1ApuntesdeMecanicaCuanticaDr. GustavoAdolfoPerezMunguaApuntesdeMecanicaCuanticaDr. GustavoAdolfoPerez MunguaTegucigalpa, HondurasPACSnumbers: 03.65TheUnreasonableManThe reasonable man adapts himself to the world;the unreasonable one persists in trying to adapt the world to himself.Therefore all progress depends on the unreasonable man.IntroduccionLaintroducciondenuevasteorasfsicas, talescomolasleyesdeNewton, laRelatividadylaMecanicaCuantica,siempre trajeron consigo la modicacion de nuestros conceptos de espacio, tiempo y realidad. A medida que la cienciaextiende sus fronteras hacia las grandes distancias, como en la Teora de la Relatividad, o a peque nas distancias comoen la Mecanica Cuantica,nuestro concepto intuitivo del espacio tiempo adquiere nuevas formas y contornos. Estosnuevos contornos hacen aparecer fenomenos que por su vez generan el descubrimiento de nuevas teoras haciendo asuna cadena innita que solo terminara con la propia evolucion del ser humano.Finalmente,esnecesarioaclararquelaintroduccionaxiomaticadelaMecanicaCuanticaqueaqusehace,tienecomo unico objetivo esclarecer a los alumnos los principios en que se fundamenta la teora y de ninguna manera debeinducir a pensar que las teoras fsicas se pueden construir sin el apoyo de la base experimental suciente.Se supone de parte del lector un buen conocimiento de algebra y analisis.[0] E-mail:gus@pepper.org3Sabre enfrentar el rigor del invierno,porque luego despues llegara la primavera.A LA MEMORIA DE:Dr. JORGE A. SWIECAConsidered one of the major specialists in eld theory in the country, Jorge Andre Swieca (1936 - 1980) published, bothin Brazil and abroad, numerous works which attracted the attention of the academic elite in his area of specialization.Therearebasesmainlyonquanticelectrodynamics, ontheasymptoticconditionsinthetheoryof elds, onthelocalizationofstatesinrelativisticquantictheories, onthespontaneousruptureofsymmetries, onthebehaviorofcommutators in non-relativistic theories of many bodies and the algebra of Gell-Mann currents.FIG.1: JorgeAndreSwieca4LaTeoradelosCuantos. ResumenyProyeccionesConferencia dictada por el Dr. Klaus SchockenDepartamento de Fsica UNAH, Tegucigalpa 1975.He estudiado Fsica en la Universidad de Berln entre los a nos 1923 y 1928. En aquel tiempo la Teora de los Cuantosfueelcentrodegraninteres. LauniversidadylosinstitutosindependientescomoelInstitutoNacionaldeFsica yTecnologa y los institutos de la Sociedad para el Fomento de las Ciencias (hoy llamada Sociedad Max Planck) eranfuertesenespectroscopa, queeralallaveparaabrirelinteriordelosatomos. Losinvestigadoreseranigualmentecompetentes en la medicion y la interpretacion seg un la teora de Bohr y Sommerfeld. Haba un coloquio semanal enelcualsecongregabalamayoradelosfsicosdelasinmediacionesdelaciudad. Losartculosnuevossediscutanenestasocasiones. Enmisa noscomoestudiantenograduado, estoscoloquiosserelacionaroncasi siempreconespectroscopa. Enlospocoscasosquerecuerdocuandosecomunicaronresultadosdeotrasactividadescomoladescomposicion articial de n ucleos atomicos, la radiacion cosmica u observaciones experimentales sobre Relatividad,vinieron visitantes fuera de Berln.EnAlemaniaexistantrescentrosimportantesdeFsica: Berln, MunichyGotinga. LauniversidaddeMunichera famosa por causa de Arnold Sommerfeld de cuyo libro Estructura Atomica y Lneas Espectrales una generacionentera aprendio la Teora de los Cuantos.Hasta ahora he hablado de los primeros a nos de mi estudio, cuando la Teora de los Cuantos era dominante en laforma de Bohr Sommerfeld.El primer cambio ocurrio cuando Heisenberg, Born y Jordan publicaron su disertacion sobre la mecanica de matrices.Estapublicacionseconocioinmediatamente, perolasopinionesnocambiaronenBerln. LaFsicacontinuocomoantes. LascosasfuerondiferentescuandoSchrodingercomenzoapublicarsuseriedeartculossobrelamecanicadeondas. LaFsicacambioenBerlndespuesdesusegundamemoria. AlaTeoradeSchrodingerlefuedadalabienvenida con esperanzas inmensas y Schrodinger se junto a la facultad de Berln en poco tiempo. La interpretacionoriginal de la Teora de los Cuantos dada por Schrodinger coincidio con las opiniones y expectaciones de la Facultadde Fsica deBerln,enparticular lasde Planck,Einstein yVon Laue. Cuando MaxBorn publico la interpretacionprobabilsticadelaTeoradelosCuantos,lainterpretacionoriginaldeSchrodingercayo; perolainterpretaciondeprobabilidades en el sentido de Born no se acepto jamas en Berln. Recuerdo a Einstein diciendo: Esta gente hacedel apuro una virtud.Con esta educacion temprana, Como se puede valorar la Teora de los Cuantos hoy?Primero hace falta apuntar que la Teora de los Cuantos no se puede valorar sin considerar la Teora de la Relatividadsimultaneamente, ni laTeoradelaRelatividadsinconsiderarsimultaneamentelaTeoradelosCuantos. Ambasteoras se originaron al comienzo del siglo en un perodo de pocos a nos. Los problemas que trataron de resolver erantotalmente diferentes. La Teora de la Relatividad era la consumacion de la Teora Clasica de Newton y Maxwell. Yapesardelasinnovacionesgrandesquepostulo,susproblemasymetodoseranclasicos. LaTeoradelosCuantosresolvio desde el principio los problemas que eran inaccesibles a los metodos clasicos, tales como la ley de la radiaciondel cuerpo negro, el efecto fotoelectrico y la teora atomica.LaTeoradelaRelatividadesel apendicealaTeoraClasicadeNewtonyMaxwell. PerosesabehoyquelaTeoraClasicaessoloaproximacion. Noesexacta. LaTeoraCuanticaexpresalaFsicaexacta. PerolaTeoraCuanticanocovarianteestambiensolounaaproximacion, noesexacta. Entoncessolounateoracovariantedecamposcuanticospuedeserexacta. Tal teorasehadesarrolladoenanalogaalateoradecamposclasicos. Elcambioprincipal conrespectoaloscamposclasicosesasociarobservablesconoperadoresautoadjuntossobreunespacio de Hilbert. Tal Teora de los Campos Cuanticos se ha desarrollado seg un estos principios y se denomina laTeora de los Campos Cuanticos de Lagrange. Esta teora ha alcanzado exitos notables como una teora basica de lasinteracciones elementales y resuelve bien el problema de partculas aisladas.Peroademasdeladicultadesmatematicas,estateoranoessatisfactoriaeneltratamientodelasinteraccionesentrepartculas. El unicometodoporelcualsepuedeaplicaresatravesdelateoradeperturbacionesy estaesinaplicable a las interacciones fuertes.Apesardesusdefectos, estaesla unicaTeoraCuanticaquetienebasessolidas. Seconocebajoel nombredeprincipio de Accion de Schrodinger. Debe ser mejorada.Yo no creo que se pueda descartar el metodo de variaciones. La geometrizacion de la Fsica es una consecuenciainmediatadelaTeoradelaRelatividad. EstatendenciahallasuconsumacionenlaTeoraUnicadadelCampo.En ella todas las leyes de la Fsica se representan por movimientos a lo largo de geodesicas. Si este programa no escapaz de realizarse para la Teora de los Cuantos, esta imposibilidad puede ser debido a que se usan todava conceptospre-relativsticos.Enparticularhacefaltaclaricarelconceptodepartcula. Entrelosobservablesdinamicosquesederivanparalas partculas en los diversos campos cuanticos en ninguno se indica si la partcula bajo consideracion es un cuerporgido o una gota lquida. Si aparecen contradicciones se puede llegar a la conclusion que implcitamente la partcula5es rgida. Tal cuerpo no es conforme con la Teora de la Relatividad. Por eso la Teora de los Campos Cuanticos deLagrange es incompleta hasta ahora.En cambio la vieja controversia sobre el determinismo en la Teora de los Cuantos es infecunda. En la teora existela interpretacion probabilista que es la unica que surte efecto. Pero esta teora es todava incompleta. Es imposiblepredecir la interpretacion de una teora completa que no existe ahora.Esteesunresumendelaconferenciadictadaporel Dr. KlausSchockenalumnodeMaxPlanckenocasiondelacelebraciondeloscincuentaa nosdelaMecanicaCuanticadurantesuestanciaenTegucigalpa, HondurasenelDepartamento de Fsica de la UNAH como miembro del Cuerpo de Paz.El Dr. Schockentrabajoenionizaciondegasesporrayosxenlosa nos30enAlemania, enel ArmyMedical Re-search en los 50, en el DOI en el 51 y en la Nasa del 57 al 70. Nacio el 24 de abril de 1905, murio el 13 de octubre de 1997.6IndiceContentsI. CAPITULO1 9A. Axiomas 9B. La Normalizacion de la Funcion de Onda 9C. La Estructura de un Espacio Vectorial con Producto Interno 10D. La Interpretacion de la Funcion de Onda 10Denicion de Valor Medio 10Axioma 4 11E. Propiedades de los Operadores Hermitianos 11Problemas 13F. Propiedades del Adjunto o Hermitiano Conjugado 14G. La Teora de la Medida 14H. Los Operadores Asociados a las Cantidades ObservablesEl Operador Asociado a la Posicion 16El Operador Momento Lineal 17I. Los Autovalores de un Operador Hermitiano y las Autofunciones Asociadas 17La Normalizacion de la Partcula Libre 18Problemas 18J. El Valor Medio en la Base de Autovectores 18K. Relaciones de Incertidumbre 19Teorema 19L. Operador Momento Angular 21El Modulo del Momento Angular 23El Principio de Correspondencia 23Problemas 24II. CAPITULO2 26A. La Dinamica de la Mecanica Cuantica 26B. La Velocidad de Grupo de un Pulso de Ondas 27Axioma 5 28C. La Conservacion de Probabilidad en la Ecuacion de Onda 28La Solucion de la Ecuacion de Schrodinger cuando V(x,t) no depende del Tiempo 30Ejemplos de Solucion de la Ecuacion de OndaProblemas en una Dimension 30El Operador de Paridad 32Problema No2 38El Caso Antisimetrico 40La Barrera de Potencial 42Problemas 46D. La Evolucion Temporal de la Funcion de Onda 47Ejemplo 48E. Problemas de Evolucion de Paquetes Libres 51F. Problemas de Repaso 521. Probabilidad 522. Operadores 523. Normalizacion de la Funcion de Onda. 534. Mecanica Cuantica 54G. Problemas Resueltos 56III. CAPITULO3 60A. Teorema de Ehrenfest 60B. El Comportamiento de un Potencial que se Anula en el Innito 62C. El Oscilador Armonico 637D. El Principio de Correspondencia para el Oscilador Armonico 66E. El Estudio de los Polinomios de Hermite 67F. Funcion Generadora de los Polinomios de Hermite 67G. La Formula de Recurrencia de los Polinomios de Hermite 68H. La Constante de Normalizacion del Oscilador Armonico 69I. El Caso de un Paquete Gaussiano en un Potencial Armonico 71J. Comportamiento de una Funcion de Onda de Ancho Arbitrario 74IV. CAPITULO4 76A. La Separacion de Variables en Coordenadas Cartesianas 76B. La Ecuacion de Onda en Coordenadas Esfericas 77C. Las Propiedades de los Polinomios de Legendre 82D. La Ecuacion Radial y sus Soluciones 841. La Solucion de la Ecuacion de Bessel 89E. Problemas 941. Notas y Ejemplos 952. Ortogonalidad de los Polinomios de Legendre 95F. La Partcula en una Caja Rectangular y en una Caja Circular 961. Introduccion 972. La Caja Rectangular 983. La Caja Circular 994. Ahora la Mecanica Cuantica 100V. CAPITULO5 103A. ElAtomo de Hidrogeno 103B. Clasicacion de los Niveles de Energa 105C. Algunas de las Propiedades de los Polinomios de Laguerre 106D. El Potencial Armonico Isotropo 107E. El Oscilador Armonico en Coordenadas Esfericas 108F. Sistemas de Muchas Partculas 111VI. CAPITULO6 117A. El Spin y el Momento Angular Orbital 117B. El Spin del Electron 121C. Los Hamiltonianos con Spin 124D. El Acoplamiento del Spin al Momento Angular Orbital 128E. Propiedades del Producto Directo o Tensor de Dos Espacios Vectoriales 132Calculo de los Coecientes de Clebsch-Gordan 133F. El Momento Angular y las Rotaciones 135G. La Representacion del Grupo de las Rotaciones 136H. Operadores Tensoriales 137I. El Teorema de Wigner Eckart 139J. Aplicaciones del Teorema de Wigner Eckart 140VII. CAPITULO7 143A. Perturbacion Independiente del Tiempo 1431. Caso Degenerado de Primer Orden 1462. La Teora de Perturbacion de Segunda Orden 147B. Aplicaciones de la Teora de Perturbaciones 149C. Efecto Zeeman 1491. Efecto Zeeman Normal 149D. Efecto Zeeman Anomalo 153E. El Acoplamiento SpinOrbita 155F. El Efecto Stark 1591. El Caso Degenerado 1592. El Efecto Stark en losAtomos Alcalinos 162VIII. CAPITULO8 169A. Metodos no Perturbados de Aproximacion 1698B. Aplicaciones para elAtomo de Helio 1701. La Integral de Undsold 174C. El Metodo WKB 175D. La Expansion Asintotica 182E. La Regla de Sommerfeld Wilson 185F. Calculo de Coecientes de Reexion y Transmision por el Metodo WKB 187IX. CAPITULO9 191A. La Interaccion con el Campo Electromagnetico 1911. Las Ecuaciones de Movimiento 1912. ElAtomo en la Presencia de un Campo Electromagnetico Externo 1953. La Teora de la Perturbacion Dependiente del Tiempo 1964. Emision de Radiacion 197X. Agradecimientos 2049I. CAPITULO1LosPrincipiosBasicosdelaMecanicaCuanticaA. AxiomasEnestecaptulocomenzaremosenunciandounconjuntodereglasbasicasquellamaremosdeaxiomasyquenospermitiranconstruirlateoramatematicaenlacualsebasalaMecanicaCuantica. Estosaxiomasrepresentanlasconclusiones experimentales mnimas sobre las cuales se puede construir la teora.Axioma 1. El estado de un atomo se describira por medio de una funcion de onda compleja.Axioma2. [(x, t)[2esladensidaddeprobabilidaddeal hacerunamedidadelocalizacionenel tiempotallencontrar el electron.Axioma 3. Principio de Superposicion.Lasfuncionesdeondaformanunespaciovectorial. Si 1esunafunciondeonday2tambien, lacombinacionlineal1 +2tambien sera una funcion de onda, donde ypertenecen a los n umeros complejos.B. LaNormalizaciondelaFunciondeOndaPara representar una probabilidad la funcion de onda debe estar normalizada, o sea que siP(x, t) = [(x, t)[2(1.1)es la densidad de probabilidad de encontrar la partcula en un determinado punto e instante,_VP(x, t)d3x (1.2)es la densidad de probabilidad de encontrar la partcula en el volumen V.Como la probabilidad de encontrar una partcula en todo el espacio debe ser uno, tenemos que:_[(x, t)[2d3x = 1 (1.3)Donde signica que la integral es sobre todo el espacio. Note que si sustituimos la funcion de onda original por = c (1.4)y mantenemos la normalizacion_[(x, t)[2d3x = [c[2(1.5)o sea [c[2= 1 , concluimos quec es una fase en la funcion de onda, esto es quec = ei(1.6)simultiplicamoslafunciondeondaporunafaseelestadofsiconosealtera, tendremosqueestudiarestoenmasdetalle cuando completemos la descripcion de los teoremas. Lo que nos permite armar que una fase introducida enla funcion de onda no es una caracterstica mensurable del sistema.10C. LaEstructuradeunEspacioVectorial conProductoInternoLos axiomas anteriores dan una estructura de espacio vectorial para la funcion de onda,en general de dimensioninnita.LadeterminaciondelascaractersticasdecontinuidaddeunafunciondeondaparaquerepresenteunfenomenofsiconosconducealoqueseconocecomoespaciodeSchwartzdelafuncionestest, lasfuncionesgeneralizadasfueron introducidas por Sergei Sobolev en 1935. Independientemente y a nales de la decada de 1940 Laurent Schwartzformalizo la teora de distribuciones, lo que le valio la Medalla Fields en 1950, pero en terminos menos rigurosos solose exige que las funciones sean de cuadrado integrableL2(R3) por ejemploex2El producto interno que usaremos sera:_d3x =< , > 0 (1.7)y< , >= 0 si = 0 (1.8)a menos de un conjunto de medida nula.Para que el producto interno este bien denido es necesario que satisfaga la desigualdad de Cauchy-Schwarz.[ < , > [ [[[[ (1.9)donde como es usual[[ =_< , > (1.10)la desigualdad triangular se escribe como:[ +[ [[ +[[ (1.11)Como es sabido cuando la Mecanica Cuantica se formulo por primera vez surgieron dos versiones, la de Schrodingerque utiliza ecuaciones diferenciales y la segunda debida a Heisenberg, Werner Heisenberg (5 Diciembre 1901-1 Febrero1976),queutilizaoperadoresmatriciales,laspropiedadesquerelacionanunoperadorenunespaciodeHilbertconlamatrizasociadaaeseoperadornosharanverquetantolaformulacionondulatoriacomolamatricial sondosexpresiones equivalentes del mismo fenomeno fsico. Sabemos que un espacio de Hilbert o sea un espacio con productointerno completo y separable tiene una base ortonormal. Esa base ortonormal cumplira :< ei, ej>= ij(1.12)Donde ijesel deltadeKronecker, LeopoldKronecker(Diciembre7, 1823-Diciembre29, 1891), osealamatrizasociada al operador unitarioI = .Vamos a recordar que el espacioL2(') o sea las funciones de cuadrado integrable en la recta es completo, el teoremafue probado de forma independiente en 1907 by Frigyes Riesz y Ernst Sigismund Fischer. Y por lo tanto si L2(')existe una base completa n donde = anndondean C(los n umeros complejos). ParaL(, ) la base esla de Fourier paraL2(') la base es la de Hermite.D. LaInterpretaci ondelaFunci ondeOndaDeniciondeValorMedioSabemos por el segundo axioma queP(x, t) = [(x, t)[2as el valor medio es:< x >=_xP(x, t)d3x =_[x]

