Metodo de Rigideces y Flexibilidad

8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad

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CAPITULO 8

MATRIZ DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD DEUN ESTRUCTURA A PARTIR DEL CONCEPTO

RESUMEN

Se presenta el clculo de las matrices de rigidez K y de flexibilidad F de una estructurausando el concepto. En los captulos posteriores a partir del concepto se obtendr en forma prcticala matriz de rigidez.

Posteriormente se trabaja con la matriz de transformacin de coordenadas para encontrar lasmatrices K y F . Finalmente se presenta un algoritmo orientado al uso del computador paraestructuras con elementos flexibles para encontrar las matrices indicadas en otro sistema decoordenadas.

8. 1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA K

8.1.1 Definicin

En el captulo 6 se indic que un trmino cualquiera de la matriz de rigidez de una estructura

ijk , es el valor de la carga generalizada iQ correspondiente a la deformada elemental 1=jq y

dems nulas. Por consiguiente si se desea calcular, por ejemplo, los elementos de la primeracolumna de la matriz de rigidez de una estructura se deber calcular el vector de cargasgeneralizadas que corresponde al estado de desplazamiento elemental 1

1=q y 1,0 = iqi . De

igual forma se proceder con las dems columnas de K .

8.1.2 Procedimiento de clculo

El procedimiento de clculo para hallar la matriz de rigidez de una estructura K a partir delconcepto es el siguiente:


2/34

234 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE

1) Construir la deformada elemental cuya columna se desea calcular.

2) Encontrar las deformaciones p en cada uno de los elementos asociados a la deformadaelemental. Es un problema de geometra.

3) Transformar las deformaciones p de cada elemento en cargas internas P por medio de la

matriz de rigidez del elemento k . La ecuacin matricial que se utiliza es: pkP = .

4) Usando la esttica se realiza el equilibrio de cada uno de los elementos que conforman laestructura.

5) Encontrar el equilibrio de cada una de las juntas de la estructura.

6) En el paso anterior se obtienen las cargas que actan sobre la estructura y el vector decargas generalizadas que son los elementos de la matriz de rigidez de la estructura.

8.1.3 Primera forma de clculo numrico

Por didctica nicamente se denomina primera forma de clculo de la matriz de rigidez deuna estructura a aquella en que se utiliza como sistema de coordenadas del elemento el indicado enla figura 8.1

Figura 8.1 Sistema pP para la primera forma de clculo.

Se recuerda que las deformaciones p se obtienen con las siguientes ecuaciones:

123

12

22

12

11 uup

L

vvp

L

vvp =

=

=

La matriz de rigidez de un elemento para el sistema de coordenadas indicado es:

=k

L

EA

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

00

042

024

EJEMPLO N.- 1

Encontrar la primera columna de la matriz de rigidez de la estructura indicada en la figura8.2.1 si todos los elementos tienen la misma seccin transversal y la misma longitud. Encontraraplicando el concepto y no considerar el efecto de corte.


3/34

ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 235

Figura 8.2.1 Figura 8.2.2 Figura 8.2.3

SOLUCIN

Por ser todos sus elementos flexibles se tiene seis grados de libertad. En consecuencia elsistema de coordenadas de la estructura qQ es el indicado en la figura 8.2.2. Para una mejor

compresin en la figura 8.2.3 se indica la numeracin de los elementos.

En la figura 8.2.4 se indica el sistema de coordenadas de miembro pP de cada uno delos elementos de la estructura.

Figura 8.2.4 Sistema pP de la estructura.

Para diferenciar las deformaciones y cargas internas se escribe entre parntesis y comosubndice el nmero del elemento al cual corresponde.

De acuerdo al procedimiento indicado en el apartado anterior para encontrar los elementos dela primera columna de la matriz de rigidez de la estructura se procede de la siguiente manera:

1) Deformada elemental 11 =q y 1,0 = iqi .

Figura 8.2.5 Diagrama elemental1q


4/34


2) Clculo de las deformaciones p .

010

00

1

001

)3(

3

)2(

3

)1(

3

)3(

2

)2(

2

)1(

2

)3(

1

)2(

1

)1(

1

===

===

===

ppp

ppLp

ppL

p

Para encontrar las deformaciones del elemento 1, se procedi de la siguiente manera:

000

1010

1010

00

10

00

12

)1(

3

12

2

)1(

2

12

1

)1(

1

21

21

21

===

=

=

=

=

=

=

==

==

==

uup

LLL

vvp

LLL

vvp

vv

uu

Se puede obtener stos mismos valores directamente sin necesidad de aplicar lasecuaciones si se recuerda que las deformaciones

1p y 2p son los ngulos comprendidos entre lacuerda y la tangente de los nudos inicial y final respectivamente como se indic en el captulo 6. Parael elemento 1 en la figura 8.2.6 se ha separado la deformada elemental correspondiente a la columnaizquierda en ella se ha unido la cuerda entre B y B, luego se han trazado las tangentes en el nudoinicial y final se observa que el ngulo entre la cuerda y la tangente es antihorario luego las

deformaciones 1p y 2p son positivas.

