MCE of LogNorm Int Rate Models - Schlogl

8/8/2019 MCE of LogNorm Int Rate Models - Schlogl

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A M U L T I C U R R E N C Y E X T E N S I O N O F T H E L O G N O R M A L I N T E R E S T

R A T E M A R K E T M O D E L S

E R I K S C H L

O G L

A b s t r a c t . T h e M a r k e t M o d e l s o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t r a t e s , i n w h i c h f o r w a r d

L I B O R o r f o r w a r d s w a p r a t e s a r e m o d e l l e d t o b e l o g n o r m a l u n d e r t h e f o r w a r d p r o b a b i l i t y

m e a s u r e o f t h e c o r r e s p o n d i n g m a t u r i t y , a r e e x t e n d e d t o a m u l t i c u r r e n c y s e t t i n g . I f l o g -

n o r m a l d y n a m i c s a r e a s s u m e d f o r f o r w a r d L I B O R o r f o r w a r d s w a p r a t e s i n t w o c u r r e n c i e s ,

t h e f o r w a r d e x c h a n g e r a t e l i n k i n g t h e t w o c u r r e n c i e s c a n o n l y b e c h o s e n t o b e l o g n o r m a l

f o r o n e m a t u r i t y , w i t h t h e d y n a m i c s f o r a l l o t h e r m a t u r i t i e s g i v e n b y n o a r b i t r a g e r e l a -

t i o n s h i p s . A l t e r n a t i v e l y , o n e c o u l d c h o o s e f o r w a r d i n t e r e s t r a t e s i n o n l y o n e c u r r e n c y , s a y

t h e d o m e s t i c , t o b e l o g n o r m a l a n d p o s t u l a t e l o g n o r m a l d y n a m i c s f o r a l l f o r w a r d e x c h a n g e

r a t e s , w i t h t h e d y n a m i c s o f f o r e i g n i n t e r e s t r a t e s d e t e r m i n e d b y n o - a r b i t r a g e r e l a t i o n s h i p s .

S i n c e t h e s e m i n a l a r t i c l e o f B l a c k a n d S c h o l e s 1 9 7 3 , t h e i r o p t i o n p r i c i n g f o r m u l a h a s

b e e n a p p l i e d t o a m y r i a d o f d e r i v a t i v e n a n c i a l i n s t r u m e n t s , s o m e t i m e s o n t h e b a s i s o f

a n a r b i t r a g e f r e e m o d e l a n d s o m e t i m e s | e s p e c i a l l y i n t h e h e c t i c w o r l d o f d a y t o d a y

d e r i v a t i v e s t r a d i n g | j u s t o n t h e b a s i s o f h e u r i s t i c a n a l o g y . T h e f o r m u l a h a s a s t r o n g

i n t u i t i v e a p p e a l f o r p r a c t i t i o n e r s a n d r e m a i n s t h e m o s t i m p o r t a n t t o o l o f t h e n a n c i a l

e n g i n e e r . F u r t h e r m o r e , m a r k e t p r i c e s f o r a v a r i e t y o f o p t i o n c o n t r a c t s a r e r o u t i n e l y c o m -

m u n i c a t e d i n t e r m s o f t h e i r B l a c k S c h o l e s i m p l i e d v o l a t i l i t y , s i n c e a l l o t h e r d e t e r m i n a n t s

o f a n o p t i o n ' s v a l u e , s u c h a s t h e p r i c e o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t a n d t h e r e l e v a n t i n t e r e s t

r a t e , a r e r e a d i l y o b s e r v e d e l s e w h e r e .

I n t h i s c o n t e x t , t h e o r e t i c a l w o r k w h i c h e m b e d s B l a c k S c h o l e s t y p e f o r m u l a e f a v o r e d b y

p r a c t i t i o n e r s i n a c o n s i s t e n t , a r b i t r a g e f r e e f r a m e w o r k i s p a r t i c u l a r l y r e l e v a n t . M i l t e r s e n ,

