Mecànica Quantìstica · 2016-09-06 · La manera che as deuvra, ëd sòlit, për antroduve la...

Mecànica quantìstica - Prima part

I

Carlo Demichelis

Nòte 'd n'arsercador an pension da pijé coma material diletantìstich, socià al pòstweb (ragnà)

http://digilander.libero.it/dotor43

Fìsica

Mecànica Quantìstica

Session ch'a fà ses

Socià al pòst web http://digilander.libero.it/dotor43

E

k

banda ‘d condussion

banda ‘d valensa

fotonassurbì

fonon

Ec

Ev




II

Pàgina lassà veuida apòsta


III

Presentassion e avertense për la letura

Ël but ëd costa session a l'é sempe l'istéss ëd col ch'a l'ha portà a campé giù le session ch'a ven-o prima.I arpetoma che, beleché l’autor a sia un fìsich e a l’abia fàit l’arsercador tuta soa vita ëd travaj, vist che a l’é maistàit sò mesté ël mostré a l’Università, tut ël material arportà ambelessì a venta che a sia pijà coma diletantistich.

An efét ste nòte a son sempe socià al pòst “web” (an italian a-j diso “sito”) amatorial, e pròpi machamatorial, http://digilander.libero.it/dotor43 ëd l’autor (vis-a-di: mi).

Sì i vardoma, sensa andé tròp ant l'ancreus, ij pont ëd partensa e le implicassion prinsipaj dla FìsicaQuantìstica. An sl'interpretassion ëd tuta la teorìa ancora adéss as discut, e noi is pijoma bin varda d'intré ant ladiscussion. Com a l'é capità për la Relatività, ëdcò për la Mecànica Quantistica (e ambelessì fin-a 'd pì) a l'énecessàri un cambi 'd mentalità rispét a la "tranquila sicurëssa" dla Fìsica clàssica, ma noi i voroma nen intré ancostion filosòfiche. Pitòs an anterésso coj arzultà che a përmëtto d'antërpreté la Fìsica dj'àtomo, dle molécole dijcristaj e dle radiassion che a son necessàrie ant lë studi dl'eletrònica.

Ant ël cors dla tratassion, an particolar an prinsìpi, i arciamroma còse che i l'oma dësgià dit ant lesession prima, quaicòs i arpetroma e për quaicòs is contentroma 'd dé j'arferiment.

Ëdcò për costa part i foma donca 'l sòlit travaj.



IV

TÀULA GENERAL DLE PART

Part 1: - Orìgin - Arciam - Complement matemàtich - An costa part i vardoma prima le rason che a l'hanobligà ij fìsich a serché na neuva teorìa për podèj spieghé j'arzultà dle misure. I vardroma donca ij pont ëd crisi dle teorìeclàssiche seurtì da j'esperiment e le prime solussion proponùe për giustifiché j'esperiment midem. Dòp ëd sòn i arciamoma 'dcòij prinsipaj concét ëd Mecànica Analìtica, che a vniran a taj, përchè da lì a part la Mecànica Quantìstica, e peui i vardomaquaicòs an sjë spassi vetoriaj e l'estension a le spassi ëd Hilbert. I vardoma j'operator an costi spassi, giontand lòn che an vniràa taj pì anans, e che a l'é nen stàit vist ant la part relativa a j'Utiss Matemàtich përché a son formalism che la Fisica Classicaa deuvra nen.

Part 2: - Prinsìpi dla Mecànica Quantìstica. - Ant la prima part i l'oma vist le rason për elaboré na neuvaMecànica, e j'idèje che a son stàite proponùe për arzòlve ij problema che man man as presentavo. Coste a j'ero idèje 'd quàicharsercador genial, na vira an s'un sogét e na vira an 's l'àutr. Man man che ste idèje a vnisìo publicà j'arsercador a comensavoa fésse un concét ëd costa neuva Mecànica, ma sti concét nen sempe a cobiavo tra 'd lor. Dòp vàire discussion a s'é rivà aunifiché j'idèje. e monsù Dirac a l'ha butà ansema un formalism acetà da tuti. Le discussion a son nen finìe e a contìnuo fra ijfilòdofo dla siemsa. Noi i lassoma ch'a faso, An costa part i enunsioma ij prinsìpi dla Mecànica Quantìstica an formacoerenta. A l'é ciàir che i arpetroma pì che mach quaicòs ëd lòn ch'i l'oma già dit ant la prima part.

Mecànica quantìstica - Part 1 - D'andova a lé seurtìa

1

Part un - Orìgin - Arciam - Complement matemàtich

An costa part i vardoma prima le rason che a l'han obligà ij fìsich a serché na neuva teorìa për podèj spieghéj'arzultà dle misure. I vardroma donca ij pont ëd crisi dle teorìe clàssiche seurtì da j'esperiment e le primesolussion proponùe për giustifiché j'esperiment midem. Dòp ëd sòn i arciamoma 'dcò ij prinsipaj concét ëdMecànica Analìtica, che a vniran a taj, përchè da lì a part la Mecànica Quantìstica, e peui i vardoma quaicòs an sjëspassi vetoriaj e l'estension a le spassi ëd Hilbert. I vardoma j'operator an costi spassi, giontand lòn che an vnirà ataj pì anans, e che a l'é nen stàit vist ant la part relativa a j'Utiss Matemàtich.

TÀULA DLA PRIMA PART

Le conossense clàssiche ............................................................................................................................................................ 5La natura dla lus .................................................................................................................................................................... 5

Interferensa fra doe filure - Esperiment ëd Young .................................................................................................... 6Esperiment originari ëd Young .................................................................................................................................. 7

Radiassion dël còrp nèir ...................................................................................................................................................... 7Teorema 'd Kirkhhoff..................................................................................................................................................... 8Ël còrp nèir ....................................................................................................................................................................... 9La lèj dë Stefan .............................................................................................................................................................. 10La lèj dë Stefan-Boltzmann ......................................................................................................................................... 10La lèj ëd Wien ............................................................................................................................................................... 10La lèj dlë spostament ëd Wien.................................................................................................................................... 13

La crisi dël prim neuvsent ..................................................................................................................................................... 15Radiassion dël còrp nèir ................................................................................................................................................... 15

Fòrmule ëd Wien e ëd Rayleigh-Jeans ....................................................................................................................... 15Fòrmola ëd Planck ....................................................................................................................................................... 15Implicassion dla fòrmola 'd Planck ............................................................................................................................ 16

Calor spessìfich a bassa temperatura .............................................................................................................................. 17Comportament sperimental a bassa temperatura .................................................................................................... 17

Efét fotoelétrich................................................................................................................................................................. 18Stabilità dj'àtomo ............................................................................................................................................................... 20

L'àtomo ëd Böhr........................................................................................................................................................... 21Ipòtesi ëd Böhr për l'àtomo ..................................................................................................................................... 21Esperiment ëd Franck e Hertz................................................................................................................................. 23

Efét Compton .................................................................................................................................................................... 24Esperiment ëd Young ....................................................................................................................................................... 26

Interpretassion dl'esperiment con la teorìa dij foton .............................................................................................. 27J'ónde ëd de Broglie .......................................................................................................................................................... 28

Velocità 'd fase, ëd grup - Pachet d'ónde .................................................................................................................. 28Esperiment ëd Davisson e Germer ........................................................................................................................... 29Equassion dj'ónde 'd de Broglie ................................................................................................................................. 29Esperiment ëd Young con j'eletron ........................................................................................................................... 30Interpretassion ëd Born ............................................................................................................................................... 31

A propòsit ëd trajetòria .................................................................................................................................................... 32Prinsìpi d'indeterminassion ëd Heisemberg .................................................................................................................. 32

Microscòpi ëd Heisemberg ......................................................................................................................................... 33


2

Variàbij compatìbij ....................................................................................................................................................... 34Prinsipi dë dzorposission e stat quantìstich .................................................................................................................. 34Quantisassion spassial, esperiensa ëd Stern e Gerlach ................................................................................................ 35

Foton polarisà - corispondensa polarisassion-spin ................................................................................................. 36Arciam ëd mecànica analìtica ................................................................................................................................................ 39

Partìcola sogéta a un potensial ........................................................................................................................................ 39La formulassion Lagrangian-a ......................................................................................................................................... 39La formulassion Hamiltonian-a....................................................................................................................................... 40Le parèntesi ëd Poisson .................................................................................................................................................... 41Equassion ëd Hamilton-Jacobi........................................................................................................................................ 42

Utiss matemàtich .................................................................................................................................................................... 43Ij nùmer compléss ............................................................................................................................................................. 43

La notassion esponensial ............................................................................................................................................. 44Da 'ndova a ven costa notassion ........................................................................................................................... 45

Spassi vetoriaj reaj ............................................................................................................................................................. 45Spassi vetoriaj compléss ................................................................................................................................................... 48

Spassi vetoriaj con prodòt intern ............................................................................................................................... 48La notassion ëd Dirac................................................................................................................................................ 49Definission dël prodòt intern ................................................................................................................................... 49

La notassion ëd Dirac .................................................................................................................................................. 50Procediment ëd Gram-Schmidt ................................................................................................................................. 51

Fonsion intèise coma vetor .............................................................................................................................................. 52Generalisassion dël prodòt intern .............................................................................................................................. 52

Operator linear ................................................................................................................................................................... 53Àlgebra dj'operator ....................................................................................................................................................... 54

Operator coma matriss ............................................................................................................................................. 55Operator giontà (traspòst coniugà)................................................................................................................................. 56Spassi ëd Hilbert ................................................................................................................................................................ 57Autovalor, autovetor, autofonsion ................................................................................................................................. 58

Equassion caraterìstica................................................................................................................................................. 58Operator Hermitian .......................................................................................................................................................... 59

Autovalor e Autofonsion d'operator Hermitian...................................................................................................... 59La "fonsion" Delta ëd Dirac ............................................................................................................................................ 60Equassion con pì che na variàbil indipendenta ............................................................................................................ 61


3

TÀULA DLE FIGURE DLA PRIMA PART

Figura 1 - Interferensa fra doe filure, sors d'ónde eletromagnétiche ................................................................................ 6Figura 2 - Esperiment originari 'd Young .............................................................................................................................. 7Figura 3 - Dimostrassion dël teorema 'd Kirkhhoff ............................................................................................................ 8Figura 4 - Aprossimassion d'un còrp nèir ............................................................................................................................. 9Figura 5 - Dimostrassion dla lèj ëd Wien ........................................................................................................................... 11Figura 6 - Dimostrassion che la radiassion as manten nèira............................................................................................ 11Figura 7 - Lèj dlë spostament ëd Wien ............................................................................................................................... 14Figura 8 - Confront fra le fòrmole e ij dàit sperimentaj ................................................................................................... 16Figura 9 - Calor spessìfich a bassa temperatura ................................................................................................................. 17Figura 10 - Dispositiv për studié l'efét fotoelétrich .......................................................................................................... 18Figura 11 - Schema d'un generator ëd lus a frequense diferente .................................................................................... 20Figura 12 - Giustificassion dlë spétr dl'idrògen ................................................................................................................. 22Figura 13 - Misura 'd Franck e Hertz .................................................................................................................................. 23Figura 14 - Arzultà dl'esperiment ëd Franck e Hertz ....................................................................................................... 24Figura 15 - Efét Compton .................................................................................................................................................... 24Figura 16 - Esperiensa 'd Young .......................................................................................................................................... 26Figura 17 - Esperiensa 'd Young con un-a ò doe filure ................................................................................................... 27Figura 18 - Prinsìpi d'indeterminassion, n'esempi ............................................................................................................. 33Figura 19 - Microscòpi ëd Heisemberg ............................................................................................................................... 34Figura 20 - Esperiment dë Stern e Gerlach ........................................................................................................................ 35Figura 21 - Corispondensa polarisassion-spin ................................................................................................................... 36Figura 22 - Arpresentassion dij nùmer compléss .............................................................................................................. 43Figura 23 - Arpresentassion d'un vetor ............................................................................................................................... 52Figura 24 - Corispondensa vetor-fonsion .......................................................................................................................... 52Figura 25 - Operator ëd rotassion ....................................................................................................................................... 53


4



5

LE CONOSSENSE CLÀSSICHE

La manera che as deuvra, ëd sòlit, për antroduve la Mecanica Quantìstica a l'é cola 'd fé la stòriadj'osservassion che a l'han rendùla necessaria. I foma 'dcò noi parèj.

Ant ël camp dla Mecànica jë studi a l’avìo portà a na formulassion analìtica potenta e eleganta(Lagrange, Hamilton, Jacobi), mentre jë studi an sl’eletricità e an sël magnetism, a l’avìo dàit na spiegassion ëd tutiij fenòmeno, e Maxwell a l’avìa formulà soe quatr equassion che a arsumìo an manera satìa tute ste teorìe.

Pròpi mentre a smijava che tut a cobièissa an manera precisa, e che ògni fenòmeno a trovèissa na soagiustificassion analìtica an cost formalism, j’arzultà sperimentaj trovà an d’esperiment che man man a podìo essefàit an manera sempe pì precisa, an particolar a livél microscòpich (molécole, àtomo, cristaj) a l’han anvececomensà a dimostré che quaicòs a fonsionava nen, se as pijava për bon mach ël camp dla Mecànica ëd Newton eij sò svilùp. Sòn a parte dal comportament dla lus e dle radiassion an general. Com i l'oma vist a-i ero vnù fòraproblema con la misura dla velocità dla lus. mentre a cobiavo nen con j'esperiment le giustificassion clàssichedl'emission d'energìa.

Parèj com a l’è capità për la Relatività (i l'oma vistlo ant la prima session, ùltima part), ëdcò la MecànicaQuantìstica a ven da la necessità ëd giustifiché j’arzultà sperimentaj, che a son motobin diferent da lòn che idovrìo spetésse da le teorìe clàssiche, cand as comensa a fé d'esperiment an sël mond microscòpich. La FìsicaClàssica e le lej ëd Newton a son sempe ij pont ëd partensa e a peulo esse aplicà con pì che bon-a precision a tutël mond macroscòpich, ma për dëscrive 'l comportament dël mond microscòpich a livél atòmich a deuvo esseintegrà da d'àutri prinsìpi, che a corispondo motobin manch a cola che a l'é nòstra intuission, e che a ciamo uncambiament ëd mentalità, pròpi com i l'oma dësgià vist për la Relatività.

Macassìa, sensa conòsse la Fìsica Clàssica, a l'é nen possìbil studié la Fìsica Quantìstica (as peul nenparte da la Fìsica Quantìstica për studié Fìsica).

La natura dla lusAi sò temp, Newton a suponìa che la lus a fussa fàita da partìcole, mentre Huygens, che a l'era 'dcò

chièl dij temp ëd Newton, a pensava che la lus a fussa fàita da onde. Newton a pensava a costa teotìa përchè, antij sò esperiment, a l'avìa nen arlevà d'efét d'interferensa e difrassion che a son caraterìstich dla propagassion përonde, ma Huygens a disìa che sòn a l'era mach dovù a la mancansa 'd possibilità, për col temp, ëd fé misureprecise a basta.

Parèj coma ij fenòmeno relativistich a j'ero nen evident a rason dla motobin àuta velocità dla lus e dlepartìcole sub-atòmiche, rispét a le velocità dl'esperiensa, parèj a l'era nen evident un fenòmeno ondulatòri conlonghësse d'onda motobin pì cite dle pì cite còse ch'as savìjo manegé.

An efét cand a l'é stàit possìbil butè ansema 'd misure pì precise, fàite peui da Young e da Fresnel ant ël1801 a butavo an evidensa che la lus as comportava pròpi coma n'onda ch'as propaga, e che a-i era interferensafra doe sors ëd lus coerenta, mentre sinquant'ani dòp (1850) Foucault a dimostra che le velocità dla lus a l'édiferenta ant l'ària rispét che ant l'aqua, còsa che a dimostrava la possibilità dla difrassion.

Dòp des ani (1860) Maxwell a l'avìa trovà na formulassion satìa dle lèj che a goerno eletricità emagnetism, e da sì as arcavava che ij camp elétrich e magnétich, sempe socià fra 'd lor cand a j'ero variàbij, a

podìo propaghésse coma onde ant lë spassi con na velocità dàita da00

1v , e costa a l'era pròpi la velocità

che a l'era stàita misurà për la lus. Subit dòp Hetrz a dimostrava, da na mira sperimental, che j'ondeeletromagnétiche a esisto dabon, e prima dla fin dël secol ch'a fà disneuv che la lus a fussa n'onda a l'era acetà datuti. I vëddroma pì anans che pròpi a la fin dl'eutsent e an prinsìpi dël neuvsent sta convinsion a tornava a andéan crisi, sempe a rason ëd precis esperiment an 's l'emission e l'assurbiment dle radiassion.

I l'oma già acenà a l'esperiment ëd Young dël 1801 ant la Session 4, Sotsession "Òtica geométrica",Part 4 (Introdussion a l'òtica fìsica) pag. 195. I voroma arportélo ambelessì giusta për avèjlo sotman, vist che apeul esse arfàit, an d'àutre manere, për dé d'àutre informassion amportante (e sòn i lo vëddroma dòp).


6

Interferensa fra doe filure - Esperiment ëd YoungIs arferima a figura 1, andova i l'oma schematisà e semplificà cost esperiment fàit, com ant ël 1801, an

manera ëd confermé la natura ondulatòria dla lus.Ant la figura i l’oma n’onda pian-a che a riva përpendicolar an 's në scherm S1, e donca con ij front

d’onda paraléj a lë scherm midem. St'ónda a peul esse pensà coma prodòta da na sors a forma 'd pont, butàlontan da le scherm e an sl'ass fra le doe filure, an manera 'd podèj consideré le surfasse d'ónda pian-e.

Ant lë scherm a-i son doe filure paralele F1 e F2, e a na distansa gròssa da le schërm S1 a-i è në schermS2 paralel al prim, andova as peul vëdde la lus che a riva da le filure. Le filure peui a son motobin longhe rispét alòn ch’a son larghe, an manera che i podoma vardé ‘l problema an doe dimension, second la session disegnà anfigura. Ancora, ste filure a son motobin sutìle.

I suponoma che l’onda pian-a che a riva contra lë scherm S1 a sìa n’onda monocromàtica. Da le filureF1 e F2 , che i suponoma esse pì strèite dla longhëssa d’onda dla lus incidenta, a seurto doe onde coerentecilindriche generà da jë stessi front d’onda. Le filure a son a na distansa d fra ‘d lor e lë scherm S2 a l’è a nadistansa D da lë scherm S1, con D d.

An slë scherm S2 riva la lus da le filure e as forma n’imàgin dàita da bande ciàire antërcalà a bandescure. Coste a son dite “frange d’anterferensa ”. Për studié ste frange ‘l procediment a l’è ilustrà sì sota.

Ondapian-a

d

x

P

O

tr

sF1

F2

S1 S2

D

Figura 1 - Interferensa fra doe filure, sors d'ónde eletromagnétiche

I consideroma ‘l pont genérich P an slë scherm S2 , che a l’è a distansa x da l’ass normal a lë scherme che a passa për ël senter dël segment che a uniss le doe filure. Sto pont a arsèiv ël ragg s che a riva da F1 e ‘lragg t che a riva da F2 . Dal moment che D d , i podoma consideré che ‘l pont P a arsèiv da la diression r,doi ragg , che a parto con l’istéssa fase, dont la diferensa ‘d camin òtich a l’è . Se a l’è l’àngol fra l’ass e lariga drita r, antlora i l’avroma che d sin .

Antora i l’avroma che la diferensa ‘d fase dle doe onde a sarà dàita da 2 . Sta diferensa ‘d

fase a sarà donca fonsion dl’àngol , e sostituend:

sin2 d

Sòn a pòrta a n’intensità dla lus ant ël pont P dàita da:

sincos42

cos4 20

20

dIII

andova I0 a l’è l’intensità che a sarìa dàita da na filura sola (onda sférica).


7

Ël cossen al quadrà a val cand so argoment a val n , con n nùmer antrégh che a va da 0 anans, e a

val 0 cand so argoment a val2

12 n . Da sì as treuva che l’intensità a presenta ‘d màssim cand nd sin

e doncad

nsin . A l’istessa manera i l’avroma ij mìnim d’intensità cand2

1sin nd e donca

dn

212sin .

An pràtica a venta ten-e cont che le filure a l’han sempe na dimension finìa e donca quàich fenòmeno‘d difrassion da na filura (coma col ch’i l’oma vist prima) a lo produvo. A parte dal prim màssim an sl’ass, j’àutrimàssim a son nen d’ampiëssa costanta, ma a calo man man che l’àngol a chërs.

Esperiment originari ëd YoungL’esperiment ëd Young a l’è dë sto tipo e, ant ël 1801, a l’è servì a dimostré la natura ondula teòria dla

lus. I lo arpresentoma an figura 2. La sors dovrà a l’è la lus dël sol, che con në spécc a l’è mandà contra un citbeucc (dimension dle longhësse d’onda) arcavà ant në scherm A. La lus dël sol a l’è, da ‘s për chila, nen coerenta,e a l’è formà da vàire treno d’onda e vàire color.

La lus che a passa dal beucc a dà orìgin a onde sfériche che a l’han l’istéssa natura iregolar dla lusincidenta an slë scherm A. As trata però ëd surfasse sfériche che an tuti ij pont a l’han j’istesse carateristichecoma fase, frequensa, ampiëssa. Cand coste surfasse a rivo a la distansa D1, che a l’è gròssa rispét a la distansa ddij doi beucc che as treuvo an slë scherm B, a peulo esse considerà coma onde pian-e, e an sij doi beucc (citcoma ‘l prim) as presenta l’istéss front ant l’istéss moment.

