Mesure de déplacements par Interférométrie Speckle: application à la détermination du facteur...
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Mesure de déplacements par Interférométrie Speckle: application à la détermination du
facteur d’intensité de contrainte
Laboratoire de Mécanique Appliquée et d’analyse de FiabilitéLMAF
Laurent HUMBERT
Techniques de Mesure: TPd
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Plan
• Introduction
• Interférométrie Speckle (ESPI)
- Principe / arrangements optiques
- Sensibilité du système
• Détermination de KI
- Procédure
- Prise en compte des déplacements rigides
• Éléments de mécanique de la rupture
- Modes de fissuration
- Champs mécaniques en pointe de fissure
• Logiciels utilisés
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Introduction
Critères de sécurité
Structure mécanique
Chargement
Méthodes expérimentales
Rupture
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F
Entaille
Plaque fissurée en traction:
Position du problème
Concentration des contraintes
Facteur d’Intensité de Contraintes (FIC): KI
Rupture si KI > valeur critique
Détermination du FIC ?
- Analytique (analyse complexe,…)
- Numérique (Éléments finis,…)
- Expérimentale (méthodes optiques,…)
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Mécanique de la rupture
Modes élémentaires de fissuration:
Mode d’ouverture (mode I) → chargement symétrique
Cisaillement dans le plan (mode II) → chargement antisymétrique
Cisaillement hors plan (mode III) → chargement antisymétrique
Pb 2D
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Approche proposée par Williams (1957):
Détermination des champs asymptotiques
libre
libre
- Fissure semi-infinie
- Coordonnées polaires (r, à l’extrémité de la fissure
- Milieu élastique linéaire bidimensionnel
Entaille: < Fissure: = ±
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2 2 2
rr r2 2 2 2
1 1 1 1, ,
r r r rr r r
• Contraintes 2D exprimées avec une fonction d’Airy r
• Résolution de l’équation de compatibilité:
Démarche
22 2
2 2 2
1 1r, 0
r rr r
Équation biharmonique
Solution sous forme découplée:
r, r ( ) : valeur propre
Mode III non présent
M od e I M od e II
Aco( s Ccos) Bsin Dsin2 () 2( )
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• En résolvant les conditions aux limites:
r
0 r, 0
d r,0 0
d
n nn n
et C A2 4 n
Solution non triviale si sin 2 0
avec n entier ≥ -3 (physique)
•En pointe de fissure n=-3 → terme prépondérant (solution asymptotique)
3et C 3A
2
…
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Solutions asymptotiques (mode I)
• Champ de contrainte au voisinage de la fissure :
rr
r
3A 35 cos cos
2 24 r
3A 33cos cos
2 24 r
3A 3sin sin
2 24 r
• Facteur d’Intensité de Contrainte (FIC): KI
IK 3A 2
-Dépend des conditions aux limites, de la géométrie de la fissure
2a
- Exemple: IK a
Singularité en r-1/2
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• Champ de déplacement associé au voisinage de la fissure :
Ix
Iy
K 1 r 3u 2 1 cos cos
2E 2 2 2
K 1 r 3u 2 1 sin sin
2E 2 2 2
3
13 4
avec Contrainte plane
Déformation plane
E: module de Young coefficient de Poisson
Solution bornée contenant les paramètres élastiques et reliée au chargement lointain avec KI
Calculé dans le repère cartésien à partir du champ de contraintes par intégration du champ de déformation qui est obtenu avec la loi de Hooke
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Généralisation (mode I, contrainte plane)
• Déplacements proposés par Barker, Sanford et Chona (1985)
1j
2
x 2 jj 0
j 1
2 j 1j 0
1j
2
y 2 jj 0
2 j
r 1 1 1Eu C 1 cos j 1 j sin sin j
1 2 2 2j2
rC 2 cos j 1 1 j 1 sin sin j
j 1
r 1 1 1Eu C 2 sin j 1 j sin cos j
1 2 2 2j2
C
j 1
1j 0
r1 sin j 1 1 j 1 sin cos j
j 1
Par identification pour j=0 : 0 IC K 2 Cj : coefficients inconnus
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12
0
1
32
2
23
52
4
1S 2r 2sin sin cos
2 2 2
S 2r sin
2 3 3S r 2sin 1 sin cos
3 2 2 2
S r sin 2
2 5 5 3S r 2sin 1 sin cos
5 2 2 2
• Forme explicite pour uy :
y 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆE u C S r, C S r, C S r, C S r, C S r, ...
