Measure theoryFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Absolute continuity 11.1 Absolute continuity of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.6 Properties of these generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Absolute continuity of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Singular measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Relation between the two notions of absolute continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Abstract Wiener space 52.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Example: Classical Wiener space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 AlmgrenPitts min-max theory 73.1 Description and basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Original references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Almost everywhere 8

i

ii CONTENTS

4.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Denition using ultralters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Approximate tangent space 105.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.1.1 Denition for sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.1.2 Multiplicities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.1.3 Denition for measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 Relation to rectiable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Atom (measure theory) 126.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.3 Non-atomic measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7 AubinLions lemma 147.1 Statement of the lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8 ba space 158.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8.1.1 Dual of B() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.1.2 Dual of L() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

9 Baire set 179.1 Basic denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

9.1.1 First denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179.1.2 Second denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179.1.3 Third denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

9.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.2.1 The dierent denitions of Baire sets are not equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.2.2 A Borel set that is not a Baire set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

9.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

10 BanachTarski paradox 19

CONTENTS iii

10.1 Banach and Tarski publication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910.2 Formal treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010.3 Connection with earlier work and the role of the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.4 A sketch of the proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

10.4.1 Step 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.4.2 Step 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.4.3 Step 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.4.4 Step 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.4.5 Some details, eshed out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

10.5 Obtaining innitely many balls from one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.6 The von Neumann paradox in the Euclidean plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

10.6.1 Recent progress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

11 Bochner measurable function 2611.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

12 Borel isomorphism 2712.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2712.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

13 Bounded variation 2813.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2813.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

13.2.1 BV functions of one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.2.2 BV functions of several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.2.3 Locally BV functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.2.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

13.3 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013.3.1 BV functions have only jump-type discontinuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013.3.2 V(, ) is lower semi-continuous on BV() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013.3.3 BV() is a Banach space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.3.4 BV() is not separable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.3.5 Chain rule for BV functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.3.6 BV() is a Banach algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

13.4 Generalizations and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3213.4.1 Weighted BV functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

iv CONTENTS

13.4.2 SBV functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3213.4.3 bv sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3313.4.4 Measures of bounded variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

13.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3313.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

13.6.1 Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413.6.2 Physics and engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

13.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

13.9.1 Research works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513.9.2 Historical references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

13.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.10.1 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.10.2 Other . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

14 Caccioppoli set 3814.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

14.2.1 Caccioppoli denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3914.2.2 De Giorgi denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

14.3 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3914.4 Notions of boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

14.4.1 The topological boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014.4.2 The reduced boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4014.4.3 De Giorgis theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

14.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114.5.1 A GaussGreen formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

14.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114.8 Historical references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4214.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

15 Cantor function 4415.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4415.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4515.3 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

15.3.1 Iterative construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4515.3.2 Fractal volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

15.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4615.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

CONTENTS v

15.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4615.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

16 Cantor set 4716.1 Construction and formula of the ternary set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4716.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4716.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

16.3.1 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4816.3.2 Self-similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4916.3.3 Topological and analytical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4916.3.4 Measure and probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

16.4 Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5016.4.1 SmithVolterraCantor set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5016.4.2 Cantor dust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

16.5 Historical remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5016.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5016.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5016.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5116.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

17 Carathodorys criterion 5217.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

18 Clarksons inequalities 5318.1 Statement of the inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5318.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5318.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

19 Coarea formula 5419.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5419.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5419.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

20 Computable measure theory 5620.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

21 Concentration of measure 5721.1 The general setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.2 Concentration on the sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.3 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.4 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5821.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

22 Content (measure theory) 59

vi CONTENTS

22.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5922.2 Integration of bounded functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5922.3 Duals of spaces of bounded functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5922.4 Construction of a measure from a content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

22.4.1 Denition on open sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6022.4.2 Denition on all sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6022.4.3 Construction of a measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

22.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

23 Continuity set 6123.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

24 Conull set 6224.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

25 Convergence in measure 6325.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6325.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6325.3 Counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6325.4 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6425.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