d3xo sea el primer momento.En general el valor medio no se reere a una multitud de medidas hechas sobre la partcula, ya que la primera medidapuede perturbar la partcula y afectar las medidas subsecuentes as la medida se realiza sobre una gran cantidad departculas en el mismo estado.11El valor medio de una cantidad dinamica se obtiene de la siguiente manera: A la cantidad dinamica clasicaf(x, p)que es una funcion con dominio en el espacio de fases (x, p) se le asocia el operador cuantico correspondiente a travesdelarelacionx xopyp poposeahaciendocorresponderlosoperadoresdeposicionymomentolineal,aestafuncion la llamamosFopy su valor medio sera denido como:< F>=_[

Fop]d3x =< , Fop> (1.13)Fopes el operador asociado a la cantidad dinamicaF.Axioma4Asociado a una cantidad observable existe un operador oplineal tal que su valor medio es real < >=< >.Utilizando este postulado, o sea que el valor medio de toda cantidad dinamica observable es real podemos escribir:< >=< , op>=< op, > (1.14)por denicion de operador adjunto tomamos a tal que:< , >=< , > (1.15)haciendo la diferencia entre (8.23) y (8.24)< (opop), >= 0de forma queop = opo sea el operadorquerepresentaunacantidaddinamicadebeserautoadjunto. La existencia del autoadjuntoo hermitiano la supondremos sin demostracion.E. PropiedadesdelosOperadoresHermitianosUn operador es autoadjunto o hermitiano si:< , >=< , >o si (1.16)< 1, 2>=< 2, 1> (1.17)Laasociaciondeunoperadorasumatrizenunadeterminadabasesehacedelasiguientemanera: Sea nunabase ortonormal deL2luego:< n, m>= nm(1.18)como la base es completa podemos escribir: =

ann(1.19)tomando el producto interno de ambos lados (8.26) tenemos:< m, >=

an< m, n>=

annm = am(1.20)o sea quean =< n, > (1.21)quesonprecisamenteloscoecientesdeFourierosealasproyeccionesdelafuncionsobrelabase n. Loselementos de matriz del operador se obtienen de la siguiente forma: = (1.22)12 =

ann; substituyendo en (8.28) = =

ann =

ann(1.23)por otra parte la descomposicion de en elementos de la base es: =

bnnluego

bnn =

an,tomando el producto conmpor la izquierda

bn< m, n>=

an< m, n> (1.24)como< m, n>= nm, tenemos que:bn =

an< m, n> , (1.25)Si recordamos la regla de multiplicacion de una matriz por un vector dando como resultado un vector, podemos denirla matriz asociada al operador como:m,n =< m, n>el hecho que es un operador hermitiano se traduce para los elementos de matriz como:< m, n>=< m, n>=< n, m>o seam,n =

n,mpara enfatizar que bn es un vector ybnson sus componentes en la ecuacion (8.29) a veces se escribe:[bn>= bn para el vector que tiene porcomponentesbny por abuso de lenguaje tambien se representa como:[bn>= bn = [n >Esta notacion que lleva el nombre de notacion de Dirac en honor a su inventor, Paul Adrien Maurice Dirac, OM, FRS(8 de agosto de 1902 - 20 de octubre de 1984), es muy practica para calculos, en Mecanica Cuantica.La expansion en una base se re-escribe as :[>=

an[n >donde si la base [n > es ortonormal entoncesan =< n[>Encasoqueel espacioespre-Hilbertonoseparablelabaseesnodenumerable(oseanosepuedeconstruirunabiyeccion entre los elementos de la base y los n umeros enteros), en ese caso se utiliza la notacion:[(x) >= [>donde el ndice pertenece a los complejos.13ProblemasProblema 1.1Encuentre la normalizacion de las siguientes funciones de onda.(x) = ex2(x) = e|x|senxProblema 1.2Demuestre que las ecuacionesa yb son verdaderas:a) Para un espacio separable.1 =

[n >< n[ donde 1 es la unidad del espacio.b) Para un espacio no separable.1 =_[x >< x[dxProblema 1.3Dena como un funcional lineal continuo que tiene la propiedad = (0)lo que a veces se escribe como:_(x

x)f(x)dx

= f(x)a) Demuestre quexd(x)dx= (x)Problema 1.4SeanA yBdos matrices cuadradas del mismo tama no y asumaAB = BA muestre que:(A+B)2= A2+ 2AB +B2y(A+B)(AB) = A2B2Problema 1.5Sea:A =_ 1 231_y B =_ 2 01 1_EncuentreAByBA.Problema 1.6SeaF() el operador de rotacion en el espacioR2, este operador toma una base ortonormal y la gira de un anguloen el sentido trigonometrico positivo.Si e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) encuentre los elementos de matriz deFen esta base o sea:< 1[F[1 >, < 1[F[2 >, < 2[F[1 >, < 2[F[2 >Problema 1.7SeaF: R4R2dada porF(x1, x2, x3, x4) = (x1, x2) lo que es una proyeccion. Encuentre la matriz asociada a esteoperador.14Problema 1.8SeaD = d/dt la derivada yBuna base de funciones.Encuentre los elementos de matriz deD en relacion a las siguientes bases:a) et, e2tb) 1, et, t2c) 1, t, et, e2t, te2td) sent, costF. Propiedadesdel AdjuntooHermitianoConjugadoLa denicion de el operador hermitiano es:< 1, 2>=< 1, 2> (1.26)Utilizando la denicion podemos facilmente demostrar que:(AB) = BA(1.27)(A+B) = A + B(1.28)Cuando el operador satisface la ecuacion: = (1.29)Y Cdecimosquees unautovalor deloperadoryeslaautofuncion asociada. Nonecesariamentetodoslosoperadores tienen autovalores ,= 0, el operador del problema 1.6 de la seccion anterior no tiene autovalores ,= 0.Sin embargo los operadores hermitianos de espacios de dimension nita, y los operadores hermitianos de dimensioninnita pero compactos satisfacen el teorema espectral que dice:Sea V un espacio de Hilbert yA un operador lineal hermitiano (autoadjunto y compacto), luego existe un sistemaortonormal n de autovectores correspondientes a los autovalores n tal que cada elemento Vse puede escribirde forma unica como: =

nCnn +

(1.30)donde el vector

verica la condicionA

= 0,ademas:A =

k KCKK(1.31)Ylimnn = 0 (1.32)G. LaTeoradelaMedidaVamos primero a demostrar que el valor medio de un operador observable es un autovalor. Para eso es necesarioexaminarloquesignicaunamedida. Unavezefectuadaunamedidaseobtieneunn umerorealbiendenido(losoperadores hermitianos tienen autovalores reales). Despues de una medida de un operador de espectro discreto vamosasuponerqueeldesvoescero, osea: 2=2=0donderepresentaelvalormediodeloperador. Lasuposicionesrazonableperoesclasicaypuedeserjusticadanotandoquenuestrosaparatosdemedida son clasicos (esencialmente macroscopicos) luego inmediatamente despues de la medida:2=02=< ( < >)2>=< , (op < >)2> (1.33)=< (op < > , (op < >)>= 0Como el producto es positivo denido (8.30) implica que:op =< > 15De donde concluimos que al hacer la medida individual sobre op,obtendremos un autovalor y vemos que despues delamedidalafunciondeondaesunaautovector. As, cuandoelsistemaseencuentraenunestadocualquieraysehace una medida, el se reduce a una autofuncion del operador medido.&%'$

