Mécanique du solide.doc

7/21/2019 Mcanique du solide.doc

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Mcanique du solide

Notions simples de Mcanique du solide

Plan1. Dfinition d'un solide.

Degrs de libert

2. Distribution des vitesses

dans un solide

3. Composition desmouvements

. !lments cintiques d'unsolide

". #orces s'e$er%ant sur unsolide

&. Dnamique du solide

(es illustrations et animations de

)enevi*ve +ulloue

Angles d'Euler

Mouvement de prcession

Composition des mouvements (1)



Roulement sans glissement (1)

Roulement sans glissement (2)Roulement sans glissement (3)

CABRI

1. Dfinition d,un solide. Degrs de libert

n solide est un corps dont les di!!rents points restent " des distances constantes les uns des

autres au cours du mouvement#

n solide pouvant se mouvoir li$rement a sa position dtermine par la donne de si%

param&tres la position dun point (trois coordonnes) et trois angles ui* dans le cas gnral*sont les angles dEuler et* plus souvent* des angles adapts au solide (par e%emple pour un

$ateau* des angles correspondant au c+angement de cap* au tangage et au roulis)#

,n dit ue* dans le cas le plus gnral de mouvement* le solide poss&de si% degrs de li$ert#

-es liaisons peuvent rduire les mouvements possi$les et* en consuence* diminuer le

nom$re de degrs de li$ert . ainsi un solide en rotation autour dun a%e !i%e a un degr de

li$ert#

2. Distribution des vitesses dans un solide

2.1. Mouvements particuliers

+ranslation " c+aue instant* tous les points dun solide ont m/me vitesse#

uelues soientAetBappartenant au solide#
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#1http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#1http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#2http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#2http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#3http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#3http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#4http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#4http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#5http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#5http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#6http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/index.html#Menu%20principalhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/index.html#Menu%20principalhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Euler.fighttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Compo_mvt1.fighttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Compo_mvt2.fighttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Compo_mvt3.fighttp://www-cabri.imag.fr/index.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Epicycloide.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Epicycloide.fighttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Hypocycloide.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Hypocycloide.fighttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Cycloide.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Cycloide.fighttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Compo_mvt3.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Compo_mvt3.fighttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Compo_mvt2.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Compo_mvt2.fighttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Compo_mvt1.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Compo_mvt1.fighttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Precession.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Precession.fighttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Euler.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Euler.fighttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Compo_mvt3.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#2http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#2http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#3http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#3http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#4http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#4http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#5http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#5http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#6http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/index.html#Menu%20principalhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/index.html#Menu%20principalhttp://www-cabri.imag.fr/index.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#1http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/13mesol/13mesol.htm#1


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-otation autour d,un a$e fi$e 0intensit de la vitesse

du point M appartenant au solide* situ " la distance

de la%e de rotation* est gal " # a

direction est dans le plan perpendiculaire " la%e de rotation*

tangentiellement au cercle de raon OM#

En introduisant un vecteur rotation o est le

vecteur unitaire de la%e de rotation* on peut crire

-ans cette derni&re relation* on remaruera ue le point Oest uelconue sur la%e de

rotation.

2.2. Mouvement gnral d,un solide

oient deu% pointsAetBuelconues dun solide#

Cette derni&re relation est caractristiue dun torseur( ensem$le dun c+amp de moments et

dun vecteur rsultant) et le c+amp de vitesse est donn par la relation

-emarques sur la distribution des vitesses dans un solide

" c+aue instant la vitesse dun point uelconue et le vecteur rotation * soient

si% composantes* d!inissent par!aitement le c+amp de vitesses dans le solide

soient deu% pointsIetJde la%e instantan de rotation " un instant donn* cest " dire

de la%e support de * lcriture du c+amp de vitesse pour ces deu% points donne

0es points de la%e instantan de rotation sont en translation#

0e mouvement gnral* " un instant donn* dun solide est la superposition dune

translation suivant la%e instantan de rotation et dune rotation autour de cet a%e#

Le champ de vitesses dans un solide est un champ de moments dont le vecteur rsultant est le

vecteur rotation . A chaque instant, le mouvement dans un solide se dcompose en un

mouvement de translation de direction le vecteur rotation et en une rotation autour de cette

direction.

3. Composition des mouvements


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En Mcaniue du solide* la composition des mouvements prend une importance particuli&re*

le r!rentiel relati! a pour origine un point particulier Gue nous d!inirons comme tant le

centre de masseet les a%es Gxyrespecteront les ventuelles smtries du solide#

0e mouvement de tout point A du solide peut

/tre anals dans le r!rentiel

(mouvement absolu) dorigine ou dans le

r!rentiel (mouvement relatif) dorigine

G#

Les r!les de ces deux r"rentiels sont

interchan#ea$les en cinmatique, cependant

dans le cadre de la dynamique sera

#alilen#

. .

n point A* co4ncidant au temps tavec le point A* !i%e dans le r!rentiel a un

mouvement* appel mouvement d,entranement* dans le r!rentiel

0a vitesse a$solue (dans le r!rentiel ) est la somme de la vitesse dentra5nement et de la

vitesse relative (dans le r!rentiel )

0acclration a$solue est la somme de lacclration dentra5nement* de lacclration

relative et dun terme appel acclration de Coriolis* rsultat dun couplage entre le

mouvement dentra5nement et le mouvement relati!#

/nterprtation du terme de Coriolis en termes de c0amp de vitesses dans un solide

i nous remaruons ue dans le r!rentiel * les points ,* I* 6* 7 sont " distances

constantes et peuvent /tre considrs comme des points dun m/me solide* alors on peut

crire


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. . et o reprsente le vecteur

rotation du mouvement dentra5nement (cest " dire de par rapport " )

prations de drivation

oit un vecteur uelconue

0e r!rentiel de drivation doit /tre prcis# 8ar d!aut* il s

9agit du r!rentiel #

Composition des vitesses angulaires

oient deu% points uelconuesAetBdu solide pour lesuels nous crivons les vitesses

a$solues* dentra5nement et relatives#

. .

