Mde Teoria 2007

Modelos digitales de elevación: Teoría, métodos de interpolación y aplicaciones

Jorge [email protected]

2007

INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

MODELADO DE SUPERFICIES Y MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3El concepto de modelo digital del terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Métodos basados en unidades discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Métodos basados en el concepto de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Interpolación a partir de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Métodos de interpolación local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Interpolación a partir de isolíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

EVALUACIÓN DE LA EXACTITUD DEL MODELO DIGITAL DE ELEVACIÓN . . . . . . . . 30Exactitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Error aritmético medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Error absoluto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Raíz cuadrada del error medio cuadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Desviación estándar o típica (DT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Exactitud de los valores de elevación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

ESTÁNDARES O NORMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Estándares para modelos digitales de elevación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Errores para un MDE derivado de elevaciones obtenidos por métodos fotogramétricos . . . . 37

INSUMOS PARA ELABORAR UN MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Densidad y distribución de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Esquemas de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Curvas de nivel en mapas 1:50.000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

SELECCIÓN DEL MEJOR MÉTODOS PARA CREAR UN MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

EDICIÓN Y DEPURACIÓN DEL MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

APLICACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Pendiente del terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Aspecto u orientación de la pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Iluminación/sombreado del terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Delimitación de cuencas hidrográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Perfiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Análisis de Inter visibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Línea de visibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Visualizaciónen perspectiva o tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Visualización en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Visualización en 2.5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Modelos Digitales de Elevación

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Visualización en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Animación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Creación de orto imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Cálculo de área y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Determinación de relleno y excavación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Creación de isolíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Creación de elementos en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Análisis de escorrentía superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Exportación de vistas en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

EVALUACIÓN DE LOS MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Sitios de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

METODOLOGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57ISLA CHIRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1. Escaneo de mapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572. Georeferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573. Digitar curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594. Convertir curvas de nivel a puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605. Crear polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606. Crear modelos digitales de elevación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627. Evaluación de la exactitud de los MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728. Evaluación del efecto del filtrado en la exactitud del MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739. Elaboración de mapas de pendiente y aspecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410. Efecto del tamaño del pixel en la exactitud del MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711. Funciones analíticas del software utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

CURVAS DE NIVEL A ESCALA 200.000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


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INTRODUCCIÓNEl mundo en que vivimos y trabajamos se caracteriza por ser tridimensional. Por ejemplo,

tenemos valles, montañas, cañadas y riscos. Los programas de computación en el área de losSistemas de Información Geográfica (SIG) permiten recrear visual y numéricamente el valor Zasociado a elementos del paisaje (natural y antrópico); esto los convierte en una poderosaherramienta para cualquier usuario(a) en las áreas de gestión ambiental y de recursos naturales. Elsoftware le permite al usuario(a) no solo visualizar elementos en tres dimensiones sino que tambiénrealizar análisis cuantitativos a partir de dichos elementos.

El presente documento tiene como objetivo introducir al lector al tema de la interpolaciónespacial y a una de sus áreas de aplicación: los modelos digitales de elevación. En la primer secciónse introduce al lector al tema de los modelos digitales de elevación, en la segunda se tratan losdiferentes métodos de interpolación; en la tercera se presente el tema de normas y estándaresutilizados para evaluar la calidad de los modelos y en la cuarta y última se describen los resultadosde dos estudios de caso. El primero corresponde a un MDE derivado a partir de un mapa 1:50.000y el segundo de un mapa 1:200.000; dos de las fuentes cartográficas mas comunes en Costa Rica.El material se ha escrito con el fin de que cumpla una función didáctica y por lo tanto se provee unacopia de los archivos utilizados para realizar los estudios de caso. Se han seleccionado losprogramas ArcView (ESRI, 1996; 1997a; 1997 b) IDRISI (Eastman, 1998) y Surfer (GoldenSoftware, 1999) para realizar el análisis de los datos; sin embargo, esto no representa unarecomendación implícita ni explícita por parte de la Universidad ni del autor sobre el software quedebe utilizarse en este tipo de análisis.

A través del documento el lector se familiarizará con las estructuras de los archivos utilizados porlos diferentes programas; con las técnicas y métodos disponibles para la creación de superficies; parasu visualización y finalmente con las herramientas analíticas que provee cada programa. En general,el software seleccionado le permite:

< Crear superficies que simulan la realidad a partir de diversas fuentes de datos (Ej. Puntos, líneas,polígonos).

< Determinar la elevación o altura de cualquier punto u objeto en una superficie.

< Realizar un análisis de inter visibilidad ()Qué puedo observar desde un punto determinado delpaisaje dado una serie de obstrucciones visuales?).

< Determinar volúmenes y diferencias entre el volumen de dos superficies.

< Modelar ambientes en tres dimensiones utilizando archivos vectoriales y raster.

< Visualizar sus datos en perspectiva (2.5D)


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Fig. 1: Vista en perspectiva creada a partir de un modelo deelevación digital del terreno y de un mapa vectorial.

Para ilustrar el potencial de análisis visual de una imagen en perspectiva se presenta acontinuación una sección de la ciudad de Heredia y sus alrededores (vista hacia el norte). Losedificios corresponden a estructuras digitadas del mapa 1:10.000 del Instituto Geográfico Nacional(1991).El modelo de elevación digital fue elaborado a partir de curvas de nivel cada 20 metrosobtenidas del mapa 1:50.000 del IGN.

Los usos de los MDE son muy variados; algunos de ellos son (Burroughs, 1986; ESRI, 1996;1997b; Golden Software, 1999; McCullagh, 1990; Weibel y Heller, 1991):

< Estimaciones de volúmenes a remover o rellenar en trabajos de ingeniería< Cartografía topográfica< Mapeo y estudios batimétricos e hidrológicos< Mapeo geológico y geofísico< Simulación y análisis del paisaje< Estimar área a inundar en proyectos hidroeléctricos< Estudios de intervisibilidad para definir ubicación de antenas para telecomunicaciones< Análisis estadístico del terreno< Determinación de pendiente, aspecto y sombreado del terreno< Visualización en 2.5D


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MODELADO DE SUPERFICIES Y MÉTODOS DE INTERPOLACIÓNEn la presente sección se describe el origen del término modelo digital de elevación así como los

métodos de interpolación disponibles para crearlos.

El concepto de modelo digital del terrenoEl término Modelo Digital del Terreno (MDT) fue acuñado, según Petrie y Kennie (1990) por

Miller y La Flamme, dos ingenieros del Instituto Tecnológico de Massachusetts, a finales de los años50. Según estos investigadores un modelo digital del terreno es una representación estadística de unasuperficie continua del terreno mediante un conjunto infinito de puntos cuyos valores en X, Y y Zson conocidos y están definidos en un sistema de coordenadas arbitrario. A continuación se definen algunos términos asociados a los modelos digitales de elevación(Burrough, 1986; Petrie y Kennie, 1990):

Modelo digital de elevación (MDE)En este caso la palabra elevación enfatiza el concepto de medición de altura con respecto a undatum y la generación por parte del modelo de valores absolutos de altura. Este término se utilizacon frecuencia en los Estados Unidos para describir un arreglo rectangular o exagonal de puntoscon valores de elevación obtenidos por métodos fotogramétricos o cartográficos.

Modelo digital de altura (MDA)Este términos aparentemente se originó en Alemania y su significado es similar al anterior; ya quelas palabras altura y elevación pueden utilizarse como sinónimos.

Modelo digital de la tierra (MDT)En este caso se enfatiza el hecho de que la superficie terrestre es un continuo y que por lo tantose pueden utilizar métodos de interpolación para obtener estimaciones de “Z” para aquellos sitiospara los cuales no se posea información. El término se utiliza en Inglaterra; sin embargo con eltiempo se ha ido reemplazando por (modelo digital del terreno(.

Modelo digital del terrenoEste concepto es un tanto más generalista; ya que el eje Z incluye tanto el uso de elevaciones (Ej.metros sobre el nivel del mar) como de alturas (Ej. levantamiento topográfico); así como losaccidentes típicos del paisaje (Ej. ríos, riscos, cañadas, etc). Para muchos usuarios el términoincluye tanto los elementos planimétricos como hipsométricos propios del paisaje; así como lainformación derivada a partir del modelo (Ej pendiente, intervisibilidad y orientación, entre otros).

La capacidad de elaborar modelos digitales de elevación (MDE) a partir de curvas de nivel ovalores puntuales (X,Y,Z) es una de las operaciones de mayor interés para los usuarios de losSistemas de Información Geográfica. Existe una gran diversidad de programas (Thoen,1997) que


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Exactos: Cuando preservan los valores originales de los puntos de muestreo.No exactos: No mantienen los valores originales de los puntos de muestreo.

Globales: La interpolación está basada en todos los puntos de muestreo.Locales: La interpolación está basada en un subset de los puntos de muestreo.

permiten crear modelos digitales de elevación sin embargo, en el ambiente nacional, la mayoría delos usuarios utilizan Surfer (1999), IDRISI (Eastman, 1998) y las extensiones Spatial Analyst y 3DAnalyst de ArcView (ESRI, 1996; 1997b) para crear sus modelos de elevación digital.

MÉTODOS DE INTERPOLACIÓNLa interpolación tiene como objetivo estimar, a partir de una muestra, valores de Z para un set

de puntos (X,Y). La interpolación puede utilizarse para cumplir tres funciones: (a) estimar valoresde Z para ubicaciones particulares (X,Y); (b) estimar valores de Z para una cuadrícula rectangular;(c) cambiar la resolución de la cuadrícula en un archivo raster (método conocido como remuestreo).Los interpoladores que operan a partir de puntos pueden clasificarse como:

Desde el punto de vista de la superficie asumida por el interpolador, Burrough (1986) los clasificaen dos grandes categorías: los que asumen que la superficie es discreta y los que asumen unasuperficie continua.

Métodos basados en unidades discretasEntre estos métodos tenemos:

Uso de elementos externos del paisaje para delinear (unidades homogéneas(En este caso el analista establece los límites entre unidades previamente definidas y por lo tanto

el resultado no es replicable ni es posible evaluar estadísticamente los errores asociados a ladefinición de los límites de las entidades. Algunos ejemplos prácticos de dicho método son:

< Mapas coropléticos< Mapas de unidades de suelos< Mapas de formaciones geológicas y geomorfológicas< Mapas de uso-cobertura del suelo

Uso de algoritmos para determinar el límite entre unidades homogéneasEsta técnica es utilizada en el área de procesamiento digital de imágenes o en el análisis de

conjuntos de datos multi variados y se fundamenta en la premisa de que existen unidadeshomogéneas en el set de datos. La función del algoritmo es tratar de definir los límites entre dichas


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Fig. 2: Polígonos de Thiessen. Cuenca del río Grande deTárcoles, Costa Rica. Software: ArcView V3.2.

unidades. Esta técnica es apropiada cuando la variación en la superficie es abrupta o discontinua (Ej.mapas de uso-cobertura de la tierra). Los polígonos de Thiessen (Fig. 2) forman parte de este grupode interpoladores; el método de análisis consiste en delimitar áreas de influencia (unidades discretas)a partir de un set de puntos. Cuando la distribución de los puntos es equidistante (Ej. grilla regular)los polígonos coinciden con el área de cada celda. El tamaño y la configuración de los polígonosdepende de la distribución de los puntos originales. Una limitante del método es que el valor paracada polígono se obtiene a partir de un solo punto y por lo tanto no es posible estimar el errorasociado a dicha estimación.

Métodos basados en el concepto de continuidadEstos métodos parten del supuesto de que la superficie es un continuo que puede describirse

utilizando una función matemática y un set de puntos de muestreo. Los métodos pueden dividirseen globales y locales (Oliver, 1990). Los primeros utilizan todos los puntos de muestreo para crearla superficie; en tanto que los segundos utilizan solo un subconjunto de los mismos (concepto devecino más cercano). A continuación se describen los interpoladores más comunes que operan apartir de puntos.

Interpolación a partir de puntosUna de las fuentes de datos para elaborar modelos digitales de elevación son ubicaciones (X,Y)

con sus respectivos atributos (Ej. Elevación, precipitación, temperatura, presión, etc). Los puntospueden muestrearse en forma aleatoria o utilizando un patrón regular (sistemático). A partir de estosvalores las rutinas de interpolación crean una superficie en la cual cada punto tiene un valor


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estimado. Tanto IDRISI, Surfer como 3D Analyst y Spatial Analyst de ArcView proveen rutinas parala interpolación basados en puntos. Independientemente del interpolador utilizado la calidad delMDE dependerá del número y la distribución de puntos de muestreo; así como de las característicasdel terreno. Cuanto mayor sea el número de puntos y mejor distribuidos se encuentren mejores seránlos resultados.

Métodos de interpolación globalEntre los métodos de interpolación global tenemos (Golden Software, 1999; Petrie, 1990):

< Análisis de tendencia de superficies (Modelos polinomiales): Esta técnica de análisis trata dedefinir la tendencia general observada en el set de datos mediante una ecuación polinomial degrado (n(. El objetivo del ajuste polinomial es reducir la varianza residual en el set de datos a unmínimo. En realidad, el método no se considera como un interpolador de superficies sino másbien como una técnica para detectar aquellas áreas que muestran una variabilidad superior a latendencia general del set de datos. La estimación del error asociado al modelo de regresión asumeque los residuos son independientes. Este supuesto no se cumple en la mayoría de los casos y porlo tanto el valor calculado no representa realmente la variación ó error asociado a la estimación(Oliver, 1990). Al igual que en cualquier otra aplicación de regresión, la superficie generada, enla mayoría de los casos, no pasará por los puntos originales y por lo tanto el interpolador esconsiderado como no exacto.

< Series de Fourier: Este método asume que existen variaciones periódicas en el set de datos y quesu tendencia puede modelarse como una función lineal de senos y cosenos. En general, el métodoha sido utilizado más para análisis estructurales que para la cartografía de características delpaisaje.

Global Aproximado: Interpolación a partir de isolíneas en formato rasterEl método de interpolación utilizado por Intercon de IDRISI (Eastman, 1992) pertenece a la

categoría “global-aproximado” (Heywood, Price y Petch; 1995). El programa crea el MDE a partirde un archivo de curvas de nivel en formato raster y utilizando un método de interpolación lineal queconsiste en crear una serie de perfiles en diferentes direcciones (Ej. Norte-Sur, diagonal; E-O). Paracada uno de estos perfiles el programa registra la elevación y la pendiente de cada celda. Laelevación final asignada a la celda corresponde a la del perfil con la máxima pendiente. El algoritmoutilizado es una modificación del algoritmo “CONSURF” creado por David Douglas de laUniversidad de Ottawa, Canadá. El manual de IDRISI (Eastman, 1992) reporta que un MDE creadocon dicho algoritmo para un mapa a escala 1:24.000 (curvas de nivel cada 3m) cumplió con lasnormas de exactitud utilizadas para la cartografía analógica de los Estados Unidos de América. Elerror medio reportado fue de -0.7m con una desviación estándar de 0.56m. La probabilidad deobtener un valor de elevación superior a 0.5 el intervalo de la curva de nivel fue inferior a 1%. El


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Fig. 3: Concepto de distancia debúsqueda.

método de interpolación hace un fuerte uso de la memoria RAM y virtual (disco duro) y por tantoel usuario debe poseer suficiente espacio libre en su disco antes de iniciar el proceso deinterpolación. Una de las limitaciones del interpolador es que crea superficies con fuertesirregularidades; las cuales deben eliminarse mediante la aplicación de un filtro promedio.

