Méthode "Volumes Finis"
Transcript of Méthode "Volumes Finis"
Methode ”Volumes Finis”
Introduction a la Mecanique des FluidesNumerique:
Methode ”Volumes Finis”
Alexei Stoukov
ENSEEIHTDepartement Hydraulique / Mecanique des Fluides
Version initiale: Octobre 2006Revision: Fevrier 2012
1 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Introduction
Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie
Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides
Grandes etapes :
Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablieAlgorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)Code est execute sur un ordinateurSi tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue
2 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Introduction
Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie
Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides
Grandes etapes :
Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)
Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablieAlgorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)Code est execute sur un ordinateurSi tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue
2 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Introduction
Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie
Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides
Grandes etapes :
Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)
Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablieAlgorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)Code est execute sur un ordinateurSi tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue
2 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Introduction
Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie
Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides
Grandes etapes :
Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablie
Algorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)Code est execute sur un ordinateurSi tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue
2 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Introduction
Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie
Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides
Grandes etapes :
Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablieAlgorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)
Code est execute sur un ordinateurSi tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue
2 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Introduction
Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie
Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides
Grandes etapes :
Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablieAlgorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)Code est execute sur un ordinateur
Si tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue
2 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Introduction
Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie
Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides
Grandes etapes :
Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablieAlgorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)Code est execute sur un ordinateurSi tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue
2 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
CFD : Principales methodes
Differences finies
Appoximation des derivees intervenantes dans les equations a l’aide dedeveloppement en serie de Taylor
Elements finis
Determination d’un champ local a attribue a chaque sous domaine(element) pour que le champ global obtenu par juxtaposition de ceschamps locaux soit proche de la solution du probleme (bilan global).
Volumes finis
Bilan local des flux dans un petit volume de controle
3 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
CFD : Principales methodes
Differences finies
Appoximation des derivees intervenantes dans les equations a l’aide dedeveloppement en serie de Taylor
Elements finis
Determination d’un champ local a attribue a chaque sous domaine(element) pour que le champ global obtenu par juxtaposition de ceschamps locaux soit proche de la solution du probleme (bilan global).
Volumes finis
Bilan local des flux dans un petit volume de controle
3 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
CFD : Principales methodes
Differences finies
Appoximation des derivees intervenantes dans les equations a l’aide dedeveloppement en serie de Taylor
Elements finis
Determination d’un champ local a attribue a chaque sous domaine(element) pour que le champ global obtenu par juxtaposition de ceschamps locaux soit proche de la solution du probleme (bilan global).
Volumes finis
Bilan local des flux dans un petit volume de controle
3 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Differences finies
Differences finies
Le principe de la methode se decoule directement de la definition dederivee : (
∂φ
∂x
)xi
= lim∆x→0
φ(xi + ∆x)− φ(xi )
∆x(1)
Serie de Taylor pour une fonction continue φ(x) aux alentours de xi :
φ(x) = φ(xi ) + (x − xi )
(∂φ
∂x
)i
+(x − xi )
2
2!
(∂φ2
∂x2
)i
+
(x − xi )3
3!
(∂φ3
∂x3
)i
+ ...+(x − xi )
n
n!
(∂φn
∂xn
)i
+ H (2)
ou H represente les termes d’ordre superieurs Higher order terms
4 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Differences finies
Differences finies
En remplacant x par xi+1 ou xi−1 dans (2) on obtient :(∂φ
∂x
)i
=φi+1 − φi
xi+1 − xi− xi+1 − xi
2
(∂φ2
∂x2
)i
− (xi+1 − xi )2
6
(∂φ3
∂x3
)i
+ H
(3)(∂φ
∂x
)i
=φi − φi−1
xi − xi−1+
xi − xi−1
2
(∂φ2
∂x2
)i
− (xi − xi−1)2
6
(∂φ3
∂x3
)i
+ H
(4)(∂φ
∂x
)i
=φi+1 − φi−1
xi+1 − xi−1− (xi+1 − xi )
2 − (xi − xi−1)2
2(xi+1 − xi−1)
(∂φ2
∂x2
)i
−
(xi+1 − xi )3 + (xi − xi−1)3
6(xi+1 − xi−1)
(∂φ3
∂x3
)i
+ H (5)
5 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Differences finies
Differences finies
Exemple d’approximation
Forward Difference (FD)
(∂φ
∂x
)i
≈ φi+1 − φi
xi+1 − xi(6)
Backward Difference (BD)
(∂φ
∂x
)i
≈ φi − φi−1
xi − xi−1(7)
Central Difference (CD)
(∂φ
∂x
)i
≈ φi+1 − φi−1
xi+1 − xi−1(8)
L’erreur de troncature
ϑ(∆x) pour FD et BD
ϑ(∆x2) pour CD
6 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Differences finies
Differences finies
Exemple d’approximation
Forward Difference (FD)
(∂φ
∂x
)i
≈ φi+1 − φi
xi+1 − xi(6)
Backward Difference (BD)
(∂φ
∂x
)i
≈ φi − φi−1
xi − xi−1(7)
Central Difference (CD)
(∂φ
∂x
)i
≈ φi+1 − φi−1
xi+1 − xi−1(8)
L’erreur de troncature
ϑ(∆x) pour FD et BD
ϑ(∆x2) pour CD
6 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Elements finis
Methode Elements finis
Consiste a rechercher une solution approchee sous la forme d’un champF (M, t) defini par morceaux sur des sous domaines de Ω. Les n sous-domainesΩi doivent etre tels que
n⋃i=1
Ωi = Ω et Ωi ∩ Ωj = ∅ ∀i 6= j
ou Ωi designe l’interieur de Ωi .Les champs fi (M, t), definis sur chaque sous domaines sont des champs choisisparmi une famille arbitraire de champs (generalement polynomiaux).Le champ dans chaque sous domaine Ωi est determine par un nombre fini devaleurs du champ (ou de valeurs de ses derivees) en des points choisisarbitrairement dans le sous domaine, et appeles nœuds. Le champ local est uneinterpolation entre les valeurs aux nœuds. Le sous-domaine muni de soninterpolation est appele element.
Chercher une solution par elements finis consiste a determiner quel champ local
on attribue a chaque sous domaine pour que le champ global F (M, t) obtenu
par juxtaposition de ces champs locaux soit proche de la solution du probleme.
7 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’utiliser
Pourquoi utiliser l’approche ”Volumes Finis” ?
Differences finies
Bien connue
Mise en œvre simple pour une geometrie simple
Mise en œvre difficile pour une geometrie complexe
Pas toujours conservative
Utilisation dans des codes de ”recherche”
Elements finis
Approche tres ”mathematique”
S’adapte a une geometrie quelconque
Difficultees pour resoudre les termes non-lineaires
Tres utilisee dans le domaine de Mecanique des Solides et pour desproblemes multi-physique (Comsol, ex FemLab).
8 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’utiliser
Pourquoi utiliser l’approche ”Volumes Finis” ?
Volumes finis
Approche tres ”physique” : bilan des flux
S’adapte a une geometrie quelconque
Plusieurs schemas pour la resolution des termes non-lineaireshyperboliques
Conservative (par sa formulation)
La base de tout les codes generalistes en Mecanique des Fluides :Fluent et CFX (ANSYS), StarCCM+ et ProStar (CD-Adapco), Fire(AVL), OpenFoam (Libre)...
9 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : etapes typiques
10 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : repartition des etapesdans le temps
Temps horloge (h) Temps homme (h)
Todd Michal. SIAM News, CSE 2009 : Preprocessing for Industrial CFD : More Important Than You Might Think
11 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : repartition des etapesdans le temps
Temps horloge (h) Temps homme (h)
Todd Michal. SIAM News, CSE 2009 : Preprocessing for Industrial CFD : More Important Than You Might Think
11 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : geometrie CAD(CAO)
12 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : geometrie CAD(CAO)
13 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : geometrie CFD
14 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : maillage surfacique
15 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : maillage volumique
16 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : maillage volumique
17 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : maillage volumique
18 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : choix d’un maillagevolumique
19 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : geometrie CFD
20 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : maillage volumique
21 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : maillage volumique
22 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation
Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?
Unsteady1 Implicite unsteady
Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?
2 Explicite unsteady
CFL ?Fractional step time advancement ?...
23 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation
Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?
Unsteady
1 Implicite unsteady
Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?
2 Explicite unsteady
CFL ?Fractional step time advancement ?...
23 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation
Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?
Unsteady1 Implicite unsteady
Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?
2 Explicite unsteady
CFL ?Fractional step time advancement ?...
23 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation
Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?
Unsteady1 Implicite unsteady
Solveur : segregated ou coupled ?
∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?
2 Explicite unsteady
CFL ?Fractional step time advancement ?...
23 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation
Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?
Unsteady1 Implicite unsteady
Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?
Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?
2 Explicite unsteady
CFL ?Fractional step time advancement ?...
23 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation
Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?
Unsteady1 Implicite unsteady
Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?
Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?2 Explicite unsteady
CFL ?Fractional step time advancement ?...
23 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation
Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?
Unsteady1 Implicite unsteady
Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?
2 Explicite unsteady
CFL ?Fractional step time advancement ?...
23 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation
Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?
Unsteady1 Implicite unsteady
Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?
2 Explicite unsteady
CFL ?Fractional step time advancement ?...
23 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation
Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?
Unsteady1 Implicite unsteady
Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?
2 Explicite unsteady
CFL ?
Fractional step time advancement ?...
23 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation
Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?
Unsteady1 Implicite unsteady
Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?
2 Explicite unsteady
CFL ?Fractional step time advancement ?
...
23 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation
Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?
Unsteady1 Implicite unsteady
Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?
2 Explicite unsteady
CFL ?Fractional step time advancement ?...