Figura 8.2.6 Regla para encontrar las deformaciones del elemento 1.

En la figura 8.2.6 se aprecia que el ngulo1p es igual al ngulo 2p por ser alternos e

internos y que1

p es igual al cateto opuesto sobre el cateto adyacente. Por lo tanto se tiene:

Lp

Lp

11 )1(2

)1(

1 ==

3) Se obtienen las cargas internas P en cada uno de los elementos del prtico plano. Comotodos los elementos tienen la misma seccin transversal y la misma longitud, la matriz derigidez de cada uno de ellos es la misma y vale:


5/34


)3()2()1( kkk ==

LEA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

00

042

024

Las cargas internas del elemento 1 se obtienen del producto matricial )1()1()1( pkP = .

Donde )1(P es de la siguiente forma:

De donde:

066 )1(

32

)1(

22

)1(

1 === PL

EIP

L

EIP

Lo propio se realiza con los elementos 2 y 3 es decir se multiplica la matriz de rigidez delrespectivo elemento por su vector de deformaciones, los resultados que se obtienen, son:

000

00

)3(

3

)3(

2

)3(

1

)2(

3

)2(

2

)2(

1

===

===

PPP

L

EAPPP

4) Se encuentra el equilibrio de cada elemento.

En la figura 8.2.7 se indica con lnea continua las cargas internas P obtenidas en el pasoanterior y con lnea entrecortada las diferentes fuerzas que equilibran cada uno de los elementos.

Figura 8.2.7Equilibrio de elementos.

El cortante en la columna se obtiene sumando los momentos y dividiendo para la longitud.

=

0

1

1

00

042

024

)1(

3

)1(

2

)1(

1

L

L

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

P

P

P


6/34


5) Se realiza el equilibrio de juntas.

En las juntas de la estructura las fuerzas y momentos internos de cada elemento actan consentido contrario, stas se han representado con lnea continua y las cargas exteriores que equilibrancada uno de los nudos se presentan con lnea entrecortada en la figura 8.2.8.

Figura 8.2.8 Equilibrio de juntas o nudos.

Ntese que para equilibrar la fuerza horizontal del nudo B se ha sumado el cortanteproveniente de la columna y la fuerza axial que viene de la viga.

6) Finalmente se determinan las cargas exteriores y el vector de cargas generalizadas.

En la figura 8.2.9 se presentan las fuerzas y momentos exteriores que se deben aplicar a laestructura para que produzcan el diagrama elemental de la figura 8.2.5.

Figura 8.2.9 Valores de la primera columna de K

Por consiguiente el vector de cargas generalizadas Q resulta:

=Q

+

0

0

6

0

12

2

3

L

EA

L

EI

L

EA

L

EI

=

61

51

41

31

21

11

K

K

K

K

K

K


7/34


Por definicin los elementos de Q son los trminos de la primera columna de la matriz de

rigidez de la estructura. Se deja al estudiante el obtener las dems columnas de K aplicando elconcepto. El resultado total es el siguiente:

=K

+

+

+

+

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EA

L

EI

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EA

L

EI

LEA

LEI

LEA

LEI

866260

6120

6120

60

1200

260

866

6120

6120

006012

222

2323

23

222

2323

23

8.1.4 Segunda forma de clculo numrico

Se puede considerar otro sistema de coordenadas del elemento para encontrar la matriz derigidez de la estructura, por ejemplo el presentado en la figura 8.3

Figura 8.3 Otro sistema de coordenadas del elemento pP

EJEMPLO N.- 2

Calcular la primera columna de la matriz de rigidez de la estructura mostrada en la figura8.2.1, considerando el sistema de coordenadas del elemento el indicado en la figura 8.3. En lasfiguras 8.2.2 y 8.2.3 se indican el sistema de coordenadas de la estructura qQ y la numeracin delos elementos respectivamente.

SOLUCIN

En la figura 8.4.1 se presenta las coordenadas de cada uno de los elementos que forman laestructura.


8/34


Figura 8.4.1 Sistema de coordenadas de los elementos del ejemplo 2.

Se resume a continuacin el procedimiento de clculo.