Métodos de interpolación localEntre los métodos de interpolación local tenemos (ESRI, 1997b; Golden Software, 1999; Petrie,

1990):

Distancia inversa ponderada (DIP) Este interpolador asume que cada punto en el set de datos tiene una influencia local que disminuyecon la distancia y que por lo tanto los valores de los puntos cercanos al nodo que se procesa tienenmayor importancia o peso en el valor que será asignado al mismo. Normalmente, la búsqueda se haceconsiderando un número de puntos o un radio (círculo alrededor de la celda de interés) (Fig. 3). Uncaso donde este supuesto es válido es la reducción en la intensidad de un terremoto a partir de suepicentro o la reducción en la temperatura del aire a partir de puntos focales de incendios. El pesoasignado a cada valor de Z ' está dado por:

P = 1/ (d) m (1)

en donde:

P = peso o ponderación que se aplicará a Z;m: exponente seleccionado por el usuario(a). Este valor define la influencia local de cada uno de lospuntos en el set de datos (ver cuadro 1).d: distancia entre el punto que se interpola y los vecinos más cercanos utilizados en la interpolación.


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El valor de cada punto interpolado Z ' es igual a:

3 Z i *1/ (d) m

Z ' = ----- ------------- (2) 3 1/ (d) m

El valor de “m” controla el aporte relativo de cada observación (Z) a la estimación de Z ' comopuede apreciarse en la figura 4 y el cuadro 1. Dado que no existe un criterio único para recomendarla selección del dicho valor, usted puede utilizar el cuadro 2 como una guía. Observe que no existeuna diferencia marcada en los resultados para un valor de m=2 y para otro de m=3. Tampoco el valorde Z ' es diferente (25.312 Vs 25.30, respectivamente). La diferencia importante está entre m=1 ym=2 ó m=3 (ver cuadro 2). Por esta razón, el manual del programa Surfer (Golden Software, 1999)recomienda valores de (m( entre 1 y 3. Si usted utiliza un valor de “m” inferior a 1, por ejemplo 0.5,su ponderación será igual a 1/d 0.5 y obtendrá una superficie con valores de Z ' más influenciados porlos valores más lejanos de Z como puede observarse en el cuadro 2. Observe en este caso el valorde Z también sería muy diferente (48.96).

Cuadro 1: Relación entre el valor del exponente “m” y el aporte relativo de cada valor de Zobservado al valor de Z ' estimado.

Z d (m) 1/d 1/d 2 1/d 3 Z*(1/d) Z*1/d 3

25 10 1 1 1 25 25

30 50 2 4 0.00001 6 24

35 100 1 1 0 35 0.0004

45 500 2 0 0 9 0

58 750 134 0.00178 0 773333 0.0001

55 1000 1 0 0 55 0

Z ' 2734 2530d (m): distancia lineal en metros entre el punto para el cual se desea estimar el valor de Z ' y lospuntos de observación más cercanos (Z).


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Fig.4: Relación entre valor del exponente “m”, la distancia de los vecinosmás cercanos y el valor de la ponderación.

Cuadro 2: Aporte relativo de cada observación (Z) al valor estimado de Z ' según su distancia alpunto de interés y el valor utilizado de “m”.

Z d (m) Aporte (%), m= 0.5 Aporte (%), m= 1 Aporte (%), m= 2 Aporte (%), m= 3

25 10 16 7446 9524 9911

30 50 426 1489 381 79

35 100 703 745 95 1

45 500 2023 149 4 7

58 750 3193 99 2 2

55 100 3496 74 9 0.99108

Z ' 4896 2734 2531 2530Los valores de “m” >= 1 indican un alto grado de influencia local y una superficie con mayor detalle(menos suavizada). Por el contrario valores de “m” inferiores a 1 indican un menor grado deinfluencia local y una superficie con menos detalle.


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Fig. 4: Interpolador Distancia Inversa Ponderada: Efecto de “ojos debuey”. Isoyetas cada 100mm. Software: Analista Espacial, ArcView.

Este método de interpolación se comporta como un interpolador exacto cuando no se utiliza ningúnfactor de suavizado. Uno de los defectos del interpolador es que genera una superficie con unaapariencia de 'ojos de buey' alrededor de los puntos de muestreo (Fig. 5). El programa Surfer(Golden Software, 1999) provee un filtro que suaviza la superficie y por lo tanto tiende a eliminareste problema. El programa también le permite definir el tipo de búsqueda a utilizar (todos los datos,simple, 4 sectores, 8 sectores); así como el número de puntos a utilizar y las dimensiones del círculoo elipse como se muestra en las figuras 6 y 7. El programa Analista Espacial de ArcView tambiénpermite definir el número de vecinos más cercanos o un radio de búsqueda a utilizar en el procesode interpolación; además usted puede utilizar barreras (Ej. línea de acantilado, cauce de un río).


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Fig. 6: Tipo de búsqueda. En este caso se haelegido una búsqueda utilizando 4 cuadrantes y 2observaciones por cuadrante. Basado en GoldenSoftware, 1999

Curvatura mínima (Spline)Este interpolador tiene su origen en los antiguos moldes curvos que utilizaban los dibujantes para

ajustar un curva a una serie de puntos. Este interpolador es realmente un conjunto de polinomioscúbicos que describen tanto la tendencia como la magnitud de una línea. La forma de la curva esdefinida localmente a partir de un subset de los datos. Algunos programas utilizan (B-splines(, loscuales son a su vez la suma de otros (splines( utilizados para suavizar líneas. El interpolador ajustauna línea de curvatura mínima a partir de los puntos de muestreo (X,Y,Z) y por lo tanto se comportacomo un interpolador exacto (la superficie creada mantendrá los valores de Z de los datosoriginales). Este método de interpolación es apropiado para superficies que varían en forma gradualtales como elevación, precipitación, temperatura, concentraciones de contaminantes y profundidadde la tabla de agua; sin embargo no es apropiado para extrapolar valores como puede apreciarse enla figura 8. Cuando los cambios son muy abruptos no se recomienda utilizar este interpolador. Elinterpolador es muy utilizado en las ciencias de la Tierra (Ej. geología, edafología, geomorfología,climatología). El usuario(o) debe seleccionar el número de puntos a utilizar por región o vecindadasí como un factor de ponderación (ESI, 1996b; Golden Software, 1999).


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Fig. 8: Interpolador de Curvatura Mínima. En la esquina superiorderecha puede observarse el efecto de extrapolar los valores de Z.Isoyetas cada 200mm. Software: Analista Espacial, ArcView.

Fig. 7: Tipo de áreas de búsqueda. A. Circular. B.Elíptica; los valores 1 y 2 indican el radio mayor ymenor que define el área de la elipse. El usuariotambién puede definir la inclinación de la elipse.Basado en Golden Software, 1999.


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Funciones radialesEste es un interpolador muy flexible y que provee resultados similares al método Kriging. El

interpolador se comporta como exacto cuando no se especifica el valor R2 (parámetro de forma osuavizado). No existe una valor universal para R2; sin embargo el manual del programa “Surfer”(Golden Software, 1999) sugiere utilizar un valor igual al espaciamiento medio ó a la mitad delespaciamiento medio de las puntos de muestreo. La opción multi cuadrática es considerada comola que genera las mejores superficies, seguida por Thin Plate Spline (Plano de curvatura mínimadelgado). Las funciones que el usuario especifica son análogas a los variogramas utilizados en elmétodo Kriging. La ecuación de la función multi cuadrática es la siguiente:

B (h) = ( h2 + R2 ) 0.5 (3)

en donde h: distancia relativa del punto al nodo anisotrópicamente reescalao y R2 el parámetro desuavizado indicado por el usuario.

< Método de Shepard: Este método de interpolación es similar al método de inverso de ladistancia, sin embargo la superficie generada no muestra el efecto de (ojos de buey(. Elinterpolador se comporta como exacto cuando no se especifica un factor de generalización(Golden Software, 1999).

< Triangulación con interpolación lineal: Método de interpolación basado en una red detriángulos irregulares (TIN). Para mayor detalle sobre este método se remite al lector a lasección sobre interpolación a partir de isolíneas . El interpolador se comporta como exacto.Utiliza todos los puntos de control para crear la superficie.

KrigingEl método de interpolación Kriging asume que la distancia y/o la dirección entre puntos de muestreo

es una expresión de la correlación espacial entre los puntos y que por tanto dicha información puedeutilizarse para explicar la variabilidad encontrada en la superficie muestreada. El algoritmo ajusta unafunción matemática a un determinado número de puntos o a aquellos que se encuentren en un radiode búsqueda. Este interpolador es más complejo que los anteriores y normalmente requiere de ciertoconocimiento estadístico por parte del usuario(a). El análisis incluye los siguientes pasos: análisisestadístico exploratorio del set de datos, modelado del variograma, interpolación de la superficie yanálisis de la superficie de varianza. Este interpolador se utiliza con mucha frecuencia en estudiosgeológicos y edafológicos.

El método de interpolación Kriging puede utilizarse prácticamente con cualquier tipo de datos yaque es muy flexible. Cuando no se especifica la varianza “pepita” o (nugget( el interpolador secomporta como exacto. En general, Kriging es considerado como uno de los mejores métodos deinterpolación ya que provee estimaciones insesgadas y de varianza mínima (Oliver, 1990). Este


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interpolador considera tanto la dirección como la magnitud de la correlación espacial en el set dedatos. Dado que este es un interpolador más complejo, a continuación se describe con mayor gradode detalle tanto los supuestos del método como su terminología.

El método de interpolación Kriging se basa en los siguientes supuestos:

1. Los datos muestran un patrón de variabilidad espacial que puede definirse a través de:< Un componente estructural asociado a un promedio constante o a una tendencia constante.< Un componente aleatorio con cierto grado de asociación espacial.< Un componente de error o variabilidad no explicada asociada a errores en las mediciones y a

micro variaciones en la superficie no detectadas por el modelo.

Los conceptos anteriores pueden expresarse matemáticamente como (Burrough, 1986):

Z (x) = m(x) + ,' (x) + ,'' (4)en donde:

Z(x): Valor de la variable Z en la posición x.

m(x): Función determinística que describe el componente estructural asociado al set de datos.

,' (x): Variación estocástica local que permanece en el set de datos después de remover la variaciónestructural dada por m(x).

,'': Residuos que representan variabilidad (“ruido”) sin una tendencia espacial en el set de datos,con promedio igual a 0 y varianza F 2.

En ausencia de una tendencia en los datos ((drift(), el valor de m(x) es igual a:

E [Z(x) - Z (x+h)] = 0 (5)

En este caso también se asume que la variación entre Z(x) y Z(x+h) depende exclusivamente dela distancia entre sitios o sea del valor de (h(, también conocido como resago. Matemáticamente loanterior se expresa como (Oliver, 1990):

Var [{Z(x) - Z x+h)] = E [{Z(x) - Z x+h)}2] = 2 ((h) (6)

en donde ((h) se conoce como el semivariograma.


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Dado que los supuestos anteriores se cumplan en el set de datos, la semivarianza puede estimarsea partir del set de datos utilizando el siguiente estimador (Issaks and Srivastava, 1989; Oliver, 1990):

((h) = 1/2n E{Z(xi) - Z (xi +h)}2 (7)

en donde (n( es el número de pares de observaciones separados por un resago (h(. Observe que elvalor de ((h) debe ser 0 cuando h es 0. El valor de ((h) cuando h tiende a 0 es una estimación de ,''

(error asociado al set de datos y a la micro variación local sin una dependencia espacial).El variogramadebe estimarse al menos en tres direcciones para detectar cualquier presencia de anisotropia en el setde datos (Oliver, 1990). EL estimador anterior es válido cuando se cumple con todos los supuestos delmodelo; sin embargo en presencia de violaciones no severas al modelo central (Ej. presencia devalores extremos), se recomienda utilizar los siguientes estimadores robustos (Cressie,1993):

2((h) / {1/ *N (h)* * E*Z(xi) - Z (xi +h)0.5}4 / (0.457 + 0.494) / *N (h)* (8)

2((h) /{Mediana * *Z(xi) - Z xi +h*0.5}4 / (B(h) (9)

B(h) corrige por el sesgo y su valor asintótico es 0.457. La transformación de potencia tiene lavirtud de generar datos con una distribución cercana a la normal.

SemivariogramaEl semivariograma es la representación gráfica de la semivarianza espacial con respecto a una

distancia (h(. Este valor es la mitad del promedio de la diferencia entre cada par de datos y la línea de45o en la gráfica; y su valor incrementa conforme el coeficiente de correlación y la covarianzadecrecen. A continuación se ilustran los conceptos básicos asociados al semivariograma utilizando unset de 100 observaciones de elevación sobre el nivel medio del mar obtenidas de un mapa 1:50.000del Instituto Geográfico Nacional. Los datos se muestran en el cuadro 3 y su distribución espacialpuede visualizarse en las figuras 9 y10. Las figuras 11, 12, 13 y 14 muestran 4 curvas de Z (x) versusZ (x+h) para el set de datos. La separación entre puntos de muestreo fue de1000m y los valores de Zestán dados en metros.


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10000

80006000

4000

2000

0

1000080006000400020000

280

240

200

160

120

80

Z (m)

X (m)

Y (

m)

Fig. 9: Distribución de 100 valores de elevación (m)para puntos muestreados con un espaciamiento de1000 metros en X y Y de una hoja cartográfica1:50.000 del IGN.

Cuadro3: Valores de elevación (m) obtenidos de un mapa escala 1:50.000 del Instituto GeográficoNacional. Muestreo cada 1000 metros.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 223 228 238 226 245 212 113 114 115 110

2 224 217 231 244 249 250 113 110 114 116

3 221 211 227 233 235 210 113 109 110 112

4 219 210 205 208 203 207 105 110 115 130

5 217 206 203 204 201 105 109 110 122 133

6 111 109 102 105 109 102 106 109 120 130

7 115 105 99 98 97 103 109 110 120 135

8 110 108 98 95 97 106 105 120 130 155

9 97 99 97 96 90 107 104 125 156 160

10 96 97 95 90 92 95 90 89 110 120


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28024020016012080

Z (t)

280

240

200

160

120

80

Z(t)

Fig. 11: Diagrama de dispersión h para h= (0,0)

1086420

Distancia (m)

200

180

160

140

120

100

80

Med

ia d

e Z

(m)

LeyendaMedia filas

Media columnas

Fig. 10: Promedios para columnas (Eje X) y filas (Eje Y) de 100valores de elevación (m) obtenidos de un mapa 1:50.000 del IGN.

La figura 11 ilustra el hecho de que elvalor de ((h) debe ser 0 cuando h es 0. Estose desprende de la ecuación utilizada paradeterminar la semivarianza. Obviamenteesta gráfica no nos proporciona ningunainformación sobre la tendencia espacial enel set de datos y se incluye sólo con finesdidácticos.

La figura 12 ilustra la relación entre Z(x) y Z(x+h) o sea aquellos pares de valores definidos porun resago de 1000 metros en el sentido Sur-Norte en el set de datos. Observe que el set de datos se hadividido en 2 grupos y existen otras observaciones distribuidas con un patrón menos definido.


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28024020016012080

Z(t)

280

240

200

160

120

80

Z (t

+h)

h = (0,1)

Fig. 12: Diagrama de dispersión h para h= (0,1)

28024020016012080

Z (t)

240

210

180

150

120

90

Z (t+

h)

h(0,2)

Fig.13: Diagrama de dispersión h para h= (0,2)

La gráfica 12 ilustra la relación entre Z(x) y Z(x+2h) o sea aquellos pares de valores definidos porun resago de 2000 metros en el sentido Sur-Norte en el set de datos. Observe que el set de datos se hadividido en 3 grupos y existen algunas pocas observaciones distribuidas con un patrón menos definido.

