Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt...

Methoden derPsychologie

Multivariate Analysemethodenund

Multivariates Testen

Günter MeinhardtJohannes Gutenberg Universität Mainz

18.07.2007 & 25.06.2007


Allgemeines • Nach der Overall-Signifikanz die Ergebnisse der Wirkungsweise explorieren.

• Trends sind definierbar, wenn die Stufen der UVs metrische Levels (Dosen, Zeiten, Anzahlen) repräsentieren, nicht jedoch bei kategorialen UVs.

• Einfach zu interpretieren sind orthogonale Trendpolynome.

• Jede Ordnung des Polynoms liefert eine orthogonale Trendkompo- nente, dessen Varianzanteil getrennt bestimmt und getest werden kann.

• Ermöglicht Prognose des Erreichens von Kriterien.

Trendtests in ANOVA und rm ANOVA

• Signifikanz des Faktors, unter dem Trends vermutet werden.

• In rm Designs die üblichen Voraussetzungen der rm ANOVA (paarweise homogene Varianz-Covarianzmatrizen (streng), bzw. Homogene Varianzen der Abweichungen von Zellen (Spherizität), Normalverteilung).

Voraussetzung

Univariates Testen ANOVA & rm ANOVA


Beispiel

• Ein Dosierungsfaktor mit k- Stufen, k > 5 oder Messwiederholungen über mind. 5 Zeitpunkte

• monoton steigender oder fallender Gesamtverlauf

• Strategie: 1. Absichern des Trends 2. Mit gezielten Einzelvergleichen Effekt gegen Baseline absichern 3. Superposition der signifikanten Trendkomponenten zur Trendberechnung und Kriteriumsvorhersage verwenden

PrototypischeDatensituation

Univariates Testen Trendtests

0

4

8

12

16

20

0 pm 0.2 pm 0.4 pm 0.6 pm 0.8 pm 1.0 pm

Alkohohl-Dosis

An

zah

l F

ahrf

ehle

rquadratisch

linear

Mittelwerte mit Konfidenzintervallen


Trendpolynom

• Lineares Polynom: Anpassungsgerade

• Ein quadratisches Polynom beschreibt monotones nichtlineares Wachstum oder Abfallen der Werte

• Ein kubisches Polynom kann auch Änderungen im Verlauf der Kurve beschreiben

Übliche Polynome


2 3 10 1 2 3 1

kkX b b t b t b t b t

für einen Dosisfaktor mit k- Stufen beschreibt die Daten perfekt, wennalle Komponenten bis k-1 eingehen.

0

1

22

33

abhängige Variable

Treatment Ausprägung (metrisch)

Konstante

Lineare Komponente

Quadratische Komponente

Kubische Komponente

X

t

b

b t

b t

b t


OrthogonalePolynome

Bedingungen


2 3 10 1 2 3 1

kkX b b t b t b t b t

Wird als Gleichung für die Mittelwerte der j Stufen geschätzt:

0 1 1 2 2 1 1j j j k k jX b bu b u b u mit

1 1j ju a t 22 2 2j j ju a b t t 2 3

2 3 3 3j j j ju a b t c t t usw.

Für Linearkombinationen Ci werden Koeffizienten so gewählt, Daß die Trendkomponenten stets orthogonal sind:

1 1 2 2i i i ik kC c X c X c X mit

0ijj

c ' 0ij i jj

c c (Kontrastbedingung) (Orthogonalität der Ordnungen)


OrthogonalePolynome


Die Koeffizienten cij liegen bis zu hohen Anzahlen für k in Tabellen vor.


Quadratsummen

Test

Trend-QS:

1Treat lin quad cub kQS QS QS QS QS

Mit diesen Koeffizienten gilt

Die Treatmentquadratsumme zerlegt sich additiv in die Quadratsummen-Anteile der einzelnen orthogonalen Trendpolynome.

2

( ) 2i

Trend iij

j

n CQS

c

Jede Trendkomponente hat einen Freiheitsgrad (df = 1). Dann gilt der F- Test:

2ˆTrend

error

QSF

Mit dfzähler = 1 und df Nenner = dferror.

