Metodos Variacionales en el Lmite de N Grande

Ricardo Andres Avila Vivero

29 de agosto de 2008

DEDICATORIA

A Dios quien se ha convertido en piezasustancial de mi existencia, gracias porhaberme mostrado Tu rostro.

Agradecimientos

En primer lugar quiero agradecer al Dr. Jorge Alfaro por su conduccion du-rante esta practica, as como tambien por su tiempo y paciencia.

Quisiera agradecer tambien a todos los miembros de la Facultad de Fsica de laUniversidad Catolica, por el trabajo que realizan en el desarrollo de la cienciay por la formacion academica que he recibido.

Quiero agradecer a la Universidad por haber confiado en m y brindarme todotipo de herramientas y facilidades con las que fui capaz de desarrollar y finalizaren buen termino mis estudios.

Finalmente, agradezco a mi familia porque sin ellos nada de esto hubiese sidoposible.

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Indice

Agradecimientos 3

Resumen 6

1. Introduccion 8

2. Algebra de Grassmann 102.1. Definicion y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1. Anticonmutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2. Variables de Grassmann complejas . . . . . . . . . . . . . 102.1.3. Funciones de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.4. Derivacion e Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Formalismo BRST 133.1. Integrales de camino Integrales funcionales . . . . . . . . . . . 133.2. La Transformacion BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1. Variacion BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.2. La carga BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3. Invarianza de la nueva accion en la extension BRST . . . . . . . 14

4. El Lmite de N grande 184.1. El metodo de la fase estacionaria y el modelo MSV1 . . . . . . . 184.2. Obtencion de MFE mediante las Identidades de Ward . . . . . . 204.3. El modelo MV2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. El Metodo Variacional 265.1. Definicion y proposicion formal del problema . . . . . . . . . . . 265.2. Primer modelo de producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3. Segundo modelo de producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4. Primer modelo de producto interior y MFE . . . . . . . . . . . . 33

5.4.1. MSV1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.4.2. MV2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6. Conclusion 40

Bibliografa 42

A. Nulidad del valor de expectacion de una variacion BRST 43

B. Integrales Gaussianas 45

C. Consistencia del sistema de MFE en MV2 56

D. Representacion coherente de estados bosonicos y fermionicos 57

4

E. Detalles del Calculo de S para MSV1 y MV2 61

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Resumen

Se crea un metodo variacional como un metodo alternativo a los previamenteusados que permite reobtener las ecuaciones de dos modelos matematicos llama-dos MSV1 para modelo sencillo vectorial uno y MV2 para modelo vectorial dos,que constituyen simplificaciones de cierto tipo mas general de modelos fsicosencontrados en el contexto de la fsica nuclear (QCD)1, de partculas (QFT)2

y gravitacion (QG2d)3, especficamente en lo que se conoce como lmite de Ngrande. Estas ecuaciones determinan las propiedades de los sistemas. Para estose inventa un producto punto en el espacio de estados abstracto de Dirac, lo quesignifica que se encuentra una base |~x, ~ >= |~x > |~ > donde, ~x es un vec-tor real y ~ un vector de Grassmann complejo, su correspondiente relacion decompletitud y las proyecciones < ~x, ~ |G > que deben satisfacer los ket |G >de este espacio, de tal manera que < G|G > 0. Este producto punto per-mite la construccion de un bracketcorrespondiente al funcional que se quiereextremizar. Siendo el funcional S =< G|Q|G > donde, Q denota el operadorcarga BRST, se extremiza de tal manera que S = 0 contenga las ecuacionesbuscadas.4

Se determina la relacion de completitud que define la base sobre la cual esposible construir el producto punto, esta corresponde a:

(Nl=1

dxldldl)e

i(ii)| ~x, ~ >< ~x, ~| = 1

Se determina que para obtener las ecuaciones buscadas y por ende para que elmetodo variacional funcione, las proyecciones del ket |G> cuando este representaun estado fsico sonpara MSV1:

< ~x, ~ |G > = G(r, ) = G0(r) +G1

donde r = |~x|, = ~x ~ y donde G0 es una funcion arbitraria de r mientrasque G1 debe ser una constante,

para MV2:

< ~x, ~y, ~, ~|G > = G(r1, r2, r3, 1, 2, 3, 4)

= G0(r1, r2, r3) +G11 +G22 +G33 +G44

+G512 +G614 +G723 +G8341QCD=cromodinamica cuantica.2QFT=teora cuantica de campos.3QG2d=gravedad cuantica en 2-dimensiones.4La sigla BRST denota las iniciales de quienes fueron los primeros en introducir este tipo

de transformaciones, Becchi, Rouet y Stora [9] .

6

donde r1 = |~x|, 1 = ~x ~, 2 = ~x ~, 3 = ~y ~, 4 = ~y ~ y donde G0 es unafuncion arbitraria de r1, r2, r3 mientras que los G1, G2, G3, G4, G5, G6, G7, G8deben ser constantes en analoga con MSV1.

7

1. Introduccion

El lmite de N grande se refiere a un formalismo que aplicado a ciertos mod-elos de la fsica, permite mejorar la comprension de estos, facilitando calculosque posibilitan probar el grado predictivo de las teoras a un nivel mas profundo.Este es el caso de la cromodinamica cuantica, la cual es una teora de Yang-Mills en cuatro dimensiones, pero que debido a su complejidad ha sido muydifcil explorar para lo que se refiere a ofrecer una explicacion del confinamientode quarks. Es por esto que se ha simplificado el problema estudiando modelosde Yang-Mills en dos dimensiones que ofrecen caractersticas positivas en estamateria pero que aun as son altamente complicadas al momento de calcularcorrecciones en forma perturbativa. Es justamente en esto que el lmite de Ngrande facilita el trabajo pues por medio de una redefinicion del lagrangianoinvolucrado (basicamente una redefinicion de la(s) constante(s) de acoplamien-to y variables presente(s) en este) se han podido obtener (resolver)(calcular) enforma explcita expansiones perturbativas en potencias de (1/N). De esta mis-ma forma el lmite de N grande ha sido aplicado a la Teora cuantica de camposy a modelos matriciales que pretenden ofrecer una descripcion de gravitacioncuantica en dos dimensiones.Lo interesante de estas expansiones en potencias de (1/N), tanto para la cro-modinamica cuantica como para la gravedad cuantica en dos dimensiones, ambasque utilizan un algebra no abeliana5 (matrices en ambos casos), es que todos losdiagramas de Feynmann conocidos como planares6 son de orden (1/N) mientrasque los otros terminos (los no planares) son de orden (1/N2) o menor [7]. Deesta forma en ambas teoras el termino dominante para N grande involucra ens una suma de infinitos diagramas planares, cuestion que permanece como unproblema abierto hasta el presente. Estas razones son mas que suficientes paraque el lmite de N grande sea ampliamente estudiado.

En este trabajo estudiamos un metodo variacional para el lmite de N grandeaplicado a dos modelos matematicos que constituyen simplificaciones de losmodelos presentes en las teoras anteriormente referidas pero que retienen lascaractersticas esenciales comunes a todos ellos. Esperamos que el metodo varia-cional permita reobtener las ecuaciones master field que denotaremos de aqu enadelante como MFE, las cuales determinan gran parte de las propiedades de lossistemas (para ser mas especficos, permiten el calculo de cualquier correlacionde una cantidad fsica).

El metodo variacional consiste en extremizar un funcional S tal que S = 0implique MFE. Para esto se inventa un producto punto en el espacio de estadosabstracto de Dirac, lo que significa que se encuentra una base |~x, ~>= |~x> |~>donde, ~x es un vector real y ~ un vector de Grassmann, que posibilite la cons-

5Abeliana se refiere a que conmuta y por lo tanto un algebra no abeliana corresponde a unalgebra no conmutativa.

6Planares significa que el diagrama, i.e. todas sus lneas estan contenidas en un mismoplano.

8

truccion del funcional por medio de un bracket.Se propone < G|Q|G > para el funcional a extremizar, donde Q corresponde aloperador carga BRST y |G > es un ket del espacio. Investigando las variacionesde S se determina si el metodo variacional funciona e informacion adicional so-bre las proyecciones < ~x, ~ |G > para que as sea.En el proceso de la busqueda de un producto punto, se construyen dos propia-mente tal, uno que parece incluir al otro optandose por trabajar con el massimple.

Los contenidos del presente informe se han estructurado en seis capitulos. En elcaptulo 2 se repasan las propiedades basicas del algebra de Grassmann que sonampliamente utilizadas en los calculos. El captulo 3 parte con una breve refe-rencia a las integrales funcionales, fundamentales a la descripcion de los modelospara luego presentar un caso particular de las transformaciones BRST y el re-lacionado operador carga BRST Q. Luego se presenta la metodologa general,aplicado eso si a un caso particular, el de un campo escalar, para hacer unaextension BRST de un modelo resaltando la invarianza resultante de la nuevaaccion frente a las transformaciones BRST.El captulo 4 presenta los dos modelos matematicos estudiados y dos metodosprevios para obtener MFE en el lmite de N grande, el ultimo de estos basa-do en las transformaciones BRST, para llegar a las ecuaciones buscadas. En elcaptulo 5 se construyen dos tipos de productos puntos, se desarrolla el meto-do variacional y se aplica a los dos modelos matematicos, reobteniendose lasecuaciones buscadas. En el captulo 6 se presentan las conclusiones del trabajo.