S a n d m a n n a n d S o n d e r m a n n 1 9 9 7

1

M S S s h o w e d t h a t t h e p r a c t i c e o f p r i c i n g i n t e r e s t

r a t e c a p a n d o o r c o n t r a c t s b y a f o r m u l a w h i c h h a d h i t h e r t o o n l y b e e n j u s t i e d b y a n a l -

o g y t o B l a c k S c h o l e s i s c o n s i s t e n t w i t h a t e r m s t r u c t u r e m o d e l s a t i s f y i n g t h e n o - a r b i t r a g e

c o n s t r a i n t s o f t h e H e a t h , J a r r o w a n d M o r t o n 1 9 9 2 f r a m e w o r k . T h e c r i t i c a l a s s u m p t i o n

f o r t h i s r e s u l t i s t h a t r e l a t i v e v o l a t i l i t y

2

o f f o r w a r d r a t e s s u c h a s L I B O R , c o m p o u n d e d

a c c o r d i n g t o m a r k e t c o n v e n t i o n s , i s d e t e r m i n i s t i c . B r a c e , G a t a r e k a n d M u s i e l a 1 9 9 7

B G M r e s o l v e d o p e n q u e s t i o n s i n t h e c o n s t r u c t i o n o f s u c h a m o d e l , i n p a r t i c u l a r c o n c e r n -

i n g e x i s t e n c e a n d m e a s u r e r e l a t i o n s h i p s , a n d c o i n e d t h e t e r m M a r k e t M o d e l : I t r e e c t s

m a r k e t p r a c t i c e b o t h i n i n t e r e s t r a t e c o m p o u n d i n g a n d i n t h e p r i c i n g o f c a p s a n d o o r s .

G i v e n t h e d e t e r m i n i s t i c v o l a t i l i t y a s s u m p t i o n , B G M e x p l i c i t l y i d e n t i e d f o r w a r d L I B O R

a s l o g n o r m a l m a r t i n g a l e s u n d e r t h e f o r w a r d m e a s u r e t o t h e e n d o f t h e r e s p e c t i v e a c c r u a l

p e r i o d s , a n a p p r o a c h t h a t w a s p u r s u e d f u r t h e r b y M u s i e l a a n d R u t k o w s k i 1 9 9 7 a , w h o

a l s o p r e s e n t a p a r t i c u l a r l y s t r a i g h t f o r w a r d c o n s t r u c t i o n o f t h e M a r k e t M o d e l . T h e s a m e

m e t h o d o l o g y c a n b e a p p l i e d t o f o r w a r d s w a p r a t e s t o d e r i v e a m o d e l w h i c h s u p p o r t s t h e

D a t e . T h i s v e r s i o n : J u l y 2 6 , 1 9 9 9 . F i r s t v e r s i o n : F e b r u a r y 6 , 1 9 9 9 . S c h o o l o f M a t h e m a t i c a l

S c i e n c e s , U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , S y d n e y , P O B o x 1 2 3 , B r o a d w a y , N S W 2 0 0 7 , A u s t r a l i a . E - m a i l :

s c h l o e g l @ m a t h s . u t s . e d u . a u .

T h e a u t h o r w o u l d l i k e t o t h a n k M a r e k M u s i e l a , M a r e k R u t k o w s k i a n d C a t r i o n a M a r c h f o r h e l p f u l

d i s c u s s i o n s , b u t c l a i m s r e s p o n s i b i l i t y f o r a n y r e m a i n i n g e r r o r s .

1

S e e a l s o S a n d m a n n a n d S o n d e r m a n n 1 9 9 4 a n d S a n d m a n n , S o n d e r m a n n a n d M i l t e r s e n 1 9 9 5 .

2

T h e r e l a t i v e v o l a t i l i t y o f a d i u s i o n p r o c e s s X t i s i f i t s q u a d r a t i c v a r i a t i o n i s g i v e n b y X t

2

2

d t .

1


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A M U L T I C U R R E N C Y E X T E N S I O N O F T H E L O G N O R M A L I N T E R E S T R A T E M A R K E T M O D E L S 2

m a r k e t p r a c t i c e o f p r i c i n g s w a p t i o n s i n s t e a d o f t h a t o f p r i c i n g c a p s a n d o o r s , a s d e m o n -

s t r a t e d b y J a m s h i d i a n 1 9 9 7 .