La gráfica 13 ilustra la relación entre Z(x) y Z(x+3h) o sea aquellos pares de valores definidos porun resago de 3000 metros en el sentido Sur-Norte en el set de datos. Observe que permanecen los 3grupos sin embargo su posición ha cambiado con respecto a la línea de 450.


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Fig.15: Simivariograma para 100 datos de elevaciónobtenidos de un mapa 1:50.000 y con una separación de 1000metros entre puntos de muestreo.

28024020016012080

Z (t)

240

210

180

150

120

90

60

Z (t

+h)

h = (0,3)

Fig.14: Diagrama de dispersión h para h= (0,3)


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Observe que efectivamente el valor de ( (h) es 0 cuando h es 0 y que los valores del coeficientede correlación de Pearson decrecen conforme se incrementa la separación entre los valores de (h) yel valor de la semi varianza (Cuadro 4). Es de esperarse que para un set de datos mayor su valor tiendaa estabilizarse conforme aumenta el valor de (h(. L a figura 15 corresponde al semi variograma paralos datos utilizados en el presente ejemplo. Observe que la gráfica tiene una forma cóncava ascendentepor cuanto puede asumirse que los datos presentan una tendencia local o global. En este caso losvalores mayores tienden a concentrarse en la esquina noroeste del área. Esta gráfica debe permitirleescoger el valor de h para el set de datos. Dicho valor corresponde a aquel valor de h para el cual latendencia de la curva se estabiliza.

Cuadro 4: Estadísticos para los diagramas de dispersión de Z t Vs Z (t+h)

h Coeficiente de correlaciónlineal de Pearson D(h)

Semivarianza ( (h)

No. pares (n)

0 1 0 100

1 0.86 408.96 90

2 0.72 903.91 80

3 0.49 1717.85 70

4 0.18 2838 60

A continuación se definen los términos asociados al variograma (ver figura 16).

Meseta o (sill(: Es igual a la suma de C y el efecto “Nugget” o “pepita”. En la mayoría de los casoses igual a la varianza del set de datos; o sea expresa la variabilidad total (S2) de Zpara los puntos de muestreo; así como la covarianza para *h* = 0.

A: Este parámetro indica una separación relativa en distancia (h); también se le conoce comoalcance e indica la distancia a partir de la cual se estabiliza la varianza del set de datos. Para unasuperficie isotrópica (no existe un patrón direccional en los valores de Z) se calcula como:

h = (ªx 2 + ªy 2) 0.5 / A (10)en donde:

[ ªx ªy]: representan el vector de separación en unidades del mapa.


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Fig. 16: Componentes típicos de un variograma. La letra hrepresenta un vector con magnitud y dirección. Fuente:Golden Software, 1999.

B: Parámetro que define la tasa de cambio de los componentes del variograma al incrementarla separación entre puntos. Este parámetro es utilizado para escalar la separación de ladistancia física. Para los variogramas cuadráticos y esféricos este parámetro se conocecomo ambito o rango del variograma.

C: Parámetro de escala que define, en ausencia del efecto pepita, el valor de la meseta o(sill(.

El usuario puede elegir entre diversos modelos de variogramas (Cressie, 1993, Isaaks andSrivastava, 1989; Golden Software, 1999). Los modelos con una meseta ((sill() y un alcance biendefinidos se conocen como transicionales porque la naturaleza estadística de la variación espacialcambia cuando el resago (h) sobrepasa el rango (A).

VariogramasA continuación se describen las funciones utilizados con mayor frecuencia para describir los

variogramas (Cressie, 1993, ESRI, 1996; Golden Software, 1999):

< Esférico o circular: Este es posiblemente el modelo más utilizado. Su comportamiento es linealpara separaciones pequeñas cercanas al origen y tiende a aplanarse conforme aumenta la distancia;


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alcanzando el valor de la meseta (sill) cuando la distancia es igual al rango (A). En muy utilizadoen las ciencias de la tierra.

< Exponencial: Este es otro modelo utilizado con gran frecuencia en las ciencias de la tierra. Elmodelo alcanza el umbral en forma asintótica y por lo tanto el alcance (A) se define como ladistancia a la cual se ha alcanzado el 95% del valor del umbral.

< Lineal: Este modelo incrementa linealmente con h y por lo tanto no posee un valor de meseta.

< Gausiano: Este modelo se utiliza para crear superficies a partir de datos que representan fenómenosextremadamente continuos. El modelo alcanza el umbral en forma asintótica y por lo tanto el rango(A) se define como la distancia a la cual se ha alcanzado el 95% del valor del umbral.


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< Logarítmico: Este variograma no tienen un valor de meseta.

< Wave (Efecto de hueco)

< Racional cuadrático


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< Cuadrático

Algunas observaciones generales que aplican a todos los variogramas son las siguientes (Oliver,1990):

< Los modelos matemáticos son ajustados a una muestra discreta de simivarianzas ya que elvariograma verdadero es continuo y las estimaciones están sujetas a error; especialmente si lamuestra es pequeña. Cuando el error asociado a los datos es muy grande comparado con lavariación natural de la región, el variograma se mostrará errático y sin ninguna capacidadpredictiva.

< Los modelos que pueden ajustarse a los datos pueden clasificarse en 2 grandes categorías:

ë Ilimitados o infinitosEn este caso el modelo no asume que existe una varianza a priori finita y por lo tanto la hipótesisde variación espacial estocástica de los datos sólo puede asumirse como correcta en formaintrínseca. Los modelos basados en una función de potencia se ajustan a esta condición y por lotanto puede utilizarse un modelo lineal, cóncavo o convexo. Un variograma que tiende aincrementar en una forma cóncava hacia arriba desde el origen puede indicar la existencia de unatendencia (drift) local o global en el set de datos. Es este caso se debe sustraer la variación noestocástica o estructural del set de datos y luego ajustar nuevamente el variograma utilizando losresiduos.

ë Limitados o finitosEn este caso se asume que existe un límite a la variación que caracteriza el proceso aleatorio; adicho límite se le denomina meseta o (sill(. Los modelos exponenciales y esféricos se utilizancon frecuencia para describir los semivariogramas de set de datos provenientes de las cienciasde la tierra.


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La distribución conjunta de las 7Xi ? depende solamente de la posición relativade las observaciones; o sea no existe ningún efecto estructural en los datos.

Métodos de interpolación en Kriging

Kriging ordinario ( Sin tendencia)Este método de interpolación es apropiado para datos con una distribución regular de los datos

(isotrópica). Un proceso es isotrópico cuando es estrictamente estacionario y su variación no estáasociada a una dirección particular en el set de datos. Una variable es estrictamente estacionaria si sucomponente estocástico (Xi ) satisface la siguiente condición (Haggett, Cliff and Frey, 1977):

Kriging UniversalEl Kriging universal no tiene un variograma y además el método de interpolación se sustenta en el

hecho de que puede existir tanto u patrón local como uno estructural. Este método de interpolacióndebe utilizarse cuando los datos no tienen una distribución homogénea y por lo tanto se debe interpolarla superficie a partir de espacios sin información; también puede utilizarse cuando se desea extrapolarla superficie más allá de los límites de los datos de insumo. La interpolación se realiza vía dosmétodos:

< Kriging Universal con tendencia lineal: Este método de interpolación es apropiado cuando los datosexhiben un patrón o tendencia lineal. En caso de duda este es el método recomendado.

< Kriging Universal con tendencia cuadrática: Este método de interpolación es apropiado cuandolos datos exhiben un patrón o tendencia cuadrática (forma de parábola con depresiones).

El Kriging universal es apropiado para aquellos casos en donde la variación espacial del set de datospuede segregarse en un componente aleatorio y otro de tendencia o (drift(. Otras extensiones delmétodo Kriging son co-Kriging y Kriging disyuntivo ( Cressie, 1993; Oliver,1990)

Efecto o varianza pepita (“Nugget”)Este parámetro integra el error asociado a los datos (errores de medición); la microvarianza no

contabilizada por la distancia de muestreo ((h() y la variación espacial no correlacionada en el set dedatos (Cressie, 1993; Oliver, 1990). Sus unidades son cuadráticas y corresponden a las de Z. Cuandomayor sea dicho valor menor confianza se asigna a cada observación en el set de datos y por lo tantoel interpolador se comporta como no exacto. Este parámetro se utilizar cuando existen errorespotenciales en el set de datos. Cuando este factor domina la variación del semivariograma, no esposible utilizar el método Kriging para la interpolación y por lo tanto debe utilizarse un método deinterpolación no estadístico.


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Efecto o varianza Nugget = Varianza de los errores de medición + micro varianza

El primer término se refiere al error generado como efecto de la no repetitividad de las mediciones(errores en los datos) y el segundo expresa la variabilidad a nivel micro no evaluada por la distanciade muestreo (h(. Este valor es un indicador de la varianza residual o sea de la variabilidad nocorrelacionado espacialmente en el set de datos.

Interpolación a partir de isolíneasLas isolíneas representan líneas continuas de igual valor a lo largo del área de estudio y

normalmente su fuente son los mapas topográficos o los planos ingenieriles (Ej. Levantamientostopográficos). Dependiendo del software utilizado, se pueden utilizar dichos datos tanto en formatoraster (Ej. Intercon de IDRISI) como en formato vectorial (Ej. 3D Analyst de Arc View, TIN de ArcInfo, MGE Terrain Analyst de Intergraph).

Interpolación a partir de triángulos irregulares (TIN)El modelo de datos TIN (por sus siglas en inglés) como un medio para almacenar, recuperar y

analizar datos topográficos fue inventado en forma independiente en América del Norte al menos tresveces en los primeros años de 1970 (Mark, 1977). El modelo TIN surgió como una respuesta a lanecesidad de buscar una estructura de datos alterna a la raster utilizada hasta aquel momento pararepresentar Modelos Digitales del Elevación (MDE) y a la insatisfacción por parte de los usuarios(as)con el software existente para crear isolíneas. A continuación se ofrece un breve resumen de la historiade los modelos de triángulos irregulares (Mark, 1977):

1964: Los triángulos elaborados a partir de una distribución de puntos irregulares fueron utilizadoscomo base para dibujar curvas o isolíneas en un espacio bidimensional.

1965: La compañía IBM implementó un proceso basado en triángulos para elaborar curvas de nivel.

1966: El geomorfólogo Alemán K. Hormann propuso el uso de triángulos para representar lasuperficie del terreno y luego realizar análisis geomorfológicos. Sin embargo, los triángulospropuestos por Hormann carecían de topología y eran analizados en forma individual.

1967: Se desarrolla un programa de cómputo para la creación de curvas de nivel basado en triángulospara la industria petrolera.

1968: Thomas K. Poiker, profesor de cartografía en Canadá, describe la primera estructura detriángulos irregulares con topología integrada, como parte de la superficie externa de un sólidode tres dimensiones.

1973: Las estructuras triangulares fueron inventadas en forma independiente por ingenieros de la firmaconsultora Engineering-Science, Virginia, USA como un medio para representar elevaciones


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y otros atributos mientras trabajaban en un proyecto sobre tuberías de aguas negras. La idea sematerializó como ADAPT (Areal Design and Planning Tool), un SIG que utilizaba los vérticesde los triángulos para designar elevaciones y sus caras para representar otros atributos.

1975: El modelo TIN propuesto por Poiker se había establecido como una estructura topológica enel mundo científico.

1975-76: Las estructuras triangulares fueron inventadas en forma independiente por el geólogoChristopher Gold mientras trabajaba en su disertación de doctorado entre 1975 y 1976 comoun medio para representar superficies geológicas subterráneas.

Para finales de 1970 se había aceptado al modelo TIN como la forma estándar de representar latopografía en un SIG y en otros programas de cómputo.

Las superficies pueden representarse mediante un conjunto de puntos con un espaciamiento regular(en inglés, lattice) ó utilizando una red de triángulos irregulares (Triangulated Irregular Network, TIN,por sus siglas en inglés). El modelo TIN (Fig.17) está formado por un conjunto de triángulosadyacentes que no se traslapan, los cuales se derivan a partir de un set de puntos con un espaciamientoirregular. La estructura de datos está basada en una mezcla de puntos (Masa de puntos), líneas (líneasde cambio o inflexión en la topografía) y polígonos (áreas). El modelo TIN almacena la informacióntopológica que define las relaciones espaciales entre cada uno de los triángulos y sus vecinos (Ej.información sobre los vértices y los lados de cada triángulo). El modelo TIN es apropiado pararepresentar las irregularidades del terreno y para derivar métricas del paisaje tales como pendiente,aspecto y sombreado del terreno. Sin embargo cuando se requiere utilizar la superficie con fines demodelado (Ej. simulación de escorrentía superficial), la estructura de datos raster es más apropiada.Los puntos equidistantes derivados del TIN (grilla) son el insumo a partir del cual se estima el valorde Z (Ej. elevación) que posteriormente permitirá crear un archivo de tipo raster. El cuadro 5 resumelas principales características de las estructuras de datos TIN y raster.


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Fig. 17: Modelo de puntos regulares (lattice) y red de triángulosirregulares (TIN).

Cuadro 5: Comparación entre las estructuras de datos raster y TIN para representar modelos digitalesde elevación.

Modelo raster: cuadrícularegular

Modelo Vectorial: triángulos irregulares

La cuadrícula es un modelo de datossimple formado por una matriz decolumnas e hileras.

La red de triángulos irregulares es una estructura más compleja querepresenta la superficie mediante un conjunto de caras de triánguloscontiguos que no se traslapan.

Los procesos computacionales son muyeficientes ya que se trabaja con unamatriz de valores (columnas e hileras).

Procesos computacionales menos eficientes ya que se debe estimar elvalor promedio para el conjunto de nodos que rodean el punto deinterés.

Existen algoritmos bien establecidospara el procesamiento de los datos.Dichos algoritmos se originaron en lacomunidad de usuarios deprocesamiento de imágenes digitales.

Los algoritmos para procesar TINs son más complejos y costosos deprogramar. Por lo tanto el software también es más caro.

Datos en formato raster son abundantesy menos costosos que los vectoriales.

Existen pocos datos en formato TIN y normalmente son más caros ydifíciles de utilizar.

El modelo de celdas regulares es rígido,ineficiente y no expresa con fidelidadlos cambios abruptos del terreno.

El tamaño de los triángulos se adapta a las irregularidades del área quese modela. Las coordenadas de los valores originales se mantienen comoparte de la información asociada a los vértices de los triángulos y por lotanto no existe pérdida de detalle ni de información.

Basado en: ESRI, 1997; Maune, 1994; Shearer, 1990 y Weibel y Heller, 1991.


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A continuación se brinda una guía en cuanto al método de interpolación a utilizar basados en elnúmero de puntos de muestreo (Golden Software, 1999):

Cuadro 6: Criterios para elegir el método de interpolación.

Número depuntos demuestreo(X,Y,Z)

Método de interpolación sugerido

Observaciones

#10 Kriging con variograma linealKriging con variograma lineal.Triángulos irregulares coninterpolación lineal.Funciones radialesRegresiones polinomiales

Sólo es posible generar una tendencia generalde los datos. Se recomienda crear diferentessuperficies y optar por la que mejor representeel set de datos.

#250 Kriging con variograma linealFunciones radiales con funciónmulticuadrática.

Ambos métodos de interpolación brindaránresultados aceptables y muy similares. Serecomienda utilizar todos los puntos demuestreo para crear la superficie.

