metodosss

16/02/2016

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COMPANY LOGO Mtodos Numricos

Solucin Numrica De Ecuaciones Algebraicas no lineales

J. C. Carbajal L.

Mtodos Abiertos 1

Iteracin Simple de Punto Fijo 2

Convergencia 3

Mtodo de Newton-Raphson 4

D.A.I. M t o d o s N u m r I c o s

Mtodo de la Secante 5

COMPANY LOGO Races de Ecuaciones

J. C. Carbajal L. D.A.I. M t o d o s N u m r I c o s

Solucin de ecuaciones no

lineales

Mtodos Cerrados

Mtodos Grficos

Mtodos Abiertos

Biseccin Falsa Posicin

Newton Raphson Secante

Todas Iterativas

COMPANY LOGO Mtodos Abiertos

Este tipo de mtodos para la obtencin de races se basan en formulas que requieren nicamente un slo valor de inicio, 0, o que empiecen de un par de puntos, pero que no necesariamente encierran a la raz

Algunas veces se alejan de la raz verdadera a medida que aumenta el nmero de iteraciones

Pero cuando convergen lo hacen mucho ms rpido que los mtodos de intervalos


COMPANY LOGO Mtodos Abiertos


a) Ilustra el mtodo de biseccin, donde la raz est contenida dentro del intervalo dado por , y . En contraste, en los mtodos abiertos, b) y c), se utiliza una frmula para dirigirse de a +1, con un esquema iterativo. b) El mtodo puede diverger o c) Converger rpidamente, dependiendo de los valores iniciales.

COMPANY LOGO Iteracin Simple de Punto Fijo

Los mtodos abiertos emplean una frmula que predice la raz

Tal frmula puede ser desarrollada para una simple iteracin de punto fijo (o tambin llamada iteracin de un punto o sustitucin sucesiva) al rearreglar la ecuacin () = 0 de tal modo que quede del lado izquierdo de la ecuacin, = ()

Esta transformacin se puede llevar a cabo mediante operaciones algebraicas o simplemente agregando a cada lado de la ecuacin original

La utilidad de esta ecuacin es que proporciona una frmula para predecir un nuevo valor de en funcin del valor anterior de



Reorganizar la funcin de modo que est en el lado izquierdo de la ecuacin:

= 0 = = 1 0 , = 1, 2, 3,

Los mtodos de intervalos son "convergentes".

El mtodo de punto fijo pueden en algn momento "divergir", dependiendo del punto que indica (valor inicial) y cmo se comporta la funcin


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2


= 2 2 0

= 2 2

o

= + 2

o

= 1 +2



Planteamiento del problema. Use una iteracin simple de punto fijo para localizar la raz de () = .

Solucin.

La funcin se puede separar directamente y expresarse en la forma de la ecuacin como

+1 =

El error aproximado de esta ecuacin se calcula

usando el error normalizado =+1

+1 100%

Empezando con un valor inicial 0 = 0, se aplica esta ecuacin iterativa para calcular



De esta manera, se puede observar que cada iteracin se acerca cada vez ms al valor aproximado al valor verdadero de la raz: 0.56714329.


i (%) (%)

0 0 100.0

1 1.000000 100.0 76.3

2 0.367879 171.8 35.1

3 0.692201 46.9 22.1

4 0.500473 38.3 11.8

5 0.606244 17.4 6.89

6 0.545396 11.2 3.83

7 0.579612 5.90 2.20

8 0.560115 3.48 1.24

9 0.571143 1.93 0.705

10 0.564879 1.11 0.399

COMPANY LOGO Convergencia

Note que el error relativo porcentual verdadero en cada iteracin del ejemplo anterior es proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de la iteracin anterior. Esta propiedad, conocida como convergencia lineal, es caracterstica de la iteracin simple de punto fijo.



Planteamiento del problema. Separe la ecuacin en dos partes y determine su raz en forma grfica.

Solucin.

Reformule la ecuacin como 1 = y 2 = . Al

tabular las funciones se obtienen los siguientes valores:


x 1 2

0.0 0.0 1.000

0.2 0.2 0.819

0.4 0.4 0.670

0.6 0.6 0.549

0.8 0.8 0.449

1.0 1.0 0.368


Un mtodo grfico alternativo consiste en separar la ecuacin en dos partes, de esta manera 1 = 2()

Entonces las dos ecuaciones 1 = 1 2 = 2

Representar grficamente por separado (figura) As, los valores de correspondientes a las intersecciones de estas dos funciones representan las races de () = 0.