1) Deformada elemental1q

Figura 8.4.2 Deformada elemental 1q

Las frmulas con las cuales se obtienen las deformaciones de un elemento se obtuvieron enel captulo 6, en el apartado 6.3.4, stas son:

123

1122

121

=

=

=

p

Lvvp

uup

2) Deformaciones de los elementos

Las deformaciones en cada uno de los elementos son las siguientes:

010

001

010

)3(

3

)2(

3

)1(

3

)3(

2

)2(

2

)1(

2

)3(

1

)2(

1

)1(

1

===

===

===

ppp

ppp

ppp

3) Cargas Internas

La matriz de rigidez de elemento para el sistema de coordenadas pP de la figura 8.3 fuededucida en el captulo anterior en el apartado 7.3.3 y es la siguiente:


9/34


=k

LEI

LEI

L

EI

L

EI

L

EA

460

6120

00

2

23

Por los datos del ejemplo la matriz de rigidez es igual para todos los elementos. Al realizar elproducto matricial pkP = en cada uno de los elementos de la estructura se obtiene:

006

0012

00

)3(

3

)2(

32

)1(

3

)3(

2

)2(

23

)1(

2

)3(

1

)2(

1

)1(

1

===

===

===

PPL

EIP

PPL

EIP

PL

EAPP

4) Equilibrio de elementos

En la figura 8.4.3 se presenta con lnea continua las cargas P obtenidas en cada uno de loselementos y con lnea entrecortada las diferentes fuerzas que equilibran los elementos.

Figura 8.4.3 Equilibrio de elementos

Las figuras 8.4.3 y 8.2.7 son iguales. En consecuencia los siguientes pasos que faltan parahallar los elementos de la primera columna de la matriz de rigidez de la estructura son los dados en elejemplo anterior. De idntica forma se obtendrn las dems columnas de la matriz de rigidez.

El haber obtenido la misma matriz de rigidez de la estructura, utilizando diferentes sistemasde coordenadas de elemento, no es un hecho casual. Esto es debido a que la inmovilizacin de losdesplazamientos como cuerpo rgido, que se estudi en el captulo 6, utilizando diferentes tipos devnculos es un artificio. Si se utiliza otro sistema de coordenadas de miembro se obtendr la mismamatriz de rigidez K .

Finalmente, se puede resolver la estructura utilizando sistemas de coordenadas de elementopP , diferentes para cada uno de los elementos, por ejemplo el que se indica en la figura 8.5.


10/34


Figura 8.5 Nuevo sistema de coordenadas de los elementos para la estructura de los ejemplos 1 y 2.

8. 2 MATRIZ DE FLEXIBILIDAD DE UNA ESTRUCTURA F

8.2.1 Definicin

Se conoce que QFq = . Por lo tanto un elemento cualquiera de la matriz de flexibilidad de

una estructura ijF ser el valor del desplazamiento o giro iq correspondiente al estado de cargas

1=jQ y las dems nulas.

La matriz de flexibilidad F transforma las cargas generalizadas Q en coordenadasgeneralizadas q .

8.2.2 Procedimiento de clculo

Para encontrar la matriz de flexibilidad F a partir de su definicin, se realizan los siguientespasos:

1) Para el estado de carga elemental 1=iQ y las dems nulas, se debe hallar las cargas

internas P que actan en cada uno de los elementos. Esto es un procedimiento de esttica.

2) Conocido el vector P se encuentran las deformaciones p , por medio de la siguiente

ecuacin: Pfp = .

3) A partir de las deformaciones internas en cada uno de los elementos de la estructura sedetermina el vector de coordenadas generalizadas q . Este es un problema de geometra. Al

encontrar q se tienen ya los elementos de la columna de F que se est calculando.

EJEMPLO N.- 3

En la figura 8.6 se presenta un prtico plano con todos sus elementos completamenteflexibles, se pide calcular los elementos de la primera columna de la matriz de flexibilidad.


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Figura 8.6 Estructura de ejemplo 3.

SOLUCIN

Por facilidad se ha considerado que los dos elementos tienen la misma seccin transversal yla misma longitud. En consecuencia la matriz de flexibilidad de sus elementos es igual.

En la figura 8.7.1 se indican los 6 grados de libertad que tiene el prtico y en la figura 8.7.2 seindica la numeracin de los elementos.

Figura 8.7.1 Sistema qQ Figura 8.7.2

De acuerdo al procedimiento de clculo indicado en el apartado 8.2.2 se tiene:

1) 1011 == iQyQ i

Figura 8.7.3 Momento unitario en A. Figura 8.7.4 Equilibrio de fuerzas externas


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Debido al momento unitario que acta en el nudo A de la estructura, se generan reacciones

en los vnculos A y C que valenL

1con lo cual la estructura est en equilibrio. En la figura 8.7.4 se

muestran stas reacciones.

Por efecto del sistema de cargas en cada uno de los elementos se tienen fuerzas ymomentos internos los mismos que se indican en la figura 8.7.5. Con lnea continua se indican lasacciones que vienen de las reacciones de los nudos y con lnea entrecortada las acciones queconducen al equilibrio en los elementos.

