mecanica classica

NOTAS DE AULAS

Mecanica Classica

Prof.: Salviano A. Leao

Goiania – Goias

Sumario

1 Introducao 1

1.1 PADROES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Referencias Bibliograficas 19

2 Mecanica Newtoniana 20

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Dinamica: massa e forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2 Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3 Terceira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Princıpio da Relatividade de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Transformacoes galileanas: referenciais inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Aplicacoes das leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7 Integracao das equacoes de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7.1 Analise do movimento unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7.2 Forca aplicada constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7.3 Forca aplicada dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.7.4 Forcas dependentes da velocidade: Forcas de retardamento . . . . . . . . 46

2.8 Teoremas de conservacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.8.1 Conservacao do momentum linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.8.2 Conservacao do momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.8.3 Conservacao da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.8.4 Potencia (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.8.5 Dependencia Temporal da Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.8.6 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

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2.8.7 Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.9 Movimento de foguetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.9.1 Movimento do foguete: forca externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.9.2 Movimento do foguete: sem forca externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.9.3 Foguete em ascensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.10 Limitacoes da mecanica newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.11 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.12 Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.12.1 Expansoes em series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.12.2 Funcoes Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.12.3 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3 Oscilacoes 89

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2 Pequenas Oscilacoes: Lineares e Nao-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2.1 Oscilacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2.2 Oscilacoes Nao-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2.3 Moleculas Diatomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3 Oscilador Harmonico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.4 Estudo do Movimento Harmonico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4.1 Analise do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.4.2 Condicoes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.5 Oscilador Harmonico Simples: Solucao por Conservacao de Energia . . . . . . . 100

3.6 Oscilador Harmonico Simples e a Conservacao de Energia . . . . . . . . . . . . . 101

3.7 Energias Medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.8 Oscilador Harmonico e o Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . 103

3.9 Pendulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.10 Oscilador Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.11 Osciladores Acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.12 Determinacao da frequencia Natural ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.12.1 Metodo da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.12.2 Metodo de Rayleigh: Massa Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.13 Oscilacoes Harmonicas em duas Dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.14 Diagramas de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.15 Oscilacoes Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.15.1 Amortecimento Subcrıtico (β < ω0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.15.2 Balanco de Energia: Fator de Qualidade Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.15.3 Amortecimento Crıtico (β = ω0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.15.4 Amortecimento Supercrıtico (β > ω0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

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3.16 Oscilacoes Forcadas Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.17 Ressonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.18 Impedancia de Um Oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.19 Princıpio da superposicao: series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.20 Elementos de um Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.20.1 Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.20.2 Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.20.3 Indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.20.4 Gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.21 Oscilacoes Eletricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.22 Analogia entre as Oscilacoes Mecanicas e Eletricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.23 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.23.1 Circuitos LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.23.2 Circuitos RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4 Gravitacao 150

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.2 Princıpio da Superposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.3 Distribuicoes Contınuas de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.4 Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.5 Campo Gravitacional g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.6 Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.7 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.7.1 Angulo Solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.7.2 Fluxo de Um Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.7.3 Lei de Gauss Para o Campo Gravitacional g . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.7.4 Aplicacoes da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.8 Forma Diferencial da Lei de Gauss: Equacao de Poisson . . . . . . . . . . . . . . 170

4.9 Linhas de Forca e Superfıcies Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5 Calculo Variacional 176

5.1 A Natureza Geral dos Problemas de Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.2 Formulacao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.3 A equacao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.4 A segunda forma da equacao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.5 Funcoes com varias variaveis dependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.6 Equacoes de Euler com condicoes de vınculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.7 A notacao δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

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5.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

6 Formulacao Lagrangeana da Mecanica 187

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.2 Conceitos Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.3 Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.4 Graus de Liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.5 Espaco de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.6 Espaco de Configuracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.7 Vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.8 Dificuldades Introduzidas Pelos Vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.8.1 Vınculos e as coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.9 Princıpios dos Trabalhos Virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.9.1 Deslocamento Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.9.2 Vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.9.3 Trabalho Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.10 Princıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.11 Equacoes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.11.1 Vınculos nas equacoes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

6.11.2 Exemplos de Sistemas Sujeitos a Vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6.12 Aplicacoes da Formulacao Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6.13 Energia Cinetica em Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.14 Momentum Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.15 Potenciais Dependentes da Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.16 Forcas Aplicadas e de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

6.17 Funcao de Dissipacao de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.18 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.18.1 Deducoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.18.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7 Princıpio de Hamilton: Dinamicas Lagrangeana e Hamiltoniana 249

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7.2 Princıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

7.3 Princıpio de Hamilton a Partir do Princıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . 254

7.4 Equacoes de Lagrange a Partir do Princıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 257

7.5 Princıpio da Relatividade de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

7.6 A Lagrangeana de Uma Partıcula Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

7.7 Lagrangeana de um Sistema de Partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.8 Princıpio de Hamilton: Vınculos Nao-Holonomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Prof. Salviano A. Leao v

7.8.1 Metodo dos Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

7.8.2 Forcas de Vınculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

7.9 Vantagens de Uma Formulacao Por Um Princıpio Variacional . . . . . . . . . . . 276

8 Leis de Conservacao e Propriedades de Simetria 280

8.1 Momentum Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

8.2 Coordenadas Cıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

8.3 Translacoes e Rotacoes Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

8.3.1 Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

8.3.2 Rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

8.4 Teoremas de Conservacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

8.4.1 Homogeneidade Espacial e Conservacao do Momentum . . . . . . . . . . 287

8.5 Isotropia Espacial e Conservacao do Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . 288

8.6 Uniformidade Temporal e Conservacao da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

8.7 Invariancia de Escala na Mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

8.8 Teorema do Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

8.9 Equacoes de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

8.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

9 Dinamica Hamiltoniana 300

9.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

9.2 Equacoes Canonicas de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

9.3 Equacoes de Hamilton a Partir do Princıpio Variacional . . . . . . . . . . . . . . 303

9.4 Integrais de Movimento das Equacoes de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 305

9.5 Integrais de Movimento Associados com as Coordenadas Cıclicas . . . . . . . . . 305

9.6 Transformacoes Canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

9.7 Parenteses de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

9.8 Propriedades Fundamentais dos Parenteses de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 314

9.9 Parenteses de Poisson Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

9.10 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

9.11 Parenteses de Poisson e as Integrais de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

9.12 Equacao de Movimento na Forma dos Parenteses de Poisson . . . . . . . . . . . 317

Capıtulo 1

Introducao

Definir o conceito de ciencia nao e uma

tarefa simples, entretanto, considerar-se que

a ciencia pode ser definida como um con-

junto de conhecimentos sistematicamente or-

ganizado sobre um determinado objeto, adqui-

ridos por meio de observacoes e experimentos

reprodutıveis, criticamente testados, sistemati-

zados e classificados segundo princıpios gerais.

Os criterios usados para definir uma area do

conhecimento como uma ciencia, estabelecem

um metodo cientıfico. Neste contexto, a fısica

pode ser definida como a ciencia que inves-

tiga os fenomenos naturais, pois ela tem como

ponto de partida um conjunto de hipoteses que

surgem da observacao dos fenomenos naturais,

e essas hipoteses, que representam uma idea-

lizacao destes fenomenos, sao as bases com que

as teorias fısicas sao construıdas. Nessas teo-

rias, as leis envolvendo grandezas fısicas sao

expressas em termos de equacoes matematicas

que descrevem e preveem seus comportamen-

tos sob determinadas condicoes. As teorias da

fısica nao sao completas e nem imutaveis, de

fato, elas podem vir a ser modificadas. Com

o desenvolvimento tecnologico medidas expe-

rimentais de determinadas grandezas podem

ser efetuadas com uma maior precisao e novos

experimentos podem ser realizados. A com-

paracao numerica entre os resultados previstos

pela teoria e a medida experimental serve como

um parametro para julgar se a teoria e correta

ou nao e, se for o caso, em que ponto e ne-

cessario introduzir correcoes ou modificacoes.

Se a concordancia numerica for boa, a proba-

bilidade da teoria estar correta e grande. Por

outro lado, se a concordancia for apenas quali-

tativa, fica difıcil julgar a teoria. Alem disso, se

existir mais de uma, a dificuldade de escolher

entre as diferentes possibilidades seria grande,

entretanto, os fısicos, nestes casos tendem a es-

colher a teoria mais simples. Fenomenos novos

tambem podem ser observados e quando estes

nao podem ser explicados pelas teorias vigen-

tes, e necessario uma nova teoria que englobe

todos os experimentos realizados.

As grandezas fısicas que aparecem nas

equacoes matematicas devem expressar quan-

tidades, as quais devem possuir significados

numericos precisos. Se uma dada grandeza

for definida, especificacoes de como determina-

la quantitativamente devem estar contidas na

sua definicao. Uma definicao apenas qualita-

tiva nao e suficiente para ser usada como ali-

cerce da construcao de uma teoria cientıfica.

Na pratica, apesar de ser muito difıcil cons-

truir uma definicao idealmente precisa, supoe-

se implicitamente que as grandezas envolvidas

estao precisamente definidas quando se escreve

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uma equacao matematica. Nesta situacao, e

importante estar ciente em que ponto e em

que grau a construcao de uma teoria e afe-

tada pela falta de precisao nessas definicoes.

Existem conceitos que sao definidos em termos

daqueles que ja foram anteriormente definidos

e sao chamados conceitos derivados. Assim,

toda vez que um novo conceito derivado for

definido, sera suposto que os conceitos ante-

riores, usados na nova definicao, estao preci-

samente definidos. Rastreando-se os concei-

tos anteriores, utilizados para definir os con-

ceitos derivados, fatalmente voltar-se-a ate os

conceitos basicos ou primitivos, os quais exis-

tem com uma certa falta de precisao. Geral-

mente esses conceitos primitivos sao supostos

como conhecidos ”a priori”, seja pela vivencia,

seja pela intuicao. Muitos desses conceitos

(por exemplo, espaco, tempo, massa e carga no

caso da fısica) tornaram-se parte integrante da

nossa vida diaria, o que aumenta o risco de se-

rem considerados mais obvios do que realmente

o sao. De qualquer forma, a construcao de

uma teoria deve ser iniciada em algum ponto

mesmo que a precisao desejavel nao seja al-

cancada. Sempre que atingir um estagio mais

avancado, deve-se retornar as definicoes des-

ses conceitos e aperfeicoa-las. Assim, cada vez

que houver uma compreensao melhor, aper-

feicoa-se as definicoes dos conceitos primitivos.

Mesmo nesses conceitos primitivos, ha necessi-

dade de incluir ao menos uma definicao opera-

cional para que a sua determinacao quantita-

tiva seja possıvel.

Uma das teorias cientıficas mais antigas e

mais conhecidas, nos moldes das chamadas

”ciencias exatas”, e a Mecanica Classica. As

leis da alavanca e dos fluidos em equilıbrio

estatico ja eram conhecidos por Arquimedes

de Siracusa (287?-212 a.C.) da antiga Grecia.

Depois da descoberta das leis da mecanica

por Galileu Galilei (1564-1642) e por Sir Isaac

Newton (1642-1727), a Fısica teve um desen-

volvimento enorme nos ultimos tres seculos.

Apos o surgimento da chamada Fısica Mo-

derna no inıcio do seculo XX, muitas das leis da

mecanica sofreram modificacoes. Entretanto, a

Mecanica Classica continua sendo uma otima

teoria na maioria das aplicacoes que surgem no

cotidiano terrestre. Ela leva a previsoes corre-

tas das grandezas que descrevem os fenomenos

fısicos, desde que nao envolvam velocidades

proximas a da luz, massas enormes, distancias

cosmologicas e dimensoes atomicas.

A Mecanica Classica, tem como objeto de es-

tudo corpos em movimento ou em repouso e a

condicoes de movimento e repouso, dos mes-

mos quando estes estao sob a influencia de

forcas internas e externas. Ela nao explica

porque os corpos se movem; ela simplesmente

mostra como o corpo ira se mover em uma

dada situacao e como descrever o seu movi-

mento. Ela nao se preocupa em explicar a ori-

gem das forcas, e sim, como os corpos irao se

movimentar sob a acao de tais forcas. O es-

tudo da mecanica pode ser dividido em tres

partes: Cinematica, Dinamica e Estatica. A

cinematica fornecem uma descricao puramente

geometrica do movimento (ou trajetoria) dos

objetos, desconsiderando as forcas que o pro-

duziram. Ela trata com os conceitos que se in-

terrelacionam: posicao, velocidade, aceleracao

e tempo. A dinamica se preocupa com as

forcas que produzem as mudancas no movi-

mento ou mudanca em outras propriedades

fısicas, tais como a forma e o tamanho do ob-

jeto. Isto nos conduz aos conceitos de massa e

forca e as leis que governam o movimento dos


objetos. A estatica, por sua vez, e um caso

particular da dinamica, a qual trata os corpos

na condicao de repouso, ou seja, na ausencia

de forcas externas.

Embora a mecanica tenha seu inıcio na an-

tiguidade, ela teve um grande avanco com

Aristoteles (384-322 a.C.) e depois ficou parali-

sada por quase 20 seculos. Entretanto, a verda-

deira ciencia da Mecanica foi fundada por Ga-

lileu, Christiaan Huygens (1629-1695) e New-

ton. Eles mostraram que os objetos se movem

de acordo com certas regras, e estas regras fo-

ram estabelecidas na forma de leis do movi-

mento. A Mecanica Classica ou Newtoniana e

essencialmente o estudo das consequencias das

leis do movimento formuladas por Newton no

seu ”Philosophiae Naturalis Principia Mathe-

matica”, publicado em 1686.

Apesar das Leis de Newton em sua for-

mulacao original, fornecerem uma aborda-

gem simples e direta para os problemas da

Mecanica Classica, existem algumas outras for-

mulacoes dos princıpios da Mecanica Classica.

Entre eles, os dois mais usados sao a for-

mulacao Lagrangeana e a Hamiltoniana. Estas

duas formulacoes tem a energia e nao a forca

com o conceito fundamental, desta forma, as

equacoes que se seguem, destas formulacoes,

sao escalares e nao vetoriais.

A Mecanica e o ramo da Fısica que estuda os

movimentos dos corpos e suas causas. E, entao,

necessario uma boa compreensao dos conceitos

primitivos e de como as teorias sao construıdas

com base neles. A hipotese mais fundamen-

tal na Mecanica Classica e a de considerar o

espaco e o tempo contınuos, o que significa que

existem padroes universais de comprimento e

de tempo. Assim, observadores em diferentes

lugares e em diferentes instantes podem com-

parar suas medidas de um dado evento ocor-

rido em um determinado ponto do espaco e

em um instante especıfico. Ate hoje, nenhuma

evidencia convincente de que se alcancou o li-

mite de validade desta hipotese surgiu. Ou-

tras duas hipoteses, tambem muito importan-

tes, estabelecem que o comportamento dos ins-

trumentos de medida nao e afetado pelos seus

estados de movimento (desde que nao estejam

sendo rapidamente acelerados) e que, pelo me-

nos em princıpio, os valores numericos obtidos

para as grandezas fısicas poderao ser torna-

dos tao precisos quanto se queira. Estas duas

hipoteses falham no limite que envolvem altas

velocidades e medidas de grandezas de magni-

tudes muito pequenas.

A mecanica e a ciencia que estuda as for-

mas mais simples de movimento da materia,

os deslocamentos dos objetos no espaco com o

decorrer do tempo. Como qualquer outra teo-

ria fısica ela tem o seu domınio de aplicacao,

fora do qual ela deve ser substituıda por ou-

tra teoria mais geral que a contenta como caso

especial. No caso de movimentos com veloci-

dade comparaveis com a da luz c, a teoria mais

geral sera a mecanica relativıstica; a mecanica

quantica e a teoria mais geral na descricao de

objetos em uma escala microscopica, tal como

atomos e moleculas. Para objetos cosmicos,

de proporcoes metagalacticas, para as estrelas

de neutrons hiperdensas, os buracos negros, a

mecanica newtoniana deve ser substituıda pela

relatividade geral de Einstein. Na figura 1.1

mostramos um esquema deste domınio. no eixo

das abscissas colocamos a velocidade v do ob-

jeto, o no eixo das ordenadas a distancia (di-

mensao caracterıstica do objeto) L, caracteri-

zando o sistema material em movimento. O

domınio de aplicacao da mecanica classica para


Figura 1.1: Limites da mecanica de acordo com

a massa e a velocidade do objeto.

um objeto de massa m e dada pela regiao 2 da

figura 1.1, a direita da hiperbole v · L = h/m

e a esquerda da reta v = αc, onde α ¿ 1 e h

e a constante de Planck. A regiao 1, que fica

a esquerda da hiperbole v · L = h/m e a es-

querda da reta v = αc, representa o domınio

de aplicacao da mecanica quantica. A regiao

4, que fica a direita da reta v = αc e abaixo da

hiperbole v ·L = h/m, representa o domınio de

aplicacao da mecanica quantica relativıstica.

Ja a regiao 3, , que fica a direita da reta v = αc

e acima da hiperbole v ·L = h/m, representa o

domınio de aplicacao da mecanica relativıstica,

ou Teoria Geral da Relatividade de Einstein.

Assim, a mecanica teorica (analıtica) sera a

mecanica classica, aplicavel tanto para objetos

macroscopicos com v ¿ c, quanto para uma

molecula, atomo ou partıcula elementar desde

que mvL¿ h. Costuma-se representar de ma-

neira abstrata, os corpos de materiais estuda-

dos pela mecanica classica sob a forma de pon-

tos materiais se as dimensoes forem pequenas

comparadas com as dimensoes caracterısticas

dos sistemas em relacao aos quais se registra o

movimento.Os corpos solidos sao aqueles que

as distancias relativas entre diferentes pontos

do corpo durante o seu movimento permane-

cerem inalteradas, isto e, o corpo nao e de-

formavel. Corpos elasticos, lıquidos ou gaso-

sos, sao aqueles que o corpo e deformavel e

ocupa uma regiao do espaco maior do que as

dimensoes caracterısticas dos materiais que re-

gistram o movimento.

1.1 PADROES

A fısica e baseada em medidas e aprende-

remos fısica apreendendo a medir as quanti-

dades que sao envolvidas nas leis da fısica.

Entre estas quantidades estao o comprimento,

tempo, massa, temperatura, corrente eletrica,

etc. Para descrevermos uma quantidade fısica

primeiramente definimos uma unidade, isto e, a

medida da quantidade que e definida como exa-

tamente 1. Entao definimos um padrao, isto

e, uma referencia para a qual todos os outros

exemplos sao comparados. Por exemplo, a uni-

dade de comprimento e o metro, como veremos

mais adiante, ele e definido como a distancia

que a luz percorre no vacuo durante uma certa

fracao de segundo. Em princıpio somos livres

para escolhermos a unidade e o padrao, no en-

tanto e importante que os cientistas no mundo

concordem que a nossa definicao e acessıvel e

pratica.

Em mecanica inicialmente precisaremos de

algumas grandezas tais como: comprimento,

tempo e massa. Como estes padroes nao sao

definidos em termos de quaisquer outros, eles

devem ser escolhidos de modo a permitir sua

reproducao para comparacao com grandezas a

serem medidas. Os padroes devem ter as se-

guintes caracterısticas:


1. deve ser imutavel, as medidas feitas hoje

devem ser as mesmas daqui a um seculo.

2. deve ser acessıvel, de modo a poder ser re-

produzida em qualquer outro laboratorio.

3. deve ser preciso atender a qualquer grau

de precisao tecnologica.

4. deve ser universalmente aceito, de modo

que os resultados obtidos em diferentes

paıses sejam comparaveis.

Na escolha de um padrao, por exemplo com-

primento, precisamos ter procedimentos para

que qualquer medida de comprimento possa

ser expresso em termos deste padrao, desde o

raio do atomo de hidrogenio ate a distancia da

Terra a uma estrela. Fica claro que muitas de

nossas comparacoes serao indiretas. Nao sera

possıvel utilizarmos uma regua para medir o

raio do atomo de hidrogenio ou a distancia ate

a Lua. Existem muitas grandezas fısicas e e

um problema organiza-las, felizmente elas nao

sao todas independentes. Por exemplo, a velo-

cidade e a razao entre comprimento e tempo.

Muitas vezes uma escolha acessıvel nao e

pratica, nao sendo portanto uma boa escolha.

Por exemplo, podemos escolher o nosso pole-

gar como um padrao de comprimento. Ele e

acessıvel no entanto nao e pratico porque cada

pessoa tem um polegar diferente de forma que

qualquer comparacao gere resultados diferen-

tes.

Em 1971, a 14a Conferencia Geral de Pesos

e Medidas considerou sete quantidades basicas

para formar a base do Sistema Internacional

de Unidades, abreviado por SI e popularmente

conhecido como sistema metrico. Como ja dis-

semos, na mecanica as quantidades basicas sao:

tempo, massa e comprimento, cujas unidades

sao: segundo, quilograma e metro, respectiva-

mente. As definicoes para estas unidades sao

as seguintes:

Tempo um segundo e 9.162.631.770 perıodos

de uma certa vibracao do atomo de Cs133.

Comprimento um metro e o comprimento do

caminho percorrido pela luz no vacuo du-

rante 1299.792.458

de segundo.

Massa um quilograma e a massa de um cilin-

dro particular (3, 9 cm de diametro × 3, 9

cm de altura) de platina-irıdio guardado

proximo de Paris.

Outras As demais unidades que aparecem

na mecanica sao derivadas destas tres,

por exemplo o watt, que e a unidade de

potencia,

1 watt = 1 W = 1 kg ·m2/s3

1.2 Tempo

O tempo e um dos conceitos primitivos ado-

tados para construir a teoria da Ciencia Fısica

(Mecanica Classica, em particular). Como tal,

nao e possıvel definir precisamente o que e

o tempo, mas supoe-se que todos ja ”o co-

nhecem muito bem”. Como pode-se notar,

existe uma total falta de precisao para definir

o tempo. Esta situacao persiste mesmo que

se adote as definicoes qualitativas dadas nos

dicionarios. Entretanto, o que realmente im-

porta aqui nao e definir o que e o tempo com

precisao, mas como medı-lo, isto e, definı-lo

operacionalmente.


Uma maneira de medir o tempo e utilizar

algum fenomeno que se repete com certa regu-

laridade dito periodico. A palavra ”relogio”

pode ser adotada no sentido amplo, signifi-

cando tanto os fenomenos periodicos utiliza-

dos para a medida do tempo, como os instru-

mentos construıdos para a mesma finalidade.

O princıpio de funcionamento de um ”relogio”

como instrumento e baseado nos fenomenos

periodicos. Um dos primeiros ”relogios” que

se conhece na historia da Humanidade e o nas-

cer do Sol. Este fenomeno repete-se indefinida-

mente e a duracao entre dois eventos consecu-

tivos do nascer do Sol e denominado dia. Surge

uma questao importante neste ponto. Sera que

a duracao dos dias e sempre a mesma? Na re-

alidade, esta e uma questao importante para

qualquer ”relogio”, nao se restringindo apenas

ao dia. Tudo que se pode fazer e comparar com

outros ”relogios” para tentar responder a esta

pergunta. Tais comparacoes e as analises das

leis que governam os fenomenos repetitivos dao

subsıdios para se decidir, nao so esta questao,

como o grau de confiabilidade dos ”relogios”.

Observe, no entanto, que nao ha maneira de

provar que a duracao dos perıodos de qualquer

dos fenomenos repetitivos, onde se baseiam es-

ses ”relogios”, e realmente constante. Dessa

forma, apenas pode-se afirmar que um tipo de

regularidade concorda com a de outro, ou nao,

mediante comparacoes. Assim, do ponto de

vista operacional, a definicao do tempo esta

baseada na repeticao de algum tipo de evento

que, aparentemente, e periodico.

O dia, acima citado, e devido a rotacao

da Terra. Entao, o perıodo de rotacao da

Terra pode ser comparado com, por exemplo, o

perıodo de revolucao da Terra ao redor do Sol,

o da Lua em torno da Terra, o do Mercurio em

torno do Sol etc. Observacoes muito precisas

mostraram concordancia entre si desses outros

fenomenos dentro de uma pequena margem de

discrepancias. A partir destas comparacoes,

detectou-se que o perıodo da rotacao da Terra

tem pequenas irregularidades da ordem de uma

parte em 108. Entao, o perıodo de rotacao da

Terra, o dia, e um bom ”relogio” para muitos

propositos.

Com o passar do tempo, a necessidade de se

medir intervalos de tempo de duracao menor

que a de um dia surgiu. Um dos mais anti-

gos relogios, como instrumentos de medida de

tempo, sao os relogios de sol. Basicamente, a

projecao da sombra de uma estaca sobre uma

escala graduada e o mecanismo de medida do

tempo nesses relogios. Com os relogios sola-

res, tornou-se possıvel medir uma fracao do

dia com uma certa precisao. Entretanto, eles

apresentavam o inconveniente de so funciona-

rem durante o dia e, dependendo da epoca

do ano, de marcarem horas que diferem um

pouco. Os clepsidras (relogios de agua) base-

ados no escoamento de agua, atraves de um

orifıcio muito pequeno no fundo de um reci-

piente para um outro com uma escala gra-

duada, ja eram usados pelos antigos egıpcios

e babilonios. Eles permitiam medir o tempo

correspondente a fracao do dia com uma pre-

cisao razoavel. Havia a vantagem de funcionar

mesmo a noite. Com a descoberta do vidro, as

ampulhetas (relogios de areia) que se baseiam

num princıpio analogo foram desenvolvidas.

Em 1581, Galileu descobriu o isocronismo

das oscilacoes de um pendulo, quando compa-

rou as oscilacoes de um candelabro da Cate-

dral de Pisa com o ritmo do seu pulso. Ele

observou que o perıodo das oscilacoes perma-

necia o mesmo independentemente da sua am-


plitude. Logo ele aplicou essa descoberta e

construiu um relogio de pendulo que permi-

tia medir pequenos intervalos de tempo. Ate

entao, nenhum metodo preciso para tal me-

dida era conhecido. Depois da descoberta

de Galileu, relogios de pendulos comecaram a

ser construıdos. Estimulados pela necessidade,

relogios cada vez mais precisos foram desenvol-

vidos. Ao mesmo tempo, medidas de interva-

los de tempo cada vez mais curtos tornaram-se

possıveis. O cronometro marıtimo desenvol-

vido por Harrison em 1765 tinha uma precisao

da ordem de uma parte em 105. Esta pre-

cisao e comparavel ao de um relogio eletrico

moderno. Uma parte em 108 e a precisao de

um relogio baseado em osciladores de quartzo.

O 133Cs (cesio 133) emite uma radiacao ca-

racterıstica, cuja frequencia pode ser utilizada

para controlar oscilacoes eletromagneticas na

regiao de micro-ondas. Um relogio baseado

nesta frequencia como padrao, denominado

relogio atomico, atinge uma precisao de uma

parte em 1012. Para se ter uma ideia, essa

precisao significa um desvio de 1 s em apro-

ximadamente 30.000 anos. Apesar da precisao

do relogio atomico ser fantasticamente boa, o

movimento termico dos atomos constituintes

introduz uma incerteza razoavel na medida de

frequencia da sua radiacao. Com o advento

das tecnicas de confinamento e resfriamento de

atomos, esse movimento termico pode ser re-

duzido drasticamente e espera-se uma melhora

de pelo menos um fator 1000. Isto quer dizer

que, pelo menos em princıpio, atingiria uma

precisao maior que uma parte em 1015 (um erro

nao maior que 1 s em cerca de 30 milhoes de

anos).

Unidade Padrao do Tempo — E conveni-

ente que se defina uma unidade para a medida

do tempo e referir-se a ela pelos seus multiplos

ou submultiplos. Mas, se nao se adotar um

padrao, provavelmente terıamos uma unidade

diferente em cada regiao do globo terrestre. Fe-

lizmente, o perıodo de rotacao da Terra e co-

mum para toda a humanidade. Na falta de

um padrao melhor, ate 1956 adotava-se a uni-

dade padrao do tempo como sendo o segundo

(s), definido como 1 s = 1/86.400 do dia so-

lar medio. O dia solar medio e a media sobre

um ano da duracao do dia. Tendo em vista as

irregularidades da rotacao da Terra, em 1956,

mudou-se a definicao do segundo como sendo

1 s = 1/31.556.925, 9747 da duracao do ano

tropical de 1900 (1 ano tropical e o intervalo

de tempo entre duas passagens consecutivas do

Sol pelo equinocio de primavera). Finalmente,

em 1967, foi definido o atual segundo como

sendo 1 s = 9.192.631.770 perıodos da radiacao

correspondente a transicao caracterıstica do133Cs.

1.3 Espaco

O espaco e, tambem, um dos conceitos pri-

mitivos no qual apoia-se a Mecanica Classica.

O conceito do espaco esta intimamente relaci-

onado ao da medida de distancia. E do conhe-

cimento de todos que uma maneira de medir

uma distancia e adotar uma unidade e medi-

ante comparacao direta contar quantas unida-

des correspondem essa distancia. Essa unidade

pode ser um bastao, polegar, palma da mao, pe

etc. De qualquer maneira, e necessario adotar

uma unidade padrao e referir-se as distancias

por meio dos multiplos e submultiplos dessa

unidade, como foi feito com o tempo. Apos a

Revolucao Francesa, adotou-se um padrao de-


nominado metro e este foi definido como sendo

a fracao 1/40.000.000 da distancia do Equa-

dor ao Polo Norte, ao longo do meridiano de

Paris. Foi introduzido para atender as neces-

sidades da navegacao e da cartografia daquela

epoca. Um seculo depois, em 1889, foi intro-

duzido o metro padrao a fim de aumentar a

precisao na medida da distancia. Este ultimo

foi definido como a distancia entre dois tracos

numa barra de platina iridiada depositada sob

condicoes especificadas no Bureau Internacio-

nal de Poids e Mesures de Sevres, Franca. Em

1960, o metro foi redefinido como 1.650.763, 73

comprimentos de onda no vacuo da radiacao

caracterıstica do 86Kr (criptonio 86). Esta de-

finicao e muito mais precisa e satisfatoria, e

esta associada a um fenomeno fısico de ”facil”

reproducao. Finalmente, em 1983, o padrao

de comprimento foi substituıdo por um padrao

de velocidade (foi escolhido uma constante uni-

versal que e a velocidade da luz no vacuo, cujo

valor exato e, por definicao, c = 299.792.458

m/s), mantendo a unidade de tempo baseado

no relogio atomico acima. Isto fixa a definicao

do metro em termos da definicao do segundo

como sendo a distancia percorrida pela luz em

1/c segundos. Note que nesta definicao, o me-

tro e reajustado automaticamente cada vez que

a definicao do segundo e melhorada. Entre-

tanto, na pratica, as reproducoes do metro

com alta precisao continuam sendo baseadas

em comprimento de onda da radiacao do 86Kr

acima referido.

Agora que se tem a unidade padrao, o me-

tro, a medida de distancia pode ser efetu-

ada por comparacao com um bastao de 1 me-

tro, como foi referido no inıcio desta secao.

Se for uma distancia menor do que 1 me-

tro, pode-se construir um bastao menor, de

fracao do metro, para ser utilizado na com-

paracao. Entretanto, nem sempre e possıvel

aplicar este procedimento. Por exemplo, se-

ria muito difıcil, se nao for impossıvel, medir a

distancia horizontal entre dois cumes de mon-

tanhas procedendo-se desta maneira. Como

um outro exemplo, poderia citar a medida de

distancia da Terra a Lua. Felizmente, sabe-

se pela experiencia que a distancia pode ser

medida pela triangulacao. Neste caso, esta

sendo usada uma outra definicao de distancia.

Porem, onde e possıvel utilizar ambas as de-

finicoes de distancia, as medidas obtidas con-

cordam com uma boa precisao. Uma vez que

um numero muito grande de casos da aplicacao

pratica mostra que atraves da triangulacao

obtem-se distancias corretas, leva-se a acredi-

tar que este procedimento funcionara tambem

para distancias ainda maiores. Uma medida

cuidadosa, realizada atraves de dois telescopios

localizados em lugares diferentes na face da

Terra, encontrou a distancia da Terra a Lua

como sendo 4× 108 metros.

O metodo da triangulacao esta baseada na

geometria de Euclides. Assim, pode-se intro-

duzir o conceito do espaco como sendo o de Eu-

clides, mediante a concordancia entre as duas

definicoes de distancia. Conforme as escalas

envolvidas, definicoes de distancias diferentes

das duas anteriores foram utilizadas. Ape-

sar disso, todas as evidencias mostram que

o espaco de Euclides descreve extraordinari-

amente bem os fenomeno no domınio das di-

mensoes que vao desde 10−15 ate 1026 metros.


1.4 Cinematica

O primeiro passo para estudar o movimento

de um corpo e descreve-lo. A descricao do

movimento de um objeto real pode ser ex-

cessivamente complexa. Entao, e imperativo

que se introduza uma idealizacao para que

possa representar uma situacao real mediante

simplificacao de muitos aspectos, tornando as

equacoes matematicas mais simples e soluveis.

Depois de obter uma descricao de um sistema

idealizado, correcoes podem ser introduzidas

para que o resultado se aproxime melhor da si-

tuacao real. Para descrevermos o movimento

de um corpo de forma simples introduziremos

alguns conceitos basicos.

Um dos conceitos fundamentais da mecanica

e o conceito de ponto material ou partıcula.

Um ponto material ou partıcula e um objeto

cujas dimensoes e estruturas internas sao des-

prezıveis perto de outras dimensoes envolvidas

no problema. Por exemplo, a Terra pode ser

considerada partıcula na maioria dos proble-

mas de movimento planetario, mas certamente

nao e possıvel nos problemas terrestres. Da-

qui para frente ponto material e partıcula serao

utilizados como sinonimos, salvo mencao em

contrario. O espaco e euclidiano, tridimen-

sional, isotropico e homogeneo, e e represen-

tado por tres coordenadas cartesianas, x, y e

z em relacao a um determinado sistema de re-

ferencia. O sistema de referencia esta ligado

a um objeto real, por exemplo uma estrela

imovel ou um solido, considerado como um

corpo referencial. A posicao de uma partıcula

P pode ser descrita localizando-se um ponto

no espaco tridimensional, que por hipotese e

euclidiano. Isto pode ser feito fixando-se tres

eixos mutuamente ortogonais a partir de uma

origem O no espaco e especificando-se suas co-

ordenadas retangulares x, y e z com relacao a

estes eixos, como ilustrado na Fig. 1.2. Um

sistema como estes tres eixos e denominado

sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.

Dadas as coordenadas em relacao a um sistema

que localiza a posicao de uma partıcula, o que

se deseja em seguida e descrever a trajetoria

percorrida por esta partıcula em movimento.

Uma representacao parametrica, onde o tempo

e o parametro, e uma das maneiras de especi-

ficar esta trajetoria. Assim, para descrever a

trajetoria do movimento de uma partıcula, as

coordenadas cartesianas em funcao do tempo,

x(t), y(t) e z(t) (1.1)

devem ser especificadas. As funcoes x(t), y(t) e

z(t) representam as coordenadas da posicao da

partıcula nos eixos cartesianos x, y e z em cada

instante t do tempo. Escolhe-se um instante t0

para o inıcio da medida do tempo, geralmente

adotado como zero. A posicao de um ponto

material no espaco x, y e z (sistema de coor-

denadas cartesiano) em um dado instante de

tempo t e descrita pelas coordenadas x(t), y(t)

e z(t) do ponto material, ou pelo raio vetor

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. (1.2)

A linha espacial descrita pelas coordenadas do

ponto material, ou seja, dada na forma pa-

rametrica x(t); y(t); z(t), chama-se trajetoria

do ponto. O elemento de comprimento da tra-

jetoria e:

ds =√dx2 + dy2 + dz2. (1.3)

De agora em diante usaremos a seguinte

notacao para derivadas temporais: a derivada

em relacao ao tempo sera representada por um


Figura 1.2: Coordenadas cartesianas ortogo-

nais, especificando a posicao de uma partıcula

P em relacao a origem O do sistema.

ponto sobre a letra, assim a derivada de x em

relacao ao tempo pode ser escrita como

x =dx

dt; x =

dx

dt=d2x

dt2.

Supondo-se que o significado de x(t), y(t) e

z(t) estao claros, pode-se entao definir as com-

ponentes cartesianas vx, vy e vz da velocidade

num instante t sao

vx = x =dx

dt,

vy = y =dy

dt,

vx = z =dz

dt,

(1.4)

que representam as taxas de variacao de cada

uma das coordenadas de posicao em funcao do

tempo. O modulo da velocidade, e dado por

v =ds

dt=

√(dx

dt)2 + (

dy

dt)2 + (

dz

dt)2 (1.5)

Da mesma maneira, pode-se definir as com-

ponentes cartesianas da aceleracao ax, ay e az

num instante t sao

ax = vx =dvx

dt= x =

d2x

dt2,

ay = vy =dvy

dt= y =

d2y

dt2,

ax = vx =dvz

dt= z =

d2z

dt2,

(1.6)

que representam1 as taxas de variacao de

cada uma das componentes da velocidade em

funcao do tempo. Dependendo do problema

em questao, outros tipos de sistemas de co-

ordenadas tais como as coordenadas polares,

cilındricas e as esfericas sao mais convenien-

tes do que as cartesianas. Para movimentos

em duas e tres dimensoes torna-se conveni-

ente trabalhar com os vetores para represen-

tar posicoes, velocidades e aceleracoes. Neste

caso, o movimento e descrito por um vetor de

posicao r, onde a cauda (extremidade) e fixa

na origem do sistema de referencia adotado e

a ponta (a outra extremidade) deste vetor lo-

caliza a posicao da partıcula (Fig. 1.2). Se

o sistema de coordenadas cartesianas for ado-

tado, suas componentes sao x, y e z. Assim, as

funcoes (1.1) sao resumidas numa unica funcao

vetorial r(t) dada por (1.2). A velocidade ve-

torial e definida, entao como

v = r =dr

dt= x(t)i + y(t)j + z(t)k (1.7)

e a aceleracao vetorial como

a = r = v =d2r

dt2= x(t)i+ y(t)j+ z(t)k. (1.8)

1A derivada com relacao a t sera denotada, tambempor um ponto em cima de uma variavel dependente(notacao de Newton), como e mostrada nas equacoes(1.4).


Figura 1.3: Velocidade vetorial

Utilizando-se a definicao da derivada de uma

funcao vetorial dada por

v =dr

dt= lim

∆t→0

r(t+ ∆t)− r(t)

∆t,

pode-se ver que v(t) e tangente a trajetoria da

partıcula, como ilustrado na figura 1.3. Uma

vez que os vetores sao independentes do tipo

de sistema de coordenadas adotado para des-

creve-lo, e importante ressaltar tambem que a

velocidade e a aceleracao expressas como ve-

tores, como em (1.7) e (1.8), respectivamente,

sao independentes do tipo de sistema de co-

ordenadas e a descricao do movimento pode

ser expressa de uma maneira compacta. No

momento de descrever as componentes em al-

gum tipo especıfico de sistemas de coordena-

das, deve-se lembrar que as componentes terao

expressoes apropriadas para cada tipo de sis-

tema de coordenadas. Num sistema cartesiano

as componentes de (1.7) e de (1.8) serao dadas

pelas expressoes (1.4) e (1.6), respectivamente.

Exemplo 1 Considere uma partıcula

movendo-se em um plano. Usando as co-

ordenadas polares escreva os vetores posicao,

velocidade e aceleracao da partıcula neste

sistema de coordenadas.

Solucao:

Em coordenadas polares para, localizarmos

uma partıcula em um plano, devemos fornecer

o modulo r do vetor que vai da origem ate a

partıcula, e o angulo θ que este vetor forma

com o eixo x, conforme a mostramos na figura

1.4 abaixo.

Figura 1.4: Vetor posicao de uma partıcula no

plano. Aqui mostramos as coordenadas pola-

res.

O vetor posicao em coordenadas cartesianas

e

r = r cos θi + r sen θj (1.9)

Os vetores unitarios em coordenadas polares

r e θ (ou er e eθ) estao relacionados com os

vetores unitarios i e j em coordenadas cartesi-

anas porr = cos θi + sen θj

θ = − sen θi + cos θj(1.10)


as quais satisfazem as seguintes relacoes

dr

dθ= θ e

dθ

dθ= −r (1.11)

O vetor posicao em coordenadas polares e

r = r(t)r(θ). (1.12)

Observe que os vetores unitarios r e θ va-

riam com o tempo, e portanto a velocidade da

partıcula e

v = r =dr

dt= rr + r

dr

dt

= rr + rdr

dθ

dθ

dt

logo,

v = rr + rθθ (1.13)

Uma outra forma de obtermos a velocidade

e usarmos o deslocamento infinitesimal ds, o

qual e composto pelos deslocamentos infinitesi-

mais dr ao longo da direcao r e rdθ ao longo

da direcao θ, ou seja,

ds = drr + rdθθ (1.14)

logo, a velocidade e dada por

v =ds

dt= rr + rθθ (1.15)

A aceleracao em coordenadas polares e dada

por

a =dv

dt=

d

dt(rr) +

d

dt

(rθθ

)

ou seja,

a =(r − rθ2

)r +

(2rθ + rθ

)θ (1.16)

Observe que o termo rθ2 e denominado ace-

leracao centrıpeta.

Exemplo 2 Considere uma partıcula em um

movimento circular uniforme (ver figura 1.5),

com um velocidade angular ω constante, cuja

o vetor posicao dado por

r(t) = A cos(ωt)i + A sen(ωt)j.

Determine os vetores velocidade e aceleracao,

assim como suas componentes cartesianas.

Figura 1.5: Velocidade e aceleracao vetoriais

num movimento circular.

Solucao:

As componentes cartesianas do vetor posicao

sao dadas por,

x(t) = A cos(ωt),

y(t) = A sen(ωt),

z(t) = 0.

Derivando-se o vetor posicao, obtem-se a ve-

locidade vetorial dada por

v(t) =dr(t)

dt= ωA

[− sen(ωt)i + cos(ωt)j

],

cujas as componente cartesianas sao

vx(t) = x = −ωA sen(ωt),

vy(t) = y = ωA cos(ωt),

vz(t) = z = 0.


Por sua vez, a aceleracao vetorial e obtida

derivando-se a velocidade vetorial e resulta em

a(t) =dv(t)

dt= −ω2A

[cos(ωt)i + sen(ωt)j

]

= −ω2r(t).

Desta forma, as suas componentes cartesianas

sao:

ax(t) = x(t) = −ω2A cos(ωt) = −ω2x(t),

ay(t) = y(t) = −ω2A sen(ωt) = −ω2y(t),

az(t) = z(t) = 0.

A trajetoria deste movimento e uma circun-

ferencia de raio A no plano xy, pois,

r2 = r · r = x2 + y2 + z2

= [A cos(ωt)]2 + [A sen(ωt)]2

= A2.

O vetor velocidade e tangente a trajetoria, por-

tanto,

v · r = vxx+ vyy + vzz

= −ωA sen(ωt)A cos(ωt)+

ωA cos(ωt)A sen(ωt)

= 0.

A velocidade tem um modulo constante uma

vez que

v2 = v · v = v2x + v2

y + v2z

= [−ωA sen(ωt)]2 + [ωA cos(ωt)]2

= ω2A2.

Finalmente, a aceleracao e voltada para ori-

gem (aceleracao centrıpeta), portanto, ela deve

ser perpendicular a velocidade, assim,

v · a = vxax + vyay + vzaz

= −ωA sen(ωt)[−ω2A cos(ωt)

]+

ωA cos(ωt)[−ω2A sen(ωt)

]

= 0.

e tambem tem modulo constante dado por a =

ω2A, como podemos de

a2 = a · a = a2x + a2

y + a2z

=[−ω2A cos(ωt)

]2+

[−ω2A sen(ωt)]2

= ω4A2.

Exemplo 3 Mostre que se T e um vetor

unitario tangente a curva C e ds e um desloca-

mento infinitesimal ao longo da curva, entao o

vetor dTds

e perpendicular a T.

Solucao:

Para mostramos que o vetor dTds

e perpendi-

cular a T, basta mostrarmos que o seu produto

escalar

T · dTds

= 0,

e nulo.

Como T e um vetor unitario, temos que: T ·T = 1. Entao diferenciado ambos os lados em

relacao a s obtem se que

T · dTds

+dT

ds·T = 2T · dT

ds= 0

ou como querıamos mostrar que

T · dTds

= 0,

isto e, dTds

e perpendicular a T. Se N e um

vetor unitario na direcao de dTds

, entao temos

quedT

ds= κN

em que N e chamado de vetor unitario princi-

pal normal a curva C. O escalar

κ =

∣∣∣∣dT

ds

∣∣∣∣

e chamado de curvatura enquanto R = 1/κ e

chamado de raio da curvatura.


1.5 Problemas

1. Nao foi explicado, intencionalmente, o

que e definicao operacional no texto.

Tente explicar de maneira mais precisa

possıvel, de forma que nao deixe margem

as multiplas interpretacoes.

2. Imagine as possıveis consequencias se o

espaco ou o tempo, ou ambos, nao forem

contınuos. Discuta.

3. Se o comportamento dos instrumentos

de medida fosse afetado pelos seus esta-

dos de movimento, discuta as possıveis

consequencias nas medidas das grandezas

fısicas.

4. Discuta as dificuldades de obter valo-

res numericos arbitrariamente precisos nas

medidas das grandezas fısicas. Discuta as

possıveis limitacoes para isso.

5. Discuta a afirmacao do texto: ”o que re-

almente importa aqui nao e definir o que

e tempo com precisao, mas como medı-lo,

isto e, definı-lo operacionalmente”.

6. Uma tecnica (definicao) diferente de me-

dir o tempo e observar a distancia entre

dois eventos de um objeto em movimento.

Por exemplo, ao se ligar e desligar o farol

de um automovel em movimento, pode-

se saber a duracao do tempo em que o

farol ficou ligado, sabendo-se a distancia

percorrida durante o evento e a veloci-

dade desse movimento. O tempo e dado

pela distancia percorrida dividida pela ve-

locidade. Com esta tecnica foi determi-

nado o tempo de vida do meson πo como

sendo 1016 s. estendendo-se esta tecnica,

foi possıvel descobrir uma partıcula cujo

tempo de vida e 1024 s, tempo de uma

luz caminhar a distancia da dimensao de

um nucleo de hidrogenio. Discuta as pos-

sibilidades e as dificuldades de trabalhar

com uma duracao de tempo ainda menor.

Sera que faz algum sentido falar em tempo

numa escala tao pequena, se nem sequer

saber se e possıvel medı-lo, ou se consegui-

mos imaginar eventos acontecendo num

tempo tao curto?

7. Pesquise e discuta algumas tecnicas

possıveis para lidar com tempos longos

(algo em torno da idade da Terra e, alem

disso).

8. Se os Homens que habitam diferentes

regioes do globo terrestre tivessem basea-

das as medidas do tempo em fenomeno di-

ferentes, poderiam existir diversos padroes

de medidas do tempo dependendo da

regiao em que foram desenvolvidas. Dis-

cuta as possıveis consequencias de nao se

ter um padrao unico na medida do tempo.

9. A medida de distancia da Terra ao Sol

nao e simples, devido a dificuldade de

focalizar-se num ponto determinado do

Sol com precisao. Discuta uma maneira

de estender o metodo da triangulacao,

ou mesmo uma alternativa de definir a

distancia para poder medı-lo.

10. Discuta as dificuldades do metodo de tri-

angulacao quando a distancia torna-se

muito grande. Discuta as possibilidades

de melhorar a medida de distancia re-

almente grande. Observe que a escala

referida nesta questao envolve desde as


distancias dos planetas do sistema solar

ate as das galaxias longınquas.

11. Pesquise e discuta as tecnicas utiliza-

das para medir distancias muito pequenas

(desde a escala do comprimento de onda

de luz visıvel ate algo menor que a di-

mensao de um nucleo atomico).

12. Quando um automovel, movendo-se com

uma velocidade constante v0, aproxima-se

de um um cruzamento, o semaforo torna-

se amarelo. o motorista pode parar o

automovel sem avancar pelo cruzamento,

ou tambem pode tentar atravessa-lo antes

que o semaforo mude para o vermelho.

a) Se ∆t e o intervalo de tempo que

o semaforo permanece amarelo antes

de mudar para o vermelho, qual e a

distancia maxima do cruzamento ao

automovel, de maneira que o moto-

rista consiga atravessar o cruzamento

antes do semaforo tornar-se vermelho,

mantendo a velocidade do automovel

constante em v0?

b) O tempo de reacao do motorista para

tomar a decisao e pisar no freio e

τ e a maxima desaceleracao do au-

tomovel devida a frenagem e a. No

momento que o semaforo tornou-se

amarelo, qual e a menor distancia do

cruzamento ao automovel de maneira

que o motorista consiga parar sem

avancar pelo cruzamento?

c) determine a velocidade crıtica vc, em

termos de a, ∆t e τ , de maneira que

as duas distancias obtidas no itens

12a e acima coincidem. Este e o li-

mite onde o motorista consegue pa-

rar o automovel sem avancar pelo cru-

zamento, nem atravessa-lo antes do

semaforo mudar para o vermelho.

d) Mostre que, se v0 for maior que

a velocidade crıtica determinada no

item anterior, existe uma faixa de

distancia do cruzamento ao automovel

no qual o motorista nao conseguira pa-

rar o automovel sem avancar pelo cru-

zamento, nem atravessa-lo antes do

semaforo tornar-se vermelho.

13. Um corpo esta movendo-se sobre um linha

reta. Sua aceleracao e dada por a = −2x,

onde x e medido em metros e a em m/s2.

Ache a relacao entre a velocidade e a

distancia, dado que em x = 0, v = 4 m/s.

14. A aceleracao de um corpo, movendo-se so-

bre uma linha reta e dada por a = −kv2,

onde k e uma constante positiva. E dado

que em t = 0, x(0) = x0 e v(0) = v0.

Ache a velocidade e a posicao em funcao

do tempo. Ache tambem v em funcao de

x.

15. a trajetoria de uma partıcula e dada

por x(t) = Ae−ht cos(kt + δ) e y(t) =

Ae−ht sen(kt+ δ), onde A > 0, h > 0, k >

0 e δ sao constantes no movimento. De-

termine as equacoes da trajetoria em co-

ordenadas polares e encontre a trajetoria

da partıcula.

16. Uma abelha saı da colmeia em uma tra-

jetoria espiral, dada em coordenada pola-

res por r(t) = bekt e θ(t) = ct, onde b, k

e c sao constantes positivas. Mostre que

o angulo entre a velocidade e a aceleracao

permanece constante quando ela se movi-


menta para frente. Sugestao: Determine

a razao v·ava

.

17. Prove que v ·a = vv e, portanto, que para

uma partıcula movendo-se com uma ve-

locidade v e aceleracao a, elas serao per-

pendiculares entre si se a velocidade v for

constante. Sugestao: Diferencie ambos os

lados da equacao v · v = v2 com relacao a

t. Note que v nao e o mesmo que |a|. Ela

e a magnitude da aceleracao da partıcula

ao longo da sua direcao instantanea de

movimento.

18. Prove que

d

dt[r · (v × a)] = r · (v × a).

19. (a) Prove que em coordenadas cilındricas

(ρ, θ, z) (ver figura 1.6) o vetor posicao

r = ρρ + zk tambem pode ser escrito na

forma mista r = ρ cos φi + ρ senφj + zk.

(b) Encontre a relacao entre os versores

unitarios em coordenadas cilındricas o e

os versores unitarios em coordenadas car-

tesianas. (c) Determine a taxa de variacao

no tempo dos versores unitarios em coor-

denadas cilındricas. (d) Escreva os vetores

deslocamento infinitesimal da posicao ds,

a velocidade v e a aceleracao s de uma

partıcula em coordenadas cilındricas.

20. (a) Prove que em coordenadas esfericas

(r, θ, φ) (ver figura 1.7) o vetor posicao

r = rr tambem pode ser escrito na forma

mista r = r sen θ cos φi + r sen θ senφj +

r cos θk. (b) Encontre a relacao en-

tre os versores unitarios em coordenadas

esfericas o e os versores unitarios em co-

ordenadas cartesianas. (c) Determine a

Figura 1.6: Coordenadas cilındricas

taxa de variacao no tempo dos versores

unitarios em coordenadas esfericas. (d)

Escreva os vetores deslocamento infinite-

simal da posicao ds, a velocidade v e a

aceleracao s de uma partıcula em coorde-

nadas esfericas.

Figura 1.7: Coordenadas esfericas

21. Mostre que a componente tangencial da


aceleracao de uma partıcula e dada pela

expressao

at =v · av

e que por sua vez a componente normal e

dada por

an =√a2 − a2

t =

√a2 − (v · a)2

v2

22. Considere uma curva C no espaco cujo ve-

tor posicao e dado por

r = 3 cos(2t)i + 3 sen(2t)j + (8t− 4)k

(a) Determine o vetor unitario tangente

a curva T. (b) Se r e o vetor posicao de

uma partıcula movendo-se sobre C no ins-

tante t, verifique neste caso que v = vT.

Determine (c) a curvatura, (d) o raio da

curvatura e (e) o vetor unitario principal

normal N em um ponto qualquer da curva.

23. Mostre que a aceleracao a de uma

partıcula a qual viaja ao longo de uma

curva espacial com uma velocidade v =

vT e dada por

a =dv

dtT +

v2

RN

onde T e o vetor unitario tangente a curva

espacial, N e o vetor unitario principal

normal e R e o raio da curvatura.

24. Prove as seguintes identidades vetoriais:

(a) A·(B×C) = C·(A×B) = B·(C×A)

(b) A× (B×C) = B(A ·C)−C(A ·B)

25. Se uma partıcula tem velocidade v e ace-

leracao a ao longo de uma curva espacial,

prove que o raio da curvatura de sua tra-

jetoria e dado numericamente por

R =v3

|v × a|26. Um barco deixa o ponto P (ver figura

1.8) de um lado do rio e anda com uma

velocidade V de modulo constante sem-

pre direcionada ao ponto Q do outro lado

do rio diretamente oposto ao ponto P

cuja distancia entre eles e D. Se r for

a distancia instantanea de Q ao barco, θ

e o angulo entre r e o segmento de reta

PQ e o rio tem uma correnteza com uma

velocidade constante v. (a) Prove que a

trajetoria do barco e dada por

r =D sec θ

(sec θ + tg θ)V/v

Figura 1.8: Movimento de um barco em um

rio.

(b) Analise a distancia r do barco ao seu

destino, para θ = π/2, nos seguintes casos:

i) (V/v) > 1, ii) (V/v) = 1 e iii) (V/v) <

1.

27. Se v = V no problema anterior, prove que

a trajetoria e um arco de parabola.


Figura 1.9: Escalas com a ordem de grandeza, das medidas de massa, comprimento e tempo.

Referencias Bibliograficas

[1] Marcelo Alonso and Edward J. Finn.

Fısica um curso universitario: Mecanica,

volume I. Editora Edgard Blucher, 1972.

[2] H. Moyses Nussenzveig. Fısica Basica:

Mecanica, volume 1. Editora Edgard

Blucher, terceira edition, 1996.

[3] Paul A. Tipler. Fısica Para Cientistas e

Engenheiros, volume 1. LTC, quarta edi-

tion, 2000. Mecanica, Oscilcoes e Ondas.

[4] Frederick j. Keller, W. Edward Gettys,

and Malcolm J. Skove. Fısica, volume 1.

Makron Books do Brasil, 1999.

[5] Kazunori Watari. Mecanica Classica. Edi-

tora Livraria da Fısica, 2001.

[6] Jens M. Knudsen and Poul G. Hjorth. Ele-

ments of Newtonian Mechanics. Springer,

third edition, 2000.

[7] Grant R. Fowles and George L. Casiday.

Analitycal Mechanics. Saunders College

Publishing, sixth edition, 1999.

[8] Jerry B. Marion and Stephen T. Thorn-

ton. Classical Dynamics of Particles and

Systems. Saunders College Publishing,

fourth edition, 1995.

[9] Murray R. Spiegel. Theory and Problems

of Theoretical Mechanics. Schaum’s Ou-

tline Series. McGraw-Hill Book Company,

si metric edition edition, 1980.

[10] Keith R. Symon. Mecanica. Editora Cam-

pus LTDA, terceira edition, 1982.

[11] Tai L. Chow. Classical Mechanics. John

Willey & Sons, Inc., 1995.

[12] Atam P. Arya. Introduction to Classical

Mechanics. Allyn and Bacon, 1990.

[13] Herbert Goldstein. Classical Mechanics.

Addison-Wesley. Addison-Wesley, third

edition, 2002.

[14] Lev Davıdovitch Landau and E. M.

Lifshitz. Mecanica, volume 1 of Fısica

Teorica. Editora Mir, 1978.



19

Capıtulo 2

Mecanica Newtoniana

2.1 Introducao

O objetivo da mecanica e fornecer uma des-

cricao consistente dos movimentos dos cor-

pos materiais. Para este proposito sao ne-

cessarios alguns conceitos fundamentais, como

distancia, tempo e massa, alem de um conjunto

de leis fısicas que descrevam matematicamente

estes movimentos.

Em geral as leis fısicas devem ser baseadas

em fatos experimentais. Um conjunto de ex-

perimentos correlacionados da origem a um ou

mais postulados. A partir destes postulados

varias previsoes podem ser formuladas e inves-

tigadas experimentalmente. Se todas as pre-

visoes forem confirmadas experimentalmente,

os postulados assumem o status de lei fısica.

Se alguma previsao discordar do experimento

a teoria deve ser modificada.

Iniciaremos este capıtulo discutindo os con-

ceitos de forca e massa, e em seguida enunciare-

mos as leis fundamentais da mecanica: as Leis

de Newton. Posteriormente, discutiremos seus

significados e obteremos as implicacoes destas

leis em varias situacoes fısicas. Nos concentra-

remos no movimento de uma unica partıcula,

nao abordando neste momento o caso de um

de sistemas de partıculas.

2.2 Dinamica: massa e

forca

A experiencia leva a crenca de que os movi-

mentos de corpos fısicos sao controlados pe-

las interacoes existentes entre eles e suas vi-

zinhancas. Observando-se o comportamento

de projeteis e de objetos que deslizam sobre

uma superfıcie lisa e bem lubrificada, tem-se

a ideia de que as variacoes de velocidade do

corpo sao produzidas por sua interacao com a

vizinhanca. A velocidade de um corpo isolado

de qualquer interacao e constante, logo, na for-

mulacao das leis da Dinamica, deve-se focalizar

a atencao nas aceleracoes.

Imaginem-se dois corpos interagindo entre si

e isolados da vizinhanca. Como analogia gros-

seira desta situacao, imagine duas criancas,

nao necessariamente do mesmo tamanho, brin-

cando de cabo-de-guerra com uma vara rıgida

sobre gelo liso. Embora nenhum dos dois cor-

pos possa ser realmente isolado completamente

das interacoes com os outros corpos, esta e a

situacao mais simples para se pensar a respeito

e elaborar um modelo matematico simples que

descreva a mesma. Experiencias cuidadosas re-

alizadas com corpos reais levam a conclusoes

identicas as que seriam obtidas caso se pudesse

conseguir o isolamento ideal dos dois corpos.

Deve-se observar que dois corpos estao sempre

acelerados em direcoes opostas, e que a razao

20


de suas aceleracoes e constante para qualquer

par particular de corpos, nao importando a

forca com que eles possam puxar ou empur-

rar um ao outro. Medindo-se as coordenadas

x1 e x2 dos dois corpos, ao longo da linha de

suas aceleracoes, obtem-se o seguinte resultado

x1

x2

= −k12, (2.1)

onde k12 e uma constante positiva carac-

terıstica dos dois corpos em questao. O sinal

negativo expressa o fato de que as aceleracoes

sao em sentidos opostos. Do resultado acima,

temosx2

x1

= −k21, (2.2)

logo podemos concluir das eqs. (2.1) e (2.2)

que

k12 =1

k21

. (2.3)

Em adicao ao que foi dito, em geral, quanto

maior ou mais pesado ou mais massivo for o

corpo, menor sera a sua aceleracao. Na rea-

lidade, a razao k12 e proporcional a razao do

peso do corpo 2 pelo peso do corpo 1. A ace-

leracao de dois corpos que interagem e inver-

samente proporcional a seus pesos. Este re-

sultado, portanto, sugere a possibilidade de

uma definicao da Dinamica, a da massa do

corpo, em termos de suas aceleracoes mutuas.

Escolhendo-se um corpo-padrao como unidade

de massa, a massa de qualquer outro corpo e

definida como a razao entre a aceleracao do es-

colhido como sendo o padrao da unidade de

massa e a aceleracao do outro corpo, quando

os dois estao interagindo:

mi = k1i = − x1

xi

, (2.4)

onde mi, e a massa do corpo i e o corpo 1 e o

padrao de unidade de massa.

Para que a eq. (2.4) se torne uma de-

finicao util, a razao k12 das aceleracoes dos

dois corpos deve satisfazer algumas condicoes.

Considerando-se a massa definida pela eq.

(2.4) como sendo a medida daquilo que se

chama vagamente de quantidade de materia

em um corpo, entao a massa do corpo deve

ser a soma das massas de suas partes, e este

e o caso dentro de um elevado grau de pre-

cisao. Nao e essencial, para terem utilidade em

teorias cientıficas, que os conceitos da Fısica,

para os quais sao apresentadas definicoes pre-

cisas, correspondam aproximadamente a qual-

quer ideia pre-estabelecida. Entretanto, a mai-

oria desses conceitos originou-se mais ou menos

de ideias comuns, e massa e um bom exemplo.

Ao se estudar a Teoria da Relatividade, ver-se

que o conceito de massa e um pouco modifi-

cado, e que nao e exatamente verdade que a

massa de um corpo seja a soma das massas de

suas partes.

Um requisito certamente essencial e que o

conceito de massa seja independente do corpo

particular que foi escolhido como tendo massa

unitaria, o que significa que a razao de duas

massas sera a mesma, nao importando a uni-

dade de massa escolhida. Sera verdade por

causa da seguinte relacao, obtida experimen-

talmente, entre a razao dos modulos de ace-

leracoes mutuas definidas pela eq. (2.1) de tres

corpos quaisquer:

k12k23k31 = 1. (2.5)

Suponha que o corpo 1 seja a massa unitaria.

Entao, se os corpos 2 e 3 interagirem encontrar-

se-a, usando as eqs. (2.1), (2.5) e (2.4):

x2

x3

= −k23

= − 1

k12k31

= −k13

k12

= −m3

m2

. (2.6)


O resultado final nao contem referencia

explıcita ao corpo 1, que foi considerado ser

a massa unitaria padrao. Logo, a razao das

massas de dois corpos quaisquer e o inverso

negativo da razao de suas aceleracoes mutuas,

independente da unidade de massa escolhida.

Pela eq. (2.4), tem-se, para dois corpos que

interagem,

m2x2 = −m1x1. (2.7)

Este resultado sugere que a grandeza (massa

× aceleracao) sera importante. Esta grandeza

e chamada a forca aplicada sobre um corpo.

A aceleracao de um corpo no espaco tem tres

componentes; as tres componentes da forca

aplicada sobre o corpo sao

Fx = mx, Fy = my, Fz = mz. (2.8)

Estas forcas podem ser de varias especies:

eletrica, magnetica, gravitacional, etc. As

forcas que atuam sobre um determinado corpo

dependem do comportamento de outros cor-

pos. Em geral, forcas devido a varias ori-

gens agem sobre um dado corpo, sendo possıvel

mostrar que a forca total dada pelas eqs. (2.8)

e um vetor soma das que podem estar presen-

tes, caso cada origem seja considerada separa-

damente.

A teoria do Eletromagnetismo preocupa-se

com o problema de determinacao de forcas

eletricas e magneticas exercidas por cargas e

correntes eletricas uma sobre as outras. A te-

oria da gravitacao, com o problema da deter-

minacao de forcas gravitacionais exercidas pe-

las massas uma sobre as outras. O problema

fundamental da Mecanica e determinar o mo-

vimento de qualquer sistema mecanico, caso se

conhecam as forcas que atuam sobre os corpos

que constituem o sistema.

2.3 Leis de Newton

Um dos grandes marcos da historia da ciencia,

senao o maior, ocorreu quando Sir Isaac New-

ton (1642-1727), publicou em 1687 o seu livro

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

com o financiamento e incentivo do astronomo

ingles Edmond Halley (1656-1742). Em seu li-

vro Newton enunciou as tres leis que descrevem

o movimento dos corpos materiais, entretanto,

nao sem antes definir a massa como sendo a

quantidade de materia de um corpo, e o seu

momentum linear como p = mv. Alem disso,

ele teve o cuidado de definir o tempo e espaco,

como:

• O tempo absoluto, verdadeiro, e ma-

tematico, de si proprio, e de sua propria

natureza flui igualmente sem consideracao

por nada externo, e por um outro nome

e chamado de duracao: o tempo relativo,

aparente, e comum, e uma medida con-

creta e externa (seja acurada ou desigual)

da duracao por meio de movimento, que e

comumente usado ao inves do tempo ver-

dadeiro; como por exemplo uma hora, um

mes, um ano.

• O espaco absoluto, por sua propria natu-

reza, sem consideracao por nada externo,

permanece sempre igual e imovel. O

espaco relativo e qualquer dimensao movel

ou medida dos espacos absolutos; que nos-

sos sentidos determinam pela sua posicao

relativa aos corpos; e que e vulgarmente

tomado como o espaco imovel; tal e a di-

mensao de um espaco subterraneo, aereo

ou celestial, determinado pela sua posicao

em relacao a Terra. Os espacos absoluto

e relativo sao os mesmos em numero e

magnitude; mas nao permanecem sempre

iguais numericamente. Pois se a Terra,


por exemplo, move um espaco do nosso

ar, que em relacao a Terra sempre per-

manece o mesmo, sera em um momento

uma parte do espaco absoluto por onde o

ar corre; em outro momento sera uma ou-

tra parte do mesmo, e assim, em termos

absolutos, sera perpetuamente imutavel.

Na mecanica Newtoniana, usamos intrinse-

camente as seguintes hipoteses:

i) O tempo e absoluto, homogeneo e

isotropico. Newton ao dizer que o tempo

e absoluto, significa que ha uma inde-

pendencia entre o observador e o ob-

jeto observado ou fenomeno observado.

Ja quando Newton diz que o tempo flui

igualmente sem consideracao por nada

externo ele esta afirmando que ele e ho-

mogeneo. A questao da isotropia do

tempo, isto e, a questao da reversibilidade

temporal, so passou a ter significado com

o advento da mecanica quantica. As leis

de movimento da mecanica classica sao

invariantes sob uma inversao temporal.

ii) O espaco e absoluto, homogeneo,

isotropico e euclidiano. Quando Newton

diz que o espaco e absoluto, por sua

propria natureza, sem consideracao por

nada externo, ele esta exprimindo o seu

carater absoluto enquanto ao afirmar que

ele permanece sempre igual e imovel ele

esta dizendo que o espaco e homogeneo.

Apesar de nao ter sido sido colocada

de forma explicita por Newton, a ideia

de que todas as direcoes sao equiva-

lentes no espaco, o espaco e isotropico,

esta implıcita na mecanica classica.

Por ultimo, a metrica que usamos na

mecanica classica e a euclidiana, ou

seja, na mecanica classica, o teorema de

Pitagoras e valido e a menor distancia

entre dois pontos e uma linha reta.

Uma vez, feitas as colocacoes acima Newton

entao enunciou as suas tres Leis que descre-

vem os movimentos dos corpos materiais da

seguinte forma:

I) Um corpo permanece em repouso ou em

movimento retilıneo uniforme a nao ser

que alguma forca atue sobre ele.

II) Um corpo sob a acao de uma forca move-

se de tal forma que a taxa de variacao do

seu momentum linear com o tempo e igual

a forca aplicada.

III) Se dois corpos exercem forcas, um sobre o

outro, estas forcas sao iguais em modulo e

direcao e possuem sentidos opostos.

Existem duas formas diferentes de interpre-

tar o conjunto das tres Leis de Newton. Na pri-

meira forma podemos interpretar a Primeira e

a Segunda Lei de Newton apenas como uma de-

finicao de forca, estando toda a fısica contida

na terceira Lei. Desenvolveremos este ponto

de vista a seguir. Como foi enunciada, a pri-

meira Lei de Newton nao tem nenhum signifi-

cado sem o conceito de forca. Ela diz que se

nao houver forca atuando sobre o corpo, sua

aceleracao e nula. Mas como saber se ha ou

nao forca atuando sobre o corpo? Evidente-

mente, nao poderıamos usar o enunciado da

Primeira Lei para dizer que se o corpo perma-

necer em repouso ou em movimento retilıneo

uniforme entao nao ha forca atuando sobre ele.

Se assim fizessemos, estarıamos andando em

cırculo. Na verdade, a Primeira Lei sozinha

nos da apenas uma nocao qualitativa de forca.

Ja com relacao a Segunda Lei, se definirmos o

momentum linear como

p ≡ mv (2.9)


e ela pode ser escrita como

F =dp

dt=

d

dt(mv) (2.10)

Esta equacao so tem significado completo com

a definicao de massa. Se aceitarmos que massa,

assim como comprimento e tempo, sao concei-

tos primitivos, a Segunda Lei de Newton pode

ser vista como a definicao operacional de forca.

De acordo com este raciocınio, somente a Ter-

ceira Lei de Newton seria de fato uma lei.

Um outro ponto de vista diferente considera

que as tres Leis de Newton sao realmente leis

no sentido em que seus enunciados implicam

em fenomenos fısicos que podem e devem ser

questionados experimentalmente. Vamos ana-

lisar cada uma delas individualmente.

2.3.1 Primeira Lei de Newton

Qual o significado da primeira lei de Newton?

A essencia do seu conteudo e o princıpio da

inercia de Galileu. Newton, provavelmente,

herdou de Galileu a ideia de que o repouso ou

o movimento retilıneo uniforme e o estado na-

tural de qualquer partıcula.

A Primeira lei, coloca o estado de repouso

e o movimento retilıneo uniforme na mesma

condicao, ja que nenhuma forca externa e ne-

cessaria para manter o movimento retilıneo

uniforme. O estado de movimento ira conti-

nuar inalterado devido a uma propriedade da

materia que e chamada de inercia.

Newton tornou esta lei precisa ao introdu-

zir as definicoes dos conceitos de momentum e

massa. Momentum e o produto da velocidade

de um corpo pela quantidade de materia con-

tida pelo corpo. A quantidade de materia con-

tida por um corpo e chamada de massa inercial

do corpo, e e a medida de sua inercia. Entao a

massa inercial, e a medida daquela propriedade

de um objeto, que faz com que o objeto resista

a uma mudanca do seu estado de movimento.

Na definicao do momentum linear, eq. (2.9),

m e a massa inercial do corpo, v e a sua ve-

locidade e p e o seu momentum linear. Mate-

maticamente a lei da inercia pode ser expressa

como

Sem forca externa ⇒ p = Vetor constante.

Deste modo, a lei da inercia, coincide com a

lei da conservacao do momentum linear para

uma partıcula.

Nao e simples a compreensao do conteudo

fısico da lei da inercia, pois nas nossas ex-

periencias cotidianas nao lidamos com obje-

tos que nao estejam submetidos a alguma in-

fluencia externa. Poderıamos imaginar um lo-

cal onde pudessemos colocar um objeto e ele

nao sentisse nenhuma forca externa, este local

deveria ser o espaco vazio.

Note que esta lei nao e obedecida em qual-

quer tipo de referencial. Por exemplo, uma

partıcula que esta em repouso para um ob-

servador em um referencial, pode estar exe-

cutando um movimento circular para um ob-

servador em um referencial que esta girando

com relacao ao primeiro. Somente em referen-

ciais muito especiais sera observada a situacao

expressa na primeira lei, isto e, o estado de

repouso ou de movimento retilıneo uniforme

para uma partıcula isolada. Os referenciais nos

quais ela e obedecida sao referenciais inerciais.

Entao, a primeira lei esta praticamente defi-

nindo referenciais inerciais, onde as proprieda-

des do espaco e do tempo e as leis da mecanica

sao as mesmas. Observe que a forca e usada

como um conceito primitivo para poder enun-

ciar a primeira lei, ou seja, ela nao tem sig-

nificado algum sem o conceito de forca. Con-

tudo, a primeira lei fornece somente o signifi-

cado preciso para uma forca nula. Em outras

palavras, num referencial inercial, a ausencia

de forca pode ser detectada observando se uma


partıcula isolada permanece em repouso ou em

movimento retilıneo uniforme. Em relacao a

forca nao nula, a primeira lei fornece apenas

uma nocao qualitativa a seu respeito.

2.3.2 Segunda Lei de Newton

E a segunda lei de Newton que fornece um sig-

nificado mais fısico do que vem a ser a forca.

A descoberta de Newton nao foi de que a forca

e massa vezes aceleracao, pois, isso e mera-

mente definicao operacional de uma forca atu-

ando numa partıcula. Newton sabia da ob-

servacao experimental que forca, massa e ace-

leracao estavam intimamente relacionadas. De

suas observacoes ele constatou que a aceleracao

adquirida por uma partıcula era inversamente

proporcional a sua massa quando se aplica uma

forca de intensidade fixa. Por outro lado, se a

massa fosse mantida fixa, a aceleracao era di-

retamente proporcional a intensidade da forca

aplicada. Assim, era mais simples associar a

forca a variacao da quantidade de movimento.

Se a segunda lei de Newton fosse meramente

uma definicao de forca, ela seria desprovida de

qualquer conteudo fısico.

A segunda lei de Newton pode ser expressa

matematicamente pela eq. (2.10), onde F e

a forca aplicada. Se assumirmos que a massa

inercial do corpo e constante, a segunda lei de

Newton, pode ser expressa por

ma = F, (2.11)

onde a ≡ dv/dt ≡ v e a aceleracao do corpo.

Em um dado sistema de eixos cartesianos

(ortogonais), a segunda lei de Newton pode ser

escrita em termos de suas componentes como

Fx = mx, Fy = my, Fz = mz.

Na forma da eq. (2.11) a segunda lei de New-

ton diz que uma forca aplicada F causa uma

aceleracao a a qual e diretamente proporcional

aquela forca, e a constante de proporcionali-

dade |F|/|a| e a massa inercial m do corpo.

Todo o conceito de forca foi submetido a lon-

gos debates desde que ele foi enunciado por

Newton. Deve-se salientar que: a segunda

lei de Newton na forma das eqs. (2.10) e

(2.11) nao devem ser consideradas como uma

definicao para o conceito de forca. Uma carac-

terıstica essencial da segunda lei de Newton e

que a forca atuando sobre um corpo e fornecida

por uma outra lei de forca aparte de (2.10) ou

(2.11). Como exemplo dessas leis de forca te-

mos, a lei gravitacao universal para partıculas

massivas, a lei de Coulomb para partıculas car-

regadas, a lei de Hooke, etc. A equacao (2.10)

associada a essas leis de forcas, torna a segunda

lei de Newton uma ferramenta poderosa, ca-

paz de descrever e prever o movimento de uma

partıcula isolada sujeita a uma forca resultante

F, em relacao a um referencial inercial.

A equacao diferencial de segunda ordem que

resulta quando alguma lei de forca e forne-

cida para a segunda lei de Newton e chamada

de equacoes de movimento para o corpo ou

partıcula.

Uma outra propriedade importante do con-

ceito de forca atuando sobre um objeto e que a

forca tem sua origem em um outro corpo ma-

terial.

Portanto, Newton introduziu o conceito de

forca mecanica como a causa da aceleracao

de um corpo. Esta descricao causal do movi-

mento de um corpo constitue o que chamamos

de dinamica.

Deve-se ressaltar aqui que, ao contrario do

que muitos autores afirmam, a segunda lei de

Newton nao contem a primeira. A primeira lei

e necessaria para definir um referencial inercial,

onde a segunda lei e valida. Ou seja, a segunda

lei so vale num referencial inercial definido pela


primeira lei.

2.3.3 Terceira Lei de Newton

Esta lei e quase evidente quando consideramos

as forcas de contato em equilıbrio. O fato da

lei da acao e reacao se manter para a acao

a distancia e demonstrado por exemplo pela

existencia das mares: a Terra mantem a Lua

em orbita com um campo gravitacional, mas a

Lua atua sobre a terra com uma forca a qual

(entre outras coisas) e a causa do fenomeno das

mares alta e baixa nos oceanos. Se a terceira

Figura 2.1: Ilustracao da terceira lei de New-

ton. Sobre um bloco de madeira e fixado um

ıma e um pedaco de ferro, e este conjunto e

colocado sobre uma superfıcie de gelo (sem

atrito).

lei de Newton nao fosse mantida, poderıamos

construir sistemas que iriam perpetuar o au-

mento de sua velocidade atraves da acao das

forcas internas. Newton testou a lei para uma

configuracao especial de objetos. Sobre um

bloco de madeira e fixado um ıma e um pedaco

de ferro, e este conjunto e colocado sobre uma

superfıcie de gelo (sem atrito) conforme mos-

tra a Fig. 2.1 acima. O ıma atua sobre o ferro

com uma forca direcionada para a esquerda,

enquanto o ferro atua sobre o ıma com uma

forca direcionada para a direita. Como as duas

forcas sao iguais em magnitude o sistema per-

manece em repouso.

Observe que a acao e a reacao sao sempre

aplicadas a corpos diferentes. Um outro as-

pecto importante da Terceira Lei de Newton

e que ela nao e uma lei de natureza geral.

Ela e valida sempre que a forca nao depen-

der da velocidade das partıculas, como no caso

das forcas gravitacional e eletrostatica. Estas

forcas atuam ao longo da linha que une os cor-

pos e por isso sao chamadas forcas centrais (na

verdade, quando a velocidade e muito grande

mesmo a forca gravitacional depende da velo-

cidade mas em geral este efeito e pequeno e

difıcil de ser detectado). Um caso em que a

Terceira Lei de Newton nao vale e o das forcas

entre cargas eletricas em movimento (forcas

magneticas).

Muitas vezes as forcas elasticas entre obje-

tos, como a forca que uma mola exerce sobre

um bloco, sao manifestacoes macroscopicas da

forca eletrostatica (sao as forcas eletrostaticas

entre os atomos da mola que dao origem a

forca elastica). Por conseguinte, estas forcas

tambem obedecem a Terceira Lei de Newton.

Como um exemplo de um situacao onde a

terceira lei de Newton nao e valida, considere

duas partıculas de cargas q1 e q2 se movendo

com velocidades v1 e v2 respectivamente. Uma

carga em movimento com uma velocidade v,

gera um campo magnetico B em um ponto r

do espaco, de acordo com a expressao abaixo

B(r) =1

c2v × E(r),

onde E(r) e o campo eletrico que a carga gera

no ponto r. Na figura 2.1 abaixo ilustramos

esta situacao.

A forca magnetica F12 da carga q2 sobre a

carga q1 e dada por,

F12 = q1v1 ×B2(r)


Figura 2.2: Ilustracao de uma situacao na qual

a terceira lei de Newton nao e valida.

e por sua vez a forca magnetica F21 da carga

q1 sobre a carga q2 e dada por,

F21 = q2v2 ×B1(r).

Na situacao ilustrada na figura 2.1 e evidente

que as forcas F12 e F21 nao tem nem mesmo a

mesma direcao, logo a terceira lei de Newton

nao e obedecida.

A Terceira Lei de Newton pode ser enunci-

ada em uma forma diferente de maneira a in-

corporar uma definicao operacional de massa.

Se dois corpos, que exercem forca um sobre

o outro, constituem um sistema isolado, entao

as aceleracoes desses corpos estao sempre em

sentidos opostos e a razao dos modulos das ace-

leracoes e igual ao inverso da razao das mas-

sas.

Para entender o significado dessa afirmacao

considere o sistema isolado formado pelos dois

corpos da figura 2.3 abaixo.

A Terceira Lei de Newton afirma que:

Fij = −Fji (2.12)

Da Segunda Lei de Newton, temos

dpi

dt= −dpj

dt(2.13)

Figura 2.3: Interacao entre as partıculas de

massa mi e mj.

Supondo a massa inercial constante,

midvi

dt= −mj

dvj

dt(2.14)

ou

miai = −mjaj (2.15)

Tomando o modulo, podemos escrever,

mj

mi

=ai

aj

(2.16)

Suponha que mi seja uma massa inercial

unitaria (um padrao de medida de massa). Co-

locando um segundo corpo qualquer, mj, para

interagir com mi podemos determinar a sua

massa inercial atraves da equacao acima.

Uma das formas mais comuns de se medir

a massa de um corpo e pesando-o. O metodo

baseia-se na suposicao de que a Terra exerce

sobre ele uma forca (peso) proporcional a sua

massa, ou seja, que

P = mg (2.17)

Contudo a validade deste metodo depende

do fato da massa que aparece na equacao da

forca gravitacional acima ser a mesma massa

que aparece na Segunda Lei de Newton. Isto

evidentemente nao e obvio: e um fato que

deve ser comprovado experimentalmente. Na

verdade, existem dois conceitos diferentes de

massa:


Massa inercial: e aquela que determina a

aceleracao de um corpo quando sujeito a

acao de uma forca (a que aparece na Se-

gunda lei de Newton).

Massa gravitacional: e aquela que deter-

mina a forca gravitacional entre um corpo

e outro corpo vizinho.

Muitas experiencias foram realizadas com o

objetivo de verificar a equivalencia entre estas

duas grandezas (a mais antiga e a famosa ex-

periencia onde Galileu teria deixado cair ob-

jetos diferentes da Torre de Pisa mostrando

que chegavam juntos ao solo). Todas elas tem

mostrado que a massa inercial e igual a massa

gravitacional (as mais precisas com uma pre-

cisao de uma parte em 1012). A suposicao da

equivalencia exata destes dois conceitos e de

fundamental importancia na Teoria Geral da

Relatividade e e conhecida como princıpio da

equivalencia. Uma outra interpretacao da Ter-

ceira Lei de Newton e baseada no conceito de

momentum. Da eq. (2.13) podemos escrever

d

dt(pi + pj) = 0 (2.18)

ou

pi + pj = cte. (2.19)

Podemos dizer entao que o momentum

de um sistema isolado constituıdo de duas

partıculas e conservado. Posteriormente mos-

traremos que esta afirmacao e valida para um

sistema isolado com muitas partıculas.

2.4 Princıpio da Relativi-

dade de Galileu

E essencial que se consiga descrever o mo-

vimento de um corpo para poder estuda -lo.

Para isso e necessario que se escolha um refe-

rencial (ou sistema de referencia), em relacao

ao qual esse movimento sera descrito. As leis

do movimento tem, em geral, formas diferen-

tes para diferentes sistemas de referencias. Po-

derao ter formas extremamente complexas se

a escolha do referencial nao for bem feita,

mesmo que o movimento em si seja muito sim-

ples. Dentre as inumeras possibilidades, sem-

pre que possıvel, opta-se por aquele sistema de

referencia que leva as leis da mecanica as for-

mas mais simples possıveis.

Se considerarmos que o espaco nao e ho-

mogeneo nem isotropico em relacao a um

sistema de referencia qualquer. Diferentes

posicoes ou orientacoes neste espaco nao serao

equivalentes do ponto de vista da mecanica,

mesmo para um corpo que nao interage com

nenhum outro. O tempo tambem nao sera

uniforme, isto e, instantes diferentes nao serao

equivalentes. Com estas propriedades do

espaco e do tempo e evidente que a des-

cricao do movimento de um corpo sera proi-

bitivamente complicada. Entretanto, sempre

e possıvel encontrar um sistema de referencia

onde o espaco e homogeneo e isotropico e o

tempo uniforme. Tal sistema de referencia

e chamado referencial inercial ou galileano.

Se considerarmos um outro referencial ani-

mado de um movimento retilıneo e uniforme

em relacao ao primeiro, as leis do movimento

sao as mesmas no novo sistema. Experiencias

mostram que as leis do movimento sao total-

mente equivalentes nos dois referenciais no sen-

tido que as equacoes matematicas sao invarian-

tes. Assim, existe uma infinidade de referenci-

ais inerciais, animados de movimento retilıneo

uniforme um em relacao ao outro. Em qualquer

referencial inercial, as propriedades do espaco

e do tempo sao as mesmas, assim como todas

as leis da mecanica. Esta afirmacao consti-

tui o que se chama Princıpio da Relatividade

de Galileu que e um dos mais importantes da


Mecanica Classica.

De acordo com o Princıpio da Relatividade

de Galileu, a posicao de um corpo e a sua velo-

cidade so tem significado relativo a algum re-

ferencial. Assim, dados dois corpos movendo-

se com velocidade relativa constante, e im-

possıvel estabelecer qual dos dois esta em re-

pouso e qual esta em movimento se nao for

especificado um referencial. A aceleracao, no

entanto, retem um significado ”absoluto”, pois

e possıvel detectar experimentalmente a ace-

leracao de um movimento, mesmo que nao seja

possıvel medir a sua velocidade.

Idealmente, pode-se definir que um referen-

cial inercial e aquele em relacao ao qual um

corpo isolado permanece em repouso ou move-

se com velocidade constante. Um corpo isolado

esta muito afastado de qualquer outro corpo,

ou seja, sua interacao com um outro corpo

qualquer e desprezıvel. Os referenciais acelera-

dos em relacao a qualquer sistema inercial nao

sao inerciais. Muitas vezes, depara-se com um

referencial cuja aparencia e o de inercial, mas

uma analise mais cuidadosa revela que nao o

e na realidade. Pode-se citar, como exemplo,

o referencial de um astronauta dentro de um

satelite. Se o astronauta abandonar um ob-

jeto qualquer no ”ar”, ele ficara em ”repouso”

ou em ”movimento retilıneo uniforme”. Apa-

rentemente tem-se um referencial inercial neste

caso. Entretanto, apos um exame minucioso,

conclui-se que a forca de atracao gravitacio-

nal da Terra sobre o referido objeto esta sendo

apenas compensada pela forca centrıfuga de-

vido ao movimento ”circular” do satelite ao

redor da Terra. Se fosse possıvel observar

num espaco de dimensao bem maior que o

do compartimento do satelite, notar-se-ia que

existe um desvio no movimento desse objeto

em relacao a uma reta. Portanto, nao se trata

de um referencial inercial. Numa situacao real,

corpo algum jamais podera estar completa-

mente isolado. Assim, sera muito difıcil en-

contrar um referencial inercial ”verdadeiro”.

Porem, para todos os fins praticos, pode-se

adotar um sistema de tres eixos com origem

no centro de massa do sistema solar e orienta-

dos para as estrelas ”fixas”, por exemplo, como

sendo um referencial inercial. Mesmo um sis-

tema fixo na superfıcie da Terra pode, em mui-

tas circunstancias, ser considerado inercial. A

hipotese da existencia de um referencial iner-

cial e essencial na Mecanica Classica.

Todos os referenciais doravante adotados

serao inerciais, exceto se o contrario for dito.

2.5 Transformacoes galile-

anas: referenciais iner-

ciais

As leis de Newton nao sao validas em todos

os referenciais. Os referenciais em relacao aos

quais elas sao validas sao chamados referenci-

ais inerciais. Experimentos fısicos podem ser

realizados em diferentes referenciais. Estes re-

ferenciais podem estar se movimentando um

em relacao ao outro. A questao aqui e como re-

lacionar as medidas realizadas em um referen-

cial com o outro referencial. A transformacao

de Galileu fornece o meio de realizarmos esta

conversao de medidas de um referencial para o

outro. Considere dois referenciais O e O′ com

O′ movendo-se como uma velocidade V cons-

tante em relacao ao referencial O, o qual assu-

miremos ser um referencial inercial. Na figura

2.4 abaixo ilustramos esta situacao.

Suponha que a posicao de uma partıcula em

relacao a um referencial inercial O seja dada

por r. Como a Segunda Lei de Newton e valida


Figura 2.4: Referencial O′ se movendo com

uma velocidade V constante em relacao ao re-

ferencial inercial O.

nesse referencial, entao

F = mr. (2.20)

onde cada ponto indica uma derivada em

relacao ao tempo. Se um segundo referencial

O′ se move em relacao ao primeiro com velo-

cidade constante, entao a posicao da partıcula

neste referencial e dada por

r′ = r−Vt; t = t′ (2.21)

onde assumimos que o tempo flui da mesma

forma nos dois referenciais. Esta trans-

formacao e chamada de transformacao de Gali-

leu. A ultima relacao assegura que o tempo nao

e afetado pelo movimento relativo, ela expressa

a universalidade do tempo absoluto, proposto

por Newton. Diferenciando a equacao acima

com relacao ao tempo obtemos

r′ = r−V, (2.22)

Portanto, se a velocidade r de um corpo P no

referencial O for constante, ela tambem o sera

no referencial O′, e o corpo obedecera a lei da

inercia.

Diferenciando a velocidade (2.22) com

relacao ao tempo, obtemos que

r′ = r. (2.23)

a qual diz que a aceleracao do corpo P nao

muda sobre uma transformacao de Galileu, e

podemos dizer que ela e galileanamente invari-

ante.

A massa inercial e invariante sobre uma

transformacao de Galileu (lei da inercia), dessa

forma, podemos escrever

F = mr = mr′, (2.24)

ou seja, a Segunda Lei de Newton tambem e

valida em relacao ao referencial O′, e ela e dita

ser invariante sobre uma transformacao de Ga-

lileu. Se a forca F e independente da veloci-

dade, entao a forca F′ que atua sobre o corpo

P no referencial O′ e a mesma forca F no re-

ferencial O. Finalmente temos

F = mr = mr′ = F′.

Isto e, se a forca for independente da velo-

cidade, a segunda lei de Newton, sera man-

tida no referencial O′. Esta e a chamada in-

variancia galileana, tambem conhecida como

princıpio newtoniano da relatividade. As com-

ponentes individuais podem nao ser invarian-

tes, mas elas se transformam de acordo com

este esquema e dizemos que elas sao covarian-

tes. Por exemplo, dois observadores que estao

em movimento uniforme um em relacao ao ou-

tro observam as mesmas leis da mecanica. Por-

tanto dizemos que existe um numero infinito

de referenciais inerciais, todos conectados por

uma transformacao de Galileu.

Portanto, todos os referenciais que se movem

em relacao a um referencial inercial com velo-

cidade constante tambem sao referenciais iner-

ciais. Uma vez que as distancias entre as es-

trelas sao geralmente muito grandes, as forcas

que umas exercem sobre as outras sao muito

pequenas. A observacao das estrelas mostra

que elas obedecem a Lei da Inercia (Primeira

Lei de Newton). Estas estrelas (chamadas na


literatura de estrelas fixas) definem referenciais

inerciais convenientes em muitas situacoes de

interesse mas nenhuma delas e um referencial

inercial absoluto; todos os referenciais que se

movem com velocidade constante em relacao a

uma estrela fixa tambem sao referenciais iner-

ciais. A inexistencia de um referencial inercial

absoluto e chamada de invariancia galileana ou

princıpio da relatividade newtoniana.

Em ambos na mecanica e na eletrodinamica

onde as velocidades dos corpos sao com-

paraveis a velocidade da luz, a transformacao

galileana deve ser trocada por uma trans-

formacao de Lorentz. As equacoes de Maxwell,

as quais formam as bases da eletrodinamica,

nao sao invariantes sobre uma transformacao

de Galileu. Para mostrar isto, e suficiente

considerar a consequencia das equacoes de

Maxwell: a constancia da velocidade da luz

em todos os referenciais inerciais. Por outro

lado, uma transformacao galileana prediz que

a velocidade da luz deveria ser diferente em

dois referenciais movendo-se com uma veloci-

dade constante em um em relacao ao outro. Os

experimento realizados por Michelson-Morley

e outros mostraram que a velocidade da luz

e a mesma em todas as direcoes e e indepen-

dente da velocidade relativa entre a fonte emis-

sora de luz e o observador. Este fato esta em

conflito com a transformacao galileana. Um

grande numero de tentativas foram feitas para

resolver o conflito, entretanto, todas falharam.

A solucao final, veio somente com a Teoria

Especial da Relatividade de Einstein (ou sim-

plesmente Teoria da Relatividade) na qual a

transformacao galileana foi trocada pela trans-

formacao de Lorentz.

A seguir mostramos uma ilustracao de uma

situacao onde as Leis de Newton nao sao

validas. Uma bola de massa m esta pendu-

rada no teto de um onibus que se movimenta

para a direita com aceleracao constante a. Um

observador no ponto de onibus (ref. inercial

P) observa o movimento da bola. Ele nao ve

nenhum movimento na vertical, fato que ex-

plica argumentando que a componente vertical

da tensao compensa o peso da bola. Ele ve a

bola acelerada na horizontal e diz que esta ace-

leracao e causada pela componente horizontal

da tensao, em pleno acordo com a Segunda Lei

de Newton. Ao contrario, para um observador

O situado no interior do onibus parece haver

uma contradicao. Ele tambem entende que ha

uma componente da tensao atuando na hori-

zontal mas nao ve a bola acelerada: para ele

a bola esta em repouso. Entao ele conclui que

a Segunda Lei de Newton nao esta sendo obe-

decida. As Leis de Newton nao sao validas

no referencial O porque ele e um referencial

acelerado e elas so sao validas para referenci-

ais inerciais. Em um capıtulo posterior iremos

apresentar um metodo que permite descrever o

movimento visto de referenciais nao inerciais.

Figura 2.5: Referenciais inerciais: validade das

leis de Newton.

2.6 Aplicacoes das leis de

Newton

Ate este momento ha alguns autores que in-

terpretam a segunda lei de Newton de forma

simplista e equivocada, o que gera uma con-


fusao na interpretacao na interpretacao da

mesma. A dificuldade que gera esta ma inter-

pretacao da segunda lei de Newton, reside no

fato de que nao ha uma maneira independente

de determinarmos a quantidade F. A discussao

do proprio Newton no seu livro publicado em

1867 o Philosophiae Naturalis Principia Mate-

matica, e algo um pouco ambıgua sobre qual

interpretacao conceitual deve ser adotada. Ele

sugere que a segunda lei pode ser tomada como

um definicao de forca assim como um lei de mo-

vimento. Entretanto, as consequencias desta

abordagem e que as leis de movimento tornam-

se meramente uma convencao e nao uma as-

sercao de como a natureza funciona, e todo o

formalismo de Newton da mecanica torna-se

axiomatico no senso em que todos os resulta-

dos seguem desta definicao em vez de leis da

natureza deduzidas experimentalmente.

Aqui enfatizaremos que a segunda lei de mo-

vimento, assim como as outras duas leis de mo-

vimento, sao leis da natureza deduzidas expe-

rimentalmente. Elas foram formuladas a partir

de generalizacoes de dados e observacoes expe-

rimentais. Alguns fısicos ilustres como Arnold

Sommerfeld (orientador de doutoramento de

outro ilustre fısico, Werner Karl Heisenberg),

Richard P. Feynman, entre outros, dizem que

nao devemos usar a segunda lei de movimento

como uma definicao da forca (e portanto fa-

zer da mecanica uma teoria matematica pura).

Nenhuma predicao pode ser feita a partir de

uma definicao! A segunda lei adquiri um sig-

nificado real somente quando a forca e definida

independentemente. Mas descrever comple-

tamente as propriedades independentes e es-

pecıficas da forca nao e uma tarefa trivial. To-

dos nos temos um sentimento intuitivo para o

conceito de uma forca.

Desta forma, ao escrevermos a segunda lei

de Newton

F =d

dt(mv) = m

dv

dt= mr, (2.25)

a forca F deve ser uma funcao conhecida a par-

tir de outras leis experimentais. Se assim o for,

entao esta equacao diferencial podera ser resol-

vida para se obter r como funcao do tempo.

A seguir iremos fazer algumas aplicacoes da

segunda lei de movimento.

Exemplo 4 Considere um bloco de massa m

em repouso sobre um plano inclinado de um

angulo θ com a horizontal. O coeficiente de

atrito estatico entre o bloco e o plano incli-

nado e dado por µe = tgα, com θ > α. Uma

forca F e aplicada horizontalmente ao bloco, e

sua linha de acao passa pelo centro geometrico

do bloco. (a) Determine o valor mınimo de F

para que o bloco esteja na eminencia de des-

lizar plano inclinado abaixo. (b) Determine o

valor maximo de F para que o bloco esteja na

eminencia de deslizar plano inclinado acima.

Solucao: (a) Forca mınima F.

As forcas que estao atuando sobre o bloco

de massa m quando este se encontra na

eminencia de descer sao: a forca aplicada F,

a forca peso P do bloco, a reacao normal N do

plano inclinado e a forca de atrito estatica fat

entre o bloco e o plano inclinado. Estas forcas

estao ilustradas na figura 2.6 abaixo.

Para resolvermos este problema escolhemos

dois eixos cartesianos (ortogonais) conforme

mostra a figura 2.6. Para resolver este pro-

blema, decomporemos as forcas nestes eixos.

Assim ao longo do eixo x a segunda lei de New-

ton pode ser escrita como:

F cos θ + fat − P sen θ = max = 0. (2.26)

onde,

fat = µeN.


Figura 2.6: Bloco de massa m com uma forca

F aplicada na eminencia de deslizar plano in-

clinado abaixo.

Aqui devemos uma vez mais, salientar que

neste caso conhecemos as forcas que estao atu-

ando sobre o bloco e que a segunda lei nos diz

simplesmente que como o bloco esta em repouso

sobre o plano inclinado entao a forca resul-

tante sobre o mesmo e nula. Da mesma, forma

ao longo do eixo y a segunda lei de Newton

pode ser escrita como:

N − P cos θ − F sen θ = may = 0. (2.27)

Isolando a normal N na eq. (2.27) e substi-

tuindo o resultado na eq. (2.26), obtemos que

F cos θ + µe(P cos θ + F sen θ)− P sen θ = 0

F (cos θ + µe sen θ)− P (sen θ − µe cos θ) = 0,

logo,

F =sen θ − µe cos θ

cos θ + µe sen θP

=cosα sen θ − senα cos θ

cosα cos θ + senα sen θP

=sen (θ − α)

cos (θ − α)P

Portanto, o modulo da forca mınima e

F = P tg (θ − α) . (2.28)

(b) Forca maxima F.

As forcas que estao atuando sobre o bloco

de massa m quando este se encontra na

eminencia de subir sao: a forca aplicada F,

a forca peso P do bloco, a reacao normal N do

plano inclinado e a forca de atrito estatica fat

entre o bloco e o plano inclinado. Estas forcas

estao ilustradas na figura 2.7 abaixo.

Figura 2.7: Bloco de massa m com uma forca

F aplicada na eminencia de deslizar plano in-

clinado acima.

Novamente escolhemos os eixos cartesianos

e decompomos as forcas conforme mostra a fi-

gura 2.7.

Assim ao longo do eixo x a segunda lei de

Newton pode ser escrita como:

F cos θ − fat − P sen θ = max = 0. (2.29)

onde,

fat = µeN.

enquanto que ao longo do eixo y a segunda lei

de Newton pode ser escrita como:

N − P cos θ − F sen θ = may = 0. (2.30)

Isolando a normal N na eq. (2.30) e substi-

tuindo o resultado na eq. (2.29), obtemos que

F cos θ − µe(P cos θ + F sen θ)− P sen θ = 0

F (cos θ − µe sen θ)− P (µe cos θ + sen θ) = 0,

logo,

F =µe cos θ + sen θ

cos θ − µe sen θP

=senα cos θ + cosα sen θ

cosα cos θ − senα sen θP

=sen (θ + α)

cos (θ + α)P


Portanto, o modulo da forca maxima e

F = P tg (θ + α) .

Exemplo 5 Qual a aceleracao de um bloco

que desliza para baixo em um plano inclinado

sem atrito com um angulo θ = 30 (Fig. 2.8

abaixo)?

Figura 2.8: Bloco de massa m deslizando em

um plano inclinado sem atrito.

Solucao: Existem duas forcas atuando sobre

o bloco: a forca gravitacional, P, e a reacao

normal do plano sobre o bloco, N. A forca

total sobre o bloco e

F = P + N

de forma que a Segunda Lei de Newton pode

ser escrita como

P + N = mr

Como esta e uma equacao vetorial, possui duas

componentes escalares: uma para a direcao x

e outra para a direcao y. Como o bloco e obri-

gado a permanecer sobre o plano nao ha ace-

leracao na direcao y, de forma que

−P cos θ +N = 0

Na direcao x temos

P sen θ = mx

o que nos leva a

x =P sen θ

m=mg sen θ

m= g sen θ

Supondo g = 9, 8 m/s2 e θ = 30, temos

x = g sen 30 = 4, 9 m/s2

Exemplo 6 Se o coeficiente de atrito estatico

entre o bloco e o plano do exemplo anterior for

µs = 0, 4, qual o angulo para o qual o bloco

comeca a deslizar? Suponha que ele esteja ini-

cialmente em repouso.

Figura 2.9: Bloco de massa m deslizando em

um plano inclinado com atrito.

Solucao: Neste caso ha uma terceira forca

atuando sobre o bloco: a forca de atrito

estatica, fs. A forca resultante e, portanto,

F = P + N + fs

As componentes da equacao de movimento sao:

Direcao y: − P cos θ +N = 0

Direcao x: − fs + P sen θ = mx

A forca de atrito estatica fs pode assumir

qualquer valor fs ≤ µsN necessario para man-

ter o bloco em repouso. Contudo, com o au-

mento do angulo θ do plano, havera um angulo

θMax. limite em que o bloco comeca a deslizar, e

nesta situacao a forca de atrito estatico atinge


o seu valor maximo, assim neste angulo limite

temos

fs(θ = θMax.) = fMax.

= µsN = µsP cos θ

e

mx = 0.

Desta forma, a equacao de movimento na

direcao x torna-se

mg sen θ − µsmg cos θ = 0

ou

sen θ = µs cos θ ⇒ µs = tg θ

ou ainda,

θ = arctg(µs)

Considerando µs = 0, 4 temos

θ = 22

Exemplo 7 Depois que o bloco do exemplo

anterior comeca a deslizar o coeficiente de

atrito cinetico torna-se µk = 0, 3. Obtenha a

aceleracao do bloco para θ = 30.

Solucao: A equacao de movimento na direcao

x e

mx = P sen θ − fk

onde, a forca de atrito cinetico e dada por

fk = µkN = µkP cos θ

Assim,

mx = mg (sen θ − µk cos θ)

x = g (sen θ − µk cos θ)

Substituindo g = 9, 8 m/s2, θ = 30 e µk =

0, 3, obtemos que

x = 2, 4 m/s2

Exemplo 8 A figura 2.10 abaixo mostra uma

maquina de Atwood. Ela consiste de uma polia

lisa com duas massas suspensas, presas nas ex-

tremidades de uma corda leve. Obtenha a ace-

leracao de cada massa e a tensao na corda (a)

quando a polia esta em repouso e (b) quando

a polia esta dentro de um elevador que desce

com aceleracao constante α.

Figura 2.10: Uma maquina de Atwood.

Solucao: (a) Se desprezarmos a massa da

corda e supormos que a polia seja perfeita-

mente lisa podemos dizer que os modulos de

T1 e T2 sao iguais: chamaremos estes modulos

de T .

As equacoes de movimento para os dois cor-

pos sao:

m1x1 = m1g − Tm2x2 = m2g − T

(2.31)

A tensao na corda pode ser eliminada das

equacoes acima. Por exemplo, subtraindo a

primeira eq. de (2.31) da segunda, temos

m1x1 −m2x2 = (m1 −m2) g (2.32)

Se a corda for inextensıvel, entao

x1 = −x2 (2.33)


Assim podemos escrever

x1 =m1 −m2

m1 +m2

g = −x2 (2.34)

Observe que o corpo que possuir massa maior

tera aceleracao positiva (para baixo) enquanto

o outro corpo tera aceleracao negativa (para

cima)!

A tensao na corda pode ser calculada substi-

tuindo (2.34) em qualquer uma das eqs. (2.31).

A expressao obtida e

T =2m1m2

m1 +m2

g (2.35)

Quanto ao ıtem (b), podemos representar a

situacao na figura 2.11 abaixo,

Figura 2.11: Uma maquina de Atwood, em um

elevador.

Vamos chamar de x′ a distancia entre a polia

e um ponto de referencia fixo. As posicoes das

massas em relacao a este ponto sao:

x′′1 = x1 + x′ x′′2 = x2 + x′ (2.36)

As equacoes de movimento sao:

m1x′′1 = m1 (x1 + α) = m1g − T (2.37)

m2x′′2 = m2 (x2 + α) = m2g − T (2.38)

onde,

x′ = α.

