mecanisme_2

5/17/2018 mecanisme_2 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mecanisme2 1/85

5

Cuprins

1 Analiza structurala a mecanismelor …………...………………………………… 71.1 Elemente cinematice. Cuple cinematice ………………………………………… 7

1.2 Lanturi cinematice ………………………………………………………………. 101.3 Formulele structurale ale lanturilor cinematice. Mecanismele ………………….. 101.4 Cuple cinematice multiple. Elemente cinematice pasive ……………………….. 12

1.5 Echivalarea cuplelor cinematice superioare …………………………………….. 131.6 Grupe structurale ………………………………………………………………... 14

2 Cinematica mecanismelor plane…………………………………………………. 17

2.1 Determinarea pozitiilor si a traiectoriilor elementelor mecanismului…………… 172.2 Distributia vitezelor si acceleratiilor la elementele unui mecanism……………...

2.2.1. Constructia grafica a vitezelor si acceleratiilor………………………………….. 2.2.2. Distributia de viteze si acceleratii la un element cu miscare de translatie sau de

rotatie……………………………………………………………………………..

2.2.2.1. Elementul cu miscare de translatie……………………………………………….2.2.2.2. Elementul cu miscare de rotatie…………………………………………………..

2.2.3. Distributia de viteze si acceleratii la un element cu miscare plan-paralela………2.2.3.1. Distributia vitezelor................................................................................................2.2.3.2. Distributia acceleratiilor………………………………………………………….

2.3. Determinarea vitezelor si acceleratiilor mecanismelor plane…………………….2.3.1. Metoda planu1ui vitezelor si a planului acceleratiilor……………………………

2.3.1.1. Cupla de rotatie…………………………………………………………………...2.3.1.2. Cupla de translatie………………………………………………………………..2.3.2. Metode analitice………………………………………………………………….

2.3.2.1. Metoda de analiza cinematica a mecanismelor cu ajutorul numerelor complexe(Metoda Block)…………………………………………………………………...

2.3.2.2. Metoda analitica a proiectiilor……………………………………………………3 Analiza dinamica a mecanismelor……………...………………………………... 313.1. Echilibrarea maselor aflate în miscare de rotatie…………………………………

3.2. Dinamica mecanismelor si a masinilor…………………………………………...

3.2.1. Ecuatia miscarii masinii…………………………………………………….…….3.2.2. Randamentul mecanic…………………………………………………………….3.2.3. Studiul miscarii masinii sub actiunea fortelor date………………………………4 Notiuni privind teoria reglajului masinilor.………………………………………

4.1 Reglarea variatiei neperiodice a vitezei. Regulatorul centrifugal ………………..5 Transmiterea fluxului de forta prin elementele cuplelor cinematice cu frecare …

5.1 Cupla cinematica de clasa a V-a de translatie cu frecare pe plan ………………..5.2 Cupla cinematica de clasa a V-a de translatie cu frecare în “V” ………………...5.3 Cupla cinematica de clasa a V-a de rotatie de tip fus – cuzinet cu joc ………….

5.4 Cupla cinematica de clasa a V-a de rotatie de tip fus – cuzinet cu joc, cu contacthertzian …………………………………………………………………………..

5.5 Cupla cinematica de clasa a V-a de rotatie de tip fus – cuzinet fara joc, nerodata5.6 Cupla cinematica de clasa a V-a de rotatie de tip fus – cuzinet fara joc, rodata ...5.7 Cupla cinematica de clasa a V-a de rotatie de tip pivot – cuzinet ……………….



Organe de masini. Transmisii mecanice

6

5.8 Cupla cinematica curea – roata de curea ………………………………………...5.9 Cuple cinematice superioare cu contact hertzian ………………………………..5.10 Policuple cinematice superioare cu contact hertzian …………………………….

5.11 Cupla surub – piulita ……………………………………………………….…….6 Mecanismul cu came .……………………………………………………………

6.1. Generalitati ………………………………………………………………………6.2. Analiza si sinteza mecanismelor cu came ……………………………………….6.2.1. Solutionarea analitica unitara a sintezei si analizei mecanismelor cu came ……..

6.2.2. Unghiul de presiune ……………………………………………………………...6.2.3. Trasarea profilului real al camei …………………………………………………

6.2.4. Alegerea razei rolei de palpare …………………………………………………..6.3. Studiul unor legi de miscare a tachetului ………………………………………...6.3.1. Legea liniara ……………………………………………………………………..

6.3.2. Legea parabolica ………………………………………………………………....6.3.3. Legea cosinusoidala ……………………………………………………………...

6.3.4. Legea sinusoidala ………………………………………………………………..

6.4. Alegerea legii de miscare a tachetului …………………………………………...7. Transmisii planetare si diferentiale ………………………………………………

7.1. Trenuri de angrenare cu axe fixe ………………………………………………...7.2. Trenuri de angrenare planetare …………………………………………………..7.3. Raportul de transmitere al mecanismelor planetare ……………………………..

7.4. Calculul energetic al mecanismelor planetare …………………………………...7.5. Conditii geometrice impuse transmisiilor planetare ……………………………..

7.5.1. Conditia de coaxialitate ………………………………………………………….7.5.2. Conditia de montaj ……………………………………………………………….7.5.3. Conditia de vecinatate ………………………………………….…………….….

8. Bibliografie ………………………………………………………………………



7

1 Analiza structurala a mecanismelor

1.1 Elemente cinematice. Cuple cinematice

Masina reprezinta un ansamblu de corpuri cu miscari determinate, care are ca scopexecutarea unui lucru mecanic util sau transformarea unei forme de energie în energiemecanica. Se disting masini motoare, care transforma diferite forme de energie în energiemecanica, respectiv masini de lucru, care transforma energia mecanica în lucru mecanic. Dinprima categorie fac parte, de exemplu, masinile termice care transforma energia chimica a

combustibilului în energie mecanica. Masinile-unelte, ca masini de lucru, transforma energiaelectrica în lucru mecanic.

Organele de masini sunt elemente constructive care intra în componenta masinilor,având forme si functii specifice. Modelele de calcul ale acestora le individualizeaza.

Studiul masinilor si al componentelor acestora (organele de masini) poate fi facut dupacunoasterea principiilor care descriu structura si functionarea mecanismelor.

Mecanismul reprezinta un ansamblu de elemente cinematice legate între ele prin cuplecinematice, fiecare element având o miscare bine determinata. Prin intermediul cuplelorcinematice se transmite miscarea si fluxul de putere.

Elementele cinematice pot fi:a) solide– rigide deformabile (bare, roti, came, tacheti etc.)– flexibile (curele, cabluri)– elastice (arcuri)

b) fluide (lichide sau gazoase).De regula, se utilizeaza elemente cinematice solide rigide, nedeformabile sau cu

deformatii elastice neglijabile, care nu influenteaza cinematica si dinamica mecanismelor.Elementele elastice sunt de obicei pasive, având numai rolul de a permite readucereaelementelor mecanismului în starea initiala de echilibru sau de functionare în regim stabil.

În figura 1.1 sunt reprezentate câteva exemple de mecanisme.

Figura 1.1

1′′

1′

1′si 1′′ elementemotoare

1

cutit

Mecanismseping

Mecanismcu came

1



8

Dupa cum se poate observa, mecanismele reprezinta structura de baza a unei masinisimple; construirea masinilor utilizeaza functia cinematica a mecanismelor pentru a se putearealiza transmiterea fluxului de putere si/sau de forta.

Cupla cinematica este legatura dintre doua elemente cinematice permitând miscarearelativa dintre acestea; în structura unei masini, cupla cinematica are si rolul de a transmite

fluxul de putere sau/si de forta.O cupla cinematica limiteaza posibilitatile de miscare relativa ale elementelorcinematice aflate în legatura.

Un element cinematic independent are, în spatiu, 6 componente de miscare si anumeproiectiile vitezei de translatie (v) si ale vitezei unghiulare (ω) pe cele 3 axe ale unui sistemortogonal: vx, vy, vz, ωx, ωy si ωz. Aceste componente pot fi denumite grade de libertate. Prinlegarea între ele a doua elemente cinematice printr-o cupla cinematica se pierd cel putin una sicel mult 5 miscari relative independente. Ca urmare, numarul restrictiilor impuse de cupladefinesc clasa acesteia.

Cupla cinematica spatiala, care anuleaza o singura miscare independenta, este de clasa întâi (C1); cupla cinematica care anuleaza doua miscari independente este de clasa a doua(C2); exemplificarea poate continua pâna la cupla de clasa a cincea (C 5) care permite o singuramiscare relativa independenta.

Asadar, clasa ″k″ a unei cuple cinematice indica numarul conditiilor de legaturaimpuse, adica numarul miscarilor relative independente anulate. Clasa ″k″ a unei cuplecinematice este cuprinsa între 1 si 5.

Cupla care anuleaza 6 miscari relative independente nu este o cupla cinematica ci olegatura rigida între elemente.

În figura 1.1 sunt prezentate exemple de cuple cinematice, clasificate dupa criteriulstructural al clasei de apartenenta.

Cuplele cinematice sfera/plan (C1), cilindru/plan (C2) si articulatia sferica (C3) sunt

cuple spatiale. Cupla cinematica corp paralelipipedic/plan (C3) este o cupla plana pentru cacele 3 miscari independente au loc în plan.Cuplele cinematice (C4) si (C5) sunt cuple plane. Se poate observa ca, în cazul cuplelor

de tip cama/tachet si de tip angrenaj, miscarile relative independente sunt alunecarea relativadupa tangenta comuna si rostogolirea relativa. În figura 1.2, pentru cuplele plane a fostprezentata si reprezentarea simbolica.

Cupla cinematica surub/piulita este de clasa a V-a, singura miscare permisa fiindalunecarea relativa în lungul spirei care, în esenta este un plan înclinat.

Alte criterii pentru clasificarea cuplelor cinematice sunt:a) criteriul constructiv, conform caruia se disting cuplele cinematice închise

(figura 1.3.a) si cuplele cinematice deschise (figura 1.3.b);

b) complexitatea miscarii relative, conform careia cuplele cinematice sunt plane sispatiale;Dupa criteriul tipului contactului se disting cuplele cinematice superioare si cuplele

cinematice inferioare.La cuplele cinematice superioare contactul dintre elemente se realizeaza teoretic

într-un punct sau dupa o linie. În regim de încarcare, prin deformarea elastica a elementelorconjugate, contactul se stabilizeaza pe o suprafata de forma circulara de diametru extrem demic, respectiv pe o fâsie de latime extrem de redusa. Tensiunile de contact sunt, în acestecazuri, deosebit de mari conducând la uzarea rapida a elementelor cuplei daca ungerea nu esteadecvata.

La cuplele cinematice inferioare contactul se realizeaza pe o suprafata; ca urmare,

tensiunile de contact sunt reduse.Cuplele cinematice superioare prezinta avantajul preciziei cinematice ridicate.



9

Cl. I Sfera pe plan

Cl. II Cilindu pe plan

Cl. III Articulatie sferica

Cl. III Corp paralelipipedic pe plan

Cl. IV Capat de bara pe o linie curba(contact teoretic punctual care permitealunecarea relativa vt si rotirea relativa ? ).

Exemplu: tachet pe cama.

Cl. IV Angrenaj

Cl. IV Ghidaj cilindric

Cl. V Asamblare filetata

Cl. V Cupla de translatie(ghidaj paralelipipedic)

Cl. V Cupla de rotatie(articulatie)

Figura 1.2

Figura 1.3.a Figura.1.3.b2 1 2 1 2

x vx

ωx y

vy

z ωz

ωy

xvx

yvy

zωz

ωy

ωx

ωz

ωy

xvx

y

vy

z ωz

vt ω

ωx

(ωx)

vx ωx

vx

C u p l e p l a n e

C u p l e s p a t i a l e

vx



10

1.2 Lanturi cinematice

Lantul cinematic este un ansamblu de elemente cinematice legate între ele prin cuplecinematice.

În figura 1.4 sunt prezentate câteva exemple de lanturi cinematice.

Figura 1.4

Clasificarea lanturilor cinematice este prezentata în Tabelul 1.1.Rangul “j” al unui element este egal cu numarul cuplelor cinematice cu care acesta se

leaga de alte elemente.Tabelul 1.1

Lanturi cinematice planeToate elementele au miscari într-unsingur plan sau în plane paralele

Dupa complexitateamiscarii Lanturi cinematice spatiale

Miscarile elementelor au loc în planediferite

Lanturi cinematice simple Fiecare element are j ≤ 2

Lanturi cinematice complexe Cel putin un element are j ≥ 3

Lanturi cinematice închise Toate elementele au j ≥ 2

Dupa numarulcuplelor cinematice

care revin unuielement cinematic

Lanturi cinematice deschise Cel putin un element are j = 1

1.3 Formulele structurale ale lanturilor cinematice. Mecanismele

Se considera un lant cinematic spatial, complex, cu “n” elemente, având numarul “Ck”de cuple cinematice de clasa “k”. Daca nu se impun restrictii pentru miscarea elementelorcinematice, atunci fiecare dintre acestea va avea câte 6 miscari independente numite grade de

libertate, într-un sistem de referinta independent de lantul cinematic. Toate elementelecinematice vor avea, împreuna, 6⋅n grade de libertate. Numarul total al conditiilor de legaturaimpuse este k⋅Ck. Notând cu L gradul de libertate al lantului cinematic, adica numarulmiscarilor independente, se obtine:

∑=

⋅−⋅=5

1k

kCkn6L (1.1)

Se considera un lant cinematic determinat daca, pentru o miscare data unuia dintre

elemente sau mai multor elemente în raport cu un element fix, celelalte elemente au miscari

bine determinate. Aceasta proprietate a lanturilor cinematice se numeste desmodromie.În figura 1.5 sunt prezentate: un lant cinematic cu un element fix, desmodrom (în

stânga) si un lant cinematic cu un element fix nedesmodrom (în dreapta).



11

Figura 1.5

Gradul de libertate al sistemului, în raport cu elementul fix al lantului cinematic senumeste grad de mobilitate (M) si se determina astfel:

( ) ∑∑==

⋅−⋅=⋅−−⋅=−=5

1kk

5

1kk Ckm6Ck1n66LM (1.2)

În relatia (1.2) m este numarul elementelor relativ mobile.Relatiile (1.1) si (1.2) reprezinta formulele structurale ale lanturilor cinematice

spatiale. Este evident ca daca numarul elementelor care determina miscarea (elementeconducatoare) este egal cu M, miscarile celorlalte elemente fata de elementul fix suntdeterminate.

Mecanismul este un lant cinematic cu un element fix sau relativ fix (numit sasiu, batiu,cadru etc.) desmodrom fata de acel element.

Daca M = 0, sistemul nu este un mecanism ci o structura rigida. Daca M = 1,mecanismul este desmodrom având nevoie de un singur element motor (conducator),elementele conduse având miscari bine determinate. Daca M = 2, mecanismul are nevoie dedoua elemente motoare pentru ca celelalte elemente sa aiba miscari bine determinate.

În cazul lanturilor cinematice sau mecanismelor plane, înainte de legarea elementelor

cinematice componente prin cuple cinematice, fiecare dintre acestea are câte 3 grade delibertate (vx, vy siωz), adica (6 – 3) grade de libertate. Numarul de restrictii impus, în plan, defiecare cupla cinematica este (k – 3). Ca urmare, relatiile (1.1) si (1.2) devin:

45 C)34(C)35(n)36(L ⋅−−⋅−−⋅−= (1.3)

45 CC2m3M −⋅−⋅= (1.4)

În figura 1.6 sunt prezentate cîteva exemple de mecanisme pentru care este calculatgradul de mobilitate. În figura 1.6.a, pentru mecanismul paralelogram, m = 3, numarulcuplelor cinematice de clasa a V-a este C5 = 4 astfel încât rezulta M = 1. Pentru mecanismul

cu came (figura 1.6.b), m = 2, C5 = 2, numarul cuplelor cinematice de clasa a IV-a, C4 = 1;rezulta M = 1. Un caz atipic este prezentat în figura 1.6.c pentru care: m = 3, C5 = 2 C3 = 2,rezultând M = 2. Mecanismul este totusi desmodrom, utilizând-se un singur element motor,oricare ar fi acesta; se poate observa ca elementul cu dubla articulatie sferica se poate învârti,ca un al doilea element motor (pasiv), fara sa influenteze miscarea celorlalte elemente.

Se noteaza cu f familia mecanismului. Daca nici un element al mecanismului nu poateefectua f miscari relative independente, gradul de mobilitate al acestuia se deduce cu relatia(1.2) astfel modificata:

∑=

⋅−−⋅−=5

1k

kC)f k(m)f 6(M (1.5)

Mecanismul spatial schematizat în figura 1.7 are: m = 3, C5 = 2, C4 = 2 si f = 1. Caurmare, aplicând relatia (1.5), rezulta M = 1.

?



12

Figura 1.6

1.4 Cuple cinematice multiple. Elemente cinematice pasive

Cuplele cinematice multiple fac legatura între trei sau mai multe elemente cinematice.Daca numarul elementelor astfel legate este n, atunci numarul cuplelor cinematice care

stabilesc legatura multipla este n – 1.În exemplul dat în figura 1.8 apare o cupla cinematica dubla, cea care face legatura

dintre elementul motor 1 cu elementele 2 si 5; ca urmare, mecanismul are 7 cuple cinematicede rotatie (articulatii) si, având m = 6, este nedesmodrom, gradul de mobilitate fiind M = 4.

Figura 1.7 Figura 1.8

Mecanismul din figura 1.9.a are m = 6, C9 = 9 astfel încât aparent are gradul demobilitate M = 0. Constatând însa ca elementul cinematic 3 este pasiv, având doar rolul de arigidiza bara 2, mecanismul poate fi redus la esenta lui (figura 1.9.b) acesta având m = 5, C5 =7 si gradul de mobilitate M = 1. Din acest exemplu deducem ca, pentru determinarea graduluide mobilitate al unui mecanism trebuie eliminate din schema acestuia elementele pasive,elementele elastice si altele care nu participa direct, esential, la transmiterea miscarii.

Figura 1.10.a prezinta cazul unui mecanism care are m = 3, C 5 = 3 si C4 = 1,conducând la M = 2.

Figura 1.9.a Figura 1.9.b

elementconducator

m = 3C5 = 4C4 = 0

M = 3⋅3 − 2⋅4 = 1

m = 2C5 = 2C4 = 1

M = 3⋅2 − 2⋅2 − 1 = 1

C4

contactor

1(motor)

R

5C

R5C

C3 C3

3 2

1?r

M = 6⋅3 − 5⋅2 − 3⋅2 =2 !

3

1

m = 6C5 = 9

M = 3⋅6 − 2⋅9 = 0 ?!

Elementul 3 este pasiv! Ajuta la rigidzarea barei 2.

2

4

56

doua cuple C5! 1

m = 5C5 = 7

M = 3⋅5 − 2⋅7 = 1

2

4

56

x y

z

R5C

3

2

C4

11?

r

(motor)

M = 3C5 = 2

C4 = 2M = 6⋅3 − 5⋅2 − 4⋅2 = 0 !?

Se observa ca nici un element nupoate avea rotatie fata de (Oy).

R5C

m = 6C5 = 7!

M = 3⋅6 − 2⋅7 = 4

doua cuple C5 !

15

3 4

6

2



13

Aparent, mecanismul este nedesmodrom; schematizându-l se obtine: m = 2, C5 = 2 siC4 = 1 (figura 1.10.b), ceeea ce conduce la M = 1.