cette relation nous montre ue lon peut dcomposer un mouvement de

rotation en rotations autour da%es connus#

(es angles d,!uler

Ils permettent la : trans!ormation : du r!rentiel O%&'en r!rentiel Oxy* parall&le " Gxy#

0es angles sont les trois angles dEuler# Ils portent

des noms lis " leur application en Astronomie est

langle de prcession* langle de nutation et langle

de rotation propre#

,n a souvent $esoin dcrire le vecteur rotation dans

la $ase du r!rentiel ;


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. !lments cintiques d,un solide

n solide peut /tre constitu par une distri$ution discr&te de masses ponctuelles ou par une

distri$ution continue de masses# -ans ce dernier cas* on d!init la masse volumiue

o dmest la masse contenue dans le volume lmentaire d(#

.1. Masse. Centre de masse

0a masse du solide est d!inie par * le centre de masse (ou centre

d'inerrtie) par ()point uelconue)

.2. +orseur cintique

-sultante cintique

0a rsultante cintiue (ou uantit de mouvement total) est gale " la uantit de mouvement

uaurait le centre de masse a!!ect de toute la masse#

Moment cintique

Il dcoule* par application directe des d!initions* ue relation appele

relation de trans!ert du torseurentre les points )et*#

Moment cintique par rapport un a$e

oit le vecteur unitaire de la%e et+un point de cet a%e#

8ar d!inition* le moment cintiue par rapport la%e est gal " #

,n montre* par application directe des d!initions* ue ce rsultat est indpendant du point +

appartenant " # Ainsi* siest un autre point de ,

.3. +orseur dnamique


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-sultante dnamique

Moment dnamique

Il dcoule* par application directe des d!initions* ue relationde trans!ert

du torseurentre les points )et*#

.. +orseur dnamique et torseur cintique

Il e%iste des cas o la drive du moment cintiue est gale au moment dnamiue

- )!i%e (gnralement )

> ou

.". !nergie cintique

.&. +0or*mes de oenig

.&.1 -frentiel barcentrique

,n appelle r!rentiel $arcentriue un r!rentiel dorigine le centre de masse Gen

translation par rapport au r!rentiel

8ar suite* o # -e m/me*

8ar d!inition du centre de masse


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0a rsultante cintiue est nulle dans le r!rentiel $arcentriue#

.&.2. Premier t0or*me de oenig

o (dmonstration application directe

des d!initions)

0e moment cintiue dun solide est gal " la somme du moment cintiue du centre de

masse a!!ect de toute la masse du solide et du moment cintiue du solide par rapport au

centre de masse valu dans le r!rentiel $arcentriue#

.&.3. Deu$i*me t0or*me de oenig

(dmonstration application directe des d!initions)

0nergie cintiue dun solide est gale " la somme de lnergie cintiue du centre de masse

a!!ect de toute la masse du solide et de lnergie cintiue du solide correspondant " son

mouvement dans le r!rentiel $arcentriue#

.4. Cas particulier du solide en mouvement autour d,un a$e fi$e

.4.1. Moment cintique par rapport l,a$e

oit le vecteur unitaire de la%e * Oun point de la%e etAun point uelconue du solide#

o est la distance deA" la%e .

est appel le moment d,inertiedu solide par rapport " la%e .

.4.2. +0or*me d,5ugens 8ar le centre de masse G* on trace un a%e parall&le " #

et/sont les intersections des deu% a%es avec un plan

perpendiculaire " ces a%es passant parA#


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o est le moment

dinertie par rapport " la%e parall&le " passant par Get la distance entre les deu%

a%es#Ce rsultat constitue le t+or&me d?ugens* souvent utilis pour calculer des moments

dinertie#

Le calcul des moments d/inertie pour des $arres, des cylindres ou des sph0res est 1 conna2tre.

Le lecteur doit savoir dmontrer que les moments d/inertie 3

- d/une ti#e homo#0ne de lon#ueur l, de masse m, de section n#li#ea$le, par rapport 1 un

axe perpendiculaire 1 la direction de la ti#e passant par son centre de masse

- d/un cylindre plein homo#0ne, de rayon 4, de masse m, par rapport 1 son axe de rvolution

- d/une sph0re pleine homo#0ne, de rayon 4, de masse m, par rapport 1 un diam0tre

.4.3. Moment dnamique par rapport l,a$e

et

8ar suite*

.4.. !nergie cintique

.6. 7olide en rotation autour d,un point fi$e 8ou mouvement du solide dans le

rfrentiel barcentrique9 ) : ;. prateur d,inertie.


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.6.1. Moment cintique par rapport en

oit A un point uelconue du solide#

i dans la $ase cartsienne +a$ituelle* on crit

. .

on o$tient * et

avec . .

. .