Elas podem ser reescritas como

m1x1 = m1 (g − α)− Tm2x2 = m2 (g − α)− T (2.39)

As equacoes (2.39) sao iguais as equacoes

(2.31), com g substituıdo por (g − α). Assim,

a aceleracao e a tensao na corda sao dadas por

x1 =m1 −m2

m1 +m2

(g − α) = −x2 (2.40)

e

T =2m1m2

m1 +m2

(g − α) (2.41)

E como se a aceleracao da gravidade tivesse

sido reduzida a (g − α)!

Exemplo 9 Considere um trem constituıdo

por quatro vagoes, cada um deles com uma

massa M , conforme mostra a Fig. 2.12 abaixo.

A locomotiva aplica um forca lıquida F sobre

os vagoes. Determine a forca em cada vagao.

Figura 2.12: Vagoes de um trem.

Solucao: Para resolvermos este problema, de-

vemos isolar cada vagao e fazer um diagrama

das forcas que atuam sobre o mesmo. Va-

mos examinar inicialmente o primeiro e o se-

gundo vagao, onde as forcas que atuam so-

bre os mesmos estao mostrada na figura 2.12.

Devido a terceira lei temos que F12 = −F21,


F23 = −F32, F34 = −F43 e desta forma defini-

remos

f1 = |F12| = |F21|f2 = |F23| = |F32|f3 = |F34| = |F43|f4 = F

Agora estamos prontos para aplicar a se-

gunda lei de Newton a cada vagao isolada-

mente, mas para isto devemos observar que

o conjunto todo tera a mesma aceleracao a.

Desta forma, podemos escrever a segunda lei

para cada vagao como:

Vagao 1 f1 = Ma

Vagao 2 f2 − f1 = Ma



Somando este conjunto de equacoes, obte-

mos que:

f4 = F = 4Ma

e portanto, obtemos para as outras forcas em

termos da forca F como

f1 =1

4F ; f2 =

2

4F ; f3 =

3

4F e f4 =

4

4F,

ou ainda em termo de Ma, temos

f1 = Ma; f2 = 2Ma; f3 = 3Ma e f4 = 4Ma.

Exemplo 10 Considere um bloco de massa

m, que e abandonado de uma altura H no topo

de uma cunha de massa M e angulo θ, con-

forme a figura 2.13 abaixo. Determine as ace-

leracoes horizontais e verticais do bloco e da

cunha.

Solucao:

Num referencial inercial, externo a cunha e

ao bloco, as forcas que atuam no bloco e na

Figura 2.13: Um bloco de massa m e colocado

sobre uma cunha de massa M e em seguida

e abandonado. O atrito entre as superfıcies e

desprezıvel.

cunha sao mostradas na figura 2.14. Observe

que e a reacao normal do bloco sobre a cunha, a

forca N′, que sera responsavel pelo movimento

da cunha.

Figura 2.14: Num referencial inercial, pode-se

aplicar a segunda lei de Newton para descrever

o movimento da cunha e do bloco.

No referencial inercial escolhido, ao apli-

car a segunda lei de Newton ao movimento do

bloco, encontra-se que,

Em x: mx = N ′ sen θ (2.42)

Em y: my = mg−N ′ cos θ (2.43)

e quando aplicada ao movimento da cunha

obtem-se que

Em x: MX = −N ′ sen θ (2.44)

Em y: 0 = Mg +N ′ cos θ −N(2.45)


A segunda lei de Newton fornece quatro

equacoes de movimento acopladas, entretanto

temos cinco as incognitas: x, y, X, N e N′.

Para encontrar a solucao deste sistema sera

necessario mais uma equacao. A equacao que

esta faltando pode ser obtida observando que

o bloco tera o seu movimento restrito a su-

perfıcie da cunha. Todo tipo de restricao ao

movimento do de uma partıcula e chamada de

vınculo. Tanto o bloco quanto a cunha ao inici-

arem seu movimento estarao acelerados e como

o bloco encontra-se sobre a superfıcie da cu-

nha, que tambem esta acelerada. Portanto, a

segunda lei de Newton nao vale num referen-

cial sobre esta superfıcie, ja que o mesmo nao

e inercial.

Num referencial externo a superfıcie da cu-

nha, conforme ilustrado na figura 2.15 abaixo,

e um excelente referencial para descrever o mo-

vimento do sistema.

Figura 2.15: No referencial inercial mostrado

acima temos agora condicoes de descrever o

movimento da cunha e do bloco, e aplicar a

segunda lei de Newton.

Da figura 2.15 acima temos que o vetor

posicao do bloco r, esta relacionado ao vetor

posicao da cunha X e ao vetor posicao do bloco

em relacao ao topo da cunha d por r = X+d,

em termos de suas componentes, este vetores

podem ser escritos como,

X = Xex

d = d cos θex + d sen θey

r = xex + yey.

Como r = X + d, entao podemos escrever

x = X + d cos θ

y = d sen θ.

Derivando a relacao acima duas vezes com

relacao ao tempo, obtemos

x− X = d cos θ

y = d sen θ.

Dividindo as duas equacoes anteriores, uma

pela outra, eliminamos a dependencia na co-

ordenada relativa d, e obtemos a seguinte

relacao:

tg θ =y

x− X . (2.46)

Uma analise rapida da equacao acima, revela

que para o angulo θ = π/2, temos x = X, mas

ao obtermos a eq. (2.46) temos uma indeter-

minacao pois dividimos um numero finito por

zero. Ja para o angulo θ = 0, nao ha forcas

horizontais e neste caso x = X = 0 e tem-

se novamente uma indeterminacao. Deve-se

entao ter um cuidado especial ao usar esta ex-

pressao.

Da equacao (2.43) temos que N ′ cos θ =

mg − my. Dividindo este resultado pela eq.

(2.42) encontra-se que

tg θ =x

g − y . (2.47)

Das equacoes (2.42) e (2.44) obtem-se que,

X = −(m/M)x, portanto a equacao (2.46),

pode ser reescrita como,

tg θ =

(M

M +m

)y

x. (2.48)


Multiplicando-se as equacoes (2.46) por (2.47),

encontra-se que,

(g − y) tg2 θ =

(M

M +m

)y

(M +m)g tg2 θ =[M + (M +m) tg2 θ

]y

y =(M +m) tg2 θ

M + (M +m) tg2 θg

Desta expressao para y, juntamente com a

equacao (2.48), a aceleracao x pode ser escrita

como

x =M tg θ

M + (M +m) tg2 θg (2.49)

e como a aceleracao X esta relacionada com a

x por X = −(m/M)x, entao temos que

X = − m tg θ

M + (M +m) tg2 θg (2.50)

Ao analisar estas expressoes, verifica-se que

elas estao de acordo com os resultados espe-

rados para θ = 0 e para θ = π/2. Para o

caso em que θ = 0, espera-se que todas as ace-

leracoes sejam nulas, o que e satisfeito ja que

temos a funcao tg θ no numerador e um deno-

minador diferente de zero. Ja para o caso de

θ = π/2, espera-se que y = g, pois o objeto

caira em queda livre, e que X = x = 0. En-

tretanto, como tg (π/2) e infinita, tem-se uma

indeterminacao tanto no numerador quanto no

denominador. Esta indeterminacao pode ser

removida dividindo tanto o numerado quanto

o denominador por tg2 θ no caso de y e por

tg θ no caso de X e x, o que nos fornece o

resultado esperado para este limite.

2.7 Integracao das

equacoes de movi-

mento

Nesta secao, estudaremos o movimento de

uma partıcula de massa m, sob a acao de uma

forca F. O movimento da partıcula e gover-

nado, de acordo com a segunda lei de Newton,

pela equacao

F =d

dt(mv) = m

dv

dt= mr (2.51)

Antes de considerar a solucao da eq. (2.51),

recordaremos as definicoes de alguns concei-

tos bastante uteis que surgem no contexto da

Mecanica, na discussao de alguns problemas.

O momentum linear definido por p = mv, apa-

rece na eq. (2.10), usando o fato de m ser

constante na eq. (2.10), obtem-se o seguinte

resultado:

F =dp

dt= m

dv

dt(2.52)

Esta equacao estabelece que a taxa de variacao

do momentum linear com o tempo e igual a

forca aplicada, o que, evidentemente, e a se-

gunda lei de Newton. Este teorema pode ser

chamado Teorema de Momentum Linear (di-

ferencial). Multiplicando-se a eq. (2.52) por

dt e integrando-se de t1 a t2, obtem-se a forma

integral do Teorema de Momentum Linear :

∆p = p2 − p1 =

∫ t2

t1

Fdt. (2.53)

A eq. (2.53) fornece a variacao do momentum

linear devido a acao da forca F entre os tem-

pos t1 a t2. A integral da direita e chamada

impulso, que e fornecido pela forca F durante

este tempo; F deve ser conhecida como funcao

de t somente para que se possa calcular a inte-

gral. Se F for dada como F (r,v, t), entao o im-

pulso pode ser calculado para qualquer movi-

mento r(t), v(t) particular. Outra grandeza de

consideravel importancia e a energia cinetica,

definida (em Mecanica Classica) pela equacao

T =1

2mv2. (2.54)

Tomando o produto escalar da eq. (2.52) por

v, obtem-se

mv · dvdt

= F · v (2.55)


ou entao:

d

dt

(1

2mv2

)=dT

dt= F · v. (2.56)

A eq. (2.56) fornece a taxa de variacao da ener-

gia cinetica, podendo ser chamada Teorema

Trabalho Energia (diferencial). Multiplicando-

se por dt e integrando de t1 a t2, obtem- se a

forma integral do Teorema Trabalho Energia.

∆T = T2 − T1 =

∫ t2

t1

F · vdt. (2.57)

A eq. (2.57) fornece a variacao de energia de-

vido a acao da forca F entre os tempos t1 a t2.

A integral a direita denomina-se trabalho, que

e executado pela forca durante este intervalo de

tempo. O integrando F ·v a direita e a taxa de

execucao de trabalho com o tempo, chamada

potencia, e e fornecida pela forca F. Em geral,

quando F e conhecida como F (r,v, t), o traba-

lho pode ser calculado somente para um movi-

mento particular r(t), v(t) especificado. Como

v = dr/dt (observe que dr = vdt), pode-se

reescrever a integral do trabalho de forma con-

veniente, quando F e conhecida em funcao de

r:

∆T = T2 − T1 =

∫ t2

t1

F · dr. (2.58)

2.7.1 Analise do movimento uni-

dimensional

Quando se conhece a forca F, a equacao de

movimento (2.51) torna-se uma equacao dife-

rencial ordinaria, de segunda ordem, para a

funcao desconhecidas r. A forca F pode ser

conhecida como funcao de qualquer uma ou

de todas as variaveis t, r e v. Em relacao a

um dado movimento de um sistema dinamico,

todas as variaveis dinamicas (r, v, F, p, T ,

etc.) associadas ao sistema sao, evidente-

mente, funcoes do tempo t, isto e, cada uma

tem um valor definido para cada instante de

tempo em particular. Em muitos casos, en-

tretanto, uma variavel dinamica, tal como a

forca, pode guardar uma certa relacao funcio-

nal com r, com v, ou com qualquer combinacao

de r, v e t. Como exemplo, a forca gravitaci-

onal que age sobre um corpo em queda livre,

de uma grande altura acima da Terra, e conhe-

cida como funcao da altura acima da Terra. A

forca de atrito de arrastamento que atua so-

bre um corpo depende de sua velocidade e da

densidade do ar, bem como da altura em que

se encontra acima da Terra; se as condicoes

atmosfericas mudarem, ela podera depender

ainda de t. Sendo F conhecida como F (r,v, t),

entao, quando r(t) e v(t) tambem sao conheci-

das, estas funcoes podem ser substituıdas para

que F seja uma funcao apenas de t, embora, em

geral, isto nao possa ser realizado ate que se re-

solva a eq. (2.51). Mesmo assim, a funcao F(t)

pode ser diferente para diferentes movimentos

possıveis da partıcula. Em geral, quando F e

dada como F (r,v, t) (onde F pode depender

de qualquer uma ou de todas essas variaveis),

a eq (2.51) torna-se uma equacao diferencial

definida, que deve ser resolvida:

d2r

dt2=

1

mF (r,v, t) (2.59)

Esta e a forma mais geral de equacao di-

ferencial ordinaria de segunda ordem, e de

agora em diante nos dedicaremos ao estudo

de suas solucoes e aplicacoes em problemas de

Mecanica. Devemos salientar, que por ser uma

equacao diferencial de segunda ordem ela tera

duas constantes de integracao, as quais serao

dadas pelas condicoes iniciais.

A eq. (2.59) e aplicavel a todos os proble-

mas de uma partıcula submetida a acao de

uma forca conhecida. Em geral, existem mui-

tos movimentos possıveis, pois a eq. (2.59)

fornece somente a aceleracao da partıcula, em

cada instante, em termos de sua posicao e de


sua velocidade naquele instante. Conhecida a

posicao e a velocidade de uma partıcula em

certo instante, pode-se determinar sua posicao

apos (ou anteriormente a) um pequeno inter-

valo de tempo. Conhecida a aceleracao, pode-

se determinar sua velocidade apos um pequeno

intervalo de tempo. A eq. (2.59), entao, for-

nece a aceleracao apos esse pequeno intervalo.

Desta maneira, e possıvel seguir as posicoes e

velocidades anteriores como as subsequentes de

uma partıcula, caso sua posicao r0 e velocidade

v0 sejam conhecidas em um instante qualquer

t0. O instante inicial t0, embora possa ser um

instante qualquer da historia da partıcula; os

valores r0 e v0 em no instante t0 denominam-

se condicoes iniciais. Ao inves de especificar

os valores iniciais de r e v, especifica-se o va-

lor de quaisquer outras duas grandezas a partir

das quais r e v podem ser obtidas; por exem-

plo, e possıvel especificar r0 e o momentum li-

near inicial p0 = mv0. Estas condicoes iniciais,

juntamente com a eq. (2.59), representam um

problema perfeitamente definido, cuja solucao

deve ser uma unica funcao r(t) representando

o movimento de uma partıcula sobre condicoes

especificadas.

A teoria matematica das equacoes diferen-

ciais ordinarias de segunda ordem leva a re-

sultados que estao de acordo com o que se

espera da natureza do problema de Fısica

que deu origem a equacao. A teoria asse-

gura que, ordinariamente, a solucao de uma

equacao da forma (2.59) e contınua e unica,

r(t), que assume os valores r0 e v0 de r(t) e

r(t), em qualquer valor escolhido t0 de t. Or-

dinariamente, aqui, quer dizer ate que ponto

aqueles que comecam a estudar Mecanica de-

vem preocupar-se, em todos os casos de inte-

resse. As propriedades das equacoes diferen-

ciais, como a (2.59), podem ser estudadas na

maioria dos tratados sobre o assunto. Sabe-

se que qualquer problema de Fısica deve ter

sempre uma solucao unica e, portanto, qual-

quer forca F(r, r, t) que apareca devera satis-

fazer necessariamente a condicao imposta para

aqueles valores de r, r e t que tenham interesse

fısico. Logo, em geral nao e preciso saber se a

solucao existe ou nao. No entanto, a maioria

dos problemas de Mecanica envolve algumas

simplificacoes da situacao real, o que leva o

aluno a simplificar demais ou mesmo a distor-

cer o problema fısico de tal maneira que impede

o problema matematico resultante de ter ape-

nas uma solucao. Em geral, os fısicos, ao trata-

rem de Mecanica ou de outros ramos, tendem a

ignorar as questoes de rigor matematico. Na-

queles casos, raros afortunadamente, em que

encontram dificuldades, eles usam a intuicao

ou verificam a falta de rigor, ate descobrirem

a solucao. Tal procedimento e capaz de cau-

sar tremores nos matematicos, mas e a ma-

neira mais conveniente e rapida de aplicar a

Matematica a solucao de problemas de Fısica.

Os fısicos, embora procedendo de maneira nao

rigorosa, devem estar a par do rigor com que

os matematicos aplicam esses metodos.

O teorema que gerou a eq. (2.59) garante

que existe uma solucao matematica unica para

todos os casos que aparecerao na pratica. Em

alguns deles, a solucao exata pode ser obtida

atraves de metodos elementares. A maioria dos

problemas considerados aqui sao desta natu-

reza. Afortunadamente, muitos dos mais im-

portantes problemas de Mecanica podem ser

resolvidos sem dificuldade, por meios fısicos.

Na realidade, uma das razoes por que certos

problemas sao considerados importantes e sua

facil resolucao. Os fısicos estao preocupados

em descobrir e verificar as leis da Fısica. Ao ve-

rifica-las experimentalmente, eles podem, mui-

tas vezes, escolher os casos em que a elaboracao

da analise matematica nao e muito difıcil. Ja


os engenheiros nao sao tao afortunados, por-

que os problemas com que deparam nao sao

selecionados devido a facilidade, mas porque

tem importancia pratica. Em Engenharia e

tambem frequentemente em Fısica, aparecem

muitos casos em que a solucao da eq. (2.59) e

de obtencao difıcil ou impossıvel. Em tais ca-

sos, existe um numero variado de metodos para

se obter pelo menos a resposta aproximada.

A partir de agora iremos discutir o movi-

mento unidimensional, o que nao implica em

uma perda de generalidade, ja o movimento

tridimensional pode ser decomposto em suas

tres componentes cartesianas, ao longo dos ei-

xos x, y e z, e cada uma delas e equivale a

um movimento unidimensional. Nos caso em

que a forca aplicada ao sistema e tridimensio-

nal, basta considerarmos a sua componente ao

longo de cada direcao e entao resolver o pro-

blema para cada direcao individualmente. As-

sim quando nos referirmos a forca no caso uni-

dimensional, estaremos nos referindo a compo-

nente da forca naquela direcao.

No caso unidimensional de uma partıcula

com massa constante, a equacao que temos de

integrar e

d2x

dt2= x =

1

mF (x, x, t) . (2.60)

Agora iremos dividir as forcas aplicadas em

quatro categorias, e isto deve-se a uma questao

de simplicidade e devido ao fato destes serem

os tipos de forcas mais comuns de nosso coti-

diano. Estas categorias sao:

1. Forca aplicada constante.

2. Forca aplicada dependente do tempo.

3. Forca aplicada dependente da posicao.

4. Forca aplicada dependente da velocidade.

A seguir iremos analisar cada um destes ca-

sos individualmente.

2.7.2 Forca aplicada constante

Este e um caso simples e interessante, pois

uma das forcas mais comuns do nosso cotidiano

e a forca peso, a qual e uma forca constante.

Para este caso, a equacao de movimento uni-

dimensional e dada por:

dv

dt= x =

1

mF. (2.61)

que integrada entre os instantes t = 0 e t, pode

ser escrita como

v(t) = v0 +F

mt. (2.62)

onde v0 e a primeira constante de integracao

que surge, e e determinada pela condicao ini-

cial sobre a velocidade. Da definicao de velo-

cidade temos

v(t) =dx

dtpodemos integra-la entre os instante t = 0 e t,

obtendo que∫ x

x0

dx =

∫ t

0

v(t′)dt′ (2.63)

Para determinarmos x(t) precisamos conhecer

v(t). Substituindo a expressao para v(t) dada

pela eq. (2.62) na eq. (2.63), e realizando a

integracao obtemos que

x(t) = x0 + v0t+1

2

(F

m

)t2, (2.64)

onde x0 e a segunda constante de integracao,

a qual e dada pela condicao inicial sobre a

posicao. Portanto para forcas constantes a in-

tegracao das equacoes de movimento e ime-

diata. Eventualmente em um problema de

mecanica, pode-se desejar a posicao em funcao

da velocidade em vez do tempo como ocorre na

eq. (2.64). Neste caso basta isolarmos o tempo

na eq. (2.62) e substituirmos o resultado na eq.

(2.64), assim obtemos a equacao

v2 = v20 + 2

(F

m

)(x− x0) , (2.65)


a qual e conhecida com equacao de Torricelli.

Outro modo de obtermos a equacao de Tor-

ricelli, e usando o fato da aceleracao do sistema

ser constante, assim

ma = mvdv

dx−→

∫ v

v0

vdv = a

∫ x

x0

dx.

(2.66)

Integrando a equacao acima obtem-se que

v2 = v20 + 2a (x− x0) , (2.67)

2.7.3 Forca aplicada dependente

do tempo

Se uma forca F for dada como funcao do

tempo, entao e possıvel resolver a equacao

de movimento (2.60) da seguinte maneira:

multiplicando-a por dt e integrando desde um

instante inicial 0 ate um instante t qualquer

posterior (ou anterior), obtendo-se-do-se

v(t) = v0 +1

m

∫ t

0

F (t′)dt′, (2.68)

onde v0 e a primeira constante de integracao

que surge, e e determinada pela condicao ini-

cial sobre a velocidade. Como F (t) e uma

funcao conhecida de t, a integral a direita pode

ser resolvida, pelo menos em princıpio, e o se-

gundo membro sera entao uma funcao de t.

Multiplicando agora a eq. (2.68) por dt′′ e

integrando novamente de 0 a t, obtemos

x(t) = x0+v0t+1

m

∫ t

0

dt′′∫ t′′

0

F (t′)dt′, (2.69)

Esta e a solucao procurada x(t), em ter-

mos de duas integrais, que podem ser cal-

culadas quando se conhece F (t). Uma in-

tegral definida pode ser sempre calculada;

nao sendo possıvel encontrar um resultado

analıtico explıcito, calcula-se a integral por

metodos numericos, obtendo-se resultados tao

precisos quanto se queira. Por esta razao,

na discussao de problema como o anterior,

considera-se comumente que ele esteja resol-

vido quando a solucao foi expressada em ter-

mos de uma ou mais integrais definidas. Em

problemas de cunho pratico, as integrais devem

ser calculadas objetivando-se a solucao final de

forma que possa ser utilizada.

Problemas nos quais F e dada como funcao

de t aparecem usualmente quando se deseja

determinar o comportamento de um sistema

mecanico sob a acao de uma influencia externa.

A seguir discutiremos um exemplo.

Exemplo 11 Consideremos as interacoes das

ondas de radio com os eletrons da ionosfera,

o que resulta na reflexao das ondas de radio

pela ionosfera. A ionosfera e uma regiao que

envolve a superfıcie da terra a uma altura de

200 km acima da mesma. A ionosfera e um

gas neutro constituıdo por ıons positivamente

carregados e eletrons. Quando uma onda de

radio, a qual e uma onda eletromagnetica,

passa atraves da ionosfera, ela interage com as

partıculas carregadas, acelerando-as. Discuta

o movimento das partıculas carregadas ao in-

teragirem com as ondas de radio, e o que ira

ocorrer com as ondas de radio.

Solucao: O modelo que iremos usar para dis-

cutir o que ocorrera com as ondas de radio ao

interagirem com as cargas da mesma sera o

movimento de um eletron de massa m e carga

−e, que inicialmente esta em repouso na ori-

gem do sistema, e que a partir do instante em

que ele passa a interagir com a onda eletro-

magnetica que chega, cujo o campo eletrico e

E(t) = E0 sen (ωt+ δ) (2.70)

ele sentira uma forca aplicada dada por

F (t) = −eE(t) = −eE0 sen (ωt+ δ) . (2.71)


Portanto, a equacao de movimento do eletron

e

mdv

dt= −eE0 sen (ωt+ δ) (2.72)

a qual a ser integrada fornece

v(t) = −eE0

mωcos (δ)+

eE0

mωcos (ωt+ δ) (2.73)

Multiplicado da equacao acima por dt e inte-

grando do instante t = 0 ao instante t, obtemos

que

x(t) =− eE0

mω2sen (δ)− eE0

mωt cos (δ) (2.74)

+eE0

mω2sen (ωt+ δ)

Os dois primeiros termos indicam que o

eletron esta a deriva, movimentando-se com

uma velocidade uniforme e que esta veloci-

dade e uma funcao que depende somente das

condicoes iniciais. Ja o ultimo termo, indica

que temos um movimento oscilatorio super-

posto ao movimento de deriva do eletron. A

frequencia de oscilacao ω do eletron e inde-

pendente das condicoes iniciais e e a mesma

frequencia de oscilacao do campo eletrico da

onda de radio incidente. A seguir investi-

garemos como tais oscilacoes coerentes dos

eletrons livres podem modificar a propagacao

caracterıstica das ondas eletromagneticas inci-

dentes.

A parte oscilante do deslocamento x do

eletron faz surgir um momento de dipolo

eletrico p dado por

p = − e2

mω2E(t) (2.75)

Cada eletron do gas ira experimentar um

campo eletrico E externamente aplicado e um

campo interno causado pelos momentos de di-

polo induzidos dos outros eletrons. Mas desde

que a densidade N de eletrons na ionosfera e

muito baixa, a segunda contribuicao pode ne-

gligenciada, e a polarizacao macroscopica P e

dada por:

P = Np = −Ne2

mω2E(t) (2.76)

O ındice de refracao n do gas de eletrons

nos dira o que ocorrera com as ondas de radio

viajando atraves da ionosfera. O ındice de re-

fracao n de um meio e

n =c

v(2.77)

onde c e v sao a velocidade da luz no vacuo e

no meio respectivamente, e elas ainda podem

ser expressas como

c =1√ε0µ0

e v =1√εµ

(2.78)

onde ε0 e ε sao as permissividades eletricas do

vacuo e do meio respectivamente enquanto µ0 e

µ sao as permeabilidades magneticas do vacuo

e do meio respectivamente, e µ0/µ ≈ 1. Por-

tanto, podemos escrever

n =c

v=

√εµ

ε0µ0

≈√

ε

ε0=√k, (2.79)

onde a constante k e chamada de permissi-

vidade relativa e esta relacionada ao campo

eletrico E e a polarizacao P, e ao vetor deslo-

camento eletrico D pela relacao

D = ε0E + P = εE = kε0E, (2.80)

a partir da qual temos

k = 1 +1

ε0

(P

E

)(2.81)

a qual usando a eq. (2.76) pode ser reescrita

como

k = 1−(ωp

ω

)2

(2.82)

onde ωp e a frequencia de plasma definida como

ωp =

√Ne2

mε0(2.83)


Figura 2.16: Refracao e reflexao de ondas de

radio pela ionosfera.

Portanto, o ındice de refracao pode ser escrito

como

n =

√1−

(ωp

ω

)2

(2.84)

Da expressao acima vemos que se ω = ωp,

k e n tornam-se zeros. Quando ω e menor

do que ωp, k e negativa e o ındice de refracao

n torna-se imaginario puro. Agora estamos

prontos para discutir o que ira ocorrer as ondas

de radio viajando pela ionosfera:

1. Para n real e 0 < n < 1, ou equivalen-

temente ω > ωp. De acordo com a lei

de Snell n1 sen θi = n2 sen θr uma onda

de radio devera ter sua trajetoria refra-

tada da normal quando ela atinge a ionos-

fera. O angulo de refracao θr torna-se 90

quando

sen θi = n (2.85)

Para angulos de incidencia θi maiores do

que este a onda e totalmente refletida. De

fato, as bordas da ionosfera nao e abrupta,

mas a reflexao devera ocorrer para todos

os angulos de incidencia dados por

sen θi ≥ nmin. (2.86)

onde nmin. e o ındice de refracao mınimo

da ionosfera, ocorrendo na altura em que

a densidade de eletrons e maxima. Este

efeito e ilustrado pela Fig. 2.16. Da

Fig. 2.16(a) pode-se ver que as ondas

com maiores frequencia, o ındice de re-

fracao n da ionosfera e aproximadamente

da ordem da unidade, e as ondas sao re-

fratadas suavemente a partir da normal.

Pode-se ver ainda da Fig. 2.16(b) que em

baixas frequencias n e menor e as ondas

sao refratadas de volta para a superfıcie

da Terra. Ja a Fig. 2.16(c) mostra que

ainda em baixas frequencias, n e menor

do que sen θi no fundo da ionosfera, e as

ondas sao totalmente refletidas.

2. Se n for imaginario (ω ≤ ωp), nao havera

um fluxo lıquido de energia e nao ha ab-

sorcao de energia pela ionosfera. Devido

a estes fenomenos podemos concluir que a

onda e completamente refletida pela ionos-

fera, para qualquer angulo de incidencia.

Exemplo 12 Um cabo de guerra e mantido

entre dois times, A e B de 10 pessoas cada.

A massa media de cada pessoa e de 70 kg e

cada uma pode inicialmente, puxar com uma

forca F0 = 800 N, entretanto, quando as pes-

soas ficam cansadas, a forca que elas puxam

decresce com o tempo de acordo com a relacao

F (t) = F0e−t/τ , (2.87)

na qual τ e o tempo medio de cansaco. Para

o time A, τA = 20 s enquanto para o time B

τB = 10 s. Descreva o movimento do sistema,

isto e, calcule x(t) e v(t).

Solucao:

A forca aplicada em cada time em funcao do

tempo e dada por:

FA(t) = nAF0e−t/τA

FB(t) = nBF0e−t/τB ,


com nA = nB = 10. A forca resultante sobre o

centro de massa e dada por:

(nA + nB)mdV

dt= F0(nAe

−t/τA − nBe−t/τB).

(2.88)

Definindo,

α =nA

nA + nB

F0

m=

nB

nA + nB

F0

m=

F0

2m,

(2.89)

temos entao que,

dV

dt= α(e−t/τA − e−t/τB) (2.90)

∫ V

0

dV =

∫ t

0

α(e−t′/τA − e−t′/τB)dt′

V (t) = α[τA

(1− e−t/τA

)− τB(1− e−t/τB

)].

Como,

X(t) = X0 +

∫ t

0

V (t′)dt′

X(t) = X0 + α (τA − τB) t+

ατ 2A

(e−t/τA − 1

)− ατ 2B

(e−t/τB − 1

).

Apesar de ser um bom modelo, entretanto,

devemos ponderar que uma pessoa nao conse-

gue manter uma mesma forca quando em mo-

vimento.

Exemplo 13 Um bloco de massa m esta inici-

almente em repouso sobre uma superfıcie sem

atrito. No instante t = 0, passa atuar sobre

ele a forca

F (t) = F0e−λt,

na qual λ e uma constante tal que: λ > 0 e

λ¿ 1. Calcule x(t) e v(t).

Solucao:

Aplicando a segunda lei de Newton ao bloco,

obtem-se que

mdv

dt= F0e

−λt

assim∫ v

0

dv =

∫ t

0

F0

me−λt′dt′

v(t) = − F0

mλ

(e−λt − 1

).

Como,

x(t) = x0 +

∫ t

0

v(t′)dt′

x(t) = x0 +F0

mλ2

∣∣∣∣t

0

+F0

mλt

x(t) = x0 +F0

mλt+

F0

mλ2

(e−λt − 1

).

No inıcio do movimento, ou seja, para inter-

valos pequenos, t¿ 1, a expansao em serie de

Taylor da exponencial e e−λt = 1−tλ+ 12t2λ2+

O (t3), considerando somente o termo ate pri-

meira ordem para a velocidade, entao a veloci-

dade e a posicao podem ser escritas como:

v(t) ' F0

mt (2.91)

x(t) = x0 +F0

2mt2. (2.92)

2.7.4 Forcas dependentes da ve-

locidade: Forcas de retar-

damento

Em nosso cotidiano, frequentemente encontra-

mos forcas que sao dependentes da velocidade.

Exemplo de tais forcas sao as forcas de re-

sistencia ao movimento que surgem nos flui-

dos, como por exemplo, a forca de resistencia

do ar atuando sobre um objeto em queda e

uma funcao da velocidade do objeto. Estas

forcas geralmente possuem uma dependencia

complicada com a velocidade, pois as mesmas


dependem da densidade do fluido, da area da

secao do corpo, da sua forma geometrica, etc.

Nos casos mais simples, onde os corpos pos-

suem uma forma regular, e o suficiente expres-

sarmos a forca de resistencia Fr(v) por uma

potencia da velocidade. Geralmente as forcas

de resistencia Fr(v) possuem uma dependencia

com a velocidade mais complicada, entretanto,

a aproximacao destas forcas por uma lei de

potencia e util em muitas situacoes nas quais

as velocidades nao variam muito. Este tipo de

aproximacao e util porque nos casos em que

Fr(v) ∝ vn temos como integrar as equacoes

de movimento, obtendo assim uma estimativa

para nossos resultado. Nos casos mais realis-

tas, certamente deverıamos realizar uma inte-

gracao numerica.

Em geral a forca de resistencia e uma funcao

complicada da velocidade mas para certos in-

tervalos de velocidade ela pode ser escrita, de

forma aproximada, em modulo, atraves de uma

lei de potencia como

Fr = −mk|v|nv

v(2.93)

onde mk e uma constante positiva que de-

pende do formato do objeto e da densidade do

ar, ela expressa a magnitude da forca de re-

sistencia; a massa e escrita explicitamente por

uma questao de conveniencia. Ja o termo vv

e um vetor unitario na direcao da velocidade

v e o sinal negativo indica simplesmente que

esta forca e contraria a velocidade. Verifica-se

experimentalmente que para objetos relativa-

mente pequenos movendo-se no ar, n ≈ 1 para

velocidades menores que algo em torno de 24

m/s. Para velocidades entre este valor e a velo-

cidade do som (330 m/s) a forca de resistencia

e melhor descrita por n = 2. Mas tipicamente

para pequenos objetos a forca de resistencia do

ar e melhor descrita pela expressao:

Fr(v) =

−mkv para 0 ≤ v ≤ 25 m/s

−mkv2v

vpara 25 < v < 32 m/s

No caso de forcas aplicadas que dependem

da velocidade, a equacao de movimento pode

ser escrita como

mdv

dt= F (v) =⇒ mv

dv

dx= F (v) (2.94)

Uma vez conhecida a forma funcional de

Fr(v), pode-se realizar a integracao de qual-

quer uma das duas formas da equacao de mo-

vimento na eq. (2.94).

A integracao da primeira forma fornece,

∫ t

t0

dt =m

∫ v

v0

dv

F (v)

t =t0 +m

∫ v

v0

dv

F (v). (2.95)

Integrando-se a eq. (2.95) acima obtemos a

velocidade v em funcao do tempo t, isto e,

v = v(t) e portanto podemos determinar x(t)

usando que

v(t) =dx

dt=⇒ x(t) = x0 +

∫ t

t0

v(t′)dt′,

(2.96)

portanto, para este caso fica resolvido por com-

pleto.

Agora, ao integramos a segunda forma da

equacao de movimento da eq. (2.94), obtemos

a posicao x como uma funcao da velocidade,

assim:∫ x

x0

dx =m

∫ v

v0

vdv

F (v),

x(v) =x0 +m

∫ v

v0

vdv

F (v). (2.97)

Ao integrarmos esta equacao, a sua forma

funcional e que nos dira se conseguiremos

expressa-la em funcao do tempo.

A seguir iremos analisar alguns exemplo de

movimentos sob a acao de uma forca resistiva.


Para isto, dividiremos nossa discussao em duas

partes: na primeira nao iremos considerar as

forcas externas aplicadas, mas somente a forca

de resistencia. No segundo caso iremos levar

em conta alem da forca de resistencia as forcas

externas aplicadas.

Exemplo 14 Considere um barco navegando

em nas aguas tranquilas de um lago, com uma

velocidade v0. No instante t0 = 0 desliga-se os

motores do barco, e considerando esta posicao

como o marco zero da posicao, determine as

equacoes de movimento do barco supondo que

a forca de atrito entre o barco e a agua seja

F (v) = −mkv.Solucao: Assumindo que a trajetoria do barco

e retilınea, a equacao de movimento na direcao

x, a partir do instante t0 = 0 e dada por:

mx = mdv

dt= F (v) = −mkv ⇒ 1

v

dv

dt= −k

onde mkv e o modulo da forca de resistencia e

o sinal negativo (−) indica que ela e contraria

a velocidade do barco. Integrando a equacao

acima obtemos que

∫ v

v0

dv

v= −k

∫ t

0

dt′ ⇒ ln

(v

v0

)= −kt,

assim,

v(t) = v0e−kt.

Agora devemos obter a posicao x como uma

funcao do tempo, e para isto usamos o fato de

que

v =dx

dt⇒

∫ x

0

dx =

∫ t

0

v(t′)dt′,

assim

x(t) =v0

k

(1− e−kt

)

Note que x aproxima-se assintoticamente do

valor v0/k quanto t→∞.

Podemos obter a velocidade como funcao da

posicao da partıcula escrevendo

dv

dt=dv

dx

dx

dt= v

dv

dx⇒ dv

dx=

1

v

dv

dt

Assim,

dv

dt=

d

dt

(v0e

−kt)

= −kv

obtemos que a aceleracao do barco e direta-

mente proporcional a velocidade do mesmo.

Podemos escrever ainda que

1

v

dv

dt= −k =⇒ dv

dx= −k

logo, integrando dv/dx, com a condicao de que

v = v0 para x = 0, obtemos que∫ v

v0

dv = −k∫ x

0

dx

Assim

v(x) = v0 − kx,vemos que a velocidade decresce linearmente

com o deslocamento!

Vamos investigar o comportamento do barco,

no inıcio de seu movimento, ou seja, para o

regime de tempos em que kt¿ 1, e neste caso

podemos usar a expansao em serie de Taylor

da exponencial, obtendo que

e−kt = 1− kt+1

2k2t2 +O

(t3

)

onde mantivemos somente os termos de se-

gunda ordem. Desta forma observe que a a

posicao pode ser reescrita como

x(t) = v0t− 1

2v0kt

2, (kt¿ 1)

e consequentemente a velocidade sera

v(t) ' v0 − v0kt, (kt¿ 1) .

Observe que para mantermos a mesma ordem

de aproximacao da posicao, a velocidade deve

ter uma ordem menor, pois a mesma e uma


derivada da posicao. Observe que no regime

inicial, o sistema se comporta com se a forca

fosse praticamente constante e igual a Fr =

−mkv0, e o barco se moveria com uma ace-

leracao a0 = −kv0.

Exemplo 15 Considere uma partıcula em

queda em um meio onde a forca de resistencia

e proporcional a velocidade. Obtenha a posicao

e a velocidade da partıcula como funcoes do

tempo.

Solucao: Vamos supor que no instante inicial

a partıcula encontre-se a uma altura h acima

do solo e que sua velocidade inicial seja v0. Va-

mos orientar o eixo y na vertical com sentido

positivo para cima, como na figura 2.17 abaixo.

Figura 2.17: Uma partıcula sob a acao da forca

peso e a resistencia do ar.

Existem duas forcas atuando sobre a

partıcula: a forca peso e a resistencia do meio.

A equacao de movimento pode ser escrita como

mdv

dt= −mg − kmv

O sinal negativo (−) no primeiro termo indica

que a forca peso aponta para baixo. Por sua

vez o sinal negativo (−) no segundo termo in-

dica que a forca de resistencia e contraria a

velocidade.

As dependencias em v e em t da equacao

acima podem ser separadas se escrevermos

dv

kv + g= −dt

Integrando, obtemos que

1

kln (kv + g) = −t+ C1

Supondo v(t = 0) = v0 (que pode ser positivo

ou negativo), temos

C1 =1

kln (kv0 + g)

Assim,

ln

(kv + g

kv0 + g

)= −kt

v + g/k

v0 + g/k= e−kt

v(t) = −gk

+(v0 +

g

k

)e−kt =

dy

dt(2.98)

Integrando a expressao acima, obtemos

y = −gkt− 1

k

(v0 +

g

k

)e−kt + C2

Como, y(t = 0) = h, entao,

C2 = h+1

k

(v0 +

g

k

).

Assim,

y(t) = h− g

kt+

1

k

(v0 +

g

k

) (1− e−kt

)(2.99)

A eq. (2.98), observamos que para tempos

muito longos a velocidade tende a um valor li-

mite que chamaremos de vt, e este valor e dado

por

vt = limt→∞

v(t)

= limt→∞

[−gk

+(v0 +

g

k

)e−kt

]

=− g

k.

Este valor limite da velocidade e chamado ve-

locidade terminal dos corpos em queda. A


Figura 2.18: Grafico de v × t, para varios va-

lores da constante k.

velocidade terminal de um corpo e definida

neste caso como a velocidade do corpo quando

a forca de resistencia e igual ao peso do corpo,

pois deste modo, a forca lıquida que atua sobre

o corpo e nula, isto e,

−mg −mkvt = 0 ⇒ vt = −gk.

De forma geral, a velocidade terminal de um

corpo movendo-se em um meio resistivo, cuja

a forca de resistencia e proporcional a velo-

cidade, pode ser definida como sendo a veloci-

dade atingida pelo corpo na qual a forca lıquida

que atua sobre o corpo e nula. Tendo em vista

esta definicao, deve-se ressaltar, que na des-

cricao do movimento de corpos cujas unicas

forcas sejam a da gravidade e a forca de re-

sistencia do ar, so tera sentido falarmos em ve-

locidade terminal no movimento descendente,

pois somente neste caso, a forca da gravidade

e oposta a forca de resistencia do ar.

Como um exemplo a velocidade terminal das

gotas de chuva variam tipicamente entre 3 ≤vt ≤ 7 m/s. Diferentes corpos, iniciando o

seu movimento com velocidades diferentes irao

aproximar da velocidade terminal em diferen-

tes instantes. Existem tres diferentes possibili-

dades para a velocidade inicial

|v0| =

0

|v0| < |vt||v0| > |vt|

A figura 2.18 acima mostra os graficos do

modulo da velocidade em funcao do tempo para

o caso em que a velocidade inicial e negativa

(para baixo). Se a velocidade inicial e maior

que a velocidade terminal (em modulo), v vai

diminuindo ate atingir o valor limite g/k. Se

a velocidade inicial e menor que a velocidade

terminal (em modulo), v vai aumentando ate

o valor limite g/k.

Ao analisarmos a constante k, veremos que

ela tem dimensao de frequencia, assim pode-

mos definir um tempo τ caracterıstico do sis-

tema como,

τ =1

k.

Desta forma as equacoes de movimento podem

ser reescritas como,

y(t) = h+ vtt+ τ (v0 − vt)(1− e−t/τ

)

v(t) = vt + (v0 − vt) e−t/τ

No caso especial em que v0 = 0, temos que,

v(t) = vt

(1− e−t/τ

)

e neste caso quando t = τ , temos que:

v(τ) = 0.63vt.

Este e o tempo caracterıstico para que a

partıcula atinja 63% de sua velocidade termi-

nal.

Exemplo 16 A figura 2.19 abaixo mostra

uma bala de canhao que e atirada com uma ve-

locidade inicial v0 em uma direcao que forma

um angulo θ acima da horizontal. Calcule a

posicao e a velocidade como funcoes do tempo

e o alcance do projetil. Numa primeira apro-

ximacao despreze a resistencia do ar.

Solucao: A equacao de movimento (vetorial)

e dada por

mr = mg


Figura 2.19: Um canhao, atirando uma bala

no plano.

Como a forca peso so tem componente na ver-

tical (para baixo), temos:

Direcao x: mx = 0

Direcao y: my = −mg (2.100)

As condicoes iniciais sao:x(t = 0) = 0 x(t = 0) = v0 cos θ

y(t = 0) = 0 y(t = 0) = v0 sen θ

(2.101)

Integrando duas vezes as equacoes (2.100),

usando as condicoes iniciais (2.101), obtemos:

x(t) = v0 cos θ t

x(t) = v0 cos θ

y(t) = v0 sen θ t− 1

2gt2

y(t) = v0 sen θ − gto modulo da velocidade da partıcula e dado por:

v =√x2 + y2

=√v2

0 + g2t2 − 2v0gt sen(θ)

Por sua vez o modulo do deslocamento e

r =√x2 + y2

=

√v2

0t2 +

1

4g2t2 − v0gt3 sen(θ)

O alcance e o valor de x quando a bala cai no

chao, ou seja, o valor de x quando y = 0. Se

T for o tempo de voo do projetil, entao

y(T ) = v0 sen θ T − 1

2gT 2 = 0

T =2v0 sen θ

g

O alcance R e dado por

R = x(T ) = v0 cos θ T

= v0 cos θ · 2v0 sen θ

g

=v2

0

gsen(2θ)

Exemplo 17 Calcule o alcance do projetil do

exemplo anterior sob a suposicao de que uma

forca de resistencia do ar proporcional a velo-

cidade atua sobre ele.

Solucao: As condicoes iniciais sao as mes-

mas do exemplo 16 mas as equacoes de movi-

mento tornam-se

Direcao x: mx = −mkxDirecao y: my = −mky −mg

(2.102)

As eqs. (2.102) sao as mesmas equacoes que

aparecem no exemplo 14 mas a componente ho-

rizontal da velocidade inicial e v0 cos θ e nao

v0. Assim

x =v0 cos θ

k

(1− e−kt

)(2.103)

Por sua vez, a segunda equacao em (2.102) e

a mesma equacao que aparece no exemplo 15.

Fazendo h = 0 e trocando v0 por v0 sen θ em

(2.99) temos

y(t) = −gkt+

1

k

(v0 sen θ +

g

k

) (1− e−kt

)

O tempo de voo pode ser obtido da relacao

y(T ) = 0

−gkT +

1

k

(v0 sen θ +

g

k

) (1− e−kT

)= 0

ou seja,

T =kv0 sen θ + g

kg

(1− e−kT

)(2.104)


Observe que esta e uma equacao transcen-

dental e por isso nao podemos obter uma ex-

pressao analıtica para T . Uma forma de re-

solve-la e atraves de metodo numerico1. Se os

valores numericos de todas as grandezas (v0, θ,

g e k) sao conhecidos, podemos estipular um

valor inicial para T e substituı-lo na (2.104).

Em um segundo momento tomamos o valor

calculado de T , substituımos novamente em

(2.104) e comparamos o valor calculado com o

valor substituıdo. Este procedimento e repetido

ate que o valor calculado coincida com o valor

substituıdo (dentro de uma precisao numerica

estabelecida). Quando isto acontecer teremos

encontrado a solucao de (2.104). O valor cal-

culado de T pode ser substituıdo em (2.103)

para o calculo do alcance.

Um outro metodo para resolver (2.104), que

e util quando k e pequeno, e o metodo das per-

turbacoes.

Exemplo 18 Considere uma partıcula carre-

gada entrando em uma regiao onde existe

um campo magnetico uniforme, de modulo B,

apontando na direcao y. Determine o movi-

mento subsequente da partıcula.

Solucao: Sobre uma partıcula carregada na

presenca de um campo magnetico, atua a forca

de Lorentz, portanto, a equacao de movimento

da partıcula e dada por

mr = q (v ×B) (2.105)

1Uma forma de resolver esta equacao e usando oSCILAB (pagina www.scilab.org) um software livrepara calculos numericos, graficos, etc. Este softwareesta disponıvel tanto para os ambientes Windows comoLinux. Uma vez instalado o software use o seguinte co-mando para resolver a equacao em questao:

deff(′[y] = f ′, ‘f(t) = kgT−(kv0 sen θ−g)(1−exp(−kt))′);

Certamente antes voce devera ter atribuıdo valorespara as constantes que aparecem no problema.

ou em termos das componentes

m(xi + yj + zk

)= q

(xi + yj + zk

)×Bj

= qB(xk− zi

)(2.106)

Esta equacao vetorial corresponde as seguin-

tes equacoes escalares:

mx = −qBz (2.107)

my = 0 (2.108)

mz = qBx (2.109)

Definindo,

α =qB

m(2.110)

temos,

x = −αz (2.111)

y = 0 (2.112)

z = αx (2.113)

A eq. (2.112) e independente das outras

duas e pode ser facilmente resolvida. Inte-

grando uma vez, temos

y = y0 (2.114)

Integrando novamente, obtemos

y = y0 + y0t (2.115)

E facil ver que a projecao do movimento da

partıcula no eixo y e um movimento uniforme!

Ao contrario da eq. (2.112), as equacoes

(2.111) e (2.113) sao acopladas. Uma forma

de desacopla-las e deriva-las novamente com

relacao ao tempo e substituir uma delas na de-

rivada da outra. Assim obtemos:

...x = −α2x (2.116)...z = −α2z (2.117)

E sabido que, depois de derivadas duas vezes,

as funcoes sen e cos voltam nelas mesmas, a


menos de uma constante negativa. Isto sugere

que as solucoes das eqs. (2.116) e (2.117) sao

do tipo (verifique):

x = Ax cos(αt) +Bx sen(αt) + x0 (2.118)

z = Az cos(αt) +Bz sen(αt) + z0 (2.119)

onde, Ax, Az, Bx, Bz, x0 e z0 sao constantes

de integracao a serem determinadas (x0 e z0

nao sao necessariamente os valores de x e z

no instante t = 0). As constantes Ax, Az, Bx

e Bz nao sao independentes: elas devem estar

acopladas para satisfazer as equacoes (2.111)

e (2.113). Substituindo as equacoes (2.118) e

(2.119) na equacao (2.111), obtemos

− α2 (Ax cos(αt) +Bx sen(αt)) =

− α2 (−Az sen(αt) +Bz cos(αt)) (2.120)

Para que esta igualdade seja valida para qual-

quer t os coeficientes das funcoes sen e cos de-

vem ser iguais. Assim

Bz = Ax e Az = −Bx (2.121)

Se tivessemos substituıdo as equacoes (2.118) e

(2.119) na eq. (2.113) chegarıamos ao mesmo

resultado. As equacoes (2.118) e (2.119) po-

dem ser reescritas como

x− x0 = Ax cos(αt) +Bx sen(αt) (2.122)

z − z0 = −Bx cos(αt) + Ax sen(αt) (2.123)

Para facilitar a interpretacao desta solucao

e conveniente reescreve-la como

x− x0 = R cos(αt+ δ)

= R cos(αt) cos(δ)−R sen(αt) sen(δ)

(2.124)

z − z0 = R sen(αt+ δ)

= R sen(αt) cos(δ) +R cos(αt) sen(δ)

(2.125)

E facil ver que as formas acima sao equiva-

lentes, desde que

Ax = R cos(δ)

Bx = −R sen(δ)(2.126)

Quando projetamos o movimento da partıcula

no plano xz, vemos que ela descreve um mo-

vimento circular uniforme de raio R centrado

no ponto (x0, z0), conforme mostra a figura

2.20(a) abaixo. Simultaneamente, a partıcula

se move ao longo do eixo y com velocidade

constante, de forma que a sua trajetoria e

uma espiral, conforme mostra a figura 2.20(b)

abaixo. Quais sao as seis constantes de inte-

(a)

(b)

Figura 2.20: (a)Movimento da partıcula no

plano xz. (b) Movimento da partıcula ao longo

da direcao y.


gracao deste problema? Quais sao os seus sig-

nificados? Qual o significado de α?

2.8 Teoremas de con-

servacao

Nesta secao, apos uma minuciosa analise da

aplicacao dos conceitos da mecanica newtoni-

ana a uma unica partıcula, obtem-se a deducao

de alguns teoremas importantes sobre quanti-

dades fısicas que se conservam. Deve-se res-

saltar que nao sera provada a conservacao das

varias quantidades fısicas.

Estes teoremas de conservacao sao deduzidos

como meras consequencias das leis de Newton

da dinamica, e neste sentido estes nao sao ca-

racterizados como novas leis da mecanica. Por-

tanto, o resultado do confronto destas quanti-

dades fısicas que se conservam com os expe-

rimentos, e a sua verificacao, fornecera uma

validacao das leis de Newton.

2.8.1 Conservacao do momen-

tum linear.

Da Segunda Lei de Newton

F =dp

dt(2.127)

Quando a forca e zero, temos

dp

dt= 0 =⇒ p = cte. (2.128)

Podemos dizer entao que quando a forca to-

tal que atua sobre uma partıcula e zero, o seu

momentum linear e conservado.

Se o vetor F nao for zero, mas se

F · S = 0 (2.129)

onde S e um vetor constante, entao

p · S = 0 (2.130)

Integrando (lembrando que S e constante) te-

mos

p · S = cte. (2.131)

Se a componente da forca ao longo de uma

dada direcao S for nula, entao a componente

do momentum ao longo desta direcao e conser-

vada (S pode ser, por exemplo, i, j ou k).

2.8.2 Conservacao do momen-

tum angular

O momentum angular L de uma partıcula em

relacao a origem de um sistema de coordenadas

e definido como

L ≡ r× p (2.132)

Por sua vez, o torque N ou momento da forca,

sobre a partıcula, em relacao ao mesmo sistema

de referencia, e definido como

N ≡ r× F (2.133)

onde r e o vetor posicao, que vai da origem ao

ponto onde a forca F e aplicada. Desde que

F = mv para a partıcula, entao o torque pode

ser escrito como

N = r×mv = r× p (2.134)

Agora, derivando L em relacao ao tempo, te-

mos

L =d

dt(r× p) = (r× p) + (r× p) (2.135)

Mas

r× p = r×mv = m (r× r) ≡ 0 (2.136)

Entao

L = (r× p) = r× F = N (2.137)

Se nenhum torque atua em uma partıcula, (isto

e, se N = 0), entao L = 0 e L e um vetor

constante no tempo, ou seja,

L = N = 0 =⇒ L = cte. (2.138)


Se o torque total que atua sobre uma partıcula

for nulo, entao seu momentum angular e con-

servado.

Exemplo 19 Um rato de massa m pula so-

bre a extremidade de um ventilador de teto, de

momento de inercia I e raio R, que gira li-

vremente com velocidade angular ω0. Qual a

velocidade angular final do ventilador?

Figura 2.21: Rato sobre um ventilador girando

com uma velocidade angular ω0.

Solucao: A forca gravitacional que a Terra

exerce sobre o rato provoca um torque sobre o

sistema ventilador + rato (em relacao ao cen-

tro do ventilador) mas este torque nao possui

componente vertical. Desta forma, a compo-

nente vertical do momentum angular do sis-

tema deve ser conservada. Antes do rato pular,

temos

L0 = Iω0 (2.139)

Depois do rato pular

L =(I +mR2

)ω (2.140)

onde mR2 e o momento de inercia do rato,

(considerado pontual) em relacao ao eixo do

ventilador. Pela conservacao do momentum

angular

L = L0 =⇒ (I +mR2

)ω = Iω0 (2.141)

ω =Iω0

I +mR2(2.142)

2.8.3 Conservacao da energia

Trabalho de Uma Forca Constante

O trabalho WA→B realizado pela forca cons-

tante F atuando sobre uma bloco de massa m,

quando o mesmo e deslocado do ponto A ao

ponto B sobre uma trajetoria retilınea, cujo

vetor deslocamento e d e

WA→B = F · d = Fd cos θ. (2.143)

Observe que se nao houver deslocamento nao

havera trabalho realizado.

Figura 2.22: Deslocamento de uma partıcula

de massa m, submetida a acao de uma forca

constante F.

Agora a questao que devemos levantar e e se

a forca nao for constante durante o seu deslo-

camento, como ocorre por exemplo com a forca

exercida sobre um bloco por uma mola.

Trabalho de Uma Forca Variavel

Consideremos uma partıcula que se move de

um ponto P1 a um ponto P2 sobre um arco

de curva C qualquer, orientado no sentido de

P1 para P2, sob a acao de uma forca F que

pode variar em magnitude, direcao e sentido

de ponto a ponto da curva C (ver figura 2.22

abaixo).

Agora iremos decompor a curva C em uma

sucessao de deslocamentos infinitesimais ∆~i,

aproximando o arco de curva C por uma li-

nha poligonal inscrita cujo o numero de lados

aumenta indefinidamente. Se os extremos Pi e


Figura 2.23: Trajetoria de uma partıcula de

massa m, submetida a acao de uma forca

variavel.

Pi+1 do i-esimo arco parcial em que C fica sub-

dividido forem suficientemente proximos entre-

si, F ≈ Fi (constante) sobre este arco, e po-

demos aproxima-los pela corda−−−−→PiPi+1 = ∆~i,

de modo que podemos definir o trabalho reali-

zado sobre uma partıcula pela forca Fi quando

a partıcula se move de Pi para Pi+1 por

WPi→Pi+1≈ F ·∆~i (2.144)

e o trabalho total de P1 a P2 ao longo de C e

obtido somando sobre todos os segmentos da

poligonal e fazendo ∆~i → 0:

W(C)Pi→Pi+1

= lim|∆~

i|→0

∑iFi ·∆~i

=

∫ P2

P1

(C)

Fi · d~i (2.145)

O limite na eq. (2.145) define a integral de

linha de F · d~ de P1 ate P2 ao longo da curva

C. O deslocamento infinitesimal d~ ao longo de

C tem por componentes os deslocamentos in-

finitesimais correspondentes (projecoes) sobre

os eixos:

dr = d~= dxı+ dy+ dzk, (2.146)

consequentemente,

F · d~= Fxdx+ Fydy + Fzdz, (2.147)

assim a integral curvilınea (2.145) se reduz a

soma de tres integrais ao longo dos eixos:

∫ P2

P1

(C)

F · d~=

∫ P2

P1

(C)

Fxdx+

∫ P2

P1

(C)

Fydy +

∫ P2

P1

(C)

Fzdz

(2.148)

Na primeira dessas integrais, y e z sao funcoes

de x definidas pela condicao de que o ponto

P (x, y, z) pertence a curva C; analogamente,

na segunda, x e z podem ser considerados como

funcoes de y, e na terceira x e y sao funcoes de

z.

Desta forma podemos definir o trabalho re-

alizado por uma forca F sobre uma partıcula

que se desloca da posicao P1 para a posicao P2

ao longo da trajetoria C como:

W(C)1→2 ≡

∫ P2

P1

(C)

F · dr =

∫ P2

P1

(C)

Fxdx+

∫ P2

P1

(C)

Fydy+

∫ P2

P1

(C)

Fzdz (2.149)

Observe que o caminho da integracao nao

e dado pelo deslocamento infinitesimal d~, o

qual e sempre dado por um deslocamento in-

finitesimal positivo no sistema de coordenadas

utilizado. O sentido do deslocamento e dado

pelos limites de integracao. Portanto, de agora

em diante usaremos a notacao dr em vez de d~

para o deslocamento infinitesimal.

Exemplo 20 Considere um bloco de massa

m preso a uma mola de constante elastica k,

cuja forca obedece a lei de Hooke, ou seja,

F = −kxi. Determine o trabalho realizado pela

mola, ao deslocarmos o bloco do ponto xA para

o ponto xB.

Solucao: O trabalho realizado pela forca e

dado por,

WA→B =

∫ B

A

F · dr.


Figura 2.24: Bloco de massa m preso a uma

mola.

Como a forca e F = −kxi e dr = dxi, entao,

F · dr = −kx dx, portanto o trabalho sera

WA→B = −k∫ xB

xA

x dx =1

2k

(x2

A − x2B

).

Observe, que se fizermos um grafico da forca

em funcao do deslocamento x, este trabalho e

numericamente igual a area em baixo da curva.

Fica para o leitor verificar isto.

Teorema Trabalho Energia

Seja F a resultante das forcas que atuam sobre

uma partıcula de massa m, entao, o trabalho

realizado por esta forca quando a partıcula vai

do ponto P1 ao ponto P2 ao longo da trajetoria

C e

W(C)P1→P2

=

∫ P2

P1

(C)

F · dr, (2.150)

porem, da segunda lei de Newton temos

F · dr = mdv

dt· drdtdt = m

dv

dt· vdt,

=1

2md

dt(v · v) dt

=1

2md

dt

(v2

)dt

=d

dt

(1

2mv2

)dt

=dT

dtdt (2.151)

desta forma podemos escever,

W(C)P1→P2

=

∫ P2

P1

(C)

F · dr

=1

2mv2

2 −1

2mv2

1

= T2 − T1 = ∆T, (2.152)

aqui v1 e v2 sao as velocidades da partıcula nos

pontos P1 e P2, respectivamente e T =1

2mv2 e

a energia cinetica da partıcula. Este resultado

e conhecido como o teorema trabalho energia.

A equacao acima nos diz que: o trabalho re-

alizado pela forca resultante F que atua sobre

uma partıcula e igual a variacao da energia

cinetica da partıcula entre as posicoes inicial

e final.

Exemplo 21 Considere um bloco de massa m

sob a acao de uma forca F constante, o qual

se desloca do ponto do ponto x0 para o ponto

xf ao longo uma trajetoria retilınea, cujo ve-

tor deslocamento entre os pontos x0 e xf e

d = (xf − x0)i. Usando o teorema trabalho

energia encontre uma relacao entre os pontos

x0, xf ,v0, vf e a forca F.

Figura 2.25: Bloco de massa m sob a acao de

uma forca constante F.

Solucao: O trabalho realizado pela forca e

dado por,

Wx0→xf=

∫ xf

x0

F · dr.


Como a forca e constante e a trajetoria e re-

tilınea, entao

Wx0→xf= F · d = F cos θ (xf − x0) .

Do teorema trabalho energia temos,

Wx0→xf= Tf − T0 =

1

2m

(v2

f − v20

).

Igualando as duas ultimas expressoes, obtemos

1

2

(v2

f − v20

)= F cos θ (xf − x0) ,

a qual pode ser escrita como

v2f = v2

0 + 2

(F cos θ

m

)(xf − x0) ,

na qual a expressao (F cos θ)/m e a aceleracao

ao longo do deslocamento da partıcula, assim

a = (F cos θ)/m. Portanto, obtivemos a co-

nhecida equacao de Torricelli, da cinematica,

a qual e expressa como

v2f = v2

0 + 2a (xf − x0) .

Observe que esta expressao so e valida se F

for a resultante das forcas, e alem disso, se

ela for constante no movimento. Entretanto, o

teorema trabalho energia vale para uma forca

qualquer, exceto para o caso em que a massa

do sistema e variavel.

Forcas conservativas

Inicialmente vamos investigar como o traba-

lho realizado por uma forca depende da tra-

jetoria. Para tal, inicialmente iremos analisar

esta dependencia no caso do campo gravitacio-

nal, considerando o trabalho realizado para le-

var uma partıcula de massam de um ponto P a

um ponto Q ao longo da trajetoria (a), W(a)P→Q

e o trabalho para ir do ponto P ao ponto Q

atraves da soma das trajetorias (b) e (c), mos-

tradas na figura abaixo.

Figura 2.26: Possıveis trajetorias de uma

partıcula, para ir do ponto P ao ponto Q, ou

vice-versa, em um campo gravitacional.

O trabalho realizado pela forca peso para ir

de P ate Q ao longo da trajetoria (a) e

W(a)P→Q =

∫ Q

P(a)

F · dr. (2.153)

Como F = −mgj, e se ea for um vetor unitario

ao longo da direcao do segmento de reta PQ,

entao dr = d`ea, assim

F·dr = −mg cos(π

2−θ) = −mg sen θ, (2.154)

portanto,

W(a)P→Q = −mgD sen θ = −mgh. (2.155)

O trabalho para ir de P ate O ao longo da

trajetoria (b) e nulo pois, a forca F = −mgje perpendicular ao deslocamento dr = dxi, e

desta forma, F · dr = 0, assim

W(b)P→O = 0. (2.156)

Para calcularmos o trabalho realizado pela

forca peso para ir de O ate Q ao longo da tra-

jetoria (c), usamos neste caso que dr = dyj

logo F · dr = −mgdy, entao

W(c)O→Q = −mgh (2.157)


Os resultados anteriores mostram que

W(a)P→Q = W

(b)P→O +W

(c)O→Q. (2.158)

Portanto, da forma que os resultados foram

obtidos podemos concluir que o trabalho re-

alizado pela forca peso para ir de um ponto a

outro do espaco independe da trajetoria esco-

lhida, mas somente do ponto inicial e do ponto

final.

Entao surge a questao: Sera que existe uma

classe de forcas cujo trabalho realizado pelas

mesmas para ir de um ponto a outro do espaco

ira independer da trajetoria? Se existe entao

que caracterısticas devem ter estas forcas?

De fato, em muitas situacoes fısicas a forca

tem a propriedade de que o trabalho realizado

por ela sobre a partıcula so depende dos pontos

inicial e final, e nao da trajetoria. Chamaremos

de forcas conservativas as forcas cujo trabalho

independem da trajetoria. Agora iremos exa-

minar as propriedades desta classe de forcas.

Por exemplo, na figura 2.27 abaixo se a forca

for conservativa o trabalho realizado por ela ao

deslocarmos a partıcula do ponto P ao ponto

Q sera o mesmo, independente se a trajetoria

percorrida pela partıcula foi a trajetoria (a),

(b) ou (c).

Suponha que a partıcula va de P a Q pelo

caminho (a) e volte pelo caminho (b). Assim

W(fechado)P→Q

Q→P

= W(a)P→Q +W

(b)Q→P

= W(a)P→Q −W (b)

P→Q (2.159)

Se o trabalho realizado pela forca for indepen-

dente do caminho, entao W(a)P→Q = W

(b)P→Q, logo

W(fec)P→Q

Q→P

= 0.

Assim podemos dizer que se o trabalho nao

depende do caminho, ou seja, o trabalho rea-

lizado por uma forca for conservativa em um

percurso fechado e nulo. Este resultado pode

Figura 2.27: Possıveis trajetorias de uma

partıcula, para ir do ponto P ao ponto Q, ou

vice-versa.

ser escrito como∮

F ·dr =

∫ Q

P

F ·dr+

∫ P

Q

F ·dr = 0. (2.160)

Aqui suprimimos a indicacao da trajetoria,

pois o trabalho independe da mesma, so de-

pende do ponto inicial e final.

O teorema de Stokes, leva a integral de li-

nha em uma integral de superfıcie da seguinte

forma:∫

F · dr =

∫ ∫

S

(∇× F) · dS (2.161)

Se a forca F for conservativa entao temos ao

longo de uma trajetoria fechada que∮

F · dr =

∫ ∫

S

(∇× F) · dS = 0. (2.162)

Portanto, o rotacional da forca deve ser nulo,

ou seja,

∇× F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

Fx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0. (2.163)

Da analise vetorial, sabemos que o rotacional

do gradiente de uma funcao escalar φ(x, y, z)


qualquer e sempre nulo, ou seja,

∇×∇φ = 0. (2.164)

ja que,

∇φ =∂φ

∂xi +

∂φ

∂yj +

∂φ

∂zk. (2.165)

Portanto, podemos concluir que toda forca

que pude ser expressa pelo gradiente de uma

funcao escalar da posicao tera o seu rotacional

nulo e portanto sera uma forca conservativa.

Nesse caso, e possıvel associar a forca

uma funcao escalar da posicao da partıcula,

chamada funcao energia potencial U(r) =

U(x, y, z), da seguinte forma,

F = −∇U(r) (2.166)

= −(∂U

∂xi +

∂U

∂yj +

∂U

∂zk

).(2.167)

O sinal negativo foi escolhido, porque as

forcas que encontramos na natureza estao sem-

pre direcionadas para o ponto de equilıbrio

estavel. Porem do calculo, sabemos que o

ponto de equilıbrio estavel esta associado a um

ponto de mınimo. Portanto, a forca deve apon-

tar para o ponto de mınimo da funcao energia

potencial, entretanto, como o gradiente de uma

funcao escalar esta direcionado para o ponto de

maximo desta funcao entao a forca esta direci-

onada no sentido oposto, assim F = −∇U(r).

Portanto, o sinal negativo quer dizer que a

forca esta direcionada para a regiao de menor

energia potencial.

Como o gradiente e uma derivada direcional

entao de sua definicao temos que:

dU = [∇U(r)] · dr = −F · dr (2.168)

Portanto,, a diferenca na energia potencial da

partıcula calculada nos pontos A e B e definida

atraves da relacao

∆U = U(rB)− U(rA) = −∫ B

A(C)

F · dr

= −∫ B

A(C)

F · dr (2.169)

Definindo, UB = U(rB) e UA = U(rA), pode-

mos escrever

UB − UA = −∫ B

A

F · dr = −WA→B (2.170)

Observe que eliminamos o ındice da trajetoria

ja que o trabalho realizado por esta forca inde-

pende da trajetoria.

Deve-se ressaltar que a expressao (2.170)

acima define apenas a diferenca de energia

potencial entre dois pontos. Sendo assim, a

funcao energia potencial e definida a menos de

uma constante aditiva, que nao tem nenhum

significado fısico. Tambem e importante men-

cionar que se o trabalho realizado pela forca

depender do caminho, a definicao de energia

potencial nao faz sentido. Se nao, qual seria

o caminho usado para calcular a integral da

equacao (2.170)?

Exemplo 22 Determine o a energia potencial

de uma partıcula de massa m em movimento

na vizinhanca da superfıcie terrestre. Ado-

tando um sistema de coordenadas cartesianas

com eixo Oy dirigido verticalmente para cima.

Discuta a escolha adequada para o valor de re-

ferencia da energia potencial gravitacional.

Solucao: As componentes da forca peso sao:

Fx = Fz = 0; Fy = −mg (2.171)

A eq. (2.147) fica entao:∫ B

A

F · dr = −mg∫ yB

yA

dy

= −mg(yB − yA). (2.172)


Figura 2.28: Trabalho realizado pela forca peso

sobre uma partıcula de massa m, para ir do

ponto A ao ponto B.

Portanto, temos que a diferenca de energia po-

tencial entre os pontos yA e yB e dada por:

∆U = U(yB)− U(yA) = mg (yB − yA) .

(2.173)

Este resultado e mantido independente da

nossa escolha para o zero da energia poten-

cial. Para ilustrar, fato de que e a diferenca

de energia potencial ∆U que tem sentido fısico

e nao o valor especıfico da energia potencial,

faremos duas escolhas distintas para o valor de

referencia da energia potencial.

Primeira Escolha: Aqui vamos fazer a esco-

lha mais usual que e a escolher U(yA) = 0

para yA = 0, obtemos desta forma que a

energia potencial e dada por

U(y) = mgy,

a qual satisfaz a escolha feita anterior-

mente, ou seja, que U(0) = 0. Observe

ainda que a diferenca de energia potencial

entre os pontos yA e yB fornecem o resul-

tado da eq. (2.173).

Segunda Escolha: Neste caso vamos esco-

lher um valor constante qualquer da se-

guinte forma, U(yA) = U0 para yA = 0,

logo a energia potencial e dada por

U(y) = U0 +mgy,

a qual satisfaz a escolha feita anterior-

mente, ou seja, que U(0) = U0. Observe

ainda que a diferenca de energia potencial

entre os pontos yA e yB fornecem o resul-

tado da eq. (2.173).

Vimos do resultado acima que a energia poten-

cial gravitacional, independente da escolha do

referencial so depende da posicao, assim, sem

a perda de generalidade podemos dizer que a

energia potencial para um ponto P de coorde-

nadas (x, y, z), e dada por:

U(P ) = U(x, y, z) = mgy = U(y) (2.174)

Logo, no campo gravitacional uniforme g, o

trabalho num deslocamento entre dois pontos

quaisquer e independente do caminho que liga

esses dois pontos: so depende dos extremos,

e representa a diferenca de energia potencial

entre eles. A energia potencial num ponto P

so depende da altura desse ponto (y), e e dada

por (2.174).


de uma partıcula de massa m em movimento

na vizinhanca da superfıcie terrestre. Ado-

tando um sistema de coordenadas cartesianas

com eixo Oy dirigido verticalmente para baixo.

Discuta o que muda com esta escolha de eixo.

Solucao: A forca peso neste sistema de re-

ferencia e dada por F = mgj, portanto, F·dr =


Figura 2.29: Trabalho realizado pela forca peso

sobre uma partıcula de massa m, para ir do

ponto A ao ponto B, em um sistema de re-

ferencia em que o eixo Oy dirigido vertical-

mente para baixo.

mg dy, assim

U(yB)− U(yA) = −∫ B

A

F · dr

= −mg∫ yB

yA

dy

= −mg(yB − yA).

Escolhendo U(yA) = 0 para yA = 0, obtemos

que

U(y) = −mgy. (2.175)

O sinal negativo para a energia potencial, sig-

nifica que a forca esta apontando para a regiao

de menor energia potencial, pois a medida que

y cresce neste sistema de referencia a energia

potencial tem de diminuir.


de uma partıcula de massa m em presa a uma

mola de constante elastica k. Considere a ori-

gem do sistema de coordenadas na posicao de

equilıbrio da mola.

Figura 2.30: Trabalho realizado pela forca

elastica sobre uma partıcula de massa m, para

ir do ponto A ao ponto B.

Solucao: A forca elastica neste sistema de

referencia e dada por F = −kxi, portanto, F ·dr = −kx dx, assim

U(xB)− U(xA) = −∫ B

A

F · dr

= k

∫ xB

xA

x dx

=1

2k(x2

B − x2A).

Escolhendo U(xA) = 0 para xA = 0, obtemos

que

U(x) =1

2kx2 (2.176)

Observe que a energia potencial e sempre posi-

tiva, diferentemente da energia potencial gra-

vitacional que pode ser positiva ou negativa. O

fato dela ser sempre positiva deve-se ao fato

da forca elastica da ser uma forca restaura-

dora e estar apontando sempre para a posicao

de equilıbrio onde a forca e nula e portanto a

energia potencial tem o seu valor mınimo.


devido a interacao coulombiana de um sistema

constituıdo por duas partıculas, uma delas de


carga q1 e a outra de carga q2. Considere que

a carga q1 esta fixa na origem do sistema de

coordenadas.

Figura 2.31: Trabalho realizado pela forca de

Coulomb sobre uma partıcula de massa q2,

para ir do ponto A ao ponto B na presenca

de uma carga q1 na origem do sistema de co-

ordenadas.

Solucao: Com este problema tem uma si-

metria radial, entao o sistema de coordenadas

adequado e o polares. Em coordenadas polares

a forca de Coulomb da carga q1 na carga q2 e

F =q1q2

4πε0r2r (2.177)

A diferenca de energia potencial entre os pon-

tos A e B e dada por:

∆U = U(rB)− U(rA) = −∫ B

A

F · dr

Para calcularmos a integral de linha que vai de

A ate B, iremos calcula-la ao longo das tra-

jetorias (a) e (b), assim

∆U = −∫ C

A

F · dr−∫ B

C

F · dr

Na trajetoria (a), o vetor deslocamento em co-

ordenadas polares e dado por dr = drr + rdθθ,

logo a integral da trajetoria (a) e∫ C

A

F · dr =

∫ C

A

q1q24πε0r2

r · drr

= − q1q24πε0r

∣∣∣∣rB

rA

= − q1q24πε0

(1

rB

− 1

rA

).

Na trajetoria (b), temos que:∫ B

C

F · dr =

∫ B

C

q1q24πε0r2

r · drr

= − q1q24πε0r

∣∣∣∣rB

rB

= 0.

Este ja era um resultado esperado, pois a forca

e sempre perpendicular aos deslocamentos in-

finitesimais.

Portanto, a diferenca de energia potencial e

entao dada por,

U(rB)− U(rA) =q1q24πε0

(1

rB

− 1

rA

)(2.178)

Neste caso, e sempre conveniente usarmos o

seguinte ponto de referencia para a energia po-

tencial,

limra→∞

U(rA) = 0. (2.179)

Portanto, a energia potencial e dada por:

U(r) =q1q2

4πε0r. (2.180)

Observe que se as cargas tiverem o mesmo si-

nal a forca sera repulsiva e a energia sera po-

sitiva, e neste caso temos

limr→0

U(r) = ∞limr→∞

U(r) = 0.

Ja para o caso de cargas de sinais opostos a

forca sera atrativa e a energia potencial sera

negativa, e neste caso temos

limr→0

U(r) = −∞limr→∞

U(r) = 0.


Note ainda que, em ambos os casos que a

forca sempre esta direcionada para a regiao de

menor energia potencial.

Dizemos que uma forca F e conservativa

quando tem a propriedade (2.160), ou seja,

quando o trabalho por ela realizado entre dois

pontos e independente do caminho. Neste caso,

ele depende so dos extremos e representa a di-

ferenca de energia potencial entre eles.

Conservacao da Energia Mecanica

Considere uma partıcula, sobre a qual a resul-

tante das forcas e F, e alem disso, que todas as

forcas que atuam sobre a partıculas sao forcas

conservativas F(c)i , assim,

F =∑

i

F(c)i , (2.181)

Portanto, do teorema trabalho energia, eq.

(2.152), temos que o trabalho realizado pela

forca resultante F, para deslocar a partıcula

do ponto A ao ponto B e

WA→B =

∫ B

A

F · dr = TB − TA (2.182)

Se F e a resultante das forcas conservativas,

entao podemos associar uma funcao energia

potencial U(r) a esta forca, a qual e dada por,

U(rB)− U(rA) = −WA→B = −∫ B

A

F · dr(2.183)

Combinando o teorema trabalho energia eq.

(2.182) com a definicao de energia potencial

(2.184), obtem-se que

TA + UA = TB + UB (2.184)

a soma da energia cinetica T com a energia

potencial U e uma constante do movimento.

Chamando de energia mecanica E a soma E =

T +U , entao podemos afirmar que.se as forcas

que atuam em um sistema forem conservati-

vas entao a energia mecanica do sistema sera

conservada. Observe entretanto, a energia po-

tencial total e aquela devida a todas as forcas

conservativas que atuam sobre o sistema, seja

ela, gravitacional, da mola, de Coulomb, etc.

A conservacao da energia mecanica,

∆E = ∆T + ∆U = 0, (2.185)

e o que justifica o nome da forca conservativa.

Como vimos, a energia potencial e definida

a menos de uma constante aditiva arbitraria,

correspondente a escolha do nıvel zero de ener-

gia.

Exemplo 26 Considere, o brinquedo ilus-

trado na figura 2.32 abaixo, no qual temos uma

mola de constante elastica k e uma bolinha de

massa m. Este brinquedo esta colocado na ver-

tical. Determine de quanto devemos compri-

mir a mola para que a bolinha consiga reali-

zar a curva sem descolar-se da parede do brin-

quedo. Despreze os efeitos do atrito em todo o

sistema.

Solucao: Como nao ha atrito, entao so temos

forcas conservativas, logo a energia mecanica

do sistema e conservada. Considerando o

ponto mais baixo da trajetoria da partıcula

como o zero de energia potencial gravitacional,

entao no ponto mais baixo temos,

E0 =1

2kx2 −mgx

enquanto no ponto mais alto da trajetoria,

Ef = mg(h+R) +1

2mv2.

A velocidade mınima vmin que a bolinha deve

ter ao passar pelo ponto mais alto sem cair, e

aquela cuja forca normal e nula somente neste


Figura 2.32: Fliperama vertical.

ponto, portanto, neste ponto a forca resultante

sobre a bolinha e somente a forca peso, assim

ma = mv2

min

R= mg =⇒ 1

2mv2

min =1

2mgR.

Portanto, a energia mecanica total neste ponto

e

Ef = mgh+3

2mgR.

Da conservacao da energia temos que E0 = Ef ,

assim

1

2kx2 −mgx = mgh+

3

2mgR.

Chamando ω20 = k/m, entao a equacao acima

pode ser escrita como

ω20x

2 − 2gx− g(2h+ 3R) = 0.

e tem como solucao

x =2g ±

√4g2 + 4ω2

0g(2h+ 3R)

2ω20

.

ou ainda,

x =g

ω20

1±

√1 +

ω20

g(2h+ 3R)

.

Exemplo 27 De quanto deve ser comprimida

a mola de constante elastica k, do sistema mos-

trado na figura 2.33 abaixo, para que o bloco

de massa m ao ser liberado passe pela rampa e

atinja um ponto a uma distancia D da extre-

midade da rampa de comprimento horizontal d

e altura h. Despreze os efeitos do atrito em

todo o sistema.

Figura 2.33: Lancamento sobre uma rampa.

Solucao: Vamos comecar analisar o movi-

mento do bloco a partir do instante em que ele

abandona a rampa. Neste instante a sua ve-

locidade vr forma com a horizontal o mesmo

angulo θ que a rampa. Decompondo o seu mo-

vimento em vertical (eixo y) e horizontal (eixo

x), podemos escrever

y(t) = h+ vr sen(θ)t− 1

2gt2

x(t) = vr cos(θ)t

Para x(ts) = D, temos que ts = D/vr cos(θ),

mas como y(ts) = 0, entao temos que,

0 = h+D tg θ − gD2(1 + tg2 θ)

2v2r

Portanto, encontramos que

v2r =

gD2(1 + tg2 θ)

2(h+D tg θ).

Da Conservacao da energia temos que,

E0 = Er

1

2kx2 = mgh+

1

2mv2

r

1

2kx2 = mgh+

1

2mg

D2(1 + tg2 θ)

2(h+D tg θ)


assim,

x2 =2mgh

k

[1 +

D2(1 + tg2 θ)

4h(h+D tg θ)

].

Forcas nao conservativas

Um exemplo de forcas nao - conservativas,

sao as forcas de atrito que tendem a dissipar a

energia mecanica (realizar trabalho negativo).

Aqui a energia mecanica nao e conservada, mas

a energia total do sistema se conserva, porque

as forcas de atrito convertem energia mecanica

em calor, que tambem e uma das varias formas

de energia que temos.

Neste sentido mais amplo de conservacao

de energia total, podemos dizer que nao se

conhece nenhuma forca nao - conservativa,

ou seja, nao foi descoberto ate hoje nenhum

fenomeno em que seja violado o princıpio de

conservacao de energia total de um sistema iso-

lado. Esta e uma das razoes que fazem este

princıpio um dos mais importantes da fısica.

O resultado (2.152) se aplica independen-

temente de se as forcas que atuam sobre as

partıculas sao ou nao conservativas (no sen-

tido estritamente de conservacao de energia

mecanica). Assim se uma partıcula esta su-

jeita a acao de diversas forcas conservativas

F(c)1 , F

(c)2 , . . ., e simultaneamente a forcas nao-

conservativas F(nc)1 , F

(nc)2 , . . ., a eq. (2.152)

pode ser reescrita como∑

i

W(c)i +

∑i

W(nc)i = ∆T, (2.186)

onde W(c)i e o trabalho realizado pela forca

conservativa F(c)i , de forma que conforme a eq.

(2.173)

W(c)i = −∆Ui, (2.187)

onde Ui e a energia potencial associada a F(c)i ,

a energia potencial total associada as forcas

conservativas e entao

U =∑

i

Ui, (2.188)

e a eq. (2.186) da

∑i

W(nc)i = ∆T +

∑i

∆Ui = ∆T + ∆U

= ∆(T + U) = ∆E (2.189)

ou seja,

∆E =∑

i

W(nc)i (2.190)

onde E = T + U e a energia mecanica total.

Logo a variacao da energia mecanica total da

partıcula e igual ao trabalho sobre ela realizado

pelas forcas nao-conservativas.

Note que na natureza as forcas fundamentais

sao conservativas, portanto, a conservacao da

energia e uma lei geral e fundamental da fısica.

Exemplo 28 Uma partıcula desliza sobre um

trilho que possui extremidades elevadas e uma

parte central plana, conforme a figura 2.34. A

parte plana possui um comprimento l = 20 m.

s partes curvas nao tem atrito. O coeficiente

de atrito cinetico da parte plana e µc = 0.3.

Larga-se uma partıcula do ponto A a uma al-

tura h = 10 m. Em que ponto a direita do

ponto B a partıcula ira parar?

Figura 2.34: Deslizamento sobre um trilho cuja

a parte central possui atrito.

Solucao: Antes de resolvermos o problema,

devemos compreender o que esta ocorrendo.

Note que:

i) Entre os pontos A e B a energia e con-

servada pois nao ha atrito neste trecho.


Entre os pontos B e C ha dissipacao de

energia. Ja entre os pontos C e D ha

conservacao da energia.

ii) A trajetoria curva (sem atrito) entre

os trechos CD e DC, ira simples-

mente inverter o sentido da velocidade da

partıcula quando ela chega ao ponto C. O

mesmo ocorrera quando a partıcula sair

de C e chegar em B.

iii) A partıcula sai do ponto A e chega em

B com uma velocidade vB e segue ate

o ponto C onde chega com uma veloci-

dade vC, com vC < vB, perdendo parte

de sua energia cinetica devido ao atrito.

De C vai ate D e retorna em seguida

ao ponto C com a mesma velocidade em

modulo, porem com o sentido oposto, se-

guindo para o ponto B, e perdendo parte

de sua energia cinetica no trajeto CB.

Este processo continua ate que o bloco

perca toda a sua energia mecanica inicial

EA = E0 = mgh, dissipada pela forca de

atrito.

Da situacao descrita acima, podemos idea-

lizar o sistema acima como se fosse uma tra-

jetoria retilınea, de tal modo que a distancia

horizontal total percorrida pelo bloco sera d =

nl, onde l e o tamanho do trecho BC. Desta

forma

∆E = W(nc)B→P =

∫ nl

0

Fat. · dr.

Assim,

0−mgh = −µcmgnl −→ n =h

µcl= 1.67

Isto significa que o bloco percorreu uma

distancia d = 1.67l ate parar. Como n =

1 + 0.67, isto significa que a partıcula comple-

tou um trecho BC, ou seja, saiu de B e chegou

ate C e que de C ele andou 67% de l e parou.

Logo ele parou a 6.6 m a direita do ponto B.

2.8.4 Potencia (P )

Se durante um intervalo de tempo ∆t e reali-

zado um trabalho ∆W , entao a potencia media

P correspondente e

P =∆W

∆t.

No sistema internacional a unidade de potencia

e o Joule/s = 1 watt.

Considere o trabalho infinitesimal dW rea-

lizado pela forca F ao deslocar a partıcula de

uma distancia infinitesimalmente pequena dr

ao longo de uma trajetoria. Durante este deslo-

camento infinitesimal podemos considerar que

a forca que atua sobre a partıcula ira se man-

ter constante, sendo assim, podemos definir a

potencia instantanea como

P = lim∆t→0

∆W

∆t= lim

∆t→0F · ∆r

∆t

= F · v = mdv

dt· v

=d

dt

(1

2mv2

)=dT

dt.

A potencia instantanea, tambem pode ser

relacionada com a taxa de variacao da energia

potencial da partıcula se o sistema for conser-

vativo. Como

dE

dt=dT

dt+dU

dt= 0,

entaodT

dt= −dU

dt,

logo, a potencia tambem pode ser expressa

como

P = F · v =dT

dt= −dU

dt.

Note que, se o sistema nao for conservativo so-

mente as seguintes expressoes serao validas:

P = F · v =dT

dt. (2.191)


2.8.5 Dependencia Temporal da

Energia Potencial

E sabido (do calculo vetorial) que uma

condicao necessaria e suficiente para que a in-

tegral de linha de uma funcao vetorial em um

percurso fechado seja nula e que o rotacional

desta funcao seja zero. Sabe-se tambem que

se o rotacional de uma funcao vetorial e zero,

entao esta funcao pode ser escrita como o gra-

diente de uma funcao escalar. Se F nao de-

pende do caminho,

∇× F = 0 (2.192)

e portanto, podemos escrever

F = −∇U (2.193)

Assim,

−∫ P2

P1

(C)

F · dr = −∫ P2

P1

(C)

(−∇U) · dr

= U(P2)− U(P1) (2.194)

Este resultado deixa claro que a funcao U , defi-

nida em (2.193), e a energia potencial, definida

em (2.193). A forca e o negativo do gradiente

da energia potencial.

Define-se a energia mecanica da partıcula

como

E = T + U (2.195)

A derivada total da energia mecanica em

relacao ao tempo e

dE

dt=dT

dt+dU

dt(2.196)

De acordo com (2.150)

F · dr = d

(1

2mv2

)= dT (2.197)

de forma que,

dT

dt=

F · drdt

= F · drdt

= F · r (2.198)

A princıpio, a energia potencial poder ser

funcao da posicao e do tempo (na verdade ela

pode ser funcao tambem da velocidade mas nos

nao vamos considerar estes casos aqui). Sendo

assim, podemos escrever

dU

dt=∂U

∂x

dx

dt+∂U

∂y

dy

dt+∂U

∂z

dz

dt+∂U

∂t

= ∇U · r +∂U

∂t(2.199)

Dessa forma, a derivada da energia mecanica

torna-se

dE

dt= F · r +∇U · r +

∂U

∂t

= (F +∇U) · r +∂U

∂t. (2.200)

Se todas as forcas que atuam sobre a partıcula

puderem ser associadas a uma energia poten-

cial, podemos escrever

F = −∇U. (2.201)

de forma que,

dE

dt=∂U

∂t. (2.202)

Se a forca puder ser associada a uma energia

potencial e se U nao depender explicitamente

do tempo, a forca e dita ser conservativa. Nesse

caso

∂U

∂t= 0 =⇒ dE

dt= 0. (2.203)

A energia mecanica de uma partıcula sob a

acao de forcas conservativas e constante no

tempo.

2.8.6 Energia

O teorema da conservacao da energia

mecanica, apresentado na secao passada, nada

mais e que uma consequencia das Leis de

Newton. Entretanto, existem outras for-

mas de energia, como as energias termica e


eletrica, que podem ser convertidas em ener-

gia mecanica e vice-versa. A conservacao da

energia total de um sistema isolado e um pos-

tulado basico da fısica conhecido como lei da

conservacao da energia.

Considere um sistema mecanico sujeito a

uma forca conservativa com energia potencial

U ; por simplicidade, vamos supor que o sis-

tema seja unidimensional. A energia mecanica

(constante) e dada por

E = T + U =1

2mv2 + U(x) (2.204)

Esta equacao pode ser reescrita na forma

v =dx

dt= ±

√2

m[E − U(x)], (2.205)

a qual pode ser integrada da seguinte forma

t− t0 = ±∫ x

x0

dx√2m

[E − U(x)](2.206)

onde x = x0 em t = t0. Conhecendo-se U(x)

pode-se, em princıpio, resolver esta equacao

para se obter x(t). Muitas vezes e difıcil ob-

ter uma solucao analıtica para a integral acima

mas uma analise qualitativa da curva de ener-

gia potencial pode fornecer muitas informacoes

sobre o movimento da partıcula. Como exem-

plo, considere uma partıcula sujeita a energia

potencial da figura 2.35 a seguir.

Uma primeira observacao e que a energia

cinetica deve ser sempre positiva, o que sig-

nifica que a partıcula so pode estar nas regioes

onde E º U(x).

Se a energia da partıcula for igual a E1 , ela

tera um movimento periodico entre os pontos

de retorno xa e xb onde E1 º U(x).

Se a partıcula tiver energia E2 , ela podera

ter movimentos periodicos entre os pontos de

retorno xc e xd ou entre os pontos xe e xf mas

nao pode passar de uma regiao para a outra.

Figura 2.35: Um perfil de energia potencial ar-

bitrario.

Uma partıcula com energia E0 deve estar em

repouso em x0 que e a unica posicao onde E0

nao e menor que U.

Uma partıcula com energia E3, vem do infi-

nito, faz o retorno no ponto xg e volta, inver-

tendo o sentido do seu movimento.

Finalmente uma partıcula com energia E4

pode estar em qualquer posicao. Contudo a

sua velocidade nao e constante: ela dependera

da diferenca entre E4 e a energia potencial

U(x), de acordo com (2.206).

Exemplo 29 Variacao da gravidade com

a altura: (a) resolva as equacoes de movi-

mento de Newton levando em conta a variacao

da gravidade com a altura. Considere que a

massa da terra e M e que o raio da mesma e

R. (b) Calcule a altura maxima e a velocidade

de escape.

Solucao: A forca que a terra exerce sobre um

corpo de massa m, cuja distancia do seu centro

de massa ao da terra e r, e dada por:

Fr = −GMm

r2

e se este corpo estiver sobre a superfıcie da

terra, entao

Fr = −GMm

R2= −mg,


e daı tiramos que a aceleracao da gravidade g

e dada por:

g =GM

R2.

Na figura 2.36 abaixo ilustramos uma situacao

na qual o corpo de massa m se encontra a uma

altura x da superfıcie da terra, logo, a forca que

ira atuar sobre o mesmo e dada por:

Figura 2.36: Um corpo de massa m a uma al-

tura x da superfıcie da terra.

F (x) = − GMm

(R + x)2

= − R2

(R + x)2mg

= mx

mas como

x =dv

dt=dv

dx

dx

dt= v

dv

dxentao podemos escrever,

mvdv

dx= − R2

(R + x)2mg

mvdv = −mg R2

(R + x)2dx

Integrando esta equacao obtemos que

∆T =1

2mv2 − 1

2mv2

0

=−mgR2

∫ x

x0

dx

(R + x)2

=mgR2 1

(R + x)

∣∣∣∣x

x0

=mgR2

(1

(R + x)− 1

(R + x0)

).

Esta equacao expressa a conservacao da ener-

gia mecanica do sistema onde a energia poten-

cial gravitacional e dada por

U(x) = − R2

(R + x)mg.

(b) Agora iremos calcular a altura maxima

atingida pelo corpo e a sua velocidade de es-

cape. Suporemos que o objeto foi lancado da

superfıcie da terra x0 = 0, com uma veloci-

dade inicial v0, assim nossa equacao para a

conservacao da energia toma a forma:

v2 − v20 = 2gR2

(1

(R + x)− 1

(R + x0)

)

v2 = v20 −

2gRx

R + x

v2 = v20 − 2gx

(1 +

x

R

)−1

Para ( xR) ¿ 1, e fazendo uma expansao em

serie de Taylor da expressao acima, encontra-

mos que o termo de ordem zero e o mesmo

fornecido ao considerarmos que o campo gra-

vitacional e constante, ou seja,

v2 = v20 − 2gx.

No ponto de retorno, a altura atingida pelo

corpo e maxima, fazemos v = 0, e encontramos

que:

hmax. = xmax. =v2

0

2g

(1 +

xmax.

R

).

Isolando xmax. na equacao acima obtemos que:

xmax. =v2

0

2g

(1− v2

0

2gR

)−1

.

Se (v20

2gR) ¿ 1, encontramos que o termo de

ordem zero e xmax. =v20

2g, que e o mesmo para

o caso em que g = cte.

Para acharmos a velocidade v0 de escape, de-

vemos encontrar uma distancia na qual a in-

teracao gravitacional deste corpo com a terra


e nula. Isto so ocorre para distancias muito

grandes, infinitas, e neste caso basta tomarmos

xmax. →∞, na expressao:

v20 = lim

x→∞2gRx

R + x= 2gR

a qual pode ser reescrita como

v0 =√

2gR ≈ 11 km/s ≈ 7 min./s

considerando que,

g = 9.8 m/s2 e R = 6.4× 106m.

Na atmosfera da terra, a velocidade media

das moleculas de ar (O2 e N2) e da ordem de

0.5 km/s, que e consideravelmente menor que a

velocidade de escape da superfıcie da terra, e e

devido a isto que a terra retem sua atmosfera.

A lua por sua vez, nao tem atmosfera, devido

a velocidade de escape da superfıcie da lua ser

consideravelmente menor do que a velocidade

de escape da superfıcie da terra, ja que a massa

da lua e consideravelmente menor do que a da

terra. Portanto, na superfıcie da lua, qual-

quer oxigenio ou nitrogenio, eventualmente de-

saparecem. A atmosfera da terra, entretanto,

nao contem uma quantidade significante de hi-

drogenio, embora o hidrogenio seja o elemento

mais abundante em todo o universo. Uma at-

mosfera de hidrogenio teria escapado da su-

perfıcie da terra a muito tempo atras, devido a

velocidade molecular do hidrogenio ser grande

o suficiente, ja que o mesmo possui uma massa

pequena, o que significa que em um instante

qualquer, um numero significante de moleculas

de hidrogenio teriam uma velocidade que ex-

cedia a velocidade de escape da superfıcie da

terra.

Terra Lua

Raio 6.37× 106 m 1.738× 106 m

Massa 5.98× 1024 kg 7.35× 1022 kg

A razao entre o raio da terra Rt e o raio da

lua Rl eRt

Rl

≈ 3.67

ja a razao entre suas massas e

Mt

Ml

≈ 81.36.

Portanto, a razao entre as aceleracoes devido

a gravidade em suas superfıcie e

gt

gl

=Mt

Ml

(Rt

Rl

)−2

≈ 6.04

e a razao entre suas velocidades de escape e

vt

vl

=

√gt

gl

Rt

Rl

≈ 4.71

2.8.7 Equilıbrio

A energia potencial pode ser expandida em

serie de Taylor em torno de qualquer ponto x0

como

U(x) = U(x0) +

(dU

dx

)∣∣∣∣x0

(x− x0)

1!+

(d2U

dx2

)∣∣∣∣x0

(x− x0)2

2!+

(d3U

dx3

)∣∣∣∣x0

(x− x0)3

3!+ · · · (2.207)

Se a forca resultante que atua sobre um

corpo e nula (e tambem o torque), diz-se que

ele esta em equilıbrio. Se x0 for uma posicao

de equilıbrio, entao

F = −(dU

dx

)∣∣∣∣x=x0

= 0. Ponto de equilıbrio

(2.208)

Para pontos muito proximos da posicao de

equilıbrio, x − x0 e muito pequeno, de forma

que os termos alem de segunda ordem na ex-

pansao podem ser desprezados. Como a ener-

gia potencial e definida a menos de uma cons-

tante, podemos fazer U(x0) = 0 sem perda de

generalidade. Assim,


U(x) '(d2U

dx2

)∣∣∣∣x=x0

(x− x0)2

2!(2.209)

A forca que atua sobre uma partıcula no

ponto x e dada por

F = −dUdx

= −(d2U

dx2

)∣∣∣∣x=x0

(x− x0) .

(2.210)

Se,

(d2U

dx2

)∣∣∣∣x=x0

> 0 Equilıbrio estavel

(2.211)

entao a forca sera sempre contraria ao desloca-

mento, x − x0; a partıcula e puxada de volta

para a posicao de equilıbrio. Sendo assim, o

equilıbrio da partıcula e estavel. Na figura

2.35 anterior existem dois pontos de equilıbrio

estavel: um e o ponto x0 e o outro esta entre

xe e xf . Se

(d2U

dx2

)∣∣∣∣x=x0

< 0 Equilıbrio instavel

(2.212)

entao a forca estara sempre na direcao do

deslocamento; a partıcula e empurrada para

longe da posicao de equilıbrio. Sendo assim,

o equilıbrio da partıcula e instavel. Na figura

2.35 anterior existem tres pontos de equilıbrio

instavel: um a esquerda de xg, outro entre xd

e xe e outro a direita de xf .

Exemplo 30 Na figura 2.37 abaixo temos

uma corda leve, de comprimento b, com uma

extremidade presa no ponto A. A corda

passa sobre uma roldana no ponto B, a uma

distancia 2d de A, e tem uma massa m1 presa

a outra extremidade. Uma massa m2 esta

presa a outra roldana que passa sobre a corda

puxando-a para baixo entre os pontos A e B.

Calcule a distancia x1 para a qual o sistema

esta em equilıbrio e determine se o equilıbrio

e estavel ou instavel. Despreze as dimensoes e

as massas das roldanas.

Figura 2.37: Sistema constituıdo por duas rol-

danas.

Solucao: Este problema pode ser resolvido

pelo metodo da forca mas torna-se mais sim-

ples se usarmos o conceito de energia poten-

cial. Fazendo U = 0 ao longo da linha AB

podemos escrever

U = −m1gx1 −m2gx2 (2.213)

Se as roldanas forem pequenas podemos escre-

ver

x2 =

√1

4(b− x1)

2 − d2 (2.214)

e portanto,

U = −m1gx1 −m2g

√1

4(b− x1)

2 − d2

(2.215)

dU

dx1

= −m1g +m2g (b− x1)

4√

14(b− x1)

2 − d2

(2.216)

No equilıbrio, devemos ter

dU

dx1

= 0 (2.217)


Assim,

4m1

√1

4(b− x1)

2 − d2 = m2 (b− x1)

(b− x1)2 (

4m21 −m2

2

)= 16m2

1d2.

Portanto,

x1 = b− 4m1d√4m2

1 −m22

(2.218)

onde x0 = x1,eq.. Note que so existe solucao

real se

4m21 > m2

2 =⇒ 2m1 > m2 (2.219)

A derivada segunda e dada por,

d2U

dx21

= − m2g

4√

14(b− x1)

2 − d2

+

m2g (b− x1)2

16[

14(b− x1)

2 − d2]3/2

(2.220)

Fazendo x1 = x0, temos

(d2U

dx21

)∣∣∣∣x=x0

=g (4m2

1 −m22)

3/2

4m22d

(2.221)

Mas so havera equilıbrio se a condicao (2.219)

for satisfeita. Nesse caso, a derivada segunda

e positiva e o equilıbrio e estavel.

Exemplo 31 Considere o potencial unidi-

mensional

U(x) = −Wd2(x2 + d2)

x4 + 8d4(2.222)

onde W e uma constante positiva. Esboce

o grafico da energia potencial e responda as

seguintes questoes. O movimento e limi-

tado ou ilimitado? Quais sao os pontos de

equilıbrio? Estes pontos sao de equilıbrio

estavel ou instavel? Obtenha os pontos de re-

torno para E = W8.

Solucao: Para simplificar nossa analise, va-

mos fazer x = yd, de forma que o potencial

pode ser escrito como uma funcao de y como

U(y) = −W (y2 + 1)

y4 + 8(2.223)

Para esbocar o grafico e conveniente encontrar

primeiro os pontos de equilıbrio. Assim deve-

mos ter

dU

dy= −W 2y

y4 + 8+W

4y3(y2 + 1)

y4 + 8= 0

(2.224)

Portanto, a equacao acima reduz-se a

y(y4 + 2y2 − 8

)= 0

y(y2 + 4

) (y2 − 2

)= 0 (2.225)

Logo a solucoes da equacao acima sao: y = 0

e y = ±√2. Em termos de x, elas podem ser

escritas como: x = 0 e y = ±√2d.

Os valores da energia nestes pontos sao:

U(x = 0) = −W8

U(x =√

2d) = −W4

U(x = −√

2d) = −W4

Alem disso U(x)→ 0− (por valores negativos)

quando x → ±∞. A figura a seguir mostra o

grafico de U(x)× x.Os pontos x = ±√2d sao pontos de

equilıbrio estavel enquanto o ponto x = 0 e um

ponto de equilıbrio instavel.

O movimento e limitado para partıculas com

uma energia total no intervalo: −W/4 < E <

0 e ilimitado para partıculas com uma energia

total E ≥ 0.

Os pontos de retorno para E = −W/8 podem

ser obtidos fazendo

E = −W8

= U(y) = −W (y2 + 1)

y4 + 8(2.226)


Figura 2.38: No esboco do potencial acima,

mostramos os pontos de retorno, assim como

os pontos de mınima energia.

y4 + 8 = 8y2 + 8

y4 = 8y2 y = ±2√

2

y = 0,±2√

2

Portanto, os pontos de retorno para E =

−W/8 sao x = 2√

2d e x = −2√

2d, assim

como x = 0, o qual e um ponto de equilıbrio

instavel.

2.9 Movimento de fogue-

tes

O movimento de um foguete representa uma

situacao fısica interessante onde a Segunda Lei

de Newton pode ser aplicada a um sistema de

massa variavel. Examinaremos inicialmente o

caso do foguete sob a influencia de uma forca

externa, e posteriormente estudaremos duas

situacoes particulares distintas: (1) o movi-

mento do foguete na ausencia de forcas exter-

nas e (2) o movimento do foguete sob a acao da

gravidade. O primeiro caso requer a aplicacao

da conservacao do momentum linear. O se-

gundo caso requer uma aplicacao mais traba-

lhosa da segunda Lei de Newton.

2.9.1 Movimento do foguete:

forca externa

Considere um foguete viajando sob in-

fluencia de uma forca externa Fext., e por sim-

plicidade, que o seu movimento seja unidimen-

sional. Suponha tambem que em um dado ins-

tante a massa do foguete seja m e a sua velo-

cidade v, conforme a figura 2.39 abaixo. Em

um intervalo de tempo dt o foguete ejeta uma

massa dm′ (positiva) com velocidade −u (para

tras) em relacao ao foguete; a velocidade da

massa ejetada em relacao a um referencial fixo

(inercial) e v − u. Apos a ejecao de dm′, a

massa do foguete passa a ser m− dm′ e a sua

velocidade v + dv.

Figura 2.39: Movimento unidimensional de um

foguete sob a acao de uma forca externa Fext.

Momentum inicial: p(t) = p0 = mv

Momentum final: p(t+ dt) = pf

onde,

pf = (m− dm′)(v + dv)︸︷︷︸foguete

+ dm′(v − u)︸︷︷︸Massa ejetada

.