250 a 1000 Triángulos irregulares coninterpolación lineal.Curvatura mínimaKriging con variograma linealFunciones radiales

Todos los métodos de interpolación brindaránresultados aceptables y muy similares. Para(Kriging( y (funciones radiales( serecomienda una función de búsqueda basadaen cuadrantes.

>1000 Curvatura mínimaTriángulos irregulares coninterpolación lineal.Kriging con variograma lineal.Funciones radiales

Kriging y funciones radiales requieren demayor tiempo de cálculo pero ofrecen mejoresresultados. Según el manual de Surfer (GoldenSoftware, 1999) el incremento en tiempo no esproporcional al número de puntos en el set dedatos.


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EVALUACIÓN DE LA EXACTITUD DEL MODELO DIGITAL DE ELEVACIÓNTodo modelo digital de elevación está sujeto a dos fuentes de error. El primer tipo se denomina

aleatorio y representan una sobre o sub estimación de los valores reales de elevación como resultadodel azar. Estos errores no muestra un patrón determinado, en promedio su valor es igual a cero y loserrores positivos y negativos tienen una frecuencia similar. El segundo tipo se denomina sistemáticoy también representan una sub ó sobre estimación de los datos de elevación; sin embargo, a diferenciade los primeros, tienen un patrón determinado y su promedio no es igual a cero (Maling, 1989). Acontinuación se describen los estadísticos disponibles para evaluar los errores asociados a un modelodigital de elevación.

ExactitudDesde un punto de vista estadístico, la exactitud mide la magnitud y dirección del error o sesgo en

el set de datos. Cuando no existe sesgo, el promedio de la variable es igual su valor verdadero. Paraaplicar este concepto a un MDE es necesario comparar las elevaciones derivadas del mismo con otrafuente de información con un mayor grado de exactitud; por ejemplo, un mapa con valores mas exactos,valores de campo o elevaciones obtenidas por medios fotogramétricos (Cressie, 1993; Maling, 1989;Weibel y Heller,1991 ). La comparación resulta en una serie de diferencias denominadas (residuos(,cuyos valores pueden ser positivos o negativos. Estas diferencias se expresan estadísticamente comoerror promedio, error absoluto promedio y raíz cuadrada del error medio cuadrático (Shearer, 1990):

Error aritmético medioEl promedio indica la tendencia central de los errores y por lo tanto no indica la magnitud ni la

dirección del error para puntos individuales. Cuando los errores son aleatorios la media tiende a ceroy cuando existe un sesgo en los datos su valor será diferente de cero. El promedio aritmético no es unbuen indicador del error del MDE pues un valor muy grande puede ser compensado por otro grupo devalores pequeños. Por ejemplo, un error de -100 metros puede ser compensado por diez errores de 10metros y en promedio el error ser igual a cero (0). El error promedio es igual a:

0r = 3 ri / n (11)

en donde: ri = residuos obtenidos en “n” puntos diferentes (tamaño de la muestra).

Error absoluto medioEl error absoluto promedio indica la tendencia central de la distribución de errores sin considerar

su signo y su valor es mayor o igual a cero. Este valor representa mejor el error esperado del MDE. Porejemplo, para el caso mencionado en el párrafo anterior el error sería 18.2m. El error absoluto promedioes igual a:

EAP = 3 *ri* / n (12)en donde: ri = residuos


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* * = valor absoluto n = número de observaciones (tamaño de la muestra)

Raíz cuadrada del error medio cuadráticoLa raíz cuadrada del error medio cuadrático (RCEMC) es una expresión matemática que captura

tanto la magnitud como la variabilidad de las desviaciones de una serie de puntos de muestreo. Sufórmula es:

EMC = ± ( 3 (ri) 2 / n) 0.5 (13)

Desviación estándar o típica (DT)La desviación estándar, también conocida como error estándar en el ambiente cartográfíco, expresa

la desviación de los errores (ri) con respecto al promedio 0 r y su expresión matemática es la siguiente:

DT = ( 3 (ri - 0 r ) 2 / n-1) 0.5 (14)

Cuando 0 r = 0 el RCEMC es igual a la desviación estándar de los errores; sin embargo si 0 rÖ 0el valor del RCEMC será mayor que DT. En la literatura cartografía se le denomina con frecuencia aambos términos error estándar.

Cuando los residuos tienen una distribución normal, el 95% de los mismos se encontrarán entre -2DTy +2DT. Otros valores de uso común son los siguientes:

Del análisis de la presente sección se desprende que existen varias expresiones matemáticas paracuantificar el error asociado al MDE y que no todas indican lo mismo. Esto puede crear confusión e

Múltiplo de DT % de puntos incluidos Denominación q=1-P % k0.6745 50 Error medio 0.5 50 1/21.01 68.3 Error estándar 0.333 33.3 1/31.5 86.6 0.143 14.3 1/71.645 90 0.1 10 1/102.0 95.5 0.05 5 1/203.0 99.7 Error “máximo”* 0.003 0.3 1/33340. 0 99.9 0.0001 0.01 1/10000

1-P: Probabilidad de que las observaciones exceden dichos límites por factores de azar.%: Porcentaje de 1as observaciones que exceden dichos límites por factores de azar.*: Conocido como criterio de Chauvenet (Maling, 1989). Cualquier residuo que exceda 3desviaciones estándares es considerado como un valor extremo y es candidato a sereliminado.


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incertidumbre en el usuario del MDE; para evitar esta inconveniente se recomienda describir cadatérmino utilizado y especificar su respectiva fórmula.

Exactitud de los valores de elevaciónEn el ambiente cartográfico convencional se pueden utilizar tanto puntos con elevaciones conocidas

como isolíneas (Ej. curvas de nivel) para crear los modelos digitales de elevación terreno. En amboscasos se debe determinar la exactitud planimétrica y altimétrica de los datos. Por ejemplo, el valor deun hito de posición fija en un mapa 1:50.000 puede tener un error en posición de 15m pero su valor deelevación puede ser correcto; ó poseer un error tanto en ubicación como en elevación (lo más probable).El error asociado a puntos particulares de elevación puede determinarse con facilidad; sin embargo esmás difícil evaluar la exactitud de las curvas de nivel. En el caso de curvas de nivel es frecuenteestablecer una tolerancia máxima aceptable y luego utilizar valores puntuales para evaluar el grado deerror asociado a la estimación. Por ejemplo, si asumimos que el 90% de los puntos muestreados debenestar a no más de 0.5 el intervalo de las curvas de nivel (Norma utilizada en la cartografía de losEstados Unidos de América); entonces para un mapa 1:50.000 de Costa Rica con curvas de nivel cada20m, dichos puntos deberían poseer un error inferior o igual ± 10m. Este método asume que la formay detalle de las curvas es correcta dada la escala del mapa; sin embargo no somete a prueba dichosupuesto.

ESTÁNDARES O NORMASLa investigación en cartografía hipsométrica ha demostrado que el error asociado a los valores de

elevación está fuertemente influenciado por la pendiente del terreno (Fig. 18). A continuación sebrindan dos ecuaciones conocidas como ecuaciones de Koppé (Maling,1987) que permiten determinarel error esperado en un MDE tanto en elevación como en planimetría:

EMC en elevación REMCZ = ± (A+B * tan % ) (15)EMC en posición REMCP = ± (B+A * cot % ) Para % 0 (16)en donde % representa la gradiente de la pendiente en grados.

Fig.18: Relación entre desplazamiento planimétrico y error en elevación. A: posición correcta de lacurva de nivel. A' : Posición en el mapa. )P: error en planimetría. )Z: error en elevación.


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El desplazamiento planimétrico y el error altimétrico será el mismo para aquellas áreas con unapendiente de 45º (100%) y por lo tanto puede asumirse que el error altimétrico siempre será menor queel planimétrico (cuadro 8). Los valores de A y B de las ecuaciones 15 y 16 son constantes establecidaspor cada país considerando la escala del mapa y los requisitos de exactitud deseados. A continuaciónse brindan los valores para A y B citados por Maling (1987) para escalas entre 1:1000 y 1:50.000.

Cuadro 7: Valores de A y B sugeridos por Maling (1987) para cartografía con escalas entre 1:1000 y1:50000.

Escala Intervalo entre curvasde nivel (m)

EMCZ (m) EMCP (m)

1: 1000 1 ± (0.1 + 0.3 * tan %) ± (0.3 + 0.1 * cot %)

1: 5000 5 ± (0.4 + 3 * tan %) ± (3 + 0.4 * cot %)

1:10000 10 ± (1 + 5 * tan %) ± (5 + cot %)

1:25000 10 ± (1 + 7 * tan %) ± (7 + cot %)

1:50000 20 ± (1.5 + 10 * tan %) ± (10 + 1.5 * cot %)

Para la cartografía 1:50.000 de Costa Rica, los valores anteriores brindarían los siguientes errorespermisibles:

Cuadro 8: Errores permisibles para la cartografía 1:50.000 de Costa Rica, basado en Maling (1º987)

Pendiente %(grados)

Pendiente %(%)

Categoría de pendiente RCEMCZ

(±m)RCEMCP

(±m)

2.5 4.4 Ligeramente ondulado(2-6%) 1.94 44.35

5 875 Ondulado (6-15%) 237 2714

10 176 Fuertemente ondulado (15-30%) 326 1851

20 364 Escarpado (30-50%) 514 1412

30 577 Fuertemente Escarpado(50-75%) 727 1259

40 839 Montañoso (>75%) 989 1179

45 100 Montañoso (>75%) 1150 1150


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A continuación se brindan los estándares altimétricos en uso en Alemania, Suiza, Inglaterra, y losEstados Unidos para mapas con escalas entre 1:5.000 y 1:50.000 (Shearer,1990):

Cuadro 9: Errores aceptables en la estimación de valores de elevación (REMCZ) en Europa y losEstados Unidos de América. Normas para cartografía analógica.

Escala País REMCZ (±m) Para % = 30º (57.7%)

1:5000 Alemania ± (0.4 + 5 * tan %) 3.29 m

1:10000 Suiza ± (1 + 3 * tan %) 2.73 m

1:10000 Inglaterra ± ((1.8)2 + (3)2 * tan %) 0.5 2.49 m

1:25000 Alemania ± (0.5 + 5 * tan %) 3.39 m

1:25000 Suiza ± (1 + 7 * tan %) 5.04 m

1:25000 Inglaterra ± ((1.8)2 + (7.8)2 * tan %) 0.5 4.85 m

1:50000 Suiza ± (1.5 +10 * tan %) 7.27 m

1:50000 USA ± (1.8 + 15 * tan %) 10.46 m%: Pendiente en grados

En general, los valores anteriores coinciden con la norma utilizada en la cartografía de los EstadosUnidos de América, la cual indica que un 90% de los puntos muestreados debe tener un error inferiora media curva ( Maling, 1989). Para la cartografía 1:50.000 de Costa Rica con curvas de nivel cada20 metros y auxiliares cada 5 metros (en lugares planos) dicha norma corresponde a 10 y 5 metros,respectivamente. Para la cartografía 1:200.000 con curvas de nivel cada 100m, el error aceptable sería50m.

A partir de la norma anterior y considerando que toda curva de nivel tiene un error planimétrico yotro altimétrico (Fig. 19) se puede utilizar la siguiente ecuación para determinar el error esperado enelevación para la cartografía 1:200.000 (Maling, 1989):

ÎZ = 0.5 IC + 0.5mm* tan % (17 )

en donde:% : representa la gradiente de la pendiente en grados. IC: intervalo de la curva de nivel


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0.5mm: Este valor corresponde a la norma utilizada en los Estados Unidos de América para evaluar laexactitud planimétrica de los mapas con escalas inferiores a 1:24.000. Dicha norma establece que 90%de los puntos muestreados deben encontrarse a no mas de 0.5mm de su posición verdadera.

Fig. 19: Desplazamiento esperado en el valor de elevación como consecuencia del desplazamiento enplanimetría. A y B: curvas de nivel. M: error aceptable en elevación (0.5IC). EPp: error totalconsiderando el error en planimetría.

El cuadro 10 ilustra la aplicación de la ecuación 7 a la cartografía 1:200.000 de Costa Rica. El errormáximo esperado en elevación para la cartografía a escala 1:200.000 es igual al 1.5 veces el intervaloentre curvas de nivel, lo cual excede el estándar utilizado en los Estados Unidos de América paraevaluar la exactitud en altimetría de la cartografía con escalas inferiores 1:24.000. Dicha normaestablece que ningún punto de muestreo debe exceder el valor de una curva de nivel.


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Cuadro 10: Errores esperados para la cartografía 1:200.000 de Costa Rica con curvas de nivel cada100m, basado en Maling (1989).

Pendiente (grados) Pendiente (%) Categoría de pendiente RCEMCZ (±m)

2.5 4.4 Ligeramente ondulado (2-6%) 54.4

5 875 Ondulado (6-15%) 58.8

10 176 Fuertemente ondulado (15-30%) 67.6

20 364 Escarpado (30-50%) 86.4

30 577 Fuertemente Escarpado (50-75%) 107.7

40 839 Montañoso (>75%) 133.9

45 100 Montañoso (>75%) 150

Estándares para modelos digitales de elevaciónLos estándares propuestos para la cartografía analógica (Ej. ecuaciones de Koppé y Normas de la

Agencia Cartográfica de los Estados Unidos de América) se basan en la gradiente de la topografía y laescala del producto cartográfico. En los modelos digitales de elevación no existe la escala como tal ypor tanto se consideran independientes de la misma; sin embargo para los archivos raster puedeutilizarse la separación entre los nodos de la cuadrícula como un equivalente de la escala. Ley (1986)citado por Shearer (1990), sugiere utilizar la siguiente equivalencia entre escala y tamaño de la celda:

Separación entre nodos Equivalente a escala Error planimétrico (RCEMC)30 m 1:50.000 90% de los errores +25 m100 m 1:250.000 90% de los errores +125 m

Utilizando esta equivalencia puede establecerse la exactitud de un MDE a partir de las normasutilizadas para la cartografía convencional. Un Modelo Digital del Terreno (DEM, por su siglas eninglés) en los Estados Unidos de América es un archivo digital con puntos equidistantes en sentidonorte-sur (X,Y) y con un valor de elevación en el eje Z (Maune, 1994). A partir de los mapas 1:24.000se trazan perfiles en sentido Norte-Sur con una separación de 30 m entre sí. Cada perfil a su vezcontiene puntos con una separación de 30m; por cuanto el producto final es una matriz regular de30*30m. Para los mapas 1:250.000, la separación entre los perfiles y los puntos está basado encoordenadas geográficas (latitud, longitud). La separación entre perfiles y puntos es de 3 segundos dearco, lo cual corresponde a aproximadamente 90m en el sentido norte-sur y a una distancia variable enel sentido este-oeste. Esta última distancia depende de la ubicación del lugar ya que los meridianosconvergen conforme aumenta la latitud. A continuación se describen las especificaciones de los MDT


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de nivel I, II y III utilizados en los Estados Unidos de América (Brown, 1994; Maune, 1994;Veregin,1997). En todos los casos el error es calculado a partir de una muestra de al menos 28 puntos.

Nivel I:Los valores de elevación son estimados a partir de métodos fotogramétricos. El MDT debe tener un

error máximo (RCEMCz) de 15m y ningún error puede exceder 50M (aproximadamente 3 veces laRCEMC). Este MDT cumple con los requisitos para elaborar ortofotos a escala 1:12.000.

Nivel II:EL MDT es creado a partir de curvas de nivel y el error (RCEMCz) permisible es 0.5 veces el

intervalo entre curvas de nivel del mapa fuente; además ningún error puede superar el intervalo de unacurva de nivel. Las especificaciones de este nivel están diseñadas para que el usuario obtenga resultadossimilares a los que obtendría con métodos manuales y utilizando mapas impresos a la misma escala.

