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Estructuras debarras
articuladas
FelipeGabaldon
Introduccion
Metododirecto.Formulacion1D
Metododirecto:Estructuras en2D y 3D
Metodo deelementosfinitos
GMC
METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.Estructuras de barras articuladas
Felipe Gabaldon Castillo
Madrid, 15 de Noviembre de 2007
Estructuras debarras
articuladas
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Metododirecto.Formulacion1D
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Metodo deelementosfinitos
GMC Indice
1 Introduccion
2 Metodo directo. Formulacion 1D
3 Metodo directo: Estructuras en 2D y 3D
4 Metodo de elementos finitos
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Metodo deelementosfinitos
GMC Introduccion
El Metodo de los Elementos Finitos (M.E.F.) es unprocedimiento numerico para resolver ecuacionesdiferenciales de manera aproximada
El dominio en el que esta definido el problema se divide en“subdominios” denominados elementos finitos
El conjunto de elementos finitos que discretizan el dominiose denomina malla
Se abordan problemas de contorno (estatica) y problemasde valor inicial (dinamica)
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Metodo deelementosfinitos
GMC Introduccion
En general, la variable continua queda definida por susvalores aproximados en puntos discretos, denominadosnodos
La aproximacion de esta variable en puntos distintos de losnodos (dentro de cada elemento) se interpola mediantefunciones de forma (generalmente polinomicas)
Los grados de libertad son variables definidas en losnodos (temperaturas, desplazamientos, etc). Tambien sedenominan incognitas primarias o variables de estado.
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GMC Ejemplo: distribucion de temperaturas en una barra
2 3 4 5
Solu ión exa taSolu ión aproximadaInterpola ión lineal1 2
1
3 4
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Metodo deelementosfinitos
GMC Motivacion
El analisis de las estructuras de barras articuladas esesencialmente unidimensional. La barra elastica linealcargada en direccion axial es el modelo basico que sirve departida, y que posteriormente se generaliza a 2D y 3D.
Se presentan dos descripciones alternativas para el analisisdel equilibrio de sistemas barras:
1 Metodo directo, basado en conceptos ya conocidos de laMecanica de Materiales, para expresar el equilibrio defuerzas, las ecuaciones constitutivas y las ecuaciones decompatibilidad.
2 Formulacion debil del problema de contorno como base departida para el desarrollo metodo de elementos finitos.
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GMC Motivacion
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Metodo deelementosfinitos
GMC Cuestiones generales
1 2
3
F3
u2 u3
1 2
F2F1
u1
k1 k2
x
Fi son las fuerzas nodales directamente aplicadas en losnodos.
ui son los desplazamientos nodales.
Las constantes ki son las rigideces correspondientes a cadaelemento
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GMC Cuestiones generales
Considerando solo un elemento:
P1
2
1
1 2 N−N
k1
P1
1
u1
1u
1
2
Pei es la fuerza nodal elemental correspondiente al nodo
local i del elemento e
uei son los desplazamientos del nodo local i del elemento e
N y −N son las fuerzas internas
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GMC Ecuaciones (elemento 1)
Ley constitutiva (Hooke)
N = k(u2 − u1) k =EA
L
Equilibrio en los nodos del elemento 1:
P11 = −N⇒ P1
1 = −k1(u12 − u1
1)
P12 = N ⇒ P1
2 = k1(u12 − u1
1)(k1 −k1
−k1 k1
)u11
u12
=
P1
1
P12
