoodloo, S. dan Helvaci, D. (2014). Renewal and Renewal-Intensity Function with Minimal Repair. Journal of Quality and
Reliablity Engineering. 2014. ID : 857437. [7] Klugman, S.A., Panjer, H.H., and Wilmott, G.E. (2004). Loss Models : from Data to Decision 2nd Edition. Wiley Interscience. A
John Wiley & Sons, Inc. New Jersey. USA. [8] Tse, Y. K. (2009). Nonlife Actuarial Models : Theory, Methods, and Evaluation. Cambridge University Press. [9] Panchenko, P. 2005. Statistics for Application. MIT Course Number.
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
9
LAMPIRAN A. METODE SMVTI UNTUK MENGHITUNG PERSAMAAN INTEGRAL PEMBARUAN, 𝑴 𝒕 .
Diketahui 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 adalah fungsi kontinu pada 𝑎, 𝑏 dan 𝑔 𝑥 dapat diintegralkan di setiap 𝑥 ∈ 𝑎,𝑏 . Menurut
Second Mean Value Theorem for Integrals, nilai pendekatan 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎 dapat diperoleh melalui
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈ 𝑓 𝑐 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
untuk suatu 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 .
Diketahui persamaan integral pembaruan (renewal integral equation), 𝑀 𝑡 , didefinisikan oleh
𝑀 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹(𝑢)
𝑡
0
= 𝑑𝐹 𝑢 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹 𝑢
𝑡
0
𝑡
0
= [1 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 ]𝑑𝐹(𝑢)
𝑡
0
Dengan melakukan perubahan peubah yaitu 𝑣 = 𝑡 − 𝑢 ⇒ 𝑢 = 𝑡 − 𝑣 ; 𝑑𝑢 = −𝑑𝑣 ⇒ 𝑑𝑣 = −𝑑𝑢, saat 𝑢 = 0 ⇒ 𝑣 = 𝑡
dan saat 𝑢 = 𝑡 ⇒ 𝑣 = 0, maka 𝑀 𝑡 menjadi
𝑀(𝑡) = − 1 + 𝑀 𝑣 𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣
𝑡
0
Dengan membagi interval [0, 𝑡) sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡, dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡 untuk 𝑖 =
1,2,… , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 , diperoleh
𝑀(𝑡) = − [1 + 𝑀 𝑣 ]𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣 +
𝑥1
0
[1 + 𝑀 𝑣 ]𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣 + ⋯ +
𝑥2
𝑥1
[1 + 𝑀 𝑣 ]𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣
𝑥𝑛
𝑥𝑛−1
𝑀(𝑡) = − [1 + 𝑀 𝑣 ]𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣
𝑥𝑖
𝑥𝑖−1
𝑛
𝑖=1
Dengan menerapkan SMVTI di ujung kiri, diperoleh
𝑀(𝑡) = [1 + 𝑀 𝑥𝑖−1 ] − 𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣
𝑥𝑖
𝑥𝑖−1
𝑛
𝑖=1
𝑀(𝑡) = [1 + 𝑀 𝑥𝑖−1 ] 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖−1 − 𝐹(𝑡 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
dengan inisial awal 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Persamaan di atas digunakan untuk memperoleh ekspektasi
banyak kegagalan komponen produk pada masa garansi [0, 𝑡) dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀(𝑥𝑖),
𝑖 = 2,3,… , 𝑛 − 1, yaitu dari persamaan
𝑀(𝑥𝑖) = [1 + 𝑀 𝑥𝑗−1 ] 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗−1 − 𝐹(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 )
𝑖
𝑗 =1
LAMPIRAN B. MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE) [5]
Estimator maksimum likelihood (MLE) diperoleh dari memaksimalkan fungsi likelihood, yang didefinisikan sebagai
distribusi gabungan dari masing-masing sampel acak. Fungsi likelihood untuk complete data didefinisikan oleh
𝐿 𝑌1 , 𝑌2 , … ,𝑌𝑛 ; 𝜽 = 𝑓(𝑌𝑖 ; 𝜽)
𝑛
𝑖=1
Untuk memudahkan perhitungan, yang dapat dilakukan adalah memaksimumkan logaritma natural dari fungsi likelihood,
log 𝐿. Untuk memaksimumkan log 𝐿, dengan vektor parameter 𝜽 dan asumsi differentiability, dilakukan dengan
menyamakan turunan fungsi log 𝐿 ke nol lalu memperoleh solusi persamaannya. Jika perlu, persamaan tersebut
diselesaikan dengan metode numerik.
LAMPIRAN C. UJI KOLMOGOROV-SMIRNOV SATU SAMPEL [5]
Uji Kolmogorov-Smirnov Satu Sampel merupakan salah satu uji goodness of fit yang menguji hipotesis H0 : data
mengikuti distribusi parametrik 𝐹 (𝑡; 𝛀), sedangkan hipotesis H1 : data tidak mengikuti distribusi parametrik 𝐹 (𝑡; 𝛀)
dimana 𝛀 telah terlebih dahulu diestimasi. Statistik uji Kolmogorov-Smirnov dinotasikan 𝐷𝑛 yang menyatakan
perbedaan terbesar antara fungsi distribusi empirik lampiran E dan 𝐹 (𝑡; 𝛀) yaitu
𝐷𝑛 = max 𝐷𝑛−, 𝐷𝑛
+
dimana
ISBN 978-602-73403-0-5
10
𝐷𝑛− = max
𝑖=1,…,𝑛 𝑖
𝑛− 𝐹 (𝑦𝑖 ;𝛀) dan 𝐷𝑛
+ = max𝑖=1,…,𝑛
𝐹 (𝑦𝑖 ; 𝛀) −𝑖 − 1
𝑛
dengan 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1,2,…𝑛 (ordered statistic) adalah data yang telah diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.
Pengambilan kesimpulan uji ini adalah H0 ditolak jika 𝐷𝑛 melebihi batas 𝐷 = 𝑑𝛼 𝑛−1/2 + 0.11𝑛−1/2 + 0.12
−1, dimana
𝑑𝛼 = 1.224; 1.358; atau 1.628 untuk 𝛼 berurutan 𝛼 = 0.10; 0.05; atau 0.01. Atau, H0 ditolak jika Pr 𝐷𝑛 ≤ 𝐷 < 𝛼.
