MK. STATISTIKA PEMUSATAN & SEBARAN DATA

MK. STATISTIKA

PEMUSATAN & SEBARAN DATA

Smno.statistika.agroekotek.fpub.2013

Diunduh dari: http://www.thefreedictionary.com/statistical+distribution …… 12/9/2012

DISTRIBUSI

Distribusi frekuensi adalah pengelompokkna data ke dalam

beberapa kelompok (kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk

kedalam tiap kelas.

Statistical distribution - (statistics) an arrangement of values of a variable

showing their observed or theoretical frequency of occurrence.

Diunduh dari: http://rumus-soal.blogspot.com/2010/05/menyajikan-data-dalam-bentuk-tabel.html…… 19/9/2012

Distribusi Frekuensi TunggalData tunggal seringkali

dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan,

namun kadangkala dinyatakan dalam

bentuk tabel distribusi frekuensi.

Tabel distribusi frekuensi tunggal

merupakan cara untuk menyusun data yang

relatif sedikit.

Perhatikan contoh data berikut.

5, 4, 6, 7, 8, 8, 6, 4, 8, 6, 4, 6, 6, 7, 5, 5, 3, 4,

6, 68, 7, 8, 7, 5, 4, 9, 10, 5, 6, 7, 6, 4, 5, 7, 7, 4, 8,

7, 6

http://4.bp.blogspot.com/_H58Mv1APnkw/S-IlUoJB9JI/AAAAAAAAALE/uzzxrArQajQ/s1600/TUNGGAL.JPG


Distribusi Frekuensi Ber-kelas

Tabel distribusi frekuensi bergolong biasa digunakan untuk menyusun data yang memiliki kuantitas yang besar dengan

mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang.

Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika dari 40 siswa kelas XI berikut ini.

66 75 74 72 79 78 75 75 79 7175 76 74 73 71 72 74 74 71 7074 77 73 73 70 74 72 72 80 7073 67 72 72 75 74 74 68 69 80

Apabila data di atas dibuat dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi tunggal, maka penyelesaiannya akan

panjang sekali.


Oleh karena itu dibuat tabel distribusi frekuensi ber-kelas dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang, misalnya 65 – 67, 68 – 70, … , 80 – 82. Data 66 masuk dalam kelompok 65 – 67.

2. Membuat turus (tally), untuk menentukan sebuah nilai termasuk ke dalam kelas yang mana.

3. Menghitung banyaknya turus pada setiap kelas, kemudian menuliskan banyaknya turus pada setiap kelas sebagai frekuensi data kelas tersebut. Tulis dalam kolom frekuensi.

4. Ketiga langkah di atas direpresentasikan pada tabel berikut ini.



Interval Kelas:Setiap kelompok

disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelas.

65 – 67 → Interval kelas pertama68 – 70 → Interval kelas ke dua71 – 73 → Interval kelas ke tiga74 – 76 → Interval kelas ke empat77 – 79 → Interval kelas ke lima80 – 82 → Interval kelas ke enam


http://2.bp.blogspot.com/_H58Mv1APnkw/S-Ij1rtnewI/AAAAAAAAAKM/EOOVq95UHWY/s1600/BERGOLONG1.jpg


b. Batas KelasBerdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74, 77, dan 80 merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan angka 67, 70, 73, 76, 79, dan 82 merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas.

c. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)Untuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini.Tepi bawah = batas bawah – 0,5Tepi atas = batas atas + 0,5Dari tabel di atas maka tepi bawah kelas pertama 64,5 dan tepi atasnya 67,5, tepi bawah kelas kedua 67,5 dan tepi atasnya 70,5 dan seterusnya.

d. Lebar kelasUntuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus:Lebar kelas = tepi atas – tepi bawahJadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 – 64,5 = 3.


e. Titik Tengah

http://4.bp.blogspot.com/_H58Mv1APnkw/S-Ij2lKhw6I/AAAAAAAAAKk/Cy0xDu51Ok4/s1600/TITIK+TENGAH.jpg


Distribusi Frekuensi KumulatifDistribusi kumulatif ada dua macam:

a. Distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).b. Distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).

http://4.bp.blogspot.com/_H58Mv1APnkw/S-Ij1SFqSZI/AAAAAAAAAKE/V9yl4cRfeNs/s1600/FREK+KUM.JPG


HISTOGRAMDari suatu data yang diperoleh dapat disusun tabel distribusi frekuensi dan

disajikan dalam bentuk histogram. Histogram dapat

disajikan dari distribusi

frekuensi tunggal maupun distribusi

frekuensi bergolong.

Data banyaknya tanaman yang

berbunga dalam 8 hari berurutan

sebagai berikut.

Tanaman berbunga

Diunduh dari: http://statistika.fmipa.unpad.ac.id/html/index.php?id=profil&kode=102&profil=Waktu%20Tunggu…… 19/9/2012

Distribusi Frekuensi Waktu TungguDari hasil penelurusan alumni, diketahui bahwa rata-rata waktu tunggu alumni kurang dari 5 bulan untuk mendapatkan pekerjaan pertamanya,

bahkan ada alumni yang bekerja setelah 2 hari dinyatakan lulus dengan gelar sarjana statistika.

Secara umum terlihat mayoritas alumni waktu tunggunya berkisar antara 1 sampai dengan 6 bulan.

Waktu Tunggu Persentase Valid (%)

< 1 Bulan 3.57

1 - 6 Bulan 73.81

7 - 12 Bulan 19.05

13 - 18 Bulan 1.19

19 -24 Bulan 2.38

Total 100.0

Sumber: sumber gambar : http://alternativeenergyatunc.wordpress.com Diunduh dari: http://rlarasati.wordpress.com/2012/05/09/peubah-peubah-meteorologi-angin/ …… 19/9/2012

Contoh Mawar angin (wind rose)

Diunduh dari: http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/New_Home_Page/StatFile/statdistns.htm…… 12/9/2012

Fitting the DistributionKalau kita akan membuat distribusi suatu data

mentah, maka ada empat pertanyaan yang harus dijawab:

1. The first relates to whether the data can take on only discrete values or whether the data is continuous; whether a new pharmaceutical drug gets FDA approval or not is a discrete value but the revenues from the drug represent a continuous variable.

