Mecanica dos Fluidos II (MEMec)

Aula de Resolucao de Problemas no9(Turbomaquinas: Analise dimensional e diagrama de

Cordier)

EXERCICIO 1 Considere as turbinas do tipo Francis do aproveitamento hidro-electrico de Cahora Bassa (Mocambique). As caracterısticas nominais sao: alturade queda H=103.5 m, velocidade de rotacao N=107.1 rpm e potencia P=415 MW.O diametro da roda e de D=6.56 m. (Nota: despreze em primeira aproximacaoos efeitos devidos a variacao do numero de Reynolds e aos factores de escala.)

1. Calcule o caudal nominal sabendo que o rendimento e de η = 93%

2. Calcule a velocidade de rotacao, a potencia e o caudal nominal de ummodelo reduzido da turbina a escala de 1/20 que se pretende ensaiar emlaboratorio com uma altura de queda disponıvel de Hm = 22 m.

EXERCICIO 2 Foram efectuados ensaios com um modelo reduzido dum helicemarıtimo (diametro de 300 mm), tendo-se medido um rendimento maximo deη = 65% para uma velocidade de rotacao de 250 rpm e uma relacao de avancode Vav/ND = 0.8. Nestas condicoes, a forca de propulsao medida foi de 890 N.Pretende-se instalar o prototipo do helice com 1.5 m de diametro num navio comvelocidade de 30 nos (55.6 km/h). Em condicoes de rendimento maximo, calcule:

1. A velocidade de rotacao do helice no prototipo.

2. A forca de propulsao.

3. A potencia absolvida pelo veio.

(Nota: despreze em primeira aproximacao os efeitos devidos a variacao do numerode Reynolds e aos factores de escala.)

EXERCICIO 3 Considere uma bomba com a qual se pretende transportaragua dum rio (nıvel de superfıcie livre 0 m) para uma albufeira duma barragemsobre-elevada (nıvel 123 m). As curvas carecterısticas da bomba a 975 rpm estaorepresentadas na figura Ex.3, em que Q e o caudal e H a altura de elevacao, eη o rendimento. As perdas de carga nas condutas (expressas em metro de alturade coluna de gua) sao 9.0Q2 na conduta de compressao e 1.0Q2 na conduta deaspiracao (Q em m3/s). A temperatura da agua e de 20 o C.

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Figura 1: Ex.3: Curva caracterıstica da bomba do exerıcio 3.

1. Calcule o caudal debitado

2. Cacule aproximadamente o diametro do rotor da bomba (admita que setrata de uma bomba de um andar, com rotor de entrada simples).

3. Calcule a potencia absorvida pela bomba sabendo que esta roda a 975 rpm.

EXERCICIO 4 Considere um ventilador radial utilizado para assegurar oescoamento de ar (ρ = 1.2 kg/m3) numa instalacao industrial em que a entrada e asaıda estao a pressao atnosferica. A perda de carga total na instalacao e dada (emPa) por 360Q2 (sendo Q o caudal volumico em m3/s). As curvas caracterısticasdo ventilador a velocidade de rotacao de 2900 rpm estao representadas na figuraEx.4 em que H e a altura de elevacao (em m) e η e o redimento (despreze asperdas mecanicas). (Nota: despreze em primeira aproximacao os efeitos devidosa variacao do numero de Reynolds e aos factores de escala.)

1. Calcule o caudal debitado e a potencia absorvida pelo ventilador quandoesta montado na instalacao referida e roda a 2900 rpm.

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Figura 2: Ex.4: Curva caracterıstica do ventilador do exerıcio 4.

2. Suponha que, para accionamento do ventilador, dispoe duma potencia maximade 15 kW. Calcule a velocidade maxima a que pode accionar o ventilador namesma instalacao sem exceder aquela potencia. Calcule o correspondentevalor do caudal.

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SOLUCOES

Ex.1: A partir da expressao para a potencia noveio da turbina P = ηρQgH,temos: Q = P/ηρgH = 415 × 106/(0.93 × 980 × 9.81 × 103.5) = 448.5 m3/s.O modelo e o prototipo sao maquinas geometricamente semelhantes, e por issotambem dinamicamente semelhantes. Consequentemente, os coeficientes adimensionais sao iguais no modelo e no prototipo. Do coeficiente de altura temos gH

N2D2 =gHm

N2mD

2m

, donde Nm = N(DDm

)√Hm

H= 107.1×20

√22

103.5= 987.6 rpm. Do coeficiente

de caudal vem: QND3 = Qm

NmD3m

, dondeQm = Q(Nm

N

) (Dm

D

)3= 448.5×

(987.6107.1

) (120

)3=

0.517 m3/s. Finalmente, do coeficiente de potencia vem PρN3D5 = Pm

ρN3mD

5m

, donde

Pm = P(Dm

D

)5 (Nm

N

)3= 415 × 106

(120

)5 (987.6107.1

)3= 101.7 × 103 = 101.7 kW.