LAMPIRAN D. UJI KOLMOGOROV-SMIRNOV DUA SAMPEL
Misal sampel pertama 𝑋1 , … , 𝑋𝑚 memiliki distribusi dengan fungsi distribusi 𝐹(𝑥) dan sampel kedua 𝑌1 , … , 𝑌𝑛 memiliki
distribusi dengan fungsi distribusi 𝐺(𝑥) dan kita akan menguji
H0 ∶ 𝐹 = 𝐺
Jika 𝐹𝑚 (𝑥) dan 𝐺𝑛(𝑥) adalah fungsi distribusi empirik yang bersesuaian dengan sampel 𝑋1 , … , 𝑋𝑚 dan 𝑌1, … , 𝑌𝑛 , maka
statistik uji Kolmogorov-Smirnov dua sampel diperoleh dari
𝐷𝑚𝑛 = 𝑚𝑛
𝑚 + 𝑛
1/2
sup𝑥
𝐹𝑚 𝑥 − 𝐺𝑛(𝑥)
Pengambilan kesimpulan hasil uji ini adalah H0 ditolak jika 𝐷𝑚𝑛 melebihi batas 𝑐 𝛼 , dimana 𝑐 𝛼 = 1.224; 1.358;
atau 1.628 untuk 𝛼 berurutan 𝛼 = 0.10; 0.05; atau 0.01. Atau, H0 ditolak jika Pr 𝐷𝑚𝑛 ≤ 𝑐 𝛼 < 𝛼.
LAMPIRAN E. FUNGSI DISTRIBUSI EMPIRIK [8]
Fungsi distribusi empirik dikonstruksi dari data 𝑦𝑗 (ordered statistic), data berbeda yang telah diurutkan dari yang
terkecil hingga yang terbesar. Dengan 𝑤𝑗 menyatakan banyak 𝑦𝑗 yang sama, dan 𝑔𝑗 = 𝑤𝑘 .𝑗𝑘=1 Fungsi distribusi
empirik dinyatakan oleh
𝐹𝑒 𝑦 =
0 untuk 𝑦 < 𝑦1 𝑔𝑗
𝑛untuk 𝑦𝑗 ≤ 𝑦 < 𝑦𝑗 +1 , 𝑗 = 1,… , 𝑚 − 1
1 untuk 𝑦𝑚 ≤ 𝑦
Untuk menghitung 𝐹𝑒 𝑦 di 𝑦 yang tidak berada dalam 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚 , kita perlu menghaluskan 𝐹𝑒 𝑦 atau disebut fungsi
distribusi empirik halus (smoothed empirical distribution function), yaitu
𝐹 𝑒 𝑦 =𝑦 − 𝑦𝑗
𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗𝐹𝑒 𝑦𝑗+1 +
𝑦𝑗+1 − 𝑦
𝑦𝑗 +1 − 𝑦𝑗𝐹𝑒 𝑦𝑗
dimana 𝑦𝑗 ≤ 𝑦 < 𝑦𝑗 +1 untuk 𝑗 = 1,… , 𝑚 − 1. Jadi 𝐹 𝑒 𝑦 , fungsi distribusi empirik halus, adalah interpolasi linear dari
𝐹𝑒 𝑦𝑗 +1 dan 𝐹𝑒 𝑦𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑚 − 1.
LAMPIRAN F. FUNGSI DISTRIBUSI KERNEL (TSE, 2009)
Sama halnya dengan fungsi distribusi empirik, fungsi distribusi Kernel juga dikonstruksi dari data 𝑥𝑖 (ordered statistic).
Fungsi distribusi Kernel didefinisikan oleh
𝐹 𝐾 𝑥 =1
𝑛 𝐾 𝜓 𝑑𝜓
(𝑥−𝑥𝑖)/𝑏
−𝑥𝑖/𝑏
𝑛
𝑖=1
dimana b menyatakan lebar langkah (bandwitch) dan 𝐾 𝜓 disebut fungsi kernel yang terdiri dari berbagai macam jenis,
tiga di antaranya adalah fungsi kernel persegi panjang, segitiga, dan Gaussian, yang masing-masing didefinisikan oleh
Fungsi kernel persegi panjang
𝐾𝑅 𝜓 = 0.5 −1 ≤ 𝜓 ≤ 10 lainnya
Fungsi kernel segitiga
𝐾𝑇 𝜓 = 1 − |𝜓| −1 ≤ 𝜓 ≤ 1
0 lainnya
Fungsi kernel gausian
𝐾𝐺 𝜓 =1
2𝜋𝑒𝑥𝑝 −
𝜓2
2 , untuk − ∞ < 𝜓 < ∞ .
REVISI MAKALAH 1
1. Metode Penelitian Sub Bab 2.7 Penghitungan Ekspektasi Banyak
Kegagalan menggunakan Metode SMVTI (Hal. 7)
Sebelum revisi
Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) sama panjang, yaitu
𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡, dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛
dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 , lalu inisialisasi awal 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 ,
ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh
dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 =
2, 3, … , 𝑛 − 1, dari persamaan berikut
Sesudah revisi
Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) menjadi 𝑛 sub-interval
sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡. Dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡,
untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 . Setelah itu, inisialisasi awal untuk
𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Ekspektasi banyak kegagalan dalam
masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh
satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dari persamaan berikut
2. Lampiran (Hal. 10)
Sebelum revisi
LAMPIRAN F. FUNGSI DISTRIBUSI KERNEL (TSE, 2009)
Sesudah revisi
LAMPIRAN F. FUNGSI DISTRIBUSI KERNEL [8]
MAKALAH 2 (Telah diseminarkan dalam Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains 2015
UMP, 12 Desember 2015)
1 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
2 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
empirik bersifat diskrit. Oleh karena itu, fungsi distribusi empirik perlu diperhalus atau disebut
fungsi distribusi empirik halus.
Data yang dibahas dalam makalah ini adalah data penggantian klep mesin diesel yang diperoleh
dari Blischke (2011). Dengan asumsi yang digunakan meliputi besar biaya per klaim yang tetap
sehingga model biaya garansi hanya dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan komponen
produk bergaransi. Asumsi lain adalah persediaan komponen jumlahnya tak terbatas, komponen-
komponen identik dan saling bebas, tidak menggunakan komponen yang berbeda merek/brand,
semua klaim tentang kegagalan komponen produk dilaporkan langsung dan valid, serta waktu
penggantian dilakukan sangat singkat sehingga dapat diabaikan. Beberapa asumsi lainnya ada di
dalam model biaya garansi yang dijelaskan pada bagian II.