Ij doi beucc dlë scherm B a dvento sors d’onde sfériche che fra ‘d lor a son coerente, fàite da surfasseistesse che as propago a l’istessa manera. Për ste doe onde, ògni moment, a valo le considerassion ch’i l’oma fàitprima. An slë scherm C as formo antlora le frange d’interferensa con jë stéss criteri.

SOL

spécc

A

D1 D2

B C

d

Figura 2 - Esperiment originari 'd Young

Radiassion dël còrp nèirSecond la teorìa 'd Maxwell (e dl'eletromagnetism an general) ògni cària an moviment nen costant a

anraja energìa emëttend n'onda eletromagnética. Ògni còrp a temperatura pì àuta dël zero assolut a conten ëdcàrie an vibrassion e a manda donca d'energìa, anrajà sot forma d'ónde eletromagnétiche, dont la lus a l'é giustana cita frassion, e a l'istéss temp a arsèiv da fòra energìa mandà da tut lòn che a-i é antorna, fin-a a rivé an'echilìbri, a na dàita temperatura T. La lus ch'i conossoma a ven anrajà mach a temperature bin àute, mentre atemperature pì basse l'anrajament a corispond a onde an sle frequense infra-rosse (calor), macassìa i ciamoma,ambelessì, sempe "lus" st'anrajament.

Consideroma antlora un còrp qualonque an echilibri con la radiassion, e i armandoma 'dcò a la sessionsinch ëd coste nòte, part eut pàgine 263-265, andova i l'oma definì na densità d'energìa e na densità d'impuls.


8

Na manera convenienta 'd consideré na situassion dë sto tipo a l'é cola 'd pensé a un gav ant la matéria,che a peul conten-e opura nen d'autri còrp, ël tut a na temperatura T, an echilibri con la radiassion ch'as produvant ël gav midem. I ciamoma u la densità dl'energìa che as ëstabiliss ant ël gav.

I consideroma antlora na surfassa elementar ds e i scrivoma cola ch' a l'é l'energìa E che a riva su stasurfassa da l'àngol sòlid d ant ël temp dt da la diression rispét a la normal a la surfassa:

cos4

dsdtcd

uE

e as peul scrive cola ch'a l'é la quantità d'impuls P corispondent:

cos4

dsdtd

uP

A sta mira i podoma calcolé la pression dla radiassion. La variassion dl'impuls an diression normal a lasurfassa, suponend che la radiassion a sia arbatùa, a val 2 P cos . Dividend për ël temp as oten la fòrsa edividend për la surfassa as oten la pression p natural, dòp avèj integrà an sl'àngol sòlid.

3cos

42

cos2 2 udu

dsdtP

p

I comensoma a dì che la densità d'energìa u a dipend da la temperatura T, e as distribuiss an slediferente frequense ant na manera che a l'é l'ogét dlë studi an sla radiassion dij còrp.

Teorema 'd Kirkhhoff

I definima la composission spetral dla densità d'energìa ciamand u ( , T) d la densità dl'energia confrequensa comprèisa fra e + d , a na dàita temperatura T. I l'avroma donca che:

dTuTu ,0

Monsù Kirkhhoff a l'ha dimostrà che la fonsion u ( , T) a dipend nen dal tìpo ëd gav considerà, ma al'é na "fonsion universal ". I podoma consideré, an efét doi gav coma coj arpresentà an figura 3

Figura 3 - Dimostrassion dël teorema 'd Kirkhhoff

An figura a son arpresentà doi gav A e B, che i suponoma diferent fra 'd lor, portà da doi termòstato al'istéssa temperatura T. I colegoma ij doi gav con un condutor ëd lus che a lassa passé mach na frequensa (filterëd lus) e i gavoma ij termòstato. I suponoma për assurd che la densità u d'energìa socià a la frequensa a sia pìgròssa ant ël gav A che l'istéssa densità ant ël gav B. I suponoma donca ch'a sìa u (A) > u (B) . Travers ëlcondutor ëd lus a-i sarìa un passagi ant ij doi sens d'energìa a la frequensa ma da A vers B sto passagi a sarìa pìàut che an sens contrari. Sòn a portrìa n'aument ëd temperatura ant ël gav B e na diminussion ant ël gav A, conpassagi 'd calor da na temperatura pì bassa a un-a pì àuta sensa travaj da fòra. Ël sàut ëd temperatura a podrìapeui esse sfrutà për fé un travaj con un calor che a l'é partì a A e a torna an A. Tut sòn a l'é contràri ai prinsìpi dlatermodinàmica, e donca, a l'istessa temperatura a venta che a sìa u (A) = u (B) , qualonque a sìo ij gav.

d

A BT T


9

Ël còrp nèirI partoma dal consideré un còrp qualonque a la temperatura T, che a l'é bon a emëtte energìa an

manera mach dipendenta da la temperatura midema. I ciamoma J l'energìa che a ven anrajà al second dal'unità 'd surfassa a la frequensa e ant l'unità d'àngol sòlid an diression . J a l'é dit "coeficentd'emission", e l'energìa dWem anrajà ant l'unità ëd temp da la surfassa dS ant l'interval ëd frequense fra e

d e ant l'àngol sòlid d a sarà dàita da :

dddSJWd em ,

I suponoma che 'l còrp a sìa sotponù a n'anrajament dont I ( ) a l'é la densità spetral për unità d'àngolsòlid, i podoma scrive l'energìa che a riva ant l'unità ëd temp an sla surfassa dS fra e d e ant l'àngol sòlidd ant la diression a sarà dàita da

cos4d

ddSIcWd inc

ma nen tuta costa radiassion a sarà assurbìa, dal moment che na part a podrà esse arbatùa. I disoma donca che a-isarà un "coeficent d'assurbiment" A . A l'echilibri a venta che la radiassion assurbìa a sia istessa a colaanrajà, e donca a venta ch'a sia

cos4

,,donca dddSIcAdddSJWdWd incem

e donca i podoma scrive che

cos4

,, cIAJ

Se i tornoma a consideré nòstr gav i l'oma che I a l'é nen d'àutr che la densità spetral u a la dàitatemperatura T. Se i scrivoma ël rapòrt fra coeficent d'emission e coeficent d'assurbiment i trovoma che

cos4,

, cuAJ

e donca sto rapòrt a dipend nen da le caraterìstiche dël còrp, ma mach da la densità spetral ant ël gav.I suponoma che A a sia ugual a 1 su tute le frequense, vis-a-dì che tuta la radiassion che a riva an

sël còrp a sìa assurbìa. Un còrp parèj a ven ciamà "còrp nèir ", nen përchè a emëtta nen lus, còsa che anvece a fàcoma tuti ij còrp, ma përchè a arbat nen la lus che a arsèiv. Da l'espression ch'i l'oma scrivù sì dzora a arzultaantlora che ël coeficent d'emission ,J a l'é anlià an manera direta a la densità d'energìa u an echilìbri con ëlcòrp. Un còrp parèj, an natura , a esist nen ma a peul esse motobin bin aprossimà an manera pitòst sempia. Isarferima a figura 4.

Figura 4 - Aprossimassion d'un còrp nèir

As consìdera un gav coma coj dëscrivù prima, con paréte impermeàbij al calor, che a l'àbia un cit beuccant na paréte. Ël gav a l'é an echilìbri con la radiassion a na temperatura T. El cit beucc, socià al gav darera, ascompòrta coma un còrp nèir. An efét na qualonque radiassion incidenta an sël beucc, contut ch'a peussa esse

gav radiassionincidenta

cit beuccT


10

arbatua vàire vire da le parete interne, a l'ha bin pòche probabilità ëd rivé a seurte torna, an manera nentrascuràbil dal beucc d'intrada.

Dal beucc peui a seurt la radiassion anlià a la densità d'energìa ant ël gav. Ël beucc a l'é suponù cit anmanera ëd nen auteré le condission dël gav. L'energìa al second W anrajà dal còrp nèir për unità 'd surfassa astreuva integrand ël coeficent d'emission ,J su tute le frequense e an sl'àngol sòlid estern a la surfassa.

La lèj dë StefanDa na mira sperimental, monsù Stefan, a l'ha trovà la lèj che a anlìa l'emission d'energìa al second për

unità 'd surfassa W con la temperatura T. Sta lèj a dis che :4TW

andova për a l'é stàit trovà 'l valor 4281067,5

KmW .

I l'oma vist che l'energìa al second anrajà për unità 'd surfassa a l'é proporsional a la densità d'energìainterna u , e donca i podoma 'dcò scrive sta lèj coma: 4Tau .

La lèj dë Stefan-BoltzmannA l'é l'istéssa lèj ed prima che monsù Boltzmann a l'ha dàje na giustificassion termodinàmica. Sòn a l'é

amportant përchè a dis che 'l procediment segoì dal rasonament teòrich a l'é giust.I consideroma un "gav nèir " ëd coj vist prima, che a l'àbia un volum V, con n'energìa interna U uV

e na pression che, com i l'oma vist, a sia p u/3. I aplicoma lë scond prinsìpi dla termodinàmica , andova S a l'él'entropìa, e i scrivoma:

dTdTdu

TVdVpu

TdVp

TduVdVu

TTdVp

TVud

TdVpdUdS 111

I consideroma antlora le derivà parsiaj dl'entropìa rispét al volum e rispét a la temperatura e i l'oma:

dTTduV

TS

Tu

T

uu

Tpu

VS :

343

e dal moment che dS a l'é un diferensial precis, a venta ch'a sia:

uTV

VTu

TTS

VVS

T 34dì-a-vis

andova i l'oma indicà con u' la derivà ëd u rispét a T. Da sì as arcava l'equassion diferensial

034

31

2Tu

Tu

La solussion ëd costa equassion, butand coma condission al contorn che u(0) 0 , a peul esse scrivùa4Tau

La lèj ëd WienSempe partend da considerassion termodinàmiche a l'é stàita dimostrà da monsù Wien la forma dla

relassion che a anlìa la densità d'energìa ant un gav ëd coj ch'i l'oma vist con le variàbij e T. As treuva nadipendensa dël tipo:

TfTu 3,


11

Vis-a-dì che la fonsion f indicà a dipend nen an manera indipendenta da le doe variàbij e T, ma machdal rapòrt dle doe.

Për la giustificassion ëd costa lèj is arferima a figura 5, andova i suponoma un gav con parete d'aututarbatente, dont un-a a peul esse spostà vers l'andrinta dël gav. Ant ël gav midem i suponoma d'avèj inietà na"radiassion nèira", che as manten con soa caraterìstiche a rason dle parete d'autut arbatente.

Figura 5 - Dimostrassion dla lèj ëd Wien

I suponoma che an sla parete mòbil ëd surfassa A, che as bogia vers l'andrìnta con na velocità vpanfinitésima, a incida, a l'àngol , un ragg a frequensa . Cola che i produvoma a l'é na compression adiabàticareversìbil. Cand ël ragg a ven arbatù a càmbio tant soa frequensa (efét Dòppler) coma soa energìa.

I podoma supon-e che 'l ragg a sia prodovù da na sors a distansa x da la parete, e che 'l ragg arbatù ariva da na sors virtual da 'd là dla parete. La distansa fra sors real e sors virtual a l'é donca 2 x, la variassion ëddistansa a l'é 2 dx ant ël temp dt, e donca për l'efét Dòppler la velocità da consideré a l'é 2 vp . Se 'l raj incident al'ha na frequensa , col arbatù a l'avrà na frequensa ' dàita da:

cos21c

v p

Dòp na dàita compression i l'avroma che la distribussion dl'energìa a sarà cambià rispét a cola 'dpartensa Tu , , e a sarà na u' ( ) che a dovrà esse tala che:

dTudu00

,

dal moment che 'l sistéma a l'ha arseivù un travaj da fòra che a l'ha aumentà soa energìa interna. A-i sarà donca

na temperatura T' tala che: dTudu00

, vis-a-dì che l'energìa total a corispond a cola ed na

radiassion nèira a temperatura T'. Se nòstra neuva distribussion a fussa diferenta da cola ëd na radiassion nèira,antlora a ventrìa che a-i fusso almanch doe frequense 1 e 2 tale che:

TuuTuu ,2;, 211

Figura 6 - Dimostrassion che la radiassion as manten nèira

vpAA

’

A BFilter Filter

u’ (u ( T’ u ( T’


12

ma se a fussa parèj i podrìo anmaginé ëd butésse ant le condission ëd figura 6, andova i suponoma che nòstrascàtola a parete arbatente a ven-a colegà da doi filtro 'd lus a doi gav con radiassion nèira, an partensa a latemperatura T' tuti doi. Un dij condutor seletiv, colegà al gav che i ciamoma A, a lassa passé la frequensa 1 el'àutr, colegà al gav che i ciamoma B, a lassa passé la frequensa 2.

A sta mira i l'avrìo d'energìa che da nòstra scàtola a passrìa ant ël gav A, mentre d'energìa a passrìa dalgav B a nòstra scàtola. Suponend che fra intrada e seurtìa i peusso mantèn-e costanta l'energìa an nòstra scàtola, il'avrìo che ant ël gav A la temperatura a chërs e ant ël gav B la temperatura a cala, con passagi d'energìa da natemperatura bì bassa a un-a pì àuta, contra lë scond prinsìpi dla Termodinàmica.

A venta donca che a sia Tuu ,11 , vis-a-dì che la radiassion a resta "nèira" durant latrasformassion, e la temperatura T a cambierà con ël volum, second la lèj ëd conservassion dl'entropìa:

cost.34 3VTa

L'energìa che a và a incide an sla surfassa A dla parete, con na frequensa ant ël temp dt rivand dan'àngol , da lòn ch'i l'oma vist, a val:

ddtcAd

udtdI cos4

, .

Donca l'energìa che, al second, a riva an sla parete a val I d . An corispondensa l'impuls a valrà I d /c.Për la conservassion dl'energìa a venta che l'energìa arbatua a sia cola incidenta pì ël travaj fàit da la fòrsa esternache a spòsta la parete. La fòrsa relativa, për na trasformassion dë sto tipo, a corispond a la fòrsa d'echilìbri, che asoa vira a corispond a la variassion dl'impuls al second. Da lòn ch'i l'oma vist prima i l'avroma:

cos2cdIF che a corispond al travaj dtvFL p

L'energìa che a ven arbatùa ant un temp dt an corispondensa dël raj incident a sarà:

dtc

vdIdtv

cdIdtdI p

p cos21,cos2,

Se i consideroma la component dl'energìa che a incid a frequensa , costa a ven perdùa al complét përël cambi 'd frequensa dàit da l'efét Dòppler. Donca a-i é na pèrdita dàita da:

dtI ,

A-i é peui un guadagn dàit da frequense che për efét Dòppler a dvento . Coste a son dàite da la

relassion inversa a cola ch'i l'oma vist prima, vis-a-dì, fërmandse al prim órdin përc

v p :

cos211 c

v p

I l'avroma antlora un guadagn d'energìa

dtdIdtc

vdI p ,cos21, 111

andova, an efét, i l'oma butà dc

v

c

vd

c

vd ppp cos21cos21cos211 , sempe fërmandse al

prim órdin përc

v p : Svilupand an série 'd Taylor, e fërmandse al prim termo, i l'oma:


13

cos4

cos2,,1 dtcAdc

vuII p

I consideroma che61cos

42d e i otnima che:

ddVu

ddtvAu

p 31

31

andova dV a l'é la variassion ëd volum elementar, dàita da la surfassa për la velocità për ël temp dt. Ël segn a tencont che as trata ëd n'ardussion ëd volum. La variassion spetral dl'energìa a l'é donca:

dVu

Vud31

ma i l'oma che u a dipend dal temp mach përchè V a dipend dal temp, e donca i podoma scrive:

dVuVdVVu

Vud donca dVu

dVuVdVVu

31

che, semplifià, a pòtra a l'equassion diferensial:

uu

Vu

V3

I podoma fé la sostitussion ëd variàbij : x V e y 3 V. An costa manera le derivà parsiaj a dvento:

yu

Vu

yu

xu

Vu 23 3;

e con coste posission nòstra equassion diferensial a dventa:

0dìcoma0dì-a-vis3

uxx

ux

uxu

uy

uy

xu

x y

ma sòn a veul dì che la fonsion x u a dipend mach da y. Ma antlora i l'avroma che :

yfx

uyfux 111 e se i tornoma a le variàbij ëd partensa Vf

Vu 3

11

Adéss i consideroma che, për na trasformassion coma cola ch'i l'oma suponù, për la conservassiondl'entropìa, i l'oma che T3 V = cost. e che donca V = cost / T3. Se i andoma a fé le sostitussion, a la fin ipodoma scrive:

TfTu 3,

e costa a l'é la lèj ëd Wien, com i l'oma vist an partensa. I notoma che i l'oma stabilì la forma dla dipendensa da e da T ma i l'oma nen stabilì che fonsion a sia la fonsion f.

La lèj dlë spostament ëd WienSecond costa lèj i l'oma che la frequensa che a corispond a la massima emission a dipend an manera

linear da la tenperatura T. An efét ël màssim an fonsion dla frequensa as treuva ant la condission:

0dì-a-vis0,

3

dT

fd

dTud

Se i foma la conversion ëd variàbil x / T, i otnoma n'espression che a përmëtt ëd trové un x0 chea corispond al màssim rispét a x, e che a l'é na costant. Tornand a le variàbij ë partensa i l'oma donca che


14

Tx 0

I notoma giusta che an coste derivassion i l'oma nen fàit d'ipòtesi an sël coma a l'é fàita nòstra fonsion

Tf che, com i vëddroma, a l'é pròpi la rason dla crisi dla Fìsica clàssica.

Fin-a sì le còse a fonsion-o, sempe considerand le lèj dla Fìsica Clàssica, e i rivoma a la fin dl'eutsent. Il'oma già vist com a l'é vnùita fòra la necessità d'elaboré la Realtività, e sì i vardoma com a l'é vnùita fòra lanecessità dla Mecànica Quantìstica.

La figura a mostra, an manera d'autut indicativa, dàit sperimentaj che a confermo la Lej dlë spostamentëd Wien.

Figura 7 - Lèj dlë spostament ëd Wien

1750°K

2000°K

1500°K

1250°K

emission


15

LA CRISI DËL PRIM NEUVSENT

I podoma consideré che 'l prinsìpi dla Mecànica Quantìstica a coincid con j'esperiment ëd monsuPlanck, ant j'ùltim ani dl'eutsent e ij prim dël neuvsent, pròpi coma a l'é capità për la teorìa dla Relatività ch'il'oma vist, e 'dcò ambelessì le solussion proponùe che a son dimostrasse bon-e a dëscrive ij dàit sperimentaj al'han bin pòch d'intuitiv.

Radiassion dël còrp nèirI l'oma vist fin-a sì jë studi an sla radiassion dël còrp nèir. Al moment ëd giustifiché an manera precisa

l'anrajament parèj com a podìa esse misurà, la teorìa clàssica a l'ha comensà a pì nen andé bin.

Fòrmule ëd Wien e ëd Rayleigh-JeansUn tentativ d'antivëdde cola ch'a dovìa esse la distribussion an frequensa dla radiassion nèira a l'é stàit

fàit da monsù Wien, che a l'ha provà con na fòrmola pitòst empìrica, giustificà da l'esse d'acòrdi con le lèj bingiustificà e viste prima e partend da ipòtesi pitòst ardìe. Tnisend cont dla dipendensa general trovà prima pròpida chièl, monsù Wien a l'ha proponù che as podèissa scrive che:

Tb

ec

kTu 3

38

,

giusta ciamà "fòrmola ëd Wien", andova a e b a son costant. I l'oma la dipendensa antivista da le variàbij eT, ma mentre sta lèj a cobia bin con j'arzultà sperimentaj a le frequense àute, a riva pròpi nen a giustifichéj'arzultà dle misure a frequense basse.

Partend da considerassion an sël camp eletro-magnétich, e dal fàit che a l'é stàit dimostrà che laradiassion a dipend nen dal particolar gav, e che donca as peul giusta consideré d'ossilator, a l'é stàita proponùa la"fòrmola ëd Rayleigh-Jeans".

As considera giusta n'ossilator ant un gav con parete arbatente ant un gas përfét nèutr che a interagisscon l'ossilator për urt, an manera che as riva a n'echilìbri con n'energìa média fonsion dla temperatura E(T) = kT.Da sto pont ëd partensa as riva, con un rasonament clàssich che i stoma nen a arporté ambelessì, a la fòrmolach'i l'oma dit e che a l'é:

Tc

kTu 3

3 8, andova k = 1,381 10-23 JK-1 a l'é la costant ëd Boltzmann

Sta fonsion, però a l'é monotón-a ch'a chërs, e donca, se a l'é bon-a a dëscrive bin la situassion afrequense basse, a tira a l'anfinì con le frequense ch'a chërso.

Fòrmola ëd PlanckStudiand la manera ed giustifiché la fòrmola ëd Wien e sercand ëd modifichéla an manera che a

andèissa bin a le frequense basse, andova as comensava a rivé a fé 'd misure, monsù Planck a scriv, dòp vàiretentativ, soa fòrmula ëd la distribussion, che a echival a la fòrmola ëd Rayleigh-Jeans a basse frequense e a cola ëdWien a àute frequense ma, pì che tut, a cobia con ij dàit sperimentaj.

An definitiva Planck a l'ha ipotisà che n'ossilator a podèissa nen pijé tuti ij valor d'energìa concontinuità, ma mach na sucession discréta 'd valor, mùltipl antregh ëd na quantità mìnima h , ciamà"quant " d'energìa, andova h a l'é na costant universal, che a l'é stàita dita "costant ëd Planck ". Lòn ch'acàmbia a l'é donca l'espression dl'energìa média dl'ossilator. La fòrmola a l'é:

118

, 3

3

TkhechTu


16

As peul noté che a frequense basse sta fòrmola a tira a esse cola ëd Rayleigh e Jeans, mentre afrequense àute a tira a esse cola ëd Wien. La costant h a val secJoule10626,6 34h . La figura 8 a ilustra lasituassion da na mira qualitativa.