autovalor (ANTES) MEDIDA ndespues de la medida.cLas consecuencias de este cambio, brusco y discontinuo de la funcionde onda lo llamamos de reduccion del pulso que representa la partcula. Por ejemplo el estado de polarizacion de unfoton puede ser determinado por un experimento que mida si esta polarizando a izquierda o a derecha.Un foton linealmente polarizado se escribe como: = a+ +bdondea yb son n umeros complejos y la funcion de onda de un foton linealmente polarizado y+ylas funciones de onda correspondientes a las polarizaciones en el sentido dextrogiro o levogiro.Despues de hacer la medida el resultado sera+o (exclusivamente), note que hay un cambio brusco.Estohallevadoalainterpretaci ondelosmuchos-mundosquefuepropuestaporHughEverettIIIdePrincetonydesarrollada por Bryce S DeWitt y John A. Wheeler de la Universidad de Texas en Austin. Como la Teora Cuanticada solamente la probabilidad de un evento, en principio una partcula puede estar en cualquier punto solamente quecon diferente probabilidad, as la partcula existe en todos los puntos y no solamente en aquel en que la posicion esmedida.Para que esto sea satisfecho es necesario suponer que existen innitamente muchos mundos, cada uno con la partculaen la posicion diferente pero denida. Lo que sucede durante el proceso de medida es que se seleccionara un mundode los innitos posibles (una posible realidad). La funcion de onda a un as es importante, pues continua a describirla totalidad de los mundos. Esta interpretacion no es la interpretacion estadstica que nosotros le damos a la funcionde onda.Hugh Everett III (11 de noviembre de 1930-19 de julio de 1982) fue un fsico estadounidense que propuso por primeravezlaTeoradelos Universos Paralelos enlaFsicaCuantica. DejolaFsicadespues deacabar sudoctorado,desalentado por la falta de respuestas hacia su teora por parte de los demas fsicos. Desarrollo el uso generalizadode los multiplicadores de Lagrange en investigacion operativa y los aplico comercialmente como consultor y analista,convirtiendose en multimillonario.ProblemasProblema 1.9SeaHun operador que llamaremos de Hamiltoniano y que tiene elementos de matriz en la base [r >Hrr =< r[H[r

>= H(r r

)muestre que la inversa de esta matriz se puede escribir como:H1rr =

nE1nn(r

)n(r)dondeEnynson autovalores y autofunciones del operadorH.Problema 1.10Se dene una matriz ortogonal como aquella que satisface:TT=1 donde 1 es la matriz unidad. Muestre que:T =__cos sen 0sen cos 00 0 1__que produce una rotacion de un angulo en torno del eje z es ortogonal.Problema 1.11Un operador de proyeccion es una operador que proyecta un vector en un subespacio.16Por ejemplo el operador representado por la matriz__1 0 00 1 00 0 0__proyecta el vector__abc__en el subespacio bidimensional__ab0__Demuestre que siPes un operador de proyeccionP2= P. Que se puede decir sobre la inversa deP?H. LosOperadoresAsociadosalasCantidadesObservablesEl OperadorAsociadoalaPosici onEl operador asociado a la posicion sera denido como:Xop(x) = x(x) (1.34)O sea el operador multiplicacion por la coordenada x.Sia(x) es una autofuncion del operadorXopasociado a el autovalora tenemos que:Xopa = aa(1.35)Utilizando la denicion (8.31) tenemos que:(x a)a = 0 (1.36)de la teora de las distribuciones sabemos que (8.32) implica en que:a = c(a) c ( (1.37)esta relacion se puede demostrar con facilidad utilizando la transformada de FourierF(p) =1(2)32_vf(x)ex p hd3x (1.38)donde h es la constante de Planckh dividida por 2, h = h/2 yp es un parametroF() = cte (1.39)as quexT= 0F(xT) = 0 F(T)

= 0F(T) = c (1.40)tomando la transformada inversa de (8.33) tenemosFF(T) = cF(1) (1.41)lo que signica queT= c (1.42)puesF(1) = c (1.43)La generalizacion a tres dimensiones es inmediata.a(x) = (x1a1)(x2a2)(x3a3) = (x a)17El OperadorMomentoLinealPor la relacion de Broglie, sabemos que el electron es una partcula de momento p que puede ser descrito por unaondap(x) = ei px/ h(1.44)as quePoptiene que satisfacer la relacionPopp = peipx/ h(1.45)a una dimension. Como:Popp = iheipx/ hx= peipx/ h(1.46)denimos:Pop = ih/x (1.47)o equivalentemente en tres dimensionesPop = ih

(1.48)I. LosAutovaloresdeunOperadorHermitianoylasAutofuncionesAsociadasSuponga quen ,= mopn = nnyopm = mmluego como:< m, opn>= n< m, n>=< opm, n>=

m< m, n>comon ,= meso implica que< m, n>= 0en el caso quem = nn =

nluego el autovalor es real.Se dice que un operador tiene espectro (el conjunto de todos los n umeros complejos que satisfacen:( I) = 0dondeIes la identidad) no degenerado cuando existe solamente una funcionnasociada con cada autovalorn.Enel caso que el operador sea degenerada sus autofunciones deben ortogonalizarse por el proceso de Gram Smith paraconseguir una base ortogonal.Los operadores fsicos (compactos) tienen autofunciones que forman una base ortogonal completa del espacio.En el caso de los autofunciones del operador momento lineal que llamaremos de funciones de onda de lapartcula libre, como el operador momento no es compacto, la descomposicion en elementos de la base se representapor la integral de Fourier.(x) =1(2)32_Va( p)ei px/ hd3 p (1.49)Cualquier estado de una partcula libre de interaccion con otras partculas pueden expresarse en la forma (1.49).18LaNormalizaciondelaPartculaLibreComo la funcion p = ei px/ hno pertenece a L2('3) consideramos que no representa un verdadero fenomeno fsico,mas un proceso lmite de un verdadero fenomeno fsico que es descrito por un paquete de onda de la forma:pp = A_p+pppp(x)d3p = A_p+pppei px/ hd3p (1.50)debido a que el espectro del operadorPop es continuo, no tiene sentido hablar de una medida experimental con valorpreciso mas de un valor p p, o sea la integral del paquete de onda da el valor de la funcion entre p p y p +p,esta funcion as promediada si pertenece aL2('3).ProblemasProblema 1.12Calcule la transformada de Fourier de la funcion dada por: =0 [x[ > a =12aa x +aProblema 1.13Unapartculalibredemomentopserepresentapor unaondaplana. Unaparatodemedidadeterminaquelapartculaestaenlaregiondelongitudl. Lainteraccionseasume, dejalafunciondeondainvarianteenl, perolareduce a cero fuera de esta region. Cuales son el momento y la energa cinetica medias de la partcula despues quese ha hecho la medida?Problema 1.14Muestre que el momento lineal medio de cualquier paquete de onda representando una partcula libre no cambia conel tiempo.J. El ValorMedioenlaBasedeAutovectoresSea n una base de autofunciones del operador de forma que se escribe como =

anncalculando el valor medio de< > tenemos< >=< , op>==

mna

man< m; opn>=

mna

mann< m, n>=

n[an[2nluego vemos que la relacion entre un valor medio y los coecientes de Fourieranes< k>=

na2nKn(1.51)de donde vemos que la probabilidad de que un autovalor sea el resultado de una medida de es [an[2.En el caso del operador momento lineal.(x) =1(2)32_g(k)eikxd3kdonde [g(k)[2es la densidad de probabilidad de al hacer la medida encontrar la partcula con momento p = h

k19K. RelacionesdeIncertidumbreYa hemos estudiado que sucede cuando hacemos una medida de una cierta cantidad Fsica, nuestro problema ahoraconsiste en saber en que condiciones se pueden hacer dos observaciones de cantidades diferentes simultaneamente.TeoremaSean A y B dos operadores, la condicion necesaria y suciente para que A y B sean simultaneamente diagonalizableses queA yBconmuten o sea:A, B = (AB BA) = 0 (1.52)Demostracion:La condicion suciente A, B = 0 signica queAB = BA, seannynautofunciones deA yBrespectivamente.An = annBn = bnnSupongatambienqueelespectrodeambosoperadoresesnodegenerado,calculandoBAn=anBnutilizandoelhecho queAB = BA, se transforma enABn = anBn(1.53)por (1.53) entonces, si denimosn = Bn(1.54)es un autovector deAconsidere ahoraABm = bnAm(1.55)puesmes autofuncion deB.luego tanton = Bncomonson autovectores deA correspondientes al mismo autovalorAn = annyA(Bn) = anBnambos vectores deben ser proporcionalesBn nluego los autofunciones deA tambien lo son deB.La condicion necesariasiAi=aiiBi=bii(AB BA)i = (aibibiai)i = 0comoies una base completaA, B = 020el signicado fsico de este teorema, es el siguiente: las medidas fsicas asociadas a operadores que conmutan puedenrealizarse simult aneamente.A continuaci on calculamos algunas formulas de incertidumbre de mucha utilidadA2=< , (A < A >)2>paraBB2=< , (B < B>)2>ambos son n umeros. El desvo es denido como un operador hermitianoAop=A < A > I dondeIes la unidadBop=B < B> Inote que siA yBson dos operadores hermitianos el conmutador A, B = iCtambien es un operador hermitiano.(AB BA) = (AB)(BA) = BAAB = BAAB = iC(1.56)luegoC = Ces facil demostrar queAop, Bop = A, B (1.57)por otra parte por la desigualdad de Cauchy-Schwarz[ < Aop, Bop> [2 [[Aop[[2[[Bop[[2[[Aop[[2=< Aop, Aop>=< , (Aop)2>= A2as podemos escribir[[ < Aop, Bop> [[2 A2B2(1.58)si ahora calculamos[[ < Aop, Bop> [[2= Im2< Aop, Bop> + Re2< Aop, Bop> (1.59)la parte imaginaria (Im) por su vez se escribe comoIm< Aop, Bop> =12i< Aop, Bop> < Bop, Aop>=12i< , (AopBopBopAop>=12i< , Aop, Bop>utilizando (1.57) tenemos que=12i< , A, B> =12i< , iC>= 12i< C>lo que signica que (1.58) se puede escribir comoA2B2 12< C>2=< C>24(1.60)si extraemos la raz cuadrada[[Aop[[ =_< Aop, Aop>21[[A[[ [[B[[ < C>2(1.61)reparequeladesigualdaddependedelafunciondeondaquesetome. Larelacion(1.61) sellamarelaciondeincertidumbre y la funcion de onda que satisface el signo de igualdad:[[Aop[[[[Bop[[ =< C>2(1.62)se denomina paquete de mnima incertidumbre.El ejemplo clasico en el cual se aplican las relaciones de incertidumbre es la posicion y el momento lineal, tome as :xop x Pop ihd/dxcalculando la regla de conmutacionxop, Pop = xhix+ihx(x) = ihutilizando< c >= h o seac = h1 la regla de conmutacion se escribe como:Xop, Pop = ih1 (1.63)esta relacion nos dice que no podemos medir simultaneamentex yp. Una medida de la posicion modica el estadode momento lineal de la partcula y viceversa.Larelacionparalos valores medios consecuenciade (1.63) se denominaprincipiode incertidumbre oprincipiode Heisenbergxp h/2 (1.64)dondex = [[Xop[[ y p = [[Pop[[ (1.65)en tres dimensiones donde los operadores tienen componentes la ecuacion (1.65) se transforma en:xipj ijh2(1.66)L. OperadorMomentoAngularParaterminarestecaptulosobrefundamentosdelaMecanicaCuantica, estudiaremosaqu comoseescribeelmomento angular orbital, el momento angular intrnseco o spin sera estudiado en captulos posteriores.Denimos:

L =

Xop

Pop = ih(x

) (1.67)Lk = ihijkxixjdonde ijk es el tensor de Levi-Civita. Tullio Levi-Civita (1873-1941) fue un matematico italiano, famoso por su trabajosobre calculo tensorial pero quien tambien hizo contribuciones signicativas en otras areas de las matematicas. Levi-Civita personalmente ayudo a Albert Einstein a aprender el calculo tensorial, en el cual Einstein basara su RelatividadGeneral, y que haba luchado por dominar.Las componentes de