Dua hal yang menjadi tujuan makalah ini adalah memperoleh model biaya garansi yang
melibatkan distribusi empirik halus dan estimasi biaya garansi dari model tersebut menggunakan
metode SMVTI termodifikasi dengan perubahan peubah seperti yang digunakan Greselda dkk.
(2015).
Diharapkan makalah ini menjadi informasi tentang cara menentukan model dan estimasi biaya
garansi yang melibatkan distribusi empirik halus yang mudah untuk dipahami oleh para pengamat
garansi atau mereka yang tidak memahami ilmu peluang terkhusus distribusi parametrik.
METODE PENELITIAN
2.1. Model Biaya Garansi
Notasi-notasi pada model umum biaya garansi yaitu
𝑆 : peubah acak (p.a.) total biaya kompensasi yang dikeluarkan produsen untuk suatu komponen
produk bergaransi dengan polis tertentu,
𝑁 : p.a. banyak kegagalan suatu komponen produk bergaransi dalam masa garansi tertentu,
𝐶𝑖 : p.a. besar biaya kompensasi yang diberikan atas klaim kegagalan ke-𝑖 suatu komponen produk
bergaransi.
Peubah 𝑆 didefinisikan sebagai
𝑆 = 𝐶𝑖
𝑁
𝑖=0
= 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑁 (1)
Ekspektasi biaya garansi 𝐸 𝑆 dapat diperoleh dengan asumsi-asumsi kebebasan yang dikenakan
pada (1) menurut Klugman (2004), salah satunya adalah bersyarat di 𝑁 = 𝑛; 𝐶1 ,𝐶2 ,… , 𝐶𝑛 adalah
peubah acak identik dan saling bebas dengan suatu peubah 𝐶.
Berdasarkan Blischke (2011) dan Klugman (2004), ekspektasi biaya garansi adalah
𝐸 𝑆 = 𝐸 𝑁 𝐸 𝐶 (2)
Untuk kasus komponen non-repairable dengan asumsi-asumsi dan batasan pada bagian I serta
asumsi efek inflasi diabaikan, 𝐸 𝐶 konstan atau 𝐸 𝐶 = 𝑐𝑠 , sehingga ekspektasi biaya garansi
𝐸 𝑆 = 𝑐𝑠𝐸 𝑁 (3)
dengan 𝑐𝑠 adalah biaya yang dikeluarkan produsen untuk mengganti komponen yang gagal dengan
komponen baru. Peubah acak 𝑁 adalah fungsi terhadap waktu atau 𝑁 adalah proses hitung satu
dimensi dan perolehan formulasi 𝐸 𝑁 melibatkan proses stokastik. Persamaan (3) menunjukkan
bahwa model biaya garansi dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan.
3 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
2.2. Memodelkan Kegagalan Pertama (Modelling First Failure)
Notasi peubah-peubah acak yang digunakan untuk memodelkan kegagalan komponen adalah
𝑋𝑛 : p.a. kontinu tak-negatif yang menyatakan umur komponen saat terjadi kegagalan ke- 𝑛,
𝑇𝑛 : p.a. kontinu tak-negatif yang menyatakan antar umur komponen saat kegagalan ke- (𝑛 − 1)
hingga ke- 𝑛 dimana 𝑇𝑛 = 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1 ,𝑛 = 1,2,3, … dengan 𝑋0 = 0,
𝑁 𝑡, 𝑠 : proses hitung satu dimensi atau peubah acak yang menyatakan banyak kegagalan
komponen pada interval umur 𝑡, 𝑠 . Untuk interval 0, 𝑡 , penulisan 𝑁 0, 𝑡 = 𝑁 𝑡
dimaksudkan agar lebih singkat.
Peubah acak 𝑇1 = 𝑋1 memiliki fungsi distribusi kegagalan
𝐹 𝑡 = 𝑃𝑟 𝑇1 ≤ 𝑡 (4)
2.3. Memodelkan Kegagalan-Kegagalan dari Waktu ke Waktu (Modelling Failures Over Time)
Kasus Komponen Non-Repairable
Hubungan ketiga peubah acak 𝑋𝑛 , 𝑇𝑛 , dan 𝑁 𝑡 ada pada himpunan waktu yang saling
ekuivalen yaitu
𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 ≡ 𝑡 𝑋𝑛 ≤ 𝑡} ≡ 𝑡 𝑇𝑖
𝑛
𝑖=1
≤ 𝑡 (5)
Melalui persamaan (5), peluang 𝑁 𝑡 = 𝑛 diperoleh dari
𝑃𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑃𝑟 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 − 𝑃𝑟 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 + 1 (6a)
𝑃𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑃𝑟 𝑇𝑖
𝑛
𝑖=1
≤ 𝑡 − 𝑃𝑟 𝑇𝑖
𝑛+1
𝑖=1
≤ 𝑡 (6b)
Untuk kasus komponen non-repairable, laju kegagalan setelah kegagalan ke-𝑛 serupa saat laju
kegagalan komponen sejak pertama kali digunakan, hal ini ditunjukkan pada ilustrasi Gambar 1.
Gambar 1. Contoh Grafik Laju Kegagalan Strategi Penggantian
Gambar 1 menunjukkan bahwa 𝑇1 ,𝑇2 ,𝑇3 ,… , 𝑇𝑛 berdistribusi identik dan saling bebas atau i.i.d
dengan 𝐹 𝑡 pada (4), sehingga 𝑇𝑖𝑛𝑖=1 ~𝐹 𝑛 𝑡 dimana 𝐹 𝑛 𝑡 adalah n-fold convolution “dari
dan dengan” 𝐹 𝑡 sendiri. Dengan demikian (6b) menjadi
𝑃𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝐹 𝑛 𝑡 − 𝐹 𝑛+1 𝑡 (7)
Selanjutnya, ekspektasi banyak kegagalan komponen pada interval [0, 𝑡) diperoleh dari
𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑛𝑃𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑛
∞
𝑛=1
= 𝐹 𝑛 𝑡
∞
𝑛=1
(8)
4 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
Ekspektasi banyak kegagalan komponen pada interval [0, 𝑡) didapat dengan bantuan persamaan
integral pembaruan (renewal integral equation), sehingga persamaan (8) menjadi
𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑀 𝑡 (9)
dimana 𝑀 𝑡 disebut persamaan integral pembaruan yang didefinisikan sebagai
𝑀 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹 𝑢
𝑡
0
(10a)
atau
𝑀 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐹 𝑡 − 𝑢 𝑑𝑀 𝑢
𝑡
0
(10b)
2.4. Fungsi Distribusi Kegagalan pada Model Pembaruan
Persamaan 𝑀 𝑡 (disebut model pembaruan) pada (10a) melibatkan fungsi distribusi
kegagalan 𝐹 𝑡 seperti pada (4). Fungsi distribusi kegagalan yang digunakan dalam makalah ini
adalah distribusi kegagalan non-parametrik yaitu distribusi empirik halus.