Figura 8 - Confront fra le fòrmole e ij dàit sperimentaj

Implicassion dla fòrmola 'd PlanckDal moment che a l'é stait dimostrà prima che la densità d'energìa a dipend nen dal particolar gav, i

podoma butèsse an condission sempie për calcolé sta densità, e donca 'dcò l'anrajament, partend dal consideréche l'energìa dla radiassion a sia prodòta da un sistema d'ossilator armònich. L'energìa ant l'unità 'd volum e ansle frequense da a d a sarà dàita donca da l'energìa media dj'ossilator che a son an coste condission. Ëlnùmer dj'ossilator a l'é dàit da le manere normaj d'ossilassion ëd n'ónda stassionaria ant ël gav, vis-a-dì che ibutoma che a ògni manera normal d'ossilassion dl'ónda a corispond a n'ossilator.

I suponoma un gav cùbich con lat L e i butoma che a-i sia periodissità an sle parete. Ógni maneranormal d'ossilassion a l'é dëscrivù da n' ónda pian-a dël tipo xkie , donca 'l vetor ëd propagassion a sarà dël tipo

,3,2,1andova2 iii nnLk

As treuva 'l numer d'ossilator dN con frequensa fra e d , che a corispondo a meud normajd'ossilassion con vetor d'ónda fra k e k dk , ant ël gav ëd volum V L3. Sto nùmer, dont i stoma nen afé tuti ijpassagi, a val :

dc

VdN 23

22

Se, adéss, i ciamoma l'energìa media socià a costi ossilator, e i calcoloma la densità d'energìa a lafrequensa antorna a i l'oma:

3

28cdV

Ndu

Second la fìsica clàssica, as peul dimostré che për n'ossilator armònich, dont l'energìa a peul varié concontinuità, la media dl'energìa a val Tk , e as riva a trové la fòrmula ëd Rayleigh-Jeans che, i l'oma vist, afonsion-a nen për vàire rason.

A sta mira monsù Planck a l'ha notà che l'istéss rasonament a peul porté a soa fòrmola, bastamach cheas buta 'l postulà che l'energìa d'ògni ossilator a sia discreta e a peussa mach pijé ij valor :

hnE

An costa manera a l'é stàit arzolvù un pont ëd crisi dla Fìsica Clàssica, ma sòn a l'ha butà an crisi leconcession clàssiche mideme. Da costa mira anans a venta aceté che l'energìa a l'àbia sta limitassion.L'importansa dë sto comportament a dventa gròssa an tuti ij fenòmeno microscòpich, mentre che për ij

u

T3

T

Rayleigh-Jeans

Wien

Sperimental - Planck


17

fenòmeno macroscòpich i podoma noté che la costant a l'é motobin cita, e donca sto comportament "quantisà"quasi sempe as riva nen a noté.

Pen-a sta giustificassion teòrica a l'é stàita presentà, da vàire arsercador a l'é giusta stàita consideràn'artifìssi matemàtich che për boneur a rivava a simulé, ma nen a spieghé, i dàit sperimentaj, e sòn përchè asmijava (e a smija 'ncor adss) che a-i fusso gnun-e bon-e rason për che l'energìa a dovèissa esse quantisà.

Ij pont ëd crisi, macassìa, a vnisìo nen mach da l'emission dël còrp nèir, che macassìa a implicava nenmisure microscòpiche, ma 'dcò da d'àutre misure a livél macroscòpich, e peui ëdcò a livél microscòpich, livél chean prinsìpi dël neuvsent as comensava a conòsse e studié.

Calor spessìfich a bassa temperaturaI consideroma un sòlid, fàit da àtomo che a l'han la possibilità d'ossilé su tre gré 'd libertà. Second lòn

ch'i l'oma vist prima, i podoma dì che l'energìa média për àtomo an echilibri con la temperatura T, second laFìsica clàssica a val:

Tk3

e për na mòle 'd costi àtomo, se NA a l'é 'l nùmer d'Avogadro NA 6,022 10 , l'energìa total U a l'é:

TRTNkNU AA 33

andova R k NA a l'é la costant dij gas, R = 8,316 [ Joule/(mòle K°)] opura R = 1,988 [ Cal/(mòle K°)]A sta mira i trovoma 'l calor spessific a volum costant giusta fasend:

)K(moleCal/964,53 RTTU

cV

e costa a va sota 'l nòm ëd "Lèj ëd Dulong e Petit ".

Comportament sperimental a bassa temperaturaSta lèj a l'é bin verificà a le temperature dl'esperiensa comun-a, ma a fonsion-a pì nen cand la

temperatura a cala motobin vers ël 0° assolut. Na cosa che a smija a sòn a càpita 'dcò a temperatura àuta, ma ancol cas a-i é n' àutra spiegassion ant ël fàit che cand le ossilassion a son gròsse, a val pì nen l'aprossimassionarmònica. La figura 9 a dà, an manera andicativa, lòn ch'a suced anvece a bassa temperatura:

Figura 9 - Calor spessìfich a bassa temperatura

As peul vëdde che ij valor che as peulo misuré a bassa temperatura as arduvo fin-a a rivé a zero. MonsùEinstein, ant ël 1907 a l'ha dimostrà che cV a tend a zero cand T a tend a zero, contut che peui l'anduraandividoà a sia nen cola sperimental, ma a l'apròssima mach.

Sòn a càpita sempe se as sostituiss l'espression dl'energìa média clàssica con cola suponùa da Planck, edonca l'energìa ëd na mòle, se as supon che tuti j'àtomo a ossilo a l'istéssa frequensa , a dventa;

cV

Dulong-Petit

Einstein

T


18

1

33

Tkh

AA

e

hNNU

Ël fàit ëd consideré tuti j'àtomo con l'istéssa frequensa a l'é un pòch tròp n'aprossimassion, mamacassìa as treuva na solussion a la diferensa con la teorìa classica.

Se i suponoma temperature àute, costa fòrmula a dventa cola supòsta da Dulong e Petit, mentre abasse temperature l'espression dël calor spessifich a dventa:

2

2

1

3

Tkh

Tkh

AV

e

eTk

hkN

TTU

c

e për T ch'a tend a zero, cV a và a zero. Na tratassion precisa a l'é stàita fàita da Debye, con na curva teòrica,sempe basà an sla quantisassion dl'energia, motobin pì davzin ai dàit sperimentaj, ma për noi a basta parèj.

Efét fotoelétrichAnt ël 1905 Einstein, basandse an sle considerassion ëd Planck, e an sël fàit che ant ël gav ël camp

eletromagnétich as compòrta coma n'ansema d'ossilator, a l'avìa suponì che nen mach l'energìa a podìa esseassurbìa e emëttùa an 's na dàita freqensa për valor discrét h , ma che la radiassion a na banda da a da l'ha n'energìa U che a l'é dividùa an n U/h "foton", com as tratèissa 'd corpùscoj andipendent ognidund'energìa h . An costa manera as treuva sùbit na giustificassion a lòn ch'as osserva studiand "l'efét fotoelétrich".

As trata d'eletron emëttù da un metal anluminà da na lus, e st'efét a peul esse evidensià con ël dispositivilustrà an figura 10, che a l'é col dl'esperiment ëd Lenard.

Figura 10 - Dispositiv për studié l'efét fotoelétrich

Ant n'àmola andova a l'é fàsse 'l veuid a-i son un fotocàtodo fàit ëd metal che a peul esse 'l metal anstudi, e n'ànodo. An sël càtodo as peul fé rivé da fòra na lus a na dàita frequensa e con da dàita intensità. Assupon che frequensa e intensità a peulo esse regolà, ò almanch sernùe vira për vira, parèj coma 'l material dëlcàtodo.

Ij doi elétrodo ant l'àmola a son colegà a un dobi generator ëd tension contìnua travers unpotensiòmetro che a përmet ëd regolé la tension fra ànodo e càtodo, portandla da negativa fin-a a positiva. Unvòltmetro V a përmet ëd misuré costa tension. Un micro-amperòmetro peui a consent ëd misuré la corent, se a-ié, fra ànodo e càtodo. Se 'l càtodo a ven nen anluminà, qualonque a sia la tension fra càtodo e ànodo, ant l'àmolaa passa nen corent. Se a ven anluminà a passa corent mach se la lus a l'ha na frequensa pì àuta d'un valor che a

A

V

Fotocàtodo Anodo

eletron

Lus a freq.

VccVcc- + - +Potensiòmetro


19

dipend dal material dël càtodo. Për frequense pì basse a-i é nen corent, a-i n'anfà nèn che intensità 'd lus asdeuvra.

L'energìa cinètica dj'eletron emëttù a va da 0 a un màssim che a dipend nen da l'intensità dla lus, mamach da soa frequensa.

Cand a-i é passagi 'd corent, costa a dipend da l'intensità dla lus dovrà. As nòta che 'l procéssd'estrassion a l'é istantani.

As peul misuré cola ch'a l'é l'energìa cinética dj'eletron cand a seurto dal càtodo, dasend a l'ànodo natension negativa, e a sòn a servo ij doi generator e 'l potensòmetro colegà com an figura.

Na manera clàssica ëd giustifiché j'arzultà dl'esperiment as treuva nen. I podrìo consideré che an slasurfassa dël metal a-i sia un potensial ëd dobi seul, dàit da j'eletron periférich dj'àtomo dla surfassa, con sota lecàrie positive dle nos, e che j'eletron che a seurto a sio eletron lìber ant ël metal, che a arsèivo energìa a basta përsuperé 'l dobi seul. A-i sarà donca un mìnim travaj da fé për porté fòra n'eletron, che a ven giusta ciamà "travajd'estrassion", indicà con Tes .

La Fìsica clàssica a supon che l'eletron a peussa assòrbe energìa con continuità, e donca se as manda naradiassion débola distribuìa an sla surfassa, ògni eletron a arsèiv n'energìa al second che a sarà nen a basta asuperé la bariera dël dobi seul, e l'eletron a venta che a acùmula energìa për un dàit nùmer ëd second prima 'dpodèj seurte dal metal. Ël temp che a-i và për l'estrassion, e peui l'energìa dj'eletron che a seurto a dipendrìo dal'intensità dl'anluminassion. Sòn as verìfica nen.

Se i suponoma che la lus as propaga con foton, i l'avroma che n'eletron a assòrb un foton ant un ùnichat. Se l'energìa dël foton a supera ël valor dël travaj d'estrassion, l'eletron a peul seurte dal metal. L'energìa chel'eletron a l'ha cand a seurt a l'é lòn ch'a resta dl'energìa dël foton dòp avèj gavà 'l travaj d'estrassion.

Lòn ch'a conta, për podèj comensé a seurte, a l'é che l'energìa dël foton a sia superior al travajd'estrassion, e sòn a giustìfica la frequensa dë scalin 0 necessaria.

Se 'l travaj d'estrassion Tes a l'é pì àut dla quantità d'energìa h dël foton a-i é nen estrassion d'eletron,a-i n'anfà nen vàire ch'a sio ij foton, e donca quant fort a sia l'anluminament. Se anvece 'l travaj d'estrassion a l'épì bass dla quantità d'energìa h dël foton, bele mach un foton a peul estràe n'eletron.

An fonsion donca dël valor dël travaj d'estrassion Tes , a-i sarà në scalin lìmit për la frequensa dijfoton che a peulo produve estrassion (efét fotoelétrich ). I l'oma

es

eseses T

hch

Tch

ThT doncaedì-s-visdoncae

andova c a l'é la velocità dla lus, e a l'é la longhëssa d'onda dla radiassion.La lus a pòrta fòra dal metal d'eletron. I suponoma che tuta l'energìa dël foton a sia assurbìa da

l'eletron. Na part ëd costa energìa a ven dovrà për fé 'l travaj d'estrassion, e lòn ch'a vansa a dventa energìacinética dl'eletron midem, che adéss a l'é lìber, e che donca a peul avèj n'energìa qualonque. Se donca 'l foton al'ha n'energìa esTfh , (i l'oma ciamà f la frequensa për nen fé confusion con v velocità) l'energìa cinéticadl'eletron ch'a seurt (i suponoma che as trata 'd n'eletron davzin a la surfassa) a sarà dàita da :

ese Tfhvm 2

21

andova me a l'é la massa dl'eletron e v soa velocità.Se as dà na diferensa 'd potensial fra ànod e càtod, as peul misuré se, e quanta corent a passa. I

consideroma che le variàbij che i l'oma a disposission a sio: Ël material dël càtod (a-i và në sfòrs ëd fantasìa apensé ch'i lo peusso cambié fàcil, ma i suponoma d'arfé le preuve con diferent materiaj). La frequensa dla lus (anfigura 11 i doma na manera 'd fé për sòn). La tension aplicà a l'ànod (da negativa a positiva rispét al càtod).

Se la tension anòdica V a l'é negativa, j'eletron che a seurto dal càtod a son arbutà andarera. L'energìapotensial fra ij doi elétrodo a l'é eV , andova e a l'é la cària dl'eletron. se l'energìa dij foton a l'é esTfh ,

antlora l'energìa cinética dj'eleton a l'é, al màssim ese Tfhvm 2

21 . Cand la tension anòdica negativa a l'é tala


20

che Vevme2

21 , quàich eletron a riva fin-a a l'ànod e a comensa a passé corent. man man che la tension a

dventa manch negativa e peui positiva, la corent a chërs fin-a a na dàita mita, e peui a resta costanta.. La corent, asta mira, a peul chërse se as aumenta l'intensità dla lus.

sors ëd lus bianca

colimator eregolator

prisma

filura mòbil

Figura 11 - Schema d'un generator ëd lus a frequense diferente

Tut sòn, però, a càpita mach a parte da na dàita frequensa dla lus, diferenta për ògni material dovrà përël càtod. Se na frequensa dla lus a pròvoca emission d'eletron, antlora as peul trové col ch'a l'é 'l travajd'estrassion dël metal dël càtod, e l'intensità dla lus a giuta mach a avèj na sensibilità pì àuta, përchè a saran ëd pìj'eletron estrat, ma a càmbia nen, natural, l'arzultà dla misura.

An efét i conossoma la frequensa dla lus, e donca l'energìa dij foton, e i podoma trové la tension V chea comensa a provoché na corent ant ël sircuit, tension che i ciamoma tension d'arést Var . Da le doe espressionch'i l'oma scrivù sì dzora i arcavoma che esar TfheV e donca ares eVfhT . Ël potensial d'arésat adipend nen da l'intensità dla lus.

A l'istéssa manera, dàit un material con un dàit valor ëd travaj d'estrassion, as peul calcolé la frequensamìnima dla lus che a pròvoca emission fotoelétrica.

I arpetoma che la costant ëd Planck a val h 6,626069... 10 J s , echivalent a 4,135628... 10 eV,e che la velocità dla lus ant ël veuid a val c0 299792458 m / s.

Stabilità dj'àtomoAn prinsìpi dël neuvsent as comensava a fé d'ipòtesi su coma a podìa esse fàit n'àtomo. Vàire còse, e

fra coste l'emission radio-ativa, a portavo a conclude che ant l'àtomo a dovìo essie tant carie positive coma càrienegative. Lassand perde le prime propòste dë strutura dl'àtomo, i podoma vëdde cola ëd Thomson, proponù estudià fra 'l 1903 e 'l 1906, che a suponìa n'àtomo con cària positiva dëstribuìa, che a l'era 'dcò quasi tuta la massadl'àtomo midem, e j'eletron andrinta coma le grumele dj'angùrie.

Ma j'esperiment ëd Lenard ant ël 1903, però, a lo portavo a conclude che l'àtomo a dovie esse quasiveuid, con carie e massa consentrà, dal moment che j'eletron a passavo pitòst fàcil travers la matéria. An efét,Nagaoka, ant l'istéss ann a proponìa un modél planetari.

Ant ël 1911 Rutherford a l' ha suponù che a-i fussa na nos sentral positiva e che a contnéissa bele chetuta la matéria dl'àtom, e motobin cita, con d'eletron perifërich motobin lontan da la nos, an proporsion a soedimension. J'eletron, për nen casché an sla nos a rason dl'atrassion fra càrie positive e negative, a l'avrìo dovù viréantorna a la nos për svilupé na fòrsa sentrìfuga gròssa a basta da compensé l'atrassion. Sòn a l'era suportà dan'esperiment fàit da Geiger e Marsden, darera consèj ëd Rutherford midem, ant ël 1908, a dasìa rason al modéld'àtomo con nos sentral cita e eletron estern che a lassavo lë spàssi ocupà da l'àtomo quasi veuid. An costesperiment as misurava com a vnisìo devià 'd partìcole alfa slansà contra na lastrin-a 'd matéria motobin sutìla.J'arzultà a j'ero, an manera motobin precisa, coj che as podìjo supon-e con la teorìa ëd Rutherford.

Ma 'dcò ambelessì la Fìsica Clàssica a podìa nen giustifiché lòn ch'a smijava rasonà second j'esperiment.An efét j'eletron negativ che a viro antorna a na nos positiva a son sotpòst a n'acelerassion sentrìpeta, che secondl'eletromagnetism clàssich a dovrìo anrajé d'energìa, e casché motobin ampréssa an sla nos. Se as fan tuti ij contsecond la Fìsica Clàssica as dimostra sùbit che 'l ragg ëd l'òrbita as arduvrìa motobin ampressa. Anvece l'àtomo al'é stàbil. La radiassion emëttùa a cambierìa frequensa ansema a sto ragg, mentre gnanca 'l ragg ëd l'àtomo trovàant j'esperiment a peul esse giustificà con la teorìa clàssica.


21

L'àtomo ëd BöhrI l'oma tratà ëd cost argoment ant la session "Eletricità e Magnetism" - part set (pag. da 227 anans).

Sì i arportoma lòn ch'an anteressa adéss e i lo completoma. Ël modél atòmich ëd Böhr a ven, oltra che da jë studi'd Planck, ëdcò da j'arzultà djë studi an sjë spétr atòmich, basà su d'esperiment motobin precis. Ël modél a venfòra giusta da la necessità ëd giustifiché jë spétr d'emission e d'assurbiment. Su costi a-i ero a disposission ij travajëd Balmer (ant ël 1885), ëd Rydberg e ëd Ritz (ant ël 1905).

An efét, le righe d'emission e d'assurbiment për l'àtomo d'idrògen a l'han frequense che a son dëscrivùeda la lèj, dita ëd Rydberg :

2211

mnR andova n, m a son antregh e a l'é (m n).

mentre 115 sec1039,3R a l'é dita "costant ëd Rydberg".

Ipòtesi ëd Böhr për l'àtomoSti fàit a l'han portà Böhr, ant ël 1913, a formulé soe ipòtesi an sla strutura e an sël comportament ëd

dl'àtomo. Böhr a scheuvr che as peul trové la fòrmola 'd Rydberg se as assum che 'l moment angolar ëdn'eletron, antorna a la nos, a peussa mach pijé valor dàit da la costant ëd Planck h moltiplicà për unnùmer antregh n e dividùa për . Valadì, se as supon n'órbita sircolar:

2h

nrpL

andova L l'é 'l moment angolar dl'eletron suponend che a përcora n'òrbita sircolar ëd ragg r , mentre p a l'é 'l

moment (ò quantità 'd moviment, impuls ) e peui i dovroma 'l sìmbol2h , e donca nrp

Ël rasonament ëd Böhr a l'era che 1) na cària che a vira a dovrìa emëtte ónde eletromagnétiche con nadàita energìa e un dàit moment angolar. Suponoma che E a sìa l'energìa che a ven emëttùa ant un interval t ,second Maxwell costa energìa a l'é socià al moment angolar L second la relassion:

LE 2

andova l'é la frequensa dla radiassion. Se la pì cita quantità d'energìa che a peul esse emëttùa a l'é un fotond'energìa E h , antlora la pì cita quantità 'd moment angolar che a peul esse emëttùa as arcàva sostituend antl'espression sì dzora:

2dì-a-vis2

hLLhE

Sto discors a l'ha portà Bohr a conclude che se 'l moment angolar a peul mach cambié për unitàantreghe ëd antlora ël moment angolar total për n'eletron ëd n'àtomo d'idrògen a venta ch' sia un mùltiplantregh ëd . Sòn a l'é nen pròpi lòn ch'a càpita, ma a l'era un pass anans për capì lòn ch'a sucedìa.

Sempe second j'ipòtesi ëd Böhr, se l'eletron ëd n'àtomo d'idrògen a përcor n'òrbita sircolar, a venta che

la fòrsa d'atrassion a sia ugual a la fòrsa sentrìfuga, vis-a-dì che 2

22

re

rmp . Ant la fìsica clàssica costa condission a

peul esse sodisfàita con un qualonque ragg, ma se as gionta la condission ëd quantisassion ëd Böhr i l'oma che a

peul mach esser

npn , e donca ëdcò për ij ragg a-i saran mach valor rn discret che a son possìbij. An efét,

sostituend, as treuva che

2

222

222

2

2

2

22doncapërndmoltiplicae1

emn

rerm

nr

re

rmrn

n

As peul vëdde che l'òrbita la pì bassa, che a corispond al livél fondamental dl'àtomo d'idrògen a sarà:


22

2

2

1em

r

e sto valor a ven ciamà "ragg ëd Böhr" dl'àtomo d'idrògen.

I podoma calcolé ël livél dl'energìa total En ëd n'eletron an 's n'òrbita ëd ragg rn , e fasend ij cont

(che sì i foma nen) as treuva che 22

4

2nem

En

L'àtomo a l'é nen bon a cambié soa energìa con continuità, ma a peul mach avèj un dàit nùmer dë statstassionari, ò stat quàntich. L'energìa dl'àtomo a l'é donca quantisà ant un nùmer ëd livéj energétich E i . Ël

passagi da un livél energétich E i a un livél energétich E j E i a l'é socià a l'emission d'un foton h E i E j.A l'istessa manera l'assurbiment d'un foton d'energìa h a pròvoca 'l passagi da lë stat energétich E j a lë statenergétich E i > Ej se h E i E j.