Ces relations peuvent /tre crites sous !orme matricielle#

soit aussi

.6.2. +enseur d,inertie

0a matrice !ait correspondre " tout vecteur un vecteur et ceci indpendamment du

rep&re c+oisi# Cette matrice poss&de un caract&re gomtriue intrins&ue ui impliue des

proprits $ien particuli&res de trans!ormation des ses coe!!icients (smtriues par rapport "

la diagonale) vis " vis dun c+angement de rep&re#

Cest pouruoi* on donne " le nom de tenseur dinertie# Il est appel tenseur central

dinertie si le point , co4ncide avec le centre de masse @#

ous pouvons appliuer les proprits du calcul

matriciel* en particulier la diagonalisation dans les

directions propres de la matrice appeles* par d!inition*

a%es principau% du solide#

0e tenseur est alors appel tenseur principal dinertie et tenseur central principal dinertie si le

point , co4ncide avec le centre de masse @#

-ans un certain nom$re de pro$l&mes simples* les a%es principau% sont !acilement repra$les

par ltude des smtries du solide#


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E%emples

enseur central principal pour un clindre

+omog&ne de masse m* de raon4* de +auteur

h* da%e de rvolution autour de la%e G#

.

enseur principal pour un cne +omog&ne de

masse m* de raon " la $ase4* de +auteur h*

de sommet ,* de rvolution autour de la%e

O#

.

enseur central principal pour une sp+&re

+omog&ne de masse m* de raon4#

enseur central principal pour un ellipso4de

+omog&ne de masse m( )#

. .

.6.3. !nergie cintique

ous !orme matricielle* ce rsultat peut /tre crit o la matrice uniligne

est la matrice transpose de la matrice unicolonne #

.6.. Moment dnamique. !nergie cintique

si , est !i%e ou se con!ond avec le centre de masse @#

oit un r!rentiel dorigine , li au solide et dont les a%es co4ncident avec les a%es

principau%# ,n appelle les vecteurs unitaires de ces a%es#

0a vitesse angulaire du r!rentiel dans le r!rentiel a$solu se con!ond avec la

vitesse angulaire du mouvement dentra5nement


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.6.". Calcul du moment d,inertie par rapport un a$e quelconque. Calcul des produits

d,inertie.

ous imaginons un solide en rotation autour dun a%e de vecteur unitaire # , est

un point de cet a%e#

0orsue le tenseur dinertie nest pas rapport au% a%es principau%* ses composantes

comportent les produits dinertie# 8our dterminer ces termes* le plus simple est de

dterminer le tenseur principal dinertie puis de !aire un c+angement de rep&re#

oit d!ini dans des a%es principau% et d!ini dans un

rep&re uelconue#

oit la matrice rotation associe au c+angement de rep&re et

". #orces s,e$er%ant sur un solide

,utre les !orces de c+amp (pesanteur* gravitation* lectrostatiue)* interviendront les !orces

dues au% liaisonsui limitent les possi$ilits de mouvement du solide# Ces !orces constituent


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lensem$le des forces e$trieuresui se%ercent sur le solide#A ces !orces* il convient da=outer les forces intrieuresui assurent la co+sion du solide#

".1. C0amp de pesanteur uniforme

0e poidssera d!ini par

Moment des forces de pesanteur

".2. (iaison par contact direct entre deu$ solides

oitIle point de contact* " linstant t* entre les deu% solides

nots et #

,n d!init et #

Le lecteur pourra considrer que est mo$ile et est "ixe

5en "ait, seul le mouvement relati" intervient6#

0e mouvement de peut /tre un mouvement deglissement* de roulement(rotation autour de la%e 7de

vecteur unitaire du plan tangent au% deu% solides) etDou

de pivotement(rotation autour de la%e normal8de vecteur unitaire )#

,n appelle vitesse de glissement* le vecteur #

En a$sence de glissement* # 0e roulement sans glissementest un cas courant tr&s

important o cette condition sappliue#

(ois du frottement de Coulomb

A cause de limpntra$ilit des solides* le solide e%erce sur le solide une !orce

(videmment la rciproue est vraie* les deu% !orces o$issant au principe de l'action

et de la raction)#

0es asprits (rugosit des tats de sur!ace des solides) emp/c+ent les mouvements relati!s#

-une mani&re gnrale* les e!!ets des !orces ui sopposent au roulement ou au pivotement

sont !ai$les devant les e!!ets des !orces ui sopposent au glissement et nous ntudierons ue

ces derni&res#

0e solide e%erce sur le solide une !orce ui soppose au glissement#


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i * alors o"est le coefficient de frottementui dpend en particulier de

ltat des sur!aces en contact#

i * alors

@nralement on prend m/me si* dans la ralit est suprieur ""#

est lensem$le des ractions enIsur # Bien sur* sera lensem$le des ractions

enIsur #

+ravail des forces de frottement

0e travail des !orces de !rottement est ngati! ou nul# Il se traduit par des pertes dnergie

mcaniue#(e cas du roulement sans glissement correspond un travail des forces de frottementnul#

&. Dnamique du solide

0es !orces e%trieures sur un lment isont nots * celles intrieures (lindice9

signi!ie ue cette !orce est due " un lment interne9)#

,n se place dans un rfrentiel galilen dorigine , not .

-emarque


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en !aisant attention de ne compter uune seule !ois les

termes de la dou$le sommation#

Il a deu% points de vue

soit nous admettons le Principe de l,action et de la raction; les !orces dattraction universelle dues " la erre

> les !orces dattraction universelle dues au% autres sst&mes matriels du sst&me

solaire (dans la pratiue la lune et le oleil)#


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-ans le r!rentiel de Copernic* la relation !ondamentale de la dnamiue pour le centre de

masse C de la erre scrit #

o ? est la pro=ection de

M sur la%e de rotation de la erre#

Ainsi luation !ondamentale de la dnamiue dans le r!rentiel terrestre scrit

L:application de cette relation sera "aite dans le chapitre ; ?uelques phnom0nes de

dynamique terrestre ;

6. +0or*me de l'nergie cintique

En multipliant la relation !ondamentale de la dnamiue dans un r!rentiel galilen d'origine