23 / 75
Methode ”Volumes Finis”
CFD : Principales methodes
Volumes finis - pourquoi l’apprendre
Processus de la CFD industrielle : analyse
24 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme differentielle
Loi de conservation sous forme differentielle
Equations de Navier-Stokes :
∂U
∂t+∂F (U)
∂x= S(U) (9)
U =
ρρuρvρwρet
F = Fc + Fd =
ρ~u
div(ρu~u) + ∂P∂x
div(ρv~u) + ∂P∂y
div(ρw~u) + ∂P∂z
div(ρE~u) + Pdiv~u
−
0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )
(10)
Equation generale du transport :
∂ρφ
∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸
Advection
− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸
Diffusion
= Sφ︸︷︷︸
Terme Source/Puits
(11)
25 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme differentielle
Loi de conservation sous forme differentielle
Equations de Navier-Stokes :
∂U
∂t+∂F (U)
∂x= S(U) (9)
U =
ρρuρvρwρet
F = Fc + Fd =
ρ~u
div(ρu~u) + ∂P∂x
div(ρv~u) + ∂P∂y
div(ρw~u) + ∂P∂z
div(ρE~u) + Pdiv~u
−
0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )
(10)
Equation generale du transport :
∂ρφ
∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸
Advection
− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸
Diffusion
= Sφ︸︷︷︸
Terme Source/Puits
(11)
25 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme differentielle
Loi de conservation sous forme differentielle
Equations de Navier-Stokes :
∂U
∂t+∂F (U)
∂x= S(U) (9)
U =
ρρuρvρwρet
F = Fc + Fd =
ρ~u
div(ρu~u) + ∂P∂x
div(ρv~u) + ∂P∂y
div(ρw~u) + ∂P∂z
div(ρE~u) + Pdiv~u
−
0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )
(10)
Equation generale du transport :
∂ρφ
∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸
Advection
− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸
Diffusion
= Sφ︸︷︷︸
Terme Source/Puits
(11)
25 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme differentielle
Loi de conservation sous forme differentielle
Equations de Navier-Stokes :
∂U
∂t+∂F (U)
∂x= S(U) (9)
U =
ρρuρvρwρet
F = Fc + Fd =
ρ~u
div(ρu~u) + ∂P∂x
div(ρv~u) + ∂P∂y
div(ρw~u) + ∂P∂z
div(ρE~u) + Pdiv~u
−
0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )
(10)
Equation generale du transport :
∂ρφ
∂t
+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸
Advection
− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸
Diffusion
= Sφ︸︷︷︸
Terme Source/Puits
(11)
25 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme differentielle
Loi de conservation sous forme differentielle
Equations de Navier-Stokes :
∂U
∂t+∂F (U)
∂x= S(U) (9)
U =
ρρuρvρwρet
F = Fc + Fd =
ρ~u
div(ρu~u) + ∂P∂x
div(ρv~u) + ∂P∂y
div(ρw~u) + ∂P∂z
div(ρE~u) + Pdiv~u
−
0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )
(10)
Equation generale du transport :
∂ρφ
∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸
Advection
− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸
Diffusion
= Sφ︸︷︷︸
Terme Source/Puits
(11)
25 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme differentielle
Loi de conservation sous forme differentielle
Equations de Navier-Stokes :
∂U
∂t+∂F (U)
∂x= S(U) (9)
U =
ρρuρvρwρet
F = Fc + Fd =
ρ~u
div(ρu~u) + ∂P∂x
div(ρv~u) + ∂P∂y
div(ρw~u) + ∂P∂z
div(ρE~u) + Pdiv~u
−
0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )
(10)
Equation generale du transport :
∂ρφ
∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸
Advection
− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸
Diffusion
= Sφ︸︷︷︸
Terme Source/Puits
(11)
25 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme differentielle
Loi de conservation sous forme differentielle
Equations de Navier-Stokes :
∂U
∂t+∂F (U)
∂x= S(U) (9)
U =
ρρuρvρwρet
F = Fc + Fd =
ρ~u
div(ρu~u) + ∂P∂x
div(ρv~u) + ∂P∂y
div(ρw~u) + ∂P∂z
div(ρE~u) + Pdiv~u
−
0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )
(10)
Equation generale du transport :
∂ρφ
∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸
Advection
− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸
Diffusion
= Sφ︸︷︷︸
Terme Source/Puits
(11)
25 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme differentielle
Loi de conservation sous forme differentielle
Equations de Navier-Stokes :
∂U
∂t+∂F (U)
∂x= S(U) (9)
U =
ρρuρvρwρet
F = Fc + Fd =
ρ~u
div(ρu~u) + ∂P∂x
div(ρv~u) + ∂P∂y
div(ρw~u) + ∂P∂z
div(ρE~u) + Pdiv~u
−
0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )
(10)
Equation generale du transport :
∂ρφ
∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸
Advection
− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸
Diffusion
= Sφ︸︷︷︸
Terme Source/Puits
(11)
25 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme differentielle
Loi de conservation sous forme differentielle
Equations de Navier-Stokes :
∂U
∂t+∂F (U)
∂x= S(U) (9)
U =
ρρuρvρwρet
F = Fc + Fd =
ρ~u
div(ρu~u) + ∂P∂x
div(ρv~u) + ∂P∂y
div(ρw~u) + ∂P∂z
div(ρE~u) + Pdiv~u
−
0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )
(10)
Equation generale du transport :
∂ρφ
∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸
Advection
− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸Diffusion
= Sφ︸︷︷︸
Terme Source/Puits
(11)
25 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme differentielle
Loi de conservation sous forme differentielle
Equations de Navier-Stokes :
∂U
∂t+∂F (U)
∂x= S(U) (9)
U =
ρρuρvρwρet
F = Fc + Fd =
ρ~u
div(ρu~u) + ∂P∂x
div(ρv~u) + ∂P∂y
div(ρw~u) + ∂P∂z
div(ρE~u) + Pdiv~u
−
0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )
(10)
Equation generale du transport :
∂ρφ
∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸
Advection
− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸Diffusion
= Sφ︸︷︷︸Terme Source/Puits
(11)
25 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ
+
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)
−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ
=
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸
Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integraled ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ +
∫ΩCV
div(ρφ~udΩ)−∫
ΩCV
div(Γgradφ)dΩ =
∫ΩCV
SφdΩ
(12)
Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle
+
∫ACV
(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸Transport advectif
−∫
ACV
(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸Transport diffusif
=
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸Source/Puits
(13)
26 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integrale
Une autre facon de voir la methode :
d ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur
~F - vecteur flux de la matiere
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
= −∮
ACV
~F d ~An︸ ︷︷ ︸
Bilan des flux
+
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(14)
de ρφ dans ΩCV a travers de ACV
On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ
27 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integrale
Une autre facon de voir la methode :
d ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
= −∮
ACV
~F d ~An︸ ︷︷ ︸
Bilan des flux
+
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(14)
de ρφ dans ΩCV a travers de ACV
On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ
27 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integrale
Une autre facon de voir la methode :
d ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
= −∮
ACV
~F d ~An︸ ︷︷ ︸
Bilan des flux
+
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(14)
de ρφ dans ΩCV a travers de ACV
On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ
27 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integrale
Une autre facon de voir la methode :
d ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
=
−∮
ACV
~F d ~An︸ ︷︷ ︸
Bilan des flux
+
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(14)
de ρφ dans ΩCV a travers de ACV
On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ
27 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integrale
Une autre facon de voir la methode :
d ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
= −∮
ACV
~F d ~An︸ ︷︷ ︸
Bilan des flux
+
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(14)
de ρφ dans ΩCV a travers de ACV
On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ
27 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integrale
Une autre facon de voir la methode :
d ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸
Variation temporelle
= −∮
ACV
~F d ~An︸ ︷︷ ︸
Bilan des flux
+
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(14)
de ρφ dans ΩCV a travers de ACV
On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ
27 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integrale
Une autre facon de voir la methode :
d ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle
= −∮
ACV
~F d ~An︸ ︷︷ ︸
Bilan des flux
+
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(14)
de ρφ dans ΩCV
a travers de ACV
On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ
27 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integrale
Une autre facon de voir la methode :
d ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle
= −∮
ACV
~F d ~An︸ ︷︷ ︸Bilan des flux
+
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸
Source/Puits
(14)
de ρφ dans ΩCV a travers de ACV
On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ
27 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integrale
Une autre facon de voir la methode :
d ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle
= −∮
ACV
~F d ~An︸ ︷︷ ︸Bilan des flux
+
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸Source/Puits
(14)
de ρφ dans ΩCV a travers de ACV
On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ
27 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integrale
Une autre facon de voir la methode :
d ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle
= −∮
ACV
~F d ~An︸ ︷︷ ︸Bilan des flux
+
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸Source/Puits
(14)
de ρφ dans ΩCV a travers de ACV
On note que −~F d ~An est le flux entrant
Advection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ
27 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integrale
Une autre facon de voir la methode :
d ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle
= −∮
ACV
~F d ~An︸ ︷︷ ︸Bilan des flux
+
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸Source/Puits
(14)
de ρφ dans ΩCV a travers de ACV
On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u
Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ
27 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Loi de conservation
Forme integrale
Loi de conservation sous forme integrale
Une autre facon de voir la methode :
d ~An
~V
ACV
ΩCV
ΩCV - volume (domaine) de controle
ΩCV fixe dans le temps
ACV - surface exterieure du volume
ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle
= −∮
ACV
~F d ~An︸ ︷︷ ︸Bilan des flux
+
∫ΩCV
SφdΩ︸ ︷︷ ︸Source/Puits
(14)
de ρφ dans ΩCV a travers de ACV
On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ
27 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Methode VF
Bilan sur le volume de controle
Methode Volumes Finis
ΩCV
ΩJ
d ~An
~V
ACV
~Ai~Fi
Bilan sur ΩJ
∂
∂t(ρφJ ΩJ ) +
∑faces
(~Fi~Ai )J = (Sφ)J (15)
φJ - valeur moyenne de φ sur ΩJ (valeur au centre de ΩJ )
~Fi - flux moyen sur Ai
28 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Methode VF
Bilan sur le volume de controle
Methode Volumes Finis
ΩCV
ΩJ
d ~An
~V
ACV
~Ai~Fi
Bilan sur ΩJ
∂
∂t(ρφJ ΩJ ) +
∑faces
(~Fi~Ai )J = (Sφ)J (15)
φJ - valeur moyenne de φ sur ΩJ (valeur au centre de ΩJ )
~Fi - flux moyen sur Ai
28 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Methode VF
Bilan sur le volume de controle
Methode Volumes Finis
ΩCV
ΩJ
d ~An
~V
ACV
~Ai~Fi
Bilan sur ΩJ
∂
∂t(ρφJ ΩJ ) +
∑faces
(~Fi~Ai )J = (Sφ)J (15)
φJ - valeur moyenne de φ sur ΩJ (valeur au centre de ΩJ )
~Fi - flux moyen sur Ai
28 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Methode VF
Bilan sur le volume de controle
Methode Volumes Finis
ΩCV
ΩJ
d ~An
~V
ACV
~Ai~Fi
Bilan sur ΩJ
∂
∂t(ρφJ ΩJ ) +
∑faces
(~Fi~Ai )J = (Sφ)J (15)
φJ - valeur moyenne de φ sur ΩJ (valeur au centre de ΩJ )
~Fi - flux moyen sur Ai
28 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Methode VF
Bilan sur le volume de controle
Methode Volumes Finis
Points clefs de la methode
Choix des volumes de controle (maillage)
Type d’approximation dans les volumes
Schemas numeriques pour evaluation des flux
29 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Methode VF
Bilan sur le volume de controle
Methode Volumes Finis
Points clefs de la methode
Choix des volumes de controle (maillage)
Type d’approximation dans les volumes
Schemas numeriques pour evaluation des flux
29 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Methode VF
Bilan sur le volume de controle
Methode Volumes Finis
Points clefs de la methode
Choix des volumes de controle (maillage)
Type d’approximation dans les volumes
Schemas numeriques pour evaluation des flux
29 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Methode VF
Bilan sur le volume de controle
Methode Volumes Finis
Points clefs de la methode
Choix des volumes de controle (maillage)
Type d’approximation dans les volumes
Schemas numeriques pour evaluation des flux
29 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Methode VF
Types de volume de controle
Definition des volumes de controle
Vertex centered Cell centered
Vi
xi−1/2
1Dφi φi
φi−1
φi+1φi−1
φi+1
Vi
2D Vi Vi
Vi Vi
xi−1/2 xi+1/2
xni xni+1
xni−1 xni+1
xi+1/2
xni
30 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Methode VF
Types de volume de controle
Maillage
Source : [2]31 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Advection 1D
Rappelons la loi de conservation sous forme integrale
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
~F d ~An +
∫ΩCV
SφdΩ
Dans le cas d’advection pure et en abscence d’un terme source
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
ρφ~ud ~An (16)
32 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Advection 1D
Rappelons la loi de conservation sous forme integrale
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
~F d ~An +
∫ΩCV
SφdΩ
Dans le cas d’advection pure et en abscence d’un terme source
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
ρφ~ud ~An (16)
32 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Advection 1D
En 1D (faux 2D) :
i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
∆xi = xi+1/2 − xi−1/2
∆xic = xi+1 − xi
Vi = ∆xi ∆y∆z∆y - hauteur du volume∆z = 1
∂
∂t
∫Vi
ρφdVi = −∫
∆y
ρφ~u ~ex dy (17)
Formulation Volumes Finis :
∂
∂t(ρφ)i Vi = −
((ρφ~u)i+1/2 ~ex ∆y + (ρφ~u)i−1/2 ~ex ∆y
)(18)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et (ρφ~u)i±1/2 = fi±1/2 les flux(moyens dans le cas 2D et 3D). Posons ~u > 0. Multiplication par ~ex
donne∂
∂t(ρφ)i Vi = −
((ρφu)i+1/2∆y − (ρφu)i−1/2∆y
)(19)
33 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Advection 1D
En 1D (faux 2D) :
i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e∆xi = xi+1/2 − xi−1/2
∆xic = xi+1 − xi
Vi = ∆xi ∆y∆z∆y - hauteur du volume∆z = 1
∂
∂t
∫Vi
ρφdVi = −∫
∆y
ρφ~u ~ex dy (17)
Formulation Volumes Finis :
∂
∂t(ρφ)i Vi = −
((ρφ~u)i+1/2 ~ex ∆y + (ρφ~u)i−1/2 ~ex ∆y
)(18)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et (ρφ~u)i±1/2 = fi±1/2 les flux(moyens dans le cas 2D et 3D). Posons ~u > 0. Multiplication par ~ex
donne∂
∂t(ρφ)i Vi = −
((ρφu)i+1/2∆y − (ρφu)i−1/2∆y
)(19)
33 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Advection 1D
En 1D (faux 2D) :
i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e∆xi = xi+1/2 − xi−1/2
∆xic = xi+1 − xi
Vi = ∆xi ∆y∆z∆y - hauteur du volume∆z = 1
∂
∂t
∫Vi
ρφdVi = −∫
∆y
ρφ~u ~ex dy (17)
Formulation Volumes Finis :
∂
∂t(ρφ)i Vi = −
((ρφ~u)i+1/2 ~ex ∆y + (ρφ~u)i−1/2 ~ex ∆y
)(18)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et (ρφ~u)i±1/2 = fi±1/2 les flux(moyens dans le cas 2D et 3D). Posons ~u > 0. Multiplication par ~ex
donne∂
∂t(ρφ)i Vi = −
((ρφu)i+1/2∆y − (ρφu)i−1/2∆y
)(19)
33 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Advection 1D
En 1D (faux 2D) :
i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e∆xi = xi+1/2 − xi−1/2
∆xic = xi+1 − xi
Vi = ∆xi ∆y∆z∆y - hauteur du volume∆z = 1
∂
∂t
∫Vi
ρφdVi = −∫
∆y
ρφ~u ~ex dy (17)
Formulation Volumes Finis :
∂
∂t(ρφ)i Vi = −
((ρφ~u)i+1/2 ~ex ∆y + (ρφ~u)i−1/2 ~ex ∆y
)(18)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et (ρφ~u)i±1/2 = fi±1/2 les flux(moyens dans le cas 2D et 3D).
Posons ~u > 0. Multiplication par ~ex
donne∂
∂t(ρφ)i Vi = −
((ρφu)i+1/2∆y − (ρφu)i−1/2∆y
)(19)
33 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Advection 1D
En 1D (faux 2D) :
i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e∆xi = xi+1/2 − xi−1/2
∆xic = xi+1 − xi
Vi = ∆xi ∆y∆z∆y - hauteur du volume∆z = 1
∂
∂t
∫Vi
ρφdVi = −∫
∆y
ρφ~u ~ex dy (17)
Formulation Volumes Finis :
∂
∂t(ρφ)i Vi = −
((ρφ~u)i+1/2 ~ex ∆y + (ρφ~u)i−1/2 ~ex ∆y
)(18)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et (ρφ~u)i±1/2 = fi±1/2 les flux(moyens dans le cas 2D et 3D). Posons ~u > 0. Multiplication par ~ex
donne∂
∂t(ρφ)i Vi = −
((ρφu)i+1/2∆y − (ρφu)i−1/2∆y
)(19)
33 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Advection 1D
Avec la notation WPE :
∂
∂t(ρφ)P VP = − ((ρφu)e∆y − (ρφu)w ∆y) (20)
(ρφ)P
Pour un maillage de type cell center (ρφ)P est connu au moment t = 0(initialisation).
(ρφu)e = fe et (ρφu)w = fw ???
Interpolation a partir de valeurs connues : choix d’un schemad’approximation
i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
Vos idees ?
34 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Advection 1D
Avec la notation WPE :
∂
∂t(ρφ)P VP = − ((ρφu)e∆y − (ρφu)w ∆y) (20)
(ρφ)P
Pour un maillage de type cell center (ρφ)P est connu au moment t = 0(initialisation).
(ρφu)e = fe et (ρφu)w = fw ???
Interpolation a partir de valeurs connues : choix d’un schemad’approximation
i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
Vos idees ?
34 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Advection 1D
Avec la notation WPE :
∂
∂t(ρφ)P VP = − ((ρφu)e∆y − (ρφu)w ∆y) (20)
(ρφ)P
Pour un maillage de type cell center (ρφ)P est connu au moment t = 0(initialisation).
(ρφu)e = fe et (ρφu)w = fw ???
Interpolation a partir de valeurs connues : choix d’un schemad’approximation
i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
Vos idees ?
34 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Interpolation lineaire
i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
(ρφu)e = (ρφu)Eλe + (ρφu)P (1− λe) (21)
avec
λe =xe − xP
xE − xP(22)
Maillage regulier :
(ρφu)e =(ρφu)E + (ρφu)P
2(23)
Nous avons obtenu le schema centre d’ordre 2 (l’erreur estproportionnelle a ∆x2)
35 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Interpolation lineaire
i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
(ρφu)e = (ρφu)Eλe + (ρφu)P (1− λe) (21)
avec
λe =xe − xP
xE − xP(22)
Maillage regulier :
(ρφu)e =(ρφu)E + (ρφu)P
2(23)
Nous avons obtenu le schema centre d’ordre 2 (l’erreur estproportionnelle a ∆x2)
35 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Interpolation lineaire
i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
(ρφu)e = (ρφu)Eλe + (ρφu)P (1− λe) (21)
avec
λe =xe − xP
xE − xP(22)
Maillage regulier :
(ρφu)e =(ρφu)E + (ρφu)P
2(23)
Nous avons obtenu le schema centre d’ordre 2 (l’erreur estproportionnelle a ∆x2)
35 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Schema centre
Discretisation temporelle - schema d’Euler
∂
∂t(ρφ)P =
(ρφ)n+1P − (ρφP )n
∆t+ ε(∆t) (24)
Schema explicite en temps et centre en espace (maillage regulier)
(ρφ)n+1P − ρφn
P
∆tVP = − ((ρφu)n
e ∆y − (ρφu)nw ∆y)
= −(
(ρφu)nE − (ρφu)n
W
2
)∆y (25)
(ρφ)n+1P = ρφn
P −∆t
2V((ρφu)n
E − (ρφu)nW ) ∆y (26)
36 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Schema centre
Discretisation temporelle - schema d’Euler
∂
∂t(ρφ)P =
(ρφ)n+1P − (ρφP )n
∆t+ ε(∆t) (24)
Schema explicite en temps et centre en espace (maillage regulier)
(ρφ)n+1P − ρφn
P
∆tVP = − ((ρφu)n
e ∆y − (ρφu)nw ∆y)
= −(
(ρφu)nE − (ρφu)n
W
2
)∆y (25)
(ρφ)n+1P = ρφn
P −∆t
2V((ρφu)n
E − (ρφu)nW ) ∆y (26)
36 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Un peu d’arithmetique
(ρφ)n+1P = (ρφ)n
P −∆t
2V((ρφu)n
E − (ρφu)nW ) ∆y
Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1
P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0
Solution exacte : x(t) = x0 + ut
∆t
2V∆y = 0.5
i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n
i−1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i − (ρφ)ni−2) = 1− 0.5(1− 1) = 0
i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+1 − (ρφ)ni−1) = 1− 0.5(0− 1) = 1.5
i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n
i+1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+2 − (ρφ)ni ) = 0− 0.5(0− 1) = 0.5
37 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Un peu d’arithmetique
(ρφ)n+1P = (ρφ)n
P −∆t
2V((ρφu)n
E − (ρφu)nW ) ∆y
Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1
P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0
Solution exacte : x(t) = x0 + ut
∆t
2V∆y = 0.5
i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n
i−1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i − (ρφ)ni−2) = 1− 0.5(1− 1) = 0
i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+1 − (ρφ)ni−1) = 1− 0.5(0− 1) = 1.5
i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n
i+1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+2 − (ρφ)ni ) = 0− 0.5(0− 1) = 0.5
37 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Un peu d’arithmetique
(ρφ)n+1P = (ρφ)n
P −∆t
2V((ρφu)n
E − (ρφu)nW ) ∆y
Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1
P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0
Solution exacte : x(t) = x0 + ut
∆t
2V∆y = 0.5
i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n
i−1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i − (ρφ)ni−2) = 1− 0.5(1− 1) = 0
i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+1 − (ρφ)ni−1) = 1− 0.5(0− 1) = 1.5
i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n
i+1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+2 − (ρφ)ni ) = 0− 0.5(0− 1) = 0.5
37 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Un peu d’arithmetique
(ρφ)n+1P = (ρφ)n
P −∆t
2V((ρφu)n
E − (ρφu)nW ) ∆y
Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1
P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0
Solution exacte : x(t) = x0 + ut
∆t
2V∆y = 0.5
i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n
i−1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i − (ρφ)ni−2) =
1− 0.5(1− 1) = 0
i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+1 − (ρφ)ni−1) = 1− 0.5(0− 1) = 1.5
i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n
i+1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+2 − (ρφ)ni ) = 0− 0.5(0− 1) = 0.5
37 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Un peu d’arithmetique
(ρφ)n+1P = (ρφ)n
P −∆t
2V((ρφu)n
E − (ρφu)nW ) ∆y
Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1
P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0
Solution exacte : x(t) = x0 + ut
∆t
2V∆y = 0.5
i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n
i−1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i − (ρφ)ni−2) =
1− 0.5(1− 1) = 0
i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+1 − (ρφ)ni−1) =
1− 0.5(0− 1) = 1.5
i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n
i+1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+2 − (ρφ)ni ) = 0− 0.5(0− 1) = 0.5
37 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Un peu d’arithmetique
(ρφ)n+1P = (ρφ)n
P −∆t
2V((ρφu)n
E − (ρφu)nW ) ∆y
Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1
P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0
Solution exacte : x(t) = x0 + ut
∆t
2V∆y = 0.5
i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n
i−1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i − (ρφ)ni−2) =
1− 0.5(1− 1) = 0
i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+1 − (ρφ)ni−1) =
1− 0.5(0− 1) = 1.5
i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n
i+1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+2 − (ρφ)ni ) =
0− 0.5(0− 1) = 0.5
37 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Un peu d’arithmetique
(ρφ)n+1P = (ρφ)n
P −∆t
2V((ρφu)n
E − (ρφu)nW ) ∆y
Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1
P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0
Solution exacte : x(t) = x0 + ut
∆t
2V∆y = 0.5
i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n
i−1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i − (ρφ)ni−2) = 1− 0.5(1− 1) = 0
i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+1 − (ρφ)ni−1) =
1− 0.5(0− 1) = 1.5
i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n
i+1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+2 − (ρφ)ni ) =
0− 0.5(0− 1) = 0.5
37 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Un peu d’arithmetique
(ρφ)n+1P = (ρφ)n
P −∆t
2V((ρφu)n
E − (ρφu)nW ) ∆y
Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1
P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0
Solution exacte : x(t) = x0 + ut
∆t
2V∆y = 0.5
i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n
i−1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i − (ρφ)ni−2) = 1− 0.5(1− 1) = 0
i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+1 − (ρφ)ni−1) = 1− 0.5(0− 1) = 1.5
i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n
i+1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+2 − (ρφ)ni ) =
0− 0.5(0− 1) = 0.5
37 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Un peu d’arithmetique
(ρφ)n+1P = (ρφ)n
P −∆t
2V((ρφu)n
E − (ρφu)nW ) ∆y
Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1
P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0
Solution exacte : x(t) = x0 + ut
∆t
2V∆y = 0.5
i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n
i−1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i − (ρφ)ni−2) = 1− 0.5(1− 1) = 0
i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+1 − (ρφ)ni−1) = 1− 0.5(0− 1) = 1.5
i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n
i+1 −∆t
2V∆y((ρφ)n
i+2 − (ρφ)ni ) = 0− 0.5(0− 1) = 0.5
37 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Exemple
Verifions le choix
Integration explicite en temps du schema centre pour le terme convectifu = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1
38 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Exemple
Verifions le choix
Integration explicite en temps du schema centre pour le terme convectifu = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1
38 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Exemple
Verifions le choix
Integration explicite en temps du schema centre pour le terme convectifu = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1
38 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Exemple
Verifions le choix
Integration explicite en temps du schema centre pour le terme convectifu = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1
38 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema centree
Exemple
Mauvais choix !
Integration explicite en temps du schema centre pour le terme convectifest inconditionnelement instable
0
0.5
1
1.5
2
i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2
t = 0
× × × × ×
× × × × ×
×
0
0.5
1
1.5
2
i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2
t = ∆t
4 4 4 4
4
4
4 4 4 4
4
0
0.5
1
1.5
2
i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2
t = 2∆t
? ? ?
?
?
?
?
? ? ?
?
0
0.5
1
1.5
2
i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2
t = 3∆tb b bb
bb
bb b b
b
38 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema upwind
Remedes
Decentrement de flux
fe = fP fw = fW si u ≥ 0 (27)
fe = fE fw = fP si u < 0 (28)
Schema decentre explicite en temps
Pour u > 0 (ρφ)n+1P = (ρφ)n
P −∆t
V((ρφu)n
P − (ρφu)nW ) ∆y (29)
Schema stable sous condition de Courant-Friedrish-Levy
CFL =u∆t
∆x≤ 1 (30)
Le pas de temps est calcule a partir du CFL !
39 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema upwind
Remedes
Decentrement de flux
fe = fP fw = fW si u ≥ 0 (27)
fe = fE fw = fP si u < 0 (28)
Schema decentre explicite en temps
Pour u > 0 (ρφ)n+1P = (ρφ)n
P −∆t
V((ρφu)n
P − (ρφu)nW ) ∆y (29)
Schema stable sous condition de Courant-Friedrish-Levy
CFL =u∆t
∆x≤ 1 (30)
Le pas de temps est calcule a partir du CFL !
39 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema upwind
Precision
Diffusion numerique
φe = φP + (xe − xP )
(∂φ
∂x
)P
+(xe − xP )2
2!
(∂φ2
∂x2
)P
+ H (31)
fe = fP - approximation d’ordre 1 avec l’erreur de troncature :
f de = Γnum
e
(∂φ
∂x
)e
Γnume = (ρu)e∆x/2 (32)
On peut demontre que pour CFL =u∆t
∆x= 1 et u = cste, ρ = cste le
schema 29 donne la solution exacte.
40 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema upwind
Precision
Diffusion numerique
φe = φP + (xe − xP )
(∂φ
∂x
)P
+(xe − xP )2
2!
(∂φ2
∂x2
)P
+ H (31)
fe = fP - approximation d’ordre 1 avec l’erreur de troncature :
f de = Γnum
e
(∂φ
∂x
)e
Γnume = (ρu)e∆x/2 (32)
On peut demontre que pour CFL =u∆t
∆x= 1 et u = cste, ρ = cste le
schema 29 donne la solution exacte.
40 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema upwind
Precision
Diffusion numerique
φe = φP + (xe − xP )
(∂φ
∂x
)P
+(xe − xP )2
2!
(∂φ2
∂x2
)P
+ H (31)
fe = fP - approximation d’ordre 1 avec l’erreur de troncature :
f de = Γnum
e
(∂φ
∂x
)e
Γnume = (ρu)e∆x/2 (32)
On peut demontre que pour CFL =u∆t
∆x= 1 et u = cste, ρ = cste le
schema 29 donne la solution exacte.
40 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schema upwind
Schema decentre - exemple
Condition initiale : φ = 1 en x = 0 et φ = 1 pour x ∈]0, 1].Solution :u = cste = 1m/s, t = 0.5s
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x, m
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
ϕ
Schéma décentré, CFL=0.45Schéma décentré, CFL=0.9
Schema tres diffusif et dependant du CFL !
41 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas d’ordre eleve
Schema explicite de Lax-Wendroff
Le schema explicite de Lax-Wendroff
(ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −ν
2((ρφ)n
i+1 − ((ρφ)ni−1)
+ν2
2((ρφ)n
i+1 − 2(ρφ)ni + (ρφ)n
i−1) (33)
avec ν =u∆t
∆x
Exprime en flux VF :
(ρφ)n+1/2i+1/2 =
1
2
((ρφ)n
i+1) + (ρφ)ni ))− ∆t
2∆x
((ρφu)
n+1/2i+1 − (ρφu)
n+1/2i
)F ∗i+1/2 = (ρφu)
n+1/2i+1/2 ∆y
(ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −∆t
V(F ∗i+1/2 − F ∗i−1/2) (34)
Stabilite : CFL ≤ 1Precision : ε(∆t, (∆x)2)
42 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas d’ordre eleve
Schema explicite de Lax-Wendroff
Le schema explicite de Lax-Wendroff
(ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −ν
2((ρφ)n
i+1 − ((ρφ)ni−1)
+ν2
2((ρφ)n
i+1 − 2(ρφ)ni + (ρφ)n
i−1) (33)
avec ν =u∆t
∆x
Exprime en flux VF :
(ρφ)n+1/2i+1/2 =
1
2
((ρφ)n
i+1) + (ρφ)ni ))− ∆t
2∆x
((ρφu)
n+1/2i+1 − (ρφu)
n+1/2i
)F ∗i+1/2 = (ρφu)
n+1/2i+1/2 ∆y
(ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −∆t
V(F ∗i+1/2 − F ∗i−1/2) (34)
Stabilite : CFL ≤ 1Precision : ε(∆t, (∆x)2)
42 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas d’ordre eleve
Schema explicite de Lax-Wendroff
Le schema explicite de Lax-Wendroff
(ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −ν
2((ρφ)n
i+1 − ((ρφ)ni−1)
+ν2
2((ρφ)n
i+1 − 2(ρφ)ni + (ρφ)n
i−1) (33)
avec ν =u∆t
∆x
Exprime en flux VF :
(ρφ)n+1/2i+1/2 =
1
2
((ρφ)n
i+1) + (ρφ)ni ))− ∆t
2∆x
((ρφu)
n+1/2i+1 − (ρφu)
n+1/2i
)F ∗i+1/2 = (ρφu)
n+1/2i+1/2 ∆y
(ρφ)n+1i = (ρφ)n
i −∆t
V(F ∗i+1/2 − F ∗i−1/2) (34)
Stabilite : CFL ≤ 1Precision : ε(∆t, (∆x)2)
42 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas d’ordre eleve
Comparaison
Transport convectif d’un scalaire passif - condition initiale discontinueu = 1 m/s t = 1s CFL = 0.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ExacteLax-Wendroff
Upwind
43 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas d’ordre eleve
Comparaison
Transport convectif d’un scalaire passif - condition initiale continueu = 1 m/s t = 1s CFL = 0.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ExacteLax-Wendroff
Upwind
44 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas d’ordre eleve
Schema centre implicite en temps
On peut exprimer fe et fw dans le schema centre en fonction de n + 1
(ρφ)n+1P = (ρφ)n
P −∆t
2V
((ρφu)n+1
E − (ρφu)n+1W
)∆y (35)
Inconditionnalement stable
Forte erreur dispersive (oscillations) pour le nombre de Peclet
Pe =ρu∆x
Deleve
Precision ε(∆t, (∆x)2)
45 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schemas de haute resolution - apercu general
Motivation
Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif
Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites
Essayer de combiner les avantages des deux ?
Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles
Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations
Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface
Ai±1/2 =
(∂F (U)
∂U
)i±1/2
Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires
46 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schemas de haute resolution - apercu general
Motivation
Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif
Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites
Essayer de combiner les avantages des deux ?
Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles
Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations
Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface
Ai±1/2 =
(∂F (U)
∂U
)i±1/2
Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires
46 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schemas de haute resolution - apercu general
Motivation
Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif
Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites
Essayer de combiner les avantages des deux ?
Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles
Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations
Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface
Ai±1/2 =
(∂F (U)
∂U
)i±1/2
Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires
46 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schemas de haute resolution - apercu general
Motivation
Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif
Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites
Essayer de combiner les avantages des deux ?
Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles
Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations
Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface
Ai±1/2 =
(∂F (U)
∂U
)i±1/2
Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires
46 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schemas de haute resolution - apercu general
Motivation
Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif
Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites
Essayer de combiner les avantages des deux ?
Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles
Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations
Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface
Ai±1/2 =
(∂F (U)
∂U
)i±1/2
Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires
46 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schemas de haute resolution - apercu general
Motivation
Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif
Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites
Essayer de combiner les avantages des deux ?
Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles
Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations
Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface
Ai±1/2 =
(∂F (U)
∂U
)i±1/2
Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires
46 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schemas de haute resolution - apercu general
Motivation
Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif
Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites
Essayer de combiner les avantages des deux ?
Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles
Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations
Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface
Ai±1/2 =
(∂F (U)
∂U
)i±1/2
Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires
46 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws(MUSCL)
Generalitees
Propose par B. van Leer en 1979 [7]
Reconstruction d’ordre eleve des flux aux interfaces en dehors d’unediscontinuite
Decentrement des flux en presence d’une discontinuite a l’aide d’unlimiteur de flux
Respect de la condition TVD (Total Variation Diminishing)
TV (Un) =+∞∑
i=−∞
|Uni+1 − Un
i | [1]
47 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws(MUSCL)
Generalitees
Propose par B. van Leer en 1979 [7]
Reconstruction d’ordre eleve des flux aux interfaces en dehors d’unediscontinuite
Decentrement des flux en presence d’une discontinuite a l’aide d’unlimiteur de flux
Respect de la condition TVD (Total Variation Diminishing)
TV (Un) =+∞∑
i=−∞
|Uni+1 − Un
i | [1]
47 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws(MUSCL)
Generalitees
Propose par B. van Leer en 1979 [7]
Reconstruction d’ordre eleve des flux aux interfaces en dehors d’unediscontinuite
Decentrement des flux en presence d’une discontinuite a l’aide d’unlimiteur de flux
Respect de la condition TVD (Total Variation Diminishing)
TV (Un) =+∞∑
i=−∞
|Uni+1 − Un
i | [1]
47 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws(MUSCL)
Generalitees
Propose par B. van Leer en 1979 [7]
Reconstruction d’ordre eleve des flux aux interfaces en dehors d’unediscontinuite
Decentrement des flux en presence d’une discontinuite a l’aide d’unlimiteur de flux
Respect de la condition TVD (Total Variation Diminishing)
TV (Un) =+∞∑
i=−∞
|Uni+1 − Un
i | [1]
47 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws(MUSCL)
Generalitees
Propose par B. van Leer en 1979 [7]
Reconstruction d’ordre eleve des flux aux interfaces en dehors d’unediscontinuite
Decentrement des flux en presence d’une discontinuite a l’aide d’unlimiteur de flux
Respect de la condition TVD (Total Variation Diminishing)
TV (Un) =+∞∑
i=−∞
|Uni+1 − Un
i | [1]
47 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schema MUSCL
Equation de transport 17 sous forme semi-discretisee :
dφi
dt+
F (φ∗i+1/2)− F (φ∗i−1/2)
∆x= 0 ou
dφi
dt+
F ∗i+1/2 − F ∗i−1/2
∆x= 0 (36)
avec flux numeriques F ∗i±1/2
Ces flux correspondent a une combinaisonnon-lineaire d’ordre 1 et 2 d’approximation des flux continus. Les fluxsont calcules a partir d’une interpolation des variables primaires φ∗±1/2 :
φ∗i+1/2 = φ∗i+1/2
(φL
i+1/2, φRi+1/2
)(37)
φLi+1/2 = φi + 0.5ψ(ri )(φi+1 − φi ) (38)
φRi+1/2 = φi+1 − 0.5ψ(ri+1)(φi+2 − φi+1) (39)
φLi−1/2 = φi−1 + 0.5ψ(ri−1)(φi − φi−1) (40)
φRi+1/2 = φi − 0.5ψ(ri )(φi+1 − φi ) (41)
ri =φi − φi−1
φi+1 − φiavec ψ(ri ) une fonction limiteur de flux (42)
48 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schema MUSCL
Equation de transport 17 sous forme semi-discretisee :
dφi
dt+
F (φ∗i+1/2)− F (φ∗i−1/2)
∆x= 0 ou
dφi
dt+
F ∗i+1/2 − F ∗i−1/2
∆x= 0 (36)
avec flux numeriques F ∗i±1/2 Ces flux correspondent a une combinaisonnon-lineaire d’ordre 1 et 2 d’approximation des flux continus. Les fluxsont calcules a partir d’une interpolation des variables primaires φ∗±1/2 :
φ∗i+1/2 = φ∗i+1/2
(φL
i+1/2, φRi+1/2
)(37)
φLi+1/2 = φi + 0.5ψ(ri )(φi+1 − φi ) (38)
φRi+1/2 = φi+1 − 0.5ψ(ri+1)(φi+2 − φi+1) (39)
φLi−1/2 = φi−1 + 0.5ψ(ri−1)(φi − φi−1) (40)
φRi+1/2 = φi − 0.5ψ(ri )(φi+1 − φi ) (41)
ri =φi − φi−1
φi+1 − φiavec ψ(ri ) une fonction limiteur de flux (42)
48 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Interpretation geometrique de la reconstruction
φ
xi − 1 i i + 1 i + 2
φLi−1/2
φRi−1/2
φLi+1/2φRi+1/2
49 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schema MUSCL de Kurganov-Tadmor[4]
Flux numerique :
F ∗i+1/2 =a+
i+1/2F (φEi )− a−i+1/2F (φW
i+1)
a+i+1/2 − a−i+1/2
+a+
i+1/2a−i+1/2
a+i+1/2 − a−i+1/2
[φW
i+1 − φEi
](43)
φEi = φi − (φx )i (44)
(φx )i = minmod
(θφi+1 − φi
∆x,φi+1 − φi−1
2∆x, θφi − φi−1
∆x
), θ ∈ [1, 2](45)
Fonction multivariable minmod :
minmod(x1, x2, ...) =
minixi si xi > 0∀ i ,maxixi si xi < 0∀ i ,
0 autrement.(46)
50 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schema MUSCL de Kurganov-Tadmor[4]
Flux numerique :
F ∗i+1/2 =a+
i+1/2F (φEi )− a−i+1/2F (φW
i+1)
a+i+1/2 − a−i+1/2
+a+
i+1/2a−i+1/2
a+i+1/2 − a−i+1/2
[φW
i+1 − φEi
](43)
φEi = φi − (φx )i (44)
(φx )i = minmod
(θφi+1 − φi
∆x,φi+1 − φi−1
2∆x, θφi − φi−1
∆x
), θ ∈ [1, 2](45)
Fonction multivariable minmod :
minmod(x1, x2, ...) =
minixi si xi > 0∀ i ,maxixi si xi < 0∀ i ,
0 autrement.(46)
50 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schema MUSCL de Kurganov-Tadmor[4] - suite
Les vitesses de propagation a±i±1/2 :
a±i±1/2 = λn
(∂F (φ)
∂φ
)i±1/2
(47)
avec λn les valeurs propres de∂F (φ)
∂φDans le cas de l’equation de transport 1D d’un scalaire passif (17) λ = uIntegration explicite en temps a l’aide de la methode d’Euler de bilan desces flux donne le schema d’ordre 2 en espace (en dehors desdiscontinuites) et d’ordre 1 en temps.Stabilite : CFL ≤ 0.5
51 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schema MUSCL de Kurganov-Tadmor[4] - suite
Les vitesses de propagation a±i±1/2 :
a±i±1/2 = λn
(∂F (φ)
∂φ
)i±1/2
(47)
avec λn les valeurs propres de∂F (φ)
∂φ
Dans le cas de l’equation de transport 1D d’un scalaire passif (17) λ = uIntegration explicite en temps a l’aide de la methode d’Euler de bilan desces flux donne le schema d’ordre 2 en espace (en dehors desdiscontinuites) et d’ordre 1 en temps.Stabilite : CFL ≤ 0.5
51 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schema MUSCL de Kurganov-Tadmor[4] - suite
Les vitesses de propagation a±i±1/2 :
a±i±1/2 = λn
(∂F (φ)
∂φ
)i±1/2
(47)
avec λn les valeurs propres de∂F (φ)
∂φDans le cas de l’equation de transport 1D d’un scalaire passif (17) λ = uIntegration explicite en temps a l’aide de la methode d’Euler de bilan desces flux donne le schema d’ordre 2 en espace (en dehors desdiscontinuites) et d’ordre 1 en temps.Stabilite : CFL ≤ 0.5
51 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour l’advection
Schemas de haute resolution
Schema MUSCL de Kurganov-Tadmor : resultats 1D
Condition initiale : φ = 1 en x = 0 et φ = 1 pour x ∈]0, 1].Solution :u = cste = 1m/s, t = 0.5s
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x, m
0
0,2
0,4
0,6
0,8
ϕ
Décentré, CFL=0.45Kurganov, CFL=0.45Kurganov, CFL=0.1
52 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Terme diffusif
Le flux diffusif dans l’equation du transport
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
~F d ~An +
∫ΩCV
SφdΩ
est
~Fd = −ρDgradφ (48)
Formulation Volumes Finis :i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
En 1D : Dgradφ =∂φ
∂x~ix
∂
∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2
~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2
∆y − Fdi−1/2∆y (49)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD
∂φ
∂x)i±1/2
53 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Terme diffusif
Le flux diffusif dans l’equation du transport
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
~F d ~An +
∫ΩCV
SφdΩ
est~Fd = −ρDgradφ (48)
Formulation Volumes Finis :i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
En 1D : Dgradφ =∂φ
∂x~ix
∂
∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2
~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2
∆y − Fdi−1/2∆y (49)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD
∂φ
∂x)i±1/2
53 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Terme diffusif
Le flux diffusif dans l’equation du transport
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
~F d ~An +
∫ΩCV
SφdΩ
est~Fd = −ρDgradφ (48)
Formulation Volumes Finis :i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
En 1D : Dgradφ =∂φ
∂x~ix
∂
∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2
~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2
∆y − Fdi−1/2∆y (49)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD
∂φ
∂x)i±1/2
53 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Terme diffusif
Le flux diffusif dans l’equation du transport
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
~F d ~An +
∫ΩCV
SφdΩ
est~Fd = −ρDgradφ (48)
Formulation Volumes Finis :i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
En 1D : Dgradφ =∂φ
∂x~ix
∂
∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2
~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2
∆y − Fdi−1/2∆y (49)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD
∂φ
∂x)i±1/2
53 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Terme diffusif
Le flux diffusif dans l’equation du transport
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
~F d ~An +
∫ΩCV
SφdΩ
est~Fd = −ρDgradφ (48)
Formulation Volumes Finis :i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
En 1D : Dgradφ =∂φ
∂x~ix
∂
∂t(ρφ)i Vi =
~Fdi+1/2~ex ∆y + ~Fdi−1/2
~ex ∆y = Fdi+1/2∆y − Fdi−1/2
∆y (49)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD
∂φ
∂x)i±1/2
53 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Terme diffusif
Le flux diffusif dans l’equation du transport
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
~F d ~An +
∫ΩCV
SφdΩ
est~Fd = −ρDgradφ (48)
Formulation Volumes Finis :i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
En 1D : Dgradφ =∂φ
∂x~ix
∂
∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2
~ex ∆y
+ ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2
∆y − Fdi−1/2∆y (49)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD
∂φ
∂x)i±1/2
53 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Terme diffusif
Le flux diffusif dans l’equation du transport
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
~F d ~An +
∫ΩCV
SφdΩ
est~Fd = −ρDgradφ (48)
Formulation Volumes Finis :i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
En 1D : Dgradφ =∂φ
∂x~ix
∂
∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2
~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y =
Fdi+1/2∆y − Fdi−1/2
∆y (49)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD
∂φ
∂x)i±1/2
53 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Terme diffusif
Le flux diffusif dans l’equation du transport
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
~F d ~An +
∫ΩCV
SφdΩ
est~Fd = −ρDgradφ (48)
Formulation Volumes Finis :i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
En 1D : Dgradφ =∂φ
∂x~ix
∂
∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2
~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2
∆y
− Fdi−1/2∆y (49)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD
∂φ
∂x)i±1/2
53 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Terme diffusif
Le flux diffusif dans l’equation du transport
∂
∂t
∫ΩCV
ρφdΩ = −∮
ACV
~F d ~An +
∫ΩCV
SφdΩ
est~Fd = −ρDgradφ (48)
Formulation Volumes Finis :i+ 1
i− 1/2 i+ 1/2
i
~ex ~ex
i− 1W
EP
w e
En 1D : Dgradφ =∂φ
∂x~ix
∂
∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2
~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2
∆y − Fdi−1/2∆y (49)
avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD
∂φ
∂x)i±1/2
53 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Schema centre pour le terme diffusif
Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :
(D∂φ
∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi(50)
avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )
Integration explicite en temps donne :
φn+1i = φn
i +∆t
Vi
(Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi∆y − Di−1/2
φi − φi−1
xi − xi−1∆y
)(51)
Schema centre en espace et explicite en temps
Precision : ε(∆t, (∆x)2)
Stabilite :∆tD
∆x2= r ou ∆t = r
∆x2
Davec r ≤ 0.5
54 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Schema centre pour le terme diffusif
Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :
(D∂φ
∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi(50)
avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )Integration explicite en temps donne :
φn+1i = φn
i +
∆t
Vi
(Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi∆y − Di−1/2
φi − φi−1
xi − xi−1∆y
)(51)
Schema centre en espace et explicite en temps
Precision : ε(∆t, (∆x)2)
Stabilite :∆tD
∆x2= r ou ∆t = r
∆x2
Davec r ≤ 0.5
54 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Schema centre pour le terme diffusif
Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :
(D∂φ
∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi(50)
avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )Integration explicite en temps donne :
φn+1i = φn
i +∆t
Vi
(
Di+1/2φi+1 − φi
xi+1 − xi∆y − Di−1/2
φi − φi−1
xi − xi−1∆y
)(51)
Schema centre en espace et explicite en temps
Precision : ε(∆t, (∆x)2)
Stabilite :∆tD
∆x2= r ou ∆t = r
∆x2
Davec r ≤ 0.5
54 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Schema centre pour le terme diffusif
Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :
(D∂φ
∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi(50)
avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )Integration explicite en temps donne :
φn+1i = φn
i +∆t
Vi
(Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi∆y −
Di−1/2φi − φi−1
xi − xi−1∆y
)(51)
Schema centre en espace et explicite en temps
Precision : ε(∆t, (∆x)2)
Stabilite :∆tD
∆x2= r ou ∆t = r
∆x2
Davec r ≤ 0.5
54 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Schema centre pour le terme diffusif
Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :
(D∂φ
∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi(50)
avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )Integration explicite en temps donne :
φn+1i = φn
i +∆t
Vi
(Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi∆y − Di−1/2
φi − φi−1
xi − xi−1∆y
)(51)
Schema centre en espace et explicite en temps
Precision : ε(∆t, (∆x)2)
Stabilite :∆tD
∆x2= r ou ∆t = r
∆x2
Davec r ≤ 0.5
54 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Schema centre pour le terme diffusif
Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :
(D∂φ
∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi(50)
avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )Integration explicite en temps donne :
φn+1i = φn
i +∆t
Vi
(Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi∆y − Di−1/2
φi − φi−1
xi − xi−1∆y
)(51)
Schema centre en espace et explicite en temps
Precision : ε(∆t, (∆x)2)
Stabilite :∆tD
∆x2= r ou ∆t = r
∆x2
Davec r ≤ 0.5
54 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Schema centre pour le terme diffusif
Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :
(D∂φ
∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi(50)
avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )Integration explicite en temps donne :
φn+1i = φn
i +∆t
Vi
(Di+1/2
φi+1 − φi
xi+1 − xi∆y − Di−1/2
φi − φi−1
xi − xi−1∆y
)(51)
Schema centre en espace et explicite en temps
Precision : ε(∆t, (∆x)2)
Stabilite :∆tD
∆x2= r ou ∆t = r
∆x2
Davec r ≤ 0.5
54 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Schemas pour la diffusion
Schema centree
Terme diffusif - exemple
Comparaison calcul/solution analytique
Diffusion 1D L = 0.5m, 30 volumes
D = 0.01m2/s r = 0.45, Temps final 0.5s
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5x, m
0
0,2
0,4
0,6
0,8
ϕ
Solution calculéeSolution exacte
55 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 1D
Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D
Advection-Diffusion 1D
Schema explicite en temps :
φn+1i = φn
i −∆t
Vi
[((F n
c ∆y)i+1/2 − (F nc ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸
Advection
− ((F nd ∆y)i+1/2 − (F n
d ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸Diffusion
](52)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
56 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 1D
Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D
Advection-Diffusion 1D
Schema explicite en temps :
φn+1i = φn
i −∆t
Vi
[((F n
c ∆y)i+1/2 − (F nc ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸
Advection
− ((F nd ∆y)i+1/2 − (F n
d ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸Diffusion
](52)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
56 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 1D
Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D
Advection-Diffusion 1D
Schema explicite en temps :
φn+1i = φn
i −∆t
Vi
[((F n
c ∆y)i+1/2 − (F nc ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸
Advection
− ((F nd ∆y)i+1/2 − (F n
d ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸Diffusion
](52)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
56 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 1D
Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D
Advection-Diffusion 1D
Schema explicite en temps :
φn+1i = φn
i −∆t
Vi
[((F n
c ∆y)i+1/2 − (F nc ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸
Advection
− ((F nd ∆y)i+1/2 − (F n
d ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸Diffusion
](52)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
56 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 1D
Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D
Advection-Diffusion 1D
Schema explicite en temps :
φn+1i = φn
i −∆t
Vi
[((F n
c ∆y)i+1/2 − (F nc ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸
Advection
− ((F nd ∆y)i+1/2 − (F n
d ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸Diffusion
](52)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
56 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 1D
Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D
Advection-Diffusion 1D
Schema explicite en temps :
φn+1i = φn
i −∆t
Vi
[((F n
c ∆y)i+1/2 − (F nc ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸
Advection
− ((F nd ∆y)i+1/2 − (F n
d ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸Diffusion
](52)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
56 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 1D
Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D
Advection-Diffusion 1D
Precision et stabilite
Precision :
ε(∆t,∆x2) pour la diffusion
ε(∆t,∆x) pour l’advection
Stabilite : ∆t ≤[
u
Cu∆x+
D
r∆x2
]−1
avec le nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5
57 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 1D
Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D
Advection-Diffusion 1D
Precision et stabilite
Precision :
ε(∆t,∆x2) pour la diffusionε(∆t,∆x) pour l’advection
Stabilite : ∆t ≤[
u
Cu∆x+
D
r∆x2
]−1
avec le nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5
57 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 1D
Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D
Advection-Diffusion 1D
Precision et stabilite
Precision :
ε(∆t,∆x2) pour la diffusionε(∆t,∆x) pour l’advection
Stabilite : ∆t ≤[
u
Cu∆x+
D
r∆x2
]−1
avec le nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5
57 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonal
Vi−1,j
Vi−1,j−1
Vi,j+1
Vi+1,j
~Sxi+1/2,j
y(j)
x(i)
Vi,j
(i , j)(i , j)
(i + 1, j + 1)
(i + 1, j)
(i , j + 1)
~Sxi−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Syi,j+1/2
Equation 15 pour un volume quadrilateral
∂
∂t(ρφV )i,j +
k=4∑k=1
(~F~S)k = 0 avec k interfaces i±1/2, j et i , j±1/2 (53)
58 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonal
Vi−1,j
Vi−1,j−1
Vi,j+1
Vi+1,j
~Sxi+1/2,j
y(j)
x(i)
Vi,j
(i , j)(i , j)
(i + 1, j + 1)
(i + 1, j)
(i , j + 1)
~Sxi−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Syi,j+1/2
Equation 15 pour un volume quadrilateral
∂
∂t(ρφV )i,j +
k=4∑k=1
(~F~S)k = 0 avec k interfaces i±1/2, j et i , j±1/2 (53)
58 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Bilan des flux
Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)
Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ
∂x~ix )k − (ρD
∂φ
∂y~iy )k(55)
Bilan de flux (ρ = cste)
∑(~F~S)k = (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j
+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2
− (D∂φ
∂xS)i+1/2,j + (D
∂φ
∂xS)i−1/2,j
− (D∂φ
∂yS)i,j+1/2 + (D
∂φ
∂yS)i,j−1/2 (56)
59 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Bilan des flux
Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)
Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ
∂x~ix )k − (ρD
∂φ
∂y~iy )k(55)
Bilan de flux (ρ = cste)
∑(~F~S)k = (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j
+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2
− (D∂φ
∂xS)i+1/2,j + (D
∂φ
∂xS)i−1/2,j
− (D∂φ
∂yS)i,j+1/2 + (D
∂φ
∂yS)i,j−1/2 (56)
59 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Bilan des flux
Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)
Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ
∂x~ix )k − (ρD
∂φ
∂y~iy )k(55)
Bilan de flux (ρ = cste)
∑(~F~S)k
= (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j
+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2
− (D∂φ
∂xS)i+1/2,j + (D
∂φ
∂xS)i−1/2,j
− (D∂φ
∂yS)i,j+1/2 + (D
∂φ
∂yS)i,j−1/2 (56)
59 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Bilan des flux
Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)
Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ
∂x~ix )k − (ρD
∂φ
∂y~iy )k(55)
Bilan de flux (ρ = cste)
∑(~F~S)k = (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j
+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2
− (D∂φ
∂xS)i+1/2,j + (D
∂φ
∂xS)i−1/2,j
− (D∂φ
∂yS)i,j+1/2 + (D
∂φ
∂yS)i,j−1/2 (56)
59 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Bilan des flux
Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)
Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ
∂x~ix )k − (ρD
∂φ
∂y~iy )k(55)
Bilan de flux (ρ = cste)
∑(~F~S)k = (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j
+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2
− (D∂φ
∂xS)i+1/2,j + (D
∂φ
∂xS)i−1/2,j
− (D∂φ
∂yS)i,j+1/2 + (D
∂φ
∂yS)i,j−1/2 (56)
59 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Bilan des flux
Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)
Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ
∂x~ix )k − (ρD
∂φ
∂y~iy )k(55)
Bilan de flux (ρ = cste)
∑(~F~S)k = (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j
+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2
− (D∂φ
∂xS)i+1/2,j + (D
∂φ
∂xS)i−1/2,j
− (D∂φ
∂yS)i,j+1/2 + (D
∂φ
∂yS)i,j−1/2 (56)
59 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Bilan des flux
Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)
Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ
∂x~ix )k − (ρD
∂φ
∂y~iy )k(55)
Bilan de flux (ρ = cste)
∑(~F~S)k = (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j
+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2
− (D∂φ
∂xS)i+1/2,j + (D
∂φ
∂xS)i−1/2,j
− (D∂φ
∂yS)i,j+1/2 + (D
∂φ
∂yS)i,j−1/2 (56)
59 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonale
Schema explicite en temps :
φn+1i,j = φn
i,j −
∆t
Vi,j
k=4∑k=1
(~F~S)k (57)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
Precision et stabilite
Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection
Stabilite : ∆t ≤[ |u|
Cu∆x+|v |
Cu∆y+
D
r
(1
∆x2+
1
∆y 2
)]−1
avec le
nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5
60 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonale
Schema explicite en temps :
φn+1i,j = φn
i,j −∆t
Vi,j
k=4∑k=1
(~F~S)k (57)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
Precision et stabilite
Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection
Stabilite : ∆t ≤[ |u|
Cu∆x+|v |
Cu∆y+
D
r
(1
∆x2+
1
∆y 2
)]−1
avec le
nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5
60 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonale
Schema explicite en temps :
φn+1i,j = φn
i,j −∆t
Vi,j
k=4∑k=1
(~F~S)k (57)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
Precision et stabilite
Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection
Stabilite : ∆t ≤[ |u|
Cu∆x+|v |
Cu∆y+
D
r
(1
∆x2+
1
∆y 2
)]−1
avec le
nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5
60 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonale
Schema explicite en temps :
φn+1i,j = φn
i,j −∆t
Vi,j
k=4∑k=1
(~F~S)k (57)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
Precision et stabilite
Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection
Stabilite : ∆t ≤[ |u|
Cu∆x+|v |
Cu∆y+
D
r
(1
∆x2+
1
∆y 2
)]−1
avec le
nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5
60 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonale
Schema explicite en temps :
φn+1i,j = φn
i,j −∆t
Vi,j
k=4∑k=1
(~F~S)k (57)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
Precision et stabilite
Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection
Stabilite : ∆t ≤[ |u|
Cu∆x+|v |
Cu∆y+
D
r
(1
∆x2+
1
∆y 2
)]−1
avec le
nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5
60 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonale
Schema explicite en temps :
φn+1i,j = φn
i,j −∆t
Vi,j
k=4∑k=1
(~F~S)k (57)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
Precision et stabilite
Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection
Stabilite : ∆t ≤[ |u|
Cu∆x+|v |
Cu∆y+
D
r
(1
∆x2+
1
∆y 2
)]−1
avec le
nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5
60 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal
Vi,j
~Si,j+1/2 (i + 1, j + 1)
(i , j)
(i + 1, j)
(i , j + 1)
~Si+1/2,j~Si−1/2,j
~Si,j−1/2x(i , j)
y(i , j)
Equation 15 pour un volume quadrilateral
∂
∂t(ρφV )i,j +
k=4∑k=1
(~F~S)k = 0 avec k interfaces i±1/2, j et i , j±1/2 (58)
~Sk ne sont plus colineaires avec les axes X et Y
61 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal
Vi,j
~Si,j+1/2 (i + 1, j + 1)
(i , j)
(i + 1, j)
(i , j + 1)
~Si+1/2,j~Si−1/2,j
~Si,j−1/2x(i , j)
y(i , j)
Equation 15 pour un volume quadrilateral
∂
∂t(ρφV )i,j +
k=4∑k=1
(~F~S)k = 0 avec k interfaces i±1/2, j et i , j±1/2 (58)
~Sk ne sont plus colineaires avec les axes X et Y
61 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal
Vi,j
~Si,j+1/2 (i + 1, j + 1)
(i , j)
(i + 1, j)
(i , j + 1)
~Si+1/2,j~Si−1/2,j
~Si,j−1/2x(i , j)
y(i , j)
Equation 15 pour un volume quadrilateral
∂
∂t(ρφV )i,j +
k=4∑k=1
(~F~S)k = 0 avec k interfaces i±1/2, j et i , j±1/2 (58)
~Sk ne sont plus colineaires avec les axes X et Y
61 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decomposition des vecteurs surfaciques
On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si,j−1/2
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j
+~Syi−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2
+~Syi,j−1/2
etc...
Les composantes des vecteurs ~Sx
et ~Sy se calculent aisement :
~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j
(yni,j+1 − yni,j )
~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j
(xni,j+1 − xni,j )
ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j
sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.
62 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decomposition des vecteurs surfaciques
On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si,j−1/2
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j
+~Syi−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2
+~Syi,j−1/2
etc...
Les composantes des vecteurs ~Sx
et ~Sy se calculent aisement :
~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j
(yni,j+1 − yni,j )
~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j
(xni,j+1 − xni,j )
ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j
sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.
62 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decomposition des vecteurs surfaciques
On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si,j−1/2
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j
+~Syi−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2
+~Syi,j−1/2
etc...
Les composantes des vecteurs ~Sx
et ~Sy se calculent aisement :
~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j
(yni,j+1 − yni,j )
~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j
(xni,j+1 − xni,j )
ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j
sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.
62 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decomposition des vecteurs surfaciques
On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si,j−1/2
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j
+~Syi−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2
+~Syi,j−1/2
etc...
Les composantes des vecteurs ~Sx
et ~Sy se calculent aisement :
~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j
(yni,j+1 − yni,j )
~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j
(xni,j+1 − xni,j )
ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j
sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.
62 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decomposition des vecteurs surfaciques
On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si,j−1/2
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j
+~Syi−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2
+~Syi,j−1/2
etc...
Les composantes des vecteurs ~Sx
et ~Sy se calculent aisement :
~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j
(yni,j+1 − yni,j )
~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j
(xni,j+1 − xni,j )
ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j
sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.
62 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decomposition des vecteurs surfaciques
On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si,j−1/2
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j
+~Syi−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2
+~Syi,j−1/2
etc...
Les composantes des vecteurs ~Sx
et ~Sy se calculent aisement :
~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j
(yni,j+1 − yni,j )
~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j
(xni,j+1 − xni,j )
ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j
sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.
62 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decomposition des vecteurs surfaciques
On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si,j−1/2
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j
+~Syi−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2
+~Syi,j−1/2
etc...
Les composantes des vecteurs ~Sx
et ~Sy se calculent aisement :
~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j
(yni,j+1 − yni,j )
~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j
(xni,j+1 − xni,j )
ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j
sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.
62 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux advectif
Flux advectif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fa~S)i−1/2,j = (φ~u~Sx )i−1/2,j + (φ~v~Sy )i−1/2,j
Face est (i + 1/2, j) : (~Fa~S)i+1/2,j = (φ~u~Sx )i+1/2,j + (φ~v~Sy )i+1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fa~S)i,j−1/2 = (φ~u~Sx )i,j−1/2 + (φ~v~Sy )i,j−1/2
Face sud (i , j + 1/2) : (~Fa~S)i,j+1/2 = (φ~u~Sx )i,j+1/2 + (φ~v~Sy )i,j+1/2
(φ~u)i±1/2,j (φ~v)i±1/2,j (φ~u)i,j±1/2 (φ~v)i,j±1/2 peuvent etre evalues al’aide du schema upwind 28, MUSCL 43 etc...
63 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux advectif
Flux advectif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fa~S)i−1/2,j = (φ~u~Sx )i−1/2,j + (φ~v~Sy )i−1/2,j
Face est (i + 1/2, j) : (~Fa~S)i+1/2,j = (φ~u~Sx )i+1/2,j + (φ~v~Sy )i+1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fa~S)i,j−1/2 = (φ~u~Sx )i,j−1/2 + (φ~v~Sy )i,j−1/2
Face sud (i , j + 1/2) : (~Fa~S)i,j+1/2 = (φ~u~Sx )i,j+1/2 + (φ~v~Sy )i,j+1/2
(φ~u)i±1/2,j (φ~v)i±1/2,j (φ~u)i,j±1/2 (φ~v)i,j±1/2 peuvent etre evalues al’aide du schema upwind 28, MUSCL 43 etc...
63 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux advectif
Flux advectif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fa~S)i−1/2,j = (φ~u~Sx )i−1/2,j + (φ~v~Sy )i−1/2,j
Face est (i + 1/2, j) : (~Fa~S)i+1/2,j = (φ~u~Sx )i+1/2,j + (φ~v~Sy )i+1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fa~S)i,j−1/2 = (φ~u~Sx )i,j−1/2 + (φ~v~Sy )i,j−1/2
Face sud (i , j + 1/2) : (~Fa~S)i,j+1/2 = (φ~u~Sx )i,j+1/2 + (φ~v~Sy )i,j+1/2
(φ~u)i±1/2,j (φ~v)i±1/2,j (φ~u)i,j±1/2 (φ~v)i,j±1/2 peuvent etre evalues al’aide du schema upwind 28, MUSCL 43 etc...
63 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux advectif
Flux advectif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fa~S)i−1/2,j = (φ~u~Sx )i−1/2,j + (φ~v~Sy )i−1/2,j
Face est (i + 1/2, j) : (~Fa~S)i+1/2,j = (φ~u~Sx )i+1/2,j + (φ~v~Sy )i+1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fa~S)i,j−1/2 = (φ~u~Sx )i,j−1/2 + (φ~v~Sy )i,j−1/2
Face sud (i , j + 1/2) : (~Fa~S)i,j+1/2 = (φ~u~Sx )i,j+1/2 + (φ~v~Sy )i,j+1/2
(φ~u)i±1/2,j (φ~v)i±1/2,j (φ~u)i,j±1/2 (φ~v)i,j±1/2 peuvent etre evalues al’aide du schema upwind 28, MUSCL 43 etc...
63 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux advectif
Flux advectif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fa~S)i−1/2,j = (φ~u~Sx )i−1/2,j + (φ~v~Sy )i−1/2,j
Face est (i + 1/2, j) : (~Fa~S)i+1/2,j = (φ~u~Sx )i+1/2,j + (φ~v~Sy )i+1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fa~S)i,j−1/2 = (φ~u~Sx )i,j−1/2 + (φ~v~Sy )i,j−1/2
Face sud (i , j + 1/2) : (~Fa~S)i,j+1/2 = (φ~u~Sx )i,j+1/2 + (φ~v~Sy )i,j+1/2
(φ~u)i±1/2,j (φ~v)i±1/2,j (φ~u)i,j±1/2 (φ~v)i,j±1/2 peuvent etre evalues al’aide du schema upwind 28, MUSCL 43 etc...
63 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux advectif
Flux advectif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fa~S)i−1/2,j = (φ~u~Sx )i−1/2,j + (φ~v~Sy )i−1/2,j
Face est (i + 1/2, j) : (~Fa~S)i+1/2,j = (φ~u~Sx )i+1/2,j + (φ~v~Sy )i+1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fa~S)i,j−1/2 = (φ~u~Sx )i,j−1/2 + (φ~v~Sy )i,j−1/2
Face sud (i , j + 1/2) : (~Fa~S)i,j+1/2 = (φ~u~Sx )i,j+1/2 + (φ~v~Sy )i,j+1/2
(φ~u)i±1/2,j (φ~v)i±1/2,j (φ~u)i,j±1/2 (φ~v)i,j±1/2 peuvent etre evalues al’aide du schema upwind 28, MUSCL 43 etc...
63 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Flux-splitting : decentrement selon les directions X (vitesse u) et Y(vitesse v)
Par exemple, pour la face sud (i , j − 1/2) :
(φu)i,j−1/2 =
(φu)i,j si u ≥ 0
(φu)i,j−1 si u < 0
(φv)i,j−1/2 =
(φv)i,j−1 si v ≥ 0
(φv)i,j si v < 0
Cette approche fonctionne mais elle introduit la duffision numeriquesupplementaire.
64 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Flux-splitting : decentrement selon les directions X (vitesse u) et Y(vitesse v)
Par exemple, pour la face sud (i , j − 1/2) :
(φu)i,j−1/2 =
(φu)i,j si u ≥ 0
(φu)i,j−1 si u < 0
(φv)i,j−1/2 =
(φv)i,j−1 si v ≥ 0
(φv)i,j si v < 0
Cette approche fonctionne mais elle introduit la duffision numeriquesupplementaire.
64 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Flux-splitting : decentrement selon les directions X (vitesse u) et Y(vitesse v)
Par exemple, pour la face sud (i , j − 1/2) :
(φu)i,j−1/2 =
(φu)i,j si u ≥ 0
(φu)i,j−1 si u < 0
(φv)i,j−1/2 =
(φv)i,j−1 si v ≥ 0
(φv)i,j si v < 0
Cette approche fonctionne mais elle introduit la duffision numeriquesupplementaire.
64 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Decentrement base sur le signe de la vitesse normale a la face un = ~U · ~nselon Peric [2].
On s’interesse au signe de ~U · ~n. P.ex., pour la face nord i , j − 1/2
sign(~U · ~n)i,j−1/2 = sign(~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2)
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Vi,j−1
~Si,j−1/2
~Ui,j−1
~Ui,j
~Ui,j−1/2 =???
65 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Decentrement base sur le signe de la vitesse normale a la face un = ~U · ~nselon Peric [2].
On s’interesse au signe de ~U · ~n. P.ex., pour la face nord i , j − 1/2
sign(~U · ~n)i,j−1/2 = sign(~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2)
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Vi,j−1
~Si,j−1/2
~Ui,j−1
~Ui,j
~Ui,j−1/2 =???
65 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Vi,j−1
~Si,j−1/2
~Ui,j−1
~Ui,j Soit :
ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2
URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2
Alors :
ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2
+ ~Syi,j−1/2)
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )
ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.
66 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Vi,j−1
~Si,j−1/2
~Ui,j−1
~Ui,j Soit :
ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2
URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2
Alors :
ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2
+ ~Syi,j−1/2)
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )
ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.
66 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Vi,j−1
~Si,j−1/2
~Ui,j−1
~Ui,j Soit :
ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2
URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2
Alors :
ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2
+ ~Syi,j−1/2)
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )
ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.
66 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Vi,j−1
~Si,j−1/2
~Ui,j−1
~Ui,j Soit :
ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2
URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2
Alors :
ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2
+ ~Syi,j−1/2)
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )
ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.
66 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Vi,j−1
~Si,j−1/2
~Ui,j−1
~Ui,j Soit :
ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2
URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2
Alors :
ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2
+ ~Syi,j−1/2)
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )
ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.
66 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Vi,j−1
~Si,j−1/2
~Ui,j−1
~Ui,j Soit :
ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2
URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2
Alors :
ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2
+ ~Syi,j−1/2)
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )
ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.
66 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2
(i + 1, j)
(i , j)
(i , j + 1)
~Si−1/2,j
~Syi,j−1/2
~Sxi−1/2,j
y(i , j)
x(i , j)
~Sxi,j−1/2
~Syi−1/2,j
Vi,j
Vi,j−1
~Si,j−1/2
~Ui,j−1
~Ui,j Soit :
ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2
URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2
Alors :
ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2
+ ~Syi,j−1/2)
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2
= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )
ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.
66 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2
URn = (~ui,j + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2
+ ~Syi,j−1/2)
= ~ui,j~Sxi,j−1/2
+ ~ui,j~Syi,j−1/2
+ ~vi,j~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j~Syi,j−1/2
= ~ui,j~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j~Syi,j−1/2
= ui,j (yni+1,j − yni,j )− vi,j (xni+1,j − xni,j )
Calcul du flux advectif en (i , j − 1/2)
(φu)i,j−1/2 =
(φu)i,j si UL
n > 0 et URn > 0
(φu)i,j−1 si ULn ≤ 0 et UR
n ≤ 0
0 autrement
67 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2
URn = (~ui,j + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2
+ ~Syi,j−1/2)
= ~ui,j~Sxi,j−1/2
+ ~ui,j~Syi,j−1/2
+ ~vi,j~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j~Syi,j−1/2
= ~ui,j~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j~Syi,j−1/2
= ui,j (yni+1,j − yni,j )− vi,j (xni+1,j − xni,j )
Calcul du flux advectif en (i , j − 1/2)
(φu)i,j−1/2 =
(φu)i,j si UL
n > 0 et URn > 0
(φu)i,j−1 si ULn ≤ 0 et UR
n ≤ 0
0 autrement
67 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2
URn = (~ui,j + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2
+ ~Syi,j−1/2)
= ~ui,j~Sxi,j−1/2
+ ~ui,j~Syi,j−1/2
+ ~vi,j~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j~Syi,j−1/2
= ~ui,j~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j~Syi,j−1/2
= ui,j (yni+1,j − yni,j )− vi,j (xni+1,j − xni,j )
Calcul du flux advectif en (i , j − 1/2)
(φu)i,j−1/2 =
(φu)i,j si UL
n > 0 et URn > 0
(φu)i,j−1 si ULn ≤ 0 et UR
n ≤ 0
0 autrement
67 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Decentrement du flux advectif - schema upwind 28
Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2
URn = (~ui,j + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2
+ ~Syi,j−1/2)
= ~ui,j~Sxi,j−1/2
+ ~ui,j~Syi,j−1/2
+ ~vi,j~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j~Syi,j−1/2
= ~ui,j~Sxi,j−1/2
+ ~vi,j~Syi,j−1/2
= ui,j (yni+1,j − yni,j )− vi,j (xni+1,j − xni,j )
Calcul du flux advectif en (i , j − 1/2)
(φu)i,j−1/2 =
(φu)i,j si UL
n > 0 et URn > 0
(φu)i,j−1 si ULn ≤ 0 et UR
n ≤ 0
0 autrement
67 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux diffusif
Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j =
− (D∂φ
∂x~ix~Sx )i−1/2,j
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 = − (D
∂φ
∂x~ix~Sx )i,j−1/2
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i,j−1/2
Comment evaluer∂φ
∂xet
∂φ
∂y?
68 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux diffusif
Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j = − (D
∂φ
∂x~ix~Sx )i−1/2,j
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 = − (D
∂φ
∂x~ix~Sx )i,j−1/2
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i,j−1/2
Comment evaluer∂φ
∂xet
∂φ
∂y?
68 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux diffusif
Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j = − (D
∂φ
∂x~ix~Sx )i−1/2,j
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 = − (D
∂φ
∂x~ix~Sx )i,j−1/2
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i,j−1/2
Comment evaluer∂φ
∂xet
∂φ
∂y?
68 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux diffusif
Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j = − (D
∂φ
∂x~ix~Sx )i−1/2,j
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 =
− (D∂φ
∂x~ix~Sx )i,j−1/2
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i,j−1/2
Comment evaluer∂φ
∂xet
∂φ
∂y?
68 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux diffusif
Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j = − (D
∂φ
∂x~ix~Sx )i−1/2,j
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 = − (D
∂φ
∂x~ix~Sx )i,j−1/2
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i,j−1/2
Comment evaluer∂φ
∂xet
∂φ
∂y?
68 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux diffusif
Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j = − (D
∂φ
∂x~ix~Sx )i−1/2,j
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 = − (D
∂φ
∂x~ix~Sx )i,j−1/2
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i,j−1/2
Comment evaluer∂φ
∂xet
∂φ
∂y?
68 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux diffusif
Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)
Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j = − (D
∂φ
∂x~ix~Sx )i−1/2,j
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i−1/2,j
Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 = − (D
∂φ
∂x~ix~Sx )i,j−1/2
−(D∂φ
∂y~iy~Sy )i,j−1/2
Comment evaluer∂φ
∂xet
∂φ
∂y?