9

2. Algebra de Grassmann

El algebra de Grassmann ha sido utilizada para describir sistemas fermionicosen los cuales a partir del principio de exclusion de Pauli y la introduccion dela segunda cuantizacion de Dirac, aparecen en forma natural operadores conpropiedades anticonmutantes. Recordando que la cuantizacion de un sistemaconsiste en promover las variables clasicas que lo describen a observables (i.e.operadores), es logico buscar variables asociadas a estos nuevos operadores an-ticonmutativos. El algebra de Grassmann responde a esta necesidad de nuevasvariables y por consiguiente se basa en la anticonmutacion de sus elementos. Alos elementos pertenecientes al algebra de Grassmann se les denomina variablesde Grassmann.

2.1. Definicion y Propiedades

2.1.1. Anticonmutacion

Sea {a} , a = 1, ...N, un set de variables de Grassmann, entonces estasvariables cumplen por definicion con la siguiente relacion de anticonmutacion

ab + ba = 0 (1)

lo que trae como consecuencia inmediata el que a2 = 0. Ademas es importantesenalar que un numero par de variables de Grassmann multiplicadas entre s secomportan como un numero conmutativo cualquiera (igual que un numero realo complejo) con la particularidad de que al elevarlo a una potencia se anula. Asu vez un numero impar de variables de Grassmann multiplicadas se comportancomo una nueva variable de Grassmann anticonmutante.Para el caso particular de un espacio N dimensional se tiene

a1a2 aN = a1a2aN12 N (2)donde a1a2aN corresponde al tensor de Levi-Civita generalizado a dimensionN.

2.1.2. Variables de Grassmann complejas

Una variable de Grassmann se dice real frente a la accion de tomar elcomplejo conjugado, si

= (3)de esta manera se pueden definir variables de Grassmann complejas , usandovariables de Grassmann reales

= 1 + i2

= 1 i2 (4)La regla para conjugar productos de variables de Grassmann complejas es

(12) = 21 (5)

hecho que implica que la cantidad sea real.

10

2.1.3. Funciones de Grassmann

En vista de (1), una funcion de la variable de Grassmann , posee la si-guiente expresion general

f() = f0 + f1 (6)

de la misma forma

f(~x, ) = f0(~x) + f1(~x) ~x

Tambien es importante referirse al diferencial de una variable de Grassmannd, antes de referirnos a la integracion de dichas variables.El operador diferencial se define de la misma manera que para los numerosconmutativos, especificamente

d = dj

j(12)

lo que trae como consecuencia inmediata

d(ab) = dj

j(ab)

= dj [ajb jba] = dab dba (13)por otra parte el diferencial de un producto se fuerza a satisfacer la propiedadde Leibnitz, es decir

d(ab) = dab + adb (14)

finalmente observamos que al restar (13) de (14) obtenemos

adb + dba = 0 (15)

resultado que nos indica que d es en s una variable de Grassmann.

De esta forma en el algebra de Grassmann solo existen dos tipos de integralesno triviales que listamos a continuacion

d

d

para su evaluacion se impone invarianza de las integrales frente a traslaciones,as, frente a = + con d = 0 tedremos

d =d

d =d( + ) =

d

d

la ultima lnea implica que d = 0 (16)

este resultado es consistente ya que lo que se integra (d) es una variable deGrassmann y lo que se obtiene tambien (el cero es un numero conmutativo yanticonmutativo a la vez), por otro lado

d es la integracion de un numero

par de variables de Grassmann por lo que debiesemos esperar un numero con-mutativo (c-number), entonces como normalizacion se le asigna el valor 1, as

d = 1 (17)

12

3. Formalismo BRST

3.1. Integrales de camino Integrales funcionalesLa integral de camino corresponde a un concepto desarrollado por Richard

P. Feynmann, para expresar de un modo distinto, una amplitud de probabili-dad cuantica. Lo interesante del metodo es que en una cantidad propiamentecuantica, aparece una cantidad clasica, correspondiente a la accion del sistemaen cuestion. En su forma mas simple se tiene

< q, t | q, t >=

[Dq][Dp] e iS(q,p) (18)

donde S es la accion del sistema, | q, t > una base en la representacion de co-ordenadas en el cuadro de Heisenberg y donde las medidas de integracion sedefinen como

[Dq] = lmn

Nn=1

dqn

[Dp] = lmn

Nn=1

dpn

Dependiendo de la forma de S, a veces, es posible llevar a cabo la integracionsobre los momentum (dpn) para quedarnos solamente con la medida [Dq]. Loatractivo de la integral de camino, a veces mejor conocida como integral fun-cional, es que nos permite describir todas las propiedades de un sistema. Estoporque si en (18) forzamos q = q y llevamos el tiempo a una variable imaginaria3

por medio de la transformacion = it, se puede establecer una directa relacionentre la integral funcional y la funcion de particion mecanico estadstica, quedescribe todas las propiedades de un sistema en equilibrio termico. De esta formala integral funcional adquiere un sentido probabilstico con eS cumpliendo elrol de una densidad de probabilidad, que permite calcular cualquier correlacionde las cantidades fsicas.

3.2. La Transformacion BRST

Las transformaciones BRST constituyen un grupo dentro del cual existenvarios tipos [6]. Para los efectos de este trabajo nosotros nos avocaremos solo alcaso en que la transformacion corresponda a una traslacion. Para este caso latransformacion BRST consiste en escribir la variacion de la variable en cuestion,e.g. campo de gauge, campo escalar etc. como un producto de dos numeros deGrassmann. De esta forma si es un numero de Grassmann (cte.) se tiene parael caso de un campo escalar y para el caso de un campo de gauge A

(x) = c(x) = (x) (19)

A(x) = (x) = (x) (20)

13

en donde x es un punto del espacio-tiempo y (x), (x) son un campo y uncuadrivector de Grassmann respectivamente. A estos campos se les denominafantasmas y a sus complejos conjugados anti-fantasmas.

3.2.1. Variacion BRST

En base a esto se define la variacion BRST como aquella parte de la variaciontotal que excluye al parametro , en concordancia se tiene

= (x) (21)

A(x) = (x) (22)

Un hecho importante sobre la variacion BRST es su nilpotencia, lo que significaque 2 = 0. Esto es un postulado.Lo que implica que

2 = 0 = (23)

la variacion BRST de los campos anti-fantasmas se define como

(x) ib(x) (24)donde b es un campo conmutativo. De la misma manera en el caso vectorial

(x) ib(x) (25)la nilpotencia de implica en ambos casos

b = 0 y b = 0 (26)

3.2.2. La carga BRST

En este contexto se define el operador carga BRST Q como aquel que apli-cado a una funcion produce una variacion de la funcion y rescata aquella partede la variacion que excluye al parametro grassmaniano .De esta manera, la ecuacion que la define es

F = QF (27)

as la carga BRST tiene una estricta relacion con la variacion BRST, hecho queproduce que esta ultima tambien sea nilpotente, es decir, Q2 = 0.

3.3. Invarianza de la nueva accion en la extension BRST

Punto clave del trabajo que aqu se presenta es el hecho que se puede con-struir una nueva accion a partir de la original, incluyendo los fantasmas, queresulta ser invariante frente a las transformaciones BRST.A continuacion se muestra el procedimiento general para encontrar la nuevaaccion, aplicado al caso del campo escalar [3].

14

Considerese un sistema descrito por un campo escalar y la siguiente integralfuncional

Z =

[D]eS() (28)

la medida de integracion [D] es invariante frente a (19), pero la accion que esun funcional de no lo es. Para hacerla invariante se introduce un nuevo campoescalar B(x) tal que B = y se modifica la accion

S() S(B)naturalmente que al introducir una nueva variable, el campo B, este debe apare-cer integrado en Z, as la nueva integral funcional es

Z =

[D][DB]eS(B)

Para obtener el gauge, es decir, la condicion en que B(x) = 0, se le agrega ala accion (para ser mas exacto a la densidad lagrangiana) un termino (B)que es en s una variacion BRST y que equivale a sumar un cero a la integral(apendice A), justificandose as el hecho de poder incorporarlo de esta maneraen el exponente.Ahora de (21) y (24)

(B) = ibB +

nuevamente la introduccion de nuevas variables, los campos b, , , implicael que deben aparecer integrados en Z. De esta manera la integral funcionaladquiere el siguiente aspecto

Z =

[D][DB][Db][D][D]e(S(B)+dx (ibB+))

se reconoce a la parte [Db]ei

dxbB

dentro de la integral anterior, como la generalizacion de la delta de Dirac al casocontinuo. Luego, al integrar sobre el campo b, se obtiene la delta de Dirac (B)que al integrar, nuevamente, sobre B da B(x) = 0.De esta forma la integral funcional se reduce a

Z =

[D][D][D]e(S()+dx ) (29)

la nueva accion esS(, , ) = S() +

dx (30)

y su variacion

S =dxS

+

dx ( + )

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la que en consideracion de (19) y (23) se escribe como

S =dx [

S

+ ]

=dx [

S

+ ] (31)

entonces la forma que adopta la trasformacion BRST para el anti-fantasma enorden de hacer invariante la nueva accion S en virtud de (31) es

= S

(32)

luego, bajo las transformaciones

= = 0

= S (33)

la accion S(, , ) = S()+dx es invariante.7 La forma de proceder para

otro tipo de variables como campos de gauge, etc, es completamente analogoobteniendose un resultado similar. En general consiste en que por cada variablecontenida en el modelo original, se debe agregar a la accion un par de variablesfantasma - antifantasma; esto no es sino hacer una extension del modelo originala uno mas grande (posee mayor numero de variables) que es invariante frente alas transformaciones BRST y se habla entonces de haber efectuado una extensionBRST del modelo. En el caso visto en detalle, solo hay una variable, el campoescalar en la accion original, en consecuencia en la accion extendida aparece unsolo par de variables fantasmas asociadas.Esta invarianza de la medida de integracion asi como de la nueva accion tieneasociada a s un conjunto de identidades de la forma

< [F ()(y)] >= 0 (34)

conocidas como identidades de Ward, validas para cualquier funcional F () ar-bitrario (apendice A)

Al desarrollar explcitamente (34) se tiene

< [F ()](y) + F ()[(y)] >= 0

7Notamos que el integrar sobre los campos b y B, tiene como efecto la perdida de lanilpotencia del operador carga BRST asociado, esto porque la nilpotencia de Q esta asociadaa las transformaciones BRST originales que consideran a b y B, esto es (21), (23), (24), (26)y B = = , la integracion suprime estas variables.

