Mecánica Clásica Cinemática del Sólido Rígido 0/21 September 2, 2011 Graduado en Ingeniería...

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Graduado en Ingeniería Aeroespacial

Mecánica Clásica

Cinemática del Sólido Rígido

Jesús Peláez Álvarez

CAMPUSDE EXCELENCIAINTERNACIONAL

Mecánica Clásica. Edición 2011/2012. c© by Jesús Peláez Álvarez MC

Kinematics of the Rigid BodyPage: 1/21

September 2, 2011

POSICIÓN DE UN SÓLIDO LIBRE EN EL ESPACIO

Sea �1 = {O1;�i1, �j1,�k1} una referencia cartesiana rectangular, que se denotará por

O1x1y1z1, del espacio donde se mueve el sólido S. Para situar a S en la referencia�1 setoma una referencia cartesiana� = {O;�i, �j, �k} rígidamente unida a S. SeaM unpunto cualquiera de S. Sus coordenadas (x, y, z) en � son las coordenadas del vector−−→OM en la base � = (�i, �j, �k). Sus coordenadas (x1, y1, z1) en �1 son las coordenadasdel vector

−−−→O1M en la base �1 = (�i1, �j1,

�k1).Si el sólido está en reposo las coordenadas (x1, y1, z1) deM no cambian con el tiempo;si se mueve, sí cambiarán. Las coordenadas (x, y, z) deM , por el contrario, no cambiannunca, aunque S esté en movimiento; por ello sirven para dar nombre a los puntos de S.¿Qué relación existe entre las coordenadas (x, y, z) y (x1, y1, z1) de un mismo puntoMdel sólido? Para establecer esta relación, es necesario disponer de los siguientes datos1) las coordenadas en la referencia �1, del origen O de �, esto es, las coordenadas desu vector posición −−−→

O1O = ξo�i1 + ηo�j1 + ζo�k1

2) las coordenadas en la referencia �1, de los versores (�i, �j, �k) de la referencia �ligada al sólido

�i = q11�i1 + q21

�j1 + q31�k1

�j = q12�i1 + q22

�j1 + q32�k1

�k = q13�i1 + q23

�j1 + q33�k1

⎫⎪⎬⎪⎭ Q =

⎛⎝q11, q12, q13q21, q22, q23q31, q32, q33

⎞⎠

Con ayuda de la matriz Q estas relaciones pueden escribirse como

[�i, �j, �k] = [�i1, �j1,�k1] Q

x

y

z

x1

y1

z1

M

�i1

�j1

�k1

O

O1

�i

�j

�k

FIGURA 3.1: Posición del sólido S en la referencia �1

En efecto, a partir de estos datos se deducen las ecuaciones(x1y1z1

)= Q

(xyz

)+

(ξoηoζo

)

que constituyen las relaciones buscadas. Se suelen escribir deforma más compacta con notación matricial

X1 = QX + d




September 2, 2011

POSICIÓN DE UN SÓLIDO LIBRE EN EL ESPACIO

La matriz Q que interviene en la ecuación [�i, �j, �k] = [�i1, �j1,�k1] Q es la de cambio de base

entre �1, base de la referencia fija�1, y �, base de la referencia� ligada al sólido. Ambas sonortonormales; por tanto, la matriz Q es ortogonal

QT ·Q = I ⇔ Q−1 = QT I matriz unidad de tamaño 3

La matriz QTQ proporciona los productos escalares de todas las parejas de vectores columnade la matriz Q. La condición QTQ = I asegura que los vectores columna de la matriz Qconstituyen una base ortonormal. Puesto que tambiénQ ·QT = I , los vectores fila de la matrizQ constituyen otra base ortonormal. La primera de ellas coincide con la base� de la referencia�. La segunda con la base �1 de la referencia�1.De la condiciónQTQ = I se deduce otra propiedad de las matrices ortogonales

det(QTQ) = det(I) ⇒ det(QT ) det(Q) = 1 ⇒ det(Q)2 = 1 ⇒ det(Q) = ±1

Existen dos tipos de matrices ortogonales. Las de determinante +1 que se denominan matricesde rotación o, simplemente, rotaciones, y las de determinante −1 que se denominan matricesde reflexión o, simplemente, reflexiones. Las dos son compatibles con la estructura rígidadel sólido, pero sólo las rotaciones intervienen en la definición de la posición de un sólido. Lasrotaciones también se llaman matrices ortogonales propias o matrices ortogonales especialesy las segundas matrices ortogonales impropias. Las matrices de rotación, con el producto dematrices, forman un grupo que se denomina SO(3,R) (Special Orthogonal matrix of size 3over the field R). La condición adicional det(Q) = +1 asegura que las referencias � y �1

tienen igual orientación.Para determinar una matriz cuadrada, de tamaño 3, se necesitan 9 condiciones (tiene 9 ele-mentos distintos). Para determinar una matriz ortogonal, de tamaño 3, sólo se necesitan trescondiciones. La matriz QTQ es simétrica y sólo tiene seis elementos independientes; las rela-ciones QTQ = I constituyen un sistema de seis ecuaciones que ligan a los nueve elementosde la matriz Q; así pues, sólo tres son independientes; los 6 restantes pueden expresarse enfunción de ellos.

x

y

z

x1

y1

z1

M

�i1

�j1

�k1

O

O1

�i

�j

�k

FIGURA 3.2: Posición del sólido S en la referencia�1

No se pueden elegir arbitrariamente los tres elementos independientes;es preciso que haya uno de cada fila y uno de cada columna; una posibleelección sería q11 , q

22, q

33 .

EJERCICIO: determinar los nueve elementos de una matriz ortogonalQ cuya diagonal principal está formada por los siguientes elementos:q11 = 1, q22 = q33 = cos β. Interpretar las dos posibles soluciones admi-tiendo que cos β �= 0.