2. The second looks at the symmetry of the data and if there is asymmetry, which direction it lies in; in other words, are positive and negative outliers equally likely or is one more likely than the other.

3. The third question is whether there are upper or lower limits on the data; there are some data items like revenues that cannot be lower than zero whereas there are others like operating margins that cannot exceed a value (100%).

4. Dalam beberapa data, nilai ekstrim jarang terjadi; dan dalam data lainnya nilai ekstrim sering terjadi.


STATISTICAL DISTRIBUTIONSDISTRIBUSI BINOMIAL

Distribusi Binomial mengukur peluang terjadinya sejumlah tertentu “sukses” dalam suatu trial tertentu , dimana kejadian “sukses” mempunyai peluang tertentu. In the simplest scenario of a coin toss (with a fair coin), where the probability of getting a head with each toss is

0.50 and there are a hundred trials, the binomial distribution will measure the likelihood of getting

anywhere from no heads in a hundred tosses (very unlikely) to 50 heads (the most likely) to 100 heads (also

very unlikely). Gambar berikut menyajikan distribusi binomial untuk tiga skenario, dua skenario dengan peluang “sukses”

50% dan satu skenario dengan peluang “sukses” 70% , dan ukuran percobaan (trial)nya berbeda.


DISTRIBUSI BINOMIAL


STATISTICAL DISTRIBUTIONSDistribusi Poisson

Distribusi Poisson mengukur “likelihood” sejumlah

kejadian yang terjadi di dalam selang waktu tertentu, dimana

parameter kunci yang diperlukan adalah rata-rata banyaknya kejadian dalam

interval tertnetu (l). Distribusi yang dihasilkan mirip dengan Binomial,

dengan “skewness” positif tetapi menurun dengan l.

Gambar menyajikan distribusi Poisson dengan l berkisar

dari 1 hingga 10.

STATISTICAL DISTRIBUTIONSDistribusi

Geometrik

Dalam distribusi ini yang diukur adalah

“likelihood” terjadinya “sukses” yang

pertama.

Misalnya, dengan percobaan lempar “coin” yang adil, ada kesempatan 50% “sukses” pertama akan terjadi pada percobaan pertama, kesempatan

25% yang akan terkjadi pada percobaan ke dua, dan kesempatan 12.5% akan terkadi pada p[ercobaan ke tiga.

Distribusi yang dihasilkan “positively skewed” dan mengikuti tiga skenario peluang yang berbeda.



Macam-macam Distribusi

Diunduh dari: aswinsuharsono.lecture.ub.ac.id/files/2011/.../Distribusi-Normal2.doc …….. 19/9/2012

DISTRIBUSI NORMALDistribusi Normal adalah

model distribusi kontinyu yang paling penting dalam teori

probabilitas. Distribusi Normal diterapkan dalam

berbagai permasalahan. Distribusi normal

memiliki kurva berbentuk lonceng yang

simetris. Dua parameter yang

menentukan distribusi normal adalah rataan /

ekspektasi (μ) dan standar deviasi (σ).

Fungsi kerapatan probabilitas dari

distribusi normal :

Grafik fungsi probabilitas distribusi normal

Distribusi Normal

Distribusi peluang yang penting dalam statistika adalah Distribusi

Normal atau Gaussian.

Jenis Peubah Acak Kontinyudigunakan untuk mengkaji fenomena

alam, industri, perdagangan, pendapatan rumahtangga, dll.

DISTRIBUSI NORMAL

Fungsi kerapatan peluang peubah acak X dengan rataan μ dan ragam σ2 yang memiliki distribusi

normal adalah:

Peluang dinyatakan sebagai P (a < X < b)

22 )(

21

21),;(

xexn

n(x)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

σ

μ

Sifat Distribusi Normal:Peubah acak yang mempunyai distribusi

normal : pengukuran dalam meteorologi pengukuran curah hujan

Dll.

Sifat-Sifat Distribusi Normal:

Mean µ

Varians

Deviasi Standar

Koefisien momen kemiringan

Koefisien momen kurtois

Deviasi mean

Sifat-Sifat Distribusi Normal:

1. Rata-rata (mean) = μ, dan simpangan baku = σ2. Mode (maximum) terjadi di x = μ3. Bentuknya simetrik thd x = μ4. Titik belok tepat di x = μ ± σ5. Kurva mendekati nol secara asimptotis

semakin x jauh dari x = μ6. Total luasnya = 1

Sifat-Sifat Distribusi Normal:Bentuk kurva distribusi normal ditentukan oleh μ

dan σ.

1 2 μ1 = μ2 σ1 > σ2

12

μ1 < μ2 σ1 = σ2

12

μ1 < μ2 σ1 < σ2

CIRI DISTRIBUSI NORMAL

1. NILAI MEAN, MEDIAN DAN MODUS adalah SAMA / BERHIMPIT.

2. Bentuk KURVANYA SIMETRIS3. ASIMPTOTIK (fungsi yang dibatasi oleh

suatu fungsi n N yang cukup besar).4. LUAS DAERAH YANG TERLETAK DI

BAWAH KURVA dan DI ATAS GARIS sumbu mendatar = 1

KELUARGA DISTRIBUSI NORMAL

SEMAKIN BESAR NILAI , MAKA KURVA AKAN SEMAKIN LANDAI,

SEMAKIN KECIL NILAI MAKA KURVA AKAN SEMAKIN MELANCIP

Luas daerah di Bawah Kurva dan Peluang

P(x1< x <x2) = probabilitas variabel random x memiliki nilai antara x1 dan x2

P(x1< x <x2) = luas di bawah kurva normal antara x=x1 dan x=x2

x1 μ x2

Luas daerah di Bawah Kurva dan Probabilitas

Perhitungan integral normal sulit dilakukan, sehingga disusun tabel nilai kerapatan

peluang.