L son:Lz = ih(xy yx) (1.68)Lx = ih(yz zy) (1.69)Ly = ih(zx xz) (1.70)(1.71)22Para resolver el problema del momento angular de una partcula, empezaremos por tratar de encontrar las autofun-ciones deL o sea enz debemos resolver el problemaLz = mh (1.72)este problema se torna mas facil si pasamos a coordenadas esfericasx = rsen cos (1.73)y = rsen cos (1.74)z = r cos (1.75)utilizando la regla de la cadena podemos escribir=xx +yy +zzcomoz no depende dez= 0yx=rsensen = yy=rsen cos = x=yx +xyde donde (1.72) se escribe en coordenadas esfericas comoih= mh (1.76)lo que integrado resulta en = 0eim(1.77)como el punto (r1, 0, 0) debe ser equivalente a (r1, 0, 2)(r1, 0, 2) = 0eim2= 0lo que implica quem es un enterom = 0, 1, 2, n.Para continuar el proceso de diagonalizacion enLxyLyes necesario saber si es posible medir las tres componentesdel aumento angular con igual precision. Calculando los conmutadores obtendremos:Lx, Ly = ihLz(1.78)Lz, Lx = ihLy(1.79)Ly, Lz = ihLx(1.80)estas tres formulas se colocan en forma compacta como:Li, Lj = ihLkdondei, j, k estan en el orden cclico (1.81)o de otra forma:Li, Lj = ihijkLk(1.82)23El Modulodel MomentoAngularEl modulo de un vector esL2= L2x +L2y +L2z(1.83)si calculamos el conmutador con cada una de las componentes observamos que:Li, L2 = 0en coordenadas esfericasL2se escribe como:L2= h21sensen +1sen22que nada mas es que la parte angular del operador 2en coordenadas esfericas.2=1r2rr2r() +1r2_1sensen() +1sen22()_(1.84)y como demostraremos despues:L2 = l(l + 1) h2Luego podemos determinarL2yLzmas no las otras componentes del vector

L,que pueden quedar en cualquierlugar del planoxy, luego en lugar de un vector tenemos un cono.El angulo de apertura del cono vale: = arc cosm_l(l + 1)y su valor maximo es: = arc cosl_l(l + 1)El PrincipiodeCorrespondenciaEl principiodecorrespondenciaesdebidoaBohryarmaqueunsistemacuanticotendrapropiedadesclasicascuando sus n umeros cuanticos sean mucho mayores que la constante de Planck h.Enese sentido el lmite clasico se toma cuando h0. Por ejemplo el principio de correspondencia armaque cuandol Cos =limll_l(l + 1)= 1o sea = 0 lo que signica que conocemos simultaneamente el modulo y la direccion del vector momento angular, oen otra formaliml0Lz, Lx = ihLy 0o sea las componentes del momento angular conmutan24FIG.2: meslaalturadelconoysuangulodeapertura,_l(l + 1)suladoProblemasProblema 1.15a)Cuales son los niveles de energa para un rotor, que consiste de masas iguales M, que estan a una distancia relativad ja y separadas por una varilla sin masa?b) Cuales son las autofunciones?Problema 1.16Suponga que una partcula tiene momento angularLz = mh y modulol(l + 1)h2a)muestre que< Lx>=< Ly>= 0b) muestre que< L2x>=< L2y>=l(l + 1) h2mh22c) Suponga que se realiza una medida de una componente del momento angular que hace un angulocon el ejez;calcule el valor medio de esta medida.d) Suponga quel = 1; calcule las probabilidades de obtenerm = 1, 0 para esta componente.e) Habiendohechoestamedida, cual es laprobabilidadde obtener mhsi repetimos lamedidade Lz? Re-comendacion: Introduzca los operadoresL = LxiLyProblema 1.17Sea(x, y, z) = (x +y +z)ex2+y2+z225La funcion de onda de una partcula de masam; calcule la probabilidad de obtener para una medida deL2yLz, losresultados 2h2y 0 respectivamente.Problema 1.18Dena el producto algebraico de Jordan o anticonmutador [A, B]+ =12(AB+BA) y el producto de Lie o conmutador[A, B] =i h(AB BA) Muestre que satisfacen la relacion:[A, [B, C]+] = [[A, B], C]+ + [B, [A, C]+]5) Suponga que A y B son observables cuanticos y es un autoestado de ambos operadores. Muestre que el productode Jordan se comporta sobre este estado como el producto clasico:f[A,B]+ = fA()fB()6) Dena el parentesis de Poisson:f, g =fxgp gxfpDemuestre que x, p = 1Problema 1.19Dena

L = r p = r (ih

) escriba tanto r como

en coordenadas esfericas muestre que:a)

L = (ih)( 1sin)b) CalculeL2=

L

L y muestre que el resultado es el mismo que el obtenido en la teora.VerP.D.GuptaAm. J.Physicsvol44N9, September1976, page888. Anewderivationofquantum-mechanicalangular momentum operatorL2.26II. CAPITULO2DinamicaA. LaDinamicadelaMecanicaCuanticaYa hemos visto como a traves de postulados se le da una nueva interpretacion Fsica a las cantidades que describenunsistemafsico. El espaciobase constituidopor posicionytiempose transformanenlabase de parametrossobrelascualesseconstruyeunespaciovectorialdefunciones, funcionesestascuyovalorabsolutoalcuadradodasolamentelaprobabilidaddeencontrarlapartculaenuninstanteenunadeterminadaposicion. LascantidadesFsicas u observables se transforman en operadores y nuestras medidas corresponden a autovalores de estos operadores.Deseamos ahora calcular la evoluciontemporal de unsistema cuando sometido a undeterminado potencial yno sujeto a medidas u otros disturbios externos.Vamos acomenzar por lapartculalibrede momentolineal p =hkyenergadadapor E=h. Utilizandolas relaciones de Broglie(x, t) = ei(kxt)= eih_pxp2t2m_dondeE =p22mesta funcion satisface las ecuacionesh22m2 =p22m = Ey tambienih t = E (2.1)de donde:h22m2 = iht(2.2)En el caso de una partcula libre pero de momento no denido.(x, t) =_g(p)ei h_p.xp22mt_d3po sea que para el instante inicial podemos escribir(x, 0) =1(2)32_g(p)eipx/ hd3p (2.3)calculando los valoresg(p) por la transformada inversag(p) =1(2)32_(x, 0)eipx/ hd3x (2.4)o sea que conociendo el valor de la funcion en el instante inicial podemos conocer los valores ulteriores de la funcion,a esto se le llama conocer la evolucion del sistema.27B. LaVelocidaddeGrupodeunPulsodeOndasLa expresion_kk0a(k)ei(kxt)dkrepresenta un pulso de ondas y la velocidad de grupo del pulso se dene como:dd

k=

Vg(2.5)en el caso en que p = h

k yE = h

Vg =dEdp=ddk= pm=

V0que coincide con la velocidad de la partcula.Hasta ahora las relaciones obtenidas han sido para la partcula libre, debemos estudiar el caso de un sistema general,para ello introducimos la siguiente regla heurstica.Construya la hamiltoniana del sistemaH =p22m +V (x) (2.6)dondep es el momento lineal,m la masa de la partcula yV (x) el potencial a que la partcula esta sometida.substituimos:H = ih tp22m= h22m2de donde obtenemos:ih t = h22m2 +V (x, t) (2.7)Esta ecuacion se denomina ecuacion de Schrodinger y describe la dinamica del sistema.En principio pueden existir otros metodos de cuantizacion, el primero es considerar = eiS(x,t)/ hdondeS(x, t) =p x Etpara la partcula libre obtenemosp22m=12m(S)2) =Sto para el caso con potencial12m(S)2+V (x) =StEl argumento contra esta ecuacion es que como no es lineal es incompatible con el principio de superposicion.La ecuacionde Jacobi es unlmite semi-clasico de la Mecanica Cuantica y las trayectorias perpendiculares alas soluciones de la ecuacion representan las trayectorias reales.28La ecuacionde HamiltonJacobi representa la aproximacioneikonal a la ecuacionde onda de Schrodinger, loque es equivalente en optica a considerar una onda despreciando la difraccion de los rayos luminosos.Esta relacion la podemos exponer en el siguiente cuadro.Optica GeometricaMecanica Clasica Optica OndulatoriaMecanica CuanticaEl segundo metodo consiste en sustituir el parentesis de Poisson por el conmutador: y se imponen las reglas de conmutacion, que sustituyen las relaciones entre las variables canonicas.Problema 2.11) Demuestre que la relacion de Weyl(Hermann Weyl, 9 de noviembre 1885 - 8 de diciembre 1955):S(, ) = U()V ()ei2= ei2V ()U()dondeU() = eip, V () = eiqson familias de operadores unitarios a un parametro conducen a la relacion canonica de conmutacionpq qp = iProblema 2.2Demuestre queLz, cos =isenLz, sen =i cos Despues de esta introduccion heurstica llegamos al axioma de evolucion.Axioma5Laevoluciondinamicadel sistemaesdescritaporlaecuaciondeSchrodinger(n. 12deagosto1887enViena,Erdberg; m. 4 de enero 1961, id. era un fsico austraco, nacionalizado irlandes)iht= h2m2 +V (x, t)dondeV (x, t) es el potencial real y corresponde al potencial clasico a que la partcula esta sometida.Actualmente se ha desarrollado una version muy adecuada de la Mecanica Cuantica siguiendo la escuela de Copenhagensus axiomas se pueden encontrar en arXiv:0909.2359 [pdf] en un artculo por Pierre Hohenberg, esta version se llamaMecanica Cuantica Consistente o CQT de sus siglas en ingles.C. LaConservaci ondeProbabilidadenlaEcuaciondeOndaLa ecuacion de Schrodinger (2.7) implica en la conservacion de la probabilidad si el potencial es real; veamos comodemostramos esto introduciendo la corriente de probabilidad.Tome la ecuacion de Schrodinger(2.7) y multiplquela poras obtenemosiht= h22m2 +V (x, t)(2.8)29por otro lado calculando el complejo conjugado de (2.7) tenemos:iht= h22m2 +V (x, t)(2.9)multiplicando (2.9) poriht= h2m(2) +V (x, t) (2.10)restando (2.8), (2.10) resulta enih_t+t_= h22m(2 (2))deniendo la densidad de probabilidad = t= h2mi2 (2)por otra parte () =. +2 (2) (.)=2 (2)de donde concluimost= h2mi ( ) (2.11)deniendo la corriente de probabilidad

j = +h2mi escribimost=

j (2.12)la ecuacion (2.12) se llama ecuacion de continuidad de la probabilidad.Integrando (2.12) obtenemos una ley de conservacion_v_t_d3x = _(

j)d3xddt__vd3x_= _(

j)d3xcomoP(t) =_vd3xusando el teorema de Gauss con la normal hacia afueraddtP(t) =_s

j dscuando el radio de la supercies se hace muy grandes la corriente j = 0, luegoddtP(t) = 0Esto signica que la ecuacion de onda describe partculas que no son creadas o destruidas. En el caso que el potencialfuese complejo V (x, t)C podramos describir procesos de creacion o destruccion, mas la energa no sera un operadorhermitiano.30LaSoluciondelaEcuaciondeSchrodingercuandoV(x,t)nodependedel Tiempoiht=_h22m2+V (x, t)_(x, t)utilizando la separacion de variables(x, t) = (x)(t)ih(t)ddt=1(x)_h22m2+V (x)_(x) (2.13)ambos lados de la ecuacion deben ser iguales a una constanteihddt= E (a) (2.14)h22m2(x) +V (x)(x) = E(x) (b)de (2.14) (a) obtenemos = eiEt h(2.15)de (2.14) )(b) obtenemos una ecuacion de autovalores de solucionesnasn(x, t) = n(x)eiEnt h(2.16)la solucion general es(x, t) =

nann(x)eiEnt h(2.17)si conocemos el valor de la funcion ent = 0 podemos escribir(x, 0) =

nann(x) (2.18)o seaan =< n, (x, 0) > (2.19)vemos que la partcula libre es un caso particular de (2.17)(x, t) =1(2)32_g(p)ei px hiE(p)t hd3pEjemplosdeSoluciondelaEcuaciondeOndaProblemasenunaDimension1) Considere una caja impenetrable, o sea el potencial como se muestra en la gura.31ET Ta/2 a/2V (x)I II IIIxla ecuacion del potencial esV (x) =___0 a/2 < x < a/2[x[ > a/2___(2.20)o en la forma mas com unmente usada en FsicaV (x) = (x [a/2[)Solucion. Utilizando (2.14) (b)_h22md2dx2+V (x)_n = Enen la region II. podemos escribirh22md2dx2IIn= EnIIn(2.21)en la region I y III no existe partcula luegoI,III= 0en la region II, la solucion general de (2.21) es:n = An cos knx +Bnsenknx (2.22)dondeAnyBnson constantes ykntiene el valorkn =_2mEn/h2(2.23)imponiendo la continuidad de la funcion de onda tenemos:II(a/2) = II(a/2) = 0 (2.24)lo que signicaAn cos_kna2_+Bnsen_kna2_= 0 (2.25)An cos_kna2_Bnsen_kna2_= 0 (2.26)tenemos as dos posibilidades:Caso No1Suponga queAn#0 Bn = 032luego por (2.24) y (2.25)cos_kna2_= 0kna2= (2n + 1)2kna = (2n + 1) n = 0, 1, 2 . . .En =(2n+1)2 h22ma2(2.27)luegoII= An cos_(2n + 1)xa_la normalizacion se obtiene por[A[2_a/2a/2cos2knxdx = 1Problema 2.3Calcule el valor deAnCaso No2En el segundo caso suponga queAn = 0, Bn#0en este casosen_kna2_= 0kna2= n kn =2nao seaE =(2n)22h22ma2n = 1, 2 . . .reuniendo las formulas de energaEr =2h2r22ma2r = 1, 2 . . .sir es impar la solucion es simetrica, sir es par la solucion es antisimetrica. Note que la solucion simetrica es la demenor energa.El OperadordeParidadLa simetra de la funcion esta relacionada con las propiedades del sistema fsico. Para estudiar estas propiedadeses necesario introducir un operador paridad denido como:P(x) = (x) (2.28)Pes un operador lineal, que tiene que ser unitario yP2= 1 luego tiene que ser hermitiano.Problema 2.4Solo con la propiedad de P[x >= [ x > demostrar que es un operador hermitiano. Use que < x