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ÁNGULOS DE EULER

En lugar de tomar tres elementos deQ como independientes lo habitual es expresar los nueveelementos de la matriz Q en función de tres parámetros independientes. Existen difer-entes conjuntos de parámetros; los más usados son los tres ángulos de Euler, por motivosdidácticos, y los cuatro parámetros de Euler, por sus ventajas en el cálculo numérico. Paradescribir los ángulos de Euler se introduce la línea de nodos: recta intersección del planoOxy con el plano Ox1y1 (es perpendicular al plano formado por Oz1 y Oz).El ángulo de precesión ψ es el que la línea de nodos forma con el eje Ox1. El ángulo denutación θ es el que el eje Oz forma con Oz1. Finalmente, el ángulo de rotación propia ϕes el que el eje Ox forma con la línea de nodos. Para que el sólido pase de la posición iniciala la final, hay que someterle a las tres rotaciones siguientes:• un giro ψ, ángulo de precesión, alrededor del eje Oz1. Si es Ou1u2u3 la referencia resul-tante, esto es, la que coincide con los ejes cuerpo Oxyz tras este giro, la relación entre losversores de ambas referencias es

[�u1, �u2, �u3] = [�i1, �j1,�k1]R3(ψ) con R3(ψ) =

⎛⎝cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 00 0 1

⎞⎠

• un giro θ, ángulo de nutación, alrededor de la línea de nodos. Si es Ov1v2v3 la referenciaresultante, la relación entre los versores de ambas referencias es

[�v1, �v2, �v3] = [�u1, �u2, �u3]R1(θ) con R1(θ) =

⎛⎝1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

⎞⎠

• un giro ϕ, ángulo de rotación propia, alrededor de Oz; la referencia resultante es la Oxyzligada al sólido; la relación entre sus versores y los de la referencia anterior es

[�i, �j, �k] = [�v1, �v2, �v3]R3(ϕ) con R3(ϕ) =

⎛⎝cosϕ − sinϕ 0sinϕ cosϕ 00 0 1

⎞⎠

O

x1

z1

y1

x

y

z

�i

�j

�k

ψ

θ

ϕ

�u1: línea de nodos

FIGURA 3.3: Ángulos de Euler

La composición de los tres giros, en el orden en que se han dado, yprecisamente en ese orden (ésta es una precisión importante, pues lacomposición de giros no goza de la propiedad conmutativa), permitepasar de la referencia Ox1y1z1 a la referencia Oxyz. Así, la rotaciónque lleva al sólido desde la posición inicial a la final tiene asociada lamatriz Q(ψ, θ, ϕ) asociada a la composición de los tres giros:

Q = R3(ψ)R1(θ)R3(ϕ)




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COORDENADAS GENERALIZADAS DE UN SÓLIDO

En términos de los ángulos de Euler, la matrizQ, que relaciona los versores de las referencias �1 y �

[�i, �j, �k] = [�i1, �j1,�k1] Q

adopta la forma:

Q =

(cosψ cosϕ− sinψ sinϕ cos θ, − cosψ sinϕ− sinψ cosϕ cos θ, + sinψ sin θsinψ cosϕ+ cosψ sinϕ cos θ, − sinψ sinϕ+ cosψ cosϕ cos θ, − cosψ sin θ

sin θ sinϕ, sin θ cosϕ, cos θ

)

Resumiendo, para fijar la posición de un sólido S se necesitan 6 datos: las tres coordenadas (ξo, ηo, ζo) del punto O en la referencia fija, y los tres ángulosde Euler (ψ, θ, ϕ) que permiten determinar la matriz Q. Estos seis elementos reciben el nombre de coordenadas generalizadas y describen los seis grados delibertad que posee el sólido.

Cuando el sólido se mueve sus coordenadas generalizadas son funciones del tiempo

ξo(t), ηo(t), ζo(t), ψ(t), θ(t), ϕ(t)

Si se dispone de ellas, las relaciones (x1y1z1

)= Q

(xyz

)+

(ξoηoζo

)

permiten determinar el movimiento de cualquier partícula del sólido respecto a la referencia �1.La Cinemática del Sólido resuelve dos tipos básicos de problemas. El primero consiste en averiguar propiedades del movimiento de S a partir de la

evolución temporal de sus coordenadas generalizadas ξo(t), ηo(t), ζo(t), ψ(t), θ(t), ϕ(t); las ecuaciones anteriores, junto con la teoría de Cinemática del Punto,permiten resolver este problema sin dificultades.

El segundo tipo de problema consiste en averiguar la evolución temporal de las coordenadas generalizadas ξo(t), ηo(t), ζo(t), ψ(t), θ(t), ϕ(t), cuando elsólido se mueve satisfaciendo ciertos requisitos. Este segundo tipo de problemas suele ser de mayor dificultad que el anterior y su tratamiento exigeprofundizar en el teoría que aquí se expone.




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GIRO ALREDEDOR DE UN EJE

Sea S un sólido, con un puntoO fijo enOx1y1z1. El único movimiento posible es una rotaciónpura, definida por el vector unitario �e (fija la posición del eje de rotación) y el ángulo giradoφ, alrededor de una recta que pasa por O. Para obtener la matriz Q del giro se usará la figuraadjunta. Sea �x el vector posición de un punto genéricoM que, a consecuencia del giro, pasaa ocupar la posición M ′ situada por el vector posición �y. La trayectoria seguida por M enese giro es una circunferencia situada en el plano π que contiene a M y M ′ y es ortogonal a�e y cuyo centro es el punto P donde el eje de rotación corta al plano π.Se plantea la ecuación vectorial

�y =−−→OP+

−−−→PM′ en donde

{ −−→OP = (�e · �x)�e−−−→PM′ = cosφ

−−→PM+ sinφ �e×−−→

PM

y teniendo en cuenta las relaciones

−−→PM = �x−−−→

OP = �x− �e(�e · �x) = −�e× (�e× �x)

�e×−−→PM = �e× �x

se llega a la ecuación vectorial

�y = �x+ sinφ �e× �x+ (1− cosφ) �e× (�e× �x)

Esta ecuación vectorial debe transformarse en una ecuación matricial y ya que las coordenadasde �x intervienen linealmente la ecuación admitirá una expresión matricial del estilo Y =QX. Si son (e1, e2, e3) las coordenadas del vector unitario �e en la base �1, cada uno de lostérminos del segundo miembro, contribuye a la matriz Q de la siguiente manera:

FIGURA 3.4: Giro alrededor de un eje

O

x1

z1

y1

M ′

M

P

�e

φ

�x

�y

�e× �x

−�e× (�e× �x)

π

�x → IX

sinφ �e× �x → sinφEX

(1− cosφ) �e× (�e× �x) → (1− cosφ)E2X

donde las matrices I y E están dadas por

I =

⎛⎝1 0 00 1 00 0 1

⎞⎠ , E =

⎛⎝ 0 −e3 e2e3 0 −e1−e2 e1 0

⎞⎠

y, en consecuencia, la matriz de rotación Q será

Q = I + sinφE + (1− cosφ)E2 (3.1)




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PARÁMETROS DE EULER

La combinación �e sinφ

2se presenta de manera natural. Resulta útil definir el vector

�ε ≡ (ε1, ε2, ε3) = �e sinφ

2= (e1, e2, e3) sin

φ

2

cuyas componentes, junto con el cuarto parámetro

η = cosφ

2

definen totalmente los elementos del giro (�e, φ).Los cuatro parámetros (ε1, ε2, ε3, η) se denominan parámetros de Euler. No son inde-pendientes ya que satisfacen la condición adicional

|�ε | = sinφ

2⇒ |�ε |2 + η2 = 1

que desarrollada, adopta la forma

ε21 + ε22 + ε23 + η2 = 1 (3.2)

Si se conocen los parámetros de Euler se pueden reproducir las variables eje/ángulo (�e, φ)a partir de las relaciones

sinφ

2=√

1− η2, cosφ

2= η, �e =

�ε√1− η2

La ventaja de los parámetros de Euler se deja notar al realizar la composición de dos girossucesivos (�ε1, η1) y (�ε2, η2). ¿Cuales son los parámetros de Euler (�ε3, η3) asociados algiro resultante? No es trivial demostrar que los elementos que definen el giro resultanteson:

η3 = {η1η2 − �ε1 · �ε2}�ε3 = η2 �ε1 + η1 �ε2 + �ε1 × �ε2

y proporcionan, directamente, los parámetros de Euler de la composiciónde ambos giros.Deben subrayarse algunas ventajas importantes de la utilización de losparámetros de Euler. La matriz Q asociada a un giro, en términos de losparámetros de Euler (�ε, η) adopta la forma

Q = I + 2η�+ 2�2

donde se denota por � la matriz

� =

⎛⎝ 0 −ε3 ε2ε3 0 −ε1−ε2 ε1 0

⎞⎠ = sin

φ

2E

Esta expresión, desarrollada, conduce a una matriz Q de estructura muysencilla

Q =

⎛⎝1− 2(ε22 + ε23) 2ε1ε2 − 2ηε3 2ε1ε3 + 2ηε2

2ε1ε2 + 2ηε3 1− 2(ε21 + ε23) 2ε2ε3 − 2ηε12ε1ε3 − 2ηε2 2ε3ε2 + 2ηε1 1− 2(ε21 + ε22)

⎞⎠

que evita todo tipo de función trigonométrica, con el ahorro sustancial detiempo y precisión que esto supone en cálculo numérico.Los parámetros de Euler no presentan singularidades, a diferencia de losángulos de Euler. Esta ventaja resulta decisiva en problemas de Dinámicade Actitud de sólidos y es la razón por la que, la mayoría de los sistemascomplejos de control de actitud como los usados en las lanzaderas es-paciales (Space Shuttle), usen los parámetros de Euler para describir elmovimiento.




September 2, 2011

CAMPO DE VELOCIDADES DE UN SÓLIDO LIBRE

Se pretende determinar la velocidad de una partícula M del sólido de coordenadas(x, y, z) conocidas. Se parte del radio vector

−−−→O1M que fija la posición de M en la

referencia O1x1y1z1; su derivada temporal será la velocidad buscada. El radiovector

−−−→O1M se descompondrá de nuevo en la forma

−−−→O1M =

−−−→O1O+

−−→OM

donde−−→OM = x�i + y�j + z�k es el vector posición de la partícula M en la referencia

�. Derivando respecto del tiempo se tiene

�vM =d−−−→O1M

dt=

d−−−→O1O

dt+

d−−→OM

dtdonde

d−−−→O1O

dt= �vO

En el segundo miembro aparece la velocidad del origen O de los ejes cuerpo Oxyz.Para calcular el término restante, obsérvese que las coordenadas (x, y, z) de M nocambian con el tiempo, pero los versores (�i, �j, �k) de� sí. Se tiene así

d−−→OM

dt= x

d�i

dt+ y

d�j

dt+ z

d�k

dt

Hay que calcular, por tanto, las derivadas temporales de los versores (�i, �j, �k). Re-cuerdese la relación que liga las bases � y �1 de las referencias� y�1

[�i, �j, �k] = [�i1, �j1,�k1] Q(t) o bien [�i1, �j1,

�k1] = [�i, �j, �k] QT (t)

dondeQ(t) es una matriz de rotación. Derivando respecto del tiempo se obtiene

[d�i

dt,d�j

dt,d�k

dt] = [�i1, �j1,

�k1] Q(t)

FIGURA 3.5: Posición del sólido S en la referencia�1

x

y

z

x1

y1

z1

M

�i1

�j1

�k1

O

O1

�i

�j

�k

donde Q(t) es una matriz cuyos elementos son las derivadas, temporales, de loscorrespondientes elementos de la matriz Q(t). Las derivadas de los versores(�i, �j, �k) están expresadas como vectores de la referencia fija (�i1, �j1,

�k1); espreferible expresarlas como vectores de la referencia Oxyz ligada al sólido. Sellega así a la expresión:

[d�i

dt,d�j

dt,d�k

dt] = [�i, �j, �k] (QT Q) = [�i, �j, �k]Ω

en la que interviene la matriz Ω = QT Q que resulta ser antisimétrica.