, pour un o$=et ponctuel situ en M* par la uantit * on o$tient

la uantit de gauc+e peut /tre crite en posant

#

est appele nergie cintique* :p+siuement: ce terme veut dire u'un corps en

mouvement contient :uelue c+ose appele nergie cintiue* autre!ois :!orce vive:

ui lui permet* par e%emple* de continuer son mouvement* pendant un certain temps*

m/me dans un milieu ui s'opposerait " celui>ci#

Remarue la notion d'nergie cintiue se gnralise " des sst&mes plus comple%es

uun o$=et ponctuel (se reporter au c+apitre : otions simples de Mcaniue du

solide

on appelle travail lmentaire le produit scalaire de la !orce par son

dplacement lmentaire (sau! cas particulier important* le calcul du travail d'un

point initial " un point !inal dpend du tra=et entre les deu% points)

0a relation constitue le t0or*me de

l'nergie cintique

A. C0amps de forces en 8attraction universelle ou ne?tonienne et forcecoulombienne;

A.1. rigine. (oi d,attraction universelle


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0e raisonnement de eHton (1&me si&cle) a repos sur le mouvement (suppos circulaire) de

la 0une autour de la erre#

:0a erre e%erce sur la 0une une !orce attractive puisue celle>ci ne s'loigne pas d'elle* cette

!orce est de m/me tpe ue celles ui s'e%ercent sur erre dans la c+ute li$re:

ous reprenons le raisonnement de eHton pour les plan&tes du sst&me solaire ui* suivant

les lois de 7pler* e!!ectuent autour du soleil > des or$ites planes

> en !orme d'ellipse dont le oleil est l'un des !oers

> de telle sorte ue le raon vecteur $alaie* en un temps donn* une aire constante# Ceci se

traduit* en coordonnes polaires* par la relation o 7est la priode de

rvolution#

. . . .

. .

vecteur unitaire directement perpendiculaire "

mmasse de la plan&te 8

uelue soit la plan&te gravitant autour du oleil# Cette constante ne peut donc

dpendre ue des caractristiues du oleil#

Complt par d'autres rsultats e%primentau% (mouvement de la 0une autour de la erre*

tude du c+amp de pesanteur terrestre) ou par des mesures directes de l'attraction entre deu%

masses ponctuelles (pendule ENtvNs)* on ta$lit la loi d'attraction universelleentre deu%

o$=ets ponctuels de masses * situs en M et M'

o

A.2. #orce coulombienne

-epuis tr&s longtemps* on avait remaru ue les corps !rotts sont capa$les d'attirer des

o$=ets lgers#

i l'on !rotte avec un c+i!!on de laine une $aguette d'$onite et si on approc+e celle>ci "

uelues centim&tres de petits morceau% de papier* on verra ceu%>ci sauter vers l'$onite et se

coller " elle# 8our cette attraction o le corps attire des corps lgers* on dit u'il est lectris#uspendons une petite $alle de sureau par un !il de soie " une potence* touc+ons la $alle "


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l'aide d'une $aguette d'$onite lectrise* on s'apercevra aisment ue la $alle de sureau

devient capa$le d'attirer des corps lgers elle est devenue lectrise# 0'lectricit se transmet

par contact# ouc+ons une seconde $alle de sureau suspendue par la m/me $aguette et

rapproc+ons les deu% potences# ,n s'aperOoit ue les deu% $alles se repoussent !ortement#

ouc+ons une troisi&me $alle de sureau suspendue avec une $aguette de verre !rott et

approc+ons cette potence d'une potence portant une $alle lectrise " l'$onite cette !ois lesdeu% $alles s'attirent#

Il e%iste deu% sortes d'lectricit dites positiveet ngative# -es corps c+args d'lectricit dem/me nature se repoussent* deu% corps c+args d'lectricit de nature di!!rente s'attirent .

@rPce " la mise au point d'un appareillage appel : $alance de Coulom$:* celui>ci* " la !in du

1J&me si&cle* ta$lit la loi d'interaction entre particules de c+arges lectriues qet q:dite

force coulombienne

o

0a !orce coulom$ienne peut /tre attractive ou rpulsive (deu% c+arges de signes opposs

s'attirant* deu% c+arges de m/me signe se repoussant)#

Remarue la particularit des !orces d'attraction universelle et coulom$iennes est de

s'e%ercer " distance sans ncessit d'un milieu matriel intermdiaire#

A.3. !tude des c0amps de forces en

ous notons de mani&re uniue les !orces d'attraction

universelle ou les !orces coulom$iennes par la relation

o

pour l'attraction universelle* pour la !orce

coulom$ienne

petp:sont gau% respectivement " met m:ou qet q:

est le vecteur unitaire de et rla distance OM#

,n introduit la notion de c+amp de !orces en M par la relation # Ceci

veut dire uune masse ponctuelle mou une c+arge qen , cre en tout point de lespace un

c+amp de !orces et uil ne s 9e%ercera une !orce ue l" o e%iste une autre masse ou une autre

c+arge#

-ans le cas de l'attraction universelle est gnralement not (appel c+amp de

!orces dattraction universelle) et dans le cas coulom$ien (appel c+amp

lectriue)


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A.3.1. #lu$ du vecteur travers une surface. +0or*me de )auss

o est l'angle solide lmentaire sous leuel de , onvoit l'lment de sur!ace d=#

i on int&gre cette relation " une sur!ace !erme=* 3 cas peuvent se produire

pest intrieur " la sur!ace !erme

pest sur la sur!ace !erme

pest e%trieur " la sur!ace !erme

8our une distri$ution discr&te d'lmentsp on o$tient

8our une distri$ution continue* on d!init la densit volumiue et on o$tient

o (est le volume intrieur " la sur!ace !erme =#Ces relations constituent le t0or*me de )ausspour leuel on o$tient* par application du

t+or&me d',strogradsQ* l'e%pression locale

A.3.2. Potentiel scalaire Vdu vecteur . !quations de Poisson et de (aplace

8our un lmentp* le vecteur vri!ie la relation avec #

0'oprateur mat+matiue gradientest un oprateur linaire* la relation ci>dessus* pour une

distri$ution d'lments* s'crit

8our une distri$ution continue d'lments* on o$tient appele quation de

Poisson# 8our * la relation devient appele quation de (aplace#

Remarue

L:tude des champs de "orces en est d/une importance considra$le en physique puisque

"orces d:attraction universelle et "orces coulom$iennes sont, 1 distance, les deux seules "orces

"ondamentales.