[ x >= (x +x

>Los autovalores dePson 1, pues como cualquier funcion puede escribirse como(x) =12(x) +(x) + 12(x) (x) (2.29)donde la parte(x) +(x) es simetrica y corresponde al autovalor 1, y(x) (x) corresponde al autovalor 1.33La relacion entre la simetra del potencial y la simetra de la funcion de onda se obtiene mostrando que P conmutaconHel operador hamiltoniano.P, H = (PH HP) = P_h22m2 +V (x)__h2m2+V (x)_(x)PV (x)(x) = V (x)(x) siVes simetrico podemos escribirP, H = h22m2(x) +V (x)(x) +h22m2(x)V (x)(x) = 0de donde concluimos que si el potencial es simetrico la funcion de onda sera necesariamente simetrica o antisimetrica.34CoplasdeJorgeManrique(Paredes de Nava, Palencia o Segura de la Sierra, Jaen, 1440Santa Mara del Campo Rus, Cuenca, 1479),poeta espa nol.COPLAS DE DON JORGE MANRIQUE POR LA MUERTE DE SU PADREIRecuerde el alma dormida,avive el seso e despierte contemplando como se passa la vida,como se vienela muerte tan callando; cuan presto se va el plazer, como, despues de acordado, da dolor; como, a nuestroparescer, cualquiere tiempo passado fue mejor.IIPues si vemos lo presente como en un punto ses ido e acabado, si juzgamos sabiamente, daremos lo nonvenido por passado. Non se enga ne nadi, no, pensando que ha de durar lo que espera mas que duro lo quevio, pues que todo ha de passar por tal manera.IIINuestrasvidassonlosrosquevanadarenlamar, quesel morir; all vanlosse norosderechosaseacabar e consumir; all los ros caudales, all los otros medianos e mas chicos, allegados, son iguales los queviven por sus manos e los ricos.INVOCACIONIVDexo las invocaciones de los famosos poetas y oradores; non curo de sus cciones, que traen yerbas secretassussabores. Aquelsolomencomiendo,Aquelsoloinvocoyodeverdad,queenestemundoviviendo,elmundo non conocio su deidad.VEstemundoeselcaminoparaelotro, quesmoradasinpesar; mascumpletenerbuentinoparaandarestajornadasinerrar. Partimoscuandonascemos,andamosmientravivimos,ellegamosaltiempoquefenecemos; ass que cuando morimos, descansamos.VIEste mundo bueno fue si bien usasemos del como debemos, porque, segund nuestra fe, es para ganar aquelque atendemos. Aun aquel jo de Dios para sobirnos al cielo descendio a nescer aca entre nos, y a viviren este suelo do murio.VIISi fuesseennuestropoderhazerlacarahermosacorporal, comopodemoshazerel almatanglorosaangelical, que diligencia tan viva tovieramos toda hora e tan presta, en componer la cativa, dexandonosla se nora descompuesta!VIIIVeddecuanpocovalorsonlascosastrasqueandamosycorremos, que, enestemundotraidor, aunprimero que muramos las perdemos. Dellas deshaze la edad, dellas casos desastrados que acaecen, dellas,por su calidad, en los mas altos estados desfallescen.IXDezidme: La hermosura, la gentil frescura y tez de la cara, la color e la blancura, cuando viene la vejez,cual se para?Las ma nas e ligereza e la fuerca corporal de juventud, todo se torna graveza cuando llegael arrabal de senectud.XPues la sangre de los godos, y el linaje e la nobleza tan crescida, por cuantas vas e modos se pierde sugrand alteza en esta vida! Unos, por poco valer, por cuan baxos e abatidos que los tienen; otros que, pornon tener, con ocios non debidos se mantienen.XILos estados e riqueza, que nos dexen a deshora quien lo duda?, non les pidamos rmeza. pues que sonduna se nora; que se muda, que bienes son de Fortuna que revuelven con su rueda presurosa, la cual nonpuede ser una ni estar estable ni queda en una cosa.XII35Pero digo cacompa nen e lleguen fasta la fuessa con su due no: por esso non nos enga nen, pues se va la vidaapriessa como sue no,e los deleites daca son,en que nos deleitamos,temporales,e los tormentos dalla,que por ellos esperamos, eternales.XIIILos plazeres e dulcores desta vida trabajada que tenemos, non son sino corredores, e la muerte, la celadaen que caemos. Non mirando a nuestro da no, corremos a rienda suelta sin parar; desque vemos el enga noy queremos dar la vuelta no hay lugar.XIVEsos reyes poderosos que vemos por escripturas ya passadas con casos tristes, llorosos, fueron sus buenasventuras trastornadas; ass, que no hay cosa fuerte, que a papas y emperadores e perlados, ass los tratala muerte como a los pobres pastores de ganados.XVDexemos a los troyanos, que sus males non los vimos, ni sus glorias; dexemos a los romanos, aunque omose lemos sus hestorias; non curemos de saber lo daquel siglo passado que fue dello; vengamos a lo dayer,que tambien es olvidado como aquello.XVIQue se hizo el rey don Joan? Los infantes dAragon que se hizieron? Que fue de tanto galan, que detanta invincion como truxeron?Fueron sino devaneos, que fueron sino verduras de las eras, las justas elos torneos, paramentos, bordaduras e cimeras?XVIIQue se hizieron las damas, sus tocados e vestidos, sus olores? Que se hizieron las llamas de los fuegosencendidos damadores?Que se hizo aquel trovar, las m usicas acordadas que ta nan?Que se hizo aqueldancar, aquellas ropas chapadas que traan?XVIIIPues el otro, su heredero don Anrique, que poderes alcancaba! Cuand blando, cuand halaguero el mundocon sus plazeres se le daba! Mas veras cuand enemigo, cuand contrario, cuand cruel se le mostro; habiendolesido amigo, cuand poco duro con el lo que le dio!XIXLas davidas desmedidas, los edecios reales llenos doro, las vaxillas tan fabridas los enriques e reales deltesoro, los jaezes, los caballos de sus gentes e atavos tan sobrados donde iremos a buscallos?; que fueronsino rocos de los prados?XXPues su hermano el innocente quen su vida sucesor se llamo que corte tan excellente tuvo, e cuanto grandse nor le siguio! Mas, como fuesse mortal, metiole la Muerte luego en su fragua. Oh j uicio divinal!, cuandomas arda el fuego, echaste agua.XXIPuesaquelgrandCondestable, maestrequeconoscimostanprivado, noncumplequedelsehable, massolo como lo vimos degollado. Sus innitos tesoros, sus villas e sus lugares, su mandar, que le fueron sinolloros?, que fueron sino pesares al dexar?XXIIE los otros dos hermanos, maestres tan prosperados como reyes, ca los grandes e medianos truxieron tansojuzgados a sus leyes; aquella prosperidad quen tan alto fue subida y ensalzada, que fue sino claridadque cuando mas encendida fue amatada?XXIIITantos duques excelentes, tantos marqueses e condes e varones como vimos tan potentes, d, Muerte, dolos escondes, e traspones?E las sus claras haza nas que hizieron en las guerras y en las pazes, cuando t u,cruda, tensa nas, con tu fuerca, las atierras e desfazes.XXIVLashuestesinumerables, lospendones, estandartesebanderas, loscastillosimpugnables, losmurosebal uartes e barreras, la cava honda, chapada, o cualquier otro reparo, que aprovecha?Cuando t u vienesairada, todo lo passas de claro con tu echa.36XXVAquel de buenos abrigo, amado, por virtuoso, de la gente, el maestre don Rodrigo Manrique, tanto famosoe tan valiente; sus hechos grandes e claros non cumple que los alabe, pues los vieron; ni los quiero hazercaros, pues quel mundo todo sabe cuales fueron.XXVIAmigodesus amigos, quese nor paracriados eparientes! Queenemigodenemigos! Quemaestrodesforcados e valientes! Que seso para discretos! Que gracia para donosos! Que razon! Que benino alos sujetos! A los bravos e da nosos, que leon!XXVIIEnventura, Octavano; JulioCesarenvencerebatallar; enlavirtud, Africano; Anbal enel saberetrabajar; en la bondad, un Trajano; Tito en liberalidad con alegra; en su braco, Aureliano; Marco Atilioen la verdad que prometa.XXVIIIAnto no Po en clemencia;Marco Aurelio en igualdad del semblante;Adriano en la elocuencia;Teodosioen humanidad e buen talante. Aurelio Alexandre fue en desciplina e rigor de la guerra; un Constantino enla fe, Camilo en el grand amor de su tierra.XXIXNondexograndestesoros, nialcancomuchasriquezasnivaxillas; maszoguerraalosmorosganandosus fortalezas e sus villas; y en las lides que vencio, cuantos moros e cavallos se perdieron; y en este ociogano las rentas e los vasallos que le dieron.XXXPuesporsuhonrayestado, enotrostiempospassadoscomoshubo? Quedandodesamparado, conhermanosecriadossesostuvo. Despuesquefechosfamososzoenestamismaguerraquehaza, zotratos tan honrosos que le dieron aun mas tierra que tena.XXXIEstas sus viejas hestorias que con su braco pinto en joventud, con otras nuevas victorias agora las renovoen senectud. Por su gran habilidad, por meritos e anciana bien gastada, alcanco la dignidad de la grandCaballera dell Espada.XXXIIE sus villas e sus tierras, ocupadas de tiranos las hallo; mas por cercos e por guerras e por fuerca de susmanos las cobro. Pues nuestro rey natural, si de las obras que obro fue servido, dgalo el de Portogal, y,en Castilla, quien siguio su partido.XXXIIIDespues de puesta la vida tantas vezes por su ley al tablero; despues de tan bien servida la corona de surey verdadero; despues de tanta haza na a que non puede bastar cuenta cierta, en la su villa dOca na vinola Muerte a llamar a su puerta,XXXIVdiziendo: Buencaballero, dexadel mundoenga nosoesuhalago; vuestrocorazondazeromuestresuesfuerco famoso en este trago;e pues de vida e salud fezistes tan poca cuenta por la fama;esfuercese lavirtud para sofrir esta afruenta que vos llama.XXXVNon se vos haga tan amarga la batalla temerosa quesperais, pues otra vida mas larga de la fama glorosaacadexais. Aunquestavidadhonortampoconoeseternalniverdadera; mas,contodo,esmuymejorque la otra temporal, perescedera.XXXVIEl vivir ques perdurable non se gana con estados mundanales, ni con vida delectable donde moran lospecadosinfernales; maslosbuenosreligiososgananloconoracioneseconlloros; loscaballerosfamosos,con trabajos e aicciones contra moros.XXXVII37Epuesvos,clarovaron, tantasangrederramastesdepaganos, esperadelgalardonqueenestemundoganastes por las manos; e con esta conanca e con la fe tan entera que teneis, partid con buena esperanca,questotra vida tercera ganareis.[Responde el Maestre:]XXXVIIINontengamostiempoyaenestavidamesquinaportal modo, quemi voluntadestaconformeconladivina para todo; e consiento en mi morir con voluntad plazentera, clara e pura, que querer hombre vivircuando Dios quiere que muera, es locura.[Del maestre a Jes us]XXXIXT u que, por nuestra maldad, tomaste forma servil e baxo nombre;t u, que a tu divinidad juntaste cosatan vil como es el hombre;t u, que tan grandes tormentos sofriste sin resistencia en tu persona, non pormis merescimientos, mas por tu sola clemencia me perdona.FINXLAss, con tal entender, todos sentidos humanos conservados, cercado de su mujer y de sus hijos e hermanose criados, dio el alma a quien gela dio (el cual la ponga en el cielo en su gloria), que aunque la vida perdio,dexonos harto consuelo su memoria.Jorge Manrique, 147738ProblemaNo2La caja nita se describe por un potencial de la formaV (x) =___0 [x[ < a/2V0[x[ > a/2que se representa gracamente comoETa/2 a/2I II IIIAV (x) BLa partcula que tiene energaA representa un estado ligado o sea la energa totalE< V0La partcula que tiene energaBrepresenta una partcula en un estado dispersivo o seaE> V0As tenemos clases de soluciones en el caso del estado ligado, en la region II podemos escribir la ecuacion de autovalores.h22md2dx2n = Enque tiene solucionesn(x) = Ancos(knx) +Bnsen(knx)conk2n =2mh2Enen la region I y II la ecuacion de autovalores se escribe comoh22md2dx2+V0 = Eesta ecuacion puede escribirse en la formad2dx2=2mh2 (V0E) (2.30)de solucionesI,II= AI,IIex+BI,IIexdonde =_(2m/h2)(V0E)la continuidad de la ecuacion de onda esta garantizada si el potencialV L2('). integrando (2.30) tenemos_a/2+a/2d2dx2=2mh2_a/2+a/2(V (x) E) dx00que utilizando el teorema fundamental del calculo se transforma enddx[a/2+ddx[a/2 = 039luego si la derivada es continua con mayor razon la funcion.Continuemos a estudiar el estado ligado del pozo de potencial. Las soluciones son del tipoII= AIIcos kx +BIISenkx en la region II, yI,III= AI,IIIex+BI,IIIexen la region I y IIISabemos que basta analizar el caso simetrico y antisimetrico, para la region II la solucion simetrica es:II(x) = AIIcos kxLa solucion AI,IIIexno es una solucion Fsica pues cuando x , la solucion diverge. Analogamente para la regionIBI= 0, as:I(x) = AIexIII= BIIIexpara el caso simetricoI(x) = III(x)de dondeAI= BIIIimponiendo la continuidad de la funcion y su derivada ena/2AIIcos k2a = BIIIea/2(2.31)kAIISenka2= BIIIea/2(2.32)dividiendo (2.32) por (2.31) tenemosk tan (ka)2= que es una ecuacion de autovalores, pues limita los valores posibles de la energa, escribiendola en otra forma.ka2tan ka2=a2cambiando variables =ka2y =a2podemos escribir tan = (2.33)por otro lado calculando2+2=_2mEh2+ 2m(V0E)h2_a242+2=mV0a22h2(2.34)que es la ecuacion de un crculo.La solucion simultanea de (2.33) y (2.34) se representa gracamente abajoEn el graco observamos que a medida que el potencialV0se torna mas profundo aparecen autovalores asociadosa auto-estados al borde del pozo. Igualmente cuandoa2crece aparecen nuevos estados ligados. CuandoV0 las4010 5 5 1020101020FIG.3: xtanxyvarioscrculosderadio1-10circunferencias tienden para innito y corta las tangentes en/2, 3/2, etc. como en el caso del pozo innito.Las caractersticas de estasolucionnose limitanal pozocuadradoperosi aplicanatodopotencial simetrico,los potenciales que comparten estas propiedades se llaman de alcance nito y tienen un n umero nito de autovalores.Los potenciales que satisfacen la desigualdad de Bargmann (a tres dimensiones):I =_0r[V (r)[drnl I2l + 1sondealcancenito, dondenleseln umerodeautovaloresconmomentoangularl. Peroelpotencial V (r)=1/relpotencialcoulombianonoesdealcancenito. Eln umerodeestadosligadosesdependientedeladimensiondelespacio. En el caso de una dimension es necesario:_V (x)dx 0Am J Phys Vol 57, issue 10, pagina 886.Notequeseg unlosresultadosobtenidosexisteprobabilidaddeencontrarlapartculaenunaregionclasicamenteprohibidaoseadeenergacineticanegativa, masestonoescontradictorioporquesi realizamosunamedidadelaposicion de la partcula alteramos de tal manera su momento lineal.xp hque la energa sera positiva. As pues, no tiene sentido hablar en energa cinetica en una region del espacio sino en laenerga cinetica como un todo.El CasoAntisimetricoEn el caso antisimetrico las soluciones de la ecuacion de onda son:II= BIISenkxI= AIIIexIII= AIIIexlas condiciones de contorno implican en:a) La continuidad de la funcion de ondaBIISenka2= AIIIea/241b) La continuidad de la derivadakBIIcos ka2= AIIIea/2Laantisimetranospermitearmarquesi imponemoslascondicionesdefronteraena/2automaticamenteseranimpuestos en a/2. Con estas soluciones llegamos acot = 2+2=mV0a22h2lo que corresponde a la siguiente gura: de la gura anterior vemos que despues de una valor simetrico contin ua un10 5 5 10302010102030FIG.4: xcotxyvarioscrculosderadio1-10estado antisimetrico y as sucesivamente. Esta propiedad es propia de potenciales de alcance nito.Finalmente paraE> V0todos las soluciones son oscilatorias y los autovalores continuos as:I(x) = Aeikx+Beikx; k2=2mh2 (E V0)II(x) = Ceikx+Deikxk2=2mh2EIII(x) = Feikxlas soluciones de (2.34) se pueden obtener en forma numerica como2+2= R2R =_(mV0a2)/2h2 = tan despejando =_R22luego = (cot)_R22en el casoR = 1 eso signicaV0 =2 h2ma2si denimos la funcionf() =_(R22)cot una solucion graca se puede encontrar0 = 0.7854encontrando las races de la funcionf() =_R22cot 42Valores deRaces Caso Races CasoR Simetrico. Antisimetrico.1 0.739 02 1.0298 03 1.1701 04 1.2523 04 3.5953 05 1.3064 05 3.8374 4.104610 1.4275 010 4.271 3.49910 7.0688 7.068110 9.67880=noexistesolucionla forma antisimetrica se puede escribirg() = (_R22)Tan +LaBarreradePotencialEl problema inverso al pozo de potencial es la barrera de potencial. Este ejemplo es importante pues introduce elefecto t unel, en el cual una partcula con energa total E< V0, la altura de la barrera, pasa de un lado a otro de esta.E1 2 3a/2 a/2VV0El potencial de la barrera se escribe comoV (x) =___0 [x[ > a/2V0[x[ < a/2La barrera de potencial es un sistema fsico analogo al paso de una onda de luz de un medio dielectrico a otro. Porejemplo en el caso de incidencia normalR = [E