2.5. Fungsi Distribusi Empirik Halus
Fungsi distribusi empirik dikonstruksi dari data 𝑥𝑗 (ordered statistic), data berbeda yang telah
diurutkan mulai dari yang terkecil hingga yang terbesar (Tse, 2009). Dengan 𝑤𝑗 menyatakan
banyak 𝑥𝑗 , dan 𝑔𝑗 = 𝑤𝑖 .𝑗𝑖=1 Fungsi distribusi empirik diperoleh melalui (11) (Tse, 2009)
𝐹𝑒 𝑥 =
0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑥1 𝑔𝑗
𝑛𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥𝑗 ≤ 𝑥 < 𝑥𝑗+1 ,𝑥 = 1,… , 𝑚 − 1 (11)
1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥𝑚 ≤ 𝑥
Misalkan dalam sebuah kasus terdapat data sebanyak 𝑛 = 10 dengan nilai-nilainya adalah
6,2,4,7,9,2,4,2,3,7 dan akan ditentukan fungsi distribusi empiriknya. Untuk mengolah data tersebut,
pertama-tama menentukan 𝑥𝑗 , dimana 𝑥𝑗 adalah nilai-nilai pada data yang berbeda dan telah
diurutkan dari kecil ke besar, sehingga nilai yang sama hanya ditulis sekali. Sedangkan 𝑤𝑗 adalah
banyaknya 𝑥𝑗 . Sehingga pada data tersebut, nilai 2 banyaknya ada 3 atau 𝑥1 = 2 maka 𝑤1 = 3, dst.
Selanjutnya 𝑔𝑗 adalah kumulatif dari nilai-nilai 𝑤𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑗. Dengan cara tersebut
diperoleh 𝑥𝑗 , 𝑤𝑗 , dan 𝑔𝑗 untuk 𝑗 = 1,2,3,4,5,6 seperti pada Tabel 1.
TABEL 1. Ilustrasi Pengolahan Data untuk Estimasi Fungsi Distribusi Empirik
𝑗 1 2 3 4 5 6
𝑥𝑗 2 3 4 6 7 9
𝑤𝑗 3 1 2 1 2 1
𝑔𝑗 3 4 6 7 9 10
Untuk nilai 𝐹𝑒 𝑥 dari setiap interval data dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (11).
Hasil penghitungan 𝐹𝑒 𝑥 dapat dilihat pada Tabel 2.
TABEL 2. Fungsi Distribusi Empirik, 𝐹𝑒 𝑥 , dari Ilustrasi
Interval data [0,2) [2,3) [3,4) [4,6) [6,7) [7,9) [9, ∞)
𝐹𝑒 𝑥 0 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 1
Dengan melihat Tabel 2, tampak bahwa peluang kumulatif pada nilai 𝑥 yang berbeda pada suatu
interval yang sama adalah sama besar. Sebagai contoh, di 𝑥𝑎 = 2,5 dan 𝑥𝑏 = 2,7 memiliki
𝐹𝑒 2,5 = 𝐹𝑒 2,7 = 0,3. Hal ini menunjukkan bahwa distribusi empirik kurang ideal. Seharusnya
5 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
untuk 𝑥𝑎 < 𝑥𝑏 maka 𝐹𝑒(𝑥𝑎) < 𝐹𝑒(𝑥𝑏), karena hal tersebut berkaitan dengan umur kegagalan.
Semakin tua umur komponen maka idealnya peluang kegagalannya semakin besar. Selain itu, hal
tersebut dikarenakan sifat semua fungsi distribusi adalah fungsi monoton naik. Oleh karena itu,
𝐹𝑒(𝑥) perlu dihaluskan, sehingga didapati nilai peluang yang berbeda untuk setiap nilai 𝑥. Fungsi
distribusi empirik halus (smoothed empirical distribution function) dinyatakan oleh
𝐹 𝑒 𝑥 =𝑥 − 𝑥𝑗
𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗𝐹𝑒 𝑥𝑗+1 +
𝑥𝑗+1 − 𝑥
𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗𝐹𝑒 𝑥𝑗 (12)
Persamaan (12) dapat disederhanakan menjadi
𝐹 𝑒 𝑥 = 𝐴𝑗𝑥 + 𝐵𝑗 (13)
dengan
𝐴𝑗 =𝐹𝑒 𝑥𝑗+1 −𝐹𝑒 𝑥𝑗
𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗 dan 𝐵𝑗 =
𝑥𝑗+1 𝐹𝑒 𝑥𝑗 − 𝑥𝑗 𝐹𝑒 𝑥𝑗+1
𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗
untuk 𝑥𝑗 ≤ 𝑥 < 𝑥𝑗+1 dan 𝑗 = 1, … , 𝑚 − 1. Jadi 𝐹 𝑒 𝑥 pada (12) adalah interpolasi linear dari
𝐹𝑒 𝑥𝑗+1 dan 𝐹𝑒 𝑥𝑗 , untuk 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑚 − 1. Sehingga didapati bentuk lain seperti pada (13)
yang merupakan fungsi linear.
2.5. Data
Data yang digunakan adalah data sekunder tentang penggantian klep mesin diesel yang diperoleh
dari Blischke (2011). Data dengan nama produk yang dirahasiakan tersebut merupakan hasil
pengamatan dari 41 mesin diesel yang masing-masing data dalam interval waktu pengamatan
tertentu. Dari 41 mesin diesel, 24 mesin mengalami satu kali kegagalan pada klep mesin dan segera
dilakukan penggantian. Klep mesin yang gagal saat umur mesin tertampil pada Tabel 3 dengan
asumsi lama waktu penggantian klep yang gagal dengan klep yang baru di bengkel diabaikan.