T h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o e x t e n d t h e M a r k e t M o d e l s t o m u l t i p l e c u r r e n c i e s a n d t o d e -

t e r m i n e t o w h a t e x t e n t B l a c k S c h o l e s t y p e v a l u a t i o n o f i n t e r e s t r a t e c a p s a n d o o r s o r ,

a l t e r n a t i v e l y , s w a p t i o n s c a n b e r e c o n c i l e d w i t h t h e a p p l i c a t i o n o f t h e B l a c k S c h o l e s f o r -

m u l a t o o p t i o n s o n f o r e i g n e x c h a n g e . W e w i l l f o c u s o n t h e c o r e i s s u e s o f t h e r e s t r i c t i o n s t h a t

t h e n o - a r b i t r a g e r e q u i r e m e n t i m p o s e s o n s i m u l t a n e o u s l o g n o r m a l i t y a s s u m p t i o n s . T h e s e

r e s t r i c t i o n s b e c o m e p a r t i c u l a r l y c l e a r w h e n t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e m a r t i n g a l e m e a -

s u r e s a s s o c i a t e d w i t h d o m e s t i c a n d f o r e i g n n u m e r a i r e a s s e t s a r e i d e n t i e d . G i v e n a s e t o f

l o g n o r m a l i t y a s s u m p t i o n s s a t i s f y i n g t h e s e r e s t r i c t i o n s , o b t a i n i n g t h e c o r r e s p o n d i n g c l o s e d

f o r m o p t i o n p r i c i n g f o r m u l a e i s a s t r a i g h t f o r w a r d a p p l i c a t i o n o f t h e s t a n d a r d t e c h n i q u e s

o f t h e B l a c k S c h o l e s f r a m e w o r k .

3

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 1 d e v e l o p s t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n d o m e s t i c

a n d f o r e i g n e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e s a n d e l a b o r a t e s o n t h e n o - a r b i t r a g e c o n d i t i o n s

l i n k i n g t h e v o l a t i l i t i e s o f f o r w a r d e x c h a n g e a n d i n t e r e s t r a t e s . T h e c o n s e q u e n c e s o f t h e s e

c o n d i t i o n s f o r t h e c o n s i s t e n t c h o i c e o f l o g n o r m a l i t y a s s u m p t i o n s a r e d i s c u s s e d i n s e c t i o n

2 . S e c t i o n 3 c o v e r s t h e c o n t i n u o u s t e n o r c a s e a n d t h e i m p l i c a t i o n s f o r t h e d y n a m i c s o f t h e

s p o t e x c h a n g e r a t e . E x t e n s i o n s t o M a r k e t M o d e l s i m u l a t i o n a l g o r i t h m s t o a c c o m m o d a t e a

m u l t i c u r r e n c y m o d e l a r e p r e s e n t e d i n s e c t i o n 4 , a n d s e c t i o n 5 c o n c l u d e s .

1 . M e a s u r e R e l a t i o n s h i p s

G i v e n a l t e r e d p r o b a b i l i t y s p a c e ; f F

t

g

t 2 0 ; T

; P

T

s a t i s f y i n g t h e u s u a l c o n d i t i o n s ,

l e t f W

T

t g

t 2 0 ; T

d e n o t e a d d i m e n s i o n a l s t a n d a r d W i e n e r p r o c e s s a n d a s s u m e t h a t

t h e l t r a t i o n f F

t

g

t 2 0 ; T

i s t h e u s u a l P

T

a u g m e n t a t i o n o f t h e l t r a t i o n g e n e r a t e d b y

f W

T

t g

t 2 0 ; T

.

T h e m o d e l i s s e t u p o n t h e b a s i s o f a s s u m p t i o n s B P . 1 a n d B P . 2 o f M u s i e l a a n d

R u t k o w s k i 1 9 9 7 a :

B P . 1 F o r a n y d a t e T 2 0 ; T

, t h e p r i c e p r o c e s s o f a z e r o c o u p o n b o n d B t ; T , t 2 0 ; T

i s a s t r i c t l y p o s i t i v e s p e c i a l m a r t i n g a l e u n d e r P

T

.

B P . 2 F o r a n y x e d T 2 0 ; T

, t h e f o r w a r d p r o c e s s

F

B

t ; T ; T

=

B t ; T

B t ; T

; 8 t 2 0 ; T

f o l l o w s a m a r t i n g a l e u n d e r P

T

.

N o t e t h a t a s s u m p t i o n B P . 2 m e a n s t h a t P

T

c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h e t i m e T

f o r w a r d

m e a s u r e a n d i m p l i e s t h a t t h e b o n d p r i c e d y n a m i c s a r e a r b i t r a g e f r e e .