1.5 Echivalarea cuplelor cinematice superioare

Pentru analiza structurala a mecanismelor este uneori necesara înlocuirea cuplelorcinematice superioare. Oricare cupla superioara poate fi înlocuita cu un lant cinematic daca

sunt îndeplinite conditiile: a) sa nu se modifice gradul de mobilitate al mecanismului si b)miscarile relative ale elementelor legate prin cupla superioara sa ramâna aceleasi, pentrupozitia instantanee data.

Pentru mecanismele plane, de exemplu, o cupla cinematica de clasa a IV-a (C4)introduce o conditie de legatura mai putin decât o cupla cinematica de clasa a V-a (C5),micsorând cu o unitate gradul de mobilitate. Ca urmare, utilizând numai cuple cinematice declasa a V-a, în locul celor m elemente cinematice, a celor C5 cuple cinematice de clasa a V-asi a celor C4 cuple cinematice de clasa a IV-a vor fi mech elemente cinematice echivalente siC5 ech cuple cinematice de clasa a V-a echivalente. Astfel,

3 ⋅ mech − 2 ⋅C5 ech = −1 (1.6)

Rezulta relatia pe baza careia se poate alcatui Tabelul 1.2.

2

1m3C

echech5

+⋅= (1.7)

Tabelul 1.2mech 1 3 5 7 ….C5 ech 2 5 8 11 ….

Din cifrele coloanei a doua, rezulta ca o cupla de clasa a IV-a poate fi înlocuita

printr-un element cinematic si doua cuple cinematice de clasa a V-a. În figura 1.11.a estereprezentat mecanismul initial, având o cupla C4; mecanismul echivalent, cuprinzând doarcuple cinematice C5 apare în figura 1.11.b.


C41

m = 2C5 = 2

C4 = 1M = 1

2 1

m = 2 + 1 = 3C5 = 2 + 2 =4

C4 = 0M = 1

2

3

m = 3C5 = 3

C4 = 1M = 3⋅3 − 2⋅3 − 1 = 2 !?

Rola 2 poate fi îndepartata.

C5

C4

1

2 3

C5

C4

1

2

m = 2C5 = 2C4 = 1

M = 3⋅2 − 2⋅2 − 1 = 1

Figura 10.a Figura 10.b



14

A doua conditie de echivalare poate fi exemplificata astfel:a) daca profilul unui element cinematic al cuplei de clasa a IV-a este curb

(figura 1.12), în centrul de curbura al profilului se plaseaza o cupla cinematica de rotatie declasa a V-a;

b) daca profilul unui element cinematic al cuplei de clasa a IV-a este plan sau liniar, înpunctul de contact de tip C4 se plaseaza o cupla cinematica de translatie de clasa a V-a, ca înfigura 1.13.

1.6 Grupe structurale

Grupele structurale sunt lanturi cinematice cu grad de mobilitate nula. Ca urmare,grupele structurale pot fi incluse într-un mecanism sau extrase din acesta fara ca gradul demobilitate sa se modifice. Daca mecanismul are doar cuple cinematice de clasa a V-a, relatiade definitie a grupei structurale are forma:

m23C5 = (1.8)

Figura 1.12

Figura 1.13

Pe baza relatiei (1.8) se poate alcatui Tabelul 1.3.Tabelul 1.3

m 2 4 6 … C5 3 6 9 …

m = 2C5 = 2C4 = 1M = 1

ρ1B

B 1

2

O

(n)

(n)

1

2(n)

(n)

3

m = 3C5 = 4C4 = 0M = 1

m = 2C5 = 2C4 = 1M = 1

B

D 1

2

A

ρ

B

D

1

2

A

R5C

T5C

m = 2C5 = 4C4 = 0M = 1

3



15

Clasa unei grupe structurale este data de numarul de cuple cinematice care intra încompunerea celui mai complex contur închis deformabil de elemente sau de numarul maximde cuple cinematice care revin celui mai complex element cinematic, daca grupa structuralanu are contururi închise deformabile de elemente.

În figura 1.14.a este prezentata o grupa structurala de clasa a II-a (diada) iar în

figura 1.14.b diada este integrata unui mecanism. Elementul conducator, legat de un elementfix, are M = 1, diada are M = 0, astfel încât întregul mecanism are M = 1.

Figura 1.14 a Figura 1.14.b

În figura 1.15 sunt reprezentate câteva exemple de grupe structurale de clasa a III-a

numite triade.

Figura 1.15

elementconducator

diada

1

23

4 12

34

1

23

4



17

2 Cinematica mecanismelor plane

Cinematica mecanismelor se ocupa cu studiul miscarii elementelor mecanismului faraa se tine seama de fortele care conditioneaza miscarea.

Cinematica mecanismelor studiaza trei probleme, esentiale:a. Determinarea pozitiei si a traiectoriilor elementelor mecanismului.b. Determinarea vitezelor punctelor elementelor mecanismului.c. Determinarea acceleratiilor punctelor elementelor mecanismului.În cadrul accstui capitol se trateaza cinematica mecanismelor plane, cu cuple

inferioare (de rotatie sau de translatie).Mecanismele cu cuple superioare (mecanisme cu came, mecanisme cu roti dintate) vor

fi studiate în capitole.

2.1 Determinarea pozitiilor si a traiectoriilor elementelor mecanismului

Determinarea pozitiilor elementelor unui mecanism se face de obicei prin metodegrafice (metoda intersectiilor sau metoda sabloanelor). În cazul acestor metode, este necesarareprezentarea schemei la scara a cinematice a mecanismului, cunoscându-se lungimeaelementelor si pozitia elementului motor fata de un sistem de referinta

Schema cinematica se construieste la o anumita scara a lungimilor, convenabil aleasa

mm

mK l . Deci, lungimea reala unui segment se determina prin înmultirea lungimii sale

masurata pe schema (în milimetri) cu marimea Kl.


Traiectoriile elementelor mecanismului pot fi determinategrafic sau analitic. Metodelegrafice sunt mai convenabile si în special la mecanismele complicate la care stabilirea ecuatieimiscarii prezinta dificultati.

Metoda intersectiilor este prezentata în figurile 2.1 si 2.3, iar metoda locurilorgeometrice (sabloanelor) în figura 2.2.

ϕ 1

l4

l2C

α

l3

4

β

A

4

D

B

32

γ 2

γ 3γ 4

γ 6

3

2 4

1 6

57

7

AO

B

C

E

D

l2 F

l4

l5

l6 l O F v

lOFh

Sablon

r1



18

Figura 2.1 prezinta un mecanism patrulater articulat. Pozitia tuturor elementelor estecomplet determinata daca se cunosc lungimile elementelor si unghiul ϕ dintre elementulmotor si un sistem fix de coordonate.

Pentru mecanismul cu culisa oscilanta, pozitiile cuplelor cinematice C, D si E suntdeterminate prin metoda sabloanelor

.

Figura 2.3

În figura 2.3 este prezentat un mecanism de tip biela-manivela. Pentru determinareatraiectoriei bielei (pozitiile succesive ale punctelor de pe biela 2) se foloseste metodaintersectiilor. Dentru exemplificare, se considera un punct oarecare D de pe biela. Se observaca traiectoria punctului D este o elipsa.

2.2 Distributia vitezelor si acceleratiilor la elementele unui mecanism

2.2.1 Constructia grafica a vitezelor si acceleratiilor

În figura 2.4, punctul A este în miscare de rotatie cu o viteza unghiulara constanta ω,

fata de centrul de rotatie O. Raza de curbura este reprezentata de segmentul OA la scara Kl,

în

mm

m. Viteza vA, reprezentata de vectorul AVA , la scara vitezelor Kv, în

⋅ −

mm

sm 1

si

tangenta la traiectoia punctului A, este data de:

OAA l?v ⋅= (2.1)

din care se obtine:

OA

AV

K

K

l

v A

l

v

OA

A ⋅= (2.2)

Notând cu ϕ unghiul între AOVsiOA se obtine

tgKf tg

K

K? ?

l

v ⋅=⋅= (2.3)

B1

B2B3

B4

B6B5 B7

D1

B0

D2

D3D4

D6D5

D0

D7

C0

C1

C6 C7C5C4

1

A

2

4

3



19

în carel

v? K

KK = , adica scara vitezelor unghiulare este raportul dintre scara vitezelor liniare

Kv si scara lungimilor Kl.Daca se considera Kv = Kl, rezulta:

f tg?decisi1K ? == (2.4)

adica: viteza unghiulara este egala cu valoarea tangentei unghiului între raza de curbura sidreapta ce uneste vârful vectorului viteza cu centrul de curbura.

Cele doua componente ale acceleratiei punctului A sunt- acceleratia normala

A2

A

2An

A r?r

va ⋅== (2.5)

- acceleratia tangentiala

AtA rea ⋅= (2.6)

în care ε este accelerata unghiulara a punctului A.În figura 2.4, acceleratia tangentiala este reprezentata la scara acceleratiilor Ka în

⋅ −

mm

sm 2

de vectorultA

tA

tA AAKaadica,AA ⋅= .

Figura 2.4 Figura2.5

Acceleratia unghiulara ε este data de

?tgK

K

AOK

AAK

r

ae

l

A

l

tAA

A

tA ⋅=

⋅⋅

== (2.7)

?tgKe e ⋅= (2.7′)

Pentru Ka = K1, rezulta Kε = 1 si deci

?tge = (2.8)

VA

ϕ ψ

tAA A

O

A VA

anAA

O



20

adica: acceleratia unghiulara este egala cu valoarea tangentei unghiului între raza de curburasi dreapta ce uneste vârful vectorului acceleratiei tangentiale cu centrul de curbura.

Cunoscând elementele anterioare se poate construi grafic acceleratia normala (figura

2.5). Se traseaza semicercul cu diametrul OA . Se rabate vectorul viteza pâna intersecteaza

semicercul în punctul a. În triunghiul dreptunghic OaA,

n

AaA este înaltime.Se poate scrie:

nA2

v

l

A

2A

2v

12An

AnA

2a

K

K

r

?

K

K

OA

AVAA;AAOAaA ⋅=⋅==⋅= (2.9)

saunA

l

2vn

A AAK

Ka ⋅= , adica vectorul

nAAA reprezinta acceleratia n

Aa la scara Ka.

2.2.2 Distributia de viteze si acceleratii la un element cu miscare de translatiesau de rotatie

2.2.2.1 Elementul cu miscare de translatie

În acest caz, se considera ca elementul cu miscare de translatie se misca cu viteza unuipunct oarecare A, Av .

Viteza oricarui punct B sau C de pe element este egala si paralela cu viteza punctuluiA, adica: CBA vvv == .

Acceleratia oricarui punct B sau C de pe elementul 1 este egala si paralela cu

acceleratia punctului A, adica: CBA aaa == .În concluzie distributia de viteze si acceleratii la un element cu miscare de tranlslatieeste cunoscuta daca se cunosc viteza si acceleratia unui punct, de obicei centrul de greutate.

2.2.2.2 Elementul cu miscare de rotatie

Elementul cu miscare de rotatie din figura 2.6 satisface relatia (2.1): OAA l?v ⋅= .


Orice punct apartinând elementului va avea o viteza determinata cu (2.1) proportionala

cu distanta la centrul de rotatie 0. Locul geometric al vârfurilor vitezelor acestor puncte estedat de dreapta care uneste vârful vectorului vitezei punctului A cu centrul de rotatie.

ω O

VB

A

VAB

γ nAA

tAA

ε

ω O

AB

A

AA

BnBA

tBA



21

Daca elementul OA, din figura 2.7, se roteste cu viteza unghiulara ω si acceleratiaunghiulara ε, atunci acceleratia sa este data de relatia

tA

nAA aaa += (2.10)

în care acceleratia normala este data de (2.5)iar acceleratia tangentiala, de (2.6).Marimea scalara a acceleratiei punctului A este

( ) ( ) 24A0

2A0

22A0

42tA

2nAA e?llel?aaa +⋅=⋅+⋅=+= (2.11)

Marimea scalara a acceleratiei oricarui punct B de pe elementul Oaeste

24B0B e?la +⋅= (2.11′)

Rezulta ca acceleratiile sunt proportionale cu distantele la centrul de rotatie.Vectorii din figura 3.10 reprezentati la scara Ka sunt BA BAsiAA .iar unghiurile

dintre ei si elementul OA, reprezentat la scara Kl, sunt egale, deoarece

22B

BnB

tB

22A

AnA

tA

?

e

?r

er

a

a

?

e

?r

er

a

a?tg =

⋅

⋅===

⋅

⋅== (2.12)

Acceleratiile sunt paralele, deci punctele AA, AB si O sunt coliniareÎn concluzie, distributiile de viteze si acceleratii la un element cu miscare de rotatie

sunt cunoscute daca se cunosc viteza si acceleratia unghiulara a elementului.

2.2.3 Distributia de viteze si acceleratii la un element cu miscare plan-paralela

Un element AB cu miscare plan-paralela (figura 2.8) este caracterizat prin faptul caorice punct al sau are o miscare de translatie (cu viteza v si acceleratia a ) si o miscare de

rotatie instantanee cu viteza unghiulara ω si acceleratia unghiulara ε.


2.2.3.1 Distributia vitezelor

La un element în miscare plan-paralela, între vitezele celor doua puncte A si B, sepoate scrie relatia

BAAB vvv += (2.11)

pv

a

c

bA

VA

CB

VC VB



22

Adica viteza punctului B se obtine din suma vectoriala între viteza punctului A siviteza relativa BAv (adica viteza relativa a punctului B în raport cu A, ca si cum punctul B seroteste în jurul punctului A, considerat fix). Deci:

ABv;l?v BAABBA ⊥⋅= (2.12)

Din (2.11) si (2.12) rezulta ca se poate stabili distributia momentana de viteze aelementului daca se cunoaste viteza unui punct si viteza unghiulara a elementului.

În figura 2.8 se reprezinta elementul AB la o scara a lungimilor Kl. Viteza Av a

punctului A, cunoscuta, este reprezentata de vectorul AAV la scara vitezelor Kv.Pentru determinarea vitezei oricarui punct al se foloseste o rezolvare grafica, numita

metoda planului vitezelor . Aceasta metoda este exemplificata în figura 2.9.Din polul vitezelor pv se duce vectorul vitezei punctului A Din punctul a se traseaza

vectorul

v

BA

K

vab = , calculat cu (2.12), perpendicular pe elementul AB din figura 2.8. Unind

punctul pv cu b se obtine vectorul bp v , care reprezinta viteza punctului B, la scara Kv. În

punctul B din figura 2.8 se traseaza vectorul echipolent al vitezei punctului B, BBVFigura 2.9, pvab formata din vectorii care reprezinta vitezele punctelor elementului

AB, se numeste planul (poligonul) vitezelor.În planul vitezelor se poate stabili cu usurinta viteza oricarui punct al elementului.De exemplu, viteza punctului C, situat pe elementul AB, conform relatiei (2.11) este:

,vvv CAAC += iar directia ABvCA ⊥ (2.13)

În planul vitezelor, viteza punctului C este reprezentata de vectorul cp v (figura 2.9),astfel ca: acapcp vv += .

Deoarece vectorul ac , care reprezinta viteza relativa a lui C fata de A, esteperpendicular pe directia elemtului AB, rezulta ca punctul C se gaseste pe ab în figura 2.9.

Se poate observa ca punctul c împarte vectorul ab în acelasi raport în care puncul C împarte elementul AB, astfel ca este valabila proportia

AC

AB

ac

ab= (2.14)

Rezulta proprietatea ca segmentul ab este locul geometric al vârfurilor vectorilorvitezelor punctelor de pe elementul AB.

Astfel se poate obtine viteza oricarui punct, de exemplu C, daca se uneste polul pv cupunctul c de pe ab.

2.2.3.2. Distributia acceleratiilor.

Între acceleratiile celor doua puncte A si B (figura 2.8), ale elementului AB în miscareplan-paralela, se poate scrie o relatie similara cu cea dintre viteze

BAAB aaa += (2.15)

în care BAa este acceleratia relativa a lui B fata de A (B se roteste fata de A, considerat fix).



23

Întrucât BAa este acceleratia unui punct în miscare de rotatie, conform relatiei (2.10)se poate scrie:

tBA

nBABA aaa += (2.16)

Introducând în relatia (2.15), se obtine:

tBA

nBAAB aaaa ++= (2.17)

Pentru componentele acceleratiei relative, conform relatiilor (2.5) si (2.6), rezulta:

ABa;ll

va n

BAAB2

BA

2BAn

BA ⋅ω== (2.18)

ABa;lea tBAAB

tBA ⊥⋅= (2.19)

Cu relatiile (2.16), (2.18) si (2.19) se poate stabili distributia momentana de acceleratiia elementului, adica acceleratia oricarui punct de pe elementul AB, daca se cunoastedistributia de viteze, acceleratia unui punct si acceleratia unghiulara a elementului.

În figura 2.10 se reprezinta elementul AB, la scara K l. Acceleratia punctului A este

reprezentata la scara Ka de vectorul AAA .


Pentru determinarea acceleratiei punctului B se foloseste metoda planuluiacceleratiilor (figura 2.11).

Din polul acceleratiilor pa, se duce vectorul acceleratiei punctului A, la scara Ka,. Înpunctul a se traseaza acceleratia normala, relativa a lui B fata de A, paralela cu directiaelementului AB si sensul de la B spre A (catre centrul de rotatie A), iar marimea conform(2.18). În punctul n se traseaza acceleratia tangentiala cu directia perpendiculara pe AB,sensul indicat de ecuatia vectoriala (2.17), iar marimea conform (2.19). Unind polul

acceleratiilor pa cu b se obtine vectorul bpa care reprezinta acceleratia punctului B la scaraKa. Pe elementul AB, din figura 2.11, în punctul B se duce vectorul echipolent si se obtine

acceleratia punctului B reprezentata de vectorul BBA la scara Ka.În planul acceleratiilor (figura 2.11), dreapta γ , perpendiculara pe AB, este locul

geometric al vârfurilor vectorului acceleratiei punctului B pentru diferitele valori aleacceleratiei unghiulare ε.

B

A

AA

AB

a

pa

b

n

γ ⊥ AB



24

S-a aratat ca marimea vectorului nb , adica componenta tangentiala a acceleratieirelative este în functie de ε. Daca nu se cunoaste marimea lui ε, nu se poate stabili pozitia luib. Însa oricare ar fi valoarea lui ε, punctul b, se gaseste pe dreapta γ . Deci vârful vectoruluiacceleratiei punctului B se va gasi întotdeauna pe dreapta γ .

2.3 Determinarea vitezelor si acceleratiilor mecanismelor plane

Pentru determinarea vitezelor si acceleratiilor punctelor de pe elementele unuimecanism, se pot folosi trei categorii de metode:

- metode grafice, care au avantajul ca sunt operative oferind un grad de preciziesatisfacator (atunci când se executa constructii grafice îngrijite);

- metode analitice, care au avantajul ca sunt mai exacte dar mai laborioase;- metode grafico-analitice care sunt o combinatie a celor doua metode mentionate

mai sus.

2.3.1 Metoda planu1ui vitezelor si a planului acceleratiilor

Dintre metodele grafice uzuale, si anume: metoda planului vitezelor si acceleratiilor,metoda diagramelor cinematice, metoda proiectiilor, metoda locurilor geometrice, metodarabaterii si metoda centrului instantaneu de rotatie, cea mai folosita este prima dintre ele,pentru proprietatile si generalitatea ei.

Aceasta metoda se va aplica pentru determinarea vitezelor si acceleratiilor câtorvadintre cele mai mecanisme de clasa a II-a.

2.3.1.1 Cupla de rotatie

Metoda planului vitezelor si acceleratiilor se foloseste pentru determinarea vitezei siacceleratiei punctului B al unui mecanism patrulater articulat din figura 2.12 la care secunosc: lungimea elementului motor (manivela) l1; viteza unghiulara a elementului ω;lungimea bielei 12; lungimea balansierului 13 ; distanta dintre centrele de rotatie peorizontala d; distanta dintre centrele de rotatie pe verticala h si unghiul de pozitie alelementului motor α.