TABEL 3. Data Umur Mesin Diesel saat Penggantian Klep
ID
Mesin
Lama Waktu
Pengamatan
(hari)
Data Umur Mesin saat
Penggantian Klep (hari)
ID
Mesin
Lama Waktu
Pengamatan
(hari)
Data Umur Mesin saat
Penggantian Klep (hari)
251 761
403 593
252 759
404 589 573
327 667 98 405 606 165
328 667 326 406 594 249
329 665
407 613 344
330 667 84 408 595 265
331 663 87 409 389 166
389 653 646 410 601
390 653 92 411 601 410
391 651
412 611
392 650 258 413 608
393 648 61 414 587
394 644 254 415 603 367
395 642 76 416 585 202
396 641 635 417 587
397 649 349 418 578
398 631
419 578
399 596
420 586
400 614 120 421 585
401 582 323 422 482
402 589 139
Tampak pada Tabel 3, keseluruhan data tersebut termasuk dalam kategori complete data, dengan
maksud data umur mesin saat terjadi kegagalan klep berada didalam interval waktu pengamatan.
Selanjutnya, data diolah dalam satuan tahun (dibagi 365 hari). Data antar umur kegagalan klep
tertampil pada Tabel 4.
6 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
TABEL 4. Data Antar Umur Kegagalan Mesin Diesel saat Penggantian Klep
Data yang digunakan adalah data 𝑇1 pada Tabel 4. Data tersebut akan diolah untuk memperoleh
estimasi distribusi empirik halus 𝐹𝑒 (𝑡) dan selanjutnya menghitung ekspektasi banyak kegagalan
𝑀(𝑡) melibatkan 𝐹𝑒 (𝑡).
2.6. Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan Menggunakan Metode SMVTI
Penghitungan ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) melalui metode SMVTI
seperti yang digunakan Greselda dkk. (2015) yaitu
𝑀(𝑡) = 1 + 𝑀 𝑥𝑖−1 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖−1 − 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
(14)
Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) menjadi 𝑛 sub-interval sama panjang, yaitu
𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡 dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 . Lalu
inisialisasi awal untuk 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Ekspektasi banyak kegagalan dalam
masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dari persamaan berikut
𝑀 𝑥𝑖 = 1 + 𝑀 𝑥𝑗−1 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗−1 − 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗
𝑖
𝑗=1
(15)
HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan data pada Tabel 4, diperoleh estimasi fungsi distribusi empiriknya seperti pada
Tabel 5 dan grafik fungsi distribusi empirik tersebut tertampil pada Gambar 2.
TABEL 5. Estimasi Fungsi Distribusi Empirik dari Data
Interval
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝐹𝑒(𝑥)
Interval
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝐹𝑒(𝑥) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 0 0.1671 0 0.6822 0.6959 0.5417
0.1671 0.1671 0.0417 0.6959 0.7068 0.5833
0.1671 0.2082 0.0833 0.7068 0.7260 0.6250
0.2082 0.2301 0.1250 0.7260 0.8849 0.6667
0.2301 0.2384 0.1667 0.8849 0.8932 0.7083
0.2384 0.2521 0.2083 0.8932 0.9425 0.7500
0.2521 0.2685 0.2500 0.9425 0.9562 0.7917
0.2685 0.3288 0.2917 0.9562 1.0055 0.8333
0.3288 0.3808 0.3333 1.0055 1.1233 0.8750
0.3808 0.4521 0.3750 1.1233 1.5699 0.9167
0.4521 0.4548 0.4167 1.5699 1.7397 0.9583
0.4548 0.5534 0.4583 1.7397 1.7699 1.0000
0.5534 0.6822 0.5000
ID Mesin Data Antar Umur Kegagalan Klep (𝑻𝟏) ID Mesin Data Antar Umur Kegagalan Klep (𝑻𝟏)
327 0.2685 400 0.3288
328 0.8932 401 0.8849
330 0.2301 402 0.3808
331 0.2384 404 1.5699
389 1.7699 405 0.4521
390 0.2521 406 0.6822
392 0.7068 407 0.9425
393 0.1671 408 0.7260
394 0.6959 409 0.4548
395 0.2082 411 1.1233
396 1.7397 415 1.0055
397 0.9562 416 0.5534
Banyak Data 𝒏 = 𝟐𝟒
7 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
Gambar 2. Grafik Fungsi Distribusi Empirik.
Pada Gambar 2, sumbu 𝑥 menyatakan antar umur kegagalan pertama, dan sumbu 𝑦 menyatakan
peluang kegagalan klep mesin diesel pertama kali dari setiap titik pada sumbu 𝑥. Setelah diperoleh
fungsi distribusi empirik dari data seperti pada Tabel 5, maka fungsi tersebut dihaluskan menjadi
fungsi distribusi empirik halus dengan menggunakan (13). Parameter-parameter fungsi distribusi
empirik halus tiap-tiap interval tertampil pada Tabel 6.
TABEL 6. Estimasi Fungsi Distribusi Empirik Halus dari Data
Interval
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Fungsi Distribusi Empirik Halus
𝐹𝑒 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵
𝑎 𝑏 𝐴 𝐵 0 0.1671 0 0
0.1671 0.2082 1.0122 -0.1274
0.2082 0.2301 1.9041 -0.3131
0.2301 0.2384 5.0241 -1.0310
0.2384 0.2521 3.0365 -0.5572
0.2521 0.2685 2.5427 -0.4327
0.2685 0.3288 0.6915 0.0643
0.3288 0.3808 0.8000 0.0287
0.3808 0.4521 0.5849 0.1106
0.4521 0.4548 15.4444 -6.6074
0.4548 0.5534 0.4219 0.2248
0.5534 0.6822 0.3238 0.2791
0.6822 0.6959 3.0438 -1.5765
0.6959 0.7068 3.8165 -2.1142
0.7068 0.7260 2.1719 -0.9518
0.7260 0.8849 0.2624 0.4345
0.8849 0.8932 5.0120 -3.7685
0.8932 0.9425 0.8458 -0.0472
0.9425 0.9562 3.0438 -2.1188
0.9562 1.0055 0.8438 -0.0152
1.0055 1.1233 0.3540 0.4774
1.1233 1.5699 0.0934 0.7701
1.5699 1.7397 0.2450 0.5321
1.7397 1.7699 1.3808 -1.4439
Grafik fungsi distribusi empirik dan empirik halus tertampil pada Gambar 3. Selain itu,
gambaran tentang distribusi Gamma sebagai hasil dari penelitian Greselda dkk. (2015) juga dapat
dilihat dalam Gambar 3.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
F(x
)
Fungsi Distribusi Empirik
8 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
Gambar 3. Grafik Fungsi Distribusi Empirik, Empirik Halus, dan Gamma (Greselda dkk., 2015)
Setelah mendapatkan nilai peluang dari sembarang titik dari distribusi empirik halus maka
diperoleh model pembaruan seperti pada (10a) yaitu
𝑀𝑒 𝑡 = 𝐹𝑒 𝑡 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹𝑒 𝑡 (16)
𝑡
0
Dengan ini berarti (9) menjadi 𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑀𝑒 𝑡 sehingga model biaya garansi seperti pada (3)
menjadi 𝐸 𝑆 = 𝑐𝑠𝑀𝑒 𝑡 . Selanjutnya, estimasi 𝑀𝑒
𝑡 pada (16) dilakukan dengan menggunakan
metode SMVTI seperti yang diusulkan Greselda dkk. (2015).