(2.227)

A variacao do momentum linear do sistema

neste intervalo de tempo e dada por


dp = pf − p0

= (m− dm′)(v + dv) + dm′(v − u)−mv= mdv − dm′dv − dm′u (2.228)

O produto das diferenciais dm′dv e muito

pequeno e pode ser desprezado. Assim, da Se-

gunda Lei de Newton, podemos escrever

Fext. =dp

dt= m

dv

dt− dm′

dtu (2.229)

Aqui e interessante fazer uma mudanca de

notacao. Da forma que foi definida, dm′ e

uma quantidade positiva. Por outro lado, a

taxa de variacao da massa do foguete e uma

quantidade negativa dada por (o foguete esta

perdendo massa)

dm

dt= −dm

′

dt(2.230)

Assim podemos escrever

Fext. =dp

dt= m

dv

dt+dm

dtu (2.231)

2.9.2 Movimento do foguete:

sem forca externa

Como exemplo, considere o caso em que o

foguete viaja no espaco livre da acao de forcas

externas. Nesse caso

mdv

dt= −udm

dt(2.232)

e portanto

dv = −udmm

(2.233)

Integrando a equacao acima, obtemos

v = −u ln(m) + C (2.234)

Supondo que no instante inicial v = v0 e m =

m0, entao a constante de integracao C e dada

por

C = v0 + u ln(m0), (2.235)

de forma que a velocidade do foguete pode ser

escrita em funcao da massa como

v = v0 + u ln(m0

m

)(2.236)

2.9.3 Foguete em ascensao

Considere agora, um foguete subindo sob a

influencia da forca gravitacional, por simplici-

dade suposta constante conforme a figura 2.40

abaixo. A equacao de movimento pode ser es-

crita como

Figura 2.40: Movimento de um foguete sob a

acao da gravidade.

−mg = mdv

dt+dm

dtu (2.237)

−mgdt = mdv + udm (2.238)

Vamos supor tambem que a taxa de perda

de massa seja constante, ou seja

dm

dt= −α =⇒ dt = −dm

α(2.239)

onde α e uma constante positiva. Assim a

equacao de movimento pode ser escrita em ter-

mos de v e m como

g

αmdm = mdv + udm (2.240)

dv =( gα− u

m

)dm (2.241)


Integrando, temos

v =g

αm− u ln(m) + C. (2.242)

Supondo que no instante inicial v = v0 e m =

m0, entao a constante de integracao C e dada

por

C = v0 − g

αm0 + u ln(m0) (2.243)

de forma que a velocidade do foguete pode ser

escrita em funcao da massa como

v = v0 +g

α(m−m0) + u ln

(m0

m

). (2.244)

A massa do foguete pode ser expressa como

funcao do tempo atraves da integracao de

(2.239). Assim teremos

m = m0 − αt (2.245)

de forma que a velocidade pode ser expressa

em funcao do tempo como funcao do tempo

como

v(t) = v0 − gt+ u ln

(m0

m0 − αt)

(2.246)

2.10 Limitacoes da

mecanica newtoni-

ana

Antes de encerrarmos este capıtulo gos-

tarıamos de fazer alguns comentarios sobre o

domınio de validade da Mecanica Newtoniana.

Ela descreve corretamente os fenomenos em es-

cala macroscopica onde os corpos se movem

com velocidades pequenas. No entanto, as

leis de Newton deixam de ser validas quando

os problemas envolvem dimensoes atomicas ou

quando as velocidades de interesse sao da or-

dem da velocidade da luz (c = 3, 0 × 108

m/s); nesses casos as teorias adequadas sao a

Mecanica Quantica e a Mecanica Relativıstica.

Alem disso, existe uma outra limitacao de

ordem pratica. Quando o numero de partıculas

e muito grande torna-se impossıvel (na pratica)

obter a posicao de todas elas como funcao do

tempo; nesse caso as propriedades de interesse

sao obtidas como medias e a teoria adequada

e a Mecanica Estatıstica. Nao entraremos em

detalhes nessas teorias porque sao assuntos de

outros cursos.

2.11 Problemas

1. Um menino de massa m puxa (horizontal-

mente) um treno de massa M . O coefi-

ciente de atrito cinetico entre o treno e a

neve e µc.

(a) Desenhe um diagrama mostrando to-

das as forcas que agem sobre o me-

nino e sobre o treno.

(b) Determine as componentes horizon-

tais e verticais de cada uma das

forcas no momento em que o menino

e o treno tem uma aceleracao a.

(c) Se o coeficiente de atrito estatico en-

tre os pes do garoto e o solo for

µe, qual e a aceleracao maxima que

ele pode fornecer a ele proprio e ao

treno, supondo-se que a tracao e o

fator que limita a aceleracao?

2. Um escovao de massa m e empurrado com

uma forca F dirigida ao longo do cabo,

que faz um angulo θ com a vertical. O

coeficiente de atrito cinetico com o solo e

µc e o estatico e µe.

(a) Desenhe um diagrama mostrando to-

das as forcas que agem sobre o es-

covao.


(b) Para θ e µc dados, determine a forca

F necessaria para que o escovao des-

lize com velocidade uniforme sobre o

solo.

(c) Mostre para 0 < θ < θc ( θc e

o angulo crıtico definido por µe =

tg θc), o movimento do escovao so-

bre o solo nao podera ser iniciado

quando o mesmo for empurrado pelo

cabo. Despreze a massa do cabo do

escovao.

3. Qual e a forca horizontal F que deve ser

aplicada ao conjunto mostrado na figura

abaixo de modo que a massa m1 nao

se mova relativamente a massa M . Os

atritos entre todas as superfıcies sao des-

prezıveis.

4. Um pequeno cubo de massa m e colo-

cado no interior de um funil que gira em

torno de um eixo com velocidade angular

ω. A parede do funil forma um angulo θ

com a horizontal. Seja µe o coeficiente de

atrito estatico entre o cubo e o funil e R a

distancia entre o cubo e o eixo de rotacao.

(a) Faca um diagrama mostrando as forcas

que atuam sobre o cubo. (b) Existem dois

valores de de ω, um maximo e um mınimo,

para o qual o cubo permaneca em repouso

relativamente ao funil. Calcule estes valo-

res.

5. Considere um carrinho de massa m1 = 2m

kg em um trilho preso a um bloco de

massa m2 = m kg conforme figura abaixo.

A este conjunto prende-se por um fio um

bloco de massa M desconhecida atraves

de uma roldana. Ao se abandonar o sis-

tema, mede-se o angulo θ e encontra-se

que tg θ = 13. Considerando os fios e a rol-

dana ideais, determine (a) a aceleracao de

cada um dos corpos e (b) o valor da massa

M em funcao de m.

6. Um bloco C de massa mC e colocado na

extremidade de uma prancha A de massa

mA, a uma distancia L do seu extremo,

conforme a figura abaixo. O coeficiente de

atrito estatico entre a prancha A e o bloco


C e µe e o cinetico e µc. Entre a prancha e

o solo nao ha atrito. Qual o maior valor da

massa mB do bloco B que posso acoplar

ao sistema para que o bloco C nao se mova

em relacao a prancha A. (b) Se a massa do

bloco B for maior do que o valor maximo

determinado no item anterior, em quanto

tempo o bloco C abandonara a prancha A.

7. Um escovao de massa m e empurrado com

uma forca F dirigida ao longo do cabo,

que faz um angulo θ com a vertical. O

coeficiente de atrito com o solo e µ. a)

Desenhe um diagrama mostrando todas

as forcas que agem sobre o escovao. b)

Para θ e µ dados, determine a forca F ne-

cessaria para que o escovao deslize com

uma velocidade uniforme sobre o assoa-

lho. c) Determine o angulo crıtico θc para

o qual o escovao nao ira se mover indepen-

dentemente do modulo da forca aplicada.

Despreze a massa do cabo do escovao.

8. Considere um plano inclinado cujo o coe-

ficiente de atrito cinetico e µc. Considere

que os dois blocos de de massas m e M ,

com M > m, foram abandonados no ins-

tante t = 0. (a) Usando os metodos de

energia determine a velocidade dos blocos

apos percorrerem uma distancia H. (b)

Determine o tempo que o bloco de massa

M leva para atingir o solo.

Resp. (a) v =

√2gH

[M−m(sen θ+µc cos θ)

M+m

];

(b) tq = M−m(sen θ+µc cos θ)M+m

g

9. Uma haste leve e rıgida, de comprimento

` tem uma massa m ligada a sua extremi-

dade, formando um pendulo simples. Ela

e invertida e em seguida largada. Quais

sao a velocidade v no ponto mais baixo e

(b) a tracao T , na suspensao, naquele ins-

tante? (c) O mesmo pendulo e, a seguir

colocado em posicao horizontal e abando-

nado. A que angulo da vertical a tracao na

suspensao sera igual ao peso em modulo?

Resp: (a) 2√g`, (b) 5mg (c)

71

10. Uma massa puntiforme m parte do re-

pouso e desliza sobre a superfıcie de uma

esfera sem atrito, de raio R. Meca os

angulos a partir da vertical e a energia po-

tencial a partir do topo da esfera. Ache (a)

a variacao da energia potencial da massa

com o angulo; (b) a energia cinetica como

uma funcao do angulo; (c) as aceleracoes

radiais e tangenciais em funcao do angulo;

(d) o angulo que a mass abandona a esfera.

Resp: (a) −mgR(1 − cos θ). (b)

mgR(1−cos θ. (c) ar = 2g(1−cos θ)

e at = g sen θ (d) θ = arc cos(2/3).


11. Uma partıcula de massa m move-se em

um cırculo vertical de raio R dentro de

um trilho. Nao ha atrito. Quando m esta

em sua posicao mais baixa, sua velocidade

e v0. (a) Qual e o valor mınimo vm de v0

para o qual m percorrera todo o trilho sem

perder contato com ele? (b) Suponha que

v0 = 0.775vm, entao a partıcula subira o

trilho ate um ponot P, no qual ela perdera

o contato com o trilho e perrcorera uma

trajetoria representada aproximadamente

pela linha pontilhada. Ache a posicao an-

gular θ do ponto P.

12. Uma escada rolante liga um andar de uma

loja com outro situado a 7.5 m acima. O

comprimento da escada rolante e de 12 m

e ela se move a 0.60 m/s. (a) Calcule a

potencia mınima do motor para transpor-

tar 100 pessoas por minuto, sendo a massa

media das pessoas de 70 kg. (b) Um ho-

men de 70 kg sobe a escada em 10 s. Qual

o trabalho realizado pelo motor sobre o

homem? (c) Se o homen ao chegar no meio

da escada, resolver voltar e iniciar a descer

ela, mas de modo a permanecer sempre no

mesmo nıvel, o motor realizaria trabalho

sobre ele? Em caso afirmativo com que

potencia? (use g = 9.8 m/s2)

Resp: (a) 8.755 kW; (b) 2.573 kJ;

(c) Sim, com 275 W.

13. Um bloco de massa m e abandonado so-

bre o trilho no ponto A como mostrada a

figura abaixo. Considerando que o coefi-

ciente de atrito cinetico entre o bloco e o

trajeto AB do trilho e µc (suponha que o

angulo de inclinacao da rampa seja tal que

tg θ > µe, onde µe e o coeficiente de atrito

estatico entre o bloco e o plano). (a) Que

velocidade o bloco deve ter no ponto B

para que ele consiga passar pelo ponto D?

(b) Determine o valor da altura mınima

hA que o bloco deve ser abandonado para

que ele consiga passar pelo ponto D?

14. Uma partıcula desliza sobre um trilho que

possui extremidades elevadas e uma parte

central plana. A parte central possui com-

primento ` = 20 m. As partes curvas nao

apresentam atrito. O coeficiente de atrito

cinetico da parte plana vale µc = 0.15.

Larga-se a partıcula no ponto A, cuja al-

tura h = 10 m. Em que ponto a partıcula

ira parar?


Resp.: Num ponto situado a 6, 67 m da

extremidade esquerda da parte plana.

15. Uma haste, rıgida bem leve, cujo com-

primento e `, tem presa em uma extre-

midade, uma bola de massa m. A outra

extremidade e articulada em torno de um

eixo, sem atrito, de tal modo que a bola

percorre um cırculo vertical. A bola parte

de uma posicao horizontal A, com veloci-

dade inicial v0, para baixo. A bola chega

ao ponto D e em seguida para. (a) En-

contre uma expressao para v0 em funcao

de `, m e g. (b) Qual a tensao na haste

quando a bola esta em B? (c) Um pouco

de areia e colocado sobre o eixo de arti-

culacao, apos o que, a bola chega ate C,

depois de ter partido de A com a mesma

velocidade de antes. Qual o trabalho rea-

lizado pelo atrito durante este moviemnto.

(d) Qual o trabalho realizado pelo atrito

antes da bola parar em B, apos oscilar re-

petidas vezes?

16. Uma massa puntiforme m parte do re-

pouso e desliza sobre a superfıcie de um

hemisferio esferico de raio R. Determine

a altura h que a massa e lancada para fora

do hemisferio, (a) sendo a superfıcie sem

atrito e (b) supondo que exista atrito entre

a massa e a superfıcie, e que a energia dis-

sipada pelo atrito seja igual a um quinto

da variacao da energia cinetica desde o

topo ate o ponto onde ele abandona a su-

perfıcie?

Resp: (a) h = 2R/3. (b) h = 5R/8.

17. Um garotinho esquimo desastrado escor-

rega do alto do seu iglu, um domo he-

misferico de gelo de 3 m de altura. (a)

De que altura acima do solo ele cai? (b) a

que distancia da parede o iglu ele cai?

Resp.: (a) 2 m (b) 0.37 m.

18. O cabo de um elevador de 3.0× 103 kg se

rompe quando ele esta parado no primeiro

andar, de modo que o piso do elevador

se encocntra a uma distancia d = 3, 6 m

acima do nıvel superior da mola, de cons-

tante elastica k = 1.5 × 106 N/m. Um

dispositivo de seguranca aperta os trilhos

que servem de guia ao elevador, de modo

que surge uma forca de atrito constante

de 4, 5× 103 N que se opoe ao movimento

do elevador. (a) Ache a distancia em que

a mola e comprimida. (b) Calcule a velo-

cidade do elevador quando a mola retorna

ao seu ponto de equilıbrio. (c) Calcule a

distancia percorrida pelo elevador quando

ele sobe sob a acao da mola. (d) Usando

o princıpio da conservacao da energia cal-


cule a distancia aproximada que o eleva-

dor percorrer ate parar?

19. Uma partıcula de massa m desliza sobre

um trilho (conforme a figura abaixo), o

qual entre os trechos AB, possui um coe-

ficiente de atrito cinetico µc. Determine a

velocidade vA mınima que a partıcula deve

ter no ponto A, para que ela consiga che-

gar ao ponto D, em funcao da distancia d,

da altura h, de g e de µc.

20. Considere um bloco de massa m, preso a

uma mola de constante elastica k, que des-

liza sobre uma superfıcie, cujo coeficiente

de atrito e µ (considere que o coeficiente

de atrito cinetico e estatico sao iguais). No

instante t = 0, o bloco foi deslocado para

a posicao x0 = A e foi solto. Determine a

variacao da amplitude ∆A de oscilacao do

bloco devido ao atrito em um ciclo com-

pleto. Sugestao, determine a perda em

meio ciclo e oberve que ela e constante.

Resp: ∆A = 4µmgk

21. Considere uma rampa que forma um

angulo θ com a horizontal e que sobre ela

a uma altura h abandona-se um bloco de

massa m. Considerando que o coeficiente

de atrito cinetico entre a rampa e o bloco

e µc e que tg θ > µe em que µe e o coefi-

ciente de atrito estatico entre o bloco e a

rampa. Entre o bloco e o plano horizon-

tal o atrito e desprezıvel. Considerando

a figura abaixo, determine (a) a maxima

compressao da mola. (b) Determine a al-

tura maxima atingida pelo bloco a retorna

a rampa.

22. Um bloco de massa m e abandonado sobre

o trilho no ponto A, conforme a figura an-

terior. Considerando que o coeficiente de

atrito cinetico entre o bloco e o trajeto AB

do trilho e µc (suponha que o angulo de in-

clinacao da rampa seja tal que tg θ > µe,

onde µe e o coeficiente de atrito estatico

entre o bloco e o plano). Sabe-se que o

modulo da forca resultante sobre o bloco

no ponto C e√

26mg. (a) Qual a forca

que o trilho exerce sobre o bloco no ponto

D, e (b) de que altura hA o bloco foi solto?

Resp: (a) 2mg; (b) hA =7R

2(1−µc cotg θ);


23. Um projetil e atirado com uma velocidade

inicial v0 e um angulo de elevacao α so-

bre uma colina de inclinacao β (β < α).

(a) Quanto tempo depois do lancamento

o projetil atinge o solo? (b) Qual o al-

cance? (c) Qual o valor de α para o qual

o alcance e maximo? (d) Qual o valor do

alcance maximo?

Figura 2.41: Lanamento de um projetil em

uma colina.

24. Suponha que a forca atuando sobre uma

partıcula ao longo de uma unica dimensao

possa ser fatorada em uma das seguintes

formas: (a) F (x, t) = f(x)g(t) (b)

F (x, t) = f(x)g(t) (c) F (x, x) =

f(x)g(x). Para quais casos as equacoes

de movimento sao integraveis?

25. Considere um projetil atirado vertical-

mente para cima com uma velocidade ini-

cial v0. Compare os tempos necessarios

para o projetil atingir a altura maxima

no caso em que nao ha resistencia do ar

e no caso em que a forca de resistencia e

proporcional a velocidade (Fr = −mkv).Suponha que o efeito da resistencia do ar

seja pequeno.

26. Um projetil e atirado com um angulo de

lancamento α acima da horizontal. Qual o

valor maximo de α para o qual a distancia

do projetil ao ponto de lancamento estaria

sempre aumentando enquanto ele viaja?

Despreze a resistencia do ar.

27. Considere uma partıcula em queda, a

partir do repouso, em um campo gra-

vitacional constante. Suponha que a

forca de resistencia do ar seja proporci-

onal ao quadrado da velocidade, ou seja,

Fr = −mkv2. (a) Obtenha a posicao da

partıcula como funcao da velocidade. (b)

Obtenha uma expressao para a velocidade

terminal da partıcula. (c) Mostre que a

partıcula percorre uma distancia

1

2kln

[g − kv2

1

g − kv22

]

desde o ponto onde sua velocidade e v1 ate

o ponto onde sua velocidade e v2.

28. Mostre explicitamente que a taxa de va-

riacao no tempo do momentum angular

de um projetil atirado da origem e igual

ao torque que atua sobre ele, ou seja, que

N = L. Considere o momentum angular

e o torque em relacao a origem e despreze

a resistencia do ar.

29. Um bloco de massa m desliza sem atrito

sobre o trilho da figura abaixo 2.42, onde

o angulo θ = 45. (a) Qual a forca que

o trilho exerce sobre o bloco no ponto A?

(b) Com que velocidade o bloco deixa o

trilho, no ponto B? (c) Qual a forca que

o trilho exerce sobre o bloco no ponto B?

(d) Quao longe do ponto A o bloco atinge

o solo?

30. A velocidade de uma partıcula de massam

varia com a distancia x atraves da relacao

v(x) = αx−n. Supondo que v(x = 0) = 0 e

x = 0 em t = 0, obtenha: (a) a forca F (x)

responsavel pelo movimento. (b) Deter-

mine x(t) e (c) F (t).

31. Um barco e lancado sobre um lago com

velocidade inicial v0. O barco e freado


Figura 2.42: Deslizamento em uma montanha

russa.

por uma forca de resistencia da agua dada

por F = −αeβv. (a) Determine uma ex-

pressao para a velocidade v(t). (b) Deter-

mine o tempo e (c) a distancia percorrida

pelo barco antes de parar.

32. Um cubo de lado b esta em equilıbrio no

topo de um cilindro de raio R, conforme

figura 2.43 abaixo. As superfıcies de con-

tato sao rugosas, de tal maneira que nao

ha deslizamento. Sob que condicoes o

equilıbrio e estavel?

Figura 2.43: Equilıbrio de um bloco no topo

de um cilindro de raio R.

33. Um trem move-se ao longo de um trilho

com uma velocidade constante u. Uma

mulher dentro do trem atira uma bola de

massam, para frente, com uma velocidade

v em relacao ao trem. (a) Qual a variacao

da energia cinetica da bola medida pela

mulher? (b) E por uma pessoa parada do

lado de fora do trem? Qual o trabalho

feito (c) pela mulher e (d) pelo trem sobre

a bola?

34. (a) Mostre que toda forca do tipo F =kr2 r e uma forca conservativa. (b) Avalie

o caso mais geral em que F = krαr.

35. Considere uma partıcula movendo-se na

regiao x > 0 sob influencia do potencial

U(x) =U0

x

(1 + αx2

)

onde, U0 > 0. Esboce o grafico do poten-

cial, obtenha os pontos de equilıbrio e diga

se o equilıbrio e estavel ou instavel.

36. Um foguete parte do repouso e viaja no

espaco livre de forcas externas. Para que

fracao da massa inicial do foguete o seu

momentum linear e maximo?

37. Considere um foguete subindo sob in-

fluencia do campo gravitacional da Terra,

suposto constante, com uma razao de

perda de massa dm/dt = −α. Mostre que

a altura atingida pelo foguete pode ser es-

crita como

y = ut−1

2gt2−

(m0 − αt

α

)u ln

[m0

m0 − αt]

38. Um foguete tem uma massa inicial m0 e

uma razao de perda de massa dm/dt =

−α. Qual a velocidade de exaustao

mınima para que o foguete consiga deco-

lar?

39. Um foguete avanca para cima num campo

da forca de gravidade a aceleracao cons-

tane af . Desprezando a resistencia do


ar e considerando a velocidade efetiva de

ejecao dos gases ve em relacao ao foguete,

constante, determine o intervalo de tempo

necessario para que a massa do foguete re-

duza a 50 % do seu valor inicial.

40. Um corpo cai sobre a Terra desde uma al-

tura h com velocidade inicial nula. Des-

preze a resistencia do ar considere que a

forca da gravidade e inversamente propor-

cional ao quadrado da distancia entre o

corpo e o centro da Terra. Considere que

o raio da Terra e R e que a aceleracao da

forca gravitacional na superfıcie da Terra

e g. (a) Ache o tempo T que o corpo gas-

tara para atingir a superfıcie da Terra em

funcao de R, h e g. (b) Determine veloci-

dade que ele atinge a superfıcie da Terra

em funcao de R, h e g.

41. Considere uma partıcula de massa m que

e repelida a partir do centro do sistema

de coordenadas por uma forca central pro-

porcional a distancia (o coeficiente de pro-

porcionalidade e mk2). A resistencia do

meio ambiente e proporcional a velocidade

da partıcula (o coeficiente de proporcio-

nalidade e 2mk1). No instante inicial, a

partıcula encontrava-se a uma distancia a

do centro e a sua velocidade era igual a

zero. (a) Determine uma expressao para

a distancia em funcao do tempo. (b) De-

termine uma expressao para a velocidade

em funcao do tempo.

42. A forca de resistencia ao avanco de um

corpo em um meio heterogeneo varia de

acordo com a lei FR = − 2kv2

r + r0N, onde

v e a velocidade do corpo em m/s e r e a

distancia percorrida em metros, r0 = 3

m e k e uma constante. Determinar a

distancia percorrida em funcao do tempo

sabendo que a velocidade inicial e v0 = 5

m/s.


uma linha reta sob a acao de uma forca di-

recionada para a origem O e proporcional

a distancia x da origem, de modulo mk2x.

A partıcula passa pela origem O com uma

velocidade u. Se x e a sua posicao no ins-

tante t e v e a sua velocidade, mostre que

u2 = v2 + (kx)2.


2.12 Apendice

A seguir apresntamos algumas relacoes funda-

mentais.

2.12.1 Expansoes em series de

Taylor

• ex = 1 + x+ 12x2 + 1

6x3 +O (x4)

• ln (1 + x) = x− 12x2 + 1

3x3 +O (x4)

• (1 + x)n = 1 + nx + 12!n (n− 1)x2 +

13!n (n− 1) (n− 2)x3 +O (x4)

• (1 − x)n = 1 − nx + 12!n (n− 1) x2 −

13!n (n− 1) (n− 2)x3 +O (x4)

• senx = x− 16x3 +O (x4)

• cosx = 1− 12x2 +O (x4)

• tan x = x+ 13x3 +O (x4)

2.12.2 Funcoes Hiperbolicas

As funcoes hiperbolicas sao definidas por:

senh(x) =ex − e−x

2,

cosh(x) =ex + e−x

2,

tgh(x) =senh(x)

cosh(x),

sech(x) =1

cosh(x),

cosech(x) =1

senh(x),

cotgh(x) =cosh(x)

senh(x).

Disto segue-se a seguinte relacao:

cosh2(x)− senh2(x) = 1

sech2(x) + tgh2(x) = 1

cotgh2(x)− cosech2(x) = 1

As derivadas destas funcoes sao:

d

dxsenh(x) = cosh(x)

d

dxcosh(x) = senh(x)

d

dxtgh(x) = sech2(x)

d

dxsech(x) = − sech(x) tgh(x)

d

dxcosech(x) = − cosech(x) cotgh(x)

d

dxcotgh(x) = − cosech2(x)

Observe ainda que

arcsenh(x) = ln |x+√x2 + 1|

= arctgh

(x√x2 + 1

)

= arccosh(√x2 + 1)

> 0, Se x > 0

< 0, Se x < 0

arccosh(x) = ± ln |x+√x2 − 1|, x > 1

= arctgh

(x√

x2 − 1

), x > 1

= ± arcsenh(√x2 − 1).

arctgh(x) =1

2ln

(1 + x

1− x), |x| < 1

arcotgh(x) =1

2ln

(x+ 1

x− 1

), |x| > 1

Das relacoes fundamentais acima, pode-se

ver facilmente que:

cosh(x) + senh(x) =ex

cosh(x)− senh(x) =e−x


e usando estas relacoes pode-se mostrar que:

senh(x+ y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y)

cosh(x+ y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y)

2.12.3 Funcoes trigonometricas

Formulas da adicao

sen (A±B) = senA · cosB ± senB · cosA

cos (A±B) = cosA · cosB ∓ senA · senB

tg (A±B) =tgA± tgB

1∓ tgA · tgB

Formulas da multiplicacao

sen 2θ = 2 sen θ · cos θ

cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ

= 2 · cos2 θ − 1

= 1− 2 · sen2 θ

tg 2θ =2 · tg θ

1− tg2 θ

Formulas da divisao

cos θ = cos2 θ

2− sen2 θ

2

= 2 · cos2 θ

2− 1

= 1− 2 · sen2 θ

2

senθ

2= ±

√1− cos θ

2

cosθ

2= ±

√1 + cos θ

2

tgθ

2=

sen θ2

cos θ2

= ±√

1− cos θ

1 + cos θ

Transformacao em Produto

sen (α+ β) + sen (α− β) = 2 senα · cos β

sen (α + β)− sen (α− β) = 2 sen β · cosα

cos (α+ β) + cos (α− β) = 2 cosα · cos β

cos (α + β)− cos (α− β) = −2 senα · sen β

Seja,

α + β = p

α− β = q

α =p+ q

2

β =p− q

2


sen p+ sen q = 2 sen

(p+ q

2

)· cos

(p− q

2

)

sen p− sen q = 2 sen

(p− q

2

)· cos

(p+ q

2

)

cos p+ cos q = 2 cos

(p+ q

2

)· cos

(p− q

2

)

cos p− cos q = −2 sen

(p+ q

2

)· sen

(p− q

2

)

Referencias Bibliograficas

[1] Marcelo Alonso and Edward J. Finn.

Fısica um curso universitario: Mecanica,

volume I. Editora Edgard Blucher, 1972.

[2] H. Moyses Nussenzveig. Fısica Basica:

Mecanica, volume 1. Editora Edgard

Blucher, terceira edition, 1996.

[3] Paul A. Tipler. Fısica Para Cientistas e

Engenheiros, volume 1. LTC, quarta edi-

tion, 2000. Mecanica, Oscilcoes e Ondas.

[4] Frederick j. Keller, W. Edward Gettys,

and Malcolm J. Skove. Fısica, volume 1.

Makron Books do Brasil, 1999.



[6] Jens M. Knudsen and Poul G. Hjorth. Ele-

ments of Newtonian Mechanics. Springer,

third edition, 2000.

[7] Grant R. Fowles and George L. Casiday.

Analitycal Mechanics. Saunders College

Publishing, sixth edition, 1999.

[8] Jerry B. Marion and Stephen T. Thorn-

ton. Classical Dynamics of Particles and

Systems. Saunders College Publishing,

fourth edition, 1995.

[9] Murray R. Spiegel. Theory and Problems

of Theoretical Mechanics. Schaum’s Ou-

tline Series. McGraw-Hill Book Company,

si metric edition edition, 1980.

[10] Keith R. Symon. Mecanica. Editora Cam-

pus LTDA, terceira edition, 1982.

[11] Tai L. Chow. Classical Mechanics. John

Willey & Sons, Inc., 1995.

[12] Atam P. Arya. Introduction to Classical

Mechanics. Allyn and Bacon, 1990.

[13] Herbert Goldstein. Classical Mechanics.

Addison-Wesley. Addison-Wesley, third

edition, 2002.

[14] Lev Davıdovitch Landau and E. M.

Lifshitz. Mecanica, volume 1 of Fısica

Teorica. Editora Mir, 1978.



88

Capıtulo 3

Oscilacoes

3.1 Introducao

Qualquer movimento que se repete em in-

tervalos de tempo iguais constitui um movi-

mento periodico. O movimento periodico de

uma partıcula sempre podera ser expresso em

funcao de senos e de cossenos, motivo pelo

qual ele tambem e denominado movimento

harmonico.

Se uma partıcula em movimento periodico

se mover para frente e para tras na mesma tra-

jetoria, o seu movimento e denominado osci-

latorio ou vibratorio.

Oscilacoes sao encontradas em todas as areas

da fısica. Exemplos de sistemas mecanicos vi-

bratorios incluem pendulos, diapasoes, cordas

de instrumentos musicais, colunas de ar em ins-

trumentos de sopro, etc. A corrente eletrica,

que chega as nossas casas e alternada, ou seja,

e oscilatoria, e as oscilacoes da corrente em

circuitos eletricos tem inumeras aplicacoes im-

portantes.

Um pendulo desviado da posicao de

equilıbrio e depois solto fornece um exemplo

de oscilacoes livres, em que o sistema, apos

termos estabelecido sua configuracao inicial,

nao sera mais submetido a nenhum tipo de

forca externa oscilatoria, e isto fara com que

ele tenha seu proprio perıodo de oscilacao que

e determinado pelos parametros que caracte-

rizam o pendulo. Se submetermos o pendulo

a impulsos externos periodicos, teremos uma

oscilacao forcada, em que e preciso levar em

conta tambem o perıodo das forcas externas

e sua relacao com o perıodo proprio das os-

cilacoes livres do sistema.

As oscilacoes nao sao uma exclusividade dos

sistemas mecanicos. As ondas de radio, as

microondas e a luz visıvel resultam de cam-

pos eletricos e magneticos oscilantes. Este

e o caso de um circuito sintonizado, em um

radio, ou em uma cavidade metalica fechada,

na qual se introduz energia sob a forma de mi-

croondas, que podem oscilar eletromagnetica-

mente. A analogia e grande, fundamentando-

se no fato de que as oscilacoes mecanicas e as

eletromagneticas sao descritas pelas mesmas

equacoes basicas.

3.2 Pequenas Oscilacoes:

Lineares e Nao-

Lineares

Considere uma partıcula de massa m, que

se move sob a acao de um potencial unidimen-

sional conservativo U(x) (mostrado na figura

3.1), com uma energia total E, cuja posicao

esta limitada ao intervalo xa ≤ x ≤ xb. Se

nenhuma outra forca atuar sobre a partıcula,

entao a forca resultante sobre a partıcula e con-

servativa. Portanto, a partıcula oscila sobre

89


um segmento de reta bem definido, entre os

pontos xa e xb.

Figura 3.1: Energia potencial U(x) devido a

uma forca conservativa F (x) qualquer.

Considere que esta oscilacao entre os pontos

xa e xb e pequena. A figura 3.2, mostra uma

ampliacao da regiao onde ocorre esta pequena

oscilacao.

Como potencial U(x) e conservativo, a ener-

gia total da partıcula e conservada e bem defi-

nida, sendo expressa por

E = U(xa) = U(xb).

Para um ponto qualquer x da trajetoria da

partıcula, tem-se que

E =1

2mv2 + U(x) = cte. = U(xa) = U(xb),

pois a energia total e conservada.

No grafico da figura 3.2 tem-se a forca resul-

tante sobre a partıcula em funcao da posicao,

para pequenas oscilacoes em torno da posicao

de equilıbrio. Do grafico de F (x)× x, pode-se

concluir que a forca e linear (entre os pontos xa

e xb,) no regime de pequenas oscilacoes, assim

pode-se escrever como uma boa aproximacao

que,

F(x) ' −kx x,

na qual k e uma constante (geralmente, conhe-

cida como constante elastica da mola, quando


uma forca F (x), que entre os pontos xa e xb,

pode ser considerada aproximadamente linear.

tratamos com sistemas do tipo massa mola).

Percebe-se entao que para pequenas oscilacoes

o sistema e equivalente ao sistema massa mola

(a expressao acima para a forca tambem e co-

nhecida como Lei de Hooke).

Considere uma partıcula movendo-se sob a

acao de uma forca, cuja funcao energia poten-

cial e aquela da figura 3.1, e que sua energia to-

tal e pequena o suficiente, de modo que ela os-

cila em torno do ponto de equilıbrio estavel x0.

Expandindo em serie de Taylor a funcao ener-

gia potencial em torno do ponto de equilıbrio


estalvel x0, obtem-se que

U(x) = U(x0) +

(dU

dx

)∣∣∣∣x0

(x− x0)

1!+

(d2U

dx2

)∣∣∣∣x0

(x− x0)2

2!+

(d3U

dx3

)∣∣∣∣x0

(x− x0)3

3!+

(d4U

dx4

)∣∣∣∣x0

(x− x0)4

4!+ · · ·

Por simplicidade, sera considerado somente

o caso de pequenos deslocamentos em torno da

posicao de equilıbrio de potenciais simetricos.

O termo U(x0) e um termo constante e pode

ser ignorado, o que nao ira afetar o resultado fi-

nal. Desde que x0 e um ponto de mınimo, para

o equilıbrio estavel num potencial simetrico,

todos os termos de ordem ımpar na expansao

acima sao identicamente nulos, portanto,

(dU

dx

)∣∣∣∣x0

=

(dU

dx

)∣∣∣∣x0

= 0,

enquanto, (d2U

dx2

)∣∣∣∣x0

> 0.

Definindo,

z = x− x0

(d2U

dx2

)∣∣∣∣x0

= k

1

3!

(d4U

dx4

)∣∣∣∣x0

= +ε

Entao a funcao energia potencial pode ser

escrita como

U(z) =1

2kz2 +

1

4εz4 + · · · (3.1)

Considerando que a origem das coordenadas

esta localizada no ponto do equilıbrio estavel,

de modo que x0 = 0 e z = x, e desprezando

os termos de ordens superiores a quarta ordem

em x, na eq. (3.1), obtem-se

U(x) =1

2kx2 +

1

4εx4 (3.2)

Alem disso, como a partıcula move-se sob a

acao de forcas conservativas, pode-se escrever

F (x) = −dUdx

o que significa que a forca resultante sobre a

partıcula e dada por,

F (x) = −kx− εx3. (3.3)

3.2.1 Oscilacoes Lineares

Como uma primeira aproximacao sera man-

tido somente os termos de segunda ordem em x

na expansao da energia potencial, desta forma

tem-se que

U(x) =1

2kx2 (3.4)

F (x) = −kx (3.5)

na qual,

k =

(d2U

dx2

)∣∣∣∣x0

= −(dF

dx

)∣∣∣∣x0

> 0 (3.6)

Como, (d2U/dx2)x0> 0 e sempre positivo, a

constante k tambem sera sempre positiva. Por-

tanto, a forca F = −kx e proporcional ao des-

locamento x e esta sempre direcionada para o

ponto de equilıbrio. Uma forca com estas ca-

racterısticas e chamada de forca restauradora

linear. O potencial correspondente a esta forca

e parabolico sendo expresso pela eq. (3.4), cujo

comportamento e mostrado nas linhas ponti-

lhadas das figuras 3.2 e 3.3.

Sistemas fısicos envolvendo molas, pendulos,

e deformacoes elasticas sao descritos pelas

equacoes (3.4) e (3.5) e eles obedecem a lei de

Hooke. Isto e verdade somente para peque-

nos deslocamentos, pois permanece no limite



uma forca F (x), que entre os pontos xa e xb,

pode ser considerada aproximadamente linear.

elastico, como mostrado na figura 3.3(a). Alem

disso, os resultados obtidos ainda sao aproxi-

mados. Nestes sistemas a constante k e defi-

nida como forca por unidade de comprimento,

e a sua unidade e newtons por metro (N/M), e

ela e geralmente chamada de constante elastica

da mola. Ja 1/k e chamado de flexibilidade da

mola.

3.2.2 Oscilacoes Nao-Lineares

Se os deslocamentos do sistema em relacao

ao ponto de equilıbrio estavel nao forem pe-

quenos o suficiente (ou se desejarmos incluir

termos de mais altas ordens na expansao da

energia potencial), o sistema tera uma resposta

nao-linear, e desta forma nao podemos manter

somente os termos de segunda ordem em x na

expansao da energia potencial. Assim, teremos

que incluir os termos nao nulos de maior or-

dem seguintes aos de segunda ordem, ou seja,

os de quarta ordem. Portanto, a forca tera um

termo em x3 enquanto a energia potencial tera

um termo em x4. Diferentes formas de forcas

e potenciais sao ilustrados na figura 3.3 para

sistemas nao lineares.

Para um sistema nao-linear, a resposta sera

dada pela forca

F (x) = −kx− εx3.

Aqui devemos lembrar que ε e muito pequeno

quando comparado a k, mas sua magnitude e

sinal afetam o termo linear −kx, e portanto, a

forca resultante F (x). Se ε < 0, a magnitude

da forca F (x) sera menor do que a forca li-

near −kx sozinha e o sistema e dito ser macio.

Por outro lado, se ε > 0, a magnitude da forca

F (x) sera maior do que a forca linear −kx so-

zinha e o sistema e dito ser duro. As forcas e

as energias potenciais sao mostradas na figura

3.3.

Exemplo 32 Considere uma partıcula de

massa m, presa a duas molas identicas, de

constante elastica k e comprimento natural l,

conforme a figura 3.4. Inicialmente as mo-

las nao estao distendidas. Ao deslocarmos a

partıcula ao longo do eixo X, de uma distancia

x, encontre a forca resultante sobre a partıcula.

Figura 3.4: Uma partıcula de massa m preso a

duas molas identicas de constante elastica k.


Solucao: Devido a simetria, a forca resul-

tante sobre a partıcula estara ao longo do eixo

X, e e dada por

Fr = mx = −2k(S − l) sen θ,

mas como sen θ = x/S, portanto,

Fr = −2k

(x− lx

S

)

= −2kx

(1− l√

x2 + l2

)

= −2kx

(1− 1√

1 + (x/l)2

).

Para pequenos deslocamentos em torno da

posicao de equilıbrio, ou seja, para x/l ¿ 1,

podemos expandir em serie de Taylor o ultimo

termo da expressao anterior 1, e mantendo so-

mente o termo de segunda ordem, obtemos

Fr ∼ −2kx

[1

2

(xl

)2]∼ −kl

(xl

)3

que e uma forca nao linear, portanto, dizemos

que a resposta do sistema e nao linear.

3.2.3 Moleculas Diatomicas

A figura 3.5 abaixo mostra uma curva de

energia potencial tıpica para uma molecula

diatomica; para simplificar imagine que o

atomo da esquerda esteja fixo na origem en-

quanto a posicao do atomo da direita seja

variavel. Quando a distancia inter-atomica

e muito pequena, predomina a forca de re-

pulsao eletrica entre os nucleos carregados po-

sitivamente; assim, U → ∞ quando R → 0.

Por outro lado, quando R → ∞, e como

se tivessemos dois atomos separados por uma

1Sabemos que:

(1 + x)n = 1+n

1!x+

n(n− 1)2!

x2+n(n− 1)(n− 2)

3!x3+. . . .

distancia muito grande, de forma que U → 0.

Entre estes dois limites existe uma posicao

de equilıbrio estavel (separacao inter-nuclear

de equilıbrio). A energia potencial pode ser

Figura 3.5: Um bloco de massa m preso a uma

mola de constante elastica k. Este bloco esta

oscilando em torno da sua posicao de equilıbrio

x = 0.

expandida em serie de Taylor em torno da

posicao de equilıbrio como

U(R) = Ueq. +

(dU

dR

)∣∣∣∣Req.

(R−Req.)

1!+

(d2U

dR2

)∣∣∣∣Req.

(R−Req.)2

2!+

(d3U

dR3

)∣∣∣∣Req.

(R−Req.)3

3!+ · · ·

Note que Req. e um ponto de equilıbrio, de

forma que (dU

dR

)∣∣∣∣Req.

= 0 (3.7)

o que justifica a ausencia do termo linear na

expansao.

Em um movimento molecular tıpico os

atomos se afastam da posicao de equilıbrio


por distancias que sao muito pequenas quando

comparadas a separacao de equilıbrio, ou seja,

R−Req. ¿ Req. (3.8)

Sendo assim, os termos de terceira ordem

em diante na expansao da energia podem ser

desprezados, de forma que

U(R) ≈ Ueq.+

(d2U

dR2

)∣∣∣∣Req.

(R−Req.)2

2!. (3.9)

A forca sobre o atomo da direita e dada por

F (R) = −dUdR

= −(d2U

dR2

)∣∣∣∣Req.

(R−Req.)

(3.10)

E comum definir a notacao

x ≡ R−Req. k ≡(d2U

dR2

)∣∣∣∣Req.

(3.11)

de forma que podemos escrever

F (x) = −kx, e U =1

2kx2 (3.12)

onde k e uma constante positiva. Sistemas

fısicos onde a forca e dada por esta expressao

sao chamados de oscilador harmonico simples.

Muitos exemplos de oscilador harmonico

simples podem ser encontrados na natureza. O

mais conhecido e o sistema massa-mola onde a

forca e proporcional ao deslocamento para dis-

tensoes pequenas (Lei de Hooke). Um ponto

da corda de um violao executa um movimento

harmonico simples (MHS) quando a corda esta

vibrando.

3.3 Oscilador Harmonico

Simples

Consideremos uma partıcula de massa m,

que oscila em torno de uma posicao de

equilıbrio; a forca que atua na partıcula e dada

por (Lei de Hooke):

F (x) = −kx,

e como dU = −F (x)dx (vetorialmente, temos

F = −kxi e d~ = dxi, logo, F · d~ = −kxdx,quem define a direcao dos deslocamentos d~ sao

os limites de integracao.), entao

U(x)− U(0) = −∫ x

0

F (x)dx

=

∫ x

0

kxdx =1

2kx2.

Considerando U(0) = 0, temos entao, que a

energia potencial de uma partıcula sob a acao

de uma forca do tipo F (x) = −kx, e dada por:

U(x) =1

2kx2.

Uma partıcula oscilante que tenha tais

caracterısticas e denominada oscilador

harmonico simples e seu movimento chama-se

movimento harmonico simples. No movimento

harmonico simples os limites de oscilacao sao

simetricos em relacao a posicao de equilıbrio.

Em relacao a figura 3.2, isto significa dizer

que xb = −xa = a ou xb = a e xa = −a. Esta

propriedade nao e valida para movimentos

mais gerais em que xa 6= xb, os quais embora

ainda sejam movimentos harmonicos, nao

sao mais harmonicos simples. O modulo do

deslocamento maximo, isto e, (considerando

xb = a e xa = −a) a, e sempre considerado

positivo, e chama-se amplitude do movimento

harmonico simples.

Na figura 3.6, mostramos um exemplo de

um oscilador harmonico simples, o qual e cons-

tituıdo por um bloco de massa m preso a uma

mola ideal (mola com uma massa desprezıvel),

cuja a constante elastica ou constante da forca

e k, e que move-se sobre uma superfıcie ho-

rizontal livre de atrito. Note que na posicao


Figura 3.6: Um bloco de massa m preso a uma



x = 0.

de equilıbrio a mola nao exerce forca sobre o

bloco. Se o bloco e deslocado para a direita

(mola distendida), a forca exercida pela mola

sobre o corpo esta dirigida para a esquerda,

e e dada por F = −kx. Deslocando-se o

bloco para a esquerda (mola comprimida) a

forca ira apontar para a direita, sendo dada por

F = −kx. Devemos observar que o sinal nega-

tivo e que da o sentido correto da forca, pois

F = F x = −kx x. Para x > 0 a forca aponta

para a esquerda logo F = −k|x| x. Para x < 0

a forca aponta para a direita logo F = k|x| x.

Em cada caso a forca sempre esta apontando

para a posicao de equilıbrio do bloco, e quando

isto ocorre, chamamos esta forca de forca res-

tauradora. O movimento deste bloco oscilante

e um movimento harmonico simples.

Se ao deslocarmos uma partıcula da sua

posicao de equilıbrio, e a forca resultante so-

bre a partıcula sempre apontar para a posicao

de equilıbrio, esta forca sera chamada de forca

restauradora.

A equacao F = −kx e uma empırica conhe-

cida como Lei de Hooke. Ela e um caso espe-

cial de uma relacao mais geral, que descreve

a deformacao elastica dos corpos, descoberta

por Robert Hooke (1635-1703). As molas e

os outros corpos elasticos obedecem a tal lei,

desde que sua deformacao nao seja excessiva-

mente grande. Se o solido (ou mola) for defor-

mado alem de certo ponto, denominado limite

elastico, ele nao retornara a sua forma inicial

quando suprimirmos a forca aplicada. Ocorre

que a lei de Hooke e valida quase ate o limite

elastico, para a maioria dos materiais comuns.

O intervalo de valores das forcas aplicadas para

os quais e valida a lei de Hooke denomina-se

regiao proporcional. Alem do limite elastico, a

forca nao pode mais ser especificada por uma

funcao energia potencial (F (x) 6= −dUdx

), pois

a forca depende entao de muitos fatores, in-

clusive da rapidez da deformacao e da historia

previa do solido.

Note que a forca restauradora (F = −kx)e a funcao energia potencial (U(x) = 1

2kx2)

do oscilador harmonico sao as mesmas de um

solido deformado em uma dimensao, desde que

a deformacao esteja na regiao proporcional.

Se libertado, o solido deformado vibrara, tal

como o oscilador harmonico. Portanto en-

quanto a amplitude de vibracao se mantiver

suficientemente pequena, isto e, enquanto a de-

formacao permanecer na regiao proporcional,

as vibracoes mecanicas se comportam exata-

mente como osciladores harmonicos simples.

E facil generalizar essa discussao e mostrar

que qualquer problema que envolva vibracoes

mecanicas de pequenas amplitudes, em tres di-

mensoes, reduz-se a uma combinacao de oscila-

dores harmonicos simples. Na figura 3.7, mos-

tramos um modelo de um solido, no qual todas

as suas interacoes sao trocadas por molas.

Cordas ou membranas vibrantes, vibracoes

sonoras, as oscilacoes de atomos em solidos,

assim como as oscilacoes eletricas ou acusticas


Figura 3.7: Modelo de um solido

em uma cavidade, podem ser todas descritas

sob uma forma matematicamente identica a de

um sistema de osciladores harmonicos. A ana-

logia permite-nos resolver problemas em uma

area, usando as tecnicas desenvolvidas em ou-

tras areas. E e este fato que torna o oscilador

harmonico um dos mais importantes sistemas

fısicos, pois com ele conseguimos modelar um

grande numero de outros sistemas.

3.4 Estudo do Movimento

Harmonico Simples

Consideremos um oscilador harmonico sim-

ples, o qual e constituıdo por um corpo de

massa m presa a uma mola ideal (ver figura

3.6), cuja a constante elastica da mola e k e

que pode mover-se sobre uma superfıcie hori-

zontal lisa (sem atrito). A equacao de movi-

mento, que da a posicao da massa em funcao

do tempo, isto e x(t), e dada pelo uso da lei

de Hooke (F = −kx) e pela segunda lei de

Newton (F = md2xdt2

):

F = md2x

dt2= −kx

d2x

dt2= − k

mx.

Chamando

ω20 =

k

m=⇒ ω0 =

√k

m,

podemos escrever

d2x

dt2= −ω2

0x =⇒ d2x

dt2+ ω2

0x = 0. (3.13)

Agora iremos introduzir uma notacao muito

usada por fısicos e engenheiros, na qual as de-

rivadas em relacao ao tempo sao representadas

da seguinte forma:

dx

dt= x ⇒ Velocidade

d2x

dt2= x ⇒ Aceleracao

assim, a equacao anterior tambem pode ser es-

crita da seguinte forma:

x+ ω20x = 0. (3.14)

Agora, vamos buscar uma solucao para a

equacao acima. Olhando para a equacao

(3.13), devemos lembrar do calculo que as

unicas funcoes que ao serem derivadas duas ve-

zes, retornam em si mesmas a nao ser por um

fator multiplicativos, sao as funcoes seno, cos-

seno e a funcao exponencial. Como no caso

do oscilador harmonico a posicao x(t), oscila

com o tempo, entao so temos duas possıveis

funcoes que podem satisfazer a equacao acima,

a funcao seno e a funcao cosseno. Pois,

d

dtcos (ω0t) = −ω0 sen (ω0t)

d2

dt2cos (ω0t) = −ω2

0 cos (ω0t)

d

dtsen (ω0t) = −ω0 cos (ω0t)

d2

dt2sen (ω0t) = −ω2

0 sen (ω0t) .

Logo, as funcoes x(t) = a cos (ω0t) e x(t) =

b sen (ω0t), satisfazem a equacao (3.13), e sao


uma solucao para o problema e os coeficientes

a e b sao constantes a serem determinadas. En-

tretanto a solucao mais geral e dada pela soma

das duas solucoes encontradas. Assim,

x(t) = a cos (ω0t) + b sen (ω0t) (3.15)

Como a equacao que resolvemos a deri-

vada de mais alta ordem era uma derivada se-

gunda, entao a sua solucao geral devera apre-

sentar duas constantes a serem determinadas,

no nosso caso as constantes a e b. Mas a

equacao acima ainda pode ser reescrita em uma

forma mais conveniente se considerarmos que

as constantes a e b sao os lados de um triangulo

retangulo (ver figura 3.8 abaixo) onde,

Figura 3.8: Triangulo retangulo.

cos δ =a√

a2 + b2e sen δ =

b√a2 + b2

com,

δ = arctg

(b

a

)

Portanto, multiplicando e dividindo a eq.

(3.15) por√a2 + b2, temos:

x(t) =√a2 + b2

[a√

a2 + b2cos (ω0t) +

b√a2 + b2

sen (ω0t)

]

=√a2 + b2 [cos δ cos (ω0t) +

sen δ sen (ω0t)]

=√a2 + b2 cos (ω0t− δ) .

Podemos sem perda de generalidade esco-

lher a amplitude de oscilacao do oscilador

harmonico como sendo A =√a2 + b2, por-

tanto nossa solucao geral sera:

x(t) = A cos (ω0t− δ) .Devemos observar que esta solucao ainda

apresenta duas constantes a serem determina-

das, A e δ, pelas condicoes iniciais do pro-

blema. Vamos agora tentar estabelecer qual

e a periodicidade do movimento, ou seja, de

quanto em tempo este movimento se repete,

para isto, iniciaremos nossa analise observando

que:

cos (ω0t− δ) = cos (ω0t− δ − 2π)

= cos

[ω0

(t+

2π

ω0

)− δ

].

Devemos observar na expressao acima que

o termo 2πω

= T tem dimensao de tempo, e

que ao somarmos este tempo a um instante de

tempo t qualquer, o movimento da partıcula

ira se repetir novamente. Portanto a este in-

tervalo de tempo damos o nome de perıodo do

movimento, assim

T =2π

ω0

=⇒ ω0 =2π

T

T = 2π

√m

k.

Agora vamos definir a chamada frequencia

(ν) do movimento, que e dada pela razao en-

tre o numero de oscilacoes realizadas em um


determinado intervalo de tempo (∆t) por este

intervalo de tempo ∆t, ou seja,

ν =Numero de oscilacoes (ou voltas)

∆t=

1

T.

Como em um perıodo T , damos somente uma

volta, entao o numero de oscilacoes e uma em

um perıodo. Portanto,

1

ν=

2π

ω0

=⇒ ν =ω0

2π

ω0 = 2πν =⇒ ν =1

2π

√k

m. (3.16)

A frequencia nos da o numero de oscilacoes

por unidade de tempo. Por exemplo, considere

uma frequencia de 1.5 Hz, isto significa que a

partıcula da uma volta e meia em um segundo.

As unidades, das novas grandezas definidas

ate agora sao:

Sımbolo Nome Unidade

T Perıodo s

ω0 Frequencia Angular rad/s

ν Frequencia 1 Hertz

A Amplitude m

ω0t+ δ Fase radianos

δ Constante de fase radianos

Devemos ressaltar aqui que a solucao encon-

trada para a equacao do Oscilador Harmonico

Simples sera de grande ajuda em muitas si-

tuacoes fısicas que encontraremos, por exem-

plo: carga e descarga de um capacitor ligado

em serie com um indutor, sistemas de amorte-

cedores, modelo atomico da polarizabilidade,

etc. Em todos estes casos as equacoes que ire-

mos resolver sera a do oscilador harmonico a

qual ja conhecemos a solucao. O que ira mudar

sera o significado fısico das variaveis envolvi-

das. Por exemplo, a equacao de um capacitor

de capacitancia C ligado em serie com um in-

dutor de indutancia L e:

LdI

dt+

1

Cq = 0,

mas como I = dqdt

, logo

Ld2

dt2q +

1

Cq = 0,

d2

dt2q + ω2

0q = 0

onde

ω20 =

1

LC=⇒ ω0 =

√1

LC

Portanto a solucao desta equacao e dada por:

q(t) = Q cos (ω0t− δ) .

E toda a analise que fizemos e iremos fazer

para o caso do oscilador harmonico tambem

sera valida para a equacao acima, o que real-

mente ira importar e a forma da equacao

d2

dt2¤ + ω2

0¤ = 0

e nao a variavel ¤ seja ela qual for. Obvi-

amente os significados fısicos das variaveis ¤as quais estao descrevendo um determinado

fenomeno fısico serao diferentes.

3.4.1 Analise do Movimento

Se a posicao da partıcula e dada por:

x(t) = A cos (ω0t+ δ)

onde x(t) oscila com o tempo, como mostra

a figura 3.9 entao a velocidade da partıcula e

dada por

v(t) = x =d

dtx(t)

= −Aω0 sen (ω0t+ δ)


Figura 3.9: Posicao da partıcula em funcao do

tempo.

Figura 3.10: Velocidade da partıcula em

funcao do tempo.

tambem ira oscilar com o tempo mas esta defa-

sada de 90 com relacao a posicao da partıcula,

como mostra a figura 3.10.

Por sua vez, a aceleracao da partıcula e dada

por:

a(t) = x =d

dtv(t) =

d2

dt2x(t)

= −Aω20 cos (ω0t+ δ)

a qual tambem ira oscilar com o tempo mas

esta defasada de 180 com relacao a posicao

da partıcula e de 90 com relacao a velocidade,

como mostra a figura 3.11.

3.4.2 Condicoes Iniciais

Agora iremos determinar a amplitude A e a

constante de fase δ em funcao das condicoes

Figura 3.11: Aceleracao da partıcula em

funcao do tempo.

iniciais do sistema. Considerando que no ins-

tante t = 0 a partıcula se encontra na posicao

x0 (x(0) = x0) e com uma velocidade v0

(v(0) = v0), logo temos:

x(0) = x0 = A cos δ (3.17)

v(0) = v0 = −Aω0 sen δ (3.18)

Para encontrarmos a constante de fase δ

basta dividirmos a equacao (3.18) pela eq.

(3.17), assim obtemos

tg δ = − v0

ω0x0

=⇒ δ = arctg

(− v0

ω0x0

).

Para determinarmos a amplitude basta rees-

crevermos as equacoes (3.17) e (3.18) como:

A cos δ =x0 e A sen δ = − v0

ω0

Elevando ao quadrado e somando temos:

A2 cos2 δ+A2 sen2 δ = x20 +

(v0

ω0

)2

A2[cos2 δ+ sen2 δ

]= x2

0 +

(v0

ω0

)2

A2 = x20 +

(v0

ω0

)2

A =

√x2

0 +

(v0

ω0

)2

.

Aqui devemos salientar que a amplitude sera

sempre um numero positivo.



Simples: Solucao por

Conservacao de Ener-

gia

Considere uma partıcula de massa m osci-

lando sob a acao de uma forca restauradora

F = −kx x, cujo o potencial e U(x) = 12kx2,

logo a energia total desta partıcula (que neste

caso e constante, pois o sistema e conservativo)

e dada por:

E = T + U(x)

=1

2mv2 +

1

2kx2 = cte.

logo escrevendo v em termos de x e da energia

mecanica total, obtemos

1

2mv2 = E − 1

2kx2

isolando a velocidade na equacao acima pode-

mos escrever,

v =dx

dt= ±

√2E

m− k

mx2.

esta equacao pode ser escrita na forma diferen-

cial como

dx√2Em− k

mx2

= ±dt

Integrando a equacao acima entre os instan-

tes t = 0 e t, temos

√m

2E

∫ x(t)

x0

dx√1− k

2Ex2

= ±∫ t

0

dt

t = ±√

m

2E

∫ x(t)

x0

dx√1− k

2Ex2

Por uma questao de simplicidade faremos a

seguinte mudanca de variavel:

cos θ =

√k

2Ex

sen θ dθ = −√

k

2Edx

dx = −√

2E

ksen θ dθ.

Desta forma podemos escrever a integral ante-

rior como,

t = ∓√m

k

∫ θ(t)

θ0

sen θ dθ√1− cos2 θ

t = ∓√m

k

∫ θ(t)

θ0

dθ

Como ω20 = k

m, entao

t = ∓ 1

ω0

(θ(t)− θ0) =⇒ θ(t) = ∓ (ω0t+ θ0) ,

onde θ0 e uma constante de integracao que sera

determinada pelas condicoes inicias. Como

cos θ =

√k

2Ex e θ(t) = ∓ (ω0t+ θ0) ,

logo,

x(t) =

√2E

kcos (ω0t+ θ0) .

Olhando para a expressao da energia total,

e considerando o caso em que a energia poten-

cial da partıcula e maxima U = 12kA2 e a sua

energia cinetica e mınima T = 0, temos que:

E = 0 +1

2kA2 =⇒ A =

√2E

k,

logo, a posicao da partıcula pode ser reescrita

como,

x(t) = A cos (ω0t+ θ0) ,

que e a solucao geral obtida na secao anterior,

ja que θ0 e δ sao duas constantes de fase, que

serao determinadas pelas condicoes iniciais.



Simples e a Con-

servacao de Energia

Vamos escrever a posicao e a velocidade da

partıcula em funcao do tempo:


e

v(t) =dx

dt= −ω0A sen (ω0t+ δ)

Portanto a energia mecanica (total) do sis-

tema pode ser escrita como:

E = T + U =1

2mv2 +

1

2kx2

=1

2mω2

0A2sen2 (ω0t+ δ) +

1

2kA2cos2 (ω0t+ δ)

=1

2mk

mA2sen2 (ω0t+ δ) +

1

2kA2cos2 (ω0t+ δ)

=1

2kA2

[sen2 (ω0t+ δ) + cos2 (ω0t+ δ)

]

=1

2kA2.

Como o sistema e conservativo, a energia

mecanica e constante, ou seja, ela nao depende

do tempo. Da expressao anterior vemos que a

energia mecanica E so depende da amplitude

de oscilacao e da constante elastica k da mola.

Vamos agora, achar uma expressao para a

velocidade em funcao da posicao, como:

E =1

2kA2 =

1

2mv2 +

1

2kx2

1

2mv2 =

1

2kA2 − 1

2kx2

v2 =k

m

(A2 − x2

)= ω2

0

(A2 − x2

)

v(x) = ±ω0

√A2 − x2

Da expressao acima, vemos facilmente que a

velocidade sera maxima em x = 0, e neste caso

vmax = +ω0A, e ela e nula em x = ±A. Este

resultado e facilmente entendido, pois x = ±A,

sao os pontos de retorno, e neste pontos, a

partıcula deve parar para poder retornar. Na

figura 3.12, mostramos uma partıcula de massa

m, presa a uma mola de constante elastica k

oscilando sobre uma superfıcie sem atrito, en-

tre os ponto x = A e x = −A.

Figura 3.12: Um bloco de massam preso a uma



x = 0. A figura mostra a posicao, a velocidade

e a aceleracao do bloco.

Nos pontos x = ±A, a energia cinetica da

partıcula e nula e a energia potencial elastica U

e maxima e vale Umax. = 12kA2, e e a energia to-

tal do sistema. Ja no ponto x = 0, a partıcula

so tem energia cinetica, pois neste ponto toda

energia potencial elastica U da mola foi con-

vertida em energia cinetica T , e ela e igual a


Tmax. = 12mv2

max = 12mω2

0A2 = 1

2kA2.

A energia cinetica em funcao da posicao e

dada por:

T (x) =1

2mv2(x) =

1

2mk

m

(A2 − x2

)

=1

2k

(A2 − x2

)

Logo

U(x) =1

2kx2

e

T (x) =1

2k (A2 − x2)

Na figura 3.13, mostramos como variam as

energias em funcao da posicao.

Figura 3.13: Energia em funcao da posicao.

Agora vamos encontrar uma expressao para

a energia cinetica e para a energia potencial

em funcao do tempo:

T (t) =1

2mv2(t) =

1

2mω2

0A2sen2 (ω0t+ δ)

=1

2mk

mA2sen2 (ω0t+ δ)

T (t) =1

2kA2sen2 (ω0t+ δ)

A energia potencial elastica da mola e dada

por:

U(t) =1

2kx2 =

1

2kA2cos2 (ω0t+ δ)

U(t) =1

2kA2cos2 (ω0t+ δ)

Logo,

U(t) =1

2kA2cos2 (ω0t+ δ)

T (t) =1

2kA2sen2 (ω0t+ δ)

Na figura 3.14, mostramos como variam as

energias em funcao do tempo.

Figura 3.14: Energia em funcao do tempo.

3.7 Energias Medias

Agora vamos calcular a energia cinetica

media e a energia potencial media em um

perıodo de oscilacao. Para isto iremos tomar

o valor medio de uma funcao f(t) no intervalo

0 ≤ t ≤ T , o qual e definido como:

fmedio = f =1

T

∫ T

0

f(t)dt

Logo a energia potencial elastica media (U)

e:

U =1

T

∫ T

0

U(t)dt

=1

T

∫ T

0

1

2kA2cos2 (ω0t+ δ) dt

=kA2

2T

∫ T

0

cos2 (ω0t+ δ) dt


Como cos(A±B) = cosA cosB ∓ senA senB,

entao:

cos(2A) = cos(A+ A)

= cosA cosA− senA senA

= cos2A− sen2A

= cos2A− (1− cos2A

)

= 2cos2A− 1

assim,

cos2A =cos(2A) + 1

2=

1

2cos(2A) +

1

2.

Usando a expressao acima, podemos escre-

ver a energia potencial elastica media, como:

U =kA2

2T

1

2

∫ T

0

cos [2 (ω0t+ δ)] dt+1

2

∫ T

0

dt

=kA2

4T

1

2ω0

sen [2 (ω0t+ δ)]

∣∣∣∣T

0

+ t|T0

=kA2

4T

1

2ω0

[sen (2ω0T + 2δ)−

sen (2δ)] + (T − 0)

=kA2

4T

1

2ω0

[0] + T

=kA2

4TT =

kA2

4

=1

2E

Observe que sen (2ω0T + 2δ) = sen (2δ), pois

2ω0T = 22πTT = 4π e que sen (4π + 2δ) =

sen (2δ), portanto sen (2ω0T + 2δ)−sen (2δ) =

0.

A energia cinetica media e dada por:

T =1

T

∫ T

0

T (t)dt

=1

T

∫ T

0

1

2kA2sen2 (ω0t+ δ) dt

=kA2

2T

∫ T

0

sen2 (ω0t+ δ) dt

Como sen2 (ω0t+ δ) = 1 − cos2 (ω0t+ δ),

entao:

sen2 (ω0t+ δ) = 1− cos2 (ω0t+ δ)

= 1−

1

2cos [2 (ω0t+ δ)] +

1

2

=1

2− 1

2cos [2(ω0t+ δ)]

assim, de maneira analoga ao calculo da ener-

gia potencial elastica media, obtemos que a

energia cinetica media pode ser escrita como:

T =kA2

4=

1

2E

Portanto,

U = T =kA2

4=

1

2E.

3.8 Oscilador Harmonico e

o Movimento Circular

Uniforme

Agora iremos estudar a relacao entre o mo-

vimento harmonico simples e o movimento cir-

cular uniforme. Inicialmente consideremos um

disco, ao qual fixamos uma pequena haste

metalica, e que gira com uma velocidade an-

gular ω0 constante. Usando uma lanterna faze-

mos projetar a sua sombra sobre uma tela (ver

Fig. 3.15). Ao observarmos a sombra da haste

metalica, vemos que a mesma realiza um movi-

mento harmonico simples, com uma frequencia

angular ω0, igual a velocidade angular com que

o disco gira.

Na Fig. (3.16) abaixo, mostramos uma

partıcula que realiza um movimento circular

uniforme com uma velocidade angular ω0 cons-

tante, sobre um cırculo de raio A. A velocidade

tangencial da partıcula tem um modulo cons-

tante e igual a v = ω0A. Vamos decompor


Figura 3.15: Sombra do movimento de um

disco.

Figura 3.16: Movimento circular uniforme.

o vetor posicao e o vetor velocidade nas suas

componentes x e y, obtendo assim:

x(t) = A cos θ (t) e y(t) = A sen θ (t)

vx(t) = −v sen θ (t) e vy(t) = v cos θ (t)

mas como o modulo da velocidade e v = ω0A,

e θ (t) = ω0t+ δ logo


vx(t) = −ω0A sen (ω0t+ δ)

y(t) = A sen (ω0t+ δ)

vy(t) = ω0A cos (ω0t+ δ) ,

o que e equivalente a:

vx(t) =dx

dt= x = −ω0A sen (ω0t+ δ)

vy(t) =dy

dt= y = ω0A cos (ω0t+ δ) ,

O movimento circular uniforme e um mo-

vimento que tem uma aceleracao centrıpeta,

ou seja, a aceleracao deste movimento so ira

mudar a direcao do vetor velocidade, nao al-

terando o seu modulo, logo ela deve ser per-

pendicular ao vetor velocidade. A aceleracao

centrıpeta aponta para o centro e e um vetor

com sentido oposto ao vetor posicao, portanto

ela poderia ser escrita como:

ax(t) = −a cos θ (t)

ay(t) = −a sen θ (t)

Como o modulo da aceleracao centrıpeta e

dado por:

a =v2

r=

(ω0A)2

A= ω2

0A,

e θ (t) = ω0t+ δ entao

ax(t) = −ω20A cos (ω0t+ δ)

ay(t) = −ω20A sen (ω0t+ δ) .

O resultado anterior tambem pode ser obtido

usando o fato de que:

ax(t) =dvx

dt= vx = −ω2

0A cos (ω0t+ δ)

ay(t) =dvy

dt= vy = −ω2

0A sen (ω0t+ δ)

Do que foi visto ate agora, podemos concluir

que o movimento circular e composto por dois

movimentos harmonicos simples um na direcao

x e outro na direcao y, entretanto o movi-

mento na direcao x esta defasado de π2

(90)

em relacao ao movimento na direcao y, pois:

cos(ω0t+ δ − π

2

)= sen (ω0t+ δ) .


Portanto o movimento circular esta relacio-

nado a estes dois movimentos harmonicos da

seguinte forma:

r2 = x2(t) + y2(t) = A2

r = A =√x2(t) + y2(t)

v2 = v2x(t) + v2

y(t) = ω20A

2

v = ω0A =√v2

x(t) + v2y(t)

a2 = a2x(t) + a2

y(t) = ω40A

2

a = ω20A =

√a2

x(t) + a2y(t).

3.9 Pendulo Simples

Considere um pendulo, constituıdo por um

corpo de massa m, presa a extremidade de um

fio de massa desprezıvel e comprimento L. Se o

deslocarmos de sua posicao de equilıbrio de um

angulo φ muito pequeno e o soltarmos ele ira

oscilar em torno de sua posicao de equilıbrio

(nao estamos considerando o atrito), conforme

a Fig. 3.17 abaixo.

O movimento do pendulo e harmonico sim-

ples somente se o angulo o qual o desloca-

mos de sua posicao de equilıbrio for pequeno,

ou ainda, se sua amplitude de oscilacao for

pequena. Na Fig. 3.17 colocamos as forcas

que atuam sobre o corpo de massa m, que

sao o seu proprio peso mg e a tensao T que

do fio. Quando o fio faz um angulo φ com

a vertical, as componentes da forca peso ao

longo das direcoes tangencial e radial a tra-

jetoria do objeto sao respectivamente mg senφ

e mg cosφ. A componente tangencial da forca

peso mg senφ sempre aponta para a posicao de

equilıbrio, logo podemos dizer que ela e uma

forca restauradora. Seja S o comprimento do

Figura 3.17: Pendulo realizando um movi-

mento harmonico simples.

arco descrito pelo corpo, quando o fio forma

um angulo φ com a vertical, medido a partir do

ponto mais baixo da trajetoria. A relacao en-

tre o comprimento do arco e o angulo φ (angulo

medido em radianos) em e:

S = Lφ.

A forca resultante devido as componentes ra-

diais das forcas que atuam sobre o corpo e:

T −mg cosφ = mLφ2.

A forca resultante devido as componentes

tangenciais das forcas que atuam sobre o corpo

e,

FR = ma = md2S

dt2= −mg senφ

d2(Lφ)

dt2+ g senφ = 0

Ld2φ

dt2+ g senφ = 0


d2φ

dt2+

( gL

)senφ = 0.

Se S for muito menor do que L, o angulo

φ = SL

e pequeno e podemos aproximar senφ

por φ. Na tabela abaixo mostramos quao boa

e esta aproximacao:

φ (Graus) φ (Radianos) senφ

1 0,017453 0,017452

2 0,034906 0,034899

3 0,052360 0,052336

4 0,069813 0,069756

5 0,087266 0,087156

6 0,104720 0,104528

7 0,122173 0,121869

8 0,139626 0,139173

9 0,157080 0,156434

10 0,174533 0,173648

Tabela 3.1: Comparacao entre o angulo me-

dido em radianos o valor do seno deste mesmo

angulo.

Entao se considerarmos angulos pequenos

podemos fazer a aproximacao senφ ≈ φ, as-

sim:d2φ

dt2+

( gL

)φ = 0.

que e uma equacao de um oscilador harmonico

simples, cuja a solucao e dada por:

φ(t) =φ0 cos (ωt+ δ)

onde ω e a frequencia angular que e dada por:

ω0 =2π

T=

√g

L,

logo o perıodo de oscilacao de um pendulo sim-

ples e

T = 2π

√L

g.

Em alguns experimentos de medida da ace-

leracao da gravidade g, sao feitos usando o

pendulo simples. Para isto, basta medir o com-

primento L do pendulo e o perıodo T de os-

cilacao do mesmo (lembre-se, o pendulo deve

oscilar com uma pequena amplitude), determi-

nando o tempo de uma oscilacao. (Usualmente

mede-se o tempo necessario para n (∼ 10) os-

cilacoes e depois divide-se o resultado por n, a

fim de se reduzir o erro na medicao do tempo.

O numero n de oscilacoes tambem nao pode

ser muito grande senao fatores como o atrito ja

irao ter uma grande influencia nos resultados.)

A aceleracao da gravidade g e entao determi-

nada usando a seguinte expressao:

g =4π2L

T 2.

Quando a amplitude de oscilacao de um

pendulo simples nao for pequena, o seu movi-

mento sera periodico, mas nao sera harmonico

simples.

3.10 Oscilador Vertical

Consideremos um bloco de massa m sus-

penso verticalmente por uma mola de cons-

tante elastica k e comprimento natural `0, con-

forme a figura 3.35 abaixo. Escolhendo o eixo y

orientado verticalmente e tendo o mesmo sen-

tido da forca peso com a origem do eixo sobre

a posicao de equilıbrio da mola livre.

Sobre o bloco atua a forca peso mg e a forca

devido a mola −ky, devido a segunda lei de

Newton temos

md2y

dt2= my = mg − ky.

Quando o bloco se encontra em equilıbrio,

temos que a sua posicao de equilıbrio y0 e dada

por

y0 =mg

k.


Figura 3.18: Um bloco de massa m sus-

penso verticalmente por uma mola de cons-

tante elastica k.

Esta e a posicao em torno da qual o bloco ira

oscilar, assim podemos escrever a equacao de

movimento da seguinte forma,

y + ω20(y − y0) = 0

na qual usamos ω20 = k/m. Definindo uma

nova variavel Y = y − y0, assim temos que

nova equacao de movimento e dada por,

Y + ω20Y = 0,

cuja solucao e

Y (t) = A cos (ω0t+ δ) ,

logo, temos

y(t) = y0 + A cos (ω0t+ δ) .

Portanto, pode-se concluir que o efeito da

gravidade foi somente deslocar de y = 0 para

y = y0 a posicao em torno da qual o bloco

oscila. Quando o corpo se desloca de Y em

torno da posicao de equilıbrio y0 forca que atua

sobre ele e −kY .

Quanto a energia, quando o bloco esta em

equilıbrio ele tem uma energia potencial gravi-

tacional Ug = −mgy0 e uma energia potencial

elastica que e dada por UE = 12ky2

0, portanto a

energia potencial total do bloco e

UT = −mgy0 +1

2ky2

0,

entretanto, como ky0 = mg, entao temos que

UT = −1

2ky2

0.

Ao deslocarmos o bloco da sua posicao de

equilıbrio y0 para uma nova posicao y0 + y, a

sua nova energia potencial sera

U = −mg(y0 + y) +1

2k(y0 + y)2

= −1

2ky2

0 +1

2ky2

Como a energia potencial e sempre a energia

potencial elastica devido ao deslocamento da

mola em relacao a posicao de equilıbrio mais

a energia potencial da posicao de equilıbrio,

que e constante, entao como a energia poten-

cial independe do referencial no qual ela e me-

dida, pode-se escolher um novo referencial para

medir a energia potencial gravitacional de tal

modo que a energia potencial total do ponto

de equilıbrio seja nula e temos um oscilador

harmonico simples, sem a necessidade de in-

cluir a energia potencial gravitacional, assim

temos que

U =1

2ky2,

em que y e o deslocamento em relacao a posicao

de equilıbrio y0.

3.11 Osciladores Acopla-

dos

Considere um sistema constituıdo por duas

partıculas de massas m1 e m2 ligadas por


uma mola de massa desprezıvel e de cons-

tante elastica k, conforme a Fig. 3.19 abaixo.

Admita que as partıculas so podem mover-se

numa dimensao e que a unica forca que atua

sobre elas e a forca restauradora da mola.

Figura 3.19: Dois blocos de massas m1 e m2,

presos a uma mola de constante elastica k, so-

bre uma superfıcie horizontal sem atrito.

Se ` e o comprimento de equilıbrio da mola

(mola livre) e x1 e x2 as posicoes das partıculas

em relacao a uma origem O arbitraria (ver Fig.

3.19), a deformacao da mola e dada por:

x = (x2 − x1)− l (3.19)

de modo que as forcas restauradoras sobre as

partıculas sao (aqui iremos considerar que a

mola esta distendida, portanto x > 0)

F1 = −F2 = kx

m1x1 = kx

m2x2 = −kxMultiplicando a equacao da partıcula 1 por

m2 e a equacao da partıcula 2 por m1, obtemos

que:

m2m1x1 = m2kx

m1m2x2 = −m1kx

subtraindo uma da outra,

m1m2 (x2 − x1) = −(m1 +m2)kx

Ao derivarmos a duas vezes a equacao (3.19)

com relacao ao tempo, obtemos que x = x2 −x1, assim

m1m2

m1 +m2

x = −kx

logo,

x+

(m1 +m2

m1m2

)kx = 0.

Definido a massa reduzida (µ) de um sistema

de duas partıculas como:

1

µ=

1

m1

+1

m2

⇒ µ =m1m2

m1 +m2

.

entao, a equacao de movimento pode ser rees-

crita como

x+

(k

µ

)x = 0 ⇒ x+ ω2

0x = 0,

cuja a solucao e dada por,

x(t) = A cos (ω0t+ δ) ,

na qual a frequencia angular e dada por

ω0 =2π

T=

√k

µ⇒ T = 2π

√µ

k.

A velocidade e aceleracao de cada partıcula

sao dadas por,

v(t) = x =d

dtx(t) = −Aω0 sen (ω0t+ δ)

a(t) = x =d2

dt2x(t) = −Aω2

0 cos (ω0t+ δ)

mas como x = (x2 − x1)− l, entao

v(t) = x =d

dtx(t) = x2 − x1 = v2(t)− v1(t)

a(t) = x =d2

dt2x(t) = x2 − x1 = a2(t)− a1(t)

As energias potencial e cinetica de um osci-

lador harmonico simples constituıdos de dois

corpos sao expressas como:

U(x) =1

2kx2 e T =

1

2µv2.

Devemos ressaltar aqui que a energia

cinetica T = 12µv2 e a energia cinetica interna

do sistema oscilante. A energia do centro de

massa e a energia total interna se conservam se-

paradamente. A translacao do centro de massa

nao afetara a oscilacao.


Exercıcio: Usar o fato de que

E =1

2kA2 = U + T

para determinar uma expressao para a ener-

gia cinetica em funcao da posicao e outra em

funcao do tempo.

3.12 Determinacao da

frequencia Natural ω0

Um sistema que oscila livremente, por mais

complexo que ele seja, ira oscilar com um

frequencia natural ω0. Entao para descrever-

mos a evolucao temporal do sistema, basta

determinarmos a frequencia natural ω0 de os-

cilacao do sistema. A seguir, discutiremos al-

gumas maneiras de determinarmos ω0 para di-

versos tipos de sistemas.

Exemplo 33 A figura 3.21 abaixo mostra

uma barra que gira em torno de um ponto a

um distancia c do centro de massa da barra. As

molas sao identicas, tendo a mesma constante

elastica k e comprimento natural. A barra esta

na horizontal e em equilıbrio com as forcas da

mola F1 e F2. Determine a equacao de movi-

mento e a sua frequencia natural ω0.

Figura 3.20: Barra equilibrada por duas molas

identicas.

Solucao: Considere que o sistema oscila har-

monicamente com uma amplitude θ0, a par-

tir da sua posicao de equilıbrio estatica. No

equilıbrio, o torque resultante N e nulo, logo

considerando que o sistema esta girando no

sentido horario temos que

F1a+mgc− F2b = 0.

Ao deslocarmos o sistema de um angulo θ (θ ¿1) da sua posicao de equilıbrio, as novas forcas

nas extremidades da barra sao dadas por,

f1 = F1 − kaθ e f2 = F2 + kbθ.

Portanto o torque resultante sobre o sistema

N = Iθ sera

Iθ = f1a+mgc− f2b

= F1a+mgc− F2b− k(a2 + b2

)θ

Usando a condicao de equilıbrio, encontramos

que a equacao diferencial que descreve o movi-

mento e dada por

θ +k (a2 + b2)

Iθ = 0,

Assim, a frequencia natural de oscilacao do

sistema e dada por

ω0 =

√k (a2 + b2)

I.

Exemplo 34 Considere um cilindro de densi-

dade ρc tal que ρc < ρH2O. Este cilindro tem al-

tura H e raio da base R. Ao ser colocado sobre

a agua ele ira flutuar com uma parte submersa.

(a) Determine o quanto ficara submerso e (b)

a frequencia de oscilacao em torno deste ponto.

Solucao: (a) Considere que o sistema os-

cila harmonicamente com uma amplitude z0

em torno de sua posicao de equilıbrio estatica

ze. No equilıbrio, a forca resultante F = P+E

e nula, logo

E −mg = 0

E = mg

ρH2OπR2(H − ze)g = ρcHπR

2g


Figura 3.21: Cilindro oscilando na superfıcie

da agua.

Portanto, a posicao de equilıbrio e dada por,

ze =

(1− ρc

ρH2O

)H.

(b) Ao afundarmos um pouco o cilindro e

soltarmos o mesmo, ele passara a oscilar em

torno de ze. Neste caso a forca de empuxo e

um pouco maior que a forca peso, logo a forca

resultante sobre o sistema e

mz = ρH2OπR2(H − ze − z)g − ρcHπR

2g

= ρH2OπR2(H − ze)− ρcHπR

2g −ρH2OπR

2z

ρcHπR2z = −ρH2OπR

2z

a qual pode ser escrita como

z +

(ρH2O

ρc

g

H

)z = 0.

Portanto, a frequencia natural de oscilacao do

sistema e dada por

ω0 =

√ρH2O

ρc

g

H.

3.12.1 Metodo da Energia

Em um sistema conservativo a energia total

e constante, e a equacao diferencial do movi-

mento tambem pode ser obtida pelo princıpio

da conservacao da energia. Os sistemas que

oscilam livres de qualquer tipo de amorteci-

mento, e energia total do sistema e parcial-

mente cinetica e parcialmente potencial. A

energia cinetica T e armazenada pela massa,

devido a sua velocidade, enquanto a potencial

U e armazenada na forma da tensao da de-

formacao elastica ou pelo trabalho realizado

pela forca elastica em um campo de forca, tal

como o gravitacional. Como, a energia total e

constante, entao,

E = T + U = cte. (3.20)

portanto,

dE

dt=

d

dt(T + U) = 0. (3.21)

Se estivermos interessados somente na

frequencia natural do sistema ω0, ela pode ser

determinada, se considerarmos que em dois

pontos A e B quaisquer temos

TA + UA = TB + UB. (3.22)

Se o ponto A for o da posicao de equilıbrio

estatico, entao UA = 0 e E = TA, ou seja, a

energia cinetica e maxima neste ponto. Consi-

dere o ponto B, aquele correspondente ao des-

locamento maximo, ou seja, TB = 0 e E = UB.

Com estas escolhas, temos

TA = UB −→ Tmax. = Umax.. (3.23)

A equacao anterior conduz diretamente a

frequencia natural ω0, como podemos ver no

caso do oscilador harmonico simples em que

Umax. = 12kA2 e Tmax. = 1

2mA2ω2

0, da igualdade

entre estas duas relacoes tiramos que no caso

do oscilador harmonico simples ω0 =√k/m.

A razao entre as duas expressoes produz,

Tmax.

Umax.

= 1 =12mA2ω2

012kA2

=mω2

0

k(3.24)


Figura 3.22: Sistema de polias com mola.

Exemplo 35 Determine a frequencia natural

do sistema mostrado na figura 3.22 abaixo.

Solucao: Considere que o sistema esta osci-

lando harmonicamente com uma amplitude θ,

a partir da sua posicao de equilıbrio estatica.

A energia cinetica maxima do sistema e dada

por

Tmax. =1

2m(rθmax.)

2 +1

2Iθ2

max., (3.25)

enquanto a energia potencial maxima e

Umax. =1

2k(Rθmax.)

2 (3.26)

onde consideramos o zero de energia poten-

cial gravitacional no ponto mais baixo, ou seja,

quando a amplitude da mola e maxima.

Observe que θmax = ω0θmax e como Tmax. =

Umax., encontramos que a frequencia natural ω0

e dada entao por

ω0 =

√kR2

mr2 + I. (3.27)

Este resultado tambem pode ser obtido,

usando a chamada 2a¯ lei de Newton para a

rotacao, a qual estabelece que

Iθ = −kR2θ + Tr (3.28)

entretanto, ao aplicarmos a 2a¯ lei de Newton

ao bloco de massa m, obtemos que

mg − T = ma = mrθ. (3.29)

Isolando a tensao T na equacao acima obte-

mos que T = mg − mrθ, portanto, o torque

resultante sera dado por

Iθ = −kR2θ +mgr −mr2θ. (3.30)

Desta forma, a equacao diferencial que des-

creve o movimento e

θ +kR2

mr2 + I

(θ − mgr

kR2

)= 0 (3.31)

que e uma equacao de oscilador harmonico

cuja frequencia natural e dada por

ω0 =

√kR2

mr2 + I. (3.32)

Exemplo 36 Um cilindro de massa m e raio

r rola sem deslizar sobre a superfıcie interna de

um cilindro de raio R, conforme a figura 3.23

abaixo. Determine (a) equacao diferencial do

movimento para pequenas oscilacoes em torno

do ponto mais baixo e (b) a frequencia natural

de oscilacao do sistema.

Figura 3.23: Cilindro de raio r rolando sem

deslizar sobre a superfıcie interna de um cilin-

dro de raio R.

Solucao: Considere que o sistema esta osci-

lando harmonicamente com uma amplitude θ0,


a partir da sua posicao de equilıbrio estatica.

Para que o cilindro role sem deslizar sobre a

superfıcie do outro, devemos impor que a ve-

locidade do centro de massa (CM) do cilindro

menor VCM = rφ deve ser igual a velocidade

de translacao do seu CM em torno do eixo do

cilindro de raio R Vt = (R − r)θ. Assim, este

vınculo impoe que

rφ = (R− r)θ (3.33)

A energia cinetica do sistema e dada por

T =1

2m(R− r)2θ2 +

1

2Iφ2, (3.34)

onde o momento de inercia de um cilindro de

raio r em torno do seu CM e I = 12mr2.

Usando a equacao de vınculo (3.33), a energia

cinetica deste sistema pode ser escrita como

T =3

4m(R− r)2θ2.

Ja a energia potencial do sistema, conside-

rando o zero como sendo o ponto mais baixo

da trajetoria, e

U = mg(R− r)(1− cos θ).

A energia mecanica do sistema E = T + U

e conservada, portanto,

dE

dt= 0

0 =d

dt

[3

4m(R− r)2θ2+

mg(R− r)(1− cos θ)

]

=

[3

2m(R− r)2θ +mg(R− r) sen θ

]θ.

Portanto, a equacao diferencial que descreve o

movimento e

θ +2g

3(R− r) sen θ = 0,

entretanto, para pequenas oscilacoes sen θ ∼ θ,

logo esta equacao pode ser reescrita como

θ +2g

3(R− r)θ = 0,

que e a equacao diferencial de um oscila-

dor harmonico, cuja frequencia natural de os-

cilacao e

ω0 =

√2g

3(R− r) . (3.35)

3.12.2 Metodo de Rayleigh:

Massa Efetiva

O metodo da energia pode ser usado em siste-

mas com massas distribuıdas, quando o movi-

mento de cada ponto do sistema e conhecido.

Em sistemas nos quais as massas estao liga-

das por juncoes rıgidas, como em trampolins,

ou engrenagens, etc, o movimento das varias

massas pode ser expresso em termos do movi-

mento de um ponto x especıfico do sistema, e

neste caso, o sistema tera somente um grau de

liberdade, pois so necessitamos de uma coor-

denada para descreve-lo. A energia cinetica de

um sistema como este pode ser escrita como

T =1

2mef x

2,

onde mef e a massa efetiva ou massa equiva-

lente no ponto especıfico. Se a rigidez elastica

k naquele ponto tambem for conhecida, entao

a frequencia natural de oscilacao do sistema

poder ser calculada por

ω0 =

√k

mef

.

Em sistemas de massas distribuıdas tais

como em molas e barras, o conhecimento da

distribuicao da amplitude da vibracao torna-se

necessario, antes que a energia cinetica possa


ser calculada. Lord Rayleigh2 mostrou que

com uma hipotese razoavel para a forma da

amplitude da vibracao e possıvel levar em

conta as massas das molas, antes ignoradas

e obter uma estimativa mais realista para a

frequencia natural de oscilacao do sistema.

Exemplo 37 Determine o efeito da massa da

mola sobre sua frequencia natural. Para isto

considere um bloco de massa M , preso a uma

mola de tamanho `, massa m e constante

elastica k.

Figura 3.24: bloco de massa M , preso a uma

mola de tamanho `, massa m e constante

elastica k.

Solucao: Mostraremos que o efeito da inercia

da mola e equivalente a adicionarmos uma

massa mef ao bloco de massa M . Entao, a

energia total do sistema e

T =1

2(mef +M)X2,

onde X e a coordenada do bloco de massa M ,

cuja a origem e medida a partir do equilıbrio

do sistema, a mola nao esta nem comprimida

e nem distendida. De fato, X representa a dis-

tensao ou compressao da mola toda.

Seja x a coordenada ao longo do eixo da

mola de uma pequena regiao da mola, que tem

2John W. Strutt, em seu livro The Theory of Sound,Vol. 1, 2nd. rev. ed., New York, 1937, editora Dover,na pag. 109-110

um comprimento dx e uma massa dm = λdx,

onde λ e a densidade linear de massa da mola

e λ = m/`. Considerando a funcao u(x, t)

como sendo a distensao ou compressao linear

da mola ate o ponto x e que 0 ≤ x ≤ `. Aqui

` esta representando a extremidade da mola.

Esta funcao deve ser tal que u(0, t) = 0 e

u(`, t) = X, e razoavel tambem considerarmos

que a distensao ou compressao de cada pequeno

pedaco da mola seja diretamente proporcional

da distensao total da mola e inversamente pro-

porcional ao comprimento natural da mola, as-

sim

u(x, t) =X

`x

Com isto podemos escrever a energia

cinetica do elemento de massa dm, como sendo

dT =1

2

(∂u

∂t

)2

dm =1

2

(X

`x

)2m

`dx,

a partir da qual a energia cinetica total da mola

Tm e

Tm =

∫ `

0

dT =mX2

2`3

∫ `

0

x2dx =1

2

m

3X2,

Portanto, a massa efetiva devido a mola e

mef = M+m/3, assim a energia cinetica total

do sistema bloco mola e

T =1

2(m

3+M)X2,

e a frequencia natural de oscilacao do sistema

poder obtida

ω0 =

√k

m/3 +M.

3.13 Oscilacoes

Harmonicas em duas

Dimensoes

Analisaremos a seguir, o movimento de

uma partıcula com dois graus de liberdade.


Consideraremos que sobre a partıcula atua

uma forca restauradora, que e proporcional a

distancia da partıcula a origem do sistema, ou

seja,

F = −krAs equacoes de movimento para as coordena-

das x e y podem ser escritas como,

Fx = mx = −kxFy = my = −ky =⇒

x = −ω2

0x

y = −ω20y

onde,

ω0 =

√k

m,

e as suas solucoes sao

x = A cos(ω0t− α)

y = B cos(ω0t− β). (3.36)

Portanto, a partıcula executa um MHS nas

direcoes x e y com a mesma frequencia mas

com amplitudes e fases diferentes. Podemos

obter a equacao para a trajetoria da partıcula

eliminando o tempo entre as duas equacoes.

Para escreveremos a funcao y(t) como

y(t) = B cos [(ω0t− α) + (α− β)]

= B cos (ω0t− α) cos(α− β)−B sen (ω0t− α) sen(α− β).

Definindo,

δ ≡ α− βθ ≡ ω0t− α

e notando que,

x

A= cos(ω0t− α) = cos θ,

assim,

y(t) =B

Ax cos δ − B

A

√A2 − x2 sen δ

Ay −Bx cos δ = −B√A2 − x2 sen δ

elevando ao quadrado ambos os lados, obtemos

que

A2y2 − 2ABxy cos δ +B2x2 cos2 δ =

A2B2 sen2 δ −B2x2 sen2 δ

A2y2 +B2x2 − 2ABxy cos δ = A2B2 sen2 δ

(3.37)

A natureza da trajetoria de uma equacao

quadratica geral da forma3

Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F = 0, (3.38)

e uma conica ou uma conica degenerada. A

conica e classificada de acordo com o valor do

discriminante ∆, definido como

∆ = B2 − 4AC.

Se

∆ > 0 −→ uma hiperbole

∆ = 0 −→ uma parabola

∆ < 0 −→ uma elipse

(3.39)

O Discriminante da equacao (3.37) e dado

por,

∆ = 4A2B2 cos2 δ − 4A2B2 = −4A2B2 sen2 δ,

o qual e negativo. Portanto a trajetoria e uma

elipse e o movimento e chamado de Movimento

harmonico elıptico. O eixo maior da elipse faz

um angulo α com o eixo x, de tal modo que

tg(2α) =B

A− C .

no caso da equacao quadratica de forma geral,

eq. (3.38). No nosso caso temos que entao que

tg(2α) =−2AB cos δ

B2 − A2=

2AB cos δ

A2 −B2.

3Para maiores detalhes veja o capitulo 12 sobreconicas do livro do Louis Leithold, O Calculo com Ge-ometria Analıtica, Vol. 1, 2a

¯ edicao, Editora Harbra,Sao Paulo 1982. O Resultado final encontra-se na pag.500.


A seguir faremos uma analise de alguns casos

particulares. Para tal, ao dividirmos todos os

termos da eq. (3.37) por A2B2, obtemos

( yB

)2

+ 2xy

(cos δ

AB

)+

( xA

)2

= sen2 δ.

Conforme veremos a seguir, a trajetoria da

partıcula depende das amplitudes A e B, e da

diferenca de fase δ. Consideremos inicialmente

o caso em que δ = ±π/2, entao a equacao an-

terior se reduz a equacao de uma elipse,

( yB

)2

+( xA

)2

= 1 Elipse p/ δ = ±π2

Na figura abaixo mostramos esta trajetoria.

Figura 3.25: Equacao de uma elipse, para uma

fase δ = ±π/2.

Se as amplitude forem iguais, A = B = R e

δ = ±π/2, temos o caso especial de um movi-

mento circular, ou seja,

y2 + x2 = R2 Circunferencia p/ δ = ±π2.

Na figura 3.26 abaixo mostramos esta tra-

jetoria.

Agora, vamos considerar o caso em que a

fase δ = 0, assim

A2y2 +B2x2 − 2ABxy = 0,

a qual, ao ser fatorada pode ser escrita como,

(Bx− Ay)2 = 0,

Figura 3.26: Equacao de uma circunferencia,

para uma fase δ = ±π/2, e amplitudes iguais,

A = B = R.

que e a equacao de uma reta, ou seja,

y =B

Ax Reta p/ δ = 0.

Similarmente, a fase δ = ±π, produz uma

reta com uma inclinacao oposta, ou seja,

y = −BAx Reta p/ δ = ±π.

Na figura abaixo mostramos esta trajetoria.

Figura 3.27: Equacao de uma reta, para uma

fase δ = 0.


Voce pode mostrar (faca isto) que se 0 <

δ < π, a partıcula gira no sentido horario. Ao

contrario, se π < δ < 2π, ela gira no sentido

anti-horario (para simplificar, faca α = δ e β =

0 na eq. (3.36).

Voce tambem pode mostrar que as tra-

jetorias para outros valores de δ sao elipses.

A figura 3.30 mostra a trajetoria da partıcula

para δ = π/3.

Na figura 3.28, mostramos as trajetorias

para A = B e diferentes valores da fase δ.

Figura 3.28: Trajetorias para diferentes valores

da fase δ.

Em um caso mais geral de oscilacoes em duas

dimensoes, as frequencias dos movimentos nas

direcoes x e y nao precisam ser iguais, e pode-

mos escrever

x = A cos(ωxt− α)

y = B cos(ωyt− β)

Neste caso, as trajetorias nao sao mais elip-

ses, e recebem a denominacao de curvas de

Lissajous. Se a razao ωx/ωy puder ser escrita

com sendo a razao entre dois numeros intei-

ros a curva sera fechada. Para entender esta

afirmacao considere que ωx/ωy = 2/3. Isto

quer dizer que a partıcula executa 2 oscilacoes

no eixo x enquanto executa 3 oscilacoes no eixo

y. Apos isto, ela estara novamente no mesmo

ponto com a mesma velocidade. Se ωx/ωy nao

for um numero racional a curva sera aberta, ou

seja, a partıcula nunca passa duas vezes pelo

mesmo ponto com a mesma velocidade. De-

pois de um tempo infinito ela tera passado por

todos os pontos do retangulo.

Nas figuras 3.29, 3.30 e 3.31 abaixo mostra-

mos a trajetoria no espaco de fase para al-

guns casos em que ωy = 2ωx e as diferencas

de fase sao de δ = 90, δ = 60 e δ = 0. Note

que a partıcula oscila duas vezes no eixo y en-

quanto oscila uma vez no eixo x, no caso em

que δ = 90.

Figura 3.29: Figura de Lissajous para o caso

em que ωy = 2ωx e a diferenca de fase e δ = 90.






3.14 Diagramas de Fase

Se as forcas que atuam sobre uma partıcula

forem conhecidas, o seu movimento pode ser

completamente determinado, desde que se co-

nheca a sua posicao e a sua velocidade em um

instante qualquer (condicoes iniciais). Para o

movimento em uma dimensao, as quantidades

x(t) e x(t) sao as coordenadas de um ponto

P (x, x) em um espaco bidimensional, chamado

espaco de fase. A medida que o tempo passa, o

ponto descrevendo o estado da partıcula move-

se ao longo de uma trajetoria no espaco de fase,

chamada caminho de fase. Para condicoes ini-

ciais diferentes, o movimento e descrito por ca-

minhos de fase diferentes. O espaco de fase de

uma partıcula em um movimento unidimensi-

onal tem dois graus de liberdade, e geralmente,

e chamado de plano de fase. O espaco de fase

de uma partıcula que se move em 3 dimensoes

tem 6 coordenadas. Para um sistema contendo

N partıculas, o espaco de fase possui 6N coor-

denadas.

Para um oscilador harmonico simples,x = A cos(ω0t− α)

x = −ω0A sen(ω0t− α)

Pode-se eliminar o tempo t destas equacoes,

observando que cos(ω0t − α) = x/A e que

sen(ω0t − α) = −x/(ω0A), desta forma a tra-

jetoria da partıcula e dada por:

( xA

)2

+

(x

ω0A

)2

= 1 (3.40)

que e a equacao de uma elipse. Como a energia

mecanica de um oscilador harmonico simples e

dada por

E =1

2kA2 =

1

2mω2

0A2

pode-se usar esta relacao para reescrever a e

equacao da elipse como,

(x√

2E/k

)2

+

(x√

2E/m

)2

= 1

A figura 3.32 abaixo mostra tres caminhos

de fase para um oscilador harmonico simples.

Note que os semi-eixos da elipse sao proporci-

onais a√E; para cada valor de E temos um

caminho de fase diferente. A energia nao muda

ao longo de um caminho de fase porque e uma

constante de movimento.

Figura 3.32: Diagrama de fase, de um sistema

conservativo. Para cada energia E, temos uma

trajetoria fechada no espaco de fase.


No MHS a aceleracao e sempre contraria ao

deslocamento de forma que a velocidade e de-

crescente para x positivo e crescente para x ne-

gativo. Assim o ponto P percorre os caminhos

de fase sempre no sentido horario, conforme

mostra a figura 3.32.

Dois caminhos de fase diferentes nunca po-

dem se cruzar, pois se isto ocorresse, teria-se

duas solucoes diferentes para a equacao de mo-

vimento com as mesmas condicoes iniciais, o

que seria um absurdo.

Os caminhos de fase podem ser obtidos di-

retamente da equacao de movimento sem que

seja necessario calcular x(t). Para o oscilador

harmonico, tem-se

d2x

dt2=dx

dx

dx

dt= x

dx

dx

de forma que sua equacao de movimento pode

ser escrita como

xdx

dx= −ω2

0x =⇒ xdx = −ω20xdx

Esta e uma equacao diferencial de primeira or-

dem, cuja solucao e facilmente obtida. Desta

forma, integrando ambos os lados obtem-se

x2 + ω20x

2 = C

A constante C e determinada pelas condicoes

iniciais do sistema. Nos pontos de retorno

(pontos extremos do movimento) tem-se que

x = 0 e x = ±A

de forma que,

ω20A

2 = C,

com isto, a equacao da trajetoria no espaco de

fase pode ser escrita na seguinte forma

x2 + ω20x

2 = ω20A

2,

que e identica a da equacao (3.40).

Nao ha dificuldades em obter a solucao ge-

ral da equacao de movimento do oscilador

harmonico, que e uma equacao diferencial de

segunda ordem, proveniente das leis de New-

ton. Entretanto, para situacoes mais compli-

cadas, algumas vezes e consideravelmente mais

facil encontrar diretamente a equacao da tra-

jetoria do espaco de fase x = x(x), sem realizar

o calculo de x(t).

e

3.15 Oscilacoes Amorteci-

das

As oscilacoes harmonicas simples, tem lugar

em sistemas conservativos. Na pratica sempre

existe dissipacao de energia. Ate agora, nos

sistemas estudados as forcas de atrito foram

desprezadas. Se tal hipotese fosse completa-

mente realista, um pendulo, ou um peso preso

em uma mola, oscilariam indefinidamente. Na

realidade a amplitude da oscilacao, devido ao

atrito, decresce gradualmente ate anular-se.

O movimento diz-se amortecido por atrito e

denomina-se Movimento Harmonico Amorte-

cido (MHA). Frequentemente o atrito provem

da resistencia do ar ou de forcas internas. O

modulo da forca de atrito usualmente depende

da velocidade; em muitos casos de interesse ela

e proporcional a velocidade do corpo, contudo,

com sentido oposto.

No caso do pendulo, as oscilacoes sao amor-

tecidas devido a resistencia do ar e tambem

pelo atrito no suporte. As oscilacoes de um

lıquido em um tubo em forma de U se amorte-

cem devido a viscosidade do lıquido. As vi-

bracoes de um diapasao produzem um som

audıvel porque sao comunicados ao ar gerando,

as ondas sonoras. A energia utilizada para isto

provem do oscilador, dando origem ao amorte-


cimento por emissao de ondas sonoras.

Geralmente a resistencia de um fluido como

o ar ao deslocamento de um corpo, e direta-

mente proporcional a velocidade do corpo, e se

esta for pequena o suficientemente, entao te-

remos pequenas oscilacoes. Portanto, iremos

considerar que a forca de amortecimento (a

forca de atrito) e diretamente proporcional a

velocidade

Fa = −bv = −bx. (3.41)

Como um exemplo, vamos considerar uma

partıcula em um oscilador harmonico unidi-

mensional (como o mostrado na figura 3.33),

submetido a uma forca de atrito diretamente

proporcional a velocidade, como a Fa acima.

Figura 3.33: Oscilador harmonico amortecido.

Neste caso, a equacao de movimento e dada

por

mx = −kx− bx =⇒ mx+ bx+ kx = 0.

Definindo a constante de amortecimento β e a

frequencia de oscilacao do sistema ω0 como

β =b

2me ω0 =

√k

m(3.42)

podemos escrever,

x+ 2βx+ ω20x = 0. (3.43)

Esta e uma equacao diferencial linear de 2a¯

ordem, com coeficientes constantes, de modo

que, podemos admitir uma solucao da forma

x(t) = eλt, o que nos leva a

x = λx e x = λ2x,

substituindo estes valores na equacao de movi-

mento (3.43), obtemos a seguinte equacao

λ2 + 2βλ+ ω20 = 0, (3.44)

chamada de equacao caracterıstica, cujas

solucoes saoλ+ = −β +

√β2 − ω2

0

λ− = −β −√β2 − ω2

0

Definindo uma nova frequencia

ωc =√β2 − ω2

0,

podemos escrever a solucao geral como sendo

x(t) = e−βt(Aeωct +Be−ωct

),

Uma analise cuidadosa desta solucao, nos

leva aos tres casos especiais, em que

ω2c > 0 Amortecimento Supercrıtico

ω2c = 0 Amortecimento Crıtico

ω2c < 0 Amortecimento Subcrıtico

nestes casos temos que as raızes sao,

β > ω0 λ+ e λ− sao reais

β = ω0 λ+ = λ− = −ββ < ω0 λ+ e λ− sao imaginarios

Na figura abaixo 3.34, mostramos uma

grafico com os tres tipos de movimentos rela-

tados acima.

Agora iremos investigar cada uma das

solucoes anteriores.


Figura 3.34: Possıveis movimentos para um os-

cilador harmonico amortecido.

3.15.1 Amortecimento

Subcrıtico (β < ω0)

No caso de movimento subcrıtico ou suba-

mortecido e conveniente definir a frequencia

ωa =√ω2

0 − β2 =

√k

m− b2

4m2= iωc,

de modo que ωa seja uma quantidade real. As-

sim, a solucao geral toma a forma

x(t) = e−βt(Ae+iωat +Be−iωat

),

Note que as constante A e B podem ser com-

plexas. Como x(t) representa a posicao, que e

uma grandeza fısica real, entao ela deve ser re-

presentada por um numero real, portanto ao

impor que x∗(t) = x(t) garante-se que x(t) e

real, assim

x∗(t) = e−βt(A∗e−iωat +B∗e+iωat

)= x(t).