Nivel IIIEste MDT es derivado de curvas de nivel y otra información auxiliar. El error permisible en elevación(RCEMCZ) es de 7 m y ningún error puede superar el intervalo de una curva de nivel.

Debido a que los estándares anteriores están basados en normas para cartografía analógica, el ComitéFederal para Datos Geográficos de los Estados Unidos de América aprobó en junio de 1998 los“Estándares Nacionales de Exactitud para Datos Espaciales” (NSSDA, por su siglas en inglés)(http://mcmcweb.er.usgs.gov/sdts/, http://www.fgdc.gov/standards/status/sub1_3.html). Dichosestándares definen la metodología y los estadísticos a utilizar para evaluar la exactitud tanto de mapasdigitales como analógicos. Estos nuevos estándares recomiendan calcular un intervalo de confianza al95% para el error (1.96*RCEMCz). A los interesados en hojas electrónicas diseñadas para implementardicho estándar se les remite al subdirectorio NSSD del CD que acompaña al presente documento.

Errores para un MDE derivado de elevaciones obtenidos por métodos fotogramétricosA continuación se brinda un resumen de los resultados reportados por Torlegard et. al. (1987) y

citados por Shearer (1990). El estudio consistió en la obtención de mediciones de elevación a partir defotos con escalas entre 1:1000 y 1:30.000 para 6 sitios con diferentes condiciones de terreno por partede 15 instituciones independientes y su posterior uso para derivar el MDE. Finalmente, cada instituciónseleccionó 2500 puntos de control para los cuales obtuvo su valor de elevación. El error se estimó comola diferencia entre dichos valores y los derivados por métodos fotogramétricos con especificaciones deexactitud en el orden de ±0.3% a ±0.7% por cada 1000 metros de altura de vuelo (esto se hizo paranormalizar los errores y por lo tanto poder compararlos).

T Los resultados menos satisfactorios se obtuvieron tanto para áreas ubicadas en terreno empinado ycon montañas escabrosas (Ej.configuración de terreno en Monte Verde de Puntarenas); como en

http://mcmcweb.er.usgs.gov/sdts/

http://www.fgdc.gov/standards/status/sub1_3.html


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áreas planas y con cobertura de bosques. En ambos casos los MDE no cumplieron con las normasestablecidas por el estudio.

T El error estándar en el MDE obtenido por técnicas fotogramétricas se encontraba entre ±0.2% y±0.4% de la altura de vuelo. Esto representa una exactitud entre ±0.2 a 0.4m para alturas de vuelode 1000m y ±3.0 a 6.0m para alturas de vuelo de 15000m.

T En áreas muy empinadas la exactitud alcanzó entre ±1.0% y 2.0% de la altura de vuelo; lo querepresenta un error desde ±1.0 a 2.0m hasta ±15.0 a 30.0m, respectivamente.

T Los errores máximos pueden ser desde 4 hasta 8 veces el valor del error estándar.

T La exactitud media del MDE se incrementa al aumentar el número de puntos de muestreo.

T Valores estáticos de elevación (elevaciones de puntos fijos) brindan mejores resultados que perfileso curvas de nivel. Esto se debe posiblemente a que los puntos poseen un menor error tanto enplanimetría como en altimetría.

INSUMOS PARA ELABORAR UN MDEEn general, los insumos para elaborar un MDE pueden obtenerse a través de levantamientos de

campo, métodos fotogramétricos y digitando elevaciones a partir de hojas topográficas. El trabajo decampo es el método mas costoso pero también el que genera los datos de mejor calidad. Las hojastopográficas, son la fuente de menor costo, pero también las de menor calidad. El levantamiento decampo es factible para áreas pequeñas y que requieran de gran exactitud. Acherman (1978) reporta quese requirió de 13 días para levantar 6000 puntos de campo en tanto que en 5.5 horas se levantaron 8500puntos por medios fotogramétricos. La exactitud de ambos métodos no es la misma (±0.25m y ±0.4m,respectivamente); sin embargo en ambos casos se puede elaborar cartografía con curvas de nivel de 1m;lo cual es apropiado para un sinnúmero de aplicaciones. Cuando se utilicen medios fotogramétricosdeben considerarse los siguientes aspectos (Shearer, 1990):

T Escala de la foto y altura de vueloT Razón de base-elevaciónT Exactitud del equipo utilizadoT Método utilizado para levantar los datos

< Estático o puntual: Este método brinda mayor exactitud< Dinámico, perfiles o curvas de nivel: Este método brinda una exactitud de

aproximadamente 1/3 del anterior.


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En el caso de las hojas topográficas, la exactitud dependerá de la escala del mapa y del intervaloentre curvas de nivel. Otro aspecto que influirá en el producto es el método utilizado para digitar lascurvas. Los métodos manuales (mesa digitalizadora) pueden incluir un error planimétrico de ±0.5mm,en tanto que los métodos semiautomáticos (uso de escáner) pueden generar errores menores. Sinembargo, en todo caso esta fuente de datos es el que genera los MDE de menor exactitud.

Densidad y distribución de los datosLa densidad y distribución de los insumos influyen en la exactitud del modelo de elevación digital.

Una distribución regular y densa de puntos (Ej. cuadrícula) ó el uso de perfiles paralelos brindan unaexcelente cobertura del área y por lo tanto generan MDE realistas. Sin embargo, cuando el terreno esmuy escarpado y con inflexiones frecuentes se tiende a perder los detalles menores del paisaje (Ej.acantilados, cimas de la montaña, cárcavas y pequeñas cañadas). Una solución a esta limitante escomplementar los datos anteriores con puntos particulares o líneas que indiquen inflexiones en elterreno.

Los mapas de curvas de nivel son una fuente aceptable de datos para crear MDE; sin embargo ladensidad de los datos estará directamente relacionada con la pendiente del terreno. Sitios con fuertependiente tendrán una mayor cantidad de puntos comparados con sitios ubicados en áreas planas. Eneste caso también es aconsejable suplementar la información de curvas de nivel con valores puntualesy líneas que indican cambios bruscos en el terreno.

Esquemas de muestreoEl modelo digital de elevación puede elaborarse a partir de una variedad de insumos, entre los que

tenemos (Weibel y Heller, 1991):< Perfiles< Puntos equidistantes (cuadrícula)

Muestreo selectivo: Líneas que indican cambios bruscos en el terreno< Curvas de nivel< Puntos aleatorios con elevaciones conocidas< Muestreo progresivo: Lo intensidad de muestreo está en función de la complejidad del

terreno; se muestrea con un patrón jerárquico.< Muestreo compuesto: combinación de muestreo selectivo y muestreo progresivo.


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Perfiles Cuadriculado

Muestreo progresivo

Muestreo compuesto

A continuación se resumen los resultados reportados por Ebner y Reiss (1984) en cuanto a laeficiencia de las diferentes estrategias de muestreo.


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Cuadro 11: Eficiencia de diferentes estrategias de muestreo utilizadas para recabar datos para elaborarun MDE. Fuente: Ebner y Reiss,1984.

Tipo de insumo Exactitud delinsumo

Resultados

Cuadrícula con unaseparación entre nodos de10m

±0.25m El MDE elaborado a partir de la cuadrículabrindó los mejores resultados (menorRCEMCz).

Perfiles con una separaciónoriginal de 10m

±0.5m La raíz cuadrada del error medio cuadrático(RCEMCZ) varió entre ±0.47m para perfilescon una separación de 20m y ±0.52m paraperfiles con una separación de 60m. Eltamaño de celda utilizado fue 20m. ElRCEMCZ para celdas con tamaños entre 20my 60m varió entre ±0.47m y ±0.61m,respectivamente.

Curvas de nivel cada 2.5m ±0.5m La raíz cuadrada del error medio cuadrático(RCEMCZ) varió entre ±0.51m para celdas de20m y ±0.57m para celdas de 60m.

Las implicaciones prácticas de estos resultados son las siguientes:

T Las cuadrículas con un espaciamiento regular proveen un mejor insumo para elaborarmodelos digitales del terreno que los perfiles.

T Las cuadrículas con un espaciamiento de hasta 60m entre nodos provee una mejor fuente dedatos para elaborar MDE que perfiles o curvas de nivel con una densidad equivalente. Estoes muy importante pues reduce el tiempo y dinero requerido para levantar puntos en el campoo en las fotos aéreas.

Grassie (1982) citado por Shearer (1990) comparó la exactitud de los MDE generados condiferentes programas comerciales utilizados en cartografía general o temática. Los insumosconsistieron en aproximadamente 300 puntos para los siguientes tipos de datos:

< Puntos de muestreo sobre curvas de nivel< Puntos sobre líneas que indican cambios bruscos en el terreno< Puntos sobre ríos


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< Puntos en una cuadrícula con nodos cada 85m< Puntos de elevación conocida distribuidos en forma irregular

Los resultados se compararon con puntos de control derivados fotogramétricamente de una grillacon una separación de 30m y de curvas de nivel con un intervalo entre curvas de 10m. Lasconclusiones fueron las siguientes:

TTodos los programas presentaron problemas en diferentes áreas y en general no capturaron lasirregularidades menores del paisaje obtenidas a partir de las curvas de nivel utilizadas como control.

TLos métodos que derivan valores para la cuadrícula basados en puntos al azar mostraron variacionesmuy marcadas en la calidad del producto generado; seguidos por los métodos basados en curvas denivel.

TLos métodos globales de interpolación mostraron los mayores errores seguidos por los métodoslocales y sus resultados son comparables con los métodos basados en una búsqueda de puntos.

TLos métodos basados en la búsqueda de puntos alrededor de cada nodo de la cuadrícula tienden agenerar curvas de nivel angulares en áreas planas o de poca elevación. Esto se debe a que el métodoselecciona puntos con igual valor de elevación alrededor de cada punto de la cuadrícula y por lotanto los nodos de la cuadrícula tienden a tener el mismo valor que las curvas de nivel.

TLa distribución espacial de los puntos de elevación es crítica para lograr una adecuadarepresentación del paisaje en el MDE. Los métodos basados en una cuadrícula regular mostraronmejores resultados que los basados en una distribución irregular.

TEl error medio cuadrático menor se obtuvo con los puntos distribuidos regularmente (±3.31m a±6.54m), seguido por las curvas de nivel (±3.49m a ±6.27m) y finalmente por los puntosdistribuidos en forma irregular (±4.09m a ±6.80m).

Curvas de nivel en mapas 1:50.000Lowthian (1986) citado por Shearer (1990) evaluó la exactitud de modelos digitales del terreno

elaborados a partir de curvas de nivel con un intervalo de 10 m, impresas en mapas a escala 1:50000y digitadas manualmente. Los resultados se compararon con los valores de elevación derivados para2500 puntos derivados por métodos fotogramétricos. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Error Absoluto Medio Error Promedio Error estándar (RCEMC) +6.75m -2.21m ±6.44m


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La diferencia en el promedio (indicador de error sistemático) puede explicarse en parte, segúnShearer (1990), por diferencias en el sistema de referencia utilizado para generar los puntos de controly datos utilizados para crear el MDE. El error obtenido es aceptable para crear cartografía a escala1:50.000. Observe, sin embargo que el intervalo entre curvas de nivel era de 10m y por lo tanto podríaargumentarse que el error no debería exceder 5m (media curva).

SELECCIÓN DEL MEJOR MÉTODOS PARA CREAR UN MDEEl modelo digital de elevación puede crearse utilizando una estructura de datos raster ó una

vectorial (TIN). Los métodos basados en una búsqueda selectiva de puntos brindan mejores resultadosque los métodos globales o locales (Shearer, 1990). Sin embargo, no es posible afirmar en formacategórica que siempre un método dará mejores resultados que otro. Por esta razón el usuario de undeterminado programa de software debe evaluar los resultados de su modelo, documentar el grado deerror y decidir sí la calidad del mismo es apropiada para sus necesidades. Para algunos investigadoresel método de interpolación basado en el modelo TIN es superior al raster; sin embargo esto no puedetomarse como una afirmación absoluta (Carrara, Bitelliy y Carla, 1997; Carvacho y Sánchez, 1997).

EDICIÓN Y DEPURACIÓN DEL MDEUna vez creado el modelo digital de elevación es necesario depurarlo para eliminar las

inconsistencias generadas en el proceso de interpolación. Entre las operaciones que pueden aplicarsea un MDE tenemos (Weibel y Heller, 1991):

1. Edición: Esta operación puede realizarse tanto a nivel vectorial (TIN) como raster y consiste enmodificar valores para puntos o celdas particulares. El SIG provee las herramientas para realizardichas operaciones.

2. Filtrado: Esta operación se aplica a un modelo de datos raster y tiene como objetivo eliminarvalores inconsistentes en el MDE (Fig.20 ). Normalmente, se utiliza una filtro promedio en el dominioespacial (ventana móvil). Esta operación también puede utilizarse para reducir la resolución del MDEy por ende reducir el tamaño del archivo.

3. Creación de mosaicos: Con frecuencia los MDE son creados para espacios geográficos definidos(Ej. una hoja 1:50.000) y por tanto es necesario su posterior fusión en unidades mayores denominadasmosaicos. La fusión de mapas puede hacerse tanto con archivos en formato raster como vectorial.

Modelos Digitales de Elevación 44

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Fig.20 : Proceso de eliminar sumideros y picos ficticios en el MDE.

4. Cambio de formato: El MDE puede crearse como un archivo vectorial (TIN) o como uno raster;sin embargo con frecuencia es necesario pasar de un formato al otro. Esta transformación es realizadapor el SIG mediante diferentes métodos de interpolación. Es frecuente, por ejemplo, crear un modeloraster a partir de un TIN o crear isolíneas (curvas de igual valor) a partir de un modelo raster.

5. Clasificación y manipulación: Las operaciones de clasificación y manipulación del MDE son partede las herramientas que provee un Sistemas de Información Geográfica. Por ejemplo, el MDE puedeclasificarse en categorías de elevación; también es posible crear elementos en 3D y derivar pendiente,orientación y aspecto del terreno.

APLICACIONESPor muchos años, las aplicaciones en el área de los Sistemas de Información Geográfica se

restringieron a un mundo en dos dimensiones. La dimensión vertical (Z), típica de ambientesterrestres, oceánicos y antrópicos era representada mediante isolíneas ó áreas de igual elevación oprofundidad. Sin embargo, gracias a los avances en el área del diseño gráfico y en especial, en lacapacidad de procesamiento del equipo de cómputo logrado en la década del 90, en la actualidad esposible visualizar y realizar análisis en 2.5 dimensiones utilizando una computadora personal ysoftware de bajo costo. Sin embargo, a pesar de dicho avance todavía no es posible, para finesprácticos, representar visualmente una superficie en 3D.

Los productos de un MDE son múltiples; sin embargo entre los principales tenemos:T Mapa de gradiente del terrenoT Mapa de aspecto u orientación del terrenoT Mapa de curvatura/convexidad del terrenoT Mapa de longitud de la pendienteT Perfiles longitudinales y transversales del terrenoT Mapa de intervisibilidadT Perfil de visibilidad

Entre las diversas aplicaciones de un MDE tenemos:


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Fig.21 : Concepto de pendiente máxima.

T Estimación de áreas y volumen de relleno y excavaciónT Visualización en perspectiva (2.5D)T Creación de isolíneasT Delimitación de cuencas hidrográficas y de caucesT Análisis hidrológico superficialT Elaboración de perfiles del terrenoT Determinación de la longitud del flujo superficialT Ortorectificación de fotos aéreas e imágenes satelitalesT Análisis de inestabilidad de laderasT Curva hipsométrica/integral hipsométricaT Análisis de relieve localT Análisis topológico de cauces: orden, magnitudT Iluminación o sombreado del terreno

Pendiente del terreno La pendiente representa el cambio en elevación (ªH) con respecto al cambio en distancia (ªD),

y puede expresarse tanto en grados como en porcentaje. A partir de un MDE el usuario puededeterminar la pendiente máxima del terreno como se ilustra en la figura 21.