Melalui SMVTI, 𝑀𝑒 𝑡 pada (16) diestimasi. Lalu, diperoleh ekspektasi banyak kegagalan dan
estimasi biaya garansi dengan masa garansi 0.5; 1; 1.5; 2; dan 2.5 tahun tertampil pada Tabel 7.
Selain itu, ditampilkan juga estimasi biaya garansi yang melibatkan distribusi Gamma seperti hasil
penelitian Greselda dkk. (2015). Tabel 7 menunjukkan bahwa hasil yang diperoleh dengan
menggunakan distribusi kegagalan empirik tidak berbeda jauh dengan hasil yang diperoleh dengan
menggunakan distribusi kegagalan Gamma, dengan persentase perbedaan kurang dari 20%. Hal ini
menunjukkan bahwa perbedaan dari nilai estimasi biaya garansi dengan menggunakan distribusi
empirik dan Gamma tidaklah signifikan. Namun, hasil estimasi biaya garansi tersebut tidak bisa
dianggap sebanding atau sama, karena yang dibandingkan hanyalah estimasi 𝑀(𝑡), tidak ada
pembanding lain seperti variansi atau simpangan baku dari 𝑀 𝑡 . Sehingga perlu adanya uji
mengenai perbedaan estimasi empirik.
TABEL 7. Estimasi Biaya Garansi dari Model Masa Garansi
(Tahun)
Estimasi Biaya Garansi dengan
Distribusi Empirik Halus
Estimasi Biaya Garansi dengan
Distribusi Gamma
Persentase Perbedaan Estimasi
Biaya Garansi (%)
0.5 0.4973𝑐𝑠 0.4262 𝑐𝑠 16.7
1 1.2110 𝑐𝑠 1.1055 𝑐𝑠 9.5
1.5 1.8676 𝑐𝑠 1.7970 𝑐𝑠 3.9
2 2.6228 𝑐𝑠 2.4887 𝑐𝑠 5.4
2.5 3.3361 𝑐𝑠 3.1803 𝑐𝑠 4.9
KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan data penggantian klep mesin diesel, diperoleh estimasi fungsi distribusi empirik
halus. Selanjutnya, estimasi biaya garansi dengan masa garansi tertentu yang melibatkan fungsi
distribusi empirik halus diperoleh dengan metode SMVTI. Dari hasil yang didapat, menunjukkan
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
F(x
)
Fungsi Distribusi Empirik
Fungsi Distribusi Empirik Halus
Fungsi Distribusi Gamma (Greselda dkk., 2015)
9 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015
bahwa model biaya garansi yang melibatkan fungsi distribusi empirik halus dapat diterapkan atau
digunakan dalam penghitungan estimasi biaya garansi. Selain itu, fungsi distribusi empirik mudah
dikonstruksi oleh pengamat garansi yang tidak memahami distribusi parametrik.
Hasil estimasi biaya garansi dari model yang melibatkan distribusi empirik halus tidak berbeda
jauh dari hasil yang diperoleh Greselda dkk. (2015). Namun perbandingannya hanya sebatas 𝑀 𝑡 ,
ekspektasi banyak kegagalan. Sehubungan dengan itu, perlu adanya penelitian lanjut untuk
pembanding lain, seperti variansi atau simpangan baku dari 𝑀 𝑡 dan uji perbandingan estimasi
𝑀 𝑡 .
DAFTAR PUSTAKA
Baik, J., Murthy, D. N. P. dan Jack, N. (2004). Two-Dimensional Failure Modelling with Minimal Repair. Naval Research Logistics. 51.
345–362.
Baik, J., Murthy, D. N. P. and Jack, N. (2006). Erratum:Two-Dimensional Failure Modeling with Minimal Repair, Naval Research Logistics, 53, 115-116.
Blischke, W. R., Murthy, D. N. P. (1994). Warranty Cost Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York.
Blischke, W. R., Karim, R., Murthy, D. N. P. (2011). Warranty Data Collection and Analysis. Springer Series in Reliablity Engineering,
London.
Greselda, E., Sasongko, L. R., Mahatma, T. (2015). Model Biaya Garansi Satu Dimensi Polis FRW (Non-Renewing Free Replacement Warranty), Prosiding, Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, FMIPA UNY, (T-8), 223-232.
Klugman, S.A., Panjer, H.H., and Wilmott, G.E. (2004). Loss Models : from Data to Decision 2nd Edition. Wiley Interscience. A John Wiley & Sons, Inc. New Jersey. USA.
Tse, Y. K. (2009). Nonlife Actuarial Models : Theory, Methods, and Evaluation. Cambridge University Press.
REVISI MAKALAH 2
1. Metode Penelitian Sub Bab 2.5 Fungsi Distribusi Empirik Halus (Hal. 4)
Sebelum revisi
Misalkan dalam sebuah kasus terdapat data sebanyak 𝑛 = 10 dengan nilai-
nilainya adalah 6,2,4,7,9,2,4,2,3,7 dan akan ditentukan fungsi distribusi
empiriknya. Untuk mengolah data tersebut, pertama-tama menentukan 𝑥𝑗 ,
dimana 𝑥𝑗 adalah nilai-nilai pada data yang berbeda dan telah diurutkan dari
kecil ke besar, sehingga nilai yang sama hanya ditulis sekali. Sedangkan 𝑤𝑗
adalah banyaknya 𝑥𝑗 . Sehingga pada data tersebut, nilai 2 banyaknya ada 3
atau 𝑥1 = 2 maka 𝑤1 = 3, dst. Selanjutnya 𝑔𝑗 adalah kumulatif dari nilai-nilai
𝑤𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑗. Dengan cara tersebut diperoleh 𝑥𝑗 , 𝑤𝑗 , dan 𝑔𝑗 untuk
𝑗 = 1,2,3,4,5,6 seperti pada Tabel 1.