Da relacao acima pode-se concluir que,A = B∗ = C

B = A∗ = C∗

e com isto a posicao x(t) pode ser reescrita

como

x(t) = e−βt(Ce+iωat + C∗e−iωat

)

Como C e um numero complexo qualquer,

entao no plano complexo ele tambem pode ser

expresso em termos das coordenadas polares,

por serem mais convenientes neste caso. Ao

expressar C em coordenadas polares ele sera

caracterizado por um angulo δ e uma ampli-

tude A/2, que estao relacionadas da seguinte

forma

C =A

2eiδ,

logo,

x(t) =A

2e−βt

(e+i(ωat+δ) + e−i(ωat+δ)

).

Usando a formula de Euler e±iθ = cos θ ±i sen θ, a equacao acima toma a forma

x(t) = Ae−βt cos(ωat+ δ) (3.45)

Portanto, a solucao geral, pode ser expressa

em uma forma mais simples, dependendo so-

mente das constantes de integracao A e δ, as

quais sao obtidas atraves das condicoes iniciais

do problema.

A figura 3.35 abaixo mostra o grafico de

x(t) × t (para δ = 0). A amplitude do movi-

mento decresce no tempo devido ao fator e−βt,

que e representado pela curva pontilhada da

figura 3.35. Este termo e conhecido como o

envelope ou envoltoria da curva, ou seja,

xenv.(t) = z(t) = ±Ae−βt.

Ele representa a amplitude efetiva num dado

instante.

A quantidade ωa e chamada frequencia an-

gular do oscilador amortecido, e ela e sempre

menor do que a frequencia angular do oscila-

dor harmonico livre ω0. A rigor, o movimento

nao e periodico porque, como o movimento e

amortecido, a partıcula nunca passa duas ve-

zes no mesmo ponto com a mesma velocidade.

Mesmo assim, define-se o perıodo do movi-

mento como sendo o intervalo de tempo en-

tre duas passagens sucessivas da partıcula pela

origem, no mesmo sentido (ou o intervalo de


Figura 3.35: Grafico de x(t) × t (para δ = 0)

para um oscilador amortecido subcriticamente.

As linhas tracejadas sao as envoltorias (ou en-

velope), que tem um decaimento exponencial.

tempo entre dois maximos). Em outras pala-

vras, o perıodo do movimento e o perıodo da

funcao cosseno que aparece em (3.45), dado

por

τa =2π

ωa

Se β for pequeno, podemos escrever ωa

como4

ωa =√ω2

0 − β2 = ω0

[1−

(β

ω0

)2]1/2

= ω0

[1− β2

2ω20

+ · · ·]

' ω0 − β2

2ω0

Se β ¿ ω0, entao podemos escrever

ωa ' ω0

4 Devemos usar a expansao em serie de Taylor:

(1+x)n = 1+nx+n(n− 1)

2!x2+

n(n− 1)(n− 2)3!

x3+·.

Suponha que no instante t = t0 ocorra um

maximo de x(t), entao a amplitude de oscilacao

nesse instante e

xenv.(t0) = Ae−βt0 ,

Um perıodo depois, a amplitude de oscilacao e

xenv.(t0 + τa) = Ae−β(t0+τa) = Ae−βt0e−βτa

= xenv.(t0)e−βτa

Assim, pode-se dizer que a razao entre as am-

plitudes de oscilacao entre dois maximos con-

secutivos e dada por

xenv.(t0)

xenv.(t0 + τa)= eβτa = e2πβ/ωa .

Da expressao acima, ve-se que este decaimento

nao depende do tempo. A quantidade eβτa e

chamada de decremento do movimento; o lo-

garitmo do decremento eβτa , que e

∆ = βτa = 2πβωa

e chamado de decremento logaritmo do movi-

mento.

Exemplo 38 Mostre que o decremento lo-

garıtmico e dado pela expressao:

∆ =1

nln

(xenv(t0)

xenv(t0 + nτa)

)=

1

nln

(x0

xn

).

(3.46)

onde xn representa a amplitude apos n ciclos

terem ocorrido.

Solucao: A razao entre duas amplitudes con-

secutivas e,

x0

x1

=x1

x2

=x2

x3

= · · · = xn−1

xn

= e∆, (3.47)

entretanto, a razao x0/xn, pode ser escrita

como

x0

xn

=

(x0

x1

)(x1

x2

)(x2

x3

)· · ·

(xn−1

xn

)= en∆,

(3.48)


assim, temos que

∆ =1

nln

(x0

xn

). (3.49)

Exemplo 39 Construa um diagrama de fase

para o oscilador subamortecido.

Solucao: Para encontrar a trajetoria no

espaco de fase precisa-se da posicao x(t) e da

velocidade x(t), que sao dadas respectivamente

por

x(t) = Ae−βt cos(ωat+ δ)

e

x(t) = −Ae−βt [β cos(ωat+ δ) + ωa sen(ωat+ δ)] .

Estas equacoes podem ser manipuladas mais

facilmente introduzindo as seguintes mudancas

de variaveis:

u = ωax(t) = ωaAe−βt cos(ωat+ δ)

w = x(t) + βx(t) = −ωaAe−βt sen(ωat+ δ)

As variaveis u e w podem ser representadas em

coordenadas polares poru = ρ cos(φ+ δ)

w = −ρ sen(φ+ δ)

com

φ = ωat =⇒ t =φ

ωa

ρ =√u2 + w2 = ωaAe

−βt

Assim, tem-se que

ρ = ωaAe−(β/ωa)φ,

que e a equacao de uma espiral logarıtmica

(como mostrado na figura 3.36 abaixo). Uma

vez que a transformacao de x, x para u, w e

linear, o caminho de fase tem basicamente a

mesma forma nos planos u × w e x × x, com

a diferenca que a espiral e ligeiramente defor-

mada no plano x× x (conforme a figura 3.37).

Figura 3.36: Grafico de w × u.

Na figura 3.37, mostra-se o espaco de fase

de um oscilador subcrıtico com os seguintes

parametros: A = 1, ω0 = 2, β = 0.25 e δ = 0.

Este diagrama foi feito usando o software Sci-

lab, com a funcao Espaco Fase.sci.

Figura 3.37: Grafico de x(t)×v(t), com A = 1,

ω0 = 2, β = 0.25 e δ = 0.

3.15.2 Balanco de Energia: Fa-

tor de Qualidade Q

Em um dado instante t, a energia mecanica

de uma partıcula em um movimento harmonico

amortecido subcriticamente, e dada por

E(t) =1

2mx2(t) +

1

2kx2(t).


Devido a forca resistiva, a energia do sistema

nao e mais conservada, pois a mesma esta

sendo dissipada em outras formas de energia.

A taxa de variacao temporal da energia pode

ser escrita como

d

dtE(t) = mxx+ kxx = (mx+ kx) x,

mas, da 2a¯ lei de newton para este movimento

temos que

mx = −kx− bx =⇒ mx+ kx = −bx,

logo, das duas relacoes anteriores, podemos es-

crever

dE

dt= −bx2 = −2mβx2. (3.50)

Portanto, a taxa instantanea de dissipacao

da energia mecanica do oscilador e igual ao

produto da forca −bx pela velocidade x, sendo

assim proporcional ao quadrado da velocidade

instantanea. Note que dE/dt < 0 sempre,

anulando-se nos instantes em que a velocidade

se anula, e acompanhando a oscilacao de x2

durante cada perıodo.

A energia total da partıcula em um instante

qualquer pode ser expressa usando o fato de

que a posicao e a velocidade sao dadas por

x(t) = Ae−βt cos(ωat+ δ)

x(t) = −Ae−βt [β cos(ωat+ δ)+

ωa sen(ωat+ δ)] (3.51)

entao a energia total em um instante qualquer

e dada por

E(t) =1

2mx2(t) +

1

2kx2(t),

usando o fato de que k = mω20 e substituindo a

posicao e a velocidade na equacao acima para

a energia total, obtem-se que:

E(t) =1

2mA2e−2βt

[(β cos θ + ωa sen θ)2 +

ω20 cos2 θ

]

na qual definiu-seθ = ωat+ δ

ω2a = ω2

0 − β2

Esta equacao ainda pode ser escrita em uma

forma mais compacta como

E(t) =1

2mA2e−2βt

[β2 cos2 θ + ω2

a sen2 θ+

2βωa sen θ cos θ + ω20 cos2 θ

]

=1

2mA2e−2βt

[ω2

0 + β2 cos2 θ − β2 sen2 θ+

2βωa sen θ cos θ]

=1

2mA2e−2βt

[ω2

0 + β2 cos 2θ + βωa sen 2θ].

Definindo-se a energia,

E0 =1

2mω2

0A2,

que e a energia total do sistema armazenada

pela mola no instante t = 0. Com esta de-

finicao pode-se reescrever a energia total arma-

zenada na mola em um dado instante t como

E(t) = E0e−2βt +

1

2mA2e−2βt

√β4 + β2ω2

a ×[β2

√β4 + β2ω2

a

cos 2θ+

βωa√β4 + β2ω2

a

sen 2θ

]

na qual definiu-se que,

senα =β2

√β4 + β2ω2

a

cosα =βωa√

β4 + β2ω2a

α = arctg

(β2

βωa

)= arctg

(β

ωa

)

√β4 + β2ω2

a = βω0.

(3.52)

entao a energia pode ser escrita em termos das

relacoes anteriores (3.52) como

E(t) = E0e−2βt + E0

(β

ω0

)e−2βt ×

sen [2 (ωat+ δ) + α]


E(t) = E0e−2βt 1+(β

ω0

)sen [2 (ωat+ δ) + α]

= E0e−2βt 1+(β

ω0

)sen [2ωat+ 2δ + α]

Observe que a energia e composta pelo termo

E0 que corresponde a energia inicialmente ar-

mazenada no sistema, pelo termo e−2βt que e

o responsavel pelo amortecimento (perda de

energia do sistema) e pelo termo,

fE(t) =

1 +

(β

ω0

)sen [2ωat+ 2δ + α]

que tambem e devido ao amortecimento. En-

tretanto, este termo faz com que a energia

oscile, com um perıodo que e a metade do

perıodo de oscilacao da posicao. Observe que

se T for o perıodo de oscilacao para a posicao,

dado por

T =2π

ωa

entao a funcao fE(t) acima tem a seguinte pro-

priedade

fE(t+ T/2) = fE(t) (3.53)

pois,

sen [2ωa(t+ T/2) +2δ + α]

= sen (2ωat+ 2ωaT/2 + 2δ + α)

= sen (2ωat+ 2δ + α+ 2π)

= sen [2 (ωat+ δ) + α] ,

com isto, evidentemente que fE(t+T ) = fE(t+

T/2) = fE(t).

Como a energia E(t) que pode ser escrita

como

E(t) = E0e−2βtfE(t) (3.54)

entao, ela tem a seguinte propriedade

E(t+ T ) = E0e−2β(t+T )fE(t+ T )

= E0e−2βte−2βTfE(t)

= E(t)e−2βT (3.55)

Na figura 3.38, mostramos um grafico da

energia em funcao do tempo, para uma si-

tuacao tıpica. A energia decai exponencial-

mente com o tempo.

Figura 3.38: Grafico da energia em funcao do

tempo para um sistema subcriticamente amor-

tecido.

Quanta energia o sistema perde apos uma os-

cilacao completa (em um perıodo T )? A ener-

gia perdida em um ciclo ∆E (∆E < 0) pode

ser escrita como:

∆E = E(t+ T )− E(t)

mas como foi mostrado em (3.55), a energia em

um perıodo T mais tarde tera o valor

E(t+ T ) = E(t)e−2βT ,

logo, a energia perdida em um perıodo T e

∆E =[e−2βT − 1

]E(t)

=[e−4πβ/ωa − 1

]E(t)

Entao, temos que

∆E

E(t)= e−4πβ/ωa − 1. (3.56)

Se considerarmos que o amortecimento e fraco

o suficiente, ou seja, que b¿ 1 ou que β ¿ ωa,


podemos expandir o termo da exponencial em

serie de Taylor e manter somente o termo de

primeira ordem em β/ωa (ex = 1 + x + 12x2 +

16x3 +O (x4)), desta forma, obtemos que

∆E

E(t)= −2π

2β

ωa

=⇒ E(t)

|∆E| =ωa

4πβ(3.57)

A taxa de perda de energia de um oscilador

fracamente amortecido e melhor caracterizada

por um unico parametro Q, chamado fator de

qualidade do oscilador.

O fator de qualidade Q do oscilador e de-

finido como sendo 2π vezes a energia armaze-

nada no oscilador em um dado instante t divi-

dida pela energia perdida em um unico perıodo

de oscilacao T . O fator de qualidade Q pode

ser expresso como

Q = 2πEnergia armazenada no instante t

|Energia dissipada no perıodo |No caso de um amortecimento fraco, ve-

mos que a taxa de perda de energia e cons-

tante, eq. (3.57), entretanto nos casos em

que isto ocorre esta taxa varia de acordo com

a expressao (3.56), entao para um oscilador

harmonico amortecido subcriticamente o fator

de qualidade Q e dado por:

Q =ωa

2β

Portanto, do resultado acima podemos con-

cluir que a condicao de amortecimento fraco e

equivalente a condicao de um fator de quali-

dade muito grande, ou seja, QÀ 1.

Agora vamos encontrar uma expressao para

a potencia dissipada pela forca de amorteci-

mento. A potencia dissipada PR(t) e dada pela

eq. (3.50), a qual e uma funcao da velocidade

instantanea, que e dada pela eq. (3.51), assim

podemos escrever

PR(t) = −2mβA2e−2βt ×[β cos(ωat+ δ) + ωa sen(ωat+ δ)]2

Usando as relacoes definidas pelas eqs.

(3.58) abaixo,

senα =β√

β2 + ω2a

cosα =ωa√β2 + ω2

a

α = arctg

(β

ωa

)= arctg

(β

ωa

)

√β2 + ω2

a = ω0.

(3.58)

Observe que estas transformacoes sao equiva-

lentes as transformacoes.

Usando as relacoes (3.58), a potencia dissi-

pada pode ser escrita como

PR(t) = −2mβA2e−2βt(√

β2 + ω2a

)2

×[sen(ωat+ δ + α)]2

Portanto, a potencia dissipada instantanea

pode ser escrita na forma mais compacta como,

PR(t) = −2mβω20A

2e−2βt sen2(ωat+ δ + α).

(3.59)

Como acabamos de ver a energia do osci-

lador harmonico amortecido nao e mais cons-

tante como no caso do oscilador harmonico

simples. O oscilador harmonico amortecido

esta perdendo energia continuamente, devido

ao amortecimento do meio, que e dissipada

na forma de calor. A taxa de perda da

energia e proporcional ao quadrado da velo-

cidade, conforme eq. (3.59), de modo que

a perda de energia nao ocorre de maneira

uniforme. A taxa de perda de energia sera

maxima quando a partıcula atinge sua velo-

cidade maxima proximo da (mas nao exata-

mente na) posicao de equilıbrio, e sera instan-

taneamente nula quando a velocidade for nula,

ou seja, quando a amplitude da partıcula for

maxima. Na figura 3.39 mostramos a ener-

gia em funcao do tempo e a velocidade em

funcao do tempo, enquanto na figura 3.40 mos-

tramos a potencia dissipada e a velocidade


como funcoes do tempo, para um oscilador

harmonico amortecido.

Figura 3.39: Grafico da energia e da velocidade

em funcao do tempo para um sistema subcri-

ticamente amortecido. A setas indicam os ins-

tantes em que a velocidade e nula e a energia

quase nao muda em instantes proximos a este.

Figura 3.40: Grafico da potencia dissipada e

da velocidade em funcao do tempo para um

sistema subcriticamente amortecido. A setas

indicam os instantes em que a velocidade e nula

e a potencia instantanea tambem e nula.

3.15.3 Amortecimento Crıtico

(β = ω0)

No caso em que

β = ω0

as duas solucoes da eq. caracterıstica (3.44)

sao iguais a −β. Assim, so temos uma solucao

particular para (3.43), que e

x(t) = Ae−βt,

Como esta equacao diferencial e de segunda

ordem, devemos ter duas solucoes linearmente

independentes, e portanto, devemos encontrar

uma outra solucao. E facil mostrar que

x(t) = Bte−βt

tambem e solucao, de forma que a solucao geral

e,

x(t) = (A+Bt) e−βt

Neste caso, a velocidade e

x(t) = Be−βt − β (A+Bt) e−βt

= (B − βA− βBt) e−βt

A figura 3.41 mostra um grafico tıpico de

x(t) × t, com x0 = A positivo, para um osci-

lador com amortecimento crıtico para os casos

em que a velocidade inicial e positiva, zero e

negativa.

Figura 3.41: Grafico da posicao em funcao do

tempo, para um oscilador criticamente amorte-

cido, para tres valores diferentes da velocidade

inicial.


3.15.4 Amortecimento Su-

percrıtico (β > ω0)

Agora iremos estudar o caso em que

β > ω0

Neste caso, a solucao geral pode ser escrita

como

x(t) = e−βt(Ae+ωct +Be−ωct

)

onde,

ωc =√β2 − ω2

0, ωc > 0

Observe que o movimento nao e periodico, e

portanto, ωc nao representa uma frequencia.

Em todos os casos x vai a zero assintoticamente

para o valor da posicao de equilıbrio.

A velocidade e dada por,

x(t) = A (ωc − β) e(ωc−β)t

−B (ωc + β) e−(ωc+β)t

No amortecimento supercrıtico, o movi-

mento resultante nao e oscilatorio e assintoti-

camente sua amplitude vai a zero. Entretanto,

dependendo dos valores iniciais da velocidade,

pode haver uma mudanca no sinal da posicao

x, antes de sua amplitude ir a zero assintotica-

mente.

Para fazermos uma analise do compor-

tamento desta solucao, vamos reescrever a

solucao em termos das condicoes iniciais

x(0) = x0 e x(0) = x0 = v0, assim

x0 = A+B

v0 = A(ωc − β)−B (ωc + β)

Apos uma manipulacao algebrica obtemos

A =v0 + (ωc + β)x0

2ωc

B = −v0 − (ωc − β)x0

2ωc

Se limitarmos nossa analise a um desloca-

mento inicial positivo x(0) = x0 > 0, observa-

remos tres possıveis situacoes de interesse para

a velocidade inicial x(0) = x0:

1. x0 > 0, neste caso x(t) atinge o maximo

em algum instante t > 0 antes de ir a zero.

2. x0 < 0, neste caso x(t) vai a zero monoto-

nicamente

3. Se x0 < 0 e o seu modulo for grande o su-

ficientemente para que x(t) mude o sinal,

atinja um valor mınimo e em seguida va a

zero.

Vamos agora analisar o primeiro caso, para

tal, analisaremos as condicoes para que x(t)

tenha um zero, assim imporemos que

x(t) = e−βt(Ae+ωct +Be−ωct

)= 0

v0 > 0.

e−βt(Ae+ωct +Be−ωct

)= 0

Para que a condicao acima seja satisfeita deve-

mos ter que:

Ae+ωct +Be−ωct = 0A

B= −e−2ωct

t = − 1

2ωc

ln

[−AB

]

= − 1

2ωc

ln

[v0 + (β + ωc)x0

v0 + (β − ωc)x0

]

Para que exista uma solucao para a equacao

acima, o argumento da funcao logaritmo deve

ser positivo. Entretanto, devemos lembrar que

lnx > 0 se x > 1 e que ln x < 0 se 0 < x <

1. Portanto, se o argumento do logaritmo for

maior que um, ou seja,

v0 + (β + ωc)x0

v0 + (β − ωc)x0

> 1


neste caso o tempo sera negativo, o que signi-

fica que nao teremos um zero para a x(t) sob

estas condicoes.

Se o argumento estiver entre zero e um, ou

seja,

0 <v0 + (β + ωc)x0

v0 + (β − ωc)x0

< 1

entao a funcao logaritmo sera negativa e o

tempo sera positivo e maior do que zero, o que

significa que ha uma solucao para x(t) = 0.

Se o argumento da funcao logaritmo for ne-

gativo nao havera, uma solucao para a equacao

x(t) = 0.

Na figura 3.42 ilustramos este tres casos,

mostrando um grafico tıpicos de x(t) × t para

x0 = A+B positivo, ou seja, x0 = A+B > 0.

Dependendo dos valores de A e B, a velocidade

inicial pode ser positiva ou negativa. Em par-

ticular, se B > 0 e A < 0 a velocidade inicial

e negativa e existe um valor de t, diferente de

zero, para o qual x(t) se anula (o grafico corta

o eixo t).

Figura 3.42: Tres possıveis casos para o amor-

tecimento supercrıtico. Aqui a amplitude ini-

cial e x0 = A+B > 0.

Exemplo 40 Considere um pendulo de com-

primento ` e massa m movendo-se no oleo (fi-

gura 3.43 abaixo). O oleo retarda o movimento

do pendulo com uma forca resistiva proporcio-

nal a velocidade, de modulo dado por

Fres. = 2m

√g

`

(`θ

)

O pendulo e solto da posicao θ = α no ins-

tante t = 0. Supondo que as oscilacoes sejam

pequenas, obtenha o deslocamento angular e a

velocidade angular como funcoes do tempo.

Figura 3.43: O pendulo se movimentando em

um meio resistivo.

Solucao: Observe que a forca de resistencia

e dada por

Fres. = −2m

√g

`

(`θ

)θ

e que o torque que atua sobre a partıcula e dado

por

N = −mg` sen θ + Fres.`

= −mg` sen θ − 2m

√g

`(`θ)

A equacao de movimento e dada por

N = Iθ = m`2θ

Assim,

m`2θ = −mg` sen θ − 2m

√g

`(`θ)

Para pequenas oscilacoes

sen θ ≈ θ


de modo que

θ + 2

√g

`θ +

g

`θ = 0.

Comparando esta equacao com eq. (3.43) ve-

mos que

β =

√g

`e ω0 =

√g

`

Como β = ω0, temos, portanto, um caso de

amortecimento crıtico, cuja solucao geral e

θ(t) = (A+Bt) e−βt

No instante t = 0, temos que θ(0) = α, por-

tanto A = α, logo

θ(t) = (α+Bt) e−βt

Derivando esta expressao em relacao ao tempo,

obtemos que

θ(t) = (B − βα− βBt) e−βt

Agora, usando o fato de que a velocidade an-

gular no instante t = 0 e nula, ou seja, que

θ(0) = 0, encontramos que B = βα, logo

θ(t) = α (1 + βt) e−βt

θ(t) = −αβ2te−βt

ou ainda, substituindo o valor de β, obtemos

θ(t) = α

(1 +

√g

`t

)e−√

g`t,

θ(t) = −α(g`

)te−√

g`t.

Veja que θ e sempre positivo enquanto a veloci-

dade angular e sempre negativa. O pendulo re-

torna a posicao de equilıbrio sem oscilar. Por

sua vez, a velocidade angular tem um mınimo

para t =√

g`, como mostrado na figura 3.44.

Figura 3.44: O pendulo se movimentando em

um meio resistivo.

3.16 Oscilacoes Forcadas

Amortecidas

Agora iremos estudar o movimento de um

oscilador amortecido que e submetido por uma

agente externo, a uma forca externa periodica.

Suporemos que a forca aplicada sobre o osci-

lador tenha a seguinte forma F0 cos(ωt), por-

tanto a equacao de movimento e dada por

mx+ bx+ kx = F0 cos(ωt).

Definindo, uma amplitude A por

f0 =F0

m

a equacao de movimento pode ser escrita como

x+ 2βx+ ω20x = f0 cos(ωt). (3.60)

A solucao geral desta equacao pode ser escrita

como

x(t) = xh(t) + xp(t),

na qual,

xh(t) = e−βt(Ahe

−ωct +Bhe+ωct

),


e a solucao da equacao homogenea

xh + 2βxh + ω20xh = 0.

a qual, tambem e conhecida como solucao tran-

siente.

Por sua vez, xp e uma solucao particu-

lar responsavel pelo aparecimento do termo

f0 cos(ωt) no lado direito de (3.60). Para deter-

minarmos a uma solucao particular qualquer

para a eq. (3.60 ) podemos proceder de duas

formas diferentes. No primeiro procedimento,

leva-se em conta fato da forca ser uma funcao

harmonica, portanto, sua solucao tambem de-

vera ser uma funcao harmonica, enquanto que

no segundo procedimento usa-se a simplicidade

da formulacao complexa.

Primeiro Modo:

Como todas as derivadas de uma funcao se-

noidal sao funcoes senoidais, uma boa solucao

tentativa para (3.60) seria

xp(t) = A cos(ωt− δ)Substituindo esta solucao em (3.60), temos

−ω2A cos(ωt− δ)− 2βωA sen(ωt− δ)+ω2

0A cos(ωt− δ) = f0 cos(ωt)

Expandindo sen(ωt − δ) e cos(ωt − δ), temos

quef0 − A

[(ω2

0 − ω2)cos δ + 2ωβ sen δ

]cos (ωt)

−A

[(ω2

0 − ω2)sen δ + 2ωβ cos δ

]×sen (ωt) = 0.

Para que a expressao acima seja identicamente

valida, os coeficientes das funcoes seno e cos-

seno devem ser ambos nulos. Assim, podemos

escrever

f0 − A[(ω2

0 − ω2)cos δ+

2ωβ sen δ] = 0 (3.61)

A[(ω2

0 − ω2)sen δ+

2ωβ cos δ] = 0. (3.62)

Da ultima equacao da expressao acima (3.62),

podemos escrever

tg δ =2ωβ

ω20 − ω2

, (3.63)

Consequentemente (veja o triangulo mostrado

na figura 3.45)

Figura 3.45: Triangulo, que relaciona o angulo

δ com as frequencias ω e ω0 e com a constante

de amortecimento β.

sen δ =2ωβ√

(ω20 − ω2)

2+ 4ω2β2

(3.64)

cos δ =ω2

0 − ω2

√(ω2

0 − ω2)2+ 4ω2β2

(3.65)

Da primeira equacao de (3.61), podemos escre-

ver

A =f0

(ω20 − ω2) cos δ + 2ωβ sen δ

(3.66)

Substituindo as expressoes para sen δ e cos δ,

na equacao acima, obtemos que

A =f0√

(ω20 − ω2)

2+ 4ω2β2

(3.67)

Observe que a amplitude de oscilacao do siste-

mas e agora uma funcao da frequencia da forca

externa, ou seja, A = A(ω).

Finalmente, a solucao particular da equacao

(3.60) pode ser escrita como

xp(t) =f0√

(ω20 − ω2)

2+ 4ω2β2

cos (ωt− δ) ,

(3.68)


onde, o angulo δ e dado por

arctg δ =

(2ωβ

ω20 − ω2

)(3.69)

A presenca da constante δ na solucao (3.68) in-

dica que ha um atraso da resposta do sistema

em relacao a forca aplicada. A figura 3.46 mos-

tra um grafico de δ em funcao de ω para um

ω0 fixo. Note que:

ω → 0 =⇒ δ → arctg(0+) = 0

ω → ω0 =⇒ δ → arctg(∞) = π2

ω →∞ =⇒ δ → arctg(0−) = π

(3.70)

Figura 3.46: Grafico de δ em funcao de ω para

um ω0 fixo, no caso de um oscilador harmonico

amortecido e forcado.

Segundo Modo:

Para obter uma solucao via formulacao com-

plexas, usa-se a formula de Euler eiθ = cos θ+

i · sen θ para representar o numero complexo

z = x + iy, na forma polar, o qual pode

entao ser escrito como z =√x2 + y2eiα, com

tgα = yx. Ao usar a notacao complexa, em

vez de resolver somente a equacao diferencial

(3.60), resolve-se silmutaneamente as seguintes

equacoes:

xp + 2βxp + ω2

0xp = f0 cos(ωt)

y + 2βy + ω20y = f0 sen(ωt)

Fazendo z = xp + iy, obtem-se a seguinte

equacao

z + 2βz + ω20z = f0e

iωt (3.71)

a ser resolvida. A parte real da equacao acima

e a equacao diferencial original, a eq. (3.60),

assim xp = Re(z), o que significa que xp e a

parte real de z, enquanto y = Im(z) significa

que y e a parte imaginaria de z.

Para resolver a equacao diferencial complexa

(3.71) acima, deve-se buscar por uma solucao

que tenha a mesma forma funcional da expo-

nencial, assim tenta-se a seguinte solucao

z(t) = z0eiωt

da qual tem-se que

z = iωz e z = −ω2z

logo, substituindo estes resultados em (3.71),

obtem-se que

[(ω2

0 − ω2)

+ i (2βω)]z0e

iωt = f0eiωt

assim,

z0 =f0

(ω20 − ω2) + i (2βω)

.

Em vez de lidarmos com o numero complexo

[(ω20 − ω2) + i (2βω)], e sempre mais facil tra-

balharmos com ele em sua forma polar, que e

dada por,

(ω2

0 − ω2)+i (2βω) =

√(ω2

0 − ω2)2+ 4β2ω2eiδ,

na qual,

tg δ =2ωβ

ω20 − ω2

.

Portanto,

z0 =f0e

−iδ

√(ω2

0 − ω2)2+ 4β2ω2


e desta forma tem-se que

z(t) =f0√

(ω20 − ω2)

2+ 4β2ω2

ei(ωt−δ).

e a solucao da equacao diferencial complexa

(3.71). Entretanto, queremos somente a parte

real desta solucao, que e a solucao da equacao

diferencial original (3.60) desejada. Esta

solucao e entao

xp(t) =f0√

(ω20 − ω2)

2+ 4β2ω2

cos (ωt− δ) .

Figura 3.47: Aqui, mostramos a solucao tran-

siente, particular e geral da equacao diferencial

(3.60).

A solucao da equacao homogenea dada por

(3.16) e chamada solucao transiente. Por causa

do fator exponencial e−βt, ela vai a zero para

um tempo grande comparado com 1/β. Assim

x(tÀ 1/β)→ xp(t). (3.72)

que e chamada solucao estacionaria. O que

ocorre antes da solucao transiente desapare-

cer em uma situacao particular e ilustrado

pelo grafico da figura 3.47. As funcoes xh(t)

(supondo movimento subamortecido), xp(t) e

x(t) sao representadas no caso em que ω <

ωa =√ω2

0 − β2. Observe que, inicialmente,

a funcao x(t) e deformada mas a medida que

xh(t) vai desaparecendo ela vai se confundindo

com xp(t).

3.17 Ressonancia

Vamos agora, considerar a situacao posterior

ao perıodo transiente em que somente a solucao

estacionaria sobrevive.

A frequencia angular, ω, para a qual a am-

plitude de oscilacao A(w) dada por

A(ω) =f0√

(ω20 − ω2)

2+ 4β2ω2

(3.73)

assume o seu valor maximo e chamada

frequencia de ressonancia ωR da amplitude.

Assim, a derivada da amplitude no seu valor

maximo ωR e

(dA

dω

)

ω=ωR

= 0. (3.74)

A derivada de A(ω) e dada por

dA

dω=

2ωf0 (ω20 − ω2 − 2β2)[

(ω20 − ω2)

2+ 4β2ω2

]3/2(3.75)

Igualando a zero, obtemos que

ωR =√ω2

0 − 2β2 (3.76)

Observe que so havera ressonancia se 2β2 < ω20.

Caso contrario A e monotonicamente decres-

cente (dA/dω e sempre negativo). O grau de

amortecimento do sistema pode ser descrito

pelo fator de qualidade Q, definido como

Q =ωR

2β(3.77)

Um fator de qualidade Q grande significa que

o parametro de amortecimento, β e pequeno.

Nesse caso, o segundo termo dentro do radical,


no denominador de (3.73), e pequeno, e por-

tanto, a curva A×ω, figura 3.48, tem um pico

alto e estreito em ω = ω0. Quando Q vai dimi-

nuindo, β vai aumentando, e portanto, o pico

vai se tornando mais largo e mais baixo. No

caso em que 2β2 > ω20, o pico desaparece.

Para valores grandes de Q, somente os-

cilacoes com frequencias muito proximas a

ω0 podem ser excitadas com amplitude con-

sideravel. Esta e uma condicao desejavel

em muitas situacoes fısicas, como por exem-

plo, um diapasao. Deseja-se que um dia-

pasao vibre com uma frequencia definida para

que ele emita um som puro (com uma unica

frequencia).

Figura 3.48: Grafico da amplitude em funcao

da frequencia, para diferentes valores da cons-

tante de amortecimento. O pico mais agudo e

para o menor valor da constante de amorteci-

mento.

Da mesma forma que define-se a frequencia

de ressonancia da amplitude, pode-se definir

outras frequencias de ressonancia. Por exem-

plo, a frequencia de ressonancia da energia

cinetica e definida como sendo a frequencia

para a qual a energia cinetica assume o seu

valor maximo.

A velocidade pode ser calculada, a partir de

(3.68), como

xp(t) =−ωf0√

(ω20 − ω2)

2+ 4ω2β2

sen (ωt− δ) ,

(3.78)

Sendo assim, a energia cinetica e dada por

T =1

2mx2

p

=mf 2

0

2

ω2

(ω20 − ω2)

2+ 4ω2β2

sen2 (ωt− δ) ,

Uma vez que T depende do tempo, e interes-

sante trabalhar com o seu valor medio em um

perıodo, assim

〈T 〉 =mf 2

0

2

ω2

(ω20 − ω2)

2+ 4ω2β2

×⟨sen2 (ωt− δ)⟩

Mas com,

⟨sen2 (ωt− δ)⟩ =

1

2, (3.79)

logo, podemos escrever

〈T 〉 =mf 2

0

4

ω2

(ω20 − ω2)

2+ 4ω2β2

(3.80)

A derivada de 〈T 〉 em relacao a ω e dada por

d 〈T 〉dω

=mf 2

0

2

ω (ω20 − ω2)

(ω20 − ω2)

2+ 4ω2β2

(3.81)

Na ressonancia temos,

(d 〈T 〉dω

)

ω=ωT

= 0, (3.82)

de forma que

ωT = ω0. (3.83)

Uma vez que a energia potencial e proporcional

ao quadrado da amplitude, ela e maxima para

a frequencia de ressonancia da amplitude, dada

por

ωU = ωR =√ω2

0 − 2β2. (3.84)


3.18 Impedancia de Um

Oscilador

Um oscilador harmonico amortecido e carac-

terizado por tres grandezas: sua massa m, a

constante elastica da mola k e a constante de

amortecimento b. Nas expressoes vistas ate

agora, estas grandezas sempre aparecem em

combinacao com a frequencia ω da forca ex-

terna aplicada.

A velocidade maxima de um oscilador

harmonico amortecido forcado em funcao da

frequencia, conforme a equacao equacao (3.78),

e dada por

vmax.(ω) =ωf0√

(ω20 − ω2)

2+ 4ω2β2

=ωF0

m√

(ω20 − ω2)

2+ 4ω2β2

.

Para que frequencia ω de excitacao da forca ex-

terna, a amplitude da velocidade sera maxima?

Em um oscilador harmonico amortecido

forcado, a grandeza que aparece no denomi-

nador da velocidade em funcao do tempo,

equacao (3.78), e chamada impedancia do os-

cilador e e designada por Z, assim F = Zv =

Zx. Portanto

Z =m

ω

√(ω2

0 − ω2)2+ 4ω2β2

=m

ω

√(k

m− ω2

)2

+ ω2b2

m2

=m

ω

√√√√ ω2

m2

[(k

ω−mω

)2

+ b2

]

=

√(k

ω−mω

)2

+ b2

Z =

√(k

ω−mω

)2

+ b2 (3.85)

Analogamente, a reatancia X, e a resistencia

R, sao definidas por

X = mω−kω

e R = b (3.86)

portanto a impedancia pode ser escrita em ter-

mos da reatancia e da resistencia, como

Z =√X2 +R2,

Figura 3.49: Triangulo mostrando a relacao en-

tre o angulo δ e a impedancia Z, a reatancia X

e a resistencia R em um oscilador harmonico

amortecido.

O angulo δ e dado por

arctg(δ) =R

X=

b

mω − k

ω

.

Desta forma podemos escrever as equacoes de

movimento para o oscilador harmonico amor-

tecido forcado como

xp(t) =F0

ωZcos (ωt− δ)

xp(t) = −F0

Zsen (ωt− δ)

f0(ω) =F0

ωZA potencia transferida ao oscilador e,

Pf (t) = xpF (t) = −F20

Zsen (ωt− δ) cos(ωt)

= −F20

Z

[1

2sen (2ωt) cos(δ)−

sen(δ) cos2 (ωt)

]


Vamos agora calcular a potencia media ab-

sorvida em um perıodo, Pf , pois e ela que nos

fornece uma indicacao do comportamento do

sistema. Portanto,

Pf =F 2

0

2Zsen(δ).

Como v0 = F0/Z, entao

Pf =1

2v0F0 sen(δ)

Agora usando a relacao mostrada na figura

3.49, podemos escrever, sen(δ) = R/Z, e

usando tambem o fato de que F0 = Zv0, obte-

mos

Pf =1

2Rv2

0

Da equacao acima vemos que a maxima

potencia transferida, depende da velocidade

maxima e da constante de amortecimento b =

R.

3.19 Princıpio da super-

posicao: series de

Fourier

Na secao anterior vimos que a solucao per-

manente da equacao (3.60) e dada por (3.68).

Seguindo os mesmos passos, e facil mostrar que

a solucao da equacao

x+ 2βx+ ω20x = f0 sen(ωt) (3.87)

e dada por

xp(t) =f0√

(ω20 − ω2)

2+ 4ω2β2

sen (ωt− δ) ,

(3.88)

onde, o angulo δ e dado por

arctg δ =

(2ωβ

ω20 − ω2

)(3.89)

Nesta secao vamos mostrar como resolver a

equacao de movimento para um oscilador su-

jeito a uma forca periodica geral F (t). Fazendo

f(t) = F (t)/m,

x+ 2βx+ ω20x = f(t). (3.90)

Suponha que x1(t) seja solucao da equacao

(3.90) para uma forca f1(t), ou seja,

x1 + 2βx1 + ω20x1 = f1(t). (3.91)

Suponha que x2(t) seja solucao da equacao

(3.90) para uma forca f2(t), ou seja,

x2 + 2βx2 + ω20x2 = f2(t). (3.92)

Somando a primeira eq. (3.91) multiplicada

por α1 com a segunda (3.92) multiplicada por

α2, podemos escrever

(α1x1 + α2x2) + 2β (α1x1 + α2x2) +

ω20 (α1x1 + α2x2) = (α1f1(t) + α2f2(t))

Isto quer dizer que,

x(t) = α1x1 + α2x2, (3.93)

e uma solucao da eq. (3.90) para um forca

f(t) = α1f1(t) + α2f2(t), (3.94)

A ideia pode ser generalizada. Se a forca ex-

terna puder ser escrita como

f(t) =N∑

n=1

αnfn(t), (3.95)

e se x1(t), x2(t), . . . , xN(t) forem, respectiva-

mente, as solucoes para forcas f1(t), f2(t), . . .

, fN(t), entao

x(t) =N∑

n=1

αnxn(t), (3.96)

e solucao da equacao para a forca f(t). Este re-

sultado e muito util quando f(t) e uma funcao


periodica porque, nesse caso, ela pode ser es-

crita como uma expansao em senos e cossenos

(serie de Fourier) que sao funcoes para as quais

sabemos resolver a equacao diferencial.

Se a forca for uma funcao periodica do

tempo, com perıodo τ , ou seja, se

f(t+ τ) = f(t) (3.97)

entao podemos escrever f(t) (em serie de Fou-

rier) como

f(t) =a0

2+

∞∑n=1

[an cos(nωt) + bn sen(nωt)] ,

(3.98)

onde,

ω =2π

τ(3.99)

e os coeficientes da serie de Fourier sao dados

por

an =2

τ

∫ τ

0

f(t′) cos(nωt′)dt′

bn =2

τ

∫ τ

0

f(t′) sen(nωt′)dt′

n = 0, 1, 2, . . . , N

(3.100)

Como f(t) e periodica, podemos trocar o

perıodo de integracao de 0 a τ para −τ/2 a

+τ/2 ou, em termos de ω, de −π/ω a +π/ω.

Assim, podemos escrever

an =ω

π

∫ +π/ω

−π/ω

f(t′) cos(nωt′)dt′

bn =ω

π

∫ +π/ω

−π/ω

f(t′) sen(nωt′)dt′

n = 0, 1, 2, . . . , N

(3.101)

Se f(t) for escrita em termos de (3.98) entao

a solucao estacionaria da equacao diferencial

x+ 2βx+ ω20x = f(t), (3.102)


x(t) =a0

2ω20

+N∑

n=1

×

an cos(nωt− δn) + bn sen(nωt− δn)√(ω2

0 − n2ω2)2+ 4n2β2ω2

(3.103)

onde

δn = arctg

(2nωβ

ω20 − n2ω2

)(3.104)

Observe que

x =a0

2ω20

(3.105)

e a solucao particular da equacao

x+ 2βx+ ω20x =

a0

2, (3.106)

A solucao geral e a soma da solucao esta-

cionaria com a solucao transiente (3.16).

Exemplo 41 Obtenha os coeficientes de ex-

pansao em serie de Fourier da funcao dente

de serra da figura 3.50 abaixo.

Figura 3.50: Grafico de uma funcao periodica

do tipo dente de serra.

Solucao: No intervalo

− τ

2< t < +

τ

2(3.107)

podemos escrever

f(t) = At

τ=ωA

2πt (3.108)


Como f(t) e uma funcao ımpar, todos os coe-

ficientes an sao nulos. Por sua vez,

bn =ω2A

2π2

+π/ω∫

−π/ω

t′ sen(nωt′)dt′

=ω2A

2π2

[−t

′ cos(nωt′)nω

+

sen(nωt′)n2ω2

]+π/ω

−π/ω

(3.109)

Como,

sen(±nπ) = 0 e cos(±nπ) = (−1)n,

logo

bn =A

nπ(−1)n+1

Assim,

f(t) =A

π

∞∑n=1

(−1)n+1

nsen(nωt)

=A

π

[sen(ωt)− 1

2sen(2ωt)

+1

3sen(3ωt)− 1

4sen(4ωt) + · · ·

]

A convergencia desta serie nao e muito

rapida.

Devemos notar duas caracterısticas da ex-

pansao. Nos pontos de descontinuidade (t =

±τ/2) a serie produz um valor medio nulo

(zero), e na regiao imediatamente adjacente

aos pontos de descontinuidade, a expansao

passa pela funcao original. Este ultimo efeito,

e conhecido como fenomeno de Gibbs, e ocorre

em todas as ordens da aproximacao. Esta pas-

sagem de Gibbs e da ordem de 9% em cada des-

continuidade, mesmo no limite de uma serie

infinita.

3.20 Elementos de um Cir-

cuito

Para analisarmos um circuito precisamos co-

nhecer os elementos que compoem o mesmo,

e a seguir faremos uma breve revisao de cada

um dos elementos que irao compor um circuito

qualquer.

3.20.1 Resistor

Um resistor (ohmico, ou seja, aquele que obe-

dece a lei de Ohm, V = RI) e um elemento de

circuito, representado pelo sımbolo da figura

3.51 . A lei de Ohm nos diz que: Quando por

um resistor R passar uma corrente I, havera

uma queda de potencial (no sentido da cor-

rente: V = V1 − V2; V1 > V2), atraves dos seus

extremos 1 e 2, dada por:

V = RI

Figura 3.51: Resistor

Num resistor, ha uma conversao de energia

eletrica em energia termica, dada pelo efeito

Joule. A potencia dissipada pelo resistor de-

vido ao efeito Joule e dada por:

P = RI2 = V I

3.20.2 Capacitor

O capacitor e representado pelo sımbolo da fi-

gura 3.52. Um capacitor tem uma placa com

uma carga +Q e a outra placa com uma carga

−Q, e a queda de potencial V ≡ V1 − V2 entre

as placas e dada por:

V =Q

C,


onde C e a capacitancia do capacitor.

Figura 3.52: Capacitor

Um capacitor armazena energia eletrica, e a

energia total armazenada pelo capacitor e:

U =1

2

Q2

C=

1

2CV 2 =

1

2QV.

3.20.3 Indutor

O indutor e representado pelo sımbolo da fi-

gura 3.53. Ele e um elemento idealizado

no qual supoe-se que o campo magnetico es-

teja completamente confinado no mesmo, como

num solenoide infinito, e que o mesmo possuı

uma resistencia interna desprezıvel, logo a

queda de potencial entre os extremos 1 e 2,

no sentido da corrente e dada por:

V = LdI

dt,

onde L e a indutancia do indutor e no sistema

internacional a sua unidade e o Henry (H).

Figura 3.53: Indutor

Num indutor, ha armazenamento de energia,

sob a forma de energia magnetica. A energia

armazenada pelo indutor e dada por:

U =1

2LI2.

3.20.4 Gerador

Um gerador (ver sımbolo da figura 3.54) e uma

fonte de fem (forca eletromotriz), que pode ser

tratado de forma analoga a uma bateria. O

gerador e atravessado pela corrente no sentido

inverso ao da queda de potencial, assim:

V1 − V2 ≡ V = −E P = EI.

Figura 3.54: Gerador

3.21 Oscilacoes Eletricas

Consideremos um oscilador mecanico como

mostrado na figura 3.55(a), onde a massa m

desliza em uma plataforma sem atrito. Sabe-

mos que a equacao de movimento e

mx+ kx = 0, (3.110)

e a frequencia de oscilacao e dada por

ω0 =

√k

m. (3.111)

Agora iremos considerar o circuito eletrico

mostrado na figura 3.55 (b). Em um dado ins-

tante t, a carga no capacitor C e q(t), e a cor-

rente que flui atraves do indutor L e I(t) = q.

Aplicando a lei de Kirchhoff da queda de vol-

tagem neste circuito, podemos escrever


Figura 3.55: Um oscilador mecanico e o seu

analogo eletrico, um circuito LC.

LdI

dt+

1

C

∫Idt = 0, (3.112)

ou em termos da carga q,

Lq +1

Cq = 0. (3.113)

Esta equacao e exatamente da mesma forma

da equacao que aparece em (3.110), portanto

sua solucao e

q(t) = q0 cos(ω0t) (3.114)

onde a frequencia e

ω0 =1√LC

(3.115)

onde fizemos a fase igual a zero, assumindo que

q(t = 0) = q0 e I(t = 0) = 0.

Ao compararmos os termos da equacao

(3.110) com os da equacao (3.113), vemos que

o analogo eletrico da massa (ou inercia) e a in-

dutancia L, e a flexibilidade da mola, represen-

tada pelo recıproco da constante da mola k, e

identificada como a capacitancia C. Portanto,

temos que

m→ L x→ q1

k→ C x→ I

(3.116)

Diferenciando a expressao para q(t), encontra-

mos

q(t) = I(t) = −ω0q0 cos(ω0t) (3.117)

Elevando ao quadrado q(t) e I(t), podemos es-

crever

1

2LI2 +

q2

2C=

q20

2C= constante. (3.118)

O termo 12LI2 representa a energia armazenada

no indutor L (e corresponde a energia cinetica

mecanica), enquanto o termo 12(q2/C) repre-

senta a energia armazenada no capacitor C (e

corresponde a energia potencial mecanica). A

soma destas duas energias e constante, indi-

cando que o sistema e conservativo. Veremos

a seguir que um circuito eletrico pode ser con-

servativo somente se ele nao contiver uma re-

sistencia (uma situacao ideal e nao realıstica

do ponto de vista pratico).

A combinacao massa-mola ilustrada na fi-

gura 3.56(a) abaixo, difere daquela mostrada

na figura 3.55(a), pela adicao de uma forca

constante devido ao peso da massa: P = mg.

Sem esta forca gravitacional, a posicao de

equilıbrio seria em x = 0; a forca adicional,

distende a mola por uma quantidade igual a

h = mg/k e desloca a posicao de equilıbrio

para x = h. Portanto a equacao de movimento

e a equacao (3.110) com x deslocado por x−h:

mx+ kx = kh (3.119)

com a solucao

x(t) = h+ A cos(ω0t) (3.120)

onde impomos as seguintes condicoes iniciais:

x(t = 0) = h+ A e x(t = 0) = 0.

Na figura 3.56(b), adicionamos uma bateria

(com fem E) ao circuito da figura 3.55(b). A

lei de Kirchhoff para a queda de voltagem pode

ser escrita como

LdI

dt+

1

C

∫Idt = E =

q1C

(3.121)

onde q1 representa a carga que deve ser for-

necida ao capacitor para que ele produza uma


Figura 3.56: Um oscilador mecanico, subme-

tido a acao da forca peso e o seu analogo

eletrico, um circuito LC com uma bateria.

voltagem E . Usando I = q, temos

Lq +1

Cq =

q1C

(3.122)

Se q = q0 e I = 0 em t = 0, a solucao e

q(t) = q1 + (q0 − q1) cos(ω0t) (3.123)

a qual e o analogo eletrico exato da equacao

(3.119).

A adicao de um amortecimento ao oscila-

dor mecanico da figura 3.56(a) pode ser re-

presentada por um copo (recipiente) contendo

um fluido viscoso, como o mostrado na figura

3.57(a). A equacao de movimento e

mx+ bx+ kx = 0. (3.124)

A lei de Kirchhoff para a queda de voltagem

para um circuito eletrico analogo, o da figura

3.57(b) e

Lq +Rq +1

Cq = 0 (3.125)

de tal modo que a resistencia R corresponde

a resistencia do amortecimento mecanico b.

A analogia entre as quantidades mecanicas e

eletricas podem ser sumarizadas nas tabelas

3.2 e 3.3. Por exemplo, a massa no sistema

mecanico e analogo a indutancia no sistema

eletrico.

Figura 3.57: Um oscilador mecanico amorte-

cido, e o seu analogo eletrico, um circuito RLC.

Devido a natureza recıproca da corres-

pondencia entre flexibilidade mecanica (1/k)

e a capacitancia eletrica, a adicao de molas

e capacitores ao sistema devem ser feitas de

diferentes maneiras para produzirem o mesmo

efeito. Por exemplo, considere a massa na fi-

gura 3.58(a), onde duas molas sao conectadas

em serie. Se uma forca F for aplicada a massa,

a mola 1 ira se distender de x1 = F/k1, en-

quanto a mola 2 ira se distender de x2 = F/k2.

A Extensao total sera

x = x1 + x2 = F

(1

k1

+1

k2

). (3.126)

O analogo eletrico desta equacao (ver figura

3.58(b)) e

q = E (C1 + C2) . (3.127)

Portanto, molas atuando em serie sao equiva-

lentes a capacitores atuando em paralelo. Simi-

larmente, molas em paralelo operam da mesma

maneira que capacitores em serie (ver figura

3.58(c) e (d)).

Se trocarmos a bateria na figura 3.56(b)

com um gerador AC e adicionarmos uma re-

sistencia ao circuito, teremos uma oscilacao

eletrica forcada, em uma circuito RLC. Mui-

tos dos termos usados para descrever os cir-

cuitos AC (impedancia, reatancia, indutancia,

angulo de fase, potencia dissipada, largura de

linha, etc.) podem ser aplicados a outros siste-

mas de oscilacoes lineares. A importancia da


Figura 3.58: Um oscilador mecanico com duas

molas e o seu analogo eletrico, um circuito LC

com dois capacitores.

analogia com os circuitos eletricos e devido a

facilidade com que os circuitos eletricos podem

ser usados para testar os analogos mecanicos (e

outros).

Exemplo 42 Considere o circuito mostrado

na Figura 3.59. Antes de t = 0, a chave esta

na posicao A e o capacitor esta descarregado.

Em t = 0, a chave e movida instantaneamente

para a posicao B. (a) Determine a corrente no

circuito LC para tempos posteriores a t = 0,

ou seja, t > 0. (b) Encontre como a carga no

capacitor ira depender do tempo, para tempos

posteriores a t = 0, ou seja, t > 0.

Solucao: Aqui devemos observar, que ao mu-

darmos a chave instantaneamente de posicao,

se nao tivessemos a presenca do indutor no cir-

cuito, a corrente iria a zero instantaneamente.

O que o indutor faz nesse instante e gerar uma

forca contra-eletromotriz que produza a mesma

corrente no novo circuito.

(a) No instante t=0, existe uma corrente esta-

cionaria circulando pelo indutor: I0 = V0/R.

Para t ≥ 0, a lei das malhas de Kirchhoff para

o circuito LC e

Figura 3.59: Circuito RL

LdI

dt+Q(t)

C= 0 (3.128)

Derivando a equacao acima em relacao ao

tempo e usando o fato de que I(t) = dQ/dt,

encontramos

d2I

dt2+ ω2

0I = 0 (3.129)

onde,

ω0 =1√LC

, (3.130)

e a frequencia angular natural de oscilacao do

circuito LC. Portanto a solucao da Eq. 3.129

e

I(t) = Imax . cos(ω0t+ δ). (3.131)

Usando a condicao inicial para a corrente, ou

seja, I(0) = I0, encontramos que Imax. = I0 =

V0/R e δ = 0, assim

I(t) = I0 cos(ω0t) =

(V0

R

)cos(ω0t) (3.132)

(b) Agora vamos encontrar como a carga vai

depender do tempo e para tal basta integrarmos

dQ = I(t)dt, e levar em conta que no instante

t = 0, a carga no capacitor e nula , ou seja,


Q(0) = 0, assim

∫ t

0

dQ =

∫ t

0

I(t)dt

Q(t)−Q(0) =

(V0

R

) ∫ t

0

cos(ω0t)dt

Q(t) = Q(0) +V0

ω0R[sen(ω0t)]

t0

= 0 +V0

ω0R[sen(ω0t)− 0]

=V0

ω0Rsen(ω0t)

Q(t) =V0

ω0Rsen(ω0t) (3.133)

Exemplo 43 Considere um circuito RLC

submetido a uma fem alternada dada por

E(t) = E0 sen (ωt). Determine a corrente I(t),

a voltagem VL entre os terminais do indutor, e

a frequencia angular ω na qual VL e maximo.

Solucao: Adicionando uma fem a equacao

(3.125) encontramos

Lq +Rq +1

Cq = E0 sen (ωt) , (3.134)

Esta equacao e similar a equacao (3.60), a

qual ja resolvemos. Alem disso, usando as

relacoes das tabelas 3.2 e 3.3, podemos escre-

ver,

β =b

2m→ R

2L

ω0 =

√k

m→ 1√

LC

A =F0

m→ E0

L

Para resolvermos esta equacao, faremos uso

dos numeros complexos, e para isto suporemos

que E(t) = E0eiωt e que Q(t) = Q0e

iωt, logo

a solucao sera q(t) = Im(Q(t)). Desta forma

temos que[−Lω2 + iωR +

1

C

]Q0 = E0

iω

[R + i

(Lω− 1

ωC

)]Q0 = E0

Q0 = − iE0

ω

[R + i

(Lω− 1

ωC

)]

Aqui, e comum definirmos a reatancia capaci-

tiva XC como

XC ≡ VC,Max.

IC,Max.

=1

ωC

e a reatancia indutiva XL como

XL ≡ VL,Max.

IL,Max.

= ωL

e a impedancia Z e dada por

Z ≡ V

I= R + i (XL −XC)

Z = Zeiδ,

Z =

√R2 + (XL −XC)2

=

√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

arctg δ =

(XL −XC

R

)=

ωL− 1

ωCR

Portanto, podemos escrever Q0 como (observe

que e−iπ/2 = −i),

Q0 = − iE0

ωZeiδ=E0e

−iπ/2

ωZeiδ=E0e

−i(δ+π/2)

ωZ

Assim,

Q(t) =E0

ωZei(ωt−δ−π/2)

A solucao para a carga q(t) e dada por

q(t) = Im(Q(t)) =E0

ωZsen

(ωt− δ − π

2

)

= − E0

ωZcos (ωt− δ)


q(t) = − E0

ω

√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2cos (ωt− δ)

Ja a corrente, entao e dada por,

I(t) = q(t) =E0√

R2 +

(ωL− 1

ωC

)2sen (ωt− δ)

=E0

Zsen (ωt− δ)

A voltagem atraves do indutor e determi-

nada pela derivada temporal da corrente, ou

seja,

VL = LdI

dt=ωLE0

Zcos (ωt− δ)

= V (ω) cos (ωt− δ)Para encontrarmos a frequencia que VL e

maximo, ωmax, devemos derivar VL com res-

peito a ω e fazermos o resultado igual a zero.

Precisamos considerar somente a amplitude

V (ω) e nao a parte dependente do tempo.

dV (ω)

dω=

d

dω

ωLE0√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

dV (ω)

dω=

LE0√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2−

1

2

LE0ω2

(ωL− 1

ωC

)(L+

1

ω2C

)

[R2 +

(ωL− 1

ωC

)2]3/2

dV (ω)

dω=

LE0√(1

ωC− ωL

)2

+R2

×

1−

(L2ω2 − 1

ω2C2

)

[R2 +

(ωL− 1

ωC

)2]

dV (ω)

dω=

LE0

[R2 +

2

ω2C2− 2L

C

]

[R2 +

(ωL− 1

ωC

)2]3/2

Para encontramos o valor de ωmax. basta fa-

zermos o termo entre colchetes no numerador

igual a zero, assim, encontramos que

2

ω2C2=

2L

C−R2

1

ω2= LC − 1

2C2R2

ωmax. =1√

LC − 12C2R2

Este e o resultado desejado. Devemos ob-

servar a diferenca entre esta frequencia e a

frequencia natural ω0 = 1/√LC, e a frequencia

de ressonancia da carga dada pela equacao

(3.76), ωR =√ω2

0 − 2β2, a qual quando

transcritas as constantes obtemos que ωR =√1/LC −R2/2L2.


3.22 Analogia entre as Oscilacoes Mecanicas e Eletricas

Nas tabelas abaixo apresentamos as relacoes entre as grandezas eletricas e mecanicas.

Mecanica Eletrica

x Deslocamento q Carga

x Velocidade q = I Corrente

m Massa L Indutancia

b Constante de Amortecimento R Resistencia

1/k Coeficiente de flexibilidade C Capacitancia

F Amplitude da forca aplicada E Amplitude da fem aplicada

Tabela 3.2: Analogia entre as quantidades eletricas e mecanicas.

Oscilador Mecanico Oscilador Eletrico

mx+ kx = 0 Lq +1

Cq = 0

ω0 =√k/m ω0 = 1/

√LC

Energia Cinetica: T =1

2mv2 Energia Magnetica: UM =

1

2LI2

Energia Potencial: U =1

2kx2 Energia Eletrica: UE =

q2

2C

mx+ bx+ kx = 0 Lq +Rq +1

Cq = 0

ω0 =√k/m ω0 = 1/

√LC

β = b/2m β = R/2L

x+ 2βx+ ω20x = 0 q + 2βq + ω2

0q = 0

ωc =√β2 − ω2

0 =

√b2

4m2− k

mωc =

√β2 − ω2

0 =

√R2

4L2− 1

LC

ωa =√ω2

0 − β2 =

√k

m− b2

4m2ωa =

√ω2

0 − β2 =

√1

LC− R2

4L2

ωR =√ω2

0 − 2β2 =

√k

m− b2

2m2ωR =

√ω2

0 − 2β2 =

√1

LC− R2

2L2

Tabela 3.3: Analogia entre as equacoes dos osciladores eletricas e dos osciladores mecanicos.


3.23 Problemas

1. Classifique as equacoes diferenciais line-

ares abaixo quanto ao tipo de amorteci-

mento (quando for o caso) e escreva o

perıodo de oscilacao e a solucao das mes-

mas (quando houver):

(a) d2θdt2

= θ + 2dθdt

(b) 32

d2Qdt2

+ 94

dQdt

= −152Q

(c) 16, 0ξ = 8dξdt− d2ξ

dt2

(d) d2Ψdt2

+ 2, 6dΨdt

= −2Ψ

(e) d2ξdt2

+ ξ = −2dξdt

(f) d2qdt2

= −2q − 3dqdt

2. A extremidade de uma mola vibra com

um perıodo T , quando uma certa massa

M esta ligada a ela. Quando esta massa e

acrescida de uma massa m, o perıodo de

oscilacao do sistema passa para 32T . De-

termine o valor de m em funcao de M e

do perıodo T .

3. Um oscilador harmonico simples consiste

de um bloco de massa m = 1.0 kg preso a

uma mola de constante elastica k = 36

N/m. Quando t = 2.0 s, a posicao e

a velocidade e a aceleracao do bloco sao

x(2) = −1.773 m e v(2) = 5.550 m/s.

(a) Qual a amplitude das oscilacoes? (b)

Qual e a velocidade maxima e a aceleracao

maxima deste bloco? Quais eram (c) a

posicao e a (d) velocidade do bloco no ins-

tante t = 0.0 s?

4. Um bloco esta numa superfıcie hori-

zontal (uma mesa oscilante), que se

agita horizontalmente em um movimento

harmonico simples com uma frequencia de

2, 0 Hz. O coeficiente de atrito estatico

entre o bloco e a superfıcie e µe = 0, 50.

Qual pode ser a maior amplitude do MHS,

para que o bloco nao deslize sobre a su-

perfıcie?

5. Um bloco esta sobre um pistao que se

move verticalmente em um movimento

harmonico simples (MHS). (a) Se o MHS

tem um perıodo de 1, 0 s, em que am-

plitude do movimento o bloco e o pistao

irao se separar? (b) Se o pistao tem uma

amplitude de 5, 0 cm, qual a frequencia

maxima em que o bloco e o pistao estarao

continuamente em contato?

6. Uma certa mola sem massa esta suspensa

do teto com um pequeno objeto preso

a sua extremidade inferior. O objeto e

mantido inicialmente em repouso, numa

posicao yi tal que a mola nao fique es-

ticada. O objeto e entao liberado e os-

cila para cima e para baixo, sendo sua

posicao mais baixa 10, 0 cm abaixo de yi.

(a) Qual a frequencia da oscilacao? (b)

Qual a velocidade do objeto quando esta

a 8, 0 cm abaixo da posicao inicial yi? (c)

Um objeto com massa 300 g e ligado ao

primeiro objeto; logo apos, o sistema os-

cila com metade da frequencia original.

Qual a massa do primeiro objeto? (d)

Com relacao a yi, onde e o novo ponto de

equilıbrio (repouso) com ambos os objetos

presos a mola?

7. (a) Quando o deslocamento de uma

partıcula em movimento harmonico sim-

ples for igual a metade da amplitude A,

que fracao da energia total e cinetica e que

fracao e potencial? (b) Para que valor do

deslocamento x, metade da energia total

sera cinetica e metade sera potencial?

8. Um bloco de 4, 00 kg esta suspenso por

uma certa mola, estendendo-a 16, 0 cm


alem de sua posicao de repouso. (a) Qual e

a constante da mola? (b) O bloco e remo-

vido e um corpo com 0, 500 kg e suspenso

pela mesma mola. Se esta for entao pu-

xada e solta, qual o perıodo da oscilacao?

9. Um peso de 20 N e suspenso na parte in-

ferior de certa mola vertical, fazendo com

que esta estenda 20 cm. (a) Qual a cons-

tante da mola? (b) Esta mola e entao co-

locada horizontalmente em uma mesa sem

atrito. Uma extremidade dela e fixada e

a outra e presa a um peso de 5, 0 N. O

peso e entao deslocado (esticando a mola)

e liberado do repouso. Qual e o perıodo

da oscilacao?

10. Uma massa de 50, 0 g e presa a extre-

midade inferior de uma mola vertical e

colocada em vibracao. Se a velocidade

maxima da massa e 15, 0 cm/s e o perıodo

0, 500 s, ache (a) a constante de elastici-

dade da mola, (b) a amplitude do movi-

mento e (c) a frequencia de oscilacao.

11. Um bloco de 2, 00 kg esta suspenso por

uma certa mola. Se adicionarmos um

corpo de 300 g ao bloco, a mola esticara

mais 2, 0 cm. (a) Qual a constante da

mola? (b) Se removermos o corpo de 300

g e o bloco for colocado em oscilacao, ache

o perıodo do movimento.

12. A extremidade de determinada mola vi-

bra com um perıodo de 2, 0 s quando certa

massa m esta ligada a ela. Quando esta

massa e acrescida de 2, 0 kg, o perıodo

passa para 3, 0 s. Ache o valor de m.


em um bloco com uma massa de 2, 00 kg

ligado a uma mola com uma constante

elastica k = 100 N/m. Quando t = 1, 00

s, a posicao e a velocidade do bloco sao

x = 0, 129 m e v = 3, 415 m/s. (a) Qual a

amplitude das oscilacoes? Quais eram (b)

a posicao e (c) a velocidade da massa no

instante t = 0s?

14. Duas partıculas executam um movimento

harmonico simples com as mesmas ampli-

tudes e frequencias ao longo da mesma li-

nha reta. Elas passam uma pela outra,

movendo-se em sentidos opostos, cada vez

que seu deslocamento e metade da ampli-

tude. Qual a diferenca de fase entre elas?

15. Dois blocos (M = 12, 0 kg e m = 1, 5 kg)

que foram colocados sobre uma superfıcie

sem atrito, estao presos a uma mola de

constante elastica k = 240 N/m (ver fi-

gura). O coeficiente de atrito estatico en-

tre os dois blocos e µe = 0, 40. Deter-

mine a maxima amplitude possıvel do mo-

vimento harmonico simples, se nao houver

deslizamento entre os blocos? (b) Se do-

brarmos a massa m, em quanto ira variar

a energia total do sistema?

Figura 3.60: Dois blocos de massas M e m

presos a uma mola.

16. Uma mola uniforme, cujo o comprimento

do repouso e L, tem uma constante k.

A mola e cortada em duas partes com

comprimentos de repouso L1 e L2, com

L1 = nL2. (a) Quais as correspondentes

constantes de forca k1 e k2 e termos de n e


k? (b) Se um bloco for ligado a mola ori-

ginal, ele oscila com uma frequencia ν. Se

esta ultima for substituıda pelos pedacos

L1 ou L2, a frequencia correspondente e

ν1 ou ν2. Ache ν1 e ν2 em termos de ν.

17. Se a massa m de uma mola nao for des-

prezıvel, porem for pequena comparada a

a massa M do objeto preso a ela, mostre

que o perıodo do movimento e dado por

T = 2π√

(M+m/3)k

. (Sugestao: a condicao

m ¿ M e equivalente a hipotese de que

a mola se distende proporcionalmente ao

longo do seu comprimento.)

18. Um oscilador harmonico amortecido con-

siste de um bloco de massa m = 2.0 kg

preso a uma mola de constante elastica

k = 16 N/m. A forca de amortecimento

FA = −bv. Este oscila inicialmente com

uma amplitude A = 32, 0 cm. Devido

ao amortecimento, a amplitude e redu-

zida para um quarto do seu valor inicial,

quando sao completadas cinco oscilacoes.

(a) Escreva a equacao de movimento para

este sistema e a solucao da mesma. (b)

Qual o valor de b? (c) Em que instante

a energia do oscilador sera igual a ener-

gia perdida pelo mesmo? (d) Que fracao

da energia do oscilador e perdida a cada

oscilacao completa?

19. A amplitude de um oscilador ligeiramente

amortecido diminui 3, 0% durante cada ci-

clo. Que fracao da energia do oscilador e

perdida em cada oscilacao completa?

20. Um oscilador harmonico amortecido con-

siste de um bloco de massa m = 1.5 kg

dependurado na extremidade uma mola

de constante elastica k = 8, 0 N/m. A

forca de amortecimento FA = −bv =

−b(dv/dt), onde b = 230 g/s. Supo-

nha que o bloco seja puxado verticalmente

12, 0 cm para baixo da sua posicao de

equilıbrio e liberado. (a) Calcule o tempo

necessario para que a amplitude seja redu-

zida para um terco do seu valor inicial. (b)

Quantas oscilacoes serao realizadas pelo

bloco durante este tempo?

21. Considere que voce esta examinando as

caracterısticas do sistema de suspensao de

um automovel com 2000, 0 kg. A sus-

pensao ”cede” 10, 0 cm, quando o peso

do automovel inteiro e colocado sobre ela.

Alem disso, a amplitude da oscilacao dimi-

nui 50% durante uma oscilacao completa.

Estime os valores de k e b para o sistema

de mola e amortecedor em uma roda, con-

siderando que cada uma suporta 500 kg.


de uma massa de 100 g presa na extre-

midade de uma mola cuja constante de

forca e 0, 104 N/m. A massa e deslocada

3 cm e depois solta. Calcule a frequencia,

o perıodo, a energia total e a velocidade

maxima.

23. Calcule as medias temporais das ener-

gias cinetica e potencial de um oscilador

harmonico simples sobre um ciclo e mos-

tre que elas sao iguais. Porque este e um

resultado esperado? A seguir, calcule as

medias espaciais dessas grandezas e justi-

fique porque os resultados nao sao iguais.

24. Obtenha uma expressao para a fracao de

um perıodo (∆t/τ) que a partıcula per-

manece dentro de uma regiao de compri-

mento ∆x, na posicao x, em um oscilador

harmonico simples. Esboce esta funcao

versus x e discuta o significado fısico do

resultado obtido.


25. Duas massas m1 e m2, livres para se movi-

mentarem sobre um trilho horizontal sem

atrito, estao conectadas por uma mola

cuja constante elastica e k. Obtenha a

frequencia de oscilacao para este sistema.

26. Um corpo de area de secao transversal

uniforme e densidade ρ flutua em um

lıquido de densidade ρ0. Na situacao

de equilıbrio, o corpo esta submerso no

lıquido de uma profundidade he. Mostre

que o perıodo de pequenas oscilacoes ver-

ticais em torno da posicao de equilıbrio e

dado por

τ = 2π

√he

g

27. Se a amplitude de um oscilador subamor-

tecido decresce a 1/e do seu valor inicial

apos n perıodos (n À 1), mostre que a

frequencia do oscilador e dada por

ωa ≈ ω0

(1− 1

8π2n2

)

28. (a) Obtenha uma expressao para a ener-

gia mecanica de um oscilador subamorte-

cido como funcao do tempo. (b) Esboce o

grafico de E(t)× t. (c) Obtenha uma ex-

pressao para a taxa de perda de energia,

dE/dt. (d) No caso de um oscilador fra-

camente amortecido (β ¿ ω0), obtenha a

taxa media de perda de energia.

29. Supondo uma solucao do tipo

x(t) = y(t)e−βt

mostre que a solucao da equacao de mo-

vimento para um oscilador com amorteci-

mento crıtico e dada por

x(t) = (A+Bt)e−βt

30. Considere um oscilador forcado amorte-

cido (com forca senoidal). Mostre que a

energia cinetica media assume o mesmo

valor para frequencias que estao ao mesmo

numero de oitavos abaixo e acima da

frequencia de ressonancia. Um oitavo

e o intervalo de frequencia em que a

frequencia mais alta e o dobro da mais

baixa.

31. Considere um oscilador fracamente amor-

tecido (β ¿ ω0). Mostre que, proximo da

ressonancia, Q e dado por

Q ' 2π

(Energia total armazenada

|Energia dissipada no perıodo|)

32. Mostre que para um oscilador fracamente

amortecido

Q ∼= ω0

∆ωonde ∆ω representa o intervalo de

frequencia entre os pontos sobre a curva

de ressonancia que correspondem a 1/√

2

da amplitude maxima.

33. Suponha que em um oscilador superamor-

tecido a posicao e a velocidade iniciais se-

jam dados por x0 e v0, respectivamente.

Mostre que

A1 =β2x0 + v0

β2 − β1

; A2 = −β1x0 + v0

β2 − β1

onde

β1 = β − ωc e β2 = β + ωc

ωc =√β2 − ω2

0, ωc > 0.

Mostre que se A1 = 0,

x(t) = −β2x.

Mostre que se A1 6= 0,

x(t) −→ −β1x

para um tempo muito grande. Esboce

os dois caminhos de fase no mesmo dia-

grama.


34. Mostre que a serie de Fourier dada por

(3.98) pode ser reescrita como

f(t) =a0

2+

∞∑n=1

cn cos(nωt− φn)

e obtenha cn e φn em termos de an e bn.

35. Obtenha a solucao estacionaria, xp(t),

para um oscilador sujeito a uma forca ex-

terna periodica dada por

F (t) =

−A −πω< t < 0

+A 0 < t <π

ω

3.23.1 Circuitos LC

1. Um indutor de 40 mH deve ser ligado a um

capacitor para fazer um circuito LC com

uma frequencia natural de f = 2 × 106

Hz. Que valor de capacitancia devera ser

usado?

2. Um circuito LC, num receptor de radio

AM, usa um indutor com indutancia de

0, 1 H e um capacitor variavel. Se a

frequencia natural (f) do circuito precisa

ser ajustada entre 0, 5 e 1, 5 MHz, corres-

pondente a faixa de radio AM, que faixa

de capacitancia devera ser coberta pelo ca-

pacitor variavel?

3. Obtenha uma expressao para a corrente

maxima num circuito LC em funcao dos

valores de L, de C e de V0 (a tensao corres-

pondente a carga maxima do capacitor).

3.23.2 Circuitos RLC

1. Que resistencia R deve ser ligada em serie

com uma indutancia L = 220 mH e uma

capacitancia C = 12, 0 pF a fim de que

a carga maxima do capacitor decaia a

99, 0% de seu valor inicial em 50, 0 ciclos?

2. Considere um circuito RLC subcritica-

mente amortecido. (a) Usando a lei das

malhas de Kirchhoff escreva a equacao di-

ferencial para a carga que ira descrever a

evolucao temporal deste sistema e a sua

solucao, definindo ω, ω0, γ, o perıodo T

e a frequencia f . (b) Considerando que

no instante t = 0 que a energia no capa-

citor e maxima, determine a constante de

fase δ? (c) Faca um grafico esquematico

de como a carga varia em funcao do tempo

e identifique os pontos onde a energia no

capacitor e no indutor sao maximas, e pro-

cure justificar sua resposta. (d) Determine

o instante em que a energia maxima pre-

sente no capacitor e um quarto da energia

maxima presente no instante t = 0.

3. Num circuito LC amortecido, determine

o instante em que a energia maxima pre-

sente no capacitor e a metade da energia

maxima presente no instante t = 0. Supo-

nha q = Q para t = 0.

4. Um circuito com uma unica malha con-

siste em um resistor de 7, 20 Ω, um indu-

tor de 12, 0 H e um capacitor de 3, 20 pF.

Inicialmente, a carga do capacitor e 6, 20

pC e a corrente e zero. Calcular a carga

do capacitor depois de N oscilacoes com-

pletas, para N = 5, 10 e 100.

Capıtulo 4

Gravitacao

4.1 Introducao

A Lei da Gravitacao Universal foi formulada

por Newton em 1666 com a idade de 23 anos,

e publicada em seu livro Principia em 1687.

Newton esperou quase 20 anos para publicar

seus resultados, porque ele nao podia justifi-

car o seu metodo de calculo numerico, no qual

ele considerava a Terra e a Lua como mas-

sas puntiformes. A sua lei foi formulada para

partıculas puntiformes.

A Lei da Gravitacao Universal de Newton

diz que duas partıculas puntiformes se atraem

mutuamente com forca proporcional ao pro-

duto das massas e inversamente proporcional

ao quadrado da distancia entre elas. O modulo

da forca de atracao entre as massas das duas

partıculas puntiformes (ver figura Fig. 4.1

abaixo) e dado por

F = Gm1m2

r2ij

(4.1)

onde G e a constante de proporcionalidade,

chamada constante de gravitacao universal e

rij e a distancia entre as duas partıculas pun-

tiformes de massas mi e mj.

Vetorialmente, a forca que a massa punti-

forme mj exerce sobre a massa puntiforme mi,

ou simplesmente forca em mi devido a mj, e

dada por

Fij = −Gmimj

r2ij

rij = −Fji (4.2)

Figura 4.1: Interacao gravitacional entre duas

partıculas puntiformes de massas mi e mj.

onde rij = |rij| e a distancia entre as

partıculas, e rij =rij

rije um vetor unitario ao

longo da reta que passa pelas duas partıculas

e cujo sentido e aquele que vai da partıcula

j para partıcula i. Em outras palavras, a

(4.2) diz que a magnitude da forca gravitaci-

onal e proporcional a massa de cada uma das

partıculas e inversamente proporcional ao qua-

drado da distancia que as separa. A forca esta

dirigida ao longo da reta que passa pelas duas

partıculas e e atrativa, ou seja, a forca Fij exer-

cida por j sobre i esta dirigida para j. O si-

nal da forca e negativo porque o seu sentido e

oposto ao do vetor unitario rij.

A constante de proporcionalidade G que

aparece na (4.2) e uma constante universal (ou

seja, a mesma para qualquer par de partıculas

puntiformes), que se chama a constante gra-

150


Figura 4.2: Interacao gravitacional entre duas

partıculas de massa mi e mj, separadas por

uma distancia rij.

vitacional. Ela foi medida pela primeira vez

pelo fısico ingles Henry Cavendish, e o seu va-

lor numerico atual no sistema MKS e

G = (6.6726± 0.0008)× 10−11 N · m2

kg2

E interessante observar que, apesar de ser a

constante universal da Fısica conhecida a mais

tempo (outras sao c, e, h, . . . ), a constante G e

aquela medida com menor precisao experimen-

tal.

Este valor numerico para a constante gravi-

tacional significa que a forca de atracao gravi-

tacional entre duas massas puntiformes de 1 kg

a uma distancia de 1 m e de ≈ 6.6726× 10−11

N, ou seja, e ∼ 10−5 vezes menor que o peso de

um fio de cabelo! Isto mostra como e fraca a

interacao gravitacional: e ela e a mais fraca de

todas as interacoes fundamentais conhecidas.

Apesar de ser tao fraca, a interacao gravita-

cional e a mais importante quando aplicada a

astronomia devido as seguintes razoes: (a) con-

tinua atuando entre corpos eletricamente neu-

tros, ou seja, que contem igual quantidade de

carga eletrica positiva e negativa, eliminando

as interacoes de origem eletrica entre eles; (b)

ao contrario das forcas eletricas, a interacao

gravitacional e sempre atrativa; (c) as mas-

sas dos corpos que interagem, na escala as-

tronomica, sao extremamente grandes.

4.2 Princıpio da Super-

posicao

Deve-se observar que na forma em que foi

escrita a equacao (4.2), a lei da gravitacao uni-

versal se aplica somente a um par de partıculas

puntiformes. O que ocorre quando mais de

duas massas puntiformes interagem entre-si?

A experiencia mostra que para um sistema

constituıdo por N partıculas de massa mi, os

efeitos das interacoes gravitacionais entre elas

se superpoem, ou seja, a forca gravitacional

que atua sobre cada uma das partıculas, e a

resultante de suas interacoes com todas as de-

mais partıculas do sistema, obtida aplicando-se

a cada par de massas puntiformes a lei de New-

ton da gravitacao, e isto e uma caracterıstica

de um sistema linear, e com este sentido pode-

se dizer que a interacao gravitacional possui

uma resposta linear. Desta forma para a massa

mi, a forca resultante FR = Fi sobre a massa

mi devido a interacao com todas as outras e

dada por (ver figura 4.3 abaixo)

Figura 4.3: Interacao gravitacional entre uma

partıcula puntiforme de massa mi localizada

no ponto P e uma distribuicao de partıculas

puntiformes de massa mj, separadas por uma

distancia rij, onde rij e a distancia entre a

partıcula de massa mi e a partıcula de massa

mj.


FR = Fi =∑

j 6=i

Fij = −Gmi

∑

j 6=i

mj

r2ij

· rij

(4.3)

O princıpio da superposicao diz que nos

sistemas cuja interacao e linear, como no

caso gravitacional, a forca resultante em uma

partıcula qualquer de massa mi, devido a to-

das as outras N partıculas de massa mj (aqui

i 6= j) do sistema e dada pela equacao (4.3).

4.3 Distribuicoes

Contınuas de Massa

Como a lei da lei de gravitacao de Newton,

expressa pela eq. (4.2), so e valida para um

par de partıculas pontuais, entao se uma ou

ambas as partıculas forem trocadas por um

corpo extenso que possui uma certa dimensao,

deve-se fazer uma hipotese adicional antes de

calcularmos a forca resultante. Neste caso,

deve-se levar em conta que o campo produ-

zido pela forca gravitacional e uma interacao

(um campo) linear, ou seja, considera-se que

a forca de atracao sofrida por uma partıcula

puntiforme de massa m colocada nas proximi-

dades de um corpo extenso de massa M pode

ser calculada atraves do princıpio da super-

posicao. Para aplicar o princıpio da super-

posicao, considera-se que o corpo extenso possa

ser dividido em pequenos elementos puntifor-

mes infinitesimais de massa dM e volume dV ,

e que a forca de interacao gravitacional en-

tre cada um destes elementos infinitesimais de

massa dM e a partıcula puntiforme de massa

m obedece a lei de Newton da gravitacao. As-

sim, a forca total sobre a partıcula puntiforme

de massa m e dada pela soma (integral) das

forcas devida a cada elemento infinitesimal de

massa dM . Portanto, a forca resultante sobre a

massa m devido a interacao gravitacional com

a massa M , conforme mostrado na figura 4.4

abaixo, e dada por

F = −Gm∫

r− r′

|r− r′|3dM (4.4)

Figura 4.4: Interacao gravitacional entre um

corpo extenso de massa M e uma partıcula

puntiforme de massa m.

Empregando o princıpio de superposicao,

pode-se passar da descricao em termos de

massas puntiformes para uma descricao ma-

croscopica de massas distribuıdas sobre corpos

extensos:

Figura 4.5: Corpos extensos com distribuicoes

de massa volumetrica, superficial e linear.

(a) Distribuicao Volumetrica:

dM = ρdV ⇒ M =

∫dM =

∫ρdV


(b) Distribuicao Superficial:

dM = σds ⇒ M =

∫dM =

∫σds

(c) Distribuicao Linear:

dM = λ · d` ⇒ M =

∫dM =

∫λd`·

Exemplo 44 Calcule a forca gravitacional

exercida por uma casca esferica de espessura

δe, raio R e massa M distribuıda uniforme-

mente sobre a superfıcie da casca, sobre uma

partıcula puntiforme de massa m, localizada

em um ponto P a (a) uma distancia r > R

do centro da casca esferica e (b) para uma

distancia r < R do centro da casca esferica.

Figura 4.6: Forca gravitacional excercida por

uma casca esferica sobre uma partıcula punti-

forme externa a casca esferica.

Solucao 1 Como a massa M esta distribuıda

uniformemente sobre a casca esferica, entao a

densidade volumetrica de massa ρ e dada por,

ρ =M

V=

M

4πR2δe

O modulo da forca que o anel de largura Rdθ

exerce sobre a massa puntiforme m, esta ao

longo da linha que une o centro da casca

esferica com a partıcula, e e dada por

dF =GmdM

S2cosα

Portanto, a forca exercida por toda a casca

esferica e

F =

∫ r+R

r−R

GmdM

S2cosα

onde

dM = ρδe ·Rdθ · 2πR sen θ

=M

2sen θdθ

Da lei dos cossenos temos que,

S2 = R2 + r2 − 2Rr cos θ

Diferenciando a expressao acima encontramos

SdS = Rr sen θdθ

sen θdθ =SdS

Rr

Aplicadno, novamente a lei dos cossenos ao

mesmo triangulo da figura 4.6, pode-se escre-

ver

R2 = r2 + S2 − 2Sr cosα,

na qual isolando cosα obtem-se que

cosα =r2 −R2 + S2

2rS.

Portanto, a forca pode entao ser escrita como,

F =GmM

2

∫ r+R

r−R

1

S2· SdSRr· r

2 −R2 + S2

2rS

=GmM

4Rr2

∫ r+R

r−R

(1 +

r2 −R2

S2

)dS

=GmM

4Rr2

[S − r2 −R2

S

]∣∣∣∣r+R

r−R

=GmM

4Rr2[2R−

(r2 −R2

) (1

r +R− 1

r −R)]

=GmM

4Rr2

[2R− (

r2 −R2) −2R

r2 −R2

]

=GmM

r2


Este resultado mostra que forca exercida por

uma casca esferica, com uma massa M dis-

tribuıda uniformemente sobre sua superfıcie,

em uma partıcula puntiforme de massa m lo-

calizada a uma distancia r do seu centro, e

equivalente a forca exercida por uma partıcula

puntiforme de massa M localizada no centro da

casca esferica sobre uma partıcula puntiforme

de massa m localizada a uma distancia r de

M .

O que ocorrera no caso em que a partıcula

puntiforme de massa m estiver localizada no

interior da casca esferica? Na figura 4.7

abaixo, ilustramos esta situacao.

Figura 4.7: Forca gravitacional excercida por

uma casca esferica sobre uma partıcula interna

a casca esferica.

Das consideracoes iniciais do item anterior,

o que ira mudar neste caso sao os limites de

integracao da forca, ou seja,

F =GmM

2

∫ R+r

R−r

1

S2· SdSRr· r

2 −R2 + S2

2rS

=GmM

4Rr2

∫ R+r

R−r

(1 +

r2 −R2

S2

)dS

=GmM

4Rr2

[S − r2 −R2

S

]∣∣∣∣R+r

R−r

=GmM

4Rr2[2r−

(r2 −R2

) (1

R + r− 1

R− r)]

=GmM

4Rr2

[2r − (

r2 −R2) −2r

R2 − r2

]

= 0

Este e um resultado surpreendente, pois ele

nos garante que a forca resultante sobre uma

partıcula puntiforme, no interior de uma casca

esferica massiva e nula, independentemente de

sua posicao.

4.4 Centro de Gravidade

Considere uma massa puntiforme m na pre-

senca de um corpo extenso de massa M e den-

sidade volumetrica ρ(r), conforme mostra a fi-

gura 4.4. De acordo com a equacao (4.4), a

forca que a massa puntiforme m localizada no

ponto P exerce em cada porcao puntiforme do

corpo extenso de massa M , esta direcionada ao

longo de uma linha que vai da partıcula pun-

tiforme de massa m ao elemento de volume de

massa dM . Seja F a forca resultante sobre m

localizada no ponto P , devido interacao gravi-

tacional com o corpo extenso. Entretanto, da

terceira lei de Newton sabemos que a massa m

ira atrair o corpo extenso com uma forca −F.

Portanto, sobre a linha de acao da forca F,

pode-se localizar um ponto CG (nao necessari-

amente sobre o corpo extenso) a uma distancia


Figura 4.8: Aqui mostramos o calculo o centro

de gravidade (CG) no ponto P.

d da massa m sobre o qual pode-se concentrar

toda a massa do corpo extenso em um unico

ponto, nao alterando a forca resultante sobre

a partıcula puntiforme de massa m. A vanta-

gem de definir-se o centro de gravidade esta no

fato de poder-se tratar, a interacao gravitacio-

nal entre o corpo extenso e a partıcula punti-

forme como uma interacao gravitacional entre

duas partıculas puntiformes. Deste modo, te-

mos que a forca resultante sobre m e

F = GMm

d2(4.5)

Sobre estas condicoes, a forca gravitacional en-

tre o corpo extenso de massa M e a partıcula

de massa m e equivalente a uma unica forca

resultante atuando em M no ponto CG e F

atuando em m no ponto P . Os corpos exten-

sos se comportam como se toda a massa es-

tivesse centrada no ponto CG. O ponto CG

e chamado de Centro de Gravidade do corpo

extenso de massa M em relacao ao corpo de

massa m localizado no ponto P . Se a posicao

da massa m no ponto P mudar, o mesmo ocor-

rera com a posicao do centro de gravidade, o

ponto CG. Em geral o centro de gravidade

nao coincide com o centro de massa do corpo

extenso de massa M , ele nao esta na linha que

une o centro de massa de M ao ponto P onde

esta m. O centro de massa ira coincidir com

o centro de gravidade somente nos seguintes

casos:

1. Se a massa m estiver longe de M , o campo

gravitacional sentido por todas as partes

do corpo extenso de massa M , sera uni-

forme, ou seja, diferentes partes do corpo

extenso sentirao a mesma forca, e neste

caso o centro de gravidade coincidira com

o centro de massa.

2. Para um corpo simetrico, tal como uma

esfera uniforme, o seu centro de gravidade

coincide com o seu centro de massa (CM).

4.5 Campo Gravitacional

g

A forca gravitacional exercida por uma

massa sobre uma outra e um exemplo de

uma forca cuja acao se da a distancia, ou

como e mais conhecida, uma forca de acao a

distancia1. A fim de evitar o problema da acao

a distancia no caso da interacao gravitacional,

introduz-se o conceito do campo gravitacional

g. Uma massa m ao ser colocada no espaco

vazio, ira produzir um campo gravitacional g

em todo o espaco, e sera este campo que ira

exerce uma forca sobre uma segunda partıcula

massiva qualquer ao ser colocada em um ponto

1Uma demonstracao eloquente pode ser sentida du-rante os contatos ente os astronautas na lua e abase terrestre. A transmissao dos sinais era eletro-magnetica, levando a interacoes entre cargas e cor-rentes da antena transmissora e da antena receptora.Quem acompanhou os contatos pela televisao percebiauma demora da ordem de 2 segundos entre perguntasda base e a recepcao das respostas da lua, isto se deveao fato da distancia Terra-Lua ∼= 1 segundo-luz.


P qualquer do espaco. Portanto, a forca sobre

a segunda massa sera exercida pelo campo na

posicao da mesma, e neste caso nao mais e mais

necessario preocupar-se com a massa que gerou

o campo gravitacional, para obter a forca so-

bre a segunda massa, basta conhecer o campo

gravitacional naquele ponto. Em suma pode-

mos afirmar que, em qualquer regiao do espaco

onde uma massa experimenta uma forca, dize-

mos que ela esta na presenca de um campo

gravitacional g. A forca experimentada pela

massa e devida a presenca de outras massas

naquela regiao, que alteram as propriedades do

espaco naquela regiao. A forca gravitacional e

uma forca de longo alcance, portanto, o campo

gerado por uma partıcula massiva qualquer ira

alterar as propriedades de todo o espaco. Para

ilustrar o conceito de campo considere a fi-

gura 4.9 abaixo onde mostramos a superfıcie

da cama deformada por uma bola de boliche,

esta deformacao do espaco e o que chamamos

de campo. Ja na figura 4.9(b) mostramos so-

mente a superfıcie da cama deformada, ou seja,

so temos a deformacao do espaco. Neste caso

ao colocarmos uma pequena bolinha de gude

ela ira se mover diretamente para o centro

da deformacao. Conhecendo a deformacao do

espaco podemos dizer como sera o movimento

de uma bolinha de gude na presenca desta de-

formacao. A deformacao do espaco e que cha-

mamos de um campo. Devemos ressaltar aqui

que a deformacao do espaco devido um corpo

massivo (campo gravitacional), sera sentida so-

mente por outro corpo massivo2, assim como

2Aqui, devemos ressaltar que apesar de nao termassa o foton ainda assim sente a presenca de umcampo gravitacional intenso. Em 1919 a teoria da rela-tividade geral de Einstein, que previa um espaco-tempocurvo, foi confirmada, quando uma expedicao britanicaa Africa Ocidental observou uma pequena deflexao daluz ao passar perto do sol durante um eclipse. Esteevento foi uma evidencia direta que o espaco e tempo

a deformacao do espaco por corpo carregado

(campo eletrico) sera sentida somente por ou-

tro corpo carregado.

Figura 4.9: (a) Deformacao de uma cama ao

depositarmos uma bola de boliche. (b) So-

mente a deformacao provocada pela bola de

boliche.

Considere uma caixa fechada que contem

uma distribuicao massiva desconhecida (por

exemplo, poderia ser alguns corpos extensos

e algumas partıculas puntiformes), conforme a

figura 4.10. No ponto P trazemos N partıculas

puntiformes com uma massa de provami (onde

i = 1, 2, . . . , N , e estas massas devem ser pe-

quenas o suficiente para nao alterarem a dis-

tribuicao de massa na caixa). No ponto P me-

dimos a forca resultante Fi sobre cada massa

mi, e observamos que a razao g = Fi/mi e uma

sao deformaveis.


constante.

Figura 4.10: Uma caixa fechada na qual temos

uma distribuicao de massas desconhecida.

A figura 4.10 mostra uma caixa fechada, na

qual temos uma distribuicao de massas des-

conhecida, podendo ser constituıda por cor-

pos extensos assim como por um conjunto de

massas puntiformes m1, m2, m3, . . ., etc, ar-

bitrariamente dispostas no espaco. Se colocar-

mos uma massa m0 num ponto nas vizinhancas

deste sistema de massas, havera sobre m0 uma

forca exercida pelas outras massas. A presenca

da massa m0 perturba, em geral, a distribuicao

original das outras massas. No entanto, pode-

mos imaginar que m0 seja suficientemente pe-

quena para que o seu efeito sobre a distribuicao

original de massas seja desprezıvel. Esta pe-

quena massa e uma massa de prova, pois e

usada para evidenciar o campo das outras mas-

sas sem perturba-las. A forca resultante sobre

m0 e igual a soma vetorial das forcas exercidas,

sobre m0, pelas outras massas do sistema, cada

uma isoladamente. Pela lei de Newton da gra-

vitacao, cada uma destas forcas e proporcional

a m0 entao, a forca resultante tambem sera

proporcional a m0. Pelo princıpio da super-

posicao, a forca sobre uma massa puntiforme

m0, devida a sua interacao gravitacional com

outras massas puntiformes fixas em posicoes

predeterminadas, e proporcional a m0, e pode

ser escrita como:

F0 =∑

j

F0j = −Gm0

∑j

mj

r20j

· r0j

= m0g.

(4.6)

O campo gravitacional g num ponto e defi-

nido como a forca resultante sobre uma massa

de prova puntiforme m0 colocada neste ponto,

dividida por m0:

g = limm0→0

F0

m0

(4.7)

o que equivale a definir o campo gravitacional

g como:

g = −G∑

j

mj

r20j

· r0j, (4.8)

ou na forma integral

g = −G∫

r− r′

|r− r′|3dm (4.9)

O campo gravitacional de uma distribuicao

de massa e definido como a forca por uni-

dade de massa exercida pela distribuicao de

massa sobre um corpo massivo de prova. O

campo gravitacional g de uma distribuicao de

massa descreve a propriedade do espaco nas vi-

zinhancas desta distribuicao de tal modo que

ao se colocar em um ponto qualquer desta

regiao uma partıcula de massa m, a forca que

este campo exerce sobre a partıcula e dada por

mg. Nas proximidades da superfıcie terrestre

o campo gravitacional g e aproximadamente

constante e

g = −GMT

R2T

≈ 9.8 m/s2

4.6 Potencial Gravitacio-

nal

Como foi dito anteriormente a forca gravi-

tacional e uma forca central ; isto e, ela e uma

forca puramente radial, cuja origem e o centro


da forca. Alem disso, a forca gravitacional e

esfericamente simetrica, isto e, a sua magni-

tude so depende da distancia radial ao centro

da forca e nao de sua direcao. Portanto, pode-

mos escrever uma forca central esfericamente

simetrica como:

Fr = f(r)r

mas uma forca com esta forma funcional tem

um rotacional nulo, ou seja,

∇× Fr = 0

Prova. A forca F em coordenadas esfericas

e

Fr = f(r)rr,

Como o rotacional em coordenadas esfericas

pode ser escrito como

∇× Fr =1

r2 sen θ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

r rθ r sen θφ∂

∂r

∂

∂θ

∂

∂φ

Fr rFθ r sen θFφ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Como a forca e central Fθ = Fφ = 0, portanto

o rotacional reduz-se a

∇× Fr =θ

r sen θ

∂ [rf(r)]

∂φ− φ

r

∂ [rf(r)]

∂θ= 0.

Desde que rotacional de uma forca central e

nulo (∇×Fr = 0), entao podemos concluir que

todo sistema cuja forca resultante e central,

e um sistema conservativo, pois o teorema de

Stokes garante que

∮F · dr =

∫

S

(∇× F) · dS,

Portanto, ∮F · dr = 0

ou seja, que o trabalho realizado pela forca F

e independe da trajetoria, entao a forca F e

conservativa e pode ser escrita como

F = −∇U,onde U e a energia potencial. Quanto ao sinal

negativo, podemos dar a seguinte interpretacao

para ele: a natureza prefere os sistema de mais

baixa energia, portanto, a forca resultante so-

bre os corpos deve apontar para a regiao de

mais baixa energia.

Como a forca resultante e conservativa pode-

se definir uma funcao energia potencial U(r)

do corpo em tal campo de forca central esfe-

ricamente simetrico. Portanto, ao levarmos o

corpo do ponto A ao ponto B ao longo de uma

trajetoria qualquer (ver figura 4.11) a mudanca

de energia potencial do corpo sera

∆U = UB − UA = −∫ B

A

F · d` = −WA→B

(4.10)

Do Teorema Trabalho Energia temos

∆T = TB − TA =

∫ B

A

F · d` = WA→B (4.11)

Somando as eqs. (4.10) e (4.11), obtemos a

conservacao da energia, ou seja,

∆T + ∆U = TB + UB − (TA + UA)

∆E = EB − EA = 0.

A forca gravitacional entre duas partıculas

de massas m e M respectivamente, separadas

por uma distancia r e dada por

F = −GMm

r2r (4.12)

Portanto, a energia potencial gravitacional e

dada por

U(rB)− U(rA) = −∫ B

A

− GMm

r2r · drr

= −GMm

r

∣∣∣∣rB

rA

= −GMm

rB

+GMm

rA


Por uma questao de conveniencia, adota-se

o ponto de energia potencial gravitacional zero

como sendo no infinito, e para tal, basta con-

siderar que

limrA→∞

U(rA) = 0, (4.13)

desta forma, pode-se definir uma funcao ener-

gia potencial gravitacional como

U(r) = −GMm

r. (4.14)

Observe que esta funcao devera ser zero no in-

finito, satisfazendo a condicao de contorno que

imposta pela eq. (4.13). E facil ver que ela

satisfaz a condicao imposta pois

limr→∞

U(r) = 0.

Se o corpo de massaM for um corpo extenso,

com uma distribuicao de massa contınua e de

forma arbitraria e limitada, a energia potencial

de uma partıcula de massa m em um ponto a

uma distancia r da origem do sistema de coor-

denadas e

U(r) = −∫

V

Gmρ(r′)|r− r′| dv

′. (4.15)

A intensidade do campo gravitacional, ou

o vetor campo gravitacional, ou simplesmente

o campo gravitacional g e definida como a

forca por unidade de massa exercida sobre uma

partıcula no campo gravitacional produzido

partıcula de massa M . Isto e,

g =F

m= −GM

r2r (4.16)

ou para um corpo extenso com uma distri-

buicao de massa M , o campo gravitacional ge-

rado por esta distribucao e

g = −G∫

V

r− r′

|r− r′|3 ρ(r′)dv′. (4.17)

Se existe um campo vetorial conservativo,

como e o caso do campo gravitacional, pode-se

sempre introduzir uma funcao potencial gravi-

tacional (Φ, a qual e uma quantidade escalar)

para representar este campo, fornecendo algu-

mas condicoes a serem satisfeitas. A condicao

necessaria e que ∇× g = 0, com

g =F

me ∇× F = 0 (4.18)

logo,

∇× g = 0, (4.19)

e neste caso, pode-se definir

g ≡ −∇Φ pois ∇×∇Φ = 0 (4.20)

Aqui Φ e o potencial gravitacional, o qual esta

relacionado com a energia potencial gravitaci-

onal U por

g =F

mF = −∇U

−∇Φ =1

m(−∇U)

∇(

Φ− U

m

)= 0

Assim,

Φ(r) =1

mU(r). (4.21)

Portanto, o potencial gravitacional Φ(r)

pode ser escrito na forma integral como

Φ(r) = −G∫

V

ρ(r′)|r− r′|dv

′. (4.22)

O significado fısico do potencial gravitacional

Φ(r) nada mais e do que o trabalho por uni-

dade de massa, pois

dΦ =dU

m= −dW

m. (4.23)

Existe uma certa energia potencial se um corpo

e colocado no campo gravitacional de uma dis-

tribuicao de massa. Esta energia potencial re-

side no campo, entretanto, e comun nestas cir-

cunstancias usar o termo: energia potencial do

corpo.


Na verdade, o potencial gravitacional pode-

ria ser definido a menos de uma constante de

integracao aditiva que nao alteraria o seu gra-

diente. Por convencao, esta constante e to-

mada como sendo zero para que Φ→ 0 quando

r →∞. O potencial no ponto r devido a uma

distribuicao volumetrica contınua de materia

de densidade ρ(r) e dado por

Φ(r) = −G∫


′. (4.24)

Se a massa estiver distribuıda sobre uma su-

perfıcie, com uma densidade superficial de

massa σ(r), entao o potencial e dado por

Φ(r) = −G∫

σ(r′)|r− r′|dS

′. (4.25)

Entretanto, se a massa estiver distribuıda so-

bre uma linha, com uma densidade linear de

massa λ(r), entao o potencial e dado por

Φ(r) = −G∫

λ(r′)|r− r′|d`

′. (4.26)

Uma interpretacao fısica do potencial gravita-

cional pode ser dada em termos do trabalho re-

alizado pela forca gravitacional sobre a massa

de prova. Suponha que uma massa de prova m

seja deslocada do ponto A ao ponto B atraves

de um caminho qualquer em um campo gra-

vitacional, conforme mostra a figura 4.11. O

Figura 4.11: Trajetoria de uma partıcula de

massa m em um campo gavitacional g.

trabalho realizado pela forca gravitacional so-

bre a massa m e dado por

WA→B =

∫ B

A

F · d` =

∫ B

A

mg · dr

= −m∫ B

A

∇Φ · dr

= −m∫ B

A

dΦ = −m (ΦB − ΦA)

ou, pode-se escrever

ΦB − ΦA = −WA→B

m.

Como a diferenca de energia potencial e de-

finida por

U(rB)− U(rA) = −WA→B

entao, ela pode ser reescrita como

ΦB − ΦA = −U(rB)− U(rA)

m

Portanto, pode-se afirmar que o potencial

gravitacional Φ e a energia potencial U por

unidade de massa.

Considerando que o ponto A esteja no infi-

nito onde, por convencao adotou-se que tanto

o potencial Φ quanto a energia potencial U sao

nulos, temos

Φ(r) =U(r)

M.

Exemplo 45 Obtenha expressoes para o po-

tencial gravitacional fora, dentro e no interior

de uma camada esferica de raio interno b e raio

externo a.

Solucao 2 Considerando que a densidade

desta camada esferica seja uniforme, entao

ρ =M

V=

3M

4π(a3 − b3) (4.27)

O potencial gravitacional e

Φ(r) = −G∫

V


′. (4.28)


Figura 4.12: Camada esferica de raio interno

b e raio externo a, com o ponto P externo a

camada.

O elemento de volume dv′ em coordenadas

esfericas e dado por

dv′ = r′ sen θ′dr′r′dθ′dφ′

logo, o potencial pode ser escrito como,

Φ(r) = −Gρ∫ 2π

0

dφ′∫ π

0

sen θ′dθ′∫ a

b

r′2dr′

|r− r′|

Φ(r) = −2πGρ

∫ a

b

r′2dr′∫ π

0

sen θ′dθ′

|r− r′|Fazendo,

S = |r− r′|e usando a lei dos cossenos, da qual temos que

S2 = r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′

Do ponto de vista operacional e mais conveni-

ente eliminarmos a variavel θ′ e mantermos a

variavel S. Diferenciando a equacao anterior,

obtemos

SdS = rr′ sen θ′dθ′

sen θ′dθ′

S=dS

rr′

Assim, o potencial toma a seguinte forma

Φ(r) = −2πGρ

r

∫ a

b

r′dr′∫ r+r′

r−r′dS (4.29)

Neste ponto devemos observar que os limites da

integral em S, dependem da regiao onde esta

localizado o ponto P . Portanto para o caso em

que o ponto P esta externo a camada (r > a),

temos

Φ(r) = −2πGρ

r

∫ a

b

r′dr′2r′

= −4πGρ

r

r′3

3

∣∣∣∣a

b

= −Gr

4π

3

(a3 − b3) ρ

= −GMr

Φ>(r) = −GMr

Deste resultado, podemos concluir que para

efeito de calculo, o potencial de uma distri-

buicao esfericamente simetrica para pontos ex-

terno a distribuicao, se comporta como se toda

massa estivesse concentrada em seu centro.

Se o ponto P estiver dentro da camada (r <

b), os limites de integracao em S, do potencial

em (4.29) mudam para SMin = r′−r e SMax =

r′ + r, assim a integral pode ser escrita como

Φ(r) = −2πGρ

r

∫ a

b

r′dr′∫ r′+r

r′−r

dS (4.30)

Neste caso, o ponto P esta localizado na regiao

Figura 4.13: Camada esferica de raio interno

b e raio externo a, com o ponto P interno a

camada.


interna da camada, logo

Φ(r) = −2πGρ

r

∫ a

b

r′dr′2r

= −2πGρ r′2∣∣ab

= −2πGρ(a2 − b2)

Φ<(r) = −2πGρ(a2 − b2)

Este resultado nos mostra que o potencial gra-

vitacional e constante no interior da camada,

nao dependendo da localizacao do ponto P , ou

de sua distancia r ao centro.