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Metodo deelementosfinitos
GMC Expresion matricial elemental
Para el elemento 2(k2 −k2
−k2 k2
)u21
u22
=
P2
1
P22
Las ecuaciones anteriores se puede generalizar para unelemento e, expresandose:
Kede = Pe
donde:
Ke : Matriz de rigidez del elemento e (sim. y def. pos.)de : Vector elemental de desplazamientos (nodales)Pe : Vector elemental de fuerzas
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GMC Compatibilidad y equilibrio. Ensamblaje
Considerando la compatibilidad de desplazamientos:
u1 = u11 u2 = u1
2 = u21 u3 = u2
2
y el equlibrio de fuerzas:
F1 = P11 F2 = P1
2 + P21 F3 = P2
2
los sistemas matriciales expresados anteriormente para loselementos 1 y 2, se ensamblan mediante la suma paraobtener el sistema global: k1 −k1 0
−k1 k1 + k2 −k2
0 −k2 k2
u1
u2
u3
=
F1
F2
F3
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GMC Condiciones de sustentacion (apoyos)
det(K) = 0 ⇒ existen desplazamientos de solido rıgido(el sistema estructural carece de la sustentacion suficiente)
Para evitarlo es suficiente imponer u1 = 0:
(k1 + k2 −k2
−k2 k2
)u2
u3
=
F2
F3
u1 = 0 (c.c. de tipo esencial)
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GMC Metodologıa
A continuacion se generaliza la formulacion 1D para el caso deestructuras en dos y tres dimensionesPara la formulacion 2D/3D, la metodologıa es la misma que ladescrita anteriormente:
1 Ecuaciones de equilibrio en cada elemento (propiedadesconstitutivas y condiciones de equilibrio)
2 Compatibilidad (topologıa y conectividad)
3 Equilibrio de la estructura completa
4 Condiciones de contorno
5 Solucion del sistema completo de ecuaciones
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GMC Ejemplo
Definicion de la Estructura
3
1 2
2
1
3
fy3 = 1
fx3 = 2
E3A3 = 400√
2
L1 = 10
E1A1 = 100
L2 = 10
E2A2 = 50
L3 = 10√
2
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GMC Ejemplo
Equilibrio del elemento 3
y′ x′
x
y
1
P ′
x1u′
x1
P ′
x3u′
x3
φ
3P ′
y1u′
y1
3
N
NP ′
y3u′
y3
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GMC Ejemplo
Equilibrio del elemento 3 en ejes locales
E3A3
L3
1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0
︸ ︷︷ ︸
(Ke)′
u′x1
u′y1
u′x3
u′y3
=
P ′
x1
P ′y1
P ′x3
P ′y3
Relacion entre ejes locales y ejes globalesux
uy
=
(cos φ − senφsenφ cos φ
)︸ ︷︷ ︸
LT
u′xu′y
; LTL = 1
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GMC Ejemplo
Equilibrio del elemento (en ejes globales)
ue = LT (ue)′
Pe = LT (Pe)′
resultando:
Ke = LT (Ke)′L
=E3A3
L3
0BB@cos2 φ sen φ cos φ − cos2 φ − sen φ cos φ
sen φ cos φ sen2 φ − sen φ cos φ − sen2 φ− cos2 φ − sen φ cos φ cos2 φ sen φ cos φ
− sen φ cos φ − sen2 φ sen φ cos φ sen2 φ
1CCA
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GMC Ejemplo
Matrices de rigidez elementales
Ke=1 =
10 0 −10 00 0 0 0
−10 0 10 00 0 0 0
Ke=2 =
0 0 0 00 5 0 −50 0 0 00 −5 0 5
Ke=3 =
20 20 −20 −2020 20 −20 −20
−20 −20 20 20−20 −20 20 20
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GMC Ejemplo
Ensamblaje
K =
10 + 20 20 −10 0 −20 −2020 20 0 0 −20 −20−10 0 10 0 0 00 0 0 5 0 −5−20 −20 0 0 20 20−20 −20 0 −5 20 5 + 20
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GMC Ejemplo
Condiciones de contorno
ux1 = 0 uy1 = 0 uy2 = 0
K =
30 20 −10 0 −20 −2020 20 0 0 −20 −20
−10 0 10 0 0 00 0 0 5 0 −5
−20 −20 0 0 20 20−20 −20 0 −5 20 25
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GMC Solucion del sistema de ecuaciones
El metodo menos eficiente es el de invertir la matriz derigidez:
Kd = f ⇒ d = K−1f
Metodologıa: Eliminacion de GaussPartiendo del sistema global de ecuaciones:
k11 k12 . . . k1n
k21 k22 . . . k2n...