L'àtomo che as treuva al pì bass dij livéj a peul nen emëtte energìa, e donca a l'é stàbil. Costa posissiona giustìfica la lèj empìrica trovà da Rydberg. Ògni àtomo a l'ha un sò spetr d'emission, ma për un dàit tipod'àtomo lë spetr a l'é sempe l'istéss precis.

Se i consideroma l'àtomo d'idrògen, che a l'é 'l pì sempi, i podoma artrové la lèj ëd Rydberg se isuponoma che l'energìa dij livéj possìbij a sia dàita da

2nRhEn con n = 1, 2, 3, ...

Figura 12 - Giustificassion dlë spétr dl'idrògen

Për ël livél fondamental E1 as treuva eV6,131 RhE (sì i notoma che a peul vnì còmodconsideré na costant eV6,13RhR ). Ant lë spétr dl'idrògeno as treuva un prim grup ëd righe, che a ven datransission dai diferent livéj ecità, al livél E1 .

Ël livél che a ven sùbit dzora a sarà 'l livél E2 con valor E2 = E1/4. Ant lë spétr dl'idrògeno as treuvanë scond grup ëd righe, che a ven da transission dai diferent livéj ecità pì àut, al livél E2 .

Ël livél che a ven ancora dzora a sarà 'l livél E3 con valor E3 = E1/9. Ant lë spétr dl'idrògeno astreuva un ters grup ëd righe, che a ven da transission dai diferent livéj ecità pì àut, al livél E3 .

An figura 12 i l'oma arportà sta situassion.

-5

-10

-15

0Et (eV) Jonisassion

Livél fondamental1

2

34

Prima serie (Lyman)

Sconda serie (Balmer)

Tersa serie (Paschen)


23

Esperiment ëd Franck e HertzA conferma dla teorìa 'd Böhr a l'é stàit fàit (1914), cost esperiment. As trata 'd provoché l'ecitassion

d'àtomo fasendje bate contra d'eletron, e peui misuré l'energìa përdùa da j'eletron, che a corispond a cola assurbìada j'àtomo. La figura 13 a mostra ël dispositiv dla misura.

Figura 13 - Misura 'd Franck e Hertz

Ant l'àmola a-i é na sors d'eletron termojonich dàita da un filament f foà da na baterìa cita, e colegà ala massa dël sistema, andova a-i é colegà 'dcò 'l pòlo negativ dla baterìa anòdica. Ël filament a fà da càtodo. Antl'àmola as treuva, a na dàita distansa dal càtodo, un grup ë doi elétrodo, dont ël prim ch'as ancontra rivand dalcàtodo a l'é na grìja, che com a dis ël nòm a l'é na grija 'd fij condutor g che a lasso motobin dë spassi lìber,mentre le scond elétrodo a l'é n'ànodo ò placa p fàita da na piastrin-a contìnua. La distansa fra grija e placa a l'é 'dl'órdin dël milim.

Ant l'àmola, andova a l'é stàita gavà l'ària as treuva, a bassa pression, ël gas opura 'l vapor dla sostansasota preuva. La baterìa anòdica a l'é colegà a un potensiòmetro dont as arcavo le doe temsion regolàbij përl'alimentassion positiva dla grija e dla placa.

La tension dla grija a ven tnùa un pòch pì àuta ëd cola dla placa, e sto scart a ven mantnù costant candas vària la tension ëd grija. Con un potensial positiv an grija, j'eletron emëttù dal filament a son atirà da la grija (eda la placa). Rivà a l'autëssa dla grija, j'eletron che a treuvo ij fij a son caturà da la grija midema, ma na përsentualbin àuta, con l'energìa cinética che a l'han pijà, a contìnuo a andé vers la placa, superand sensa problema 'l citcontra-camp fra grija e placa. Costi ùltim eletron a van a produve la corent misurà dal micro-amperòmeter. Ipodoma vardé lòn ch'a càpita se i partoma da na tension motobin bassa (potensiòmetro tut a snistra), e i la fomaaumenté pian pianin, misurandla con ël vòltmetro derivà fra càtodo e grija.

As misura sùbit na cita corent. J'eletron che a seurto dal càtodo a l'han na dàita energìa cinética generàda la temperatura dël càtodo midem. Se a-i é nen diferensa 'd potensial fra càtodo e grìja, j'eletron pen-a seurtì aformo na nivola negativa, mentre 'l càtodo midem, avend slansà d'eletron, a dventa positiv, e sòn a arciamaandaré j'eletron dla nivola. As ëstabiliss parèj n'echilìbri con na zòna negativa ëd cària spassial antorna al càtodo.Se peui ël càtodo midem a l'é un filament alimentà dirét da na baterìa, antlora a càpita che a sia nen tut a l'istésspotensial. A-i é la manera 'd ten-e cont ëd tuti costi efét, e për adéss is na preocupoma nen.

Pen-a as dà a la grija un pòch ëd tension a comensa a passé corent, dal moment che quaidun dj'eletrontermojònich a ven atirà dal camp elétrich. Aumentand costa tension la corent a aumenta, përchè a aumenta 'lnùmer d'eletron caturà dal camp elétrich. Costi a saran tuti j'eletron che a rivo a superé 'l pont andova as anula 'lcamp negativ prodovù da la cària spassial dj'eletron. da col pont a la grìja la tension a l'é cola misurà dalvòltmetro.

J'eletron a peulo bate contra le molécole 'd vapor con urt elàstich, se soa energìa a riva nen a portén'eletron dl'àtomo a un livél energétich superior. L'energìa cinética pijà da l'eletron a corispond a l'energìapotensial eV, andova e a l'é la cària dl'eletron e V la diferensa 'd potensial fra 'l pont ëd partensa e 'l pontandova as treuva l'eletron midem. Fin-a a cand a-i son mach d'urt elàstich, tuti j'eletron che a passo la cariaspassial (che as arduv con ël chërse dla tension) a rivo al grup grija-placa con energìa cinética a basta për superé 'lcontra-camp placa-grija, e, gavà coj che bato ant la grija midema, tuti j'autri a contribuisso a la corent misurà dalmicro-amperòmetro.

La corent a chërs con la tension V fin-a a cand l'energìa eV ant lë spassi davzin a la grija a riva al valordël sàut fra 'l prim e lë scond livél d'energìa dj'àtomo 'd gas ò 'd vapor present drinta a l'àmola.

A

V

+ potensiòmetro

gas ò vapor dl’elementf

g p


24

A sta mira n'eletron termo-jonich a peul cede soa energia a n'eletron dl'àtomo, portandlo al prim livélsuperior d'energìa. Ma l'eletron termo-jonich, a sta mira, a l'ha perdù tuta soa energia, e donca a l'é bele che ferm;a riva donca pì nen a superé 'l contra-camp fra grija e plàca, e a ven arciamà an sla grija. An corispondensa ëdcosta tension, che i disoma V1, antlora as nòta che la corent ëd placa a diminuiss motobin ampressa, përchè 'lnùmer d'eletron che a rivo a costa energìa a chërs ampressa. A sta mira i podoma calcolé 'l sàut che a-i é fra lëstat fondamental E1 e 'l prim stat ecità E2. I l'avroma che E2 E1 eV1.

Aumentand ancora la tension, j'urt anelàstich a comenso a capité sempe pì lontan da la grija, e dòp l'urtj'eletron a fan a temp a avèj energìa a basta për rivé a la placa, donca la corent a torna a chërse, fin-a a candj'eletron a pijo energìa a basta për torna esse an condission d'ecité në scond àtomo davzin a la grija. Sòn a càpita ana tension V2, cand 2 (E2 E1 ) eV2.

La stéssa còsa a càpita cand la tension a riva a un valor V3 tal che 3 (E2 E1 ) eV3. A la fin as otenlòn che i arpresentoma an figura 14, fasend ël gràfich dla corent anòdica an fonsion dla tension aplicà. La figuraas arferiss ai vapor ëd mercuri.

Figura 14 - Arzultà dl'esperiment ëd Franck e Hertz

La posission ël prim màssim a podrìa esse sfaussà da quàich eror sistemàtich, mentre as peul pijésse përn'indicassion pì bon-a la diferensa fra 'l prim e lë scond màssim.

As peul ëdcò verifiché, con në spetroscòpi, che an corispondensa al prim màssim, as verìfica

n'emission ëd radiassion, da part dël vapor an esame, ëd na radiassion con na frequensah

EE 12 .

Sòn a conferma la teorìa 'd Böhr, contut che nen tuti ij problema a sio arzolvù. A venta ancora afinè ecompleté la teorìa, ma a ven dimostrà coma l'énergìa a peussa esse trasferìa mach për quantità discrete.

Efét ComptonCost a l'é n'àutr efét che a ven spiegà bin mach da la teorìa dij foton. As trata dla variassion ëd

frequensa 'd na radiassion cand a ven spatarà da un material che a conten eletron poch anlià. I consideroma unfluss ëd ragg X che a riva su un blòch ëd parafin-a. Lòn ch'as osserva a l'é arpresentà an figura 15.

Figura 15 - Efét Compton

Ia

Vg

4,9 V

4,9 V

5 1510

’

e


25

La teorìa clàssica a dis che l'onda che a invest n'eleron a lo buta an vibrassion, e sto eletron vibrant aproduv n'ónda che donca a dovrìa avèj l'istéssa frequensa dl'ónda incidenta. La spiegassion a ven anvece anmanera sempia da la teorìa corpuscolar.

I l'oma vist che un foton as compòrta coma na partìcola 'd massa zero, dal moment che a viagia a lavelocità dla lus, e ant la teorìa dla Relatività strèita i l'oma vist che se a l'ha n'energìa E h , antlora a l'ha na

quantità 'd moviment (che a corispond ëdcò a l'impuls)c

hcEp .

I suponoma che l'eletron a sia ferm, e sòn as peul fé mersì a la gròssa diferensa d'energìa fra foton ëdraj X e eletron pòch anlià ant la parafin-a. Ant l'urt ël foton a ven difondù ant la diression andividoà da l'àngol, mentre l'eletron a ven mandà ant la diression . Ël foton dòp l'ùrt a l'avrà n'impuls che i ciamoma p' mentrel'eletron a pija n'impuls che i ciamoma P'.

I podoma scrive le condission ëd conservassion dl'energìa e dl'impuls. Prima 'd l'urt l'energìa dël fotona l'é E h pc, mentre sò impuls a l'é p h / c . Per l'eletron i l'oma che l'energìa a l'é cola 'd massa E mc2,mentre l'impuls a val zero. I podoma esprime la frequensa an fonsion dla pulsassion , vis-a-dì 2 . I

definìma peui la costant2h .

Energìa e impuls dël foton a ven-o antlora scrivùe

ckkpE ;;

andova i l'oma che k a l'é ël "vetor d'onda". Da la relatività i l'oma che l'energìa d'arpos E0 ëd na partìcola a l'éanlià a soa energìa E e sò impuls p da la relassion 2

0222 EcpE e donca

0;0;; 2422222

22422242

oooo mcmcc

cmcpcm

che a dis lòn ch' i l'avìo supòst, che la massa d'arpòs dël foton a val zero.Dòp l'urt i l'avroma che 'l foton difondù a l'avrà na pulsassion ', con ' , e un vetor d'ónda k', che i

l'oma da determiné. Da sì anans i ciamoma m la massa dl'eletron E soa energìa e p sò impuls. mentre che për ëlfoton i esprimoma energìa e impuls an termo ëd ', k', .

Dòp l'urt, l'energìa e l'impuls dl'eletron a venta che a sodisfo a la relassion 22422 pccmE .

Për la conservassion dl'energìa a venta ch'a sia sodisfàita la condission Ecm 2

mentre che për la conservassion dl'impuls la condission a l'é pkk . I podoma scrive 'l sistema coma sìsota.

pkkcmE 2

A sta mira i podoma porté al quadrà le doe equassion, moltipliché la sconda equassion për c2 e peuisotrae la sconda da la prima. An costa operassion a venta ten-e cont che k e k' a son vetor, e che sò dobi prodòta l'é un prodòt scalar. I l'oma

2222

2242222

22242222

42222222422222

22222222

2422222

cos1:arduvoma iepërdividomacos

:dì-a-vis:scrivepodoma iancoradoncae

doncachescrivùomal' ima

doncaema222

chearcordande2

22

cmcmcc

c

cmcmcmkkc

cmEcmEcmEcmkkc

cmEcpcpcmEcmEkkc

ck

cpkkckckc

cmEcmE


26

Adéss i podoma 'ncora divide ij doi member për 2cm e i otnima cos12cm

che a echival a scrive 11cos12cm e se i dovroma le longhësse d'ónda c2 a la fin i otnima la

relassion fra le frequense dël foton incident e dël foton difondù:

cos12cm

La longhëssa d'onda dël foton devià a dipend da l'àngol ëd deviassion, e j'arzultà dle misure acorispondo an manera motobin precisa a costa teorìa.

La natura corpuscolar dla lus butà an evidensa an costa manera, macassia a corispond nen a la naturacorpuscolar suponùa da Newton. As buta pitòst an evidensa coma 'l foton a sia anlià a la frequensa dla lus, e chela natura corpuscolar e cola ondulatòria dla lus a son nen divisìbij.

Esperiment ëd YoungI l'oma vist an prinsìpi ëd nòstra ciaciarda che cost a l'é l'esperiment che a l'é servì a decide për la

natura ondulatòria dla lus, an prinsìpi dl'eutsent, ma as peul vëdde che 'dcò la teorìa dij foton a treuva na soagiustificassion ant j'arzultà, cand l'esperiment a l'é fàit an dàite condission, e fin-a l'esperiment ripetù cond'eletron anvece che con la lus, a buta an evidensa un comportament ondulatòri dle partìcole. An figura 16 iarportoma giusta un cit ëschéma për arciamé j'idèje.

Figura 16 - Esperiensa 'd Young

Ël ragg che da la sors a passa ant la prima filura, se costa a l'é strèita a basta, as propaga për ondesircolar, che a rivo a le doe filure dlë scond scherm. Da ste filure le onde as propago torna an manera sircolar, e avan via con fase coerente vers lë scherm butà an sël ters pian. I l'oma già tratà cost esperiment da na mira dl'òticageométrica socià a la propagassion për ónde (Session 4, sot-session Òtica geométrica part 4 pag, 195) e 'dcò anprinsìpi 'd costa part. An cost sens l'esperiment a dimostra che la lus as propaga për ónde. Le righe d'interferensaa l'han forta intensità andova j'ónde a rivo an fase e intensità bassa (ò zero) andova j'ónde a rivo an contrafase.Sòn an fonsion dla diferensa dij përcors l1 e l2 . Se l'esperiment a l'é fàit con mach na filura duverta, antlora a-inen interferensa.

Se però as analiso ste frange con un microscòpi i podoma vëdde che la lus as distribuiss nen an manerauniform con na variassion contìnua, com a farìa supon-e l'andament dl'intensità dl'ónda, ma pitòst as osservo ëdpontin luminos, ràir ant le fasse scure e s-ciass ant le fasse ciàire. An diferente zòne dl'istéssa fassa ij pontin al'han l'istéssa densità, contut che a sio spatarà an manera che as dirìa casual. Ij pontin luminos osservà a son nendiferent fra 'd lor. Tut sòn a supòrtrìa la teorìa corpuscolar dla lus, che però a giustìfica nen ij bindéjd'interferensa.

L'istéss esperiment a peul esse fàit con n'intensità 'd lus bassa a basta da podèj pensé che ij foton apasso un a la vira. A sta mira i podoma pì nen parlé d'interferensa ant ël sens ëd prima, dal moment che a-i sonnen doi foton che a peulo giontésse opura anulésse. Contut sòn le fasse d'interferensa a ven-o fòra franch l'istéss.

Sors luminosa Dobia filura Scherm


27

I vëddroma peui che 'dcò j'eletron a svilupo un comportament ondulatòri, e an efét i podoma 'dcò arfél'esperiment con eletron anvece che con lus, e l'arzultà a l'é 'ncora l'istéss.

Da considerassion dë sto tipo monssù Born a l'é rivà a na formulassion probabilìstica dla MecànicaQuantìstica, ma sòn i lo vëddroma peui.

Interpretassion dl'esperiment con la teorìa dij fotonI vardoma adéss se a-i é na manera dë spieghé l'esperiment ëd Young con la teorìa dij foton. Con la

teorìa ondulatòria la spiegassion, com i l'oma vist, a l'é imedià. Da lòn ch'i l'oma dit prima, i podoma pensé che semach un-a dle doe filure a l'é duverta a passa na distribussion che i podoma prevëdde, ëd foton che a seurto da lafilura an tute le diression e a dan na dàita distribussion d'intensità an slë scherm, coma indicà da un-a dle righenèire an figura 17. Duvertand le doe filure as oten nen la sempia adission dle distribussion nèire (riga rossa), maas oten l'interferensa arpresentà da la riga bleuva.

Figura 17 - Esperiensa 'd Young con un-a ò doe filure

As podrìa pensé che doi foton che a passo da le doe filure a peusso anteragì fra 'd lor prima 'd rivé anslë scherm, ma gnanca sòn a va nen bin, dal moment che i l'oma vist che pura se i foma passé un foton a la vira,e donca cand ògni foton a l'ha nen n'àutr foton da anteragìje ansema, ij bindéj d'interferensa as formo franchistéss.

Sòn a dis che as peul nen consideré ij foton mach coma corpùscoj, ma d'àutra mira se i mandoma anslë scherm mach pòchi foton, as forma quàich pontin spatarà, ma nen ij bindéj d'interferensa, gnanca motobinsbiadì, e donca la radiassion a peul nen esse considerà mach n'ònda.

Ij doi aspét, com i l'oma dësgià notà prima, a peulo nen esse dividù. L'idèja da svilupé a l'é che laradiassion as compòrta coma un fluss ëd partìcole che as compòrto an manera probabilìstica, e l'ónda a goernasta probabilità.

An nòstr esperiment i podoma dì che se a l'é mach duverta la filura 1, antlora la probabilità ëd trové 'l

foton an slë scherm a l'é dàita da2

1E . Sto valor a l'é donca la distribussion dij foton an sle scherm e doncadl'energìa luminosa (cand ij foton a son tanti). Se as deurbo le doe figure, torna la probabilità ëd trové ël foton an

slë scherm a sarà dàita da2

21 EE , e costa fonsion a dëscriv ëdcò ij bindéj d'interferensa.

A l'é ciàir che costa interpretassion a ciama un càmbi 'd mentalità. An nòstra esperiensa comun-a, sedoi foton a peulo nen interferì fra 'd lor, i rivoma nen a trové na spiegassion a propòsit ëd còsa a càmbia, për unfoton che a passa da na filura, se l'àutra filura a l'é duverta opura sarà.

I podoma gnanca fé 'd misure për savèj da che filura a passa 'l foton, dal moment che, se daré a nafilura i butoma un rivelator ëd foton, an pràtica i saroma na filura e i cambioma tut l'esperiment.

Ancora 'd pì tute ste considerassion a valo cand a passé da le filure a son eletron e nen foton. Sòn i lovëddroma dòp.

Sors luminosa Dobia filura Scherm

un-a dle filuresempia adission dj’efét interferensa


28

J'ónde ëd de BroglieAnt ël 1923 monsù de Broglie a l'ha ipotisà che, parèj coma un foton a l'é descrivù da n'ónda, për certi

aspét, e da na partìcola për d'àutri, a l'istéssa manera as dovìa podèj socé n'ónda a na partìcola an moviment, ëdmassa m a l'arpòs. An particolar de Broglie a l'ha ipotisà che për l'eletron, coma për ël foton, as peussa parlé 'd

n'energìa hE , e ëd n'impuls hp . Da na mira concetual a l'é nen fàcil socé n'ónda a n'eletron, ma de

Broglie a pensava, pr'esempi, che 'l comportament ëd l'eletron an sl'òrbita d'un àtomo d'idrògen a podèissa essedëscrivù da n'ónda stassionaria an sl'òrbita. An efét, an sto cas, la condission che l'ónda a venta che a rispeta a l'éche an sl'órbita a-i sia un nùmer antregh ëd perìodo. Se r a l'é 'l ragg ëd l'órbita, antlora a deuv esse rn 2 .

Ma se costa condission a l'é vera, e i provoma a scrive col ch'a dventa l'impuls dl'eletron, e i l'oma che

nrprph

n dì-a-vis2

e costa a l'é pròpi la condission ëd quantisassion ëd Böhr. Donca l'ipòtesi a l'é suportà an quaich manera.

Velocità 'd fase, ëd grup - Pachet d'óndeSe as considera na partìcola su un përcors sarà, coma pr'esempi n'òrbita, a l'é fàcil pensé a n'ónda

stassionària. Se i pensoma a na partìcola che a viagia lìbera a smija nen rasonà che sta partìcola a peussa esse sociàn'ónda anfinìa, e 'ntlora a vnirìa da pensé a un pachet d'ónde, e i podoma prové sta strà.

I partoma dal consideré n'ónda pian-a dëscrivùa da l'espression trkie che a l'é caraterisà da navelocità 'd fase, che a l'é definìa coma la velocità ëd na surfassa a fase costanta. Se i supomoma che l'ónda aspropaga ant la diression dl'ass x, na surfassa a fase costant a l'é cola andova

costtxk vis-a-dì costk

tx

e soa "velocità 'd fase vf "a sarà:ktd

xdv f

La lèj che a anlìa e k , vis-a-dì ( k ), ant ël veuid a l'é giusta k c , e donca la velocità 'd fasea sarà giusta vf c.