Figura 2.12

Se deseneaza schema cinematica a mecanismului la o scara Kl în pozitia precizata deunghiul α si se determina apoi vitezele.

ω

1

h

C

α

A

4d

B

3

2

O



25

Pentru vA se scrie relatia (2.1) ?lv 1A ⋅= , în care30

np

60

np2?

⋅=

⋅⋅=


Pentru vB se scrie relatia vectoriala (2.11). Se traseaza (figura 2.13) prin polulpv viteza Av . Se aduna vectorul BAv la vectoruI Av trasând prin extremitatea lui Av

directia vectorului BAv (⊥ AB). Prin pv se traseaza directia lui Bv (⊥ BC), care se

intersecteaza cu vectorul BAv si poligonul se închide. Scara vitezelor fiind Kv, se obtine:

( )( )( )abKv

bpKv

apKv

vBA

vvB

vvA

⋅=

⋅=

⋅=

(2.20)

Pentru determinarea acceleratiilor se considera ecuatia vectoriala a acceleratiilorconform relatiei (2.15).

Acceleratiile se pot exprima prin componentele normale si tangentiale, conform

relatiei (2.9)tB

nBB aaa +=

tA

nAA aaa +=

tBA

nBABA aaa +=

(2.21)

Se obtine:

tBA

nBAA

tB

nB aaaaa ++=+ (2.22)

Deoarece ω=constant, rezulta nAA

tA aadeci0asi0

dt

?de ==== .

Întrucât vitezele sunt cunoscute din rezolvarea anterioara se pot calcula acceleratiilenormale cu relatia (2.5)

3

2Bn

B2

2BAn

BA1

2An

A l

va;

l

va;

l

va === (2.23)

Prin polul pa al acceleratiilor (figura 2.14), se duce Aa , care se cunoaste ca marime,

(calculata), directie (|| OA) si sens (de la A spre O). Se aduna la acest vector, vectorul nBAa

care se cunoaste ca marime, directie si sens, nBAa are directia lui l2 si sensul de la B spre A.

pv

Avr

b

a

Bvr

BAvr

pa

n1

b

n a

n

Bar

t

B

ar

nBAa

r

tBAa

r

Bar

Aar

BAa

r



26

Prin extremitatea n a lui nBAa se duce directia lui t

BAa , care este perpendiculara pe directia luinBAa . Prin polul pa se duce acceleratia n

Ba , la care se cunoaste marimea calculata, directia lui

l3 si sensul de la B spre C. Prin extremitatea nl a lui nBa se duce o perpendiculara (directia lui

t

Ba ) care se intersecteaza cu directia lui

t

BAa în punctul b.Poligonul se închide si se obtin toate acceleratiile ca marime si directie. Pentru a sedetermina sensul vectorilor se pune conditia respectarii semnelor din ecuatia vectoriala aacceleratiilor.

Unind pe pa cu b se obtine Ba (cu linie întrerupta pe desen) ca directie, marime si

sens. Unind pe a cu b se obtine BAa (de asemenea cu linie întrerupta pe desen).Marimile acceleratiilor sunt determinate pentru pozitia mecanismului ceruta în tema

(corespunzator unghiului de pozitie, α, al manivelei).

2.3.1.2 Cupla de translatie

Metoda planului vitezelor si acceleratiilor se foloseste pentru determinarea vitezei siacceleratiei punctului B al unui mecanism cu biela si manivela (figura 2.15) la care se dau:lungimea elementului motor (manivela) l1;1ungimea bielei l2; viteza cuplei de translatie B,

Bv ; acceleratia cuplei de translatie B, Ba si unghiul de pozitie al manivelei α.

Figura 2.15 Figura 2.16 Figura 2.17

Se deseneaza schema cinematica a mecanismului la o scara Kl în pozitia precizata deunghiul α si se determina apoi vitezele.

Pentru vA se scrie relatia (2.1) ?lv 1A ⋅= , în care30

np

60

np2?

⋅=

⋅⋅=

Se traseaza prin polul pv

(figura 2.16), viteza punctului B cunoscuta ca marime,

directie si sens (precizata prin tema) ( )bpKv vvB ⋅= si se duce directia OAvA ⊥ . Prin

extremitatea vectorului Bv se duce directia ABvBA ⊥ care intersecteaza directia vectorului

Av în punctul a.Se obtine

abKv vBA ⋅=

( )apKv vvA ⋅= (2.24)

Pentru determinarea acceleratiilor se construieste poligonul acceleratiilor la scara Ka (figura 2.17), folosind ecuatia vectoriala (2.17)

12

ω

α

A

4

3

B

Bar

Bvr

Opv b

a

BAvr

Bvr

Avr

n

pa

n1

b

a tAa

r

nBAa

r

tBAa

r

Bar

Aar

BAar

nAa

r



27

tBA

nBA

tA

nAB aaaaa +++= (2.25)

în care se cunosc:

Ba cu marimea, directia si sensul, precizate prin tema,

nBAa cu directia elementului AB, sensul spre A si marimea:

2

2BAn

BAl

va = conform

relatiei (2.16),

nAa cu directia elementului 1, sensul spre O si marimea:

1

2An

A l

va = .

Prin polul pa al acceleratiilor se duce Ba .

Din punctul b se duce nAa astfel ca

( ) OAa;bnKa nAa

nA ⋅= .

Prin extrmitatea n a lui nAa se duce o perpendiculara care reprezinta directia

acceleratiei tangentiale tAa .

Din polul pa se duce vectorul nBAa astfel ca

( ) BAa;npKa nBA1aa

nBA ⋅=

iar din n1 se duce o perpendiculara pe nBAa , care reprezinta directia t

BAa , ce intersecteaza

directia lui tAa în punctul a. Poligonul se închide si se obtin toate componentele acceleratiilor.

Unind pe a cu b se obtine ( )abKa aA ⋅= (cu linie întrerupta, în planul acceleratiilor –figura 2.17).

Unind pa cu a se obtine ( )aPKa aaBA ⋅= (cu linie întrerupta, pe desen).

Acceleratia unghiulara a manivelei, rezulta din relatia (2.6)1

tA

l

ae = în care, din planul

acceleratiilor rezulta ( )anKa atA ⋅= .

În figura 2.17 marimiile acceleratiilor sunt determinate pentru pozitia mecanismului

precizata prin tema (unghiul de pozitie α al manivelei).

2.3.2 Metode analitice

Metodele analitice asigura o precizie mai mare precum si posibilitatea de studiere înansamblu a miscarii mecanismului, spre deosebire de metodele grafice în care studiul se facepentru o pozitie data, iar analiza în ansamblu necesita studierea mecanismului pozitie cupozitie. Metodele analitice pot fi aplicate cu usurinta la mecanismele simple în timp ce lamecanismele complicate aceste metde devin foarte laborioase.

Metodele analitice stabilesc functiile care leaga parametrii de miscare a elementuluicondu,s de parametrii miscarii elementului conducator.

Metodele analitice considera ca orice mecanism poate fi reprezentat printr-osuccesiune de vectori ce formeaza unul sau mai multe poligoane închise.



28

Dupa modul de rezolvare a problemei metodele analitice pot fi de mai multe feluri, dincare cele mai utilizate sunt:

- meoda numerelor complexe;

- metoda proiectiilor.

2.3.2.1 Metoda de analiza cinematica a mecanismelor cu ajutorul numerelorcomplexe (Metoda Block)

Principiul metodei consta în considerarea mecanismului ca un poligon închis, formatdin elementele mecanismului. Acestea se substutuie cu o succesiune de vectori .l...,l,l,l n210

Pentru un poligon închis de vectori

∑ = 0ln (2.26)

Pentru reprezentarea vectorilor sub forma complexa, se noteaza cu ϕn unghiul

vectorului ln fata de axa reala, astfel ca

∑ =⋅ ⋅ 0el nf in (2.27)

Pentru a obtine relatia dintre viteze se deriveaza aceasta expresie si se obtine

( ) 0ele?li nn f in

f inn =⋅+⋅⋅⋅∑ ⋅⋅ & (2.29)

în care

dt

dll nn =& , este viteza elementului care culiseaza în cupla de translatie.

Prin a doua derivare, se obtin relatii între acceleratii:

( ) 0e?liele?leelie?li nnnnn f inn

f in

f i2nn

f inn

f inn =⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅∑ ⋅⋅⋅⋅⋅ &&&& (2.30)

ordonând, relatia devine

( 0ele?li2e?leeli nnnn f in

f inn

f i2nn

f inn =⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅∑ ⋅⋅⋅⋅ &&& (2.31)

Expresiile de mai sus transformate prin folosirea formulei lui Euler

nnnnf i

n f sinlif coslel n ⋅⋅+⋅=⋅ ⋅ (2.32)

permit gasirea pozitiei (2.18), vitezei (2.19) si acceleratiei (2.20) elementului condus înfunctie de miscarea elementului conducator si de parametrii geometrici (ln, ϕn) ai elementelormecanismului.



29

2.3.2.2. Metoda analitica a proiectiilor

Pentru determinarea analitica a vitezelor si acceleratiilor la mecanismele plane seconsidera mecanismul cu biela si manivela din figura 2.18.


Conturul O’OAB este reprezentat ca o suma de vectori, adica

B21 xllhsauB'OABOAO'O =++=++ (2.33)

Proiectând ecuatia vectoriala (2.33) pe axele X si Y se obtine

=⋅+⋅+

=⋅+⋅

0f sinlf sinlh

xf coslf cosl

2211

B2211 (2.34)

Din a doua dintre ecuatiile (2.34) rezulta ca

2

112 l

hf sinlf sin

+⋅−= (2.35)

Dupa determinarea unghiului ϕ2, distanta Bx rezulta usor din prima dintre ecuatiile(2.34).

Pentru determinarea vitezelor unghiulare si pentru viteza vB a patinei se deriveaza, înraport cu ecuatiile spatiului (2.34)

=⋅⋅+⋅⋅

=⋅⋅−⋅⋅−

0

dt

f df cosl

dt

f df cosl

dt

dx

dt

f df sinl

dt

f df sinl

222

111

B222

111

(2.36)

În ecuatiile (2.36) se pot înlocui

12

ω1ϕ1

A

3B

O

ϕ2

xB

4

y

x h

1

2

ω1

ϕ1

A

3

B O

ϕ2

xB

4

y

x

O′



30

BB

22

11 ?

dt

dx;?

dt

f d;?

dt

f d=== (2.37)

si se obtine

=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅−0f cos?lf cos?l

?f sin?lf sin?l

222111

B222111 (2.38)

Viteza vB se obtine din prima dintre ecuatiile (2.38), iar viteza unghiulara ω2 a bielei 2,din a doua dintre ecuatiile (2.38). Astfel

22

1112 f cosl

f cosl??

⋅⋅

⋅−= (2.39)

Pentru determinarea acceleratiei unghiulare ε2 a bielei 2 si a acceleratiei Ba a patinei,se deriveaza în raport cu timpul t ecuatiile vitezei (2.38) si rezulta

=⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−

0dt

?dcosl

dt

dsin?l

dt

?dcosl

dt

dsin?l

dt

?d

dt

?dsinl

dt

dcos?l

dt

?dsinl

dt

dcos?l

222

2222

111

1111

B222

2222

111

1111

(2.40)

În cazul când ω1=const., 0dt

?d

e1

1 == si înlocuind în (2.40) 11

?dt

f d

= ; 22

?dt

f d

= ;

22 e

dt

?d= ; B

B adt

dv= rezulta

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−

0f coself sin?lf sin?l

af sinelf cos?lf cos?l

22222221

211

B22222221

211 (2.41)

Din a doua dintre ecuatiile (2.41) se obtine acceleratia unghiulara ε2. Astfel

22

22221

211

2 f cosl

f sin?lf sin?le

⋅⋅⋅+⋅⋅

= (2.42)

Dupa ce se determina acceleratia unghiulara ε2, valoarea acceleratiei Ba se determinadin prima dintre ecuatiile (2.41).

Daca axa ghidajului patinei 3 trece rpin punctul O, ca în figura 2.19, marimea h dinecuatia (2.34) devine zero, iar ecuatia (2.35) devine

1

2

12 f sin

l

lf sin ⋅−= (2.43)

Ecuatiile (2.38) si (2.41) ramân neschimbate.



7

3 Analiza dinamica a mecanismelor

Pentru dimensionarea elementelor componente si a cuplelor cinematice ale unuimecanism este necesara cunoasterea fortelor care actioneaza din exterior, pe baza carora sedetermina reactiunile si fortele de legatura interioare. Se disting fortele exterioare (motoare,de inertie, de rezistenta utila sau tehnologice si de frecare cu mediul exterior) si forteleinterioare (reactiuni si forte interne de frecare).

Fortele de inertie aplicate unui corp sunt date prin torsorul acestora, în raport cu unpunct. Daca corpul are miscare în plan si are un plan de simetrie care coincide cu planul de

miscare, torsorul fortelor de inertie în centrul maselor G are forma:

ε⋅−=

⋅−==τ

r

r

r

r

Gi

ii

JM

amF G

(3.1)

în care: iFr

este forta de inertie, iMr

este momentul de inertie, m este masa corpului, Gar

este

acceleratia centrului maselor, JG este momentul de inertie mecanic al corpului fata de o axaperpendiculara pe planul miscarii care trece prin G iar e

r

este acceleratia unghiulara. Torsorulfortelor de inertie pentru un element motor (conducator) cu viteza unghiulara ω1 = ct. este

reprezentat în figura 3.1.a iar torsorul fortelor de inertie pentru un element condus, cu miscareplana, este reprezentat în figura 3.1.b.

Figura 3.1.a Figura 3.1.b Figura 3.2

Se constata ca stabilirea torsorului fortelor de inertie necesita cunoasterea parametrilorcinematici (aG si ε) si a celor inertiali (m si JG). De exemplu, pentru o bara, momentul deinertie se deduce (cu notatiile din figura 3.2), astfel:

∫ ⋅=2

l

0

2G dmx2J (3.2)

în care dm = m′ ⋅ dx iar m′ este masa unitatii de lungime; rezulta astfel,

12lm

m2dxxm2J32l

0

2G

⋅′⋅⋅=⋅′⋅= ∫ (3.3)

1iFr

ω1 = ct

n1Ga

r

A

G1

ε2

G22iF

r

n2Ga

r

B

C

Mi2

G

x dx

L/2L/2

x



8

3.1 Echilibrarea maselor aflate în miscare de rotatie

Echilibrarea mecanismelor are ca scop asigurarea stabilitatii miscarilor elementelorcomponente si reducerea solicitarii acestora. Fortele de inertie au directii si marimi variabile,producând în elementele mecanismelor solicitari suplimentare fata de cele date de solicitarile

exterioare active sau rezistente, de asemenea variabile. Variatia fortelor de inertie induce înmecanisme vibratii nedorite. Eliminarea sau atenuarea efectelor mentionate se realizeaza prinechilibrarea mecanismelor. Prin echilibrare se întelege dispunerea judicioasa a maselorelementelor componente astfel încât sa se anuleze, cel putin partial, componentele torsoruluifortelor de inertie într-un anumit punct.

Echilibrarea mecanismelor maselor în miscare de rotatie reprezinta cel mai importantaspect al problemei, în special pentru mecanismele utilizate în constructiile de aviatie.

Pentru rotorul din figura 3.3, torsorul fortelor de inertie în punctul O are forma:

×=

=

=τ ∫

∫

m

ii

m

ii

iFdrM

FdF

0 r

r

r

rr

(3.4)

în care: iFdr

este forta de inertie elementara a masei dm dispusa în punctul P care are directiaradiala ρv .

Rezulta, prin integrare, expresiile succesive ale fortei de inertie.

∫ ∫ ∫ ⋅ρ×ε+ρ⋅ω−−=⋅−==m m m

2ii dm)(dmaFdF

rrrr

rr

(3.5)

∫ ∫ ⋅ρ×ε−⋅ρ⋅ω= m m

2

i dmdmF

rrr

r

(3.6)

Figura 3.3

Se observa ca 0Fi =r

daca ∫ =⋅ρm

0dmr

, adica centrul maselor se afla pe axa de rotatie;

altfel spus, axa Oz este axa centrala. În acest caz se spune ca s-a realizat echilibrarea statica.Deducerea relatiei momentului de inertie este prezentata mai jos:

( ) ( )[ ]∫ ∫ ⋅ρ×ε−ρ⋅ω×ρ+=×=m m

2ii dmzFdrM

rrrvr

r

r

r

(3.7)

( ) ( )∫ ∫ ∫ ⋅ρ×ε×ρ−⋅ρ×ε×−⋅ρ×⋅ω=m m m

2i dmdmzdmzM

rrrrrrrr

r

(3.8)

P

dmiFdr

?r

zr

rr

er

?r

z

y

x

O



9

Folosind versorii j,irr

si kr

, rezulta:

∫ ∫

∫ ∫ ∫

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

m m2

m m m

22i

dm?ekdmzye j

dmxzeidmzy?idmxz? jM

rr

rrrr

(3.9)

zyzzx2

zxyz2

i Jk)JJ( j)JJ(iM ⋅ε⋅−⋅ε+⋅ω⋅+⋅ε+⋅ω−⋅=rrrr

(3.10)

iziyixi MkM jMiM ⋅+⋅+⋅=rrrr

(3.11)

Pentru echilibrare se impun conditiile: Mix = 0 si Miy = 0. Nu este necesar ca Miz sa fienul pentru ca aceasta componenta nu introduce solicitari suplimentare în lagarele de rezemare.Din expresia (3.10) rezulta ca Mix si Miy se pot anula daca momentele centrifugale de inertieJyz si Jxz sunt nule; axa de rotatie este deci axa principala de inertie. Conditiile astfelsatisfacute conduc la echilibrarea dinamica.

În concluzie, rezulta ca un rotor este echilibrat static si dinamic daca axa de rotatieeste si axa centrala si axa principala de inertie.

În figura 3.4.a rotorul este neechilibrat; axa de rotatie nu este axa centrala si nici axaprincipala de inertie; în figura 3.4.b centrul maselor se afla pe axa de rotatie, rotorul fiindechilibrat static. Echilibrarea dinamica este sugerata de figura 3.4.c; în acest caz, axa x-x esteaxa de simetrie adica axa principala de inertie. Ca urmare, axa y-y, fiind perpendiculara peaxa x-x, este si ea axa principala de inertie. Rotorul echilibrat static si dinamic este reprezentat

în figura 3.4.d.


Figura 3.4.c Figura 3.4.d

Se demonstreaza ca un rotor poate fi echilibrat static si dinamic cu ajutorul a douamase situate în doua plane oarecare perpendiculare pe axa de rotatie. Practic, echilibrareatotala se realizeaza pe masini speciale în care rotorul este asezat pe o baza elastica aflata înplanul Oy (figura 3.5).

Presupunem ca rotorul este echilibrat static dar neechilibrat dinamic. Rotorul având,de exemplu, erori de turnare are Miy = 0. El nu este initial echilibrat în raport cu axa Oy. Cuajutorul maselor suplimentare +me sau a decuparilor -me, trebuie realizata conditia Miz =0.

Marimea dezechilibrului se constata prin amplitudinea vibratiilor înregistrate la rotire care seproduc într-un plan perpendicular pe axa Oz, adica pe Oy.

y

yx

x

G

Rotor neechilibrat

y

yx

x

G

Rotor echilibrat static

y yG

x

x

Rotor echilibrat dinamic

y yG

x

x

Rotor echilibrat static si dinamic



10

Masinile de echilibrat determina marimea dezechilibrelor, planele în care acestea semanifesta si pozitiile unghiulare în aceste plane. Compensarea dezechilibrelor se face prinmasele suplimentare me.