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ECUACIÓN DEL CAMPO DE VELOCIDADES

En efecto, dado que Q es ortogonal, verifica la condición QTQ = I y si en ella sederiva respecto del tiempo, se obtiene

QTQ+QT Q = 0 ⇒ ΩT +Ω = 0 ⇒ ΩT = −Ω

esto es, Ω es antisimétrica. Al ser de tamaño tres, y antisimétrica, sólo tres elemen-tos son independientes: ω1, ω2, ω3. Así, a cada matriz antisimétrica Ω de tamañotres se le puede asociar, de manera única, un vector �ω de coordenadas (ω1, ω2, ω3)

en la base � = (�i, �j, �k) de los ejes cuerpo. Se tiene asi:

Ω =

⎛⎝ 0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

⎞⎠ ⇔ �ω = ω1

�i+ ω2�j + ω3

�k

Esta correspondencia entre matrices antisimétricas y vectores es biyectiva: paracada matriz antisimétrica Ω hay un único vector �ω asociado a ella y, recíproca-mente, para cada vector �ω hay una única matriz antisimétrica Ω asociada a él. Lamatriz Ω está asociada al operador “�ω × _” en ejes cuerpo. La matriz Ω permitecalcular la derivada temporal del vector

−−→OM. En efecto:

d−−→OM

dt= [

d�i

dt,d�j

dt,d�k

dt]

⎛⎝xyz

⎞⎠ = [�i, �j, �k]Ω

⎛⎝xyz

⎞⎠ = [�i, �j, �k]

⎛⎝ω2z − ω3yω3x− ω1zω1y − ω2x

⎞⎠ ;

relación que adopta la siguiente forma simplificada

d−−→OM

dt= �ω ×−−→

OM

Este resultado se sigue del hecho de que la matriz Ω esté asociada al operador“�ω × _” en ejes cuerpo; puede comprobarse calculando el producto vectorial

�ω ×−−→OM =

∣∣∣∣∣∣�i �j �kω1 ω2 ω3

x y z

∣∣∣∣∣∣ = [�i, �j, �k]

⎛⎝ω2z − ω3yω3x− ω1zω1y − ω2x

⎞⎠

El vector �ω se denomina vector velocidad angular o, simplemente, velocidadangular del sólido. Dado queQ(t) y Ω = QT Q son funciones del tiempo, �ω(t) estambién función del tiempo. Con su ayuda, la velocidad de un punto genérico Madopta la forma

�vM = �vO + �ω ×−−→OM (3.3)

y recibe el nombre de ecuación del campo de velocidades del sólido. La expresión(3.3) permite calcular, en un instante dado, las velocidades de todos los puntosdel sólido (hay infinitos) en función de sólo dos datos vectoriales, �vO(t) y �ω(t),funciones del tiempo. Es consecuencia directa de las ligaduras que confieren alsólido su carácter rígido. Conocer, en un instante dado, el campo de velocidadesdel sólido exige disponer del par (�vO, �ω) que se llama grupo cinemático. En laliteratura de origen anglosajón el par (�ω, �vO) se denomina screw, que se traducepor hélice.En la ecuación (3.3) el punto M y el origen O son arbitrarios; en consecuencia laecuación se satisface para cualquier pareja de puntos (A,B) del sólido

�vB = �vA + �ω ×−−→AB

La velocidad angular �ω es única. Si hubiese otro vector velocidad angular �ω1,habrían de verificarse, para todo par de puntos (A,B) de S, las relaciones

�vB = �vA + �ω ×−−→AB

�vB = �vA + �ω1 ×−−→AB

}⇒ (�ω − �ω1)×−−→

AB = �0

condición que, al satisfacerse para todo vector−−→AB, permite concluir �ω1 = �ω.




September 2, 2011

PRIMERAS PROPIEDADES

• En la ecuación del campo de velocidades

�vM = �vO + �ω ×−−→OM

la velocidad de M es suma de dos términos; el primero, �vO, común a todos lospuntos de S, representa una velocidad de traslación del sólido como un todo enla dirección marcada por �vO. El segundo, �ω × −−→

OM, depende de M y en élintervienen linealmente las coordenadas del vector �ω. Si se supone que �ω es de laforma �ω = ω1

�i, esto es, ω2 = ω3 = 0, entonces será

�ω ×−−→OM = −ω1z�j + ω1y�k

y coincide con el campo de velocidades generado por una rotación de intensidadω1

alrededor de Ox. Análogamente se comprueba que el término �ω ×−−→OM coincide,

si �ω = ω2�j, con el campo de velocidades en una rotación pura de intensidad

ω2 alrededor de Oy; y si �ω = ω3�k, dicho término coincide con el campo de

velocidades en una rotación pura ω3 alrededor del eje Oz. Por ello, y ya que suscoordenadas intervienen linealmente en el producto �ω×−−→

OM, �ω recibe el nombrede vector velocidad angular del sólido. El campo de velocidades asociado a�ω×−−→

OM es el de una rotación de intensidad |�ω| alrededor de la recta que pasapor O y lleva la dirección de �ω.

• Nótese que �ω es un vector libre y puede determinarse a partir de las derivadas delos versores (�i, �j, �k) observando que se satisfacen las relaciones

d�i

dt= �ω × �i,

d�j

dt= �ω × �j,

d�k

dt= �ω × �k

�ω

�vM

x

y

z

−ω1z�j

M

O

ω1y�k

FIGURA 3.6: Rotación alrededor de Ox

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

�i× d�i

dt= �i× (�ω × �i) = �ω − �i (�ω · �i)

�j × d�j

dt= �j × (�ω × �j) = �ω − �j (�ω · �j)

�k × d�k

dt= �k× (�ω × �k) = �ω − �k (�ω · �k)

a partir de las cuales, sumando miembro a miembro, se obtiene:

�ω =1

2{�i× d�i

dt+ �j × d�j

dt+ �k × d�k

dt}

Nótese que basta con conocer la evolución temporal de sólo dos versores, porejemplo �i(t) y �j(t); la del tercero está fijada por la condición de ortonormalidad:�k(t) = �i(t)× �j(t).