As peul oten-e un pachet d'ónde d'estension limità, se as dzorpon-o vàire ónde pian-e, e për sto pachetstabilì na "velocità 'd grup vg ".

Un pachet d'ónda a peul esse arpresentà da

kdekftr trki, andova kiekAkf

L'ampiëssa A(k' ) a l'avrà un pich su k, ant un domini D sentrà an sël valor k. Ant ël cas uni-dimensional i podoma scrive:

kdekAtx trxi,

I ciamoma txk la variàbil ëd fase, e i notoma che st'integral, se la fase a ossìla ant ëldomini D, a dà an pràtica gnun contribù. Se anvece la fase a l'é pitòst costanta, anlora a-i é 'l contribù màssim. Sela fase a l'é quasi costanta an sël domini D, vis-a-dì cand:

0kkkk kd

dkd

dx

kdd

Sta condission definiss ël pont x andova la (x, t) a pija 'l valor màssimkd

dkd

dtx . Për valuté

l'estension dël pachet i disoma che se la fase a ossila pì che na vira an D, antlora l'integral a dventa trascuràbil, edonca i butoma la condission:


29

1kd

dk

e da costa a ven che 1xxkkd

dkd

dxk e donca che

kxxx

1 . Pì as veul avèj un pachet

strèit e pì a venta slarghé l'interval dij vetor d'ónda e donca dle frequense da adissioné. Adéss i podoma scrivecom a vària la posission x ant ël temp, vis-a-dì soa velocità, che a sarà la velocità 'd grup vg dël pachet.

kdd

tdxd

v g

Second le relassion dàite da j'ipòtesi ëd de Broglie i l'oma che hE , e che khp . Donca i

l'avroma chepE

kv f e che

pdEd

kdd

v g .

Na partìcola che a viagia a na velocità nen relativìstica a l'ha n'energìa dàita dam

pE

2

2 donca i l'oma

vm

vmmp

pdEd

v g 22 , che a dis che la velocità 'd grup dl'ónda 'd dë Broglie a coincid con la velocità dla

partìcola.Na partìcola che a viagia a na velocità relativìstica, con massa d'arpòs m0, a l'ha n'energìa dàita da

40

22 cmcpE . Costa espression, derivà rispét a p , a dàEcp

cmcp

cppdEd

v g

2

40

22

2

2

2 e se i butoma

che

2

21

1

cv

i l'oma che 20 cmE mentre vmp 0 e donca v

cmcvm

Ecpv g 2

0

20

2. Ëdcò an sto cas la

velocità 'd grup dl'ónda 'd dë Broglie a coincid con la velocità dla partìcola.

Esperiment ëd Davisson e GermerPër verifiché l'ipòtesi ëd de Broglie ij monsù Davisson e Germer, ant ël 1927, a l'han fàit n'esperiment

ëd difrassion, fenòmeno che a càpita con j'ónde eletro-magnétiche e che, se dabon j'eletron a l'hancomportament ëdcò ondulatòri, a deuv capité 'dcò con j'eletron.

Mandand un fass ëd ragg X a un dàit àngol su na surfassa d'un material cristalin, an sto cas ël nìchel,cost a ven-o arbatù a dàit àngoj che a dipendo da la frequensa dla radiassion e, natural, dal retìcol cristalin.Sostituend ël fass ëd ragg X con un fass d'eletron, ij doi arsercador a l'han podù stabilì che la difrassion a càpita al'istéssa manera. Da le frange 'd difrassion a l'han podù calcolé la longhëssa d'ónda ëd "l'ónda" dj'eletron, e a l'han

podù trové pròpiph , andova p a l'é 'l moment dj'eletron calcolà an base a la tension d'acelerassion, e donca

conossù. Sòn a dimostrava l'esistensa për dabon dj' ónde 'd de Broglie. (Noi i l'oma dësgià acenà che 'dcòl'esperiment ëd Young, fàit con eletron, a conferma costa ipòtesi).

Equassion dj'ónde 'd de BroglieI vardoma adéss com as peul trové la fonsion d'ónda che a dëscriv l'ónda 'd de Broglie. Për n'ónda

pian-a sinusoidal ch'as propaga arlongh l'ass x i podoma scrive che la fonsion d'ónda a l'é, pr'esempi

txktx sin, andova pk 2 a l'é 'l nùmer d'ónda, mentre E2 a l'é soa pulsassion, al

pòst ëd dovré longhëssa d'ónda e frequensa..I podoma donca scrive la fonsion dl'ónda sinusoidal ëd prima, an fonsion dël moment e dl'energìa


30

tExptxktx sinsin,

St'ónda a peul esse 'dcò cosinusoidal e, an notassion pì general (vardé la Session 5 ëd coste nòte) an

forma compléssa esponensialtExp

ietx ,

I l'oma vist ant la session sità che l'equassion ëd l'ónda a l'é dël tipo 2

2

2

2

xt con cost, ma

n'equassion dë sto tipo a fonsion-a nen an nòstr cas, se i consideroma n'espression sinusoidal opura cosinusoidal,dal moment che sòn a portrìa a conclusion d'autut sbalià.

An efét, se i sostituima l'espression sinusoidal ëd tx , ant l'equassion sì dzora as oten l'equassion

EtpxpEtpxE sinsin 2

2

2

2 vis-a-dì 22 pE

che a l'é d'autut ësbalià. L'energìa giusta, an efét a deuv essem

pE

2

2. Për oten-e d'arzultà coerent a venta

consideré n'equassion dël tipo 2

2

xt e peui a venta consideré la fonsion d'onda an soa forma esponensial

compléssatExpi

etx , . An efét, se i sostituima costa equassion ant l'equassion diferensial che i l'omasuponù i otmoma:

tExpitExpie

pe

Ei 2

2

e se i butoma, com a deuv esse, chem

pE

2

2, i podoma trové 'l valor dla costant che a val

mi2

e donca

l'equassion dl'ónda 'd de Broglie a arzulta:

2

22

2

2

2dìavis

2 xmti

xmi

t

Se i generalisoma a n'ónda che a viagia an tre dimension, la fonsion d'ónda a saràtExp

ietx , ,

mentra l'equassion dl'ónda a sarà 22

2mti .

Esperiment ëd Young con j'eletronI l'oma dësgià acenà prima che l'esperiment ëd Young a fonsion-a 'dcò se a l'é fàit con d'eletron. Sì i

vardoma còs a càpita se i consideroma n'ónda dël tipo 'd cola ch'i l'oma vist, ancora sensa pensé a j'eletron che ala produvo. An serv giusta savèj che se j'eletron a son acelerà da un potensial V a l'avran un moment

meVp 2

L'ónda 'd de Broglie a riva coma n'ónda pian-a an sle doe filure, che a dvento sors d'ónde coerentesilìndriche, e su coste i foma j'istésse considerassion ch'i l'oma fàit an sj'onde luminose. An efét i consideroma,che an slë scherm, ant ògni pont, a rivo doi ragg, un për filura, e i adissionoma j'ampiësse për conòsse l'ampiëssadla radiassion che a riva an slë scherm. Sensa arportéla ambelessì, is arferima sempe a figura 1.

Da la prima filura F1 al pont P a l'autëssa x an slë scherm S2 , a-i é la distansa s , e se N a l'é nacostant, l'ampiëssa dl'ónda che a riva da sta filura a val:


31

tEspi

tskiF eNeNtx ,

1

An sl'istéss pont P l'ampiëssa che a riva da la filura F2 a val (i l'oma indicà con r la distansa e nen con tpër nen confondla con el temp):

tErpi

ttkiF eNeNtx ,

2

I podoma gionté le doe ampiësse për avèj l'ampiëssa an sël pont P an costion. Svilupand ij cont (còsache sì i foma nen) i l'oma:

2cos2,,,

21

lpeNtxtxtx

tElpi

FF

med

andova i l'oma indicà2

rsl med e srl . I osservoma peui che se la distansa D a l'é bin pì gròssa dla

distansa d fra le filure, i podoma scrive, con bon-a aprossimassion, che sindl (i soma sempe arferì afigura5). L'intensità ëd n'ónda a l'é proporsional al quadrà dl'ampiëssa, e se l'ampiëssa a l'é complessa, coma nasto cas, l'intensità a l'é proporsional al quadrà dël mòdulo. Se donca I a l'é l'intensità, i podoma scrive che

I e për nòstre onde i l'avroma

2sin

cos2 pdxI

Adéss i podoma arpijé 'l discors dj'eletron. L'intensità d'un fluss as àplica 'dcò a un fluss d'eletron, enen mach a d'ónde. An efét l'intensità a l'é l'energìa che a passa travers l'unità 'd surfassa ant l'unità ëd temp.Adéss i podoma ciamé N(x) ël nùmer d'eletron che a rivo ant l'unità 'd temp an 's l'unità 'd surfassa e arcordésse

che ògni eletron a l'ha n'energìa socià che a valm

pE

2

2 . L'intensità socià a j'eletron a l'é donca

mp

xNxI2

)()(2

Second la teorìa ëd de Broglie i dovrìo spetésse che2sin

cos2 pdxN se as conto

j'eletron che a rivo ant le diferente posission x an slë scherm, as peul vëdde che la teorìa ëd de Broglie a l'éconfermà.

Interpretassion ëd BornI suponoma che an total a-i sio Ntot eletron che a passo le filure ògni second. Is ciamoma che

probabilità a l'ha un ëd costi eletron ëd rivé an 's na surfassa A dlë scherm ant l'anviron dël pont x. Se i

suponoma che ògni eletron a viagia an manera indipendenta, sta probabilità a l'é dàita da:totN

AxN )( . Ma

n'eletron che a viagia a na velocità v, për rivé an sla surfassa A a venta che, ant un temp che a và da t0 a t0 tas trovèissa ant un cit volum anans a la surfassa dàit da V A v t .

Donca i podoma dì che la probabilità che n'eletron a riva an 's la surfassa A ant un temp t a l'éistéssa a la probabilità che a un dàit temp t0 l'eletron as treuva ant ël volumet V.

I ciamoma PV la probabilità che l'eletron, al temp t a sia ant ël volum V e i podoma scrive:

VtxtxPVxNNv

tN

AxNP V

tottotV ,,doncae)(1)( *

As peul sempe trové na solussion tala che VtxtxPV ,, * , mersì a la linearità dl'equassiondl'ónda. Donca i podoma dì, second l'interpretassion ëd Born, che:


32

Se la fonsion d'ónda socià con l'eletron a l'é (x, y, z, t), la probabilità PV ëd trové l'eletron and un citvolumet V antorna al pont (x, y, z) a l'é dàita da

VtzyxtzyxzyxPV ,,,,,,,, *

Se peui n'eletron a-i é, antlora la probabilità che da quàich part as treuva a val 1. Donca as peul scrive'dcò na condission ëd normalisassion che a arzulta:

1,,,,,,* dzdydxtzyxtzyx

El fàit che sta probabilità a dipenda dal quadrà dla fonsion d'ónda a l'é 'dcò giustificà dal fàit che staprobabilità a venta ch'a sia un nùmer real. As peul noté na corispondensa fra probabilità e intensità dël campelétrich. La distribussion dle probabilità a l'é responsàbil dle frange 'd difrassion con j'eletron, parèj comal'intensità dël camp a pròvoca la difrassion con la lus. L'intensità dël camp a l'é proporsional al quadrà dël campelétrich, parej coma la probabilità a l'é proporsional al quadrà dla fonsion d'ónda.

A propòsit ëd trajetòriaI arpijoma quaicòs che i l'oma acenà prima, e i continuoma a consideré l'esperiment dle doe filure, fàit

con d'eletron. I l'oma già vist për ij foton un comportament pitòst dròlo, che a l'ha portàne a conclude che j'aspétondulatòri e coj corpuscolar dij foton a son nen separàbij.

Ambelessì, però, da na mira concetual le còse a son pì complicà, dal moment che i savoma che l'eletrona l'é na partìcola con na massa e na dimension che a son stàite an quàich manera misurà, mentre 'l comportamenta smija pròpi istéss a col dij foton.

An efét, për ël foton, a l'é pì fàcil anmaginé un comportament dobi, mentre a ven da ciamésse (ladomanda a l'é dròla, lo sai) che fin a fà la massa dl'eletron mentre l'eletron as compòrta da ónda? As ëspataracoma un front d'ónda? (as dirìa pròpi che 'd nò). I soma abituà a pensé che n'ónda a peussa propaghésse un pòchda's për tut, contut che peui ël foton a riva ant un pont precis, ma che na partìcola che a và da un pòst a l'àutr adeubia passe ant na serie 'd dàit pont che, butà un dòp l'àutr, a faso na lìnia che i podoma consideré coma"trajetòria".

Se is butoma an condission ëd podèj osservé costa trajetòria, e i rivoma a félo, i podoma da bon stabilìche n'eletron a l'é passà da la prima opura da la sconda filura, ma a l'istéss temp a spariss ël fenòmenodl'interferensa (as dirìa che l'eletron "a l'é ofendùsse"), përchè nòstra misura a ven alterà an manera completa. Përavèj l'informassion dël passagi a venta che i anteragìsso con l'eletron (che a venta almanch ch'a fasa devié unfoton) e lòn a basta a dëstruve la misura. I l'oma gnun-e manere ëd podèj dì che l'eletron a l'ha na trajetòria ancost esperiment.

A venta cambié manera 'd pensé, e sòn a l'ha fàit tribulé ij fìsich dël prinsìpi dël neuvsent.I notoma sùbit che i soma stàit obligà a dëscrive j'arzultà dla misura dle doe filure con ëd fonsion che a

dan la probabilità ëd trové l'eletron ant un dàit post. Costa probabilità a l'ha un caràter diferent da cola che idovroma, pr'esempi, ant la teorìa cinética dij gas, andova la necessità ëd na dëscrission probabilìstica a ven dal'impossibilità ëd conòsse e ten-e cont dla situassion dinàmica e le condission inissiaj ëd milanta miliard ëdpartìcole.

Ambelessì i termo dla situassion a son pòchi e conossù, e la nòstra a l'é na probabilità teorisà. A vendal fàit che as dimostra coma a sia nen possìbil conòsse an manera determinìstica precisa la situassion. Donca al'é nen ch'i soma nen bon, ma a l'é ch'as peul nen.

Prinsìpi d'indeterminassion ëd HeisembergSto prinsìpi a l'é la base dla Mecànica Quantìstica, e a stabiliss ëdcò col ch'a l'é 'l lìmit dla mecànica

clàssica. Sò enunsià a l'é:Doe grandësse canòniche coniugà p e q a peulo nen esse misurà ansema con precision

assoluta. Ël lìmit inferior dël prodòt dle indeterminassion a l'é :2

qp .

Sto prinsìpi as dimostra vàlid an tuti j'esperiment che i podoma anmaginé. I vëddroma sì sota quaidunëd costi. Antant i osservoma che, ant lòn ch'i loma vist prima, an mecànica quantìstica i podoma nen parlé ëd


33

trajetòria dl'eletron pròpi përchè cand i andoma a localisé l'eletron midem i andoma 'dcò a cambié le condissionan manera che la misura a l'ha pi nen significà.

Un-a dle manere clàssiche 'd verifiché sto prinsipi a lé col dl'eletron localisà da na filura, com arportàan figura 18.

I suponoma che a-i sia un fass d'eletron colimà che a son acelerà da na diferensa 'd potensial e mandàcontra a në scherm, con na filura ëd duvertura d ant la diression ëd l'ass y. I suponoma che 'l fluss a viagiaarlongh l'ass x. I voroma vëdde còs a càpita se i sercoma ed misuré doe variàbij canòniche coniugà.

Is ciamoma coma e se i podoma stabilì la posission an sl'ass y e la component ëd l'impuls ant l'istéssadiression.

Se l'eletron a passa dal beucc a veul dì che soa posission an sl'ass y a l'é conossùa con na precision chea peul mach esse y d con d che a l'é la larghëssa dla filura.

A nòstr eletron, però, a l'é socià na longhëssa d'ónda che a valph e donca, passand ant la filura, a

ven difondù da la filura midema pròpi com a càpita a j'ónde luminose.

Figura 18 - Prinsìpi d'indeterminassion, n'esempi

Suponoma che l'impuls a sia nen modificà coma mòdul, l'eletron a l'avrà na component dl'impuls ant ladiression y che a sarà sinpp y . Për misuré quant a val py a venta conòsse l'àngol . Se as cheuj l'eletron an

's në scherm daré dla filura as peul trové sto àngol .Ël problema a l'é che an sle scherm as forma na figura 'd difrassion, e la màssima precision che as peul

oten-e an costa misura a corispond a n'àngol che a l'éyp

hdp

hd

antlora i l'omay

hpp y e da

sì as treuva che hyp y .

Microscòpi ëd HeisembergI suponoma un sistéma ëd misura teòrich coma col arpresentà an figura 19, andova i l'oma n'ipotétich

microscòpi bon a fé vëdde j'eletron.

d

x

y

eletron colimà

obietiv

eletronfoton


34

Figura 19 - Microscòpi ëd Heisemberg

Për podej vëdde e localisé l'eletron, un foton a riva normal a l'ass ëd l'obietiv, e a ven difondù da

l'eletron andrinta a l'obietiv. Da l'òtica i savoma che la risolussion orisontal a l'é dàita da la fòrmolasin

x ,

andova a l'é la longhëssa d'ónda dla lus dovrà, e l'overtura angolar dl'obietiv.Ma ant la misura l'eletron a arsèiv n'impuls dàit da la lus devià ant l'obietiv. La diression dël foton a l'é

conossùa mach con l'aprossimassion dàita da l'àngol , e donca la component orisontal dl'impuls a l'avrà 'dcò

chièl n'indeterminassion sinsin hc

hp .

Se antlora i foma 'l cont dl'indeterminassion i l'oma hh

px sinsin

Variàbij compatìbijA ven-o ciamà variàbij compatìbij cole che a peulo esse misurà ant l'istéss moment e an manera precisa

(donca as trata ëd variàbij nen coniugà). A son compatìbij, pr'esempi, le component dla posission, opura lecomponent dl'impuls, opura combinassion coma pr'esempi (x, y, pz) e via fòrt.

N'ansema 'd variàbij compatibij misurà su un sistema as dis complét se tute j'àutre variàbij compatibijcon ognidun-a con le variàbij dl'ansema a peul esse trovà coma fonsion ëd cole conossùe. Sòn a l'é 'l màssim ëdlòn che as peul savèj su col sistema.

Se un sistema a l'é isolà e as conòss soa fonsion d'ónda a un dàit temp, as peul trové la fonsion d'óndaa un temp sucessiv, ma se as preuva a fé na misura, lë strument ëd misura a introduv na përturbassion che apòrta 'l sistema ant në stat pì nen conossù.

Prinsipi dë dzorposission e stat quantìstichËl prinsìpi d'indeterminassion ëd Heisemberg a dis che lë stat dël sistema a peul nen esse caraterisà al

complet, a un dàit temp, da le variàbij canòniche qi e pi .Un postulà 'd base dla Mecànica Quantìstica a dis che lë stat dël sistema a l'é dëscrivù da na fonsion

compléssa ciamà "fonsion d'ónda"

tq ,

che a dipend da le coordinà canòniche e dal temp, ma nen da j'impuls. An realità as peulo dovré 'dcò j'impuls, seas deuvro nen le corispondente coordinà. Conòsse la fonsion d'ónda a veul dì conòsse lë "stat quantìstich" dëlsistema. Pr'esempi, la probabilità dP ëd trové 'l sistema ant l'interval ëd coordinà [ qi , qi + dqi ] a l'é dàita da:

qdtqPd 2,

andova ndqdqdqdq 21 . La probabilità total (cola 'd trové 'l sistema da quàich part) a venta peui che a sia uguala l'unità, e donca a venta 'dcò ch'a sia vera la relassion:

1, 2 qdtq

che a ven ciamà "condission ëd normalisassion". Ògni fonsion d'ónda dont l'integral sì dzora a convergg, apeul esse normalisà con un fator moltiplicativ. Sòn a veul dì che tant la fonsion coma qualonque fonsion c ,andova c a l'é un qualonque nùmer compléss diferent da zero, a arpresento l'istéss ëstat. Na fonsion che a sia nennormalisàbil a arpresenta nen në stat fìsich. I vëddroma peui com as treuva la fonsion d'onda che a serv ant unparticolar problema.

St'interpretassion probabilìstica a ven dal prinsìpi d'indeterminassion ch'i l'oma vist prima, e as arferìssa la possibilità ëd misuré. Se 'l sistema microscòpich a l'é lassà nen disturbà da misure, antlora a l'é goernà dad'equassion diferensiaj an manera determinìstica. Sòn i lo vëddroma dòp.


35

Ël prinsìpi dë dzorposission a dis che se 1 e 2 a son doi stat possìbij dël sistema, antlora 'dcò lafonsion 2211 cc , andova c1 e c2 a son doe costante complésse qualonque nen tute doe a zero, aarpresenta 'dcò chila në stat possìbil dël sistema.

Për manten-e la consistensa, ël prinsìpi dë dzorposission a ciama che l'evolussion ant ël temp dlafonsion d'ónda a sia dëscrivùa da n'equassion linear an e donca n'equassion dël tipo:

0S

andova S a l'é n'operator linear, vis-a-dì n'operator che a rend vàlèivol la relassion:

22112211 ScScccS

La forma dë sto operator a vnirà esaminà dòp.Për buté an evidensa cole ch'a son le diferense dë sta manera 'd dëscrive le còse rispét a la mecànica

clàssica i podoma consideré në stat A d'un sistema andova se i misuroma na quantità O, i l'oma la probabilità 1ëd trove 'l valor a, peui i consideroma lë stat B dlë stéss sistema andova la misura dl'istéssa quantità O a l'havalor b torna con probabbilità 1.