A ultima situacao e aquela em que o ponto

P esta no interior da camada (b < r < a).

Neste caso a integral do potencial em (4.29)

deve se desdobrar em duas partes como segue:

a primeira integral e realizado sobre toda a dis-

tribuicao que tem o ponto P , como um ponto

externo, enquanto a segunda integral e para

aquela regiao que tem o ponto P , como um

ponto interno. Assim temos,

Φ(r) = −2πGρ

r

∫ r

b

r′dr′∫ r′+r

r−r′dS

−2πGρ

r

∫ a

r

r′dr′∫ r′+r

r′−r

dS(4.31)

Neste caso, o ponto P esta localizado na regiao

Figura 4.14: Camada esferica de raio interno b

e raio externo a, com o ponto P no interior da

camada.

interna (b < r < a) da camada, logo

Φ(r) = −4πGρ

r

∫ r

b

r′2dr′

4πGρ

∫ a

r

r′dr′

= −4πρG

(a2

2− b3

3r− r2

6

)

ΦInt.(r) = −4πρG

(a2

2− b3

3r− r2

6

)

Observe que a funcao potencial Φ(r) e continua

nas interfaces. Assim temos que

Φ<(b) = ΦInt.(b) = −2πGρ(a2 − b2)

Φ>(a) = ΦInt.(a) = −GMa.

A componente radial do campo gravitacional (a

unica nao nula) pode ser calculada da equacao

g = −dΦdr

Assim,

g(r) =

0 Se r < b

−4πρG

(r − b3

r2

)Se b < r < a

−GMr2

Se r > a

A figura 4.15 abaixo, mostra os graficos do po-

tencial e do campo gravitacional em funcao de

r. Observe tambem que ambos o campo gravi-

tacional g e o potencial gravitacional Φ(r) sao

funcoes contınuas na interface.

4.7 Lei de Gauss

A Lei de Gauss e uma nova formulacao da

Lei de Newton da gravitacao, a qual leva em

conta a simetria do sistema estudado, o que

pode vir a reduzir a complexidade do problema

a ser resolvido. Devemos salientar ainda que a


Figura 4.15: Camada esferica de raio interno b

e raio externo a. Aqui mostramos o comporta-

mento do potencial gravitacional e do campo

gravitacional em todas as regioes.

Lei de Gauss so sera util na resolucao de pro-

blemas que tenham algumas simetrias presen-

tes, e que nem sempre ela podera nos ajudar a

resolver o problema que estamos abordando.

Antes de iniciarmos o nosso estudo, iremos

introduzir um conceito muito util para o en-

tendimento da Lei de Gauss, que e o conceito

de angulos solidos. Para definirmos o angulo

solido, faremos uma analogia com o angulo em

radianos.

4.7.1 Angulo Solido

Na figura 4.16 abaixo mostramos um arco de

circunferencia de comprimento ∆` com um

angulo θ.

Figura 4.16: Arco de circunferencia com um

angulo θ.

Antes de definirmos o angulo solido, iremos

rever o conceito de um angulo θ medido em

radianos.

Angulo em Radianos: θ = ∆lr

Observe que o angulo e sempre definido em

relacao a uma origem e que sempre pode-se

imaginar um cırculo de raio b maior b > r ou

menor b < r com a mesma origem, que tera

entao o mesmo angulo. Pode-se entao usar um

cırculo qualquer, desde que ele tenha a mesma

origem em relacao a qual se deseja medir o

angulo. Observe ainda que o angulo e uma

grandeza adimensional.

No espaco tridimensional (3D), os objetos

possuem um volume e uma area superficial.

Entao para lidarmos com objetos no espaco

3D, precisaremos nos preocupar com a area su-

perficial do objeto. Para tal, definiremos em

analogia ao angulo em radianos o que chama-

remos de elemento de angulo solido ∆Ω, o qual

para uma esfera de raio r, conforme a figura

4.17 abaixo, e dado por:

dΩ =dS

r2=dS

r2(4.32)

Observe que o elemento de angulo solido dΩ

definido desta forma depende da origem o e in-


Figura 4.17: Elemento de angulo solido de uma

esfera de raio r.

depende da distancia a origem, ja que a area

da esfera e proporcional a r2, e alem disso e

uma grandeza adimensional. Quando se trata

com um elemento de area defini-se um vetor

dS que e perpendicular a superfıcie e aponta

para fora da mesma e o seu modulo e nume-

ricamente igual a area daquele elemento de

area. Desta forma pode-se definir o elemento

de angulo solido como

dΩ =dS · nr2

=dS cos θ

r2(4.33)

onde n e um vetor unitario definido como

n =r

|r| = r (4.34)

A expressao (4.33) e o que chamamos de ele-

mento de angulo solido e trata-se de uma ex-

tensao do conceito de angulo plano expresso

em radianos. O angulo solido e medido em es-

ferorradianos. Observe que o angulo solido e

definido como um elemento de area dividido

pelo quadrado da distancia do mesmo a ori-

gem.

Na figura 4.18(b) seguir ilustramos o ele-

mento de angulo solido ∆Ω de uma superfıcie

qualquer, mostrando que ele e equivalente ao

elemento de angulo solido de uma esfera de raio

r que tem a mesma origem, figura 4.18(a).

Figura 4.18: Angulo solido.

A questao aqui e sera que uma area como na

figura 4.18(b) dividida por r2 e realmente igual

a da figura 4.18(a). Observe que quando defini-

se um elemento de angulo solido ele e infinitesi-

mal e esta questao perde o sentido, entretanto,

ao tentarmos descrever o angulo solido de uma

superfıcie qualquer em relacao a uma origem,

sempre podemos usar uma esfera de raio r com

a mesma origem, e medir a area da superfıcie

projetada sobre a superfıcie da esfera. Proce-

dendo desta forma temos o angulo solido do ob-

jeto. Na figura 4.19 mostramos esta situacao e

como realmente e a projecao sobre a superfıcie

de uma esfera de raio r.

Ate o momento definimos o elemento de

angulo solido dΩ, dado pela equacao (4.33),

entretanto, qual e o angulo solido que descreve

todo o espaco? Para responder a esta questao

consideremos uma esfera de raio r, conforme

mostrada na figura 4.17, entao para obtermos

o angulo solido sobre todo espaco, basta so-

mar todos os elementos de angulo solido sobre

a superfıcie da esfera, assim

Ω =

∮

S

dΩ =

∮

S

dS

r2=

1

r2·∮

S

dS =1

r24πr2

Ω = 4π.

Entao, o angulo solido que descreve todo o


Figura 4.19: Area de uma superfıcie qualquer

projetada sobre a superfıcie de uma esfera de

raio r.

espaco e Ω = 4π.

Considere agora uma superfıcie fechada

qualquer S de forma arbitraria com uma ori-

gem O interna a mesma como mostra a figura

4.20, neste caso o angulo solido e dado por

Figura 4.20: Superfıcie fechada qualquer, com

a origem interna a mesma.

Ω =

∮

S

dΩ =

∮

S′dΩ

Observe que ao percorrer toda a superfıcie

fechada S tambem percorre-se toda a su-

perfıcie fechada S ′ de uma esfera de raio r

com centro na mesma origem O. portanto, as

duas integrais devem ser iguais, logo por uma

questao de simplicidade faz-se a integral sobre

a superfıcie S ′, assim

Ω =

∮

S′dΩ =

∮

S′

dS′

(r′)2 =1

r2·∮

S′dS

′

Ω =1

r24πr2 ⇒ Ω = 4π,

Pode-se portanto concluir que, para uma su-

perfıcie fechada arbitraria qualquer S a soma

de todos os elementos de angulo solido sobre

todo o espaco sera igual a 4π, ou seja, que

Ω =

∮

S

dΩ = 4π (S ∀O e interno a superfıcie) .

(4.35)

Considere agora o caso de uma superfıcie fe-

chada arbitraria qualquer S com a origem O

externa a superfıcie, conforme mostra a figura

4.21 abaixo.

Figura 4.21: Superfıcie fechada qualquer, com

a origem externa a mesma.

Neste caso, o elemento de angulo solido dΩ

pode ser positivo ou negativo conforme θ seja

agudo ou obtuso (o sinal muda com a direcao

de n).

n1 = −n2


dΩ =dS1 · n1

r21

+dS2 · n2

r22

Ω =

∮

S

dΩ =

∮

S1

dS1 · n1

r21

+

∮

S2

dS2 · n2

r22

=

∮

S1

dS1

r21

−∮

S2

dS2

r22

= 0

Se O e um ponto externo a S temos

∮

S

dΩ = 0(S ∀e O externo a superfıcie).

(4.36)

Para finalizar, deve-se analisar o caso em que

a origem O em relacao a qual determina-se o

angulo solido encontra-se sobre a superfıcie fe-

chada, conforme a figura 4.22 abaixo.

Figura 4.22: Calculo do angulo solido, com a

origem sobre a superfıcie.

Observe que se a origem encontra-se sobre

a superfıcie, sempre podemos considerar a su-

perfıcie S ′ de uma semi-esfera de raio r, cuja

base tangencia a superfıcie S somente no ponto

O. Desta forma, temos

Ω =

∮

S′dΩ =

∮

S′

dS′

(r′)2 =1

r2·∮

S′dS

′

Ω =1

r22πr2 ⇒ Ω = 2π,

Portanto, encontramos que o angulo solido que

percorre um superfıcie fechada S, cuja origem

encontra-se sobre a mesma e a metade do va-

lor quando a origem encontra-se no interior da

superfıcie.

Se O e um ponto sobre a superfıcie S temos∮

S

dΩ = 2π(S ∀e O sobre a superfıcie).

(4.37)

Portanto, pode-se sumarizar os resultados

obtidos, expressando-os na forma compacta

∮

S

dΩ =

4π O interno a superfıcie S,

2π O sobre a superfıcie S,

0 O externo a superfıcie S.

De forma geral o elemento de angulo solido, por

ser infinitesimal, sempre pode ser visto como

na figura 4.23 abaixo.

Figura 4.23: Elemento infinitesimal de angulo

solido.

4.7.2 Fluxo de Um Campo Veto-

rial

Suponhamos que entre as margens de um rio,

com uma correnteza de velocidade constante

v, estiquemos uma rede de pesca quadrada de

area A, e seja Φ a vazao volumetrica, isto e,

a taxa com que a agua escoa atraves da rede

(volume por unidade de tempo). Essa taxa

depende do angulo entre v e o plano da rede.

Quando v e perpendicular ao plano, como na

Fig. 4.24 (a), a taxa e igual a Φ = vA.

Quando a rede e paralela a correnteza, ne-

nhuma camada de agua se move atraves dela,

de modo que o fluxo atraves dela e igual a

zero. Para angulos intermediarios, a vazao vo-

lumetrica de agua que passa atraves da rede


Figura 4.24: Fluxo de um campo vetorial v,

atraves de diversas superfıcies.

depende da componente da velocidade v que

e normal ao plano Fig. 4.24 (b). Uma vez

que esta componente vale vcosθ, a taxa de es-

coamento volumar atraves da malha e Φ =

v · S = Svcosθ. Para uma superfıcie como

a mostrada na Fig. 4.24 (c), o que fazemos e

dividi-la em pequenas superfıcies infinitesimais

de area dS, que tera tambem um fluxo infini-

tesimal dΦ = v · dS = dSv cos θ, logo o fluxo

total atraves de toda a superfıcie S, e a soma

destes fluxos infinitesimais, ou seja,

Φ =∑

i

dΦi =∑

i

vdSi cos θi

=

∫

s

v · dS

Aqui estamos considerando que a velocidade

v nao muda atraves da superfıcie S, mas o re-

sultado obtido e geral. Por exemplo, considere

o fluxo vetor v atraves da superfıcie mostrada

na figura 4.25 abaixo,

Φ = v1dS1 cos θ1 + v2dS2 cos θ2

+v3dS3 cos θ3 + · · ·Φ = v1 · dS1 + v2 · dS2 + · · ·Φ =

∫

s

v · dS

O fluxo atraves da superfıcie fechada, mos-

trada na Fig. 4.24 (d), e nulo porque o fluxo

que entra na superfıcie esquerda e igual ao que

Figura 4.25: Fluxo de um campo vetorial v,

atraves da superfıcie.

sai na superfıcie direita. Pois

Φ < 0 =⇒ Campo vetorial entrando

na superfıcie

Φ > 0 =⇒ Campo vetorial saindo

da superfıcie

Portanto, de forma geral, podemos sintetizar

os resultado obtidos anteriormente como

(a) Φ = v · S (c) Φ =

∫v · dS

(b) Φ = v · S (d) Φ =

∮

s

v · dS = 0

4.7.3 Lei de Gauss Para o

Campo Gravitacional g

Consideremos agora uma massa puntiforme

m e calculemos o fluxo de seu campo gravi-

tacional g atraves de uma superfıcie esferica

concentrica com a massa. Dado que r e o

raio da esfera, o campo gravitacional produ-

zido pela massa em cada ponto da superfıcie

esferica e

g = −Gmr2· r (4.38)

Φg =

∮

S

g · dS =

∮

S

gdS

= g

∮

S

dS = −Gmr2· (4πr2

)

= −4πGm


Portanto, pode-se escrever que o fluxo do

campo gravitacional, atraves de uma superfıcie

esferica fechada S, que contem um massa m e

dado por

Φg =

∮

S

g · dS =− 4πGm (4.39)

e esta expressao e conhecida como Lei de

Gauss. Consideremos agora uma massa m no

Figura 4.26: Na figura temos uma superfıcie

fechada S qualquer, na qual inserimos uma su-

perfıcie gaussiana esferica S ′.

interior de uma superfıcie fechada arbitraria S.

Para calcularmos o fluxo atraves da superfıcie

S e difıcil, mas sabemos que o fluxo atraves de

S e o mesmo que passa pela superfıcie S ′ (a

superfıcie gaussiana). Portanto, em vez de cal-

cularmos o fluxo atraves da superfıcie S, calcu-

laremos o fluxo atraves da superfıcie gaussiana

S ′, assim

Φg =

∮

S

g · dS =

∮

S′g · dS

= −∮

S′Gm

r2r · dS

= −Gm∮

S′

r · dSr2

= −Gm∮

S′dΩ = −4πGm.

Pode-se concluir que o fluxo do campo gravi-

tacional, atraves de uma superfıcie fechada S

qualquer, que contem um massa m e dado por

Φg =

∮

S

g · dS = −4πGm (4.40)

e esta expressao e a Lei de Gauss.

Note que este resultado nao depende de onde

a massa se encontra, desde que ela esteja no

interior da superfıcie, pois basta fazermos uma

boa escolha da superfıcie gaussiana, para ter-

mos a massa em um ponto simetrico em relacao

a superfıcie gaussiana.

Quando a massa se encontra fora da su-

perfıcie fechada, o fluxo e zero. Observe que

cada elemento de superfıcie que contribui com

um fluxo positivo possui um elemento oposto

que contribui com um fluxo negativo de mesma

magnitude (o angulo solido e o mesmo para os

dois elementos).

Quando varias massas puntiformes se encon-

tram no interior da superfıcie, cada uma delas

contribui com um fluxo −4πGmi (note que so

as massas que estao no interior da superfıcie

contribuem). Assim, o fluxo total e dado por

∮

S

g · dS =

−4πGm m interna a S

−2πGm m sobre a S

0 m externa a S

onde, m e a massa total que se encontra no

interior da superfıcie S.

Aqui faremos algumas consideracoes a res-

peito da lei de Gauss. A lei de Gauss deve-se

aos seguintes fatos:

1. Uma lei de forca que depende do inverso

do quadrado da distancia.

2. Natureza central da forca.

3. Superposicao linear da forca.


4.7.4 Aplicacoes da Lei de Gauss

Plano Massivo Infinito

Consideremos um plano infinito, com uma

densidade superficial de massa σ uniforme. Va-

mos calcular o campo gravitacional nas proxi-

midades da superfıcie do plano. Para resol-

vermos este problema, usando a Lei de Gauss,

devemos inicialmente encontrar uma superfıcie

que possua uma simetria adequada a este pro-

blema. Como na proximidades da superfıcie,

podemos considerar que o campo gravitacional

devera ter o mesmo valor, entao a superfıcie

mais adequada seria um pequeno cilindro que

atravessa o plano.

g+ = −g− = −g z

Figura 4.27: Plano massivo infinito, com uma

densidade superficial de massa σ uniforme.

Φq =

∮

S

g · dS

=

∫

Topo

g · dS +

∫

Fundo

g · dS

+

∫

lateral

g · dS= −g+S+ − g−S− + g`S`cos(90)

= −g+S+ − g−S−= −2gS

Como m = σS, logo

Φg =

∮

S

g · dS =− 4πGm

−2Sg = −4πGm

g = 4πGσS

2S= 2πσG

Distribuicao Esferica de Massa

Consideremos uma esfera macica, com uma

massa total M , distribuıda uniformemente so-

bre todo o seu volume, conforme mostra a fi-

gura 4.28 abaixo. Usando a lei de Gauss, deter-

minaremos o campo gravitacional em pontos

localizados no interior da esfera e em pontos no

exterior da mesma. Como a distribuicao massa

Figura 4.28: Esfera macica, com um distri-

buicao uniforme de massa.

e uniforme e esfericamente simetrica, entao a

densidade de massa ρ da esfera e dada por:

ρ = M/V , onde M e a massa total da esfera

e V = 43πR3 e o volume de uma esfera de raio

R. Assim,

ρ =3M

4πR3(4.41)

O fluxo do campo gravitacional Φg, e dado por

Φg =

∮

S1

ginterior · dS = −4πGm′ (4.42)


logo,

ginterior = −Gm′

r2.

Como a densidade e dada por

ρ =M

4πR33

=3M

4πR3, (4.43)

a massa m′ contida no interior da esfera de raio

r com r < R, pode ser escrita como

m′ = ρ · V ′ =3M

4πR3· 4π

3r3

= M( rR

)3

Portanto, o campo gravitacional interno, e

ginterior = −GMr2· r

3

R3= −GMr

R3(4.44)

ginterior = −GMr

R3(4.45)

Nos pontos externos da esfera temos

Φg =

∮

S2

gexterno · dS = −4πGM

gexterno = −GMr2

4.8 Forma Diferencial da

Lei de Gauss: Equacao

de Poisson

Consideremos uma distribuicao discreta de

massa, figura 4.29(a), encerrada por uma su-

perfıcie gaussiana S, em que a massa total e

MT =N∑i

mi (4.46)

Neste caso a lei de Gauss, toma a seguinte

forma

Φg =

∮

S

g · dS = −4πGMT

= −4πGN∑i

mi

Figura 4.29: (a) Uma distribuicao discreta de

massa encerrada por uma superfıcie gaussiana

S. (b) Uma distribuicao volumetrica de massa

de densidade ρ, encerrada por uma superfıcie

gaussiana S.

Ao considerarmos o caso de uma distribuicao

volumetrica de massa, figura 4.29(b), a massa

total encerrada pela superfıcie gaussiana S e

m =

∫

V

ρ(r)dv,

portanto, a lei de Gauss toma a seguinte forma∮

S

g · dS = −4πG

∫

V

ρ(r)dv.

O teorema do divergente nos garante que∮

S

g · dS =

∫

V

∇ · gdv,

assim, usando o teorema do divergente pode-

mos reescrever a lei de Gauss como∫

V

∇ · gdv = −4πG

∫

V

ρ(r)dv

∫

V

[∇ · g + 4πGρ(r)] dv = 0

Para que a integral acima seja sempre nula, o

integrando devera ser nulo, desta forma pode-

mos escrever

∇ · g = −4πGρ(r) (4.47)

Esta equacao e a lei de Gauss na forma dife-

rencial. Como vimos anteriormente o campo


gravitacional g esta relacionado com o poten-

cial gravitacional por g ≡ −∇Φ, eq. (4.20),

substituindo esta expressao na equacao (4.47),

obtemos

∇2Φ = 4πGρ(r), (4.48)

a qual e conhecida como a equacao de Pois-

son. Em regioes do espaco onde a densidade

de massa e nula, podemos escrever

∇2Φ = 0,

que e a equacao de Laplace para o potencial

gravitacional Φ.

Agora, faremos algumas consideracoes a res-

peito da lei de Gauss e da equacao de Poisson.

Observer que a lei de Gauss e uma ferra-

menta com a qual pode-se obter o campo gra-

vitacional em um determinado ponto do espaco

sobre a superfıcie gaussiana escolhida, devido

a massa interna a superfıcie gaussiana, pois

somente as massas internas a superfıcie con-

tribuem com um fluxo do campo gravitacio-

nal nao nulo, atraves da superfıcie gaussiana.

Deve-se ressaltar ainda, que isto so e possıvel

se o campo gravitacional gerado pela deistri-

buicao de massa tiver algum tipo de simetria.

No caso de uma distribuicao de massa, na pre-

senca de um campo gravitacional externo, a Lei

de Gauss na sua forma integral, so nos permite

inferir algo a respeito do campo gravitacional

gerado pela distribuicao massiva, e nada a res-

peito do campo resultante. Entretanto, resol-

vendo a equacao de Poisson, podemos conse-

guimos obter o campo resultante. Aparente-

mente ha uma certa incoerencia com relacao a

equacao de Poisson, ou mesmo a de Laplace,

pois estas sao consequencias da lei de Gauss,

mas o campo (potencial gravitacional) que as

mesma fornecem nao e somente da distribuicao

de massa ρ(r) (fato mais evidente na equacao

de Laplace), limitada por uma superfıcie gaus-

siana. Ao resolver a equacao de Poisson ou

Laplace, pode-se introduzir outras massas ao

problema, colocando-se de forma adequada as

condicoes de contorno do problema. Deve-

mos salientar novamente, que a distribuicao

de massa ja esta contida no campo, ou seja,

o campo foi gerado por uma distribuicao de

massas.

4.9 Linhas de Forca e Su-

perfıcies Equipotenci-

ais

Consideremos uma massa que gera um

campo gravitacional g. Desenhemos uma linha

que saı da perpendicularmente da superfıcie

da massa, de tal modo que a direcao da li-

nha seja a mesma do campo gravitacional g

naquele ponto. Esta linha se estende desde a

superfıcie da massa ate o infinito. Tais linhas

sao chamadas de linhas de forca ou linhas de

campo.

Ao considerarmos uma massa pontual, as

linhas de forca serao retas que irao se esten-

der de zero ate o infinito. Nas vizinhancas de

cada massa, as linhas do campo estao igual-

mente espacadas e sao radialmente divergen-

tes. A distancias muito grandes de todas as

massas, a estrutura detalhada do sistema nao

tem importancia, e as linhas do campo sao as

do campo de uma unica massa puntiforme, que

tem a massa lıquida do sistema. A fim de ter

uma referencia comoda, resumimos a seguir as

regras para tracar as linhas do campo gravita-

cional:

1. As linhas do campo gravitacional princi-

piam no infinito e terminam nas massas.

2. Ao divergir de uma massa as linhas do

campo sao simetricas em torno da massa.


3. O numero de linhas do campo que di-

vergem de uma massa e proporcional a

massa.

4. A densidade de linhas (isto e, o numero

de linhas por unidade de area perpendicu-

lar a direcao das linhas) em torno de um

ponto e proporcional ao valor do campo

gravitacional neste ponto.

ρLinhas ∝ numero de linhas

Area∝ g

5. A grandes distancias de um sistema de

massas, as linhas do campo sao uniforme-

mente espacadas e radiais, como se fossem

as do campo de uma unica massa punti-

forme igual a massa lıquida do sistema de

massas.

6. Duas linhas do campo nunca tem um

ponto de cruzamento.

A regra 6 e consequencia de o campo g ter

um unico sentido em qualquer ponto no espaco

(exceto num ponto ocupado por uma massa

puntiforme, ou num ponto onde g = 0). Se

duas linhas do campo se cruzassem, o campo

g teria dois sentidos possıveis no ponto de in-

tersecao. A figura 4.30 mostra as linhas do

campo gravitacional de duas partıculas pun-

tiformes com massas iguais. Nas vizinhancas

das massas, as linhas sao radiais e divergem

das mesmas. O numero de linhas que termi-

nam nas duas massas, sao iguais, pois as duas

tem o mesmo valor. Neste caso, o campo gra-

vitacional e intenso na regiao entre as massas,

o que se percebe pela alta densidade de linhas

do campo gravitacional que aparecem na figura

4.30, nesta regiao.

Define-se uma superfıcie equipotencial como

sendo o conjunto dos pontos onde o potencial

assume o mesmo valor, ou seja, e conjunto dos

pontos tais que Φ(x, y, z) = cte. Cada valor da

Figura 4.30: Linhas de campo, do gampo gra-

vitacional gerado por duas partıculas puntifor-

mes.

constante define uma superfıcie equipotencial

diferente. Na figura abaixo mostramos duas

superfıcies equipotenciais. E facil mostrar que

Figura 4.31: Duas superfıcies equipotenciais.

as superfıcies equipotenciais sao perpendicula-

res as linhas de forca. Para isto considere dois

pontos infinitesimalmente proximos sobre uma

mesma superfıcie (conforme figura 4.31). A di-

ferenca de potencial entre estes pontos e dada

por

dΦ = ∇Φ · d` = −g · d` = −gqd` (4.49)

onde d` e um elemento de deslocamento so-

bre a superfıcie. Como todos os pontos sobre

uma mesma superfıcie tem o mesmo potencial,


dΦ = 0. Assim, gq = 0, e portanto, g e per-

pendicular a superfıcie equipotencial.

Exemplo 46 Considere um disco fino de

massa M e raio a. Obtenha a forca sobre uma

massa m localizada no eixo do disco a uma

distancia z do seu centro.

Figura 4.32: Disco com uma distribuicao su-

perficial de massa uniforme σ.

Solucao 3 Solucao pelo Metodo do po-

tencial:

A densidade superficial de massa M do disco

e dada por

σ =M

πa2.

O potencial gravitacional e dado por:

Φ(r) = −G∫

S

σdS

|r− r′| ,

onde s e a densidade superficial de massa

do disco, suposta constante. Em coordenadas

cilındricas

dS = r′dr′dφ e |r− r′| =√r′2 + z2

onde r′ = |r′| e z = |r|. Desta forma, temos

Φ(r) = −Gσ∫ 2π

0

dφ

∫ a

0

r′dr′√r′2 + z2

= −2πσG√r′2 + z2

∣∣∣a

0

= −2πσG[√

a+ z2 − z].

Logo a forca e dada por

F = −mg = −m∇Φ.

Por simetria e facil ver que F so tem uma com-

ponente ao longo do eixo z. Assim

Fz = −m∂Φ

∂z

= 2πmσG

[z√

a+ z2− 1

]

ou ainda em termos das duas massas, Fz pode

ser escrita como

Fz = −2mMG

a2

[1− z√

a+ z2

]

Outra Solucao: Calculo direto de F.

A forca sobre a massa m da figura 4.32

acima e dada por

F = mg = −Gm∫

S

r− r′

|r− r′|3σdS

Por simetria, vemos que F so tem componte

ao longo do eixo z. Assim,

Fz = −Gm∫ 2π

0

dφ

∫ a

0

σr′dr′

(r′2 + z2)· z√

r′2 + z2

= −2πmσGz

∫ a

0

r′dr′

(r′2 + z2)3/2

= 2πmσGz√

r′2 + z2

∣∣∣∣a

0

= 2πmσG

[z√

a+ z2− 1

]

= −2mMG

a2

[1− z√

a+ z2

]

Este resultado e o mesmo, obtido ao encontra-

mos primeiro o potencial gravitacional.

4.10 Problemas

1. Se o vetor campo gravitacional no interior

de uma distribuicao esferica de massa for

independente de r, qual a funcao ρ(r) que

descreve a densidade?


2. Desprezando a resistencia do ar, calcule

a velocidade mınima (obtenha um valor

numerico) que uma partıcula deve ter na

superfıcie da Terra para escapar do seu

campo gravitacional. Esta velocidade e

chamada velocidade de escape.

3. Uma partıcula encontra-se a uma

distancia d de um centro de forca. A

forca e dirigida para o centro e tem

modulo dado por

F =mk2

r3

Mostre que a partıcula demora um tempo

t = d2/k para atingir o centro.

4. Calcule diretamente a forca gravitacional

sobre uma partıcula de massa m situada

no exterior de uma esfera com uma densi-

dade homogenea de massa.

5. Calcule o potencial gravitacional devido a

uma barra fina de comprimento l e massa

M em um ponto situado a uma distancia

R do centro da barra, em uma direcao per-

pendicular a barra.

6. Obtenha uma expressao integral para o

potencial gravitacional devido a um anel

circular fino de raio a e massa M , em um

ponto situado no plano do anel, a uma

distancia R do seu centro, no seu exterior.

Supondo R À a, expanda a expressao do

potencial e calcule os dois primeiros ter-

mos da serie.

7. Uma esfera uniforme de massa m e raio R

e fixada a uma distancia h acima de uma

folha fina e infinita de densidade superfi-

cial de massa σ. Calcule a forca exercida

pela esfera sobre a folha.

8. Considere um corpo massivo, de formato

arbitrario, e um superfıcie esferica (ima-

ginaria) externa ao corpo (que nao contem

o corpo). Mostre que o valor medio do po-

tencial, devido ao corpo, tomado sobre a

superfıcie esferica e igual ao potencial no

centro da esfera.

9. No problema anterior, considere que o

corpo esteja no interior da superfıcie

esferica. Agora, mostre que o valor medio

do potencial sobre a superfıcie esferica e

igual ao potencial que terıamos na su-

perfıcie da esfera se toda a massa do corpo

estivesse concentrada no centro da esfera.

10. Considere um planeta (hipotetico) de raio

R1 e densidade uniforme ρ1 coberto com

uma densa nuvem esferica de poeira de

raio externo R2 e densidade ρ2. Qual a

forca sobre uma partıcula de massa m co-

locada no interior da nuvem de poeira, a

uma distancia r do centro do planeta?

11. Uma partıcula e deixada cair dentro de

um (hipotetico) buraco reto que atravessa

toda a Terra passando pelo seu centro.

Desprezando efeitos rotacionais e supondo

que a Terra possua uma densidade uni-

forme, mostre que a partıcula executa um

movimento harmonico simples. Calcule o

perıodo das oscilacoes.

12. Considere uma masssa distribuıda unifor-

memente sobre todo o espaco (universo).

Qual e o campo gravitacional em um

ponto qualquer deste espaco?

13. Considere um cilindro homogeneo de raio

R e comprimento infinito. (a) Calcule o

vetor campo gravitacional em um ponto

qualquer externo ao cilindro. (b) Calcule

o potencial gravitacional Φ(r) do cilindro


a uma distancia r (r > R) do seu eixo, es-

colhendo habilmente um referencial para o

potencial. (c) Desenhe esquematicamente

as linhas de forcas.

14. Considere um planeta de Raio R1 e massa

M , distribuıda uniformemente sobre o

mesmo. Este planeta esta envolto por

uma nuvem de gas de raio maximo R2 e

com uma densidade dada por:

ρ(r) =

ρ0e

−αr R1 ≤ r ≤ R2

0 De outro modo.

sendo ρ0 e α duas constantes. (a) Deter-

mine o campo gravitacional g em todas as

regioes do espaco. (b) Determine o poten-

cial gravitacional em todas as regioes do

espaco.

15. Calcule o vetor campo gravitacional de um

cilindro homogeneo de raio R e compri-

mento L em um ponto externo qualquer

sobre o eixo do cilindro.

16. Determine a energia de formacao de um

sistema constituıdo porN partıculas, cada

uma com uma massa mi em um ponto ri

do espaco, com i = 1, 2, . . . , N .

17. Calcule a auto-energia gravitacional (a

energia de formacao so sistema, ou seja,

a energia necessaria para trazer cada

partıcula do sistema do infinito ate o

ponto onde ela esta) de uma esfera uni-

forme e massa M e raio R. (Sugestao:

pense que a esfera e construıda como uma

casca de cebola, camada por camada).

18. Considere uma esfera de raio R e massaM

distribuıda uniformemente sobre todo o

seu volume. Por integracao direta, deter-

mie o campo gravitacional para um ponto

a uma distancia (a) r, tal que r > R e (b)

para uma distancia r, tal que r < R.

Capıtulo 5

Calculo Variacional

5.1 A Natureza Geral dos

Problemas de Extre-

mos

Os problemas de extremos tem instigado o in-

terese e a curiosidade em todas as epocas. Ao

caminharmos em linha reta, e instintivamente

a solucao de um problema de extremo: quere-

mos atingir o ponto final de nosso destino com

o menor desvio possıvel.

Matematicament falamos de um problema

de extremo quando o maior ou o menor va-

lor possıvel de uma quantidade esta envolvido.

Por exemplo, desejamos encontrar o ponto

mais alto de uma montanha ou o ponto mais

baixo de um vale, ou a trajetoria mais curta

entre dois pontos, ou a menor perda possıvel

em um problema de iluminacao ou de aqueci-

mento, e muito outros problemas. Para obter-

mos a solucao de tais problemas, um ramo es-

pecial da matematica, chamado de calculo das

variacoes ou calculo variacional, foi desenvol-

vido.

Do ponto de vista formal, o problema de

minimizar uma integral definida e considerado

como proprio do domınio do calculo variaci-

onal, enquanto o problema de minimizar ou

maximizar uma funcao pertence ao domınio

do calculo ordinario. Historicamente, estes

dois problemas surgiram simultaneamente e

nenhuma distincao clara entre eles foi feita

ate o tempo de Lagrange, que desenvolveu a

tecnica do caculo das variacoes. O famoso pro-

blema de Dido, bem conhecido pelos antigos

geometras, era um problema variacional o qual

envolvia a minimizacao de uma integral. Hero

de Alexandria, deduziu a lei da reflexao a par-

tir do princıpio de que um raio de luz o qual e

emitido no ponto A e vai ate um certo ponto

B, apos ser refletido por um espelho, atingira

o seu destino no intervalo de tempo mais curto

possıvel (Ver figura 5.1). Fermat, extendeu

este princıpio para deduzir a lei da refracao.

Todos estes problemas foram resolvidos empre-

gando essencialmente metodos geometricos. O

problema da braquistocrona, a curva descen-

dente mais rapida – foi proposto por John Ber-

noulli e resolvido independentemente por ele,

Newton e Leibniz. A equacao diferencial basica

dos problemas variacionais foi descoberta por

Euler e Lagrange. Um metodo para a solucao

de problemas variacionais foi introduzido por

Lagrange em seu livro Mecanique Analytique

(1788).

Os princıpios de mınimos na fısica tem um

longo interesse historico. A busca por tais

princıpios e baseada na nocao de que a na-

tureza sempre minimiza certas quantidades

importantes quando um processo fısico ocor-

rer. O primeiro destes princıpios de mınimo

foi desenvolvido no campo da optica. Hero

176


Figura 5.1: Deducao da Lei de reflexao por

Hero de Alexandria. A trajetoria que se deve

seguir para ir de um ponto a outro no tempo

mais curto e uma linha reta. A menor distancia

entre dois pontos e uma reta, entao ele proje-

tou o ponto B dentro do espelho, resolvedo o

problema.

de Alexandria, dois seculos A.C., encontrou

que a lei que governa a reflexao da luz po-

deria ser obtida assegurando que um raio de

luz, vai de um ponto ao outro apos ser re-

fletido por um espelho, atraves do caminho

mais curto possıvel. Atraves de uma cons-

trucao geometrica simples, pode-se verificar fa-

cilmente que este princıpio de mınimo conduz

a igualdade dos angulos de incidencia e re-

flexao do raio de luz refletido por um espe-

lho plano. O princıpio de Hero da trajetoria

mais curta nao pode, entretanto, uma lei cor-

reta para a refracao. Em 1657 Fermat refor-

mulou o princıpio, postulando que um raio de

luz sempre viaja de um ponto ao outro em um

meio atraves da trajetoria que requer o me-

nor tempo1. O princıpio de Fermat do tempo

mınimo conduz, imediatamente, nao somente

a lei correta da reflexao, mas tambem a lei de

1Pierre de Fermat (1601-1665), um advogadofrances, linguista e matematico amador.

Snell da refracao2.

Os princıpios de mınimos continuaram a se-

rem procurados, e no fim do seculo XVII, o

inicio do calculo das variacoes foi desenvolvido

por Newton, Leibniz e Bernoulli, quando pro-

blemas tais como o da braquistocrona e o da

forma de um cabo suspenso (uma catenaria)

foram resolvidos.

A primeira aplicacao de um princıpio geral

de mınimo na mecanica foi feito em 1747 por

Maupertuis, que declarou que dinamicamente

o movimento ocorre com uma acao mınima3. O

Princıpio de Mınima Acao de Maupertuis

foi baseado em fundamentos teologicos (a acao

e minimizada atraves da ”vontade de Deus”),

e seu conceito de acao era muito vago (Lembre

que a acao e uma quantidade com dimensoes

de Comprimento × Momentum ou Energia

× Tempo.). Somente mais tarde Lagrange

(1760) forneceu os fundamentos matematicos

do princıpio da acao. Embora seja comum

usarmos uma forma a qual faz a transicao

da mecanica classica para a optica e para a

mecanica quantica, o princıpio da acao mınima

e menos geral do que o princıpio de Hamilton

e, de fato, ele pode ser deduzido dele. Nao

faremos uma discussao detalhada aqui4.

Em 1828, Gauss desenvolveu um metodo

de tratar a mecanica por seu princıpio dos

2Em 1661, Fermat deduziu corretamente a lei de re-fracao, a qual tinha sido descoberta experimentalmenteem 1621 por Willebrord Snell (1591-1626), um prodi-gioso matematico alemao.

3Pierre-Louise-Moreau de Maupertuis (1698-1759),Matematico Frances e astronomo. A primeiraaplicacao de Maupertius para o princıpio da mınimaacao foi refazer a deducao de Fermat da lei de refracao(1744).

4Veja, por exemplo, H. Goldstein, Classical Mecha-nics, 2nd Edition, Addison-Wesley Publishing Com-pany, Reading, Massachusetts, 1980, Cap. 2 e pags.365-371. Veja tambem A. Sommerfeld, Mechanics,Academic Press, New York 1950, pags. 204-209.


vınculos mınimos ; uma modificacao foi feita

posteriormente por Hertz e incorporada em

seu princıpio da curvatura mınima. Este

princıpios5 estao intimamente relacionados ao

princıpio de Hamilton e nao adicionam nada

ao conteudo mais geral da formulacao de Ha-

milton; sua mencao somente enfatiza o envol-

vimento contınuo com os princıpios de mınimo

na fısica.

5.2 Formulacao do Pro-

blema

Discutiremos a seguir alguns aspectos basicos

da tecnica de calculo variacional que serao

utilizados posteriormente para obter as for-

mulacoes lagrangeana e hamiltoniana da

mecanica. O problema fundamental do calculo

variacional e determinar a funcao y(x) tal que

a integral

J =

∫ x2

x1

fy(x), y′(x);x dx (5.1)

seja um extremo (maximo ou mınimo). A

notacao usada y′(x) = dy(x)/dx e a derivada

primeira da funcao y(x) e o ponto e vırgula

dentro da chave separa as variaveis dependen-

tes y(x) e y′(x) da variavel independente x;

f e uma funcao das funcoes y(x), y′(x) e x

e os pontos limites da integral (x1, y(x1)) e

(x2, y(x2)) sao fixos. Devemos encontrar a

funcao y(x) para a qual J assume um valor

extremo.

Devemos observar que o resultado da inte-

gral (5.1) independe da variavel de integracao

x, mas depende das funcoes y(x) e y′(x), entao

dizemos que J e um funcional de y e de y′(x),

5Veja, por exemplo, Lindsay and Margenau, Foun-dations of Physics, Wiley, New York 1936, pags. 112-120 ou A. Sommerfeld, Mechanics, Academic Press,New York 1950, pags. 210-214).

e representamos isto da seguinte forma, J =

J [y, y′].

Por exemplo, observer que o funcional J [y]

definido por

J [y] =

∫ 1

0

y(x)dx

tera para y(x) = 1 o seguinte resultado

J [1] =

∫ 1

0

1 · dx = 1;

Ja para y(x) = ex,

J [ex] =

∫ 1

0

exdx = e− 1;

e para y(x) = cos(πx)

J [cos(πx)] =

∫ 1

0

cos(πx)dx = 0.

Portanto, viu-se que para cada funcao y(x)

o funcional J [y] tem um valor diferente.

A formulacao do problema do problema va-

riacional pode ser feita em termos de uma re-

presentacao parametrica y(x) = y(α, x) para a

funcao y tal que para α = 0

y(0, x) = y(x) (5.2)

e a funcao que da um extremo para J . Pode-

mos escrever

y(α, x) = y(0, x) + αη(x) (5.3)

onde η(x) e uma funcao de x que possui

derivada primeira contınua e que obedece a

condicao

η(x1) = η(x2) = 0 (5.4)

Esta condicao e necessaria para que y(α, x) e

y(x) sejam iguais nos pontos inicial e final (que

sao fixos). A situacao e ilustrada na figura

abaixo. Com a nova notacao, a integral J pode

ser considerada funcao do parametro α:

J(α) =

∫ x2

x1

fy(α, x), y′(α, x); x dx (5.5)


A condicao de que J assume um valor extremo

para α = 0 pode ser escrita como

dJ(α)

dα

∣∣∣∣α=0

= 0 (5.6)

Note que esta condicao deve ser obedecida

qualquer que seja a funcao η(x).

Figura 5.2: Formulacao do problema variaci-

onal. O caminho otimo entre dois pontos, e

aquele o qual J tera um valor extremo.

Exemplo 47 Considere a funcao f = y′2

onde y(x) = x. Adicione a y(x) a funcao

η(x) = x, e obtenha J(α) entre os limites

x = 0 e x = 2π. Mostre que o valor esta-

cionario (extremo) de J(α) ocorre para α = 0.

Solucao:

Podemos escrever

y(x) = x (5.7)

y(α, x) = x+ α senx (5.8)

Note que y(x) = y(α, x) para α = 0. Ob-

serve tambem que η(0) = η(2π) = 0.

y′ =dy(α, x)

dx= 1 + α cosx

f = y′2 = 1 + 2α cosx+ α2cos2x

Figura 5.3: Trajetoria real e a trajetoria ten-

tativa.

J(α) =

∫ 2π

0

(1+2α cosx+α2cos2x)dx = 2π+α2π

A condicao de que J possui um valor esta-

cionario e obtida para

dJ(α)

dα= 2απ = 0

que obviamente e satisfeita para α = 0.

5.3 A equacao de Euler

Para obter uma condicao de extremo para J

vamos desenvolver a derivada

dJ

dα=

d

dα

∫ x2

x1

fy, y′;x dx

Uma vez que os limites de integracao sao fi-

xos podemos trocar a ordem da derivacao (em

relacao a α) com a integracao (em relacao a x).

Assim

dJ

dα=

∫ x2

x1

(∂f

∂y

∂y

∂α+∂f

∂y′∂y′

∂α

)dx

Da equacao (5.11) temos

∂y

∂α= η(x)


∂y′

∂α=

∂

∂α

∂y

∂x=

∂

∂x

∂y

∂α=dη(x)

dxde forma que

dJ

dα=

∫ x2

x1

(∂f

∂yη(x) +

∂f

∂y′dη(x)

dx

)dx (5.9)

O segundo termo pode ser integrado por par-

tes, onde ∫udv = uv −

∫vdu

Fazendo

u =∂f

∂y′=⇒ du =

d

dx

(∂f

∂y′

)dx

dv =dη(x)

dxdx =⇒ v = η(x)

temos∫ x2

x1

∂f

∂y′dη(x)

dxdx =

∂f

∂y′η(x)

∣∣∣∣x2

x1

−∫ x2

x1

d

dx

(∂f

∂y′η(x)

)dx

O primeiro termo e nulo porque

η(x1) = η(x2) = 0

Assim (5.12) pode ser escrita como

dJ

dα=

∫ x2

x1

(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)η(x)dx (5.10)

E importante notar que, embora nao esteja

explıcito, a expressao acima depende de α por-

que y e y′ dependem parametricamente de α.

A condicao de estabilidade

dJ

dα

∣∣∣∣α=0

= 0

deve ser satisfeita para qualquer funcao η(x),

de forma que devemos ter

∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′= 0

onde, agora, y e y′ sao funcoes originais, inde-

pendentes de α (fizemos α = 0). A equacao

(5.12) e conhecida como equacao de Euler e

da a condicao sobre y(x) para que J assuma

um valor extremo.

Exemplo 48 Considere uma partıcula

movendo-se em um campo de forca constante

(a gravidade, por exemplo) partindo do re-

pouso do ponto (x1, y1) para o ponto (x2, y2).

Obtenha o caminho atraves do qual a partıcula

vai de um ponto a outro no menor tempo

possıvel.

Solucao:

Considere um sistema de coordenadas tal

que (x1, y1) esta na origem e o compo de forca

aponte ao longo do eixo x. Vamos chamar de g

a aceleracao (constante) da partıcula de forma

que Fx = mg

Figura 5.4: Caminho seguido por uma

partıcula em um campo de forca constante.

Adotando a convencao U(x) = 0 para x = 0,

podemos escrever

U(x) = −mgx

A energia mecanica e dada por

U(x) = T + U =1

2mv2 −mgx

Como nao ha forca dissipativa, a energia

mecanica e conservada. No ponto incial te-

mos T = U = E = 0, de forma que podemos

escrever

1

2mv2 −mgx = 0 =⇒ v =

√2gx

O tempo que a partıcula gasta para ir do ponto


inicial ao ponto final e

t =

∫ds

v=

∫ √dx2 + dy2

√2gx

=1√2g

∫ x2

x1

√1 + y′2

xdx

onde os limites das duas primeiras integrais

sao (x1, y1) e (x2, y2). Observe que esta inte-

gral tem o formato 5.1. Podemos identificar f

como

f =

√1 + y′2

x

Como∂f

∂y= 0

a equacao de Euler pode ser escrita como

d

dx

∂f

∂y′= 0

Assim∂f

∂y′= cte = 0

Derivando a funcao f em relacao a y′, temos

y′√x(1 + y′2)

= A

Elevando ao quadrado,

y′2

x(1 + y′2)= A2

Isolando y′, temos

y′ =dy

dx=

x√x

A2 − x2=

x√2ax− x2

onde fizemos 1/A2 ≡ 2a. Integrando, temos

y =

∫xdx√

2ax− x2

Esta integral pode ser calculada atraves da se-

guinte mudanca de variavel:

x = a(1− cos θ)

dx = a sen θdθ

√2ax− x2 = a sen θ

Assim.

y =

∫a(1− cos θ)dθ = a(θ − sen θ) + C

A condicao inicial, x = y = 0, nos leva a

C = 0. Portanto, as equacoes parametricas

da curva sao:

x = a(1− cos θ)

y = a(θ − sen θ)

A curva obtida e chamada cicloide e e mos-

trada na figura 5.8 abaixo. A constante a deve

ser ajustada para que a curva passe pelo ponto

(x2, y2).

Figura 5.5: A cicloide.

Exemplo 49 Considere uma superfıcie ge-

rada pela revolucao em torno do eixo y de uma

curva y(x) que passa pelos pontos fixos (x1, y1)

e (x2, y2). Obtenha a equacao da curva tal que

a area da superfıcie gerada pela revolucao seja

um mınimo.

Solucao:

O elemento de area da figura 5.8 acima e

dado por

dA = 2πxds = 2πx√dx2 + dy2


Figura 5.6: Superfıcie gerada pela revolucao da

funcao y(x) em torno do eixo y.

Assim

A = 2π

∫x√dx2 + dy2

= 2π

∫ x2

x1

x

√1 + y′2

A funcao f e dada por

f = x

√1 + y′2

Como no exemplo anterior,

∂f

∂y= 0 =⇒ d

dx

∂f

∂y′= 0

∂f

∂y′=

xy′√1 + y′2

= a

Isolando y′,

y′ =dy

dx=

a√x2 − a2

Integrando,

y =

∫adx√x2 − a2

A solucao desta integral e

y = a cosh−1(xa

)+ b

que e conhecida como a equacao de uma ca-

tenaria. Pode-se mostar que esta e a curva

na qual uma corda penderia quando amarrada

com os pontos extremos fixos.

5.4 A segunda forma da

equacao de Euler

A equacao de Euler pode ser escrita em uma

outra forma que e conveniente quando f nao

depende explecitamente de x, ou seja, quando

∂f

∂x= 0

Para tal vamos tomar derivada de f , dada por

df

dx=∂f

∂y

dy

dx+∂f

∂y′dy′

dx+∂f

∂x

= y′∂f

∂y+ y′′

∂f

∂y′+∂f

∂x(5.11)

Por outro lado,

d

dx

(y′∂f

∂y′

)= y′

d

dx

∂f

∂y′+ y′′

∂f

∂y′(5.12)

Subtraindo em (5.11) e (5.12), temos

df

dx− d

dx

(y′∂f

∂y′

)=∂f

∂x+ y′

(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)

O termo entre parenteses e mulo por causa da

equacao de Euler. Se f nao depender expli-

citamente de x, podemos escrever

d

dx

(f − y′ ∂f

∂y′

)= 0

ou

f − y′ ∂f∂y′

= cte

Exemplo 50 Uma geodesia e uma linha que

representa o caminho mais curto entre dois

pontos quando o caminho e restrito a uma su-

perfıcie particular. Obtenha a geodesia sobre

uma esfera.

Solucao:

O elemento de comprimento sobre uma su-

perfıcie esferica de raio R e

ds = R

√dθ2 + sen2θdφ2


A distancia entre dois pontos 1 e 2 sobre a su-

perfıcie da esfera pode ser escrita como

s = R

∫ 2

1

√sen2θ +

(dθ

dφ

)2

dφ

Assim, f nao depende de φ, e conveniente usar

a segunda forma da equacao de Euler que nos

leva a√sen2θ + θ′2 − θ′ ∂

∂θ′

√sen2θ + θ′2 = cte = a

ou

√sen2θ + θ′2 − θ′2√

sen2θ + θ′2= a

ou ainda

sen2θ = a√

sen2θ + θ′2

Isolando θ′, temos

θ′2 =sen4θ

a2

(1− a2

sen2θ

)

θ′ =dθ

dφ=

sen2θ

a

√1− a2

sen2θ

Integrando.

φ =

∫adθ

sen2

√1− a2

sen2θ

=

∫acsc2θdθ√1− a2csc2θ

O denominador pode ser escrito como

√1− a2csc2θ =

√1− a2(1 + cot2)

=√

(1− a2)− a2cot2θ

Fazendo a substituicao

u = a cot θ =⇒ du = −a csc2 θdθ

temos

φ = −∫

du√(1− a2)− u2

= −sen−1

(u√

1− a2

)+ α

= −sen−1

(a cot θ√1− a2

)+ α

Definindo

β =

√1− a2

a

podemos escrever

φ = −sen−1

(cot θ

β

)+ α

ou

− cot θ = β sen(φ− α)

ou ainda

− cot θ = β cosα senφ− β senα cosφ

Para facilitar a interpretacao deste resultado e

conveniente expressa-lo em termos de coorde-

nadas cartesianas. Para isto, vamos multipli-

car a equacao acima por R sen θ:

β cosαR sen θ senφ−β senαR sen θ cosφ

= −R cos θ

Como α e β sao constantes, podemos definir

β cosα = −A β senα = B

As coordenadas cartesianas de um ponto sobre

a superfıcie da esfera sao dadas por

x = R sen θ cosφ y = R sen θ senφ z = R cos θ

Dessa forma, podemos escrever

Ay +Bx = z

Esta e a equacao de um plano que passa pelo

centro da esfera. Assim, a geodesica e um seg-

mento da curva obtida da intersecao do plano

com a superfıcie da esfera (um arco de circun-

ferencia). Observe que esta intersecao define

dois caminhos extermos:um e o caminho mais

curto (linha solida) e o outro e o caminho lo-

calmente mais longo (linha pontilhada).


Figura 5.7: Geodesica, trajetoria sobre uma

superfıcie.

5.5 Funcoes com varias

variaveis dependentes

Nos casos mais comuns encontrados em

mecanica, a funcao f e funcao de varias

variaveis dependentes. Suponha, por exemplo,

que

f = fy(x), y′, z(x), z′(x);xEm analogia com a equacao 5.2, podemos es-

crever

y(α, x) = y(0, x) + αη(x)

z(α, x) = z(0, x) + αξ(x)

Seguindo os passos da secao 5.12 chegamos a

dJ

dα=

∫ x2

x1

∑ (∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)η(x)+

+

(∂f

∂z− d

dx

∂f

∂z′

)ξ(x)

dx

Como η(x) r ξ(x) sao indepnedentes e ar-

britrarias, devemos ter

∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′= 0 e

∂f

∂z− d

dx

∂f

∂z′= 0

Em um caso mais geral onde

f = fyi(x), yi′(x);x i = 1, 2, . . . , n

devemos ter uma equacao de Euller para cada

variavel dependente, ou seja,

∂f

∂yi

− d

dx

∂f

∂yi′ = 0 i = 1, 2, . . . , n

5.6 Equacoes de Euler com

condicoes de vınculo

Supnha, por exemplo, que desejamos determi-

nar o caminho mais curto entre dois pontos

sobre uma superfıcie particular. Alem da sen-

tenca de que o caminho deve ser mınimo, te-

mos a condicao de que o caminho deve estar

restrito a superfıcie especificada. Por exemplo,

a condicao de que o caminho deve estar restrito

a superfıcie de uma esfera pode ser escrita, em

coordenadas cartesianas, como

x2 + y2 + z2 −R2 = 0

ou, em coordenadas esfericas, como

r −R = 0

Condicoes restritivas deste tipo sao conhecidas

como equacoes de vınculo.

Considere novamente o caso em que

f = fy(x), y′, z(x), z′(x); x

Supomha que temos uma equacao de vınculo

do tipo

gy, z;x = 0 (5.13)

Assim

∂d

∂α=∂g

∂y

∂y

∂α+∂g

∂z

∂z

∂α= 0

ou∂g

∂yη(x) = −∂g

∂zξ(x)

Observe que, por causa da equacao de vınculo,

η(x) e ξ(x) nao sao independentes. Expres-


sando ξ(x) em termos de η(x), podemos escre-

ver

dJ

dα=

∫ x2

x1

(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)−

−(∂f

∂z− d

dx

∂f

∂z′

)∂g/∂y

∂g/∂z

η(x)dx

Agora, como η(x) e uma funcao arbitraria, po-

demos dizer que o termo no interior da chave

e nulo, ou seja,(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)(∂g

∂y

)−1

=

=

(∂f

∂z− d

dx

∂f

∂z′

) (∂g

∂z

)−1

Em ultima analise os lados esquerdo e direito

da equacao acima sao funcoes de x. Na ver-

dade, sao iguais a mesma funcao de x, a qual

chamaremos −λ(x). Dessa forma, podemos es-

crever

∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′+ λ(x)

∂g

∂y= 0

∂f

∂z− d

dx

∂f

∂z′+ λ(x)

∂g

∂z= 0 (5.14)

Estas duas equacoes mais a equacao de vınculo

5.11 sao suficienters para determinar as tres

funcoes desconhecidas: y(x), z(x) e λ(x). A

funcao λ(x) e chamada multiplicador inde-

terminado de Lagrange.

Em um caso geral onde tivermos n variaveis

dependentes e m equacoes de vınculo, temos

as seguintes equacoes:

∂f

∂yi

− d

dx

∂f

∂yi′ +

∞∑n=1

λj(x)∂gi

∂yi

= 0

gjyi;xonde

i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . ,m

Portanto, temos n + m equacoes para n

variaveis dependentes, yj(x), e m multiplica-

dores de Lagrange, λ(x).

Exemplo 51 Considere um disco que rola

sem deslizar sobre um plano inclinado (figura).

Determine a equacao de vınculo em termos das

coordenadas y e θ.

Figura 5.8: Cilindro rolando sem deslizar sobre

a superfıcie de um plano inclinado.

Solucao:

A relacao entre as coordenadas e

y = Rθ

Assim

g(y, θ) = y −Rθ = 0

∂g

∂y= 1

∂g

∂θ= −R

5.7 A notacao δ

Nesta secao introduziremos uma notacao sim-

plificada para representar uma variacao, que

sera chamada de notacao δ. A equacao 5.11


dJ

dαdα =

∫ (∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)∂y

∂αdαdx

Na nova notacao, ela pode ser expressa como

δJ =

∫ x2

x1

(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)δydx


ondedJ

dαdα ≡ δJ

dy

dαdα ≡ δy

Observe que o sımbolo δ indica uma variacao

em relacao ao parametro α, ou seja, e a mu-

danca na funcao, ou a mudanca na integral por

causa da variacao da funcao. Na notacao δ, a

condicao de extremo para a integral J e dada

por

δJ = δ

∫ x2

x1

fy, y′;xdx = 0

Como a variacao indicada por δ e indepen-

dente da integral em x, podemos escrever

δJ =

∫ x2

x1

δfdx =

∫ x2

x1

(∂f

∂yδy +

∂f

∂y′δy′

)dx

Por outro lado,

δy′ = δ

(dy

dx

)=

d

dx(δy)

de forma que

δJ =

∫ x2

x1

(∂f

∂yδy +

∂f

∂y′d

dxδy

)δy

O segundo termo pode ser integrado por par-

tes, como fizemos na secao 5.11. Fazendo isto,

temos

δJ =

∫ x2

x1

(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)δydx

Como a variacaoδy, na funcao y(x), e ar-

bitraria, o termo entre parenteses na integral

deve se nulo. Daı segue a equacao de Euler.

5.8 Problemas

1. Mostre que o caminho mais curto entre

dois pontos em um plano e uma reta.

2. Mostre que o caminho mais curto enter

dois pontos em um espaco tridimensional

e uma linha reta.

3. Mostre que a geodesica sobre a superfıcie

de um cilindro circular reto e um segmento

de uma helice.

4. Resolva novamente o exemplo 49 usando

a segunda forma da equacao de Euler. Es-

colha y como variavel independente.

5. Considere a luz passando de um meio com

ındice de refracao n1 para outro meio com

ındice n2. Use o princıpio de Fermat

que afrima que a luz viaja pelo caminho

atraves do qual o tempo e mınimo para

deduzir a lei da refracao.

6. Reexamine o exemplo 48 e mostre que o

tempo que a partıcula leva para ir de um

ponto inicial (x1, y1) ao ponto mais baixo

do cicloide e dado por π√

ag

independente

do ponto de partida.

Capıtulo 6

Formulacao Lagrangeana da Mecanica

6.1 Introducao

Ate agora temos explorado a mecanica

atraves dos metodos introduzidos por Sir Isaac

Newton (1642-1727), o qual se baseia na

descricao das forcas que atuam no sistema,

sendo portanto uma abordagem vetorial da

mecanica. Uma formulacao alternativa a de

Newton foi inicialmente desenvolvida por Wi-

lhelm von Leibniz (1646-1716) (com quem

Newton se envolveu em uma disputa ardua

sobre quem deveria ter o credito pelo desen-

volvimento do calculo) a qual baseava-se em

operacoes matematicas com quantidades es-

calares que ele chamava de forca viva, que

a menos de um fator 2 e o que conhecemos

como energia cinetica. Leibniz trocava o mo-

mento de Newton pela energia cinetica e a

forca pelo trabalho da forca. Portanto Leibniz

e o fundador do segundo ramo da mecanica

o qual chamamos de mecanica analıtica. O

desenvolvimento deste ramo da mecanica le-

vou mais de um seculo para ser completado, e

ocupou a mente dos mais talentosos cientistas

da epoca. Seguindo Leibniz, progressos com

a nova mecanica foram feitos principalmente

por Johann Bernoulli (1667-1748). Em 1717,

ele estabeleceu o princıpio dos trabalhos virtu-

ais para descrever o equilıbrio estatico dos sis-

temas. Este princıpio foi extendido por Jean

LeRound D’Alembert (1717-1783) para incluir

o movimento dinamico dos sistemas. Este de-

senvolvimento culminou com o trabalho de Jo-

seph Louis Lagrange (1736-1813), o qual usou

princıpio dos trabalhos virtuais e a sua ex-

tensao devido a D’Alembert como fundamen-

tos para a deducao das equacoes da dinamica

do movimento, que em sua homenagem rece-

beu seu nome, e hoje sao conhecidas como

equacoes de Lagrange.

Neste capıtulo vamos apresentar a for-

mulacao lagrangeana da mecanica a qual foi

deduzida por Joseph Louis Lagrange (1736-

1813) a partir do princıpio de D’Alembert.

Esta formulacao nao representa uma nova te-

oria fısica, uma vez que em sua essencia ela

e equivalente as Leis de Newton, mas ela e

muito conveniente na solucao de problemas

onde as forcas de vınculo se fazem presen-

tes. Inicialmente, apresentaremos algumas de-

finicoes fundamentais para o desenvolvimento

do formalismo lagrangeano, e em seguida dis-

cutiremos os vınculos impostos a dinamica do

sistema. Posteriormente, vamos apresentar o

princıpio dos trabalhos virtuais e o princıpio

de D’Alembert. Em seguida, deduziremos as

equacoes de Lagrange a partir deste princıpio

e mostraremos que estas equacoes sao equiva-

lentes as equacoes de Newton.

As leis de movimento de Newton descrevem

a dinamica de um sistema em um referencial

inercial. Uma grande experiencia foi adqui-

187


rida ao usarmos as leis de Newton para resolver

uma variedade problemas. Se as coordenadas

cartesianas forem usadas e se o sistema nao

estiver submetido a qualquer tipo de vınculo

externo, as equacoes de movimento geralmente

podem ser escritas facilmente, de forma direta.

Entretanto, se uma das condicoes anteriores

nao for satisfeita, entao tanto as equacoes de

movimento quanto as suas solucoes podem fi-

car extremamente complexas, o que em alguns

casos pode inviabilizar a solucao para as mes-

mas. Considere por exemplo, uma partıcula

que tem o seu movimento restrito a superfıcie

de uma esfera, entao, a equacao de movimento

sera o resultado da projecao das equacoes ve-

toriais de Newton sobre a superfıcie da es-

fera. A representacao do vetor aceleracao em

coordenadas esfericas e bastante trabalhosa.

Como exercıcio o estudante devera encontrar

a expressao para a velocidade e a aceleracao

em coordenadas esfericas. Se o movimento

de uma partıcula estiver restrito a uma dada

superfıcie, certas forcas devem existir (estas

sao as forcas de vınculo) para manter o con-

tato da partıcula com a superfıcie especificada.

Para uma partıcula movendo-se sobre uma su-

perfıcie horizontal, a forca de vınculo e sim-

plesmente Fc = −mg. Mas se a partıcula

for uma conta deslizando sobre um fio cur-

vado, a forca de vınculo pode ser muito compli-

cada. De fato, em situacoes particulares pode

ser muito complicado ou ate mesmo impossıvel

de obtermos uma expressao explicita para as

forcas de vınculo. Mas para resolvermos um

problema usando o procedimento de Newton,

devemos conhecer todas as forcas, porque a

quantidade F que aparece na equacao funda-

mental da mecanica newtoniana e a forca total

(forca resultante) atuando sobre o corpo.

Problemas desta natureza e outros, podem

ser simplificados ao usarmos as coordenadas

generalizadas qi (as quais serao definidas na

secao 6.3), para exprimir as equacoes de mo-

vimento. Em termos destas coordenadas gene-

ralizadas podemos escrever as equacoes de mo-

vimento de forma que as mesma sejam igual-

mente factıveis para todas as coordenadas.

Alem disso a introducao das coordenadas ge-

neralizadas tem a vantagem de podermos levar

em conta os vınculos nos sistemas dinamicos.

Em geral ao lidarmos com corpos materiais,

devemos levar em conta os vınculos impos-

tos a dinamica do movimento do sistema. A

existencia dos vınculos introduz duas dificulda-

des na solucao do problema. Primeiro, as coor-

denadas do sistema dinamico estao conectadas

as equacoes de vınculo, logo nem todas serao

independentes. Segundo, as forcas de vınculo

geralmente sao muito mais complexas ou des-

conhecidas. Por exemplo, as forcas exercidas

pelo arame sobre uma conta que desliza so-

bre o arame (ou as paredes que limitam um

gas constituıdo por partıculas) nao sao conhe-

cidas a priori. Elas sao desconhecidas no pro-

blema devem ser obtidas a partir da solucao do

problema. De fato, impor vınculos ao sistema

e simplesmente um outro modo de dizer que

existem forcas presentes no problema que nao

podem ser especificadas diretamente, mas sao

conhecidas em termos dos seus efeitos sobre o

movimento do sistema.

Exemplo 52 Considere o movimento de uma

partıcula sobre a superfıcie de uma esfera como

mostra a figura 6.1.

A descricao deste movimento e complicada

o suficiente. Observe que a aceleracao em co-

ordenadas esfericas e dada por,

~a =(r − rθ2 − rφ2 sen2 θ

)er+

(rθ + 2rθ − rφ2 sen θ cos θ

)eθ+

(rφ sen θ + 2rφ sen θ + 2rθφ cos θ

)eφ


Figura 6.1: Uma partıcula cujo movimento

esta restrito a superfıcie de uma esfera.

que e uma expressao complicada o suficiente.

Para evitar-se estas dificuldades, foram de-

senvolvidas formulacoes alternativas a for-

mulacao de Newton. Cada uma delas, baseia-

se na ideia de trabalho e energia, e alem disso,

a formulacao de Newton pode ser obtida a par-

tir das mesmas. Cada uma dessas formulacoes

sao expressas em termos das coordenadas ge-

neralizadas.

6.2 Conceitos Fundamen-

tais

Um dos conceitos fundamentais da mecanica

e o conceito de ponto material. Entende-

mos por ponto material, um corpo cujas as

dimensoes podem ser desprezadas ao descre-

vermos o movimento do mesmo (em lugar

do termo ponto material usaremos frequente-

mente o termo partıcula). Esta claro que esta

possibilidade depende das condicoes concretas

de um ou outro problema. Por exemplo, os

planetas podem ser considerados pontos mate-

riais quando estudamos o movimento dos mes-

mos em redor do Sol, mas, naturalmente, o que

nao acontece quando estudamos a sua rotacao

diaria.

O espaco e euclidiano e tridimensional, por-

tanto, um ponto qualquer do espaco pode ser

representado por tres coordenadas cartesianas,

x, y e z em um determinado sistema de re-

ferencia. O sistema de referencia esta ligado

a um objeto real, por exemplo uma estrela

imovel ou um solido, considerado como um

corpo referencial.

Figura 6.2: Centro de nossa Galaxia como um

referencial inercial.

A posicao de um ponto material no espaco

em um dado instante de tempo t e determi-

nada pelo seu raio vetor r, cujas componentes

coincidem com as suas coordenadas cartesianas

x(t), y(t), e z(t), ou ainda, por

r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez. (6.1)

A linha espacial descrita pelas coordenadas do

ponto material, ou seja, dada na forma pa-

rametrica x(t); y(t); z(t), chama-se trajetoria

do ponto. O elemento de comprimento da tra-

jetoria e dado por:

ds =√dx2 + dy2 + dz2. (6.2)

Um ponto material que se move conforme a

(6.1) tem velocidade, definida como

v = r =dr

dt= x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez. (6.3)

Aqui introduzimos a seguinte notacao: a de-

rivada em relacao ao tempo sera representada

por um ponto sobre a letra,

x =dx

dt; x =

d2x

dt2.


Denomina-se aceleracao do ponto material a =

r = v:

r = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez (6.4)

Agora iremos definir a quantidade de movi-

mento p = mv, que de agora em diante chama-

remos de momentum. A segunda lei de Newton

e

F = p =dp

dt. (6.5)

Para determinarmos a posicao no espaco de

um sistema de N partıculas, e necessario dar

N raios vetores r1, r2, . . . , rN , isto e, 3N coor-

denadas. Geralmente, o numero de grandezas

independentes, que devemos dar para determi-

nar univocamente a posicao de um sistema,

denomina-se numero de graus de liberdade; e

neste caso, este numero e igual a 3N . Es-

tas grandezas nao deverao ser necessariamente

coordenadas cartesianas da partıcula; depen-

dendo das condicoes do problema, pode-se fa-

zer uma escolha mais conveniente das coorde-

nadas, isto e, quaisquer outras coordenadas.

6.3 Coordenadas Genera-

lizadas

Como vimos na secao anterior, a posicao de

um ponto material no espaco determina-se pelo

seu raio vetor r, cujas componentes coincidem

com as suas coordenadas cartesianas (x, y, z).

Entao, o estado de um sistema de N partıculas

e descrito por 3N coordenadas, ou seja, preci-

samos de N raios vetores ri cada um com as

tres coordenadas cartesianas (xi, yi, zi), onde

i = 1, 2, . . . , N . Portanto, para determinar-

mos univocamente a posicao das N partıculas,

precisamos de 3N coordenadas independentes.

As coordenadas que descrevem um sistema nao

necessariamente tem que ser coordenadas car-

tesianas. Muitas vezes outras coordenadas sao

mais convenientes para descrevermos o movi-

mento do sistema. Um conjunto qualquer de

parametros ou quantidades podem ser usadas

para especificar a configuracao ou estado do

sistema, e a um conjunto qualquer de coorde-

nadas como este chamamos de coordenadas ge-

neralizadas, as quais serao representadas por:

qi, i = 1, 2, . . . , 3N (6.6)

Estas coordenadas generalizadas podem ser

quaisquer quantidades que variem com o

tempo ao observarmos o movimento do sis-

tema, e elas nao necessariamente precisam ter

um significado geometrico. Em determinadas

circunstancias elas ate podem ser uma corrente

eletrica, uma velocidade, etc.

Devemos ressaltar que as coordenadas gene-

ralizadas, nao sao um sistema de coordenadas

generalizado e que o numero de graus de liber-

dade sera independente da escolha das coorde-

nadas generalizadas.

Um sistema com 3N grandezas quaisquer

q1, q2, . . . , q3N , que caracterizam completa-

mente a posicao do sistema (com 3N graus

de liberdade), denominam-se coordenadas ge-

neralizadas qi e as suas derivadas em relacao

ao tempo qi, denominam-se velocidades gene-

ralizadas do mesmo, ou seja, a derivada de qi

em relacao ao tempo t

qi =dqidt

(6.7)

denomina-se velocidade generalizada.

Varios conjuntos de coordenadas podem ser

usados para especificar a configuracao de um

dado sistema. Estes conjuntos nao necessari-

amente terao o mesmo numero de coordena-

das e nem o mesmo numero de vınculos. Po-

demos obter um conjunto de coordenadas a

partir de um outro por meio de uma trans-

formacao. Agora considere um sistema de N


partıculas que e especificado pelas 3N coorde-

nadas cartesianas x1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN de

suas partıculas, ou por qualquer conjunto de

3N coordenadas generalizadas q1, q2, . . . , q3N .

Como, para cada configuracao do sistema, as

coordenadas generalizadas devem ter um con-

junto definido de valores, e as coordenadas

q1, q2, . . . , q3N devem ser uma funcao das coor-

denadas cartesianas, e possivelmente, tambem

do tempo no caso de um sistema de coordena-

das em movimento, entao as equacoes de trans-

formacao entre um sistema de coordenadas e o

outro sao da forma:

qi = qi (x1, y1, . . . , zN ; t)

dqi =3N∑j=1

∂qidxj

dxj +∂qidtdt

i = 1, 2, . . . , 3N.

(6.8)

ou,

rj = rj (q1, q2, . . . , q3N ; t)

xk = xk (q1, q2, . . . , q3N ; t)

dxk =3N∑i=1

∂xk

dqidqi +

∂xk

dtdt

j = 1, 2, . . . , N.

k = 1, 2, . . . , 3N.

(6.9)

Caso as equacoes (6.9) sejam conhecidas, pode-

se obter q1, q2, . . . , q3N para determinarmos as

equacoes (6.8) e vice-versa.

A condicao matematica para que esta

solucao seja (teoricamente) possıvel e que o

determinante do jacobiano das eqs. (6.8) seja

diferente de zero em todos os pontos, ou em

quase todos os pontos:

J =∂(q1, q2, . . . , q3N , t)

∂(x1, y1, . . . , zN , t)6= 0 (6.10)

J =

∣∣∣∣∣∣∣∣

∂q1

∂x1· · · ∂q1

∂zN...

. . ....

∂q3N

∂x1· · · ∂q3N

∂zN

∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0. (6.11)

No caso desta desigualdade nao ser valida,

entao as eqs. (6.8) nao definem um conjunto

de coordenadas generalizadas. Praticamente,

em todos os caso de interesse, ficara evidente, a

partir das definicoes geometricas ou fısicas das

coordenadas generalizadas, se elas sao ou nao

um conjunto legıtimo de coordenadas. Logo,

nao sera preciso aplicar o teste acima para o

sistema de coordenadas escolhido.

6.4 Graus de Liberdade

Para determinar a posicao no espaco de um

sistema deN pontos materiais, e necessario dar

N raios vetores, isto e, 3N coordenadas. Geral-

mente, o numero de grandezas independentes,

que devem ser dados para se determinar univo-

camente a posicao de um sistema, denomina-

se numero de graus de liberdade do sistema; e

neste caso, este numero e igual a 3N . Estas

grandezas nao deverao ser necessariamente co-

ordenadas cartesianas do ponto; dependendo

das condicoes do problema, poderao ser feitas

escolhas mais convenientes, isto e, de quaisquer

outras coordenadas.

Figura 6.3: Sistema constituıdo por N

partıculas, se movimentando livremente no

espaco.

Uma das caracterısticas importantes de um

dado sistema mecanico e o seu numero de graus


de liberdade, pois ele e igual o numero de co-

ordenadas independentes que devem ser es-

pecificadas para se definir de maneira unica

a configuracao (ou estado) do sistema. Para

um sistema de N partıculas que nao estao

sujeitas a nenhum tipo de vınculo, precisa-

mos de 3N coordenadas independentes qi (i =

1, 2, . . . , 3N) para descrever esta configuracao

completamente. Portanto, o sistema tem 3N

graus de liberdade. Entretanto, se existem m

vınculos impostos sobre o sistema, o numero

de coordenadas independentes do sistema fica

reduzido a s = 3N − m, e neste caso, dize-

mos que o sistema tem s = 3N −m graus de

liberdade.

Um conjunto de n coordenadas generaliza-

das independentes cujo o numero e igual ao

numero de graus de liberdade do sistema, e que

nao esta sendo restringido por vınculos, e cha-

mado de um conjunto proprio de coordenadas

generalizadas.

Exemplo 53 Determine o numero de graus

de liberdade em cada um dos seguintes casos:

(a) uma partıcula movendo-se em uma dada

curva espacial; (b) cinco partıculas movendo-se

livremente em um plano; (c) cinco partıculas

movendo-se livremente no espaco; (d) duas

partıculas ligadas entre si por uma haste rıgida

movendo-se livremente em um plano.

Solucao:

(a) A curva pode ser descrita pelas equacoes

parametricas x = x(s), y = y(s), z = z(s)

onde s e o parametro. Entao, a posicao de

uma partıcula sobre a curva e determinada pela

especificacao de uma coordenada e, assim, ha

um grau de liberdade.

(b) Cada partıcula requer duas coordenadas,

para especificar sua posicao no plano. As-

sim, 5 · 2 = 10 coordenadas sao necessarias

para especificar as posicoes de todas as cinco

Figura 6.4: Partıcula movendo-se sobre uma

curva no espaco.

partıculas, isto e, o sistema tem 10 graus de

liberdade.

Figura 6.5: Cinco partıcula movendo-se em um

plano.

(c) Como cada partıcula requer tres coorde-

nadas para especificar a sua posicao, portanto,

o sistema tem 5 · 3 = 15 graus de liberdade.

Figura 6.6: Cinco partıcula movendo-se livre-

mente no espaco.

(d) Solucao: Metodo 1 As coordenadas

de suas partıculas podem ser expressas por

(x1, y1), (x2, y2), isto e, um total de 4 coordena-

das. Entretanto, como a distancia entre estes

pontos e uma constante a (o comprimento de

uma barra rıgida) tem-se que (x1−x2)2 +(y1−


Figura 6.7: Duas partıcula ligadas por uma

haste rıgida movendo-se livremente em um

plano.

y2)2 = a2 e, assim, uma das coordenadas pode

ser expressa em funcao das outras. Portanto,

ha 4− 1 = 3 graus de liberdade.

Solucao: Metodo 2

O movimento e completamente descrito se

forem dadas duas coordenadas do centro de

massa e o angulo feito entre a haste e uma

direcao fixa. Assim, ha 2 + 1 = 3 graus de

liberdade.

Exemplo 54 Ache o numero de graus de li-

berdade de um corpo rıgido que: (a) possa

mover-se livremente no espaco tridimensional,

e (b) que tenha um ponto fixo no qual possa

mover-se no espaco em torno deste ponto.

(a) Solucao: Metodo l

Figura 6.8: Corpo rıgido movendo-se livre-

mente no espaco.

Se 3 pontos P1, P2 e P3 nao-colineares de um

corpo rıgido sao fixos no espaco, entao o corpo

rıgido tambem esta fixo no espaco. Considere

que as coordenadas destes pontos tenham as

seguintes coordenadas cartesianas (x1, y1, z1),

(x2, y2, z2), (x3, y3, z3), respectivamente, com

um total de 9 coordenadas. Como o corpo e

rıgido a distancia entre dois pontos quaisquer

mantem-se, portanto as relacoes

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2 + (z1 − z2)2 = C12

(x2 − x3)2 + (y2 − y3)

2 + (z2 − z3)2 = C23

(x3 − x1)2 + (y3 − y1)

2 + (z3 − z1)2 = C31

devem sao mantidas. Aqui Cij, e o quadrado

da distancia entre os pontos Pi e Pj, e a mesma

se mantem constante. Assim, tres coordenadas

podem ser expressas em funcao das 6 restantes.

Portanto, sao necessarias 6 coordenadas inde-

pendentes para descrever o movimento, isto e,

ha seis graus de liberdade.

(a) Solucao: Metodo 2

Para fixar um ponto do corpo rıgido, precisa-

se de 3 coordenadas.

Um eixo passando por este ponto estara fixo,

se forem especificadas duas razoes dos cossenos

diretores deste eixo. Uma rotacao em torno

do eixo pode ser descrita por uma coordenada

angular. O numero total de coordenadas ne-

cessarias, isto e, o numero de graus de liber-

dade e 3 + 2 + 1 = 6.

Figura 6.9: Corpo rıgido movendo-se em torno

de um ponto P fixo.

(b) O movimento e completamente especi-

ficado se forem conhecidas as coordenadas de

dois pontos, sejam eles (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2),

onde o ponto fixo e considerado como a origem


do sistema de coordenadas. Mas, como o corpo

e rıgido, devemos ter que:

x21 + y2

1 + z21 = C1

x22 + y2

2 + z22 = C2

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 + (z2 − z1)2 = C21

onde, C1, C2 e C21 sao constantes. Da ultima

equacao acima tres coordenadas podem ser ex-

pressas em termos das outras 3 coordenadas

restantes. Assim, o sistema tem tres graus de

liberdade.

6.5 Espaco de Fase

Na interpretacao geometrica de um

fenomeno mecanico o conceito de espaco

de fase e muito util. Ele e um espaco de

2n dimensoes, cujos eixos de coordenadas

sao: n-eixos das coordenadas generalizadas

qi (i = 1, . . . , n) e n-eixos dos momenta1

pi (i = 1, . . . , n) do sistema dado. Cada

ponto deste espaco corresponde a um estado

mecanico do sistema definido. Quando o

sistema esta em movimento, o ponto repre-

sentativo do espaco de fase realiza uma curva

chamada de trajetoria de fase.

Exemplo 55 Considere o movimento de um

oscilador harmonico simples. A sua energia

mecanica e constante e pode ser expressa como,

E =p2

2m+

1

2kx2,

a qual ainda pode ser reescrita como,

p2

2mE+

1

2Ekx2 = 1,

que e a equacao de uma elipse com cujos eixos

sao dados por,

√2mE

√2E

k,

1O momenta e o plural de momentum no latim.

Portanto, o seu espaco de fase sera elipses.

Observe que as trajetorias do espaco de fase

nunca se cruzam.

Figura 6.10: Espaco de fase de um oscilador

harmonico simples.

6.6 Espaco de Confi-

guracoes

O estado de um sistema composto de N

partıculas sobre a acao de m vınculos co-

nectando algumas das 3N coordenadas car-

tesianas e completamente determinado por

n = 3N − m coordenadas generalizadas.

Entao a configuracao de um sistema qual-

quer e completamente especificada pelos valo-

res de n coordenadas generalizadas indepen-

dentes q1, q2, . . . , qn. Portanto, e conveniente

pensarmos que este numero n, sao as coorde-

nadas de um unico ponto em um espaco n-

dimensional em que as coordenadas generaliza-

das qi formam n-eixos de coordenadas ortogo-

nais entre-si, conforme ilustrado na figura 6.11.

Este espaco n-dimensional e conhecido como o

espaco de configuracoes.

Neste espaco um vetor q partindo da origem

ate um dado ponto P que representa a con-

figuracao do sistema naquele instante. Este

vetor q tem as n correspondentes coordena-

das generalizadas qi como suas componentes


Figura 6.11: Representacao do espaco de con-

figuracoes com n dimensoes para um sistema

com n graus de liberdade.

em um espaco n-dimensional de coordenadas

cartesianas. A evolucao do sistema no tempo

e dada por uma curva (a trajetoria do movi-

mento) no seu espaco configuracional. Cada

ponto sobre a curva representa toda a confi-

guracao do sistema em um dado instante de

tempo. Como as coordenadas generalizadas

nao sao necessariamente as coordenadas da

posicao, o espaco configuracional nao esta ne-

cessariamente vinculado ao espaco fısico tri-

dimensional, e a trajetoria do movimento no

espaco das configuracoes nao necessariamente

se assemelha com a trajetoria do espaco da

fısico da partıcula.

Exemplo 56 Represente a trajetoria no

espaco de configuracao de um sistema cons-

tituıdo por tres partıculas, cada uma se

movendo em uma direcao perpendicular uma

da outra, formando assim um sistema de eixos

cartesianos.

Solucao: O ponto no espaco que representa

a posicao de cada uma das partıculas e um es-

tado do sistema ou uma configuracao. Como

temos somente tres partıculas e cada uma so

tem um grau de liberdade, entao nosso espaco

de configuracoes tera tres dimensoes. Na fi-

gura 6.12 mostramos a trajetoria do sistema

neste espaco de configuracoes.

Figura 6.12: Trajetoria do estado do sistema

constituıdo por tres partıculas no espaco de

configuracao.

6.7 Vınculos

Quando o movimento de um sistema

mecanico esta de alguma forma restrito a uma

regiao qualquer do espaco, ou seja, nao esta

livre para acessar qualquer posicao do espaco,

dizemos que o movimento esta restrito, ou que

ele esta sujeito algum tipo de vınculo.

Sao restricoes imposta as possıveis confi-

guracao do sistema, restringindo o acesso do

sistema a determinados estados, a determina-

das posicoes e velocidades. Devemos ressal-

tar que os vınculos sao restricoes de natureza

geometricas ou cinematicas impostas ao sis-

tema. Portanto, tais restricoes antecedem a

dinamica e precisam ser levadas em contas na

formulacao das equacoes de movimento do sis-

tema. Restricoes de natureza dinamica (de-

correntes das equacoes de movimento) nao sao

vınculos. Por exemplo, a segunda lei de New-

ton restrınge o movimento de uma partıcula

sujeita a acao de uma forca central a um plano,

mas isto nao caracteriza um vınculo.

Os vınculos podem ser conhecidos em ter-

mos dos seus efeitos sobre o movimento do sis-

tema, entretanto, suas forcas nao necessaria-


mente sao conhecidas. A seguir apresentare-

mos alguns exemplos tıpicos de vınculos

1. Corpo Rıgido: A distancia entre dois

pontos quaisquer do corpo deve ser cons-

tante (conforme mostra a figura 6.13

abaixo), o que e expresso por

|ri − rj| = |rij| = Cte.

Figura 6.13: Corpo rıgido. A distancia entre

dois pontos e constante.

2. Um colar de contas: As contas sao obri-

gadas a moverem-se sobre um fio, como

mostra a figura 6.14 abaixo.

Figura 6.14: Um colar de contas, no qual as

contas so podem mover-se somente sobre o fio

do colar.

3. Moleculas de um gas: As moleculas

do gas encontram-se presas no interior

de uma caixa, como mostra a figura 6.15

abaixo.

Figura 6.15: Moleculas de um gas no interior

de uma caixa.

4. Partıcula sobre a superfıcie de

uma esfera: Considere uma partıcula

movimentando-se sobre a superfıcie de

uma esfera, de acordo com a figura 6.16

abaixo.

Figura 6.16: Partıcula sobre a superfıcie de

uma esfera.

Ao lidarmos com a dinamica de um sistema

de partıculas, podemos pensar ingenuamente

que todos os problemas da mecanica se redu-

zem a solucao do seguinte conjunto de equacoes

diferenciais:

miri = F(e)i +

N∑

j 6=i

Fij (6.12)


Uma mera substituicao das forcas que atuam

sobre as partıculas que compoem o sistema,

torna o problema direto no sentido em que

se tem de resolver um conjunto de equacoes

acopla-das ou nao. Entretanto a dificuldade

em obtermos uma solucao para o sistema,

cresce com o numero de partıculas que o

compoem. Portanto, unicamente do ponto de

vista fısico este e um problema muito simpli-

ficado. Por exemplo, pode ser necessario le-

var em conta os vınculos que limitam o movi-

mento do sistema, o que ira aumentar o grau

de dificuldade do problema. Ja encontramos

alguns tipos de sistemas envolvendo vınculos,

os corpos rıgidos, onde os vınculos sobre o mo-

vimento mantem a distancia entre as partıculas

rij constante. Outros exemplos de sistemas

com vınculos podem ser facilmente encontra-

dos. As contas de um abaco tem o seu movi-

mento restrito ao fio de suporte. As moleculas

de um gas dentro de um recipiente, tem o seu

movimento restrito ao interior do recipiente.

Uma partıcula colocada sobre a superfıcie de

uma esfera tera o seu movimento restrito a su-

perfıcie da esfera ou a qualquer ponto da regiao

externa da esfera.

Para estabelecermos uma abordagem aos

problemas sujeitos a vınculos, iremos classifica-

los na seguinte forma:

Vınculos Holonomos: Se as condicoes im-

postas pelos vınculos ao movimento do

sistema puderem ser expressas em uma

forma funcional que envolve as coorde-

nadas das partıculas e possivelmente o

tempo de forma explicita, tendo a seguinte

forma

f(r1, r2, r3, . . . , rN , t) = 0, (6.13)

entao os vınculos sao ditos serem ho-

lonomicos. Os vınculos holonomos defi-

nem as configuracoes acessıveis, isto e, as

que sao compatıveis com as restricoes im-

postas ao sistema. Vınculos holonomos

restrıngem as configuracoes possıveis, e

qualquer configuracao compatıvel com os

vınculos corresponde a um conjunto de

coordenadas generalizadas conveniente-

mente escolhidas. A seguir apresentamos

alguns exemplos de vınculos holonomos.

1. Corpo rıgido: Este talvez seja o

exemplo mais simples de um vınculo

holonomico. Considere um corpo

rıgido, onde os vınculos sao expres-

sos por equacoes da forma

(ri − rj)2 − C2

ij = 0. (6.14)

2. Partıcula movendo-se ao longo

de uma curva: Se a curva tiver

a forma de uma parabola, entao a

partıcula tera o seu movimento res-

tringido pela equacao de vınculo,

y − ax2 − bx− c = 0.

Figura 6.17: Partıcula movendo-se ao longo de

uma parabola.

3. Movimento sobre a superfıcie de

um cone: Considere uma partıcula

que se move sobre a superfıcie interna

de um cone, neste caso ela tera o seu


movimento restrito por uma equacao

de vınculo da forma

z − r cotgα = 0. (6.15)

Figura 6.18: Partıcula movendo-se sobre a su-

perfıcie de um cone.

4. Uma curva que se move: Consi-

deremos uma partıcula que se move

sobre uma curva parabolica e que

esta curva esta movendo-se com o

passar do tempo, entao a equacao de

vınculo tera a seguinte forma

y − a(t)x2 − b(t)x− c(t) = 0.

Os vınculos holonomos tambem sao cha-

mados de vınculos integraveis. O termo

integravel e usado devido ao fato de que a

equacao de vınculo

fi(q1, q2, q3, . . . , qn, t) = 0, i = 1, 2, . . . ,m

(6.16)

Figura 6.19: Partıculas movendo-se ao longo

de uma parabola que tambem esta se movendo.

e equivalente a seguinte equacao diferen-

cial (aqui m e o numero de vınculos ao

qual o sistema esta submetido),

n∑

k=1

∂fi

∂qkdqk = 0, (6.17)

a qual e prontamente integravel. Por

exemplo, considere a equacao diferencial

de uma conta deslizando sobre um fio que

foi entortado na forma de uma arco de cir-

cunferencia de raio R, assim a equacao di-

ferencial da equacao de vınculo da conta

x2 + y2 −R2 = 0 e dada por

xdx+ ydy = 0. (6.18)

O resultado acima mostra que as coorde-

nadas x e y podem ser variadas indepen-

dentemente, portanto ao integrarmos esta

expressao obtemos que x2 + y2 − R2 = 0,

como era esperado.

Um sistema dinamico no qual todas as

equacoes de vınculo podem ser escritas na

forma da eq. (6.13) e chamado de sistema

holonomico.

Vınculos Nao-Holonomos: Todo e qual-

quer vınculo que nao possa ser expresso


na forma da equacao (6.13) e chamado

de vınculo nao-holonomo. Devemos res-

saltar, que os sistemas mecanicos nao-

holonomos sao aqueles sujeitos a pelo me-

nos um vınculo nao-holonomo. Vınculos

deste tipo geralmente podem ser expressos

por meio de uma desigualdade, ou seja,

atraves de uma inequacao. Frequente-

mente encontramos problemas, principal-

mente na dinamica do corpo rıgido, cujos

vınculos sao representados por equacoes

envolvendo velocidades, isto e, equacoes

diferenciais da forma

f(r1, r2, . . . , rN , r1, r2, . . . , rN , t) = 0,

(6.19)

a qual representa um vınculo nao-

holonomo.

Os vınculos nao-holonomos, ou nao-

integraveis, restrıngem os deslocamentos

possıveis do sistema, mas nao impoem

quaisquer limitacoes as configuracoes

possıveis o que nao elimina nenhum

grau de liberdade do sistema, de modo

que a priori todas as configuracoes sao

acessıveis.

Em geral, um sistema mecanico com k

vınculos, os quais podem ser escritos por

meio de expressoes diferenciaveis nao-

integraveis da forma

3N∑j=1

aijdqi + aitdt = 0, i = 1, . . . , k

(6.20)

sao vınculos nao-holonomos. Aqui os co-

eficientes aij e ait, sao em geral, funcoes

das coordenadas q e do tempo t. Tambem

podemos expressar estes vınculos em uma

outra forma equivalente,

3N∑j=1

aij qi + ait = 0, i = 1, . . . , k

(6.21)

na qual fica evidente que os mesmos de-

pendem linearmente das velocidades.

Nao podemos integrar estas equacoes di-

ferenciais para obtermos funcoes da forma

dada na eq. (6.13). Nem e possıvel encon-

tramos um conjunto de coordenadas ge-

neralizadas independentes. Por isso, os

sistemas mecanicos nao-holonomicos sao

sempre descritos por mais coordenadas do

que aquelas fornecidas pelo numero de

graus de liberdade do sistema. A seguir

apresentaremos alguns exemplo mais sim-

ples de vınculos nao-holonomicos.

1. Gas em um recipiente: Considere

as moleculas de um gas que estao no

interior de um recipiente, conforme

a figura 6.20 abaixo. As paredes do

recipiente irao limitar as regioes do

espaco que as moleculas do gas po-

dem ter acesso. Neste caso, o vınculo

nao ira alterar o numero de graus de

liberdade do sistema. As equacoes de

vınculos podem ser expressas como,

Figura 6.20: Moleculas de um gas no interior

de uma caixa.

0 6 x 6 a

0 6 y 6 a

0 6 z 6 a

Aqui o recipiente que contem o gas e

uma caixa quadrada de lado a.


2. Partıcula sobre a superfıcie de

uma esfera: Consideremos uma

partıcula sobre a superfıcie de uma

esfera solida. Neste caso o vınculo

ira restringir uma regiao do espaco a

qual a partıcula nao pode ter acesso,

e esta condicao pode ser expressa

como

Figura 6.21: Partıcula sobre a superfıcie de

uma esfera.

r2 − a2 ≥ 0. (6.22)

onde a e o raio da esfera. Por-

tanto, em um campo gravitacional

uma partıcula colocada no topo da

esfera ira deslizar para a parte de

baixo da superfıcie da esfera, ate

eventualmente abandona-la.

3. Uma partıcula cujo o movimento esta

restrito ao longo de uma superfıcie

qualquer, cujas as equacoes que de-

finem a curva da superfıcie atuam

como as equacoes de vınculo. Este

tipo de movimento constitui uma

classe de exemplos obvios de vınculos

nao-holonomos.

Os vınculos ainda sao classificados de acordo

com a dependencia de suas equacoes de vınculo

com o tempo, da seguinte forma:

Vınculos Escleronomos: Sao aqueles cujas

as equacoes de vınculo nao possuem uma

dependencia explicita com o tempo.

Considere por exemplo um pendulo cujo

o comprimento da corda que mantem a

bola oscilando e constante, como mostra

a figura 6.22 abaixo,

Figura 6.22: Pendulo de comprimento l osci-

lando.

Neste caso, a equacao de vınculo e dada

por,

x2 + y2 = l2.

Um outro exemplo, e o de uma conta desli-

zando sobre um arame entortado na forma

de uma curva fixa, e o arame nao esta se

movendo.

Vınculos Rheonomos: Sao aqueles cujas

equacoes de vınculo possuem uma de-

pendencia explicita com o tempo.

Considere por exemplo um pendulo cujo o

comprimento da corda que mantem a bola

oscilando e variavel, como mostra a figura

6.23 abaixo,

Neste caso, a equacao de vınculo e dada

por,

x2 + y2 = l2(t).

Um outro exemplo, e o de uma conta

deslizando sobre um arame entortado na


Figura 6.23: Pendulo de comprimento l

variavel com o tempo oscilando.

forma de uma curva fixa e o arame esta

se movendo, mantendo a forma da curva

(conforme a Fig. 6.19). Note que se

o arame esta se movendo, entao a de-

pendencia do vınculo com o tempo en-

trara somente atraves das coordenadas do

arame curvado e nao nas coordenadas da

conta, em relacao ao sistema de referencia

na conta, no qual o vınculo e escleronomo.

6.8 Dificuldades Introdu-

zidas Pelos Vınculos

Os vınculos introduzem basicamente dois ti-

pos de dificuldades na solucao de um problema

mecanico, que sao as seguintes:

1. As coordenadas ri de uma partıcula nao

sao todas independentes umas das outras,

pois as mesmas estao relacionadas atraves

das equacoes de vınculo. Portanto as

equacoes de movimento de uma partıcula

Fi = pi = F(ext)i +

∑

j 6=i

Fij (6.23)

nao sao todas independentes.

2. As forcas de vınculo, por exemplo, a forca

que o fio exerce sobre a conta ou que as

paredes do recipiente exercem sobre as

moleculas do gas, nao sao todas conheci-

das a priori. Elas sao incognitas do pro-

blema e precisam ser obtidas a partir da

solucao do problema. De fato, ao impor-

mos vınculos ao movimento de um sis-

tema e simplesmente uma outra maneira

de dizermos que existem forcas presentes

no problema as quais nao podem ser es-

pecificadas diretamente, mas que nos as

conhecemos atraves dos seus efeitos sobre

o movimento do sistema.

A seguir iremos fazer uma analise de como

podemos superar ou contornar as dificuldades

impostas pelos vınculos.

6.8.1 Vınculos e as coordenadas

generalizadas

No caso dos vınculos holonomos, a primeira

dificuldade pode ser resolvida pela introducao

das coordenadas generalizadas. Embora, im-

plicitamente ainda estaremos pensando em ter-

mos das coordenadas cartesianas.

Considere um sistema de N partıculas,

movendo-se livremente sem nenhum tipo de

restricao, neste caso o sistema tera 3N coor-

denadas independentes ou 3N graus de liber-

dade. No diagrama 6.24 abaixo sintetizamos

esta afirmacao.

Se existirem vınculos holonomos, expressos

atraves de k equacoes de vınculo na forma

da equacao (6.13), entao podemos usar estas

equacoes para eliminarmos k das 3N coordena-

das que descrevem a configuracao do sistema.

Desta forma, o problema se reduz a um sistema

com 3N − k coordenadas independentes, neste

caso dizemos que o este sistema tem 3N − k


Figura 6.24: Sistema de N partıculas sem

vınculos e o numero de graus de liberdade.

graus de liberdade. No diagrama 6.25 abaixo

sintetizamos esta afirmacao.

Figura 6.25: Sistema de N partıculas com k

vınculos e o numero de graus de liberdade.

Usar as equacoes de vınculo para eliminar as

coordenadas dependentes das equacoes de mo-

vimento e um procedimento que envolve uma

grande dificuldade algebrica, a qual cresce com

o numero de coordenadas dependentes, por

isso, esta e uma abordagem raramente usada.

Geralmente esta dificuldade e superada pela in-

troducao de um novo conjunto de coordenadas

generalizadas independentes.

Entao para eliminar as coordenadas depen-

dentes das equacoes de movimento, introduz-

se 3N − k novas coordenadas generalizadas

independentes de variaveis q1, q2, . . . , q3N−k as

quais podem ser expressas em termos das

velhas coordenadas r1, r2, . . . , rN , atraves de

equacoes da forma

r1 = r1 (q1, q2, . . . , q3N−k, t)... (6.24)

rN = rN (q1, q2, . . . , q3N−k, t)

as quais contem implicitamente os vınculos.

Estas sao as equacoes de transformacao do con-

junto de coordenadas rj para o conjunto de co-

ordenadas qj, ou alternativamente as equacoes

(6.24) podem ser consideradas como uma re-

presentacao parametrica das coordenadas rj.

Assume-se que sempre podemos fazer uma

transformacao inversa do conjunto de coorde-

nadas qj para o conjunto de coordenadas rj,

isto e, as equacoes (6.24) combinadas com as

k equacoes de vınculo podem ser invertidas

para obtermos qualquer coordenada qi como

uma funcao do conjunto de coordenadas rj e

do tempo t.

Geralmente as coordenadas generalizadas

qi, diferentemente das coordenadas cartesia-

nas nao irao se dividir em grupos de tres que

podem ser associadas para juntas formarem

um vetor. Portanto, no caso de um movi-

mento restrito a superfıcie de uma esfera, os

dois angulos que expressam a posicao na su-

perfıcie da esfera, a latitude e a longitude, sao

obviamente possıveis coordenadas generaliza-

das para a descricao deste movimento. Ja no

caso de um pendulo duplo, movimentando-se

em um plano (duas partıculas ligadas por um

fio inextensıvel e de massa desprezıveis, ligados

por roldanas de massa desprezıveis, conforme

figura 6.26 abaixo), uma escolha satisfatoria

para as coordenadas generalizadas seria os dois

angulos θ1, θ2, (conforme a figura 6.26).

As coordenadas generalizadas, no sentido de

outras coordenadas do que as cartesianas, mui-

tas vezes tambem podem ser muito uteis em

sistemas sem vınculos. Portanto, em proble-

mas de uma partıcula movendo em um campo

de forca central externo V = V (r), nao ha

vınculos envolvidos, mas claramente e mais

conveniente usarmos coordenadas esfericas ou

polares em vez de coordenadas cartesianas.

Entretanto, nao devemos pensar nas coordena-


Figura 6.26: Pendulo duplo.

das generalizadas como um sistema convencio-

nal de coordenadas ortogonais para a posicao.

Qualquer tipo de quantidade pode ser usada

como uma coordenada generalizada. Portanto,

as amplitudes de uma expansao em serie de

Fourier dos rj podem ser usadas como coor-

denadas generalizadas, ou poderia ser conve-

niente usarmos quantidades com dimensoes de

energia ou ate mesmo momentum angular.

No caso dos vınculos nao-holonomos, as

equacoes de vınculo nao podem ser usadas para

eliminar a dependencia extra das coordena-

das. Neste caso, entendemos que o numero de

graus de liberdade do sistema sera o mesmo

do sistema sem os vınculos nao-holonomos,

pois como foi visto ele nao restrınge o acesso

as configuracoes do sistema. Convem ressal-

tar que esta nao e uma questao bem defi-

nida nos livros textos tradicionais. Embora

as equacoes de vınculo contenham explicita-

mente as coordenadas generalizadas, vınculos

nao-integraveis nao restrıngem de modo algum

as configuracoes do sistema. Em outras pa-

lavras, todas as configuracoes sao acessıveis.

Como nao ha um modo geral de tratarmos

os sistemas nao-holonomos, cada problema de-

vera ser considerado separadamente.

Um exemplo de um vınculo nao-holonomo e

o de um objeto rolando sobre uma superfıcie

rugosa sem deslizamento como ilustrado na fi-

gura 6.28. As coordenadas usadas para des-

crever o sistema, geralmente envolvem 2 co-

ordenadas angulares para especificar a ori-

entacao do corpo e mais um conjunto de 3

coordenadas para descrever a localizacao do

ponto de contato do objeto com a superfıcie,

o que da um total de 5 coordenadas. Como o

corpo esta restrito a se mover sobre uma su-

perfıcie entao a distancia do centro de massa

do corpo a superfıcie e fixa, e este e um vınculo

holonomo. O vınculo imposto pela condicao de

rolamento conecta estes dois conjuntos de co-

ordenadas; eles nao sao independentes. Uma

mudanca na posicao do ponto de contato ine-

vitavelmente significara na mudanca de sua

orientacao. Ainda que nao possamos reduzir

o numero de coordenadas, a condicao para o

rolamento nao e expressa como uma equacao

entre as coordenadas, na forma da equacao

(6.13). Em vez disso, ela e uma condicao im-

posta sobre as velocidades (isto e, o ponto de

contato e estacionario), uma condicao diferen-

cial que pode ser dada em uma forma integrada

somente apos termos resolvido o problema.

Como exemplo de restricoes sobre as velo-

cidades, considere um cilindro de raio a, ro-

lando e deslizando para baixo sobre um plano

inclinado, com o seu eixo sempre na horizon-

tal. Este movimento pode ser caracterizado

por duas coordenadas S e θ, como e mostrado

na figura 6.27 abaixo. A coordenada S mede

a distancia em que o cilindro se moveu sobre

o plano, e a coordenada θ e o angulo que um

raio fixo no cilindro girou em relacao ao ponto

de contato com o plano.

Suponha que o cilindro rola sem deslizar.

Neste caso, as velocidades S e θ devem estar


Figura 6.27: Cilindro de raio a, rolando sobre

um plano inclinado.

relacionadas pela equacao

S = aθ, (6.25)

que pode ter a forma

dS = adθ, (6.26)

a qual apos ser integrada, fornece:

S − aθ = C, (6.27)

onde C e uma constante. Esta equacao e do

mesmo tipo da equacao (6.13) e mostra que

o vınculo e holonomo, embora tivesse sido ex-

presso inicialmente em termos das velocidades.

Se um vınculo nas velocidades puder ser inte-

grado para fornecer uma relacao entre as co-

ordenadas, como a equacao (6.27), entao sao

holonomos. Entretanto, existem sistemas em

que as equacoes de vınculo nao podem ser in-

tegradas.

A seguir apresentaremos um exemplo, que

ilustra bem esta classe de vınculos. Considere

um disco rolando sobre um plano horizontal

xy e durante o movimento o disco permanece

sempre na vertical, com o seu movimento res-

trito ao plano horizontal, como mostrado na

figura acima 6.28. Para facilitar, suponha que

Figura 6.28: Disco vertical de raio a, rolando

sobre um plano horizontal.

o disco nao pode deslizar. Quatro coordena-

das serao necessarias para especificar a posicao

dele. As coordenadas usadas para descrever o

movimento podem ser as coordenadas x, y do

centro do disco, um angulo de rotacao θ sobre

o eixo do disco, e um angulo φ entre o eixo do

disco e o eixo dos x, conforme a figura 6.28.