Akan tetapi karena nilai kerapatan peluang tergantung pada nilai μ dan σ, senhingga sangat tidak mungkin mentabelkan untuk

semua nilai μ dan σ

Kurva Distribusi Normal BakuDistribusi normal baku adalah distribusi normal

dengan nilai rataan μ=0 dan simpangan baku σ =1.

Transformasi mengkoversi distribusi normal

menjadi distribusi normal baku, sebab distribusi normal dengan variabel z ini memiliki rataan =0 dan simpangan baku = 1.

xz

Kurva DIstribusi Normal Standard

Luas dibawah kurva distribusi normal antara x1 dan x2

=Luas dibawah kurva

distribusi normal standard antara z1 dan z2

Dengan z1 = (x1-μ)/σ dan z2 = (x2-μ)/σ.

Sehingga cukup dibuat tabel distribusi normal baku kumulatif saja!

Transformasi ini juga mempertahankan luas daerah di bawah kurvanya, artinya:

TRANSFORMASI NILAI X MENJADI Z

Diunduh dari: http://ningsetyamat.files.wordpress.com/2011/04/topics-3.pdf…… 19/9/2012

Diunduh dari: http://www.six-sigma-material.com/Normal-Distribution.html…… 19/9/2012

Contoh :Diketahui data dengan distribusi normal, nilai

rataan m = 55 dan simpangan baku = 15


Hubungan antara Distribusi Binomial dan Distribusi Normal

Jika N cukup besar dan jika tak satu pun dari p atau q yang mendekati nol maka distribusi binomial dapat didekati dengan sebuah distribusi normal dengan variabel baku :

Pendekatan ini semakin baik kalau nilai N semakin besar. Dalam praktiknya, pendekatannya sangat bagus jika Np dan Nq kedua-duanya lebih besar dari 5.

NpqNpxz

Contoh: Menghitung Luas daerah di bawah garis kurva distribusi normal

Gunakan tabel distribusi normal standard untuk menghitung luas daerah :

a) Di sebelah kanan z = 1.84b) Antara z = -1.97 s/d z = 0.86

Jawab.Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel

distribusi normal kumulatif adalah luas dari z=-∞ s/d z0 tertentu: P(z<z0).

c) P(z>1.84) = 1 – P(z≤1.84) = 1 -0.9671 = 0.0329d) P(-1.97 <z<0.86) = P(z<0.86) – P(z<-1.97)

= 0.8051 – 0.0244 = 0.7807

Contoh: Mencari Nilai Z

Carilah nilai Z=k pada tabel distribusi normal standard sehingga

a) P(Z>k) = 0.3015b) P(k<Z<-0.18) =0.4197

Jawab:c) P(Z>k) = 0.3015 berarti P(Z<k) = 1- P(z>k) = 1 –

0.3015 = 0.6985Dari tabel terbaca luas ke kiri = 0.6985 adalah untuk Z = 0.52.

b) P(k<Z<-0.18) = P(Z<-0.18) – P(Z<k) = 0.4197= 0.4286 – P(Z<k) = 0.4197

Jadi P(Z<k) = 0.4286- 0.4197 = 0.0089Dari tabel Z = -2.37

Contoh: Luas di bawah kurva distribusi normal yang tidak baku (non standard)

Contoh.Variaber X tersebar normal dengan rataan 50 dan simpangan baku = 10. Carilah peluang untuk menemukan X = 45 - 62?

Jawab. Dalam soal ini μ = 50 dan σ=10. x1 = 45 dan x2 =62Pertama-tama kita konversi X menjadi Z (melakukan normalisasi atau standardisasi):

z1 = (x1 -μ)/σ z1 = (45-50)/10 = -0.5z2 = (x2 -μ)/σ z2 = (62-50)/10 = 1.2

Sehingga:P(45 <X< 62) = P(-0.5< Z <1.2)P(-0.5<Z<1.2) = P(Z<1.2) – P(Z<-0.5) = 0.8849-0.3085 = 0.5764

Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

Diketahui luas daerah di bawah kurva distribusi normal yang diinginkan yang terkait dengan besarnya peluang, ingin dicari nilai peubah acak X yang terkait.

Contoh.Misalkan distribusi normal memiliki μ=40 σ=6, carilah

nilai x0 sehingga:a) P(x<x0) = 45%b) P(x>x0)=14%

Jawab.c) Kita mulai dengan mencari nilai Z yang sama luasnya.

P(z<z0) = 45% = 0.45 dari tabel z0 = -0.13z0 = (x0-μ)/σ x0 = μ + σz0 = 40 +6*(-0.13) = 39.22

Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

Jawab.b) Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama

luasnya.P(z>z0) = 14% P(z<z0) = 1- P(z>z0) = 1-0.14 = 0.86P(z<z0) = 0.86 dari tabel z0 = 1.08

z0 = (x0-μ)/σ x0 = μ + σz0 = 40 +6*(1.08) = 46.48

Soal:1) Dalam suatu ujian akhir Matematika, mean nilai

adalah 72 sementara deviasi standarnya adalah 15. tentukan angka-angka standar (yaitu nilai-nilai dalam satuan deviasi standar) dari siswa-siswa yang memperoleh nilai (a) 60(b) 93(c) 72

2) Sebuah koin yang seimbang dilemparkan sebanyak 500 kali. Carilah probabilitas bahwa selisih banyaknya kemunculan tanda gambar dengan 250 kali adalah(a) tidak lebih dari 10(b) tidak lebih dari 30

3) Diameter ball-bearing yg diproduksi sebuah pabrik memiliki mean 3cm dengan standard deviasi 0.005 cm. Pembeli hanya mau menerima jikalau ball bearingnya memiliki diameter 3.0±0.01cm.

a) berapakah persenkah dari produksi pabrik tersebut yg tidak bisa diterima pembeli?b) jikalau dalam sebulan pabrik tsb memproduksi 10000 ball-bearing, berapa banyak yg harus dibuang tiap bulan karena ditolak pembeli?

4) Sebuah pengukur diameter bola besi dipasang secara otomatis dalam sebuah pabrik. Pengukur tsb hanya akan meloloskan diameter bola 1.50±d cm. Diketahui bahwa bola produksi pabrik tersebut memiliki diameter yg terdistribusi normal dengan rata-rata 1.50 dan standard deviasi 0.2 cm. Jikalau diinginkan bahwa 95% produksinya lolos seleksi berapakah nilai d harus ditetapkan?

Soal

Soal5) Rata-rata nilai kuliah statistik diketahui 65

dengan standard deviasi 15. a) Jikalau diinginkan 15% murid mendapat nilai A dan diketahui distribusi nilai normal, berapakah batas bawah nilai agar mendapat A? (b) Selanjutanya diinginkan yg mendapat B adalah sebanyak 25%. Berapakah batas bawah B? (c) Seandainya diinginkan yg tidak lulus paling banyak 25%, berapakah batas bawah agar siswa lulus?

Diunduh dari: …… 12/9/2012

Diunduh dari: http://www.quickmba.com/stats/centralten/ …… 12/9/2012

TENDENSI SENTRAL

Tendensi sentral mencerminkan nilai "middle" atau nilai tipikal dari data, dan diukur dengan menggunakan mean, median,

atau mode.

Masing-masing ukuran ini dihitung dengan cara yang

berbeda, dan cara yang terbaik tergantung situasi.

Diunduh dari: http://www.quickmba.com/stats/centralten/ …… 12/9/2012

Kapan menggunakan Mean, Median, dan ModeBerikut ini adalah metode-metode yang sesuai untuk

menentukan nilai “middle atau typical” dari seperanghkat data berdasarkan sekala pengukuran data.

Sekala Pengukuran Ukuran terbaik untuk "Middle"

Nominal(Categorical) Mode

Ordinal Median

Interval Symmetrical data: MeanSkewed data: Median

Ratio Symmetrical data: MeanSkewed data: Median

PEMUSATANUkuran pemusatan data merupakan nilai tunggal yang mewakili semua data, nilai

tersebut menunjukkan pusat data.

Ukuran pemusatan data:1. Rata-rata hitung2. Median3. Modus4. Rata-rata ukur5. Rata-rata harmonis


Mean, median, and mode for a symmetric histogram and

frequency distribution curve.

Mean, median, and mode for a histogram and frequency distribution

curve skewed to the right.

Mean, median, and mode for a histogram and frequency distribution

curve skewed to the left.

RATAAN HITUNGRumus :

1. Untuk data yang berulang

2. Untuk data yang berulang dengan frekuensi tertentu

data nilai Banyaknyadata nilai semuaJumlah hitungRataan

nX

nX...XX X n21

ffX

f...ffXf...XfXf X

n21

nn2211

1. Dalam Tabel Distribusi FrekuensiInterval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi fX

9-2122-3435-4748-6061-7374-8687-99

15284154678093

3448

12236

45112164432804

1840558

Σf = 60 ΣfX = 395565,92

603955

ffX X

RATAAN HITUNG

2. Dengan Memakai Kode (U)Interval Kelas Nilai Tengah (X) U Frekuensi fU

9-2122-3435-4748-6061-7374-8687-99

15284154678093

-3-2-10123

3448

12236

-9-8-40124618

Σf = 60 ΣfU = 5565,92

6055 13 54

ffU c X X 0

RATAAN HITUNG

3. Dengan pembobotan Masing-masing data diberi bobot.

Misal A memperoleh nilai 65 untuk tugas, 76 untuk mid dan 70 untuk ujian akhir.Bila nilai tugas diberi bobot 2, Mid 3 dan Ujian Akhir 4, maka rata-rata hitungnya adalah :

70,89 432

(4)70(3)76(2)65 X

RATAAN HITUNG

MEDIANUntuk data berkelompok

median kelas frekuensi fmedian mengandung yang kelas

sebelum kelas semua frekuensijumlah Fmedian kelasbawah batas L

f

F - 2n

c L Med

0

0

Contoh :Letak median ada pada data ke 30, yaitu pada interval 61-73, sehingga :L0 = 60,5F = 19f = 12

Interval Kelas

Frekuensi

9-2122-3435-4748-6061-7374-8687-99

3448

12236

Σf = 6072,42

12

19 - 2

60

13 60,5 Med

MEDIAN

Untuk data berkelompok

modus kelassesudah kelassatu tepat frekuensi dengan modus kelas frekuensi antaraselisih b

modus kelas sebelum kelassatu tepat frekuensi dengan modus kelas frekuensi antaraselisih b

modus kelasbawah batas Lb b

b c L Mod

2

1

0

21

10

MODE = MODUS

Contoh :Data yang paling sering muncul adalah pada interval 74-86, sehingga :L0 = 73,5b1 = 23-12 = 11b2 = 23-6 =17

Interval Kelas

Frekuensi

9-2122-3435-4748-6061-7374-8687-99

344812236

Σf = 60 78,61 17 11

11 13 73,5 Mod

MODE = MODUS

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS

Ada 3 MACAM kurva distribusi data :

1) Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri.

2) Jika Mod<Med<rata-rata hitung, maka kurva miring ke kanan.

