Metoda Elementului Finit. Teoria Elasticității Complemente

Metoda Elementului Finit. Teoria ElasticitățiiComplemente

Tratare matricială

Element cu două grade de libertate (truss-tirant). Ecuații generice

Grindă cu zăbrele plană. Studiu comparat, metodă clasică vs. AxisVM, SolidWorks (element de discretizare tip truss)

SCOP

Se exersează modalităţile generice de abordare în ceea cepriveşte tratarea problemelor tehnice inginerești din punctul devedere al metodei de calcul cu element finit, (diverse abordări).

REZUMAT

• Element cu două grade de libertate. Ecuații generice

•Grindă cu zăbrele plană – studiu individual la sală

Element cu două grade de libertate. Ecuații generice

Finite Element Method sau Finite Element Analysis

FEM sau FEAConcept de bază al interpretarii fizice a metodei – discretizarea

(segmentarea, ruperea, partiționarea, separarea sau descompunerea) unuisistem complex ce poate fi descris de către un set de ecuații, în elementesimple, legate intre ele.

Comportamentul unui element poate fi descris in termeni de gradede libertate (în numar finit), grade de libertate reprezentate ca valori afuncțiilor necunoscute la nivelul unui set de noduri ale rețelei (deplasari,gradient de temperatura, debit, etc.).

Comportamentul sistemului (complex) inițial va fi aproximat prinluarea în seamă a numarului de elemente finite luate ca intreg.

K u F d du

AE b 0,dx dx

Mecanica Materialelor 1-DSolicitare de intindere simpla

(ecuatii din Teoria Elasticitatii-Galerkin, formulare variationala;

functia descrisa de ecuatiadiferentiala - deplasare)


K u F 2d D dp

A Q 0,dx 32 dx

Mecanica FluidelorCurgere laminara prin teava,

ecuatii Hagen-Poiseuille, Navier-Stokes;

(functia descrisa de ecuatiadiferentiala – presiune sau

viteza)


K u F d dT

Ak Q 0,dx dx

Conductie Termica 1-DTransfer de Caldura

(ecuatia Fourier;functia descrisa de ecuatiadiferentiala – temperatura)


Conductie Termica 1-DTransfer de Caldura

(ecuatia Fourier;functia descrisa de ecuatiadiferentiala – temperatura)


Mecanica Materialelor 1-DSolicitare de intindere simpla



deplasare deplasare specifica efort unitar

temperatura gradient termic flux de caldura

K u F d dC

AD Q 0,dx dx

Fenomen de DifuzieDifuzie 1-D


K u F d dV

A Q 0,dx dx

Conductie ElectricaCurgere a curentului electric

1-D(ecuatiile Maxwell;

functia descrisa de ecuatiadiferentiala – potential)


K u F d du

AE b 0,dx dx

Mecanica MaterialelorSolicitare de intindere simpla




Element cu două grade de libertate. Ecuații generice. Forma Galerkin

d duAE b 0,

dx dx

2

2

d ua b 0,

dx


d duAE b 0,

dx dx

d LAE k 0,

dx L

Lcu ;

L


d d

AE k 0, A k 0;dx dx


axial axialdN k 0, dN k dx, dF k dx ;

dx

se dorește funcția deplasarilor

u u x ,


fie o funcție liniară ce are numărul de coeficienți egal cu numărul gradelor de libertate ale sistemului (D.O.F.=2)

11 2

2

au a a x sau u 1 x ,

a


x

A * B a b c * y ax by cz; "dot product"

z

x xa xb xc

B * A y a b c ya yb yc , "tensor product".

z za zb zc

se determină coeficienții ecuației punând condiții la limita

11 2

2

au a a x sau u 1 x ,

a

1 1 2 1 1 2 11 1 2

2 1 2 1 2

u 0 u a a 0 a u ; u ua u ; a ,

Lu L u a a L u a L


în concluzie:

1 22 1

12 11 1 2

1 11 2 i

2 2

u a a x,u u

u u x sauu uLa u ; a ,

L

u uL x xu ; u N N ; u N ,

u uL L


N1, N2 – funcții de forma – indică legea de variație estimatăpentru deplasarile de la nivelul elementului considerat

11 2 i

2

uu N N ; u N ,

u


deformația specifică (strain), se exprimă în forma:

i

2 1

1i

2

B

u udu L, , sau

dx L L

u1 1B ,

uL L


L x x dN ; N B ,

L L dx

B matricea deformatie specifica deplasare strain displacement matrix

expresia efortului unitar normal funcție de deplasările nodale,

i

i

E , Hooke ;E B ,

B ,

iS

D B ,

[S] – “element stress matrix”


i

1xaxial1dr 1x 1x

2xaxial2st 2x 2x

B

1x 1

2x 2

produs tensor

1x

2x

P A ,P 1

N P P P P, A ;P 1

N P P P P;

P u1 1 1A E ;

P u1 L L

P 1AE1 1

P 1L

ial

1 1x 1

2 2x 2

u P u1 1AE,

u P u1 1L


x

A * B a b c * y ax by cz; "dot product"

z

x xa xb xc

B * A y a b c ya yb yc , "tensor product".

z za zb zc

not.

P Lgeneric l u ,

EA

AEP u,

LP k u,

AEk,

L

1x 1

2x 2

1x 1

2x 2

1x 1 1 1

2x 2 2 2

P u1 1AE,

P u1 1L

P uk k,

P uk k

P u P uK sau K .

P u P u

unde [K] – matricea de rigiditate a elementului.


i

1 11 12 1

2 21 22 2

P K ,

P k k u.

P k k u

kij – coeficient de influență de rigiditate; reprezintă valoareaforței din nodul “i” pe care o induce o deplasare egală cu unitateace acționează în nodul “j”, deplasările din celelalte noduri fiindsuprimate (nule), elementul rămânând în stare de echilibru.


Grindă cu zăbrele plană

Se cere verificarea secțiunii tronsoanelor sistemului din figura de mai sus.

2a 120N /mm

Grindă cu zăbrele plană

BIBLIOGRAFIE

1. Ungureanu I., Ispas B., Constantinescu E.,”Rezistența Materialelor”, vol.II, vol.III, Institutul de Construcții București, 1981.

2. Bezuhov N.I., ”Teoria Elasticității și Plasticității”, Editura Tehnică, București, 1957.

3. Maty Blumenfeld, “Introducere in metoda elementelor finite”, Editura Tehnică, București, 1990.

4. J.Ed Akin, “Finite Element Analysis Concepts via SolidWorks”, World Scientific, Rice University, Houston, Texas, 2009.

5. G.P. Nikishkov, “Introduction to the finite element method”, Lecture notes 2004. University of Aizu, Aizu-Wakamatsu 965-8580, Japan.

6. P. Boeraeve, “Introduction To The Finite Element Method (FEM)”, Charge de cours. Institut Gramme – LIEGE, 2010.

7. Mocanu Șt., ”Suport de curs de Complemente de Teoria Elasticității” (studii master), format multimedia, ediție de uz intern, Facultatea de Utilaj

Tehnologic, 2007.

8. Mocanu Șt., “Studiu privind utilizarea mediilor de lucru open-source la rularea aplicațiilor F.E.A.-F.E.M.”, SINUC 2011, București, 2011.

9. Pascu Adr., “Metoda Elementului Finit”, Facultatea de Inginerie Mecanica, București, www.omtr.pub.ro/didactic/mef_fim.htm/

10. www.cadworks.ro/

11. www.3dcadvegra.ro/

12. www.consoft.ro/axisvm/

13. www.salome-platform.org/

14. www.code-aster.de/

15. www.caelinux.com/CMS/

http://www.cadworks.ro/

http://www.3dcadvegra.ro/

http://www.consoft.ro/

http://www.salome-platform.org/

http://www.code-aster.de/

Metoda Elementului Finit. Teoria Elasticității Complemente

Documents

Transcript of Metoda Elementului Finit. Teoria Elasticității Complemente