Como o disco esta rolando sem deslizar, entao

teremos duas equacoes de vınculo. Como re-

sultado do vınculo a velocidade do centro do

disco, v, tem uma magnitude proporcional a

θ,

v = aθ ⇒ vdt = adθ, (6.28)

onde a e o raio do disco, e sua direcao e per-

pendicular ao eixo do disco:

x = v cosφ

y = −v senφ(6.29)

ou, ainda usando o fato de que dx=xdt e que

dy=ydt temos

dx = (v cosφ)dt

dy = (−v senφ)dt.(6.30)


Combinando estas condicoes com a equacao

(6.28), obtemos duas equacoes diferenciais de

vınculo:

dx− a cosφdθ = 0

dy + a senφdθ = 0.(6.31)

Nenhuma das eqs. (6.31) podem ser integra-

das sem antes resolvermos o problema; isto

e, nao podemos encontrar um fator integrante

f(x, y, θ, φ) que torne as equacoes diferenciais

(6.31) em equacoes diferenciais perfeitas2. Por-

tanto, nao e possıvel integrar estas equacoes

para obtermos duas relacoes entre as coorde-

nadas x, y, θ e φ. Para verifica-lo, pode-se ob-

servar que se o disco rolar sem deslizar e se ele

girar em torno de um eixo vertical que passa

por seu centro, sera possıvel traze-lo para um

ponto (x, y) qualquer, que forma um angulo

φ qualquer entre o plano do disco e o eixo x,

o qual forma um angulo θ qualquer entre um

ponto fixo sobre a circunferencia do disco e o

ponto de contato do disco com o plano. Se o

disco estiver em um ponto qualquer (x, y) e se o

ponto de contato do disco com o plano nao for

o desejado, pode-se rolar o disco em torno de

um cırculo cuja a circunferencia tenha o com-

primento apropriado, de forma que quando ele

retornar ao ponto (x, y) o ponto desejado do

disco estara em contato com o plano, conforme

ilustrado na figura 6.29. Este resultado mos-

tra que as quatro coordenadas x, y, θ e φ sao

independentes e que nao pode haver nenhuma

relacao entre elas. Portanto, sera impossıvel

integrar as eqs. (6.31) e, consequentemente,

este e um exemplo de vınculo nao-holonomico.

2Em princıpio, um fator integrante sempre pode serencontrado para uma equacao diferencial de primeira-ordem de vınculo envolvendo sistemas que tenham so-mente duas coordenadas e tais vınculos sao portantoholonomos. Um exemplo familiar e o movimento bidi-mensional de um cilindro rolando em um plano incli-nado.

Figura 6.29: Possıveis trajetorias de um disco

vertical de raio a, rolando sobre um plano hori-

zontal, que apos percorrer um angulo θ retorna

ao mesmo ponto (x, y).

Vınculos com diferenciais nao-integraveis na

forma das Eqs. (6.31) nao constituem de

fato uma maneira unica de expressarmos os

vınculos nao-holonomos. As condicoes de

vınculos podem envolver derivadas de mais al-

tas ordens, ou podem aparecer na forma de

desigualdades, e em outras formas.

Parcialmente devido ao fato de que a de-

pendencia com as coordenadas pode ser eli-

minada, em problemas envolvendo vınculos

holonomos, entao, do ponto de vista formal,

sempre poderemos obter um a solucao for-

mal. Mas nao existe um modo geral de abor-

damos problemas envolvendo vınculos nao-

holonomos. De fato, se os vınculos sao

nao-integraveis, as equacoes diferenciais dos

vınculos podem ser introduzidas no conjunto

de equacoes diferenciais do movimento do pro-

blema investigado, e deste conjunto elimina-se

as equacoes dependentes, e o modo de fazermos

isso e atraves do metodo dos multiplicadores

de Lagrange, o qual sera discutido posterior-

mente.

Portanto, os casos mais intrincados de

vınculos nao-holonomos devem ser tratados

individualmente, e consequentemente no de-

senvolvimento dos aspectos mais formais da


mecanica classica, a menos que seja expli-

citado, sempre estaremos considerando que

se houverem vınculos presentes estes serao

holonomos. Esta restricao nao ira limitar

muito o alcance de aplicabilidade da teoria

a ser desenvolvida, apesar de que, no co-

tidiano muito dos vınculos encontrados se-

rem nao-holonomos. A razao e que todo

o conceito de vınculos impostos em um de-

terminado sistema tem sua origem no meio,

como por exemplo fios, superfıcies, paredes,

etc. e estes vınculos so sao apropriados em

problemas microscopicos ou de grandes esca-

las. Entretanto, os problemas que tem in-

teresses atuais sao aqueles envolvendo esca-

las atomicas e nucleares. Nestas escalas to-

dos os objetos, ambos dentro e fora do sis-

tema, consistem de moleculas, atomos, ou

pequenas partıculas, exercendo forcas defini-

das, e a nocao de vınculos torna-se artifi-

cial e raramente aparecera. Vınculos sao

entao usados somente como idealizacao ma-

tematica para casos da fısica atual ou como

uma aproximacao classica para propriedades

da mecanica quantica, por exemplo, rotacoes

de um corpo rıgido por spin.

A segunda dificuldade introduzida pelos

vınculos, que as forcas de vınculos nao

sao conhecidas a priori, pode ser superada

formulando-se o problema mecanico de modo

que as forcas de vınculo desaparecam. Desta

forma, trata-se o problema somente com forcas

conhecidas, as forcas externas aplicadas. O

procedimento as ser seguido em problemas

desta natureza, e fornecida pelo fato de que em

um sistema de muitas partıculas com vınculos,

isto e, um corpo rıgido, o trabalho realizado

pelas forcas internas (as quais sao forcas de

vınculo) e nulo. Este sera o procedimento

usado no desenvolvimento do princıpio dos tra-

balhos virtuais e posteriormente a ideia contida

nele sera generalizada.

Exemplo 57 Considere duas partıculas mas-

sivas, ligadas por uma barra de comprimento

l. Determine o conjunto de coordenadas gene-

ralizadas adequadas ao sistema.

Solucao:

Este e um problema de duas partıculas, o que

nos leva a seis graus de liberdade para descre-

ver o seu movimento, pois temos tres coorde-

nadas para cada partıcula, assim, assumindo

que as coordenadas cartesianas da partıcula

1 e P1 = (x1, y1, z1), enquanto da partıcula

2 e P2 = (x2, y2, z2). Entretanto, as duas

partıculas estao ligadas por uma barra de com-

primento l, o que nos leva a seguinte equacao

de vınculo

l −√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 = 0,

que e um vınculo holonomo. Portanto o

numero de graus de liberdade do sistema sera

dado por 6 coordenadas menos uma equacao

de vınculo, ou seja, 5 graus de liberdade ou

5 coordenadas independentes para descrever o

movimento do sistema. Agora vamos determi-

nar alguns possıveis conjuntos de coordenadas

generalizadas para este problema.

1. Consideremos tres coordenadas cartesia-

nas, para o centro de massa do sistema,

ou seja, PCM = (XCM , YCM , ZCM) e mais

dois angulos (θ, φ) para localizar a direcao

da barra que conecta as duas partıculas

em relacao ao sistema do centro de massa.

Veja a figura 6.30 abaixo.

2. Uma outra possıvel escolha seria, as tres

coordenadas cartesianas da partıcula 1,

ou seja, P1 = (x1, y1, z1) e mais os dois

angulos (θ, φ) para localizar a direcao da

barra que conecta as duas partıculas em

relacao ao sistema centrado na partıcula

1. Veja a figura 6.31 abaixo.


Figura 6.30: Duas partıculas ligadas por uma

barra de comprimento l. Aqui temos uma

coordenada para localizar o centro de massa

(CM) em relacao ao sistema de coordenadas

com origem em O e uma outra para localizar

as partıculas em relacao ao centro de massa

(CM), sistema de coordenadas O′ com origem

no centro de massa da barra.

3. Uma outra possıvel escolha seria, as tres

coordenadas cartesianas da partıcula 1, ou

seja, P1 = (x1, y1, z1) e mais as compo-

nentes da velocidade da partıcula 2 (vθ, vφ)

em relacao a partıcula 1, conforme a

figura 6.31 anterior. Em coordenadas

esfericas temos

v2 = ler + lθeθ + l sen θφeφ

v2 = vθeθ + vφeφ

Neste caso, o estado do sistema estara

completamente especificado. Note que se

conhecemos vθ = lθ entao θ sera conhe-

cido, pois

θ =

∫vθdt+ c.

O mesmo vale para o angulo φ, o qual esta

Figura 6.31: Duas partıculas ligadas por uma

barra de comprimento l. Aqui temos uma coor-

denada para localizar a partıcula 1 em relacao

ao sistema de coordenadas com origem em O

e uma outra para localizar a partıcula 2 em

relacao a partıcula 1, no sistema de coordena-

das O′ com cuja origem esta na partıcula 1.

relacionado com a velocidade vφ por

φ =

∫vφ

l · sen (∫vθdt+ c

)dt+ c2.

E importante notar que as 3N − k coor-

denadas necessarias em um determinado pro-

blema nao precisam ser necessariamente 3N −k coordenadas cartesianas, ou mesmo 3N −k coordenadas curvilıneas, esfericas, polares,

cilındricas, etc. Pode-se escolher 3N − k

parametros quaisquer, tendo eles um signifi-

cado fısico, geometrico ou nao, desde que eles

especifiquem completamente o estado do sis-

tema. Estas 3N − k quantidades nao precisam

de ter nem mesmo dimensao de comprimento.

Dependendo do problema pode ser mais con-

veniente escolher alguns parametros com di-

mensao de energia, ou com dimensao de area,

ou adimensionais, etc.


O nome coordenadas e dado, entao a qual-

quer conjunto que especifique completamente

o estado do sistema.

A escolha de um conjunto de coordenadas

generalizadas para a descricao de um sistema

nao e unica; existem em geral varios conjuntos

(de fato, um numero infinito!). Mas infeliz-

mente, nao existem regras gerais para estabe-

lecer o melhor conjunto de coordenadas gene-

ralizadas para um dado problema; uma certa

sensibilidade deve ser desenvolvida em relacao

a esta escolha.

6.9 Princıpios dos Traba-

lhos Virtuais

Um sistema mecanico tera a sua confi-

guracao completamente definida quando em

dado instante de tempo conhecermos a posicao

e a velocidade de todas as partıculas do sis-

tema. Se o sistema estiver sujeito a algum

tipo de vınculo, num dado instante t havera

um infinidade de configuracoes possıveis, isto

e, consistentes com os vınculos.

6.9.1 Deslocamento Virtual

Os deslocamentos infinitesimais de cada

partıcula que a leva de uma configuracao

possıvel a outra configuracao possıvel infinite-

simalmente proxima no mesmo instante t sao

chamados deslocamentos virtuais. Um deslo-

camento virtual (infinitesimal) de um sistema

refere-se a mudanca da configuracao deste sis-

tema resultante de uma mudanca infinitesi-

malmente arbitraria das coordenadas δri, as

quais mantem-se consistentes com as forcas e

vınculos impostas ao sistema em um dado ins-

tante t. O deslocamento e chamado virtual

para distinguı-lo de um deslocamento real do

sistema que ocorre em um intervalo de tempo

dt durante o qual as forcas e os vınculos po-

dem variar. Os deslocamentos virtuais sao de-

finidos basicamente por tres caracterısticas: (i)

eles sao infinitesimais; (ii) eles ocorrem em um

instante de tempo fixo t; (iii) eles nao violam

os vınculos.

Exemplo 58 Considere uma partıcula que

esta restrita a uma superfıcie movel. Seja

f(r, t) = 0 a equacao que define a superfıcie.

Mostre que um deslocamento virtual e tangente

a superfıcie.

Solucao:

Figura 6.32: Deslocamento virtual e real de

uma partıcula sobre uma superfıcie movel.

Um deslocamento virtual deve ser consis-

tente com o vınculo, isto e, o ponto r e o ponto

deslocado r + δr devem pertencer a superfıcie

no mesmo instante de tempo t, assim

f(r + δr, t) = 0,

expandido em serie de Taylor, mantendo so-

mente os termos de primeira ordem temos

f(r + δr, t) = f(r, t) +∇f · δr.

Portanto, podemos concluir que

∇f · δr = 0


Como ∇f e perpendicular a superfıcie no ins-

tante t, entao o deslocamento virtual δr e tan-

gente a superfıcie nesse instante.

No exemplo anterior, note que um desloca-

mento real dr ocorre em um intervalo de tempo

dt. Portanto, para que a partıcula permaneca

na superfıcie e preciso que

f(r + dr, t+ dt) = 0

= f(r, t) +∇f · dr +∂f

∂tdt

de onde podemos concluir que,

∇f · dr +∂f

∂tdt = 0. (6.32)

Desta forma, vemos que dr nao e tangente a

superfıcie se ∂f∂t6= 0. Somente o deslocamento

virtual realizado em um instante de tempo t

fixo e tangente a superfıcie, mesmo que ela es-

teja em movimento.

6.9.2 Vınculos

Viu-se que na solucao dos problemas

mecanicos, os vınculos introduzem as se-

guintes dificuldades:

1. Nem todas as coordenadas sao indepen-

dentes.

2. Em geral as forcas de vınculos nao sao co-

nhecidas a priori; elas sao desconhecidas

do problema e devem ser obtidas a partir

da solucao buscada.

Se os vınculos forem holonomos (vınculos os

quais, suas condicoes podem ser expressas por

uma equacao do tipo f (r1, r2, . . . , rN , t) = 0)

a dificuldade (i) e evitada pela introducao

de um conjunto de coordenadas independen-

tes q1, q2, . . . , qn, onde n e o numero de graus

de liberdade envolvidos. Isto significa que se

houver m equacoes de vınculos e 3N coorde-

nadas (r1, r2, . . . , rN) podemos eliminar estas

m equacoes de vınculo pela introducao das

variaveis independentes (q1, q2, . . . , qn). Uma

transformacao da seguinte forma e usada:

ri = ri (q1, . . . , qn, t) (i = 1, . . . , N) (6.33)

na qual,

n = 3N −m.

Para evitar a dificuldade (ii), os problemas

mecanicos devem ser formulados de maneira

tal que as forcas de vınculo nao aparecam na

solucao do problema. Esta e a essencia do

princıpio do trabalho virtual.

6.9.3 Trabalho Virtual

Consideremos um sistema constituıdo de N

partıculas em equilıbrio, isto e, a forca resul-

tante Fi sobre cada partıcula i e nula, Fi =

0. Entao o trabalho virtual δWi da forca Fi

no deslocamento virtual δri, tambem e nulo,

δWi = Fi · δri. Portanto, a soma dos traba-

lhos virtuais de cada partıcula tambem deve

ser nula,

δW =N∑

i=1

Fi · δri = 0. (6.34)

Ate agora nao fizemos nenhuma hipotese com

algum conteudo fısico. A forca resultante sobre

a partıcula i e Fi, a qual pode ser decomposta

em

Fi = F(a)i + fi (6.35)

onde F(a)i e resultante das forcas externas apli-

cada e fi e a resultante das forcas de vınculo,

logo

δW =N∑

i=1

F(a)i · δri +

N∑i=1

fi · δri = 0. (6.36)


Restringiremo-nos a sistemas, nos quais o tra-

balho virtual total das forcas de vınculo e nulo:

N∑i=1

fi · δri = 0. (6.37)

Vimos que esta condicao e valida para os cor-

pos rıgidos e para um grande numero de ou-

tros vınculos. Entretanto, se uma partıcula

tem o seu movimento restrito a uma superfıcie,

a forca de vınculo devido a superfıcie e per-

pendicular a mesma enquanto o seu desloca-

mento virtual sera tangente a superfıcie, por-

tanto, neste caso o trabalho virtual das forcas

de vınculo e nulo. Isto nao e mais verdade

se as forcas de atrito devido ao deslizamento

estiverem presentes, assim nestes casos deve-

mos excluir os sistemas que possuam estas ca-

racterısticas da formulacao apresentada. Ape-

sar disto, esta restricao nao trara dificuldades

excessivas, pois o atrito e essencialmente um

fenomeno microscopico, e macroscopicamente

temos os corpos rıgidos cujo o trabalho reali-

zado pelas forcas internas (as quais sao forcas

de vınculo) e nulo. Por outro, lado as forcas

de atrito de rolamento, ou seja forcas de atrito

estatico, nao violam esta condicao, ja que as

forcas atuam em um ponto que esta momen-

taneamente em repouso e nao pode realizar

trabalho em um deslocamento virtual infinite-

simal consistente com o vınculo de rolamento.

Note entretanto que se uma partıcula tem o seu

movimento restrito a uma superfıcie a qual esta

movendo-se com o tempo, conforme o exem-

plo 58, a forca de vınculo e instantaneamente

perpendicular a superfıcie e o trabalho reali-

zado durante um deslocamento virtual infinite-

simal ainda e nulo, embora o trabalho realizado

durante um deslocamento real no intervalo de

tempo dt nao seja necessariamente nulo.

Portanto, nestes casos a condicao para que

o sistema esteja em equilıbrio e que o trabalho

virtual das forcas aplicadas seja nulo, isto e:

δW =N∑

i=1

F(a)i · δri = 0. (6.38)

A equacao (6.38) e conhecida como o princıpio

dos trabalhos virtuais. Note que os coeficien-

tes δri devem ser diferentes de zero, isto e, em

geral F(a)i 6= 0, ja que os δri nao sao completa-

mente independentes, mas estao relacionados

pelos vınculos. Para igualarmos os coeficien-

tes a zero devemos transformar o princıpio dos

trabalhos virtuais em uma forma que envolva

somente os deslocamentos virtuais das coorde-

nadas generalizadas qi, pois eles sao todos inde-

pendentes uns dos outros. De agora em diante

sem perda alguma de generalidade suprimire-

mos o ındice (a) da forca, passando a escreve-la

como Fi. Deve-se notar que os coeficientes dos

deslocamentos δri nao podem ser considerados

como sendo nulos, pois os deslocamentos vir-

tuais nao sao todos independentes.

Como ri = ri(q1, q2, . . . , qn, t), onde n =

3N − k e o numero de graus de liberdade do

sistema e k e o numero de equacoes de vınculo,

entao pode-se expressar os deslocamento virtu-

ais δri em termos dos deslocamentos virtuais

δqi como

δri =n∑

j=1

∂ri

∂qj· δqj. (6.39)

Observe que nenhuma variacao no tempo foi

envolvida, o que deve-se a definicao de um des-

locamento virtual. Substituindo a eq. (6.39)

na eq. (6.38) obtemos que o trabalho virtual

de Fi em termos das coordenadas generaliza-

das e dado por

N∑i=1

Fi · δri =N∑

i=1

3N∑j=1

Fi · ∂ri

∂qjδqj

=3N∑i=1

Qjδqj,


onde introduzimos a forca generalizada Qj

correspondente a coordenada generalizada qj,

que e dada por

Qj =N∑

i=1

Fi · ∂ri

∂qj. (6.40)

Devemos notar que as coordenadas generali-

zadas, nao precisam ter dimensoes de compri-

mento, e que os Qj nao precisam ter dimensao

de forca, mas o produto Qjδqj deve ter di-

mensao de trabalho.

Como os deslocamentos virtuais δqj sao ar-

bitrarios e independentes, entao em termos

das coordenadas generalizadas a condicao de

equilıbrio agora passa a ser dada por

Qj = 0 j = 1, 2, . . . , n (6.41)

Neste momento, deve-se ressaltar que a im-

portancia do princıpio do trabalho virtual re-

side no fato de que ele constitue-se no unico

princıpio sobre o qual a estatica esta baseada.

Exemplo 59 Determine a expressao para o

angulo θ e para a tensao F na mola que corres-

ponde a posicao de equilıbrio estatico do meca-

nismo mostrado na figura 6.33 abaixo. O com-

primento natural da mola e h, e a sua cons-

tante elastica e k. Despreze o peso do meca-

nismo. Considere que as duas hastes moveis

tem o mesmo tamanho.

Figura 6.33:

Solucao:

Do princıpio dos trabalhos virtuais tem-se

que,

FaδyB − FδyC = 0,

mas as coordenadas yB e yC podem ser escritas

como

yB = l sen θ ⇒ δyB = l cos θδθ

yC = 2l sen θ ⇒ δyC = 2l cos θδθ

O modulo da forca que a mola exerce pode ser

escrita como,

F = ks = k(yc − h) = k(2l sen θ − h)

Portanto substituindo as expressoes dos deslo-

camento virtuais δyB e δyC e a forca da mola

na expressao para o trabalho virtual, obtemos

Fal cos θδθ − k(2l sen θ − h)2l cos θδθ = 0

[Fa − 4kl sen θ + 2kh] l cos θδθ = 0

assim,

sen θ =Fa + 2kh

4kl

substituindo esta expressao para o sen θ na ex-

pressao para a forca exercida pela mola obte-

mos

F = k

(2lFa + 2kh

4kl− h

)

F =Fa

2+ kh− kh

Portanto, a forca exercida pela mola e

F =Fa

2.

Exemplo 60 Uma prancha de massa uni-

forme m e encostada em uma parede, fazendo

um angulo α com o chao. A extremidade da

prancha que esta no chao e ligada a parede por

uma corda de massa desprezıvel e inextensıvel.

Qual e a tensao na corda?

Solucao:


Considerando o comprimento da prancha

como sendo 2b, temos

x = 2b cosα ⇒ |δx| = 2b senαδα

y = b senα ⇒ |δy| = b cosαδα

O princıpio dos trabalhos virtuais nos permite

escrever

−T |δx|+Mg|δy| = 0,

logo,

T = Mg|δy||δx| =

1

2Mg cotgα

Exemplo 61 Um anel de massa m desliza em

uma haste vertical. O anel esta preso a uma

corda inextensıvel e de massa desprezıvel pas-

sando por uma roldana fixada a uma distancia

a da haste que prende o anel. Na outra extre-

midade da corda esta uma massa M (M > m).

O anel e solto a partir do repouso no mesmo

nıvel da roldana. Se h e a distancia maxima

que o anel ira cair, determine h em termos de

M , a e m.

Solucao:

Se b for o comprimento da corda, entao

x+√a2 + h2 = b

Para um pequeno deslocamento δh temos

δx+hδh√a2 + h2

= 0,

ou,

δx = − h√a2 + h2

δh

O princıpio dos trabalhos virtuais nos permite

escrever

Mgδx+mgδh = 0[− Mgh√

a2 + h2+mg

]δh = 0.

Como os deslocamentos virtuais sao indepen-

dentes, entao para satisfazer a equacao acima

e necessario que

Mgh = mg√a2 + h2

M2h2 = m2a2 +m2h2

logo, obtem-se que

h =ma√

M2 −m2.


6.10 Princıpio de

D’Alembert

O princıpio dos trabalhos virtuais trata so-

mente com a estatica em sistemas cujo o tra-

balho virtual das forcas de vınculo δW =∑Ni=1 fi · δri = 0 e nulo. Portanto, o proximo

passo sera encontrar um princıpio que envolva

o movimento geral do sistema e que as forcas

de vınculo continue nao aparecendo explicita-

mente. O princıpio dos trabalhos virtuais foi

inicialmente sugerido por Johann Bernoulli e

entao desenvolvido por D’Alembert para os sis-

temas dinamicos. D’Alembert inicialmente es-

creveu a segunda lei de Newton do movimento

de uma partıcula na seguinte forma,

Fi = pi ⇒ Fi − pi = 0. (6.42)

A equacao acima nos diz que as partıculas no

sistema estarao em equilıbrio sob a acao de

uma forca que e igual a forca atuante mais uma

forca inercial ou forca efetiva reversa −pi,

como foi inicialmente chamada por Bernoulli

e D’Alembert. Devemos notar que nesta si-

tuacao a dinamica reduz-se a estatica. Por-

tanto, o trabalho virtual realizado por esta

forca e:

δW =N∑

i=1

(Fi − pi) · δri = 0, (6.43)

agora escrevendo a forca Fi, como

Fi = F(ext)i + fi, (6.44)

onde F(ext)i e a resultante das forcas externas

aplicada a partıcula i enquanto fi e a resul-

tante das forcas de vınculo sobre a partıcula i.

Usando esta prescricao o trabalho total pode

ser escrito como:

N∑i=1

(F

(ext)i − pi

)· δri +

N∑i=1

fi · δri = 0. (6.45)

Novamente nos restringiremos aos sistemas nos

quais o trabalho virtual das forcas de vınculo

e nulo, assim

N∑i=1

fi · δri = 0, (6.46)

obtendo assim que

N∑i=1

(F

(ext)i − pi

)· δri = 0. (6.47)

Esta equacao e muitas vezes chamada de

princıpio de D’Alembert ou forma lagrangeana

do princıpio de D’Alembert. Com objetivo al-

cancado, ou seja, que as forcas de vınculo nao

aparecem no princıpio encontrado, o super-

escrito (ext) agora pode ser ignorado sem ne-

nhuma ambiguidade, assim

N∑i=1

(Fi − pi) · δri = 0. (6.48)

6.11 Equacoes de La-

grange

Lagrange selecionou o princıpio de

D’Alembert como o ponto de partida do

seu livro Mecanique Analytique e obteve as

equacoes de movimento hoje conhecidas como

as equacoes de Lagrange. Deve-se notar que a

expressao (6.48) ainda nao esta escrita em uma

forma adequada para fornecer as equacoes

de movimento do sistema. Uma forma mais

adequada do princıpio de D’Alembert e obtida

reescrevendo-o em termos dos deslocamentos

virtuais das coordenadas generalizadas, (para

os vınculos holonomos), onde os coeficientes

dos deslocamentos virtuais generalizados δqi

sao todos independentes uns dos outros. As

regras para a transformacao das coordenadas


cartesianas para as coordenadas generalizadas

podem ser escritas como,

ri = ri (q1, q2, ..., qn, t) (6.49)

onde esta-se levando em conta o fato de que

as coordenadas generalizadas sao independen-

tes entre si, e que elas obedecem a regra da

cadeia usual do calculo para a derivada total

de uma funcao de varias variaveis. Portanto, a

velocidade vi pode ser expressa em termos das

velocidades generalizadas qj da seguinte forma,

vi =dri

dt=

n∑

k=1

∂ri

∂qkqk +

∂ri

∂t. (6.50)

Similarmente, o deslocamento virtual ar-

bitrario δri pode ser conectado com o deslo-

camento virtual δqi portanto

δri =∑

j

∂ri

∂qjδqj. (6.51)

Observe que nenhuma variacao do termo δt,

foi envolvida neste ponto, porque um desloca-

mento virtual por definicao considera somente

o deslocamento das coordenadas em um ins-

tante de tempo fixo.

De agora em diante, por uma questao de

simplicidade de notacao o super-escrito (ext)

sera omitido da resultante das forcas externas

aplicadas F(ext)i . A resultante das forcas exter-

nas Fi pode ser separada em duas partes

Fi = F(c)i + F

(nc)i , (6.52)

na qual F(c)i e a resultante das forcas externas

conservativas e F(nc)i e a resultante das forcas

externas nao conservativas. Portanto, em ter-

mos das coordenadas generalizadas, o trabalho

virtual das forcas externas aplicadas Fi torna-

se

δW =N∑

i=1

Fi · δri =N∑

i=1

n∑j=1

Fi · ∂ri

∂qjδqj

=N∑

i=1

Fi · δri =n∑

j=1

Qjδqj. (6.53)

Aqui, os Qj sao as componentes da forca ge-

neralizada, a qual e definida por:

Qj = Q(c)j +Q

(nc)j

=N∑

i=1

(Fci + Fnc

i ) · ∂ri

∂qj,

ou ainda,

Qj =N∑

i=1

Fi · ∂ri

∂qj. (6.54)

Observe que justamente pelo fato das coorde-

nadas generalizadas qj nao precisarem de ter

dimensoes de comprimento, entao as forcas ge-

neralizadas Qj nao necessariamente terao di-

mensao de forca, mas o produto Qjδqj devera

ter sempre a dimensao de trabalho. Por exem-

plo, se Qj for o torque Nj e δqj for um diferen-

cial do angulo δθj, entao o produto Njδqj sera

o diferencial de um trabalho.

Agora escreveremos a forca inercial ou forca

efetiva reversa que aparece em (6.47) como

N∑i=1

pi · δri =N∑

i=1

n∑j=1

miri · ∂ri

∂qjδqj

=N∑

i=1

n∑j=1

mi

[d

dt

(ri · ∂ri

∂qj

)−

ri · ddt

(∂ri

∂qj

)]δqj. (6.55)

As derivadas parciais em (6.50) sao funcoes

das coordenadas generalizadas qi e do tempo.

Como resultado disto, a velocidade de uma

partıcula tem a seguinte forma funcional

vi = ri = ri (q1, . . . , qn; q1, . . . , qn; t) . (6.56)

Alem disso, a equacao (6.50) fornece uma

funcao explıcita das variaveis indicadas e mos-

tram que os ri de fato depende linearmente das

velocidades generalizadas qj. Portanto, pode-

mos calcular imediatamente a derivada parcial


∂ri/∂qj e obter:

∂ri

∂qj=

n∑

k=1

∂2ri

∂qk∂qjqk +

∂2ri

∂t∂qj

=n∑

k=1

∂

∂qk

(∂ri

∂qj

)qk +

∂

∂t

(∂ri

∂qj

)

=d

dt

(∂ri

∂qj

)=∂vi

∂qj

Assim,

∂ri

∂qj=

d

dt

(∂ri

∂qj

)=∂vi

∂qj. (6.57)

Da definicao de vi, eq. (6.50) temos que

∂ri

∂qj=

n∑

k=1

∂ri

∂qk

∂qk∂qj

+∂

∂t

(∂ri

∂qj

)

=n∑

k=1

∂ri

∂qkδkj + 0 =

∂ri

∂qj.

Portanto,

∂vi

∂qj=∂ri

∂qj=∂ri

∂qj(6.58)

Note agora, que as variaveis independentes

que aparecem entre parenteses na eq. (6.55)

sao fisicamente independentes, no senso em

que cada uma pode ser especificada indepen-

dentemente, em um dado instante de tempo.

O movimento subsequente do sistema e entao,

de fato, determinado pelas equacoes de movi-

mento. Agora, iremos substituir a eq. (6.58)

no primeiro termo da eq. (6.55)

N∑i=1

mid

dt

(ri · ∂ri

∂qj

)

=N∑

i=1

mid

dt

(vi · ∂vi

∂qj

)

=d

dt

[∂

∂qj

(1

2

N∑i=1

miv2i

)]

=d

dt

∂T

∂qj(6.59)

onde

T =1

2

N∑i=1

miv2i (6.60)

e a energia cinetica total do sistema.

Podemos reescrever o segundo termo do lado

direito da eq. (6.55) como

N∑i=1

miri · ddt

(∂ri

∂qj

)

=N∑

i=1

mivi ·[

n∑

k=1

∂2ri

∂qk∂qjqk +

∂2ri

∂qj∂t

]

=N∑

i=1

mivi · ∂vi

∂qj

=∂

∂qj

[1

2

N∑i=1

miv2i

].

Portanto,

N∑i=1

mirid

dt

(∂ri

∂qj

)=∂T

∂qj(6.61)

Com as eqs. (6.61) e (6.59), podemos rees-

crever eq. (6.55) como,

N∑i=1

pi · δri =n∑

j=1

[d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj

]δqj

(6.62)

Das eqs. (6.47), (6.53) e (6.62) podemos re-

escrever o princıpio de princıpio de D’Alembert

como:

n∑j=1

[d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj

]−Qj

δqj = 0.

(6.63)

Ate agora nenhuma restricao foi feita quanto

a natureza dos vınculos, a nao ser a de que o

seu trabalho virtual e nulo. As variaveis qj

podem ser qualquer conjunto de coordenadas

usadas para descrever o movimento do sistema.

Entretanto, se os vınculos forem holonomos,

entao sera possıvel encontrar um conjunto de

coordenadas qj independentes que contenham


as condicoes de vınculo implicitamente nas

equacoes de transformacao. Qualquer desloca-

mento virtual δqj sera entao independente dos

δqk, e portanto, os coeficientes dos δqj na eq.

(6.63) se anulam independentemente, assim

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj= Qj j = 1, . . . , n (6.64)

aqui j = 1, 2, . . . , n, onde n e o numero de

graus de liberdade do sistema.

Observe que em um sistema de coordenadas

cartesianas a derivada parcial de T com res-

peito a qj e nula, ou seja, ∂T∂qj

= 0. Assim,

falando na linguagem da geometria diferencial

este termo surge da curvatura das coordenadas

qj. Por exemplo, em coordenadas polares e a

derivada parcial de T com respeito a uma co-

ordenada angular que da origem ao termo da

forca centrıpeta, conforme sera mostrado no

exemplo 67.

Quando todas as forcas externas sao de-

rivaveis de uma funcao potencial escalar V (ha

somente forcas conservativas atuando sobre o

sistema), temos

F(e)i = −∇iV . (6.65)

Entao as forcas conservativas generalizadas

Q(c)j podem ser escritas da seguinte forma

Q(c)j =

N∑i=1

F(e)i ·

∂ri

∂qj= −

N∑i=1

∇iV · ∂ri

∂qj(6.66)

que e a expressao exata para a derivada par-

cial de uma funcao −V (r1, r2, . . . , rN , t) com

respeito a qj:

Q(c)j = −

N∑i=1

∇iV∂ri

∂qj= −∂V

∂qj. (6.67)

Assim, a eq.(6.64) pode ser escrita como:

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂(T − V )

∂qj= 0. (6.68)

As equacoes de movimento na forma da eq.

(6.68) nao estao necessariamente restritas aos

sistemas conservativos: o sistema sera conser-

vativo somente se V nao depender explicita-

mente do tempo. Contudo, aqui usaremos um

potencial V que nao depende das velocida-

des generalizadas, desta forma, podemos in-

cluir um termo com o potencial V na deri-

vada parcial com respeito a qj, obtendo uma

forma simetrica para a funcao que aparece na

eq. (6.68),

d

dt

[∂(T − V )

∂qj

]− ∂(T − V )

∂qj= 0. (6.69)

Agora introduziremos uma nova funcao L de-

finida por

L (q, q, t) = T (q, q, t)− V (q) . (6.70)

Esta funcao e chamada a lagrangeana do sis-

tema. Em termos desta funcao, as equacoes

precedentes tornam-se

d

dt

(∂L

∂qj

)− ∂L

∂qj= 0 j = 1, . . . , n (6.71)

em que n e o numero de graus de Liberdade

do sistema. As equacoes (6.71) de agora em

diante serao chamadas de Equacoes de La-

grange. Observe que as equacoes de Lagrange

sao n equacoes diferenciais de segunda ordem

para um sistema conservativo e com vınculos

holonomos. Se alguma das forcas atuando no

sistema nao for conservativa, as equacoes de

Lagrange podem ser escritas na forma

d

dt

(∂L

∂qj

)− ∂L

∂qj= Qj j = 1, . . . , n (6.72)

onde L contem o potencial das forcas conser-

vativas como antes, e Qj e a forca generali-

zada devido as forcas que nao podem ser re-

presentadas por uma funcao potencial. Exem-

plos tıpicos de forcas generalizadas Qj nao-

conservativas sao as forcas de atrito e as forcas

que variam com o tempo.


Deve-se notar que para um conjunto parti-

cular de equacoes de movimento, nao existe

uma escolha unica para a lagrangeana, de tal

forma que as eqs. (6.64) conduzem as equacoes

de movimento corretas para as coordenadas

generalizadas usadas. Como exercıcio (ver

problema 5), o estudante devera mostrar que

se L (q, q, t) e uma lagrangeana apropriada e

F (q, t) e uma funcao diferenciavel qualquer

das coordenadas generalizadas e do tempo t,

entao

L′ (q, q, t) = L (q, q, t) +dF (q, t)

dt

tambem e uma lagrangeana que fornecera as

mesmas equacoes de movimento. Muitas vezes

tambem e possıvel encontrar lagrangeanas al-

ternativas alem daquelas construıdas por sua

prescricao (ver exercıcio). Enquanto as eqs.

(6.63) sao sempre uma maneira habil de cons-

truir uma lagrangeana para um sistema conser-

vativo, ela nao fornece uma unica lagrangeana

possıvel para um dado sistema.

O termo equacoes de Lagrange, as vezes

restrınge-se as equacoes da forma (6.72). Em

aproximadamente todos os casos de interesse

em Fısica (embora nao em Engenharia), as

equacoes do movimento podem ser escritas na

forma da eq. (6.72), exceto no caso em que

existem forcas de atrito, mas em geral estas

forcas nao aparecem em problemas atomicos e

astronomicos.

As equacoes de Lagrange nas formas da

eq. (6.72) ou da eq. (6.71) representam em

sua essencia uma maneira mais simples de es-

crevermos as equacoes de movimento de um

dado sistema, pois envolvem somente o numero

mınimo de coordenadas e nao fazem referencia

alguma as forcas de vınculos presentes do sis-

tema. A energia potencial V e a forca gene-

ralizada Q referem-se somente as forcas apli-

cadas. Nesta formulacao nao temos de usar

uma algebra vetorial, pois as grandezas que

estamos trabalhando, a energia cinetica T e

a energia potencial V , sao grandezas escala-

res o que simplifica em muito a manipulacao

algebrica das equacoes de movimento. Alem

disso, as equacoes de Lagrange possuem a van-

tagem adicional de serem validas para um con-

junto arbitrario qualquer de coordenadas gene-

ralizadas, sendo que a escolha deste conjunto

de coordenadas generalizadas leva em conta a

a simplicidade e conveniencia da descricao do

movimento do sistema.

Como as equacoes de Lagrange foram obti-

das a partir das equacoes do movimento, de

Newton, nao representam propriamente uma

nova teoria da Fısica, mas simplesmente, uma

maneira diferente mas equivalente de expres-

sar essas mesmas leis. Nos casos mais sim-

ples ve-se imediatamente que as de Lagrange

eqs. (6.72) conduzem diretamente as leis do

movimento de Newton. Entretanto, nos ca-

sos complicados em geral e mais facil obter a

energia cinetica e as forcas ou energia poten-

cial em coordenadas generalizadas, e escrever

as equacoes na forma lagrangeana. Devemos

ressaltar que tanto a energia cinetica quanto

a energia potencial devem ser ambas expressas

em relacao a um mesmo referencial inercial,

pois este formalismo tem como ponto de par-

tida as leis de Newton para o movimento, e as

mesmas so sao validas em um referencial iner-

cial.

Particularmente, as equacoes de Lagrange

sao uteis em problemas que envolvem vınculos,

como sera verificado posteriormente, pois nes-

ses a solucao e obtida muito mais facilmente

pelo metodo de Lagrange. O valor principal

destas equacoes se faz sentir no aspecto teorico.

De acordo com a maneira com que as equacoes

de Lagrange foram derivadas, torna-se evi-

dente que as eqs. (6.72) ou (6.64) tambem sao


validas em qualquer sistema de coordenadas

generalizadas. Verifica-se tambem por calculo

direto que, se as eqs. (6.72) forem validas

em um sistema de coordenadas generalizadas

qualquer q = (q1, q2, . . . , qn)) para uma funcao

L(q; q; t) qualquer, as equacoes da mesma

forma tambem serao validas em outro sistema

de coordenadas Q = (Q1, Q2, . . . , Qn) (ver pro-

blema 6) para uma funcao L = L(Q; Q; t).

A funcao lagrangeana L tem o mesmo valor,

em qualquer conjunto de posicoes e velocida-

des das partıculas de um sistema, nao impor-

tando em que sistema de coordenadas ela seja

expressada, mas a forma da funcao L pode ser

diferente em sistemas de coordenadas diferen-

tes. O fato de as equacoes de Lagrange fornece-

rem as mesmas equacoes de movimento em to-

dos os sistemas de coordenadas e o responsavel

por sua importancia teorica, pois representam

uma maneira uniforme de escrever as equacoes

do movimento de um sistema, independente do

tipo usado. Elas formam o ponto de partida

para formulacoes mais avancadas da Mecanica.

No desenvolvimento da Teoria Geral da Rela-

tividade, em que nem sempre ha coordenadas

cartesianas, as equacoes de Lagrange sao par-

ticularmente importantes.


massas m, movimentando-se em um plano.

Usando as coordenadas polares (r, θ) como co-

ordenadas generalizadas, calcule (a) os deslo-

camentos virtuais δx e δy e (b) a forca gene-

ralizada para a partıcula sob a acao da forca

F = Fxex + Fyey.

Solucao:

As coordenadas generalizadas sao polares,

assim q = (r, θ) e em termos das coordena-

das cartesianas (x, y), elas podem ser expressas

por:

x = r cos θ e y = r sen θ

(a) Como o vetor deslocamento virtual e

δri =n∑

j=1

∂ri

qjδqj.

Assim,o deslocamento virtual ao longo do eixo

x e

δx =∂x

∂rδr +

∂x

∂θδθ

= cos θδr − r sen θδθ

enquanto para o eixo y e,

δy =∂y

∂rδr +

∂y

∂θδθ

= sen θδr + r cos θδθ

(b) Da definicao de forca generalizada tem-se

que

Qj =n∑

i=1

Fi · ∂ri

∂qj= Fx

∂x

∂qj+ Fy

∂y

∂qj.

Entao, para a coordenada generalizada qj = r,

temos

Qr = Fx∂x

∂r+ Fy

∂y

∂r= Fx cos θ + Fy sen θ = Fr,

enquanto, para a coordenda generalizada qj =

θ, temos

Qθ = Fx∂x

∂θ+ Fy

∂y

∂θ= −Fxr sen θ + Fyr cos θ = rFθ,

Portanto, temos que

Qr = Fr = F · er

Qθ = rFθ = rF · eθ.


massas m, movendo-se no espaco. Usando

as coordenadas cilındricas (ρ, θ, z) como coor-

denadas generalizadas, calcule (a) os desloca-

mentos virtuais δx, δy e δz e (b) a forca ge-

neralizada para a partıcula sob a acao da forca

F = Fxex + Fyey + Fzez.


Solucao:

As coordenadas generalizadas sao q =

(ρ, θ, z) e em termos das coordenadas cartesi-

anas (x, y, z), elas podem ser expressas por:

x = ρ cos θ;

y = ρ sen θ;

z = z.

(a) O vetor r que define a posicao no espaco

da partıcula e dado nas coordenadas cilınricas

por,

r = ρeρ + zez.

Como o vetor deslocamento virtual e dado por

δri =n∑

j=1

∂ri

qjδqj.


x e

δx =∂x

∂ρδρ+

∂x

∂θδθ +

∂x

∂zδz

= cos θδρ− ρ sen θδθ

para o eixo y e,

δy =∂y

∂ρδρ+

∂y

∂θδθ +

∂y

∂zδz

= sen θδρ+ ρ cos θδθ

enquanto que ao longo do eixo z e

δz =∂z

∂ρδρ+

∂z

∂θδθ +

∂z

∂zδz

= 1δz


que

Qj =n∑

i=1

Fi · ∂ri

∂qj= Fx

∂x

∂qj+ Fy

∂y

∂qj+ Fz

∂z

∂qj.

Entao, para a coordenada generalizada qj = ρ,

temos

Qρ = Fx∂x

∂ρ+ Fy

∂y

∂ρ+ Fz

∂z

∂ρ= Fx cos θ + Fy sen θ = Fρ,

para a coordenda generalizada qj = θ, temos

Qθ = Fx∂x

∂θ+ Fy

∂y

∂θ+ Fz

∂z

∂θ= −Fxρ sen θ + Fyρ cos θ = ρFθ,


z, temos

Qθ = Fx∂x

∂z+ Fy

∂y

∂z+ Fz

∂z

∂z= Fz1 = Fz,

Portanto, temos que

Qρ = Fρ = F · eρ

Qθ = ρFθ = ρF · eθ

Qz = Fz = F · ez


massas m, movendo-se no espaco. Usando as

coordenadas esfericas (r, θ, φ) como coordena-

das generalizadas, calcule (a) os deslocamen-

tos virtuais δx, δy e δz e (b) a forca gene-

ralizada para a partıcula sob a acao da forca

F = Fxex + Fyey + Fzez.

Solucao:

As coordenadas generalizadas sao q =

(r, θ, φ) e em termos das coordenadas cartesi-

anas (x, y, z), elas podem ser expressas por:

x = r sen θ cosφ;

y = r sen θ senφ;

z = r cos θ.

Observer ainda que os versores unitarios em

coordenadas esfericas estao relacionados com

os versores unitarios em coordenadas cartesia-

nas por

er = sen θ cosφex + sen θ senφey + cos θez

eθ = cos θ cosφex + cos θ senφey − sen θez

eφ = − senφex + cosφey.

(a) O vetor r que define a posicao no espaco

da partıcula e dado nas coordenadas esfericas

por,

r = rer.


Como o vetor deslocamento virtual e dado por

δri =n∑

j=1

∂ri

qjδqj.


x e

δx =∂x

∂rδr +

∂x

∂θδθ +

∂x

∂φδφ

= sen θ cosφδr + r cos θ cosφδθ − r sen θ senφδφ

para o eixo y e,

δy =∂y

∂rδr +

∂y

∂θδθ +

∂y

∂φδφ

= sen θ senφδr + r cos θ senφδθ + r sen θ cosφδφ

enquanto que ao longo do eixo z e

δz =∂z

∂rδr +

∂z

∂θδθ +

∂z

∂φδφ

= cos θδr − r sen θδθ


que

Qj =n∑

i=1

Fi · ∂ri

∂qj= Fx

∂x

∂qj+ Fy

∂y

∂qj+ Fz

∂z

∂qj.

Entao, para a coordenada generalizada qj = r,

temos

Qr = Fx∂x

∂r+ Fy

∂y

∂r+ Fz

∂z

∂r= Fx sen θ cosφ+ Fy sen θ senφ+ Fz cos θ

= Fr = F · er,

para a coordenda generalizada qj = θ, temos

Qθ = Fx∂x

∂θ+ Fy

∂y

∂θ+ Fz

∂z

∂θ= Fxr cos θ cosφ+ Fyr cos θ senφ− Fzr sen θ

= rF · eθ = rFθ,


φ, temos

Qφ = Fx∂x

∂φ+ Fy

∂y

∂φ+ Fz

∂z

∂φ= −Fxr sen θ senφ+ Fyr sen θ cosφ

= −r (Fx senφ+ Fy cosφ) sen θ

= r sen θF · eφ = r sen θFφ.

Portanto, temos que

Qr = Fr = F · er

Qθ = rFθ = rF · eθ

Qφ = r sen θFφ = r sen θF · eφ


massas m, movimentando-se livremente pelo

espaco. Encontre a lagrangeana e as equacoes

de movimento do sistema e as componentes

da forca generalizada em coordenadas cartesi-

anas.

Solucao:

Como se trata de uma partıcula livre, entao

a sua funcao energia potencial e no maximo

uma constante desconhecida V0, entretanto, a

lagrangeana L e dada por L = T − V0. Como

a energia cinetica em coordenadas cartesianas

e dada por:

T =1

2m

(x2 + y2 + z2

)(6.73)

Para escrevermos as equacoes de movi-

mento podemos usar as equacoes (6.72) ou as

equacoes (6.64). Observe que neste caso como

a funcao energia potencial e constante entao

ela nao aparece na eq. (6.72) pois ela so en-

volve derivadas de V0, logo as duas formas sao

equivalentes. Portanto as equacoes de movi-

mento sao dadas por:

d

dt

(∂T

∂xi

)− ∂T∂xi

= Qi (i = x, y, z) (6.74)

Usando (6.73) vamos encontrar os termos de

(6.74), desta forma, podemos escrever:

∂T

∂x= mx;

∂T

∂y= my;

∂T

∂z= mz

∂T

∂x= 0;

∂T

∂y= 0;

∂T

∂z= 0.

Ao substituirmos estas duas expressoes em

(6.74), obtemos a seguinte equacao de movi-


mento

dpx

dt= Qx = Fx

dpy

dt= Qy = Fy

dpz

dt= Qz = Fz

(6.75)

em que px = mx, py = my e pz = mz.

Observe, que da definicao de forca generali-

zada, temos que

Qx = F · ∂r∂x

= Fx

e de forma analoga temos que Qy = Fy e Qz =

Fz.

Devemos observar ainda que Qx = Fx e a re-

sultante das forcas externas sobre a partıcula.

Portanto, obtivemos a segunda lei de Newton.

Neste caso a resultante de forcas externas e

nula, logo a equacoes de movimento reduzem-

se a conservacao do momentum,

p = cte. (6.76)

Exemplo 66 Considere um sistema de N

partıculas de massas m1, . . . ,mN , sob a acao

de uma funcao potencial V = V (x1, . . . , x3N),

onde a forca atuando sobre cada partıcula e

Fi = −∇riV (x1, . . . , x3N). Encontre a lagran-

geana e as equacoes de movimento do sistema

em coordenadas cartesianas.

Solucao:

A energia cinetica em coordenadas cartesia-

nas e dada por:

T =1

2

3N∑i=1

mix2i (6.77)

Portanto, a lagrangeana e

L = L(x1, . . . , x3N ; x1, . . . , x3N)

= T − V (x1, . . . , x3N), (6.78)

As equacoes do movimento sao dadas por:

d

dt

(∂L

∂xi

)− ∂L

∂xi

= 0 (i = 1, 2, . . . , 3N)

(6.79)

Usando (6.78) vamos encontrar os termos de

(6.79), onde, qi = xi, sao coordenadas cartesi-

anas, desta forma, podemos escrever:

∂L

∂xi

= mixi = pi

∂L

∂xi

= −∂V∂xi

.

logo, ao substituirmos estas duas expressoes

em (6.79) , obtemos a seguinte equacao de mo-

vimento para cada coordenada i

dpi

dt+∂V

∂xi

= 0 (6.80)

Como Fi = −∇riV , podemos concluir que:

pi = Fi = −∇riV . (6.81)


massas m, movimentando-se em um plano, sob

a acao de uma forca F = −∇V . Encontre

a lagrangeana e as equacoes de movimento do

sistema em coordenadas polares.

Figura 6.34: Sistema de coordenadas polares.

Solucao:

A energia cinetica em coordenadas cartesia-

nas e dada pela eq. (6.73), mas devemos ex-

pressar T em termos das coordenadas polares

r e θ, as equacoes de transformacao sao:x = r cos θ

y = r sen θ(6.82)


Portanto, as velocidades sao dadas por

x = r cos θ − rθ sen θ

y = r sen θ + rθ cos θ(6.83)

Portanto, a energia cinetica (6.73) em coor-

denadas polares pode ser escrita como

T =1

2m

[r2 +

(rθ

)2]

(6.84)

Um modo alternativo de obtermos a veloci-

dade da partıcula, neste caso e usarmos a de-

finicao da velocidade

r = rer v =d

dtr (6.85)

onde er e um vetor unitario na direcao radial

enquanto eθ e um vetor unitario na direcao em

que o angulo cresce. Em termos do sistema

cartesiano estes dois vetores podem ser escritos

como

er = cos θex + sen θey

eθ = − sen θex + cos θey

(6.86)

logo temos que,

d

dθer = − sen θex + cos θey = eθ

d

dθeθ = − cos θex − sen θey = −er

(6.87)

Portanto,

der

dt=

der

dθ· dθdt

= θeθ

deθ

dt=

deθ

dθ· dθdt

= −θer

(6.88)

assim, o vetor velocidade e dado por

v =d

dt(rer) = rer + r

d

dter

= rer + rθeθ

portanto, a energia cinetica e dada por

T =1

2mv · v

=1

2m

(rer + rθeθ

)·(rer + rθeθ

)

=1

2m

[r2 +

(rθ

)2].

Agora podemos escrever a lagrangeana L =

T − V do problema como,

L =1

2m

(r2 + r2θ2

)− V (r, θ). (6.89)

A partir da forca generalizada, obteremos as

equacoes de movimento do sistema. As com-

ponentes de forca generalizada sao dadas por

Qr = F · ∂r∂r

= F · er = Fr

Qθ = F · ∂r∂θ

= F · (reθ) = rFθ

pois,∂r

∂r=∂ (rer)

∂r= er

∂r

∂θ=∂ (rer)

∂θ= r

∂er

∂θ= reθ.

Temos duas coordenadas generalizadas que sao

as coordenadas polares r e θ, portanto, as

equacoes do movimento sao dadas por:

d

dt

(∂T

∂xi

)− ∂T

∂xi

= Qi (i = r, θ) (6.90)

Assim, para a coordenada r temos

∂T

∂r= mr;

∂T

∂r= mrθ2 (6.91)

Portanto, a equacao de movimento para a co-

ordenada r e

mr −mrθ2 = Fr, (6.92)

Observe que o segundo termo do lado direito

da eq. (6.92) e a forca centrıpeta. Para a co-

ordenada θ temos

∂T

∂θ= mr2θ;

∂T

∂θ= 0


Portanto, a equacao de movimento para a co-

ordenada θ e

d

dt

(mr2θ

)= mr2θ + 2mrrθ = rFθ

Note que o lado esquerdo desta equacao e a

derivada no tempo do momentum angular, e o

lado direito e exatamente o torque, pois, L =

mvr = mrθr = mr2θ enquanto N = rer ×(Frer + Fθeθ) logo N = rFθ.

Ao inves de determinar-se primeiramente a

energia cinetica em coordenadas cartesianas e,

depois, transforma-la em termos de coordena-

das generalizadas, como no exemplo acima, em

geral e mais rapido escrever a energia cinetica

diretamente em termos das coordenadas ge-

neralizadas, a partir do conhecimento de seu

significado geometrico, sendo, entao, possıvel

resolver o problema escolhendo-se apropriada-

mente as coordenadas generalizadas sem es-

crever explicitamente as equacoes de trans-

formacao. Por exemplo, e facil chegar a eq.

(6.84) a partir do significado geometrico das

coordenadas r e θ, observando-se que a veloci-

dade linear associada a variacao de r e r e a

associada a θ e rθ. Como as direcoes das velo-

cidades associadas a r e θ sao perpendiculares,

o quadrado da velocidade total sera

v2 = r2 +(rθ

)2

a partir da qual se pode obter imediatamente

a eq. (6.84). Deve-se tomar cuidado ao aplicar

este metodo, caso as velocidades associadas as

variacoes das coordenadas nao sejam perpendi-

culares. Para ilustrar este caso veja o exemplo

58.

Exemplo 68 Considere um plano inclinado

de massa M com um angulo de inclinacao θ

em repouso sobre uma superfıcie sem atrito.

Em um dado instante abandonamos sobre a su-

perfıcie do plano inclinado um bloco de massa

m, a uma altura H da superfıcie horizontal.

Entre as superfıcies do bloco e do plano nao

tem atrito. Determine a velocidade do plano

inclinado e do bloco quando este tocar a su-

perfıcie horizontal.

Figura 6.35: Bloco apoiado sobre a superfıcie

de um plano inclinado. Nao tem atrito entre

as superfıcies.

Solucao:

Inicialmente e necessario escolher as coorde-

nadas generalizadas adequadas para a solucao

deste problema. Para tal, observa-se que os

corpos do sistema, o plano inclinado e o bloco,

cada um tem dois graus de liberdade, assim

o sitema tera quatro graus de liberdade. En-

tretanto o plano inclinado tem o seu movi-

mento restrito a superfıcie horizontal enquanto

o bloco tem o seu movimento restrito a su-

perfıcie do plano inclinado. Portanto, te-

mos quatro graus de liberdade e dois vınculos

para o sistema, desta forma so sera necessario

duas coordenadas generalizadas para descreve-

lo. Por uma questao de simplicidade, as co-

ordenadas X e S representadas na figura 6.36

abaixo sao as mais adequadas para solucao do

problema. O vetor X representa o desloca-

mento de um ponto do plano inclinado e este

e um vetor unidimensional, por sua vez o ve-

tor S representa o deslocamento do bloco de

massa m em relacao ao plano inclinado. Como


o plano inclinado adquiri uma aceleracao hori-

zontal, entao qualquer sistema de coordenadas

em relacao ao mesmo nao sera inercial e para

usar o formalismo lagrangeano, deve-se escre-

ver as energias cinetica e potencial em relacao

a um unico referencial inercial.

Figura 6.36: Bloco apoiado sobre a superfıcie

de um plano inclinado. Nao tem atrito entre

as superfıcies.

Escolhendo o nıvel zero de energia potencial

gravitacional no topo do plano inclinado com o

sistema de coordenadas de acordo com a figura

6.36, a energia potencial gravitacional do bloco

e entao dada por:

U(S) = −mgS sen θ.

Observe, que o movimento do plano inclinado

nao ira alterar sua energia potencial gravita-

cional, portanto nao e necessario leva-la em

conta, pois estarıamos adicionando uma cons-

tante a energia potencial gravitacional do sis-

tema, o que nao ira mudar a equacoes de mo-

vimento que serao encontradas.

O sistema de coordenadas xOy representam

um sistema inercial, logo pode-se escrever a

energia cinetica em relacao a este sistema.

Como

V =dX

dt; vs =

dS

dt; v =

dr

dt.

Entao a energia cinetica do sistema no refe-

rencial inercial xOy e dada por

T =1

2MV 2 +

1

2mv2.

Entretanto as coordenadas generalizadas esco-

lhidas foram X e S, logo deve-se expressar a

velocidade v em termos das velocidades gene-

ralizadas V e vs. Da relacao vetorial entre as

velocidades, tem-se que:

v = V + vs

logo

v2 = v · v= (V + vs) · (V + vs)

= V 2 + v2s + 2V vs cosα

= V 2 + v2s − 2V vs cos θ.

Observe que α + θ = π, logo cosα = − cos θ.

Com esta relacao entre v2 e as velocidades ge-

neralizadas a energia cinetica e expressa em

termos das velocidades generalizadas por

T =1

2(M +m)V 2 +

1

2mv2

s −mV vs cos θ

T =1

2(M +m)X2 +

1

2mS2 −mXS cos θ.

A lagrangeana do sistema e dada por

L = T − U,

e a equacoes de movimento por

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0 qi = (X,S) .

Para a coordenada X a equacao de Lagrange

fornece

(M +m)X −mS cos θ = 0,


assim

X =m cos θ

M +mS. (6.93)

A equacao de Lagrange para a coordenada S


S − X cos θ − g sen θ = 0

S − X cos θ = g sen θ. (6.94)

Substituindo a eq. (6.93) na eq. (6.94), obtem-

se que,

(M +m sen2 θ)

M +mS = g sen θ

ou ainda

S =M +m

(M +m sen2 θ)g sen θ. (6.95)

Desta forma, a aceleracao X e dada por

X =m cos θ sen θ

(M +m sen2 θ)g. (6.96)

Obteve-se as duas aceleracoes generalizadas, e

basta integra-las para obter-se as velocidades

e coordenadas generalizadas como uma funcao

do tempo, ja que as mesmas sao constante.

Portanto, integrando estas obtem-se que:

X(t) = −1

2Xt2

V (t) = −Xt

e

S(t) =1

2St2

vs(t) = +St.

Quando o bloco de massa m chegar ao solo

tem-se que S sen θ = H, logo este instante tc

de chegada ao solo e dado por:

tc =

√2H

S sen θ. (6.97)

Substituindo tc na expressao para a velocidade

V (t), encontra-se que

V (tc) = −√

2HX2

S sen θ

= −√

2gHm2cos2θ

(M +m)(M +m sen2 θ).

e a velocidade do plano no instante que o bloco

chega ao solo.

No exemplo, anterior ficou claro como deve-

mos tratar a questao do referencial inercial no

formalismo lagrangeano.

6.11.1 Vınculos nas equacoes de

Lagrange

Num sistema holonomico de N partıculas

submetidas a k vınculos independentes, pode-

se expressar os vınculos atraves das relacoes

entre eles e as 3N coordenadas cartesianas

(incluindo-se, possivelmente, o tempo, caso os

vınculos variem com ele):

fi(x1, x2, . . . , x3N ; t) = ai

i = 1, 2, . . . , k(6.98)

em que as fi(x1, x2, x3, . . . , x3N , t) sao as k

funcoes especificadas. O numero de graus de

liberdade sera entao n = 3N − k.Como as eqs. (6.98) sao independentes,

pode-se resolve-las para k das 3N coordenadas

cartesianas em termos de outras 3N − k coor-

denadas e das constantes a1, . . . , ak. Assim, so

e necessario especificar 3N−k coordenadas, as

coordenadas restantes poderao ser determina-

das a partir das Eqs. (6.98), caso as constantes

a1, . . . , ak sejam conhecidas. E possıvel con-

siderar como coordenadas generalizadas estas

3N − k coordenadas cartesianas e as k gran-

dezas a1, . . . , ak, definidas pelas eqs. (6.98), e


sao mantidas constantes pelos vınculos. Pode-

se tambem definir 3N −k coordenadas genera-

lizadas q1, q2, . . . , qn de uma maneira qualquer

conveniente tal que:

qi = qi(x1, . . . , x3N ; t) i = 1, . . . , n (6.99)

As eqs. (6.98) e (6.99) definem um conjunto de

3N coordenadas q1, . . . , qn, que sao analogas

as Eqs. (6.8). A partir destas obtem-se as

relacoes entre elas e as coordenadas cartesia-

nas:

xi = xi(q1, q2, . . . , qn; a1, . . . , ak; t)

i = 1, 2, . . . , 3N(6.100)

Considere Q1, . . . , Qn, Qn+1, . . . , Qn+k como

forcas generalizadas, correspondentes as coor-

denadas q1, . . . , qn; a1, . . . , ak. Logo, ha um

conjunto de equacoes de Lagrange para as co-

ordenadas com vınculos e outro para as outras

coordenadas sem vınculos, assim tem-se:

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj= Qj j = 1, . . . , n (6.101)

d

dt

(∂T

∂aj

)− ∂T

∂aj

= Qn+j

j = 1, 2, . . . , k; k = 3N − n.(6.102)

A importancia desta separacao em dois gru-

pos de equacoes esta no fato de as forcas de

vınculo podem ser escolhidas de forma que nao

realizem trabalho, a nao ser que os vınculos

sejam violados, como veremos a seguir. Se

isto for verdade, entao, de acordo com a de-

finicao (6.54) de forca generalizada, as forcas

de vınculo nao contribuem para a forca gene-

ralizada Qk, associada a uma coordenada sem

vınculo qk. Como os valores das coordenadas

de vınculo a1, . . . , ak sao mantidas constantes,

resolve-se as eqs. (6.101) para o movimento do

sistema em termos das coordenadas q1, . . . , qn,

tratando a1, . . . , ak como constantes conheci-

das, sem no entanto, conhecer as forcas de

vınculo. E uma grande vantagem porque as

forcas de vınculo dependem do movimento do

sistema, e nao podem em geral, serem determi-

nadas ate que o movimento do sistema tenha

sido determinado. Em geral, tudo que se sabe

sobre as forcas de vınculo e que os seus valores

sao exatamente aqueles necessarios para man-

ter os vınculos. Apos obter a solucao das eqs.

(6.101), e determinar q1(t), . . . , qn(t), pode-se

entao, caso se deseje, substituir estas funcoes

nas eqs. (6.102) e calcular as forcas de vınculo.

Este aspecto pode ter consideravel interesse

para os engenheiros que querem verificar se os

vınculos sao suficientemente fortes para resis-

tir a essas forcas. As equacoes de Lagrange

reduzem o problema de determinacao do movi-

mento de um sistema holonomo qualquer com

n graus de liberdade em um outro problema

no qual deve-se resolver n equacoes diferenciais

de segunda ordem (6.101). Quando se fala de

coordenadas generalizadas, as coordenadas de

vınculo a1, . . . , ak podem ou nao ser incluıdas,

de acordo com a conveniencia.

Quando uma conta desliza sem atrito por

um arame, este so podera exercer forcas de

vınculos perpendiculares a ele, de forma que

nenhum trabalho seja realizado sobre a conta

enquanto ela permanecer sobre o arame3. Se

houver atrito, separa-se a forca exercida so-

bre a conta em duas componentes: uma com-

ponente perpendicular ao arame que segura

3Se o arame estiver em movimento a forca que eleexerce sobre a conta podera realizar trabalho. Entre-tano, os deslocamentos virtuais em termos dos quaisas forcas generalizadas foram definidas, deveram serconsiderados como se ocorressem em um determinadoinstante de tempo e de tal modo que nao violem osvınculos. Desta forma, nao havera trabalho virtual re-alizado em um destes deslocamentos virtuais. Entao,mesmo no caso de vınculos em movimento, as forcas devınculos nao aparecem nas forcas generalizadas, asso-ciadas as coordenadas sem vınculos.


a conta no arame e que nao realiza nenhum

trabalho, a normal, e numa componente para-

lela ao arame que e a forca de atrito ao longo

do arame e que realiza trabalho e, portanto,

tera de ser incluıdo na forca generalizada as-

sociada ao movimento que se da ao longo do

arame. Se a forca de atrito depender da forca

normal, da mesma forma que no deslizamento

em superfıcies secas, entao nao se pode resol-

ver as eqs. (6.101) independentemente das eqs.

(6.102), neste caso, perde-se algumas das van-

tagens do metodo de Lagrange. Neste caso,

resolve-se primeiramente, as eqs. (6.102) para

determinar as forcas normais em termos de

q1, . . . , qn, e em seguida, substitui-se as forcas

normais nos termos das forcas de atrito das

eqs. (6.101).

Considere duas partıculas separadas por

uma distancia a qual e mantida fixa atraves de

uma haste rıgida, entao, de acordo com a ter-

ceira lei de Newton, a forca exercida pela haste

sobre uma partıcula sera igual e oposta a forca

exercida sobre a outra partıcula. Para um

corpo rıgido mostra-se que nao havera traba-

lho realizado sobre o sistema se os vınculos nao

forem violados, isto e, se ele nao for esticado

nem comprimido. Encontra-se situacoes seme-

lhantes em todos os outros casos; os vınculos

devem sempre ser mantidos por forcas que nao

realizam trabalho.

Se as forcas Q1, . . . , Qn, forem obtidas a

partir de uma funcao energia potencial, entao

e possıvel definir uma funcao lagrangeana

L(q1, . . . , qn; q1, . . . , qn) que pode, em alguns

casos, depender de t, e que tambem pode de-

pender das constantes a1, . . . , ak. Entao, as

primeiras n equacoes de Lagrange (6.101) po-

derao ser escritas na seguinte forma:

d

dt

(∂L

∂qj

)− ∂L

∂qj= Qj j = 1, . . . , n (6.103)

6.11.2 Exemplos de Sistemas

Sujeitos a Vınculos

Um sistema mecanico simples que contem

vınculos e a maquina de Atwood, mostrada

na Fig. 6.37. Os pesos m1 e m2 sao ligados

Figura 6.37: Sistema mecanico simples, a

maquina de Atwood.

por uma corda de comprimento ` que passa

por uma polia. Admita que os pesos so se

movam na vertical, de forma a haver apenas

um grau de liberdade. Tome como coordena-

das a distancia x de m1 ao eixo da polia e

`, o comprimento da corda. A coordenada `

esta vinculada a um valor constante, e pode-

ria ser deixada de lado desde o inıcio, caso se

quisesse determinar apenas o movimento, mas

para determinar-se tambem a tracao na corda,

deve-se incluir ` como uma das coordenadas.

A energia cinetica sera

T =1

2m1x

2 +1

2m2( ˙− x)2. (6.104)

As unicas forcas agindo sobre m1 e m2 sao a

tracao Ft na corda e a forca de gravidade. O

trabalho realizado num deslocamento δx, en-

quanto ` permanece constante, sera

δW = (m1g − FT )δx− (m2g − FT )δx

= (m1 −m2)gδx = Qxδx,


de tal forma que

Qx = (m1 −m2)g (6.105)

Note que Qx e independente de FT . O trabalho

realizado, quando ` sofre um acrescimo δ` e x

permanece constante, sera

δW = (m2g − FT )δ` = Q`δ` (6.106)

de forma que

Q` = m2g − FT . (6.107)

Note que, para se obter uma equacao envol-

vendo o vınculo FT , deve-se considerar um mo-

vimento que viole o vınculo, o que tambem

sera verdade para medir a forca de acordo com

a Fısica, devendo-se permitir pelo menos um

pequeno deslocamento na direcao a ela. As

equacoes de Lagrange para este movimento sao

(pois ˙ = ¨= 0)

d

dt

(∂T

∂x

)− ∂T

∂x= (m1 +m2)x = (m1 −m2)g

(6.108)

x =m1 −m2

m1 +m2

g.

d

dt

(∂T

∂ ˙

)− ∂T∂`

= −m2x = m2g−FT (6.109)

A primeira equacao deve ser resolvida para

obter-se a equacao de movimento:

x = x0 + v0t+1

2

m1 −m2

m1 +m2

gt2 (6.110)

A segunda equacao pode ser usada na deter-

minacao da tracao FT , necessaria para manter

o vınculo

FT = m2(g + x) =2m1m2

m1 +m2

g. (6.111)

Neste caso, a tracao e independente do tempo

e pode ser obtida imediatamente a partir das

eqs. (6.108) e (6.109), embora, na maioria dos

casos, as forcas de vınculo dependam do movi-

mento e so podem ser determinadas depois que

o movimento tambem o for. As eqs. (6.108) e

(6.109) tem uma interpretacao fısica obvia e

podem ser obtidas imediatamente a partir de

consideracoes elementares, como foi feito ante-

riormente.

6.12 Aplicacoes da For-

mulacao Lagrangeana

Mostrou-se na secao anterior que para siste-

mas onde pode-se definir uma lagrangeana, isto

e, sistemas holonomos com forcas aplicadas de-

rivaveis de um potencial generalizado ordinario

com vınculos que nao realizam trabalho, tem-

se uma maneira muito conveniente de definir

(escrever) as equacoes de movimento. A for-

mulacao lagrangeana foi obtida pelo desejo de

eliminar-se as forcas de vınculo das equacoes

de movimento, e este objetivo foi alcancado

obteve-se outros benefıcios. Ao definir (escre-

ver) a forma original das equacoes de movi-

mento, ∑

j 6=i

Fij + F(e)i = pi,

e necessario trabalhar com muitas forcas veto-

riais e aceleracoes. Com o metodo Lagrange-

ano, trata-se somente com duas funcoes esca-

lares T e V , o que simplifica enormemente o

problema. Uma rotina de procedimentos dire-

tos pode ser estabelecida para todos os proble-

mas da mecanica para os quais a formulacao

lagrangeana e aplicavel. Basta escrever T e V

em coordenadas generalizadas e a partir delas

a lagrangeana L, e em seguida substituir a la-

grangeana L nas equacoes de movime nto de

Lagrange (6.71) para obter as equacoes de mo-

vimento para cada coordenada generalizada.



massas m, presa a uma corda de massa des-

prezıvel, que e deslocada de sua posicao de

equilıbrio de um angulo θ em relacao ao

eixo vertical (conforme mostra a figura 6.38

abaixo), e e solta neste ponto. Encontre a la-

grangeana e as equacoes de movimento do sis-

tema.

Figura 6.38: Pendulo Simples.

Solucao:

Este sistema bidimensional tem dois graus

de liberdade, e uma restricao dada pela equacao

de vınculo x2 + y2 − `2 = 0 holonomica. Por-

tanto o sistema tem um grau de liberdade e

sera necessario uma unica coordenada genera-

lizada, para descreve-lo. O angulo θ com o eixo

vertical, conforme a figura 6.38, e uma boa es-

colha para a coordenada generalizada. Neste

caso, a energia cinetica da massa presa ao

pendulo e expressa por

T =1

2mv2 =

1

2m(`θ)2 =

1

2m`2θ2.

na qual ` e o comprimento do pendulo.

A energia potencial do massa presa ao

pendulo e dada por

V = −mg` cos θ,

e neste caso, o referencial para a energia poten-

cial usado foi o ponto onde a corda do pendulo

esta presa.

A lagrangeana L = T−V do sistema e entao

L =1

2m`2θ2 +mg` cos θ.

As equacoes de movimento sao obtidas a partir

da equacao de Lagrange,

d

dt

(∂L

∂θ

)− ∂L

∂θ= 0. (6.112)

Da lagrangeana L encontrada, tem-se que

∂L

∂θ= m`2θ

∂L

∂θ= −mg` sen θ (6.113)

portanto, a equacao de movimento de Lagrange

para a coordenada θ pode ser escrita como

m`2θ +mg` sen θ = 0. (6.114)

Assim, a equacao de movimento do pendulo e

dada por

θ +(g`

)sen θ = 0. (6.115)

Para pequenas oscilacoes, tem-se que

sen θ ≈ θ, logo a equacao de movimento pode

ser reescrita como

θ +(g`

)θ = 0. (6.116)

que e a equacao de um oscilador harmonico

simples, cuja solucao e

θ(t) = θ0 cos (ω0t+ δ) . (6.117)

em que,

ω0 =

√g

`. (6.118)

As constantes de integracao θ0 e δ sao dadas

pelas condicoes iniciais do problema.

Exemplo 70 Considere um projetil em movi-

mento sob influencia da gravidade. Obtenha as

equacoes de movimento em coordenadas carte-

sianas e tambem em coordenadas polares.

Solucao:


Figura 6.39: Projetil lancado em um campo

gravitacional constante.

Em coordenadas cartesianas, pode-se escre-

ver

T =1

2m

(x2 + y2

)e U = mgy

L = T − U =1

2m

(x2 + y2

)−mgyAs equacoes de movimento para x sao:

d

dt

(∂L

∂x

)− ∂L

∂x= 0,

d

dtmx− 0 = 0 ⇒ x = 0.

Ja para a coordenada y tem-se

d

dt

(∂L

∂y

)− ∂L

∂y= 0,

d

dtmy +mgy = 0 ⇒ y = −g.

Em coordenadas cartesianas, as equacoes de

movimento sao facilmente resolvidas e a sua

solucao e dada por

x(t) = x0 + v0xt

y(y) = y0 + v0yt− 12gt2

Em as coordenadas polares a energia cinetica

e dada por

T =1

2m

[r2 + (rθ)2

]

e a energia potencial por

U = mgr sen θ,

logo, a lagrangeana L = T − U do sistema e

L =1

2m

[r2 + (rθ)2

]−mgr sen θ

As equacoes de movimento para a coordenada

r sao odtidas da equacao de movimento de La-

granged

dt

(∂L

∂r

)− ∂L

∂r= 0,

que fornecem a seguinte equacao para a coor-

denada r

d

dtmr −mrθ2 +mgr sen θ = 0,

a qual pode ser reescrita como

r − rθ2 + g sen θ = 0.

Para a coordenada θ a equacao de movimento

de Lagrange e

d

dt

(∂L

∂θ

)− ∂L

∂θ= 0,

a qual, usando a lagrangeana L do sistema

encontra-se a seguinte equacao de movimento

d

dt

(mr2θ

)+mgr cos θ = 0,

a qual pode ser reescrita na seguinte forma

r2θ + 2rrθ + gr cos θ = 0.

Claramente, as equacoes de movimento sao

muito mais complicadas em coordenadas pola-

res do que em coordenadas cartesianas. Isto

acontece porque em coordenadas cartesianas a

energia potencial so depende de y, ao passo que

em coordenadas polares a energia potencial U

e funcao de ambas as coordendas r e θ.

Exemplo 71 Uma partıcula de massa m

move-se sobre a superfıcie de um cone de meio-

angulo α (figura 6.40 abaixo) sob acao da forca

gravitacional. Escreva a lagrangeana do sis-

tema em termos de um conjunto proprio de co-

ordenadas generalizadas e obtenha as equacoes

de movimento.


Figura 6.40: Movimento de uma partıcula so-

bre a superfıcie de um cone.

Solucao:

Devido a simetria cilındrica do problema,

e conveniente usar as coordenadas cilındricas

r, θ, z como coordenadas generalizadas. Sendo

assim, o quadrado da velocidade e dada por

v2 = r2 + (rθ)2 + z2

e as energias cinetica e potencial sao dadas

por,

T =1

2m

[r2 + (rθ)2 + z2

]

U = mgz.

logo, a lagrangeana L = T − U do sistema e

L =1

2m

[r2 + (rθ)2 + z2

]−mgz.

Apesar das coordenadas cilındricas r, θ, z cons-

tituırem um conjunto capaz de descrever o pro-

blema, elas nao formam um conjunto proprio

de coordenadas generalizadas porque existe

uma relacao de vınculo entre as coordenadas

r e z dada por

z = r cotgα ⇒ z = r cotgα.

Pode-se eliminar a coordenada z (poderia-se

eliminar tambem r em favor de z, em vez de z

em favor de r) e escrever

L =1

2m

[r2 cossec2 α + (rθ)2

]−mgr cotgα.

A equacao de movimento para θ e muito sim-

ples:

∂L

∂θ= 0 ⇒ d

dt

(∂L

∂θ

)= 0

∂L

∂θ= mr2θ = cte.

Observe que mr2θ = Iω = `z e o momentum

angular da partıcula em torno do eixo z, de

forma que a equacao de movimento para θ nada

mais e que uma expressao da conservacao da

componente z do momentum angular.

Por sua vez, a equacao de Lagrange para r

d

dt

(∂L

∂r

)− ∂L

∂r= 0,

fornece a seguinte equacao de movimento

r − rθ2 sen2 α+ g senα cosα = 0,

que ainda pode ser expressa como,

r −(`z senα

m

)21

r3+ g senα cosα = 0.

Exemplo 72 Considere um pendulo simples

de comprimento b, cujo o ponto de apoio esta

preso a um anel de raio a que gira com uma

velocidade angular ω constante, conforme mos-

tra a figura 6.41 abaixo. Obtenha as expressoes

para as componentes cartesianas da velocidade

e da aceleracao da massa m em termos de θ.

Obtenha, via equacao de Lagrange, uma ex-

pressao para a aceleracao angular θ.

Solucao:

Este e um exemplo interessante, pois como

a massa m move-se em um plano, ela deve

ter dois graus de liberdade, entretanto, ela esta


Figura 6.41: Pendulo fixo a um anel girando

com velocidade angular constante.

restrita a mover-se presa a uma haste que esta

presa a um anel conforme a figura 6.41. Por-

tanto, devido a esta restricao do seu movi-

mento, ela tera um grau de liberdade. Como

coordenada generalizada a escolha conveniente

e o angulo θ. As componentes cartesianas do

vetor posicao da massa m sao:

x = a cosωt+ b sen θ

y = a senωt− b cos θ

Derivando em relacao ao tempo, encontra-se

as componentes da velocidade:

x = −aω senωt+ bθ cos θ

y = aω cosωt+ bθ sen θ

Derivando mais uma vez, obtem-se a ace-

leracao:

x = −aω2 cosωt+ b(θ cos θ − θ2 sen θ

)

y = −aω2 senωt+ b(θ sen θ + θ2 cos θ

)

A lagrangeana pode ser escrita, em coordena-

das cartesianas, como

L = T − U =1

2m

(x2 + y2

)−mgy

Observe que o ponto de referencia para a ener-

gia potencial e o y = 0. Substituindo as ex-

pressoes acima para as velocidades, obtem-se

a lagrangeana

L =1

2m

[a2ω2 + b2θ2 + 2baθω sen (θ − ωt)

]

−mg (a senωt− b cos θ)

As derivadas da lagrangeana sao dadas por:

∂L

∂θ= mbaθω cos (θ − ωt)−mgb sen θ

∂L

∂θ= mb2θ +mbaω sen (θ − ωt)

d

dt

(∂L

∂θ

)= mb2θ+mbaω

(θ − ω

)cos (θ − ωt) .

Desta forma, a equacao de movimento para o

pendulo e dada por:

θ =ω2a

bcos (θ − ωt)− g

bsen θ.

Note que, se ω = 0, obtem-se a equacao de

movimento conhecida para o pendulo simples.

6.13 Energia Cinetica em

Coordenadas Genera-

lizadas

A transformacao necessaria de T e V do

sistema de coordenadas cartesianas para o de

coordenadas generalizadas e obtida aplicando

as equacoes de transformacao (6.49) e o fato

de que qj = qj (r1, r2, ..., rn, t). A energia

cinetica e considerada como sendo uma funcao

das coordenadas generalizadas e das veloci-

dades e possivelmente do tempo t, ou seja,

T = T (q, q, t). Em coordenadas cartesianas

a energia cinetica T e uma funcao homogenea

e quadratica das velocidades vi = ri;

T =1

2

N∑i=1

mir2i =

1

2

N∑i=1

miv2i (6.119)

como,

ri =n∑

j=1

∂ri

∂qjqj +

∂ri

∂t= vi (6.120)


Deve-se observar que ri e uma funcao linear

das velocidades qj e que ∂ri

∂qje ∂ri

∂tsao funcoes

somente das coordenadas qj e do tempo t.

O quadrado de r2i e dado por

r2i =

(n∑

j=1

∂ri

∂qjqj +

∂ri

∂t

)·

(n∑

k=1

∂ri

∂qkqk +

∂ri

∂t

)

=n∑

j,k=1

∂ri

∂qj· ∂ri

∂qkqj qk +

2n∑

k=1

∂ri

∂qk· ∂ri

∂tqk +

∂ri

∂t· ∂ri

∂t

assim, a energia cinetica pode ser escrita como

T (q, q, t) = M0 +∑

j

Mj qj +1

2

∑

j,k

Mjkqj qk

(6.121)

em que M0, Mj, Mjk sao funcoes definidas das

coordenadas r e do tempo t e portanto, das

coordenadas generalizadas q e t. De fato, uma

comparacao mostra que

M0 = 12

N∑i=1

mi

(∂ri

∂t

)2

Mj =N∑

i=1

mi∂ri

∂t· ∂ri

∂qj

Mjk =N∑

i=1

mi∂ri

∂qj· ∂ri

∂qk

(6.122)

Observe que se Mjk = mjδjk, ou seja Mjk

sera zero exceto quando j = k, neste caso,

pode-se afirmar que o sistema de coordena-

das usado e ortogonal. Os coeficientes M0 e

Mj serao iguais a zero quando as coordenadas

ri = ri (q1, q2, . . . , qn) nao dependerem expli-

citamente do tempo, isto e, quando o sistema

de coordenadas generalizadas nao variar com o

tempo.

Portanto, a energia cinetica T de um sistema

sempre pode ser escrita como a soma de tres

funcoes homogeneas das velocidades generali-

zadas da seguinte forma,

T = T0 + T1 + T2, (6.123)

na qual, o termo T0 e independente das veloci-

dades generalizadas, o T1 e linearmente depen-

dente e o T2 e quadraticamente dependente das

velocidades. Se as equacoes de transformacoes

nao contem o tempo explicitamente como pode

ocorrer quando os vınculos sao independentes

do tempo (vınculos escleronomos), entao so-

mente o ultimo termo de (6.123) e nao nulo

e T sempre sera uma funcao quadratica e ho-

mogenea das velocidades generalizadas:

T =1

2

∑

j,k

Mjkqj qk. (6.124)

Agora diferenciando T com respeito a q`:

∂T

∂q`=

1

2

n∑

j,k

(Mjk

∂qj∂q`

qk +Mjkqj∂qk∂q`

)

=1

2

n∑

j,k

(Mjkδj`qk +Mjkqjδk`)

Como os ındices sao mudos, entao no ultimo

termo do lado direito da equacao acima pode-

se trocar os ındices j por k, obtendo

∂T

∂q`=

n∑

k=1

M`kqk

Multiplicando esta equacao por q` e somando

sobre ` obtem-se que

n∑

`=1

q`∂T

∂q`=

n∑

k,`=1

M`kqkq` = 2T (6.125)

O resultado acima e um caso especial do te-

orema de Euler, o qual nos diz que se f(yi) e

uma funcao homogenea de yi, a qual e de grau

n, isto e,

f(λyi) = λnf(yi) (6.126)


entao ∑i

yi∂f

∂yi

= nf(yi) (6.127)

Definicao 1 Funcao homogenea: Se uma

funcao f(x, y) satisfaz

f(λx, λy) = λnf(x, y)

para algum numero real n, entao dizemos que

f e uma funcao homogenea de grau n.

Como uma ilustracao do teorema de Euler,

considere uma partıcula de massa m sobre a

influencia de uma forca derivada de um poten-

cial dependente somente da posicao. Em co-

ordenadas cartesianas, a energia cinetica T e

dada por

T =1

2

3∑i=1

mx2i

a qual e uma funcao homogenea em xi e de

grau n = 2. Entao de acordo com o teorema

de Euler temos:

3∑j=1

xj∂T

∂xj

= 2T

como era esperado. A lagrangeana L = T − Vda partıcula e

L =1

2

3∑i=1

mx2i − V. (6.128)

Exemplo 73 Considere um par de eixos coor-

denados u e w que fazem entre si um angulo α

menor do que 90, como e mostrado na figura

6.42. Considere tambem que u e w sejam os

lados de um paralelogramo formado por estes

eixos e por linhas paralelas aos eixos que pas-

sam pela massa m, como e mostrado na figura

6.42. Considere, ainda, que eu e ew sejam ve-

tores unitarios na direcao de crescimento de u

e w. Determine a energia cinetica e a equacoes

de movimento neste sistema de coordenadas.

Figura 6.42: Sistema de coordenadas nao-

ortogonais.

Solucao:

Usando u e w como coordenadas, a veloci-

dade da massa m sera

v = ueu + wew (6.129)

A energia cinetica sera entao

T =1

2mv · v =

1

2m(u2 + w2 + 2uw cosα)

(6.130)

Este e um exemplo de um conjunto nao-

ortogonal de coordenadas para o qual aparece

na energia cinetica o termo cruzado das velo-

cidades. A razao para se usar o termo ortogo-

nal (que significa perpendicular) torna-se clara

a partir deste exemplo. Quando os sistemas

com mais do que uma partıcula sao descritos

em termos de coordenadas generalizadas, em

geral e mais seguro escrever primeiramente a

energia cinetica em coordenadas cartesianas e

transforma-la em seguida em coordenadas ge-

neralizadas. Entretanto, em alguns casos, e

possıvel escrever a energia cinetica diretamente

em coordenadas generalizadas. Por exemplo,

quando um corpo rıgido gira em torno de um

eixo, sabe-se que a energia cinetica e igual a


12Iω2, onde ω e a velocidade angular em torno

do eixo e I e o momento de inercia. Se a velo-

cidade linear de cada partıcula do sistema pu-

der ser escrita diretamente em termos das co-

ordenadas e velocidades generalizadas, entao,

escreve-se imediatamente a energia cinetica.

6.14 Momentum Generali-

zado

No caso anterior, ao tomarmos a derivada

parcial de L com respeito a xi obtemos

∂L

∂xj

= mxi = pi (6.131)

que e a componente xi do momentum linear

da partıcula. Este resultado sugere uma ex-

tensao ao conceito de momentum. Portanto,

definiremos o momentum generalizado Pi cor-

respondente a coordenada generalizada qi como

Pi =∂L

∂qi. (6.132)

Ele e em geral, uma funcao dos q, q e t.

Note entretanto que, a lagrangeana na maio-

ria das situacoes e uma funcao quadratica dos

qi e Pi e uma funcao linear dos qi. E evidente

que se qi nao for uma coordenada cartesiana,

Pi nao necessariamente tera dimensao de mo-

mentum linear. Alem disso, se existir um po-

tencial dependente da velocidade entao, como

ocorre com uma coordenada cartesiana, para a

coordenada qi o momentum Pi correspondente,

como definido anteriormente, nao sera identico

ao momentum mecanico usual.

6.15 Potenciais Dependen-

tes da Velocidade

Ate o momento viu-se que as equacoes de

Lagrange so podem ser escritas na forma da

eq. (6.71), se houver uma funcao potencial V ,

no senso comum. Entretanto, se as forcas exer-

cidas sobre um sistema dinamico dependerem

das velocidades, e se conseguirmos encontrar

uma funcao U (q, q, t), tal que as forcas gene-

ralizadas possam ser escritas na forma

Qj = −∂U∂qj

+d

dt

(∂U

∂qj

)(6.133)

Entao, nos casos em que forem possıveis deter-

minar esta funcao U (q, q, t) sera possıvel defi-

nir uma funcao lagrangeana

L = T − U (6.134)

como as (6.71), a qual ainda segue as eqs.

(6.64). A funcao U pode ser chamado de um

”potencial generalizado”, ou potencial depen-

dente da velocidade. Existindo tambem forcas

derivaveis de potenciais comuns V (q), estes po-

tenciais V podem ser incluıdos em U , pois a eq.

(6.133) reduz-se a eq. (6.71) para os termos

que nao contem as velocidades. A funcao po-

tencial generalizado U tambem pode depender

explicitamente do tempo t.

Pode-se mostrar que as forcas generalizadas

Qk devido aos potenciais generalizados U , sa-

tisfazem a seguinte relacao

n∑

k=1

Qkqk =d

dt

(n∑

k=1

qk∂U

∂qk− U

)+∂U

∂t.

(6.135)

pois, de fato,

d

dt

(n∑

k=1

qk∂U

∂qk− U

)=

n∑

k=1

[∂U

∂qkqk+

d

dt

(∂U

∂qk

)qk − ∂U

∂qkqk − ∂U

∂qkqk

]− ∂U

∂t

=n∑

k=1

qk

[d

dt

(∂U

∂qk

)− ∂U

∂qk

]− ∂U

∂t

=n∑

k=1

qkQk − ∂U

∂t(6.136)


Para um potencial generalizado do tipo es-

pecial

U(q, q) =n∑

k=1

qkAk(q1, . . . , qn) (6.137)

conforme a eq. (6.137), temos que o trabalho

por unidade de tempo sera nulo, ou seja,

n∑

k=1

qkQk = 0. (6.138)

Thomson chamou estas forcas de giroscopicas.

A relacao (6.138) significa, que o trabalho na

unidade de tempo para as forcas giroscopicas

e identicamente nulo.

Um caso particular de forcas giroscopicas e

o da forca de Lorentz. Portanto, a forca de

Lorentz nao realiza trabalho.

Se o potencial generalizado U nao depender

explicitamente do tempo t e se o sistema de

coordenadas for fixo, entao a lagrangeana L

sera independente de t e a grandeza

H(q, p, t) =n∑

i=1

qi∂L

∂qi− L (6.139)

sera uma constante do movimento, ou seja,

dH/dt = 0, (o estudante devera demonstrar

esta afirmacao, ver problema 7). Esta funcao

e conhecida como funcao de Hamilton ou ha-

miltoniana do sitema, e ela se caracteriza por

ser a energia total do sistema. Neste caso,

diz-se que as forcas sao conservativas, mesmo

quando dependem da velocidade. Deste resul-

tado, torna-se claro que nao sera possıvel ex-

pressar as forcas de atrito na forma (6.133),

pois a energia total nao e constante quando

existe atrito, a nao ser que se inclua a ener-

gia termica, mas a energia termica nao pode

ser definida em termos das coordenadas e das

velocidades q1, . . . , qn; q1, . . . , qn, portanto, nao

se pode incluı-la na eq. (6.139). Nao e difıcil

mostrar que, se as partes de U dependentes da

velocidade, sao lineares na velocidade, como na

maioria dos exemplos importantes, a energia

E definida pela eq. (6.139) sera exatamente

T + V , onde V e a energia potencial usual e

contem os termos de U independentes das ve-

locidades.

A possibilidade de usarmos um potencial

generalizado U , cuja a forca generalizada Q

tem a forma da eq. (6.133) nao e meramente

um exercıcio academico, pois, ele se aplica a

um tipo de forca muito importante, as cha-

madas forcas eletromagneticas de cargas em

movimento. Como exemplo, considere uma

partıcula de carga q movimentando-se na pre-

senca de um campo eletromagnetico, o qual no

MKSA e descrito pelas equacoes de Maxwell

Lei de Coulomb

∇ ·D = ρ(6.140)

Lei de Faraday

∇× E +∂B

∂t= 0

(6.141)

Lei de Ampere-Maxwell

∇×H− ∂D

∂t= J

(6.142)

Ausencia de polos magneticos livres

∇ ·B = 0

(6.143)

Como a forca atuando sobre a carga q nao e

dada inteiramente pela forca eletrica

F = qE = −q∇φ,

entao este sistema nao e conservativo no senso

comum. De fato, a forca completa e

F = q(E + v ×B). (6.144)

Como ∇ × E 6= 0, entao E nao e mais dado

pelo gradiente de uma funcao escalar, entre-

tanto, como o ∇ · B = 0, segue que podemos

representar o vetor B por

B = ∇×A, (6.145)


onde A e conhecido como o vetor potencial

magnetico. Entao a equacao do rotacional de

E, pode ser escrita como

∇× E +∂

∂t(∇×A) = ∇×

(E +

∂A

∂t

)= 0,

(6.146)

Portanto, podemos definir

E +∂A

∂t= −∇φ

ou,

E = −∇φ− ∂A

∂t. (6.147)

Em termos dos potenciais φ e A, a forca de

Lorentz (6.144) pode ser escrita como

F = q

−∇φ− ∂A

∂t+ v × (∇×A)

.

(6.148)

Agora, por uma questao de simplicidade va-

mos escrever a componente x da forca, (6.148),

assim

Fx = q

− (∇φ)x −

∂Ax

∂t+

[v × (∇×A)]x . (6.149)

Agora devemos observar que:

[v × (∇×A)]x = vy

(∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)−

vz

(∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

)

= vy∂Ay

∂x+ vz

∂Az

∂x+

vx∂Ax

∂x− vz

∂Ax

∂y−

vz∂Ax

∂z− vx

∂Ax

∂x.

onde, na expressao acima, adicionamos e sub-

traımos o termo

vx∂Ax

∂x.

Como a derivada total de Ax com relacao ao

tempo e

dAx

dt= vx

∂Ax

∂x+ vy

∂Ax

∂y+ vz

∂Ax

∂z+∂Az

∂t

onde o segundo termo surge da variacao

explıcita de Ax com o tempo, e o primeiro

termo resulta do movimento da partıcula com

o tempo, o qual, muda o ponto espacial no

qual Ax e calculado. A componente x de

v × (∇×A), portanto, pode ser escrita como

[v × (∇×A)]x =∂(v ·A)

∂x− dAx

dt+

∂Ax

∂t. (6.150)

substituindo (6.150) em (6.149) obtemos

Fx = q

− ∂

∂x(φ− v ·A)− dAx

dt

Como Ax = Ax (x, t) e nao depende das velo-

cidades entao

∂

∂vx

(A · v) = Ax,

Portanto,

Fx = q

− ∂

∂x(φ− v ·A)

− d

dt

(∂

∂vx

(A · v)

)(6.151)

como o potencial escalar φ tambem e indepen-

dente da velocidade, esta expressao e equiva-

lente a,

Fx = −∂U∂x

+d

dt

∂U

∂vx

. (6.152)

onde

U = qφ− qA · v. (6.153)

O potencial U e um potencial generalizado

no senso da eq. (6.133), e a lagrangeana para

a partıcula carregada em um campo eletro-

magnetico pode ser escrita como:

L = T − qφ+ qA · v = T − U . (6.154)

Pode-se agora, verificar atraves de calculo

direto que a funcao potencial U = qφ− qA · vquando substituıda nas eqs. (6.133), com


q1, q2, q3 = x, y, z, produz como resultado as

componentes da forca F dada pela eq. (6.144).

Pode-se mostrar que por meio de uma trans-

formacao pontual a funcao lagrangeana L =

T − U fornecera as equacoes do movimento,

corretas quando expressas em termos de um

novo conjunto de coordenadas generalizadas

qualquer (ver problema 6). Pode-se facilmente

mostrar que a energia E definida pela eq.

(6.139) com L = T − U sera

E = T + qφ (6.155)

Se A e φ forem independentes de t, entao L

sera independente de t em um sistema de co-

ordenadas fixo e a energia E sera constante.

Quando existe um potencial dependente da

velocidade, o momentum generalizado Pi nao

muda e continua sendo definido em termos da

funcao lagrangeana por:

Pi =∂L

∂qi. (6.156)

Se o potencial nao dependesse da velocidade,

entao esta definicao seria equivalente a do mo-

mentum linear pi = mvi. Em ambos os casos,

e a derivada em relacao ao tempo de ∂L/∂qi

que aparece na equacao de Lagrange para qi, e

que sera constante se qi, for uma coordenada

ignoravel4. No caso de uma partıcula subme-

tida a forcas eletromagneticas, as componentes

do momentum px, py e pz de acordo com as eqs.

(6.156) e (6.154), podem ser escritas em uma

forma vetorial como

P = mv + qA (6.157)

4Sao aquelas coordenadas que nao aparecem ex-plicitamente na lagragena. Por exemplo, considere alagrangeana L(q1, . . . , qk−1, qk+1, . . . , qn, q1, . . . , qn; t),na qual a coordenada qk, nao aparece explicitamente,neste caso, ela e chamada de coordenada ignoravel. Es-tas coordenadas serao dicustidas melhor no proximocapıtulo.

O segundo termo do segundo membro da

equacao acima funciona como um potencial do

momentum.

Assim, torna-se aparente que as forcas gra-

vitacionais, forcas eletromagneticas e, na reali-

dade, todas as forcas fundamentais, em Fısica,

podem ser expressadas na forma (6.133), desde

que se escolha apropriadamente a funcao po-

tencial U . (As forcas de atrito nao sao con-

sideradas fundamentais neste sentido, porque

elas em certos limites podem ser reduzidas a

forcas eletromagneticas entre atomos, podendo

portanto, pelo menos em princıpio, serem ex-

pressas na forma (6.133), incluindo-se todas

as coordenadas dos atomos e moleculas que

compoem o sistema.). Portanto, as equacoes

do movimento de um sistema qualquer de

partıculas sempre podem ser expressas na

forma lagrangeana (6.71), mesmo quando exis-

tem forcas dependentes da velocidade. Torna-

se aparente que existe algo fundamental na

forma das eqs. (6.71). Uma propriedade im-

portante destas equacoes, como ja foi obser-

vado, e que elas permanecerao com a mesma

forma, caso se substituam as coordenadas

q1, . . . , qn, por um novo conjunto qualquer de

coordenadas. Isto pode ser verificado atraves

de calculo direto, entretanto longo e tedioso.

Uma visao mais profunda do carater funda-

mental das equacoes de Lagrange sera ob-

tida quando se estudar uma formulacao mais

avancada da Mecanica, utilizando o calculo das

variacoes.

6.16 Forcas Aplicadas e de

Atrito

Nos sistemas mecanicos em que se leva em

conta o atrito, nem todas as forcas atuantes

sobre o sistema sao derivaveis de uma funcao


potencial o que traz algumas dificuldades de

aplicacao do formalismo lagrangeano. Ao se-

pararmos as forcas que atuam sobre o sistema

em forcas monogenicas e forcas nao conserva-

tivas, as forcas generalizadas que atuam sobre

o sistema toman a seguinte forma,

Qj = −∂U∂qj

+d

dt

(∂U

∂qj

)+Q

(nc)j , (6.158)

na qual o termo Q(nc)j denota a parte das forcas

generalizadas que nao provem de nenhum po-

tencial generalizado. Nestes casos as equacoes

de Lagrange sempre podem ser escritas como:

d

dt

(∂L

∂qj

)− ∂L

∂qj= Q

(nc)j , (6.159)

em que L = T (q, q, t)−U(q, q, t) contem o po-

tencial das forcas conservativas como antes, e

Q(nc)j representa as forcas que nao podem ser

escritas como uma funcao potencial, tais como

as forcas de atrito.

Ao tratarmos com este tipo de forca para

resolver o problema sera necessario conhecer

todas as forcas nao conservativas que atuam

sobre o sistema.

Exemplo 74 Considere uma massa m presa

a uma mola de constante elastica k, que e sub-

metida a uma forca externa F (t) = F0 senωt.

Escreva a lagrangena do sistema e encontre as

equacoes de movimento.

Solucao: Este e um sistema com um grau

de liberdade, e a variavel x, que representa a

posicao da massa em relacao ao ponto no qual

a mola esta com o seu tamanho natural `0, sera

usada como a coordenada generalizada do pro-

blema. Entao a lagrangeana do sistema e dada

por

L =1

2mx2 − 1

2kx2.

Deve-se observar que a forca aplicada F (t) =

F0 senωt nao e uma forca conservativa, por-

tanto deve-se usar a a forca generalizada cor-

respondente a esta forca que e dada por

Q(nc)x = F (t)

∂x

∂x= F0 senωt.

Neste caso, as equacoes de movimento do sis-

tema sao obtidas a partir da a equacao de la-

grange

d

dt

(∂L

∂x

)− ∂L

∂x= Q(nc)

x ,

a qual leva a

mx+ kx = F0 senωt,

a qual ainda pode ser escrita como

x+ ω20x =

F0

msenωt,

em que a frequencia natural ω0 do sistema e

definida por

ω20 =

k

m.

Observer que a equacao de movimento so foi

obtida porque a forca aplicada era conhecida.

Exemplo 75 Considere uma massa m que no

instante t = 0 e lancada com uma velocidade

v0 sobre uma superfıcie horizontal com um co-

eficiente de atrito cinetico µc. Escreva a la-

grangena do sistema e encontre as equacoes de

movimento.

Solucao: A lagrangeana deste problema pode

ser escrita como

L =1

2mx2

em que x representa a posicao da partıcula.

Ha uma forca nao conservativa atuando so-

bre o sistema, que neste caso mais simples ela

e constante e e dada por

F (nc)x = −µcmg.


Neste caso a forca generalizada nao conserva-

tiva e dada por Q(nc)x = −µcmg, loga a equacao

de movimento de lagrange e

d

dt

(∂L

∂x

)− ∂L

∂x= Q(nc)

x ,

a qual conduz a seguinte equacao de movi-

mento,

mx = −µcmg =⇒ x = −µcg.

Observer que a equacao de movimento so foi

obtida porque a forca de atrito era conhecida.

Exemplo 76 Um bloco de massa m e abando-

nado sobre o trilho no ponto A como mostrada

a figura abaixo. O atrito no trecho AB e des-

prezıvel. No restante do percurso, o coeficiente

de atrito cinetico entre o bloco e o trilho e µc.

Discuta o problema.

Solucao: No trecho AB o sistema e con-

servativo e portanto conhecendo a velocidade

do ponto B conseguimos achar a altura que

o bloco foi abandonado. Para, encontrarmos

a velocidade mınima que o bloco deve ter no

ponto B para que ele conseguia realizar todo

o percurso sem abandonar o trilho, precisamos

de encontrar e resolver as equacoes de movi-

mento do bloco neste percurso. Observe en-

tretanto que este e um sistema nao conserva-

tivo e que portanto, para resolve-lo precisamos

de conhecer a forca de atrito. Mas este caso

possui o agravante de a forca de atrito ser

uma forca variavel e que depende da velocidade

instantanea da partıcula. Portanto, este pro-

blema nao conseguimos resolver porque, para

conhecer a forca de atrito precisamos de re-

solve-lo primeiro.

Esta e a dificuldade introduzidas pelas forcas

nao conservativas. Agora vamos escrever as

equacoes de movimento do sistema, conside-

rando o angulo θ com o sendo a coordenada

generalizada. Neste caso, a lagrangeana do sis-

tema e

L =1

2mR2θ2 +mgR cos θ

O problema agora e encontrar a forca de

atrito. Para tal, basta achar a normal, que e

dada por

mRθ2 = N −mg cos θ

logo,

N = mRθ2 +mg cos θ

e portanto, o modulo da forca de atrito e dada

por

fat = µc

(mRθ2 +mg cos θ

)

A relacao entre as coordenadas cartesianas

(x, y) e a coordenada generalizada e dada por

x = R sen θ; e y = R cos θ.

enquanto a forca de atrito e dada por

F(nc) = fat (− cos θex + sen θey) .

Portanto, a forca generalizada nao conser-

vativa Q(nc)θ e dada por

Q(nc)θ = F (nc)

x

∂x

∂θ+ F (nc)

y

∂y

∂θ= −fatR

(cos2θ + sen2θ

)

= −fatR

= −µc

(mR2θ2 +mgR cos θ

)


A equacao de movimento de lagrange

d

dt

(∂L

∂θ

)− ∂L

∂θ= Q

(nc)θ ,

fornece,

mR2θ+mgR sen θ = −µc

(mR2θ2 +mgR cos θ

)

a qual ainda pode ser reescrita como,

θ + µcθ2 +

( gR

)(sen θ + µc cos θ) = 0.

Observer que esta e uma equacao diferencial

de segunda ordem nao linear, e que portanto

nao tem uma solucao analıtica.