+n +lectricit, les relations ci-dessus sont tr0s utilises, la relation locale du thor0me de

Gauss constituant d:ailleurs une des quations de Max@ell. *es connaissances sur le dip!le


23/31

lectrique, sur les liens entre distri$ution de char#es et champs ou potentiels lectriques "ont

partie de la culture du physicien.

8ous invitons le lecteur, s/il le 9u#eait ncessaire, 1 revoir ses cours ou 1 appro"ondir ses

connaissances dans un ouvra#e d/+lectrostatique.

*ans le domaine de l:attraction universelle 51 tort moins tudi6, outre le cas d:une

distri$ution volumique entre deux plans qui correspond 1 l:existence des ;hauts plateaux;,l:application ; incontourna$le ; est le cas d:une distri$ution volumique 1 symtrie sphrique

qui correspond aux plan0tes.

On montre que, vis 1 vis de l:extrieur, tout se passe comme si toute la masse de la

distri$ution tait concentre en son centre.

1B. !nergie potentielle . !nergie mcanique

1B.1. !nergie potentielle

Considrons un lmentp:en une position de l'espace o e%iste un potentiel cr par une

distri$ution d'lmentsp#

8our /tre " ce potentiel* il est : venu : d'une rgion de l'espace o le potentiel tait nul#

8our une position uelconue* il est " un potentiel (et su$it une !orce # 0e travail de

cette !orce (de l'oprateur e%trieur pour un dplacement ) est gal " #

0e travail total pour passer du potentiel initial nul au potentiel !inal est donc

,n appelle nergie potentielle de l'lmentp:" potentiel la uantit #

8our un dplacement lmentaire* on peut crire * soit encore

#

0es trois relations encadres sont uivalentes et peuvent servir de d!inition de l'nergie

potentielle pour un lmentp:#

0a derni&re prsentation* " savoir un c+amp de !orces drive d'une nergie potentielle si

(ce ui suppose mat+matiuement des e%pressions particuli&res pour ) est*

sans doute* la plus utilise#

1B.2. !nergie mcanique

Il convient de distinguer deu% tpes de !orces* celles ui drivent d'une nergie potentielle ue

nous notons et celles ui ne drivent pas d'une nergie potentielle ue nous notons #

0e t+or&me de l'nergie cintiue* avec cette distinction* s'crit

est appele nergie mcanique#

ous !orme intgrale* la relation ci>dessus s'crit #


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1B.2.1. (es forces conservatives

0es c+amps de !orces ui drivent d'nergies potentielles sont appels c+amps de !orces

conservatifsparce u'ils conservent l'nergie mcaniue# 0es autres !orces ne conservent pas

l'nergie mcaniue ( sau! dans certains cas tr&s importants voir Mcaniue du

solide)#

0a notion d'nergie potentielle est tr&s importante en 8+siue#

Il est important de $ien en comprendre le : sens p0sique:* l'e%emple le plus simple se

situant au niveau du c+amp de pesanteur terrestre#

ne masse mest soumise " son poids o est le c+amp de pesanteur (suppos

uni!orme)#

8our porter la masse m" une altitude* la masse tant au repos au% altitudes initiale et !inale*

un oprateur e%trieur e!!ectue un travail en a$sence de !orces non conservatives#

Ce ui est !ondamental rside dans le !ait ue la masse a acuis une capacit " retom$er sans

aide e%trieure* c'est " dire " se mettre en mouvement toute seule* voire " entra5ner d'autressst&mes elle a acuis un nergie potentielle # Autre!ois* l'nergie potentielle tait

appele : !orce morte :* c'est " dire reprsentait uelue c+ose de contenu dans le sst&me* :

u'on ne voait pas ou u'on ou$liait : mais ui pouvait /tre utilise#

Au sens de la conservation de l'nergie* le travail de l'oprateur e%trieur n'est pas perdu* il est

acuis* emmagasin sous !orme d'nergiepotentielle#

*ans la vie courante, acqurir une connaissance nouvelle, un savoir nouveau est souvent

synonyme de disposer d:un potentiel nouveau.