I l'oma vist che lë stat A a sarà dëscrivù da la fonsion d'ónda A, mentre le stat B a sarà dëscrivù da lafonsion d'ónda B. Ël prinsìpi dë dzorposission pen-a vist an dis che se A e B a son doi possìbij stat dël sistema,ëdcò le stat C, dëscrivù da la fonsion d'ónda BBAAC cc , andova cA e cB a son doe costant compléssearbitràrie, a l'é un possìbil stat dël sistema, e i podoma ciamésse còs a càpita se an sto stat i arpetoma la misuradla quantità O ëd prima.

Da na mira clàssica i podrìo spetésse che lë stat C a fussa quaicòs antrames a jë stat A e B, e che laquantità O a segoèissa pì ò manch l'istéss critéri.

Da na mira quantìstica, anvece, l'arzultà dla misura a peul ancora mach sempe esse a opura b, e ij doi

arzultà a l'ha na probabilità ëd capité che a val 22

2

BA

AA

cc

cP che l'arzultà a sia a , e 22

2

BA

BB

cc

cP che

l'arzultà a sia b .Ëdcò sòn a sarà vëddù méj pì anans, cand i parleroma dij prinsìpi dla Mecànica Quantìstica.

Quantisassion spassial, esperiensa ëd Stern e GerlachL'esperiensa dë Stern e Gerlach a buta an evidensa n'àutr tipo 'd quantisassion. L'esperiment a l'é fàit

fasend passé un fluss d'àtomo ant un camp magnétich nen omogéni. J'àtomo dovrà a son coj dl'argent, che a l'én'element paramagnétich. L'àtomo ëd n'element paramagnétich a l'é caraterisà da un moment magnétichpermanent . I suponoma che j'àtomo a viagio an diression x e che a traverso un camp magnétich B orientàan diression z e che an costa diression ël camp a sia nen costant.

Da l'eletromagnetism i savoma che an costa situassion, se i ciamoma z la component dël moment

ant la diression z, as produv na fòrsa an 's l'àtomo dàita dazB

F zz . Is arferima a figura 20.

Figura 20 - Esperiment dë Stern e Gerlach

Espansion polarassimétriche

Sors

ColimatorScherm

Bz

z

y


36

Dal moment che ij moment magnétich a dovrìo esse orientà an manera casual an tute le diression, ladeviassion dàita da la fòrsa ch'i l'oma dit a dovrìa esse spatarà an manera uniform fra un mìnim e un màssim.Anvece as osserva che 'l fass d'àtomo as divid an doi fass simétrich e identich. Sòn a dis che la component andiression dël camp dël moment magnétich as orienta nen a cas, ma mach second doe diression, un-a al contraridl'àutra, ant la diression dël camp. Ant j'àtomo d'argent dovrà për l'esperiment, sto moment magnétich a l'é giustacol ëd n'eletron, përché coj dj'àutri eletron as cancélo l'un con l'àutr. An general sto moment magnétich a venciamà "spin " e indicà con S. I vëddroma 'ncora pì anans sta costion.

Foton polarisà - corispondensa polarisassion-spinI comensoma a consideré un ragg ëd lus polarisà che as propaga arlong l'ass z e a passa ant un

polarisator dont la polarisassion a l'é orientà arlongh l'ass y. I suponoma che la diression dla polarisassion dla lusa forma n'àngol con l'ass x. I savoma da la lèj ëd Malus (vardé session 4 - Òtica geométrica), che la lus ch'aspropaga dòp ël polarisator a l'é na frassion sin2 ëd cola incidenta, e che sta frassion a l'é polarisà arlongh l'ass y.

I podoma consideré ij foton coma polarisà second le doe possìbile diression andipendente e peui ipodoma scompon-e 'l camp elétrich original second le doe component

yx EjEijiEE sincos

e i savoma che dal polarisator a passa la frassion sin2 ëd coj ch' a rivo, e donca che ògni foton a l'ha n'ampiëssa'd probabilità sin d'avéj la polarisassion arlongh y e donca la probabilità sin2 ëd passé.

Al foton i podoma antlora socé un vetor an doe dimension definì an sël pian ëd polarisassion secondlòn che a l'é arportàsì sota:

yyasslarlonghpolarisàfoton

xxasslarlonghpolarisàfoton

10

'

01

'

Në stat qualonque d'un foton a peul esse arpresentà da la dzorposission ëd doi stat, e com i l'oma vist,le costant dla combinassion linear a son anlià a l'àngol , e donca a la probabilità ëd passé opura nen passé dalpolarisator. Na vira che 'l foton a l'é passà as treuva ant le stat y , che a-j dà probabilità 1 ëd passe da n'àutrpolarisator istéss.

Figura 21 - Corispondensa polarisassion-spin

I arpijoma adéss l'esperiment dë Stern e Gerlach. Sì i l'oma nen doe polarisassion an quadradura, madoi spin an oposission. Ël dispositiv ëd misura as compòrta coma 'l polarisador për ognidun dij doi fass d'àtomoch'a seurto. Ant ël dispositiv j'àtomo as divido an doi fass istéss e donca prima dël dispositiv j'àtomo a l'avìo ël50% ëd probabilità ëd finì ant un dij fass. I suponoma che 'l camp a sia orientà arlongh l'ass z e i ciamoma ij doifluss ëd seurtìa (arferendse a le spin) zS e zS . I podoma supon-e 'd fermé un dij doi fluss con un diaframa, e i

H

Sx+

H

Sx-Sz

+

Sz-

x

y

z

sors


37

suponoma 'd fërmé zS , lassand seurte mach ël fluss relativ a zS . An costa manera 'l comportament a l'é comacol dël polarisador, che a manda fòra mach ij foton con la polarisassion giusta.

Is arferima a figura 21, andova i l'oma suponù d'avéj doi dispositiv dë Stern e Gerlach dont ël prim conun blòch su un dij doi fluss, e l'àutr an cascada, e i suponoma che lë scond a peussa esse orientà ant ël piannormal al fluss, an manera 'd cambié la diression dël camp magnétich.

I suponoma che 'l prim a l'àbia 'l camp orientà second l'ass z coma prima, e lë scond a l'àbia 'l campmagnétich orientà second l'ass x. Ël fluss zS che a seurt dal prim dispositiv a l'ha lë spin orientà an manerdiferenta e nen compatìbil con cole possìbij ant lë scond dispositiv. An sto scond dispositiv ël fluss as divid tornaan doe part istésse xS e xS , ognidun-a con metà dl'intensità.

I podoma torna assegné un vetor (1, 0) a lë spin xS second l'ass x e ël vetor (0, 1) a lë spin xS second

l'ass x, e a arzulta che lë spin zS arlongh l'ass z a peul esse dëscrivù coma combinassion linear dij doi dal vetor

2/1,1 andova 'l coeficent 2/1 a l'é ëd normalisassion. Lë stat dlë spin arlongh z a ven analisà dal dispositive separà ant ij doi stat con n'ampiëssa 'd probabilità 2/1 , e donca la probabilità d'assegnassion a un dij doi spinx opura x a l'é 1/2.


38



39

ARCIAM ËD MECÀNICA ANALÌTICA

Sì i arciamoma quàich concét ëd Mecànica Clàssica. Contut che la Mecànica Quantìstica a buta le còsean manera diferenta për podèj spieghé lòn che la Mecànica Clàssica a riva nen a spieghé, a venta nen dësmentiéche vàire concét ëd base a son sempe lor, e che da lì a deriva 'dcò la Mecànica Quantìstica, dont la MecànicaClàssica a l'é un cas particolar, ch'a descriv motobin bin tut lòn ch'a l'é nen microscòpich. An particolar a ven ataj la dëscrission dla Mecànica Analìtica ëd Lagrange e ëd Hamilton. Is arferima pì che tut a la part eut dla primasession, relativa a la mecànica.

Partìcola sogéta a un potensialSecond la mecànica clàssica, se na partìcola as treuva ant në spàssi andova a agiss un potensial V(q) ,

andova q a l'é na coordinà generalisà che a arpresenta la posission dël pont, antlora a l'é sogéta a na fòrsa F(q)

dàita da:qdqVd

qF)(

)( .

Sempe partend da l'equassion ëd Newton qmamF e butand qmp i l'avroma che

mp

tdqd

qdqVd

qFtdpd

dcò'e)(

)(

Se as conòss ël valor ëd p e q a un dàit temp t0 , l'equassion a peul esse integrà e 'l moviment a l'éconossù an posission, velocità e acelerassion, an qualonque moment t .

La formulassion Lagrangian-aI arcordoma che la fonsion Lagrangian-a ),( qqL a l'é, ëd sòlit, definìa coma la diferensa fra l'energìa

cinética e l'energìa potensial. Vis-a-dì:

VTqqL ),(

(ambelessì i dovroma T për energìa cinética e V për energìa potensial) andova q a l'é la velocità. I notoma che qe q a son doe variàbij andipendente përchè as peul nen arcavé q da q se a l'é mach conossù a un dàit temp t.

L'equassion dël moviment as peul arcavé dal prinsìpi ëd mìnima assion, che a dis che la q(t) che asodisfa l'equassion dël moviment fra doi temp t1 e t2 a deuv rende mìnim l'integral d'assion S :

2

1

)(),(t

ttdtqtqLS

Se i suponoma che le posission ai temp t1 e t2 (vis-a-dì q(t1) e q(t2) ) a sio fisse, la fonsion q(t) fra t1 e t2 aventa che a renda mìnima l'assion S. A venta donca che na variassion dle q dël prim órdin a daga na variassiondlë scond órdin an S. I podoma scrive la condission sì sota, se i consideroma che la variassion a l'é considerà atemp costant (coma le variassion considerà ant ij travaj virtuaj), e che q e q a son doe variàbij andipendente.

0)(),(2

1

2

1

t

t

t

ttd

qL

qqL

qtdtqtqLS

I podoma fé n'integrassion për part dël prim termo sota integral (i consideromaqL coma fator finì) :


40

02

1

2

1

21

tdqL

qtdqL

tddq

qL

qStt

tt

tt

e ambelessì 'l prim termo a spariss, dal moment che i l'oma supòst che q(t1) e q(t2) a sìo fisse e donca che i l'àbioq(t1) q(t2) 0. Sicoma peui q(t) a l'é arbitrari fra t1 e t2 , a venta che a sia:

0qL

qL

tdd

e costa a l'é l'equassion ëd Lagrange dont as peul derivé l'equassion dël moviment. I podoma arcordésse che

qL

p a l'é 'l moment eqL

F a l'é la forsa, e donca l'equassion a l'é nen d'àutr che amvmdtdFp .

I podoma peui da sì arcavé j'àutre relassion che a peulo serve, coma pr'esempi i l'oma che l'energìa

cinética a val 221 qmT e donca, vist che l'energìa potensial a dipend nen da la velocità, i l'oma che

vmpqmqT

qL

p dì-a-vis e da costa a venmp

q

peui i l'oma vist cheqL

F e che Fp . Maq

VqL përchè T a dipend nen da q an manera esplìssita, e

donva i l'oma 'dcò cheqL

qV

p .

As peul passé sùbit a N coordinà generalisà (a N gré 'd libertà), butand i 1, ... , N e scrivend che a

valo j'espression 0ii q

LqL

tdd e le diferente espression derivà.

La formulassion Hamiltonian-aI partoma dal consideré la derivà total dla Lagrangian-a L fàita rispét al temp. I l'avroma:

ii

ii

iq

qLq

qL

tdLd

ma i l'oma, da l'equassion ëd Lagrange, cheii q

Ltd

dqL , e se i foma la sostitussion i l'avroma:

ii

iii

ii

iq

qL

tdd

tdLd

qqL

qqL

tdd

tdLd

acorispondache

e donca 'dcò 0i

ii

LqqL

tdd . La quantità fra parentesi a ven ciamà Hamiltonian-a H, e i l'oma:

cost.doncae0dcò'ma HtdHd

LqqL

Hi

ii

e donca H a l'é na costant dël moviment e, arcordand cheqL

p , i podoma scrivla coma :i

ii LqpH ,

andova p a l'é 'l moment dël prim órdin generalisà. Suponoma giusta na partìcola che a viagia an diression q , il'oma che q a l'é soa velocità e che p a val mqp . Donca 'l termo qp a val : Tqmqp 22 , che a l'é 'l dobidl'energìa cinética. An definitiva donca i l'oma:

H 2 T L 2 T T V T V


41

An sto cas, donca, H a l'ha significà d'energìa total, e donca a stupiss nen che a sia costanta, dàita la lèjdla conservassion dl'energìa.

I consideroma adéss na variassion H dl'Hamiltonian-a e i scrivoma:

i ii

ii

iiiii

iii q

qL

qqL

qppqLqpH

ma i l'oma vist chei

i qL

p e chei

i qL

p e donca

iii

i iiiiiiiii qppqqpqpqppqH

e da sòn i arcavoma che l'hamiltonian-a a l'é na fonsion ëd p e ed q a l'istéssa manera. Soa variassion rispét acoste variàbij a peul esse scrivùa coma :

ii

ii

iq

qH

ppH

H

che i confrontoma con lòn ch'i l'oma scrivù sì dzora. I trovoma chei

ii

i qH

ppH

q ; . Coste a son

j'equassion dël moviment ëd Hamilton, e a son dite "equassion canòniche" dël moviment.

Le parèntesi ëd PoissonCosta a l'é n'àutra manera d'esprime j'equassion dël moviment, e a venta 'dcò ten-e cont che an

mecànica quantìstica a-i é un formalism pitòst ëd l'istéss tipo.I suponoma d'avèj doe variàbij scalar u (q, p) e v (q, p), che a sìo fonsion ëd doe variàbij q e p. I

definima coma "parèntesi ëd Poisson" dle doe variàbij :

pu

qv

pv

qu

vu,

Se i scrivoma la derivàtp

pu

tq

qu

tdud e peui i sostituima le derivà rispét al temp con lòn ch'i

l'oma trovà prima, a propòsit dla fonsion hamiltonian-a H, i l'oma che HuqH

pu

pH

qu

tdud

, .

Costa espression a l'é vàlida për qualonque fonsion ëd p e ëd q . Donca i podoma arscrive j'equassiondël moviment coma Hqq , e Hpp ,

Le parèntesi ëd Poisson a l'han le proprietà algébriche che i mostroma, sensa dimostré, sì sota.

ii

ii

qu

up

pu

uq

wuvwvuwvuwvuvwuwvu

wvwuwvuuvvu

,,,,,,

,,,,,

e peui a-i é l'identità ëd Jacobi: 0,,,,,, vuwuwvwvu -


42

Equassion ëd Hamilton-JacobiI l'oma vist, an Mecànica Analìtica, l'assion S coma fonsional dle trajetòrie, ma i lo podoma 'dcò vedde

coma fonsion ëd qi e t a l'istant final dl'integrassion :

tqStdHdqptdtqtqLS iq ti

ii

t

i

,,0

andova i l'oma dovrà t për indiché ël lìmit d'integrassion che a l'é na variàbil ëd S , mentre i l'oma dovrà t' për lavariàbil d'integrassion. I l'oma butà a zero el temp inissial për semplicità.

I notoma che L a dipend nen an manera esplissita dal temp, ma mach travers le coordinà, e sòn a dische i consideroma un sistema conservativ.

La dipendensa da le variàbij qi e t a l'é dël tipo

niqS

ppqHtS

iiii ,,1con;,

Se ant la prima equassion i sostituima la sconda, i otnoma n'equassion ùnica che a l'é:

0,,, t

qSqH

ttqS

ii

Costa a l'é l' equssion ëd Hamilton-Jacobi, mentre la fonsion S a l'é ciamà "fonsion prinsipal ëdHamilton".


43

UTISS MATEMÀTICH

Prima d'intré ant la Mecànica Quantìstica a conven pijé an considerassion coj concét che a peulo vnì ataj relativ a jë spassi vetoriaj ant un nùmer ëd dimension qualonque, fin-a a consideré le spassi ëd Hilbert aanfinìe dimension. An costi spassi a son definì d'operator che a vniran a taj. I vardoma, con la sòlita pressa, ëlformalism che a ven dovrà ant lë studi dla Mecànica Quantìstica. I giontoma donca quaicòs ëd pì spessìfich rispéta lòn ch'i l'oma dësgià vist ant la session dedicà a j' Utiss matemàtich për la Fìsica Sperimental, dont i arpetoma'dcò quaicòs.

Ij nùmer compléssI l'oma già parlà 'd costi nùmer ant la session dj' Utiss matemàtich. I l'oma vist che un nùmer compléss

a peul esse anmaginà coma arpresentà da un pont an s'un pian, dont la coordinà x a ìndica la part real a, mentrela coordinà y a ìndica la part anmaginària b. La part anmaginària a l'é cola moltiplicà për l'unità anmaginària

1i . I l'oma vist ant la session cità 'l significà ëd costa unità. Ant lòn ch'i disoma sì is arferima a la figura 22.

I arportoma le proprietà dl'unità imaginaria, che a derivo da soa definission. I l'oma che:

ii

iiiiii 1;;1;;111 5432

Un nùmer compléss a sarà donca scrit coma c a i b . As dis compless coniugà c* d'un nùmercompléss c , ël nùmer ch'as oten cambiand ël segn dla part imaginaria. Vis a dì che a i b a l'é compléss coniugàdël nùmer a i b .

Un nùmer compléss, anmaginà coma un pont an sel pian ch'i l'oma dit, a l'é caraterisà da soa distansadal pont orìgin dël pian. Se as considera 'l nùmer compléss com un vetor an doe dimension, dont le component ason soa part real e soa part imaginària, as dis "mòdul " dël nùmer compléss c la longhëssa dë sto vetor. Doncai l'avroma

22 bac

ma se i moltiplicoma fra 'd lor un nùmer compléss e sò coniugà i l'avroma

*doncae

* 22222

ccc

cbabiabiaibacc

Figura 22 - Arpresentassion dij nùmer compléss

ass real

ass imaginari

Nùmer compléssc a ib

Compléss coniugàa ib

|c|

a

ib

ib


44

Se i ciamoma l'àngol che 'l vetor-nùmer compléss a fà con l'ass dij nùmer reaj i l'oma 'dcò lerelassion che a ven-o motobin a taj:

sincos;sin;cos icccbca

ma i l'oma vist an parland ëd série ant la session dj' Utiss matemàtich, che se i svilupoma an série 'd potense lafonsion cos e la fonsion sin , e i adissionoma le série dòp avèj moltiplicà la sconda për i, i otnìma lë svilup an

série 'd potense dla fonsion ie . Vis-a-dì che i l'oma:ii eccei omal' idoncaesincos

e se a a l'é la part real e b la part imaginària i l'avroma che a val la relssionabtan

Qualonque nùmer ëd mòdulo unitàri (|c| = 1) a l'é arpresentà da ie , cand a vària da a .Antlora, për 10 ie , për ie i2 , për 1ie , për ie i23

J'operssion che as fan con ij nùmer compléss a son arpresentà sì sota.

2222 dcdacb

idc

dbcadicdicdicbia

dicbia

rbi

ra

rbia

cbdaidbcadicbiabriarbiar

dbicadicbia

I notoma 'dcò che 'l compléss coniugà dël prodòt ëd doi nùmer compléss a echival al prodòt dijcompléss coniugà. Vis-a-dì, se A e B a son doi nùmer compléss i l'oma: ***)( BABA . An efét i l'oma:

La notassion esponensialI l'oma vist che un nùmer compléss a peul esse arpresentà da n'esponensial compléss, e a val la

relassion, motobin amportanta, sincos ie i mentre che për esponensial negativ sincos ie i , esòn përchè i l'oma che cos ( ) cos , mentre sin ) sin .

Da sòn a arzulta che se un nùmer compléss c a val sincos icecc i , sò compléss coniugà

a sarà sincos* icecc i . Se i provoma a calcolé 'l mòdul ccc * i l'avroma:

ccecececec iii 10

J'operassion fàite an sto format a son pitòst imedià e, se c a l'é ierc e d a l'é ised i podomascrivije:

esr

dc

esrdcererc

iii ;;

111

I l'oma vist che sincos ie i e che sincos ie i . Da coste doe espression i podoma

scrive che cos2ii ee mentre sin2 iee ii . Da sòn i l'oma che:

iiii eei

ee21

sin;21

cos


45

Da 'ndova a ven costa notassionGiusta për arciamé lòn ch'i l'oma già dit ant la session "utiss matemàtich" part set, a propòsit ëd série,

i consideroma lë svilup an série 'd potense dle fonsion xxez sin;cos; :

Ch'a sia z x i y nòstra variàbil complessa:

yixyixn

z eeenzzzzze chenotoma ie;

!!4!3!21

432

Ma se adéss i scrivoma lë svilup dla fonsion yie i l'oma :

!5!4!3!21

55443322 yiyiyiyiyie yi

Arcordand che le potense pari dla i a valo 1, nòstra série 'd partensa a arzulta fàita da doe série 'dtermo che a son antërcalà e che i podoma cheuje an manera separà. I otnoma lòn ch'i arportoma sì sota:

!7!5!3!6!4!21

753642 yyyyiyyye iy

Antlora a arzulta, arcordand j'arzultà djë svilup dle fonsion ëd cossen e sen, che :

yseniycosee xyix

dal moment che le doe série indicà a son nen d'àutr che jë svilup an série 'd potense ëd cos y e ëd sin y.

Spassi vetoriaj reajA la fin dla session "Utiss matemàtich", i l'oma tratà, ant la part neuv, ij vetor ant lë spassi real a tre

dimension. Costa a l'é l'arpresentassion che as deuvra ant la Mecànica Newtonian-a, ò Mecànica Vetorial. Sì istoma nen a definì torna còs a l'é un vetor e quale ch'a son j'operassion definìe ambelelà.