Figura 3.5

3.2 Dinamica mecanismelor si a masinilor

Problemele de studiat sunt:a) determinarea bilantului energetic al masinii;b) miscarea elementelor mecanismului sau a masinii sub actiunea fortelor exterioare

date si determinarea legii de miscare;c) teoria reglajului mersului masinilor, adica stabilirea relatiilor între forte, mase si

dimensiunile elementelor componente astfel ca miscarea acestora sa fie cât mai apropiata denevoile practice;

d) teoria echilibrarii maselor în miscare si determinarea mijloacelor pentru eliminareasau diminuarea sarcinilor dinamice, în vederea reducerii solicitarii reazemelor masinilor.

3.2.1 Ecuatia miscarii masinii

Din studiul functiei vitezei unghiulare a arborelui motor al masinii ω = f(t), pentru

durata completa de miscare a masinii (de la pornire pâna la oprire) rezulta trei perioadedistincte (figura 3.6):a) perioada pornirii tp în care viteza unghiulara creste pâna la valoarea de regim;b) perioada de mers în regim tr, în care ω = ct. sau în care viteza unghiulara variaza în

jurul valorii medii foarte putin în timpul unui ciclu de lucru Tc;c) perioada de oprire to în care viteza unghiulara scade la zero.Aplicând teorema energiei pentru toate elementele masinii, teorema valabila pentru

toate perioadele de mers, se obtine ecuatia miscarii masinii, repectiv bilantul energetic subforma:

∑ ∑ −−=

ω⋅−

ω⋅+

⋅−⋅ rprum

21k

k

22k

k

21Gk

k

22Gk

k WWW2J2J2

v

m2

v

m (3.12)

y

iFr

x

G2

G1

iFr

iFr

G2

ieF

r

me

re

r

r?r

z

plan deechilibrare

die

di

plan deechilibrare

G1

iFr

ieFr

me

O G

r

re

x variantala +me



11

în care: vGk1 si vGk2 sunt vitezele (initiala si finala) centrului de masa ale elementului k demasa mk, având momentul de inertie Jk. Vitezele unghiulare ale elementului sunt notate cu ωk1

si ωk2. S-au mai facut notatiile: Wm – lucrul mecanic al fortelor motoare, Wru – lucrul mecanical fortelor rezistente utile si Wrp – lucrul mecanic al fortelor rezistente pasive.

Figura 3.6

Pentru perioada pornirii vGk1 si 1kω sunt nule iar ecuatia miscarii masinii devine:

rprum

2

2kk

22Gk

k WWW2

J2

vm −−=

ω⋅+⋅∑ ∑ (3.13)

Membrul stâng este mai mare ca zero astfel încât Wm > Wru + Wrp. Ca urmare, serealizeaza accelerarea în translatie si/sau în rotatie a maselor aflate initial în repaus. Pentru ase scurta perioada pornirii se recomanda pornirea în gol ceea ce înseamna ca Wru = 0.

La functionarea în regim stabilizat, viteza de translatie si/sau de rotatie a fiecaruielement, pentru fiecare ciclu Tc, este fie constanta, fie variaza periodic. Ca urmare, vGk1 = vGk2 si ωk1 = ωk2. Rezulta astfel Wm = Wru + Wrp. Întreg lucrul mecanic motor se consuma pentru

învingerea rezistentelor utile si a celor pasive iar mersul masinii este uniform.Pentru perioada opririi, vk2 = 0 si ωk2 =0. Din (3.13) se obtine relatia:

rprum

21k

k

21Gk

k WWW2

?J

2

vm −−=⋅−⋅∑ ∑ (3.14)

adica Wm ( Wru + Wrp. Elementele masinii au acceleratii negative si aceasta se va opri. Pentrumicsorarea perioadei opririi se recomanda frânarea ceea ce înseamna marirea termenului Wrp;

în acelasi scop se poate opri, în mod voit, motorul (Wm).

3.2.2 Randamentul mecanic

Randamentul mecanic este dat, pentru perioada de regim, de relatiile:

m

ru

W

W? = ruW < mW ?⇒ <1

m

rp

m

rpm

W

W1

W

WW? −=

−= (3.15)

Randamentul masinilor legate în serie, conform figura 3.7, are expresia:

Tc

O tp

ω

ωm

tr tot



12

Figura 3.7

3.2.3 Studiul miscarii masinii sub actiunea fortelor date

Notând Wru + Wrp = Wr, din (3.13) se obtine:

( ) ( )∑ ∑ −=ω−ω⋅+−⋅ rm2

1k2

2kk2

1Gk2

2Gkk WW

2

Jvv

2

m(3.17)

în care:

∑ ∫ ∑ ∫ ⋅+⋅⋅=2lk

1lk

2k

1kkmkkkmkm dMdlacosFW (3.18)

∑ ∫ ∑ ∫ ϕ

ϕ

ϕ⋅+⋅α⋅=2k'l

1k'l

2k'

1k'

krkkkrkr 'dM'dl'cosFW (3.19)

Notatiile utilizate sunt: Fmk

si Frk

– forta motoare, respectiv forta rezistenta careactioneaza pe elementul k, Mmk si Mrk – momentul motor, respectiv momentul rezistent careactioneaza asupra elementului k, ϕk si ϕ′k - unghiurile descrise de elementul k sub actiuneamomentelor Mmk si Mrk, lk si l′k – lungimile drumurilor parcurse de punctele de aplicatie alefortelor Fmk si Frk iar αk si ka ′ sunt unghiurile dintre directiile fortelor Fmk si Frk cu deplasarilelk si l′k. Pentru a studia mai usor legea de miscare a elementului k, tinând seama ca legea demiscare a masinii este determinata de legea de miscare a elementului conducator, nu se ia înconsiderare, succesiv, întregul sistem de forte, momente, mase si momente de inertie carerevine fiecarui element ci se introduc în calcul numai marimile urmatoare, aplicateelementului conducator: forta redusa, moment redus, masa redusa si moment de inertie redus.

Forta redusa este marimea vectoriala care, aplicata într-un punct B’ al elementului

conducator, dupa directia vitezei vB′, produce un lucru mecanic elementar egal cu lucrulmecanic elementar al tuturor fortelor si momentelor reale aplicate elementelor masinii. Cunotatiile din figura 3.8, se poate scrie:

∑ ∑ ϕ⋅+⋅α⋅=⋅ kmkkkmk.red.m dMdlcosFdlF (3.20)

∑ ∑ ϕ⋅+⋅α⋅=⋅ kmkkkrk.red.r 'dM'dl'cosFdlF (3.21)

în care, împartind termenii relatiilor prin (dt), se obtine:

∑ ∑ ω⋅+α⋅⋅=

B

kmkk

B

kmk.red.m 'v

Mcos'v

'vFF (3.22)

∏=⋅⋅⋅⋅⋅⋅== in21m

ru ????W

W? (3.16)

w3nw2n

3

w1n

2

wM

1

wM

n

wrn



13

∑ ∑ω

⋅+α⋅⋅=B

krkk

B

krk.red.r 'v

'M'cos

'v

'vFF (3.23)

Momentul redus este marimea care, aplicata elementului conducator, produce un lucrumecanic elementar egal cu lucrul mecanic elementar al tuturor fortelor si momentelorexterioare apicate elementelor masinii. Cu notatiile din figura 3.9, se poate scrie:

kmkkkmk.red.m dMdlcosFdM ϕ⋅+⋅α⋅=ϕ⋅ ∑ ∑ (3.24)

∑ ∑ ϕ⋅+α⋅=ϕ⋅ krkkkrk.red.r 'dM'dl'cosFdM (3.25)

în care, împartind termenii relatiilor prin (dt), se obtine:

∑∑ ω

ω⋅+α⋅

ω⋅= k

mkkk

mk.red.m Mcosv

FM (3.26)

∑ ∑ ωω

⋅+α⋅ω

⋅= krkk

krk.red.m

'M'cos

'vFM (3.27)

Se observa ca Mm redus = r ⋅ Fm redus în care r este raza punctului B′ de reducere.


Masa redusa mredus în punctul de reducere B′ care are viteza vB′ este masa a careienergie cinetica la un moment dat este egala cu energia cinetica a tuturor corpurilor care intra

în componenta masinii. Ca urmare, cu notatiile din figura 3.10, se poate scrie:

∑ ∑ ω⋅+

⋅=

⋅2

J

2

vm

2

vm 2kk

2Gkk

2'Bred (3.28)

∑ ∑

ω⋅+

⋅=

2

'B

kk

2

'B

Gkkred v

Jv

vmm (3.29)

Momentul de inertie redus Jredus este momentul care satisface aceeasi conditie ca simasa redusa. Cu notatiile din figura 3.11, se obtine succesiv:

∑ ∑ ω⋅+

⋅=

ω⋅2

J

2

vm

2

J 2kk

2Gkk

2red (3.30)

B′

B

A

redmFr

ω

redrFr

dl

vB′

r

B

Aω

dϕ

Mm red

Mr red



14

∑ ∑

ωω

⋅+

ω

⋅=2

kk

2

Gkkred J

vmJ (3.31)

Se obseva ca Jredus = r2 ⋅ mredus.

Determinarea legii de miscare a masinii se poate face cu usurinta prin introducereamarimilor reduse la elementul conducator. Se cauta aflarea vitezei v si a vitezei unghiulare(pentru elementul conducator din figura 3.12). Se admite ipoteza ca fortele reduse, actionândasupra punctului de reducere B′, sunt dependente de cursa l a acestui punct, între pozitiileinitiala l1 si finala l2 considerate. Determinarea vitezei vB’2, în pozitia data de l2, cu notatiaFm redus - Fr redus = Fredus, se scrie succesiv:

( )∫ ⋅−=⋅

−⋅ 2l

1l

red.rred.m

21'B1red

22'B2red dlFF

2

vm

2

vm(3.32)

∫ ⋅+⋅⋅=2l

1l 2red

2 1'B1redred

red.m2'B m

vmdlFm

2v (3.33)

Se observa ca si vB′2 este functie de l, adica de pozitia elementului si a punctului B′ de

reducere. Cunoscând vB′2, rezultar

v? 2B

2′= . Relatia (3.32) reprezinta legea de miscare a

masinii. Prin cunoasterea marimilor vB′2 si Fm redus se poate determina puterea motoare(consumata) de masina. Relatiile prezentate trebuie aplicate pentru toate pozitiilecaracteristice ale elementului motor date de fazele miscarii masinii în perioada de regim.

Figura 3.10 Figura 3.11 Figura 3.12

B

A

ω r

Bv ′r

mredB′ B

AJred

B

A

r

redrFr

mred

B′ redmF

r



39

4 Notiuni privind teoria reglajului masinilor

Pe durata Tc a unui ciclu viteza unghiulara variaza în jurul unei valori medii ωm

(figura 4.1). De asemenea, se poate produce si o variatie aperiodica produsa de modificareasarcinii utile sau de alte cauze exterioare. Se urmareste mentinerea variatiilor de viteza

unghiulara în limite prescrise pentru categoria masinii. Este evident ca:

∫

ϕ

ϕ

ϕ⋅ω⋅

ϕ∆

=ω2

1

m d1

(4.1)

Viteza medie se mai poate exprima cu mare aproximatie cu relatia

2

??? maxmin

m

+= . Se defineste gradul de neregularitate al mersului masinii (δ) ca fiind

2

ddd maxmin += . Uzual, gradul de neregularitate al mersului masinii are valorile:

δ = 1/5…1/30 - pentru pompe; δ = 1/20…1/5 – pentru concasoare; δ = 1/50…1/30 – pentru

masini-unelte; δ = 1/300…1/200 – pentru motoare electrice de curent alternativ si δ ≤ 1/200.

Din (1.39) rezulta relatiile:

+⋅= 2

d

1?? mmax ωmax si

−⋅= 2

d

1?? mmin .

Plecând de la constatarea ca variatia vitezei unghiulare ω(t) sau ω(ϕ) este urmarea

variatiei momentelor Mm redus = f 1(ϕ) si Mr redus = f 2(ϕ) în timpul unui ciclu cinematic în care

unghiul de rotatie parcurge drumul de la 0 la 2π (figura 4.2).

Figura 4.1

Figura 4.2

ω m i n

t dt

TC

ω m a x

ω m

ω

ϕ

(t)

+ − + − −

ϕmin

ϕmin

2π

M

O a b c d e

Mm red

Mr red

ϕ

∆EC

O a b c d e

ϕ



40

Aria cuprinsa între axa Oϕ si curba Mm redus = f 1(ϕ), pentru durata unui ciclu cinematic,

reprezinta, la scara, lucrul mecanic Wm al fortelor motoare; ca urmare:

∫

Π

ϕ⋅=

2

0

red.mm dMW (4.2)

Analog, pentru lucrul mecanic al fortelor rezistente, relatia corespunzatoare are forma

∫ Π

ϕ⋅=2

0

red.rr dMW (4.3)

Pentru întregul ciclu Wm = Wr deoarece, în perioada de regim, variatia de energie este

nula. Ca urmare, suma ariilor notate cu este egala cu cea a ariilor notate cu . Fiecare bucla

reprezinta diferenta de lucru mecanic (∆Ec) adica variatii ale energiei cinetice a sistemului.Pentru Jredus ≈ ct., caz aproape real, lui ∆Ec max îi corespunde ωmax iar lui ∆Ec min îi corespunde

ωmin. Evident,

max

2

minmin.red

2

max

max.red W2

J2

J ∆=ω⋅−ω⋅ (4.4)

(Wmax reprezinta energia maxima disponibila (pozitiva sau negativa); aceasta este data de aria

celui mai mare contur închis din diagrama M(ϕ). Daca Mm redus > Mr redus, se produce cresterea

vitezei unghiulare a masinii deci cresterea energiei cinetice a acesteia; daca Mm redus < Mr redus,

se produce o frânare a mersului masinii. Admitând ca Jredus ≈ ct., rezulta succesiv:

δ⋅ω⋅=

ω−

ω⋅=∆ 2

mred

2

min

2

max

redmax J22

JW (4.5)

δ⋅ω∆

=2

m

max

red

WJ (4.6)

Marimea Jredus este momentul de inertie al elementului conducator capabil sa preia,

pentru un δ dat variatiile de moment Mm redus - Mr redus = f(ϕ). Valoarea δ fiind impusa, ωm

este stabilita pentru masina prin caietul de sarcini iar ∆Wmax se determina dupa trasareadiagramelor suprapuse Mm redus si Mr redus.

De obicei, elementul conducator nu are un mare moment de inertie. Cu rezultateleobtinute anterior, se pot determina dimensiunile volantului adica a acelui element, montat pe

arborele elementului conducator, capabil sa acumuleze energia mecanica atunci când Wm >

Wr si sa o redea atunci când Wm < Wr. Cu volantul al carui moment de inertie este JV,

momentul de inertie total al arborelui motor devine:

Jtotal = J = Jred + JV (4.7)

red2m

max

V Jd?

W?

J −⋅= (4.8)

+ −



41

Jredus se poate neglija, pentru ca este mult mai mic decât J V asfel încât rezulta:

d?

W?J

2m

maxV

⋅≅ (4.9)

Pentru un disc plin, momentul de inertie se calculeaza cu expresia:

g8

DGJ

2

⋅⋅= (4.10)

în care G este greutatea discului si D este diametrul acestuia. Din (4.9) si (4.10) se poatestabili si grosimea volantului, diametrul D fiind ales în functie de gabaritul admis prin proiect.

4.1 Reglarea variatiei neperiodice a vitezei. Regulatorul centrifugal

Daca turatia ωM a motorului tinde sa scada pentru ca a crescut sarcina (rezistentautila), bilele M (figura 4.3) coboara, determinând coborârea culisei C.

Coborârea culisei determina deschiderea suplimentara a clapetei CL de admisie acarburantului spre motor. Daca, dimpotriva, are loc cresterea turatiei motorului, procesul areloc în sens invers.

Se poate calcula turatia regulatorului la echilibru, precum si turatiile extreme pentru

care acest dispozitiv lucreaza.

ωM

(motor)

Fcf

M

G

M

C

CL

Figura 4.3



43

5 Transmiterea fluxului de forta prin elementele cuplelor cinematice cu frecare

Analiza transmiterii fluxului de forta prin elementele cuplelor cinematice cu frecare seface pe modele simplificate, uneori controversate de specialisti; concluziile obtinute se aplica

însa prin modelare si prin experiment cuplelor reale. De regula, se urmareste determinareatensiunii de contact si distributia acesteia, calculul fortei de frecare sau a momentului defrecare si calculul coeficientului conventional de frecare.

5.1 Cupla cinematica de clasa a V-a de translatie cu frecare pe plan

În figura 5.1.a este schematizata sania cuplei (elementul relativ mobil) si planul deghidare. Se constata ca aceasta cupla cinematica nu poate asigura precizie cinematica ridicata;are însa avantajul costului redus datorat simplitatii constructive. Notatii folosite: P – fortatehnologica utila, µ0 - coeficientul de frecare de aderenta (static), µ - coeficientul de frecarecinetic (de alunecare), ϕ - unghiul de frecare, N21 – reactiunea normala a planului, Ff 21 – fortade frecare iar R21 – forta rezultanta.

Daca P ⋅ sinα = µ0 ⋅ N21 corpul 1 este în echilibru la limita alunecarii (figura 5.1.b);Daca P ⋅ sinα = µ ⋅ N21 corpul 1 este în echilibru în translatie cu viteza v = ct.Se stie ca µ < µ0 pentru ca frecarea de aderenta este mai ridicata decât cea în miscare.

În repaos, la tendinta de miscare, este necesara escaladarea, deformarea elastica sau plastica aasperitatilor celui mai putin rezistent dintre elementele cuplei si/sau forfecarea acestora.Unghiul de frecare ϕ poate fi exprimat prin relatia:

21

21f

N

Farctgf = (5.1)

Altfel scris, µ = tgϕ Daca α < ϕ, piesa 1 este în repaos fata de planul 2;Daca α = ϕ piesa 1 este în repaos sau în miscare relativa uniforma fata de planul 2;

Daca α > ϕ, piesa 1 are miscare uniform accelerata fata de planul 2.Presupunând ca încarcarea normala este uniform distribuita, presiunea medie decontact între elementele cuplei cinematice este:

ac

21m p

A

Np ≤= (5.2)

Cu Ac s-a notat aria nominala a suprafetei de contact.Pentru generalizarea studiului cuplei cinematice de clasa a V-a de translatie cu frecare

se admite modelul din figura 5.1.c în care s-au facut notatiile: P – forta motoare si Q – forta

tehnologica rezistenta utila. Putem distinge doua cazuri limita, dupa analiza relatiilor deechilibru pe directia miscarii si pe directia normalei.



44

⋅=⋅+⋅⋅+⋅=

ßsinPasinQNµ

acosQßcosPN (5.3)

Din sistem rezulta, pentru tendinta de deplasare spre dreapta, respectiv spre stânga(caz în care forta de frecare si-a schimbat sensul):

( )

( )f ßsin

f asinQPP max −

+⋅== (5.4)

( )

( )f ßsin

f asinQPP max +

−⋅== (5.5)

Figura 5.1.a

Figura 5.1.b

Figura 5.1.c

Din (5.4), daca β ≤ ϕ întâlnim fenomenul de autoblocare; adica, pentru a deplasacorpul ar fi necesar ca Pmax → ∞. Din (5.5), daca α ≤ ϕ întâlnim fenomenul de autofrânare; înacest caz, oricât de mica ar fi forta Pmin, la limita egala cu zero, corpul nu se deplaseaza însensul fortei tehnologice.