avec
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Interférométrie Speckle
• Principe de l’ESPI (Electronic Speckle Pattern Interferometry)
Caméra CCD
Surface objet (optiquement rugueuse)
Miroir
Soustraction des images d’intensité de l’état initial et de l’état déformé
Franges d’interférence
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Arrangement optique
N
Isovaleurs du déplacement horizontal
Rayons lumineux
Isovaleurs du déplacement vertical
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Site expérimental
Cellule de charge
Plaque entaillée en Plexiglas (150×25×2mm)
Piezo avec miroir
Moteur pas à pas
Objectifs
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Sensibilité du système
Interfrange: f2sin
Comptage des franges: N entier, à partir d’une référence (N=0)
N=0
N=1N=2
N=-1
N=-2
Déplacement surfacique relatifx
y
u u Nf
v u Nf
Sensibilité ~ 0,6µm
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Détermination de KI
i i i 0 i,0 1 i,1 2 i,2 3 i,3 4 i,4N v(r , ) / f C S C S C S C S C S
avec
Pour le déplacement vertical :
Tous les points sur une frange: N identique
P(ri i: point courant de l’interférogramme
ri
Ni
i
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1i i2
i,0 i i
i,1 i i
3i i2
i,2 i i
2i,3 ii
5i i2
i,4 i i
2 1S r 2sin sin cos
Ef 2 2 2
2S r sin
Ef
32 3S r 2sin 1 sin cos
3Ef 2 2 2
1S r sin 2
Ef
5 32 5S r 2sin 1 sin cos
5Ef 2 2 2
- 5 termes de la série suffisants (5 inconnues)
- Procédure analogue avec le déplacement horizontal
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Formation / résolution du système
N points P(ri , iconsidérés (typiquement N=40)
11,0 2,0 i,0 40,0
21,1
1,2 2,2 i,2 40,20 1 2 3 4i
1,3
1,4 2,4 i,4 40,440
1T T
0 1 2 3 4
I 0
NS S S S
NS
S S S SC C C C CN
S
S S S SN
N C S C S S S N
C , C , C , C C
K C 2
… …
………
…
Méthode des moindre carrés
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• Points choisis au minimum d’intensité (franges sombres)
Minimisation de l’erreur de calcul
Ni entiers
• Points voisins de la pointe de fissure sensibles à la valeur de KI
sujets aux erreurs de comptage des franges
• Points éloignés de la pointe de fissure peu influencés par KI moins d’erreurs de comptage
Prendre des points sur tout le domaine
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Prise en compte des déplacements / rotations de corps solides
Translation de corps rigide → champ constant
→ décalage en phase avec les franges
Rotation de corps rigide → champ à gradient constant
→ réseau de franges parallèles
urigide= R + P r cos + Q r sin
Effet sur u:
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Modification du système
Modification de la relation de comptage des franges:
8 inconnues
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Calcul de KI
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Logiciels / programmes utilisés
• Logiciel PISA pour les franges d’interférence (système Unix)
Image de Speckle
Pilote la caméra CCD et le piezo
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• Programme de pilotage du moteur pas à pas (DOS)
Déplacement du mords et mise en tension de l’éprouvette fissurée
• Programme Labview de lecture de la force
• Programme de traitement des images de franges, acquisition des points, calcul de KI (Matlab)
Sous Windows:
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Démarche expérimentale
1) Mise en tension de l’éprouvette
2) Arrangement optique vertical, calcul de la sensibilité f
3) Acquisition des images de phases avec le logiciel PISA pour les états de référence et déformé (au choix)
4) Soustraction pour obtenir une image de frange exploitable: effet du déplacement solide rigide? contraste?
5) Filtrage de l’image
6) Détermination des points de mesure et calcul de KI avec le programme matlab proposé
7) Discussion…