In komplexeren Designs oder rm Designs ist die die jeweilige Testvarianzdes Faktors einzusetzen.



Komponenten

NichtlinearerTrend-Test

nonlin Treat linQS QS QS

Man teilt oft ein in lineare Komponenten und Restkomponenten, um den nichtlinearen Anteil abzuschätzen.

Diese Komponente hat k-2 Freiheitsgrade (df = k-2). Dann gilt der F- Test:

2

/( 2)ˆ

nonlin

error

QS kF

Mit dfzähler = k-2 und df Nenner = dferror.

Die Polynomkoeffizienten aller Trendkomponenten erhält man wie üblichüber die Methode der Normalgleichungen.Für die lineare Komponente eines aufsteigend (1,2,3…) ganzzahlig gestuf-ten Dosisfaktor gibt es einfache Beziehungen aus den Quadratsummen:


Linearer Trend

lin

k

QSb

QS

(Steigung)

3

12k

n k kQS

(falls Stufen aufsteigend Integer)

a X b K

(Schnittpunkt)


Trendvarianz-Aufklärung

2 Treat

Tot

QS

QS

Das Eta Quadrat kann aufgefasst werden als das Quadrat der Korrelation von den Daten mit der einem Polynom vom Grad k-1

Entsprechend kann man die einzelnen Trendanteile bewerten:

Man kann eine Intraklassenkorrelation von Faktorstufen und Treatmentberechnen:


Intra-ClassCorrelation

2

intra 2 2error

r

2 TrendTrend

Tot

QS

QS

mit22

2 ˆ

1Treat

k n

Sie gibt den korrelativen Zusammenhang der Treatmentstufen mit denDaten an.

Damit kann man die Zunahme der Varianzaufklärung durch Hinzunahmeeinzelner Trendkomponenten bewerten.


Einzelvergleiche

In der ANOVA prüft man Kontraste gewöhnlich über F- Tests. Wegen


F-Test Kontraste

( )mit Zähler: 1

und Nenner: 1

df

df k n

=

= -

( )2

22ˆ x

xt F

sD

D= =

( )2

1,df dft F=

ist ein t- Test einem F- Test äquivalent. Es gilt

Für den Standardfehler eines Vergleichs gilt

( ) 2 2 21ˆ ˆx j error

j

Var D cn

s sD

æ ö÷ç ÷= = ç ÷ç ÷çè øå

j jj

D c x= ×å

0jj

c =å

mit den Kontrastbedingungen

( )

2 2

2 2error j

j

D n DF

Var D cs×

= =×å

(Kontrast über F-Test prüfen)

ˆ xsD


OrthogonaleEinzelvergleiche

Für orthogonale Einzelvergleiche gelten gesonderte Konstruktionsregeln


Vollständige Sätze von orthogonalenKontrasten

Zwei Einzelvergleiche j und k sind orthogonal, wenn gilt:

Man kann Mengen konstruieren, die k-1 orthogonale Einzelvergleicheenthalten. Für solche vollständigen Sätze von Einzelvergleichen gilt:

( ) ( ) ( )1 2 1Treat kQS QS D QS D QS D -= + +K

Die Treatmentquadratsumme ist additiv aus denQuadratsummen der Einzelvergleiche eines voll-ständigen Satzes zusammengesetzt.

2

2Dj

j

n DQS

c

×=

å

0ij iki

c c

Alle in einem vollständigen orthogonalen Satz von Einzelvergleichenenthaltenen Kontraste sind auf dem - Niveau des gesamten F- Testsfür den Treatmentfaktor abgesichert, weil sie lediglich Anteile an der Treatmentquadratsumme darstellen.

[Excel-Beispiel]


KonstruktionEs gibt verschiedene Konstruktionsregeln. Z.B. Helmert-Regel:


Für k=5 (Beispiel) führt dies auf die zeilenweise orthogonale (4 x 5) Koeffizientenmatrix

1 2 1

2 3 2 1

3 4 3 2 1

1 1 1

1

21

3

1

1k k k

D X X

D X X X

D X X X X

D X X Xk

1 1 0 0 0

1 11 0 0

2 21 1 1

1 03 3 31 1 1 1

14 4 4 4

Alle Vergleiche (Zeilen) sind orthogonal.