Para el equilibrio de las juntas se colocan en primer lugar las fuerzas externas que actan enla junta las mismas que estn indicadas en la figura 8.7.4. Luego se equilibra el nudo con fuerzas ymomentos. Estas fuerzas son las que pasan a los elementos con sentido contrario y son las que sehan indicado en la figura 8.7.5.

Figura 8.7.5 Equilibrio de los elementos.

Se deja al lector la verificacin del equilibrio de juntas y de elementos. Por otra parte setrabaja con el sistema de coordinas de miembro de la figura 8.1, en la cual se tiene que

1P es el

momento en el nudo inicial y es positivo si es antihorario,2P es el momento en el nudo final y es

positivo si es antihorario y3P es la fuerza axial en el nudo final y es positiva si produce traccin en el

elemento. Con stas indicaciones las cargas internas en los elementos que se obtienen de la figura8.7.5 son las siguientes:

01

01

11

)2(

3

)1(

3

)2(

2

)1(

2

)2(

1

)1(

1

==

==

==

P

L

P

PP

PP

=)1(P

L

1

1

1

=)2(

P

0

0

1

2) Clculo de las deformaciones de los elementos.

Pfp =

==)2()1( ff

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

00

036

063


13/34


==)1()1()1( Pfp

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

00

036

063

=

L

1

1

1

EA

EI

L

EI

L

1

2

2

==)2()2()2( Pfp

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

00

036

063

=

0

6

3

0

0

1

EI

L

EI

L

En consecuencia se tiene:

01

62

32

)2(

3

)1(

3

)2(

2

)1(

2

)2(

1

)1(

1

==

==

==

pEA

p

EI

Lp

EI

Lp

EI

Lp

EI

Lp

3) Clculo de los desplazamientos y giros q

Esta es la parte ms difcil del clculo de la matriz de flexibilidad de una estructura. Se quierehallar los desplazamientos y giros que experimentan las juntas de tal forma que los elementos tenganlas deformaciones p indicadas. Para facilitar la explicacin, se denomina:

EAEI

L 1

2==

Con sta nomenclatura las deformaciones en los elementos valen:

0

3

3

2

)2(

3

)1(

3

)2(

2

)1(

2

)2(

1

)1(

1

==

==

==

pp

pp

pp

En la figura 8.7.6 se indican stas deformaciones y en la misma se aprecia que se estviolando dos reglas bsicas en el nudo B que son:

i) El nudo B es discontinuo ; se aprecia que el nudo B por parte de lacolumna ha bajado.


14/34


ii) El nudo B antes de deformarse meda 90 grado, ahora no.

Figura 8.7.6 Deformaciones de los elementos obtenidos.

Para solucionar stos dos problemas se deben dar ciertos desplazamientos y giros a laestructura. En primer lugar para corregir la anomala de la discontinuidad en el nudo B, al elementoBC se desplaza verticalmente una magnitud igual a como se indica en la figura 8.7.7.

Figura 8.7.7 Solucin de la discontinuidad en el nudo B pero no en el ngulo.

Si bien se ha solucionado un problema, ahora se ha creado otro que es la posicin del nudoC ya que debido al tipo de vnculo existente en esa junta el nudo C no debe bajar. Esto se va aresolver posteriormente, se concentra la atencin en resolver el problema de que la junta B antes dedeformarse meda 90 grados y despus de deformarse debe medir 90 grados.

En la figura 8.7.7 se aprecia que el ngulo B vale 3

590

3

290 +=++ . Pero el ngulo

B debe valer 90 grados luego el elemento BC se rota 3

5haciendo centro en B esto se presenta

en la figura 8.7.8.


15/34


Luego de la rotacin el punto C se ha desplazado verticalmente L3

5hasta llegar a C.

Figura 8.7.8 Solucin de la rotacin del nudo B.

La posicin final del nudo C no puede ser C como est indicado en la figura 8.7.8 debe estaren cualquier parte de la recta BC, para lograr ste objetivo se debe rotar el nudo A un ngulo .

3

53

5

+=

+

=LL

L

Esta rotacin se indica en la figura 8.7.9, se observa que la posicin final del nudo C esC. El nudo C se ha desplazado horizontalmente L igual corrimiento experimenta el nudo B comose aprecia en la figura mencionada.

Figura 8.7.9 Posicin final de la estructura.

En resumen, los desplazamientos y giros de los nudos son los siguientes:


16/34


+=1q Rotacin del nudo A.

Lq =2 Desplazamiento horizontal del nudo B.

=3q Desplazamiento vertical del nudo B.

+= 4q Rotacin del nudo B.

Lq =5 Desplazamiento horizontal del nudo C.

+=

3

5

36q Rotacin del nudo C.