26 Portmanteau theorem 6526.1 Informal descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6526.2 Total variation convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6526.3 Strong convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6626.4 Weak convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

26.4.1 Weak convergence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6726.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6726.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

27 Crofton formula 6827.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6827.2 Proof sketch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6827.3 Other forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6827.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6827.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6827.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6927.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

28 Curvature of a measure 7028.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7028.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7028.3 Relationship to the Cauchy kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

CONTENTS vii

28.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

29 Cylindrical -algebra 7229.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7229.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

30 Decomposable measure 7330.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7330.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

31 Delta-ring 7431.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7431.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

32 Dierentiation of integrals 7532.1 Theorems on the dierentiation of integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

32.1.1 Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7532.1.2 Borel measures on Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7532.1.3 Gaussian measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

32.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7632.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

33 Dirac delta function 7733.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7733.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7833.3 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

33.3.1 As a measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7933.3.2 As a distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7933.3.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

33.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8033.4.1 Scaling and symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8033.4.2 Algebraic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8033.4.3 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8133.4.4 Composition with a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8133.4.5 Properties in n dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

33.5 Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8233.6 Distributional derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

33.6.1 Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8333.7 Representations of the delta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

33.7.1 Approximations to the identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8433.7.2 Probabilistic considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8433.7.3 Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8433.7.4 Oscillatory integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

viii CONTENTS

33.7.5 Plane wave decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8533.7.6 Fourier kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8633.7.7 Hilbert space theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8733.7.8 Innitesimal delta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

33.8 Dirac comb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8833.9 SokhotskiPlemelj theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8933.10Relationship to the Kronecker delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8933.11Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

33.11.1 Probability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8933.11.2 Quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8933.11.3 Structural mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

33.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9133.13Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9133.14References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9233.15External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

34 Direct integral 9434.1 Direct integrals of Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

34.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9534.2 Decomposable operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

34.2.1 Decomposition of Abelian von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9634.3 Direct integrals of von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9634.4 Central decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9734.5 Measurable families of representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9734.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

35 Discrepancy theory 9835.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9835.2 Classic theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9835.3 Major open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9835.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9835.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9835.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9835.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

36 Distortion (mathematics) 10036.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10036.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

37 Eective dimension 10137.1 Rigorous denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

37.1.1 Martingales and other gales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10137.1.2 Kolmogorov complexity denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

CONTENTS ix

37.2 Comparison to classical dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10237.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

38 Equivalence (measure theory) 10438.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10438.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10438.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

39 Essential range 10539.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10539.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10539.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10539.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10539.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

40 Essential supremum and essential inmum 10640.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10640.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10640.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10740.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10740.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10740.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

41 Euler calculus 10841.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10841.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10841.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

42 Factorization lemma 10942.1 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10942.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

42.2.1 f is a step function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10942.2.2 f takes only positive values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10942.2.3 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10942.2.4 f takes nite values only . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10942.2.5 Importance of the measure space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

42.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

43 Falconers conjecture 11043.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

44 Filtration (mathematics) 11244.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

44.1.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

x CONTENTS

44.1.2 Measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11344.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11444.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

45 Finite-dimensional distribution 11545.1 Finite-dimensional distributions of a measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11545.2 Finite-dimensional distributions of a stochastic process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11545.3 Relation to tightness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11545.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

46 Fuzzy measure theory 11646.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11646.2 Properties of fuzzy measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11646.3 Mbius representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11646.4 Simplication assumptions for fuzzy measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

46.4.1 Sugeno -measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11746.4.2 k-additive fuzzy measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

46.5 Shapley and interaction indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11746.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11746.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11746.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

47 G-measure 11947.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11947.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11947.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

48 Geometric measure theory 12048.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12048.2 Important Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12048.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12048.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12048.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12148.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

49 H-derivative 12249.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12249.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12249.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

50 Hamburger moment problem 12350.1 Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

50.1.1 Uniqueness of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12450.2 Further results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

CONTENTS xi

50.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

51 Hanners inequalities 12551.1 Statement of the inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12551.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

52 Hausdor density 12652.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12652.2 Marstrands theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12652.3 Preiss theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12652.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12652.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