Ex.2: O modelo e o prototipo sao geometricamente semelhantes de modoque os grupos adimensionais sao iguais para o modelo do helice e para o heliceinstalado no navio. Uma vez que no modelo temos

(Vav

ND

)m

= 0.8, a velocidade

de avanco no modelo e Vavm = 0.8× (250π/30)× 0.3 = 6.3 m/s. A velocidade de

rotacao no prototipo pode obter-se assim de(Vav

ND

)m

=(Vav

ND

)p, e vale N = Np =

Nm

(Vav

Vavm

) (Dm

D

)= 250 × (15.4/6.3) × (0.3/1.5) = 122.2 rpm.

A forca de propulsao pode obter-se igualando os coeficientes de fora:(

FρN2D4

)p

=(F

ρN2D4

)m

, donde se obtem Fp = Fm(NNm

)2 (DDm

)4= 890

(122.2250

)2 (1.50.3

)4= 133 kN.

Uma vez que a potencia e igual ao momento vezes a velocidade angular P = LNtemos de calcular o momento angular aplicado no helice do navio. A partir dadefinicao do rendimento η = FVav

LNpodemos escrever L = FVav

ηN= 133×103×15.4

0.65×122π/20=

246.6 × 103 Nm, donde P = LN = 246.6 × 103 × 122.2π/30 = 3.16 MW.

Ex.3: O caudal debitado Q corresponde ao caudal no ponto de funcionamentoque se obtem fazendo a interseccao entre a altura de elevacao da bomba Hbomba(Q)e da instalacaoHinst(Q): no ponto de funcionamento temosHbomba(Q) = Hinst(Q).

Para a instalacao temos H = z2−z1 + U2

2g

(∑ fLD

+∑K)

= 123−0+9Q2 +1Q2 =

123 + 10Q2. Para a bomba temos de achar as constantes a e b tais que Hbomba =a−bQ2. Da curva com as carecterısticas da bomba temos (Q,H) = (0, 142), donde142 = a − b(0)2 e a = 142; de (Q,H) = (1, 125) temos 125 = 142 − b12, dondeb = 142 − 125 = 17, logo Hbomba = 142 − 17Q2. No ponto de funcionamento, de

Hbomba(Q) = Hinst(Q) obtermos 142−17Q2 = 123+10Q2, ou seja Q =√

142−12510+17

=

0.839 m3/s.A altura de elevacao para o ponto de funcionamento pode agora obter-se deHinst(Q = 0.839) ou de Hbomba(Q = 0.839) = 142 − 17(0.839)2 = 130 m. Apartir deste valor podemos estimar o diametro da maquina pelo diagrama de

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cordier. A velocidade especıfica e Ω =[

NQ

(gH)3/4

]ηmax

. Considerando que estamos

proximo do rendimento maximo vem: Ω =[

975×(2π/60)×0.839

(9.81×130)3/4

]= 0.401 valor tipico

de uma bomba radial. Atraves do diagrama de Cordier tiramos, para Ω = 0.40,

um diametro especıfico de ∆ = D(gH)1/4

Q1/2 = 7.0, donde D = ∆Q1/2/(gH)1/4 =

7 × (0.839)1/2/(9.81 × 130)1/4 = 1.07 m.A potencia obtem-se de P = ρQgH/η. Da figura Ex.3 vem η = 0.87 paraQ = 0.839 m3/s, donde P = ×980 × 0.839 × 9.81 × 130/0.87 = 1.2 MW.

Ex.4: Comecamos por obter a curva da instalacao Hinst = ∆pρg

= 360Q2

9.81×1.2=

3.6Q2 (m). Para o ventilador temos Hvent(Q) = a − bQ2. Usando 2 pontos dacurva caracterıstica do ventilador, por exemplo (Q,H) = (1, 335) e (Q,H) =(3, 240), obtemos duas equacoes para a e b: 335 = a − b(12) e 240 = a − b(33),de onde se tira a = 346.8 e b = 11.9. A curva caracterıstica para o ventilador eentao Hvent = 346.8− 11.9Q2. O ponto de funcionamento consiste no ponto ondeHvent(Q) = Hinst(Q), o que e equivalente a 346.8 − 11.9Q2 = 30.6Q2, de onde

vem Q =√

346.811.9+30.6

= 2.86 m3/s. Para este valor de caudal a figura Ex.4 mostraque o rendimento e η = 0.78 e a altura de elevacao e H = 255 m. A potencia eentao P = ρQgH/η = 1.2 × 2.86 × 9.81 × 255/0.78 = 11.0 kW.A mesma maquina noutro ponto de funcionamento 2 absorve uma potencia P2

que se relaciona com a potencia no primeiro ponto 1 (pontos dinamicamente

semelhantes) atraves de P1

ρN31D

51

= P2

ρN22D

52, ou seja P1

N31

= P2

N32, donde N2 = 3

√P2

P1N3

1 =

3

√1511

(2900)3 = 3215 rpm. Por sua vez o caudal entre os dois pontos obedece a

relacao Q2

Q1= N2

N1, donde Q2 = Q1

(N2

N1

)= 2.863215

2900= 3.17 m3/s.