6.17 Funcao de Dissipacao

de Rayleigh

Um caso importante, e aquele em que

Q(nc)j representa as forcas de atrito viscoso,

as quais sao proporcionais as velocidades das

partıculas. Frequentemente encontramos si-

tuacoes em que a forca de atrito e proporcional

a velocidade da partıcula, entao em coordena-

das cartesianas as suas componentes sao

F(nc)ix = −kixvix; F

(nc)iy = −kiyviy;

F(nc)iz = −kizviz . (6.160)

Aqui F(nc)i e a forca dissipativa sobre a i-esima

partıcula e kix, kiy, kiz sao constantes posi-

tivas. Com o intuito de simplificar o trata-

mento de tais problemas, Rayleigh introduziu

uma funcao de dissipacao F , hoje conhecida

como funcao de dissipacao de Rayleigh, a qual

e definida como

F =1

2

N∑i=1

(kixv

2ix + kiyv

2iy + kizv

2iz

), (6.161)

onde a soma e sobre as partıculas do sistema.

A partir desta definicao vemos que:

F(nc)ix = − ∂F

∂vix

,

ou simbolicamente,

F(nc)i = −∇vi

F . (6.162)

Pode-se obter uma interpretacao fısica para

a funcao de dissipacao, calculando o trabalho

realizado pelo sistema contra o atrito,

dWi = −F(nc)i · dri = −F

(nc)i · vidt

=(kixv

2ix + kiyv

2iy + kizv

2iz

)dt.

dWi = 2Fdt (6.163)

Portanto, 2F e a taxa de energia dissipada

devido ao atrito. A componente da forca ge-

neralizada resultante da forca de atrito e dada

por:

Q(nc)j =

N∑i=1

F(nc)i · ∂ri

∂qj= −

N∑i=1

∇viF · ∂ri

∂qj

= −N∑

i=1

∇viF · ∂ri

∂qj

= −∂F∂qj

. (6.164)

Um exemplo e a lei de Stokes, pela qual uma

esfera de raio a movendo-se com uma veloci-

dade v, em um meio de viscosidade η, experi-

menta uma forca de atrito Ff = 6πηav.

A equacao de Lagrange com a dissipacao

torna-se

d

dt

(∂L

∂qj

)− ∂L

∂qj+∂F∂qj

= 0, (6.165)

onde, as duas funcoes escalares L e F , devem

ser especificamente para obtermos as equacoes

de movimento.

Exemplo 77 Use a funcao de dissipacao de

Rayleigh para descrever as oscilacoes de um


pendulo simples com resistencia do ar propor-

cional a velocidade.

Solucao

Usando as coordenadas polares no plano xy,

como na Figura 6.38, temos r = ` e de acordo

com o exemplo 69, a sua energia cinetica e

T = 12m`2θ2 e a sua energia potencial e V =

−mg` cos θ, assim a sua lagrangeana e dada

por

L = T − V =1

2m`2θ2 +mg` cos θ.

Ja, a funcao de dissipacao de Rayleigh e

dada por

F =1

2kv2 =

1

2k`2θ2.

Aqui estamos consideranto que kx = ky = kz =

k. Portanto as equacoes de movimento sao ob-

tidas a partir da equacao de Lagrange,

d

dt

(∂L

∂θ

)− ∂L

∂θ+∂F∂θ

= 0, (6.166)

as quais tornam-se, apos usarmos a lagrange-

ana encontrada, em

∂L

∂θ= m`2θ

∂L

∂θ= −mg` sen θ (6.167)

∂F∂θ

= k`2θ (6.168)

portanto, podemos escrever

m`2θ +mg` sen θ + k`2θ = 0. (6.169)

Assim, a equacao de movimento do pendulo e

dada por

θ +k

mθ +

(g`

)sen θ = 0. (6.170)

No caso de pequenas oscilacoes esta equacao

reduz-se a de um oscilador harmonico amorte-

cido.

6.18 Problemas

6.18.1 Deducoes

1. As equacoes de vınculo para um disco ro-

lando sobre uma superfıcie, sao casos es-

peciais das equacoes diferenciais lineares

gerais dos vınculos na forma

n∑i=1

gi(x1, . . . , xn)dxi = 0.

Uma condicao de vınculo deste tipo e

holonomica somente se uma funcao inte-

grante f(x1, . . . , xn) pode ser encontrada,

tornando-a em uma diferencial exata.

Claramente a funcao deve ser tal que

∂(fgi)

∂xj

=∂(fgj)

∂xi

,

para todos i 6= j. Mostre que nenhum

fator integrante pode ser encontrado para

as equacoes diferenciais do disco rolando

no plano, ou seja,

dx− a sen θdφ = 0

dy + a cos θdφ = 0.

2. Duas rodas de raio a sao montadas nas

extremidades de um eixo comum de com-

primento b, de tal modo, que elas vao gi-

rar uma independente da outra. A com-

binacao toda ira rolar sem deslizar sobre

um plano. Mostre que ha duas equacoes

de vınculos nao-holonomicos,

cos θdx+ sen θdy = 0

sen θdx− cos θdy =a

2(dφ+ dφ′) ,

(onde θ, φ e φ′ tem um significado simi-

lar aquele do problema de um unico disco

vertical e (x, y) sao as coordenadas de um

ponto no meio do eixo entre as duas rodas)

e uma equacao dos vınculos holonomicos,

θ = C − a

b(φ− φ′),


onde C e uma constante.

3. Uma partıcula move no plano xy subme-

tida ao vınculo de que seu vetor velocidade

esta sempre direcionado para um ponto

no eixo x cuja abcissa e uma funcao f(t)

do tempo t. Mostre que para uma funcao

f(t) diferenciavel, mas ainda arbitraria o

vınculo e nao-holonomico.

4. Mostre que a equacao de Lagrange escrita

na forma,

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj= Qj

tambem pode ser escrita como,

∂T

∂qj− 2

∂T

∂qj= Qj.

Esta expressao tambem e conhecida como

a forma de Nielsen das equacoes de La-

grange.

5. Se L e a Lagrangeana para um sistema

de n graus de liberdade satisfazendo as

equacoes de Lagrange mostre por substi-

tuicao direta que

L′ = L+dF (q1, q2, . . . , qn, t)

dt

tambem satisfaz as equacoes de Lagrange,

onde F e uma funcao arbitraria qualquer,

mas uma funcao diferenciavel em seus ar-

gumentos.

6. Seja q1, q2, . . . , qn um conjunto de coor-

denadas generalizadas independentes para

um sistema de n graus de liberdade com

uma lagrangeana L(q, q, t). Supondo uma

transformacao para um outro conjunto de

coordenadas independente Q1, Q2, . . . , Qn

por meio das equacoes de transformacao

qi = qi(Q1, Q2, . . . , Qn, t), i = 1, 2, . . . , n.

(tal transformacao e chamada de uma

transformacao pontual.) Mostre que se

a funcao lagrangeana for expressa como

uma funcao das novas coordenadas L =

L(Q, Q, t) atraves das equacoes de trans-

formacao, entao a lagrangeana L satisfaz

as equacoes de Lagrange com respeito as

coordenadas s:

d

dt

(∂L

∂Qj

)− ∂L

∂Qj

= 0.

Em outras palavras, a forma das equacoes

de Lagrange e invariante sobre uma a uma

transformacao pontual.

7. Mostre que se o potencial generalizado U

nao depender explicitamente do tempo t e

se o sistema de coordenada for fixo, entao

a lagrangeana L sera independente de t

(∂L/∂t = 0) e a grandeza

H(q, p, t) =n∑

i=1

qi∂L

∂qi− L

sera uma constante do movimento, ou

seja, dH/dt = 0.

8. O campo eletromagnetico e invariante so-

bre transformacoes de calibre (gauge) dos

potenciais escalar φ e do potencial vetor

A dadas por

A −→ A +∇ψ(r, t),

φ −→ φ− ∂ψ(r, t)

∂t

onde ψ(r, t) e arbitraria e diferenciavel.

Qual e o efeito que esta transformacao de

calibre tem sobre a lagrangeana de uma

partıcula se movendo no campo eletro-

magnetico? O seu movimento e afetado?

6.18.2 Exercıcios

1. Considere uma partıcula de massas m,

movimento-se livremente pelo espaco. En-


contre a Lagrangeana e as equacoes de mo-

vimento do sistema e as forcas generaliza-

das em coordenadas cilındricas.

2. Considere uma partıcula de massas m,

movimentando-se livremente pelo espaco.

Encontre a Lagrangeana e as equacoes de

movimento do sistema e as forcas genera-

lizadas em coordenadas esfericas.

3. As coordenadas u e w sao definidas em

termos das coordenadas polares planas r

e θ estao relacionadas pelas equacoes

u = ln(r

a)− θη

w = ln(r

a) + θη,

onde a e η sao constantes.

(a) Esboce as curvas para u constante e

para w constante.

(b) Determine a energia cinetica para

uma partıcula de massa m em ter-

mos de u, w, u, e w.

(c) Determine as expressoes para Qu e

Qw em termos dos componentes po-

lares da forca, Fr e Fθ.

(d) Determine os momentos generaliza-

dos pu e pw .

(e) Determine as forcas generalizadas

Qu e Qw necessarias para fazer a

partıcula mover-se em velocidade

constante s ao longo de uma espiral

de constante u = u0.

4. A massa m de um pendulo acha-se presa

por um fio de comprimento ` a um ponto

de sustentacao. Este ponto move-se para

frente e para tras ao longo de um eixo x

horizontal, de acordo com a equacao

x = a cos(ωt)

Suponha que o pendulo so oscile no plano

vertical que contem o eixo x. Considere

que a posicao do pendulo seja descrita por

um angulo θ que o fio faz com uma linha

vertical.

(a) Escreva a funcao lagrangeana e es-

creva a equacao de Lagrange.

(b) Mostre que, para valores pequenos de

θ, a equacao de movimento reduz-se

a equacao de movimento de um os-

cilador harmonico forcado, e deter-

mine os movimentos para o estado

estacionario correspondente. De que

forma a amplitude de oscilacoes do

estado estacionario depende de m, `,

a, e ω?

5. Obtenha as equacoes de Lagrange do mo-

vimento para um pendulo esferico, isto

e, uma massa pontual suspensa por uma

haste rıgida de massa desprezıvel.

6. Obtenha a Lagrangeana e as equacoes de

movimento para o pendulo duplo, onde

os comprimentos dos pendulos sao `1 e `2

com as correspondentes massas m1 e m2.

7. Sobre uma cunha de massa M , encontra-

se um bloco de massa m1 preso a um

outro bloco de massa m2, por uma

corda inextensıvel e de massa desprezıvel.

Abandona-se o sistema na situacao ilus-

trada na figura abaixo. O atrito entre as

superfıcies e desprezıvel. (a) Escreva a la-

grangeana do sistema e escreva a equacao

de vınculo do problema. (b) Escreva as

equacoes de movimento do sistema. (c)

Encontre a aceleracao da cunha e expresse

as aceleracoes de cada um dos blocos em

termos da aceleracao da cunha.

8. As massas m e 2m acham-se suspensas


Figura 6.43: Dois blocos presos por uma corda,

deslizando sobre as superfıcies de um plano in-

clinado.

por uma corda de comprimento `1 que

passa por uma polia. As massas 3m e 4m

tambem estao suspensas por uma corda

de comprimento `2 que passa por outra

polia. Estas duas polias estao penduradas

nas extremidades de uma corda de compri-

mento `3, que passa por uma terceira po-

lia fixa. Escreva as equacoes de Lagrange

e determine as aceleracoes e as tracoes nas

cordas.

9. Considere um bloco de massa m, preso

a uma mola de constante elastica k, fi-

xada no topo de um plano inclinado de

inclinacao θ e massa M , o qual esta apoi-

ado sobre uma superfıcie horizontal sem

atrito, conforme figura abaixo. Considere

que nao ha atrito entre o bloco e a su-

perfıcie do plano inclinado. (a) Discuta

os vınculos e o sistema de referencia. (b)

Determine a lagrangeana e as equacoes de

movimento de Lagrange para este sistema.

(c) Resolva as equacoes de movimento en-

contradas.

10. Um cilindro solido de raio r e massa m

rola sem deslizar no interior de um cilin-

dro estacionario de raio R (R > r), con-

forme a figura abaixo. (a) Se o cilindro

de raio r for abandonado em um angulo

Figura 6.44: Blocos preso a uma mola, osci-

lando sobre as superfıcies de um plano incli-

nado, que pode mover-se livremente.

θ0, qual sera a forca que o cilindro esta-

cionario exerce sobre ele sobre no ponto

mais baixo de sua trajetoria? (b) Deter-

mine as equacoes de movimento do cilin-

dro. (c) Determine o perıodo de peque-

nas oscilacoes sobre a posicao de equilıbrio

estavel.

Figura 6.45: Um Cilindro rolando sobre a su-

perfıcie interna de outro cilindro.

11. Duas massas pontuais de massa m1 e m2

estao conectadas por uma mola passando

atraves de um buraco em uma mesa de tal

modo que m1 esta em repouso sobre a su-

perfıcie da mesa e m2 esta suspensa pela

mola. Assumindo quem2 se move somente

na linha vertical, quais sao as coordenadas


generalizadas para o sistema? Escreva as

equacoes de Lagrange para o sistema e,

se possıvel, discuta o significado fısico que

qualquer uma delas pode vir a ter. Re-

duza o problema a uma unica equacao di-

ferencial de segunda ordem e obtenha a

primeira integral da equacao. Qual e o

seu significado fısico? (Considere o movi-

mento somente ate m1 atingir o buraco.)

12. Um sistema de coordenadas retangulares

com eixos x, y e z gira em velocidade an-

gular uniforme ω, em relacao ao eixo z.

Uma partıcula de massa m desloca-se sob

a acao de uma energia potencial V (x, y, z).

(a) Escreva as equacoes de Lagrange

para o movimento.

(b) Mostre que estas equacoes podem ser

consideradas como as equacoes do

movimento de uma partıcula em um

sistema de coordenadas fixas, subme-

tido a acao da forca −∇V e a uma

forca derivada de um potencial de-

pendente da velocidade U .

(c) Expresse U em funcao das coordena-

das esfericas r, θ, φ, r, θ e φ e deter-

mine as forcas generalizadas Qr, Qθ,

e Qφ.

13. Duas massas pontuais sao unidas por uma

haste de massa desprezıvel e comprimento

l. O movimento do centro da haste realiza

um circulo de raio a. Escolha um conjunto

de coordenadas generalizadas e expresse a

energia cinetica neste conjunto.

14. Considere um disco uniforme fino, que rola

sem deslizar sobre um plano horizontal.

Uma forca horizontal e aplicada ao cen-

tro do disco e em uma direcao paralela ao

plano do disco.

(a) Deduza as equacoes de Lagrange e

encontre a forca generalizada.

(b) Discuta o movimento se a forca nao

for aplicada paralela ao plano do

disco.

15. Uma partıcula pontual move-se no espaco

sobre a influencia de uma forca derivada

de um potencial generalizado da forma

U(r,v) = V (r) + σ · L,

onde r e o raio vetor a partir de um ponto

fixo, L e o momentum angular em torno

daquele ponto, e σ e um vetor fixo no

espaco.

(a) Encontre as componentes da forca

sobre a partıcula em ambas as coor-

denadas, cartesianas e esfericas (po-

lares, movimento no plano), com

base na forca generalizada dada por

Qj = −∂U∂qj

+d

dt

(∂U

∂qj

).

(b) Mostre que a componente nos dois

sistemas de coordenadas estao relaci-

onadas umas com as outras por meio

da seguinte expressao para a forca ge-

neralizada,

Qj =∑

i

Fi · ∂ri

∂qj.

(c) Obtenha as equacoes de movimento

em coordenadas esfericas.

16. Mostre que um campo magnetico uni-

forme B, na direcao z, pode ser repre-

sentado em coordenadas cilındricas pelo

potencial vetor A = 12Bρφ. Escreva a

funcao lagrangeana para uma partıcula

neste campo. Escreva as equacoes do mo-

vimento. Determine tres constantes do

movimento.


17. Uma partıcula pontual move-se em um

plano sobre a influencia de uma forca que

atua diretamente para o centro da forca,

e cuja a magnitude e

F =1

r2

(1− r2 − 2rr

c2

),

onde r e a distancia da partıcula ao centro

da forca. Encontre o potencial generali-

zado que resultara devido a tal forca, e a

partir dele determine a Lagrangeana para

o movimento no plano. (A expressao para

a forca F representa a forca entre duas

cargas na eletrodinamica de Weber.)

18. Uma lagrangeana para um particular sis-

tema fısico pode ser escrita como

L′ =m

2

(ax2 + 2bxy + cy2

)−K

2

(ax2 + 2bxy − cy2

)

onde a, b, e c sao constantes arbitrarias

mas submetidas as condicoes de que b2 −ac 6= 0. Quais sao as equacoes de movi-

mento? Examine particularmente os dois

casos a = 0 = c e b = 0, c = −a.Qual e o sistema fısico descrito Lagran-

geana acima? Mostre que a Lagrangeana

usual para este sistema como definida pe-

las equacoes de Lagrange

d

dt

(∂L

∂qj

)− ∂L

∂qj= 0

esta relacionada a L′ por uma trans-

formacao pontual. Qual e o significado da

condicao sobre o valor de b2 − ac?


uma dimensao de tal modo que sua La-

grangeana e

L =m2x4

12+mx2V (x)− V 2(x).

onde V e uma funcao qualquer dife-

renciavel em x. Determine as equacoes

de movimento para x(t) e descreva a na-

tureza fısica do sistema com base nestas

equacoes.

20. A parte cinetica da funcao lagrange-

ana para uma partıcula de massa m

em Mecanica Relativıstica e Lk =

−mc2√

1− (v/c)2. Determine as ex-

pressoes para as componentes do momen-

tum generalizado, e verifique que elas cor-

respondem ao momentum relativıstico

p =mv√

1− (v/c)2.

Mostre que se a funcao potencial generali-

zado U = qφ−qv ·A para as forcas eletro-

magneticas, for subtraıda desta relacao, e

se A e φ nao dependerem explicitamente

de t, entao T + qφ sera constante, com T

dada por

T = mc2

(1√

1− (v/c)2− 1

).

21. Obtenha as equacoes de movimento para

a partıcula em queda livre verticalmente

sobre a influencia da gravidade quando

as forcas de atrito estao presentes, elas

sao obtidas a partir de uma funcao de

dissipacao 12kv2. Integrando as equacoes

para obter a velocidade como uma funcao

do tempo e mostre que a velocidade

maxima possıvel para uma queda a par-

tir do repouso e v = mgk

.

22. Uma partıcula de massa m desliza sobre

a superfıcie interna de um cone invertido.

A metade do angulo do cone e igual a α.

O apice do cone esta na origem e o seu

eixo estende-se verticalmente para cima.

A unica forca exercida sobre a partıcula,

alem da forca de vınculo, e a da gravidade.


(a) Escreva as equacoes do movi-

mento, usando como coordenadas a

distancia horizontal ρ da partıcula

ao eixo e o angulo φ medido num

cırculo horizontal ao redor do cone.

Mostre que φ e uma coordenada

ignoravel e discuta o movimento

pelo metodo do potencial efetivo.

(b) Para um dado raio ρ0, determine a

velocidade angular de revolucao φ0

num cırculo horizontal, a frequencia

angular ω de pequenas oscilacoes

em torno deste movimento circular.

Mostre que estas pequenas oscilacoes

sao vibracoes ou um movimento em

forma de espiral para cima e para

baixo, dependendo de o angulo α ser

maior ou menor do que o angulo

αc =1√3.

23. Um estabilizador centrıfugo para um mo-

tor a vapor e mostrado na Fig. 6.46.

Duas bolas, cada uma de massa m, estao

ligadas atraves de quatro bracos articu-

lados, cada um de comprimento `, a

abracadeiras localizadas numa haste ver-

tical. A abracadeira superior esta presa a

haste, a abracadeira inferior tem massa M

e momento de inercia desprezıvel, e des-

liza para cima e para baixo, quando o mo-

vimento das bolas e tal que elas se afas-

tam ou se aproximam da haste. O sis-

tema bola-haste gira em velocidade angu-

lar constante ω.

(a) Escreva a equacao de movimento,

desprezando o peso dos bracos e da

haste. Discuta o movimento pelo

metodo da energia.

(b) Determine o valor da altura z da

abracadeira inferior acima de sua

Figura 6.46: Estabilizador centrıfugo.

posicao mais baixa como funcao de ω

para a rotacao estacionaria das bolas,

e determine a frequencia para peque-

nas oscilacoes de z em torno deste

valor estacionario.

24. Discuta o movimento do estabilizador,

descrito no problema. anterior, para o

caso em que a haste nao esta vinculada

para girar com velocidade angular ω, mas

pode girar livremente, sem a aplicacao de

nenhum torque externo.

(a) Determine a velocidade angular para

uma rotacao estacionaria a uma dada

altura z da abracadeira.

(b) Determine a frequencia para peque-

nas vibracoes em tomo deste movi-

mento estacionario.

(c) Quais as diferencas entre este mo-

vimento e movimento do problema.

anterior.

Capıtulo 7

Princıpio de Hamilton: Dinamicas

Lagrangeana e Hamiltoniana

7.1 Introducao

Neste capıtulo formularemos as dinamicas la-

grangeana e hamiltoniana da mecanica a partir

do princıpio de Hamilton, que e um princıpio

variacional. A formulacao da mecanica por

meio de um princıpio variacional nao repre-

senta uma nova teoria fısica, uma vez que

suas equacoes de movimento sao essencial-

mente equivalentes as Leis de Newton. Ate

agora a experiencia mostra que o movimento

de uma partıcula a baixas velocidades (quando

comparadas com a velocidade c da luz) em um

referencial inercial e corretamente descrito pela

equacao de Newton F = dp/dt. Se o mo-

vimento realizado por uma partıcula for sim-

ples o suficiente, entao ao usarmos as coor-

denadas cartesianas para descrever este mo-

vimento, as equacoes de movimento que ob-

temos geralmente sao simples. Entretanto, se

o movimento realizado pela partıcula for um

pouco mais complicado, por exemplo subme-

tido a algum tipo de vınculo ou descrito por

um sistema de coordenadas que nao leva em

conta as simetrias do movimento, entao as

equacoes de movimento geralmente tornam-

se muito complexas e difıceis de se manipu-

lar. Por exemplo, se uma partıcula tem o

seu movimento restrito sobre a superfıcie de

uma esfera, a equacao de movimento sera o

resultado da projecao das equacoes vetoriais

de Newton sobre a superfıcie da esfera. A re-

presentacao do vetor aceleracao em coordena-

das esfericas por si so e bastante trabalhosa1.

Um outro exemplo, e o movimento de uma

partıcula que esta restrito a uma dada su-

perfıcie, neste caso, certas forcas devem existir

(estas sao as forcas de vınculo) para manter o

contato da partıcula com a superfıcie especi-

ficada. Para uma partıcula movendo-se sobre

uma superfıcie horizontal a forca de vınculo e

a normal, que e uma forca de contato dada por

N = Fc = −mg. No caso em que a partıcula e

uma conta deslizando sobre um fio encurvado,

a descricao da forca de vınculo pode ser muito

complicada. De fato, em situacoes particulares

pode ser muito complicado ou ate mesmo im-

possıvel de obtermos uma expressao explicita

para as forcas de vınculo. Para resolvermos

um problema usando o procedimento de New-

ton, devemos conhecer todas as forcas, porque

a quantidade F que aparece na equacao funda-

mental da mecanica newtoniana e a forca total

(forca resultante) atuando sobre o corpo.

Portanto, para resolvermos problemas com-

plicados, com forcas de vınculos desconheci-

1Como exercıcio o estudante devera encontrar a ex-pressao para a aceleracao em coordenadas esfericas.

249


das, as formulacoes lagrangeana e hamiltoni-

ana sao muito mais convenientes pelo fato de

estarem lidando com grandezas fısicas esca-

lares em vez de vetoriais, e alem disso, esta

abordagem e similar a usada por muitas te-

orias fısicas, como por exemplo, na mecanica

quantica, na optica, na fısica estatıstica, etc.

Inicialmente formularemos o princıpio de Ha-

milton e a partir deste obteremos as equacoes

de movimento de Lagrange e em seguida dis-

cutiremos as vantagens dos princıpios variaci-

onais. Posteriormente, formularemos as leis de

conservacao da mecanica classica em termos

da homogeneidade e isotropia do espaco e da

uniformidade do tempo. Finalmente discuti-

remos a formulacao hamiltoniana da mecanica

classica.

Basicamente nestas formulacoes as apro-

ximacoes serao essencialmente a posteriori,

porque sabemos que os resultados obtidos

devem ser equivalentes aos obtidos com as

equacoes de movimento de Newton. Portanto,

o efeito de uma simplificacao introduzida por

estes formalismos, nao significa que temos uma

nova formulacao teorica da mecanica, pois a

mecanica newtoniana no limite de baixas ve-

locidades esta correta. Estas formulacoes sao

mecanismos ou metodos alternativos para se

tratar com problemas mais complicados de

uma maneira geral. Tal metodo esta contido

no Princıpio de Hamilton, e as equacoes

de movimento resultantes da aplicacao deste

princıpio sao chamada de equacoes de La-

grange

Se as equacoes de Lagrange constituem uma

descricao propria da dinamica das partıculas,

elas devem ser equivalentes as equacoes de

Newton. Por outro lado, o Princıpio de Ha-

milton pode ser aplicado a uma grande va-

riedade de fenomenos fısicos (particularmente

aqueles envolvendo campos) nao necessaria-

mente associados com as equacoes de Newton.

Para termos uma garantia, cada resultado ob-

tido pelo Princıpio de Hamilton foi primei-

ramente comparado com os resultados obtidos

pelas equacoes de Newton, e posteriormente

foi realizada uma analise correlacionando os

resultados com os fatos experimentais. O

Princıpio de Hamilton nao nos traz ne-

nhuma teoria fısica nova, mas nos permite uma

unificacao satisfatoria de muitas teorias indi-

viduais atraves de um unico postulado basico.

Este princıpio nao e um exercıcio de percepcao

inutil, porque o objetivo de uma teoria fısica

nao e somente o de fornecer uma formulacao

matematica precisa para os fenomenos obser-

vados, mas tambem o de descrever estes efeitos

com um mınimo de postulados fundamentais,

e na maioria dos casos da maneira mais unifi-

cadora possıvel. De fato, o Princıpio de Ha-

milton e um dos princıpios mais elegantes e

de longo alcance da fısica teorica.

Tendo em vista, o grande alcance de aplica-

bilidade (ainda que este seja um fato que foi

revelado apos sua descoberta), nao e razoavel

assegurarmos que o Princıpio de Hamilton

e mais fundamental que as equacoes de New-

ton. Portanto, inicialmente postularemos o

Princıpio de Hamilton, dai entao obteremos

as equacoes de Lagrange e entao mostraremos

que elas sao equivalentes as equacoes de New-

ton.

7.2 Princıpio de Hamilton

Os princıpios de mınimos na fısica tem um

longo interesse historico. A busca por tais

princıpios e baseada na nocao de que a na-

tureza sempre minimiza certas quantidades

importantes quando um processo fısico ocor-

rer. O primeiro destes princıpios de mınimo

foi desenvolvido no campo da optica. Heron


de Alexandria, dois seculos A.C., encontrou

que a lei que governa a reflexao da luz po-

deria ser obtida assegurando que um raio de

luz, vai de um ponto ao outro apos ser re-

fletido por um espelho, atraves do caminho

mais curto possıvel. Atraves de uma cons-

trucao geometrica simples, pode-se verificar fa-

cilmente que este princıpio de mınimo conduz a

igualdade dos angulos de incidencia e reflexao

do raio de luz refletido por um espelho plano.

O princıpio de Heron da trajetoria mais curta

nao pode, entretanto, conduzir a uma lei cor-

reta para a refracao. Em 1657 Fermat refor-

mulou o princıpio, postulando que um raio de

luz sempre viaja de um ponto ao outro em um

meio atraves da trajetoria que requer o me-

nor tempo2. O princıpio de Fermat do tempo

mınimo conduz, imediatamente, nao somente

a lei correta da reflexao, mas tambem a lei de

Snell da refracao3.

Os princıpios de mınimos continuaram a se-

rem procurados, e no fim do seculo XVII, o

inicio do calculo das variacoes foi desenvolvido

por Newton, Leibniz e Bernoulli, quando pro-

blemas tais como o da braquistocrona e o da

forma de um cabo suspenso (uma catenaria)

foram resolvidos.

A primeira aplicacao de um princıpio geral

de mınimo na mecanica foi feito em 1747 por

Maupertuis, que declarou que dinamicamente

o movimento ocorre com uma acao mınima4. O

2Pierre de Fermat (1601-1665), um advogadofrances, linguista e matematico amador.

3Em 1661, Fermat deduziu corretamente a lei de re-fracao, a qual tinha sido descoberta experimentalmenteem 1621 por Willebrord Snell (1591-1626), um prodi-gioso matematico alemao.

4Pierre-Louise-Moreau de Maupertuis (1698-1759),Matematico Frances e astronomo. A primeiraaplicacao de Maupertuis para o princıpio da mınimaacao foi refazer a deducao de Fermat da lei de refracao(1744).

Princıpio de Mınima Acao de Maupertuis

foi baseado em fundamentos teologicos (a acao

e minimizado atraves da ”vontade de Deus”),

e seu conceito de acao era muito vago (Lembre

que a acao e uma quantidade com dimensoes

de Comprimento × Momentum ou Energia

× Tempo.). Somente mais tarde Lagrange

(1760) forneceu os fundamentos matematicos

do princıpio da acao. Embora seja comum

usarmos uma forma a qual faz a transicao

da mecanica classica para a optica e para a

mecanica quantica, o princıpio da acao mınima

e menos geral do que o princıpio de Hamilton

e, de fato, ele pode ser deduzido dele. Nao

faremos uma discussao detalhada aqui5.

Em 1828, Gauss desenvolveu um metodo

de tratar a mecanica por seu princıpio dos

vınculos mınimos ; uma modificacao foi feita

posteriormente por Hertz e incorporada em

seu princıpio da curvatura mınima. Estes

princıpios6 estao intimamente relacionados ao

princıpio de Hamilton e nao adicionam nada

ao conteudo mais geral da formulacao de Ha-

milton; sua mencao somente enfatiza o envol-

vimento contınuo com os princıpios de mınimo

na fısica.

Em dois trabalhos publicados em 1834 e

1835, Hamilton7 anunciou o princıpio dinamico

no qual e possıvel basear toda a mecanica, e

alem disso, a maior parte da fısica classica.

5Veja, por exemplo, H. Goldstein, Classical Mecha-nics, 2nd Edition, Addison-Wesley Publishing Com-pany, Reading, Massachusetts, 1980, Cap. 2 e pags.365-371. Veja tambem A. Sommerfeld, Mechanics,Academic Press, New York 1950, pags. 204-209.

6Veja, por exemplo, Lindsay and Margenau, Foun-dations of Physics, Wiley, New York 1936, pags. 112-120 ou A. Sommerfeld, Mechanics, Academic Press,New York 1950, pags. 210-214).

7Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), Ma-tematico escoces e astronomo, e posteriormente,Astronomo Real da Irlanda.


O Princıpio de Hamilton pode ser enunciado

como segue8:

De todas as possıveis trajetorias

no espaco das configuracoes ao longo

das quais um sistema dinamico pode

mover-se de um ponto a outro den-

tro de um intervalo de tempo es-

pecıfico (consistente com um vınculo

qualquer), a trajetoria que ele seguira

e aquela que minimiza a integral no

tempo da diferenca entre a energia

cinetica e a energia potencial.

Neste momento chegamos a um problema ti-

picamente dos princıpios variacionais, aqueles

princıpios que operam com um mınimo, ou de

forma mais geral, aqueles que operam com va-

lores estacionarios de uma integral definida. O

carater poligenico9 das forcas de inercia pode

ser sobrepujado se integrarmos com respeito ao

tempo. Por este procedimento os problemas da

dinamica sao reduzidos a investigacao de uma

integral escalar. A condicao de um valor es-

tacionario para esta integral, fornece todas as

equacoes de movimento.

As deducoes das equacoes de Lagrange

apresentadas anteriormente consideram como

ponto de partida o estado instantaneo do sis-

tema e um deslocamento virtual pequeno so-

bre o estado instantaneo, isto e, parte de um

princıpio diferencial, tal como o princıpio de

8O significado geral da trajetoria de um sistema fi-cara claro mais adiante.

9Aqui seguiremos a convencao de C. Lanczos em seulivro: ”The variational principles of mechanics”, 4 thedition, Dover (1970). pag. 30. Ele distingue as forcasque podem ser dedutıveis de uma funcao escalar sejamelas conservativas ou nao as quais ele chama de forcasmonogenicas, o que significa geradas unicamente, da-quelas que nao sao dedutıveis de uma funcao escalar,como a forca de atrito, as forcas de inercia, etc, as quaisele chama de forcas poligenicas.

D’Alembert. Tambem e possıvel obtermos as

equacoes de Lagrange a partir de um princıpio

que considera todo o movimento do sistema en-

tre os instantes de tempo t1 e t2 e pequenas va-

riacoes virtuais de todo o movimento a partir

do movimento real. Um princıpio desta natu-

reza e conhecido como um princıpio integral.

Antes de apresentarmos o princıpio integral,

devemos esclarecer o significado da frase ”o

movimento do sistema entre os instantes de

tempo t1 e t2”. A configuracao instantanea de

um sistema e descrita pelos valores das n co-

ordenadas generalizadas q1, q2, . . . , qn, e corres-

pondem a um ponto particular do espaco das

configuracoes em um hiperespaco cartesiano

onde cada coordenada generalizada qi forma

um eixo de coordenada neste hiperespaco. Este

espaco n–dimensional e conhecido como espaco

de configuracoes. Como o tempo flui, o estado

do sistema muda e o ponto do sistema se move

no espaco das configuracoes tracando uma

curva, descrita como a trajetoria do movimento

do sistema. O movimento do sistema, como foi

usado anteriormente, refere-se ao movimento

do ponto do sistema ao longo desta trajetoria

no espaco de configuracoes. O tempo pode ser

formalmente considerado como um parametro

da curva; para cada ponto da trajetoria existe

um ou mais valores do tempo associados a ele.

Note que o espaco das configuracoes nao tem

necessariamente uma conexao com o espaco

fısico tridimensional, assim como as coordena-

das generalizadas nao sao necessariamente as

coordenadas da posicao. A trajetoria do movi-

mento de uma partıcula qualquer no espaco das

configuracoes nao tem nenhuma semelhanca

com a trajetoria no espaco fısico real. Cada

ponto na trajetoria representa a configuracao

de todo o sistema em um dado instante de

tempo.

O princıpio integral de Hamilton descreve o


movimento daqueles sistemas mecanicos para

os quais todas as forcas (exceto as forcas de

vınculo) sao dedutıveis de um potencial esca-

lar generalizado que pode ser uma funcao das

coordenadas, velocidades e do tempo. Tais

sistemas irao ser chamados de monogenicos10.

Onde o potencial e uma funcao explicita so-

mente das coordenadas da posicao, entao o sis-

tema e monogenico e conservativo. Para os

sistemas monogenicos, o princıpio de Hamil-

ton pode ser enunciado como: O movimento

de um sistema entre os instantes de tempo t1

e t2 e tal que a integral de linha

S =

∫ t2

t1

L (q, q, t) dt (7.1)

onde L = T − V , tem um valor estacionario

para a trajetoria real do sistema. Aqui S e a

acao ou integral da acao.

Isto e, entre todas as possıveis trajetorias

que o sistema poderia escolher para ir da sua

posicao no instante t1 para a sua posicao no

instante t2, ele escolhe aquela trajetoria na

qual o valor da integral da acao (7.1) e esta-

cionaria. Pelo termo valor estacionario para

uma integral de linha, entende-se que a integral

ao longo de uma dada trajetoria tera o mesmo

valor, dentro de infinitesimos de primeira or-

dem, que o daquela integral ao longo de uma

trajetoria vizinha (isto e, trajetorias que dife-

rem umas das outras por deslocamentos infi-

nitesimais em primeira ordem nestes desloca-

mentos terao o mesmo valor, conforme a figura

7.1). A nocao de um valor estacionario para

uma integral de linha, portanto corresponde

na teoria das funcoes ordinaria a uma derivada

primeira nula.

10C. Lanczos, ”The variational principles of mecha-nics”, 4 th edition, Dover (1970). pag. 30. O termoindica todas as forcas que sao geradas a partir de umaunica funcao.

Figura 7.1: Trajetoria do ponto que representa

o sistema no espaco das configuracoes. A curva

C1 e a trajetoria otimizada do sistema, en-

quanto as outras curvas seriam pequenas va-

riacoes desta trajetoria.

Podemos sintetizar o princıpio Hamilton di-

zendo simplesmente que o movimento e tal que

a variacao da integral de linha S entre dois ins-

tantes de tempo t1 e t2 fixos e nula:

δS = δ

∫ t2

t1

L (q, q, t) dt = 0. (7.2)

Para os sistemas cujos os vınculos sao

holonomos, o princıpio de Hamilton, Eq. (7.2),

sera uma condicao necessaria e suficiente para

obtermos as equacoes de movimento de La-

grange. Portanto, pode-se mostrar que o

princıpio de Hamilton vem diretamente das

equacoes de Lagrange. De fato, mostraremos

o contrario, que as equacoes de Lagrange sao

obtidas a partir do princıpio de Hamilton, o

qual vem a ser um teorema mais importante.

O princıpio de Hamilton e uma condicao su-

ficiente para deduzirmos as equacoes de mo-

vimento, o que torna possıvel a elaboracao

da mecanica dos sistemas monogenicos, a par-

tir do princıpio de Hamilton como postulado

basico, em vez das leis de Newton do movi-


mento. Tal formulacao tem vantagens; por

exemplo, desde que a acao S e obviamente in-

variante em relacao aos sistemas de coordena-

das generalizadas usadas para expressar L, as

equacoes do movimento devem ter sempre a

forma das obtidas da lagrangeana L, indepen-

dente de como se transformam as coordena-

das generalizadas. O mais importante, a for-

mulacao em termos de um princıpio variacional

e a base fundamental que geralmente e seguida

quando tentamos descrever aparentemente os

sistemas nao mecanicos em uma roupagem ma-

tematica condizente com a mecanica classica,

como ocorre com a teoria de campos.

7.3 Princıpio de Hamilton

a Partir do Princıpio

de D’Alembert

O princıpio de Hamilton e uma formulacao va-

riacional das leis do movimento no espaco das

configuracoes. Ele tambem pode ser aplicado

a uma larga variedade de fenomenos fısicos,

particularmente aqueles envolvendo campos,

nos quais as equacoes de Newton geralmente

nao possuem uma associacao, ou nao sao as-

sociadas. Aqui, por uma questao simples-

mente didatica, deduziremos inicialmente o

princıpio de Hamilton a partir do princıpio de

D’Alembert, e a partir do princıpio de Hamil-

ton deduziremos as equacoes de Lagrange.

Para tal, considere a acao S definida por

S =

∫ t2

t1

(T − V ) dt =

∫ t2

t1

L (q, q, t) dt, (7.3)

onde a lagrangeana L e fornecida, e os qi(t) tem

valores fixos nos instantes t1 e t2, mas os seus

valores podem ser variados arbitrariamente en-

tre os instantes t1 e t2.

Para cada escolha de um conjunto de funcoes

qi(t), a eq. (7.3) fornece um valor numerico

para a acao S. O princıpio de Hamilton afirma

que para um sistema conservativo, um sistema

dinamico holonomo, o movimento do sistema

no espaco das configuracoes a partir da sua

posicao no instante t1 ate a sua posicao no

instante t2, segue uma trajetoria na qual a

acao S tem um valor estacionario. Isto e,

de todas as possıveis trajetorias ao longo das

quais o sistema dinamico poderia se mover,

de um ponto a outro no espaco das confi-

guracoes entre os instantes t1 e t2, de forma

consistente com os vınculos impostos ao movi-

mento, a trajetoria seguida (escolhida) pelo sis-

tema dinamico (trajetoria dinamica) e aquela

em que a acao S e estacionaria. Isto significa

que se para um conjunto de funcoes qi(t) te-

mos uma trajetoria no espaco da configuracoes

que fornece para a acao S um valor numerico

mınimo (ou maximo), entao para um conjunto

vizinho qualquer de funcoes, ou seja, uma pe-

quena variacao qi(t)+δqi(t) do conjunto inicial

qi(t), nao interessa o quao proximo de qi(t) es-

teja o novo conjunto de coordenadas, condu-

zira a uma nova trajetoria cuja a acao S sera

sempre maior (menor) do que a gerada pela

acao da trajetoria das coordenadas qi(t). Em

termos do calculo das variacoes, isto significa

que

δS = δ

∫ t2

t1

L (q(t), q(t); t) dt = 0.

onde q(t), e portanto q(t), podem variar sub-

metidos a restricao de que δq(t1) = δq(t2) = 0.

O sımbolo δ refere-se a variacao de uma mesma

coordenada entre as duas trajetorias distintas

enquanto a o sımbolo d refere-se a uma va-

riacao sobre a mesma trajetoria.

O princıpio de D’Alembert trabalha com

uma diferencial nao integravel. Uma certa

quantidade infinitesimal δW – o trabalho vir-


tual realizado pelas forcas externas aplicadas e

pelas forcas inerciais – e igual a zero. As duas

partes do trabalho realizado sao de natureza

muito diferentes. Enquanto o trabalho virtual

das forcas externas aplicadas e uma diferen-

cial monogenica, dedutıvel de um unica funcao

escalar, a funcao trabalho do trabalho virtual

das forcas inerciais nao pode ser deduzida de

uma unica funcao escalar mas tem de ser for-

mada pela contribuicao de cada partıcula indi-

vidualmente. Isto coloca as forcas inerciais em

grande desvantagem em relacao as forcas apli-

cadas. E fundamental neste ponto que pos-

samos contornar esta situacao atraves de al-

gum tipo de transformacao, a qual nos permita

escrever o princıpio de D’Alembert em uma

forma monogenica. Embora tenha sido usado

implicitamente por Euler e Lagrange, foi Ha-

milton quem primeiro fez esta transformacao

do princıpio de D’Alembert, mostrando que

uma integracao com respeito ao tempo faz com

que o trabalho realizado pelas forcas inerciais

possa ser expresso em uma forma monogenica.

Pode-se deduzir o princıpio de Hamilton a

partir do princıpio de D’Alembert, e para isto

considere um sistema de N partıculas de mas-

sas mi, localizadas nos pontos ri, submetidas

a acao de uma forca externa F(ext)i . Como foi

visto, o princıpio de D’Alembert diz que

N∑i=1

(F

(ext)i − pi

)· δri = 0 (7.4)

Observe que o primeiro termo da eq. (7.4), e o

trabalho virtual realizado pelas forcas externas

aplicadas F(ext)i ,

δW =N∑

i=1

F(ext)i · δri (7.5)

Alem disso, o segundo termo11 pode ser ex-

11A forca inercial ou forca efetiva reversa.

presso como

N∑i=1

pi · δri =N∑

i=1

miri · δri

=d

dt

(N∑

i=1

miri · δri

)−

N∑i=1

miri · ddtδri (7.6)

Como o deslocamento virtual e um desloca-

mento no qual nao ha uma mudanca no tempo,

as operacoes de variacao e derivacao em relacao

ao tempo podem ser trocadas umas com as ou-

tras, assimd

dt(δri) = δri

Portanto, podemos escrever

N∑i=1

miri · ddtδri =

(N∑

i=1

miri · δri

)

= δ

(1

2

N∑i=1

miri · ri

)

= δT (7.7)

Este termo e a variacao da energia cinetica T .

Portanto, a eq. (7.6) pode ser escrita como

N∑i=1

pi · δri =d

dt

(N∑

i=1

miri · δri

)− δT. (7.8)

Substituindo as eqs. (7.8) e (7.5) na eq. (7.4)

obtemos que

d

dt

(N∑

i=1

miri · δri

)= δW + δT (7.9)

Integrando esta equacao com respeito ao

tempo entre os instantes t1 e t2 obtemos

∫ t2

t1

(δW + δT ) dt =

[N∑

i=1

miri · δri

]t2

t1(7.10)

Se a configuracao do sistema for especificada

nos instantes t1 e t2 de modo que a tra-

jetoria dinamica e todas as variacoes ima-

ginaveis desta trajetoria coincidam nestes dois


instantes, entao δri(t1) = δri(t2) = 0 e a eq.

(7.10) torna-se∫ t2

t1

(δW + δT ) dt = 0. (7.11)

Ate este momento a configuracao do sistema

de N partıculas e dada em termos dos vetores

posicao ri de cada partıcula. Para eliminarmos

a dependencia de δW e δT com as coordenadas

e com o tempo para um dado deslocamento vir-

tual, usaremos as coordenadas generalizadas qi

cuja a transformacao e ri = ri(q1, q2, . . . , qn, t),

sendo n = 3N − k o numero de graus de li-

berdade do sistema e k o numero de equacoes

de vınculo, desta forma os deslocamentos vir-

tuais δri podem ser expressos em termos dos

deslocamentos virtuais δqi como

δri =n∑

j=1

∂ri

∂qj· δqj. (7.12)

A energia cinetica e uma funcao das coordena-

das generalizadas qi(t), das velocidades genera-

lizadas qi(t) e do tempo, ou seja, T = T (q, q; t).

Por outro lado, o trabalho em termos das co-

ordenadas generalizadas e dado pela expressao

δW =N∑

i=1

F(ext)i · δri

=N∑

i=1

n∑j=1

F(ext)i · ∂ri

∂qjδqj

=n∑

j=1

Qjδqj (7.13)

na qual introduzimos a forca generalizada Qj

correspondente a coordenada generalizada qj,

que e dada por

Qj =N∑

i=1

F(ext)i · ∂ri

∂qj. (7.14)

Portanto, a eq. (7.11) pode ser escrita como

∫ t2

t1

(δT +

n∑j=1

Qjδqj

)dt = 0 (7.15)

onde δqj(t1) = δqj(t2) = 0. Para os sistemas

submetidos a algum tipo de vınculo, os δq(t)

devem satisfazer instantaneamente os vınculos

do sistema.

As eqs. (7.11) e (7.15) sao muitas vezes

consideradas como sendo versoes generaliza-

das do princıpio de Hamilton. Tambem podem

ser consideradas como uma versao integral do

princıpio de D’Alembert. As vantagens da eq.

(7.15) sobre o princıpio de D’Alembert, resi-

dem no fato que a eq. (7.15) independe da es-

colha das coordenadas usadas para descrever o

sistema.

Se as forcas externas forem conservativas,

F(ext)i = −∇U , e U = U(r1, . . . , rN) entao

δW =n∑

j=1

Qjδqj =n∑

j=1

N∑i=1

F(ext)i · ∂ri

∂qjδqj

= −n∑

j=1

N∑i=1

∇iU · ∂ri

∂qjδqj

= −n∑

j=1

∂U

∂qjδqj = −δU (7.16)

Substituindo o trabalho virtual expresso

pela eq. (7.16) no princıpio de D’Alembert ex-

presso pela eq. (7.15) obtemos

∫ t2

t1

(δT − δU) dt = 0. (7.17)

onde δqj(t1) = δqj(t2) = 0.

A equacao (7.17) e o princıpio de

D’Alembert na forma integral. Como a

lagrangeana do sistema e definida por

L = T − U , entao o argumento da integral

na eq. (7.17) e a propria variacao da lagran-

geana δL = δT − δU . Para um sistema com

vınculos holonomos as operacoes de variacao e

integracao podem ser invertidas. Entao, a eq.

(7.17) pode ser escrita como

δS = δ

∫ t2

t1

L(q, q; t)dt = 0, (7.18)


que e o princıpio de Hamilton para sistemas

holonomos conservativos.

7.4 Equacoes de Lagrange


de Hamilton

Viu-se que a formulacao mais geral das leis

do movimento dos sistemas mecanicos e dada

pelo princıpio de Hamilton, entretanto, ainda

nao foram obtidas as equacoes de movimento a

partir deste princıpio. Segundo este princıpio,

cada sistema mecanico caracteriza-se por uma

funcao determinada

L = L(q1, q2, . . . , qn; q1, q2, . . . , qn; t) (7.19)

ou de um modo mais breve por L(q, q, t), sendo

que o movimento do sistema satisfaz a seguinte

condicao:

Suponhamos que nos instantes t1

e t2, o sistema ocupe posicoes q(t1)

e q(t2). Entao, entre estas posicoes,

o sistema move-se de tal modo que a

integral

S =

∫ t2

t1

L(q, q, t)dt (7.20)

possuı o menor valor possıvel12. A

funcao L denomina-se funcao de La-

grange do sistema, ou simplesmente

12E conveniente, entretanto, indicar que em tal for-mulacao o princıpio da acao mınima nem sempre evalido para todas as trajetorias de todo o movimento,mas somente, para cada um dos segmentos o sufici-entemente pequenos da mesma; para todas as tra-jetorias pode ocorrer que a integral (7.20) tenha so-mente o valor extremo e este nao sera necessariamenteum mınimo. Esta circunstancia nao e essencial paraa deducao das equacoes do movimento que utiliza so-mente a condicao de extremo.

lagrangeana do sistema, e a integral

(7.20), a acao.

O fato da lagrangeana conter somente q e q,

e nao conter derivadas de ordens superiores q e...q , . . ., vem do fato de que se os valores das co-

ordenadas e velocidades forem conhecidos em

um dado instante, entao eles determinam com-

pletamente o estado mecanico do sistema.

Passemos a deducao das equacoes diferenci-

ais que permitem determinar a trajetoria que

conduz a um valor estacionario para a inte-

gral (7.20). Basicamente o princıpio de Ha-

milton nos diz que dentre todas as trajetorias

possıveis conectando o ponto q(t1) ao ponto

q(t2) no espaco das configuracoes, aquela na

qual a acao S e estacionaria corresponde a tra-

jetoria real do sistema contendo esses dois pon-

tos. Na figura 7.1 mostramos a trajetoria real

do sistema, curva C1 e duas outras trajetorias

possıveis do sistema, as curvas C2 e C3.

Supondo que qi(t) seja a funcao que repre-

senta a trajetoria do sistema no espaco das

configuracoes, para a qual a acao S possui um

valor estacionario (mınimo ou maximo). Uma

pequena variacao desta trajetoria pode ser in-

dexada por um parametro α da seguinte forma:

q′i(t, α) = qi(t, 0) + αηi(t) (7.21)

onde qi(t, 0) e a trajetoria real seguida pelo sis-

tema (a qual ainda nao conhecemos) e ηi(t)

e uma funcao do tempo completamente ar-

bitraria que possui uma derivada primeira

contınua e esta submetida a seguinte restricao

ηi(t1) = ηi(t2) = 0. (7.22)

Em, termos das variacoes δ, o resultado ante-

rior pode ser escrito em uma forma mais com-

pacta como

q′i(t) = qi(t) + δqi(t), (7.23)


com,

δqi(t) =

(∂qi∂α

)

α=0

dα = ηi(t)dα (7.24)

correspondendo a uma pequena variacao da

trajetoria qi(t), que satisfaz a relacao

δq(t1) = δq(t2) = 0. (7.25)

Como a acao S tem um valor estacionario

para a trajetoria real, entao podemos concluir

que ao variarmos a trajetoria real do sistema a

acao S ira crescer (ou diminuir) ao substituir-

mos a trajetoria real qi(t) por uma trajetoria

vizinha qualquer q′i(t, α) dada pela eq. (7.21)

que e uma funcao do parametro α dada por

S ′(α) =

∫ t2

t1

L (q′i(t, α), q′i(t, α); t) dt. (7.26)

O valor estacionario da acao S ′(α) ocorrera

quando∂S ′

∂α= 0.

Mas devido a escolha de qi(t, 0), sabemos que

isto ocorre quando α = 0, portanto, a condicao

necessaria para que a acao S tenha um valor

estacionario (maximo ou mınimo) e

δS ′ ≡(∂S ′

∂α

)

α=0

dα = 0, (7.27)

para uma funcao arbitraria qualquer do tempo

ηi(t).

Agora expandindo o integrando da eq.

(7.20) em serie de Taylor e mantendo somente

os termos ate primeira ordem em α, obtemos

L′(q′, q′; t) = L (q(t, 0), q(t, 0); t) +n∑

i=1

[∂L

∂qiηi +

∂L

∂qiηi

]α+

O(α2) (7.28)

Substituindo a expansao (7.28) na expressao

para variacao da acao S ′ dada pela eq. (7.27),

obtemos

(∂S ′

∂α

)

α=0

=n∑

i=1

∫ t2

t1

[∂L

∂qiηi +

∂L

∂qiηi +O(α2)

]dt

(7.29)

Na expressao (7.29) acima os termos superiores

a α2 foram desprezados. A integracao por par-

tes do segundo termo da integral da expressao

anterior e∫ t2

t1

∂L

∂qiηidt =

[∂L

∂qiηi

]t2

t1

−∫ t2

t1

ηi(t)d

dt

(∂L

∂qi

)dt (7.30)

O primeiro termo do lado direito da eq. (7.30)

se anula, pois por hipotese, tanto o ponto ini-

cial quanto o final sao mantidos fixos na va-

riacao, ou seja,

η1(t) = η2(t) = 0, (7.31)

Substituindo a eq. (7.30) na eq. (7.29) obtem-

se

(∂S ′

∂α

)

α=0

=n∑

i=1

∫ t2

t1

[∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)]

α=0

ηidt.

(7.32)

Para obtermos uma condicao estacionaria em

termos da variacao δ, multiplicamos a eq.

(7.32) por dα, resultando em

(∂S ′

∂α

)

α=0

dα =

n∑i=1

∫ t2

t1

[∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)]

α=0

dαηidt, (7.33)

ou ainda, em

δS ′ =n∑

i=1

∫ t2

t1

[∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)]δqi(t)dt

(7.34)

onde os δqi(t) correspondem a um desloca-

mento virtual. Como as coordenadas generali-

zadas qi sao independentes, o mesmo se aplica

para aos δqi(t), exceto para os instantes t1 e t2


nos quais δq(t1) = δq(t2) = 0, assim o unico

modo da integral em (7.34) se anular, sera se

o termo entre colchetes for nulo, ou seja, as

equacoes

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0, i = 1, 2, . . . , n

(7.35)

conhecidas como equacoes de Euler-Lagrange

devem ser satisfeitas.

Estas equacoes diferenciais sao denominadas

na Mecanica como equacoes de Lagrange. Se a

lagrangeana L de um dado sistema mecanico

for conhecida, entao as equacoes (7.35) esta-

belecem a relacao entre as aceleracoes, velo-

cidades e coordenadas, isto e, constituem as

equacoes de movimento do sistema.

Do ponto de vista matematico, as equacoes

(7.35) formam um sistema de n equacoes dife-

renciais de segunda ordem para n funcoes des-

conhecidas qi(t). A solucao geral de tal sis-

tema contem 2n constantes arbitrarias. Para

sua determinacao, e consequentemente a deter-

minacao completa do movimento do sistema

mecanico, e necessario conhecer as condicoes

iniciais que caracterizam o estado mecanico do

sistema em um dado instante, por exemplo, os

valores iniciais de todas as coordenadas qi(0) e

velocidades qi(0).

Agora considere um sistema mecanico com-

posto por duas partes A e B, sendo que isola-

damente cada uma delas tem respectivamente

as seguintes lagrangeanas LA e LB. No limite

em que a separacao entre estas duas partes for

grande o suficiente de tal modo que a interacao

entre as mesmas possa ser desprezada, pode-se

concluir que neste limite a lagrangeana L de

todo o sistema tendera a

limd→∞

L = LA + LB. (7.36)

Esta propriedade de aditividade da lagrange-

ana expressa o fato de que a equacao do movi-

mento de cada uma das partes de um sistema,

partes estas que nao interagem entre si, nao po-

dem conter grandezas que se refiram a outras

partes do sistema.

E evidente, que a multiplicacao da la-

grangeana de um sistema mecanico por uma

constante arbitraria nao influi por si so nas

equacoes do movimento. Neste ponto, pode-

se imaginar que a melhor lagrangeana de um

dado sistema mecanico seria a combinacao li-

near das lagrangeanas das partes isoladas que

compoem o sistema multiplicadas por quais-

quer constantes diferentes. A propriedade de

aditividade elimina esta indeterminacao: ela

admite somente a multiplicacao simultanea das

funcoes de Lagrange de todos os sistemas por

uma constante unica, o que conduz, simples-

mente, a uma arbitrariedade natural na es-

colha da unidade de medida desta grandeza

fısica.

Agora faremos uma observacao de carater

geral. Consideremos duas lagrangeanas

L′(q, q, t) e L(q, q, t), que se diferenciam por

uma derivada total em relacao ao tempo de

uma funcao qualquer das coordenadas e do

tempo f(q, t):

L′(q, q, t) = L(q, q, t) +df(q, t)

dt. (7.37)

As integrais da acao (7.20), calculadas com

ajuda destas duas funcoes, estao relacionadas

da seguinte forma:

S ′ =

∫ t2

t1

L′(q, q, t)dt

=

∫ t2

t1

L(q, q, t)dt+

∫ t2

t1

df

dtdt

= S + f(q(2), t2)− f(q(1), t1)

isto e, diferenciam-se uma da outra por um

termo suplementar que se anula quando varia-

mos a acao, uma vez que a condicao δS ′ = 0

coincide com a condicao δS = 0, entao, a


forma das equacoes do movimento permanece

invariavel.

Deste modo, a lagrangeana L(q, q, t) e de-

terminada a menos da derivada total de uma

funcao f(q, t) qualquer das coordenadas e do

tempo.


massa m em queda livre, na presenca do campo

gravitacional. Observe que as tres lagrangenas

abaixo

L1 =1

2m(x2 + y2)−mgy

L2 = mxy −mgxL3 = mgy − 1

2mgxy2 −myx3 − 1

2my2

fornecem as equacoes de movimento corretas,

entretanto, somente a lagrangeana L1 tem sig-

nificado fısico.

Solucao: As equacoes de movimento sao

obtidas a partir da equacao de Lagrange

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0, i = 1, 2, . . . , n,

a qual para todas as tres lagrangeanas acima

conduzem as seguintes equacoes de movimento

mx = 0

my = −mg.

Estas sao as equacoes de movimento corretas

para uma partıcula de massa m em queda livre.

7.5 Princıpio da Relativi-

dade de Galileu

No estudo dos fenomenos mecanicos e ne-

cessario escolher um sistema de referencia qual-

quer para descrever a evolucao temporal do sis-

tema mecanico neste sistema de referencia. Em

diferentes sistemas de referencia as leis do mo-

vimento tem em geral diferentes formas. Ao

se considerar um sistema de referencia qual-

quer, podera ocorrer que as equacoes de movi-

mento que descrevem a evolucao temporal dos

fenomenos fısicos mais simples neste sistema,

tornem-se extremamente complexas. Natural-

mente, surge o problema de encontrar um sis-

tema de referencia, no qual as leis da mecanica

tornem-se o mais simples possıvel.

Se em relacao a um sistema de referencia

qualquer, o espaco for heterogeneo e ani-

sotropico. Isto significa, que se um corpo qual-

quer nao interage com nenhum outro corpo,

entao, as suas diferentes posicoes no espaco e

as suas diferentes orientacoes nao serao equiva-

lentes do ponto de vista mecanico. O mesmo

refere-se ao tempo, o qual sera nao uniforme,

isto e, seus diferentes instantes nao serao equi-

valentes. A complexidade, que sera introdu-

zida na descricao dos fenomenos mecanicos por

essas propriedades do espaco e do tempo, e

evidente. Assim, por exemplo, um corpo li-

vre (isto e, nao submetido a uma influencia

externa), nao poderia ficar em repouso: caso

a velocidade do mesmo em um certo instante

fosse igual a zero, no instante seguinte o corpo

poderia comecar a mover-se em uma certa

direcao.

Entretanto, do ponto de vista da mecanica

classica sempre pode-se encontrar um sistema

de referencia, em relacao ao qual o espaco sera

sempre homogeneo e isotropico e o tempo uni-

forme. Tal sistema denomina-se um referencial

inercial. Em particular, num sistema de re-

ferencia inercial um corpo livre que se encontra

em repouso em um dado instante, permanecera

em repouso durante um tempo ilimitado.

Neste ponto, pode-se tirar algumas con-

clusoes sobre a forma da funcao de Lagrange

para uma partıcula que se move livremente em

um sistema de referencia inercial. A homoge-

neidade do espaco e do tempo significa que esta


funcao nao podera conter explicitamente nem o

vetor posicao r do ponto, nem o tempo t, isto

e, a lagrangeana L sera uma funcao somente

da velocidade v = r. Em virtude da isotropia

do espaco, a lagrangeana nao podera depender

da direcao do vetor v, portanto ela sera uma

funcao somente do seu valor absoluto, isto e,

do quadrado v2 = v2:

L = L(v2).

Em virtude da independencia da lagrangeana

em relacao ao vetor posicao r temos que ∂L∂xi

=

0 com i = x, y, z e por isso a equacao de La-

grange tem a seguinte forma13

d

dt

∂L

∂vi

= 0, i = x, y, z (7.38)

onde∂L

∂vi

= cte .

Entretanto L = L(v2), logo

∂L

∂vi

=∂L

∂v2

∂v2

∂vi

= 2vi∂L

∂v2= cte . (7.39)

Como L = L(v2), entao ∂L/∂v2 depende so-

mente do modulo da velocidade, portanto ∂L∂vi

sera uma funcao da componente vi da veloci-

dade v e do seu modulo, desta forma tem-se

que

vi = cte . ⇒ v = cte . (7.40)

Deste modo, conclui-se que em um sistema de

referencia inercial, qualquer movimento livre

efetua-se com velocidade constante em gran-

deza e em direcao. Esta afirmacao constitui o

que se denomina a lei de inercia.

Se, alem do sistema inercial estudado, for in-

troduzido um outro sistema, que se move em

13Por derivada de uma grandeza escalar em relacaoa um vetor entendemos um vetor, cujas componentessao iguais as derivadas desta grandeza em relacao ascorrespondentes componentes do vetor.

relacao ao primeiro de modo retilıneo e uni-

forme, entao, as leis do movimento livre em

relacao a este novo sistema serao as mesmas

que em relacao ao sistema inicial: o movimento

livre ocorrera tambem com velocidade cons-

tante.

A experiencia mostra, entretanto, que nes-

tes sistemas nao apenas as leis do movimento

livre serao iguais, mas que tambem os sistemas

serao totalmente equivalentes do ponto de vista

mecanico. Deste modo existe nao somente um,

mas uma infinidade de sistemas inerciais de re-

ferencia, que se movem uns relativamente aos

outros, retilınea e uniformemente. Em todos

estes sistemas as propriedades do espaco e do

tempo sao as mesmas, assim como todas as

leis da Mecanica. Esta afirmacao contem a

essencia do principio da relatividade de Ga-

lileu, um dos mais importantes princıpios da

Mecanica.

Tudo o que foi dito demonstra as proprie-

dades excepcionais dos sistemas de referencia

inerciais, em virtude das quais estes sistemas

em geral sao usados no estudo dos fenomenos

mecanicos. De agora em diante, onde nao for

dito o contrario, estaremos usando somente os

sistemas de referencia inerciais.

A total equivalencia mecanica de toda uma

infinidade de sistemas inerciais demonstra, ao

mesmo tempo, que nao existe nenhum sistema

”absoluto”, o qual poderia ser escolhido no lu-

gar de outros sistemas. As coordenadas r e

r′ de um mesmo ponto em dois sistemas de

referencia diferentes O e O′, onde o segundo

desloca-se relativamente ao primeiro com velo-

cidade V, estao relacionados pela expressao

r = r′ + Vt. (7.41)

Neste caso a contagem do tempo e a mesma

em ambos os sistemas de referencia:

t = t′. (7.42)


A hipotese de que o tempo e absoluto re-

side nos conceitos fundamentais da Mecanica

classica14.

As equacoes (7.41) e (7.42) denominam-se

transformacoes de Galileu. O princıpio de re-

latividade de Galileu pode ser expresso como a

necessidade da invariancia das equacoes do mo-

vimento da mecanica em relacao a estas trans-

formacoes.

7.6 A Lagrangeana de

Uma Partıcula Livre

Agora iremos inferir a forma funcional da

funcao de Lagrange, para tal, analisaremos

inicialmente um caso simples: o movimento

livre de uma partıcula livre em um sistema

de referencia inercial. Como ja vimos, a la-

grangeana neste caso, pode depender somente

do quadrado do vetor velocidade. Para com-

preendermos a forma desta dependencia, uti-

lizaremos o princıpio da relatividade de Ga-

lileu. Se um sistema de referencia inercial

O move-se relativamente a um sistema de re-

ferencia inercial O′ com uma velocidade infi-

nitamente pequena ∆v, entao, v′ = v + ∆v.

Uma vez que as equacoes do movimento em

todos os sistemas de referencia deverao ter a

mesma forma, a funcao de Lagrange L(v2) de-

vera nesse caso transformar-se na funcao L′, a

qual, caso diferencie-se de L(v2) devera ser so-

mente por uma derivada total de uma funcao

das coordenadas e do tempo15.

Teremos:

L′ = L(v′2) = L(v2 + 2v ·∆v + ∆v2). (7.43)

14A mesma nao e valida na Mecanica relativista.15A Lagrangeana de um sistema que fornece as

equacoes de movimento corretas nao e unica, elas dife-rem uma das outras pela derivada total em relacao aotempo de uma funcao qualquer.

Decompondo esta expressao em serie de

potencias em ∆v e desprezando os termos in-

finitamente pequenos de ordem superior a se-

gunda, obtemos

L(v′2) = L(v2) +∂L

∂v22v ·∆v (7.44)

Como a lagrangeana de um sistema e defi-

nida a menos de uma derivada total em relacao

ao tempo de uma funcao qualquer da posicao

F (r(t)), entao o segundo termo do segundo

membro desta igualdade so sera a derivada to-

tal em relacao ao tempo da funcao F (r(t)),

dF

dt=∂F

∂r

dr

dt=∂F

∂rv (7.45)

se∂F

∂r=∂L

∂v22∆v. (7.46)

Por isso pode-se concluir que ∂L∂v2 nao depende

da velocidade, isto e, a funcao de Lagrange, no

caso examinado, sera diretamente proporcional

ao quadrado da velocidade:

L = av2 (7.47)

De fato, uma lagrangeana que possui tal forma

satisfaz o princıpio da relatividade de Galileu

no caso de uma transformacao infinitamente

pequena da velocidade, disto, resulta imedia-

tamente que a lagrangeana e igualmente inva-

riante para uma velocidade finita V de um sis-

tema de referencia O relativamente a O′. Re-

almente,

L′ = av′2 = a(v + V)2 = av2 + 2av ·V + aV 2

(7.48)

ou,

L′ = L+d

dt

(2ar ·V + aV 2t

)(7.49)

O segundo termo e uma derivada total e pode

ser omitido. A constante a e habitualmente


simbolizada por m/2, e assim pode-se final-

mente escrever a lagrangeana de uma partıcula

livre em movimento da seguinte forma:

L =1

2mv2 (7.50)

A grandezam denomina-se massa da partıcula.

Em virtude da propriedade aditiva da funcao

de Lagrange, para um sistema de partıculas

que nao interagem entre si, temos que:

L =n∑

i=1

1

2miv

2i . (7.51)

E conveniente frisar que, somente ao conside-

rarmos esta propriedade, a definicao dada de

massa adquire um sentido real. Como ja foi

discutido na secao 7.5, sempre podemos mul-

tiplicar a funcao de Lagrange por uma cons-

tante qualquer; isto nao se reflete nas equacoes

do movimento. Para a funcao (7.51) tal mul-

tiplicacao reduz-se a mudanca da unidade de

medida da massa; as relacoes das massas de

diversas partıculas, as quais sao as unicas que

tem um sentido fısico real, permanecem nessas

transformacoes, invariaveis.

Ve-se facilmente que a massa nao pode ser

negativa. Realmente, segundo o principio de

Hamilton para um ponto material que faz um

deslocamento real do ponto P1 ao ponto P2 do

espaco, a integral da acao S,

S =

∫ P2

P1

1

2mv2dt (7.52)

possui um mınimo. Se a massa fosse negativa,

entao, para as trajetorias, segundo as quais

a partıcula comeca a distanciar-se de maneira

rapida do ponto P1, e depois aproximar-se rapi-

damente do ponto P2, a integral de acao adqui-

riria os valores negativos arbitrariamente gran-

des em relacao ao valor absoluto, isto e, nao

teria mınimo.

E util salientar que

v2 =

(d`

dt

)2

=d`2

dt2. (7.53)

Por isso, para compormos a lagrangeana, e

suficiente determinar o quadrado do compri-

mento do elemento do arco d` no sistema de

coordenadas correspondente. Em coordenadas

cartesianas, por exemplo, d`2 = dx2+dy2+dz2,

por isso,

L =1

2mv2 =

1

2m

(x2 + y2 + z2

)(7.54)

Em coordenadas cilındricas d`2 = dr2+r2dφ2+

dz2, portanto,

L =1

2mv2 =

1

2m

(r2 + r2φ2 + z2

)(7.55)

Em coordenadas esfericas d`2 = dr2 + r2dθ2 +

r2 sen2 θdφ2 e

L =1

2mv2 =

1

2m

(r2 + r2θ2 + r2 sen2 θφ2

)

(7.56)

7.7 Lagrangeana de um

Sistema de Partıculas

Considere um sistema de partıculas, que in-

teragem somente entre si, nao interagindo

com quaisquer outros corpos nao perten-

centes ao sistema; tal sistema denomina-

se fechado ou isolado. Para estes siste-

mas, devemos adicionar a funcao energia po-

tencial −U(r1, r2, . . . , rN) da interacao entre

as partıculas a lagrangeana de um sistema

de partıculas nao interagentes dada pela eq.

(7.51), assim a lagrangeana deste sistema as-

sume a seguinte forma:

L =1

2

N∑i=1

miv2i − U(r1, r2, . . . , rN) (7.57)


onde ri e o vetor posicao da i-esima partıcula.

Esta e a forma geral da lagrangeana de um

sistema fechado.

A soma

T =1

2

N∑i=1

miv2i (7.58)

denomina-se energia cinetica e a funcao U ,

energia potencial do sistema.

O simples fato de que a energia potencial

depende somente da posicao de todos os pon-

tos materiais em um determinado instante de

tempo significa, que a variacao da posicao

de um deles reflete-se instantaneamente, em

todos os demais; pode-se dizer, que as in-

teracoes ”propagam-se” instantaneamente. A

inevitabilidade de tal carater das interacoes

na mecanica classica esta estreitamente ligada

com as premissas fundamentais da ultima – o

tempo absoluto e o princıpio da relatividade de

Galileu. Se a interacao nao se propagasse ins-

tantaneamente, isto e, com velocidade finita,

entao, esta velocidade seria diferente nos varios

sistemas de referencia (que se movem um re-

lativamente ao outro), uma vez que o tempo

absoluto significa automaticamente a aplicacao

da regra comum da soma das velocidades a to-

dos os fenomenos. Mas, entao, as leis do mo-

vimento dos corpos que interagem, difeririam

em diversos sistemas de referencia (inerciais),

o que contradiria o princıpio da relatividade de

Galileu.

Na secao 7.5 discutimos sobre a uniformi-

dade do tempo. A forma da funcao de La-

grange (7.57) mostra, que o tempo nao e so-

mente uniforme, mas tambem isotropico, isto

e, suas propriedades sao as mesmas em am-

bas as direcoes. Realmente, a substituicao

de t por −t mantem a lagrangeana, e, con-

sequentemente, as equacoes do movimento, in-

variaveis. Em outras palavras, se no sistema e

possıvel um movimento qualquer entao, sem-

pre sera possıvel o movimento inverso, isto e,

tal movimento no qual o sistema passe nova-

mente pelos mesmos estados em ordem inversa.

Neste sentido, todos os movimentos, que ocor-

rem segundo as leis da mecanica classica, sao

reversıveis.

Conhecendo a lagrangeana, poderemos es-

crever as equacoes do movimento,

d

dt

∂L

∂ri

− ∂L

∂ri

= 0. (7.59)

Substituindo na mesma (7.57), obteremos:

midri

dt= −∂U

∂ri

= −∇iU (7.60)

As equacoes do movimento nesta forma

denominam-se equacoes de Newton e consti-

tuem a base da mecanica de um sistema de

partıculas que interagem. O vetor

Fi = −∂U∂ri

= −∇iU (7.61)

localizado no segundo membro da equacao

(7.61), denomina-se forca que age na i-esima

partıcula. Juntamente com U ela depende ape-

nas das coordenadas de todas as partıculas,

mas nao das velocidades das mesmas. As

equacoes (7.61) mostram por isso, que os ve-

tores da aceleracao das partıculas sao funcoes

somente das coordenadas.

A energia potencial e uma grandeza determi-

nada a menos de uma constante arbitraria que

lhe pode ser adicionada; tal adicao nao muda

as equacoes do movimento (a lagrangeana que

fornece as equacoes de movimento e definida a

menos da derivada total em relacao ao tempo

de uma funcao qualquer das coordenadas gene-

ralizadas e do tempo). A escolha mais natural

e mais comum desta constante, deve ser feita

de tal modo que a energia potencial do sistema

tenda a zero, ao aumentar-se a distancia entre

as partıculas.


Se para descrevermos o movimento, utili-

zarmos em lugar das coordenadas cartesianas

das partıculas, as coordenadas generalizadas

arbitrarias qk, entao, para obtermos a lagran-

geana, e necessario fazer as transformacoes cor-

respondentes:

xi = xi(q1, q2, . . . , qn) i = 1, . . . , 3N

xi =n∑

k=1

∂xi

∂qkqk

Colocando estas expressoes na funcao

L =1

2

N∑i=1

mi(x2i + y2

i + z2i )− U(r1, r2, . . . , rN)

obteremos a lagrangeana procurada, a qual

tera a seguinte forma:

L =1

2

∑

i,k

Mik(q)qiqk − U(q) (7.62)

onde Mik sao funcoes somente das coorde-

nadas. Em um sistema de coordenadas ge-

neralizadas a energia cinetica e uma funcao

quadratica das velocidades, mas pode depen-

der tambem das coordenadas.

Ate o momento consideramos somente siste-

mas fechados. Analisemos, agora, um sistema

aberto A, que interage com outro sistema B,

que realiza um movimento conhecido. Nesse

caso se diz, que o sistema A move-se em um

campo externo conhecido (criado pelo sistema

B). Uma vez que as equacoes do movimento

sao obtidas a partir do princıpio de Hamilton,

por meio da variacao independente de cada

uma das coordenadas (isto e, considerando as

demais como conhecidas), podemos, para de-

terminar a lagrangeana LA do sistema A, utili-

zar a lagrangeana L do sistema inteiro A+B,

substituindo na mesma as coordenadas qB pe-

las funcoes dadas do tempo.

Considere que o sistema A + B e fechado,

tem-se neste caso que sua lagrangeana e,

L = TA(qA, qA) + TB(qB, qB)− U(qA, qB),

na qual os dois primeiros termos represen-

tam as energias cineticas dos sistemas A e

B e o terceiro termo, a energia potencial co-

mum aos dois sistemas. Substituindo qB pe-

las funcoes dadas do tempo e omitindo o

termo TB(qB(t), qB(t)), que depende somente

do tempo (e, por isso, e derivada total de uma

outra funcao qualquer do tempo), obtem-se

que

LA = TA(qA, qA)− U(qA, qB(t)).

Deste modo, o movimento de um sistema em

um campo externo e descrito por uma lagran-

geana do tipo comum, com uma so diferenca,

que a energia potencial agora pode depender

explicitamente do tempo. Assim, para o movi-

mento de uma partıcula num campo externo,

a forma geral da lagrangeana sera:

L =1

2mv2 − U(r, t), (7.63)

e a equacao do movimento tem a forma:

mv = −∂U∂r

= −∇U

Um campo denomina-se uniforme, quando em

todos os pontos do mesmo, age sobre uma

partıcula qualquer a mesma forca F. A energia

potencial em tal campo e igual, evidentemente,

a:

U = −F · r.Na descricao dos sistemas mecanicos encon-

trados frequentemente na pratica, sempre sur-

gem algum tipo vınculo restringindo o movi-

mento do sistema mecanico investigado, alem

das forcas de atrito. Estes vınculos geral-

mente aparecem na forma de ligacoes entre

dois corpos, como por exemplo por meio de

barras, fios, dobradicas, superfıcies, etc. Estes

vınculos introduzem no movimento um novo

fator: o movimento dos corpos e acompanhado


de atrito nos pontos de contato; como resul-

tado disto, o problema sai dos limites do for-

malismo exposto ate o momento. Entretanto,

em muitos casos o atrito no sistema e tao

fraco, que sua influencia sobre o movimento

pode ser completamente desprezada. Se puder-

mos, tambem, desprezar as massas dos ”ele-

mentos de ligacao” do sistema, entao, o pa-

pel dos ultimos se reduz, simplesmente, a uma

diminuicao do numero dos graus de liberdade

S do sistema (em comparacao com o numero

3N). Para determinar o seu movimento, po-

demos, entao, novamente, utilizar a funcao de

Lagrange do tipo (7.57), com um numero de

coordenadas generalizadas independentes, que

correspondam ao numero real de graus de li-

berdade.

7.8 Princıpio de Hamil-

ton: Vınculos Nao-

Holonomicos

O metodo de Lagrange concentra-se somente

nas forcas ativas, ignorando completamente os

efeitos das forcas internas devido as juncoes,

conexoes, e contatos com os vınculos. Se esti-

vermos interessados em conhecer as forcas de

vınculo, entao devemos utilizar o metodo dos

multiplicadores indeterminados de Lagrange.

Os metodos estudados ate o momento

podem ser usados na analise de sistemas

com vınculos holonomos, no qual usamos as

equacoes de vınculo para eliminar as variaveis

em excesso, obtendo entao um conjunto de

coordenadas generalizadas independentes. O

metodo dos multiplicadores de Lagrange pode

ser aplicado a sistemas com certos tipos

vınculos nao-holonomos. Inicialmente intro-

duziremos o metodo dos multiplicadores de

Lagrange para os sistemas nao-holonomos, e

entao mostraremos que ele tambem pode ser

aplicado aos sistemas holonomos.

Formalmente podemos estender o princıpio

de Hamilton para que ele possa ser apli-

cado a sistemas que possuam certos tipos de

vınculos nao-holonomos. Tanto na deducao

das equacoes de Lagrange quanto na deducao

do princıpio de D’Alembert, a necessidade de

que os vınculos sejam holonomicos aparecem

quando impomos que as variacoes das coor-

denadas generalizadas qi sejam todas indepen-

dentes umas das outras. Ao considerarmos os

sistemas nao-holonomicos as coordenadas ge-

neralizadas qk nao sao mais todas umas inde-

pendentes das outras, e portanto, nao podemos

mais reduzir o numero de graus de liberdade do

sistema por meio de equacoes de vınculos da

forma f(q1, q2, . . . , qn, t) = 0. Portanto, para

os vınculos nao-holonomicos nem todas as co-

ordenadas qk sao independentes umas das ou-

tras.

Uma outra diferenca deve ser considerada no

tratamento via o princıpio variacional, que a

maneira na qual a variacao das trajetorias e

construıda. Na discussao do princıpio variacio-

nal ressalta-se que as variacoes δq representam

um deslocamento virtual de um ponto na tra-

jetoria real para um ponto em uma trajetoria

vizinha, a trajetoria variada ou trajetoria ten-

tativa. Se as coordenadas generalizadas sao

todas umas independentes das outras e a tra-

jetoria tentativa final que e importante, e nao

como ela e construıda. Ja quando as coordena-

das generalizadas nao sao mais umas indepen-

dentes das outras, mas estao relacionadas por

equacoes de vınculos, e importante construir-

mos trajetorias tentativas cujos os deslocamen-

tos virtuais sejam consistentes com os vınculos

que restrıngem o movimento do sistema. Os

deslocamentos virtuais podem ou nao satisfa-


zer os vınculos.

Um tratamento direto dos sistemas com

vınculos nao-holonomicos por meio do

princıpio variacional e possıvel somente

quando as equacoes de vınculo podem ser

escritas na forma

fi(q1, q2, . . . , qn; q1, q2, . . . , qn, t) = 0, (7.64)

e neste caso os vınculos sao chamados de semi-

holonomicos. O ındice i indica que pode haver

mais de uma destas equacoes. Considerando

que existem m equacoes de vınculos, isto e,

i = 1, 2, . . . ,m. A equacao (7.64) geralmente

aparece na forma restritiva

n∑

k=1

(∂fi

∂qkdqk +

∂fi

∂qkdqk

)+∂fi

∂tdt = 0,

n∑

k=1

(aikdqk + bikdqk) + aitdt = 0.(7.65)

Pode-se esperar que as trajetorias tentativas,

ou equivalentemente, os deslocamentos que

constroem as trajetorias tentativas, devem sa-

tisfazer as equacoes de vınculos na forma da

eq. (7.64) ou na forma da eq. (7.65). Entre-

tanto, pode-se provar que nenhuma de tais tra-

jetorias podem ser construıdas a menos que as

equacoes (7.65) sejam integraveis, caso este em

que os vınculos sao holonomos. Um princıpio

variacional o qual nos leva as equacoes de movi-

mento corretas, pode neste sentido, ser obtido

quando construımos as trajetorias tentativas

a partir da trajetoria real do movimento por

meio de deslocamentos virtuais. As equacoes

de vınculos validas para os deslocamentos vir-

tuais sao

n∑

k=1

aikδqk =n∑

k=1

∂fi

∂qkδqk = 0, (7.66)

e as trajetorias tentativas em geral nao irao

satisfazer (7.65).

7.8.1 Metodo dos Multiplicado-

res de Lagrange

Pode-se usar (7.66) para reduzir o numero de

deslocamentos virtuais independentes. O pro-

cedimento usado para eliminarmos estes des-

locamentos virtuais extras e conhecido como

metodo dos multiplicadores indeterminados de

Lagrange. Se as equacoes (7.64) sao validas

entao as equacoes

m∑i=1

λifi = 0, (7.67)

tambem sao validas. Aqui os λi, com i =

1, 2, . . . ,m sao quantidades desconhecidas que

em geral sao funcoes das coordenadas qk e do

tempo t. Alem disso, sera considerado que o

princıpio de Hamilton

δS = δ

∫ t2

t1

Ldt = 0, (7.68)

para este sistema semi-holonomico tambem e

valido. Seguindo o mesmo raciocınio desenvol-

vido na secao 7.4, o princıpio de Hamilton nos

permite escrever

δS =n∑

k=1

∫ t2

t1

[∂L

∂qk− d

dt

(∂L

∂qk

)]δqk (t) dt

(7.69)

Aqui a variacao nao pode ser tomada como

antes, ja que as variacoes dos qk nao sao to-

das independentes umas das outras. Entre-

tanto, combinando as equacoes (7.68) com as

equacoes (7.69), podemos escrever

δ

∫ t2

t1

(L+

m∑i=1

λifi

)dt = 0. (7.70)

Fazendo a variacao do termo devido aos

vınculos, ou seja,

δ

∫ t2

t1

(m∑

i=1

λifi

)dt = 0, (7.71)


obtemos, apos repetirmos o mesmo procedi-

mento usado no calculo variacional para ob-

termos as equacoes de Lagrange, que

m∑i=1

n∑

k=1

∫ t2

t1

λi

[∂fi

∂qk− d

dt

(∂fi

∂qk

)]

−dλi

dt

∂fi

∂qk

δqk (t) dt = 0 (7.72)

Aqui por uma questao de simplicidade con-

sidera-se que λi = λi(t). Desta forma a eq.

(7.70) pode ser escrita como uma combinacao

das eqs. (7.69) e (7.72), resultando em

n∑

k=1

∫ t2

t1

[∂L

∂qk− d

dt

(∂L

∂qk

)]δqk (t) dt+

m∑i=1

∫ t2

t1

λi

[∂fi

∂qk− d

dt

(∂fi

∂qk

)]

−dλi

dt

∂fi

∂qk

δqk (t) dt

= 0 (7.73)

Agora a variacao pode ser feita com nδqk e

mλi para m + n variaveis independentes. Por

uma questao de simplicidade separa-se as coor-

denadas dependentes das independentes, con-

siderando que as m primeiras coordenadas sao

nao independentes e que as n−m coordenadas

restantes sao independentes.

A equacao (7.73) pode ser escrita em uma

forma mais compacta, para isto defini-se a

forca generalizada Qk como

Qk =m∑

i=1

λi

[∂fi

∂qk− d

dt

(∂fi

∂qk

)]− dλi

dt

∂fi

∂qk

(7.74)

Assim, a equacao anterior pode ser escrita

como

n∑

k=1

∫ t2

t1

[d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk

]−Qk

δqk (t) dt

(7.75)

Neste momento, tem-se um problema ja que

nem todas as variacoes δqk (t) sao independen-

tes. Elas estao relacionadas pelas m relacoes

dadas pela eq. (7.67). Isto e, enquanto n−mdestas coordenadas generalizadas podem ser

escolhidas independentemente, as outras m de-

las estao fixadas pelas relacoes da eq. (7.67).

Entretanto, os valores dos λi ainda nao foram

definidos, ou seja, continuam indefinidos, desta

forma, pode-se escolher os λi de modo que para

resolver o problema deve-se proceder da se-

guinte maneira:

Primeiro passo: Escolhe-se os λi de modo

que os m coeficientes dos δqk depententes da

eq. (7.75) sejam identicamente nulos, assim

obtemos a seguinte equacao

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk= Qk k = 1, . . . ,m. (7.76)

onde

Qk =m∑

i=1

λi

[∂fi

∂qk− d

dt

(∂fi

∂qk

)]− dλi

dt

∂fi

∂qk

,

(7.77)

As m eqs. (7.76) e (7.77) para as m coordena-

das generalizadas qk e os m multiplicadores de

Lagrange λi juntamente com as m eqs. (7.67)

em princıpio podem ser resolvidas, e com isto,

encontra-se as m coordenadas generalizadas qk

e os m multiplicadores de Lagrange λi.

Segundo passo: Uma vez encontrado os λi,

devemos retornar as equacoes n−m de movi-

mento restantes da eq. (7.75), para as n −mcoordenadas generalizadas independentes

n−m∑

k=1

∫ t2

t1

[d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk

]−Qk

δqk (t) dt

k = m+ 1, . . . , n (7.78)

Aqui os unicos δqk envolvidos sao aqueles in-

dependentes uns dos outros. Portanto segue,

que

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk= Qk, (7.79)

k = m+ 1,m+ 2, . . . , n.


Combinando as equacoes (7.76) com (7.79),

obtemos finalmente o conjunto completo das

equacoes de Lagrange para os sistemas nao-

holonomicos:

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk= Qk, k = 1, . . . , n

(7.80)

com a forca generalizada Qk sendo dada por

(7.77).

Mas isto nao e tudo, ate agora temos n+m

equacoes desconhecidas, as n coordenadas qk e

os m multiplicadores de Lagrange λi, enquanto

a equacao (7.80) fornece somente n equacoes.

As equacoes adicionais necessarias sao de fato,

as equacoes de vınculo (7.67).

O sistema pode ser interpretado como sendo

um sistema holonomico com n+m coordenadas

generalizadas, cujas as forcas generalizadas sao

dadas por Qk. Este sistema possui m equacoes

de vınculos holonomos, o que reduz o numero

de graus de liberdade do sistema a n, e por-

tanto teremos n equacoes de Lagrange a serem

resolvidas.

A generalizacao deste procedimento para

λi = λi(q1, . . . , qn; q1, . . . , qn; t) e direta. Ob-

serve que para o caso em que fi = fi(q1, . . . , qn)

e λi = cte. a forca generalizada reduz-se a:

Qk =m∑

i=1

λi∂fi

∂qk, (7.81)

a qual e a forma mais comum para a forca ge-

neralizada nos sistemas holonomos.

Exemplo 79 Considere uma partıcula cuja a

lagrangeana e

L =1

2m

(x2 + y2 + z2

)− U(x, y, z) (7.82)

e esta submetida ao seguinte vınculo,

f(x, y, y) = xy + ky = 0 (7.83)

onde k e uma constante.

Solucao: Antes de escrevermos as equacoes

de movimento, vamos escrever as forcas gene-

ralizadas, as quais sao dadas por

Qx = −λy − λyQy = λk − λx− λxQz = 0.

Portanto, as equacoes de movimento resultan-

tes sao

mx+ λy + λy +∂U

∂x= 0,

my + λx+ kλ+∂U

∂y= 0,

mz +∂U

∂z= 0,

e a equacao de vınculo pode ser escrita como

xy + ky = 0.

Neste processo, obtivemos mais informacoes

do que foi pedido inicialmente. Obtivemos nao

somente um aparato que nos permite determi-

nar o conjunto de coordenadas qk, mas obti-

vemos tambem os mλi. Qual e o significado

fısico dos λi?

7.8.2 Forcas de Vınculo

Agora, deve-se investigar o significado fısico

dos multiplicadores indeterminados de La-

grange, os quais como foi visto, tambem sao

obtidos no processo de resolucao das equacoes

de movimento. Suponha que removemos os

vınculos que atuam sobre o sistema, mas que

em compensacao aplicamos uma forca externa

Q′k a qual mantem o movimento do sistema

inalterado, ele se move como se moveria caso

os vınculos estivessem atuando sobre ele. Da

mesma, maneira as equacoes de movimento de-

vem permanecer as mesmas. Claramente es-

tas forcas extras aplicadas devem ser iguais as


forcas de vınculo, para que estas forcas aplica-

das ao sistema satisfacam as condicoes impos-

tas pelos vınculos. Entretanto, a lagrangeana

L do sistema so inclui as forcas aplicadas, logo

estas forcas adicionais Q′k sao introduzidas nas

equacoes de movimento da seguinte forma,

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk= Q′k (7.84)

Mas esta equacao e identica a eq. (7.80). Por-

tanto, podemos associar Q′k com a forca gene-

ralizada dos vınculos dada por (7.77). Neste

tipo de problema nao eliminou-se realmente as

forcas de vınculo da formulacao do problema.

Elas sao fornecidas como parte da solucao.

Embora nao seja obvio, a versao do princıpio

de Hamilton apresentada aqui para os siste-

mas com vınculos semi-holonomicos tambem

requer que as forcas de vınculo nao realizem

trabalho ao longo de um deslocamento virtual.

Pois como vimos que a inclusao de vınculos

semi-holonomicos introduz uma dificuldade ex-

tra que se deve ao fato das coordenadas gene-

ralizadas nao serem mais todas independentes

umas das outras e por isso nao podemos obter

as equacoes de Lagrange dizendo que individu-

almente os integrandos da eq. (7.75) sao nulos.

Entretanto, o princıpio de Hamilton pode ser

estendido a estes sistemas, e para tal, basta

impor que o trabalho realizado pelas forcas de

vınculo ao longo de um deslocamento virtual

seja nulo. Isto pode ser visto ao escrevermos o

princıpio de Hamilton na seguinte forma

δ

∫ t2

t1

Ldt = δ

∫ t2

t1

Tdt− δ∫ t2

t1

Udt = 0.

(7.85)

Se a variacao da integral sobre o potencial ge-

neralizado U(q, q) for realizada pelo metodo de

Euler-Lagrange, podemos escrever

δ

∫ t2

t1

Tdt =

=n∑

i=1

∫ t2

t1

[∂U

∂qi− d

dt

∂U

∂qi

]δqi(t)dt

= −∫ t2

t1

n∑i=1

Qiδqi(t)dt, (7.86)

onde usamos a relacao

Qi = −∂U∂qi

+d

dt

∂U

∂qi

entre o potencial generalizado U e a forca ge-

neralizada Qi.

Nesta forma, o princıpio de Hamilton diz

que a diferenca na integral temporal da ener-

gia cinetica entre duas trajetorias vizinhas e

igual ao negativo da integral temporal do tra-

balho realizado no deslocamento virtual entre

as duas trajetorias. O trabalho que aparece e

aquele realizado somente pelas forcas que po-

dem ser representadas por uma funcao poten-

cial. Da mesma forma o princıpio de Hamilton

deve ser mantido para ambos os sistemas ho-

lonomicos e os semi-holonomicos, impondo-se

que o trabalho realizado pelas forcas adicio-

nais dos vınculos semi-holonomicos ao longo

de um deslocamento virtual δqi e nulo, entao a

eq. (7.86) e verdadeira, assim como o princıpio

de Hamilton. Note que esta restricao e simi-

lar aquela condicao imposta anteriormente de

que o o trabalho realizado pelas forcas adi-

cionais dos vınculos holonomicos ao longo de

um deslocamento virtual δqi tambem e nulo.

Na pratica, a restricao apresenta uma pequena

condicao a aplicacao do formalismo, entretanto

como muitos dos problemas nos quais o for-

malismo para os sistemas semi-holonomicos e

usado estao relacionados aos problemas de ro-

lamento sem deslizamento, nestes casos obvia-

mente as forcas de vınculo nao realizam traba-

lho.


Note que as eqs. (7.64) e (7.65) nao re-

presentam a forma mais geral de um vınculo

nao-holonomico, por exemplo elas nao incluem

equacoes de vınculo na forma de desigualdades.

Por outro lado, elas incluem os vınculos ho-

lonomicos, cuja a equacao e da seguinte forma

fi(q1, q2, . . . , qn, t) = 0 (7.87)

que e equivalente as eqs. (7.64) e (7.65) sem a

dependencia em qk, ou seja, a equacao diferen-

cialn∑

k=1

∂fi

∂qkdqk +

∂fi

∂tdt = 0,

a qual e identica a eq. (7.65), com os coefici-

entes

aik =∂fi

∂qkait =

∂fi

∂t.

Portanto, o metodo dos multiplicadores de La-

grange tambem pode ser usado para os siste-

mas com vınculos holonomicos quando (i) ele

estiver reduzido de forma inconveniente todas

as coordenadas q independentes ou (ii) quando

precisarmos de obter as forcas de vınculo.

Consideremos explicitamente o caso dos sis-

temas com vınculos holonomicos, que possui m

de condicoes de vınculo da forma

fi(q1, q2, . . . , qn, t) = 0; i = 1, . . . ,m, (7.88)

ou entao ser da forma

n∑

k=1

aikdqk + aitdt = 0; i = 1, . . . ,m. (7.89)

Notemos que vınculos holonomicos da forma

(7.88) podem ser reescritos na forma (7.89),

o contrario nao sendo necessariamente verda-

deiro, pois o lado esquerdo de (7.89) pode nao

ser uma diferencial exata. Se (7.89) vale, entao

temos tambem que para uma variacao virtual

(apenas as coordenadas variam)

∫ t2

t1

m∑i=1

n∑

k=1

λiaikδqkdt = 0, (7.90)

onde os λi sao funcoes das coordenadas e do

tempo a serem determinadas e sao denomina-

dos de multiplicadores indeterminados de La-

grange. Somando (7.90) a (7.69) obtemos

∫ t2

t1

n∑

k=1

[∂L

∂qk− d

dt

∂L

∂qk+

m∑i=1

λiaik

]δqkdt = 0.

(7.91)

Agora notemos que temos n − m coordena-

das independentes e m multiplicadores de La-

grange arbitrarios. Assim escolhemos os mul-

tiplicadores de maneira a anular m termos da

soma em (7.91). Os demais n−m termos sao

nulos pois temos n−m δqk independentes. Isso

nos da as seguintes equacoes de movimento:

d

dt

∂L

∂qk− ∂L

∂qk=

m∑i=1

λiaik; k = 1, . . . , n.

(7.92)

Temos entao n + m incognitas: as n coor-

denadas qk como funcoes do tempo e os m

multiplicadores λi. As m equacoes adicionais

necessarias para determinar univocamente es-

sas incognitas sao justamente as m condicoes

de vınculo (7.89), que fornecem as seguintes

equacoes adicionais:

n∑

k=1

aikqk + bi = 0; i = 1, . . . ,m. (7.93)

Da eq. (7.92) vemos que as forcas de vınculo

sao dadas por

Q′i =m∑

k=1

λkaki, (7.94)

o que nos da a interpretacao fısica dos multi-

plicadores de Lagrange.

Exemplo 80 Considere uma partıcula livre

no plano xy, submetida ao seguinte vıculo

x− ωy = 0,

onde ω e uma constante. Encontre as equacoes

de movimento e as forcas de vınculo.


Solucao: Neste caso a lagrangeana do sis-

tema e dada por

L =1

2m(x2 + y2).

Como temos uma unica equacao de vınculo,

entao so teremos um multiplicador de lagrange

λ. Para resolvermos este problema, podemos

considerar duas situacoes distintas:

i) Apesar da equacao de vınculo depender

do tempo, iremos considerar que o mul-

tiplicador de lagrange λ nao ira depen-

der do tempo, assim, a forca generalizada

sera dada pela eq. (7.94).

ii) Como o vınculo depende do tempo, entao

consideraremos que o multiplicador de la-

grange λ tambem ira depender do tempo,

assim, a forca generalizada sera dada

pela eq. (7.77).

No primeiro caso, em que iremos conside-

rar o multiplicador de lagrange constante, a

equacao de vınculo pode ser reescrita como

axdx+ atdt = 0,

onde ax = 1 e at = −ωy. Considerando que a

forca de vınculo λ e independente do tempo, as

equacoes de movimento que temos de resolver

sao dadas por:

d

dt

∂L

∂qk− ∂L

∂qk=

m∑i=1

λiaik,

entretanto, como temos uma unica equacao de

vınculo, entao os seus coeficientes sao dados

por

a1x = 1, a1y = 0 e a1t = −ωy.

Portanto, as equacoes de movimento sao

mx = a1xλ = λ

my = a1yλ = 0.

Integrando a equacao acima para a coordenda

y, obtemos que

y(t) = y0 + v0yt.

Mas, diferenciando a equacao de vınculo com

relacao ao tempo, obtemos

x = ωy(t),

a qual ao ser integrada, fornece

x(t) = x0 + y0ωt+1

2v0yωt

2

Ao diferenciarmos a equacao de vınculo com

relacao ao tempo duas vezes obtemos que

x = ωy −→ mx = mωy = λ,

logo, a forca de vınculo e dada por

λ = mωv0y

Isto, fornece as seguintes forcas generalizadas

Qx = λa1x = mωv0y

Qy = λa1y = 0.

O segundo caso, em que o multiplicador de

lagrange depende do tempo fica como exercıcio.

Exemplo 81 Considere um aro circular de

raio r e massa m rolando sem deslizar, para

baixo em um plano inclinado que forma um

angulo β com a horizontal, conforme mostra

a figura 7.2 abaixo. Determine a aceleracao

do aro e a velocidade com que ele chega a su-

perfıcie horizontal, sabendo que o plano incli-

nado tem um comprimento l.

Solucao: Neste exemplo os vınculo devido

ao rolamento sao holonomicos, mas de fato eles

sao irrelevantes para nossa discussao. Por ou-

tro lado, o vınculo holonomico que mantem o

aro sobre o plano inclinado estara contido im-

plicitamente na nossa escolha das coordenadas

generalizadas.


Figura 7.2: Aro circular rolando plano incli-

nado abaixo.

As duas coordenadas generalizadas sao x e

θ, como mostra a figura 7.2, e a equacao de

vınculo para o rolamento e

rdθ = dx rdθ − dx = 0.

A energia cinetica pode ser escrita como a

energia de translacao do centro de massa mais

a energia cinetica de rotacao do aro em torno

do seu centro de massa, assim (o momento de

inercia I do aro e I = 12mr2):

T =1

2mx2 +

1

4mr2θ2.

e a energia potencial, medida a partir do topo

do plano inclinado e

V = −mgx sen β

desta forma a lagrangeana e

L = T − V=

1

2m

(x2 +

1

2r2θ2

)+mgx sen β

Como so temos uma equacao de vınculo, entao

sera necessario somente um multiplicador de

Lagrange λ. Os coeficientes que aparecem na

equacao de vınculo sao

aθ = r e ax = −1.

Portanto, as duas equacoes de movimento de

Lagrange sao

mx−mg sen β + λ = 01

2mr2θ − λr = 0,

as quais juntamente com a equacao de vınculo,

rθ = x,

constituem um conjunto de tres equacoes para

tres incognitas θ, x e λ. Diferenciando a

equacao de vınculo com relacao ao tempo ob-

temos

rθ = x.

Substituindo este resultado na segunda equacao

de movimento, encontramos

λ =1

2mx

Agora, substituindo este resultado na primeira

equacao de movimento temos

x =2

3g sen β,

e portanto,

λ =1

3mg sen β

e

θ =2g sen β

3r.

Dai conclui-se que o aro rola plano inclinado

abaixo com metade da aceleracao que ele te-

ria caso desliza-se plano inclinado abaixo sem

atrito, e que a forca de atrito de vınculo e

λ = 12mg sen β.

Agora para obtermos a velocidade com que o

aro chega a superfıcie, basta observarmos que

x =dx

dt=dx

dl

dl

dt= v

dv

dl,

usando o valor encontrado para x, temos a se-

guinte equacao

vdv

dl=

2

3g sen β


a qual poder ser integrada imediatamente for-

necendo

v = 2

√gl sen β

3= 2

√gh

3

onde h e a altura em que iniciou-se o rola-

mento. Observe que esta velocidade e diferente

da velocidade que teria se estivesse deslizando

plano inclinado abaixo sem atrito.


massa m e colocada no topo de um hemisferio

esferico de raio R conforme a figura 7.4. De-

termine a reacao normal N do hemisferio sobre

a partıcula, e se a partıcula e perturbada, e em

qual altura ela abandona o hemisferio.

Figura 7.3: Uma partıcula no topo de um he-

misferio esferico.

Solucao: Este e um problema interessante

pois, ate o instante no qual a partıcula aban-

dona o hemisferio, o vınculo do sistema e ho-

lonomico, e apos este instante nao e mais.

As duas coordenadas generalizadas sao r e

θ. Em termos de r e θ, as energias cineticas e

potencial da partıcula sao dadas por

T =1

2m

(r2 + r2θ2

)

V = mgr cos θ,

onde usamos como referencia para a energia

potencial o fundo do hemisferio, ou seja, y =

0. A lagrangeana do sistema e

L = T − V=

1

2m

(r2 + r2θ2

)−mgr cos θ

A equacao de vınculo e r = R, ou dr = 0.

Desta forma ar = 1 e aθ = 0. Como so temos

uma equacao de vınculo, entao sera necessario

somente um multiplicador de Lagrange λ.

Portanto, as duas equacoes de movimento de

Lagrange sao

mRθ2 −mg cos θ + λ = 0

mR2θ −mgR sen θ = 0,

Para resolvermos estas equacoes de movimento

fazemos s = θ, assim

θ =dθ

dt=ds

dt=ds

dθ

dθ

dt= s

ds

dθ

Portanto, em termos de s as equacoes de mo-

vimento podem ser escritas como

mRs2 −mg cos θ + λ = 0

sds

dθ−

( gR

)sen θ = 0.

Integrando a ultima equacao acima

sds =( gR

)sen θdθ

1

2s2 = −

( gR

)cos θ + C

onde C e uma constante de Integracao. Temos

entao que,

θ2 = −2( gR

)cos θ + 2C

Agora imporemos uma condicao inicial para

encontrarmos C. No instante t = 0, no ponto

mais alto do hemisferio sabemos que: θ(t =

0) = 0 e que θ(t = 0) = 0, portanto

C =( gR

)

e desta forma, temos que

θ =

√2g

R(1− cos θ)

Substituindo este resultado na segunda equacao

de movimento encontramos que

λ = mg cos θ −mRθ2

= 3mg cos θ − 2mg

= (3 cos θ − 2)mg


A forca de vınculo λ e a forca normal N procu-

rada. A partıcula ira abandonar o hemisferio

quando a normal for nula, ou seja, quando

cos θ =2

3Exemplo 83 Usando o metodo dos multipli-

cadores de Lagrange, descreva o movimento de

um patinete em um plano horizontal.

Figura 7.4: Um painete que se move em um

plano horizontal.

Solucao: Como um modelo super simplifi-

cado de um patinete, iremos considerar uma

haste rıgida, delgada, homogenea de compri-

mento ` restrita a mover-se de tal modo que

a velocidade do centro de massa seja sempre

paralela a haste. Como coordenadas generali-

zadas utilizamos o vetor posicao do centro de

massa r = xi + yj e o angulo θ que a haste

faz com o eixo x. Sendo n = cos θi + sen θj

um vetor unitario ao longo da haste, o vınculo

pode ser expresso pela equacao

r× n = 0,

ou ainda, em termos de suas componentes pela

equacao:

x sen θ − y cos θ = 0. (7.95)

Multiplicado a equacao (7.95) por dt, ela pode

ser reescrita como

sen θdx− cos θdy = 0, (7.96)

da qual obtemos os seguintes coeficientes

a1x = sen θ, a1y = cos θ, e a1t = 0.