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COMPANY LOGO Conclusin

Iteracin de punto fijo converge si

() < 1 (pendiente de la lnea () = ). Entonces los errores dismnuyen

Los errores crecen si () > 1

Cuando el mtodo converge, el error es aproximadamente proporcional a o menor que el error de la etapa anterior, por lo que se llama "linealmente convergente".


COMPANY LOGO Mtodo de Newton-Raphson

Es de los mtodos ms utilizados para localizar races

Si el valor inicial de la raz es , entonces se puede extender una tangente de la funcin desde el punto [, ()]

El punto donde sta tangente cruza el eje representa una aproximacin mejorada de la raz



Se aproxima la funcin con una serie de Taylor truncada en el trmino de segundo orden

= 0

+1

que se arregla para obtener

+1 = ()

()

El desarrollo del mtodo con base en la serie de Taylor proporciona un conocimiento terico relacionado con la velocidad de convergencia expresado como: +1 = (

2)



Planteamiento del problema. Utilice el mtodo de Newton-Raphson para calcular la raz de () =

empleando como valor inicial 0 = 0

Solucin.

La primera derivada de la funcin es = 1

que se sustituye, junto con la funcin original en la

ecuacin +1 = ()

(), para tener

+1 =

1



Empezando con un valor inicial 0 = 0, se aplica esta ecuacin iterativa para calcular

As, el mtodo converge rpidamente a la raz verdadera. Observe que el error relativo porcentual verdadero en cada iteracin disminuye mucho ms rpido que con la iteracin simple de punto fijo


i (%)

0 0 100

1 0.500000000 11.8

2 0.566311003 0.147

3 0.567143165 0.0000220

4 0.567143290 < 108


Planteamiento del problema. Determine la raz positiva de = 10 1 usando el mtodo de Newton-Raphson y un valor inicial x = 0.5.

Solucin.

La frmula de Newton-Raphson en este caso es:

+1 =

+1 =

10 1

109

que se utiliza para calcular


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De esta forma, despus de la primera prediccin deficiente, la tcnica converge a la raz verdadera, 1, pero muy lentamente.


iteracin

0 0.5

1 51.65

2 46.485

3 41.8365

4 37.62285

5 33.887565

1.0000000

COMPANY LOGO

Desventajas: Mtodo de Newton-Raphson

Cuando se encuentran pendientes cercanas a cero el mtodo de Newton-Raphson se aleja de la raz verdadera

Si encuentra pendiente = 0, hay divisin por cero, i.e., la solucin se dispara horizontalmente y jams toca el eje x

Regla para convergencia

> 0 para

() > 0


COMPANY LOGO Mtodo de la Secante

Un problema potencial en la implementacin del mtodo de Newton-Raphson es la evaluacin de la derivada. Existen algunas funciones cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difciles de calcular. En dichos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrs, como en figura

() 1 ()

1

Reemplando () en

+1 = ()

()

se obtiene la frmula para el mtodo de la secante

+1 = ()(1 )

1 ()



Planteamiento del problema. Con el mtodo de la secante calcule la raz de = . Comience con los valores iniciales 1 = 0 0 = 1.0

Solucin.

Recuerde que la raz real es 0.56714329...

Primera iteracin 1 = 0 1 = 1.00000

0 = 1.0 0 = 0.63212

1 = 1 0.63212 0 1

1 0.63212= 0.6127 = 8.0



Segunda iteracin 0 = 1 0 = 0.63212 1 = 0.61270 1 = 0.07081

2 = 0.61270 0.07081 1 0.61270

0.63212 0.07081= 0. 56384

= 0.58%

Tercera iteracin 1 = 0.61270 1 = 0.07081 2 = 0.56384 2 = 0.00518

3 = 0.56384 0.00518 0.61270 0.56384

0.07081 0.00518= 0. 56717

= 0.0048%


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Diferencia entre los mtodos de la secante y de la falsa posicin

Planteamiento del problema. Utilice los mtodos de la secante y de la falsa posicin para calcular la raz de () = ln . Empiece los clculos con los valores iniciales = 1 = 0.5 y = = 5.0.

Solucin.

En el mtodo de la falsa posicin, y los criterios del intervalo para el reemplazo de las aproximaciones, se obtienen las siguientes iteraciones:

En el mtodo de la secante, y el criterio secuencial para el reemplazo de las aproximaciones, se obtiene:


iteracin

1 0.5 5.0 1.8546

2 0.5 1.8546 1.2163

3 0.5 1.2163 1.0585

iteracin 1 +1

1 0.5 5.0 1.8546

2 5.0 1.8546 -0.10438

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Diferencia entre los mtodos de la secante y de la falsa posicin



Se requieren dos aproximaciones iniciales para la raz. Estas suposiciones deben encerrar" o estar a ambos lados de la raz.


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