O aplicatie interesanta o întâlnim la traversa masinii radiale de gaurit (figura 5.2) lacare P este forta de gaurire. Neglijând greutatea traversei, se pune conditia ca, la gaurire,traversa sa nu urce sub actiunea fortei P. Problema poate fi tratata cu usurinta, în aceeasi

R21

Ff 21

ϕ N21

2 (ghidaj)

1 (sanie)

P

α

ϕ

α P α = ϕ P

ϕ

α

P Con defrecare

ϕ α

N

Q

µN

P

v = ct



45

maniera, daca se ia în considerare greutatea traversei, caz în care corpul nu ar trebui sacoboare sub propria greutate, în absenta fortei P.

Datorita simetriei, N1 = N2 ambele reactiuni fiind egale cu N. Echilibrul fortelor peverticala si echilibrul momentelor fata de punctul A sunt modelate prin relatiile:

+⋅=⋅+⋅⋅

≥⋅⋅

2

adPlNaNµ

PNµ 2 (5.6)

Figura 5.2

La limita, din (5.5) si (5.6), obtinem:

( )aµ l2

ad2PN

⋅+⋅+⋅⋅= (5.7)

µ 2

PN

⋅= (5.8)

Din aceste ultime relatii apare conditia:

d2lµ ⋅

≥ (5.9)

Notândd2

lßtg

⋅= , din (1.60) se gaseste µ ≥ tg β , adica ϕ ≥ β . Aceasta conditie

înseamna ca autoblocarea se produce daca P se aplica în oricare punct situat în zona hasurata.

5.2 Cupla cinematica de clasa a V-a de translatie cu frecare în “V”

La aceasta cupla cinematica, fortele de frecare apar pe ghidaj atât în lungul acestuia, la

deplasare, cât si transversal, sub efectul fortei de încarcare F. Cu notatiile din figura 5.3 se potstabili relatiile:

µN1ϕ

ϕ

β

β N2

µN2

N1

d

l

P

A



46

⋅⋅+⋅⋅= acos

2

Nµ asin

2

N2F (5.10)

acosµ asin

FN

⋅+= (5.11)

Figura 5.3

Ca urmare, presiunea medie pe flancurile ghidajului se poate calcula cu formula:

am pLb

2 / Np ≤

⋅= (5.12)

Formula fortei de frecare în directia miscarii pune în evidenta coeficientul de frecare

conventional µc care este mai mare decât µ, coeficientul de frecare corespunzator uneisuprafete plane. Puterea consumata prin frecare la aceasta cupla cinematica este mai maredecât la cupla cinematica prezentata în paragraful anterior. Avantajul variantei cu ghidaj în“V” este însa precizia cinematica evident superioara cuplei cinematica de clasa a V-a detranslatie cu frecare pe plan.

Fµ Facosµ asin

µ Nµ F cf ⋅=⋅

⋅+=⋅= (5.13)

µ acosµ asin

µ µ c ⟩

+= (5.14)

Se poate demonstra ca, în vederea optimizarii, µc este minim pentru a2

pa −= .

5.3 Cupla cinematica de clasa a V-a de rotatie de tip fus – cuzinet cu joc

În repaus, la turatie nula, centrul fusului si al cuzinetului se gasesc pe directia verticala(figura 5.4.a); pentru n > 0, pozitia fusului se stabileste conform figura 5.4.b, contactul cucuzinetul realizându-se pe generatoarea comuna A. Pentru acest model de calcul, este evidentca tensiunea de contact este infinita.

Regimul de frecare în care evolueaza acest tip de cupla cinematica este uscat, la limita

sau mixt, regimuri prezentate în capitolul Elemente de Tribologie. Cupla cinematica estesuperioara si, prin constructie, nu asigura o precizie cinematica satisfacatoare. În miscare,apare forta de frecare tangentiala Ff21 . Daca Ff21 este mai mare decât forta periferica

L

Ff

Fv = ct

α

b 2

N

2

Nµ2

Nµ

2

N

F



47

tangentiala utila (de transmis), fusul se rostogoleste fara alunecare pe cuzinet, “urcând” peacesta, pâna când se realizeaza echilibrul dintre reactiune si sarcina exterioara F21 = F.


La echilibru,

ρ = r1 ⋅ sin ϕ ≈ r1 ⋅ tg ϕ = r1 ⋅ µ = ct. (5.15)

Se observa ca ρ, numita raza cercului de frecare, este independenta de marimeareactiunii si de turatie.

Momentul de frecare poate fi exprimat, succesiv, prin relatiile:

Mf = Ff21 ⋅ r1 = F21 ⋅ sin ϕ ⋅ r1 ≈ F ⋅ tg ϕ ⋅ r1 = F ⋅ r1 ⋅ µ (5.16)5.4 Cupla cinematica de clasa a V-a de rotatie de tip fus – cuzinet cu joc, cu

contact hertzian

Modelul prezentat în figura 5.5 este evoluat fata de cel descris mai sus. Contactulelementelor cuplei se realizeaza pe lungimea B care, evident nu apare în reprezentareatransversala din figura.

Figura 5.5

Se demonstreaza ca distributia presiunii de contact este data de relatia:

cuzinet (2)fus (1)O2

O1

F21

F

n = 0Ff 21Fn 21

F21

nF

O2O1

r1 ϕ

ρ

ω F

αc

bH

pmax

p(α)

D

d

α



48

( )2

cmax

a

a1pap

−⋅= (5.17)

cu notatia, mc

max pasinp

4

p ⋅⋅= .Semiunghiul de contact αc este dat de relatia:

( )dDB

F2

E

?1

E

?1

p

4asin

2

22

1

21

c −⋅⋅⋅

−+−⋅= (5.18)

în care: ν1,2 – coeficientii Poisson, E1,2 – modulele de elasticitate transversala pentru fus,respectiv cuzinet, D – diametrul cuzinetului si d – diametrul fusului. Momentul de frecare sepoate deduce din relatiile de mai jos, astfel:

( )2

Dd

2

DBpM

c

c

f ⋅

α⋅⋅⋅α⋅µ= ∫

α

α−

(5.19)

rFµ 2D

Fasin

aµ M ech

c

cf ⋅⋅=⋅⋅⋅= (5.20)

În (5.20), coeficientul de frecare conventional (echivalent) estev

cech asin

aµ µ

⋅= . Cum

unghiul αc este foarte mic, pmax este cu mult superioara presiunii medii.

5.5 Cupla cinematica de clasa a V-a de rotatie de tip fus – cuzinet fara joc,

nerodata

Se face ipoteza ca presiunea de contact este uniform distribuita; reprezentareaelementelor geometrice si functionale apare în figura 5.6.

Figura 5.6

d F

cuzinet (2)

fus (1)B

pm

rF

dα

α

pm

ω

−π /2 +π /2



49

Se exprima, succesiv, relatiile de calcul pentru presiunea medie pm si pentru momentulde frecare Mf .

∫ −

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅=2 / p

2 / p

mm dBpBacosad

2

dpF (5.21)

am pBd

Fp ≤

⋅= (5.22)

4

dppµ

2

dBad

2

dpµ M

2

m

2 / p

2 / pmf ⋅⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅= ∫

−

(5.23)

Brpµ 2

pM 2

mf ⋅⋅⋅⋅= (5.24)

Din (5.22) si (5.23), rezulta expresia finala a momentului de frecare:

rf Fµ 57,1rFµ 2

pM ⋅⋅≅⋅⋅⋅= (5.25)

care poate fi comparata cu cea determinata pentru cupla cinematica de clasa a V-a de rotatiede tip fus – cuzinet cu joc; din comparatie rezulta ca, la cupla nerodata, momentul de frecareeste cu circa 57% mai mare decât la cupla cu joc.

Desigur, la cupla cinematica nerodata, precizia cinematica este ridicata. Dupa rodaj, însa, se va schimba geometria contactului si repartitia presiunilor.

5.6 Cupla cinematica de clasa a V-a de rotatie de tip fus – cuzinet fara joc, rodata

În figura 5.7 este prezentat modelul de calcul; cota B, adica lungimea contactului nuapare evident în reprezentare. Se face ipoteza ca presiunea are o distributie cosinusoidala,conform relatiei p = p max cos α.

Figura 5.7

α

dα

pmax

ω

rF

p



50

Determinarea relatiei de calcul a presiunii maxime de contact urmeaza astfel:

∫ ⋅⋅⋅⋅⋅=2 / p

0

2max adacosB

2

dp2F (5.26)

Stiind ca2

a2cos1acos 2 += , dupa integrare se obtine:

amax prBp

F2p ≤

⋅⋅⋅= (5.27)

Se observa ca presiunea maxima este cu circa 27% mai mare decât în cazul distributieiuniforme de la cupla nerodata.

Utilizând formula (5.27), se poate deduce cu usurinta expresia de calcul a momentuluide frecare:

2

pdBµ M max

2

f ⋅⋅⋅

= (5.29)

rFµ

p

4M f ⋅⋅⋅= (5.30)

Constatam ca momentul de frecare este cu proximativ 27% mai mare decât în cazulcuplei cinematice de rotatie cu joc prezentata în paragraful 6.3.

Avantajele unei cuple cinematice trebuie deci discutate împreuna cu dezavantajele ei,astfel încât alegerea celei mai bune variante sa se faca în raport cu scopul urmarit.

Exista putine cazuri în constructia de masini în care o solutie constructiva estesatisfacatoare din toate punctele de vedere.

Pentru cuplele cinematice prezentate în paragrafele 6.4., 6.5 si 6.6, este necesaraverificarea presiunii de contact, astfel: pm ≤ padmisibil, respectiv pmax ≤ padmisibil, dupa caz.Presiunea admisibila se determina experimental pentru fiecare cuplu de materiale fus/cuzinet.

Puterea pierduta prin frecare se exprima, uzual, prin relatiaP = Ff ⋅ v = µ ⋅ F ⋅ v, în care v este viteza. Împartind prin aria suprafetei de contact (A),

obtinem puterea specifica pierduta prin frecare Pf sp = µ ⋅ p ⋅ v. Cum µ = ct., rezulta caprodusul (pm ⋅ v), respectiv (pmax ⋅ v) este o marime care caracterizeaza gradul de încalzire acuplei cinematice.

Ca urmare, pentru calcule sumare, se impune asa-zisa verificare “la încalzire”:

(pm ⋅ v) ≤ (p ⋅ v)admisibil, respectiv (pmax ⋅ v) ≤ (p ⋅ v)admisibil

Valorile (p ⋅ v)admisibil se determina experimental, pentru fiecare cuplu de material în

parte.

si amax pdBp

F4p ≤

⋅⋅⋅= (5.28)



51

5.7 Cupla cinematica de clasa a V-a de rotatie de tip pivot – cuzinet

Se considera ca, înainte de rodaj, presiunea de contact este uniform distribuita(figura 5.8.a). presiunea medie se calculeaza, evident, cu relatia:

( ) a2i

2e

m pDDp

F4p ≤−⋅

⋅= (5.31)

Marimea momentului de frecare se calculeza prin integrala:

( )∫ ⋅⋅⋅⋅=2

De

2

Dimf rµ drrp2pM (5.32)

În relatia (5.32) introducând, la limita, (5.31) obtinem expresia numita a momentuluide pivotare:

2i

2e

3i

3e

f DD

DDFµ

3

1M

−−

⋅⋅⋅= (5.33)

Prin rodaj, suprafata initial plana a pivotului se modifica, asa cum se sugereaza înfigura 5.8.b.


Se cunoaste ca puterea specifica pierduta prin frecare are forma Pf sp = µ ⋅ p ⋅ v. Se faceipoteza ca puterea specifica pierduta prin frecare este constanta; de aici rezulta relatiaimportanta µ ⋅ p ⋅ ω ⋅ r = ct. Cum viteza unghiulara ω si coeficientul de frecare µ sunt evidentconstante, rezulta p ⋅ r = ct. Observam ca distributia presiunii este hiperbolica. Rezultatul se

apropie de cel real, datorita uzurii periferice mai intense.Expresia fortei de încarcare F ne permite sa determinam presiunile maxima si minima

ale contactului,succesiv:

F

fus axial(pivot)

pm

vmax

Di

De

cuzinet(patina)

ω

p

vmax

uzura



52

( )∫ ∫ ⋅=⋅⋅=2

De

2

Di

2

De

2

Di

drprp2drrp2pF (5.34)

( )2

DDrpp2F ie −

⋅⋅⋅⋅= (5.35)

Din (5.35) se obtine expresia curenta a presiunii de contact:

( ) rDDp

Fp

ie ⋅−⋅= (5.36)

Pentru r = Di ⁄ 2, rezulta ca presiunea minima de contact este data de relatia

( ) iiemin

DDDp F2p ⋅−⋅ ⋅= iar pentru r = De ⁄ 2, rezulta valoarea presiunii minime de contact

( ) eiemin

DDDp

F2p

⋅−⋅⋅= .

Deducem marimea momentului de frecare astfel;

( ) ( )∫ ∫ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=2

De

2

Di

2

De

2

Dif drrµ prp2rµ drrp2pM (5.37)

( ) ( ) ( )2i

2e

2i

2e

f DDprµ 4

p

8

DDprpµ 2M −⋅⋅⋅=

−⋅⋅= (5.38)

Cum ( )( )ie DDp

Frp

−⋅=⋅ , expresia momentului de frecare capata forma:

( )ief DDFµ 4

1M +⋅⋅⋅= (5.39)

Ca si în cazul celorlalte cuple cinematice prezentate, si la cuplele de tip pivot – cuzinetse impun verificarile pm ≤ padmisibil, respectiv pmax ≤ padmisibil, dupa caz.

De asemenea, se face verificarea “la încalzire”:

(pm ⋅ v) ≤ (p ⋅v)admisibil, respectiv (pmax ⋅ v) ≤ (p ⋅ v)admisibil (5.40)



53

5.8 Cupla cinematica curea – roata de curea

O caracteristica foarte importanta a acestei cuple este faptul ca forta F1 din ramuraactiva este diferita de forta F2 din ramura pasiva (figura 5.9).

Figura 5.9

Diferenta dintre cele doua forte reprezinta forta utila, de antrenare a rotii. Tensiunea decontact dintre curea si roata este si ea neuniforma.

Echilibrul fortelor care actioneaza pe un element de curea este dat de:

( )

( )

≅⋅−+=

⋅≅⋅++=+

dF2

adcosdFdFFdF

dFF2

adsindFFFdFdN

f

c (5.41)

unde: dNµ dFf ⋅= si s?Badrr

vrad?rdF

2

22c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= , deci:

adv?sBdF 2f ⋅⋅⋅⋅= (5.42)

în care ρ este densitatea curelei, B este latimea curelei, s este grosimea curelei si v este vitezaperiferica a curelei.

Din (5.41) si (5.42), eliminând pe dN, dF si dFc rezulta:

2v?sBµ Fµ

ad

dF ⋅⋅⋅⋅−=⋅− (5.43)

Aceasta ecuatie diferentiala, liniara si neomogena de ordinul I are solutia generala:

2aµ v?sBeCF ⋅⋅⋅+⋅= ⋅ (5.44)

Constanta C se determina din conditiile la limita:

222 v?sBFCFF0a ⋅⋅⋅−=⇒=⇒= (5.45

Înlocuind pe C rezulta:

( ) 2ßµ 22 v?sBev?sBFF ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−= ⋅ (5.46)

FdFf

β

α

d α

dN

F+dF

F2

F1

O

dF

D Mt

ramurapasiva

ramuraactiva

ω



54

care, pentru α = β va da:

( ) 2ßµ 221 v?sBev?sBFF ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−= ⋅ (5.47)

Fortele din cele doua ramuri ale curelei se determina în functie de forta utila F u:

D

M2F t

u⋅

= (5.48)

21u FFF −= (5.49)

Din (5.47), (5.48) si (5.49) rezulta:

⋅⋅⋅+−

⋅=

⋅⋅⋅+−

⋅=

⋅

⋅

⋅

2ßµ u2

2ßµ

ßµ

u1

v?sB1e

1FF

v?sB1e

eFF

(5.50)

Forta din curea, pentru un unghi oarecare α, este:

2ßµ ßµ

u1 v?sBe

1e

FF ⋅⋅⋅+⋅

−= ⋅

⋅ (5.51)

Pe baza acesteia se poate exprima presiunea de contact dintre curea si roata:

( ) ßµ ßµ ucs e1eDB

F2

ad2D

B

dFadF

dAdN

sp ⋅⋅ ⋅−⋅⋅⋅

=⋅

⋅

−⋅=== (5.52)

Pentru( )1eDB

eF2spßa

ßµ

ßµ u

maxsmax−⋅⋅

⋅⋅==⇒= ⋅

⋅(5.53)

Pentru( )1eDB

F2sp0a

ßµ u

maxsmax−⋅⋅

⋅==⇒= ⋅ (5.54)

Din aceasta variatie apare efectul de patinare al curelei.5.9 Cuple cinematice superioare cu contact hertzian

Contactul initial dintre corpurile acestor cuple cinematice se realizeaza într-un punctsau dupa o linie, adica arii nule. Sub actiunea încarcarii, prin deformarea elastica aelementelor cuplei cinematice acestea se deformeaza elastic sau plastic, contactulrealizându-se pe o suprafata de mici dimensiuni. Ca urmare, tensiunile de contact suntdeosebit de mari.

În conditiile în care deformatiile corpurilor conjugate se produc în domeniul elastic,cuplele cinematice sunt numite hertziene, de la Hertz – autorul modelelor de calcul specifice.

Cuplele cinematice hertziene au precizie cinematica extrem de ridicata dar prezintadezavantajul uzarii intense în conditiile unei ungeri inadecvate.



55

În figura 5.10 sunt schitate câteva exemple de cuple cinematice superioare: a)sfera/sfera, b) sfera/sfera cuprinzatoare, c) sfera/plan, d) sfera/cilindru, e) sfera/ghidajcilindric, f) sfera/ghidaj curb, g) rola butoias/jgheab curb, h) cilindru/cilindru, i)cilindru/cilindru cu axe paralele si j) cilindru/plan.

a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

Figura 5.10

Studiem mai întâi cazul cilindru/cilindru pentru ca apare în numeroase aplicatii:angrenaje, transmisii prin came, roti pe cai de rulare si altele.

Ipotezele de calcul sunt: a) materialele sunt omogene si izotrope, b) în zona de contactse aplica legea lui Hooke, c) încarcarea F este pur normala, d) contactul este perfect uscat, e)de-a lungul benzii de contact, care se formeaza dupa încarcare, tensiunea este distribuitauniform si f) tensiunea de contact are o distributie elipsoidala pe latimea benzii de contact.

În figura 5.11.a corpurile cilindrice sunt neîncarcate si se afla în repaos.Sub încarcarea F, corpurile sufera deformatii elastice. Interfata de contact este o banda

de latime 2⋅bH foarte mica pe care se distribuie tensiunea hertziana care prezinta valoareamaxima σH max (figura 5.11.b).

Pentru determinarea tensiunii hertziene σH max se poate scrie:

∫∫ ∫ −

⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=S

b

bHmaxHHH

H

H

Bbp2

pdbBpdSpF (5.55)

Bbp

F2

sp HmaxHmaxH ⋅⋅

⋅

== (5.56)


ρ1

ρ2

F = 0ωr = 0

BF

ωr = 0

σH = pHmax

bH bH



56

Tensiunea de contact maxima trebuie comparata cu valoarea admisibilacorespunzatoare celui mai slab dintre materialele care alcatuiesc cupla cinematica. În teoriaelasticitatii se demonstreaza expresia de calcul a semilatimii de contact bH:

BE?F

p8

E

?1

E

?1

B?F

p4

bech2

2

21

2

1H ⋅⋅⋅=

−+

−⋅⋅⋅= (5.57)

în care ρ este raza de curbura echivalenta, definita prin relatia21 ?