68 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux diffusif : evaluation des derivees
Vi−1,j
(i , j)
(i + 1, j)
(i + 1, j + 1)
ξ
η
x
y
Vi,j
(i , j + 1)
∂φ
∂ξet
∂φ
∂ηpeuvent etre evaluees a l’aide du schema centre p.ex. 50
∂φ
∂xet
∂φ
∂ypeuvent etre evaluees a partir de
∂φ
∂ξet
∂φ
∂ηa l’aide d’un
changement des coordonnees (ξ, η)→ (x , y)
69 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux diffusif : evaluation des derivees
Vi−1,j
(i , j)
(i + 1, j)
(i + 1, j + 1)
ξ
η
x
y
Vi,j
(i , j + 1)
∂φ
∂ξet
∂φ
∂ηpeuvent etre evaluees a l’aide du schema centre p.ex. 50
∂φ
∂xet
∂φ
∂ypeuvent etre evaluees a partir de
∂φ
∂ξet
∂φ
∂ηa l’aide d’un
changement des coordonnees (ξ, η)→ (x , y)
69 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Flux diffusif : evaluation des derivees
Vi−1,j
(i , j)
(i + 1, j)
(i + 1, j + 1)
ξ
η
x
y
Vi,j
(i , j + 1)
∂φ
∂ξet
∂φ
∂ηpeuvent etre evaluees a l’aide du schema centre p.ex. 50
∂φ
∂xet
∂φ
∂ypeuvent etre evaluees a partir de
∂φ
∂ξet
∂φ
∂ηa l’aide d’un
changement des coordonnees (ξ, η)→ (x , y)
69 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Evaluation des derivees : changement des coordonnees
Definissons :
ξ = ξ(x , y) et η = η(x , y) (59)
Derivation donne :
∂
∂x=∂ξ
∂x
∂
∂ξ+∂η
∂x
∂
∂η(60)
ou∂
∂x= ξx
∂
∂ξ+ ηx
∂
∂η(61)
∂
∂y= ξy
∂
∂ξ+ ηy
∂
∂η(62)
avec ξx =∂ξ
∂x, ξy =
∂ξ
∂y, ηx =
∂η
∂x, ηy =
∂η
∂y
70 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Evaluation des derivees : changement des coordonnees
Definissons :
ξ = ξ(x , y) et η = η(x , y) (59)
Derivation donne :
∂
∂x=∂ξ
∂x
∂
∂ξ+∂η
∂x
∂
∂η(60)
ou∂
∂x= ξx
∂
∂ξ+ ηx
∂
∂η(61)
∂
∂y= ξy
∂
∂ξ+ ηy
∂
∂η(62)
avec ξx =∂ξ
∂x, ξy =
∂ξ
∂y, ηx =
∂η
∂x, ηy =
∂η
∂y
70 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Evaluation des derivees : changement des coordonnees
Definissons :
ξ = ξ(x , y) et η = η(x , y) (59)
Derivation donne :
∂
∂x=∂ξ
∂x
∂
∂ξ+∂η
∂x
∂
∂η(60)
ou∂
∂x= ξx
∂
∂ξ+ ηx
∂
∂η(61)
∂
∂y= ξy
∂
∂ξ+ ηy
∂
∂η(62)
avec ξx =∂ξ
∂x, ξy =
∂ξ
∂y, ηx =
∂η
∂x, ηy =
∂η
∂y
70 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Evaluation des derivees : changement des coordonnees
Definissons :
ξ = ξ(x , y) et η = η(x , y) (59)
Derivation donne :
∂
∂x=∂ξ
∂x
∂
∂ξ+∂η
∂x
∂
∂η(60)
ou∂
∂x= ξx
∂
∂ξ+ ηx
∂
∂η(61)
∂
∂y= ξy
∂
∂ξ+ ηy
∂
∂η(62)
avec ξx =∂ξ
∂x, ξy =
∂ξ
∂y, ηx =
∂η
∂x, ηy =
∂η
∂y
70 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Evaluation des derivees : changement des coordonnees
Definissons :
ξ = ξ(x , y) et η = η(x , y) (59)
Derivation donne :
∂
∂x=∂ξ
∂x
∂
∂ξ+∂η
∂x
∂
∂η(60)
ou∂
∂x= ξx
∂
∂ξ+ ηx
∂
∂η(61)
∂
∂y= ξy
∂
∂ξ+ ηy
∂
∂η(62)
avec ξx =∂ξ
∂x, ξy =
∂ξ
∂y, ηx =
∂η
∂x, ηy =
∂η
∂y
70 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Evaluation des derivees : changement des coordonnees
Definissons :
ξ = ξ(x , y) et η = η(x , y) (59)
Derivation donne :
∂
∂x=∂ξ
∂x
∂
∂ξ+∂η
∂x
∂
∂η(60)
ou∂
∂x= ξx
∂
∂ξ+ ηx
∂
∂η(61)
∂
∂y= ξy
∂
∂ξ+ ηy
∂
∂η(62)
avec ξx =∂ξ
∂x, ξy =
∂ξ
∂y, ηx =
∂η
∂x, ηy =
∂η
∂y
70 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Evaluation des derivees : calcul des metriques
En inversant le role des variables independantes :
x = x(ξ, η) et y = y(ξ, η) (63)
On peut trouver (c.f. [3] pour les details) :
ξx = Jyη ξy = −Jxη (64)
ηx = −Jyξ ηy = Jxξ (65)
avec le Jacobian de transformation J =1
xξyη − yξxη
ou p.ex. (xξ)i,j−1/2 ≈ (∆x
∆ξ)i,j =
xni+1,j − xni,j√(xni+1,j − xni,j )2 + (yni+1,j − yni,j )2
71 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Evaluation des derivees : calcul des metriques
En inversant le role des variables independantes :
x = x(ξ, η) et y = y(ξ, η) (63)
On peut trouver (c.f. [3] pour les details) :
ξx = Jyη ξy = −Jxη (64)
ηx = −Jyξ ηy = Jxξ (65)
avec le Jacobian de transformation J =1
xξyη − yξxη
ou p.ex. (xξ)i,j−1/2 ≈ (∆x
∆ξ)i,j =
xni+1,j − xni,j√(xni+1,j − xni,j )2 + (yni+1,j − yni,j )2
71 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Evaluation des derivees : calcul des metriques
En inversant le role des variables independantes :
x = x(ξ, η) et y = y(ξ, η) (63)
On peut trouver (c.f. [3] pour les details) :
ξx = Jyη ξy = −Jxη (64)
ηx = −Jyξ ηy = Jxξ (65)
avec le Jacobian de transformation
J =1
xξyη − yξxη
ou p.ex. (xξ)i,j−1/2 ≈ (∆x
∆ξ)i,j =
xni+1,j − xni,j√(xni+1,j − xni,j )2 + (yni+1,j − yni,j )2
71 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Evaluation des derivees : calcul des metriques
En inversant le role des variables independantes :
x = x(ξ, η) et y = y(ξ, η) (63)
On peut trouver (c.f. [3] pour les details) :
ξx = Jyη ξy = −Jxη (64)
ηx = −Jyξ ηy = Jxξ (65)
avec le Jacobian de transformation J =1
xξyη − yξxη
ou p.ex. (xξ)i,j−1/2 ≈ (∆x
∆ξ)i,j =
xni+1,j − xni,j√(xni+1,j − xni,j )2 + (yni+1,j − yni,j )2
71 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Evaluation des derivees : calcul des metriques
En inversant le role des variables independantes :
x = x(ξ, η) et y = y(ξ, η) (63)
On peut trouver (c.f. [3] pour les details) :
ξx = Jyη ξy = −Jxη (64)
ηx = −Jyξ ηy = Jxξ (65)
avec le Jacobian de transformation J =1
xξyη − yξxη
ou p.ex. (xξ)i,j−1/2 ≈ (∆x
∆ξ)i,j =
xni+1,j − xni,j√(xni+1,j − xni,j )2 + (yni+1,j − yni,j )2
71 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal
Schema explicite en temps :
φn+1i,j = φn
i,j −
∆t
Vi,j
k=4∑k=1
(~F~S)k (66)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
Precision
Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection
72 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal
Schema explicite en temps :
φn+1i,j = φn
i,j −∆t
Vi,j
k=4∑k=1
(~F~S)k (66)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
Precision
Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection
72 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal
Schema explicite en temps :
φn+1i,j = φn
i,j −∆t
Vi,j
k=4∑k=1
(~F~S)k (66)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
Precision
Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection
72 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal
Schema explicite en temps :
φn+1i,j = φn
i,j −∆t
Vi,j
k=4∑k=1
(~F~S)k (66)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
Precision
Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection
72 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal
Schema explicite en temps :
φn+1i,j = φn
i,j −∆t
Vi,j
k=4∑k=1
(~F~S)k (66)
Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)
Advection : decentree (eq. 28)
Diffusion : centree (eq. 50)
Precision
Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection
72 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Advection-Diffusion 2D
Maillage non-orthogonal
Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal
Stabilite
∆ti,j ≤[|ui,j |(|~Sxi±1/2,j
|+ |~Sxi,j±1/2|)
CuVi,j+|vi,j |(|~Syi±1/2,j
|+ |~Syi,j±1/2|)
CuVi,j
+D
r
(1
∆ξ2+
1
∆η2
)]−1
(67)
∆t = min(∆ti,j ) ∀ i , j (68)
avec le nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5
73 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
Conditions aux limites de type Von Neumann
Derivee est imposee ou interpolee sur les faces des volumes des bords dudomaine de calcul
Fdi,1/2= (D
∂φ
∂x)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme
diffusif
Fdimax+1/2,j= (D
∂φ
∂x)imax+1/2,j = (D
∂φ
∂x)imax−1/2,j : condition de
sortie pour le terme diffusif
Flux est impose ou interpole sur les faces des volumes des bords dudomaine de calcul
Faimax+1/2,j= (φu)imax+1/2,j = (φu)imax−1/2,j : condition de sortie
pour le terme advectif (schema d’ordre 2 en espace)
74 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
Conditions aux limites de type Von Neumann
Derivee est imposee ou interpolee sur les faces des volumes des bords dudomaine de calcul
Fdi,1/2= (D
∂φ
∂x)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme
diffusif
Fdimax+1/2,j= (D
∂φ
∂x)imax+1/2,j = (D
∂φ
∂x)imax−1/2,j : condition de
sortie pour le terme diffusif
Flux est impose ou interpole sur les faces des volumes des bords dudomaine de calcul
Faimax+1/2,j= (φu)imax+1/2,j = (φu)imax−1/2,j : condition de sortie
pour le terme advectif (schema d’ordre 2 en espace)
74 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
Conditions aux limites de type Von Neumann
Derivee est imposee ou interpolee sur les faces des volumes des bords dudomaine de calcul
Fdi,1/2= (D
∂φ
∂x)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme
diffusif
Fdimax+1/2,j= (D
∂φ
∂x)imax+1/2,j = (D
∂φ
∂x)imax−1/2,j : condition de
sortie pour le terme diffusif
Flux est impose ou interpole sur les faces des volumes des bords dudomaine de calcul
Faimax+1/2,j= (φu)imax+1/2,j = (φu)imax−1/2,j : condition de sortie
pour le terme advectif (schema d’ordre 2 en espace)
74 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
Conditions aux limites de type Dirichlet
Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)
φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree
φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie
φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif
Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul
Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif
Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif
75 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
Conditions aux limites de type Dirichlet
Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)
φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree
φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie
φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif
Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul
Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif
Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif
75 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
Conditions aux limites de type Dirichlet
Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)
φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree
φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie
φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif
Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul
Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif
Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif
75 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
Conditions aux limites de type Dirichlet
Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)
φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree
φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie
φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif
Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul
Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif
Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif
75 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
Conditions aux limites de type Dirichlet
Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)
φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree
φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie
φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif
Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul
Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif
Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif
75 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
Conditions aux limites de type Dirichlet
Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)
φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree
φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie
φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif
Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul
Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif
Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif
75 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
Conditions aux limites de type Dirichlet
Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)
φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree
φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie
φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif
Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul
Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif
Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif
75 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
Conditions aux limites de type Dirichlet
Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)
φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree
φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie
φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif
Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul
Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif
Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif
75 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
[1] A. Harten.High resolution scheme for hyperbolic conservation laws.Journal of Computational Physics, 49 :357–393, 1983.
[2] Joel H.Ferziger and Milovan Peric.Computational Methods for Fluid Dynamics.Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1996.
[3] Klaus A. Hoffmann.Computational FLuid Dynamics for Engineers.SciTech Typing Service of Austin, Texas, 1989.
[4] A. Kurganov and E. Tadmor.Solution of two-dimensional riemann problems for gaz dynamicswithout riemann problem solvers.Numer. Methods Partia Differential Equations, 18 :584–608, 2002.
[5] P.L.Roe.Approximate riemann solvers, parameter vectors and differenceschemes.Journal of Computational Physics, 43 :357–372, 1981.
75 / 75
Methode ”Volumes Finis”
Conditions aux limites
[6] S.Godounov, A.Zabrodine, M.Ivanov, A.Kraıko, and G.Prokopov.Resolution Numerique des Problemes Multidimensionnels de laDynamique des Gaz.Edition Mir, Moscou, 1979.
[7] B. van Leer.Towards the ultimate conservative difference scheme. v. asecond-order sequel to godunov’s method.Journal of Computational Physics, 32 :101–136, 1979.
75 / 75