... . . ....
kn1 kn2 . . . knn
d1
d2...
dn
=
f1f2...fn
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GMC Metodo directo: Estructuras en 2D y 3D
Mediante operaciones con pivotes en filas, se llega alsistema:
k ′11 k ′12 . . . k ′1n
0 k ′22 . . . k ′2n...
... . . ....
0 0 . . . k ′nn
d1
d2...
dn
=
f1f2...fn
cuya solucion es:
dn =fnk ′nn
; dn−1 =fn−1 − k ′n−1 ndn
k ′n−1 n−1
; . . . d1 =f1 −
∑ni=2 k ′1idi
k ′11
Ejemplo: Solucion
ux2 = 0,0 ux3 = 0,3 uy3 = −0,2
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GMC Problema de contorno
Las ecuaciones que, de acuerdo con la mecanica de medioscontinuos, rigen el comportamiento de la barra articulada sonlas siguientes:
dσ
dx+ b = 0
ε =du
dxσ = Eε
σ(0) = −t
u(L) = u
b dV
x
σ + dσσ
dx
Las condiciones de contorno naturales se expresan en terminosde las derivadas de u. Las condiciones de contorno esenciales seexpresan directamente en terminos de u.
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GMC Formulacion fuerte
Sea Ω = Ω ∪ ∂Ω la parte del eje local x ocupado por la barraarticulada (Ω = (0, L), Ω = [0, L] y ∂Ω el contorno de la barra:x = 0 y x = L). La formulacion fuerte del problema seestablece en los siguientes terminos:Dados b : Ω → R y las constantes u ∈ R, t ∈ R, encontrar elcampo de desplazamientos u ∈ R que cumple:
Ed2u
dx2+ b = 0 en Ω
u(L) = u
Edu
dx
∣∣∣∣x=0
= −t
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GMC Formulacion debil
Dados b : Ω → R y las constantes u ∈ R t ∈ R, encontrar elcampo de desplazamientos u ∈ U | ∀δu ∈ V cumple:∫ L
0E A
dδu
dx
du
dxdx =
∫ L
0δub dx + δu(0)t
donde:
V =δu | δu ∈ H1, δu(L) = 0
; U =
u | u ∈ H1, u(L) = u
siendo H1 el espacio de Sobolev de orden 1 y grado 2:
H1 =
u(x) : Ω → R |
∫ L
0
(du
dx
)2
dx < ∞
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GMC Metodo de Galerkin
La formulacion de Galerkin es el punto de partida delmetodo de elementos finitos: permite obtener una solucionaproximada de la formulacion debil.
El primer paso es la construccion de los subespacios Vh yUh, que son aproximaciones de dimension finita de V y U :
Vh ⊂ V (δuh ∈ νh ⇒ δuh ∈ ν)
Uh ⊂ U (uh ∈ δh ⇒ uh ∈ δ)
El metodo de Galerkin establece que los elementosuh ∈ Uh se construyen a partir de los elementos vh ∈ Vh
mediante:uh = vh + uh
donde uh es una funcion dada que verifica uh(L) = u
La idea clave es que los espacios Vh y Uh contienenlas mismas funciones con la unica excepcion de uh
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GMC Metodo de Galerkin
La aproximacion de Galerkin del problema de contorno seobtiene expresando la formulacion debil en terminos de lossubespacios de dimension finita νh y δh:∫ L
0E A
dδuh
dx
d(vh + uh)
dxdx =
∫ L
0δuhb dx + δuh(0)t
y operando:∫ L
0E A
dδuh
dx
dvh
dxdx =
∫ L
0δuhb dx + δuh(0)t−∫ L
0E A
dδuh
dx
duh
dxdx
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GMC Formulacion de Galerkin