1

?

1

?

1 += iar E este

modulul de elasticitate echivalent, dat de relatia:

2

22

1

21

ech

E

?1

E

?1

2E

−+

−=

(5.58)

în care ν1 si ν 2 sunt coeficientii Poisson.Înlocuind (5.58) în (5.57), obtinem:

B?p2

EFs ech

maxH ⋅⋅⋅⋅= (5.59)

În cazul particular cilindru/plan, ρ1 = R, ρ2 → ∞, E1 = E si, ipotetic, E2 → ∞. Ca

urmare,

E?12

2E

2ech −⋅= si, pentru ν = 0,3, obtinem rezultatele de mai jos utilizate în

numeroase aplicatii:

BE

RF076,1b H ⋅

⋅⋅= (5.60)

BR

EF418,0H ⋅

⋅⋅=σ (5.61)

Atunci când exista tendinta de rostogolire sau când cele doua corpuri se rostogolescrelativ, fara alunecare, distributia tensiunii de contact se modifica, devenind asimetrica;tensiunea maxima se plaseaza lateral ca în figura 5.12. Aceasta repartitie a tensiunilor da orezultanta situata excentric fata de linia centrelor la distanta k.

Rezulta ca momentul de frecare care se opune rostogolirii sau tendintei de rostogolire

poate fi exprimat sub forma M = k ⋅ F dar si sub forma conventionala2

dFµ FkM rf ⋅⋅=⋅=

în care µr este numit coeficient de frecare de rostogolire, denumire conventionala însa, având în vedere ca marimea este caracteristica alunecarii. Valoarea distantei k depinde de naturamaterialelor aflate în contact, ca de exemplu: k = 0,001…0,01 mm, pentru otel/otel durificat sik = 0,03…0,05 mm, pentru otel/otel nedurificat.



57

Adoptând notatiad

k2µ r

⋅= , putem constata ca µr << µa, ceea ce înseamna ca frecarea

de rostogolire presupune o pierdere de putere considerabil mai mica decât frecarea dealunecare caracteristica translatiei; cu µa a fost notat coeficientul de frecare de alunecare.


În cazul cuplei superioare sfera/sfera (figura 5.13) suprafata de contact, dupa încarcarea cu forta F devine circulara; initial, la F = 0, contactul se realiza într-un punct.

Utilizând notatiile:2

22

1

21

21 E

?1

E

?1?,

?1

?1

k−

+−

=+=∑ , obtinem expresiile de calcul

pentru raza petei de contact aH si pentru tensiunea hertziana maxima:

3HHkF?

23ba ∑⋅⋅== (5.62)

3

2

maxH F?

k

23

p1

s ⋅

⋅⋅= ∑

(5.63)

5.10 Policuple cinematice superioare cu contact hertzian

În figura 5.14.a este reprezentat rulmentul radial, având încarcarea F pe directia razei.

Este evident ca ansamblul este o aplicatie complexa a cuplei cinematice superioare cu contacthertzian.Puterea pierduta prin frecare pentru corpul de rostogolire i, în punctele de contact

dintre acesta si cele doua cai de rulare (figura 5.14.b) are componentele: PfA = Fi ⋅ k (ω1 + ωb)si, respectiv, PfB = Fi ⋅ k ⋅ ωb. Puterea totala pierduta prin frecare pentru corpul i se obtine prin

însumarea coponentelor mentionate:

⋅+⋅⋅⋅=+=

1

b1ifBfAfi ?

?21?kFPPP (5.64)

Cu observatia ca bbei

1 d?2

d? ⋅=⋅ , rezulta:

kN = R =F

ω ρ1

ρ2σH max

ρ1

ρ2

aH

bH

bH

F



58

+⋅⋅⋅=

⋅

⋅+⋅⋅⋅=b

ei1i

b

ei1ifi d

d1?kF

d2

d21?kFP (5.65)


Momentul de frecare corespunzator se poate exprima, succesiv:

+⋅⋅==

b

eii

1

fifi d

d1kF

?

PM (5.66)

Momentul de frecare total, caracterizând întreg sistemul, este suma momentelor

particulare ∑∑ ⋅

+⋅== i

b

ieif f F

d

d1kMM . Admitând ipoteza ca distributia sarcinii Fi este

de tip cosinusoidal (figura 5.15), rezulta:

∑ ⋅= Fp

4Fi (5.67)

+⋅⋅⋅=

b

eif

d

d1Fk

p

4M (5.68)

d

2

d

d1

2

dFk

p

4M

b

eif ⋅

+⋅⋅⋅⋅= (5.69)

Notând cu µr coeficientul de frecare de rostogolire conventional, deducem ca valoareaacestuia este deosebit de mica, în raport cu cea corespunzatoare alunecarii:

+⋅⋅=

b

eir

d

d1

d

k

p

8µ << µa (5.70)

Cu aceasta notatie se obtine expresia finala a momentului de frecare în rulment:

D

Fi

Fi+1

F d

dei

ω1

ω2 = 0

A

B

ωb

f 1

f 2

Fi

Fi



59

2

dFµ M rf ⋅⋅= (5.71)

A doua aplicatie privind policuplele cinematice superioare cu contact hertzian oreprezinta rulmentul axial (figura 5.16) pentru care prezentam, în acelasi mod ca mai sus,

relatiile succesive care conduc la aflarea expresiei de calcul pentru momentul de frecare sipentru coeficientul de frecare de rostogolire conventional µr.


⋅=⋅

⋅⋅=

2

d?d?

?kF2P

m1bb

bifi

(5.72)

b

m1ifi

d

d?kFP ⋅⋅⋅= (5.73)

∑∑ ⋅⋅== ib

m

1

fif F

d

dk

?

PM (5.74)

2d

Fµ d

dFkM r

b

mf ⋅⋅=⋅⋅= (5.75)

b

mr dd

dk2µ

⋅⋅⋅

= << µa (5.76)

5.11 Cupla surub – piulita

Pentru calculul cuplei surub – piulita cu alunecare (figura 5.17) se fac urmatoareleipoteze:

a) forta totala F este distribuita uniform pe fiecare spira a piulitei;b) presiunea este distribuita uniform pe fiecare spira;c) spirele se considera independente unele de altele.

Calculul de verificare la strivire se face pentru materialul cel mai slab si cu formula:

( )a2

1

2m p

Ddp

z

F4

p ≤

−⋅

⋅= (5.77)

d

dm

db

ω2= 0

ω1

F

α

Fmax = F1 F2 = F⋅cosα

F3 = F⋅cos2α



60

unde z este numarul de spire active, d este diametrul exterior al surubului (diametrul nominalal filetului) si D1 este diametrul interior al filetului interior (figura 5.17).

Figura 5.17

Pentru însurubare forta H ≥ 0 si se calculeaza din diagrama de forte din figura 5.17.b:

( )f ?tgFH 2 ′+⋅= (5.78)

în care2

2dp

ptgarc?

⋅= este unghiul mediu de înfasurare si µ tgarcf ′=′ este coeficientul de

frecare redus. Pentru filetul ferastrau µ µ =′ , în timp ce pentru filetul metric sau trapezoidal

?cos

µ µ =′ , unde γ este semiunghiul profilului filetului (figura 5.18).

Figura 5.18

d3

D1

d2

d

piulita

surubul

c)

d3

d

d2

p

a)

F

ψ 2

p

πd2

ϕ′ ψ 2

µN

N

H

b)

N

µN

µ′ = µ

N N′

γ

γ Ff



61

Dupa cum rezulta din figura 5.18, în cazul profilului trapezoidal, forta normala pe

suprafata spirei este?cos

NN =′ , iar forta de frecare este N

?cos

µ Nµ Ff ⋅=′⋅= . Rezulta ca, la

filetul metric si trapezoidal, forta de frecare este mult mai mare decât la filetul ferastrau.În relatiile care urmeaza se va nota cu ϕ′, respectiv µ′, indiferent de caz.Momentul de însurubare va rezulta:

( )f ?tg2

dF

2

dHM 2

221t ′+⋅⋅=⋅= (5.79)

În cazul desurubarii, momentul devine:

( )f ?tg2

dF

2

dFM 2

221t ′−⋅⋅=⋅=′ (5.80)

Punând conditia ca 0M 1t ≤′ , rezulta conditia de autofrânare:

f ? 2 ′≤ (5.81)

În cazul însurubarii (figura 5.19) se va aplica la cheie un moment care sa învinga atâtmomentul de însurubare, cât si cel de pivotare (cu frecare) al piulitei cu suprafata de sprijincorespunzatoare (M2).

2g

2

3

g

3

p2DSDSFµ

31M

−−⋅⋅⋅= (5.82)


Ca urmare, momentul total de strângere al piulitei este:

d

Lc

F

µP

S

80%

ϕ = 12°

autofrânare;suruburi de strângere;randament foarte mic.

ψ = ϕ′ 40°

filet ferastrau(ϕ = ϕ′; µ = µ′)

ϕ = 6° η

ψ 2

filet triunghiularsau trapezoidal

(ϕ > ϕ′; µ = µ/cosγ )

suruburi de miscare;fara autofrânare (masini unelte);

randament relativ ridicat.



62

( )2g

2

3g

3

p22

chDS

DSFµ

3

1f ?tg

2

dFM

−

−⋅⋅⋅+′+⋅⋅= (5.83)

Pentru o cheie de lungime Lc rezulta forta la cheie c

ch

c L

M

F = . Pentru o lungime

standardizata ( ) d1512Lc ⋅= L , rezulta ( ) cF10060F ⋅≅ L !

Randamentul cuplei surub–piulita se calculeaza cu:

( ) ( )f ?tg

?tg

f ?tgF

?tgF

dpHpF

L

L?

2

2

2

2

2c

u

′+=

′+⋅⋅

=⋅⋅

⋅== (5.84)

Se pune conditia 0?d

?d = si, pentru randamentul maxim max? , rezulta

°°≅′

+= 42412

f

4

p? opt K . Acest unghi este dificil de realizat tehnologic pentru ca, la

filetare, cutitul de aschiere se uzeaza foarte repede. În figura 5.20 este prezentat randamentulpentru diverse tipuri de cuple. În general, randamentul cuplei surub–piulita este modest.

Daca se impune conditia de autofrânare (5.81), rezulta:

5,02

?tg1

?tg1

?tg2?tg

?2tg

?tg?

2

2

≤−=

−⋅

=⋅

= !(5.85)

Randamentul total al unei asamblari filetate este:

( )( )

−

−⋅⋅+′+⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅

=

2g

2

3g

3

p2

2

21t

1t

DS

DSµ

3

1f ?tg

2

dF

?tg2

dF

p2MM

p2M?

(5.86)

sau

( )( )2

g2

2

3g

3

pDSd

DSµ

3

2f ?tg

?tg?

−⋅

−⋅⋅+′+

= (5.87)

Figura 5.21

ψ 2

d2

F

γ



63

Cupla surub–piulita cu rostogolire (surubul cu bile; figura 5.21) prezinta diverseavantaje: randament superior (apropiat rulmentilor), uzura redusa, precizie cinematicaridicata. Dezavantajul principal este cel legat de absenta autofrânarii ceea ce impune (cândeste cazul) prezenta unor dispozitive suplimentare de blocare. Suruburile cu bile se utilizeazala masini unelte, automobile, aviatie.

Momentul de însurubare este dat de relatia:

( )r22

t f ?tg2

dFM +⋅⋅= (5.88)

Momentul este similar cu cel al cuplei surub–piulita cu alunecare, iar unghiul de

frecare redus este?sind

k2tgarcf

2r ⋅

⋅= .

În acest caz randamentul atinge valori de 80…85%, iar puterea pierduta prin frecare

este de 50…100 de ori mai mica decât în cazul suruburilor cu alunecare.



65

6 Mecanismul cu came

6.1. Generalitati

Transmisiile cu came reprezinta, din punct de vedere structural, mecanisme plane sauspatiale, alcatuite din câte doua elemente cu contact direct, materializând cuple cinematicesuperioare.

Figura 6.1.a Figura 6.1.b Figura 6.1.c

Figura 6.1.d Figura 6.1.e Figura 6.1.f

Figura 6.1.g Figura 6.1.h

v2

1

2

e

n1

talerplan n1

v2

1

2 e

talercurb

n11

2

n1

v2

supapa

2

1

v2

1

2 e

n1

rola

1

2

e

n1

v2

v2

1

2

v1

1

2

n1

v2



66

Miscarea si transmiterea puterii se face fortat, de la elementul motor profilat, numitcama (având miscare de rotatie, uneori de translatie), la elementul condus numit tachet (avândmiscare de translatie uneori de rotatie). Legea de miscare a tachetului depinde de profilulcamei. În figura 6.1 sunt prezentate câteva mecanisme plane; în figura 6.2 sunt schitate câtevamecanisme spatiale.

Contactul dintre elementele transmisiei presupune o miscare relativa de rostogolire siuna de alunecare. Tachetul poate fi prevazut cu rola, pentru a se înlocui frecarea de alunecarecu cea de rostogolire (figura 6.1.c). Celelalte mecanisme prezentate au particularitatile:figura 6.1.a – mechanism centric (simplu); figura 6.1.b - mecanism excentric; figura 6.1.d -mecanism cu tachet taler plan, cu uzuradistribuita si redusa; figura 6.1.e - mecanism cu tachettaler curb, cu uzura distribuita si redusa; figura 6.1.f – mecanism cu tachet oscilant; figura6.1.g – mecanism cu cama de translatie.


Figura 6.2.c

În cazul mecanismului din figura 6.1.c, cama are doua miscari independente: rotatiedupa axa Ox si translatie în lungul aceleiasi axe; ca urmare tachetul se va msca dupa o legecompusa.

Avantajele transmisiilor cu came:- legea de miscare a tachetului poate fi foarte variata, dupa necesitati, transmisiile cu

came intrând deci în componenta masinilor automate;

- proiectarea usoara;- simplitate constructiva si de exploatare;- compactitate.

1

1ωr

v2

2

1

1ωr

2

1ωv

x

v2

O

1

2



67

Dezavantaje:- pentru ca tachetul sa aiba contact permanent cu cama este necesar un element elastic,

în toate cazurile, asa cum apare schematic în figura 6.1.a;- uzura elementelor cu contact permanent cu cama este reciproca, conducând la

alterarea formelor geometrice active si a legilor de miscare;

- camele spatiale sunt greu de realizat din punct de vedere tehnologic;- din cauza contactului fortat, impus de elementul elastic, în ansamblu apar vibratiicare altereaza de asemenea precizia cinematica.

Pentru a se mari rezistenta la uzura a camelor acestea se realizeaza din oteluridurificate superficial; se recomanda de asemenea ca între tachet si cama sa existe un contactliniar si nu unul punctual. Tachetul se realizeaza dintr-un material cu duritate mai mica decâta camei pentru limitarea efectelor contactului direct. De regula, cupla cama-tachet este unsa.

Mecanismele cu came se utilizeaza la distributia motoarelor cu ardere interna, lamasini-unelte cu comanda program, la masini de calculat, la masini automate si de copiat, lacomanda contactorilor electrici si la automatizarea unor procese de productie.

6.2. Analiza si sinteza mecanismelor cu came

Analiza presupune cunoasterea profilului camei, a profilului tachetului si legea demiscare a camei si conduce la determinarea legii de miscare a tachetului.

Sinteza (proiectarea) presupune cunoasterea profilului tachetului, legea de miscare atachetului, legea de miscare a camei, conducând la determinarea profilului camei.

Profilele camei si tachetului, formând cupla superioara C4, se rostogolesc cualunecare, unul pe celalalt ramânând în contact permanent. Profilul camei este înfasuratoareacurbei de profil a tachetului, aflat în diferite pozitii relative.

În cadrul analizei mecanismului cu cama se mai efectueaza: stabilirea proprietatilor sidefectelor structurale, verificarea elementelor din punctul de vedere al rezistentei si uzurii sicalculul randamentului transmisiei .

Exista metodele de analiza: grafica; grafo-analitica; analitica.Ilustram în figura 6.3 modul grafic de aflare a legii de rniscare a tachetului, s=f(f),

cunoscând profilul camei; s reprezinta spatiul parcurs de tachet si f - unghiul de rotire acamei.

6.2.1. Solutionarea analitica unitara a sintezei si analizei mecanismelor cu came

În figura 6.3 au fost reprezentate doua elemente, cu contact direct în punctul C = C l =C2, într-un sistem de axe fixe XOY, fiecare element având propriul sistem de axe: x1A1y1 -

atasat camei (1) si x2B2y2 - atasat tachetului (2). Se presupune ca ambele profile (corpuri) sunt în miscare.Fie Cl(x1,yl) ∈ (l) si C2(x2,y2) ∈ (2); ecuatia curbei (1) este de forma:

( )( )

( )

λ=

λ=⇔=

11

1111 yy

xx0y,xf (6.1)

ecuatia curbei (2) este, analog, de forma:

( )( )

( )

ν=

ν=

⇔= 22

22

22 yy

xx0y,xg

(6.2)

cu λ si ν au fost notati parametrii corespunzator curbelor (1) si(2).



68

Figura 6.3

Figura 6.4

Legile de miscare (deplasari si rotiri) pentru punctele Al(X1,Yl) si B2(X2,Y2) însistemul de coordonate fixe XOY pot fi scrise, de asemenea, analitic sau parametrizat, înraport cu timpul (t):

( )

( )

( )

( )

θ=θ=

=

⇔=t

tYY

tXX

0Y,XF

11

11

11

11

( )

( )

( )

( )

θ=θ=

=

⇔=t

tYY

tXX

0Y,XG

22

22

22

22

(6.3)

06

π

3

π

2

π

3

2π

6

5π π

s

r0ϕ

θ2

(1)

(2)

O

Y

X

A1

y1

x1

A1

y2

x2C α1

α2

θ1

τr



69

Ca urmare, coordonatele punctelor Cl si C2 în sistemul fix XOY devin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsinytcosxtXt,X 111111 θ⋅λ−θ⋅λ+=λ′′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsinytcosxtXt,X 222222 θ⋅ ν−θ⋅ ν+= ν′′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tcosytsinxtYt,Y

111111

θ⋅λ+θ⋅λ+=λ′′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tcosytsinxtYt,Y 222222 θ⋅ ν+θ⋅ ν+= ν′′

(6.4)

Apelând la scrierea complexa, notam:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ν⋅+ ν= νλ⋅+λ=λ

222

111

yixz

yixz

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tYitXtZ

tYitXtZ

222

111

⋅+=⋅+=

(6.5)

Rezulta:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )ti222

ti111

2

1

eztZt,Z

eztZt,Zθ⋅

θ⋅

⋅ ν+= ν′′

⋅λ+=λ′′ (6.6)

Cum conditia de contact C=C1=C2 trebuie realizata, se obtine succesiv:

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )ti

22

ti

11

21

21

eztZeztZ

t,Zt,Zθ⋅θ⋅

⋅ ν+=⋅λ+

ν′′=λ′′ (6.7)

adica un sistem de doua ecuatii în R care dau dependentele:

( )

( )t

t

c

c

ν= νλ=λ

(6.8)

Trebuie sa punem si conditia de tangenta geometrica si cinematica; aceasta înseamnaca viteza relativa între Cl si C2 este tangenta comuna la cele doua profile:

2

2

1

1

XdYd

XdYd

′′′′=

′′′′ (6.9)

rezultând:

ν∂′′∂ ν∂′′∂

=λ∂′′∂λ∂′′∂

2

2

2

2

X

Y

X

Y (6.10)

Dupa o dezvoltare laborioasa [4] se obtine conditia:



70

( ) ( )

( )( )

2

yxd?dyydxx?