Al reemplazar ,, , se encuentra:

EI

L

EALLLq

EI

L

EALq

EI

L

EALLLq

EAq

EI

L

EALL

Lq

EALEI

L

LLq

6

1

33

52

6

51

3

1

3

2

3

5

1

6

51

3

5

3

5

1

3

4

3

8

3

5

6

2

5

4

3

2

2

1

==++=

==

+=+=++=

==

==

+=

+=+=++=

Por definicin se tiene:

EI

L

EALFq

EI

L

EAFq

EI

L

EALFq

EAFq

EI

L

EAFq

EALEI

LFq

6

1

6

51

3

1

1

6

51

1

3

4

616

2

515

414

313

2

212

111

==

==

+==

==

==

+==

Las restantes columnas de la matriz de flexibilidad F se obtienen en forma similar. Con elpropsito de que el estudiante calcule cualquiera de las columnas de la matriz de flexibilidad a partir

de su definicin, se indica el resultado completo pero nicamente se presenta la matriz triangularsuperior debido a que la matriz es simtrica.


17/34


=F

+

+

++

+

++

LEAEI

L

EAEI

L

EA

L

EI

L

LEAEI

L

EAEI

L

LEAEI

L

EAEAL

EAEAL

EAEI

L

EA

L

EI

L

EAEI

L

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EALEI

L

EAEI

L

EALEAEI

L

EAEALEI

L

1

3

1

6

2

3

2

1

6

1

3

1

3

11

1

63

21

33

2

6

1

6

51

3

11511

3

4

23

2

2323

22

8.2.3 Principio de superposicin

Como se indic la parte ms difcil del clculo de la matriz de flexibilidad de una estructura apartir de su definicin es calcular los desplazamientos y giros q luego que se han obtenido lasdeformaciones p . Si se emplea el principio de superposicin se puede hacer esto de una formasencilla como se ilustra con el ejemplo 4.

EJEMPLO N.- 4

Encontrar la primera columna de la matriz de flexibilidad del ejemplo 3, aplicando el principiode superposicin para calcular el vector de coordenadas q .

SOLUCIN

Para el ejemplo que se est analizando se tiene:

0

3

3

2

)2(

3

)1(

3

)2(

2

)1(

2

)2(

1

)1(

1

==

==

==

pp

pp

pp

En el clculo del vector de coordenadas generalizadas q se consideran dos etapas, a saber:

Etapa 1.- Actan slo las deformaciones del elemento uno, por lo tanto se considera al elemento doscomo totalmente rgido.

Etapa 2.- El elemento uno es totalmente rgido y slo hay deformaciones en el miembro dos.


18/34


A los desplazamientos y giros de la etapa uno se los denomina )1(q y a los desplazamientos y

giros de la etapa dos )2(q . En consecuencia:)2()1( qqq +=

Etapa 1.- En la figura 8.8.1 se presenta sta fase del clculo que consiste en tenerdeformaciones nicamente en el elemento vertical.

Figura 8.8.1 nicamente se deforma elemento AB

Al igual que en el ejemplo anterior, en la figura 8.8.1 hay que rectificar dos errores que setienen y son los siguientes:

i) El nudo B es discontinuo.

ii) El ngulo del nudo B antes de la deformacin es diferente al obtenido despus de la

deformacin.

Para corregir el primer error se desplaza el elemento BC una cantidad como lo indica lafigura 8.8.2 y para solucionar el segundo error haciendo centro en B se rota el elemento BC unamagnitud igual a como lo ilustra la figura 8.8.3. Ntese que el punto C se ha desplazado hasta Cuna cantidad L .

Figura 8.8.2 Figura 8.8.3

Pero la posicin final del nudo C tiene que estar a lo largo de BC ya que no puede

desplazarse verticalmente para lograr esto haciendo centro en el nudo A se rota la estructura unngulo1 .


19/34


+=

+=

LL

L1

Por lo tanto la ubicacin final del nudo C al terminar sta etapa es C como se indica en lafigura 8.8.4.

Figura 8.8.4 Fin de etapa uno

Por lo tanto los desplazamientos y giros encontrados en la etapa uno son:

Lq

LLq

Lq

q

LLq

Lq

=+=

==

=+=

=

==

+=+=

1

)1(

6

1

)1(

5

1

)1(

4

)1(

3

1

)1(

2

1

)1(

12

Etapa 2.- En sta etapa actan las deformaciones en el elemento 2 ya que el miembro 1 seconsidera como elemento rgido, estas deformaciones iniciales se indican en lafigura 8.9.1

Figura 8.9.1 Slo se deforma elemento BC.


20/34


El ngulo final del nudo B en la figura 8.9.1 se aprecia que es 3

290 +

o . Esto no puede ser.

Se deja al estudiante que justifique las figuras 8.9.2 y 8.9.3 con las cuales se corrige sta anomala.