1B.2.2. (es forces non conservatives

Il !aut distinguer*

celles produites par un oprateur e%trieur ui peuvent produire une augmentation ou une

diminution de l'nergie mcaniue*

et celles lies " des contraintes (c'est " dire les !orces au contact d'un autre o$=et* les !orces de

!rottement si l'o$=et se dplace dans un milieu !luide) ui* en s'opposant au mouvement de

l'o$=et* produisent une diminution (une perte) de l'nergie mcaniue#

11. (es forces lastiques

ous envisageons un mo$ile dont la description du mouvement peut /tre !aite " l'aide d'unseul param&tre notx# 0a position " l'uili$re sera prise comme r!rence ; " l'uili$re

et l'nergie potentielle est note


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,r " l'uili$re la !orce est nulle* soit #

Ainsi si est su!!isamment

!ai$le# 0a !orce est proportionnelle x* on dit u'on est en prsence d'une force lastique#

=i on carte "ai$lement un syst0me de sa position d/quili$re, il na2t une "orce lastique

5proportionnelle 1 l/cartement6. )ette thorie n/explique l/ori#ine physique interne de cette

"orce#

-ans le cas o ;c'est " dire o < sont de signe

contraire la !orce agit pour rta$lir l'uili$re# ('quilibre est stable#

i* au contraire* ;c'est " dire o < sont de m/me signe

la !orce accentue le dsuili$re# ('quilibre est instable#

Il peut arriver ue soient de m/me signe d'un cot de l'uili$re et de signe contraire

de l'autre cot l'quilibre est mtastable#

En conclusion* on remarue ue

> pour un uili$re sta$le* l'nergie potentielle est minimale " l'uili$re

> pour un uili$re insta$le* l'nergie potentielle est ma%imale " l'uili$re#

-ans le cas d'un uili$re sta$le* la !orce s'crit avec et

l'nergie potentielle s'crit # 0'oprateur e%trieur !ournit de l'nergie

pour carter le mo$ile de sa position d'uili$re# 0'oprateur e%trieur le contraint +ors de la

position d'uili$re# 'il cesse la contrainte* le mo$ile revient vers sa position d'uili$re en

perdant de l'nergie potentielle et en acurant de l'nergie cintiue# ous l'e!!et de cette

nergie cintiue* il va dpasser la position d'uili$re* perdre alors de l'nergie cintiue et

regagner de l'nergie potentielle et ainsi de suite il va osciller autour de la position

d'uili$re et ne s' sta$ilisera ue s'il a dissipation d'nergie mcaniue c'est " dire s'il a

des !rottements#

8our une !orce lastiue* la pulsation d'oscillation est indpendante de l'nergie initiale ondit ue l'on est en prsence d'un oscillateur 0armonique libre#

i tel n'tait pas le cas (dsuili$re initial trop important) l'oscillateur est an0armonique* la

pulsation dpend de l'nergie initiale#

,n peut forcerun mouvement autour de la position d'uili$re on est alors en prsence d'un

oscillateur forc#

Les exemples les plus simples d:oscillations li$res ou "orces avec ou sans "rottement en

Mcanique sont le ressort et le pendule.

L/analo#ie avec le circuit 54,L,)6 srie en lectricit est classique.

On montre qu:en moyenne ner#ie cintique et potentielle d:une part et ner#ie lectrique et

ma#ntique d:autre part sont #ales 5ce qui constitue des exemples simples d:application duthor0me d:quipartition de l:ner#ie6.


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On d"init le "acteur de qualit soit 1 partir de la notion de $ande passante soit 1 partir de

considrations ner#tiques.

)es notions "ont partie de la culture de $ase d/un physicien.

nne$e 1 < !space +emps

-frentieln r!rentiel est une association de points rigidement !i%s entre eu% c'est " dire !ormant un

solide (e%emples le la$oratoire* le sol terrestre en un endroit particulier* la erre* ###)# -ans ce

r!rentiel* il convient de d!inir un rep&re pour situer les points dans l'espace et une c+elle

de temps (+orloge) pour caractriser les instants et les dures#

-ep*reIl s'agit de d!inir un sst&me de trois a%es et d' ad=oindre une unit de mesure des longueurs#

Ainsi " un r!rentiel donn* on peut associer di!!rents rep&res#

0es rep&res les plus utiliss sont dans l'ordre le rep&re cartsien* le rep&re clindriue >ui*dans le plan* devient le rep&re polaire>* le rep&re sp+riue et le rep&re de rnet#

Mesure des longueurs0a mesure des longueurs n'a pas pos de di!!icults particuli&res on a d!ini des r&gles de

r!rence appeles talons de longueur# Ainsi* pendant longtemps* le m&tre>talon !ut un

$arreau en platine iridi conserv " 2S )et " pression atmosp+riue normale au Bureau

international des poids et mesures de &vres#

0e dveloppement de l'optiue a permis des d!initions plus prcises " partir de la longueur

d'onde d'mission lumineuse#

Mesure du temps0a mesure du temps a pos $eaucoup plus de di!!icults#

0'+omme disposait de plusieurs p+nom&nes naturels se renouvelant* encore !allait>il

associer une priodicit dure entre deu% passages successi!s du oleil au Gnit+ (=our

solaire)* dure entre le retour des saisons (anne)* dure entre deu% pleines lunes (mois

lunaire)#

0es di!!icults se sont accrues avec la compr+ension des mouvements dans l'nivers (=our

solaire ou =our sidral d!ini par rapport " des toiles !i%es)* avec la dcouverte des variations

dans la rotation de la erre sur elle>m/me ou de son ralentissement sculaire dans son

mouvement autour du oleil#

En!in* les $esoins en mesures des dures vont de " des millions d'annes#

La seconde est d"inie 1 partir de la vi$ration de l:atome de csium contr!lant la marche

d:une horlo#e 1 quart vi$rant.

Le m0tre est la distance parcourue par les ondes lectroma#ntiques planes dans le vide

pendant une dure #ale 1 CDEEFEDH seconde.