Ambelessì i estendoma 'l concét dë spassi vetorial, comensand a consideré che ël nùmer ëd dimensionëd nòstr ëspassi a peul esse motobin pì gròss che mach tre, e che a peul andé fin-a a l'anfinì. Adéss i pensoma anë spassi a N dimension qualonque.

I consideroma antlora n'ansema V 'd vetor {v, w, x, y, z, ....} che a l'àbia la proprietà che 'l vetoradission ëd doi vetor a l'é sempe un vetor dl'ansema vis-a-dì :

v w V

për qualonque cobia 'd vetor. I suponoma peui che costa adission a l'àbia la proprietà commutativa e associativae donca che:

v w w v e che v (w x) (v w) x

qualonque a sìo ij vetor. I suponoma peui che a-i sìa 'l vetor nul (ò zero) 0, tal che, për qualonque vetor:

v 0 0 v v

e donca l'element 0 a l'é l'element identità për l'adission. I ciamoma vetor invers d'un vetor col vetor che,adissionà al prim, a dà ël vetor nul. Cost element a l'é ùnich.

I consideroma peui n'ansema F ëd nùmer scalar {a, b, c, d, e, ....}, che ambelessì i podoma supon-ech'a sìo ij nùmer reaj, e i suponoma che la moltiplicassion d'un vetor për un nùmer a daga un vetor dl'ansema, edonca che a vala sempe la relassion :

a v V

e che se lë scalar a l'é 0, as oten-a sempe 'l vetor 0. Për l'anséma F i suponoma che a valo le relassion


46

a + b F e a b F

I suponoma peui che qualonque combinassion linear ëd vetor a sia sempe un vetor dl'ansema. Vis-a-dì :

a v b w V

e a sta mira i podoma indiché l'invers dël vetor x con x e scrive che x x 0.Për la moltiplicassion i assumoma ch'a valo le proprietà si sota:

a (v w) a v + a w (proprietà distributiva) con a F e con v, w V(a b) v a v b v (proprietà distributiva) a, b F e con v V

a (b v) (a b) v1 v v con 1 F (element identità ad F )

N'ansema fàit da n vetor nen nuj a 'é dit linearment andipendent se a-i son nen solussion scalar a

l'equassion 01

n

nii v gavà la solussion banal ëd 0i për tuti j' i , andova i l'oma ciamà i ij nùmer e con

iv ij vetor.Ant n'ansema ëd n vetor linearment andipendent un ëd costi vetor a peul nen esse scrivù coma

combinassion linear ëd j'àutri.As dis che në spassi vetorial a l'é n-dimensional, se a peul conten-e nen pì che n vetor linearment

andipendent. Sto spassi n-dimensional su F a ven indicà coma FV n .I podoma enunsié e dimostré sto Teorema:

Dàit n vetor linearment andipendent (v1, v2, ... vn ), qualonque àutr vetor FVv n a peul essearpresentà coma na combinassion linear dj' n vetor.

Për dimostré sto teorema a basta che i treuvo che a val la relassion 01

n

iii vv con ij coeficent

nen tuti a zero. Sòn a venta che a sia vèra, dësnò ij vetor andipendent a sarìo n 1, mentre i l'oma suponù d'esseant lë spassi Vn(F). Donca almanch un fra e j' 'i a l'é divers da zero. Se però a fussa ugual a zero, antloraëdcò la somatòria a sarìa ugual a zero i j' n vetor a sarìo nen andipendent. I l'oma donca che 0, e i podomascrive che:

n

iii

n

iii vvv

11

1

As peul ancora dì che ij coeficent i a son ùnich. An efét, se a-i fusso d'àutri coeficent i che a

podèisso arpresenté l'istéss vetor, i l'avrìo chen

iii

n

iii vvv

11ma antlora i l'avrìo 0

11

n

iii

n

iii vv ,

vis-a-dì 01

n

iiii v . Ma sicoma ij vetor iv a son linearment andipendent, a venta che a sia 0ii e

donca a venta ch'a sia ii .L'ansema dij n vetor linearment indipendent a l'é ciamà na "base" dl'ansema, che i podoma indiché

coma {e1, e2, e3, .... , eN } për lë spassi vetorial. Se i consideroma sti vetor coma base, i podoma scrive, për unvetor qualonque v :

v e1 v1 e2 v2 e3 v3 ... eN vN, opuraN

iii vev

1


47

Ij coeficent vi , che a son scalar, a son ciamà "component dël vetor", e com i l'oma vist antl'arferiment ch'i l'oma dàit prima, ël vetor adission ëd doi vetor v w x a l'ha component che a son l'adissiondle component omòloghe dij doi vetor ëd partensa. Vis-a-dì : vi = wi + xi .

Le component dël vetor nul a son, natural, tuti zero.I l'oma vist coma ij vetor a ven-o dovrà an fìsica për arpresenté grandësse caraterisà nen mach da un

valor, ma 'dcò da na diression, un vers, un pont d'aplicassion. Për podèj assegné na grandëssa a un vetor a-i é damanca d'introduve n'operassion ëd prodòt intern ò prodòt scalar.

I l'oma già definì, ant ël camp real an tre dimension, sto prodòt. I ciamoma "longhëssa al quadrà " ëlprodòt intern dël vetor për chiel midem. Ant la prima session i l'avìo indicà sto prodòt coma vv , ma ambelessìi dovroma la notassion, che adéss l'é pì dovrà (e a fà pì american) vv . I l'oma vist che sto prodòt a peul essefàit për component, coma për l'adission, e i estendoma a un nùmer qualonque 'd component lòn ch'i l'omadimostrà ant ël cas dël sòlit spassi a tre dimension. I l'oma:

N

iii

N

iii wvwvwvwv

11;

e për la longhëssa al quadrà, che a l'é sempe un nùmer positiv, i l'avromaN

iivvvv

1

22 la radis quadrà ëd

costa longhëssa a l'é dita "nòrma" dël vetor, e cand costa a val 1 ël vetor a l'é normalisà.Cand ël prodòt intern ëd doi vetor nen nuj a val zero, as dis che ij doi vetor a son ortogonaj. Për vetor

an pì che tre dimension, costa a l'é n'estension dël concét geométrich d'ortogonalità.I podoma serne na base për nòstr ëspassi vetorial, tal che ij vetor dla base a l'àbio na longhëssa unitària

(sòn a l'é sempe possibil moltiplicand ij vetor për la giusta costant), e che a sìo ortogonaj fra 'd lor a cobie. Nabase {e1, e2, e3, .... , eN } parèj a ven dita "ortonormal ", e për costa a val la relassion:

jiji

ee jijiji se0se1

andova

andova ji a l'é ciamà ël sìmbol ëd Kroenecker.

Moltiplicand ël vetor për un vetor dla base (coj che an tre dimension i ciamavo ij versor), i torvoma lacomponent dël vetor an cola "diression": vev ii

Donca 'l vetor a sarà dàit daN

iii

N

iii veevev

11. Costa relassion a venta che a vala për tuti ij vetor,

e donca i l'oma cheN

iii eeI

1 as compòrta da operator unitari ò operator identità, e për ògni vetor i l'avroma

che v I v.Mentre I a l'é giusta n'operator particolar, i ciamoma A un operator genérich, che an nòstr cas a

anteressa che a sia n'operator linear. N'operator A a l'é linear se a val la relassionv A (v w) A v A w.N'operator A a l'avrà n'operator invers A tal che A A I.

I podoma supon-e lë spassi vetorial V3(R), che i conossoma bin coma ij vetor ant lë spassi cartesian ansël camp dij nùmer reaj. Suponoma antlora 'd pijé na base v1, v2, v3 e i esprimoma doi vetor v e v', dovrand lecomponent. I l'oma 332211 vvvv e 332211 vvvv . I soma abitoà consideré la base ancoordinà cartesian-e i, j, k, e i l'oma vist com as fà a passé da na base a l'àutra. I l'oma 'dcò vist coma doi vetoras peulo adissioné, e sì i derivoma st'adission da j'assiòma 'd definission.

333222111

332211332211vvv

vvvvvvvv

e donca 'l vetor adission ëd doi vetor a l'é 'l vetor dont le component a son l'adission dle component omòloghedij vetor ëd partensa. L'istéssa còsa i podoma fé për la moltiplicassion d'un vetor për un nùmer.


48

332211332211 vvvvvvv

e donca un vetor moltiplicà për un nùmer a l'é 'l vetor ëd partensa midem, dont le component a son moltiplicàpër col nùmer.

Spassi vetoriaj compléssPër pijé an considerassion në spassi vetorial compléss e definìlo, i podoma parte dal consideré prima në

spassi V2N real a 2N dimension e soa base ortonormal ëd vetor {ei }. Se i scrivoma un qualonque vetor v dlëspassi, an costa base i l'avroma

N

iiiNN exevevevv

2

1222211

Adéss i scrivoma le component complésse coma kkk vivz 21221 e le relative component

coniugà kkk vivz 212*

21 con k 1, 2, ... N. I scrivoma peui na neuva base 'd vetor compléss coma

kkk eie 21221 con ij sò compléss coniugà kkk eie 212

*21 sempe con k 1, 2, ... N.

Ël vetor real ëd partensa a peul esse scrivù an costa base coma:N

kkk

N

kkkNNNN zzzzzzzzz

1

**

1

***2

*222

*1

*111

e, an efét, se i foma le sostitussion indicà i trovoma 'l vetor real ëd partensa.

I l'oma che 'l prim termo a ìndica un vetor compléss z con component zk , vis a diN

kkkzz

1ant la

base compléssa {ek }. Sto vetor genérich a definiss në spassi linear compléss HN , che a conten costi vetor.

Lë scond termo a dëscriv un vetor z* compléss coniugà dël prim, definì ant ne spassi H *N compléss

coniugà dual del prim, ant la base dual {e*k}.Se adéss i voroma definì un prodòt intern an nòstr ëspassi vetorial, i podoma nen considerè ij prodòt

ëd nòstri vetor ëd base, përchè sti vetor a l'han nòrma ugual a zero. An efét a arzulta che se i foma un prodòt

ii i otnoma zero. A venta antlora combinè un vetor z dlë spassi HN , con sò coniugà z* dlë spassi H *N

an manera che nòstri vetor ëd base (ortonormal) a l'han prodòt intern: jiii* .

Contut che a sia nen imedià parlé d'àngoj an costa situassion. i disoma macassìa che as trata 'ncora ëdna base ortonormal.

Doi vetor compléss v e w a l'avran un prodòt intern dàit da : k

N

kkjij

N

i

N

ji wvwvwv

1

**

1 1

**

Spassi vetoriaj con prodòt internI comensoma a dì che an general i consideroma sempe spassi vetoriaj compléss, vis-a-dì relativ a vetor

che a l'han component complésse, con un camp F che a l'é col dij nùmer compléss. Vetor reaj su un camp real ason giusta un sot-ansema ëd coj che i consideroma.

I disoma sùbit quaicòs an sla notassion ch'i dovroma për sto prodòt, diferenta da cola ch'i l'oma dovràant la session dj'Utiss matemàtich, andova i parlavo ëd vetor definì ant ël camp real. I tornroma peui su costanotassion an manera pì compléta.


49

La notassion ëd DiracA sta mira i disoma giusta lòn ch'a l'é, dal moment che a ven còmod dovrela, mentre pì anans i la

esaminroma mej. Ant ël camp dij vetor compléss ël prodòt intern ëd doi vetor a l'é definì coma prodòt dëlcompléss coniugà dël prim vetor për lë scond vetor .

I l'oma vist che 'l prodòt intern ëd doi vetor ant ël camp real, disoma f e g , definì ant l'istéss ëspassi, apeul esse fàit moltiplicand fra 'd lor le component corispondente dij doi vetor:

iii gfgfgfgfgf 332211

Costa manera a và giusta bin cand le component dij vetor a son valor reaj. An sto cas ël mòdul d'un

vetor a l'é dàit dai

iffff 2 . Ma se 'l vetor a l'é compléss, antlora a l'é nen dit che ij termo 2if a sio

positiv, e donca a-i sarìo problema a definì 'l mòdul d'un vetor.I definìma antlora l'operassion:

iii gfgf *

andova le component dël prim vetor a son sostituìe da le componente complésse coniugà, e donca 'l prim vetor al'é sostituì da sò compléss coniugà. I l'oma già vist l'operassion * che a dà ël compléss coniugà d'un nùmer.

Se 'l prim vetor a l'é real, a coincid con sò compléss coniugà, donca 'l prodòt intern a resta coma prima.An costa manera ël mòdul (longhëssa) d'un vetor ch'a sia nen zero a l'é sempe un nùmer positiv e a val

iiffff 2

A venta noté che, a sta mira, ël prodòt intern a gòd pì nen dla proprietà comutativa. se as cambio frad'lor ij doi termo as oten ël compléss coniugà dël prodòt midem.

An Inglèis la parèntesi a-j diso "bracket", e as costuma ciamé la prima part coma vetor "BRA"e la sconda part coma vetor "KET", pròpi coma BRAcKET. Noiàutri i podrìo ciamé la prima part comavetor "PA" e la sconda part coma vetor "SI" pròpi coma PArenteSI ma is contentoma d'andé dapréss aj'american coma le crave. Costa as dis "notassion ëd Dirac".

Definission dël prodòt intern

Ël prodòt intern ant në spassi vetorial V n su un camp F a sòcia doi vetor dle spassi a në scalar dëlcamp. As trata ëd na corispondensa bilinear arpresentà coma V X V F.

Ant la session dj' Utiss matemàtich, part relativa ai vetor, i l'oma vist un prodòt intern për vetor ant ëlcamp real. A l'é ciàir che costi vetor a son un sot-ansema ëd coj che i vardoma ambelessì. Le régole (assiòma) chea definìsso ël prodòt ch'i vardoma sì a son:

kijikji

ijji

vvvvvvv

vvvv

vvv*

0semach00

I l'oma già vist com a travaja la prima régola. La sconda a dis che i l'oma pì nen la proprietà comutativa,ma i notoma che për vetor reaj costa a-i é 'ncora contut che sì as dis che 'l prodòt intern (ò scalar) a l'é simétrich,mentre për vetor compléss as dis che 'l prodòt intern a l'é hermitian. La tersa proprietà a dis che 'l prodòt interna l'é linear rispét a lë scond vetor, mentre se i vardoma còs a càpita rispét al prim i l'oma che:

jiijijji vvvvvvvv ***

e as dis che 'l prodòt intern a l'é antilinear rispét al prim vetor.


50

Ël mòduli

iffff 2 d'un vetor a ven ciamà "nòrma", e un vetor dont la nòrma a vala 1

as dis "normalisà".

Doi vetor as diso ortogonaj se sò prodòt intern a val zero. gfgf 0 .

N'ansema 'd vetor (e1, e2, ... , en) as dis "ortonormal" se as verìfica la condission jiji ee andova

ji a l'é dita "delta ëd Kronecker" e a l'é definìa coma

jiji

ji se0se1

.

Ël prodòt intern a peul esse calcolà partend da le régole 'd definission. I podoma supon-e d'esse ant nasituassion V3(C), e i consideroma doi vetor: 332211332211 e vvvvvvvv . I podomascrive che:

3

1

3

1

*332211332211

j ijiji vvvvvvvvvvvvvv

e se la base sërnùa a l'é ortonormal, tnisend cont che

jijiji eevv

ël prodòt a dventa:3

1

*

ijivv

La notassion ëd DiracI l'oma già acenà ëd lòn ch'as trata, vist che i l'oma dovrala sì dzora. Adéss i la vardoma un pòch méj.

Un vetor a ven spessificà dand soe component rispét a na dàita base. Se i suponoma 'd pijé na base ortonormal ipodoma indiché un vetor v coma:

n

iii vev

1

e na vira che la base a l'é stabilìa (i suponoma ch'a sia na base an n dimension), ògni n-upla 'd valor a definiss unvetor, e ògni vetor a corispond a na n-upla 'd valor. Un vetor a peul donca esse arpresentà da na matriss riga,opura da na matriss colòna e, an particolar, ël prodòt intern ed doi vetor a ven arpresentà coma prodòt ëd namatriss riga për na matriss colòna.

Ant l'arpresentassion ëd Dirac, ël vetor colòna a ven ciamà "ket ", mentre ij vetor "bra " a son ij vetorriga, con le component che a son ij compléss coniugà dle component ëd partensa:

ketbra vetor::

;vetor

1

1

**1

1

*

n

n

iiin

n

iii

v

v

vevvvvev

Se i pensoma a l'arpresentassion sot forma 'd matriss i podoma dì che as passa da un vetor ket a unvetor bra con n'operassion ëd trsaposission e un-a 'd coniugassion compléssa. Ste doe operassion ansema a fanl'operassion ciamà "gionta ", che a ven indicà con ël sìmbol " † ". I l'oma:

vvvvvv†††† ;;


51

I podoma dì che ògni equassion, espression e via fòrt che a val për ij vetor ket, a ìmplica la validitàdl'espression për ij relativ bra , "giontà " dij ket. Pr'esempi i l'oma che :

vvvvvvv *†*† donca;

se donca a val l'equassion vvv antlora a val ëdcò vvv *** .

An nòstra base ortonormal, ij vetor ëd base a peulo esse arpresentà coma

:;doncaésim-pòst ial1con

0:1:0

1

*

1

n

ii

n

iii ivvivvie

Na base ortonormal a l'é caraterisà da : jiji . Le component d'un vetor ket ivvi

i as

treuvo calcoland ël prodòt intern dël vetor con ij vetor dla base. Vis-a-dì : ji

jiii

i vvijvvj .

Donca a val ëdcòi

viiv .

An costa manera a valo le relassion arportà sì sota, che a son mach ëd cont coma coj sì dzora, ma che aconven avèj sotman:

iivvvvjijvvivi

jii

ii

;; ***

Procediment ëd Gram-SchmidtI vardoma, ambelessì, com as peul fé, partend da n'ansema nvv ,,1 ëd n vetor linearment

andipendent, a trové na base ëd vetor ortonormaj. I comensoma a trové n vetor naa ,,1 ortogonaj fra 'dlor, a parte dai vetor dàit. Coma prim vetor a1 i pijoma 'l prim dij nòstr vetor, vis-a-dì

11 va

coma scond vetor i pijoma lë scon vetor ëd partensa e i-j gavoma soa projession su a1 .

11

21122 aa

vaava

për ël ters vetor i pijoma 'l ters vetor ëd partensa e i-j gavoma soe projession su a1 e su a2 .

22

322

11

31133 aa

vaaaa

vaava

e i continuoma parèj për tuti e n ij vetor. Com as peul vëdde, ël genérich a1 a l'é dàit da na fòrmula arcorenta

n,kaa

vaava

k

i ii

kiikk ,2con

1

1 (i arcordoma che i l'oma butà a1 v1 ).

A sta mira a basta normalisé ij vetor ai për trové ij nòstr i ëd la base.

ii

i

i

i

aa

aaa

i


52

Fonsion intèise coma vetorAn Mecànica Quantìstica a càpita sovens che le fonsion a ven-o tratà an manera nen vàire diferenta da

com a son tratà ij vetor. Se i pensoma un vetor an tre dimension, i podoma arpresentelo, com al sòlit, con naflecia, che an coordinà cartesian-e a l'ha tre component. L'istéssa anformassion a peul esse dàita da un diagramache a l'ha an sle assisse un pont për dimension, e an sle ordinà ël valor dle relative component. Sòn a l'é mostràan figura 23, andova ij nùmer 1, 2, 3 an sle assisse as arferisso al nùmer dla component, e an sto cas a podrìo essesostituìe da x, y, z , mentre an slé ordinà v as arferiss al valor dle component.

Figura 23 - Arpresentassion d'un vetor

I podoma peui supon-e un vetor definì ant në spassi a vàire dimension, ognidun-a con na soacomponent, andividoà da n'ìndes j , e soa arpresentassion a peul esse coma an figura 24, andova ant la prima parti l'oma arpresentà un vetor v ( j ) con un nùmer n finì ëd component, mentre ant la sconda part i l'oma suponùche l'nùmer ëd component a chërsa a l'anfinì an manera che l'ìndes j a dventa la variàbil contìnua x. Ël vetor aven a coincide con la fonsion f(x), dont ij valor a son soe anfinìe component. Sta manera 'd vëdde le còse a smijaun pòch dròla, ma a vnirà a taj.

Figura 24 - Corispondensa vetor-fonsion

Për costa rason. për ij vetor compléss, a dventa necessari generalisé sto prodòt intern, butand comaprim vetor ël compléss coniugà dël vetor midem. An costa manera 'l mòdul d'un vetor a l'é sempe un valor realpositiv. Antlora ël prodòt intern ëd doi vetor qualonque a ven indicà con la notassion gf e generalisà an costamanera:

Generalisassion dël prodòt internI podoma sùbit estende 'l concét ëd prodòt intern a le fonsion, cand a sio considerà coma vetor a

anfinie dimension. Për sòn a basta sostituì l'integrassion a l'adission dle componente.

xxdxgxfgf *

Ëdcò con le fonsion i podoma calcolé 'l corispondent dla longhëssa (ò mòdul) d'un vetor, cheambelessì, për le fonsion, as ës-ciama "norma", e as arpresenta con ël sìmbol f .

z

x

y

v

vx

vy

vz

v

321

vy

vx

vz

n

v(j)

vj

n

j

f(x)

f(x)

x

x


53

xxxdxfxdxfxffff 2*

I l'oma peui che na fonsion dont la nòrma a val 1 ò un vetor dont la longhëssa a val 1 , as diso"normalisà ".

Doi vetor ò doe fonsion as diso ortogonaj se sò prodòt intern a val 0 . Un sistema 'd vetor ò fonsionche a sio normalisà e ortogonaj l'un con l'àutr a ven ciamà "ortonormal ".