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Fig. 22: Concepto de pendiente o gradiente y aspecto u orientación dela pendiente.

Aspecto u orientación de la pendienteA partir del mapa de pendiente máxima se puede determinar la orientación de la pendiente (Fig.

22). El resultado se expresa en grados (0-3600 ) y en el sentido que giran las agujas del reloj; el nortecorresponde a 0/; 90.0/ corresponde al este, 180.0/ al sur y 270.0/ al oeste. A las áreas planas se lesasigna el valor -1.

Iluminación/sombreado del terrenoA partir de un MDE es posible crear un mapa de iluminación relativa del terreno. Este mapa se

utiliza con fines de visualización; ya que no posee unidades con sentido físico. El método desombreado del terreno fue desarrollado inicialmente por especialistas de las escuelas de cartografíade Suiza y Austria basados en los conceptos de claro-oscuro utilizados por los pintores delRenacimiento para crear objetos en tres dimensiones a partir de iluminación y sombreados en suspinturas (Burrough, 1986). El sombreado del terreno creado a partir de un MDE muestra cómo luciríael terreno si estuviese formado por un material ideal y fuese iluminado desde un ángulo particular(Fig. 23). Normalmente, el ángulo de la fuente de luz se establece a 450 sobre el horizonte en elsentido noroeste (315/) como se muestra en la figura 23. Sin embargo, el usuario puede modificardicho valor en la mayoría de los programas que permiten crear un mapa de sombreado del terreno.Algunos autores consideran que el modelo TIN brinda una representación menos realista del terreno;aunque desde luego esto dependerá de la densidad de puntos utilizados para crearlo. En el caso delos modelos raster (celdas equidistantes) el mapa de sombreado tiene una apariencia más suavizaday por lo tanto crea una mejor impresión visual en el observador (ver fig. 24).


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Fig. 24: Isla Chira, sombreado del terreno.Software: IDRISI V2.O.

Fig. 23: Efecto de la iluminación (ángulode elevación y dirección) sobre elsombreado del terreno.

Actualmente se cuenta con una gran cantidad de programas que permiten crear mapas desombreado del terreno; sin embargo, el primer programa de cómputo para elaborar dichos mapas fueelaborado por Dennis White del Laboratorio de Gráficos Asistidos por Computadoras de laUniversidad de Harvard, USA y se llamó Imago Mundi (Burrough,1986). Los mapas poli cromáticospermiten apreciar mejor las características del paisaje que aquellos creados en tonos de grises.

Delimitación de cuencas hidrográficasEsta función permite delimitar cuencas hidrográficas (Fig. 25) a partir de un mapa de orientación

de la pendiente y un mapa de la red de drenaje. El usuario puede definir el ángulo de búsqueda(equivalente al radio de visibilidad); con frecuencia se utiliza por omisión el valor 900. Este ángulodefine las celdas que aportarán agua a otra celda en el sentido de la pendiente. El método essusceptible al efecto de los mínimos y máximos locales y por lo tanto el MDE debe filtrarse antes deutilizar esta función.


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Fig. 25: Delimitación de una cuencahidrográfica en un MDE.

1000 2000 3000 4000 5000

5010

015

020

0

Exa

gera

ción

Ver

tical

14

X

Ele

vaci

ón (M

etro

s)

X,Y Distancia a lo largo del perfilDistancia (Metros)

Fig. 26: Perfil longitudinal. Isla Chira.

PerfilesEl perfil es una representación gráfica de las coordenadas X,Y,Z de un elemento lineal en un

sistema de coordenadas cartesianas (Fig. 26). El usuario debe trazar o indicar la ubicación deltransecto o línea que define la ubicación del perfil. Si se desea, los datos pueden guardarse como unarchivo ASCII para su posterior uso en cualquier otro programa de diseño gráfico. También es posibleexporta el gráfico como un meta archivo de Windows (*.wmf).


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Fig.28: Áreas visibles. Software Spatial Analyst, ArcView.

Fig. 27: Definición de términos utilizados en el análisis deinter visibilidad.

Análisis de Inter visibilidadEl análisis de intervisibilidad permite determinar, a partir del MDE y de un segundo mapa que

muestre puntos/líneas de observacióntodos aquellos sitios visibles desdedichos puntos/líneas. La figura 24ilustra la terminología utilizada en elanálisis de inter visibilidad.

Los diferentes programas desoftware disponibles en el mercadoofrecen opciones para definir losparámetros que se muestran en lafigura 27 y generar un producto comoel que se muestra en la figura 28. Elusuario puede utilizar la función desobre posición de mapas para crearsuperficies que reflejen lasobstrucciones reales del terreno (Ej.elevación del terreno+altura dearboles+altura de edificios).


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Fig. 29: Perfil de visibilidad. Software: Spatial Analyst, ArcView.

Línea de visibilidadEsta función permite determinar la línea de visibilidad de un observador ubicado en un determinado

punto o línea. Si el área de interés no es visible el programa le proveerá la ubicación de la primeraobstrucción. El producto es un perfil del terreno que indica tanto la sección visible como la no visiblecomo se muestra en la figura 29.

Visualizaciónen perspectiva o tridimensionalLa visualización de un MDE puede realizarse tanto en forma estática (Ej. mapa impreso) como de

manera interactiva (Ej. monitor). En ambos casos, el objetivo del análisis visual es permitirle alusuario(a) explorar el modelo para formular o re formular sus hipótesis o métodos de estudio. Lautilidad de los productos visuales dependerá de la naturaleza de los datos y del equipo-softwareutilizado por el investigador (a). A continuación se describen tres formas de visualizar un MDE (Rapery Kelk, 1991).

Visualización en 2DLa visualización en 2D se logra a través de un gráfico o imagen raster en la cual el valor Z esproyectado en un plano de 2D, el cual permite visualizar elementos con dimensiones 0-D, 1-D y 2D(Ej. isolíneas, ver fig. 30). Dado que la variable Z es continua en una escala de medición de razón,para representarla es necesario agrupar los datos en categorías y visualizar los límites de las clases.Esta técnica no permite representar valores múltiples de Z para una misma ubicación X,Y (Ej.contenido de hierro a diferentes profundidades).


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3000 0 3000 Meters

N

50 0 50 Kilom eters

M ar C ar ibe

Oceán o P acíf ico

N ica ragu a

Panam á

Simbología

Curvas de nivel cada 20m

Fig. 30: Curvas de nivel para la isla Chira. Golfo deNicoya, Costa Rica. Fuente: IGNCR,1989.

Visualización en 2.5DLa visualización en 2.5D es un modelo de proyección isométrico en el cual los valores de Zasociados con cada par de coordenadas X,Y son proyectados y visualizados simultáneamente en unsistema de coordenadas con tres dimensiones (X,Y,Z) (Ej. modelo de líneas isométricas). Esto creala percepción de profundidad y relieve en la mente humana (fig. 31). Sin embargo, la vista solobrinda información sobre la superficie graficada y no es una representación verdadera del volumenrepresentado. En otras palabras, aun cuando se percibe la vista con un eje Z, la misma está limitadapor la representación en 2D.

Desde un punto de vista práctico, esta función permite visualizar el MDE, ya sea solo o como unasobrepuesta de un mapa de atributos (Ej. uso/cobertura de la tierra, imagen de satélite, etc.)(fig. 32).El usuario define la resolución de la imagen, el ángulo de visión y la orientación de la panorámica;así como el factor de exageración vertical. Utilizando esta técnica de visualización es posible crearescenas de gran realismo como la que se muestra en la figura 33.


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Fig. 31: Vista en perspectiva de una porción del mapa de la islaChira. Software: IDRISI V2.0.

Fig. 32: Vista en perspectiva de una imagen SPOT sobrepuesta aun MDE. Software: 3D Analyst de ArcView.

Volcán Poás

AlajuelaAlajuela


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Fig. 33: Creación de realidad virtual en perspectiva.

Visualización en 3DLa visualización en 3D es la representación digital de un sólido en la cual múltiples valores deX,Y,Z son estructurados para formar dicho sólido y de esta forma poder visualizarlo como una tresdimensiones. Esta estructura de datos permite la presencia de múltiples valores de Z para un mismovalor de X,Y y por lo tanto es una representación fiel del espacio físico que percibe el ser humano.

AnimaciónLa animación permite definir líneas de vuelo y simular vistas en 3D a partir de un MDE. Estas

vistas pueden utilizarse para crear un video digital compatible con los visualizadores de video paraWindows (Ej. *.avi, Quick Time Movie y Active Movie, etc.).

Creación de orto imágenesLas ortoimágenes son creadas a partir de un proceso digital conocido como rectificación diferencial

el cual permite eliminar las distorsiones geométricas causadas por el relieve y la inclinación de lacámara aérea. Una ortofoto es una imagen del terreno, en la cual la proyección central de la foto hasido transformada a una proyección ortogonal. Estas fotos tienen una calidad geométrica equivalentea la de un mapa topográfico.

Cálculo de área y volumenCuando se utiliza un MDE el área será medida considerando el factor elevación o altura y por lo

tanto su valor será mayor que el equivalente para una superficie plana. La función volumen determinael espacio entre un TIN y un plano horizontal definido por el usuario. El programa puede determinarel volumen sobre o bajo el plano de referencia. Algunas aplicaciones prácticas de esta función sondeterminar el volumen de suelo a excavar durante el proceso de nivelación ó de explotación en mineríaa cielo abierto y cuantificar volumen de agua en un embalse.


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Determinación de relleno y excavaciónEsta función permite determinar, para dos superficies, la cantidad de material a ser removido ó

depositado. La operación se realiza en el dominio raster y por lo tanto cuando se utiliza un TIN elprograma deberá rasterizarlo primero para luego realizar la operación.

Creación de isolíneasEl programa es capaz de trazar isolíneas (Ej. curvas de nivel, isotermas, etc.) a partir de archivos

en formato de raster o TIN. En el primer caso, el software interpola los valores entre celdas y de estamanera genera un mapa con curvas suavizadas y más cercanas a la realidad; ya que en muy pocasocasiones las líneas pasarán por el centro de las celdas. Cuando las isolíneas se elaboran a partir delmodelo TIN, el programa interpola las lineas a través de la red de triángulos irregulares. La ubicaciónde la línea en el borde de cada triángulo es determinada mediante interpolación lineal.

Creación de elementos en 3DEsta función permite crear elementos (puntos, líneas o polígonos) con un componente de elevación

o altura. El usuario puede visualizar estas formas (shapes) en una vista en 3D.

Análisis de escorrentía superficialEsta función permite evaluar los patrones de escorrentía superficial derivados

a partir del MDE. El programa determina primero las rutas de máxima pendienteen el MDE. El producto es una serie de líneas que terminan al encontrar el bordedel MDE o un mínimo local (cañada, fondo de valle). Estas líneas representan elsistema hidrográfico de la cuenca. A partir de estos datos usted puede determinarla longitud de flujo superficial y asignar ordenes y magnitudes a la cauces. Lafigura de la derecha ilustra las posibles rutas que podría tomar el agua de la celdacentral.

Exportación de vistas en 3DEl función le permite al usuario(a) guardar las composiciones en 3D como un archivo JPEG o

exportar la vista como un archivo VRML (Virtual Reality Modeling Languaje). El formato VRMLpuede ser leído por los programas Netscape o Explorer y por lo tanto es un medio fácil de publicarelectrónicamente sus composiciones cartográficas en tres dimensiones.


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EVALUACIÓN DE LOS MÉTODOS DE INTERPOLACIÓNLas fuentes más comunes de datos para derivar un MDE son levantamientos topográficos, datos

obtenidos por métodos foto gramétricos y curvas/puntos obtenidos de mapas topográficos. Dado queel país cuenta con cartografía 1:50.000 y 1:200.000, se eligieron curvas de nivel a dichas escalas paraevaluar la exactitud de los métodos de interpolación proveídos por los programas Surfer (GoldenSoftware, 1999); IDRISI para Windows V2.0 (Eastman, 1997) y las extensiones Spatial Analyst V1.1(ESRI, 1998) y 3D Analyst V1.0a (ESRI, 1997) de ArcView GIS V3.2.

Programa Método de interpolación evaluadoIDRISI Intercon (raster)3D Analyst para ArcView Interpolación mediante triángulos irregulares (TIN)Spatial Analyst para ArcView Curvatura mínima, Kriging, distancia inversa

ponderada. Surfer Kriging, distancia inversa ponderada, curvatura mínima,

Shepard, Vecino más cercano, funciones radiales, triángulosirregulares (TIN).

En la presente sección usted encontrará una descripción de la metodología utilizada en el estudio;así como una breve reseña de los métodos de interpolación que provee cada uno de los programasutilizados. Al evaluar los resultados, el lector debe estar consciente de que los mismos no implican unaevaluación exhaustiva de las bondades/exactitud de cada uno de los interpoladores y/o programasutilizados y que por tanto los mismos no tienen una aplicación universal.

ObjetivoEl objetivo de la presente sección es comparar los modelos digitales de elevación creados por

diferentes programas y métodos de interpolación y responder a las siguientes preguntas:

< ¿Cuál es el exactitud de los diferentes métodos de interpolación?< ¿Cuál es el efecto de aplicar filtros sucesivos en la exactitud del MDE?< ¿Cuál es efecto de la resolución de la celda en la exactitud del MDE?< ¿Cuál es el efecto de filtrar los valores de pendientes derivados a partir del MDE?< ¿Cómo se compara la pendiente derivada por métodos manuales con respecto a la pendiente

derivada por métodos digitales?

Sitios de estudioEl estudio se realizó con datos a escalas 1:50.000 y 1:200.000. Para el primer caso se eligió a la

isla Chira, ubicada en el Golfo de Nicoya, Costa Rica (Ver fig. 34 y 35) y para el segundo la secciónsur de las faldas del Volcán Poás, cordillera Volcánica Central, Costa Rica (Ver fig. 34 y 36). Comoun producto adicional se incluye un modelo digital de elevación para Costa Rica elaborado a partir decurvas de nivel con una separación de 100 m y 7474 puntos con elevaciones auxiliares (ver anexo 1).


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21

3000 0 3000 Meters

N

5 0 0 5 0 K il ome t er s

Mar Car ibe

Oc eáno Pací fi c o

Nic a r agua

Panam á

Simbología

Curv as de niv el cada 20m

Fig. 35: Isla Chira. Golfo de Nicoya. FuenteHoja Berrugate, IGNCR, 1989. Curvas denivel cada 20m,

2 0 2 4 6 8 10 Kilometers

N

Volcán PoásVolcán Poás

Ubicación del área de estudio

Fig. 36: Ubicación de la segunda área deestudio. Faldas del Volcán Poás, Costa Rica.Curvas de nivel cada 100m.

N

Pan

am

á

Nicaragua

50 0 50 Kilómeteros

Mar Caribe

Oceáno Pacífico

Fig. 34: Áreas de estudio. 1. Isla Chira, Golfo de Nicoya. 2. Faldas delVolcán Poás, Cordillera Volcánica Central.


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Fig. 37: Isla Chira, Costa Rica. Fuente: Instituto Geográfico Nacional. Hoja3146II, Berrugate. Edición 3-INGCR. 1989.