/E[2dondeEes el campo incidenteE

es el campo reejado y R el coeciente de reexion. Este coeciente de reexion solo depende de las caractersticasdel cristal de forma queR =_1 n1 +n_2deformaanalogaaqu Relcoecientedereexiondependerasolodelafrecuenciadelaondaylaextensiondelabarrera, o sea los parametros propios de la barrera.433 2 1 1 2 30.20.40.60.81.0FIG.5: Unabarreradealtura1Para la region (1) y (3) podemos escribirh22md2dx2(1, 3) = E(1, 3)que tiene soluciones(1)= A1eikx+B1eikx, k =_(2mE)/h2dondeA1eikxes la onda incidente yB1eikxes la onda reejada.Para 3= A3eikxy B3= 0 pues no existe onda reejada en el innito. En la region 2 la ecuacion deSchrodinger se escribe como:h22md2(2)dx2= (E V0)(2)utilizando la ecuacion de conservacion del ujo de probabilidad = sabemos que cuando no depende de t+

j = 0implica en

j = 0o sea en una dimension conA > a/2_AAdjdx= jT jI +jR = 0o sea que de forma analoga a lo que se hace en optica podemos escribirjI jR = jTdondeTsignica transmitido,R reejado eIincidente.como

j =h2mi

44podemos escribir que[A3[2+[B1[2= [A1[2Si denimos los coecientes de reexion y transmision comoR =B1A12yT=A3A1soluciones: =___A1eikx+B1eikx(1)A2ex+B2ex(2)A3eikx(3)de dondeR +T= 1note queT, RyItienen la misma frecuenciak pues corresponden a la region 1 y 3.Vamos a continuacion ha calcular los coecientes para la barrera. Comenzamos imponiendo las condicionesde continuidad de la funcion de onda y su derivada enx = a/2A1eika2+B1eika2= A2ea2+B2ea2ik_ekai2A1B1eika2_= _A2ea2B2ea2_enx = a/2A3eika2= A2ea2+B2ea2ik_A3eika2_= _A2ea2B2ea2_resolviendo el sistema de cuatro ecuaciones y 5 incognitas vemos que uno tieneA1= eikaA3_cosh(a) i2_k k_Senh(a)_T=A3A12=1_cosh2a +14_k k_2Senh2(a)_que se comporta cualitativamente comoT e2ay esta expresion tiende a cero cuandotiende para innito.El coeciente de reexion R se escribe como:R =11 +4k22csch(a)2(k2+2)2450.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0a0.20.40.60.81.0sech2a 2

Azul Transmisin y LilaReflexinFIG. 6: R+T=1;CoecientesdereexionytransmisionparaunabarreradealtodosveceslaenergadelapartculayanchovariableEn el caso queE> V0las soluciones son:1= Aeikx+Beikx2= CeiKx+DeiKx3= Feikxdondek2=2mE h2yK2=2m h2 (E V0) el coeciente de reexion esR =8k2K2k4+ 6k2K2+K4(k2K2)2Cos[2aK]que es el mismo coeciente de reexion del pozo cuando se cambiak k yK iel coeciente de transmision es:T=11 +4k2K2Csc[aK]2(k2K2)2que se representa gracamente como:460.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0a0.20.40.60.81.04174

14 cos2 a 2

Azul Transmisin y LilaReflexinFIG.7: R+T=1ProblemasProblema 2.5EnMecanicaClasica, lospotencialesdereferencia, sonarbitrarios. Cual esel efectoenlafunciondeondaylaenerga, de adicionar una constanteV0en la ecuacion de Schrodinger?Problema 2.6Calcule el coeciente de reexion del sodio metalico en funcion de la energa del electron y su angulo de incidencia.Paraelectronesdelongituddeondagrande, labarreradepotencialdeunmetalpuedetratarsecomodiscontinua.Asuma que la energa potencial de un metal es de -5 electron - voltios. Calcule el ndice de refraccion de un metalpara electrones.Problema 2.7Calcule la corriente de probabilidadJpara la regionx = 0 en el caso de un escalon de potencial colocado enx = 0,cual es la interpretacion Fsica que se le da aJparaE< V .cx = 0Problema 2.8CalculelaprobabilidaddetransmisiondelabarreraparapartculasdemasamyenergaE>V . Asumaquelabarrera es delgada de forma que la condicion es valida.h2mEaEsto es equivalente a asumir que la longitud de onda de Broglie de la partcula es mucho mayor que el grosor de labarrera rectangular.a) Calcule el coeciente de transmision para dos barreras delgadas o seaa h/2mE47que estan separadas por una distanciab.b) Discuta los efectos de resonancia que puedan aparecer para ciertas energas y separaciones.D. LaEvoluci onTemporal delaFunciondeOndaHastaahorahemosaprendidoaresolverlaecuaciondeSchrodingerindependientedel tiempo, nuestrosiguienteobjetivo es estudiar la evolucion temporal de una funcion de onda.Vamos a comenzar por describir un pulso, o partcula libre del cual sabemos su conguracion inicial.Una vez que_ne(iEt h)_es una base completa, podemos escribir(x, t) =

ann(x)eiEnt/ h(2.35)como en el caso de la partcula libren = ei h pxyEn =p22mla ecuacion (2.35) se describe como(x, t) =123h3_g(p)ei h_ pxp2t2m_d3p (2.36)dondee_ihp22mt_es la dependencia temporal de la funcion de onda.Vamos a introducir, como en optica un vector de propagacion asociado a la partcula por la relacion