?cosdx?sindyB?cosdy?sindxA22

22

21222221

22222222

+⋅=⋅+⋅=

=⋅−⋅−⋅+⋅ (6.11)

Dispunem, asadar, de un sistem de 13 ecuatii: 4 ecuatii care caracterizeaza profilele:(6.1), (6.2), 6 legi de miscare: (6.3), doua conditii de contact: (6.8) si o conditie de tangentacinematica (6.11); ca necunoscute (parametrii) apar: x1, y1, x2, y2, X1, Y1, θ1, X2, Y2, θ2, λ, ν si t.

La analiza unui mecanism se obtine legea de miscare a tachetului ( )t22 θ=θ ; lasinteza rezulta profilul camei:

( )( )

( )

λ=

λ=⇔=

11

1111 yy

xx0y,xf (6.12)

6.2.2. Unghiul de presiune

Unghiul format de normala la profilul camei cu directia tachetului se numeste unghi depresiune (figura 6.5). În cazul mecanismului centric, notând cu 21Bv viteza absoluta atachetului, cu f – unghiul de rotire a camei si cu s - deplasarea tachetului, observam:

Figura 6.5

( )011B

1B

B

B

rsv

d

ds

dt

d

d

ds

dt

dsv

v

vtg

1

2

1

2

+⋅ω=ρ⋅ω=

ϕ⋅ω=

ϕ⋅

ϕ==

=α

(6.13)

de unde rezulta:

α

A r0

n1

vB1

vB21

t

n

t

vB2α

s

ρ

n



71

( )01

1

rs

dds

tg+⋅ωϕ

⋅ω=α

(6.14)

si, în final :

0

1B

rs

vtg 2

+

ω=α (6.15)

Se remarca faptul ca unghiul de presiune este influentat de marimea razei cercului debaza – r0 si, de asemenea, de variabilele 2Bv si s.

În cazul mecanismului excentric (figura 6.1.b) se poate deduce:

220

1

B

ers

ev

tg

2

−++ω=α (6.16)

Se poate determina unghiul de presiune si din conditii dinamice. În figura 6.6, au fostfacute notatiile: P- forta motoare (normala la cama); Q- forta rezistenta utila (incluzândcomponentele tehnologice, de inertie si de frecare).

Figura 6.6

Se admite ca reactiunile asupra tachetului sunt concentrate în punctele C1 si C2. Se

neglijeaza frecarea dintre cama si tachet. Cu µ s-a notat coeficientul de frecare dintre tachet siteaca acestuia.Scriind ecuatiile de echilibru se pot determina reactiunile N1 si N2 :

Q

C2

C1

N2

N1µN2

µN1

n

n

t

t

d

P

α

α

l

x



72

( )

=⋅−⋅⋅µ−⋅−α⋅⋅+α⋅+⋅

−=α⋅⋅µ+⋅µ+=α⋅

02

dQdNlNcos

2

dPsin1xP

NNsinP

NNQcosP

11

21

21

(6.17)

( )

dl2

dQcos

2

dsin1xP

N1 ⋅µ+

⋅−

α⋅+α⋅+⋅

= (6.18)

dl2

dQcos

2

dsinxP

N 2 ⋅µ−

⋅+

α⋅−α⋅⋅

= (6.19)

Înlocuind (6.18) si (6.19) în (6.17) se obtine:

α⋅

⋅µ−⋅+⋅µ−α

=sin

ld

lx

21cos

QP

(6.20)

Daca marimile x si α au valori mici rezistenta Q, pe care o poate învinge cama, esteridicata; pe de alta parte, componenta P⋅sinα fiind redusa, aceasta determina reactiuni Nl si N2

scazute si deci forte de frecare de asemenea scazute. Este deci avantajos ca unghiul depresiune sa fie cât mai mic, pentru ca efortul motor P ⋅cosα sa fie ridicat, iar cel pasiv P⋅sinα sa aiba valori reduse.

Neglijând termenul ( ld⋅µ ), în (6.20), se obtine:

α⋅

⋅+⋅µ−α

=sin

lx

21cos

QP

(6.21)

Daca în (6.20) sau (6.21) numitorii se anuleaza forta P ? 8 iar miscarea tachetuluidevine imposibila; se produce deci autoblocarea mecanismului. Unghiul de presiune la careapare acest fenomen se numeste unghi critic; anulând numitorul din (6.20):

0sinld

lx21cos crcr =α⋅

⋅µ−⋅+⋅µ−α (6.22)

rezulta:

⋅µ−⋅+⋅µ

≥α

ld

lx

21

1tg cr

(6.23)

Pentru relatia aproximativa (6.21) rezulta:



73

⋅+⋅µ

≥α

lx

21

1tg cr

(6.24)

Conditia (6.24) se mai poate scrie:

−

α⋅µ⋅≥ 1

tg

1

2

1x (6.25)

Considerând neglijabila frecarea din teaca tachetului se poate exprima componentamotoare ideala:

α=

cos

QP0 (6.26)

si se poate calcula randamentul transmisiei:

α⋅

+⋅µ−=

⋅⋅

=η tgl

x211

dsP

dsP0 (6.27)

Relatiile (6.15) sau (6.16), (6.23) sau (6.24) si (6.27) decid geometria transmisieicama-tachet si completeaza sinteza acesteia.

6.2.3. Trasarea profilului real al camei

Aceasta problema apare în cazul în care, pentru micsorarea frecarii din cupla, sefoloseste o rola atasata tachetului (figura 6.1.c). Asa cum se poate vedea în figura 6.7, existaun profil teoretic, pe care-l parcurge centrul rolei si doua profile reale (inferior si superior),corespunzatoare unei came exterioare, respectiv interioare.

Figura 6.7

Se fac notatiile: rr – raza rolei de palpare; x = x( θ) si y = y(θ) - coordonatele profiluluiteoretic al camei; xr si yr - coordonatele profilului real al camei.Scriind ecuatia familiei de cercuri de raza rr, cu centrul în A pe profilul teoretic

A(x,y)

B(x,y)

profil superior

profil teoretic

profil inferior

rr

y

x



74

( ) ( ) 2r

2r

2r ryyxx =−+− (6.28)

si derivând-o în raport cu parametrul θ se obtine:

( ) ( ) 0d

dyyy

d

dxxx rr =

θ⋅−+

θ⋅− (6.29)

Din (6.28) si (6.29) rezulta coordonatele punctului B care definesc geometria cameireale:

22

r

r

d

dy

d

dx

d

dyr

xx

θ

+

θ

θ⋅

±=

22

r

r

d

dy

d

dx

d

dxr

yy

θ+

θ

θ⋅

±=

(6.30)

Semnele ± conduc la profilul real inferior si la cel superior. De regula, se utilizeazacame cu profil convex fata de rola (cama exterioara) - corespunzând profilului inferior.

6.2.4. Alegerea razei rolei de palpare

Daca tachetul este prevazut cu o rola, curba pe care se gaseste centrul acesteia esteprofilul teoretic al camei. Profilul real se gaseste ducând o curba echidistanta la profilulteoretic, situata la o distanta egala cu raza rolei rr. Pentru o functionare normala trebuie ca, înorice punct, rr < ρCT , ρCT fiind cea mai mica raza de curbura a profilului teoretic al camei;conditia de mai sus determina raza rolei.

Se recomanda ( )rrr r,rminr ′′′= , în care:

( )

( )0Tr

CTr

r5,0...4,0r

8,0...6,0r

⋅=′′ρ⋅=′

(6.31)

Cu rT 0 s-a notat raza cercului de baza al profilului teoretic a1 camei .Valorile razelor rr si ρCT sunt hotarâtoare pentru verificarea tensiunii hertziene de

contact:

Han

maxH

E

b

F418,0 σ≤

ρ⋅⋅=σ (6.32)

Au fost facute notatiile: Fn - forta normala maxima ce apare în functionarea

transmisiei, aceasta producându-se în punctul de ridicare maxima a tachetului; b - latimeacomuna a tachetului si a camei; ( )2121 EEEE2E +⋅⋅= , El si E2 fiind modulele de



75

elasticitate ale pieselor conjugate; ( )2121 ρ+ρρ⋅ρ=ρ . Cu ρ1 s-a notat raza de curburaminima a camei (ρCT) iar cu ρ2 - raza de curbura a tachetului sau, dupa caz, a rolei acestuia.

Privitor la σHa se fac recomandarile:- σHa = 500 … 600 MPa, pentru oteluri cu duritate superficiala HRC = 22 … 30;- σHa = 900 … 1000 MPa, pentru oteluri cu HRC = 40 … 45;- σHa = 1200 … 1400 MPa, pentru oteluri cu HRC = 52 … 60;- σHa = 250 … 350 MPa, pentru fonte.

6.3. Studiul unor legi de miscare a tachetului

6.3.1. Legea liniara

Considerând acceleratia tachetului nula

0dt

sd

a 2

2

== (6.33)

se obtine prin integrare:

0vdt

dsv == (6.34)

si

tvs 0 ⋅= (6.35)

În figura 6.8 sunt reprezentate diagramele pentru acest caz.

Figura 6.8

Notând: ωϕ=t , unde f este unghiul de rotire a camei si ω - viteza unghiulara derotatie a acesteia se obtine:

h0v

s ϕ⋅ω

= (6.36)

a→∞

s

O

av/ω

v/ω0

−v/ω0

ϕ0ϕh ϕc

s

av/ω

h

ϕ



76

Pentru hϕ=ϕ , s=h, de unde rezulta:

h

h0

hs

sauv

hϕϕ

=ϕ⋅ω

= (6.37)

Legile de miscare se pot rescrie:

.cth

dt

dh

dt

dsv

hs

hh

h

=ω⋅ϕ

=ϕ

⋅ϕ

==

ϕ⋅ϕ

= (6.38)

Unghiurile f h, f 0, f c, precum si cursa h se aleg dupa necesitati.Pentru f = 0 si f = f h si pentru f 0 si f c viteza variaza brusc ceea ce face ca, teoretic,

acceleratia (si evident forta de inertie) sa fie infinita. Deoarece corpurile sunt totusi elastice,forta are valori finite, dar foarte mari.

6.3.2. Legea parabolica

Legile de miscare au, în acest caz, forma:

ctCa

CCv

CC2

Cs

1

21

32

2

1

==

+ϕ⋅=

+ϕ⋅+ϕ

⋅=

(6.39)

Diagramele sunt prezentate în figura 6.9

Figura 6.9

a/ω2v/ω

ϕh/2

s

O

h

h4ϕ

ϕ0ϕh ϕc

s

a/ω2v/ω

h

ϕ

ϕh ϕ0 ϕc

ϕ−

h4

2h

h4

ϕ

2h

h4

ϕ−

h / 2



77

Pentru

ϕ⋅

=⇒=⇒ϕ

=ϕ

==⇒=ϕ

=⇒=ϕϕ

≤ϕ≤

2h

1h

23

h

h4C

2

hs

2

0CC0d

ds;0s0

20 (6.40)

Rezulta ecuatiile de miscare:

2h

2

2h

22h

h4a

h4v

h2s

ϕω⋅⋅

=

ϕ⋅ϕ

ω⋅⋅=

ϕ⋅ϕ⋅

=

(6.41)

Pentru

=ϕ⋅

−=ϕ⋅

−=⇒=ϕ

=⇒ϕ=ϕ

=⇒ϕ

=ϕϕ≤ϕ≤

ϕ

hC;h4

C;h4

C0d

ds;hs

2

hs

22

3

h

22h

1h

h

hh

(6.42)

În acest caz ecuatiile, de miscare devin:

( )

( )

2h

2

h2h

2h2

h

h4a

h4v

h2hs

ϕω⋅⋅

−=

ϕ−ϕ⋅ϕ

ω⋅⋅=

ϕ−ϕ⋅ϕ⋅

−=

(6.43)

Calcule asemanatoare se fac si pentru cursa descendenta; acceleratia are numaidiscontinuitati finite.

6.3.3. Legea cosinusoidala

Diagramele caracteristice sunt prezentate în figura 6.10.Legile de miscare au forma:

ϕ⋅ϕπ⋅ω⋅

ϕπ⋅=

ϕπ⋅=

ϕ⋅ϕπ

⋅ω⋅ϕπ

⋅=ϕ⋅ϕπ

⋅=

ϕ⋅

ϕπ

−⋅=

h

2

2h

2

hmax

hhhmax

h

cos2hcosaa

sin2

hsinvv

cos12

hs

(6.44)



78

Figura 6.10

Figura 6.11

6.3.4. Legea sinusoidala

Diagramele caracteristice sunt prezentate în figura 6.11 iar ecuatiile de miscare sunturmatoarele:

a/ω2v/ω

ϕh/2

s

O

hf 2

hp

ϕ0ϕh ϕc

s

a/ω2

v/ω

h

ϕ

ϕh ϕ0 ϕc

hf 2

hp−

2h

2

f 2

hp

2h

2

f 2

hp−

h / 2

ϕh/2

sv/ω

a/ω2

O

hf

h2

ϕ0ϕh ϕc

s

a/ω2

v/ω

h

ϕ

ϕh ϕ0 ϕc

hf

h2−

2hf

hp2

2h

2

f

hp2−

h / 2



79

ϕ⋅ϕ

π⋅⋅

ϕω⋅⋅π⋅

=

ϕ⋅

ϕπ⋅

−⋅ϕ

ω⋅=

ϕ⋅

ϕπ⋅

⋅π⋅

−ϕϕ

⋅=

h2h

2

hh

hh

2sin

h2a

2cos1

hv

2sin

21

hs

(6.45)

6.4. Alegerea legii de miscare a tachetului

Legea de miscare a tachetului este data de o necesitate tehnologica sau functionala.Exista însa restrictii privind miscarea tachetului, stiut fiind faptul ca în miscarea accelerata aacestuia apar forte de inertie care, fie conduc la încarcarea exagerata a cuplei, fie fac catachetul sa se desprinda de cama, necesitând un sistem elastic dimensionat corespunzatorpentru mentinerea contactului cu aceasta.

Notând masa tachetului cu mt si luând ca referinta forta maxima de inertiecorespunzatoare camei sinusoidale

2h

2t

smaxi

h2mF

ϕ⋅π⋅

⋅ω⋅= (6.46)

se pot exprima fortele de inertie pentru cazul altor tipuri de came:

maxtsmaxi amF ⋅= (6.47)

În tabelul 6.1 sunt prezentate câteva legi de variatie pentru acceleratia tachetului, cufortele de inertie maxime corespunzatoare.

La alegerea legii de miscare a tachetului trebuie evitate acele cazuri care conduc laforte de inertie mari.

Se observa ca legea de variatie cosinusoidala prezinta avantaje deosebite din punct devedere dinamic.



80

Tabelul 6.1

Legea de variatie aacceleratiei

Diagrama de variatie aacceleratiei

Forta de inersie maxima în tachet s

maxi

maxi

F

F

Uniforma (cama cu

profil parabolic).ct

d

sd2

2

=ϕ

c2

2h

pmaxi mh8F ⋅ω⋅

ϕ⋅= 1.27

Sinusoidala

ϕ⋅=ϕ 212

2

CsinCd

sd c

22h

smaxi m

h2F ⋅ω⋅

ϕ⋅π⋅

= 1

Cosinusoidala

ϕ⋅=ϕ 212

2

CcosCd

sd

c

2

2h

2c

maxi

m2

hF ⋅ω⋅

ϕ⋅

⋅π= 0,785

Liniar descrescatoarec

22h

ldmaxi m

h6F ⋅ω⋅

ϕ⋅

= 0,955

Trapezoidalac

22h

tmaxi m

3

h16F ⋅ω⋅

ϕ⋅⋅

= 0,955

Trapezoidalaracordata cu

sinusoida c2

2h

txmaxi m

h887,4F ⋅ω⋅

ϕ⋅= 0,778

Variatie liniara atachetului

a = 0∞→teoretic

maxiF ∞

a

ϕ ϕh

aϕ

ϕh

ϕ

ϕh

a

ϕh

aϕ

aϕ

ϕh

aϕ

ϕh

aϕ



81

7. Transmisii planetare si diferentiale

7.1. Trenuri de angrenare cu axe fixe

În constructia de masini angrenajele se monteaza în cascada (figura 7.1.a), în serie(figura 7.1.b) sau mixt (figura 7.1.c) formând trenuri de angrenaje ordinare. Rotile dintatecomponente pot fi cilindrice (figura 7.1) sau conice (figura 7.2).

Se defineste raportul de transmitere al unui angrenaj ordinar, compus din doua roti, cu

numerele de dinti zl si z2 si având vitezele unghiulare de intrare - ωl si respectiv de iesire - ω2,ca fiind:

1

2

2

112 z

zi =

ωω

−= (7.1)



Pentru un agrenaj cilindric exterior se considera zl>0 si z2>0 prin conventie, rezultândca sensul vitezei unghiulare de iesire este diferit de cel al vitezei unghiulare de intrare(figura 7.3.a).

1 23

2'

(m-1)m

1 2 m

1

2

32' 4

53'

1

2

2'

3

1

2

2'

3

1

2

3



82

Daca angrenajul este cilindric interior se considera, prin conventie, z1>0 si z2<0; din(7.1) rezulta ca sensul vitezei unghiulare de iesire este acelasi cu cel al vitezei unghiulare deintrare (figura 7.3.b).

Facem observatia ca relatia (7.1) si conventiile de semne stabilite sunt diferite de celeutilizate pâna în prezent în literatura de specialitate. Pentru angrenaje conice semnul (-) din

(7.1) nu are relevanta asa încât aceasta se va citi (+).


Raportul de transmitere pentru trenul din figura 7.1.a devine, pe baza definitiei (7.1):

( )1m

m

2

3

1

21p

m

1m

3

2

2

1

m

1m1 z

z...

z

z

z

z1...i

−

−− ⋅⋅⋅⋅−=

ωω

−⋅⋅

ωω

−⋅

ωω

−=ωω

−=

( )

1

m1pm1 z

z1i ⋅−= −

(7.2)

În (7.2) exponentul p reprezinta numarul contactelor dintre danturile exterioare aletransmisiei. Daca numarul p este par rezulta i1m < 0, ceea ce inseamna ca arborele de iesire seroteste în acelasi sens cu cel de intrare; daca p este impar, i1m > 0, sensurile de rotatie ale celordoi arbori fiind diferite. Relatia (7.2) poate fi aplicata si trenului din figura 7.1.b; pentru trenuldin figura 7.1.c - se va deduce o relatie care sa respecte configuratia concreta.

Pentru trenurile conice sagetile (figura 7.2) sugereaza sensurile de rotatie iar raportulde trasnmitere este, in general

1m

m

2

3

1

2

m

1

m1 z

z

...z

z

z

z

i −⋅⋅⋅=ω

ω

=

(7.3)

7.2. Trenuri de angrenare planetare

Urmarind exemplele din figura 7.4 se observa ca, în acest caz, axele rotilor nu maisunt toate fixe.

La toate variantele, bratul h poarta roti numite sateliti, acestea fiind antrenate de roatacentrala (solara) motoare (cu zl dinti) si obligate sa ruleze si pe roata fixa centrala cu z2 dinti.În acest fel satelitul (figura 7.4.a) sau satelitii solidari (figura 7.4.b) au o miscare compusa: derotatie în jurul propriei axe si de revolutie în jurul axei de intrare si iesire.