Caract*re absolu ou caract*re relatif du temps

ous considrons deu% r!rentiels munis de rep&res cartsiens parall&les* (4) !i%e et

(4:) en translation uni!orme telle ue o O:est l'origine du r!rentiel (4:)#C+acun des a%esxetx:dispose d'une r&gle gradue# n $arreau allong de directionx


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est solidaire du r!rentiel (4:) c'est " dire u'il est immo$ile dans ce r!rentiel et

anim d'une vitesse dans le r!rentiel (4)#

8our mesurer la longueur de ce $arreau* on rep&re sur les r&gles gradues les a$scisses

des e%trmits* soient respectivement et ;videmment dans le

r!rentiel (4)* le reprage des a$scisses doit /tre !ait au m/me instant uelconueui peut surprendre> est de savoir si #

0a rponse spontane est ue cette proposition est vraie . celle* dans l'tat actuel de la

8+siue* est

o est la vitesse de propagation de l'onde

lectromagntiue dans le vide#

Cette rponse surprend notre sens commun* cependant* au vitesse o nous vivons*

l'cart est indcela$le#

0'e%plication appartient au domaine de la relativitlargement initi par !instein#

ous considrons un miroir anim d'une vitesse " distance*d'un o$servateur#

0'o$servateur envoie un !las+ lumineu% de

telle sorte u'apr&s r!le%ion sur le miroir la

lumi&re revienne sur l'o$servateur#

,n calcule la dure de l'aller et retour#

-ans le r!rentiel de l'o$servateur* la dure

est gale " #-ans le r!rentiel du miroir* la dure est

gale "

En rorganisant* on o$tient #

0e raisonnement sem$le d'une par!aite logiue mais le rsultat surprend puisue la dure

entre deu% vnements dpend du r!rentiel ce ui veut dire ue le temps n,a pas uncaract*re absolu indpendant du rfrentiel#

0'e%plication appartient au domaine de la relativit et nous n'en =usti!ierons pas les

!ondements dans le cadre de cet anne%e#

0es consuences de la relativit sont trop importantes pour ne pas noter sans /tre e%+austi!s

> la modi!ication de la uantit de mouvement *

> l'uivalence masse>nergie *


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> le calcul t+oriue nergtiue des ractions nuclaires*

> la modi!ication de la loi de gravitation universelle*

> la dviation des tra=ectoires des ondes lectromagntiues par des o$=ets matriels#

7rans"ormation de Galile et de Lorent 3 le r"rentiel 54:6 est en translation uni"orme 1

vitesse suivant la direction x les horlo#es des temps dans chacun des r"rentiels sont

r#les que les rep0res coKncident 1 l:ori#ine des temps 5 6.

Transformation de Galile

Cinmatique classique

Transformation de Lorentz

Cinmatique relativiste

Ces uations montrent ue* si * la cinmatiue classiue (il en est* de m/me* pour la

dnamiue) est su!!isante* cest " dire ue lon peut considrer* en premi&re appro%imation*

ue le temps a un caract&re a$solu indpendant du r!rentiel#

-ans la pratiue* la relativit doit /tre prise en compte pour des vitesses suprieures "

#

nne$e 2 < Composition des mouvements


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oit un point dont le mouvement peut /tre

anals dans le r!rentiel dorigine Oou

dans le r!rentiel (mouvement relatif)

dorigine ,#

Les r!les de ces deux r"rentiels sont

interchan#ea$les en cinmatique, cependant

dans le cadre de la dynamique sera

#alilen#

. .

n point M* co4ncidant au temps tavec le point M* !i%e dans le r!rentiel a un

mouvement* appel mouvement d,entranement* dans le r!rentiel

0a vitesse a$solue (dans le r!rentiel ) est la somme de la vitesse dentra5nement (ne

dpendant ue du mouvement dentra5nement) et de la vitesse relative (dans le r!rentiel

ou ne dpendant ue du mouvement relati!)#

En plus des termes acclration dentra5nement (ne dpendant ue du mouvementdentra5nement) et acclration relative (ne dpendant ue du mouvement relati!)* il e%iste un

terme appel acclration de Coriolis* rsultat dun couplage entre le mouvementdentra5nement et le mouvement relati!#

/nterprtation du terme de Coriolis en termes de c0amp de vitesses dans un solide

oient A et B deu% points uelconues dun solide#

0a relation # Cette derni&re relation est caractristiue dun

torseur* ensem$le dun c+amp de moments et dun vecteur rsultant#

8ar suite


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0e c+amp de vitesses dans un solide est un c+amp de moments dont le vecteur rsultant est le

vecteur rotation # A c+aue instant* le mouvement dans un solide se dcompose en un

mouvement de translation de direction le vecteur rotation et en une rotation autour de cette

direction#

i nous remaruons ue dans le r!rentiel * les points ,* I* 6* 7 sont " distancesconstantes et peuvent /tre considrs comme des points dun m/me solide* alors on peut

crire

. . et o reprsente le vecteur

rotation du mouvement dentra5nement (cest " dire du r!rentiel par rapport au

r!rentiel )

0e cas particulier intressant correspond " un vecteur rotation dentra5nement nul (les deu%

r!rentiels sont en translation lun par rapport " lautre)* lacclration a$solue est alors gale

" lacclration dentra5nement plus celle relative# i* de plus* lacclration dentra5nementest nulle* cest " dire si les deu% r!rentiels sont en translation uni!orme* alors lacclration

relative est gale " lacclration a$solue#

0e cas dun mouvement relati! nul reprsente luili$re dans un r!rentiel en mouvement#

nne$e 3 < (es interactions fondamentales

-epuis @alile et eHton* nous savons u'il !aut l'action d'une !orce pour mettre en

mouvement un o$=et au repos ou $ien* au contraire* stopper un o$=et en mouvement# C'est par

la !orce u'il e%erce sur lui ue notre $ras lance un $allon* et le $ras du partenaire ui reOoit le

$allon !ait de m/me# 8lus gnralement* c'est sous l'action d'une !orce u'est modi!ie lavitesse d'un o$=et le train ui !reine* comme celui ui accl&re* est soumis " l'action d'une