53 Hausdor paradox 12753.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12753.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12753.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

54 Homological integration 12854.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

55 Indicator function 12955.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12955.2 Remark on notation and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12955.3 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12955.4 Mean, variance and covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13055.5 Characteristic function in recursion theory, Gdels and Kleenes representing function . . . . . . . 13055.6 Characteristic function in fuzzy set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13055.7 Derivatives of the indicator function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13155.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13155.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13155.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

56 Innite-dimensional Lebesgue measure 13256.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13256.2 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13256.3 Proof of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13256.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

57 Information theory and measure theory 13357.1 Measures in information theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13357.2 Entropy as a measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13357.3 Multivariate mutual information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13457.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

xii CONTENTS

57.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

58 Integral representation theorem for classical Wiener space 13658.1 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13658.2 Corollary: integral representation for an arbitrary probability space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13658.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

59 Integration by parts operator 13759.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13759.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13759.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

60 Jaccard index 13960.1 Similarity of asymmetric binary attributes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13960.2 Generalized Jaccard similarity and distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13960.3 Tanimoto similarity and distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

60.3.1 Tanimotos denitions of similarity and distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14060.3.2 Other denitions of Tanimoto distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

60.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14160.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14160.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14160.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

61 Join (sigma algebra) 14261.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

62 Klees measure problem 14362.1 History and algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14362.2 Known bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14362.3 References and further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

62.3.1 Important papers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14462.3.2 Secondary literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

63 KrylovBogolyubov theorem 14563.1 Formulation of the theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

63.1.1 Invariant measures for a single map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14563.1.2 Invariant measures for a Markov process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

63.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14563.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

64 Kmuras theorem 14664.1 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14664.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

CONTENTS xiii

65 Laplacian of the indicator 14765.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14765.2 Dirac surface delta prime function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14865.3 Dirac surface delta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14865.4 Approximations by bump functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14965.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

65.5.1 Quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14965.5.2 Fluid dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14965.5.3 Surface reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

65.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15065.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

66 Lebesgue integration 15266.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

66.1.1 Intuitive interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15366.1.2 Towards a formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

66.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15466.2.1 Measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15466.2.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15466.2.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15566.2.4 Domain of integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

66.3 Limitations of the Riemann integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15666.4 Basic theorems of the Lebesgue integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15666.5 Proof techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15766.6 Alternative formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15866.7 Limitations of Lebesgue integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15966.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15966.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15966.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

67 Lifting theory 16167.1 Existence of liftings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16167.2 Strong liftings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16167.3 Application: disintegration of a measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16267.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

68 Littlewoods three principles of real analysis 16368.1 The principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16368.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16368.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

69 Locally integrable function 16469.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

xiv CONTENTS

69.1.1 Standard denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16469.1.2 An alternative denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16469.1.3 Generalization: locally p-integrable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16469.1.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

69.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16569.2.1 Lp, is a complete metric space for all p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16569.2.2 Lp is a subspace of L, for all p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16569.2.3 L, is the space of densities of absolutely continuous measures . . . . . . . . . . . . . . . 165

69.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16669.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16669.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16669.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16669.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16769.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

70 Loeb space 16970.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16970.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16970.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

71 Lp space 17071.1 The p-norm in nite dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

71.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17071.1.2 When 0 < p < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17171.1.3 When p = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

71.2 The p-norm in countably innite dimensions and p spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17171.3 Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

71.3.1 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17371.4 Properties of Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

71.4.1 Dual spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17371.4.2 Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17371.4.3 Dense subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

71.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17471.5.1 HausdorYoung inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17471.5.2 Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17471.5.3 Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

71.6 Lp (0 < p < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17571.6.1 L0, the space of measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

71.7 Weak Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17671.8 Weighted Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17671.9 Lp spaces on manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17671.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

CONTENTS xv

71.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17771.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17771.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

72 Luzin N property 17972.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17972.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

73 Lvy metric 18073.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18073.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18073.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

74 LvyProkhorov metric 18174.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18174.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18174.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18174.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

75 Malliavins absolute continuity lemma 18275.1 Statement of the lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18275.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