Luego de la geometra realizada se tiene:

33

2

3

3

2

3

2

3

2

3

2

0

3

2

3

2

2

)2(

6

2

)2(

5

2

)2(

4

)2(

3

2

)2(

2

2

)2(

1

=+=

==

=+=

=

==

==

q

LLq

q

q

LLq

q

Al sumar los desplazamientos y giros obtenidos en las dos etapas se tiene:

)2()1( qqq +=

3

3

5

3

2

3

2

0

3

5

3

2

38

322

6

5

4

3

2

1

=

==

+=

=+=

==

+=++=

Lq

LLLq

Lq

q

LLLq

LLq


21/34


Al sustituirEI

L

2= y

EA

1= se obtienen los valores de la primera columna de la matriz

de flexibilidad anotados en el ejemplo 3.

8. 3 TRANSFORMACIN DE COORDENADAS DE UNA ESTRUCTURA

8.3.1 Clculo de la matriz de rigidez y de flexibilidad

Conocida la matriz de rigidez Kpara un determinado sistema de coordenadas qQ de una

estructura, se desea ahora calcular la matriz de rigidez K en otro sistema de coordenadas

qQ . Este clculo se lo va a realizar utilizando la matriz de transformacin de coordenadas.

EJEMPLO N.- 5

El prtico plano de la figura 8.10.1 est compuesto por una columna de altura H y una viga delongitud L, los dos elementos se consideran axialmente rgidos y el sistema de coordenadas qQ

es el indicado en la figura 8.10.2. La matriz de rigidez Kasociado a ste sistema de coordenadases la siguiente:

=K

+

L

EI

L

EI

LEI

LEI

HEI

HEI

H

EI

H

EI

oo

oo

11

112

23

420

2446

0612

Se desea encontrar la matriz de rigidez K para el sistema de coordenadas qQ de la

figura 8.10.3 por medio de la matriz de transformacin de coordenadas T .

Figura 8.10.1 Figura 8.10.2 Sistema qQ Figura 8.10.3 Sistema qQ


22/34


SOLUCIN

Se establece una relacin entre los dos sistemas de coordenadas de la siguiente manera:

= qTq

La relacin as definida fue estudiada en el captulo 5 por consiguiente el estudiante deberdibujar cada una de las deformadas elementales y encontrar la siguiente matriz T .

=

010

001

100

T

En el apartado 7.3.2 del captulo anterior se demostr que la matriz de rigidez de un elementoen otro sistema de coordenadas se obtiene con la siguiente ecuacin:

TkTk t=

La ecuacin ( 8.1 ) que fue deducida para un elemento es aplicable a una estructura. Por lo

tanto para hallar la matriz de rigidez de la estructura K (mayscula) se utilizar la siguienteecuacin.

TKTK t=

Para el ejemplo se tiene:

=K

001

100

010

+

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

H

EI

H

EI

H

EI

H

EI

oo

oo

11

11

2

23

420

2446

0612

010

001

100

Por lo tanto la matriz de rigidez K para el sistema de coordenadas de la figura 8.10.3 es:

K

+

=

32

11

2

11

120

6

042

6244

H

EI

H

EI

L

EI

L

EIH

EI

L

EI

L

EI

H

EI

oo

oo

Si se desea calcular la matriz de flexibilidad F para el sistema de coordenadas de la figura8.10.3, conocida la matriz de flexibilidad F para el sistema qQ de la figura 8.10.2, hay que

hacerlo por medio de la matriz1T estudiada en el captulo 5.

= QTQ 1

( 8.1 )


23/34


La matriz de flexibilidad buscada se obtiene del siguiente triple producto matricial.

11 TFTF t=

Se deja al lector la demostracin de las formulas con las cuales se obtiene K y F en base

a la teora presentada en el captulo 5.

8.3.2 Regla prctica

Se puede obtener directamente la matriz de rigidez y de flexibilidad de una estructura cuyoselementos son totalmente flexibles, cuando se cambia el sistema de coordenadas generalizadas, porconsiguiente no es necesario calcular las matrices T y

1T respectivamente.

En efecto, para hallar K para el sistema de coordenadas qQ de la figura 8.10.3 a

partir de la matriz K calculado para las coordenadas de la figura 8.10.2 se han de intercambiar las

filas y columnas de sta matriz de acuerdo al cambio de numeracin del nuevo sistema decoordenadas.

La forma de pasar las coordenadas de la figura 8.10.2 a la 8.10.3 se presenta en dos fases asaber:

1) Se cambian la numeracin de los dgitos uno y tres en el sistema qQ esto se presenta en

la figura 8.10.4. Por lo tanto ahora1q es la rotacin en el rodillo C y 3q es el desplazamiento

horizontal de la junta B.

Figura 8.10.4 Sistema de coordenadas generalizadas de fase uno.