16

= 0

[D][D][D](

dx

F

(x)(x)(y) F () S

(y))e(S()+

dx)

[D][D][D]e(S()+dx)

= 0

(35)

reconocemos dentro de (35) el hecho de que[D][D]e

dx = 1

[D][D](x)(y)e

dx = (x y)

(final apendice B)

de esta forma integrando sobre los fantasmas podemos escribir (35) como

[D](

dx

F

(x)(x y) F () S

(y))eS()

[D]eS()= 0

[D](

F

(y) F () S

(y))eS()

[D]eS()= 0

es decir,

= 0 (36)

(36) es conocida como la ecuacion de Schwinger-Dyson.Esta ecuacion contiene la dinamica cuantica de la teora.

17

4. El Lmite de N grande

Como ya fue mencionado en la introduccion, el lmite de N grande se estu-dia por medio de hacer un apropiado reescalamiento de la(s) constante(s) deacoplamiento y redefinicion de las variables presentes en el lagrangiano, lo quetiene como resultado final la aparicion de un factor N que multiplica todo el re-definido lagrangiano [7]. Por lo tanto nos encontramos con integrales funcionalesque tienen el siguiente aspecto general

D(var)eNf (37)

donde Nf es la accion del modelo y f una funcion (o funcional) arbitrario delas variables var.Como lo que interesa es en definitiva calcular los valores de expectacion y/ocorrelaciones de las diversas cantidades fsicas, que a su vez corresponden ainvariantes del modelo, el hecho de que aparezca el factor N en la exponencialpermite en principio evaluar las integrales por medio del metodo de la fase esta-cionaria. Esto se justifica porque en definitiva, el metodo de la fase estacionariaes una expansion asintotica [8] de la integral, procedimiento que adquiere sen-tido cuando se toma N .

Para ilustrar este metodo as como el que se introducira en la proxima seccion,se utilizara un modelo sencillo vectorial que denotaremos por la sigla MSV1.

4.1. El metodo de la fase estacionaria y el modelo MSV1

El modelo MSV1 queda definido por la siguiente integral:

Z =dNx eNf(~x) (38)

donde ~x es un vector N-dimensional y f es una funcion tal que f(O~x) =f(~x), donde O denota rotaciones de los ejes cartesianos en torno al origen.La propiedad de f se entiende en el contexto que representa una cantidad fsica(la accion) y por lo tanto debe ser funcion de los invariantes del modelo. En estecaso el unico invariante del modelo es: r = |~x|.El metodo de la fase estacionaria consiste en hacer una expansion de Taylor dela funcion f en torno a un mnimo local de tal manera que al tender el exponentedel integrando a un valor muy grande, uno puede descartar los terminos de or-den cuadratico y mayores asumiendo que la mayor contribucion a la integralesta dada por el primer termino de la expansion que es simplemente f evaluadaen el punto crtico.Sin embargo como las variables de interes son los invariantes y no las coorde-nadas cartesianas xi propiamente tal, es preciso, hacer un cambio de variableen la integral de manera de dejar todo expresado en terminos de r.

18

Al hacer esto, Z queda

Z = Ndr rN1eNf(r)

Z = Ndr

reN [f(r)ln(r)] (39)

donde N corresponde al angulo solido en N dimensiones.Esto conlleva a que la funcion a expandir propiamente tal sea f(r) ln(r) lacual posee puntos crticos que satisfacen

f (r) 1r

= 0 (40)

la ecuacion (40) corresponde a MFE y es de vital importancia, como lo demues-tra el siguiente teorema.

Teorema 1 Las correlaciones de funciones de los invariantes del modelo origi-nal, son iguales a la funcion en cuestion evaluada en los valores crticos de losinvariantes, determinados por MFE mas terminos decrecientes en potencias deN.

Demostracion.Sea r0 el valor de r determinado por (40) y sea F una funcion de los invariantesen MSV1, entonces F = F (r)

luego su valor de expectacion es

< F > =

dNxF eNf(~x)dNx eNf(~x)

< F > =

dr/r F (r) eN [f(r)ln(r)]dr/r eN [f(r)ln(r)]

al aplicar el metodo de la fase estacionaria y expandir F en torno a r0

< F >=

0

dr/r [F (r0)+F(r0)(rr0)+ 12 F (2)(r0)(rr0)2+ 13!F (3)(r0)(rr0)3+] eNf(r0)

0dr/r eNf(r0)

19

en la ultima integral se ponen los lmites de integracion explcitamente, puestoque ahora se hace un cambio de variable =

N(r r0) con el cual

< F >=

r0Nd/(+r0

N) [F (r0)+F

(r0) N

+ 12 F(2)(r0)

2

N +13!F

(3)(r0)3

N3/2+ ] eNf(r0)

r0Nd/(+r0

N) eNf(r0)

de esta ultima lnea es facil apreciar que

< F >= F (r0) +O(N) (41)

con 12y el teorema queda probado.8

Para el modelo MSV1 todo resulta perfecto; No obstante el metodo de la faseestacionaria involucra el hacer un cambio de variable de tal manera de dejartodo expresado en termino de los invariantes del modelo, cuestion que puederesultar altamente no trivial para modelos mas complicados. Es por esta razonque se utiliza un metodo distinto y mas seguro para obtener MFE, metodo quea su vez se basa profundamente en la extension BRST del modelo original comofue visto en la seccion 3.3.

4.2. Obtencion de MFE mediante las Identidades de Ward

Una vez hecha la extension BRST, el numero de invariantes aumenta porqueahora existen mas variables. Para el caso del MSV1 se construye la nueva accionextendida que en concordancia con la seccion 3.3 resulta ser

S(xi, i, i) = Nf(~x) + ii i = 1, . . . , N (42)

donde la notacion de Einstein para la suma en la repeticion de ndices ha sidousada con las variables de Grassmann. Como ya se sabe (42) es invariante frentea (33) que en este caso adquieren el siguiente aspecto

xi = ii = 0

i = Sxi

= N fxi

(43)

Tambien de la seccion 3.3 sabemos que esta invarianza trae asociada a s unconjunto de identidades de Ward como en (34). El metodo consiste en aplicar las

8La prueba ha sido dada para MSV1; para otros modelos es analoga.

20

identidades de Ward a los invariantes no triviales del nuevo modelo extendido.Para MSV1 extendido, los invariantes son:

r = |~x| = ii = xii = xii

de los cuales los tres primeros son triviales, es decir, se anulan inmediatamenteal aplicarles la identidad de Ward como podemos verificar

< r > = < 0 >= 0

< > = < (ii) >

= < N fxi

i >= 0

el ultimo paso se justifica porque la correlacion de una sola variable de Grass-mann es cero (final apendice B).

< > = < (xii) >

= < ii >= 0

la ultima lnea se justifica por la propiedad anticonmutativa (1) de las variablesde Grassmann.De esta manera el unico invariante no trivial, es

< > = < (xii) >

= < ii xiN fxi

>

= N < 1 r fr

>

entonces en vista de la definicion de la variacion BRST y (34)

< > = N < 1 r fr

>

= 0 (44)

21

Ahora segun el Teorema 1. [4]

< 1 r fr

>= 1 r fr

+O(N)

y considerando el lmite N

< 1 r fr

>= 1 r fr

lo que en virtud de (44) significa

1 r fr

= 0

que no es mas que MFE para el modelo.

De esta forma entonces, se obtiene MFE por medio de una identidad de Ward(44) asociada a la invarianza de la nueva accion (42) en la extension BRST delmodelo para el lmite de N grande.A continuacion aplicaremos este metodo a un segundo modelo mas complicadoque llamaremos MV2.

4.3. El modelo MV2

El modelo MV2 es una extension de MSV1 que considera dos vectores, envez de uno, viviendo en un espacio N-dimensional. Esta descrito por la siguienteintegral

Z =dNx dNy eNf(~x,~y) (45)

donde f es tal que f(O~x,O~y) = f(~x, ~y)en este modelo existen tres invariantes naturales que corresponden a:

r1 = |~x|r2 = |~y|

r3 = ~x ~ySenalemos que esta simple extension del MSV1 de uno a dos vectores ya consti-tuye un dificultad alta para el metodo de la fase estacionaria, la dificultad radicaesencialmente en encontrar el Jacobiano asociado al cambio de variable que sedebe introducir, puesto que ahora debemos expresar la integral Z en termino delos tres invariantes.Aqu en consecuencia se puede apreciar mas claramente las ventajas del metodoalternativo.Llevamos la accion S = Nf(~x, ~y) a su par extendido BRST, recordamos quepor cada variable xi, yi debemos introducir pares de variables fantasmas. A las

22

asociadas a xi las denotaremos por i, i mientras que a las asociadas a yi, i, i,de esta forma y en concordancia con la seccion 3.3, la nueva accion esta dadapor

S(xi, yi, i, i, i, i) = Nf(~x, ~y) + ii + ii

la que a su vez es invariante frente a

xi = ii = 0

i = Sxi

= N fxi

yi = ii = 0

i = Syi

= N fyi

(46)

Los nuevos invariantes no triviales son

1 = xii (47)2 = xii (48)3 = yii (49)4 = yii (50)

Al aplicar las correspondientes identidades de Ward

< (1) > = < (xii) >

= < ii Nxi fxi

>

= N < 1 r1 fr1 r3 f

r3>

implica

< (1) > = N < 1 r1 fr1 r3 f

r3>

= 0

y por el Teorema 1 para el lmite N

1 r1 fr1 r3 f

r3= 0 (51)

23

que corresponde a la primera MFE para el modelo.