76 Measurable function 18376.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18376.2 Caveat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18376.3 Special measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18376.4 Properties of measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18476.5 Non-measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18476.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18476.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18476.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

77 Measure (mathematics) 18577.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18677.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18677.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

77.3.1 Monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18777.3.2 Measures of innite unions of measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18777.3.3 Measures of innite intersections of measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

77.4 Sigma-nite measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18777.5 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18777.6 Additivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18777.7 Non-measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

xvi CONTENTS

77.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18877.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18877.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18877.11Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18877.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

78 Measure algebra 19078.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19078.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

79 Minkowski inequality 19179.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19179.2 Minkowskis integral inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19279.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19279.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

80 MinkowskiSteiner formula 19380.1 Statement of the Minkowski-Steiner formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19380.2 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

80.2.1 Surface measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19380.2.2 Convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

80.3 Example: volume and surface area of a ball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19380.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

81 Naimarks dilation theorem 19581.1 Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19581.2 Spelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19581.3 Some preliminary notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19581.4 Naimarks theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

81.4.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19681.5 Finite-dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19681.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

82 Nikodym set 19782.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

83 Non-measurable set 19883.1 Historical constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19883.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19883.3 Consistent denitions of measure and probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19883.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19983.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

83.5.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19983.5.2 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

CONTENTS xvii

84 Null set 20084.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20084.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20084.3 Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20084.4 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

84.4.1 A subset of the Cantor set which is not Borel measurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20184.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

85 Overlap coecient 20285.1 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

86 Parthasarathys theorem 20386.1 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20386.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

87 Weakly measurable function 20487.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20487.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20487.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20487.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

88 Pi system 20588.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20588.2 Relationship to -Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

88.2.1 The - Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20588.3 -Systems in Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

88.3.1 Equality in Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20688.3.2 Independent Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

88.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20788.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20788.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

89 Planar lamina 208

90 Pointwise convergence 20990.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20990.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20990.3 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20990.4 Almost everywhere convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20990.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21090.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

91 Portmanteau theorem 21191.1 Informal descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

xviii CONTENTS

91.2 Total variation convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21191.3 Strong convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21291.4 Weak convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

91.4.1 Weak convergence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21391.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21391.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

92 Positive and negative sets 21492.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21492.2 Hahn decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

93 Positive real numbers 21593.1 Logarithmic measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21593.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

94 Prevalent and shy sets 21694.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

94.1.1 Prevalence and shyness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21694.1.2 Local prevalence and shyness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

94.2 Theorems involving prevalence and shyness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21694.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

95 Progressively measurable process 21895.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21895.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21895.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

96 Radon space 21996.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

97 Radonifying function 22097.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22097.2 Push forward of a CSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22097.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

98 Real-valued function 22198.1 In general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22198.2 Measurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22198.3 Continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22198.4 Smooth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22298.5 Appearances in measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22298.6 Other appearances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22298.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22298.8 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

CONTENTS xix

98.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

99 Rectiable set 22399.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

99.1.1 Rectiable sets in metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22399.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22399.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22399.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

100Regular conditional probability 225100.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225100.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225100.3Alternate denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225100.4Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226100.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226100.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226100.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

101Ruziewicz problem 227101.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

102Separable sigma algebra 228

103Set-theoretic limit 229103.1Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

103.1.1 The two denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229103.1.2 Monotone sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

103.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230103.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230103.4Probability uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

103.4.1 BorelCantelli lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231103.4.2 Almost sure convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

103.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

104Sierpiski set 232104.1Example of a Sierpiski set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232104.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

105Sigma additivity 233105.1Additive (or nitely additive) set functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233105.2-additive set functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233105.3-additive set functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233105.4Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

105.4.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

xx CONTENTS

105.5Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233105.5.1 An additive function which is not -additive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

105.6Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234105.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234105.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

106Sigma-algebra 235106.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

106.1.1 Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235106.1.2 Limits of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235106.1.3 Sub -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

106.2Denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236106.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236106.2.2 Dynkins - theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236106.2.3 Combining -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237106.2.4 -algebras for subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237106.2.5 Relation to -ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237106.2.6 Typographic note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