Sesudah revisi
Misalkan dalam sebuah kasus terdapat data sebanyak 𝑛 = 10 dengan nilai-
nilainya adalah 6,2,4,7,9,2,4,2,3,7 dan akan ditentukan fungsi distribusi
empiriknya. Untuk mengolah data tersebut, pertama-tama menentukan 𝑥𝑗 ,
dimana 𝑥𝑗 adalah nilai-nilai pada data yang berbeda dan telah diurutkan dari
kecil ke besar, sehingga nilai yang sama hanya ditulis sekali. Sedangkan 𝑤𝑗
adalah banyaknya 𝑥𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑗. Sehingga pada data tersebut, nilai 2
banyaknya ada 3 atau 𝑥1 = 2 maka 𝑤1 = 3, dst. Selanjutnya 𝑔𝑗 adalah
kumulatif dari nilai-nilai 𝑤𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑗. Dengan cara tersebut
diperoleh 𝑥𝑗 , 𝑤𝑗 , dan 𝑔𝑗 untuk 𝑗 = 1,2,3,4,5,6 seperti pada Tabel 1.
2. Metode Penelitian Sub Bab 2.5 Data (Hal. 5)
Sebelum revisi
2.5. Data
Sesudah revisi
2.6. Data
3. Metode Penelitian Sub Bab 2.6 Perhitungan Ekspektasi Banyak
Kegagalan Menggunakan Metode SMVTI (Hal. 6)
Sebelum revisi
2.6 Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan Menggunakan Metode
SMVTI
Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) menjadi 𝑛 sub-interval
sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡 dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk
𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 . Lalu inisialisasi awal untuk 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0
dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡)
pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 ,
untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dari persamaan berikut
Sesudah revisi
2.7 Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan Menggunakan Metode
SMVTI
Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) menjadi 𝑛 sub-interval
sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡. Dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡,
untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 . Setelah itu, inisialisasi awal untuk
𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Ekspektasi banyak kegagalan dalam
masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh
satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dari persamaan berikut
xlvi
BAB III
PENUTUP
KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:
Berdasarkan data tentang penggantian klep mesin diesel yang telah diolah,
melalui algoritma penentuan distribusi kegagalan, didapati data garansi
tersebut mengikuti distribusi kegagalan parametrik yaitu distribusi
𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼 = 2.291, 𝛽 = 0.3133 . Sehingga model kegagalannya
melibatkan distribusi gamma.
Hasil estimasi biaya garansi dengan masa garansi tertentu diperoleh dari
model pembaruan yang melibatkan distribusi gamma melalui metode
SMVTI. Estimasi biaya garansi meningkat sebanding dengan lama masa
garansi. Model biaya garansi yang melibatkan fungsi distribusi empirik halus dapat
diterapkan atau digunakan dalam penghitungan estimasi biaya garansi.
Apabila peneliti mengalami kesulitan dalam pemahaman atau
ketidaktahuan tentang distribusi parametrik, maka penggunaan fungsi
distribusi empirik halus dapat digunakan dalam perhitungan estimasi biaya
garansi. Hasil yang diperoleh dari estimasi biaya garansi dari model yang
melibatkan distribusi gamma dan distribusi empirik halus tidak berbeda
jauh. Meskipun begitu, tidak berarti bahwa kedua estimasi tersebut sama,
karena pembandingnya hanya 𝑀 𝑡 , ekspektasi banyak kegagalan.
SARAN
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, disarankan untuk perlu adanya
penelitian lanjut untuk pembanding lain, seperti variansi atau simpangan baku dari
𝑀 𝑡 dan uji perbandingan estimasi 𝑀 𝑡 .
xlvii
LAMPIRAN
L.1
Lampiran 1. Kode Matlab untuk mengestimasi ekspektasi kegagalan dengan
SMVTI yang melibatkan distribusi gamma
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x=[0:0.01:2.5]; M=zeros(length(x),1); sum=0; M(2)=gamcdf(x(2),2.2914,0.31331); for i=3:length(x) for j=1:(i-1) sum = sum + (1 + M(j))*( gamcdf(x(i)-
x(j),2.2914,0.31331) - gamcdf(x(i)-
x(j+1),2.2914,0.31331) ); end M(i) = sum; sum = 0; end M
L.2
Lampiran 2. Kode Matlab untuk menampilkan data dalam grafik fungsi
distribusi empirik, distribusi empirik halus, dan distribusi gamma
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
clear all
load 'data24.dat'
x=data24;
[Fi,xi] = ecdf(x);
hasil=[Fi,xi]
stairs(xi,Fi,'r');
xlim([0 1.8]); xlabel('x'); ylabel('F(x)');
Fi; xi;
legend({'Fungsi Distribusi
Empirik'},'location','NW');
dengan data24.dat berisi
0.2685 0.8932 0.2301 0.2384 1.7699 0.2521 0.7068 0.1671 0.6959 0.2082 1.7397 0.9562 0.3288 0.8849 0.3808 1.5699 0.4521 0.6822 0.9425 0.7260 0.4548 1.1233 1.0055 0.5534
L.3
Lampiran 3. Kode Matlab untuk menggambarkan data dengan menggunakan
distribusi empirik, distribusi empirik halus, dan distribusi gamma
3.1. Kode Utama