De manera similar

< (2) > = < (xii) >

= < 0Nxi fyi

>

= N < [r3r2

f

r2+ r21

f

r3] >

implica

< (2) > = N < [r3r2

f

r2+ r21

f

r3] >

= 0

por Teorema 1 y lmite de N grande

r3r2

f

r2+ r21

f

r3= 0 (52)

< (3) > = < (yii) >

= < 0Nyi fxi

>

= N < [r3r1

f

r1+ r22

f

r3] >

luego

< (3) > = N < [r3r1

f

r1+ r22

f

r3] >

= 0

24

por Teorema 1 y N r3r1

f

r1+ r22

f

r3= 0 (53)

< (4) > = < (yii) >

= < ii Nyi fyi

>

= N < 1 r2 fr2 r3 f

r3>

implica

< (4) > = N < 1 r2 fr2 r3 f

r3>

= 0

por Teorema 1 y N

1 r2 fr2 r3 f

r3= 0 (54)

de esta manera (51), (52), (53) y (54) corresponden a MFE que determinan losvalores crticos de r1, r2, r3 y se verifica que el sistema que conforman dichasecuaciones es consistente (apendice C).

Nuestra intencion ahora es explorar un metodo alternativo, que nos permitaobtener MFE con la esperanza de que nos aporte alguna informacion adicionalacerca del modelo, en concreto, que nos diga algo mas de como deben ser lasfunciones que representan las cantidades fsicas del modelo.

25

5. El Metodo Variacional

Nuestra intencion sera hacer una formulacion variacional del problema paraencontrar MFE.

5.1. Definicion y proposicion formal del problema

Sea |G > un ket que represente un estado fsico del sistema, entonces,este tendra asociado una funcion de invariantes que denotaremos por G(r, )y G(r1, r2, r3, 1, 2, 3, 4) para las extensiones BRST de MSV1 y MV2 re-spectivamente.

Buscaremos la creacion de un funcional S definido por

S =< G|Q|G > (55)tal que al extremizarlo nos de

S = Q|G >= 0 (56)y que S = 0

contenga dentro de s las MFE del modelo.

Para esto es necesario encontrar una base en el espacio de estados que per-mita definir un producto interior.

Para simplificar el problema de encontrar una base trabajaremos primero enuna dimension para luego generalizar el resultado a N dimensiones.

5.2. Primer modelo de producto interior

Usando la definicion usual de la base para una coordenada de posicion con-tinua

|x >:dx |x >< x | = 1 (57)

y utilizando la base para un estado fermionico en la representacion coherente(apendice D)

| >:dd e | >< | = 1 (58)

nuestro primer intento fue proponer una base |x, > definida como el productotensorial entre la base |x > y | >

|x, >= |x > | >

26

en consecuencia, esta base cuenta con la siguiente relacion de completitud

|x, >:dxdd e |x, >< x, | = 1 (59)

nuestra intencion es que esta base permita la definicion de un producto interioren una dimension, como requisito, necesitamos que < G|G > 0.

La primera propuesta que hicimos para la proyeccion del ket |G > sobre labase (59) para MSV1 fue

< x,|G >= G(x, ) = G0 +G1 (60)donde G0 y G1 son funciones de x.

pero al calcular < G|G > se obtiene

< G|G > =dxdd e[G0 +G1][G0 +G1]

=dx(|G0|2 |G1|2) (61)

por lo que se requieren modificaciones.

Las modificaciones deben ser hechas a la proyeccion del ket |G > pues sabe-mos que (59) es falto de error.De esta manera notamos que al cambiar por en (60)

< x,|G >= G(x, ) = G0 +G1 (62)

se obtiene el resultado deseado

< G|G > =dx(|G0|2 + |G1|2) 0 (63)

el paso siguiente consistio en calcular el funcional S.

Para esto primero debemos hablar de la forma que toma el operador cargaBRST para el modelo MSV1 y MV2. De aqu en adelante utilizaremos la no-tacion de Einstein para la suma de ndices repetidos a menos que se indique locontrario

27

En la extension de MSV1 (N dimensiones) consideramos una funcion arbitrarialo mas general posible F = F (xi, i, i) luego segun (27) y (43)

F = xiF

xi+ i

F

i+ i

F

i

= [i

xi Sxi

i

]F

En consecuencia se tiene que el operador carga BRST para MSV1 correspondea

Q = i

xi Sxi

i(64)

Para MV2 procedemos de una forma similar, la funcion a considerar es F =F (xi, yi, i, i, i bari) con la cual en vista de (46)

F = xiF

xi+ yi

F

yi+ i

F

i+ i

F

i+ i

F

i+ i

F

i

= [i

xi+ i

yi Sxi

i Syi

i

]F

de la ultima lnea se identifica la carga BRST para MV2 como

Q = i

xi+ i

yi Sxi

i Syi

i(65)

con esto dicho procedemos a calcular el funcional S , en todo el analisis sub-siguiente se trabajara con el modelo MSV1 en una dimension hasta encontrar labase adecuada, luego se generalizaran los resultados a MV2 y a N-dimensiones.

S = < G|Q|G >

=dxdd e[G0 +G1][

x Sx

][G0 +G1]

28

=dxG0 [G1(x)G1

S

x] (66)

entonces las variaciones de S con respecto a G0 y G1 resultan

S

G0= G1(x)

S

xG1(x) = 0 (67)

S

G1= G

0(x) +

S

xG0(x) = 0 (68)

las variaciones (67) y (68) son igualadas a cero puesto que se busca la condicion(56).

Para saber si (67) y (68) son correctas debemos esperar que impliquen

Q|G >= 0 (69)

entonces las comparamos con las ecuaciones que se obtienen de (69)

QG = [

x Sx

][G0 +G1]

= (G0(x) +G1(x) )G1

S

x= 0 (70)

puesto que {1, , , } son linealmente independientes entre s,(70)

G0(x) = 0G1(x) = 0

G1S

x= 0 (71)

Desafortunadamente no se ve claramente el que (67) y (68) (71), esto soloocurrira en el caso que G0 fuese real y solo para los puntos crticos que extre-mizan la accion original S. Para tratar de adquirir un mayor adentramiento enel problema y mejorar esta situacion se propuso una proyeccion de |G > queutilizara toda la base {1, , , }, asi

< x,|G >= G0 +G1 +G2 +G3 (72)

29

pero al calcular < G|G > obtenemos

< G|G > =dxdd e[G0 +G1 +G2 +G3][G0 +G1 +G2 +G3]

=dx (G0G3 + |G0|2 + |G1|2 |G2|2 +G3G0) (73)

en (73) hay serios problemas, no solo la expresion no es positiva definida sino queademas aparecen terminos de mezcla! como G0G3. Por esta razon y el hecho deque no existe una clara implicancia por parte de (67) y (68) a (71) se busco unanueva base para definir el producto punto.

5.3. Segundo modelo de producto interior

Buscamos una nueva base que permita considerar proyecciones del tipo (72)con la esperanza de que el hecho de usar toda la base {1, , , } permitaobtener (56). Para esto lo que se nos ocurrio fue definir un nuevo estado | >tomando la definicion del ket | > en la representacion coherente (apendice D).Aqu haremos una breve referencia.En la representacion coherente de estados fermionicos | > se define como

| >= |0 > +|1 > (74)donde es una variable de Grassmann y |0 >, |1 > son los dos estados asociadosal hamiltoniano del sistema en cuestion, para el estado del vaco y del siguientenivel de energa respectivamente.En vista de esta definicion se me ocurrio definir el estado | > como

| >= |0 > +|1 > (75)lo siguiente fue buscar que relacion de completitud satisface. Despues de algunosintentos se llego a que la correspondiente relacion es

dde| >< | = 1 (76)

con esto podemos construir el estado |x, , > definido por

|x, , >= |x > | > | > (77)en consecuencia le corresponde la siguiente relacion de completitud

dxdddde e |x, , >< x,, | = 1 (78)

las primas se han usado para distinguir entre las diferentes variables mudas deintegracion puesto que de lo contrario el integrando se anulara.