3) Jika rata-rata hitung<Med<Mod, maka kurva miring ke kiri.

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS

Jika distribusi data tidak simetri, maka hubungannya :

Rataan hitung - Modus = 3 (Rata-rata hitung-Median)

Med X3 Mod - X

RATAAN UKUR

Digunakan apabila nilai data satu dengan yang lain berkelipatan.

Untuk data tidak berkelompok


nn21 ....X.XX G

n

X log antilog G

f

X log f antilog G

Contoh :Interval Kelas

Nilai Tengah (X)

Frekuensi log X f log X

9-2122-3435-4748-6061-7374-8687-99

15284154678093

3448

12236

1,181,451,611,731,831,901,97

3,545,8

6,4413,8421,9643,711,82

Σf = 60 Σf log X = 107,1

60,95 60

1,107 antilog G

RATAAN UKUR

Biasanya digunakan apabila data dalam bentuk pecahan atau desimal.Untuk data tidak berkelompok


X1

n RH

Xf

f RH

RATAAN HARMONIS

Contoh :Interval Kelas

Nilai Tengah (X)

Frekuensi f / X

9-2122-3435-4748-6061-7374-8687-99

15284154678093

3448

12236

0,20,1430,0980,1480,1790,2880,065

Σf = 60 Σf / X = 1,121

53,52 121,160 RH

RATAAN HARMONIS

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL1. Kuartil Kelompok data yang sudah diurutkan

(membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar.

Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama (Q1) atau kuartil bawah, kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas.

KUARTIL



L0 = batas bawah kelas kuartilF = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Qi

f = frekuensi kelas kuartil Qi

1,2,3 i , 4

1ni-ke nilai Qi

1,2,3 i , f

F -4in

cL Q 0i

Contoh :Q1 membagi data menjadi 25 %Q2 membagi data menjadi 50 %Q3 membagi data menjadi 75 %

Sehingga :

Q1 terletak pada 48-60Q2 terletak pada 61-73Q3 terletak pada 74-86

Interval Kelas

Nilai Tengah

(X)

Frekuensi

9-2122-3435-4748-6061-7374-8687-99

15284154678093

3448

12236

Σf = 60

KUARTIL

Untuk Q1, maka :

Untuk Q2, maka :

Untuk Q3, maka :

54 8

11 -4

1.60

1347,5 Q1

72,42 12

19 -4

2.60

1360,5 Q2

81,41 23

31 -4

3.60

1373,5 Q3

KUARTIL

2. DesilKelompok data yang sudah

diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar.

DESIL


Untuk data berkelompokL0 = batas bawah kelas desil Di

F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil Di

f = frekuensi kelas desil Di

91,2,3,..., i , 10

1ni-ke nilai Di

91,2,3,..., i , f

F -10in

cL D 0i

DESIL

Contoh :D3 membagi data 30%D7 membagi data 70%

Sehingga :

D3 berada pada 48-60D7 berada pada 74-86

Interval Kelas

Nilai Tengah

(X)

Frekuensi

9-2122-3435-4748-6061-7374-8687-99

15284154678093

3448

12236

Σf = 60

DESIL

58,875 8

11 -10

3.60

1347,5 D3

79,72 23

31 -10

7.60

1373,5 D7

DESIL

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL

3. Persentil Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompok 991,2,3,..., i , 100

1ni-ke nilai Pi

991,2,3,..., i , f

F -100in

cL P 0i

Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion …… 12/9/2012

DISPERSI = SEBARAN

Dalam statistika, dispersi statistik (juga disebut keragaman statistik atau variasi)

merupakan variabilitas atau sebaran suatu peubah atau suatu distribusi

peluang.

Contoh ukuran dispersi statistik adalah ragam (variance), simpangan baku

(standard deviation) dan kisaran inter-quartil.

Dispersion is contrasted with location or central tendency, and together they are

the most used properties of distributions.


UKURAN SEBARANUkuran dispersi statistik merupakan bilangan riil non-

negatif, sehingga nilainya nol kialau semua data sama dan nilainya meningkat kalau datanya mernjadi lebih beragam.

Most measures of dispersion have the same scale as the quantity being measured. In other words, if the

measurements have units such as metres or seconds, the measure of dispersion has the same units.

Ukuran dispersi meliputi:Standard deviation = Simpangan BakuInterquartile range or Interdecile range

Range = Kisaran = JangkauanMean difference = RataanMedian absolute deviation

Rataan simpangan absolut (atau simpangan rata-rata)Jarak simpangan baku


UKURAN SEBARANUkuran lain dari “dispersion” tidak berdimensi (bebas

sekala). Dengan kata lain, ukuran dispersi itu tidak mempunyai satuan, meskipun peubahnya mempunyai

satuan.

Ukuran dispersi ini meliputi:Coefficient of variation = Koefisien Keragaman

Quartile coefficient of dispersion = QuartilRelative mean difference, equal to twice the Gini

coefficient

Ukuran dispersi yang lainnya :RAGAM (kuadrat simpangan baku) — lokasinya tidak

beragam tetapi sekala tidak linear.Variance-to-mean ratio — mostly used for count data when

the term coefficient of dispersion is used and when this ratio is dimensionless, as count data are themselves

dimensionless: otherwise this is not scale-free.

http://en.wikipedia.org/wiki/Count_data


SUMBER SEBARAN

Dalam ilmu-ilmu biologis, kuantitas yang diukur biasanya tidak stabil, dan variasi yang terjadi dapat bersifat intrinsic pada fenomenanya:

It may be due to inter-individual variability, that is, distinct members of a population differing

from each other. Also, it may be due to intra-individual variability,

that is, one and the same subject differing in tests taken at different times or in other

differing conditions. Tipe-tipe variabilitas seperti itu juga tampak di arena produk-produk manufaktur; bahkan para sarjana “meticulous” juga menemukan adanya

variasi.

Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012

SEBARAN DATA Ukuran penyebaran data adalah

suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan

nilai pusatnya.

Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang terdapat dalam data.Jangkauan dapat dihitung dengan rumus: R = X maks – X min

Contoh :

Tentukan range dari data : 10, 6, 8, 2, 4 Jawab : R = Xmaks – Xmin = 10 – 2 = 8

1. Jangkauan ( Range )

SEBARAN DATA


Simpangan rata-rata dari sekumpulan bilangan adalah: nilai rata-rata hitung harga mutlak simpangan-simpangannya.

a. Data tunggal

SR = Contoh : Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa adalah : 7, 5, 6, 3, 8, 7. Tentukan simpangan rata-ratanya!

n

xx

2. Simpangan Rata-rata

SEBARAN DATA


b. Data berbobot / data kelompok

SR =

x = data ke-i (data berbobot ) = titik tengah kelas interval ke-i (data kelompok ) f = frekuensi

fxxf

SEBARAN DATA


3.Simpangan Baku / standar deviasiSimpangan Baku (S) dari sekumpulan bilangan adalah akar dari jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan atau akar dari rata-rata deviasi kuadrat.

nxxi 2

a. Data Tunggal

S =

S = 22

nx

nx

atau

In statistics, standard deviation (represented by the symbol sigma, σ) shows how

much variation or "dispersion" exists from the average (mean, or expected

value). A low standard deviation

indicates that the data points tend to be very close to the

mean, whereas high standard deviation indicates that the data points are spread out

over a large range of values.

http://en.wikipedia.org/wiki/Sigma

SEBARAN DATA


Contoh : Tentukan simpangan baku dari data : 2, 3, 5, 8, 7.

Jawab :

=

= 5

x5

78532

x

2

3

5

8

7

xx - 3- 2032

2xx 9409426

nxxi 2

S = 526

2,5

=

=

SEBARAN DATA


b. Data berbobot / berkelompok

S =

S =

fxxf

2

22

ff.x

ffx

atau

Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation…… 12/9/2012

Aturan Distribusi Normal

Teori “central limit” menyatakan bahwa distribusi rata-rata peubah acak independent yang

terdistribusi secara identik cenderung ke arah distribusi normal berbentul lonceng, dengan fungsi

kerapatan peluang :

where μ is the expected value of the random variables, σ equals their distribution's standard deviation divided by n1/2,

and n is the number of random variables. The standard deviation therefore is simply a scaling variable that adjusts how broad the curve will be, though it also appears in the

normalizing constant.

Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation…… 12/9/2012

Zone biru tua kurang dari satu SD dari nilai rataan. For the normal

distribution, this accounts for 68.27 percent of the set; while two standard deviations from the mean (medium and

dark blue) account for 95.45 percent; three standard deviations (light, medium, and

dark blue) account for 99.73 percent; and four

standard deviations account for 99.994

percent.

Dua titik pada kurva yang satu SD dari rata-rata , juga merupakan

titik-titik belok.

Aturan Distribusi Normal

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Standard_deviation_diagram.svg

Diunduh dari: http://www.six-sigma-material.com/Normal-Distribution.html…… 19/9/2012

Aturan Distribusi normal

http://www.six-sigma-material.com/Measures-of-Dispersion.html

SEBARAN DATA


4.KuartilKuartil adalah nilai yang membagi kelompok data atas empat bagian yang sama setelah bilangan-bilangan itu diurutkan. Dengan garis bilangan letak kuartil dapat ditunjukkan sebagai berikut: Q1 Q2 Q3

Menentukan nilai Kuartila. Data tunggal

Letak Qi = data ke

dengan i = 1, 2, 3 dan n = banyaknya data

4)1( ni

SEBARAN DATA


Contoh : Hasil pendataan usia, dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui

sebagai berikut : 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2,1, 3, 3, 4 , tentukan : a. Kuartil bawah (Q1) b. Kuartil tengah (Q2) c. Kuartil atas (Q3)

Jawab : Data diurutkan : 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 a. Letak Q1 = data ke –

= data ke- 3 ¼

4)112(1

SEBARAN DATA

Diunduh dari: iful06.files.wordpress.com/2012/03/5-penyebaran-data.ppt…… 12/9/2012Hal.: 94 STATISTIK

Nilai Q1 = data ke-3 + ¼ (data ke4 – data ke3)

= 1 + ¼ (2 – 1) = 1¼ b. Letak Q2 = data ke

= data ke 6½

Nilai Q2 = data ke 6 + ½ (data ke7 – data ke6)

= 3 + ½ (3 – 3) = 3

4)112(2

SEBARAN DATA


c. Letak Q3 = data ke

= data ke 9 ¾

Nilai Q3 = data ke 9 + ¾ (data ke10 - data ke 9)

= 4 + ¾ (4 – 4) = 4

SEBARAN DATA


Jangkauan Semi Inter Kuartil /Simpangan Kuartil (Qd) didefinisikan sebagai berikut:

Qd = ½ (Q3 – Q1)

b. Data Kelompok Nilai Qi = b + p

dengan i = 1, 2, 3

b = tepi bawah kelas Qi p = panjang kelas F = jumlah frekuensi sebelum kelas Qi f = frekuensi kelas Qi n = jumlah data

fF4

i.n

SEBARAN DATA


5. PersentilPersentil dari sekumpulan bilangan adalah nilai yang membagi

kelompok bilangan tersebut atas 100 bagian yang sama banyaknya setelah bilangan bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil

sampai yang terbesar.

a. Data tunggal / berbobot Letak Pi = data ke

dengan i = 1, 2, …, 99 Contoh : Diketahui data : 9, 3, 8, 4, 5, 6, 8, 7, 5, 7 Tentukan P20 dan P70