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PRIMERAS PROPIEDADES: CARÁCTER AXIAL DE �ω

• La velocidad angular �ω de un sólido se comporta como un vector frente a todotipo de transformaciones ortogonales excepto frente a simetrías respecto de un plano;por ello se dice que �ω es un pseudovector o vector axial, para distinguirlo de losverdaderos vectores, vectores polares, que no presentan esta peculiaridad.Considérese un espejo plano π, un disco D que gira alrededor del eje perpendicular asu plano por su centro, y su imagen reflejada en el espejoD′; si el eje del disco es per-pendicular al espejoD y D′ tienen la misma velocidad angular. Este comportamientocontrasta con el seguido por el vector velocidad �v de una partícula M : su imagen enel espejo, M ′, tiene una velocidad, �v′, que es simétrica de �v respecto del plano π delespejo. Las velocidades angulares de D y D′ no son simétricas respecto del espejo.Análogamente, si el eje del disco es paralelo al espejo, el disco y su imagen reflejadaen el espejo tienen velocidades angulares opuestas.Este comportamiento del vector �ω frente a simetrías respecto de planos —comportamiento que no presentan los auténticos vectores— ha motivado el nombrede pseudovector; salvo por esta circunstancia, la velocidad angular �ω de un sólido esun vector y como tal debe manejarse en todas las expresiones en las que intervenga.

�ω

�v

�v′

π

−�ω

M

M ′

�ω

�ω

D

D′

FIGURA 3.7: Vector polar vs. vector axial




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PRIMERAS PROPIEDADES: EQUIPROYECTIVIDAD

• Si en la ecuación del campo de velocidades de un sólido se multiplican, escalarmente,ambos miembros por el vector unitario �uOM =

−−→OM/|−−→OM| se tiene:

�vM = �vO + �ω ×−−→OM ⇒ �vM · �uOM = �vO · �uOM

Por tanto, “las proyecciones de las velocidades de dos puntos cualquiera del sólidosobre la recta que los une son iguales", esto es, el campo de velocidades de un sólidoes “equiproyectivo". La importancia de esta propiedad se subraya cuando se observaque sólo los sólidos la poseen; en efecto, si las partículas de un cierto sistema materialsatisfacen esta propiedad, se tiene:

(�vM−�vO)·�uOM = 0 ⇒ d

dt(�rM−�rO)2 = 0 ⇒ (�rM−�rO)2 = cte

y, en consecuencia, el sistema es un sólido pues la distancia entre las dos partículaspermanece inalterada.

O

M

�vO

�vM

�uOM

FIGURA 3.8: Equiproyectividad

ESTRUCTURA BIDIMENSIONAL

• En un instante dado, todos los puntos de una recta R paralela a la veloci-dad angular �ω tienen la misma velocidad; en efecto, si A y B son dos puntosde la recta R sus velocidades satisfacen

�vB = �vA + �ω ×−−→AB ⇒ �vA = �vB

pues el término �ω × −−→AB se anula. Esta propiedad se verifica para todas las

rectas paralelas a �ω. Por tanto, la estructura del campo de velocidades delsólido es bidimensional. Basta con determinar el campo de velocidades en unúnico plano π perpendicular a �ω, dado que en todos los planos paralelos a πel campo de velocidades es idéntico al obtenido en el plano π.

A

B�vA

�vA

�ωR

π

FIGURA 3.9: Bidimensionalidad del campo de velocidades




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EJE INSTANTÁNEO

• Sea π el plano perpendicular a �ω por el origenO; existe un puntoH de π de velocidadortogonal a π (i.e. paralela a �ω). En efecto, para cualquier puntoH de π se tendrá:

�vH = �vO + �ω ×−−→OH

y si �ω × �vH = �0 ha de satisfacerse la relación:

�ω× �vO + �ω× (�ω×−−→OH) = �0 ⇒ �ω× �vO + �ω(�ω · −−→OH)−−−→

OHω2 = �0

que, al ser �ω · −−→OH = 0, permite determinar la posición de H:

−−→OH =

�ω × �vO

ω2

Todos los puntos de la recta paralela a �ω por H tienen la misma velocidad: �vH .Esta recta se denomina “eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento”, osimplemente eje instantáneo

O

H

�ω

�vH

π

FIGURA 3.10: Plano π y eje instantáneo

• La distribución de velocidades dentro del plano π es helicoidal. Sea M3 unpunto cualquiera de una recta de π que pase por H; su velocidad

�vM3 = �vH + �ω ×−−−→HM3

es suma de dos términos: el primero, �vH , común a todos los puntos de π.El segundo �ω × −−−→

HM3 está contenido en π, es perpendicular a−−−→HM3 y crece

linealmente con la distancia: |�ω × −−−→HM3| = |�ω| · |−−−→HM3|. Representa una

rotación alrededor del eje instantáneo de rotación (recta que pasa por H yes perpendicular a π). En consecuencia, el campo de velocidades en un instantedado es la superposición de: i) una traslación de valor �vH en la dirección del ejeinstantáneo y ii) una rotación de intensidad �ω alrededor del eje instantáneo. Lasuperposición de estos dos movimientos se denomina “movimiento helicoidal”;así pues, en un instante dado, el sólido está sufriendo un movimiento helicoidal.

H

M1�vH

�vH

�vM3

π

�ω ×−−−→HM3

�vM2

M2

M3

�ω

Eje Instantáneo

FIGURA 3.11: Estructura helicoidal del campo de velocidades




September 2, 2011

SUPERFICIES AXOIDES

• Cuando un sólido S se mueve respecto de una referenciaO1x1y1z1 el eje instantáneode rotación ocupa diversas posiciones en el espacio en cuyo seno se mueve el sólido.El lugar geométrico formado por las diferentes rectas de la referencia fija que en algúnmomento han sido eje instantáneo de rotación, constituye una familia uniparamétricade rectas, esto es, una superficie reglada denominada axoide fija; nótese que es unasuperficie de la referencia O1x1y1z1. En consecuencia, tendrá asociada una ecuaciónimplícita del estilo F (x1, y1, z1) = 0, o unas ecuaciones paramétricas del estilo

�x(λ, μ) = (x1(λ, μ), y1(λ1μ), z1(λ, μ))

siendo (λ, μ) unas coordenadas curvilíneas de la superficie en cuestión.

O1

x1

y1

z1

FIGURA 3.12: Axoide fija.