30

Recogiendo la experiencia ganada en el modelo previo de producto interior, ydespues de algunos intentos se identifico

< x,, |G >= G0 +G1 +G2 +G3 (79)donde G0, G1, G2 y G3 son funciones dependientes de x.

como la proyeccion requerida para hacer < G|G > 0.Usaremos la notacion [d] para la medida de integracion de (78)

< G|G > =

[d] e e [G0 +G1 +G2 +G3][G0 +G1 +G2 +G3]

=dx ( |G0|2 + |G1|2 + |G2|2 + |G3|2 ) 0 (80)

De esta manera el segundo modelo de producto interior queda definido por (78)y (79). Es importante discutir ciertas caractersticas de este modelo antes deproseguir con los calculos. De partida notamos que segun (78) y (79) este mod-elo parece contener al primero, (78) es (59) multiplicado por (76), mientras queen (79) recobramos (62) al hacer G2 = G3 = 0. Lo siguiente es referirnos al cam-po , en estricto rigor corresponde a una variable independiente de aunquenosotros quisieramos interpretarla como esta y decir que el hecho de que lleve laprima es simplemente para poder llevar a cabo la integracion en (78), pero serade algun modo una restriccion del caso mas general en el cual es considera-da como una variable completamente independiente. Esta ultima apreciacion esnecesaria para establecer la nueva forma que adquiere el operador carga BRST.Debemos considerar el caso mas general, en consecuencia las funciones a con-siderar deben tener la siguiente forma F = F (x, x, , , , ). La razon porla cual se considera tambien x es porque en definitiva la interpretacion que ledamos a es el de ser el mismo campo pero no necesariamente evaluado enel mismo punto, es decir, esta asociado al punto x mientras que al puntox, cuestion que se vuelve mas clara al escribir las transformaciones BRST:

x = x =

= 0 = 0

= Sx

= Sx

(81)

la carga BRST sera

F = xF

x+ x

F

x+

F

+

F

+

F

+

F

= [

x+

x Sx

Sx

]F

31

Q =

x+

x Sx

Sx

(82)

en vista de (82) procedemos a calcular QG = 0 y S (para MSV1)

QG = [

x+

x Sx

Sx

][G0 +G1 +G2 +G3]

como nada depende de x ni de el operador carga se reduce,

= [

x Sx

][G0 +G1 +G2 +G3]

= [G0(x) +G1(x) +G

2(x)

+G3(x)] S

x(G1 G3 ) = 0

(83)

argumentandonos en la independencia lineal de 1, . . . etc.(82)

G0(x) = 0 G1(x) = 0 G

2(x) = 0 G

3(x) = 0

S

xG1 = 0

S

xG3 = 0 (84)

inmediatamente indentificamos en (84) la contencion de (71), reafirmando el queeste nuevo producto interno pareciera ser una extension del primero.

El funcional S resulta

S = < G|Q|G >

=

[d][G0+G1+G2+G3][ x Sx ][G0+G1+G2

+G3]

=dx [G0G1(x) +G2G

3(x)G0

S

xG1 G2 S

xG3] (85)

32

finalmente variando S con respecto a G0, G1, G2, G3 e igualando las variacionesa cero en concordancia con (56)

S

G0= G1(x)

S

xG1 = 0 (86)

S

G1= G

0(x) +

S

xG0 = 0 (87)

S

G2= G3(x)

S

xG3 = 0 (88)

S

G3= G

2(x) +

S

xG2 = 0 (89)

vemos que (85) y (86) corresponden a (67) y (68) respectivamente, nuevamenteuna indicacion de que este segundo modelo es una extension del anterior.En vista de lo anterior y por el hecho que el primer modelo es mas sencillodecidimos optar por trabajar con este. Ademas debemos sumar el hecho de lasutileza que existe en torno a la interpretacion de . A pesar de decidirnospor el primer modelo, hemos querido presentar el segundo modelo de productointerior porque formo parte del trabajo realizado en la practica y porque no dejade ser interesante.

5.4. Primer modelo de producto interior y MFE

5.4.1. MSV1

El primer modelo de producto interior queda definido por las ecs. (59) y(62), las cuales volvemos a escribir abajo

|x, >:dxdd e |x, >< x, | = 1 (59)

< x,|G >= G(x, ) = G0 +G1 (62)La generalizacion de (59) a N dimensiones corresponde a

| ~x, ~ >:

(Nl=1

dxldldl)eii | ~x, ~ >< ~x, ~| = 1 (90)

La version de (62) generalizada a N-dimensiones cuando |G > representa unestado fsico, debe corresponder, como fue senalado a comienzos del captulo 5,a una funcion de los invariantes r, en la extension de MSV1, es decir,

< ~x, ~|G >= G(r, ) = G0(r) +G1(r) (91)

33

Es interesante subrayar el hecho de que (62) permite esta situacion, puesto quecontempla el uso de los i con los cuales se genera el invariante , no as, elcaso de (60). Intentaremos entonces obtener MFE del modelo extremizando S,la cual procedemos a calcular.La medida de integracion la denotaremos por [d].

S =

[d]eii [G0(r) +G1(r)][i

xi Sxi

i][G0(r) +G1(r)]

al multiplicar todos los terminos y llevar a cabo las integrales gaussianas sobrelas variables de Grassmann finalmente resulta (apendice E)

S =

(Nl=1

dxl)[G0(r)G1(r)xi

xi +G0(r)NG1 G0(r) Sxi

G1xi] (92)

calculando la variacion con respecto a G0 e igualandola a cero en pos de (56)

S

G0=

G1xi

xi +NG1 N fxi

G1xi = 0

dividimos por N y tomamos el lmite N

G1xi

xiN

+G1 fxi

G1xi = 0

G1[1 r fr

] = 0 (93)

mientras que al hacer lo mismo con la variacion con respecto a G1

S

G1= (G0xi)

xi+NG0 N f

xiG0xi = 0

= G0xi

xiNG0xi f

xi= 0

= G0rf

r= 0 (94)

34

tenemos dos ecuaciones (93) y (94),

(93) G1 = 0 1 r fr

= 0

(94) G0 = 0 r fr

= 0

suponiendo que no conocemos MFE del modelo, pues esto es lo que esperamosque el metodo variacional determine, observamos que las implicancias de (93) y(94) resultan en que

G0 6= 0 G1 = 0 o G1 6= 0 G0 = 0ambos casos hacen que (92) se anule! Este problema de aparente inconsistenciase debe a la ec.(94) pues sabemos que rf/r 6= 0 y la forma que adopta (94)se debe al termino de integracion por partes (G0xi)/xi. Para solventar estasituacion notamos que si en (92) eliminamos el termino G0xiG1/xi pidiendoque G1 sea constante, entonces ya no aparece en (94) el termino conflictivo.9

En este caso el funcional S se reduce a

S =

(Nl=1

dxl)[G0(r)NG1 NG0(r) fxi

G1xi] (95)

las variaciones con respecto a G0, G1 son inmediatas

S

G0= NG1[1 r f

r] = 0 (96)

S

G1=

dNxNG0[1 r f

r] = 0 (97)

de la forma de (92) y (95) sabemos que si no queremos que estas expresionespierdan sentido (i.e. el funcional se anule), necesariamente G0, G1 6= 0. Con estoen la mano, nos fijamos que (96) implica MFE y (97) es una condicion que sesatisface en virtud de (96). De esta manera hemos cumplido nuestro objetivopara MSV1.Finalmente quisieramos senalar el hecho que en este caso particular no se re-quirio tomar el lmite de N grande para encontrar MFE, lo que podra ser otroaditivo que trae consigo el metodo variacional y por supuesto el hecho de pedirG1 = cte no deja de ser una restriccion necesaria para que el metodo funcionepero tambien se convierte en informacion adicional sobre la forma de las fun-ciones G.

9El hecho de pedir G1 constante concentra en G0 toda la dependencia de los xi.

35

5.4.2. MV2

La correspondiente generalizacion de (90) a MV2 corresponde a

| ~x, ~y, ~, ~ >:

(Nl=1

dxldyldldldldl)eiieii |~x, ~y, ~, ~ >< ~x, ~y, ~, ~| = 1(98)

la proyeccion del ket |G > es

< ~x, ~y, ~, ~|G > = G(r1, r2, r3, 1, 2, 3, 4)

= G0 +G11 +G22 +G33 +G44

+G512 +G614 +G723 +G834 (99)

donde Gi = Gi(r1, r2, r3) con i = 0, 1, . . . , 8. De esta manera procedemos acalcular el funcional S, utilizaremos [d] para la medida de integracion dondeconvenga

S =

(Nl=1

dxldyldldldldl)eiieii [G0 +G11 +G22 +G33 +G44

+G512 +G614 +G723 +G834][i

xi+ i

yi Sxi

i Syi

i]

[G0 +G11 +G22 +G33 +G44 +G512 +G614 +G723 +G834]

notamos el hecho de que

12 = xiixj j = xixjij= xixjji = xjj xii= 21

36

al desarrollar la ultima expresion, es decir, despues de multiplicar todos losterminos y llevar a cabo la integracion sobre las variables de Grassmann resulta(apendice E)

=

(Nl=1

dxldyl)G0[G1xi

xi +NG1 +G3xi

yi +G2yi

xi +G4yi

yi

+NG4 N fxi

(G1xi +G3yi)N fyi

(G2xi +G4yi)]

+(G1xp +G3yp)[G7yi

xiyp +G8yi

ypyi

G8ypN + G5yi

xpxi +G6yi

xpyi G6xpN

N fyi

(G5xpxi G6xpyi +G7xiyp G8ypyi)]

+(G2xp +G4yp)[G5xi

xixp +NG5xp

+G6xi

xiyp +NG6yp +G7xi

xpyi +G8xi

yiyp

N fxi

(G5xixp +G6xiyp G7xpyi +G8yiyp)] (100)

(100) es una expresion bastante mas complicada que (92), motivado por el anali-sis previo en MSV1 donde se determino que G1 = cte, aqu probamos la opcionG1, G2, . . . , G8 = cte.10

Entonces (100) se reduce a

S =

(Nl=1

dxldyl)G0[NG1 +NG4 N fxi

(G1xi +G3yi)N fyi

(G2xi +G4yi)]

+(G1xp +G3yp)[G8ypN G6xpN N fyi

(G5xpxi G6xpyi +G7xiyp G8ypyi)]

+(G2xp +G4yp)[NG5xp +NG6yp N fxi

(G5xixp +G6xiyp G7xpyi +G8yiyp)](101)

10Nuevamente concentramos la dependencia de las variables originales xi, yi, en el primercoeficiente G0.