100)1( ni


SEBARAN DATA

Jawab : Data diurutkan : 3 ,4, 5, 5, 6, 7, 7 ,8, 8, 9

Letak P20 = data ke = data ke 2

Nilai P20 = data ke 2 + (data ke 3 – data ke2)

= 4 + (5 – 4)

= 4

100)110(20

51

51

51

51


SEBARAN DATA Letak P70 = data ke

= data ke 7

Nilai P70 = data ke 7 + (data ke 8 - data ke7)

= 7 + ( 8 – 7 )

= 7

100)110(70

107

107

107

107


SEBARAN DATA

b. Data kelompok

Nilai Pi = b + p , dengan i = 1,2,..,99

f

Fin100

Jangkauan Persentil = P90 – P10

Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_error_%28statistics%29…… 12/9/2012

STANDARD ERROR = SALAH BAKUSalah baku merupakan simpangan baku dari distribusi

sampling suatu data.Istilah ini juga digunakan untuk menyatakan suatu estimasi

simpangan baku, yang berasal dari sampel tertentu yang dipakai untuk menghitung estimasi tersebut.

For example, the sample mean is the usual estimator of a population mean. However, different samples drawn from that same population would in general have different values of the sample mean.

Salah baku rata-rata (yaitu menggunakan rataan sampel sebagai metode untuk estimasi rataan populasi) merupakan simpangan baku dari semua rata-rata sampel yang mungkin

diambil dari populasi.

Salah baku rata-rata juga mencerminkan estimasi simpangan baku, yang dihitung dari sampel data yang dianalisis pada

waktu tertentu.

Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_error_%28statistics%29…… 12/9/2012

SALAH BAKU RATA-RATAThe standard error of the mean (SEM) is the standard deviation of the

sample-mean's estimate of a population mean. (It can also be viewed as the standard deviation of the error in the sample mean relative to the true

mean, since the sample mean is an unbiased estimator.)

SEM is usually estimated by the sample estimate of the population standard deviation (sample standard deviation) divided by the square root of the sample size (assuming statistical independence of the values in the

sample):

Where:

s is the sample standard deviation (i.e., the sample-based estimate of the standard deviation of the population), and

n is the size (number of observations) of the sample.

Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Variance …… 12/9/2012

VARIANCE = RAGAM

Ragam merupakan parameter yang mencerminkan bagian dari distribusi peluang aktual dari populasi “angka” yang diamati,

atau distribusi peluang teoritis suatu sampel “angka’.

Sampel data dari distribusi dapat digunakan untuk menghitung estimasi ragamnya:

Dalam hal yang paling sederhana, estimasi ini dapat menjadi ragam sampel.


KK = KOEFISIEN KERAGAMAN

Koefisien variasi adalah perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata yang dinyatakan dengan

persentase. Koefisien variasi berguna untuk melihat sebaran data dari

rata-rata hitungnya.

xS

Besarnya Koefisien Keragaman dinyatakan dengan rumus, KK = x 100%

KK = koefisien keragaman S = simpangan baku = rataan

x

6. Koefisien Variasi = Koefisienj Keragaman =KK


SEBARAN DATA Contoh 1: Nilai rata-rata matematika Kelas III Mesin1 adalah 80 dengan

simpangan standar 4,5. Jika nilai rata-rata Kelas III Mesin 2 adalah 70 dengan simpangan standar 5,2. Hitunglah koefisien variasi masing-masing.

xSJawab :

KV III Mesin 1 = x 100%

= x 100% = 5,6% KV III Mesin 2 = x 100% = 7,4%

805,4

702,5


SEBARAN DATAContoh 2 :Standar deviasi sekelompok data adalah 1,5 sedang

koefisien variasinya adalah 12,5%. Mean kelompok data tersebut adalah….

x

Jawab : KV = x 100%

12,5% = x 100%

= = 12

xS

x5,1

%5,12%150


7. Angka BakuAngka Baku digunakan untuk mengetahui kedudukan suatu

objek yang sedang diselidiki dibandingkan terhadap nilai rata-rata kumpulan objek tersebut.

sxx

Angka Baku (nilai standar) dapat dihitung dengan menggunakan rumus : Z = x = nilai data = nilai rata-rata s = standar deviasi

x

ANGKA BAKU


ANGKA BAKU Contoh 1: Seorang siswa mendapat nilai matematika 70 dengan rata-rata 60

dan standar deviasi12, nilai Bahasa Inggris 80 dengan rata rata 75 dan simpangan bakunya 15, manakah kedudukan nilai yang paling baik ?

126070

Jawab :

Zm = = 0,83

Zb = = 0,33

Jadi kedudukan nilai matematika lebih baik dari pada nilai Bahasa Inggris.

157580


UKURAN KURTOSISUkuran Keruncingan /

Kurtosis

Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva (koefisien kurtosis) dapat

Digunakan rumus :

KK =

Kurtosis adalah derajat kelancipan suatu distribusi jika dibandingkan dengan Distribusi normal

)(2 1090

13

PPQQ


UKURAN KURTOSIS

Keterangan :Jika nilai KK > 3 kurva leptokurtis (puncaknya runcing sekali) KK < 3 kurva platikurtis (puncaknya agak mendatar) KK = 0 kurva mesokurtis (puncaknya tidak begitu runcing atau

distribusi normal)

Contoh :Dari sekelompok data yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi diketahui nilai Q1 = 55,24 ; Q3 = 73,64 ; P10 = 44,5 ;P90 = 82,5. Besarnya koefisien kurtosis kurva data tersebut adalah….


UKURAN KURTOSIS

Jawab : KK =

=

= 0,242 Karena KK < 3 maka kurva distribusi tersebut platikurtik.