METODOLOGÍA

ISLA CHIRA

1. Escaneo de mapaEl primer paso consistió en escanear, a una resolución de 300dpi (puntos por pulgada), el mapa

de la isla Chira, Golfo de Nicoya, Costa Rica; Escala 1:50.000 (IGN,1989) (Fig. 37). Para esto seutilizó un escáner Epson. Al lector interesado en cómo seleccionar la resolución apropiada paraescanear material cartográfico o fotos aéreas se le remite a documento “Escaneo, georeferenciacióny vectorización de material cartográfico y fotos áreas utilizando ArcView GIS” (Fallas, 2001).

2. GeoreferenciaciónUna vez escaneado el mapa se convirtió de seudocolor(256 valores) a blanco y negro utilizando

Corel Photo-Paint (WWW.corel.com). Posteriormente el mapa exportado en formato TIFF fuegeoreferenciado a la proyección Lambert Norte en Analista Espacial de ArcView utilizando laextensión Image Warp v2.0 (McVay, 1999).

2.1. Evaluación de la exactitud planimétricaPara evaluar la exactitud del registro de la imagen se seleccionaron 65 puntos de posición

conocida (intersección de cuadrícula en el mapa escaneado) y se comparó el valor de X y Y de cadapunto con su respectivo valor real. Para esto se utilizó el programa en Avenue AddXYCoordToFTab(www.esri.com). El error medio cuadrático total fue de 11.9m; con un máximo de 30.5m y una


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desviación estándar de 8.9m (Cuadro 12). Estos datos indican que el intervalo de confianza al 95%para la estimación del error medio de registro del mapa es de 9.74m a 11.06m.

Cuadro 12: Estadísticos descriptivos para 62 puntos de muestreo utilizados para evaluar el error degeoreferenciación de la imagen de la isla Chira utilizada para vectorizar las curvas de nivel. Valoresen metros.

Estadístico Eje X (m) Eje Y (m)

N 65 65

Error Medio -10.73 -0.82

Desviación Estándar 10 2.26

Error medio absoluto 11.28 1.86

Desviación Estándar 9.36 1.52

Raíz Error Medio cuadrático 14.61 2.39

Raíz Error medio cuadrático total 14.8 (S=8.9)

El error planimétrico medio estimado para la imagen georeferenciada permite cumplir con elestándar sugerido por Maling (1989) para áreas con una topografía escarpada (pendiente de hastaun 50%) (ver cuadro 8). Es importante hacer notar que los errores superiores a 11.8m se encuentranasociados al eje X y que se ubican en el extremo sur de la isla como puede apreciarse en las figura38. Por esta razón, considero que las curvas de nivel digitadas de dicho archivo representanfielmente la información registrada en la hoja topográfica escala 1:50.000 del IGN. Si comparamoslos resultados con los estándares establecidos para mapas analógicos con escalas inferiores a1:24000 de los Estados Unidos (Maling, 1989) también se cumple con la norma de que un máximode un 10% de los puntos pueden tener un error superior a 25.08m.


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Fig. 38: Error medio cuadrático (m) asociado al registro del archivo escaneado ygeoreferenciado con ImageWarp. La barras representan error total, error en el eje X yerror en el eje Y, respectivamente. Valores en metros.

3. Digitar curvas de nivelLas curvas de nivel fueron digitadas desde la pantalla del monitor utilizando la extensión Screen

DigitizeV2.0 creada por Howie Sternberg ([email protected]) del Centro deAmbiente y Sistemas de Información Geográfica del Departamento Ambiental del Estado deConnecticut, USA. En el anexo tres se incluye un tutorial que explica cómo utilizar dicha extensión.La figura 39 muestra cómo luce el archivo una vez que ha sido convertido de seudocolor a blancoy negro Corel Photo-Paint (WWW.corel.com). La figura 40 muestra las curvas de nivel trazadassobre el archivo en blanco y negro georeferenciado. Una vez trazadas las curvas se etiquetaronutilizando el módulo de tablas de ArcView GIS.


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Fig. 40: Curvas de nivel vectorizadas. Elcírculo ilustra una tolerancia de engarceautomático de 10m de diámetro.

Fig. 39: Apariencia de la imagen a partir de lacual se digitaron la curvas de nivel.

4. Convertir curvas de nivel a puntosUna vez creadas las curvas de nivel se convirtieron a puntos (X,Y,Z) utilizando el programa en

Avenue MakeElevation Pts de David Dow (1999) (www.esri.com). El archivo de puntos fueutilizado como insumo por los interpoladores distancia inversa ponderada, curvatura mínima yKriging. La figura 41 muestra el archivo de puntos para el área de estudio ubicada en las faldas delVolcán Poás.

5. Crear polígonosUna vez digitadas las curvas de nivel se utilizó el programa ConvertPolyLineToPolygon

(www.esri.com) para crear un tema de polígonos correspondiente al área entre cada curva de nivel.Este archivo fue importado posteriormente a IDRISI utilizando la opción SHAPEIDR del comandode importar archivos. La figura 42 muestra un segmento del archivo de polígonos para la isla Chira.


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Fig. 41: Curvas de nivel convertidas a puntos. Escala1:200.000.

Fig. 42: Isla Chira, área entre curvas de nivel (cada 20m).


[email protected]

6. Crear modelos digitales de elevación

6.1 Modelos digitales de elevación en IDRISIEl programa IDRISI V2.0 provee dos módulos para la interpolación de superficies (Eastman,

1997). También provee un módulo para el análisis de tendencias de superficie y otro para el cálculode polígonos de Thiessen o Teselación de Voronoi. El módulo Allocate brindará resultadosidénticos a Thiessen cuando se utilizan puntos (Ej. estaciones meteorológicas con registros deprecipitación).

Intercon de IDRISIEl módulo intercon es el interpolador que provee IDRISI versión 2.0 para crear modelos digitales

de elevación (MDE). El algoritmo original creado por David Douglas de la Universidad de Ottawa,Canadá (Eastman, 1992). El usuario debe proveer al programa la siguiente información:

T Un archivo de curvas de nivel en formato raster. Normalmente dicho archivo es creado conel comando lineras a partir de curvas de nivel en formato vectorial. Para asegurar la calidadde la interpolación en el área de estudio, asegúrese de que las curvas excedan ligeramente losbordes de la misma. El valor de fondo del archivo debe ser diferente a los valores de lascurvas de nivel (Ej. Se puede asignar -1). Las curvas fueron rasterizadas utilizando celdas conuna resolución de 10m.

T La elevación de las cuatro esquinas del área de trabajo. Estos valores pueden estimarse delmapa fuente.

El módulo trabaja de la siguiente manera (Eastman, 1992):

< Primero construye un perfil a lo largo de los cuatro bordes que definen el área de estudio.Observe que intercon asume que su área de trabajo es rectangular o cuadrangular. Los valoresde elevación que usted suministra para las cuatro esquinas así como todas aquellas curvas denivel que crucen el borde del área de estudio son utilizadas para crear este primer perfil.

< En el segundo paso construye una serie de perfiles horizontales (en el sentido de las hileras o seaE-O) utilizando los valores de las curvas de nivel y los perfiles previamente creados (bordes).Para cada celda de valor desconocido se interpola un valor de altura y se registra su pendiente.

< El tercer paso consiste en crear perfiles similares a los anteriores pero en sentido vertical (o seaN-S).

< El cuarto paso consiste en crear perfiles diagonales de izquierda a derecha.

< En el quinto paso calcula perfiles diagonales de derecha a izquierda.


[email protected]

< En el sexto y último paso selecciona la elevación del pixel basado en el perfil de máximapendiente.

6.2 Modelos digitales de elevación en ArcViewEl programa ArcView GIS posee dos extensiones que permiten crear modelos digitales de

elevación; la primera se denomina 3D Analista y la segunda Analista Espacial.

3D AnalistaEsta es una de las extensiones comerciales de ESRI. El programa provee una opción de menú

que permite crear un MDE utilizando una red de triángulos irregulares (TIN); una vez creado estearchivo es posible derivar mapas de pendiente y aspecto en forma directa o a partir de un archivoen formato raster creado a partir del TIN (ESRI, 1997).

EL programa 3D Analista permite utilizar los siguientes datos como insumos:

< Archivo de puntos o líneas con valores de elevación (o cualquier otro atributo válido). Este esun archivo en formato Shape (Ej. Elev.shp).

< Archivo con elementos lineales que muestran un cambio abrupto en el terreno y que se deseapreservar en el modelo final. (Ej. Curso de agua, riscos, fallas geológicas, etc.). Este archivopuede o no contener valores de elevación.

< Polígono de reemplazo (replace). Polígono (s) que representan áreas para las cuales las alturasserán reemplazadas por la altura del polígono. Este polígono debe contener un valor de altura.

< Polígono de borrado (erase): Archivo con polígono(s) que indica(n) el área que debe excluirseen el proceso de interpolación. Por ejemplo, área cubierta de nubes para la cual no existenvalores de elevación. Este polígono puede o no tener valores de elevación.

< Polígono de recorte (clip): Archivo de polígonos que indica el área de interés sobre la cual debehacerse la interpolación. Por ejemplo, en el presente trabajo el borde de la isla Chira se utilizópara este fin. Este polígono puede o no tener valores de elevación.

< Polígono de relleno (fill): Archivo con uno o más polígonos los cuales pasarán sus códigos (valorentero) a todos aquellos triángulos contenidos por ellos (Triángulos contenidos por polígonos).El valor de elevación de los triángulos no es afectado.

Tanto las líneas como los polígonos pueden definirse como rígidos o flexibles. La primercategoría corresponde a elementos que indican un cambio brusco en pendiente (Ej. Carreteras, ríos,línea de costa y borde de un lago); en tanto que la segunda indica elementos con cambios graduales(Ej. Cima de las montañas). Una vez creado el archivo TIN, este puede editarse o convertirse a un


[email protected]

Método de búsqueda de radio fijo. Método de búsqueda de vecinos mas cercanos.

archivo raster de ArcInfo (formato GRID™). También es posible crear un TIN a partir de unacuadrícula con valores de elevación.

KrigingLa extensión "Kriging Interpolator 3.2_3D" escrita por Marco Boeinga (Amsterdam Water

Supply, The Netherlands\n'[email protected]) permite crear un MDE utilizando el métodode interpolación Kriging. Para mayor detalle sobre el método de interpolación Kriging ver pag.66.

Analista EspacialLa extensión Analista Espacial para ArcView GIS puede crear un MDE a partir de puntos con

elevaciones conocidas (X,Y,Z). EL usuario debe crear un tema de puntos a partir de una tabla enformato Dbase o ASCII. También es posible convertir curvas de nivel a puntos utilizando elprograma en Avenue MakeElevation Pts (Dow, 1999). La versión 1.1 de Analista Espacial ofrecelos siguientes métodos de interpolación:

Distancia inversa ponderada (IDW)El usuario(a) puede elegir entre dos métodos de búsqueda para seleccionar los puntos de

muestreo a utilizar en el proceso de interpolación: “radio fijo” y “vecinos mas cercanos”.

Método de búsqueda:

< Vecinos mas cercanos:Dada una celda, utiliza los “N” puntos más cercanos en el proceso de interpolación.

< Radio de búsqueda fijo:


[email protected]

Método de interpolación Curvaturamínima. Ventana de diálogo.

Dada una celda, utiliza todos los puntos de muestreo que se encuentren en el radio definidopor el usuario (a). El radio tiene las mismas unidades de distancia que la vista y en caso deno existir, utilizará las unidades del mapa.

< No. de vecinosEste es el número de puntos que utilizará el programa para estimar el valor de cada uno de los

pixeles y corresponde al valor “N” citado previamente.

< ExponenteEste es valor del exponente que se aplicará a la distancia en el calculo de los valores de Z ' (ver

ecuaciones 1 y 2). Cuanto mayor sea el valor del exponente menor será la influencia ejercida porlos puntos más distantes en la estimación de Z '.

< BarrerasEsta opción le permite al usuario un mayor grado de control sobre los puntos que desea utilizar

en el proceso de interpolación. Por ejemplo, usted puede utilizar una línea para indicar la presenciade una discontinuidad en el paisaje. Esto hará que el programa no utilice los puntos que seencuentran al otro lado de la línea en el proceso de interpolación; aun cuando los mismos seencuentren en el área de búsqueda especificado por el usuario(a). El utilizar barreras aumentaconsiderablemente el tiempo de proceso del programa.

El producto es un archivo en formato GRID™ de ArcInfo.

Curvatura mínima (Spline)El programa Analista espacial de ArcView

provee dos métodos de interpolación. El primero sedenominado “Regularized” y realiza un ajuste másriguroso al set de datos (equivale a cubrir el área deestudio con un plástico delgado). El segundo sedenomina “Tension” y realiza un ajuste menosriguroso al set de datos (equivale a cubrir el área deestudio con un “plástico grueso”). El usuario(a) pudedefinir tanto el factor de ponderación (Weight)como el número de puntos a utilizar en el proceso deinterpolación. Ambos valores controlan el grado desuavizado que se aplicará la superficie.


[email protected]

< Ponderación:Este valor controla el grado de suavizado de la superficie a crear. Cuando se utiliza el método

“regularizado”, al incrementar el valor del peso la superficie creada lucirá mas suavizada. Cuandose utiliza el método de “tension”, al incrementar el valor del peso la superficie creada lucirá menossuavizada y eventualmente se comportará como un interpolador exacto.

< No. de puntos: Este es el número de puntos que utilizará el programa para estimar el valor de cada uno de lospixeles.

< Tipo:Regularized: Crea una superficie más suavizada, el interpolador tiende a comportarse como noexacto.

Tension: Crea una superficie menos suavizada que tiende a mantener el valor de los puntos deinsumo.

KrigingEl método de interpolación Kriging no forma parte de la interfase gráfica de Analista Espacial.

En el presente trabajo se utilizó la extensión “Kriging Interpolator 3.2 SA” creada por MarcoBoeringa ([email protected]) para el departamento de Hidrología de la Autoridad deSuministro de Agua de Amsterdam, Holanda. La extensión implementa los siguientes tipos deKriging:

T Kriging OrdinarioVariogramas: esférico, circular, exponencial, Gausiano y Lineal con meseta. El semi

variograma es ajustado a la varianza de cada una de las muestra de puntos (mínimo de 3 puntos)utilizando el método de Levenberg-Marquardt (Press et al., 1986) basado en una aproximación nolineal de mínimos cuadrados.

T Kriging Universal< Con tendencia lineal (Universal 1)< Con tendencia cuadrática (UNIVERSAL2)

El radio búsqueda puede ser fijo o variable.

Radio fijo: El programa utiliza la distancia indicada por el usuario como el radio de búsquedasiempre y cuando dicho radio contenga el número de puntos de muestreo indicados por el usurario.En caso de no encontrar el número de puntos requeridos, el programa aumenta automáticamentela distancia del radio de búsqueda.


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Interfase gráfica de la extensión Kriging de Marco Boeringa, Holanda.

Radio variable: En este caso el usuario debe definir tanto el número de puntos de muestreo quedesea como la distancia máxima de búsqueda. Basados en estos criterios, el programa seleccionapara cada pixel a interpolar los puntos de muestreo mas cercanos hasta completar el númerodeseado, siempre y cuando dichos puntos no sobrepasen la distancia máxima de búsqueda. En estecaso el criterio restrictivo es la distancia de búsqueda y por lo tanto el programa solo utilizará lospuntos que se encuentren en la distancia máxima de búsqueda aún cuando no se cumpla con eltamaño de muestra solicitado por el usuario(a).