37

reexpresando las derivadas parciales como

f

xi=xir1

f

r1+ yi

f

r3

f

yi=yir2

f

r2+ xi

f

r3

y reagrupando terminos, (101) se expresa como

S =

(Nl=1

dxldyl) G0N [G1(1 r1 fr1 r3 f

r3) +G4(1 r2 f

r2 r3 f

r3)

G2(r3r2

f

r2+ r21

f

r3)G3(r3

r1

f

r1+ r22

f

r3)]

+G1N [G8r3(1 r2 fr2 r3 f

r3)G6r21(1 r2

f

r2 r3 f

r3)

+G5r21(r3r2

f

r2+ r21

f

r3)G7r3(r3

r2

f

r2+ r21

f

r3) ]

+G3N [G8r22(1 r2f

r2 r3 f

r3)G6r3(1 r2 f

r2 r3 f

r3)

+G5r3(r3r2

f

r2+ r21

f

r3)G7r22(

r3r2

f

r2+ r21

f

r3) ]

+G2N [G5r21(1 r1f

r1 r3 f

r3) +G6r3(1 r1 f

r1 r3 f

r3)

+G7r21(r3r1

f

r1+ r22

f

r3)G8r3(r3

r1

f

r1+ r22

f

r3) ]

+G4N [G5r3(1 r1 fr1 r3 f

r3) +G6r22(1 r1

f

r1 r3 f

r3)

+G7r3(r3r1

f

r1+ r22

f

r3)G8r22(

r3r1

f

r1+ r22

f

r3) ]

(102)

38

Destacamos en (102) la aparicion del conjunto MFE para MV2.

La variacion de S con respecto a G0 e igualada a cero en vista de (56) resulta

S

G0= NG1(1 r1 f

r1 r3 f

r3) +NG4(1 r2 f

r2 r3 f

r3)

NG2(r3r2

f

r2+ r21

f

r3)NG3(r3

r1

f

r1+ r22

f

r3) = 0

(103)

como los Gi, Gi son arbitrarios y a su vez pedimos el que sean distintos de ceropor un argumento analogo al soslayado para MSV1, el que el funcional S nose anule, entonces si sumamos la condicion de pedir una extremizacion delfuncional S para todas las proyecciones posibles del ket |G > de tipo(99) con G0 dependiente de xi, yi mientras que G1, G2, . . . , G8 = cte en-tonces en este caso (103) implica las ecuaciones (51), (52), (53) y (54), es decir,el conjunto completo de MFE para MV2.

Establecido este hecho podemos apreciar que las demas variaciones de S pro-ducen condiciones que son satisfechas por (103).

Por ejemplo, la variacion con respecto a G5 e igualada a cero en vista de (56)resulta

S

G5=

dNxdNy G2N r

21(1 r1

f

r1 r3 f

r3) +G1N r21(

r3r2

f

r2+ r21

f

r3)

+G4N r3(1 r1 fr1 r3 f

r3) +G3N r3(

r3r2

f

r2+ r21

f

r3) = 0

condicion que es satisfecha por (103), sucediendo lo mismo para las otras varia-ciones.

De esta manera hemos logrado reobtener el conjunto MFE para MV2 a travesde un metodo variacional imponiendo restricciones a la forma que adoptan lasproyecciones de los estados fsicos. Notamos tambien el hecho de que no fuenecesario para este caso y a este nivel, es decir, a nivel de la obtencion de MFEtomar el lmite N grande.

39

6. Conclusion

En este trabajo hemos encontrado un nuevo metodo para encontrar el MFEde una teoria, el metodo variacional. Por falta de tiempo solo pudimos aplicarloa dos modelos sencillos pero que no dejan de ofrecernos un buen adentramien-to sobre la metodologa general que se requiere para obtener estas ecuacionesas como tambien la importancia de estas mismas y la estrategia de como ha deatacarse va este metodo, otros modelos mas complicados e.g. modelos matri-ciales, campos de gauge etc.

En lo concreto que se refiere a los modelos estudiados aqu hemos visto queel metodo variacional requiere para funcionar, que todos los coeficientes Gi enlas expansiones de las funciones representantes de estados fsicos, que acom-panan a los invariantes que involucran anti-fantasmas, los i, sean parametrosno dependientes de xi, yi. Esto constituye un dato que aunque no demuestraque las funciones aludidas deban ser de esta forma, s lo hacen a uno pensar enesta posibilidad con cierto grado de interes (e.g. buscar una demostracion haciael futuro) y por lo tanto se puede argumentar que el metodo variacional proveeinformacion adicional sobre el modelo.

Tambien notamos que para estos modelos en particular, la deduccion de MFEva el metodo variacional no requiere tomar el lmite N grande lo que significaque el metodo variacional para estos casos resulta ser mas general que el metodode la fase estacionaria y el metodo de las identidades de Ward, ambos que sirequieren el tomar N .

Senalamos tambien que por medio de este trabajo hemos logrado construir dostipos de productos puntos para funciones supersimetricas que pueden ser deutilidad para futuras investigaciones.

Finalmente quisiera agregar la satisfaccion personal que he obtenido por mediode este trabajo, para el cual aprend una serie de materias nuevas (unas en mayorprofundidad que otras). En particular resalto el hecho de haberme encontradopor primera vez con el concepto de la integral de camino, la cual estudie en pro-fundidad [2] (a pesar de hacer una breve referencia a ella en este informe, seccion3) y haber incluso revisado la teora de 4 como forma de introducirse en la de-duccion de los diagramas y reglas de Feynmann [2] que si bien no han aparecidoen este trabajo principalmente por un problema de tiempo (se requerira de unano mas por lo menos!) si son sustanciales a lo que se investiga con N grande ypor lo tanto bueno de estudiar en aras de una mejor comprension general de lanaturaleza de este estudio.Es verdad que los modelos y resultados son simples pero nos dan una base paramirar versiones mas complicadas del problema siguiendo la pauta establecida eneste informe, por ejemplo pudiesemos pensar a futuro en reemplazar el vectorde MSV1 por una matriz de N N y estar atentos a una condicion similar aque G1 = cte y si se requiere o no tomar finalmente N , lo mismo para

40

campos escalares, campos de gauge, etc; preguntas como estas quedan abiertaspara el futuro.

41

Bibliografa

1. Mark Swanson, Path Integrals and Quantum Processes, Academic Press(1992).

2. Bunji Sakita, Quantum Theory of Many Variables Systems and Fields,World Scientific (1985).

3. J. Alfaro, Large-N limit of the two Hermitian-matrix model by the hiddenBRST method, Physical Review D, 47, (1993) 4714.

4. J. Alfaro, Hidden Supersymmetry and Large N, Physics Letters B, 200,(1988) 80. En este trabajo se presenta una generalizacion del Teorema 1.

5. J. Alfaro, P. Damgaard, Schwinger-Dyson Equations as SupersymmetricWard Identities, Physics Letters B, 222, (1989) 425.

6. Claudio Teitelboim, Marc Henneaux, Quantization of Gauge Systems, Prince-ton U. Press (1992).

7. Aneesh V. Manohar, Large N QCD Course, Les Houches summer school,editors: F. David and R. Gupta, Elsevier Science B. V. (2001).

8. E. T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge University Press (1965).

9. C. Becchi, A. Rouet y R. Stora, Ann. of Phys. 98, (1976) 287.

42

A. Nulidad del valor de expectacion de una variacionBRST

Considerese una integral funcional cuya medida de integracion y accion pre-sentan invarianza frente a variaciones BRST , tomaremos el caso del campoescalar con una accion invariante S, probaremos entonces que

< F >= 0

donde F es una funcion arbitraria de las variables contenidas en el modelo, eneste caso particular, de , , .

Consideremos entonces la integral funcional

Z =

[D][D][D]FeS

y las variaciones

= + = + = +

entonces

D[] D[] D[] D[] D[] D[]como la accion es invariante

S = S(+ , + , + ) = S(, , ) = S

y por otro lado

F = F (+ , + , + ) = F (, , ) + F

por comodidad tomaremos la normalizacion[D][D][D]eS = 1

sigue

[D][D][D]F eS

=

[D][D][D](F + F )eS

[D][D][D] F eS(,,) = 0

< F > = 0

como se peda.

43

Finalmente notamos que si a la accion le sumamos una variacion BRST cualquieraH es lo mismo que sumar un cero a la integral, usaremos [d] para la medidade integracion donde convenga

[D][D][D] eS+H =

[D][D][D] eSeH

=

[d] eS [ 1 + H +12

(H)2 +13!

(H)3 + ]

notamos

(H)2 = HH = (HH)

(H)3 = HHH = H(HH) = (HHH)

... =...

haciendo uso de la nilpotencia de .

sigue entonces

=

[d] eS [ H +12(HH) +

13!(HHH) + ]

=

[d] eS [H +12

(HH) +13!

(HHH) + ]

=

[d] eS H

= < H >

= 0

como se demostro previamente.

44

B. Integrales Gaussianas

Revisaremos los tipos de integrales Gaussianas mas importantes con susdesarrollos llegando al final a aquellas que han sido utilizadas en los calculospresentes en este trabajo. La notacion de Einstein es empleada para la suma dendices repetidos en las exponenciales. x denota una variable real, z una variablecompleja y , variables de Grassmann complejas. Se entiende que el rango deintegracion es todo el espacio.