PaarvergleicheFür reine Paarvergleiche gilt, dass es nur bis zu


1. Teste Trends im Treatmentfaktor. Signifikanz des linearen Trends sichert bereits die monotone Folge der Stufen ab. Signifikanz des quadratischen Trends sicher den nichtlinearen Anstieg (Abfall).

2. Sichere den Unterschied der letzten Faktorstufen gegen den der ersten Faktorstufen mit wenigen Einzeltests ab. Damit ist zumeist der gesamte Gehalt der inhaltliche Hypothesen über Lernverlauf oder Sättigung statistisch geprüft.

div 2k orthogonaleVergleiche in einem Satz geben kann.

Für mehr Paarvergleiche muss das - Niveau gegen multiples Testen adjustiert werden (Bonferroni), um konservativ sicher zu testen.

Strategie

Man konstruiere sich ein Set von orthogonalen Einzelvergleichen, welchesviele der gewünschten a-priori Kontraste enthält. Darüber hinausgehendeVergleiche führt man mit - Adjustage durch. A-Posteriori Vergleiche (Scheffe, Duncan) liefern meist mehr konservative kritische Differenzen für Kontraste, dain a-posteriori Tests alle möglichen Paarvergleiche eingehen. [Excel-Beispiel]


Allgemeines • Trendanalyse ist ein häufig eingesetztes Verfahren in rm ANOVA Designs, da sie die Art der Wirkverlaufes einer Intervention beurteilen lässt.

• Trends sind in rm Designs grundsätzlich definierbar, da die Stufen der UVs als Zeitpunkte oder Anzahlen der Wiederholung der Gabe eines Treatment grundsätzlich metrische Levels repräsentieren.

• Trends sind ebenfalls in Mischdesigns mit Grouping-Faktoren und rm Faktoren definierbar. Für die Testung des Trends gilt, dass der Trend immer an der Prüfvarianz des Faktors geprüft wird.

• Trendanalyse ermöglicht eine Prognose des Zeitpunktes, an dem ein Lern- oder Wirkkriterium voraussichtlich erreicht ist.

Trendtests in rm ANOVA

• Die Testung der Signifikanz des rm Faktors, der mögliche Trends enthält, ist in der rm ANOVA an strenge Voraussetzungen gebunden. (Eigenschaften der Varianz-Covarianz Matrix). Bei Verletzungen führt der F- Test zu progressiven Entscheidungen.

• Verletzungen der Voraussetzungen können mit geeigneten Verfahren (Box, Greenhouse-Geisser) korrigiert werden.

Voraussetzung

Univariates Testen rm ANOVA


VerbundeneSymmetrie

Sind für insgesamt k Messzeitpunkte die Korrelationen zwischen allen Messzeitpunkten gleich und ebenfalls die Varianzen, so erhält man als Varianz-Covarianz-Matrix

(verbund-symmetrische Matrix). Diese strenge Forderung an dieStruktur der Daten für die rm-ANOVA ist aber nicht nötig.

Statt dessen muss für die Gültigkeit der F-Statistik folgende Bedingungerfüllt sein:

2

2

2

cov cov

cov cov

cov cov cov

Voraussetzungen rm ANOVA

'var const.j jX X a

Die Varianz der Differenz der Messwerte zweier beliebiger Messzeit-punkte j und j‘ muss dieselbe Konstante ergeben. Verletzungen dieser Voraussetzung führen zu progressiven Verfälschungen des F-Tests.

Homogenitäts-Voraussetzungder rm ANOVA


Matrix-Bedingung:Zirkularität

Anders geschrieben:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

9 5 6

4 11 7

6 7 13X

Σ

[Excel-Beispiel]


Man verifiziert ebenso, dass eine verbunden symmetrische Matrixebenfalls die Eigenschaft der Zirkularität besitzt.

Beispiel

' ' ' 'var 2 2 const.j j jj j j jjX X

Varianz-Covarianz Matrizen , die diese Bedingung erfüllen, heissen zirkulär.