k =p/h (2.37)este vector tiene modulok =2donde es la longitud de onda de Broglie de la partcula, Prince Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (n. Dieppe,Francia, 15deagostode1892-Pars, Francia, 19demarzode1987), conesolaformula(2.36)seescribeenunadimension como(x, t) =1(2)12_+a(k)ei_kx hk2t2m_dk (2.38)dondea(k) esta dado por la transformada inversa de Fouriera(k) =12_+(x, 0)eikxdx (2.39)48EjemploComoejemplovamos aanalizar laevoluciontemporal deunagaussiana. Por razones queprontoveremos lallamaremos de paquetedemnimaincertidumbre.Una gaussiana se escribe como(x, 0) =12(x)214e(ipx h)ex24(x)2(2.40)este pulso esta normalizado, pues facilmente calculamos_+(x, 0)(x, 0)dx =1_2(x)2_+ex2/2(x)2dxy vemos que su valor es 1.Problema 2.9Demostrar que la integral arriba vale 1, usando _ex2dx =_.Vamos a mostrar ahora quep que aparece en la denicion (2.40) es en realidad el momento lineal medio< p >.Calculando por la denicion< p >=< , Pop>=< , ihddx>como la funcion de onda que aparece en la integral (2.39) es(x) = e_ipx hx24(x)2_aplicandoPopa la funcion de onda obtenemosPop = ih1dx = ihpe(ipx h)ddxe_x24(x)2_(2.41)demuestre que:(ihddx) = (ex22x2_2px2+ixh_22x3)integrando a ambos lados (2.41) tenemos_ex2dx =_ih_+ddxdx = p_+dx ih_+e_x24(x)2_ddxe_x24(x)2_dxdemostraremos que la segunda integral va para cero y luego< , Pop>= psupongaf(x) = e_x24(x)2_la integral_+e_x24(x)2_ddx_e_x24(x)2__dx49se escribe como_+f(x)dfdx=12_ddxf2(x)dx =12f2() f2() = 0acontinuacionvamosademostrarqueunagaussianaesunpulsodemnimaincertidumbre; oseaquesatisfacelaigualdadpx =h2estoesequivalenteadecir queenladesigualdaddeSchwarz, oladesigualdaddeCauchy-Bunyakovski-Schwarz,podemos escribir[ < Aop, Bop> [2= A2B2o sea que ambas funciones x y p son paralelasx = Pdonde cEsto demuestra que las desigualdades en el principio de incertidumbre no son crticas, pues existe un caso donde sesatisface la igualdad.Considere la transformada de Fourier (2.39), donde la funcion inicial es la gaussianaa(k) =1((2)(x)2)_+e_ip.x hx24x2_e(ikx)dx (2.42)completando el cuadradox24x2+i_ph k_x = 14x2__x 2x2i_ph k__2x2_ph k_2_(2.43)usando esta identidad (2.43) en la integral (2.42) tenemosa(k) =e(x2(p/hk)22(2x2)14_+e14x2 (x2x2i(p/ hk))2dx (2.44)utilizando la transformacion de variablesZ =12x_x 2ix2_ph k__o seadz =12xdxas (2.44) se reduce aa(k) =e_x2(p hk)2_2(2x2)14_+ez2dz(2x) (2.45)que utilizando_+ez2dz =a(k) =_2x2_14ex2(p/ hk)2(2.46)50se reduce aa(k) =e(x2(p/ hk)2)(/(2x2))14(2.47)recordando que la transformada de Fourier es una transformacion unitaria o sea que no altera los longitudes[[FT[[ = [[T[[concluimos que_+a(k)a(k)dx = 1recordando las propiedades de la gaussiana vemos que, si es una gaussiana.1_x m_=12e((xm)/(22))2(2.48)de donde< x >=1_+x_x m_dx =_+(m+x)(x)dx = mlo que signica quem es el valor medio de la gaussiana.Usando un razonamiento analogo y viendo quex(x) = ddxse obtiene(x)2=1_+(x m)2_x m_dx = 2_+x2(x)dx = 2luego es la varianza de la gaussiana, identicado (2.48) con (2.47), tenemosa(k) =_2x2_14e(2x2(p/ hk)2/2)o sea que es una gaussiana, con varianza22=12x2o sea2=14x2= (x)2y el valor mediok = p/h(p)2(x)2=h24queeraloquedeseabamosdemostrar. Deaquconcluimosquecuandomasestrechasealagaussianaoriginalmaslarga sera la gaussiana enp y viceversa.La evolucion del pulso en el tiempo es(x, t) =__+a(k)e_i_kx hk22m__dk_1251calculando cona(k) dado por (2.47)(x, t) =1(2)12(2x2)12_+e_x2( p hk)2+ikxi hk2t2m_dkluego[(x, 0)[2=1(2x2)12ex22x2por integraciones analogas a las anteriores escribimos[(x, t)[2=1(2)121x2+ h2t24m2x2e{x(p/2m)t}22(x2+ h2t24m2x2)(2.49)esosignicaquecuandopasaeltiempolagaussianasevadesplazandoconvelocidadp/myelanchodelpulsovaaumentando comox(t) =_x2+ (ht2/(4m2x2)) (2.50)recordando lo que sucede en un gas de momentop y de desviacion p despues de un tiempo grande el radio del gassera:L vtusandox =hptenemos quex ht2mxuna propiedad general para un paquete de onda, es que en la evolucion temporal se disloca con una velocidadp/m ysu alargamiento sera vt.E. ProblemasdeEvoluciondePaquetesLibresMuchos libros derivan el propagador libre:K(x, x

, t) =_m2ihte[im(xx

)2/2 ht]luego la evolucion de un paquete arbitrario(x, 0) se escribe como:(x, t) =_K(x, x

, t)(x

, 0)dx

Problema 2.10Demuestre que la ecuacion de evolucion en funcion del momento se escribe como:(x, t) =12h_e[i h(px12mp2t)](p)dpProblema 2.11Expandap2en torno a p =< p > hasta segunda orden.52Problema 2.12Demuestre que la ecuacion de propagacion se puede escribir aproximadamente como:(x, t) = ei p2t2m h(x ptm, 0)Problema 2.13Los paquetes de la forma:n(x, t) =1/42nn!ei(+(n1))ex2/22Hn(x)nocambiandeformacuandoevolucionan. Si b =m x p(t i)pararealeseloperadorinvariante. Demuestrepara algunosnn=0,1 que son autofunciones de b. =tx222yei=_(li)(l+i) =_h(t2+2)mVea: The evolution of free wave packets, Mark Andrews arXiv:0801.0188v1,quant-ph, 31dic 2007.F. ProblemasdeRepasoLos problemas de repaso son tomados de University of Chicago,Graduated Problems in Physics por J.Cronin,D. Greenberg and V. Telegdi. (1967)Cuandollegamosaestaetapaenel curso, losalumnostienenlosconceptosbasicosdelaMecanicaCuanticaperopor las mismas limitaciones que traen a veces tienen dicultad en resolver problemas, as decidimos enfrentarlos a unconjunto mayor de problemas para que puedan aanzar sus conocimientos.1. ProbabilidadProblema 2.14Unacomunidadpracticael control delanatalidaddeunaformamuypeculiar, cadaconjuntodepadrescontinuateniendo hijos hasta que nace un varon. Ah entonces paran. Cual es la proporcion de varones y hembras si en laausencia de control de la natalidad 51% de los ni nos eran varones?Problema 2.15Un dado consiste de un cubo con un color diferente en cada cara.a) Cuantas clases de dados distintos pueden construirse.b) Cuantas formas diferentes hay de hacer un par de dados.Problema 2.16Suponiendo que las estrellas estan distribuidas de forma aleatoria en la esfera celeste y que hay cerca de 6500 estrellasvisibles a simple vista. Algunas veces dos estrellas parecen que estan muy cerca, pero una investigacion mas detalladamuestra que no existe ninguna conexion Fsica entre ellas, un par de estas es llamada una estrella doble optica.a) Calcule el valor esperado del n umero de estrellas dobles opticas con separacion de no mas de 1 segundo de arco.b) Cual es la probabilidad de que existan 2 estrellas opticas dobles?c) Estime la probabilidad de que exista una estrella optica triple.2. OperadoresProblema 2.17Encuentre los autovalores y los autovectores normalizados de la matriz:__0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0__53Problema 2.18Seanilos autovalores de la matrizH =__2131 1 23 2 3__Calcule las sumasa)3

i=1iy3

i=12iProblema 2.19SeanByC, 2 operadores que anticonmutanB, C+ = BC +CB = 0SeaxunautoestadodeambosByC, Quesepuedearmarsobrelosautovalorescorrespondientes? ParaB=n umero de bariones yC = Conjugacion de carga; las relacionesB, C+ = 0 yC2= 1Son validas?, Que implica su resultado en este caso?Problema 2.20Tres matrices Mx, My, Mz cada una con 256 lneas y columnas, se sabe obedecen las reglas de conmutacion [Mx, My =iMz(con permutaciones cclicas) Los autovalores de una matriz son 2 cada uno una vez, 3/2 cada uno ocho veces,1 cada uno veintiocho veces, +1/2 cada uno cincuenta y seis veces, 0 cada uno setenta veces. Calcule los autovaloresde la matriz.M2= M2x +M2y +M2zProblema 2.21Encuentre los autovalores de la matrizik = [Xi, [L2, xk]] i, k = 1, 2, 3L2= ( rx p)23. NormalizaciondelaFunci ondeOnda.Problema 2.22Calcule la integrallim0+_dk(k2a2i)3a > 0Problema 2.23Calcule_Sen3xx3dxProblema 2.24Calcule_0xdxex1;_0x3dxex154Problema 2.25Calcule la transformada de Fourier def(x) = cos(x2)Problema 2.26Encuentref(t) de la transformada de Laplace:_0eptf(t)dt =a2p2+a2Problema 2.27 Muestre que_0Senh(ax)Senh(x)=12 tan(a/2) a 4. Mec anicaCuanticaProblema 2.28Use la regla de cuantizacion para calcular los niveles de energa permitidos a una bola que rebota elasticamente en ladireccion vertical.Problema 2.29UnelectronestacontenidodentrodeunaesferaderadioR. Cual eslapresionPejercidaenlasuperciedelaesfera si el electron estaa) en el estado fundamental?b) en el menor estadoP?Problema 2.30Una partcula de masam se mueve en el potencialV (r) = V0donder < a yV (r) = 0.Cuando r > a. Encuentre el menor valor de V0 tal que existe un estado ligado de cero energa y cero momento angular.Problema 2.31Considere la ecuacion de Schrodinger conV (x) =___m2 w2x2x > 0 x < 0Encuentre los autovalores de la energa.Problema 2.32Encuentre el valor de la energa en el estado fundamental de una partcula en el siguiente potencialV (x) =___x < 0cx x > 0Problema 2.33Encuentre la suma de la serie innita.S = 1 + 2x + 2x2+ 4x3+ [x[ < 1Problema 2.34La funcion generadora de los polinomios de Hermite esF(x, t) = ex2(tx)2=

k=0Hk(x)txk!55a)ExpreseHn(x) como una integral de contorno.b)Pruebe queHn(x) satisface la ecuacion diferencial:d2Hdx22xdHdx+ 2nH = 0c) Deduzca la relaciondHdx n(x) = 2nHn1(x)Problema 2.35Muestre que los autovalores de energa de un pozo simetrico pueden ser cualquiera siE> V .Problema 2.36Una partcula de masam se mueve en una lnea recta y se acerca a una barrera de potencial de la formaV (x) =___0 x < 0 x > aV 0 x adesdex = La energa esE< Vk2=2mEh2K2=2m(V E)h2encuentre la razon entre las intensidades reejada y transmitida siKa 1si el haz se acerca al centro de la barrera de forma quek K y ka 1muestre que el rayo es casi completamente transmitido, por otra parte si el se acerca al tope de una barrera alta deforma queK k y ka 1muestre que el rayo es casi completamente reejado. Empleese la funcion de onda para x a como U(x) = Deik(xa)y expandaeka 1 +kaProblema 2.37Para un oscilador armonico en el estado fundamental encuentre el valor medio del momentum< p >Problema 2.38Un sistema rgido gira libremente en torno del ejezcon momento de inercia I. Expresando los niveles de energa delsistema en terminos del momento angular, muestre que los posibles niveles de energa para el sistema son:Em =h2m22I, m = 0, 1, 2con autofuncionesum()eimdonde es el angulo que especica la orientacion del sistema en el planox, y.56G. ProblemasResueltosEstos problemas resueltos han surgido de las clases de problemas que normalmente se dictan junto con el curso ytienen como objetivo organizar un poco mas las notas del alumno.A) Problemas de NormalizacionEncuentre la normalizacion de(x) = ex2Solucion: = e2x2luego_dx =_e2x2dx = IluegoI2=__e2x2dx_ __e2y2dy_=__dxdye2(x2+y2)=_20d_0re2r2dr = 2_20re2r2dr = 2_0e4d= 2e0=2comoI2=2tenemos queI =_/2luego la constante de normalizacion esC =1I=_2_14la funcion normalizada es:(x) =_2_14ex2B) Normalice(x) = e|x|senx = e2|x|sen2xAs:_e2|x|sen2xdx; esta integral es evidentemente convergentepues es limitada superiormente por_e2|x|sen2xdx_e2|x|dx_e2|x|_1 cos 2x2_dx =12_e2|x|dx 12_e2|x| cos 2xdx57la primera integral es:12_e2|x|dx =_0e2xdx =_0e2udu2; u = 2x, du = 2dx= eu20=12la segunda integral es:12_e2|x| cos 2xdx =_0e2xcos 2xdx =_0e2x_e2xi+e2xi2_dx=12_0_e2x(i1)+e2x(i+1)_dx=12_e2x(i1)2(i 1) e2x(1+i)2(1 +i)_0=14_11 +i 1i 1_=18(1 i (i 1)) =14luego la integral total valeI =12 14=14y la funcion de onda normalizada es = 2e|x|senxC)Calcule la integrallim0+_dk(k2a2i)3a > 0esta integral tiene polos de orden 3 enk = a de forma que(k2a2i)3=_k2(a2)_1 +ia2__3= 0 por lo tanto los polos estan enk = a_1 +ia_12=___a +i2a i2luego en el plano complejo los ponemos comoel polo positivo queda dentro y el negativo fuera, as:_f(z)dz = 2iRes(f(z))Res(f(z)) =limza_1(m1)!dm1dzm1(z a)mf(z)_luegof(k) =1(k a)3(k +a)3enk = a que es el polo interior al contorno quedam = 3Resf=12!d2dk21(k +a)3=+3421(2a)5=1264a5=116a558aslim0+_dk(k2a2i)3=(2i)(3)16a5=3i8a5D)CalculeI =_sen3xdxx3Solucion:La integral es convergente una vez que no existen singularidades puessenxx= 1 cuandox 0 y cuandox es grandese puede limitar por _A1x3dx que es convergente; luego la integral es convergente. La integral I se puede escribir:comosen3z =_eizeiz2i_3=e3iz3e2izeiz+ 3eize2ize3iz8isen3z =e3iz3eiz+ 3eize3iz8iluego la integral se escribe comoI =1(2i)3_e3iz3eizz3dz =2i(2i)36(i)22=34E) Considere la integral de la funcionzez1sobre un contorno rectangular que tiene un vertice en (0,0) alturai que va hasta innito positivo en el eje x.FIG.8: Caminodeintegraci onAs_0xdxex1 +_0f(z)dz +_0(x +i)(ex+i1)dx _0ydy(eiy1)_zdzez1=_0xdxex1 _0xdxex+ 1 i_0dxex+ 1 _0ydyeiy1= 0Tomemos la parte real e imaginaria de la ecuacion,_0ydyeiy/2(eiy1)=_0yeiy/2eiy/2eiy/2dy =12i_0yeiy/2sen(y/2)dy=12i_0y(cos y/2 iseny/2)seny/2dy =12i_0ycot(y/2)dy 12_ydyluego la parte real es sencilla y se escribe como (note que cambia el lmite de integracion)_0xdxex1 +_0xdxex+ 1 12_0ydy = 059o sea_0xdxex1 +_0xdxex+ 1=24