Comenzamos citando el conocido resultado

1)dxeax

2=pi

a

2)

(Nl=1

dxl)exiAijxj =piN/2detA

desarrollo:

buscamos cambio de base unitario ortogonal que diagonalice a la matriz A

yi = Uikxk

donde U es la matriz unitaria buscada, luego

xk = U1ki yixk = yiUik

la segunda lnea es la version transpuesta de la anterior

(Nl=1

dxl)exiAijxj =

(Nl=1

dyl)(x1 xn)(y1 yn)

eykUkiAijU1jp yp=

(Nl=1

dyl)(x1 xn)(y1 yn)

eykkpyp

como es diagonal

kpyp = (k)yk

donde (k) es el valor propio de asociado al k-esimo vector propio, ademas

45

xiyj

= U1ij

(x1 xn)(y1 yn)

= det(U1) = 1

=

(Nl=1

dyl)e(k)ykyk

=Nl=1

dyle

(l)y2l

=Nl=1

pi

l

=piN/2detA

3)

(Nl=1

dxl)e(xiAijxj+bjxj) = e(14 bTA1b) pi

N/2

detA

desarrollo:

Aplicamos el metodo de la fase estacionaria, por lo que hacemos una expan-sion de Taylor de la funcion en el exponente en torno a un mnimo, para estocalculamos las primeras y segundas derivadas (no hay mas puesto que es unaforma cuadratica mas un termino lineal)

xk(xiAijxj + bjxj) = ikAijxj + xiAijjk + bjjk

= Akjxj + xiAik + bk= Akpxp +Apkxp + bk

se asume que la matriz A es simetrica (hermtica en el caso mas general), entreotras razones, para asegurar que sea diagonalizable, entonces

= Akpxp +Akpxp + bk= 2Akpxp + bp = 0

2Akpxp = bpxp = 12A

1pk bk

46

se iguala a cero porque es un punto mnimo.

Las segundas derivadas son

2

xkxm(xiAijxj + bjxj) =

xm(2Akpxp + bp)

= 2Akm

de esta forma la expansion de Taylor en torno al mnimo queda

xiAijxj + bjxj =14bpA

1pi AijA

1jk bk

12bpA

1pk bk + (xi +

12A1ik bk)Aij(xj +

12A1jk bk)

=14bpA

1pi Iikbk

12bpA

1pk bk + (xi +

12A1ik bk)Aij(xj +

12A1jk bk)

=14bpA

1pk bk

12bpA

1pk bk + (xi +

12A1ik bk)Aij(xj +

12A1jk bk)

= 14bTA1b+ (xi +

12A1ik bk)Aij(xj +

12A1jk bk)

definimos

xi = xi +12A1ik bk

el cambio de variable asociado es trivial ya que xixj

= ij en consecuencia la

integral queda

= e(14 bTA1b)

(Nl=1

dxl)e(xiAij xj)

lo que resulta finalmente

(Nl=1

dxl)e(xiAijxj+bjxj) = e(14 bTA1b) pi

N/2

detA

47

4)

(Nl=1

dzldzl)eziAijzj =(2pi)N

detA

desarrollo:

De manera similar que en 3) se busca sistema de coordenadas que diagonalicenA, as sea este dado por

wi = Uikzk

wi = zkUki

zk = Ukiwi

zk = wiUik

en consecuencia(Nl=1

dzldzl)eziAijzj =

(Nl=1

dwldwl) (z1, z1 , zN , zN )(w1, w1, , wN , wN )

ewpUpiAijUjkwk=

(Nl=1

dwldwl) (z1, z1 , zN , zN )(w1, w1, , wN , wN )

ewppkwknos fijamos que

ziwj

= Uij

ziwj

= 0

ziwj

= Uij

ziwj

= 0

se verifica que (z1, z1 , zN , zN )(w1, w1, , wN , wN ) = det(U)det(U) = det(UU) = 1

48

de esta manera

=

(Nl=1

dwldwl)ewppkwk

=

(Nl=1

dwldwl)ewppwp

=Nl=1

dwldwl e

lwlwl

para evaluar las integrales, cambiamos a la descripcion polar de los numeroscomplejos, as en terminos generales

w = ei

w = ei

de esta forma dwdw eww =

dd

(w, w)(, ) e2

(w, w)(, ) = ei ieiei iei

= 2entonces

Nl=1

dwldwl e

lwlwl =Nl=1

dldl2l e

l2l

=Nl=1

2pi

0

dl2l el2l

=Nl=1

2pi[e

l2l

l

]0

=Nl=1

2pil

=(2pi)N

detA

49

5)

(Nl=1

dzldzl)e(ziAijzj+bjzj+zjbj) =(2pi)N

detAe( bA

1b)

desarrollo:

aplicamos el metodo de la fase estacionaria,

zk(ziAijzj + bjzj + zjbj) = 0

ziAik + bk = 0ziAik = bkzi = bkA1ki

zk(ziAijzj + bjzj + zjbj) = 0

Akjzj + bk = 0Akjzj = bkzj = A1jk bk

la unica derivada de segundo orden de interes es (las otras son cero)

2

zpzk(ziAijzj + bjzj + zjbj) =

zp(Akjzj + bk) = Akp

en consecuencia la expansion de Taylor adopta la siguiente forma

ziAijzj + bjzj + zjbj = bkA1ki AijA1jp bp bjA1jk bk bkA1kj bj

+(zi + bkA1ki )Aij(zj +A1jk bk)

= bkA1kp bp bjA1jk bk bkA1kj bj

50

+(zi + bkA1ki )Aij(zj +A1jk bk)

= bkA1kj bj + (zi + bkA1ki )Aij(zj +A1jk bk)

definimos

zj = zj +A1jk bk

zi = zi + bkA1kide esta forma la integral queda

= e bkA1kjbj

(Nl=1

dzldzl)e(ziAij zj)

= e ( bA1b) (2pi)

N

detA

Las siguientes integrales que contienen variables de Grassmann cobran especialrelevancia pues fueron usadas en reiteradas ocaciones en los calculos.

6)

(Nl=1

dldl)eiAijj = detA

hacemos cambio de base

i = Uikk

i = kUki

k = Ukii

k = iUik

51

(Nl=1

dldl)eiAijj =

(Nl=1

dldl)(1, 1 , N , N )(1, 1, , N , N )

epUpiAijUjkk=

(Nl=1

dldl)det(UU) eppkk

=

(Nl=1

dldl) ep(p)p

=Nl=1

dldl e

l(l)l

=Nl=1

dldl ( 1 (l)ll)

=Nl=1

(l)dldl ll

=Nl=1

(l)

= detA

7)

(Nl=1

dldldldl)e(iAijj+bjj+jbj) = detA e(bA1b)

aplicamos metodo de la fase estacionaria

k(iAijj + bjj + jbj) = 0

iAik + bk = 0iAik = bki = bkA1ki

k(iAijj + bjj + jbj) = 0

52

Akjj + bk = 0Akjj = bkj = A1jk bk

la unica derivada de segundo orden de interes es (las otras son cero)

2

zpk(iAijj + bjj + jbj) =

p(Akjj + bk) = Akp

en consecuencia la expansion de Taylor adopta la siguiente forma

iAijj + bjj + jbj = bkA1ki AijA1jp bp bjA1jk bk bkA1kj bj

+(i + bkA1ki )Aij(j +A1jk bk)

= bkA1kp bp bjA1jk bk bkA1kj bj

+(i + bkA1ki )Aij(j +A1jk bk)

= bkA1kj bj + (i + bkA1ki )Aij(j +A1jk bk)

definimos

j = j +A1jk bk

i = i + bkA1kide esta forma la integral queda

= e bkA1kjbj

(Nl=1

dldl)e(iAij j)

= e ( bA1b) detA

53

esta ultima integral nos permite evaluar las siguientes expresiones (presentes enlos calculos de las S)

(Nl=1

dldl)keiAijj =

bk

(Nl=1

dldldldl)e(iAijj+bjj+jbj)|b=0

=

bkdetA e(bA

1b)

=

bk(biA1ijbj) detA e

(bA1b)

= A1kj bj detA e(bA1b)|b=0 = 0

al evaluar en b = 0.

luego (Nl=1

dldl)keiAijj = 0

de la misma forma(Nl=1

dldl)kpeiAijj =2

bpbk

(Nl=1

dldldldl)e(iAijj+bjj+jbj)|b=0

=

bpA1kj bj detA e

(bA1b)

= A1kj bj detAA1pj bj e

(bA1b)|b=0 = 0

(Nl=1

dldl)kpeiAijj = 0

por otro lado

(Nl=1

dldl)kpeiAijj =2

bpbk

(Nl=1

dldldldl)e(iAijj+bjj+jbj)|b=0

=

bp(A1kj bj detA e

(bA1b))

54

= jpA1kj detA e(bA1b) +A1kj bj detA bkAkpe

(bA1b) |b=0

= A1kp detA

(Nl=1

dldl)kpeiAijj = A1kp detA

en definitiva solo aquellas correlaciones que tengan igual numero de que de son distintas de cero11. Para este trabajo, todas las integrales gaussianasencontradas contaron con A = I A1kp = I1kp = kp, detA = detI = 1en otras palabras

(Nl=1

dldl)kpeiIijj =

(Nl=1

dldl)kpeii = kp

cuya version al continuo toma la siguiente forma

[D][D](x)(y)e

dxdx(x)(xx)(x) =

[D][D](x)(y)e

dx(x)(x) = (xy)

de manera similar

(Nl=1

dldl)eiIijj =

(Nl=1

dldl)eii = detI = 1

cuya version al continuo es

[D][D] e

dxdx(x)(xx)(x) =

[D][D] e

dx(x)(x) = 1

11Este hecho fue de mucha utilidad en el calculo de los S, especialmente en el caso de MV2,donde el numero de terminos en el integrando es considerable.