La matriz de rigidez para este nuevo sistema de coordenadas se obtiene intercambiando lascolumnas y las filas uno y tres de la matriz de rigidez, con lo que se halla:

Kde la fase uno =

+

32

2

11

11

1260

6442

024

H

EI

H

EI

H

EI

L

EI

H

EI

L

EI

L

EI

L

EI

oo

oo


24/34


2) Por ltimo para pasar de las coordenadas de la figura 8.10.4 a las coordenadas de la figura8.10.3 se intercambian los dgitos uno y dos. Por lo tanto en la matriz de rigidez de la faseuno se intercambian los elementos de la fila uno a la fila dos y luego los elementos de la

columna uno a la columna dos, obteniendo de sta manera la matriz K que ya fuepresentada en el ejemplo anterior.

Un procedimiento similar se sigue para calcular la matriz de flexibilidad de una estructura enun nuevo sistema de coordenadas. El procedimiento de clculo presentado es muy fcil programarlo.

8. 4 EJERCICIOS RESUELTOS

En los ejercicios que se van a resolver en ste captulo al igual que en el prximo, el lectordeber justificar cada uno de los pasos dados, toda vez que ya se han indicado la teora respectiva.

EJEMPLO N.- 6

Obtener directamente a partir de su definicin los elementos de la segunda columna de lamatriz de rigidez de la estructura mostrada en la figura 8.11.1, las vigas son totalmente rgidas y lascolumnas son axialmente rgidas. Todas las columnas tienen la misma seccin transversal y longitud.

Figura 8.11.1 Estructura de ejemplo 6.

Figura 8.11.2 Sistema qQ Figura 8.11.3 Sistema pP


25/34


SOLUCIN

La estructura tiene dos grados de libertad que son los desplazamientos horizontales de cadauno de los pisos. Estos grados de libertad se indican en la figura 8.11.2. Por ser los elementosverticales axialmente rgidos no existe deformacin axial luego hay dos coordenadas en el sistema

pP de cada elemento. En la figura 8.11.3 se muestra el sistema de coordenadas de los

elementos de la estructura analizada y la numeracin de los elementos. Ntese que no existe sistemapP en los elementos horizontales esto se debe a que son elementos completamente rgidos.

De acuerdo al procedimiento de clculo indicado en el apartado 8.1.2 se construye ladeformada elemental

2q ya que se va a encontrar los elementos de la segunda columna de la matrizde rigidez.

2012 == iqyq i

Figura 8.11.4 Deformada elemental2q

Lpp

Lpp

Lpp

Lpp

10

10

10

10

)4(

2

)3(

2

)2(

2

)1(

2

)4(

1

)3(

1

)2(

1

)1(

1

====

====

Cargas Internas pkP = . nicamente los elementos dos y cuatro tienen deformaciones.

==)4()2( PP

=

2

0

2

0

6

6

1

1

42

24

L

EI

L

EI

L

L

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

oo

oo

Por lo tanto:

2

)4(

2

)3(

22

)2(

2

)1(

2

2

)4(

1

)3(

12

)2(

1

)1(

1

6

0

6

0

60

60

L

EI

PPL

EI

PP

L

EIPP

L

EIPP

oo

oo

====

====


26/34


Equilibrio de elementos

Figura 8.11.5 Equilibrio de los elementos

Equilibrio de Juntas

Figura 8.11.6 Junta B Figura 8.11.7 Junta C

o Junta B

+==

+==

==

uL

EIM

L

uuNNF

NL

EIF

o

Y

o

X

2

'

21

53

60

0

120

o Junta C

+==

+==

+==

2

''

'''''

2

36

60

0

120

LEIuM

L

uuNF

L

EINF

o

Y

o

X


27/34


Figura 8.11.8 Junta D Figura 8.11.9 Junta E

o Junta D

+==

++==

+==

'''

2

'''''

4

3622

60

0

120

uL

EIM

L

uuNF

L

EINKF

o

Y

o

X

o Junta E

+==

++==

++==

'

2

'

43

1253

60

0

120

uL

EIM

L

uuNNF

KNL

EIF

o

Y

o

X

Al resolver las 12 ecuaciones con 12 incgnitas que se han presentado, se encuentra:

3223122

'''

2

''

2

'

23635

34333231

242466

661212

12241224

L

EIK

L

EIK

L

EIu

L

EIu

L

EIu

L

EIu

L

EIN

L

EIN

L

EIN

L

EIN

L

EIN

L

EIN

oooo

oooo

oooo

====

====

====

Fuerzas exteriores

Figura 8.11.10 Elementos de la segunda columna de K


28/34


De sta manera se ha obtenido los elementos de la segunda columna de la matriz de rigideza partir de su definicin, se deja al estudiante el obtener los elementos de la primera columna de K .El resultado completo es:

=K

33

33

2424

2448

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

oo

oo

EJEMPLO N.- 7

Encontrar a partir de su definicin los elementos de la segunda columna de la matriz deflexibilidad de la estructura presentada en la figura 8.11.1

SOLUCIN

De acuerdo al procedimiento de clculo indicado en el apartado 8.2.2 se tiene:

2012 == iQyQ i

Figura 8.12.1 Fuerza unitaria Figura 8.12.2 Equilibrio de estructura.