Dados b : Ω → R y las constantes u ∈ R t ∈ R, encontrarel campo de desplazamientos uh = vh + uh ∈ Uh, convh ∈ Vh, tal que ∀δuh ∈ Vh se cumple:∫ L
0E A
dδuh
dx
dvh
dxdx =
∫ L
0δuhb dx + δuh(0)t−∫ L
0E A
dδuh
dx
duh
dxdx (1)
En el metodo de Galerkin las funciones vh, δuh pertenecenal mismo subespacio Vh. Existen otros metodos,denominados “metodos de Petrov-Galerkin”, en los cualeslas funciones vh no pertenecen a Vh. Dichos metodos seemplean principalmente en el contexto de la Mecanica deFluidos Computacional
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GMC Formulacion matricial
Con las expresiones:
δuh =n∑
A=1
cANA uh = vh + uh =n∑
A=1
dANA + uNn+1
la formulacion de Galerkin resulta:∫ L
0E A
(n∑
A=1
cAdNA
dx
)(n∑
B=1
dBdNB
dx
)dx =
∫ L
0
(n∑
A=1
cANA
)b dx +
(n∑
A=1
cANA(0)
)t−
∫ L
0E A
(n∑
A=1
cAdNA
dx
)u
dNn+1
dxdx
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GMC Formulacion matricial
Teniendo en cuenta que los coeficientes cA son arbitrarios, seobtiene:
n∑A=1
cAGA = 0
siendo:
GA =n∑
B=1
(∫ L
0E A
dNA
dx
dNB
dxdx
)dB−
∫ L
0NAb dx−NA(0)t+
∫ L
0E A
dNA
dxu
dNn+1
dxdx
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GMC Formulacion matricial
Finalmente, se puede poner:
Kd = f
siendo:
KAB =
∫ L
0E A
dNA
dx
dNB
dxdx
fA =
∫ L
0NAb dx + NA(0)t −
∫ L
0E A
dNA
dxu
dNn+1
dxdx
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GMC Elementos 1D
Funciones de interpolacion lineal
NA(x) =
x−xA−1
hA−1xA−1 < x < xA
xA+1−xhA
xA < x < xA+1
4321
4321
4321
4321
N3
N2
N4
N1
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GMC Elementos 1D
Referencias global y local
NB(x) =x − xA
xB − xA=
x − xA
he(2)
Nb(ξ) =1 + ξbξ
2(3)
A B
a = 1 b = 2
ξ
x
ξa = −1 ξb = 1
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GMC Elementos 1D
Interpolacion del campo de desplazamientos
uh(x) = uANA(x) + uBNB(x) (4)
uh(ξ) = u1N1(ξ) + u2N2(ξ) (5)
Relacion entre coordenadas locales y globales
ξ(x) =2x − xA − xB
he(6)
xe(ξ) =heξ + xA + xB
2=
2∑a=1
Na(ξ)xea
=1
2((1− ξ)xA + (1 + ξ)xB) (7)
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GMC Elementos 1D
Integracion en coordenadas locales
K eab =
∫ +1
−1Na,ξ(ξ)EANb,ξ(ξ)
1∂x∂ξ
dξ (8)
sustituyendo:
Na,ξ =∂
∂ξ
[1
2(1 + ξaξ)
]=
1
2ξa (9)
∂x
∂ξ=
∂
∂ξ
[heξ + xA + xB
2
]=
he
2(10)
en (8), resulta:
Ke =EA
he
(1 −1−1 1
)(11)
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GMC Para ampliar este tema . . .
[1] Felippa, C.A. Home Page.Introduction to Finite Element Methods (ASEN 5007) -Fall 2004 Department of Aerospace Engineering SciencesUniversity of Colorado at Boulder.http://caswww.colorado.edu/courses.d/IFEM.d/Home.html
Hughes, T.J.R.The Finite Element Method. Linear Static and DynamicFinite Element Analysis.Dover Publications Inc., 2000.
Onate, E.Calculo de Estructuras por el Metodo de ElementosFinitos. Analisis estatico lineal.CIMNE. Segunda edicion, 1995.