106.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237106.3.1 Simple set-based examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237106.3.2 Stopping time sigma-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

106.4-algebras generated by families of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238106.4.1 -algebra generated by an arbitrary family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238106.4.2 -algebra generated by a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238106.4.3 Borel and Lebesgue -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238106.4.4 Product -algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238106.4.5 -algebra generated by cylinder sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239106.4.6 -algebra generated by random variable or vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239106.4.7 -algebra generated by a stochastic process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

106.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239106.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239106.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

107Sigma-ideal 241107.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

108Sigma-ring 242108.1Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242108.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242108.3Similar concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242108.4Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242108.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

CONTENTS xxi

108.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

109Simple function 243109.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243109.2Properties of simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243109.3Integration of simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243109.4Relation to Lebesgue integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243109.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

110Simple matching coecient 245110.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245110.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

111SmithVolterraCantor set 246111.1Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246111.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246111.3Other fat Cantor sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246111.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246111.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247111.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

112Solovay model 248112.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248112.2Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248112.3Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248112.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

113Standard probability space 250113.1Short history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250113.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

113.2.1 Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250113.2.2 Isomorphism modulo zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250113.2.3 Standard probability space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

113.3Examples of non-standard probability spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250113.3.1 A naive white noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250113.3.2 A perforated interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251113.3.3 A superuous measurable set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

113.4A criterion of standardness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251113.4.1 A single random variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251113.4.2 A random vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252113.4.3 A random sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252113.4.4 A sequence of events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252113.4.5 Additional remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

xxii CONTENTS

113.5Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252113.5.1 Via absolute measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252113.5.2 Via perfectness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252113.5.3 Via topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

113.6Verifying the standardness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253113.7Using the standardness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

113.7.1 Regular conditional probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253113.7.2 Measure preserving transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

113.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254113.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

114Strong measure zero set 255114.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

115Sugeno integral 256115.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

116Support (measure theory) 257116.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257116.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257116.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257116.4Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

116.4.1 Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258116.4.2 Dirac measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258116.4.3 A uniform distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258116.4.4 A nontrivial measure whose support is empty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258116.4.5 A nontrivial measure whose support has measure zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

116.5Signed and complex measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259116.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

117SrensenDice coecient 260117.1Name . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260117.2Quantitative version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260117.3Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260117.4Dierence from Jaccard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261117.5Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261117.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261117.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261117.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

118Talagrands concentration inequality 263118.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263118.2Explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

CONTENTS xxiii

118.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

119Tightness of measures 264119.1Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264119.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

119.2.1 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264119.2.2 Polish spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264119.2.3 A collection of point masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264119.2.4 A collection of Gaussian measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

119.3Tightness and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265119.4Exponential tightness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265119.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

120Transportation theory (mathematics) 266120.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

120.1.1 Mines and factories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266120.1.2 Moving books: the importance of the cost function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

120.2Abstract formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267120.2.1 Monge and Kantorovich formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267120.2.2 Duality formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

120.3Solution of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267120.3.1 Optimal transportation on the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267120.3.2 Separable Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

120.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268120.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268120.6Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

121Trigonometric moment problem 269121.1Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

121.1.1 Parametrization of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269121.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

122Tversky index 271122.1Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

123Universally measurable set 272123.1Finiteness condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272123.2Example contrasting with Lebesgue measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272123.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

124Valuation (measure theory) 273124.1Domain/Measure theory denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

124.1.1 Continuous valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273124.1.2 Simple valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

xxiv CONTENTS

124.1.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273124.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

124.2.1 Dirac valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274124.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274124.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

125Varifold 275125.1Historical note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275125.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275125.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275125.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275125.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

126Vitali covering lemma 277126.1Vitali covering lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

126.1.1 Statement of the lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277126.1.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278126.1.3 Applications and method of use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

126.2Vitali covering theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279126.2.1 Vitalis covering theorem for the Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279126.2.2 Vitalis covering theorem for the Hausdor measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279126.2.3 From the covering lemma to the covering theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280126.2.4 Innite-dimensional spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

126.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280126.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

127Vitali set 282127.1Measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282127.2Construction and proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282127.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283127.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .