16

1 Inleiding

Gattegno was een van de hoogleraren en lerarenopleidersaan mijn instituut, die een van zijn collega’s zich herin-nerde als ‘(was) always experimenting with the latestgadgetry from coloured blocks to electrical devices’(Dixon, 1986, pag.73). Ik voel me verwant met Gattegnosobsessie voor nieuwigheden, maar daar gaat het mij hierniet om. Ik denk namelijk dat achter deze obsessie eengrote interesse schuilgaat voor onderwijs in het alge-meen, en reken-wiskundeonderwijs in het bijzonder. Watzou Gattegno gedacht hebben van computers zoals wijdie nu kennen, waarbij een laptop van nog geen twee kiloeen grotere rekenkracht heeft dan een kamer vol appara-ten in zijn tijd, waarbij die laptop ook nog eens draadloosverbonden is met het internet en aldus met miljarden pa-gina’s aan informatie? Het spreekt voor zich dat het voorGattegno bij deze nieuwe technologie liefde op het eerstegezicht zou zijn geweest - zoals dat ook voor mij gold -en dat het voor hem niet moeilijk geweest zou zijn te be-denken hoe dit zou kunnen worden uitgebuit ten bate vanhet reken-wiskundeonderwijs.Ik ga in dit artikel in op twee zaken waarover ik graag methem van gedachten had willen wisselen. Ik doe dit in devorm van een betoog, omdat een gedachtewisseling nietmeer tot de mogelijkheden behoort.

Het eerste punt betreft het verschil tussen de computer enalle andere nieuwigheden waarmee Gattegno wellichthad willen spelen. Ik wil zeker niet beweren dat ‘de com-puter’ (een woord dat eigenlijk niets zegt) een onont-koombare invloed heeft op het leren. Maar het is wel zin-vol om na te gaan of de computer verandert óf dat het derepresentaties van lerenden zijn die veranderen, daarbijondersteund door het nieuwe medium. Echter, er is dui-

delijk sprake van een verandering en dat moeten we mijnsinziens aangrijpen.

De moeilijkheden bij het benutten van deze mogelijkhe-den brengt me bij mijn tweede punt. De (Cuisenaire)staafjes van Gattegno kunnen makkelijk worden omgezetin een computerversie. Ik ben er zelfs zeker van dat eenkorte zoektocht op internet al leidt tot het vinden vanmeer dan één variant. Maar wat zou een computerversietoevoegen aan de staafjes van Gattegno? Vanuit een di-dactisch perspectief is dit een belangrijke vraag. Een fun-damentelere vraag betreft de manier waarop de kennis diegemodelleerd is door de staafjes, getransformeerd kanworden door het medium te veranderen van hout naarpixels op een computerscherm. En verder, wat betekenthet wanneer we spreken van kennis ‘gemodelleerd’ viaeen technologie: kunnen we aannemen dat kennis onge-schonden de overgang van de ene technologie naar de an-dere kan maken? Deze epistemologische vragen brengenons terug bij didactische vragen: hoe kunnen nieuwe ken-theorieën en bijbehorende concrete en dynamische repre-sentaties leiden tot het omvormen van het leren in zowelcognitief als sociaal opzicht?

Deze kwesties roepen een groot aantal zaken op die hieronbesproken moeten blijven, maar tonen tegelijkertijd decomplexe problemen aan waarmee de maatschappijwordt geconfronteerd door de toegenomen rekenkrachtvan machines. De kwesties tonen wellicht het erkennenvan representaties als centraal element van de wiskundeen als een bijdrage aan onze collectieve zoektocht naareen beter inzicht hoe leerlingen reken-wiskundige ideeënbegrijpen. Kaput & Shaffer (2002) wijzen op de socio-ge-netische basis voor representatiesystemen voor wiskun-de. Zij geven aan hoe representaties en notatiesystemenzich in de loop van de tijd ontwikkelden en ons lezen enbeschrijven van de wereld, inclusief de wiskundige we-

Reken-wiskundige betekenissen gaan gelijk op met representaties. In dit artikel wordt ingegaan op de veranderende rollenvan rekenen-wiskunde en nieuwe representaties die voortkomen uit de alomtegenwoordigheid van rekenmodellen, om ver-volgens de implicaties hiervan na te gaan voor het leren van rekenen-wiskunde. Tot de kennis die nodig is om te overlevenin moderne samenlevingen hoort het ontwikkelen van een meta-epistemologische houding - dat wil zeggen het ontwikkelenvan een gevoel van mechanismen voor de onderliggende modellen bij sociale en professionele communicatie. Ik laat ditzien aan de hand van recent onderzoek aan de reken-wiskundige epistemologie - kennistheorie - van bouwkundigen. Uit-eindelijk kom ik zo uit bij wat dit betekent voor het ontwerpen van een reken-wiskundige leeromgeving in de toekomst,waarbij ik inga op enkele gegevens uit het ‘Playground Project’.

R. Noss London University, Department of Mathematics

Met het oog op het leren van rekenen-wiskunde inhet digitale tijdperk1,2

17 jaargang 23 voorjaar 20041

reld, vormden. Zij laten ook zien hoe reken-wiskundigenotaties zich ontwikkelden in een periode van vele dui-zenden jaren, hoe deze notaties slechts de intellectueleelite dienden en hoe gekozen representaties afgeleid wa-ren van beschikbare statische media (vgl. Kaput, Noss &Hoyles, 2002).

Ik geef hiervan een voorbeeld van buiten de wiskunde.Laten we daarvoor kijken naar een van de beroemdsteschilderijen ter wereld, ‘Gezicht op Delft’ van JohannesVermeer (figuur 1). Zoals iedereen weet is het een ge-zicht op de stad, ‘gewoon’ een gezicht. Ik benadruk hetwoord ‘gewoon’, omdat het schilderij zo waarheidsge-trouw als mogelijk laat zien hoe de stad eruitzag. (Na-tuurlijk moeten we eigenlijk zeggen ‘wat Vermeer zag’,maar laten we dit filosofische debat over de bemiddelen-de rol van de observator hier niet aangaan. Het is zomaareen gezicht, een dat zelfs voorziet in een waarheidsge-trouw beeld.)

figuur 1: Vermeers gezicht op Delft

Wat zien we? Water, wolken, schaduwen, gebouwen(waarvan enkele er nu nog staan) en lopende mensen ofmensen die er wellicht gewoon maar staan. Het lijkt bijnaeen ongepaste vraag: zien we wat we zien? Maar de vraaglijkt gemakkelijk, omdat we teruggaan in de tijd. In zijnboek ‘The World on Paper’ laat Olson (1994) zien hoeHollandse schilders in de zeventiende eeuw de tot dan toeoverheersende rol van tekst als algemene manier om dewereld te begrijpen, ter discussie stelden. Hij laat ookzien hoe, door oppervlakkige beschrijvingen te verruilenvoor diepgaande verhalende elementen, Vermeers schoolde betekenissen die behoorden bij verf als medium veran-derde. Of, zoals een van Vermeers tijdgenoten noteerde,hij maakte dat ‘wolken werden gezien als wolken en nietals symbolen voor de hemel’.Tekst is overigens niet altijd het medium geweest om dewereld te representeren. Het was vooral de uitvinding vanhet drukken van schrift die toestond dat tekst kon worden

gezien als representatie. Deze nieuwe technologie voor-zag in een gemeenschappelijke vorm voor de productieen interpretatie van teksten. Deze technische en socialeverandering benadrukte de beschrijvende kracht vantekst, waarmee de betekenis ervan los kwam te staan vande auteur. Vermeer vocht beschrijvingen in teksten aanals een manier om te laten zien hoe dingen waren, en datwas een verandering in interpretatie die zijn tijdgenotendeed opschrikken en die zij zich nog eigen moesten ma-ken.3 Het is moeilijk om ons voor te stellen welke gewel-dige verandering het schilderij in beeld brengt; het ismoeilijk op waarde te schatten omdat wij het als iets van-zelfsprekend beschouwen. Het is belangrijk om er bewustvan te zijn dat representatiesystemen een cruciale rol spe-len bij het betekenis geven aan bepaalde situaties. Zij bie-den ons de mogelijkheid te communiceren over beteke-nissen en deze te construeren op een manier die (letter-lijk) ondenkbaar zou zijn zonder deze systemen. Demanier waarop betekenissen en representaties verwevenkunnen raken en, meer fundamenteel, hoe doorzichtig hetrepresentationele medium in de loop van de tijd wordt, iszichtbaar in het volgende voorbeeld (Tufte, 1983,pag.28). Figuur 2 toont een grafisch weergegeventijdreeks die de inclinatie van de planeten aan de hemelbeschrijft.