11 22 12

11 33 13

22 33 23

2 9 11 2 5 10

2 9 13 2 6 10

2 11 13 2 7 10


GenerischeRegel

Sei A eine Matrix mit gleichen Zeilenelementen, so gilt

2 2 2 2 3 4 5 0 0 9 5 6

3 3 3 2 3 4 0 5 0 4 11 7

4 4 4 2 3 4 0 0 5 6 7 13X

Σ

[Excel-Beispiel]


Die Eigenschaft der Zirkularität der Varianz-Covarianz Matrixist über statistische Tests prüfbar. Dazu bedient man sich einer aus der Zirkularität abgeleiteten Eigenschaft von , der Spherizität.

Beispiel (k=3, =5)

tX Σ A A I

ist zirkulär.

Test überSpherizität

Sei M eine (k-1) x k Matrix mit orthogonalen Zeilen.

tY X Σ MΣ M I

ist sphärisch, gdw X zirkulär ist.

Die (k-1) x (k-1) Matrix


Sphärische Matrix Y

Man verwende als Matrix M eine Matrix der c-Koeffizienten, die einen vollständigen Satz orthogonaler Einzelvergleiche definiert. Die Vektoren normiere man zeilenweise (orthonormale Matrix M)

*

1 10

1 1 0 2 21 1 11 1 2

6 2 6

M M


Beispiel (k=3)

0 0t t MA AMDamit:

DiagonalmatrixY

Da A gleiche Zeilenelemente hat, und die Summe der Zeilenelemente von M Null ergibt, folgt

t

Y X

t t

t t t t

Σ MΣ M

M A A I M

MAM MA M MM

I

Wenn X zirkulär ist, ist Y sphärisch (diagonal)Folgerung


Abweichung von Spherizität

Man definiert ein Abweichungsmaß für die Abweichung von derSpherizität:

Range der möglichen Abweichung

i die Eigenwerte von Y .

2

21i i

i ik


Damit kann man den Range der möglichen Abweichungen bewerten(Beispiel: k=4):

0 0

0 0

0 0Y Y

c c c c

c c c c

c c c c

Σ Σ

1 2 3c c c 1 2 33 0 0c

2

2

31

3 3

c

c

2

2

3 1 1

3 13 3

c

kc

Der Range der möglichen Abweichungen ist [(k-1)-1…1]

(perfekt) (max. Abweichung)


Mauchley-Test

Man teste die Nullhypothese

Test-Statistik:Mauchley’s W

über die Stichprobenmatrizen SX und SY .

Y Σ I


1 1,W W k n

1/ 1

Yk

Y

Wtr k

S

Smit

tY XS MS M

(tr die Spur der Matrix)W ist austabelliert (e.g. Winer, Anhang D).

EntscheidungsRegel

Lehne die Nullhypothese (Spherizitätshypothese) ab, wenn

sonst behalte Spherizitätshypothese bei. sollte nicht konservativ gewählt werden (e.g. = 0.25)

Aus W berechnet man die 2 verteilte Prüfstatistik -Test

lnL n k W 1

, 12

k kdf

mit

22 21

6

1

m m

m n k

m k

(nur approx.)


Mauchley-TestW-Tabelle



Freiheitsgrad-korrektur

Unabhängig vom Ergebnis des Mauchley-Tests kann der F-Test durch eine Adjustage der Freiheitsgrade konservativer gemacht werden.

Nach Box ist die F- Statistik in rm Designs verteilt wie


1 , 1 1F k n k (#)

Greenhouse-GeisserCorrection

Da die untere Grenze für (maximale Verletzung) 1/(k-1) ist, folgt

1 2

1 1 1

n k

k n k

Wenn 1 1

Box-Correction

1, 1F n

als konservativster F- Test, der jede Spherizitätsverletzung auffängt.

Die Gültigkeit von (#) ist gut untersucht. Huynh und Feldt schlagenvor, korrigierte in (#) zu verwenden:

Huynh-Feldt-Correction

aber kombiniert mit der Regel:

(den Abweichungswert auf 1 setzen, falls größer wird)

Mit der Box Formel lässt sich nach Verwendung von ein optimalesErgebnis erreichen.

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