• Nótese que, en un instante dado, el eje instantáneo también puede considerasecomo recta de los ejes cuerpoOxyz. Cuando el tiempo transcurre, va ocupandosucesivas posiciones en el espacioOxyz. El lugar geométrico formado por todasesas rectas constituye una superficie reglada que se denomina axoide móvil.La axoide móvil es una superficie ligada al sólido, y en consecuencia, tendráasociado una ecuación implícita del estilo G(x, y, z) = 0, o unas ecuacionesparamétricas del estilo

�x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

donde (u, v) son coordenadas curvilíneas de la superficie. Las dos superficies—la axoide fija unida rígidamente a la referencia fija y la axoide móvil unidarígidamente al sólido S— comparten en un instante dado una generatriz común,el eje instantáneo de rotación y a lo largo de ella son tangentes.

O

x

y

z

FIGURA 3.13: Axoide móvil.




September 2, 2011

CASOS TÍPICOS DE SUPERFICIES AXOIDES

O

O1

x1

y1

z1 x

y

z

Axoide fija

Axoide móvil

Axoide fija

Axoide móvil

Axoide fija

Axoide móvil




September 2, 2011

TEOREMA DE CORIOLIS

Referencia O1x1y1z1 (sólido 1) fija. Referencia Oxyz (sólido 0) móvil. El movimiento 0/1es el detectado por un observador 1 situado en O1x1y1z1. Con frecuencia se debe calcular laderivada temporal de un vector �A(t) que puede expresarse mediante sus coordenadas en lareferencia 1 o en la referencia 0:

�A(t) = A1�i1 +A2

�j1 +A3�k1 en 1, �A(t) = a1�i+ a2�j + a3�k en 0

Nótese que en el proceso de derivación, la referencia 1 no cambia, y los versores [�i1, �j1, �k1]

permanecen constantes. Si el vector �A(t) se expresa mediante sus coordenadas en la referen-cia 1 se tendrá

d �A(t)

dt= �A (t) =

dA1

dt�i1 +

dA2

dt�j1 +

dA3

dt�k1 =

d �A(t)

dt

∣∣∣∣∣(1)

puesd�i1dt

=d�j1dt

=d�k1

dt= �0; para remarcar que en este proceso de derivación los versores

[�i1, �j1,�k1] permanecen constantes suele decirse que esta derivada es la derivada del vec-

tor �A(t) hecha en la referencia 1 o, también, la derivada del vector �A(t) hecha por elobservador 1 y suele usarse, para ella, la notación indicada arriba.Si se dispone del vector �A(t) a través de sus coordenadas en la referencia 0 ligada al sólidoS, la derivada de �A(t) hecha en la referencia 1 vendrá dada por:

d �A(t)

dt

∣∣∣∣∣(1)

=da1dt�i+

da2dt

�j +da3dt

�k + a1d�i

dt+ a2

d�j

dt+ a3

d�k

dt

pues los vectores [�i, �j, �k] cambian con el tiempo pues S se mueve. Ahora bien

d�i

dt= �ω01 × �i,

d�j

dt= �ω01 × �j,

d�k

dt= �ω01 × �k

1

0

O

O1

x1

y1

z1

x

y

z

�A(t)

�A(t)

A1

A2

A3

a1

a2

a3

FIGURA 3.14: Teorema de Coriolis o del transporte

siendo �ω01 la velocidad angular del sólido 0 (S) en su movimiento re-specto del 1 (referencia O1x1y1z1), se tendrá

d �A(t)

dt

∣∣∣∣∣(1)

=da1dt�i+

da2dt

�j +da3dt

�k + �ω01 × �A(t).

Se llega de este modo al Teorema de Coriolis:

d �A(t)

dt

∣∣∣∣∣(1)

=d �A(t)

dt

∣∣∣∣∣(0)

+ �ω01 × �A(t)




September 2, 2011

CAMPO DE ACELERACIONES DE UN SÓLIDO LIBRE

Se pretende determinar la aceleración de una partícula M de S, de coordenadas (x, y, z)conocidas. Su velocidad está dada por �vM = �v O + �ω ×−−→

OM siendo �v O(t) y �ω(t) elgrupo cinemático de S. La aceleración deM es la derivada temporal de su velocidad �vM .La derivación se simplifica si se admite que se conoce �v O mediante sus coordenadas enla referencia fija O1x1y1z1 y �ω mediante sus coordenadas en la referencia móvil Oxyz.Se tiene así:

�γM =d�vM

dt⇒ �γM =

d�v O

dt

∣∣∣∣∣(1)

+d

dt(�ω ×−−→

OM)

∣∣∣∣(1)

=

= �γ O +d�ω

dt

∣∣∣∣(1)

×−−→OM+ �ω × d

−−→OM

dt

∣∣∣∣∣(1)

= �γ O + �α×−−→OM+ �ω × (�ω ×−−→

OM).

Se llega así a la expresión

�γM = �γ O + �α×−−→OM+ �ω × (�ω ×−−→

OM)

que se conoce con el nombre de ecuación del campo de aceleraciones del sólido. Enella, �γ O es la aceleración del origen O de los ejes cuerpo Oxyz ligados a S; �ω es la

velocidad angular, y �α =d�ω

dt

∣∣∣∣(1)

es la aceleración angular del sólido. Adviértase, y

esta propiedad se utiliza con frecuencia, que �α puede calcularse así:

�α =d�ω

dt

∣∣∣∣(1)

=d�ω

dt

∣∣∣∣(0)

+ �ω × �ω ⇒ d�ω

dt

∣∣∣∣(1)

=d�ω

dt

∣∣∣∣(0)

resultado que surge trivialmente del Teorema de Coriolis.

0

x

y

z

RO

M

M ′�ω

FIGURA 3.15: Campo radial �ω × (�ω ×−−→OM)

El campo de aceleraciones es superposición de dos; el primero, de estructuraidéntica al campo de momentos de un sistema de vectores deslizantes, es�γ O + �α × −−→

OM; el segundo, �ω × (�ω × −−→OM), tiene estructura radial.