!orce#

otre e%prience uotidienne nous conduit " envisager toutes sortes de !orces# ous parlons

par e%emple de la !orce de contact u'e%erce la rauette sur la $alle de tennis* de la !orce de

!rottement ui emp/c+e nos pieds de glisser sur le sol et ui retient sur place la voiture dont

on a serr le !rein* de notre poids ui nous maintient sur erre ou de la !orce de viscosit ui

se mani!este lorsue nous collons un papier ad+si!#

0orsu'on c+erc+e " comprendre la nature de ces e!!ets tr&s varis* on s'aperOoit u'ils peuvent

tous se ramener " uatre interactions !ondamentales ui sont l'interaction lectromagntiue*

l'interaction !orte* l'interaction !ai$le (interactions nuclaires) et l'interaction gravitationnelle#

elon les circonstances* l'e!!et de c+acune d'elles nous est ou non percepti$le et s'av&re ou nondominant#

0a plupart des !orces ue nous percevons dans la vie uotidienne sont de nature lectriue

c'est l'interaction lectromagntiue ui assure la co+sion de la mati&re solide ou ui

gouverne les mcanismes c+imiues de notre corps#

0'interaction gravitationnelle se mani!este essentiellement " nous par la pesanteur c'est elle

ui nous maintient sur le sol* ui !ait couler les rivi&res et rouler les pierres au $as des

montagnes . c'est elle encore ui retient l'atmosp+&re terrestre#

0es interactions nuclaires ne se mani!estent pas !acilement dans la vie courante au sein des

noau% atomiues* elles maintiennent ensem$le les protons et les neutrons . elles sont "

l'origine de la radioactivit et de l'nergie nuclaire . ce sont elles encore ui gouvernent la

constitution des di!!rents lments c+imiues#


31/31

/nteraction faible et interaction forte l,intrieur du noau atomique

0es neutrons et les protons sont maintenus ensem$le dans le noau par : linteraction

nuclaire !orte : ui est attractive# C'est elle ui rend sta$les les noau% atomiues composs

essentiellement de protons et de neutrons* appro%imativement la m/me masse* le proton tant

c+arg positivement et le neutron n'tant pas c+arg# 0interaction nuclaire !orte est tr&sintense* mais son raon d'action est tr&s court elle ne se mani!este pratiuement plus au>del"

de * ce ui est une distance !ai$le* m/me " l'c+elle des noau%# a grande intensit

e%pliue la raison pour lauelle il !aut des nergies considra$les pour $riser les noau%#

-ans les la$oratoires de p+siue des +autes nergies* on peut $riser des noau% atomiues en

les $om$ardant avec des particules de tr&s grande vitesse# 0es noau% se dcomposent alors

en neutrons* protons et noau% plus lgers* et aussi en de nouvelles particules lmentaires .

mais ces particules sont insta$les et disparaissent apr&s une tr&s courte dure pour donner

naissance " des lectrons et des protons# En de+ors du noau* les neutrons galement ne sont

pas sta$les et c+acun se dsint&gre en un proton et un lectron (avec mission d'un

antineutrino)# Ces dsintgrations sont des mani!estations d'une interaction appele :

interaction nuclaire !ai$le:# 0'interaction nuclaire !ai$le est " l'origine de la radioactivit #

0'interaction nuclaire !orte est environ cent millions de !ois plus intense ue l'interaction

nuclaire !ai$le#

Prpondrance de l,interaction gravitationnelle dans l,univers

Bien uil soit di!!icile do$server ses e!!ets entre les o$=ets situs " la sur!ace de la erre* la

loi de la gravitation est une loi universelle elle rgit aussi $ien le mouvement de la pomme

ui tom$e du pommier ue le mouvement des plan&tes ou la !orme des gala%ies# 0orsueeHton montra ue la 0une* ui tourne autour de la erre et la pomme* ui tom$e du

pommier* su$issent l'une et l'autre l'attraction de la erre, un tr*s grand pas fut franc0iF

dans le domaine de la mcaniue et dans la compr+ension de la structure de l'univers#

0'interaction gravitationnelle est primordiale dans l'univers c'est elle ui donne au% astres leur

mouvement et leur structure#

,n peut cependant se demander pouruoi* dans la mesure o son intensit est tr&s !ai$le*

compare " celle des autres interaction !ondamentales (le lecteur pourra comparer pour deu%

protons les intensits des !orces gravitationnelle et coulom$ienne)* il se trouve ue ce soit elle

ui domine ainsi " grande c+elle dans l'univers#

Cela tient d'a$ord " la tr&s courts porte des interactions !orte et !ai$le dont l'e!!et dispara5t

totalement sur des distances de l'ordre de dimension des noau%#8our ce ui concerne les !orces coulorn$iennes* " grande c+elle les !orces attractives entre

c+arges de signes opposs sont compenses par les !orces rpulsives entre c+arges de m/me

signe* par contre les !orces lmentaires de gravitation* de tr&s !ai$le intensit* tou=ours

attractives* accumulent leurs e!!ets pour devenir prpondrantes " grande c+elle#

Ceci nous !ait comprendre pouruoi l'univers* en con!rontant des masses et des distances sans

commune mesure avec celles ue nous rencontrons " l'c+elle terrestre* apporte une

contri$ution essentielle " notre connaissance de la loi de la gravitation#

,n peut aussi citer les toiles pour lesuelles les ractions t+ermonuclaires ne sont rendues

possi$les ue par le%istence de !orces de gravitation ui compriment su!!isamment la mati&re

pour lui permettre d'atteindre les tempratures leves ue ncessitent ces ractions#

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