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
clear all
load 'data24.dat'
x=data24;
[Fi,xi] = ecdf(x);
hasil=[Fi,xi]
stairs(xi,Fi,'r');
xlim([0 1.8]); xlabel('x'); ylabel('F(x)');
Fi; xi;
a=0:0.0001:1.7699;
Fs=secdf(a,Fi,xi);
hold on
plot(a,Fs,'-')
hold off
HasilAkhir=[Fs',a'];
x = gaminv((0:0.01:1.7699),2.2914,0.31331);
y = gamcdf(x,2.2914,0.31331);
hold on
plot(x,y,'g-')
hold off
legend({'Fungsi Distribusi Empirik' 'Fungsi
Distribusi Empirik Halus' 'Fungsi Distribusi
Gamma (Greselda dkk., 2015)'},'location','NW');
3.2. Kode secdf
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
function Fs=secdf(y,Fi,xi)
for i=1:(length(y)-1)
if y(i)<0.1671
j=1;
else
j=length(find(xi<=y(i)));
end
yj=xi(j);
yj1=xi(j+1);
Fj=Fi(j);
Fj1=Fi(j+1);
L.3
13
14
15
16
17
Fs(i)=((y(i)-yj)/(yj1-yj))*Fj1 + ((yj1-
y(i))/(yj1-yj))*Fj;
end
Fs(length(y))=1;
L.4
Lampiran 4. Kode Matlab untuk mengestimasi ekspektasi kegagalan dengan
SMVTI yang melibatkan distribusi empirik halus
4.1. Kode Utama
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
clear all
load 'data24.dat'
data=data24;
[Fi,xi] = ecdf(data);
x=[0:0.01:2.5];
M=zeros(length(x),1);
sum=0;
M(2)=secdf24(x(2),Fi,xi);
for i=3:length(x)
for j=1:(i-1)
sum = sum + (1 + M(j))*( secdf24(x(i)-
x(j),Fi,xi) - secdf24(x(i)-x(j+1),Fi,xi) );
end
M(i) = sum;
sum = 0;
end
M
4.2. Kode secdf24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
function Fs=secdf24(y,Fi,xi)
if y<0.1671
j=1;
else if y==0.1671
j=2;
else if y>=1.7699
j=26;
else j=length(find(xi<=y));
end
end
end
if j==1
yj=0;
L.4
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
yj1=xi(j);
Fj=0;
Fj1=Fi(j);
else if j==26
yj=0;
yj1=y;
Fj=1;
Fj1=1;
else
yj=xi(j);
yj1=xi(j+1);
Fj=Fi(j);
Fj1=Fi(j+1);
end
end
Fs=((y-yj)/(yj1-yj))*Fj1 + ((yj1-y)/(yj1-yj))*Fj;
L.5
Lampiran 5. Pembuktian rumus dalam memodelkan kegagalan-kegagalan dari
waktu ke waktu (modelling failures over time) kasus komponen
non-repairable
Diketahui hubungan ketiga peubah acak 𝑋𝑛 , 𝑇𝑛 , dan 𝑁 𝑡 ada pada himpunan
waktu yang saling ekuivalen yaitu
𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 ≡ 𝑡 𝑋𝑛 ≤ 𝑡} ≡ 𝑡 𝑇𝑖
𝑛
𝑖=1
≤ 𝑡
Banyak kegagalan dari distribusi merupakan ekspektasi atau rata-ratanya.
Untuk menghitung banyak kegagalan, harus tau fungsi peluang masa diskrit
𝐸 𝑁 = 𝑛 Pr[𝑁 𝑡 = 𝑛]
∞
𝑛=0
dengan menggunakan 𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 , maka Pr[𝑁 𝑡 = 𝑛] adalah
Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = Pr 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 − Pr 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 + 1
Karena 𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 ≡ 𝑡 𝑇𝑖𝑛𝑖=1 ≤ 𝑡 , maka
Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = Pr 𝑇𝑖
𝑛
𝑖=1
≤ 𝑡 − Pr 𝑇𝑖
𝑛+1
𝑖=1
≤ 𝑡
𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, … , 𝑇𝑛 berdistribusi identik dan saling bebas atau i.i.d dengan 𝐹 𝑡 ,
sehingga 𝑇𝑖𝑛𝑖=1 ~𝐹 𝑛 𝑡 dimana 𝐹 𝑛 𝑡 adalah n-fold convolution “dari dan
dengan” 𝐹 𝑡 sendiri. Sehingga Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 menjadi
Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝐹 𝑛 𝑡 − 𝐹 𝑛+1 𝑡
maka
𝑛 Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑛 (
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
𝐹 𝑛 𝑡 − 𝐹 𝑛+1 𝑡 )
= 0 + 1𝐹 1 − 1𝐹 2 + 2𝐹 2 − 2𝐹 3 + 3𝐹 3 − 3𝐹 4 + ⋯
= 0 + 𝐹(1) + 𝐹(2) + 𝐹(3) + ⋯
sehingga
𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑛Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛
∞
𝑛=1
= 𝐹 𝑛 𝑡
∞
𝑛=1
L.6
Lampiran 6. Pembuktian convolution
Jika diketahui 𝑇1 peubah acak berdistribusi 𝑓1(𝑡) dan 𝑇2 peubah acak
berdistribusi 𝑓2(𝑡), maka peubah 𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2 berdistribusi (𝑇1 dan 𝑇2 saling
bebas)
𝑓1 ∗ 𝑓2 𝑢 = 𝑓1 𝑡
∞
−∞
𝑓2(𝑢 − 𝑡)𝑑𝑡
Sehingga
𝐹1 ∗ 𝐹2 𝑢 = 𝑓(𝑣)
𝑢
−∞
𝑑𝑣 = 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑣 − 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣
∞
−∞
𝑢
−∞
= 𝑓2 𝑣 − 𝑡 𝑑𝑣 𝑓1 𝑡 𝑑𝑡
∞
−∞
𝑢
−∞
= 𝐹2 𝑢 − 𝑡 𝑓1 𝑡 𝑑𝑡
𝑢
−∞
Jika 𝑇1 dan 𝑇2 i.i.d maka
𝐹 ∗ 𝐹 𝑢 = 𝐹 2 𝑢 = 𝐹 𝑢 − 𝑡
𝑢
−∞
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑢 − 𝑡 𝑑𝐹(𝑡)
𝑢
−∞
Untuk 𝑇1 , 𝑇2 dan 𝑇3 i.i.d maka
𝐹 3 𝑢 = 𝐹 ∗ 𝐹 ∗ 𝐹 𝑢 = 𝐹 2 𝑢 ∗ 𝐹 = 𝐹 2 𝑢 − 𝑡 𝑑𝐹(𝑡)
𝑢
−∞
Sehingga untuk 𝑇1 , 𝑇2,…, 𝑇𝑛 i.i.d maka
𝐹 𝑛 𝑢 = 𝐹 𝑛−1 𝑢 − 𝑡 𝑑𝐹(𝑡)
𝑥
0
disebut n-fold convolution.
L.7
Lampiran 7. Tentang program esasyfit
Program easyfit adalah program untuk mencocokan data dengan distribusi dan
memilih model yang terbaik dalam waktu yang singkat. Program yang
dikembangkan oleh MathWave Technologies ini menyediakan total 61 distribusi
yang terkenal lengkap dengan nilai-nilai parameternya.
Program ini tersedia dalam versi percobaan gratis yang hanya bisa berjalan
selama 30 hari di 40 komputer yang berbeda. Sedangkan versi lengkapnya, dapat
dimiliki dengan cara membeli. Secara lengkap program easyfit ini dapat dilihat di
www.mathwave.com.