55

C. Consistencia del sistema de MFE en MV2

Demostraremos que el conjunto de ecuaciones de MFE para MV2 es consis-tente.

El conjunto esta dado por

1 r1 fr1 r3 f

r3= 0 (I)

1 r2 fr2 r3 f

r3= 0 (II)

r3r2

f

r2+ r21

f

r3= 0 (III)

r3r1

f

r1+ r22

f

r3= 0 (IV)

restamos (II) a (I) obteniendo

r2f

r2 r1 f

r1= 0 f

r2=r1r2

f

r1()

reemplazamos (*) en (III)

r3r2

f

r2+ r21

f

r3=

r3r2

r1r2

f

r1+ r21

f

r3= 0

r3r22

f

r1+ r1

f

r3= 0 / r

22

r1

r3r1

f

r1+ r22

f

r3= 0

y esta ultima ecuacion corresponde a (IV), luego

{(I), (II), (III)} (IV) y el sistema es consistente.

56

D. Representacion coherente de estados bosonicosy fermionicos

La representacion coherente se enmarca dentro del contexto de un sistemadescrito por un cierto hamiltoniano H. En su descripcion cuantica, el observableH tendra una base ortonormal de autoestados {|n >}, en la aproximacionarmonica, se definen operadores de creacion y aniquilacion {a, a} como

a|n >=n |n1 >

a|n >=n+ 1 |n+1 >

y cumplen con la siguiente relacion de conmutacion

[a, a] = 1

la representacion coherente se basa en buscar una representacion semi-clasicadel sistema por medio de una adecuada combinacion lineal de los {|n>}, paralos estados bosonicos esta resulta ser

|z >=n=0

znn!|n >

donde z es un numero complejo y por ende es un ndide continuonotando el hecho de que

|n >= (a)nn!|0 >

implica

|z >=n=0

(za)n

n!|0 >= eza |0 >

donde hemos usado |0 >= |0 > para el estado de mnima energa12.

12tambien conocido como estado del vaco.

57

siguen las siguientes propiedades

< z| =n=0

znn!< n|

< z|z > = ezz

a|z > = z|z >

< z|a = < z|z

a|z > = z|z >

dzdz

2piezz|z >< z| =

0

2pi0

dd

2pi

(z, z)(, )e2

n,m

n+mei(nm)n!m!

|n >< m|

=n,m

0

d

2pi2 e

2( 2pi

0

d ei(nm) )n+mn!m!

|n >< m|

=n,m

0

d

2pi2 e

2(2pi n,m)

n+mn!m!

|n >< m|

=n

(

0

d 2 e22n )

1n!|n >< n|

=n

(n+ 1)1n!|n >< n|

=n

|n >< n| = 1

dzdz

2piezz|z >< z| = 1

para la relacion de completitud.

58

Para la representacion coherente de estados fermionicos | >, todo es analo-go con la diferencia de que en vez de usar la variable compleja z usamos lavariable de Grassmann , de esta forma

| > =n=0

nn!|n >

| > = |0 > + |1 >

| > = |0 > + |1 >

debido a que 2, 3, . . . etc = 0para fermiones se definen los operadores anticonmutantes de creacion y aniquilacion{, }

|0 > = 0

|1 > = |0 >

|0 > = |1 >

|1 > = 0que cumplen con la siguiente relacion de anticonmutacion

{, } = 1

2 = ()2 = 0

siguen las siguientes propiedades

| > = e |0 >

< | = < 0| e

< | > = e

| > = | >

59

< | = < |

| > = | >

dd e| >< | =

dd (1 )| >< |

=dd (1 )(|0 > +|1 >)(< 0|+ < 1|)

=dd (1 )(|0 >< 0|+ |0 >< 1| + |1 >< 0|+ |1 >< 1|)

=dd (|1 >< 1| |0 >< 0|)

= |0 >< 0|+ |1 >< 1| = 1

dd e| >< | = 1

para la relacion de completitud.

60

E. Detalles del Calculo de S para MSV1 y MV2

Para MSV1

S = < G|Q|G >

= < G|

(Nl=1

dxdldl)eii | ~x, ~ >< ~x, ~|Q|G >

=

(Nl=1

dxdldl)eii < G| ~x, ~ >< ~x, ~|Q|G >

a la medida de integracion la denotaremos por [d]

=

[d]eii [G0(r) +G1(r)][i

xi Sxi

i][G0(r) +G1(r)]

=

[d]eii [G0(r) +G1(r)][i(G0(r) +G1(r) )

xi Sxi

(G0(r) +G1(r) )i

]

para evitar confusion usamos distintos ndices para las diferentes sumas

=

[d]epp [G0(r) +G1(r)]

[iG0(r)xi

+ iG1(r)xi

+ iG1(xjj)xi

Sxi

(G1(r)xjj)i

]

=

[d]epp [G0(r) +G1(r)]

[iG0(r)xi

+ iG1(r)xi

+ ijiG1j ij Sxi

G1xj ]

=

[d]epp [G0(r) +G1(r)xjj ]

[iG0(r)xi

+ iG1(r)xi

xkk + iG1i Sxi

G1xi]

=

[d]epp [G0(r)iG0(r)xi

+G0(r)iG1(r)xi

xkk +G0(r)iG1i

61

G0(r) Sxi

G1xi +G1(r)xjjiG0(r)xi

+G1(r)xjjiG1(r)xi

xkk

+G1(r)xjjiG1i G1(r)xjj Sxi

G1xi]

al llevar a cabo la integrales gaussianas sobre las variables de Grassmann resulta(apendice B, integrales 6 y 7)

=

(Nl=1

dxl)[G0(r)ikG1(r)xi

xk +G0(r)iiG1 G0(r) Sxi

G1xi]

S =

(Nl=1

dxl)[G0(r)G1(r)xi

xi +G0(r)NG1 G0(r) Sxi

G1xi]

62

Para MV2

S =

(Nl=1

dxldyldldldldl)eiieii [G0 +G11 +G22 +G33 +G44

+G512 +G614 +G723 +G834][i

xi+ i

yi Sxi

i Syi

i]

[G0 +G11 +G22 +G33 +G44 +G512 +G614 +G723 +G834]

notamos el hecho de que

12 = xiixj j = xixjij= xixjji = xjj xii= 21

=

[d]eiieii [G0 +G11 +G22 +G33 +G44

+G521 +G641 +G732 +G843]

[iG0xi

+ iG1xi

1 + iiG1 + iG2xi

2 + iG5xi

12

+iiG52 + iG6xi

14 + iiG64 + iG7xi

23 + iG3xi

3

+iG4xi

4 + iG8xi

34 + iG0yi

+ iG1yi

1 + iG2yi

2

+iG3yi

3 + iG7yi

23 + iG8yi

34 G83ii + i G4yi

4

+iiG4 + iG5yi

12 + iG6yi

14 G61ii

N fxi

(G1xi +G3yi +G5xi2 +G6xi4 G72yi +G8yi4)

N fyi

(G2xi +G4yi G51xi G61yi +G7xi3 G83yi)]

despues de un cuidadoso analisis termino a termino, los unicos terminos que noresultan trivialmente cero al integrar sobre las variables de Grassmann son

63

G0[iG1xi

xjj + iiG1 + iG3xi

yjj + iG2yi

xj j + iG4yi

yj j

+iiG4 N fxi

(G1xi +G3yi)N fyi

(G2xi +G4yi)]

+(G1xpp +G3ypp)[iG7yi

xj jykk + iG8yi

yjjykk

G8yiijj + i G5yi

xjjxkk + iG6yi

xjjykk G6xjjii

N fyi

(G5xjjxi G6xjjyi +G7xiyjj G8yjjyi)]

(G2xpp +G4ypp)[iG5xi

xjjxkk + iiG5xj j

+iG6xi

xjjykk + iiG6yj j + iG7xi

xj jykk + iG8xi

yjjykk

N fxi

(G5xixj j +G6xiyj j G7xj jyi +G8yiyj j)]

al llevar a cabo la integracion de las variables de Grassmann sobre estos termi-nos, resulta (apendice B, integrales 6 y 7)

=

(Nl=1

dxldyl)G0[ijG1xi

xj +NG1 + ijG3xi

yj + ijG2yi

xj + ijG4yi

yj

+NG4 N fxi

(G1xi +G3yi)N fyi

(G2xi +G4yi)]

+(G1xp +G3yp)[ijpkG7yi

xjyk + ikpjG8yi

yjyk

G8yipiN + ikpj G5yi

xjxk + ikpjG6yi

xjyk G6xjpjN

N fyi

(G5xjpjxi G6xjpjyi +G7xiyjpj G8yjpjyi)]

+(G2xp +G4yp)[ijpkG5xi

xjxk +NG5xjpj

+ijpkG6xi

xjyk +NG6yjpj + ikpjG7xi

xjyk + ijpkG8xi

yjyk

64

N fxi

(G5xixjpj +G6xiyjpj G7xjpjyi +G8yiyjpj)]

es decir,

=

(Nl=1

dxldyl)G0[G1xi

xi +NG1 +G3xi

yi +G2yi

xi +G4yi

yi

+NG4 N fxi

(G1xi +G3yi)N fyi

(G2xi +G4yi)]

+(G1xp +G3yp)[G7yi

xiyp +G8yi

ypyi

G8ypN + G5yi

xpxi +G6yi

xpyi G6xpN

N fyi

(G5xpxi G6xpyi +G7xiyp G8ypyi)]

+(G2xp +G4yp)[G5xi

xixp +NG5xp

+G6xi

xiyp +NG6yp +G7xi

xpyi +G8xi

yiyp

N fxi

(G5xixp +G6xiyp G7xpyi +G8yiyp)]

65