Etude de fonctionsMarche à suivre pour étudier une fonction :

- Rechercher l’ensemble de définition de la fonction- Étudier la parité de la fonction- Etablir le tableau du signe de la fonction- Travailler les asymptotes- Situer le graphe de la fonction par rapport aux éventuelles asymptotes- Étudier la croissance et la courbure- Dessin du graphe de la fonction

Concrètement : un exemple

Ensemble de définitionED = IR – {1}

Parité

; ; -

f(x) ≠ f(-x) ; f(x) ≠ -f(x) la fonction n’est ni paire, ni impaire. Elle est quelconque.

Signe de la fonction

x -2 0 1x²+2x + 0 - 0 + +(x-1)² + + + II +f(x) + 0 - 0 + II +

AsymptotesLa fonction n’est pas définie en x = 1 Il y a une AV (asymptote verticale) en x = 1.

Le numérateur et le dénominateur sont de même degré (degré 2) Il y a une AH (asymptote horizontale). Comment l’obtenir ? Elle est égale au rapport des coefficients des x² respectifs du numérateur et du dénominateur. En clair :

on a 1x² en haut et 1x² en bas. AH en y = 1.

Position de la courbe par rapport aux asymptotesAfin de connaître la position de la courbe par rapport aux asymptotes, on utilise δ, qui est en fait le reste obtenu en effectuant la division euclidienne pour la fonction. Ici donc, δ sera le reste de la division suivante :

Il faut donc effectuer la division euclidienne, telle qu’effectuée ci-dessous :

Premièrement, (x-1)² = x²-2x+1.

x² +2x x² -2x +1-( x² -2x +1) 1

4x -1

Il reste donc . C’est notre δ. On va maintenant étudier son signe :

x 1/4 14x-1 - 0 + +(x-1)² + + II +δ(x) - 0 + II +

Dessous Coupe Dessus Vers AV Dessus

Croissance et courbureIl faut ici calculer les dérivées première et seconde.

x -1/2 1-2(2x+1) + 0 - -(x-1)³ - - 0 +f’(x) - 0 + II -f(x) Descend Min Monte Descend

Minima en (-1/2 ; -1/3)

On a étudié la croissance avec la dérivée première, ce qui nous permet de savoir quand la courbe « monte » et quand elle « descend ».

On peut maintenant travailler sur la courbure, avec la dérivée seconde, pour connaître les points d’inflexion de notre courbe.

x -5/4 18x+10 - 0 + +(x-1)⁴ + + 0 +f’’(x) - 0 + II +f(x) Concave PI Convexe Convexe

PI (Point d’Inflexion) en (-5/4 ; -5/27)

Graphe de la fonction

-15 -10 -5 5 10

10

20

30

40

50

Un cas un peu particulier : l’asymptote oblique (AO)La fonction ne va pas être entièrement étudiée ici, mais on s’intéressera principalement au calcul des asymptotes, pour comprendre ce qui se passe quand on a une asymptote oblique.

En cherchant l’ensemble de définition (ED) de cette fonction, on verra qu’elle n’est pas définie en x = -3. On a donc ici une asymptote verticale (AV). Regardons maintenant le degré du numérateur, et comparons-le à celui du dénominateur. Cette fois-ci, le degré du numérateur est exactement supérieur de 1 à celui du dénominateur. En d’autres termes, en haut on a x² et en bas x. Le cas serait identique dans une fonction si on avait x³ en haut et x² en bas.

Dans le cas d’une différence exactement égale à 1 entre les plus hauts degrés de x du numérateur et du dénominateur, on a une asymptote oblique. Pour la trouver, il faut effectuer la division euclidienne, comme pour trouver δ.

x² +x +2 x +3-( x² +3x) x -2

-2x +2-( -2x -6)

8On a donc une AO en y = x-2. Il est à noter que l’équation de cette AO est l’équation d’une droite. Ce qui est parfaitement visible sur le graphe de la fonction (ci-dessous). De plus, nous avons déjà notre δ qui vaut :

-15 -10 -5 5 10

-40

-20

20

40