La varianta din figura 7.4 c, miscarea planetara este tot o problema plana dar axelesunt concurente.

z1

z2

1ωr

2ωr

z1

z2

1ωr

2ωr



83



Pentru transmisiile planetare prezentate gradul de mobilitate se determina cu formulapentru mecanismele plane, vectorii vitezelor unghiulare fiind coplanari:

45 CC2n3M −⋅−⋅= (7.4)

în care: n = 3 (numarul elementelor mobile); C5 = 3 (numarul cuplelor de clasa a V-a); C4 = 2(numarul cuplelor de clasa a IV-a, egal cu numarul contactelor de tip angrenaj). Din (7.4)

rezulta M=l, mecanismul fiind desmodrom.Exista si mecanisme (de exemplu cele din figura 7.5.a, b, c) la care exista o singuramarime de intrare (ωl), pentru un singur element motor, la iesire regasindu-se doua marimi(ω2 si ωh) cu sensuri oarecare. Pentru aceste cazuri: n = 4; C5 = 4; C4 = 2, rezultând gradul demobilitate M = 2. Mecanismele respective sunt denumite diferentiale, pentru ca marimea deintrare (ω1) "se divide".

Urmarind figurile 7.4.a si b, se constata ca aceste mecanisme planetare provin dinmecanismele diferentiale din figurile 7.5.a si b daca, la acestea din urma se aplica întreguluisistem respectiv o viteza unghiulara ω = -ωh.

Se poate afirma ca din punct de vedere cinematic mecanismele diferentiale si celeplanetare sunt echivalente.

z1

z2

1ωr

ω2 = 0

hωr

z''s

z1

z2

1ωr

ω2 = 0

z's

hωr

h

z''ss

ωr

z1

z2

1ωr

ω2 = 0

zs

S

hωr

h

z1

z2

1ωr

zs

S

hωr

2ωr

z1

z2

1ω

r

z's

hωr

h

z''ssω

r

2ωr

z1

z2

1ωr

z's

hωr

z''s

2ωr



84

7.3. Raportul de transmitere al mecanismelor planetare

Urmarind, spre exemplu schemele din figura 7.4 se poate scrie, în general :

hh11 ω+ω=ω

rrr

si hh22 ω+ω=ω

rrr

în care: 1ωr

si 2ωr

sunt vitezele unghiulare absolute ale elementelor centrale iar h1ω

r

si h2ω

r

suntvitezele unghiulare relative ale elementelor centrale în raport cu elementul h considerat fix.Termenul h

1ωr

se citeste astfel: "viteza unghiulara a elementului 1 când elementul h este fix";analog pentru elementul 2 etc. Litera sau cifra care apare ca exponent nu este deci unexponent. S-a facut apel la metoda suprapunerii efectelor conform careia, aplicând întreguluisistem o miscare cu (−ωh), relatiile cinematice relative dintre componentele sistemului nu seschimba. Raportul de transmitere i12, exprimând vitezele unghiulare ale rotilor centrale 1 si 2,ramâne acelasi si în cazul blocarii elementului h. Angrenajul devine astfel ordinar, iar raportulde transmitere are forma:

h2

h1h2

h1h

12iω−ωω−ω

−=ωω

−= (7.5)

Relatia (7.5) este cunoscuta sub numele de formula lui R. Willis.În cazul mecanismului din figura 7.4.a se observa ca ω2=0, relatia (7.5) devenind:

1ih

1

h

h1h12 −

ωω

=ω−ω−ω

−= (7.6)

cum

h

12h1transmisie ii

ωω

−== (7.7)

si

( ) ( ) h2s

hs1

2

s

s

1

s

s

2

1h12 11i ω⋅ω⋅−=

ωω

−⋅

ωω

−⋅−=ωω

⋅ωω

−= (7.8)

rezulta:

( )1

2

s

2

1

sh12 z

z

z

z

z

z1i −=⋅⋅−= (7.9)

Din (7.6), (7.7) si (7.9) se obtine în final :

( )h12

2h1 i1i +−= (7.10)

1z

zi

1

22h1 −= (7.11)



85

Conform conventiei, z2 este un numar negativ. Pentru zl = 20 dinti si z2 = − 200 dedinti, de exemplu, din (7.11) rezulta 11i 2

h1 −= . Semnul (−) semnifica faptul ca 1ωr

si hωr

auacelasi sens.

În cazul mecanismului din figura 7.4.b relatiile (7.6), (7.7) si (7.10) ramân adevarate.În plus,

( ) ( )2s

2

1

1s

2

s

s

1

2

1h12 z

z

z

z11i ⋅⋅−=

ωω

−⋅

ωω

−⋅−=ωω

−= (7.12)

Din (7.6), (7.7) si (7.12) rezulta:

( )h12

2h1 i1i +−= (7.13)

1z

z

z

zi

2s

2

1

1s2h1 −⋅= (7.14)

Numarul z2 este considerat negativ. Exemplificând, pentru: zl = 20, zs1 = 20, zs2 = 30 siz2 = - 300, se obtine 11i 2

h1 −= . Se remarca si în acest caz identitatea sensurilor vectorilor 1ωr

si hωr

.Pentru alte configuratii de mecanisme planetare expresia raportului de transmitere se

deduce corespunzator.

7.4. Calculul energetic al mecanismelor planetare

Se considera ca, în general, mecanismele planetare (în variantele abordate) sunt

caracterizate de marimile:1ω

r

, 2ωr

si hωr

- viteze unghiulare;

1Mr

, 2Mr

si hMr

- momente de torsiune;

111 MPr

r

⋅ω= , 222 MPr

r

⋅ω= si hhh MPr

r

⋅ω= - puteri .Tinând seama de sensul vitezelor unghiulare si al momentelor, puterile pot fi pozitive

(motoare) sau negative (rezistente).Mecanismele analizate (figura 7.5.a si b), având toate elementele mobile, nu prezinta

nici un fel de legatura exterioara ceea ce înseamna ca se poate scrie ecuatia de echilibrucinetostatic

0MMM h21 =++rrr

(7.15)

Rotirea intregului mecanism cu hω−=ω , pentru a se obtine un mecanism planetar(figura 7.4.a sau b), presupune, necesitatea unei puteri suplimentare

( )h21hs MMMPrrr

r

++⋅ω= (7.16)

pe baza relatiei (7.15) rezulta Ps=0, ceea ce înseamna ca exista posibilitatea rotirii cu hω−=ω fara consum de putere.

Mecanismul planetar (figura 7.4 a si b), rezultat deci din mecanismul diferential(figura 7.5.a si b), este echivalent cu acesta din punct de vedere cinematic. Pentru o totalaechivalare este necesar sa actioneze în mecanismul planetar si fortele existente în mecanismul



86

diferential: fortele de interactiune (provenind din momentele de torsiune) dintre roti si fortelemasice (inertiale). Prin blocarea elementului h, fortele de inertie care splicitau satelitii disparsi actiunea acestora:

2hsi emF ω⋅⋅= (7.17)

ms este masa satelitului si e reprezinta bratul portsatelitului .Puterile elementelor centrale devin, prin blocarea elementului h:

( )

( )

( ) 0MP

0P;MP

0P;MP

hhh

hh

hh

h22h2

h2

h11h1

h1

=⋅ω−ω=

<⋅ω−ω=

>⋅ω−ω=

r

rr

r

rr

r

rr

(7.18)

Pentru echivalenta este necesar sa existe si conditiile:

0P

P

h1

1

h1

1 >ω−ω

ω= si 0

P

P

h2

2

h2

2 >ω−ω

ω= (7.19)

adica elementele centrale sa-si pastreze functiile.Randamentul unei transmisii planetare are forma generala:

1

h2h11

h21h2

11

2hh

21

2h2

h1M

M

i

1

M

Mi

M

M

P

P⋅−=⋅−=

ω⋅ω⋅

==η (7.20)

pe baza relatiei (7.9) se deduce ca:

1

hh12

2h1 M

M

i1

1 ⋅+

=η (7.21)

Se mai poate scrie:

1

2h121

2h21h

11

h22

h1

h2h

12M

M

i

1

M

Mi

M

M

P

P⋅−=⋅−=

ω⋅ω⋅

==η (7.22)

Din (7.15), (7.21) si (7.22) rezulta:

( ) 1h12

2h1h Mi1M ⋅+⋅η= (7.23)

1h12

2h11

h12

h122 Mi11MiM ⋅+η+−=⋅⋅η−= (7.24)

Revenind la relatia (7.15), utilizând (7.23) si (7.24), se scrie

( ) 0Mi1MiM 1h12

2h11

h12

h121 =⋅+η+⋅⋅η−

de unde gasim:



87

h12

h12

h123

h1i1

1i

++⋅η

=η (7.25)

Relatiile (7.23), (7.24) si (7.25) permit trecerea la calculul de rezistenta daca se

concretizeazah

12η .Daca, de exemplu, numarul de sateliti este S=l, atunci 2h12 98,0=η ; exponentul 2

indica numarul contactelor ordinare pe traseul zl-zs-z2 (figura. 7.3.a), respectiv pe traseul z1-zs1 si zs2–z2 (figura 7.3.b). Pentru S = 2, 4h

12 98,0=η ; pentru S=3 (caz uzual) 6h12 98,0=η etc.

În vederea calculului de rezistenta, la transmisiile planetare pe care le-am analizat maisus, este necesara si cunoasterea momentelor pe axele satelitilor. Astfel, pentru varianta dinfigura 7.4. a momentul de torsiune pe axa satelitului zs este:

1hs1

hs1s MiM ⋅⋅η= (7.26)

în care hs1η este randamentul total al angrenajelor ordinare interpuse între z1 si z2. Lapredimensionare se va lua sh

s1 98,0=η , S fiind numarul satelitilor iar 11shs1 zzi = .

Dupa dimensionare, este posibila determinarea randamentului unui angrenaj ordinarcu formula:

β⋅⋅

+ε⋅µ⋅π

−=ηα

cosf 2

z

1

z

1

1 21 (7.27)

în care: coeficientul de frecare are valorile µ = 0,08 … 0,10, pentru angrenaje normale caexecutie si µ = 0,04. . .0,07 , pentru angrenaje durificate, rectificate si unse cu ulei aditivat; εa este gradul de acoperire frontal, pentru dantura dreapta.

Coeficientul de viteza f are valoarea 1 pentru viteze periferice v ≤ 15 m/s si f = 2 … 3,pentru v > 15 m/s (roti de mare viteza).

Dupa cum se va vedea mai jos nu se utilizeaza, de obicei, transmisii planetare cu unsingur satelit ci cu doi sau mai multi, pentru echilibrare.

La o executie perfecta si montaj ireprosabil fiecare flux de putere (prin fiecare satelit)ar trebui sa fie o fractiune 1/S din puterea transmisa.

În fapt, puterea de calcul si respectiv momentul de calcul sunt date de relatiilegenerice:

S

MkMsi

S

PkP t

stcsc ⋅=⋅= (7.28)

în care ks este coeficientul supraunitar al repartizarii neuniforme a sarcinii pe cei S sateliti aitransmisiei.

În tabelul 7.1 sunt date momentele de torsiune de calcul pentru angrenajele ordinarecare trebuie dimensionate, la variantele de transmisie planetara discutate.

Coeficientul ks are valori diferite pentru calculul solicitarii de contact (ksH) si pentrucalculul la încovoiere la piciorul dintelui (ksf ) dupa cum se precizeaza în tabelul 15.35 din

[12]. Pentru predimensionarea distantelordintre axe si pentru predimensionarea modululuise considera ksH =ksf = l.



88

Tabelul 7.1Angrenajul Momentul de torsiune de calcul Mtc

z1 −zsS

Mk 1

s ⋅ Varianta V1 (figura 7.4a)

zs −z2 sh

s11

shs1

1s 98,0;z

z

S

Mk =η⋅η⋅⋅

z1 −zs' S

Mk 1

s ⋅ Varianta V1 (figura 7.4b)

z s'' −z2 shs1

2

shs1

1s 98,0;

z

z

S

Mk =η⋅η⋅⋅ ′′

Pentru o cât mai uniforma repartitie a puterii între sateliti se utilizeaza solutiiconstructive diverse: fixarea elastica a unei roti centrale (solutie aplicata în cazul utilizarii atrei sau mai multi sateliti si care permite autocentrarea), rezemarea elastica a satelitilor pe

axele lor si altele.În constructii mai recente se remarca tendinta libertatii de autocentrare la rotilecentrale cu dantura interioara. Aceasta solutie este justificata prin faptul ca aceste roticonstituie elementul fix al transmisiei planetare, astfel ca descentrarea acestei roti siautocentrarea dupa sateliti nu prezinta pericolul aparitiei maselor excentrice în miscare derotatie.

O solutie schematic prezentata, prin care este permisa autocentrarea rotii centralemobile este prezentata în figura 7.6. În fapt cuplajul cardanic este materializat printr-un cuplajdintat care are avantajul compactitatii.

Figura 7.6

7.5. Conditii geometrice impuse transmisiilor planetare

Pentru exemplificare vor fi analizate doar variantele din figurile 66.a si 66.b, denumitepe scurt V1 si V2.

7.5.1. Conditia de coaxialitate

Daca, în cazul general, dantura este înclinata este evident ca pentru a exista aliniereaarborilor de intrare si iesire trebuie indeplinita conditia de coaxialitate:



89

a) Varianta Vl

( ) ( )

β⋅+⋅

=β⋅

+cos2

zzm

cos2

zzm 2sns1n (7.29)

adica 2ss1 aa = , sau 2ss1 aa −= , ceea ce conduce la relatia

0zz2z 2s1 =+⋅+ (7.30)

în cazul danturii fara deplasare de profil. Daca se accepta roti cu deplasare de profil conditia(7.30) se poate extinde:

2zz2z 2s1 ≤+⋅+ (7.31)

În relatiile de mai sus: mn – modul normal si β – unghiul de înclinare; se reamintesteca z2 este un numar negativ, ceea ce face ca formal as2 sa fie de asemenea un numar negativ.

b) Varianta V2

Notând cu β=β=β 2ss1 21unghiul de înclinare a danturii, acelasi pentru ambele trepte,

si mnI si mnII modulele respective, distantele dintre axe apar sub forma:

β⋅

+⋅=

β⋅

+=

cos2

zzma;

cos2

zzma

2snII

2s

s1nI

s12

2

1

1(7.32)

Notând km = mnII /mnI si scriind conditia2ss1 21

aa = , sau2ss1 21

aa −= , se ajunge la

conditia de coaxialitate pentru danturi fara deplasare de profil:

) 0zzkzz 2sms1 21=+⋅++ (7.33)

sau

( ) 2zzkzz 2sms1 21≤+⋅++ (7.34)

la danturi cu deplasare de profil.

Pentru aceasta varianta apare ca necesara si conditia de gabarit egalizat (vezifigura 7.4.b):

2

zmz

2

zm 2

nIIs1

nI 1⋅−=

+⋅ (7.35)

adica

0zkz2z 2ms1 1=⋅+⋅+ (7.36)



90

7.5.2. Conditia de montaj

Conditia se refera la posibilitatea angrenarii simultane a unui satelit (sau a maimultora) cu ambele roti centrale. Conditia propriu-zisa se exprima diferit in functie devarianta constructiva concreta.

a) Varianta V1 Satelitul s este montat (figura 7.7) si angreneaza cu rotile centrase 1 si 2. Daca seconsidera roata centrala 2 fixa, iar rotii 1 i se da o miscare de rotatie, se va roti si bratul h.

Figura 7.7

Unghiul minim ψ cu care trebuie rotita roata 1, pentru ca sa fie posibila o nouamontare teoretica a unui nou satelit, în aceesi pozitie ca primul, este unghiul pentru carepozitia relativa dintre rotile centrale 1 si 2 rezulta aparent nemodificata. Acest unghi estedesigur egal cu pasul unghiular ψ al rotii 1. Înseamna ca unghiul minim pentru doua montariconsecutive de sateliti este unghiul f 0, cu care bratul portsatelit se roteste atunci când roatacentrala 1 se roteste cu un unghi 11 z2 π⋅=χ=Ψ . Tinând seama de raportul de transmitererezulta (utilizând relatia 7.11):

21

1

22h1

0 zz

2

1z

zi −π⋅

=

−−

Ψ=

−Ψ

=ϕ (7.37)

cum 0N ϕ⋅=ϕ , N fiind un intreg si S2 π⋅=ϕ , S fiind numarul satelitilor, se gaseste:

sNzz 21 ⋅=− (7.38)

b) Varianta V2 Se demonstreaza [2] o relatie în care sunt implicate toate numerele de dinti si numarul

satelitilor S:

( )21

12

ss

s2s1zzN

S

zzzz−⋅=

⋅−⋅ (7.39)

χ2

ϕ ϕ1

χ1

1

2

s



91

7.5.3. Conditia de vecinatate

La utilizarea mai multor sateliti (S > 2) exista riscu1 ca doi sate1iti vecini sa se atinga între ei, montajul ti functionarea fiind imposibi1e.

Figura 7.8

Din figura 7.8 apare evidenta conditia, pentru varianta V1:

( )( )

+⋅+

β⋅>

π⋅

β⋅+⋅

⋅ ss

ns1n x12

cos

zm

Ssin

cos2

zzm2 (7.40)

S-a notat cu xs deplasarea specifica de profil a satelitului. Conditia (7.40) devine:

( )sss1 x12

cos

z

Ssin

cos

zz+⋅+

β>

π⋅

β+

(7.41)

Pentru varianta V2 conditia de vecinatate este dubla:

( )1

11

s

ss1x12

cos

z

Ssin

cos

zz+⋅+

β>

π⋅

β

+(7.42)

( )2

22

s

ss2x12

cos

z

Ssin

cos

zz+⋅+

β>

π⋅

β

+− (7.43)

Cu xs1 si xs2, s-au notat deplasarile specifice de profil ale satelitilor.Pentru determinarea numerelor de dinti, se mai impun urmatoarele conditii:

- unghiul de înclinare al danturii β = 10° pentru roti din materiale de îmbunatatire si β =12° pentru roti din materiale durificate;

- z1 = 6…32; s = 2…5; z2 < − 40; −(z2 +zs'') > 10.

as

> 0

s(zs)

1(z1)

das

das

s

p2f

⋅=

a 1 s



92

8. Bibliografie

1. Resetov, L., Self-aligning mechanisms, Mir Publishers, Moscow,1986.

2. Dranga, M., Mecanisme si organe de masini, Instititutul Politehnic Bucuresti,1983.

3. Antonescu, P., Mecanisme. Calculul structural si cinematic, Institutul PolitehnicBucuresti, 1979.

4. Manea, Gh., Organe de masini, Vol.I, Editura tehnica, Bucuresti, 1970.

5. Manolescu, N.I. s.a., Teoria mecanismelor si a masinilor, Editura didactica sipedagogica, Bucuresti, 1972.

6. Movnin, M., Goltziker, D., Machine design, Mir Publishers, Moskow, 1975.7. Pelecudi, C., Dranga, M., Dinamica masinilor, Institutul Politehnic Bucuresti,

1980.

8. Voinea, R., Mecanica, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1975.9. Dobre, G., Mecanisme, Universitatea Politehnica Bucuresti, 1993,

10. Handra-Luca, s.a. Introducere în teoria mecanismelor, Vol. I.Cluj-Napoca, Editura

Dacia, 1983.11. Demian, T. s.a. Mecanisme de mecanica fina, Bucuresti, Editura didactica si

pedagogica, 1982.12. Pelecudi, Chr. s.a. Mecanisme, Bucuresti, Editura didactica si pedagogica, 1985.

13. Pelecudi, Chr. s.a. Algoritmi si programe pentru analiza mecanismelor, Bucuresti,Editura tehnica, 1985.

14. Hamilton, M.H. si Reinholtz, C.F. Mechanisms and Dynamics of Maschinery,

John Wiley and Sons, 1987.15. Doughty, S. Mechanics of Machines, John Wiley and Sons, 1987.16. Angeles, J. si Lopez-Cajun, C.S. Optimization of Cam Mechanisms, Kluwer

Academic Publishers, 1991.

mecanisme_2

Documents

Transcript of mecanisme_2