)5,445,82(224,5564,73

)38(24,18

Diunduh dari: http://id.wikipedia.org/wiki/Varians …… 19/9/2012

RAGAM = VARIANS = VARIANCE

Dalam teori PELUANG dan statistika, varians (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam

suatu perubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah ukuran bagi sebaran

data. Hal yang diukur adalah seberapa jauh data

tersebar di sekitar nilai rataannya). Ragam merupakan salah satu parameter

bagi distribusi normal.

Akar dari ragam adalah simpangan baku (standard deviation).

Diunduh dari: http://id.wikipedia.org/wiki/Varians …… 12/9/2012

Jika sebuah variabel random X mempunyai nilai rata-rata μ = E[X], maka

ragam dari X adalah:

RAGAM = VARIANS = VARIANCE

Ragam untuk Data Tunggal

Misalnya data x1, x2, x3, …, xn mempunyai rataan , ragam atau varians dapat

ditentukan dengan rumus:

Dengan :S2 = ragam atau variansn = banyaknya dataxi = data ke-i =rataan hitung

Ragam untuk Data BerkelompokUntuk ragam data berkelompok, nilai ragam

dapat ditentukan dengan rumus :

Dengan :S2 = ragam atau variansn = banyaknya data

k = banyaknya kelas ke-ifi = frekuensi kelas ke-ixi = data ke-i

=rataan hitung


Contoh :Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut :

Skor Frekuensi40-49 150-59 460-69 870-79 1480-89 1090-99 3

Jawab:Skor fi xi fixi

40-49 1 44,5 44,5 -29,25 855,56 855,5650-59 4 54,5 218 -19,25 370,56 1. 482,2560-69 8 64,5 516 -9,25 85,56 684,4870-79 14 74,5 1083 0,75 0,56 7,8880-89 10 84,5 845 10,75 115,56 1.155,6390-99 3 94,5 283,5 20,75 430,56 1.291,69Jumlah 40 2950 5.477,49

Jadi, nilai ragamnya 136,94 dan nilai simpangan bakunya 11,70

SOAL1. Tentukan ragam untuk data berikut : 10, 44, 56,

62, 65, 72, 76

2. Pada tabel berat badan anak berikut tentukan ragam (varians) nya

Berat Badan Frekuensi

21-25 226-30 831-35 936-40 641-45 346-50 2

Diunduh dari: http://www.globusz.com/ebooks/Costing/00000015.htm …… 12/9/2012

ANALISIS RAGAMRagam mencerminkan perbedaan antara hasil

aktual dengan hasil yang diharapkan. Proses menganalisis total perbedaan antara hasil baku dan hasul aktual disebut ANALISIS

RAGAM.

Analisis ragam merupakan analisis penampilan ragam.

When actual results are better than the expected results, we have a favourable

variance (F).

If, on the other hand, actual results are worse than expected results, we have an adverse (A).

Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Analysis_of_variance…… 12/9/2012

ANALISIS RAGAM

Dalam statistika, analisis ragam (Sidik Ragam = ANOVA) merupakan sekumpulan model-model statistik, dan prosedur-prosedurnya, dimana ragam pada peubah

tertentu dipilah m,enjadi komponen-komponenya sesuai dengan sumber keragamannya.

In its simplest form, ANOVA provides a statistical test of whether or not the means of several groups are all equal, and therefore generalizes t-test to more than two groups.

Melakukan uji-t dua sampel ganda menghasilkan peningkatan peluang melakukan kesalahan Tipe I. Oleh

karena itu, ANOVAs merupakan pembandingan yang bagus bagi dua nilai rata-rata atau elebih.


Analisis ragam merupakan suatu cara yang dapat digunakan untuk menguji rataan populasi.

Teknik analisis ragam digunakan untuk menganalisis atau menguraikan total ragam menjadi bagian-bagian yang

bermakna. Analisis ragam digunakan untuk menguji k buah rataan

populasi (k > 2).

Populasi-populasi itu dianggap saling bebas dan menyebar normal dengan nilai rataan 1,2,…,k dan

ragamnya sama dengan 2.

ANALISIS RAGAM

Diunduh dari: http://en.wikipedia.org/wiki/Error…… 12/9/2012

ERROR = GALATKata “error” Mengandung beragam makna dan pengertian.

Makna konkrit dari kata Latin "error" adalah "wandering" atau "straying".

Misalnya, seseorang yang menggunakan terlalu banyak bahan campuran dalam suatu “resep” dan ternyata

produknya tidak berhasil, maka ia dapat mempelajari jumlah bahan yang tepat untuk digunakan dan dapat menghindari

terulangnya kesalahan.

Akan tetapi, beberapa “error” dapat terjadi meskipun seseorang telah berkompeten untuk melaksanakan tuga

dengan benar.

Diunduh dari: http://id.wikipedia.org/wiki/Galat…… 12/9/2012

Dalam statistika dan matematika stokastik, galat (bahasa Inggris: error) adalah sumber variasi data yang tidak dapat

dimasukkan ke dalam model. Dalam literatur statistika, galat dikenal pula sebagai sesatan,

pengotor, sisa, residu, atau noise.Pada suatu model data sederhana, masing-masing nilai pengamatan dapat dipilah menjadi rataan (mean) dan

simpangannya (deviation). Dalam hal ini, galat sama dengan simpangan. Galat yang demikian ini disebut sebagai galat

pengamatan.

Dalam pengambilan contoh (sampel) data dari suatu populasi, galat diukur dari penyimpangan nilai rerata contoh

dari rerata populasi. Galat ini dikenal sebagai galat pengambilan contoh (sampling error) atau galat contoh saja.

ERROR = GALAT


CACAT

BERGALAT

SALAH

KELIRU

SILAP

CELA

GALAT

Terima kasih

atas perhatiannya

MK. STATISTIKA PEMUSATAN & SEBARAN DATA

Documents

Transcript of MK. STATISTIKA PEMUSATAN & SEBARAN DATA