Como o patinete se move em um plano hori-

zontal, entao podemos escolher U = 0, na su-

perfıcie do plano. Desta forma a lagrangeana

do sistema e a propria energia cinetica, que e

dada por

L = T =1

2m(x2 + y2) +

1

2Iθ2,

a qual e constituıda pela energia cinetica de

translacao do centro de massa, mais a energia

cinetica de rotacao sobre o mesmo. Aqui I e o

momento de inercia da haste relativamente a

um eixo perpendicular a ela que passa pelo seu

centro de massa. As equacoes de movimento

sao

mx = λ sen θ (7.97)

my = −λ cos θ (7.98)

Iθ = 0. (7.99)

A ultima equacao acima, tem a seguinte

solucao

θ(t) = θ0 + ωt,

onde θ0 e ω sao constante arbitrarias. Divi-

dindo a eq. (7.97) pela eq. (7.98), obtemos

cos θx+ y sen θ = 0. (7.100)

Mas, da equacao de vınculo (7.95), temos que

y = x tg θ =⇒ y = x tg θ + ωx sec2 θ.

(7.101)

Substituindo a eq. (7.101) na eq. (7.100), ob-

temos

x cos θ +(x tg θ + ωx sec2 θ

)sen θ = 0,


dividindo a equacao acima por cos θ, obtemos

x+ x tg2 θ + ωx tg θ sec2 θ = 0

x(1 + tg2 θ) + ωx tg θ sec2 θ = 0

(x+ ωx tg θ) sec2 θ = 0

x+ ωx tg θ = 0

d

dt(x sec θ) = 0

Portanto,

x sec θ = A = cte.

x = A cos(θ0 + ωt)

x(t) = x0 +B sen(θ0 + ωt)

na qual, a constante B = Aω, e A e B sao cons-

tantes arbitrarias de integracao. Da eq. (7.95)

temos

y = x tg θ

y = A cos(θ0 + ωt)sen(θ0 + ωt)

cos(θ0 + ωt)

y = A sen(θ0 + ωt)

y(t) = y0 −B cos(θ0 + ωt).

O patinete gira em torno do seu prorio eixo

do centro de mass com uma velocidade angular

ω constante, ao mesmo tempo que o centro de

masssa descreve uma circunferencia no plano

do movimento com a mesma velocidade angu-

lar ω. Se ω = 0, o centro de massa do patinete

executa um movimento retilıneo uniforme.

7.9 Vantagens de Uma

Formulacao Por Um

Princıpio Variacional

Embora possamos estender a formulacao ori-

ginal do princıpio de Hamilton eq. (7.1)

para incluir alguns vınculos nao-holonomos, na

pratica esta formulacao da mecanica e mais

util quando pode-se escrever uma lagrangeana

para o sistema cujas as coordenadas genera-

lizadas sao independentes. A formulacao por

um princıpio variacional e descrita como sendo

uma forma elegante para apresentarmos com-

pactamente o princıpio de Hamilton, no qual

esta contido todos os mecanismos dos sistemas

holonomicos com as forcas derivaveis de uma

funcao potencial. Alem disso, o princıpio tem o

merito de que ele so envolve quantidades fısicas

que podem ser definidas sem a necessidade es-

pecıfica de referencia a um particular conjunto

de coordenadas generalizadas, estas quantida-

des sao a energia cinetica e a energia potencial.

Portanto, a formulacao e invariante com res-

peito a escolha das coordenadas generalizadas

para o sistema.

A partir do princıpio variacional de Hamil-

ton, fica evidente porque a lagrangeana e defi-

nida a menos da derivada total em relacao ao

tempo de uma funcao f(q1, . . . , qn, t) qualquer

das coordenadas e do tempo. Como foi mos-

trado, a integral temporal da derivada total da

funcao f(q1, . . . , qn, t) em relacao ao tempo en-

tre os instantes t1 e t2 depende somente do va-

lor desta funcao arbitraria naqueles instantes.

Como a variacao nos extremos (nos instantes

t1 e t2) e nula, a adicao da derivada total em

relacao ao tempo de uma funcao arbitraria a

lagrangeana nao afeta o comportamento vari-

acional da integral.

Outra vantagem e que a formulacao lagran-

geana pode ser estendida facilmente para des-

crever sistemas os quais geralmente nao sao le-

vados em conta na dinamica, tais como: meios

elasticos, o campo eletromagnetico, e as pro-

priedades do campo de uma partıcula elemen-

tar. Agora ilustraremos o que foi dito anteri-

ormente com algumas aplicacoes simples.


Exemplo 84 Considere uma bateria de

tensao V ligada em serie com um resistor R e

indutor L. Escreva as equacoes de movimento

para o sistema.

Figura 7.5: Um circuito RL ligado a uma ba-

teria V .

Solucao: Vamos escolher a carga eletrica q

como sendo a variavel dinamica (a coordenada

generalizada). O indutor atua como o termo

da energia cinetica ja que o efeito indutivo so

depende da taxa de variacao da mudanca da

carga no tempo, ou seja, UL = 12Lq2. O re-

sistor fornece um termo dissipativo e a energia

potencial e −qV 16. Os termos dinamicos na

equacao de Lagrange com dissipacao sao

T =1

2Lq2, F =

1

2Rq2

e a energia potencial e qV . Portanto a lagran-

geana do sistema e

L =1

2Lq2 + qV

e a equacao de Lagrange com dissipacao e

d

dt

(∂L

∂q

)− ∂L

∂q+∂F∂q

= 0

16Esta e a energia potencial que a fonte fornece auma carga positiva. O campo eletrico entre os doispolos da fonte realiza um trabalho negativo ao levar-mos uma carga positiva do polo negativo ao positivo,portanto a variacao da energia potencial foi positiva,pois dW = −dU , entretanto a fonte realiza um traba-lho que e contrario ao do campo, logo a variacao daenergia potencial deve ser negativa.

Assim a equacao de movimento e dada por

V = Lq +Rq = LI +RI

onde I = q e a corrente eletrica. Uma solucao

para a bateria conectada ao circuito no ins-

tante t = 0 e

I(t) = I0(1− e−Rt/L

),

onde I0 = V/R e a corrente estacionaria final.

Exemplo 85 O analogo mecanico do exemplo

anterior e uma esfera de raio a e massa efetiva

mef caindo em um fluido viscoso de densidade

constante e viscosidade η sobre a acao da forca

da gravidade. A massa efetiva e a diferenca

entre a massa real e a massa do fluido deslo-

cado. A direcao do movimento e ao longo do

eixo y.

Solucao: Para este sistema temos que

T =1

2mef y

2, F = 3πηay2,

e a energia potencial e V = mefgy. A forca de

resistencia Ff = −6πηay e chamada de lei de

Stokes. A lagrangeana e

L = T − V =1

2mef y

2 −mefgy.

A equacao de movimento e dada por

mefg = mef y + 6πηay.

Usando o fato de que v = y, a solucao (se o

movimento teve inıcio em t = 0), e

v = v0

(1− e−t/τ

)

onde τ = mef/(6πηa) e uma medida do tempo

que a esfera leva para atingir 1/e de sua velo-

cidade terminal v0 = mefg/6πηa.

Exemplo 86 Considere um capacitor C li-

gado em serie com um indutor L. Escreva as

equacoes de movimento para o sistema.


Figura 7.6: Um circuito LC.

Solucao: Vamos escolher a carga eletrica q

como sendo a variavel dinamica (a coordenada

generalizada). O indutor atua como o termo

da energia cinetica ja que o efeito indutivo so

depende da taxa de variacao da mudanca da

carga no tempo, ou seja, UL = 12Lq2. O capa-

citor atua como uma fonte de energia potencial

dada por UC = q2/2C onde q e a carga eletrica

armazenada no capacitor. A lagrangeana do

sistema e

L =1

2Lq2 − 1

2

q2

CAssim a equacao de movimento e dada por

Lq +1

Cq = 0

cuja a solucao e

q(t) = q0 cos(ω0t+ δ)

onde q0 e a carga armazenada no capacitor em

t = 0, e supondo que nenhuma carga flui em

t = 0, encontramos que δ = 0. A quantidade

ω0 =1√LC

e a frequencia de oscilacao natural do sistema.

Exemplo 87 O analogo mecanico do exem-

plo anterior e um oscilador harmonico simples

descrito pela lagrangeana

L =1

2mx2 − 1

2kx2.

Solucao: Esta lagrangeana fornece as se-

guintes equacoes de movimento

mx+ kx = 0,

cuja a solucao e

x = x0 cos(ω0t+ δ) com ω0 =

√k

m.

Impondo que em t = 0 o sistema estava em

repouso encontramos que δ = 0.

Estes dois exemplos mostram que uma in-

dutancia e o analogo eletrico da massa. A re-

sistencia e o analogo eletrico de uma resistencia

do tipo da lei de Stokes, e o termo 1/C da ca-

pacitancia representa a constante da mola da

lei de Hooke.

Vimos que a lagrangeana e o princıpio de

Hamilton juntos formam um modo compacto e

invariante de obtermos as equacoes mecanicas

de movimento. Esta possibilidade nao e reser-

vada somente para os sistemas mecanicos; em

quase todos os campos da fısica princıpios va-

riacionais podem ser usados para expressar as

equacoes de movimento, sejam elas as equacoes

de Newton, as equacoes de Maxwell, ou a

equacao de Schrodinger. Consequentemente,

quando um princıpio variacional e usado como

base da formulacao, todos estes campos irao

exibir, no mınimo em algum grau, uma analo-

gia estrutural. Quando os resultados dos expe-

rimentos mostram a necessidade de se alterar

o conteudo fısico na teoria de um desses cam-

pos, este grau de analogia tem servido como

indicador de quao similar aos outros campos

deverao ser feitas estas alteracoes. Portanto,

os experimento realizados no inıcio do seculo

XX mostram a necessidade de quantizar am-

bos o campo eletromagnetico de radiacao e as

partıculas elementares. Os metodos da quan-

tizacao, entretanto, foram primeiro desenvolvi-

dos para as partıculas mecanicas, tendo essen-

cialmente como ponto de partida a formulacao


lagrangeana da mecanica classica. Atraves da

descricao do campo eletromagnetico por uma

lagrangeana e do correspondente princıpio va-

riacional de Hamilton, e possıvel seguir os

metodos da quantizacao de partıculas para

construirmos uma eletrodinamica quantica.

Capıtulo 8

Leis de Conservacao e Propriedades de

Simetria

Ate o momento temos nos preocupado em

obter as equacoes de movimento, mas pouco

foi dito sobre como resolve-las para um pro-

blema particular uma vez que tenham sido ob-

tidas. Em geral, esta e uma questao da ma-

tematica. As equacoes de movimento para um

sistema de n graus de liberdade e um con-

junto de n equacoes diferenciais de segunda

ordem no tempo. A solucao de cada equacao

ira requerer de duas integracoes, resultando

em 2n constantes de integracao. Em um pro-

blema especıfico estas constantes serao deter-

minadas pelas condicoes iniciais, isto e, pe-

los valores iniciais dos nqj e dos nqj. Algu-

mas vezes as equacoes de movimento podem

ser integradas em termos de funcoes conhe-

cidas, mas nem sempre. Geralmente a maio-

ria dos problemas nao sao completamente in-

tegraveis, ou as contas sao muito longas e tedi-

osas. Entretanto, mesmo quando uma solucao

nao pode ser obtida, em muitos casos pode-se

extrair uma grande quantidade de informacoes

sobre a natureza fısica do movimento do sis-

tema das chamadas integrais primeiras do mo-

vimento. De fato, tais informacoes podem ser

mais interessantes ou mais importantes para os

fısicos do que a solucao completa do problema,

ou seja, obtermos as coordenadas generaliza-

das em funcao do tempo. E importante, ver

o quanto pode ser dito sobre o movimento de

um dado sistema sem requerer uma integracao

completa do problema.

Em muitos problemas pode-se obter ime-

diatamente algumas integrais primeiras das

equacoes de movimento, isto por meio de

relacoes do tipo

df

dt= 0 ou f(q1, . . . , qn; q1, . . . , qn; t) = cte.

(8.1)

que sao equacoes diferenciais de primeira or-

dem. As integrais primeiras sao funcoes das

coordenadas generalizadas qi, das velocidades

generalizadas qi e os seus valores permanecem

constante durante o movimento do sistema, e

elas dependem somente das condicoes iniciais

do sistema. Estas integrais primeiras sao de

interesse porque elas nos fornecem algumas in-

formacoes a respeito do sistema fısico.

Exemplo 88 Um oscilador harmonico sim-

ples, cuja a equacao de movimento e x+ω2x =

0 tem como solucao x(t) = A sen(ωt+f), onde

A e a amplitude do movimento e f e a cons-

tante de fase. A constante de fase do oscilador

pode ser escrita da seguinte forma,

f(x, x, t) = arc. tgωx

x− ωt.

verifique que ela e uma constante de movi-

mento.

280


Solucao: Para simplificarmos um pouco,

vamos reescrever a expressao acima como,

tg θ =ωx

x, com θ = ωt+ f. (8.2)

assim,

d tg θ

dθ· dθdt

= ω − ωxx

x2(8.3)

mas como x = −ω2x, entao a equacao acima

pode ser reescrita como,

sec2 θ

[ω +

df

dt

]= ω ·

[1 +

(ωxx

)2]

sec2 θ

[ω +

df

dt

]= ω · (1 + tg2 θ

)

ω +df

dt= ω

df

dt= 0.

Como querıamos mostrar.

As leis da conservacao da energia, do mo-

mentum e do momentum angular que foram

deduzidas no formalismo da mecanica newtoni-

ana, sao integrais primeiras do movimento, de-

pendentes somente das coordenadas e das velo-

cidades e sendo determinadas pelas condicoes

iniciais do sistema. Estas leis de conservacao

podem ser deduzidas do formalismo lagrange-

ano em uma forma mais geral e mais elegante.

Neste desenvolvimento, ficara clara a relacao

entre as leis de conservacao e as propriedades

de simetria do sistema. Esta associacao com as

simetrias do sistema vai alem das leis de con-

servacao, e vai alem dos sistemas classicos, e

encontram uma grande aplicacao na fısica mo-

derna – especialmente nas teorias de campo e

fısica de partıculas. Portanto, o estudo das si-

metrias e o seu uso na compreensao das leis da

natureza e muito importante.

8.1 Momentum Generali-

zado

Antes de avancarmos, vamos fazer uma analise

do conceito de momentum, e como ele esta in-

cluso no formalismo lagrangeano. Para tal,

consideremos por exemplo um sistema cons-

tituıdo por N partıculas de massas pontuais

sobre a influencia de forcas derivadas de um

potencial que depende somente da posicao.

Entao a sua lagrangeana e dada por

L =∑

i

1

2mi(x

2i + y2

i + z2i )− U(r1, . . . , rn).

(8.4)

entao, neste caso temos que,

∂L

∂xi

=∂T

∂xi

− ∂U

∂xi

=∂

∂xi

∑i

1

2mi(x

2i + y2

i + z2i )

= mixi = pix,

que e a componente x do momentum linear

associado com a i-esima partıcula. Este resul-

tado sugere uma extensao obvia do conceito do

momentum. Portanto, define-se o momentum

generalizado pi associado com a coordenada qi

e como

pi =∂L

∂qi. (8.5)

Os termos momentum canonico ou momentum

conjugado sao muitas vezes usados para o mo-

mentum generalizado pi definido pela eq. (8.5).

Note que se qi nao for uma coordenada cartesi-

ana, o momentum generalizado pi definido pela

eq. (8.5) nao necessariamente tera dimensao

de momentum linear. Alem disso, se existir

um potencial dependente da velocidade, entao,

mesmo que a coordenada generalizada qi asso-

ciada ao momentum generalizado pi seja uma

coordenada cartesiana, o momentum generali-

zado pi nao sera mais identico ao momentum

linear mecanico comum.


Exemplo 89 Considere um sistema cons-

tituıdo por N partıculas pontuais de carga Qi,

na presenca de um campo eletromagnetico,

cuja a lagrangeana e

L =N∑i

1

2mir

2i −

N∑i

Qiφ(ri)+N∑i

QiA(ri) · ri.

(8.6)

Determine o momentum generalizado associ-

ado a coordenadas coordenada cartesiana xi.

Solucao: Da definicao de momentum gene-

ralizado, temos

pix =∂L

∂xi

= mixi +QiAx, (8.7)

que e o momentum linear mecanico comum

mais um termo adicional.

Se pi e o momentum generalizado associ-

ado a coordenada qi da lagrangeana L(q, q, t),

entao qual sera a relacao entre o momentum

pi e o momentum p′i associado a lagrangeana

L′(q, q, t), a qual esta relacionada a L(q, q, t)

por:

L′(q, q, t) = L(q, q, t) +d

dtF (q, t),

em que

d

dtF (q, t) =

∑i

∂F

∂qiqi +

∂F

∂t.

Da definicao de momentum generalizado te-

mos que:

p′i =∂L′

∂qi

=∂L

∂qi+

∂

∂qi

(dF

dt

)

= pi +∂F

∂qi.

Aqui, o momentum p′i esta relacionado com o

pi por uma derivada de F em relacao a coorde-

nada generalizada qi, e neste caso, esta relacao

e conhecida como uma transformacao de cali-

bre ou transformacao de gauge.

8.2 Coordenadas Cıclicas

Agora examinaremos as integrais primeiras de

movimento associadas com as chamadas co-

ordenadas cıclicas. Aquelas coordenadas que

nao aparecem explicitamente na lagrangeana

de um sistema sao chamadas de coordenadas

cıclicas ou coordenadas ignoraveis. Cuidado

com esta definicao pois ela nao e universal-

mente usada. Se qi e uma coordenada cıclica,

entao a lagrangeana L do sistema tera a se-

guinte forma

L = L(q1, . . . , qi−1, qi+1, . . . , qn; q1, . . . , qn; t)

(8.8)

portanto, temos que

∂L

∂qi= 0. (8.9)

Desta forma a equacao de movimento de La-

grange ,d

dt

∂L

∂qj− ∂L

∂qj= 0 (8.10)

reduz-se para a coordenada cıclica qi a

d

dt

∂L

∂qi= 0, (8.11)

ou,dpi

dt= 0, (8.12)

o que significa que o

pi = αi = cte. (8.13)

O momentum generalizado pi conjugado a co-

ordenada cıclica qi e uma constante de mo-

vimento, ou seja, e uma integral primeira do

movimento que e determinada pelas condicoes

iniciais do sistema. Portanto, encontramos um

teorema geral de conservacao para o momen-

tum generalizado pi conjugado a coordenada

cıclica qi e uma constante de movimento.

Note que a deducao da eq. (8.13) assume

que qi e uma coordenada generalizada, isto e,


ela e linearmente independente de todas as ou-

tras coordenadas. Quando existem equacoes

de vınculo, nem todas as coordenadas serao

linearmente independentes umas das outras.

Por exemplo, a coordenada angular θ nao esta

presente na lagrangeana de um aro rolando sem

deslizar em um plano inclinado, discutido ante-

riormente, mas o angulo aparece nas equacoes

de vınculo rdθ = dx. Como consequencia, o

momentum angular pθ = mr2θ, nao e mais

uma constante de movimento.

A eq. (8.13) constitue uma integral pri-

meira da forma da eq. (8.1) para as equacoes

de movimento. Formalmente, ela pode ser

usada para eliminar a coordenada cıclica do

problema, o qual podera ser resolvido comple-

tamente em termos das coordenadas generali-

zadas restantes. Rapidamente, o procedimento

idealizado por Routh, consiste em modificar a

lagrangeana para que ela nao seja mais uma

funcao da velocidade generalizada associada

coordenada cıclica, mas em vez disso, que ela

seja uma funcao do seu momentum generali-

zado.

Note que as condicoes para a conservacao

dos momenta generalizados e mais geral do que

os teoremas de conservacao do momentum li-

near e do momentum angular. De fato, os dois

ultimos teoremas estao contidos no teorema ge-

ral da conservacao dos momenta generalizados.

Por exemplo, elas fornecem um teorema de

conservacao para um caso no qual a lei de acao

e reacao e violada, isto e, quando forcas eletro-

magneticas estao presentes. Contudo, ainda e

verdade que os teoremas de conservacao do mo-

mentum linear e angular estao contidos dentro

do teorema geral para conservacao do momen-

tum generalizado em termos das coordenadas

cıclicas, que com as restricoes proprias reduz-se

aos outros dois teoremas de conservacao.

Exemplo 90 Considere um sistema cons-

tituıdo por uma partıcula pontual de carga

Q, na presenca de um campo eletromagnetico,

cuja a lagrangeana e

L =1

2mr2 −Qφ(y, z) +QA(y, z) · ri. (8.14)

Determine o momentum generalizado associ-

ado a coordenadas coordenada cartesiana x.

Observe que a coordenada x e cıclica, pois nao

aparece explicitamente na lagrangeana.

Solucao: Da definicao de momentum gene-

ralizado, temos

pix =∂L

∂x= mx+QAx = cte., (8.15)

Neste caso nao e mais o momentum linear

mecanico comum mx que e conservado, mais

vez disso e ele mais o termo adicional QAx que

e conservado.


massa m movimentando-se no espaco sobre a

acao de uma forca central, cujo potencial asso-

ciado e U(r). Encontre as integrais primeiras

do movimento.

Solucao: Em coordenadas esfericas a la-

grangeana do sistema e dada por:

L =1

2m(r2 + r2θ2 + r2 sen2 θφ2)− U(r).

As coordenadas esfericas (as nossas coordena-

das generalizadas) sao (r, θ, φ), entretanto a

coordenada φ nao aparece explicitamente na la-

grangeana acima, logo ela e uma coordenada

cıclica, e portanto, o momentum generalizado

conjugado a ela pφ e uma integral primeira do

movimento, ou seja, ele e uma constante de

movimento. Assim,

pφ =∂L

∂φ= mr2 sen2 θφ = cte.

E facil verificar que pφ e a componente Lz do

momentum angular da partıcula. Esta veri-

ficacao e deixada como um exercıcio para o es-

tudante.


Exemplo 92 Considere um pendulo de massa

m que oscila suspenso por um ponto o qual des-

liza sem atrito com uma velocidade constante

V. Encontre as integrais primeiras do movi-

mento.

Figura 8.1: Pendulo preso a um suporte que

desliza sem atrito com uma velocidade cons-

tante.

Solucao: As coordenadas cartesianas da

massa m em relacao ao sistema de referencia

inercial sao:

x = X + ` sen θ

y = ` cos θ

Portanto, como coordenadas generalizadas va-

mos usar (X, θ). As velocidades em coordena-

das cartesianas sao,

x = V + `θ cos θ

y = −`θ sen θ

Portanto, a lagrangeana do sistema e dada por:

L =m

2

[(V + `θ cos θ)2 + `2θ2 sen2 θ

]+mg` cos θ

=1

2m

(V 2 + `2θ2 + 2V `θ cos θ

)+mg` cos θ

Como a coordenada X nao aparece explicita-

mente na lagrangeana acima, logo ela e uma

coordenada cıclica, e portanto, o momentum

generalizado conjugado a ela pX e uma inte-

gral primeira do movimento, ou seja, ele e uma

constante de movimento. Assim,

pX =∂L

∂V= mV +m`θ cos θ = cte.

e a componente x do momentum linear da

partıcula oscilante de massa m.

Exemplo 93 Seja qj uma coordenada que nao

aparece explicitamente na lagrangeana L do

sistema e se uma mudanca δqj em qj corres-

ponde simplesmente a uma translacao do sis-

tema ao longo de uma direcao qualquer n,

com n sendo um vetor unitario ao longo desta

direcao. Portanto, um deslocamento infinitesi-

mal ao longo desta direcao e dado por, dqjn =

ri(qj + dqj)− ri(qj), ou seja,

∂ri

∂qj= lim

dqj→0

ri(qj + dqj)− ri(qj)

dqj=dqjdqj

n = n,

Como,

∂L

∂qj= 0 =⇒ ∂L

∂qj= cte.

entao

∂L

∂qj=

∑i

mi

(ri∂ri

∂qj

)=

∑i

mi

(ri∂ri

∂qj

)

=∑

i

mi (ri · n)

= P · n.

Observe que a regra do corta ponto foi usada,

ou seja, que∂ri

∂qi=∂ri

∂qi.

A equacao anterior, implica que o momentum

linear total do sistema ao longo da direcao n e

uma constante de movimento.

A ausencia de uma certa coordenada pode

ser interpretada como uma propriedade de si-

metria da lagrangeana. De fato, se qi for uma


coordenada cıclica, entao qualquer alteracao

do seu valor nao ira modificar a lagrangeana,

ou seja, a lagrangeana e invariante sobre o

deslocamento (translacao) de uma coordenada

cıclica. Entretanto o deslocamento de posicao

de uma coordenada cıclica corresponde a uma

translacao, enquanto o deslocamento angular

corresponde a uma rotacao. No exemplo ante-

rior, a conservacao do momentum linear e con-

sequencia da invariancia da lagrangeana frente

a translacoes ao longo da direcao n. Estas ob-

servacoes sugerem a existencia de uma conexao

geral entre as simetrias da lagrangeana sob

translacoes e rotacoes e as leis de conservacao

do momentum linear e do momentum angular.

Muitas das regularidades observadas na

fısica podem ser expressas como leis de con-

servacao, cada uma destas regularidades de-

clara que a magnitude de alguma quantidade

fısica e uma constante de movimento. Destas

leis, as mais familiares sao a da conservacao

da energia e da conservacao do momentum,

as quais sao validas universalmente em toda

a fısica, tanto na mecanica classica quanto na

mecanica quantica. As leis de conservacao

do momentum angular e a da conservacao da

carga eletrica tambem sao igualmente univer-

sais. Devido ao carater universal destas leis,

somos induzidos a pensar que estes princıpios

gerais de conservacao, que estao entre as leis

fısicas mais fundamentais, estao relacionados

com propriedades muito mais gerais dos siste-

mas fısicos. Agora a questao que fica e: que

propriedades gerais dos sistemas fısicos nos le-

vam as leis de conservacao?

Sempre que vamos resolver um problema,

buscamos inicialmente as simetrias do pro-

blema, para escolhermos o melhor conjunto

de coordenadas generalizadas para o mesmo.

Apos uma analise mais profunda, percebemos

que as simetrias desempenham um papel fun-

damental na fısica, e o conhecimento de de-

terminadas simetrias em um problema, muitas

vezes pode simplificar em muito a solucao do

mesmo. Ao usarmos a lei de Gauss para resol-

vermos problemas de eletromagnetismo ou de

gravitacao, estamos explorando as simetrias do

problema. Dessa forma, as propriedades gerais

dos sistemas fısicos que estamos buscando de-

vem ser as simetrias dos mesmos.

E isto e o que realmente ocorre: todas

estas leis de conservacao estao relacionadas

com alguma propriedade de simetria do sis-

tema fısico. Diz-se que um sistema fısico

tem uma determinada propriedade de sime-

tria quando ele nao se altera ao efetuarmos

nele uma operacao correspondente a essa si-

metria. Assim, por exemplo, uma esfera tem

simetria de rotacao em torno de um de seus

diametros, porque nao se altera se efetuarmos

uma rotacao de um angulo arbitrario em torno

de um diametro.

8.3 Translacoes e Rotacoes

Infinitesimais

Considere a seguinte transformacao infinitesi-

mal,

ri −→ r′i = ri + δri,

vi −→ v′i = vi + δvi,(8.16)

com δri e δvi sendo os deslocamentos infinitesi-

mais das posicoes e velocidades de um sistema

de N partıculas. Seja

L = L(r1, . . . , rN ; r1, . . . , rN ; t) ≡ L(r,v, t)

(8.17)

a lagrangeana do sistema. A variacao de

L(r,v, t) sob a transformacao (8.16) e definida


por

δL = L(r′,v′, t)− L(r,v, t)

=∑

i

(∂L

∂ri

· δri +∂L

∂vi

· δvi

)(8.18)

na qual usou-se a seguinte notacao

∂L

∂ri

=∂L

∂xi

i +∂L

∂yi

j +∂L

∂zi

k, (8.19)

com definicao analoga para ∂L/∂vi.

8.3.1 Translacao

Uma translacao rıgida do sistema de partıculas

consiste num mesmo deslocamento δr de to-

das as partıculas do sistema de tal modo que

as posicoes relativas das mesmas permanecam

inalteradas, bem como suas velocidades. Neste

caso, as eqs. (8.16) sao validas, e neste caso

δri 6= 0 e δvi = 0 (8.20)

Na figura abaixo ilustramos uma translacao

rıgida do sistema. Observe que todas as

partıculas sofrem o mesmo deslocamento, ou

seja, que δri = δr 6= 0.

Figura 8.2: Translacao espacial rıgida de um

sistema de N de partıculas de diferentes mas-

sas mi e velocidades vi.

8.3.2 Rotacao

Uma rotacao rıgida infinitesimal do sistema de

partıculas consiste numa rotacao de todos os

vetores do sistema de um mesmo angulo δθ em

torno do eixo definido pelo vetor unitario n.

Observe da figura que

|δri| = ri senφ δθ

entao ele pode ser escrito como

δri = δθ × ri

δvi = δθ × vi

(8.21)

Figura 8.3: Rotacao infinitesimal em torno de

eixo dado pelo vetor unitario n. Esta e uma

rotacao espacial rıgida de um sistema de N de

partıculas de diferentes massas mi e velocida-

des vi.

Portanto, uma grandeza vetorial qualquer A

sobre uma rotacao espacial rıgida infinitesimal

δθ ira se transformar de acordo com

δA = δθ ×A. (8.22)


8.4 Teoremas de Con-

servacao

A fim de formular os resultados numa forma

suficientemente geral, suponha que o sistema

descrito pela lagrangeana (8.18) esteja sujeito

a m vınculos holonomos,

fi(r1, . . . , rN , t) = 0 i = 1, 2, . . . ,m. (8.23)

8.4.1 Homogeneidade Espacial e

Conservacao do Momen-

tum

Teorema 2 Para um sistema mecanico des-

crito pela lagrangeana L = T − U , onde U e

um potencial independente das velocidades, Se

a lagrangeana e os vınculos (8.23) sao invari-

antes sob uma translacao espacial rıgida e ar-

bitraria, entao o momentum generalizado total

do sistema e conservado.

Demonstracao: A simetria associada a

uma translacao espacial e a homogeneidade es-

pacial.

Figura 8.4: Translacao de um ponto P de

δri, na qual as propriedades das vizinhas deste

ponto nao se alteram.

Quando as propriedades das vizinhas de um

dado ponto P do espaco nao se alteram apos

uma translacao, diz-se que o espaco e ho-

mogeneo.

Portanto, a homogeneidade do espaco sugere

imediatamente que as propriedades mecanicas

de um sistema fechado permanecem inaltera-

das em uma translacao rıgida qualquer de todo

o sistema no espaco. Em outras palavras, a la-

grangeana de um sistema fechado e invariante

translacionalmente.

Devido ao princıpio de Hamilton para siste-

mas com vınculos, considere a lagrangeana

L = L(r,v, t) +m∑

i=1

λifi(r, t), (8.24)

a qual fornece de uma so vez as equacoes de

movimento e as equacoes de vınculo. Uma vez

que L e as equacoes de vınculo sao invarian-

tes sob translacoes arbitrarias, L tambem o

e. Em particular, L e invariante sob qualquer

translacao infinitesimal, de onde

δL =N∑

i=1

∂L∂ri

· δri (8.25)

como δri e um deslocamento arbitrario, temos

entao que

δri ·N∑

i=1

∂L∂ri

= 0. (8.26)

Mas como,∂L∂vi

= pi (8.27)

em que pi e o momentum generalizado, que

neste caso e igual ao momentum linear da i-

esima partıcula. As equacoes de Lagrange po-

dem ser escritas como

∂L∂ri

=d

dt

(∂L∂ri

)=dpi

dt. (8.28)

Portanto, das eqs. (8.26) e (8.28), podemos

concluir que

d

dt

[δri ·

N∑i=1

pi

]≡ d

dt(δri ·P) = 0 (8.29)


o que mostra que a componente do momen-

tum generalizado total P =∑N

i=1 pi ao longo

da direcao do deslocamento arbitrario δri e

conservada, ou seja, e uma constante de mo-

vimento. Escolhendo sucessivamente δri =

i, j, k, conclui-se que Px, Py e Pz sao constan-

tes de movimento, isto e, o vetor momentum

generalizado total do sistema e conservado.

Esta e uma lei de conservacao do momentum

generalizado, obtida como consequencia da si-

metria por translacao espacial do sistema (ho-

mogeneidade espacial =⇒ conservacao do mo-

mentum generalizado).

8.5 Isotropia Espacial e

Conservacao do Mo-

mentum Angular

Teorema 3 Para um sistema mecanico des-

crito pela lagrangeana L = T − U , onde U e

um potencial independente das velocidades, Se

a lagrangeana e os vınculos (8.23) sao inva-

riantes sob uma rotacao espacial rıgida e ar-

bitraria, entao o momentum angular total do

sistema e conservado.

O espaco ser isotropico significa que as pro-

priedades mecanicas de um sistema fechado

nao variam em uma rotacao qualquer do sis-

tema como um todo. Em outras palavras sig-

nifica que nao ha direcoes preferenciais no

espaco.

Considere um sistema fechado que e subme-

tido a uma rotacao rıgida em torno de um eixo

qualquer, dado pelo vetor unitario n, conforme

mostra a figura 8.3. Se o espaco for isotropico

as propriedades mecanicas do sistema nao irao

se alterar e portanto, a sua lagrangeana deve

ser invariante, assim a variacao da lagrangeana

e

δL =∑

i

(∂L∂ri

· δri +∂L∂vi

· δvi

)

na qual δri e o deslocamento de uma partıcula

na posicao ri devido a uma rotacao infinitesi-

mal δθn. Na rotacao os vetores δri e δvi sao

dados pela eq. (8.21), assim a variacao da la-

grangeana pode ser escrita como

δL =∑

i

[∂L∂ri

· (δθ × ri) +∂L∂vi

· (δθ × vi)

]

entretanto, como

pi =∂L∂ri

e pi =∂L∂vi

(8.30)

entao, teremos que

δL =∑

i

[pi · (δθ × ri) + pi · (δθ × vi)]

(8.31)

Da expressao acima, temos um produto

misto, que satisfaz a seguinte propriedades:

A · (B×C) = C · (A×B) = B · (C×A) .

(8.32)

Usando esta propriedade vetorial, a eq. (8.31)

pode ser reescrita como

δL =∑

i

[δθ · (ri × pi) + δθ · (ri × pi)]

= δθ · ddt

[∑i

(ri × pi)

]

Como no caso das coordenadas cartesianas em

que nao temos um potencial dependente das

velocidades o momentum generalizado pi e

igual ao momentum linear e portanto o termo

ri × pi e o momentum angular `i da i-esima

partıcula. Assim,

δL =d

dt[δθ · L] = 0. (8.33)

Aqui, L e o momentum angular total do sis-

tema. Portanto, do resultado anterior, pode-se

concluir que o momentum angular total L ao


longo da direcao δθ e uma constante de movi-

mento. Devido a arbitrariedade de δθ, temos

entao a conservacao do momentum angular to-

tal.

Em sıntese esta lei de conservacao do mo-

mentum angular, foi obtida como consequencia

da simetria por rotacao espacial do sistema

(isotropia espacial =⇒ conservacao do momen-

tum angular).

Os dois ultimos resultados aplicam-se a sis-

temas de partıculas isoladas e tambem a sis-

temas de corpos rıgidos isolados porque, nes-

tes casos, os vınculos de rigidez – distancia

fixa entre todos os pares de partıculas (corpos)

do sistema –sao obviamente preservadas por

translacoes e rotacoes. E importante ressaltar

ainda que um dado sistema pode ser dotado de

simetria parcial sob rotacoes ou translacoes, o

que acarreta na conservacao de algumas com-

ponentes de P e de L, mas nao de todas. A

energia cinetica e invariante sob translacoes e

rotacoes arbitrarias, de modo que a invariancia

da lagrangeana e determinada pelas simetrias

do potencial. Considere por exemplo, uma

partıcula movendo-se no potencial gravitacio-

nal de um plano homogeneo infinito. O po-

tencial e claramente invariante sob translacoes

paralelas ao plano e sob rotacoes em torno de

um eixo perpendicular ao plano (que chamare-

mos de eixo z). Consequentemente a lagrange-

ana e invariante sob translacoes ao longo das

direcoes x e y, e sob rotacoes em torno do eixo

z. Assim, px, py e Lz sao quantidades conser-

vadas.

As eqs. (8.29) e (8.33) mostram que para

um sistema isolado, portanto, invariante sob

translacoes e rotacoes, a soma das forcas inter-

nas e dos torques internos e zero. E notavel que

a simetria sob translacoes e rotacoes garanta a

conservacao do momentum generalizado total

e do momentum angular total, sem a necessi-

dade de invocar a terceira lei de Newton, nem

mesmo em sua forma fraca.


massa m movendo-se com uma velocidade v

em campo uniforme ao longo do eixo z. De-

termine as quantidades conservadas

Solucao: Devido a simetria do problema,

como coordenadas generalizadas vamos usar as

coordenadas cilındricas. Assim a posicao da

partıcula e dada por

r = ρρ+ zk. (8.34)

O vetores unitarios em coordenadas cilındricas

e cartesianas estao relacionados por

ρ = cos θi + sen θj

θ = − sen θi + cos θj

Portanto,

dρ

dt= θθ e

dθ

dt= −θρ (8.35)

Logo a velocidade em coordenadas cilındricas e

v =dr

dt=d(ρρ)

dt+ zk

= ρρ+ ρθθ + zk

A lagrangeana e portanto dada por,

L =1

2m

(ρ2 + ρ2θ2 + z2

)− U(z). (8.36)

Como F = Fzk = −∇U(z), entao o torque e

dado por N = r×F = Nxi+Ny j, com Nz = 0.

Nesse caso como Nz = 0, entao Lz = cte. As

componentes px e py do momentum sao cons-

tantes do movimento. Observe ainda que a

componente Lz do momentum angular e dada

por Lz = m(xy − yx) e as coordenadas carte-

sianas podem ser escritas em termos das coor-

denadas cilındricas como

x = ρ cos θ e y = ρ sen θ (8.37)


e as velocidades sao dadas por,

x = ρ cos θ − ρθ sen θ

y = ρ sen θ + ρθ cos θ.

Portanto, em coordenadas cilındricas a com-

ponente Lz do momentum angular e dada por

Lz = mρ2θ.

Com a lagrangeana em coordenadas

cilındricas obtem-se as componentes do

momentum generalizado em cada uma das

direcoes das coordenadas. Para a coordenada

z tem-se que,

pz =∂L

∂z= mz;

∂L

∂z= −dU

dz= Fz (8.38)

enquanto que para a coordenada θ temos

∂L

∂θ= 0; pθ =

∂L

∂θ= mρ2θ = cte. (8.39)

e para a coordenada ρ

∂L

∂ρ= mρθ2; pρ =

∂L

∂ρ= mρ (8.40)

Observe, que a quantidade conservada e o

momentum generalizado pθ = mρ2θ = cte.,

que e a componente z do momentum angular.


massa m movendo-se com uma velocidade v

na superfıcie de um paraboloide de revolucao,

na presenca de um campo uniforme ao longo

do eixo z. Determine as quantidades conser-

vadas.

Solucao: A partıcula move-se sobre a su-

perfıcie cuja a equacao e dada por x2 + y2 =

az2. Devido a simetria do problema, como co-

ordenadas generalizadas vamos usar as coorde-

nadas cilındricas e portanto a lagrangeana do

problema e dada por,

L =1

2m

(ρ2 + ρ2θ2 + z2

)− U(z). (8.41)

Nas coordenadas cilındricas, usamos a la-

grangeana para obtermos as componentes do

Figura 8.5: Paraboloide de revolucao: x2 +

y2 = az2

momentum generalizado em cada uma das

direcoes. Para a coordenada z que,

pz =∂L

∂z= mz;

∂L

∂z= −dU

dz= Fz (8.42)

enquanto que para a coordenada θ temos

∂L

∂θ= 0; pθ =

∂L

∂θ= mρ2θ = cte. (8.43)

e para a coordenada ρ

∂L

∂ρ= mρθ2; pρ =

∂L

∂ρ= mρ (8.44)

Como o torque e dado por,

N = r× F =dL

dt(8.45)

F = Fzk = −∇U(z), entao o torque e dado por

N = r × F = Nxi + Ny j, com Nz = 0. Nesse

caso como Nz = 0, entao Lz = cte. Observe

ainda que a componente Lz do momentum an-

gular e dada por Lz = m(xy − yx) que em

coordenadas cilındricas e dada por Lz = mρ2θ.


A forca generalizada e dada por, Qj =

−∂U/∂qj, logo temos que

Qρ = −∂U∂ρ

= 0;

Qθ = −∂U∂θ

= 0;

Qz = −∂U∂z

= Fz

Em coordenadas cilındricas temos que r =

ρρ + zk e F = −mgk, portanto, o torque e

dado por N = mgρθ. Ja o momentum angular

pode ser escrito como,

L = Lρρ+ Lθθ + Lzk. (8.46)

Entretanto, temos que

N =dL

dt=⇒ dL

dt= mgρθ, (8.47)

de onde pode-se concluir que,

d

dt

(Lρρ+ Lθθ

)= mgρθ e

dLz

dt= 0.

(8.48)

Portanto, a componente Lz do momentum an-

gular e conservada, ou seja, Lz = cte.. Como

dρ/dt = θθ e dθ/dt = −θρ, logo temos as se-

guintes relacoes entre as componentes do mo-

mentum angular

Lρ

dt− Lθθ = 0,

Lρθ +Lθ

dt= mgρ,

Lz = m(xy − yx) = mρ2θ = cte.

Observe, que a quantidade conservada e o

momentum generalizado pθ = mρ2θ = cte.,

que e a componente z do momentum angular.

8.6 Uniformidade Tempo-

ral e Conservacao da

Energia

Viu-se ate agora, que a formulacao lagrange-

ana da mecanica contem a conservacao do mo-

mentum linear e do momentum angular asso-

ciadas as simetrias de translacao e rotacao es-

pacial, portanto, pode-se esperar que ela con-

tenha tambem a conservacao da energia para

sistemas cujas forcas sejam derivadas de po-

tenciais dependentes apenas das posicoes das

partıculas. A questao agora e que a simetria

envolvida na conservacao da energia e a homo-

geneidade do tempo.

Homogeneidade do Tempo: As leis da

natureza devem ser invariantes sob uma

translacao temporal para sistemas fechados

(isolados), isto e, no instante t elas tem a

mesma forma do instante t + ∆t. Isto e ex-

presso matematicamente pelo fato de que a la-

grangeana nao deve depender explicitamente

do tempo.

Figura 8.6: Translacao temporal de um sis-

tema com um numero N de partıculas de dife-

rentes massas mi e velocidades vi.

No caso do sistema ilustrado pela Fig. 8.6,

ele e simetrico diante de uma translacao tem-

poral. Transladar o sistema, como um todo,

no tempo, equivale a repetir a experiencia em

um outro instante t+ ∆t, tomando as mesmas

condicoes iniciais em instantes diferentes.

No caso das translacoes e das rotacoes, o uso

das coordenadas cartesianas se mostrou mais

util, devido as definicoes de momentum linear

e momentum angular, entretanto, aqui fare-

mos uso das coordenadas generalizadas q e das


velocidades generalizadas q e de uma funcao

lagrangeana geral L(q, q, t). A dependencia

temporal explicita da lagrangeana pode vir

de potenciais que dependam do tempo ou de

vınculos dependentes do tempo. Supondo que

o sistema seja holonomo, entao as coordenadas

generalizadas sao todas independentes entre-si,

portanto, a derivada total de L com o tempo e

dL

dt=

∑i

(∂L

∂qiqi +

∂L

∂qiqi

)+∂L

∂t(8.49)

Das equacoes de Lagrange,

∂L

∂qi=

d

dt

(∂L

∂qi

), (8.50)

entao a eq. (8.49) pode ser reescrita como,

dL

dt=

∑i

[d

dt

(∂L

∂qi

)qi +

∂L

∂qi

dqidt

]+∂L

∂t

(8.51)

ou ainda,

dL

dt=

∑i

d

dt

(∂L

∂qiqi

)+∂L

∂t(8.52)

e portanto, tem-se que

d

dt

(∑i

∂L

∂qiqi − L

)+∂L

∂t= 0. (8.53)

A quantidade entre parenteses e chamada de

funcao energia e ira ser denotada por:

h(q1, . . . , qn; q1, . . . , qn; t) ≡∑

i

∂L

∂qiqi − L

(8.54)

e a eq. (8.53) pode ser reescrita em termos de

h comodh

dt= −∂L

∂t. (8.55)

Se a lagrangeana nao depender explicitamente

do tempo, isto e, se t nao aparece em L expli-

citamente mas somente implicitamente atraves

da variacao com o tempo de q e q, entao a eq.

(8.55) diz que h e conservada. Esta e uma in-

tegral primeira do movimento, e algumas vezes

referida como integral de Jacobi.

Note que a funcao energia h(q, q, t) tem o

seu valor identico ao da hamiltoniana H, en-

tretanto, da-se um nome diferente a ela, para

enfatizar o fato de que h e considerada uma

funcao de n varaveis independentes qj e de suas

derivadas no tempo qj e do proprio tempo, en-

quanto que a hamiltoniana sera tratada como

uma funcao de 2n variaveis independentes qj e

pj e possivelmente do tempo.

Sobre certas circunstancias, a funcao h e a

energia total do sistema. Para determinarmos

que circunstancias sao essas, devemos lembrar

que a energia cinetica total de uma dado sis-

tema pode ser escrita como

T = T0 + T1 + T2 (8.56)

na qual, T0 = T0(q) e uma funcao das coorde-

nadas generalizadas somente, T1 = T1(q, q) e

uma funcao linear das velocidades generaliza-

das e T2 = T2(q, q) e uma funcao quadratica

das velocidades generalizadas q. Para uma

grande variedade de sistemas mecanicos e de

coordenadas generalizadas, a lagrangeana L

pode ser decomposta similarmente a energia

cinetica em termos da forma funcional com as

velocidades generalizadas, como:

L(q, q, t) = L0(q, t) + L1(q, q, t) + L2(q, q, t).

(8.57)

Aqui L2(q, q, t) e uma funcao homogenea de se-

gundo grau (nao meramente quadratica) em q,

enquanto L1(q, q, t) e uma funcao homogenea

de primeiro grau em q. Nao existe uma razao

intrınseca para a mecanica requerer uma la-

grangeana conforme a eq. (8.57), mas de fato

ela tem esta forma para a maioria dos proble-

mas de interesse. A lagrangeana tem clara-

mente esta forma quando as forcas sao deri-

vadas de um potencial que nao envolve as ve-

locidades. Embora com potenciais dependen-

tes da velocidade, note que a lagrangeana para


uma partıcula carregada em um campo eletro-

magnetico, satisfaz a eq. (8.57). Agora deve-

mos lembrar do teorema de Euler, que diz que

se f e uma funcao homogenea de grau n nas

variaveis xi, entao

∑i

xi∂f

∂xi

= nf. (8.58)

Aplicando este teorema a funcao h, eq. (8.54),

para uma lagrangeana da forma de (8.57),

obtem-se que

h = 2L2+L1−L0−L1−L2 = L2−L0. (8.59)

Se a equacao de transformacao das coorde-

nadas cartesianas nas coordenadas generaliza-

das nao envolverem o tempo explicitamente,

ou seja, ri = ri(q1, . . . , qn), entao a energia

cinetica (8.57) sera T = T2. Se alem disso,

o potencial nao depender das velocidades ge-

neralizadas, entao L2 = T e L0 = −U , e entao

h = T + U = E, (8.60)

e a funcao energia e de fato a energia total

do sistema. Sobre estas circunstancias, se U

nao envolver o tempo explicitamente a lagran-

geana L tambem nao tera esta dependencia.

Portanto, pela eq. (8.55), h, que aqui e a ener-

gia total, sera conservada.

Note que as condicoes para a conservacao de

h sao em princıpio muito distintas daquelas que

identificam h com a energia total do sistema.

Pode-se ter um conjunto de coordenadas gene-

ralizadas para um problema em particular em

que h e conservada mas nao e a energia total

do sistema. Por outro lado, h pode ser a ener-

gia total na forma h = T + U , mas nao ser

conservada. Note tambem que se a lagrange-

ana e fixada unicamente para cada problema

pela prescricao

L = T − U (8.61)

independentemente da escolha das coordena-

das generalizadas, a funcao energia h ira de-

pender em magnitude e forma funcional do

conjunto especıfico de coordenadas generaliza-

das. Para um mesmo sistema, varias funcoes

energia h de diferentes conteudos fısicos podem

ser geradas dependendo de como sao escolhidas

as coordenadas generalizadas.

O caso mais comum que ocorre na mecanica

classica e aquele no qual os termos da energia

cinetica sao todos da formamiq2i /2 ou p2

i /2mi e

a energia potencial depende somente das coor-

denadas. Para estas condicoes, a funcao ener-

gia e ambas, conservada e igual a energia total

do sistema.

Finalmente, note que onde o sistema nao e

conservativo, mas existem forcas de atrito de-

rivadas de uma funcao de dissipacao F , pode-

se mostrar facilmente que F esta relacionada

com a taxa de decaimento de h. Quando in-

cluimos as forcas dissipativas, as equacoes de

movimento de Lagrange sao dadas por

∂L

∂qi=

d

dt

(∂L

∂qi

)+∂F∂qi

, (8.62)

e entao, a eq. (8.55) tera a seguinte forma

dh

dt+∂L

∂t=

∑i

∂F∂qi

qi. (8.63)

Mas pela definicao de F , ela e uma funcao ho-

mogenea em q de grau 2. Portanto, aplicando

o teorema de Euler novamente, obtem-se que

dh

dt= −2F − ∂L

∂t. (8.64)

Se L nao for uma funcao explicita do tempo, e

o sistema e tal que h e energia total do sistema,

entao a eq. (8.65) nos diz que 2F e a taxa na

qual a energia total do sistema e dissipada, ou

seja,dE

dt= −2F . (8.65)


Agora vamos fazer uma discussao mais geral.

As leis de conservacao da energia, momentum

linear e momentum angular sao consequencias

imediatas das propriedades gerais de simetria

do espaco e tempo. Estas leis tambem expli-

cam, como foi visto nas deducoes anteriores,

porque os seguintes pares de variaveis estao as-

sociadas umas com as outras:

(r,p), (θ,L), (t, E). (8.66)

Existem sete integrais (constantes) de mo-

vimento para um sistema fechado: a energia

total (1), momentum linear (3 componentes),

e momentum angular (3 componentes). Es-

tas e somente estas integrais de movimento sao

aditivas para as partıculas que compoem o sis-

tema, se existe ou nao uma interacao entre as

partıculas.

Deve ser notado que nas discussoes anteri-

ores da homogeneidade e isotropia do espaco,

comparou-se dois estados mecanicos de um sis-

tema, que diferem entre si por uma translacao

ou rotacao, de todo o sistema em um referen-

cial inercial. O mesmo resultado pode de fato,

ser deduzido consideradno o mesmo sistema

mecanico em dois diferentes referenciais iner-

ciais. Um deles tem a sua origem deslocada ou

um eixo girado um em relacao ao outro. A ho-

mogeneidade e a isotropia do espaco assegura

que os processos mecanicos sao os mesmos em

ambos os referenciais, e isto, conduz as leis de

conservacao do momentum linear e angular.

8.7 Invariancia de Escala

na Mecanica

A multiplicacao da funcao de Lagrange por um

fator constante qualquer, evidentemente nao

mudara as equacoes do movimento. Esta cir-

cunstancia (foi ressaltada no princıpio de Ha-

milton) da a possibilidade, em uma serie de

casos importantes, de fazer algumas conclusoes

essenciais sobre as propriedades do movimento,

sem integrar concretamente as equacoes do mo-

vimento.

A isto referem-se os casos, quando a ener-

gia potencial e uma funcao homogenea das co-

ordenadas, isto e, uma funcao que satisfaz a

condicao

U(αr1, αr2, . . . , αrN) = αkU(r1, r2, . . . , rN)

(8.67)

onde α e uma constante qualquer, e o numero

k e o grau de homogeneidade da funcao.

Realizamos a transformacao pela qual junta-

mente com a variacao de todas as coordenadas

em α vezes , varia simultaneamente em β ve-

zes) o tempo:

ri → αr′i; t→ βt′

Todas as velocidades vi = dri

dtvariam neste

caso em α/β vezes, e a energia cinetica em

α2/β2 vezes. A energia potencial multiplica-se

por αk. Se relacionarmos α e β pela condicao:

α2

β2= αk, isto e β = α1− k

2

entao, como resultado de tal transformacao, a

funcao de Lagrange, como um todo multiplica-

se por um fator constante αk, isto e,

as equacoes do movimento permanecem in-

variaveis.

A variacao de todas as coordenadas das

partıculas em um mesmo numero de vezes, cor-

responde a passagem de algumas trajetorias

a outras geometricamente semelhantes as pri-

meiras, e diferenciando-se delas somente pelas

suas dimensoes lineares. Deste modo, chega-

mos a conclusao seguinte: se a energia poten-

cial de um sistema e uma funcao homogenea

de k–grau das coordenadas (cartesianas), as

equacoes do movimento permitem somente as


trajetorias geometricamente semelhantes; os

tempos do movimento (entre os pontos cor-

respondentes das trajetorias), relacionam-se do

seguinte modo:

t′

t=

(`′

`

)1− k2

, (8.68)

onde `′/` e a relacao das dimensoes lineares

das duas trajetorias. Os valores de quaisquer

grandezas mecanicas nos pontos corresponden-

tes das trajetorias e nos instantes correspon-

dentes se determinam do mesmo modo que os

tempos pelas potencias da relacao `′/`. Assim,

para as velocidades, energia e momento tere-

mos:v′v

=(

`′`

) k2

E′E

=(

`′`

)k

L′L

=(

`′`

)1+ k2

(8.69)

Daremos alguns exemplos para ilustracao.

Como veremos mais adiante, no caso das pe-

quenas oscilacoes, a energia potencial e uma

funcao quadratica das coordenadas (k = 2).

A equacao (8.68) mostra que o perıodo destas

oscilacoes nao depende da sua amplitude.

Em um campo de forcas uniforme, a energia

potencial e uma funcao linear das coordenadas,

isto e, k = 1. De (8.68) teremos que:

t′

t=

√`′

`

Daqui deduzimos, por exemplo, que os qua-

drados dos tempos de queda dos corpos no

campo gravitacional relacionam-se como as al-

turas iniciais dos mesmos. No caso de atracao

newtoniana de duas massas, ou de interacao de

Coulomb entre duas cargas, a energia potencial

e inversamente proporcional a distancia entre

as partıculas, i.e., uma funcao homogenea de

grau k = −1. Nestes casos:

t′

t=

(`′

`

) 32

,

e podemos afirmar, por exemplo, que os qua-

drados dos tempos de rotacao dos corpos nas

orbitas sao proporcionais aos cubos de suas di-

mensoes (terceira lei de Kepler).

8.8 Teorema do Virial

Se o movimento do sistema, cuja energia po-

tencial e uma funcao homogenea das coordena-

das, ocorre em uma regiao limitada do espaco,

existe uma relacao muito simples entre os valo-

res medios em relacao ao tempo, das energias

potencial e cinetica; ela e conhecida como teo-

rema do virial.

Uma vez que a energia cinetica T e funcao

quadratica das velocidades, entao, pelo teo-

rema de Euler sobre as funcoes homogeneas:

∑i

∂T

∂vi

· vi = 2T

ou, introduzindo os momenta

pi =∂T

∂vi

2T =∑

i

pi ·vi =d

dt

(∑i

ri · pi

)−

∑i

vi · pi

(8.70)

Encontremos o valor medio desta igualdade

em relacao ao tempo. Valor medio de qualquer

funcao do tempo f(t) e dado por:

f = limτ→∞

1

τ

∫ τ

0

f(t)dt

Ve-se facilmente que, se f(t) e uma derivada

em relacao ao tempo f(t) = dFdt

, de uma funcao

limitada F (t), (isto e, que nao adquire valores

infinitos), entao, o valor medio da mesma se

anula. Realmente,

f = limτ→∞

1

τ

∫ τ

0

dF

dtdt = lim

τ→∞F (τ)− F (0)

τ= 0.


Suponhamos que o sistema realize o movi-

mento em uma regiao finita do espaco com ve-

locidades que nao tendem ao infinito. Entao, a

grandeza∑

i ri · pi e limitada e o valor medio

do primeiro termo do segundo membro a da

igualdade (8.70) anula-se. No segundo, subs-

tituımos pi, de acordo com as equacoes de

Newton por −∇iU e obteremos1:

2T =∑

i

ri∇iU (8.71)

Se a energia potencial e uma funcao ho-

mogenea de grau k de todos os raios vetores

ri, entao segundo o teorema de Euler, a igual-

dade (8.71) se reduz a relacao procurada

2T = kU . (8.72)

Como T + U = E = E, a relacao 8.72) pode

ser apresentada em formas equivalentes:

U =2

k + 2E, T =

k

k + 2E (8.73)

que exprimem U e T em funcao da energia total

do sistema.

Em particular, para pequenas oscilacoes

(k = 2), temos que:

T = U .

isto e, os valores medios das energias cinetica e

potencial coincidem. Para o caso de interacao

newtoniana temos (k = −1):

2T = −U .

Neste caso, E = −T devido a que para tal

interacao, o movimento ocorre em uma regiao

finita do espaco somente para uma energia to-

tal negativa.

1A expressao do segundo membro da igualdade(8.71), as vezes, denomina-se de virial do sistema.

8.9 Equacoes de Hamilton

A formulacao das leis da Mecanica mediante

a funcao de Lagrange (e das equacoes de La-

grange deduzidas da mesma), pressupoe a des-

cricao do estado mecanico de um sistema, se

forem dadas as coordenadas e as velocidades

generalizadas. Este metodo nao e o unico

possıvel. Uma serie de vantagens, em particu-

lar nas pesquisas de diferentes problemas gerais

da Mecanica, surgem da descricao com ajuda

das coordenadas e dos momenta generalizados

do sistema. Como resultado surge agora o pro-

blema de como determinar as equacoes do mo-

vimento, que correspondem a esta nova for-

mulacao da Mecanica.

A passagem de um conjunto de variaveis in-

dependentes a um outro pode ser feito me-

diante uma transformacao, conhecida na ma-

tematica sob o nome de transformacao de Le-

gendre. No caso dado, ela reduz-se ao seguinte.

A diferencial total da funcao de Lagrange

como funcao das coordenadas e velocidades e

igual a:

dL =∑

i

∂L

∂qidqi +

∑i

∂L

∂qidqi.

Esta expressao pode ser escrita na forma:

dL =∑

i

pidqi +∑

i

pidqi, (8.74)

porque as derivadas ∂L∂qi

sao, por definicao, os

momenta generalizados, e ∂L∂qi

= pi, as forcas

generalizadas das equacoes de Lagrange.

Escrevendo agora o segundo termo de (8.74)

na forma

∑i

pidqi = d

(∑i

piqi

)−

∑i

qidpi,

e colocando a diferencial total d (∑

i piqi), no

primeiro membro da igualdade e variando to-


dos os sinais, de (8.74) obtem-se:

d

(∑i

pidqi − L)

= −∑

i

pidqi +∑

i

qidqi.

A grandeza que esta sob o sinal de diferen-

cial representa a funcao energia h do sistema

e quando ela e expressa em funcao das coorde-

nadas e dos momentos, ela denomina-se funcao

de Hamilton do sistema

H (q, p, t) =∑

i

piqi − L. (8.75)

Da igualdade diferencial:

dH = −∑

i

pidqi +∑

i

qidqi, (8.76)

deduzem-se as equacoes:

qi =∂H

∂pi

, pi = −∂H∂qi

. (8.77)

Estas sao as equacoes do movimento procura-

das em relacao as variaveis p e q, denomina-

das de equacoes de Hamilton. Elas formam

um sistema de 2n equacoes diferenciais de pri-

meira ordem, para 2n funcoes incognitas p (t) e

q (t), que substituem as n equacoes de segunda

ordem do metodo de Lagrange. Em virtude

da simplicidade formal e da sua simetria, es-

tas equacoes denominam-se, tambem, equacoes

canonicas.

A derivada total com respeito ao tempo da

funcao de Hamilton e

dH

dt=∂H

∂t+

∑i

∂H

∂qiqi +

∑i

∂H

∂pi

pi.

Substituindo, aqui, qi e pi das equacoes (8.77)

os dois ultimos termos simplificam-se mutua-

mente de modo que:

dH

dt=∂H

∂t. (8.78)

Em caso particular, em que a funcao de Ha-

milton nao depende explicitamente do tempo,

dHdt

= 0, isto e, obtemos novamente a for-

mulacao da lei de conservacao da energia.

Juntamente com as variaveis dinamicas

(q, q) ou (q, p), as funcoes de Lagrange e de Ha-

milton contem diferentes parametros – grande-

zas, que caracterizam as propriedades do sis-

tema mecanico como tal, ou do campo externo,

que atua sobre o mesmo. Suponhamos que

λ e um destes parametros. Considerando-o

como uma grandeza variavel, temos em lugar

de (8.74):

dL =∑

i

pidqi +∑

i

pidqi +∂L

∂λdλ,

e a seguir, em lugar de (8.76) obteremos:

dH = −∑

i

pidqi +∑

i

qidpi − ∂L

∂λdλ.

Daqui determinamos a relacao

(∂H

∂λ

)

p,q

= −(∂L

∂λ

)

q,q

, (8.79)

que une as derivadas parciais, com respeito aos

parametros das funcoes de Lagrange e de Ha-

milton; os ındices das derivadas indicam que a

diferenciacao devera ser realizada em um caso

tendo p e q constantes e no outro tendo q e q

constantes.

Este resultado pode ser apresentado em ou-

tro aspecto. Suponhamos que a funcao de La-

grange tem a forma L = L0 +L′, onde L′ apre-

senta um pequeno acrescimo a funcao funda-

mental L0. Entao, o termo suplementar cor-

responde na funcao de Hamilton H = H0 +H ′

esta relacionado com L′ mediante:

(H ′)p,q = − (L′)q,q . (8.80)

Notemos que transformando(8.74) na (8.76)

nao escrevemos o termo com dt, que leva

em conta a possıvel dependencia explıcita da

funcao de Lagrange em relacao ao tempo; uma


vez, que o ultimo jogaria, no aspecto dado so-

mente o papel de um parametro, que nao tem

relacao com a transformacao realizada. Por

analogia com a formula (8.79), as derivadas

parciais com respeito ao tempo de L e de H

estao unidas pela relacao

(∂H

∂t

)

p,q

= −(∂L

∂t

)

q,q

. (8.81)

8.10 Problemas

1. Como se relacionam os tempos de movi-

mento de pontos por trajetorias identicas

com diferentes massas para uma mesma

energia potencial?

Resposta:

t′

t=

√m′

m

2. Como variam os tempos de movimento

por trajetorias identicas, devido a va-

riacao da energia potencial em um fator

constante?

Resposta:

t′

t=

√U

U ′

3. Determinar a expressao para as compo-

nentes cartesianas e para o valor absoluto

do momentum angular de uma partıcula

em coordenadas cilındricas r, ϕ, z.

Resposta:

Lx = m senϕ (rz − zr)−mrzϕ cosϕ,

Ly = m cosϕ (zr − rz)−mrzϕ senϕ,

Lz = mr2ϕ2,

L2 = m2r2ϕ2(r2 + z2

)+m2 (rz − zr)2 .

4. O mesmo problema em coordenadas

esfericas r, θ, ϕ.

Resposta:

Lx = −mr2(θ2 senϕ+ ϕ sen θ cos θ cosϕ

),

Ly = mr2(θ2 cosϕ− ϕ sen θ cos θ senϕ

)

Lz = mr2 sen2 θ · ϕ,L2 = m2r4

(θ2 + sen2 θ · ϕ2

).

5. Indicar as componentes do momentum P

e do momentum angular L que se conser-

vam durante um movimento nos seguintes

campos:

(a) Campo de um plano homogeneo infi-

nito.

Resposta: Px, Py, Lz (o plano infi-

nito e o plano x, y).

(b) Campo de um cilindro homogeneo in-

finito.

Resposta: Lz, Pz (o eixo do cilindro

e o eixo z).

(c) Campo de um prisma homogeneo in-

finito.

Resposta: Pz (as arestas do prisma

sao paralelas ao eixo z).

(d) Campo de dois pontos.

Resposta: Lz (os pontos se encon-

tram sobre o eixo z).

(e) Campo de um semi-plano homogeneo

infinito.

Resposta: Py (o semi-plano infinito

e parte do plano x, y, limitado pelo

eixo y).

(f) Campo de um cone homogeneo.

Resposta: Lz (o eixo do cone e o eixo

z).

(g) Campo de uma barra circular ho-

mogenea.

Resposta: Lz (o eixo da barra e o

eixo z).


(h) Campo de uma linha em forma da

espiral cilındrica homogenea infinita.

Solucao:

A funcao de Lagrange nao varia ao

girarmos, em redor do eixo da espiral

(eixo z) em um angulo δφ e, simulta-

neamente, ao deslocarmos ao longo

deste eixo a uma distancia h2πδφ (h e

o passo da espiral). Por isso,

δL =∂L

∂zδz +

∂L

∂ϕδϕ

=

(Pz

h

2π+ Lz

)δϕ

donde

Lz +h

2πPz = const.

Capıtulo 9

Dinamica Hamiltoniana

9.1 Introducao

A lagrangeana L de um sistema holonomico de

n graus de liberdade e

L (q1, q2, . . . , qn; q1, q2, . . . , qn; t)

cujas equacoes de Lagrange sao

d

dt

(∂L

∂qj

)− ∂L

∂qj= 0, j = 1, 2, . . . , n

O momentum generalizado conjugado de qj

e definido como

pj = − ∂L∂qj

; L = L (q, q, t)

Agora usaremos um metodo, o qual, para

descrevermos um sistema mecanico, devemos

fornecer qj e pj em vez de qj e qi, como no

metodo de Lagrange. este metodo foi desen-

volvido por Sir William R. Hamilton. Ele usou

a funcao

H =n∑

j=1

pj qj − L; H = H (q, p, t) (9.1)

a qual como vimos anteriormente, sera uma

quantidade conservada se ∂L∂t

= 0. A equacao

(9.1) e chamada de transformacao de Lagen-

dre, e e o procedimento usado para passar-

mos de um conjunto de variaveis independentes

para outro.

Para ilustrarmos a transformacao de Len-

gendre em uma forma adequada para nos-

sos propositos, considere uma funcao f das

variaveis xi, yi e t: f = f (xj, yj, t), e f e uma

funcao contınua diferenciavel e de segunda or-

dem. Entao

df =∑

j

(ujdxj + vjdyj) + wdt

com,

uj =∂f

∂xj

; vj =∂f

∂yj

; w =∂f

∂t

onde (uj, xj) e (vj, yj) sao chamados de pa-

res de variaveis conjugadas. Pode-se construir

uma nova funcao a partir da funcao f , na qual

uma das variaveis independentes, por exem-

plo, xj e trocada por sua variavel conjugada

uj. Para obtermos nova funcao g basta sub-

trairmos a funcao f do produto deste par de

variaveis conjugadas, ou seja,

g =∑

j

ujxj − f (9.2)

A diferencial de g fornece,

dg =∑

j

(ujdxj + xjduj − ujdxj − vjdyj)−wdt

ou,

dg =∑

j

(xjduj − vjdyj)− wdt

300


que e exatamente a forma desejada, isto e, as

variaveis sao independentes de uj e yj. Consi-

dere q como uma funcao de uj e yj,

dg =∑

j

(∂g

∂uj

duj +∂g

∂yj

dyj

)+∂g

∂tdt

Comparando as duas expressoes para dg, ob-

temos

xj =∂g

∂uj

; vj = − ∂g

∂yj

; w = −∂g∂t(9.3)

isto e, as quantidades xj e vj agora sao funcoes

das variaveis uj e yj, fornecidas pelas relacoes

anteriores. A transformacao 9.2 de f em

g (uj, yj) e chamada de transformacao de Le-

gendre, g e chamada de transformada de Le-

gendre de f com respeito a variavel x.

A gora queremos usar a transformada de Le-

gendre para trocar as coordenadas q pelas p

como variaveis independentes. Portanto,

H =n∑

j=1

pj qj − L

que e a funcao de Hamilton. O momentum

generalizado conjugado a qj e

qj =∂H

∂pj

; pj =∂L

∂qj; (9.4)

As equacoes 9.3 correspondentes sao:

qj =∂H

∂pj

; pj = −∂H∂qj

;∂H

∂t= −∂L

∂t

pois, temos

f(xj, yj, t) ←→ L (q, q, t)

g(uj, yj, t) ←→ H (q, p, t)

uj ←→ pj

vj ←→ pj

xj ←→ qj

yj ←→ qj

t ←→ t

9.2 Equacoes Canonicas de

Hamilton

Como H = H (p, q, t) entao

dH =n∑

i=1

(∂H

∂qidqi +

∂H

∂pi

dpi

)+∂H

∂tdt (9.5)

mas como, L = L (q, q, t) e

H =n∑

i=1

piqi − L

entao

dH =n∑

i=1

(pidqi + qidpi − ∂L

∂qidqi − ∂L

∂qidqi

)−∂L∂tdt

Como,

pi =∂L

∂qi

pi =d

dt(pi) =

d

dt

(∂L

∂qi

)=∂L

∂qi

assim,

dH =n∑

i=1

(pidqi + qidpi − pidqi − pidqi)−∂L∂tdt

dH =n∑

i=1

(−pidqi + qidpi)− ∂L

∂tdt (9.6)

Comparando 9.5 com 9.6 obtemos,

qi =∂H

∂pi

; pi = −∂H∂qi

;∂H

∂t= −∂L

∂t(9.7)

As 2n equacoes diferenciais de primeira

ordem (9.7) sao conhecidas como equacoes

canonicas de Hamilton ou simplesmente como

as equacoes de Hamilton. Neste caso, o sistema

dinamico e representado pelo movimento de


um ponto no espaco de fase de 2n dimensoes.

De fato, as equacoes que descrevem o movi-

mento de um ponto no espaco de fase de 2n

dimensoes sao as equacoes canonicas de Ha-

milton.

Para aplicar este formalismo, o primeiro

passo e encontrar a lagrangeana do sistema que

se deseja descrever, em seguida o momentum

generalizado dado pela definicao pi = ∂L/∂qi,

com isto obtem-se a hamiltoniana dada pela

eq. (9.1).

As propriedades da hamiltoniana, e em par-

ticular seu significado fısico quando o tempo

nao e uma variavel explıcita e facilmente de-

monstrado. Usado as eqs. 9.5 e 9.6

dH

dt=

n∑i=1

(−piqi + qipi)− ∂L

∂t= −∂L

∂t=∂H

∂t

Portanto, se H nao depende explicitamente

do tempo,

dH

dt= 0

e a hamiltoniana e uma constante do movi-

mento,

H(qi, pi) = cte.

Da hamiltoniana do sistema, podemos tirar

as seguintes conclusoes:

1. Vimos que se as forcas que atuam em

um sistema forem conservativas e se os

vınculos forem holonomos indenpendentes

do tempo, a hamiltoniana H do sistema e

igual a energia total E do sistema e per-

manece constante, durante o movimento,

ou seja, H = E =cte. Isto nos conduz a

uma maneira simples de construir a ha-

miltoniana: simplesmene expressamos a

energia total em funcao das coordenadas

generalizadas e dos momenta.

2. Para um sistema conservativo, se os

vınculos forem holonomos e dependentes

do empo, a hamiltoniana H ainda e uma

constante de movimento, entretanto, ela

nao e mais a energia total do sistema: isto

e: H = cte, mas H 6= E.

3. Quando H depende explicitamente do

tempo, ela nao e mais conservada

(H 6= cte), mas ela ainda e a energia total

do sistema (H = E), fornecida por uma

energia potencial que nao depende das ve-

locidades e pelos vınculos holonomos inde-

pendentes do tempo. Em todos os outros

casos, H 6= E e H 6= cte.

Ate agora considerou-se que o sistema

dinamico e holonomo e conservativo. Supo-

nha que temos um sistema holonomo, mas que

parte das forcas que atuam no sistema nao se-

jam conservativas. Em tais casos as equacoes

de Lagrange sao

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= Qi

ou equivalentemente,

pi =∂L

∂qi+Qi (9.8)

onde L contem as forcas conservativas e Qi re-

presenta as forcas que surgem, e que nao po-

dem ser representadas por uma funcao poten-

cial. Neste caso as equacoes de Hamilton sao

qi =∂H

∂pi

; pi = −∂H∂qi

+Qi;∂H

∂t= −∂L

∂t(9.9)


9.3 Equacoes de Hamilton


Variacional

As equacoes de Hamilton tambem podem ser

deduzidas do princıpio variacional. O princıpio

variacional mais importante na dinamica e o

princıpio de Hamilton, com o qual deduz-se as

equacoes de Lagrange. Mas como foi formu-

lado, o princıpio de Hamilton refere-se a uma

trajetoria no espaco de configuracoes. Para ex-

tendermos o princıpio para o espaco de fase,

devemos modificar ele, de tal modo, que o in-

tegrando da acao S seja uma funcao das coor-

denadas generalizadas, dos momenta e de suas

derivadas. A acao S entao pode ser calculada

sobre a trajetoria do ponto que representa o

sistema no espaco de fase, e a trajetoria vari-

ada seria uma trajetoria vizinha no espaco de

fase. De fato, o princıpio de Hamilton, nos con-

duz a este ponto se a lagrangeana L na acao S

for expressa em termos da hamiltoniana H, o

que resulta em

δS = δ

∫ t2

t1

(n∑

i=1

piqi −H(q, p, t)

)dt = 0

onde qi (t) e variada submetida a condicao

δqi (t1) = δqi (t1) = 0, e os pi sao variados

sem restricoes sobre os instantes finais. De

fato, nao precisamos de restringir a variacao

dos pi. Este ponto ficara claro ao deduzirmos

as equacoes de movimento de Hamilton. Esta

modificacao do princıpio de Hamilton e vista

como um princıpio variacional no espaco de

fase

∫ t2

t1

n∑i=1

(piδqi + qiδpi − ∂H

∂qiδqi − ∂H

∂pi

δpi

)dt = 0

onde

δqi =d

dtδqi

Agora integrando o termo piδqidt por partes

∫ t2

t1

piδqidt = piqi|t2t1 −∫ t2

t1

qipidt

= −∫ t2

t1

qipidt

Portanto,

δS =

∫ t2

t1

n∑i=1

(qi − ∂H

∂pi

)δpi −

(pi +

∂H

∂qi

)δqi

dt = 0

(9.10)

Desde que, vemos o princıpio de Hamilton

modificado como um princıpio variacional no

espaco de fase, ambos os δqi e os δpi sao ar-

bitrarios, e os coeficientes dos mesmos devem

ser nulos, separadamente, o que resulta nas 2n

equacoes de Hamilton.

qi =∂H

∂pi

; pi = −∂H∂qi

(9.11)

Alternativamente, se preferirmos nao pos-

tular a validade do princıpio modificado de

Hamilton no espaco de fase, enao temos de

lembrar que o princıpio de Hamilton assume

trajetorias variadas no espaco de configuracos.

Especiaficando os δq o sistema dinamico deve

atingir uma configuracao definida sobre uma

trajetoria variada em um dado instante, e isto

automaticamente determina os δq que estao re-

lacionadas diretamente aos δq por δq = ddtδq.

Desde que os p estao relacionados aos q atraves

da relacao pi = ∂L∂qi

, esta tambem determina os

δq sao escolhidos , nao existe uma liberdade

para os δp. Note, entretanto, que os coefici-

entes de δpi na eq. (9.10) sao identicamente

nulos, por causa, de δq = ddtδq. Entao devido

a independencia dos δq, seus coeficientes na eq.

(9.10) sao identicamente nulos separadamente,

e obtemos n equacoes canonicas,


pi = −∂H∂qi

(9.12)

como consequencia.

No senso comun, as coordenadas generaliza-

das qi e os momenta generalizados conjugados

pi nao sao independentes. Entretanto, se a de-

pendencia temporal de cada coordenada gene-

ralizada for conhecida, qi = qi(t), o problema

estara completamente resolvido. As velocida-

des generalizadas podem ser calculadas a partir

de

qi(t) =dqi(t)

dt, (9.13)

e os momenta genralizados a partir de

pi =∂L(q, q, t)

∂qi. (9.14)

Aqui, o ponto essencial e que as coordenadas

generalizadas qi e as velocidades generalizadas

qi estao relacionadas simplesmente por uma de-

rivada temporal total, independentemente da

maneira que o sistema se comporta, enquanto

a coneccao entre as coordenadas generaliza-

das qi e os momenta generalizados pi sao as

propias equacoes de movimento. Determinada

as relacoes que conectam os qi e os pi, basica-

mente elimina-se a independencia destas quan-

tidades e neste caso pode-se dizer que o pro-

blema foi resolvido.

Exemplo: Considere uma partıcula de massa

m e atraıda para a origem por uma forca cen-

tral cujo modulo e F = −GMmr2 = − k

r2 . Deter-

mine as equacoes canonicas do movimento.

Solucao: Como o movimento e no plano,

entao usaremos coordenadas polares assim,

T =1

2m(r2 + r2θ2)

U = −GMm

r= −k

r

L = T − U =1

2m(r2 + r2θ2) +

k

r

Os momenta conjugados a r e θ sao respec-

tivamente:

pr =∂L

∂r= mr =⇒ r =

pr

m

pθ =∂L

∂θ= mr2θ =⇒ θ =

pθ

mr2

logo,

L =p2

r

2m+

p2θ

2mr2+k

r

Portanto, o hamiltoniano e

H =n∑i

piqi − L, com i = r, θ

H = prr + pθθ − L

H =p2

r

m+

p2θ

mr2− p2

r

2m− p2

θ

2mr2− k

r

H =p2

r

2m+

p2θ

2mr2− k

r

As equacoes de movimento de Hamilton sao

r =∂H

∂pr

=pr

me θ =

∂H

∂pθ

=pθ

mr2

pr = −∂H∂r

=p2

θ

mr3− k

r2

pθ = −∂H∂θ

= 0 =⇒ pθ = cte.

Aqui θ e uma coordenada cıclica ou ignoravel,

entao pθ =cte, e neste caso, pθ = l, onde l e o

momentum angular do sistema, que e perpen-

dicular ao plano da orbita, ou plano do movi-

mento.


Exemplo: Determine a hamiltoniana para

uma partıcula carregada com uma carga qe

movendo-se em um campo eletromagnetico.

Solucao: A lagrangeana L da partıcula e

dada por

L = T − qeφ+ qev ·Aenquanto o momentum generalizado e dado

por

p =∂L

∂v= mv + qeA

v =1

m(p− qeA) .

Portanto a lagrageana pode ser escrita em ter-

mos do momentum generalizado como

L =(p− qeA)2

2m− qeφ+

qem

(p− qeA) ·A

=1

2m(p− qeA) · [p− qeA + 2qeA]− qeφ

=1

2m(p− qeA) · (p + qeA)− qeφ.

Agora, a hamiltonia pode ser calculada,

usando

H = p · v − L=

1

mp · (p− qeA)− 1

2m(p− qeA) · (p + qeA)− qeφ

=1

2m(p− qeA) · [2p− p− qeA]− qeφ

=1

2m(p− qeA) · (p− qeA)− qeφ

=1

2m(p− qeA)2 − qeφ.

Portanto, a hamiltoniana H de uma

partıcula de carga qe movendo-se num campo

eletromagnetico e dada por

H =1

2m(p− qeA)2 − qeφ.

9.4 Integrais de Movi-

mento das Equacoes

de Hamilton

Mostramos que se a hamiltoniana nao de-

pender explicitamente do tempo (∂H/∂t = 0),

entao ela e uma constane de movimento, deno-

tada por h, assim:

H =n∑

i=1

piqi − L = h

e a quantidae h e chamada integral Jacobiana

do movimento. Alem disso, se a energia po-

tencial depende somente das coordenadas e os

vınculos sao holonomos Escleronomos, a ha-

miltoniana H tambem e a energia total do sis-

tema:

H = E = h.

9.5 Integrais de Movi-

mento Associados

com as Coordenadas

Cıclicas

As coordenadas cıclicas ou ignoraveis por de-

finicao sao aquelas que nao aparecem explici-

tamente na Lagrangeana. E obvio que se uma

coordenada e cıclica ela tambem nao ira apa-

recer na hamiltoniana H, pois

∂H

∂qi=

∂

∂qi

[n∑

j=1

pj qj − L]

= −∂L∂qi

= 0,

combinando este resultado com a equacao de

Hamilton temos


pi = −∂H∂qi

=∂L

∂qi= 0 (9.15)

pi = bi = cte. (9.16)

Portanto, se uma coordenada generalizada qi

e cıclica, o momentum conjudado a ela e con-

servado.

Quando algumas coordenadas,

q1, q2, . . . , qm (m < n), sao cıclicas, a la-

grangeana do sistema tem a seguinte forma

L(qm+1, qm+2, . . . , qn; q1, q2, . . . , qn; t) (9.17)

o que significa que ainda e necessario resolver

um problema de n graus de liberdade, embora

m dos graus de liberdade correspondam a m

coordenadas cıclicas. Por outro lado, a hamil-

toniana do sistema tem a seguinte forma

H(qm+1, qm+2, . . . , qn; b1, b2, . . . , bm, pm+1, pm+2, . . . , pn; t)

(9.18)

Portanto sobram (n−m) coordenadas e mo-

menta, e o problema e essencialmente reduzido

a (n−m) graus de liberdade. As equacoes

de Hamilton correspondentes a cda um dos

(n−m) graus de liberdade pdem ser obtidas

enqunto ignoramos completamente as m coor-

denadas cıclicas. As coordenadas cıclicas po-

dem ser encontradas integrando as equacoes de

movimento.

qj =∂H

∂pj

=∂H

∂bj; com j = 1, . . . ,m (9.19)

Routh elaborou um procedimento que com-

bina as vantagens da fomulacao hamiltoniana

juntamente com as coordenadas cıclicas com a

fomulacao lagrangeana.

9.6 Transformacoes

Canonicas

Como foi mostrado anteriormente, obviamente

existe alguma vantagem em usarmos as coorde-

nadas cıclicas. Entretanto, em geral, e possıvel

obtermos mais do que um numeo limitado de

tais coordenadas por meio de alguma trans-

formacao. Por outro lado, podemos empregar

uma classe mais geral de tansformacoes que en-

volvam ambas as coordenadas generalizadas e

os momenta. Se as equacoes de movimento fo-

rem mais simples no novo conjunto de variaveis

Qi e Pi do que no conjunto original qi e pi te-

remos obtido claramente um ganho com esta

transformacao. Nao temos condicoes de consi-

derar toas as possıveis transformacoes, mas so-

mente as chamadas transformacoes canonicas

que preservam a forma canonica as equacoes

de movimento de Hamilton; isto e, aquelas

equacoes em que as coordenadas generalizadas

qi e os momenta conjugados pi satisfazem as

equacoes de Hamilton

qi =∂H

∂pi

; e pi = −∂H∂qi

(9.20)

para um dada hamiltoniana H, entao a trans-

formacao

Qi = Qi(q, p, t); e Pi = Pi(q, p, t)

(9.21)

Sera canonica se, e somente se, houver uma

funcao K tal que, as evolucoes no tempo das

novas coordenadas Q e P ainda sao governadas

pelas equacoes de Hamilton, ou seja,

Qi =∂K

∂Pi

; e Pi = − ∂K∂Qi

(9.22)

Aqui K (Q,P, t) e a nova hamiltoniana, a

qual em princıpio sera diferente da antiga ha-

miltoniana H (q, p, t).


Nas antigas variaveis qi, pi pode-se deduzir

as equacoes de Hamilton a partir do princıpio

de Hamilton modificado,

δS = δ

∫ t2

t1

[n∑

i=1

piqi −H(q, p, t)

]dt = 0.

(9.23)

No novo conjunto de variaveis Qi e Pi o

princıpio modificado de Hamilton

δS = δ

∫ t2

t1

[n∑

i=1

PiQi −K(Q,P, t)

]dt = 0.

(9.24)

deve ser mantido. Comparndo as eqs. 9.23 e

9.24, vemos que seus integrandos estao relaci-

onados por:

n∑i=1

piqi−H(q, p, t) = α

[n∑

i=1

PiQi −K(Q,P, t)

]+dF

dt

(9.25)

ou na forma diferncial dada por

n∑i=1

pidqi −Hdt = α

n∑i=1

PidQi − αKdt+ dF

(9.26)

Aqui F e uma funcao qualquer das coorde-

nadas, momenta e do tempo, F = F (q, p, t),

com derivadas das segunda contınuas. Ja α e

uma constante independente das coordenadas,

momenta e do tempo. Por exemplo, se qi e

pi estivessem relacionados a Qi e Pi por uma

relacao da seguinte forma (uma mudanca de

escala):

Qi = λqi; e Pi = βpi

as equacoes de Hamilton (9.22) permanecem

validas se K = λBH, pois

qi =∂H

∂pi

=⇒ 1

λQi =

∂(βH)

∂Pi

Qi =∂(λβH)

∂Pi

=∂K

∂Pi

=⇒ K = λβH

Desta forma os integrandos dos corresponde-

tes princıpios de Hamilton modificados estao

relacionados por

n∑i=1

PiQi −K = λβ

[n∑

i=1

piqi −H]

(9.27)

que e da forma da equacao (9.25) com α = λβ

e com dFdt

= 0. Com uma transformacao de

escala habil e sempre possıvel fazermos α = 1

na eq. (9.25). Portanto, na discussao a seguir

faremos α = 1. Deve-se ressaltar que a eq.

(9.25) e uma condicao suficiente para termos a

eq. (9.24), mas nao uma condicao necessaria.

Retornando as eqs. (9.25) e (9.26) e fazemos

α = 1. Em muitos textos classicos dizem que

devido ambas as variacoes δqi e δQi serem nu-

las nos instantes t1 e t2 , a variacao δF tambem

deve ser nula em t1 e t2. Entao a derivada to-

tal de F na eq. (9.25) nao ira contribuir para

o princıpio de Hamilton modificado. Devemos

ter algum cuidado neste ponto. O fato de que

δqi (t1) = δqi (t2) = 0 sozinho nao deve ser su-

ficiente para que δqi tambem se anule nestes

instantes. Isto pode ser visto diretamente da

variacao de Qi

δQi =n∑

j=1

(∂Qi

∂qjδqj +

∂Qi

∂pj

δpj

)(9.28)

Portanto, δQi 6= 0 nos pontos finais em t1 e

t2 se δqi (t1) = δqi (t2) = 0 sozinho. Para que

as variacoes δQi sejam nulas nos pontos finais

em t1 e t2, as variacoes δqi (t1) = δqi (t2) = 0

e δpi (t1) = δpi (t2) = 0. Esta e a diferenca da

pratica empregada na secao ”Equacoes de Ha-

milton a partir do Princıpio Variacional”, onde

os qi foram variadas submetidas a δqi (t1) =


δqi (t2) = 0, mas nenhuma de tais restricoes

foram impostas as variacoes de pi.

De agora em dainte δqi (t1) = δqi (t2) =

0 e δpi (t1) = δpi (t2) = 0, as trans-

formacoes (9.21) implicam que as variacos das

novas variaveis irao igualmente anular-se com

δQi (t1) = δPi (t1) = 0 e δQi (t2) = δPi (t2) =

0. Portanto, a derivada total no tempo de F

em (9.25) nao ira contribuir para o princıpio de

Hamilton modificado, devido a integral da de-

rivada total no tempo ser justamente a funcao

calculada nos pontos finais, onde as variacos

de todas as variaveis canonicas se anulam.

Considerando o caso em que F =

F1 (q,Q, t) , a equacao (9.25) pode ser reescrita

como

n∑i=1

[piqi − PiQi

]+ (K −H) =

dF1

dt(9.29)

a qual apos a multiplicacao por dt toma a se-

guinte forma diferencial

dF1 =n∑

i=1

[pidqi − PidQi] + (K −H) dt,

mas como F = F1 (q,Q, t), segue que

dF1 =n∑

j=1

(∂F1

∂qjdqj +

∂F1

∂Qj

dQj

)+∂F1

∂tdt

(9.30)

Comparando as duas ultimas equacoes, se-

gue imediatamente que:

pi = ∂F1

∂qj

Pi = − ∂F1

∂Qj

K = H + ∂F1

∂t

(9.31)

Quando a funcao F1 e conhecida, as eqs.

(9.31) fornecem n relacoes entre p, q e Q, P as-

sim como entre a hamiltonianaH eK.A funcao

F1 atua como uma ponte entre estes dois con-

juntos de variaveis canonicas e sao chamadas

de funcoes geratrizes da transformacao. Como

um exemplo de uma destas funcoes geratrizes

considere o caso em que

F1 =n∑

j=1

qjQj (9.32)

Para este caso especial, as eqs. 9.31 fornecem

Qj = pj; Pj = −qj e K = H,

o que mostra claramente que as coordenadas

generalizadas e os seus momenta conjugado

nao sao distinguıveis, e a nomenclatura para

elas e arbitraria. Portanto, q e p devem ser

tratados igualmente, e nos chamamos elas sim-

plesmente de variaveis conjugadas canonica-

mente ou variaveis canonicas.

A funcao geratriz F deve ser uma funcao

de ambas das velhas e das novas variaveis

canonicas para que a transformacao possa ser

feita. Alem de F1, ainda temos tres possıveis

escolhas para as funcoes geratrizes, as quais sao

tem a seguinte forma

F = F1 (q,Q, t)

F = F2 (q, P, t)

F = F3 (p,Q, t)

F = F4 (p, P, t)

(9.33)

As circunstancias do problema dira qual das

formas1 e a melhor escolha. Estas tres funcoes

1gera estas tres funcoes a patir de F1 atraves de umatransformacao de Legendre.

Se as funcoes geratrizes nao dependerem explicita-mente de t entao

Assim teremos que:


geratrizes podem ser geradas a partir de F1

atraves da aplicacao das transformada de Le-

gendre.

Se a funcao geratriz for do tipo F =

F2 (q, P, t), ela pode ser redefinida em termos

da funcao geratriz F1 (q,Q, t) de acordo com a

relacao

F2 (q, P, t) = F1 (q,Q, t) +n∑

i=1

PiQi (9.34)

Agora retornaremos as eqs. (9.31) e obser-

vamos que a diferenca K − H e a derivada

parcial da funcao geratriz F com respeito ao

tmpo. Isto tambem e verdade para as outras

tres funcoes geratrizes F2, F3 e F4. Portanto,

se a funcao geratriz nao contem o tempo ex-

picitamente, entao K = H, isto e, a nova ha-

miltoniana H e simplesmente H com os q e p

trocados pelos seus correspondentes Q e P a

partir da inversao da eq. (9.21).

Devemos notar tambem que o tempo t fica

inalterado pela transfomacao, e que ele pode

ser considerado como um parametro indepen-

dente. Desde que o tempo t nao esta envolvido

diretamente, pode-se considerar uma variacao

contemporanea com dt sendo zero. Entao a

eq. 9.26 com α = 1, torna-se

(9.35)

Criterio para uma Transformacao CanonicaSe δF for uma diferencial exata e se Qj (q, p, t) e

Pj (q, p, t) forem no mınimo duas vezes diferenciaveis atransformacao e canonica e

F =

δφ =

∑

I

()

a qual e um criterio para uma transformacao

canonica sem referencia a funcao hamiltoni-

ana. Portanto, e mais conveniente usar a eq.

9.35 para testarmos se uma transformacao e

canonica ou nao. As funcoes Qi e Pi a partir

da eq. 9.21 sao usadas para expressarmos cada

Pi, Qi em temos das variaveis antigas. Se a

forma diferencial do lado esquerdo da eq. 9.35

e exata, e se a funcao Qj (q, p, t) e Pj (q, p, t)

sao no mınimo duas vezes diferenciaveis, entao

a dada transformacao e canonica, e uma funcao

φ (q, p, t) = F existe de tal modo que

(9.36)

(expressada em termos das antigas variaveis),

ou equivalente,

(9.37)

Integrando-as para obtermos φ (q, p, t), a nova

hamiltoniana K e encontrada pela equacao dos

coeficientes de ”dt” na eq. 9.26. Isto nos con-

duz a

(9.38)

a qual e diferente na forma a partir da ex-

pressao K = H+ ∂F∂t

. Isto ocorre porque as di-

ferentes variaveis sao mantidas constantes nos

dois casos quando tomamos a derivada parcial

com relacao ao tempo.

Exemplo: As equacoes de transformacao en-

tre dois conjuntos de coordenadas sao:

1. Mostre que Q e P sao variaveis canonicas

se q e p o forem.

2. Obtenha a funcao geratriz F que gera esta

transformacao.


Solucao: e mais conveniente usarmos a eq.

9.35 para testar se a transformacao em questao

e canonica ou nao. Primeiro expressamos a eq.

9.35 em termos das variaveis antigas q e p:

(9.39)

Agora precisamos testar se esta expressao e

ou nao exata. A condicao necessaria e sufici-

ente para a expressao

ser uma diferencial exata e dada pelas relacos

de Cauchy

Aplicando esta condicao de Cauchy a eq.

9.39 temos:

fazendo

logo:

logo,

Portanto, podemos concluir que a trans-

formacao e canonica, pois

(b) Agora iremos obter a funcao geratriz.

Para isto, devemos notar que o lado direito da

eq. 9.39 e igual a δφ (q, p):

portanto, segue naturalmente que:

Para integrarmos as equacos acima usaremos

o seguinte resultado,

Gradstein 2.851


para n 6= −1

A funcao geratriz F e obtida usando a

funcao:

F = φ

onde φ deve uma funcao qualquer de ambas

as variaveis as antigas qepe as novas Q e P .

Agora eliminando p de φ obtemos

Portanto, k = H + ∂F1

2t

Se a velha hamiltoniana H =(q2+p2)

2entao

e as equacoes canonicas do movimento sao

isto e, Q e constante e p cecresce linearmente

com o tempo.

O exemplo anterior ilustra o processo pelo

qual uma forma especıfica da funcao geratriz

pode ser obtida. Pode-se compreender melhor

a utilidade das transformacoes canonicas ob-

servando com atencao a solucao de um pro-

blema especıfico. De fato, o uso de um

metodo tao poderoso quanto as transformacoes

canonicas e desnecessario na solucao de pro-

blemas simples. Entretanto, um exemplo com


uma fısica familiar e uma algebra simpls ajuda

a compreendermos melhor o procedimento em-

pregado na solucao:

Exemplo: Oscilador Harmonico Simples

Considere um oscilador harmonico simples

cuja a hamiltoniana e

e as equacoes de movimento de Hamilton sao:

Designando a razao km

por w2, H pode ser re-

escrita como

Esta forma da hamiltoniana como dois qua-

drados, sugere uma transformacao na qual H

e cıclica nas novas coordenadas. Se pudermos

encontrar uma transformacao da forma

p = (9.40)

entao a hamiltoniana em funcao de P e Q sera

entao Q e uma coordenada cıclica. O problema

e encontrar a funcao f (p) que faz a trans-

formacao canonica. Se usarmos uma funcao

geratriz de primeira ordem dada por:

as equacoes de Hamilton para as novas coorde-

nadas sao:

logo,

Resolvendo estas equacoes para q e p, obte-

mos

Disto segue que a hamiltoniana transfor-

mada k = H e

Desde que a hamiltoniana e cıclica em Q,

o momentum conjugado P e constante. Da

equacao anterior vimos que

A equacao de movimento para Q reduz-se a

forma simples

cuja a solucao imediata e

onde α e uma constante de integracao fixada

pelas condicoes iniciais. A partir das eqs. 9.40

para as antigas coordenadas temos


E instrutivo fazermos um grafico da de-

pendencia temporal das novas e das velhas co-

ordenadas. Vemos que q e p oscilam enquanto

Q e P sao retas.

Figura 9.1: Ilustracao esquematica da de-

pendencia temporal das novas e das velhas co-

ordenadas.

Na figura para o espaco de fase de p versus q

e de P versus Q. Os eixos da elipse com p× xsao (respectivamente para q e p):

onde m e a massa do oscilador, $ e sua

frequencia natural, e E e a energia do osci-

lador. A area A da elipse no espaco de fase

e

Na mecanica quantica, escrevemos E = t$,

onde ~ = h2π

e h e a constante de Planck

A coordenada q e o momentum p podem ser

normalizadas como

o que torna o grafico de p′ × q′ um cırculo de

area π.

Aqui apos uma leitura atenta nos surge a

questao de onde obtivemos a funcao geratriz

F1. Esta e uma questao muito importante.

Infelizmente, nem sempre e facil encontrar-

mos uma funcao geratriz a qual conduz a uma

solucao conveniente, e nao ha um procedi-

mento padrao simples para faze-lo. Algumas

vezes a transformacao desejada pode ser en-

contrada por um metodo intuitivo ou resol-

vendo as equacoes de Hamilton 9.31, as quais

conectam a funcao geratriz com a nova e a an-

tiga hamiltoniana. Entretanto, existem duas

funcoes desconhecidas nas eqs. 9.31: a funcao

F1, necessaria para gerar as equacoes de trans-

formacao das coordenadas, e k, necessaria para

fornecer as equacoes de movimento. Portanto,

fornecido k, podemos trabalhar as eqs. 9.31

ate conseguirmos uma funcao geratriz F .

O desenvolvimento de um processo mais ra-

cional e fornecido pelo metodo de Hamilton-

Jacobi.

9.7 Parenteses de Poisson

As equacoes canonicas do movimento de Ha-

milton descrevem a evolucao temporal das co-

ordenadas q e dos momenta p no espaco de

fase.

A partir destas equacoes podemos deter-

minar as equacoes de movimento para uma

funcao F (q, p) qualquer dos p e q usando os

parenteses de Poisson que foram introduzi-

dos em 1809 por Simeon Denis Poisson (1781-

1840). Os parenteses de Poisson de qualquer

duas funcoes F (q, p, t) e G (q, p, t) com res-

peito as variaveis canonicas (g, p) sao definidos

como:

(9.41)

De fato os parenteses de Poisson nao for-

necem uma ajuda efetiva para obtermos uma

solucao completa de um sistema de equacoes

de movimento. Entretanto, os parenteses de

Poisson sao elementos significantes ao expres-

sarmos a teoria Hamiltoniana. Eles tambem

fornecem a transicao mais direta da mecanica

classica para a mecanica quantica (na repre-

sentacao de Heisenberg). As propriedades

algebricas dos parenteses de Poisson sao por-

tanto de consideravel interesse. A seguir dis-


cutiremos algumas propriedades.

9.8 Propriedades Funda-

mentais dos Parenteses

de Poisson

As seguintes identidades seguem imediata-

mente da def. 9.41,

[] (9.42)

onde F , G e X sao funcoes das variaveis

canonicas e do tempo. A ultima relacao e co-

nhecida como identidade de Jacobi: a soma

das permutacos cıclicas de um parenteses de

poisson duplo de tres funcoes e zero. Algumas

aplicacoes destas equacoes discutiremos poste-

riormente.

Para um par qualquer de funcoes para o qual

o parenteses de Poisson desaparece [F,G] = 0,

dizemos que elas comutam uma com a outra.


Fundamentais

Da definicao ve-se facilmente que:

(9.43)

Eles sao chamados de parenteses de Poisson

fundamentais.

9.10 Exemplo

Exemplo: Considere uma partıcula de massam

movendo-se em um potencial central V que nao

depende da velocidade. Determine as integrais

de movimento.

Solucao: Usando coordenadas esfericas, a

energia cinetica e

T = (9.44)

e a sua funcao lagrangeana e L = T − V .

Como V nao depende da velocidade, entao

temos que

pj = (9.45)

a partir da qual obtemos que

(9.46)

Como o sistema e conservativo e nem a ener-

gia cinetica e nem o potencial dependem ex-

plicitamente do tempo, entao a hamiltoniana

H = T + V , que sera o mesmo resultado ob-

tido a partir de

H = (9.47)

Desde que o potencial V e central, ele depende

somente de R, entao

Das equacoes canonicas de movimento de

Hamilton temos

Temos entao que


O potencial e central, logo H nao pode de-

pender de θ, somente de r.

Pode-se mostrar tambem que:

o que mostra que

tambem e uma integral de movimeto.

Solucao: E obvio que:

Para obtermos o parenteses de Poisson para

[Q,P ], precisamos de obter

pois, cos p = peq, logo

Portanto,

Portanto as transformacoes sao canonicas.


e as Integrais de Mo-

vimento

Como foi dito anteriormente, os parenteses de

Poisson nao ajudam efetivamente na solucao

completa de um sistema de equacoes de movi-

mento, mas sao de grande ajuda na busca das

integrais de movimento. Faremos uma analise

mais detalhada deste ponto. Para isto, con-

sidere G = H como sendo a hamiltoniana do

sistema. Entao as eqs. 9.41 tornam-se

onde as equacoes de Hamilton foram usadas

em um passo intermediario. Podemos reescre-

ver o resultado precedente em uma forma mais

conveniente,

(9.48)

Este resultado nos fornece uma forma facil

de encontrarmos as integrais de movimento.

Vemos de 9.48 que a condicao para que a


quantidade F seja uma integral de movimento(dFdt

= 0), torna-se

(9.49)

Se a integral de movimento F nao depende ex-

plicitamente do tempo, entao a eq. 9.49 reduz-

se a:

[] (9.50)

isto e, quando a integral de movimento F

nao contem o tempo t explicitamente, o seu

parenteses de Poisson com a sua hamiltoniana

e nulo.

Uma outra propriedade importante dos

parenteses de Poisson e que, se F e G sao duas

integrais de movimento, entao o parenteses de

Poisson de F e de G, [F,G], tambem e uma

integral de movimento, isto e,

[] (9.51)

durante o movimento. Este e conhecido como

o teorema de Poisson.

Para se provar o teorema Poisson, deve-se

notar que, desde que F e G sao integrais de

movimento, temos

as quais podem ser reescritas como

e

(9.52)

Da eq. (((())))) temos tambem

as quais com a ajuda da eq. 9.48, obtemos

e a ultima expressao e nula devido a identidade

de Jacobi. Portanto temos

Exemplo: Uma partıcula de massa m

movendo-se em um potencial central V que nao

depende da velocidade. Determine as integrais

de movimento.

Solucao: Usando as coordenadas esfericas, a

energia cinetica da partıcula e

e a sua funcao lagrangeana e L = T − V .

Como V nao depende da velocidade,

a partir da qual obtemos

a hamiltoniana H e

Desde que V e central, ele depende somente

de r, entao

isto e, pθ e uma integral de movimento.

Tambem podemos ver que:


o que mostra que a quantidade p2θ +

p2θ

sen2 θ

tambem e uma integral de movimento.

9.12 Equacao de Movi-

mento na Forma dos

Parenteses de Poisson

Se F e trocada por variaveis canonicas qj e pj,

respectivamente, quando qj e pj nao contem o

tempo explicitamente a eq. (??) fornece

qj = [qj, H] e pj = [pj, H].

Estas duas relacoes tambem podem ser obti-

das a partir da definicao dada pela eq. (??)

com G = H e F = q ou F = p. Pode-se

notar facilmente que as eqs. (??) sao iden-

ticas as equacoes de movimento de Hamilton.

Portanto, as equacoes canonicas do movimento

sao propriedades implicitas dos parenteses de

Poisson. Como um exemplo considere o caso

de uma partıcula carregada em um campo ele-

tromagnetico. Mostrou-se que a hamiltoniana

da partıcula e

H =(pi − eAi)

2

2m+ eφ

onde usamos o resultado pi = mvi + eAi, ou

que mvi = pi − eAi.

Pode-se verificar facilmente que

[xj, H] =1

m(pj − eAj) = xj

e

[pj, H] = − 1

m(pj − eAj) [pj, eAj] + e [pj, φ]

mas como,

[pj, Aj] =∑

i

(∂pj

∂qi

∂Aj

∂pi

− ∂Aj

∂qi

∂pj

∂pi

)

= −∂Aj

∂qi

[pj, φ] =∑

i

(∂pj

∂qi

∂φ

∂pi

− ∂φ

∂qi

∂pj

∂pi

)

= − ∂φ∂qi

Portanto,

[pj, H] = exj∂Aj

∂xk

− e ∂φ∂xk

= −pj

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