Equilibrio de elementos

Figura 8.12.3 Fuerzas internas


29/34


Por consiguiente:

4444

4444

)4(

2

)3(

2

)2(

2

)1(

2

)4(

1

)3(

1

)2(

1

)1(

1

LP

LP

LP

LP

LP

LP

LP

LP

====

====

Clculo de las deformaciones

====)4()3()2()1( ffff

21

12

6 oEI

L

Pfp =

oooo

oooo

EI

Lp

EI

Lp

EI

Lp

EI

Lp

EI

Lp

EI

Lp

EI

Lp

EI

Lp

24242424

242424242

)4(

2

2)3(

2

2)2(

2

2)1(

2

2

)4(

1

2

)3(

1

2

)2(

1

2

)1(

1

====

====

Clculo del vector q

Se denominaoEI

L

24

2

= . Por lo tanto las deformaciones a flexin en cada uno de los

elementos valen toda vez que tienen ese valor.

Figura 8.12.4 Deformaciones obtenidas

La estructura de la figura 8.12.4 no cumple con la geometra de deformacin, para esto seprocede de la siguiente forma:

i) El nudo D se desplaza verticalmente una magnitud igual a L como lo indica la figura8.12.5 de esa manera las vigas giran un ngulo y ya cumplen con el principio de Williot.Pero el nudo F se ha desplazado a F. En consecuencia se solucion un problema pero se

cre otro y para solucionarlo se da el siguiente paso.


30/34


ii) Con centro en el nudo A, se rota a la estructura en sentido horario un ngulo como loilustra la figura 8.12.6.


De la figura 8.12.6 se tiene:

oo EI

LLq

EI

LLq

122

24

3

2

3

1 ====

Pero

oo EI

LFq

EI

LFq

1224

3

222

3

121 ====

EJEMPLO N.- 8

Si en conexin con el problema 6, la matriz T define una transformacin de coordenadas de

la forma = qTq . Interpretar las nuevas coordenadas qQ y encontrar la matriz de rigidezusando la ley de transformacin de coordenadas de ste nuevo sistema.

=

11

01T

SOLUCIN

= qTq

=

2

1

2

1

11

01

q

q

q

q

+=+=

=+=

21212

1211

11

01

qqqqq

qqqq

De donde:

11 qq =


31/34


122 qqq =

Por lo tanto las coordenadas q miden desplazamientos relativos.

Figura 8.13.1 Sistema qQ Figura 8.13.2 Sistema qQ

Clculo de K

TKTK t=

=K

11

01

2424

2448

10

11

33

33

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

oo

oo

=K

3

3

240

024

L

EI

L

EI

o

o

EJEMPLO N.- 9

La matriz de flexibilidad F para la estructura del problema 7 es:

=F

oo

oo

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

1224

2424

33

33

En este caso el sistema de coordenadas qQ es el presentado en la figura 8.11.2. Se pide

calcular la matriz de flexibilidad F para el sistema de coordenadas de la figura 8.14, utilizando laregla prctica.


32/34


Figura 8.14 Coordenadas generalizadas del ejemplo 14

SOLUCIN

Se cambia la fila uno a la fila dos.

oo

oo

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

2424

1224

33

33

Finalmente se cambia la columna uno por la columna dos.

oo

oo

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

2424

2412

33

33

8. 5 EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio N.- 1

Encontrar la matriz de rigidez utilizando el concepto, de la estructura del ejemplo 8,

empleando las coordenadas qQ .

Ejercicio N.- 2

Generar directamente de su definicin los trminos de la primera columna de la matriz deflexibilidad de la estructura mostrada en la figura 8.11.1

Ejercicio N.- 3

Calcular la matriz de rigidez para el prtico de la figura 8.2.1, empleando la transformacin decoordenadas. Si el nuevo sistema de coordenadas es:


33/34


Ejercicio N.- 4

Para la estructura de la figura 8.6 obtener la matriz de flexibilidad si el sistema decoordenadas generalizadas es el mostrado a continuacin. Utilice la regla prctica.

Ejercicio N.- 5

Hallar la matriz de rigidez usando el concepto del siguiente prtico plano.

Emplear como sistemas de coordenadas del elemento:

a.


34/34


b.

c. Sistema a. para elemento vertical y sistema b. para elemento horizontal.

Ejercicio N.- 6

Obtener la matriz de rigidez para la armadura presentada.

Usar como sistema de coordenadas del elemento el siguiente:

Sistema P-p

Metodo de Rigideces y Flexibilidad

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