Operator linearN'operator a l'é n'entità (istrussion) che a trasforma un vetor ant un àutr vetor ant l'istéss spassi vetorial

V. I indicoma n'operator con na litra maiùscola, e cand a sarìa possìbil fé confusion, i l' indicoma con na litra,majuscola ò minùscola, con un caplòt ansima. Se A a l'é n'operator, i l'avroma, an general, vAw .

As peul dì che, se l'operator a l'é aplicàbil a qualonque vetror, l'operator a trasforma në spassi vetorialant un àutr spassi vetorial. Për sòn però a venta che l'operator a manten-a la strutura linear dlë spassi, e donca al'han sens mach j'operator linear. As dis "operator linear" n'operator che a sodisfa a la condission:

wAvAwvA

Costa a l'é n'aplicassion a un vetor ket, ma sòn a val ëdcò për un vetor bra:

AwAvAwv

N'operator a peul esse aplicà a na fonsion, a l'istéssa manera che a un vetor. Për un vetor ant në spassia n component, na matris n x n a peul esse n'operator, com i vëddroma, dal moment che a peul trasformé unvetor ant un àutr vetor. I vëddroma méj sto cas pì anans.

Sì i disoma che n'operator coma l'indicator ëd derivassion (la derivà) d/dx, a cambia na fonsion f(x) antla soa derivà prima f'(x). Vis-a-dì

)()( xfxgxf dxd

N'operator coma na x, aplicà a na fonsion, a la cambia ant l'istéssa fonsion moltiplicà për la x, vis-a-dì

)()(ˆ xfxxgxf x

Coma esempi d'operator i podoma vardé l'operator che indicoma con2xR e che a pròvoca, ant në

spassi R3, na rotassion antorna a l'ass x. Se i partoma da na base coma cola 'd figura 25 i podoma vardé l'efétdl'operator an sij vetor unitari dla base.

Figura 25 - Operator ëd rotassion

y

x

z

i

k

j z

x

y

j k

i

k -j2xR


54

I l'oma che 'l versor i a cambia nen : iiR x 2. Ël versor j a dventa k : kjR x 2

Ël versor k a

dventa j : jkR x 2.

L'operator a l'é linear, dal moment che, pr'esempi, kijRiRjiR xxx 222

Na vira che as conòss l'efét dl'operator an sij vetor dla base, antlora a l'é conossùa tuta l'assiondl'operator, an efét se l'operator A a pòrta ii ant : iiA , l'assion su un vetor genérich a ven për lalinearità ch'i l'oma suponù. Vis-a-dì che a valo le relassion:

ii

ii ivivAvA

Un vetor qualonque, ant l'esempi 'd prima, as trasforma coma indicà sì sota:

jvkvivvRkvjvivv x 321321 2antlora

I notoma an manera esplìssita che le notassion

dxxgAxfgAfgAfx

)()(;: *

a son sempe notassion echivalente.

Àlgebra dj'operatorAs peul definì, e dle vire a peul vnì a taj, n'àlgebra dj'operator, suponend n'ansema d'operator linear e

definend d'operassion an cost ansema. An particolar a venta definì un prodòt ëd doi operator e l'adission ëd doioperator, e peui ancora 'l prodòt ëd në scalar con n'operator.

I arportoma ste tre definission, suponend A1 e A2 doi operator, në scalar e v ël sòlit vetor.

vAvA

vAvAvAA

vAAvAA

11

2121

2121

I notoma sùbit che, an general, ël prodòt ëd doi operator a l'é nen comutativ: A1 A2 A2 A1. Asdefiniss coma gré ëd nen comutatività, opura "comutator" , l'operator 122121 , AAAAAA

Se n'operator A a amet n'invers, antlora l'invers as ëscriv A e a l'é definì da AA A A I ,andova I a l'é la trasformassion identità che a pòrta ògni vetor an chièl midem.

Le régole ch'i l'oma scrivù për operator an sij vetor a valo 'dcò për operator, che i ciamoma O, an slefonsion. An particolar n'operator a l'é linear se a val la relassion gOfOgfO andova f e g a sonfonsion definìe ant lë spassi considerà: I l'oma

fOfOfOfOfOO

fOOfOO

11

2121

2121

Ëdcò ambelessì ël prodòt a l'é nen comutativ: O1 O2 O2 O1. As definiss ëdcò ambelessì coma"comutator" , l'operator 122121 , OOOOOO

I podoma vardé quàich proprietà ëd costi comutator, che a ven-o sùbit da soa definission.


55

BCACBACABCBACABBCA

cAccAAcABBAABBAABBAABBA

AAAAAA

,,,,,,

costse0,,,donca,;,

0,

Operator coma matrissAnt na dàita base n un vetor a l'é arpresentà da un-a n-upla 'd nùmer che a son soe component,

mentre n'operator che a òpera an cola base, a l'é arpresentàbil coma na matriss fàita da n x n element.An efét i podoma supon-e che un vetor ket v a ven-a trasformà an v da l'assion ëd n'operator A,

e donca i scrivoma : vAv .

Le component ëd v' a peulo esse scrivùe coma

jjj

ji vjAijvAivAiviv

e se i butoma che jAiA ji i podoma scrive chej

jjii vAv .

L'element iv (riga i ) dël vetor colòna trasformà a l'é donca l'adission dij prodòt dj'element dël vetorëd partensa për j'element dla riga i dla matriss, e donca : ël vetor ëd partensa a l'é ambelessì un vetor colòna, e 'lvetor trasformà as treuva con na sòlita moltiplicassion ëd la matriss për ël vetor colòna.

I podoma pijé, pr'esempi, l'operator ëd rotassion ch'i l'oma vist prima. I l'avìo scrivù che che 'l versor i

a cambia nen : iiR x 2. Ël versor j a dventa k : kjR x 2

Ël versor k a dventa j : jkR x 2.

Sòn a veul dì che la component che a moltiplica 'l versor i a resta cola 'd prima . La component che amoltiplica 'l versor j a dventa cola ch'a moltiplicava 'l versor k , ma cambià ëd segn. La component che amoltìplica 'l versor k a dventa cola che a moltiplicava 'l versor j .

La matriss che a arpresenta costa trasformassion sòn a l'é :

010100

001

I vetor ëd base a son arpresentà, an partensa, da le tre matriss colòna100

;010

;001

kji . Se i

moltiplicoma la matriss për costi vetor i trovoma01

0;

100

;001

kji .

Se i consideroma un vetor qualonque kvjvivv 321 e i aplicoma l'operator rotassion sì dzora, i

l'avroma2

3

1

3

2

1

010100

001

vv

v

vvv

v che scrivù an forma estèisa a l'é kvjvivv 231 .

Se i consideroma l'operator identità I, i notoma che sò element jIiI ji a son nen d'àutr che ij ijch'i l'oma già trovà. A stupiss nen che la matriss dl'operator identità a sia giusta la matriss identità.


56

I arcordoma che sì dzora i l'oma dimostrà che a l'é vèra la relassioni

viiv . Costa relassion a

peul esse scrivùa coma viivn

i 1. Donca l'espression an parentesi, che a fà corisponde un vetor a chièl

midem, a corispond a l'operator identitàn

iiiI

1. Le quantità ii a peulo esse considerà coma operator,

e sò efét su un vetor v a l'é :

ivviivii i

Sti operator a son ciamà "projetor" iiPi , a l'han la proprietà che IPn

ii

1. Sti projetor a l'han

ëdcò la proprietà che jijjiiPP jiji Ma i l'oma che ij mach se i j, e donca a la fin dij

cont: ijijiji PjiPP .

An pràtica i l'oma che l'operator Pi a sern la component vi dël vetor. Për un sistema ortonormal il'oma che 12

iii PPP mentre jiPP ji se0 .

Ël comportament a arciama col d'un fìltro òtich (polarisador). I podoma scrive la matriss d'un ëd costiprojetor partend pròpi da soa definission iiPi , e fasend ël prodòt dël ket për ël brà. Se is contentoma ëdtre dimension e i suponoma che nòstr ìndes i a vala 2, i l'oma :

000010000

010010

iiPi

Parej as peul ëdcò sùbit vëdde che l'adission dij tre possìbij projetor a forma la matriss identità, dalmoment che ognidun a l'à un 1 an sla diagonal, ant la posission relativa a sò ìndes.

I l'oma vist l'assion d'un projetor an 's un ket, vardoma còs a càpita për un bra. I l'oma che:

I disoma 'ncora com as fà la moltiplicassion ëd doi operator an termo ëd matriss, sensa sté a fé ijpassagi dël cont. I l'oma che l'element ëd matriss dël prodòt (AB) a sarà:

jk

n

kkiji BABA

1

che a l'é 'l prodòt righe për colòne dle doe matriss dij doi operator.

Operator giontà (traspòst coniugà)I l'oma dit che un vetor bra as oten dal vetor ket con n'operassion ëd trsaposission e un-a 'd

coniugassion compléssa. Ste doe operassion ansema a fan l'operassion ch'i l'oma ciamà "gionta ", che a venindicà con ël sìmbol " † ". Sì i vardoma ëd definì n' operator giontà.

I l'oma vist che se i l'oma un vetor ket vav andova a a l'é un nùmer ëd sòlit compléss, ël relativ

vetor bra giontà a sarà ** avvav . Se anvece i l'oma vAv andova A a l'é n'operator, a ven naturalconsideré n'operator giontà ch'a sia tal che

†Avv .

iviivPv ii*


57

e i l'oma 'dcò che †*† AaAa .Svilupand sto concét, as riva a la conclusion (sì i foma nen tuti ij passagi) che la matriss che a

arpresenta l'operator giontà †A relativ a l'operator A second la definission sì dzora, a l'é fàita da j'element:

*†*,

*†† donca Tmnm,n AAAmAnnAmA

Se i l'oma doi operator A e B , as dimostra ampressa (e sì i lo foma nen), che, për ël prodòt dij doioperator, a val la relassion ††† ABBA .

I tornroma su cost sogét a propòsit dj'operator hermitian, pì anans.

Spassi ëd Hilbert

I l'oma vist che qualonque fonsion f(x) tala che dxxfxf * , a peul esse consierà coma un

vetor. Un vetor a l'é arpresentà da un nùmer finì ëd component, mentre na fonsion ha l'ha un valor f(x) për ògnivalor dla variàbil x, valor che a peul esse considerà la component relativa al valor dla variàbil x. A sta mira lavariàbil x a l'é echivalenta a l'ìndes i che a ponta a na component dël vetor.

I podoma definì n'adission ëd doi vetor dovrand la notassion wbuav , se is arferima ai vetor angeneral, e se is arferima a le componente i podoma scrive iii wbuav

A l'istéssa manera i podoma definì n'adission për le fonsion dovrand la notassion hbgaf se isarferima a le fonsion an general, mentre për arferìsse ai diferent pont i podoma scrive )()()( xhbxgaxf .

I l'oma vist ël prodòt intern për vetor e për fonsion e i podoma vëdde che tant ij vetor coma le fonsionch'i l'oma dit a peulo esse moltiplicà për na matriss. Costa a l'é n'operassion linear che a cambia un vetor antn'àutr vetor. Se i l'oma un vetor v e i lo moltiplicoma për na matriss M i l'oma:

An termo generaj i podoma dovré la notassion :

vMv opura vMv

che an termo 'd component a peul esse scrivùa:

j

N

jjii vMv

1

e che, dàita soa linearità, a l'ha la proprietà che:

vMbvMavbuaM

A-i é 'dcò n'operator linear O che a cambia na fonsion ant n'àutra, a l'istéssa manera. I podoma doncascrive che fOf1 con la proprietà che gObfOagbfaO

Se is arferima ai valor dla x (coma se as tratèisa dle component) i podoma scrive:

dyyfyxOxf ,1

andova O(x, y) a l'é na quàich fonsion ëd doe variàbij.I podoma 'ncora consideré l'espression ëd l'àlgebra linear, che arferìa ai vetor a peul esse scrivùa

jji

N

i

N

ji vMuvMu

1 1

*

che a corispond, cand as trata 'd fonsion, a l'espression:


58

dxdyygyxOxfgOf )(,)(*

As peul vëdde la corispondensa fra fonsion e vetor, giusta però se la fonsion a l'é integrabil com i l'oma

vist, vis-a-dì se dxxfxf * .

A sta mira i podoma definì lë Spassi ëd Hilbert, coma le spassi vetorial a anfinìe dimension ëd tute lefonsion integràbij al quadrà, coma indicà sì dzora.

Autovalor, autovetor, autofonsionI definima ambelessì ste entità, che a son motobin amportante ant la Mecànica Quantìstica. An efét,

sovens la solussion d'un problema a dipend dal podèj trové coste entità.I disoma che un vetor v che a sia nen zero a l'é dit "autovetor" ëd na matriss A (ëd n'operator A) se i

l'oma che vvA , andova a l'é un nùmer. Vis-a-dì che aplicand la matriss al vetor as oten un mùltipo dëlvetor midem. I l'avroma donca che

AvvvA ëdautovetorél'asemachese

an sto cas ël nùmer a l'é ciamà "autovalor".A l'istéssa manera i ciamoma na fonsion f(x) che a sia nen zero "autofonsion" ëd n'operator A, se

l'operator A, aplicà a la fonsion , a produv na fonsion ch'a l'é un mùltiplo dla fonsion midema. Donca

AxfxfxAf ëdnautofonsioél'a)(semachese)()(

ëdcò an sto cas ël nùmer a l'é ciamà "autovalor".

Coma esempi i podoma consideré l'operator ëd derivassiondxd e la fonsion xkie , andova k a l'é un

nùmer real. I l'oma che xkixki ekiedxd . I l'oma donca che la fonsion xkiexf )( a l'é n'autofonsion dl'operator

ëd derivassion, e ik a l'é sò autovalor.I podoma consideré, coma esempi për un vetor, l'operator ëd projession vvPv andova v a l'é

un vetor normalisà. I l'oma che ògni vetor ch'a sia paralél a v , vis-a-dì dël tipo v , a l'é n'autovetor conautovalor 1. An efét i l'oma : vvvvvPv .

Equassion caraterìsticaL'equassion ch'a definiss j'autovalor vvA a peul esse scrivùa coma 0vIA , e se i

consideroma soe component, i l'oma che:

01

j

n

jjiji vA

Cost a l'é un sistema d'equassion linear che a l'han solussion për vj mach se 'l determinant dij coeficenta val zero. Vis-a-dì se : 0det IA

An sto cas i podoma espande 'l determinant, e parèj i trovoma n'equassion ëd gré n (coma l'òrdin dëldeterminant) ant la variàbil . Da costa i podoma arcavé ij valor ëd .

kn

kkcIA

00det


59

Costa equassion a l'é ciamà "equassion caraterìstica", mentre 'l polinòmi kn

kkcP

0a l'é 'l

"polinòmi caraterìstich ". Na vira che a sio trovà j'àutovalor, a basta sostituì un a la vira costi ant l'equassion ëdpartensa, e as treuvo j'autovetor.

Operator Hermitian

Fra j'operator a son motobin amportant coj che a l'han la proprietà che AA† . che a son ciamà"operator hermitian" ò 'dcò "operator auto-giontà".

Se l'operator a l'é na matriss con j'indes che a peulo esse numerà, la condission sì dzora a corispond ascrive che ijji AA ,

*,

Son a veul dì che për j'element che a son an sla diagonal a val la relassion iiii AA ,*, , e donca as trata

për fòrsa d'element reaj.Për d'operator che a peusso nen esse arpresentà da na matriss con ìndes numeràbij a ven méj definì

l'operator giontà dovrand le relassion:

fAggAfgAf ††*

che i stoma nen a dimostré ambelessì.Un-a dle proprietà dj'operator hermitian a l'é cola d'avéj autovalor reaj. Le grandësse fìsiche a son

sempe reaj, e donca a son sempe autovalor d'operator hermitian.N'àutra proprietà a l'é che j'autofonsion a peulo sempe esse sernùe an manera ch'a sio normalisà e

ortogonaj l'un-a con l'àutra, an manera d'avéj n'ansema ortonormal.J'autofonsion a formo n'ansema complet, an manera che qualonque fonsion a peul esse scrivùa coma

na combinassion linear dj'autofonsion. Conossend j'autofonsion as conòss donca tut lòn ch'a fà l'operator.Se i l'oma che A a l'é n'operator hermitian, antlora as peul dimostré che a val la relassion

*gAffAg , e che fAf a l'é un nùmer real.

Autovalor e Autofonsion d'operator HermitianPrima 'd tut i disoma che për j'operator hermitian a-i son sempe d'autofonsion, parèj coma a-i son

sempe d'autofonsion për j'operator unitàri. As dimostra che j'autostat che a corispondo a autovalor diferent ëd n'operator hermitian a son

ortogonaj (sò prodòt intern a val zero).An efét i podoma parte da la definission d'autofonsion e d'autovalor e i consideroma un-a dle

autofonsion e relativ autovalor, che sì i scrivoma

)()( qfqAf nnn

i moltiplicoma për la complessa coniugà ëd n'àutra autofonsion

)()( ** qfqfqAfqf nnmnm

e i integroma

dqqfqfdqqAfqf nmnnm )()( **

peui i scambioma fra 'd lor j'autofonsion e i otnoma

dqqfqfdqqAfqf mnmmn )()( **

adéss i foma la combinassion linear gavand la sconda da la prima

0)()()( ** dqqfAAqfdqqfqf mnmnmn


60

andova i l'oma dovrà 'l fàit che j'autovalor a son reaj e che l'operator a l'é ugual al sò autogiontà. Donca i podomascrive che:

0)(* dqqfqf mnmn

e sòn a peul esse vèra mach se, cand mn , l'integral a val zero. Ma ël prodòt inter ugual a zero,

0)(* dqqfqf mn a l'é giusta la condission d'ortogonalità për qfn* e qf m

* , e sòn qualonque a sìo j'indes,bastamach ch'a sia n m.

A sta mira a l'é ciàir che j'autofonsion a peulo esse normalisà e formé un sistema ortonormal complét.

La "fonsion" Delta ëd DiracParland ëd vetor, con un nùmer discrét ëd component, i l'oma definì n'operator identità I (matriss

unitaria), che a pòrta un vetor an chièl midem : vIv .

La matriss unitaria (Kroeneker Delta) an component a val jijiI conjiji

ji se0se1

Vardoma antlora n'operator identità echivalent për le fonsion : fIf .

Consideroma le fonsion definìe dacasàutrij'ant0

2/1 0, 0

lxxcandlxf xl con x0 e l coma paràmeter

(reaj). Ste fonsion a arpresento un retàngol con ass as x x0 , con base 2l e autëssa 1/2l , e donca con surfassa 1.

Sò integral a sarà sempe 10, dxxf xl qualonque a sio ij paràmeter.

I podoma definì la Delta ëd Dirac considerand ël lìmit për l 0 (ò për x x0 ) dle fonsionxf xl 0, scrivend

0,0 0

lim xxxf xll

e donca, a esse precis, la Delta 'd Dirac a l'é nen na fonsion, ma al'é ël lìmit ëd na sequensa 'd fonsion.I consideroma, për semplifiché, che x0 0 , e i podoma 'dcò definì la Delta 'd Dirac con le relassion

0;0se0 xx

ansema a la relassion

casàutrij'ant00se0 baf

dxxfxb

a

e sòn a echival a buté che l'integral dla Delta a sia ugual a 1 su qualonque interval che a comprenda ël 0.Për arpijé la notassion ëd prima i podoma 'dcò scrive :

casàutrij'ant0se 00

0bxaxf

dxxfxxb

a

I l'oma vist an prinsìpi che la Delta 'd Dirac a peul esse considerà coma lìmit ëd fonsion dël tipoxf xl 0, cand l a tend a zero. A-i son, macassìa, vàire sequense 'd fonsion che a l'han coma lìmit na Dèlta ëd

Dirac. I arportoma giusta n'esempi sensa dé dimostrassion:

02200

1lim xxaxx

aa

I arportoma le proprietà le pì amportante dla Delta 'd Dirac, con l'avertensa che j'espression scrite adeuvo nen esse anterpretà coma ugualianse matemàtiche che a diso "dàit un precis valor a la variàbil x, ij doi member a


61

dan l'istéss arzultà", ma anvece che "l'integral fra e dl'espression al prim member a l'é ugual a l'integral fra e dl'espression a lë scond member".

0001

)(andova)(

)()(

0

1)()(

)()(

000

xsexse

xxxdxd

xxxxxx

axdx

xdfaxxd

dxf

xx

axxfaxxf

axafaxxf

Equassion con pì che na variàbil indipendentaAnt lòn ch'i l'oma vist i l'oma sempe considerà fonsion ëd na variàbil sola, ma a peul capité che ant un

prodòt intern a sio anteressà fonsion ëd pì che na variàbil.An sostansa le còse a càmbio nen rispét a lòn ch'i l'oma vist prima, bastamach che l'integrassion dle

fonsion a sia fàita su tute le variàbij.I notoma macassìa che 'l temp a l'é na variàbil un pòch particolar, e a l'é nen comprèis ant l'integrassion

dël prodòt intern.

dzdydxzyxgzyxfgfx y z

),,(),,(*

Macassìa cand i ancontreroma situassion dë sto tipo i vardroma cas për cas la manera 'd tratéje.Për adéss is fërmoma ambelessì për lòn ch'a rësguarda j'arciam matemàtich, tnisend cont che, se i

vëddroma che an mancherà quaicòs, i lo giontroma an sël moment.


62


Mecànica Quantìstica · 2016-09-06 · La manera che as deuvra, ëd sòlit, për antroduve la...

Documents

Transcript of Mecànica Quantìstica · 2016-09-06 · La manera che as deuvra, ëd sòlit, për antroduve la...