En efecto, sea R la recta que pasa por O y tiene la dirección de �ω; sea M ′

la proyección ortogonal de M sobre R. El término �ω × (�ω × −−→OM) puede

escribirse como:

�ω × (�ω ×−−→OM) = �ω × (�ω ×−−−→

M′M) = −ω2−−−→M′M

y corresponde a una «atracción» de R proporcional a la distancia. Este

campo es potencial y deriva de la función1

2ω2

−−−→M′M

2:

�ω × (�ω ×−−→OM) = −ω2−−−→M′M = −∇[

1

2ω2−−−→M′M

2]




September 2, 2011

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS

Sea S un sólido (2) cuyo movimiento respecto a una referencia O1x1y1z1 (sólido 1) sedesea estudiar. En ocasiones, el análisis se simplifica si se introduce otra referencia auxiliarOxyz (sólido 0) cuyo movimiento, respecto de O1x1y1z1, es conocido. En tal caso, elmovimiento del sólido 2 respecto del 1 (abreviadamente, movimiento 2/1) se descomponeen el 2/0 más el 0/1. La nomenclatura es universal:

Movimiento 2/1 ⇒ Movimiento absoluto

Movimiento 2/0 ⇒ Movimiento relativo

Movimiento 0/1 ⇒ Movimiento de arrastre

Objetivo: velocidad y aceleración de un partículaM de S.

• Composición de velocidades: si se parte de la relación−−−→O1M =

−−−→O1O +

−−→OM, su

derivada temporal en la referencia fija O1x1y1z1 es la velocidad �vM21 :

d−−−→O1M

dt=d−−−→O1O

dt+d−−→OM

dt= �vO

01+d−−→OM

dt

∣∣∣∣∣(0)

+ �ω01×−−→OM = �vO

01+�vM20+ �ω01×−−→

OM

Dado que �vM01 = �vO

01 + �ω01 ×−−→OM se llega la expresión

�vM21 = �vM

20 + �vM01

que suele enunciarse de forma coloquial diciendo: la velocidad absoluta de un punto deS es suma de su velocidad relativa y su velocidad de arrastre. La velocidad de arrastrese define así: en el instante considerado la partícula M se liga al sólido 0 y, dado que éstese mueve, tendrá una velocidad en el movimiento 0/1; esa es la velocidad de arrastre. Ojocon la velocidad de arrastre, ya que depende del instante de tiempo en que se calcule y dela posición ocupada porM en el sólido 0.

1

0

2

x

y

z

x1

y1

z1

M

O

O1

FIGURA 3.16: Referencias básicas del problema

• Composición de velocidades angulares:

�vB21 = �vA

21 + �ω21 ×−−→AB

�vB20 = �vA

20 + �ω20 ×−−→AB

�vB01 = �vA

01 + �ω01 ×−−→AB

Restando a la primera la suma de las restantes se obtiene:

(�ω21 − �ω20 − �ω01)×−−→AB = �0 (∀ −−→

AB) ⇒ �ω21 = �ω20 + �ω01




September 2, 2011

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS

• Composición de aceleraciones: si se parte de la relación �vM21 = �vM

20 + �vM01 y se deriva respecto del

tiempo, en la referencia fija O1x1y1z1, se tiene:

�γM21 =

d�vM20

dt

∣∣∣∣∣(1)

+d�vM

01

dt

∣∣∣∣∣(1)

=d�vM

20

dt

∣∣∣∣∣(0)

+�ω01 × �vM20 +

d�vM01

dt

∣∣∣∣∣(1)

En el segundo miembro de esta relación, la primera derivada es, obviamente, la aceleración relativa �γM20 .

Sin embargo, un error frecuente en principiantes es confundir la segunda derivada con la aceleración�γM01 ; esto no es cierto. Conviene aclarar la sutileza: cuando se realiza la deriva temporal de una ex-

presión que proporciona una velocidad, el resultado es una aceleración sólo cuando la expresión que sederiva proporciona, siempre, la velocidad del mismo punto del sólido; si la expresión que se derivaproporciona en cada instante la velocidad de diferentes puntos del sólido, la derivada temporal no es laaceleración de un punto. Ejemplo: una bicicleta (sólido 1) rueda sin deslizar sobre una recta horizontal(sólido 0); el punto M de contacto con el suelo tiene siempre velocidad nula, esto es, �vM

01 = �0. Side esta expresión se pretende deducir que su aceleración se anula, �γM

01 = �0, se cometería un error; enefecto, M está pasando por un punto de retroceso de su trayectoria (una cicloide) y su aceleración esnormal al suelo. El cálculo correcto de la derivada es:

d�vM01

dt

∣∣∣∣∣(1)

=d

dt

{�vO01 + �ω01 ×−−→

OM} ∣∣∣∣∣

(1)

= �γO01 + �α01 ×−−→

OM+ �ω01 × �vM20 + �ω01 × (�ω01 ×−−→

OM)

Se llega así a la expresión clásica para la composición de aceleraciones:

�γM21 = �γM

20 + �γM01 + 2�ω01 × �vM

20 donde �γM01 = �γO

01 + �α01 ×−−→OM+ �ω01 × (�ω01 ×−−→

OM)

que suele enunciarse así: la aceleración absoluta (�γM21) es suma de la aceleración relativa (�γM

20), lade arrastre (�γM

01) y la aceleración de Coriolis (2�ω01 × �vM20).

1

0

M

�γM01

FIGURA 3.17: Ejemplo

La aceleración de Coriolis se llama, también, aceleración com-plementaria. La velocidad y aceleración de arrastre, con fre-cuencia se manejan de forma desarrollada:

�vM01 = �vO

01 + �ω01 ×−−→OM

�γM01 = �γO

01 + �α01 ×−−→OM+ �ω01 × (�ω01 ×−−→

OM)

• Composición de aceleraciones angulares: si en la expre-sión �ω21 = �ω20 + �ω01 se deriva respecto del tiempo se llegasin dificultad a la siguiente ley de composición:

�α21 = �α20 + �α01 + �ω01 × �ω20




September 2, 2011

COORDENADAS CILÍNDRICAS

Sea M una partícula en movimiento respeto de los ejes Oxyz. Se calcularán las compo-nentes en coordenadas cilíndricas de su velocidad y aceleración. Para ello, se toma la propiapartículaM como sólido 2, los ejesOxyz como sólido 1 y se introduce el sólido auxiliar 0;este último es el plano meridiano que contiene al ejeOz y a la propia partícula. Nòtese quela velocidad y aceleración angular del movimiento de arrastre son: �ω01 = θ�k, �α01 = θ�k.El movimiento 2/1 se descompone en el 2/0 más el 0/1:

�vM21 = �vM

20 + �vM01

{�vM

20 = r �ur + z �uz

�vM01 = �ω01 × �r = rθ �uθ

}⇒ �vM = r �ur + rθ �uθ + z �uz

Análogamente para la aceleración, �γM21 = �γM

20 + �γM01 + 2�ω01 × �vM

20 , se tendrá:

�γM20 = r �ur + z �uz

�γM01 = −rθ2 �ur + rθ �uθ

2�ω01 × �vM20 = 2rθ �uθ

⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒ �γM

21 = (r − rθ2)�ur + (rθ + 2rθ)�uθ + z �uz

Adviértase que el uso de coordenadas cilíndricas implica: 1) describir la posición de lapartículaM mediante las coordenadas (r, θ, z) y 2) expresar las magnitudes vectoriales enla base (�ur, �uθ, �uz) formada por tres vectores unitarios tangentes a las líneas coordenadas(θ = cte, z = cte), (r = cte, z = cte) y (r = cte, θ = cte), respectivamente.

1

0

M

r

x

y

z

�uθ

�ur

�uz�uz

O

�r

z

θ

FIGURA 3.18: Coordenadas cilíndricas




September 2, 2011

COORDENADAS ESFÉRICAS

Al igual que en el caso anterior, se calcularán las componentes, en coordenadas esféricas,de la velocidad y aceleración de M . De nuevo se toma la partícula como sólido 2, losejes Oxyz como sólido 1 y el plano meridiano que contiene al eje Oz y a M como sólidoauxiliar 0. Nòtese que la velocidad y aceleración angular del movimiento de arrastre son:�ω01 = θ�k, �α01 = θ�k. El movimiento 2/1 se descompone en el 2/0 más el 0/1; en cuantoa velocidades se refiere �vM

21 = �vM20 + �vM

01 :

�vM20 = r �ur + rϕ�uϕ

�vM01 = �ω01 × �r = rθ cosϕ�uθ

}⇒ �vM = r �ur + rθ cosϕ�uθ + rϕ�uϕ

Análogamente para la aceleración, �γM21 = �γM

20 + �γM01 + 2�ω01 × �vM

20 , se tendrá:

�γM20 = (r − rϕ2)�ur + (rϕ+ 2rϕ)�uϕ

�γM01 = −rθ2 cosϕ(cosϕ�ur − sinϕ�uϕ) + rθ cosϕ�uθ

2�ω01 × �vM20 = 2θ(r cosϕ− rϕ sinϕ)�uθ

⎫⎪⎬⎪⎭

Se llega así a la expresión:

�γM21 = (r − rϕ2 − rθ2 cos2 ϕ)�ur + ([rθ + 2rθ] cosϕ− 2rθϕ sinϕ)�uθ + (rϕ+ 2rϕ+ rθ2 sinϕ cosϕ)�uϕ

Adviértase que el uso de coordenadas esféricas implica: 1) describir la posición de lapartículaM mediante las coordenadas (r, θ, ϕ) y 2) expresar las magnitudes vectoriales enla base (�ur, �uθ, �uϕ) formada por tres vectores unitarios tangentes a las líneas coordenadas(θ = cte, ϕ = cte), (r = cte, ϕ = cte) y (r = cte, θ = cte), respectivamente.

FIGURA 3.19: Coordenadas esféricas (r, θ, ϕ)

x

y

z

�ur�uϕ

�uθ

O

ϕ

θ

�ω01 = θ(sinϕ�ur + cosϕ�uϕ)

�α01 = θ(sinϕ�ur + cosϕ�uϕ)




September 2, 2011

MOVIMIENTO DE SÓLIDOS EN CONTACTO

Con frecuencia un sólido (0) se mueve de forma que se mantiene constantemente en con-tacto con otro sólido (1). Se supondrá que el contacto tiene lugar en un punto M (aunqueel análisis se puede extender al caso de una curva). Las superficies que limitan a los sólidostienen, en M , un plano tangente común (el plano π de la figura). El campo de velocidadesdel movimiento relativo 0/1 se suele manejar mediante la velocidad �vM

01 , que se denominavelocidad de deslizamiento del sólido (0) respecto del sólido (1), y la velocidad angular�ω01.Supóngase que un mosquito, manchado de tinta, se mueve de forma que siempre se sitúasobre el puntoM (enM hay tres partículas: la del sólido (0), la del sólido (1) y el mosquitosólido (2)). La curva C0 del sólido (0) es la trayectoria del mosquito en el movimiento 2/0;la curva C1 es la trayectoria del mosquito en el movimiento 2/1. Por composición demovimiento se tendrá �vM

21 = �vM20 + �vM

01 , esto es, �vM01 = �vM

21 − �vM20 . Puesto que los dos

vectores del segundo miembro están contenidos en el plano π, el primero también lo está.Así pues, la velocidad de deslizamiento del sólido (0) respecto del sólido (1), �vM

01 , estácontenida en el plano tangente común.Es costumbre descomponer la velocidad angular �ω01 proyectando sobre el plano π y sobrela normal. La componente de �ω01 contenida en el plano π se llama velocidad angularde rodadura, �ωrod. La componente de �ω01 normal a π se llama velocidad angular depivotamiento, �ωpiv

�ω01 = �ωrod + �ωpiv

Con frecuencia, la velocidad de deslizamiento es nula, esto es, �vM01 = �0. En ese caso se

dice que el sólido (0) rueda y pivota sin deslizar sobre el sólido (1) o, simplemente, queel sólido (0) rueda sin deslizar sobre el (1), dando por supuesto la existencia de un posiblepivotamiento.

0

1

π C0

C1

�vM21

�vM20 M

�vM01

π

�ω01

�ωpiv

�ωrod

FIGURA 3.20: Solidos en contacto



Mecánica Clásica Cinemática del Sólido Rígido 0/21 September 2, 2011 Graduado en Ingeniería...

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