Al definir su tamaño de muestra recuerde que se requiere de un mínimo de 3 puntos para poderestimar el semi variograma y crear una superficie. La investigación realizada en este campo indicaque 12 es un tamaño apropiado. En caso de que el programa no pueda estimar el semi variograma,aumente el radio de búsqueda y/o reduzca el tamaño de la muestra y trate nuevamente.

Evaluación de los estadísticos de bondad de ajuste del semi variograma La extensión “Kriging Interpolator 3.2 SA” le brinda los siguientes indicadores de la bondad deajuste del semivariograma:T AIC = Criterio de Información de Aikaike (AIC)T BIC = Criterio de Información Bayesiano (BIC)

Los estadísticos anteriores son calculados de la siguiente manera:

AIC = n*ln(SSE)+2 * (# de parámetros) (18)


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BIC = n*ln(SSE)+ [# de parámetros*ln (n)] (19)

SSE = Sum1..n [(Actual - semivarianza ajustada)^2] (20)(sumatoria del error cuadrático)

RMSE = Sqrt [SSE/(n-1- # de parámeteros)] (21)(raíz cuadrada del error medio cuadrático)

n = número de registros / Intervalo del resago para el semi variograma actual en la tabla y en losgráficos del semi variograma.

El número de parámetros fue definido como 3; ya que todos los semi variogramas creados porArcView tienen tres parámetros.

Cuadrícula de variaciónEste es un tema temporal en formato GRID™ que muestra la semi-varianza estimada para cada

celda de la superficie creada.

Kriging UniversalEl Kriging Universal se utiliza cuando los valores de Z exhiben una tendencia local. Un semi

variograma que inicia con una curva en forma de parábola cóncava ascendente indica la presenciade una tendencia local de tipo lineal en los datos.

Los métodos de interpolación basados en Kriging Universal (1 y 2) asumen que la variaciónespacial en los datos también se caracteriza por un componente estructural denominado "tendenciao deriva". Este es un cambio sistemático en los valores de las celdas que se refleja a una escaladeterminada. A su vez, esta escala está relacionada con el radio de búsqueda definida en lospárrafos anteriores. El usuario(a) debe modificar el radio de búsqueda hasta que pueda encontrarla escala a la cual puede detectar la tendencia y la varianza es mínima. Por esta razón no esrecomendable utilizar un radio de búsqueda variable con el Kriging Universal. Una vez que se hacuantificado el efecto estructural, la varianza remanente es espacialmente homogénea y por tantola diferencia en valores de Z entre los puntos de muestreo es una función de la distancia que lossepara (como en Kriging Ordinario).

El Kriging Universal 1 utiliza una ecuación lineal para aproximar la tendencia en los datos, entanto que el Kriging 2 utiliza un polinomio de segundo orden. Sin embargo, ambos métodosutilizan el método de interpolación lineal para modelar la semi-varianza remanente debido a quela mayoría de los semivariogramas tienden a ser lineales en su origen.

El número de puntos de muestreo en el radio de búsqueda debe ser lo suficientemente grandecomo para que la tendencia en los datos pueda estimarse. Cuando utilice un radio fijo, seleccione


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una distancia para la cual crea que los datos están correlacionados. Cuando seleccione un radiovariable utilice entre 12 y 15 puntos de muestreo.

Kriging es un método de interpolación muy intensivo en cuanto al uso de recursos y tiempo desu computadora. La velocidad de ejecución dependerá del número de puntos totales así como dela distancia del radio de búsqueda.

6.3 Modelos digitales de elevación en SurferEl programa Surfer (Golden Software, 1999) provee los siguientes métodos de interpolación:

Distancia inversa ponderadaEl programa le permite especificar un factor de suavizado para eliminar el problema de los

“ojos de buey” típicos de este interpolador. El usuario(a) debe definir un radio de búsqueda y elnúmero de puntos a utilizar por sector. Este método de interpolación acepta barreras o fallas y líneasde inflexión (breaklines). Una barrera es un elemento de dos dimensiones (X,Y) que no permite elflujo de información durante el proceso de interpolación; en tanto que la línea de inflexión es unelemento de tres dimensiones (X,Y,Z) que sí permite el flujo de información. Al igual que enArcView, las barreras utilizan memoria extra y el proceso de interpolación requiere de mayortiempo. El tiempo requerido para crear el archivo raster es proporcional al cuadrado del número desegmentos en la barrera.

Fig.43:Surfer: Barreras (A) y líneas de inflexión (B). La función de la barrera es forzar alinterpolador a utilizar solo los puntos de muestreo ubicados a la derecha ó a la izquierda de labarrera en el proceso de interpolación. Cuando se utiliza un línea el programa puede borderarla yutilizar los puntos de muestreo ubicados al otro lado de la barrera. La línea de inflexión poseevalores de elevación que son utilizados por el programa como valores adicional en el proceso deinterpolación.


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KrigingLa versión 7 de Surfer incluye dos métodos de interpolación: Kriging puntual y Kriging de

bloque. En el primer método se utilizan todos los puntos de muestreo para estimar el valor de cadauno de los nodos en la nueva cuadrícula. En tanto que en el segundo método, la estimación de cadanodo corresponde al promedio de un bloque rectangular centrado en el nodo. El usuario(a) debedefinir un radio de búsqueda y el número de puntos a utilizar en el proceso de interpolación; sinembargo el método por omisión es utilizar todos los puntos de muestreo. Este método deinterpolación acepta barreras o fallas y líneas de inflexión (breaklines). Al igual que en ArcView,las barreras utilizan memoria extra y el proceso de interpolación requiere de mayor tiempo. Eltiempo requerido para crear el archivo raster es proporcional al cuadrado del número de segmentosen la barrera. Cuando existen matrices singulares el uso de barreras hace que el proceso deinterpolación no pueda completarse. El proceso de interpolación puede implementarse utilizandoKriging ordinario (sin tendencia) y Kriging Universal (tendencia lineal ó cuadrática).

Fig.44 : En el Kriging puntual el valor del nodo central es estimado utilizando todos los puntos enel radio de búsqueda; en tanto que en el Kriging de bloque el valor es estimado utilizando elpromedio de los puntos de muestreo.


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Curvatura mínimaEl interpolador de curvatura mínima es muy

utilizado en diferentes disciplinas de las cienciasde la Tierra. El usuario(a) puede controlar el nivelde curvatura entre puntos de muestreo utilizando elparámetro de tensión interna y la velocidad deconvergencia mediante el factor de relajación (elvalor por omisión es 1). Este método deinterpolación acepta barreras o fallas y líneas deinflexión (breaklines). Al igual que en ArcView,las barreras utilizan memoria extra y el proceso deinterpolación requiere de mayor tiempo. El tiemporequerido para crear el archivo raster esproporcional al cuadrado del número de segmentos en la barrera. El uso de barreras hace que elproceso de interpolación no pueda completarse cuando no se puede lograr la convergenciaestablecida por el usuario(a).

Vecino naturalEste método de interpolación está basado en el

concepto de los polígonos de Thiessen (gemelo de lostriángulos de Delaunay). El interpolador utiliza unpromedio ponderado de las observaciones vecinas, endonde la ponderación es proporcional al área obtenidaal crear un nuevo polígono de Thiessen como resultadode incluir un nuevo punto en el set de datos.


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Vecino más cercanoEste método de interpolación asigna el valor del

punto de muestreo más cercano a cada uno de los nodosde la nueva cuadrícula. Utiliza una elipsis como área debúsqueda. El usuario(a) debe definir los radios debúsqueda, el ángulo del eje 1 (asociado al eje X) y elnúmero de puntos a utilizar por sector. Este método deinterpolación acepta barreras o fallas y líneas deinflexión (breaklines). El método de interpolación no esapropiado para estimar valores cuando los puntos demuestreo tienen una distribución irregular.

Funciones radialesEste es un conjunto de funciones que permiten

interpolar valores a partir de un set de puntos demuestreo; todos los métodos se compartan comointerpoladores exactos. El método basado en unaecuación multi cuadrática es considerado como elmejor interpolador. El método de interpolación aceptabarreras o fallas y líneas de inflexión (breaklines). Aligual que en ArcView, las barreras utilizan memoriaextra y el proceso de interpolación requiere de mayortiempo. El tiempo requerido para crear el archivo rasteres proporcional al cuadrado del número de segmentosen la barrera. Cuando existen matrices singulares el usode barreras hace que el proceso de interpolación nopueda completarse.

Método modificado de ShepardEste método de interpolación es similar al método

de inverso de la distancia, con la diferencia de que lainterpolación es realizada utilizando mínimoscuadrados locales; lo que elimina o reducesustancialmente el efecto de “ojo de buey” del primerinterpolador. El usuario(a) puede asumir una superficieisotrópica ó anisotrópica. El interpolador puedecomportarse tanto como exacto ó como aproximado.


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Triangulación con interpolación linealEste método de interpolación utiliza la triangulación

óptima de Delaunay. A partir de los puntos de muestreose crean triángulos cuyas caras no se traslapan. Elinterpolador se comportar como exacto y es apropiadopara set de datos cuyos puntos de muestreo sedistribuyen en forma regular sobre el área de estudio.

Regresión polinomialEste no es realmente un método de interpolación ya

que no está diseñado para estimar valores en áreas sindatos. El método se utiliza para definir el patrón generalde variación espacial del set de datos.

7. Evaluación de la exactitud de los MDEEl MDE creado con cada uno de los métodos de interpolación fue reclasificado en 13 clases

de elevación utilizando un intervalo de 20m. Se seleccionó 20m por ser la elevación entre las curvasde nivel del mapa original del IGN (escala 1:50.000). Los MDE creados en ArcView con AnalistaEspacial y 3D Analista fueron exportados al formato raster de IDRISI V2.0 utilizando el programaGRID2IDR. Posteriormente en IDRISI se utilizó el comando Crosstab (opción tabla e índiceKappa) para comparar la concordancia espacial de las áreas entre curvas de nivel del mapa originaly del mapa creado a partir del MDE. Además se calculó el error para cada clase de elevaciónutilizando las siguientes fórmulas:

Error (has) = área derivada del mapa (has) - área derivada del MDE (has) (22)

Error Relativo ( %) = ((área del mapa - área derivada del MDE) / área del mapa ) * 100 (23)

RC Error Medio Cuadrático (has) = ( 3 (error)2 / n)0.5 (24)

8. Evaluación del efecto del filtrado en la exactitud del MDEPara determinar el efecto del filtrado en la exactitud del MDE se aplicaron tres filtros

sucesivos tipo promedio con una matriz de filtrado de 3*3 celdas a los tres mejores modelos


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Fig. 45: Puntos de muestreo con una separación de 200m entresí (equivalente a 4mm en un mapa a escala 1:50.0000).

digitales de elevación seleccionados en la sección anterior. Posteriormente, los MDE sereclasificaron cada 20m y se utilizó el comando Crosstab(opción tabla e índice Kappa) paradeterminar la concordancia espacial entre las diferentes clases de elevación. Finalmente, se calculóel área para cada uno de los MDE reclasificados y se determinó el error utilizando las fórmulasdescritas en la sección anterior.

9. Elaboración de mapas de pendiente y aspectoLos mapas de pendiente y aspecto fueron derivados para cada uno de los tres mejores MDE

seleccionados en la sección 8. Para evaluar el efecto del filtrado previo del MDE en la estimaciónde pendiente (%) y aspecto se derivó un mapa de pendiente/aspecto tanto para el archivo filtradocomo para el archivo sin filtrar. En el caso de ArcView se utilizó la extensión DEMAT - DEMAnalysis Tool ([email protected]) para realizar el cálculo de pendiente yaspecto.

9 .1 Evaluación del error en la estimación de pendientePara evaluar el error en la estimación de pendiente se creo un set de 1006 puntos con una

separación de 200 m entre sí (Fig. 45), de dicho set se eligieron al azar 183 puntos utilizando elprograma en Avenue RandomSelection (www.esri.com/arcscripts) y luego se calculó un área búferde 200 metros para cada uno de ellos (Fig. 46) utilizando la extensión Xtools (DeLaune, 1999).Dicha área equivale a dibujar círculos de 4mm de diámetro en un mapa a escala 1:50.000.


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Fig. 46 : Muestra de 183 puntos aleatorios seleccionados paraevaluar el error en la estimación de pendiente. Cada círculotiene un diámetro de 200m.

220220

220220

240240200200

180180

200200

160160

8080 100100

120120 140140160160

180180

Para cada uno de los círculos se determinó la pendiente utilizando el método de conteo decurvas de nivel como se muestra a continuación:

< Primero se contó el número de curvas únicas que atraviesa cada círculo


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3030

6060

6060

6060

5050

3030

3030

3000 0 3000 Meters

N

50 0 50 Ki lomet ers

Ma r Car i be

Oceán o P ací fi co

Ni car agua

P anam á

Simbología

0 - 56 - 1011 - 1516 - 2021 - 2526 - 3535 - 4546 - 5556 - 75> 76

Pendiente %

Fig.47 : Determinación de pendiente (%) mediante métodomanual.

< Luego se utilizó la siguiente relación entre número de curvas y cambio en elevación paradeterminar la pendiente en porcentaje:

#curvas )H (m) )D (m) Pendiente % = ()H/)D)*100 0 0 200 0/200 = 0 1 20 200 20/200 = 10 2 40 200 40/200 = 20 3 60 200 60/200 = 30 4 80 200 80/200 = 40 5 100 200 100/200 = 50 6 120 200 120/200 = 60 7 140 200 140/200 = 70

< Una vez determinado el número de curvas por círculo, seasignó su respectivo valor de pendiente como se muestra ala derecha.

El mapa creado utilizando este método se muestra en la figura 47.


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Una vez determinada la pendiente para cada una de los círculos se comparó con la pendientemedia estimada utilizando los MDE con y sin filtrar creados en el paso 9. Los resultados seresumieron en una tabla de 8 categorías de pendiente.

9.2. Evaluación del efecto del filtrado en el mapa de pendientesPara evaluar el efecto del filtrado en la estimación de la pendiente (%), el mapa de pendiente

creado en el paso anterior se filtró a su vez tres veces sucesivas (filtro promedio, ventana de3*3celdas) y cada mapa producto se reclasificó en 8 categorías de pendiente (clases de 10%). Paracada clase de pendiente se determinó el área y la concordancia espacial como se describe en lasección 8.

10. Efecto del tamaño del pixel en la exactitud del MDELa resolución de la celda en el modelo de datos raster influye en la calidad del producto final;

sin embargo una reducción de 0.5 veces en el tamaño original de la celda implica aumentar en 4veces el tamaño del archivo original. Para analizar el efecto del tamaño de la celda en ladistribución de elevaciones en la isla Chira se comparó el MDE creados con resoluciones de 10,20 y 40m, respectivamente. Posteriormente se aplicó el análisis descrito en el paso 6.

11. Funciones analíticas del software utilizado

Función/operación 3D Analista Analista Espacial IDRISI Surfer

Pendiente y aspecto del terreno X X X X

Iluminación del terreno X X X X

Análisis de Intervisibilidad X X X

Línea de visibilidad X X

Perfiles X X X X

Visualización en 2.5D o enperspectiva

X X X X

Cálculo de área y volumen X X X

Determinación de relleno yexcavación

X X

Creación de isolíneas X X X X

Creación de elementos en 3D X


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Análisis de escorrentíasuperficial

X

Exportación de vistas enVRWL

X

CURVAS DE NIVEL A ESCALA 200.000En este caso se utilizó un archivo existente con curvas de nivel cada 100m y por tanto solo se

verificó el valor asignado a cada una de las curvas de nivel. El procedimiento seguido para elaborary evaluar la exactitud de los MDE y sus productos fue el mismo ya descrito para la isla Chira.


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