figuur 2: een grafisch weergegeven reeks uit detiende eeuw, Tufte, 1983, pag.28

Volgens Tufte is dit het oudst bestaande voorbeeld vaneen grafische tijdreeks, en is het duizend jaar oud. De gra-fiek komt uit een tekst die op kloosterscholen werd ge-bruikt en was hoogstwaarschijnlijk dus bedoeld als com-municatiemiddel. Het is interessant dat de volgende gra-fiek die een tijdreeks weergeeft pas achthonderd jaar lateropdook, niet alleen omdat het bijna een millennium duur-de voordat deze representatie van gegevens werd geac-cepteerd, maar ook dat, toen de representatie eenmaalbreed werd geaccepteerd, het de representatie werd omeen bepaald soort informatie over te dragen. VolgensTufte waren in de periode 1974-1980 driekwart van allegepubliceerde grafieken grafische tijdreeksen. Ik kan niet nagaan of Tufte tot in detail gelijk heeft, maarwe kunnen aannemen dat zijn observatie in essentie cor-rect is. Dit laat zien dat zodra een representatie onze cul-tuur is binnengetreden, we grote moeite hebben om dievervolgens te onderscheiden van de wiskundige symbo-

18

len zelf. (We kunnen deze onzichtbaarheid van de repre-sentatie goed zien als we een ongebruikelijke, maar tri-viale verandering aanbrengen, bijvoorbeeld als we in degangbare uitdrukking y = ax + b de letters a en b als va-riabelen beschouwen en x en y als constanten. We zullenoverigens in het vervolg zien dat dit soort ‘willekeurige’veranderingen niet zo triviaal zijn wanneer ze verbandhouden met rekentechnieken.)Als laatste kanttekening bij de kracht van representatieswil ik iets naar voren brengen dat ik beschouw als eencentraal thema, namelijk de manier waarop wiskundigekennis functioneert in overleg tussen beroepsbeoefena-ren. Het volgende is een citaat van een werkbouwkundi-ge. (Ik zal hier later meer over schrijven en dan ook decontext schetsen.)

‘… bouwkundige kennis omvat veel geschiedenis; om te ko-men tot het punt waarop al het gedrag van straling kan wor-den gegeneraliseerd tot een enkele vectorvergelijking, diewelhaast te onderwijzen is aan een kind van tien, betekenteen onvoorstelbare gecondenseerde indikking van miljoenenmanjaren werk. De tienjarige van nu kan dingen die Newtonniet kon.’

Vele anderen observeerden dit (zie hiervoor onder anderede bespreking van diSessa over de manier waarop Gali-leo’s bewerking van beweging als natuurkundig ver-schijnsel kan worden herschreven met algebraïsche mid-delen die Galileo niet ter beschikking had, en daarmeebijna triviaal wordt (diSessa, 2000)). Dit geldt evenzeerop cultureel en sociaal niveau als op individueel niveau.De bouwkundige van het bovenstaande citaat speelde eensleutelrol bij de bouw van het nieuwe dak van het BritishMuseum in Londen (fig.3).

figuur 3: het dak van ‘the Great Court’, British Museum, Londen

Dit is een structuur met meer dan drieduizend tegelswaarvan er geen twee gelijk zijn, bestaand uit zo’n driekilometer ijzeren stangen die minder dan drie millimeter

afwijken. Het ontwerp - en natuurlijk de constructie - vanzo’n bouwwerk zou onmogelijk zijn geweest zonder eencomputer. Maar dat een computer een bepaald ontwerpmogelijk maakt, is niet het belangrijkste: ontwerpen metde computer leidt tot een nieuwe manier van denken. Hethelpt ontwerpers bij het ontwerpen en biedt tegelijkertijdde mogelijkheid het ontwerp voorstelbaar te maken vooranderen.De constructie van het dak van het British Museum laatniet alleen een andere manier van berekenen zien, maargeeft ook een voorbeeld van de manier waarop rekenkun-dige representaties culturen opnieuw kunnen vormen.Deze transformatie in representaties vormt het centralegegeven in ‘post-industriële’ samenlevingen, maar is,volgens mij onvoldoende theoretisch doordacht vanuit dewiskunde en de reken-wiskundedidactiek. Ik wil daaromenkele vragen formuleren die dit oproept.

2 Wiskunde in kenniseconomieën

Moderne samenlevingen in de ontwikkelde wereld - dezogenoemde kenniseconomieën - zijn meer ‘verwiskun-digd’ dan ooit. Systemen die ons sociale en professioneleleven beheersen zijn in essentie wiskundig van aard. Inzo’n wereld geldt dat je, om de wereld waarin je leeft tebegrijpen, moet leren denken in termen van relaties tus-sen de veelal wiskundige elementen in die wereld en mo-dellen die hieraan ten grondslag liggen. Dat wil overigensniet zeggen dat iedereen een wiskundige zou moeten zijn,maar enige kennis van deze modellen is nodig om tevoorkomen dat men een te beperkte of misleidende kijkheeft op deze systemen. Elders (Noss, 1997) besprak ikde economische en sociale implicaties van deze situatie,en ga daarop hier niet in. In plaats daarvan ga ik in op deimplicaties voor het leren gebruiken van rekenen-wis-kunde. Beschouw daartoe het eenvoudige voorbeeld uit figuur 4.Wanneer de grafiek van een tijdserie de meest geliefderepresentatie van onze tijd is, dan staat de tabel met nu-merieke data op een goede tweede plaats. Het creëren vandergelijke tabellen met een spreadsheetprogramma is zoalledaags geworden, dat we kunnen stellen dat het kun-nen werken met spreadsheets tegenwoordig tot de wis-kundige geletterdheid behoort. En dit betreft niet alleenhet leggen van relaties tussen getallen, maar ook tussenhele kolommen met getallen. Het is in deze situatie nietonredelijk om te stellen dat deze nieuwe manier van wer-ken ook van invloed is op wat we als een ‘natuurlijke’ uit-drukking zien. Wanneer we bijvoorbeeld de functie wil-len beschrijven die bij de tabel van figuur 4 past, dan gaatde traditionele voorkeur uit naar de vorm f(x) = 3x + 4 inplaats van de vorm:

f(0) = 4f(N) = f(N–1) + 3

19 jaargang 23 voorjaar 20041

Deze recursieve definitie wordt in het algemeen be-schouwd als didactisch complexer en hoort daarom - inieder geval in het Verenigd Koninkrijk - niet tot het ver-plichte curriculum. Dit ondanks het gegeven dat veel,wellicht alle leerlingen geneigd zullen zijn de getalrela-ties op een verticale manier te lezen (tel er 3 bij op) - datwil zeggen tot het moment dat zij worden aangespoordhet anders te doen dan waar de context aanleiding toegeeft (zie Cuoco (1995) voor de implicaties van het ge-bruik van computers als geavanceerde rekenmachines bijhet ondersteunen van het overdenken van functies).De grafieken die met één druk op de knop kunnen wordengemaakt, geven niet alleen de traditionele grafiek (links-onder in figuur 4), maar ook enkele meer ongebruikelijkeexemplaren - die net zo makkelijk beschikbaar komenvoor de gebruiker van de spreadsheet. De grafiek rechtsvraagt een nadere doordenking, maar is - voor zover ikkan nagaan - redelijk nutteloos!

figuur 5a: een grafiek van de functie y = 3x + 4

Wat grafieken als deze dan ook laten zien, is dat het netzo belangrijk is om nieuwe representaties kritisch te kun-nen bekijken, als om meer gebruikelijke representaties tekunnen interpreteren.

figuur 5b: een grafiek van dezelfde functie, maar waarbij devariabelen anders gekozen zijn

figuur 5c: een grafiek van een geheel andere functie z = 3xy + 4 (waarbij de assen voor de zichtbaarheid een afgesloten ruimte

suggereren).

d. grafiek gemaakt door een spreadsheetprogramma e. onbekende en onbruikbare representatie ge-maakt door hetzelfde spreadsheetprogramma

0 41 72 103 13. .

a. standaard vorm in tabel

f(x) = 3x + 4

b. standaard gesloten representatie

f(0) = 4f(N) = f(N–1) + 3

c. recursieve definitie

figuur 4: enkele representaties voor de functie f

20

Ik wijs de lezers van (statische) tekst erop dat deze grafie-ken dynamisch zijn, wat zoveel wil zeggen als dat (b) en(c) kunnen worden rondgedraaid en aldus verkend.

Ook is het de moeite waard om de vergelijking y = 3x + 4te laten voorstellen door het grafische rekenmachinepro-gramma dat ik gratis bij mijn computer kreeg (Avitzur,e.a., 2000). Of z = 3x + 4: merk op dat een ‘willekeurige’naamsverandering van de variabele y hier meer dan wil-lekeurige consequenties heeft (zie figuur 5)! Ofz = 3xy + 4. Dit is natuurlijk niet dezelfde functie en ookniet tweedimensionaal. In een dynamisch medium, ter-wijl we kijken hoe het oppervlak ronddraait en nagaanwat voor ding het is, worden we aangemoedigd het on-denkbare te denken: zijn drie dimensies noodzakelijker-wijs moeilijker te begrijpen dan twee? Moeten we nog al-tijd voor lief nemen dat een nette voortgang van twee di-mensies naar (voor sommige) drie op een of anderemanier ‘natuurlijk’ is? Wat is ‘natuurlijk’ eigenlijk, nuhet vanzelfsprekender is dingen op een computerschermte visualiseren dan op enige andere manier? Er is uiter-aard wat voor te zeggen dat wij op z’n minst net zo’n rijkeverzameling intuïties hebben verworven door met onzehanden over oppervlakken te aaien, als door het gedach-te-experiment van het reizen over een eendimensionalelijn (een verzameling punten), die een functie represen-teert.4 Er is opvallend weinig onderzoek gedaan dat de vi-gerende epistemologische en didactische uitgangspuntenop deze manier ter discussie stelt (zie voor een uitzonde-ring Papert (1996)). Dat neemt niet weg dat er op z’nminst duidelijke richtingen zijn waarin onderzoek zoukunnen doorgaan. Ik ga daarop later in.

De veranderingen in representaties, die mogelijk wordengemaakt door nieuwe technologieën, vragen om een her-overweging van leerlijnen en het opbouwen van kennis inrelatie tot de leeromgevingen waarin dit gebeurt. Even-eens vraagt het om een heroverweging van de maatschap-pelijke gevolgen. Laat ik met een beschrijving toelichtenwat ik bedoel als ik zeg dat individuen iets moeten begrij-pen van de onderliggende modellen in alledaagse en be-roepssituaties. Een relatief recent voorbeeld. Een van de opmerkelijkeaspecten van de discussie rond de Amerikaanse presi-dentsverkiezingen was de mate waarin de media - in iedergeval in het Verenigd Koninkrijk - hun uitspraken overwie werkelijk gewonnen had baseerden op statistisch ma-teriaal. De media werden overspoeld met informatie overhet aantal stemmen, het percentage stemmen in iederkiesdistrict, informatie uit peilingen gedaan voor en di-rect na de verkiezingen, enzovoort.

Tussen al die informatie vond ik enkele interessantevoorbeelden die meer waren dan zomaar informatie. Fi-guur 6 laat een van de grafieken zien die ik op het internetvond en die gemaakt werd door twee statistici. In de gra-fiek zijn het aantal stemmen op Bush tegen die op Bucha-

nan uitgezet voor ieder kiesdistrict in de staat Florida.Aan de grafiek is goed te zien dat er - met één belangrijkeuitzondering, die correspondeert met de uitgebrachtestemmen in het omstreden Palm Beach - een grote corre-latie is tussen het aantal stemmen op Bush en die opBuchanan.

figuur 6: verkiezingsuitslagen van de staat Florida per kiesdistrict: Bush versus Buchanan (G. Adams en C. Fastnow)

Het onderliggende model gaat uit van de volgende hypo-these: hoe conservatiever het district (waardoor Bushmeer stemmen zou binnenhalen dan de democratischekandidaat Gore), hoe waarschijnlijker het wordt dat hetaantal stemmen op Buchanan - hoewel veel kleiner inaantal - verhoudingsgewijs groter zou worden vanwegede extreem conservatieve denkbeelden van Buchanan. Endat is wat figuur 6 laat zien. De grafiek biedt echter nietalleen informatie. Door de data in een scatterplot te repre-senteren krijgen we nieuwe kennis (maar helaas geen ze-kerheid) over de onwaarschijnlijkheid van het resultaatvan Palm Beach, over het uitzonderlijke van deze uitslagen over de juistheid van het onderliggende model overstemmen op Bush en Buchanan.

Dit voorbeeld brengt me bij een tweede thema, gelegenop het kruispunt van het gemeenschappelijke en het indi-viduele. Namelijk dat de mogelijkheid om dit soort om-zetting van informatie in kennis te begrijpen een cruciaalaspect is van het functioneren in de 21ste eeuw. Dit tijds-gewricht vraagt om een kritische blik op representaties ende ontwikkeling van een gevoel voor modellen. De moei-lijkheid daarbij is, zoals het voorbeeld van de Ameri-kaanse verkiezingen liet zien, dat de wiskunde niet directvanzelfsprekend is; er moet worden gemathematiseerdom zicht te krijgen op de variabelen en de relaties daar-tussen die een rol spelen. Natuurlijk ging het bij de Ame-rikaanse verkiezingen om veel meer dan zo maar een wis-kundige analyse, maar zoals we zagen helpt wiskundigmodelleren om inzicht te krijgen in de situatie. Feitelijkis deze onzichtbaarheid van de wiskunde een zich ont-wikkelende karakteristiek van het laatste deel van de af-

21 jaargang 23 voorjaar 20041

gelopen eeuw: terwijl wiskunde een steeds grotere rolspeelt in allerlei processen, wordt zij tegelijkertijd minderzichtbaar. In een recent rapport van de ‘Society for Indus-trial and Applied Mathematics’ wordt de rol die wiskun-de speelt op de werkplek als volgt beschreven: ‘Wiskun-de is levend en in goede doen, maar leeft onder verschil-lende namen … Wiskunde is vaak onzichtbaar voor niet-technici, omdat over de rol van wiskunde niet gepubli-ceerd wordt en deze ook niet wordt benadrukt, met nameniet naar het management.’ (Mathematics in Industry(1998)).

De werkplek staat model voor het problematische karak-ter van de rol die wiskunde speelt in het persoonlijke enmaatschappelijke leven. Het toont ook hoe wiskunde lijktte verdwijnen in activiteiten die, weliswaar onder de op-pervlakte, alomtegenwoordig zijn. Ik zal me daarom nurichten op de werkplek.

3 Op de werkplek

In een poging zicht te krijgen op vragen als hoe wiskun-dige opvattingen tot stand komen, hoe we de aard vanwiskundige kennis kunnen karakteriseren, en hoe we deoverdracht als metafoor voor hoe wiskundige kenniswordt overgedragen, verrichtten C. Hoyles, S. Pozzi enikzelf in de jaren negentig enkele studies naar wiskundigecomponenten van professionele expertise. Meer specifiekvroegen we ons af welke rol wiskunde speelt bij het op el-kaar afstemmen van werkzaamheden. Omgekeerd vroe-gen we ons af hoe wiskundige kennis veranderde onderinvloed van overleggen en de uitwisseling van ervaringenin werksituaties (Noss & Hoyles, 1996a; Pozzi, Noss &Hoyles, 1998; Noss, Pozzi & Hoyles, 1999; Noss, Hoyles& Pozzi, 2000; Hoyles, Noss & Pozzi, 2001; Noss, Hoy-les & Pozzi, 2002).In deze studies ging het om bankmedewerkers, verpleeg-kundigen en piloten in de burgerluchtvaart. Later dedenP. Kent en ikzelf een studie naar bouwkundig ingenieurs,waaruit ik eerder het citaat haalde van een bouwkundigevan het British Museum over Newton. Ik zal me richtenop deze laatste studie, maar vat eerst even samen wat wevonden in eerdere studies, met name die over verpleeg-kundigen. Allereerst blijkt er een duidelijk onderscheid tussen dezichtbare wiskunde en wat er in de praktijk gebeurt. Datwil zeggen, terwijl bij routinematige handelingen op heteerste gezicht niet meer dan eenvoudige berekeningenworden gebruikt, blijkt in de praktijk dat het hierbij zel-den gaat om aanpakken die op school werden aangeleerd.Bijvoorbeeld bij het toedienen van medicijnen blijken degebruikte getalsmatige aanpakken nauw verbonden metkenmerken van de werking, het specifieke medicijn, hetlabel op de verpakking of de soort eenheden waarin het

wordt toegediend. De verpleegkundigen bleken een goedgevoel te hebben voor samenhang tussen theorie en prak-tijk, maar ze gebruikten daarbij vrijwel nooit rekenregelsdie ze op school hadden geleerd. Ze waren zelfs somsverbaasd dat de (correcte) kennis die zij gebruikten konworden uitgedrukt in algemene termen.De tweede verrassende vondst was dat getalsmatige bere-keningen werden gekoppeld aan impliciete modellen,waarmee moest worden beredeneerd hoe de dosering hetgedrag van het systeem in kwalitatieve en kwantitatievezin bepaalde, bijvoorbeeld hoe een concentratie van eenmedicijn in het lichaam varieert met de tijd. Dit werd dui-delijk bij incidenten waar het systeem faalde. In dit soortsituaties kwamen wiskundige elementen aan de opper-vlakte, waardoor wij een helderder beeld kregen van derol die de wiskunde speelde.Tot slot vonden we dat wanneer er met getallen moestworden gerekend, deze getallen gebonden bleven aan huncontext en niet naar voren kwamen als ‘pure’ getallen.Dat wil zeggen dat terwijl het lijkt alsof getalsmatige ver-banden in de beroepspraktijk terechtkomen als kale getal-len en operaties, het in werkelijkheid vaak zo is dat dezegetallen gezien worden als een eigenschap van het object,naast alle andere eigenschappen die minstens zo belang-rijk zijn voor de beroepsbeoefenaar.

Samengevat probeerden we niet alleen te kijken hoe wis-kunde op de werkvloer werd gebruikt, maar we probeer-den ook te karakteriseren wat voor soort wiskunde be-roepsbeoefenaren gebruiken. Om een beter beeld te krij-gen keken we naar bouwkundig ingenieurs, omdatwiskunde in hun werk een grote rol lijkt te spelen en zijbovendien relatief hoog geschoold zijn in de wiskunde. Via onze studies kwamen we in contact met een groot be-drijf in Londen met vele ingenieurs met verschillendespecialismen. We interviewden ongeveer twintig vanhen, volgden communicatie via e-mail, woonden project-vergaderingen bij en onderzochten een aanzienlijk aantalteksten, waaronder wiskundeboeken voor ingenieurs.Wiskundige kennis zit - zo merkten we - verspreid overhet bedrijf. Er zijn bijvoorbeeld enkele analisten die wis-kundige analyses uitvoeren (soms ondersteund door eencomputer) en programmeurs, maar ook ingenieurs diemaar heel weinig wiskundigs te doen hebben. We gaanlater op enkele van deze gevallen in. Maar eerst wil ikwijzen op de zeer vruchtbare onderzoeksmethode die wijgebruikten. We keken nauwkeurig naar de grenzen tussende verschillende groepen ingenieurs en probeerden te be-grijpen welke soort van epistemologische en cognitieveveranderingen wiskundige objecten ondergingen bij hetpasseren van deze grenzen. Ik ga hierop nu echter nietverder in.Hier richt ik mij meer op het groepsgebeuren dan op deindividuele persoon. Ik zal mij richten op een brederaspect van deze verdeelde kennis; niet zoals deze kennisaanwezig is bij een bepaalde ingenieur op een bepaaldmoment, maar hoe deze kennis past bij een bepaalde si-

22

tuatie, bezien vanuit de brede gemeenschap van inge-nieurs. Ik zal daarbij beginnen bij een van de ingenieurs,die ons vertelde: ‘We gebruiken slechts vijf procent vande wiskunde die we op de universiteit leerden.’ Een anderbeweerde: ‘Zodra je de universiteit verlaten hebt gebruikje de wiskunde van daar niet meer. Een kwadraat nemenof iets tot de derde macht uitrekenen vormen de meest in-gewikkelde berekeningen. Voor het overgrote deel vande ingenieurs hier geldt dat een groot deel van de wiskun-de die ze werd onderwezen - ik zeg met opzet nietleerden - niet wordt toegepast. Er zijn slechts enkele spe-cialisten, minder dan twee procent van de ingenieurs indit bedrijf, die hun hele leven de wiskunde doen waarmeewij worstelden op de universiteit.’

We keken hier kritisch naar omdat ons eerdere werk metberoepsbeoefenaren, evenals vele andere studies voorpractici, laat zien dat deze vaak glashard ontkennen datwiskunde een rol speelt in hun activiteiten.5 Dit heeft,denk ik, te maken met de overgangen tussen en binnenwerkwijzen: wanneer de wiskundige kennis van indivi-duen en gemeenschappen deze grenzen passeert, neigt debalans tussen wat gebruikelijk en nieuw is, tussen watpraktisch en theoretisch is, zichtbaar te worden als her-kenbare wiskundige handelingen. Dit houdt verband methet onderscheid dat Artigue (2002) maakt tussen pragma-tische en epistemologische waarden van rekenwijzen.In onze vroegere studies beschreven we storingen als lo-cale gebeurtenissen, in ieder geval in de tijd. Dat wil zeg-gen, dat deze storingen in het algemeen optreden als erzich een korte breuk in de gebruikelijke praktijk voor-doet, een hikje dat meestal snel verholpen (of omzeild)wordt. Hierbij zijn vooral de ontdekker van de storing ofzijn/haar directe collega’s betrokken. In de bouwkunde,zo gaf ik aan, zijn de structuren omvangrijk, in de zin dathet wiskundige werk over een groot aantal personen isverdeeld.6 Dit biedt de mogelijkheid om nauwkeuriger tekijken naar de effecten van een storing in een dergelijkegrote structuur.

figuur 7: de Millennium Bridge wiebelde te hard bij de opening vanwege het grote aantal voetgangers dat over de brug liep

Figuur 7 laat de Millennium Bridge zien in het centrumvan Londen, een prachtige nieuwe voetgangersbrug overde Theems die in het jaar 2000 geopend zou worden. He-laas liep op de openingsdag een enorme mensenmassaover de brug, die daardoor vervaarlijk begon te zwaaien.Twee dagen later werd de brug gesloten. Als onderdeelvan ons project interviewden we enkele ingenieurs dieverantwoordelijk waren voor het ontwerp van de brug en

voor het aanbrengen van de remedie tegen het bewegen.En dankzij de openheid van het ingenieursbedrijf staatveel van deze informatie op hun website.7Al vanaf het moment dat de brug begon te wiebelen, be-gon het gissen en speculeren over wat er verkeerd ging enwaarom. Met name de betrokken ontwerpende ingenieurslieten weten dat het onmogelijk was te berekenen hoe debrug zich zou gaan gedragen. Als we ons hierdoor latenleiden, dan betekent dit nogal wat voor het reken-wiskun-deonderwijs, zoals blijkt uit dit citaat uit het EducationalSupplement van de Times over een recent rapport van deRoyal Society over meetkunde door de Joint Mathemati-cal Council van het Verenigd Koninkrijk:

‘… door een gebrek aan goede leraren wiskunde, worstelenveel leerlingen in het voortgezet onderwijs met het doorzienvan verschillende meetkundige vormen, ook diegenen diehoge rapportcijfers hebben. Een gevolg hiervan is, zo werdons verteld, dat veel studenten die op de universiteit kiezenvoor algemene natuurwetenschappen en bouwkunde daarinmislukken. Dit moeten we serieus nemen. Een grondige ba-sis voor meetkunde is essentieel als het Verenigd Koninkrijkin de voorhoede wil blijven lopen bij genetica, het ontdekkenvan medicijnen en architectuur. We mogen dan voorop gelo-pen hebben bij Dolly het schaap en het menselijke genoomproject, het fiasco van de wiebelende Millennium Bridgeover de Theems laat zien dat we moeten oppassen met zelf-ingenomenheid.’ (Times Educational Supplement, 10 augustus 2001)

Ik wil niet beweren dat ik blij ben met het verdwijnen vanmeetkunde uit het curriculum in het Verenigd Konink-rijk. Integendeel, ik ben het in dit opzicht helemaal eensmet de schrijvers van het rapport en gevoelens die ver-tolkt worden in het artikel in de Times: het gebrek aanmeetkundeonderwijs in Groot-Brittannië is wellicht eenvan de meest betreurenswaardige elementen die de huidi-ge slechte staat van het onderwijs typeren.8 Maar dit wasniet het probleem bij de Millennium Bridge.In feite lag het probleem helemaal niet in de wiskundigeberekeningen, maar in het modelleren van het gedrag vande brug. Bouwkunde wordt beheerst door allerlei (ge-schreven en ongeschreven) regels precies geïsoleerdeontwerpkennis, die bijvoorbeeld in detail alle hoofdele-menten van een structuur specificeert, marges aangeeften rekenregels voorschrijft. Deze bestaan in het algemeenuit formules waar de bouwkundige de relevante waardenmoet invullen, zoals die voor het onderhavige project gel-den. Het ontwerpen van bruggen, dat ligt voor de hand,heeft te maken met dergelijke regels en het ontwerpenvan voetbruggen is in deze zin dan ook goed gedocumen-teerd. Maar geen van deze regels, en daar ligt de bron vande moeilijkheden, richt zich op zijdelingse bewegingen.Bij het ontwerpen van voetbruggen houdt men wel reke-ning met verticale trillingen, maar neemt men aan dat ho-rizontale of zijdelingse trillingen elkaar zullen opheffenen daarom kunnen worden genegeerd. En juist deze laatste aanname bleek onjuist in het gevalvan de nieuwe brug, die door duizenden mensen tegelijk

23 jaargang 23 voorjaar 20041

werd gebruikt. De zijdelingse krachten die werden uitge-oefend door de mensen die over de brug liepen, veroor-zaakten een corresponderende zijdelingse trilling van debrug. En toen het trillen eenmaal begon werd dit niet op-geheven door tegengestelde trillingen, maar begonnen demensen die over de brug liepen het slingeren van de brugte compenseren en oefenden daarbij zijdelingse krachtenuit ‘in de maat van de trilling van de brug’. Dit versterktehet trillen van de brug. Het probleem daarbij was niet datde wiskundigen fouten hadden gemaakt in hun reken-werk, het waren de regels waarop het ontwerp was geba-seerd die geen rekening bleken te houden met een crucia-le variabele.9 Of, zoals een senior-bouwkundige die aande brug werkte opmerkte: ‘De gebruikelijke kennis bena-drukt zo sterk dat de input van lopen verticaal is met eenfrequentie van 2 Hertz, dat het je blind maakt voor het feitdat er ook nog een horizontale kracht is met een frequen-tie van 1 Hertz.’ Met als gevolg dat geen van de uitgebrei-de rekenmodellen die werden gebruikt bij het ontwerpenvan de brug het zijdelings trillen meenam.

Ik wil de aandacht vestigen op een specifiek aspect in ditverhaal. Het wiskundige werk van ingenieurs is, zo zagenwe ook in het bedrijf dat we bestudeerden, nogal verschil-lend van aard: er ligt wiskundige kennis opgesloten in debouwregels en er is wiskundige kennis ingebouwd in derekenmodellen. Ook gebruikten de bouwkundigen die debrug in elkaar zetten wiskundige kennis door (wiskundi-ge) voorschriften toe te passen. Elk van deze voorschrif-ten heeft zijn eigen beschrijvingswijze en die verschillenonderling behoorlijk. Bovendien verschillen ze van dewiskunde die werd onderwezen aan de universiteit. Dusde verdeling van wiskundige arbeid over de verschillendedeelgemeenschappen en de verandering die wiskundigekennis ondergaat wanneer ze de grens van de ene deelge-meenschap naar de andere deelgemeenschap over-schrijdt, verhullen de modellen die onderliggend zijn inde praktijk evenzo als in de voorbeelden die ik eerderaanhaalde. Modellen zijn namelijk alomtegenwoordig,maar worden ook algemeen verhuld.

Ik wil tot slot van dit deel benadrukken wat wel en watniet belangrijk is in dit voorbeeld voor het leren en onder-wijzen van rekenen-wiskunde. Het is niet zo belangrijkhoeveel mensen constant toegang moeten hebben tot pre-cieze details van de modellen die onderliggend zijn voorberoep en samenleving. Dat zijn er niet veel en het is ze-ker geen meerderheid, hoewel ik ervan overtuigd ben dathet er meer zijn dan het op het eerste gezicht lijkt. Wel isde wereld bedolven onder modellen en iedereen moet we-ten wat een model is, ook al kan hij of zij er niet zelf eenontwerpen. Iedereen moet in staat zijn de ideeën achtereen model te interpreteren, ook al kan hij de implicatiesvoor een bepaald geval niet nagaan. Iedereen die eenspreadsheetprogramma gebruikt moet een gevoel hebbenhoe de getallen daar komen, waarom en hoe subprogram-ma’s en knoppen werken.10

Om wat voor soort kennis gaat het hier? Het voorbeeldvan de Millennium Bridge verschaft enig inzicht. Hetgaat om het weten dat dingen werken op een geprogram-meerde manier in plaats van (noodzakelijk) weten hoe.Het gaat om de kennis dat in de keuze van variabele aan-namen verstopt zitten en dat er een relatie is tussen dezevariabelen. Het gaat daarbij om kennis van representatiesrond verbindingen tussen de variabelen, in plaats van ge-talsmatige en rekenkundige kennis over deze verbindin-gen. Het betreft het interpreteren van modellen die dooranderen werden gemaakt en het delen en kritisch bekij-ken van deze modellen, samen met de verschillende re-presentaties waarin deze voorkomen. En tot slot heeft hette maken met hoe kennis wordt gecommuniceerd naar an-deren die in verbinding staan met dezelfde of gerelateer-de systemen. Deze kennis over kennis noem ik een meta-epistemologische houding.Ik kan veel meer naar voren brengen over de cognitieveen epistemologische aspecten van dergelijk situatiege-bonden begrijpen, maar zal hier vanwege beperkte ruimteniet op ingaan (zie Noss 2002) voor een bespreking vandeze en gerelateerde vragen). In plaats daarvan wil ik en-kele implicaties van dit alles beschouwen voor het ont-werpen van onderwijs.

4 Ontwikkelen van een meta-epistemologische houding

Het bouwen van een gevoel voor onderliggende mechanismen

Een belangrijke implicatie voor het ontwikkelen van eenmeta-epistemologische houding, is de noodzaak van hetontwerpen van reken-wiskundige leeromgevingen die ditsoort mechanismen tastbaar en zichtbaar maken. Ik zal dittoelichten aan de hand van een project in Londen, het zo-genaamde ‘Playground Project’.11 C. Hoyles en ikzelfgeven leiding aan dit project, waarbij verder een groeponderzoekers op verschillende plaatsen in Europa betrok-ken is om een systeem te ontwikkelen waarmee kinderenvan acht jaar en jonger met computerprogramma’s kun-nen spelen, ze kunnen aanpassen en verspreiden.12 Onsdoel is om kinderen de rol te geven van ontwerpers enproducenten van spelletjes, in plaats van slechts gebrui-kers te zijn van spellen die door volwassenen ontwikkeldzijn.Er waren twee redenen waarom wij voor computerspelle-tjes kozen: een culturele en een wiskundige. Vanuit eencultureel standpunt zijn videospelletjes en dergelijke (zo-als animaties en interactieve video) het meest nadrukke-lijke kenmerk van de kindercultuur op de grens van detwintigste en eenentwintigste eeuw. En of je hier nu blijmee moet zijn of niet, deze spelletjes spreken miljoenenkinderen aan en zijn daarmee een middel voor populaire

24

culturele uitingen (op het moment van schrijven heeft dePokémon-gekte juist afgedaan; een andere rage zal spoe-dig zijn opwachting maken). Inleving in de kindercultuuris noodzakelijk (maar zeker niet voldoende) bij het ont-wikkelen van de meta-epistemologische houding die wijnodig achten. De uitdaging is aanzienlijk, want één effectvan de digitale revolutie is precies dat weinig dingen uit-nodigen tot nader onderzoek: je komt niet te weten hoeeen digitaal horloge werkt door het te openen, niet wateen wasmachine doet door een wasprogramma te begin-nen en te stoppen. Al deze mechanismen, die eertijds inieder geval enkele kinderen een kans boden om te onder-zoeken hoe ze werkten, zijn daarvoor nu afgesloten. Om-dat de gebruikers geen nuttige delen kunnen onderschei-den, ontstaan ook geen leereffecten.

Zoals ik schreef volstaat de culturele invalshoek niet. Detweede reden voor onze keus voor videospelletjes is datdeze veel materiaal voor exploratie van interessante wis-kundige en wetenschappelijke fenomenen laten zien. Devideospelletjes vertegenwoordigen een gesloten systeemmet formele regels. Wanneer het een het ander raakt ge-beurt er iets bepaalds. Als de snelheid boven de x ligt,krijgt y een bepaalde waarde. Wanneer een knop op dejoystick wordt ingedrukt verandert een object van kleur.Spellen vormen in het algemeen de eerste ervaringen vankinderen met wat het betekent om binnen een formeelsysteem te functioneren (bijvoorbeeld ‘als u over ‘start’gaat krijgt u tweehonderd euro’); de videospelletjes zijneen wiskundige concretisering van een dergelijk formeelsysteem. Wij gaan nog één stap verder bij het kinderenkansen bieden om de wereld van formele systemen te on-derzoeken, te bouwen en te herbouwen en ze toegang teverschaffen tot de wiskunde die in een typisch videospel-letje verborgen zit. Bij het formeel uitdrukken van wat jewilt laten gebeuren is een kind - zo hopen wij - bezig methet beschrijven van interessante reken-wiskundige feno-menen. Tot voor kort betekende dit dat de interactie metde computer verliep via tekst in de vorm van program-meertalen. Zonder twijfel bood dit aanzienlijke mogelijk-heden voor het verkennen van quasi-algebraïsche syste-men. Het werken van kinderen met ‘Logo’ is hiervan eengoed gedocumenteerd voorbeeld en er zijn meer mooievoorbeelden (voor een beschouwing zie bijvoorbeeld: di-Sessa, Hoyles & Noss (1995) en Noss & Hoyles(1996b)).Het probleem is dat veel van de kinderen met wie wijwerkten niet voldoende goed konden lezen of schrijven.Daarom baseerden wij ons ontwerp en implementatie vaneen systeem op een nieuwe interface, die we ‘ToonTalk’noemden, waarbij de code bestaat uit animaties.13 Dit be-tekent dat de taal echte taal is, zonder kunstmatige gren-zen in wat kan worden uitgedrukt. Het betekent ook datde code feitelijk is wat je op het scherm ziet: bewegenderobots die zijn geprogrammeerd om taken uit te voeren,rekenkundige operaties worden uitgevoerd door een ge-animeerde muis op het beeldscherm en zelfs het knippen

en plakken wordt gedaan door typetjes op het scherm, zo-als bijvoorbeeld een bewegende stofzuiger. Het is moei-lijk om ‘ToonTalk’ goed te beschrijven: de kracht en demogelijkheden worden duidelijk bij het zien van de ani-maties. Dit is een kleine moeilijkheid in het systeem, om-dat het ‘lezen’ van een programma eigenlijk ‘het waarne-men van’ een robot is die taken uitvoert. Deze toevoegingvan dynamiek aan het lezen en schrijven van program-ma’s betekent een fundamentele verandering in de opvat-tingen over wat een programma is, welk soort kennis eenprogramma vertegenwoordigt en wat het betekent om eenprogramma te schrijven. Daarbij is er geen garantie datdeze nieuwe representatie beter is dan de oude en dusmoeten we ze naast elkaar beschouwen.Twee problemen kwamen naar voren zodra we met‘ToonTalk’ begonnen te werken. Ten eerste, zoals allevoorgangers - ook bij ‘Logo’- kwam naar voren dat hetconstrueren van complexere, maar interessante program-ma’s erg moeilijk is. Wij kozen er daarom voor om eennieuwe laag met ‘gedragingen’ te bouwen. Dit zijn helde-re en functionele delen van het spel, waarvan volstrektduidelijk is wat ze doen en die kunnen worden gecombi-neerd om complexe functionaliteiten te bouwen. Dezeprogramma-elementen of gedragingen functioneren alscomponenten, met de opmerking dat de kinderen ze kun-nen bekijken en (her)bouwen.Ten tweede constateerden wij dat ‘ToonTalk’ niet afge-stemd was op de taak die wij in gedachten hadden. Hetwas een vrij nieuw systeem dat niet gemaakt was naar deeisen die werden gesteld aan het bouwen van videospel-letjes. Dit bood zowel een uitdaging als een kans. Een uit-daging omdat alle functionaliteiten vanuit het niets moes-ten worden opgebouwd. Een kans omdat het de mogelijk-heid bood een programmeeromgeving te bouwen zoalswij nodig hadden: een nieuwe verzameling representatiesvoor programmeren die kinderen zich eigen zouden kun-nen maken.

Ik kan hier niet nader op ingaan en wil u graag voor ach-tergronden over en opbrengsten van het project verwijzennaar Noss, Hoyles, Gurtner, Adamson & Lowe (2002),Hoyles, Noss & Adamson (in druk) en Kaput, Hoyles &Noss (in druk).Hier wil ik onze aanpak tonen en nagaan hoe deze wel-licht enkele voorwaarden vervult voor het ontwikkelenvan een meta-epistemologisch standpunt. Terwijl ik datdoe zal ik het systeem verder toelichten, hoewel ik merealiseer dat dat heel moeilijk is in een statische tekst.14

5 Een voorbeeld

Mitchell is acht jaar oud en zit op een school in de bin-nenstad van Londen. Hij hielp de onderzoekers ongeveereen jaar bij het ontwerpen en verbeteren van het Play-

25 jaargang 23 voorjaar 20041

ground-systeem. Hij deed mee aan verschillende experi-menten met Playground bij de computerclub van zijnschool waarvan hij lid is. Mitchell speelt in dit voorbeeldeen spel waarin hij het spelfiguur ‘Dusty’, met twee be-nen aan de rechterkant, rondbeweegt (fig.8). Iedere keerals een van de knoppen van de joystick wordt ingedruktschiet Dusty met bloemen, en de speler krijgt punten doormet de bloemen een figuurtje te raken dat verticaal overde linkerzijde van het scherm beweegt. Zodra het doel ge-raakt is door een bloem, verandert het van vorm en wordthet een ander bewegend spelfiguur. Mitchell vindt het spel erg makkelijk en verdient veelpunten, omdat hij zijn spelfiguur zo dicht bij het doel kanplaatsen als hij wil. Hij heeft veel plezier in het spel, maarhet is niet makkelijk om na te gaan wat hij leert en het isverleidelijk het af te doen als een spel waarvan er dertienin een dozijn gaan.

figuur 8: een scherm uit het spel. Dusty schiet bloemen van rechts naar links. Een doel beweegt aan de linkerkant van het scherm. Het doel verandert van vorm als het

getroffen wordt door een bloem

Mitchell besluit dat het spel leuker wordt als het een com-petitie-element heeft. Op zijn verzoek voegt de onderzoe-ker een andere spelfiguur toe, die wordt bediend met decomputermuis. De onderzoeker legt Mitchell uit hoe ze tewerk gaat bij het omzetten van het programma en laat zozien hoe ze handelingen met de joystick vervangt doorhandelingen met de muis. Omdat dergelijke gedragingenvan het programma als grote gehelen beschikbaar zijn,kunnen deze eenvoudig veranderd worden door de enecomponent - dat zichtbaar is als een bewegend figuurtje -te vervangen door een andere. Zo kan bijvoorbeeld ‘ik beweeg met de joystick’ wordenvervangen door ‘ik beweeg de muis’. Achter ieder objectzit een programma, in de zin dat er een directe verbindingis tussen het object en wat het doet, wat kan worden ge-activeerd door het als het ware aan te zetten. En hoewelMitchell goed in staat is de beschrijvingen te lezen, kanhij ook, als hij dat wil, luisteren naar wat de gedragingenzeggen dat ze doen (stemgeluid is beschikbaar) en daar-bovenop is er een bewegende representatie van wat de ge-

draging doet (wat in statische vorm zichtbaar is in derechter bovenhoek van figuur 9).

Een laatste element van de gedraging ‘ik beweeg demuis’ is dat het feitelijk bestaat uit twee sub-componen-ten, namelijk ‘ik beweeg naar links en rechts met demuis’ en ‘ik beweeg van boven naar beneden met demuis’ (en iets dergelijks geldt ook voor de gedragingenrond de joystick). Beide sub-componten zijn zichtbaaronderin figuur 9.

figuur 9: de component ‘ik beweeg met de muis’ en twee sub-componenten die de muis horizontaal en verticaal bewegen

En, zoals later bleek, deze manier waarop de componen-ten waren gemaakt had onverwachte gevolgen. Mitchellspeelt het spel voor twee spelers met de onderzoeker. Plotseling vraagt hij iedereen in de kamer de ogen te slui-ten en niet te gluren. Hij verwijdert snel de ‘ik beweegnaar links en rechts met de muis’-component van de ‘ikbeweeg de muis’-gedraging van zijn opponent, zodat diede muis nu alleen maar van boven naar beneden kan be-wegen, terwijl hij zelf nog alle kanten op kan om zijn doelzo dicht mogelijk te benaderen (fig.10).

figuur 10: Mitchell verwijdert de horizontale component van de ‘ik beweeg de muis’ gedraging

Toen we onze ogen weer open mochten doen, vroegMitchell triomfantelijk om een nieuwe partij, die hij ui-

Mitchell verwijderde dit elementom het bewegen van zijn op-ponent in verticale richtingonmogelijke te maken

26

teraard en tot zijn plezier - omdat het bewegen van de te-genstander beperkt was tot verticale bewegingen - over-tuigend won.

Wat leert ons dit? Allereerst zien we Mitchells geweldigebetrokkenheid. We begonnen met de wens om werkelijkdoor te dringen in de leefwereld van de kinderen; niet al-leen om ze te motiveren, maar ook om ze te laten deelne-men in projecten die voor hen persoonlijk betekenisvolzijn, projecten waar ze genoeg om gaven om zichzelf on-der te dompelen in de quasi-formele wereld waarin we zeplaatsten.En dan is er ook een methodologische invalshoek. Hetsoort gebeurtenis dat uitgangspunt was bij Mitchells truc,komt zelden voor in het onderwijs. Als we denken aan hetcurriculum van scholen, het programma van de leerkrachten schoolse toetsen, dan heeft het ontwerpen van een sys-teem dat moeilijk meetbare onderwijsresultaten oplevertweinig zin. Maar dit is erg kortzichtig: het is voor het on-derwijs van groot belang om de mogelijkheden van nieu-we technologieën en de interactie tussen het ontwerp ende opbrengst voor het onderwijs na te gaan, en daarommoeten we juist ‘ontwerpen voor zeldzame gebeurtenis-sen’ (diSessa e.a., 1995).

Het ontwikkelen van programma’s die dezelfde reactiesoproepen bij alle gebruikers lijkt aantrekkelijk, maar leidtniet tot veranderingen. In de wiskunde hebben we genoegrekenregels en procedures, die erop gericht zijn een endezelfde reactie op te roepen. Maar dat wil niet altijd luk-ken. Het ontwerpen van systemen die verschillende reac-ties oproepen betekent risico’s nemen, maar opent de mo-gelijkheid voor werkelijke veranderingen. We kunnenniet weten hoe Mitchell bedacht heeft dat het tweedimen-sionale bewegen van de muis is opgebouwd uit verticaleen horizontale componenten, hoe hij zijn truc bedacht ofwat hij precies leerde toen hij de onderzoeker het spel zagveranderen (een interessante vraag, omdat een construc-tivistische misvatting doet geloven dat iemand niet kanleren door alleen maar te kijken). In reken-wiskundetaal,die hij uiteraard niet gebruikte, kunnen we zeggen dat hijzich realiseerde dat de tweedimensionale beweging konworden ontbonden in twee eenvoudiger bewegingen.Sterker nog, hij realiseerde zich dat het weghalen van eenvan deze bewegingen nog steeds een systeem opleverdewaarin beweging mogelijk was, hoewel dit beperkt werdtot een beweging in één enkele richting.Wat deed Mitchell eigenlijk toen hij de genoemde gedra-ging weghaalde en hoe werd dit ondersteund door onsontwerp? Hij zag blijkbaar een verbinding tussen eendoel (winnen door de speelfiguur van de tegenstander tebeperken in zijn bewegingen) en een actie in het pro-grammeren. Anders gezegd, zijn kennis van het spel, zijndoelen en bedoelingen (en de mogelijkheid die voor detegenspeler onmogelijk te maken) zaten ingebakken in deomgeving door als programmeertaal te kiezen voor mani-puleerbare en deelbare objecten. Waarschijnlijk is het zo

dat het modulaire karakter van de programmeertaal en deletterlijke zichtbaarheid van de functie (een beschrijvingdie overigens geen rol speelt bij de functionaliteit) in ditopzicht belangrijk zijn.

Tot slot wil ik nog ingaan op de manier waarop Mitchellzijn kennis uitdrukte. Hij deed dat niet door erover te pra-ten, dat wil zeggen, niet tot we hem er expliciet naar vroe-gen. Hij liet zijn kennis zien in zijn handelingen met demuis, waarmee hij de objecten op het scherm bewerkte.Per definitie was hij daarom beperkt in zijn uitingen doorde eigenschappen van de gereedschappen die hij kon ge-bruiken. Hij kwam daarbij niet uit bij een gebruikelijkewiskundige abstractie. Maar hij kwam zeker tot abstrac-tie, namelijk bij een die ingebed was in de gereedschap-pen en structuur van de situatie. Hoewel dit zeker relatiesheeft met de thematiek die ik in dit artikel naar vorenbreng, zal ik het thema van ingebedde abstractie niet ver-der uitwerken en verwijs de lezers hiervoor graag naarNoss, Hoyles en Pozzi (in druk). Daaraan wil ik overi-gens toevoegen dat bij Hoyles en mijzelf de notie begintte ontstaan dat ingebedde abstractie een kenmerk is vanvele (maar niet alle) werkplekken.

6 Tot slot

In het voorafgaande besprak ik het belang van een be-paald soort wiskunde die bepalend is voor het sociale enculture leven in de eenentwintigste eeuw en gaf ik aanwat dit zou kunnen betekenen voor het ontwerpen vannieuwe leeromgevingen. En hoewel vrijwel alle wiskun-decurricula van voor het computertijdperk zijn, richtmaar heel weinig onderzoek zich op vigerende epistemo-logische of kentheoretische en didactische uitgangspun-ten van deze curricula. Deze vragen worden evenwel inde literatuur niet meer uit de weg gegaan (zie bijvoor-beeld Papert (1995)). Het onderzoekswerk in de toekomstzou zich moeten richten op structurele verbanden tussencognitieve en socio-culturele aanpakken en op het na-drukkelijk bekijken van veelgebruikte representatiesnaast andere die minder toegankelijk zijn.

Als we kijken naar het reken-wiskundeonderwijs is er ietsvreemds aan de hand met nieuwe digitale technieken.Hoewel de rekenkracht steeds meer gebruikt wordt omonderliggende wiskundige kennis minder zichtbaar enaanwezig te maken, is het tegelijkertijd deze digitaletechniek die het mogelijk maakt leeromgevingen te ont-werpen in de sfeer van de bedoelde meta-epistemologi-sche houding. Verder maken rekentechnieken het moge-lijk om nieuwe representaties te ontwerpen en dynami-sche elementen te introduceren in overigens statischebeschrijvingen en bieden zij nieuwe perspectieven overde wijze waarop het denken zich zou kunnen ontwikke-

27 jaargang 23 voorjaar 20041

len. Het bestuderen van deze nieuwe vormen en hun po-tentie voor het ombuigen van de geldende epistemologieblijft belangrijk voor toekomstig onderzoek.

Noten

1 Dit artikel is een bewerking van een tweetal lezingen: eentijdens de 53ste CIEAEM-conferentie (Verbania, Italië, juli2001) en een tijdens de 21ste Panama-conferentie (Noord-wijkerhout, januari 2003).

2 Vertaald door R. Keijzer met dank aan K.P.E. Gravemeijer,A. Post en N. Kuijpers.

3 Natuurlijk veranderde ook in de negentiende en twintigsteeeuw de relatie tussen betekenis en picturale weergave fun-damenteel.

4 Deze observatie moet gelezen worden in de context van eenrecent rapport van de Royal Society (2001) van de Joint Ma-thematical Council UK over het leren en onderwijzen vanmeetkunde aan elf- tot negentienjarigen, dat een grotere na-druk op het werken in drie dimensies benadrukt.

5 Uiteraard zijn er vele beroepen waarin wiskundige activiteitnauwelijks een rol speelt of juist van de werknemer wordtweggehaald - zoals bij caissières. Maar er zijn vele beroe-pen waar wel aan wiskunde gedaan wordt en juist daaropricht ik mij hier.

6 Kent en ikzelf werken aan een artikel dat op dit aspect in-gaat.

7 Zie www.arup.com/MillenniumBridge. 8 Bovendien is het interessant dat wanneer ingenieurs toege-

ven dat wiskunde belangrijk is voor het uitvoeren van huntaken, ze meetkunde als meest belangrijke onderwerp in dewiskunde noemen.

9 Er kan hier meer over worden gezegd. Zo werd bijvoorbeeldenkele jaren voor de toestand met de Millenium Bridge hetgedrag van de brug al beschreven in een ietwat duister Ja-pans tijdschrift, maar dat kwam toen niet onder de aandachtvan de ontwerpers. Verder, toen het probleem van het wie-belen van de Millennium Bridge opdook bleek dat meer -wellicht vele - bruggen hetzelfde gedrag vertonen en datnog meer dat zouden gaan doen als ze door hetzelfde aantalvoetgangers zouden worden gebruikt als de MillenniumBridge.

10 Dit laatste voorbeeld is gebaseerd op een observatie van hetnonchalante gebruik van een spreadsheet door een bankme-dewerker (Noss & Hoyles, 1996a).

11 Het ‘Playground Project’ wordt ondersteund door de EU. Erwordt in dit project samengewerkt met partners in Cam-bridge, Porto, Bratislava en Stockholm. Zie voor meer in-formatie http://www.ioe.ac.uk/playground.

12 Ik dank Ross Adamson en Miki Grahame voor hun gewel-dige samenwerking in het ‘Playground’-project. Ik wil verder Phillip Kent bedanken voor onze samenwer-king bij het project rond werktuigbouwkundigen. En tot slotwil ik Celia Hoyles bedanken voor de samenwerking in devele projecten die ik eerder noemde en voor haar construc-tieve commentaar op eerdere versies van dit artikel.

13 Zie www.toontalk.com voor informatie over ToonTalk.ToonTalk werd ontworpen door Ken Kahn, een medewer-ker van het ‘Playground Project’.

14 Op www.ioe.ac.uk/playground zijn video-opnamen be-schikbaar.

Literatuur

Artigue, M. (2002). Learning Mathematics in a CAS Environ-

ment: The Genesis of a Reflection about Instrumentation andthe Dialectics between Technical and Conceptual Work. In-ternational Journal of Computers for Mathematical Lear-ning 7(3), 245-274.

Avitzur R., A. Gooding, G. Robbins, C. Wales & J. Zadrozny(2000). Graphing Calculator 1.3 (software for the Macin-tosh), Pacific Tech.

Cuoco, A. (1995). Computational media to support the learningand use of functions. In: A. diSessa, C. Hoyles, R. Noss &L. Edwards (red.). Computers for Exploratory Learning.Berlin: Springer-Verlag, 79-108.

diSessa, A. (2000). Changing Minds, Cambridge, MA: MITPress.

diSessa, A., C. Hoyles, R. Noss & L. Edwards (red.) (1995).Computers for Exploratory Learning. Berlin: Springer-Ver-lag.

Dixon, C (1986). The Institute: a personal account of the histo-ry of the University of London Institute of Education, 1932-1972. University of London: Institute of Education.

Hoyles, C., R. Noss & S. Pozzi (2001). Proportional reasoningin nursing practice. Journal for Research in MathematicsEducation, 32, 14-27.

Hoyles, C., R. Noss . & R. Adamson (in druk). Rethinking themicroworld idea. Special Issue of the Journal of EducationalComputing Research on Microworlds in Mathematics Edu-cation.

Kaput, J., R. Noss & C. Hoyles (in druk). Developing new no-tations for a learnable mathematics in the computational era.In: L. English (red.). Handbook of International Research inMathematics Education. Mahwah, NJ: Lawrence ErlbaumAssociates, Publishers.

Kaput, J. & D. Shaffer (2002). On the development of humanrepresentational competence from an evolutionary point ofview: From episodic to virtual culture. In: K. Gravemeijer,R. Lehrer, B. van Oers & L. Verschaffel (red.). Symbolizing,modeling and tool use in mathematics education. London:Kluwer.

Mathematics in Industry (1998). Report of the Society for Indus-trial and Applied Mathematics.

Noss, R. & C. Hoyles (1996a). The visibility of meanings: mo-delling the mathematics of banking. International Journal ofComputers for Mathematical Learning 1(1), 3-31.

Noss, R. & C. Hoyles (1996b). Windows on MathematicalMeanings: Learning Cultures and Computers. Dordrecht:Kluwer.

Noss R., C. Hoyles & S. Pozzi (2000). Working knowledge:mathematics in use. In: A. Bessot & J. Ridgway (red.). Edu-cation for Mathematics in the Workplace. Dordrecht: Klu-wer Academic Publishers, 17-35.

Noss R., C. Hoyles & S. Pozzi (2002). Abstraction in expertise:a study of nurses' conceptions of concentration'. Journal forResearch in Mathematics Education 33(3), 204-230.

Noss R., S. Pozzi & C. Hoyles (1999). Touching epistemolo-gies: statistics in practice. Educational Studies in Mathema-tics, 40, 25-51.

Noss, R. (2002). Plenary address to the International Group forthe Psychology of Mathematics Education. University ofEast Anglia, 2002.

Noss, R., C. Hoyles, J-L Gurtner, R. Adamson & S. Lowe(2002). Face-to-face and online collaboration: Appreciatingrules and adding complexity. Special Issue of InternationalJournal of Continuing Engineering Education and Life-longLearning, 12(5/6) on Collaborative Learning in NetworkedEnvironments.

Olson, D. (1994). The World on Paper. The Conceptual andCognitive Implications of Writing and Reading. Cambridge:

28

Cambridge University Press. Papert, S. (1996). An Exploration in the Space of Mathematics

Educations. International Journal of Computers for Mathe-matical Learning 1(1), 95-123.

Pozzi S., R. Noss & C. Hoyles (1998). Tools in practice, mathe-matics in use. Educational Studies in Mathematics, 36, 105-

122.Royal Society (2001). Report of the Joint Mathematical Council

on Teaching and Learning Geometry. London: The RoyalSociety, 11-19.

Tufte E. R. (1983). The visual display of quantitative informa-tion. Cheshire, Connecticut: Graphics Press.