usamos la ecuacion_0xndxex+ 1=_1 2n__0xndxex1que demostraremos a continuacion_0xex+ 1=12_0xex1dxluego

se transforma en32_0xdxex1=24_0xdxex1=26para demostrar la formula intermedia considere_0xnex+ 1dx _0xnex1dx = I_0xn_(ex1) (ex+ 1)e2x1_dx =_0xn(2)e2x1dx=_0un2n(2)du/2eu1= 2n_0xndxex1as:_0xnex+ 1dx = (1 2n)_0xndxex160III. CAPITULO3LaTeoraSemiClasicayelOsciladorArmonicoLlegara un silencio absoluto y la m usica sera entonces perfecta.La Ciencia es la or del tiempo (Quiron).A. TeoremadeEhrenfestSabemos que el valor medio esta dado por:< A >=< , A>Y queremos estudiar como se comportan los valores medios cuando pasa el tiempo.La dinamica del sistema se expresa por la ecuacion de ondaiht= HdondeH =P2op2m+V (x)Sicalculamosddtparaunoperadorquenodependeimplcitamentedeltiempo(cuandodependeimplcitamentedel tiempo aparecera una parcela mas) asA =Aop(Xop, Pop)utilizando la deniciond < A >dt=_ddt , A_+_, Addt_=_Hih, A_+_, AHih_= 1ihH, A) , AH)cambiando el signo y usando el hecho queHes hermitianod < A >dt=1ih< , A, H> (3.1)este resultado es muy parecido con el obtenido en la Mecanica Clasica donde la ecuacion del movimiento se escribecomo:dAdt= A, Hpdonde pes el parentesis de Poisson.En el caso en que el operador depende del tiempo podemos escribir:d < A >dt=1ih< A, H > +_At_(3.2)en el caso que A, H = 0 yAt= 0(3.2) se reduce ad < A >dt= 0lo que implica que< A >=constante del movimiento61Calculemos algunos ejemplo comod < x >dt=1ih< x, H > (3.3)yd < p >dt=1ih< p, H > (3.4)utilizandoH =p22m +V (x)tenemos para (3.3)x, H =_x,p22m +V (x)_=_x,p22m_=12mx, p2 (3.5)Utilizando la propiedad de los conmutadoresA, BC = BA, C +A, BCtenemos que (3.5) se transforma en:x, H =12mx, p2 =12m(pjxi, pj +xi, pjpj)=ih2m(piij +ijpi) =ihmpide donde escribimos:d < xi>dt=ihih< pi>m=1m< pi>o sea qued < x >dt=< p >m=< v>como vimos para el caso del pulso, o sea el centro de masa se desplaza con velocidadv =< p >mcalculemos ahora (3.4)d < p >dt=1ih< p, H>=1ih< p, V (x) >haciendo el calculo de< p, V (x) >=__ihx(V (x)(x)) +ihV (x)x_dxcancelando terminosV (x)xel resultado es:< p, V (x) >= ih_(x)Vx (x)dx.62de donded < p >dt=1ih< p, H >= _Vx dxo sea que para los valores mediosd < p >dt= (3.6)lo que signica que para los valores medios de los operadores la segunda ley de Newton continua siendo valida.m d2dt2< x >= Si ademas el potencial vara poco en la region donde se encuentra< V (x) > V (< x >)de modo que (3.6) se escribe como:md2< x >dt2= V (< x >)xlo que signica que el centro de masa del pulso se desplaza con la velocidad de la partcula clasica.Problema 3.1Calculeddtla variacion del desvo en el tiempo, vea que el pulso gaussiano se va alargando cuando pasa el tiempo.B. El ComportamientodeunPotencial queseAnulaenel InnitoEstudiemos el comportamiento de una partcula sujeta a un potencial atractivo que se anula en el innito.El potencial tal y como se muestra en la siguiente gura es atractivo y tiene estados ligados.ABIIIIII4 2 2 4x value1.00.80.60.40.2VxFIG.9: PotencialconestadoligadoComo se muestra en la gura,los puntos de retorno sonxAyxB. Que son los puntos donde se intercepta la lneade energa constante con el potencial.La ecuacion de onda para este potencial se escribe:_h22md2dx2+V (x)_ = E63o deniendo el operador de derivacionD =ddxD2 =2mh2 [V (x) E] (3.7)El estado ligado corresponde a una solucion de (3.7) cuando la energa total es menor que cero.Los puntosxA yxBson los puntos lmites del movimiento clasico. El movimiento en las regiones II y III es diferentedel movimiento en I.Cualitativamente podemos ver que el vector de ondak =_(2m/h2)(E V )se torna imaginario para todos los puntos en queV (x) E> 0Oseaqueenlasseccionesdondeel potencial esmayorquelaenergatotal, kesimaginarioylafunciondeondadecrece exponencialmente.Si por el contrarioE V (x) > 0k es real y la funcion de onda tiene caracter oscilante.Ademas, lasderivadasdelafunciondeondadebensatisfacerciertascondicionesparatenersentidofsico, porejemplo:Si > 0 yd2dx2< 0 la funcion de onda tiene concavidad negativa y va decreciendo cuando(x) se anula la funcioncambia de signoutilizando (3.7), vemos qued2dx2> 0luego < 0d2dx2> 0eso demuestra que la funcion de onda es oscilante.Puede suceder que > 0 yd2dx2> 0 pero en este caso la funcion sera siempre creciente y no pertenecera aL2(').El hecho de que la funcion sea decreciente en las regiones II y III simultaneamente requiere en general un ajuste delos valores deE, siendo que estos valores as obtenidos dan origen a la cuantizacion de la energa.C. El OsciladorArmonicoEl potencial armonico es un potencial que aproxima a otros en los puntos de mnimo.Si V(x) es una funcion que tiene serie de TaylorV (x) = V (0) +_dVdx_x=0x + 12_d2Vdx2_x=0x2+64Si estamos en un punto de mnimodVdx= 0y V(x) se escribe como:V (x) = V (0) + 12d2Vdx2 x2+ En el caso que V es armonico lo escribimos como:V (x) =12kx2y la ecuacion de Schrodinger se escribe como_h22md2dx2+k2x2_(x) = E(x) (3.8)esta es una ecuacion diferencial lineal en, para resolverla lo primero que haremos es introducir una nueva variable de forma quex = acon el objeto de reducir las constantes multiplicativas de la ecuacion (3.8), as esta adquiere la forma:_h22mka4d2d2+2_() =2Eka2() (3.9)de forma que sia =_h22mk_1/4yE

=2Eka2la ecuacion (3.9) se reduce a:_d2d2+2_() = E

() (3.10)o sead2()d2= (2E

)()Estudiemos el comportamiento asintotico de la ecuacion cuando2E65en esta situacion (3.10) se reduce a:d2d2 2() (3.11)la solucion de la ecuacion (3.11) es de la forma:e2/2o sea que las soluciones de la ecuacion completa (3.9) seran de la forma:() = f()e2/2= H()e2/2substituyendo en (3.10) obtenemosd2d2H() 2ddH() + (E

1)H() = 0 (3.12)esta es la ecuacion diferencial de Hermite que se resuelve por serie de potencias. Como ya separamos el comportamientosingular de la ecuacion buscamos una solucion analtica que tiene expansion:H() =

n=0ann(3.13)derivando tenemosdHd=

n=0nann1d2Hd2=

n=2n(n 1)ann2substituyendo en(3.12) e igualando exponentesan+2 =2n + 1 E

(n + 2)(n + 1)an(3.14)lo que para los terminos pares signicaa2m =m

14k 3 E

2k(2k 1)a0(3.15)de forma analoga para los terminos imparesa2m+1 =m

14k 1 E

2k(2k + 1)a1(3.16)para grandes valores de (3.15) se comporta como un factoriala2n 1n!por lo que en la aproximacion asintotica laserie tiene dos componentes

1n!2n+

1n!2n+1= e2+e2luego la funcion total() =H()e2/2no pertenece aL2('), para evitar esa explosion debemos reducir la serie aun polinomio. O seaan debe anularse a partir de un cierton as quean+2 = 0 lo que signica queE

= 2n +1 y quetambien debemos anulara1que genera los terminos imparesa1= 0. Podemos tambien anulara0y trabajar con laparte impar en este caso el resultado paraE

es el mismo.66Deniendolafrecuenciaangular=_kmpodemoscolocarEn=h(n +12)cuandohacemosn=0obtenemosla energa delestado fundamental, E0= h2; elestado fundamental representa uncompromisoentre la localizacionde la partcula de parte del potencial y el efecto cuantico en el que la localizacion aumenta la energa cinetica de lapartcula por el principio de incertidumbre xp h. La formula que Max Planck propuso para el cuerpo negro acomienzos del siglo XX era En = nh, mas como el problema de radiacion solo depende de las diferencias de energa;el resultadoobtenidoerael mismo. Engeneral parael tratamientonorelativsticodeproblemasfsicossolonosinteresan las diferencias de energa.En resumen sustituyendo podemos decir que las funciones de onda del oscilador armonico son:(x) = NnHn(x/a)e12(x/a)2D. El PrincipiodeCorrespondenciaparael OsciladorArmonicoUna vez normalizadas las funciones de onda se escriben como:(x) = NnHn(xa)e12(xa)2las que se representan por el dibujo de abajo.Por otra parte calculando la probabilidad de encontrar la partcula en el movimiento armonico clasico2 1 1 2eje x0.51.01.52.0VxFIG.10: Potencialyfunciondeondaalcuadradoparan=10P(x)dx =dtT/2=2dtTdonde T es el perodo y dt el intervalo de tiempo en el cual se recorre dx, as:P(x) =dtdx2T=2Tvcomo la ecuacion clasica de la energa es:Mv2+kx2= 2Ev =2E kx2mP(x) =2T_2m_E kx22_1/2Dibujando este resultado en la gura anterior vemos que el valor medio de los resultados cuanticos cuando n , seaproxima del valor clasico, y este es el punto relevante del principio de correspondencia, de que para grandes n umeros67cuanticos el valor medio coincide con el comportamiento clasico.En otras palabras en este casoP(x) =2T_2m_E kx22_1/2 [ (x) [2nE. El EstudiodelosPolinomiosdeHermiteLa funcion de onda contiene en las autofunciones de la energa los polinomios de Hermite.Un polinomio de Hermite tiene la forma:Hn = anxn+an1xn1++a1x +a0(3.17)Si n es par, el polinomio solo contiene terminos pares. Si n es impar, el polinomio solo contiene terminos impares.Por denicion:an = 2n(3.18)Las funciones de onda se escriben como:() = NnHn()e2/2(3.19)El factor de normalizacion se escoge para que< n, m>= nmy los polinomios de Hermite satisfacen la ecuacion diferencial de Hermite:d2Hndx22xdHndx+ 2nHn(x) = 0 (3.20)F. Funci onGeneradoradelosPolinomiosdeHermiteUna buena referencia se encuentra en Generating Function - Wikipedia, the free encyclopedia.Una funcion se llama generadora de un conjunto de polinomios sif(x) =

Pn()xnn!dondePnson los polinomios yf(x) es la funcion generadora.Para los polinomios de Hermite la funcion generadora esf(x) = ex2+2xutilizando la serie de potencias en la funcion generadora tenemoses2+2s=

0Hn()snn!(3.21)vamos a demostrar que:

0__d2d2 2dd+ 2n_Hn()_snn!= 068Considere que la funcion generadoraf(s, ) = es2+2ssatisface_d2d2 2dd+ 2sdds_f(s, ) = 0para demostrar esto vemos qued2d2(es2+2s) = 4s2es2+2s2dd(es2+2s) = 4ses2+2s2sddses2+2s= 2s(2s + 2)es2+2so sea que_4s24s + 2s(2s + 2)_es2+2s= 0y si ahora colocamosf(s, ) =

an()snn!en la ecuacion_d2d2 2dd+ 2sdds_

an()snn!= 0vemos que

0_d2d2 2dd+ 2n_an()snn!= 0luegolosterminosenel parentesistienenqueanularseidenticamenteyan()debecoincidirconlospolinomiosdeHermite con los que demostramos (3.21)G. LaFormuladeRecurrenciadelosPolinomiosdeHermiteL