T h e o b j e c t s t o b e m o d e l l e d o n t h e x e d i n c o m e m a r k e t s a r e t h e - c o m p o u n d e d f o r w a r d

r a t e s d e n e d b y

L t ; T =

, 1

B t ; T

B t ; T +

, 1

1

S i n c e t h e c o m p o u n d i n g m a t c h e s t h e m a r k e t c o n v e n t i o n f o r r a t e s s u c h a s t h e L o n d o n I n t e r -

b a n k O e r R a t e , L t ; T i s a l s o r e f e r r e d t o a s f o r w a r d L I B O R . N o t e t h a t b y a s s u m p t i o n

B P . 2 , L t ; T

, i s a m a r t i n g a l e u n d e r P

T

.

3

I n d e p e n d e n t l y o f t h e p r e s e n t p a p e r , M i k k e l s e n 1 9 9 9 c o n s t r u c t s c o n s i s t e n t L I B O R M a r k e t M o d e l

s e t t i n g s u n d e r v a r i o u s l o g n o r m a l i t y a s s u m p t i o n s a n d d e r i v e s a n u m b e r o f B l a c k S c h o l e s t y p e f o r m u l a e f o r

s t a n d a r d p r o d u c t s .


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I n i t i a l l y , l e t u s c o n s i d e r t h e d i s c r e t e t e n o r c a s e , i . e . f o r e a c h o f t h e x e d i n c o m e m a r k e t s ,

t h e m o d e l i s c o n s t r u c t e d i n t h e m a n n e r d e s c r i b e d i n s e c t i o n 4 . 1 o f M u s i e l a a n d R u t k o w s k i

1 9 9 7 a . F o r n o t a t i o n a l s i m p l i c i t y , a s s u m e a h o r i z o n d a t e T

w h i c h i s a m u l t i p l e o f , i . e .

T

= N , N 2 I I N , a n d f o c u s o n a n i t e n u m b e r o f m a t u r i t i e s T

i

= i , i 2 f 0 ; : : : ; N g t h e

t e n o r s t r u c t u r e T . T h e d y n a m i c s o f t h e d o m e s t i c f o r w a r d L I B O R r a t e w i t h t h e l o n g e s t

m a t u r i t y u n d e r t h e d o m e s t i c t i m e T

f o r w a r d p r o b a b i l i t y m e a s u r e P

T

a r e g i v e n b y

d L t ; T

N , 1

= L t ; T

N , 1

t ; T

N , 1

d W

T

t 2

A n a l o g o u s l y , B P . 1 a n d B P . 2 a r e a s s u m e d t o h o l d f o r t h e f o r e i g n x e d i n c o m e m a r k e t

a n d u n d e r t h e f o r e i g n t i m e T

f o r w a r d p r o b a b i l i t y m e a s u r e

~

P

T

, w e h a v e

d

~

L t ; T

N , 1

=

~

L t ; T

N , 1

~

t ; T

N , 1

d

~

W

T

t

i . e . w e u s e t h e t i l d e t o d e n o t e v a l u e s o n t h e f o r e i g n m a r k e t . N o t e t h a t i f t ; T

N , 1

i s a

d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n o f i t s a r g u m e n t s , L t ; T i s a l o g n o r m a l m a r t i n g a l e . H o w e v e r , t h i s

i s n o t a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e m o d e l c o n s t r u c t i o n .

C o n s i d e r n o w t h e b o n d p r i c e q u o t i e n t s B t ; T = B t ; T

i

f o r s o m e i 2 f 1 ; : : : ; N g a n d

a n y T 2 0 ; T

. D e n e t h e t i m e T

i

f o r w a r d m e a s u r e P

T

i

a s t h e m e a s u r e u n d e r w h i c h t h e s e

b o n d p r i c e q u o t i e n t s a r e m a r t i n g a l e s . S i n c e B t ; T = B t ; T

i

c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h e p r i c e

o f B t ; T e x p r e s s e d i n t e r m s o f u n i t s o f B t ; T

i

, w e s a y t h a t B t ; T

i

i s a n u m e r a i r e a n d

P

T

i

i s t h e e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e a s s o c i a t e d w i t h t h i s n u m e r a i r e . I n f a c t , i n o r d e r

t o g u a r a n t e e t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e i n t h e c o m p l e t e m a r k e t s e t t i n g w e a r e c o n s i d e r i n g ,

t h e p r i c e p r o c e s s o f a n y a s s e t e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e n u m e r a i r e m u s t b e a m a r t i n g a l e

u n d e r t h e a s s o c i a t e d m a r t i n g a l e m e a s u r e .

4

A s s h o w n i n M u s i e l a a n d R u t k o w s k i 1 9 9 7 a , t h e m e a s u r e s P

T

i

e x i s t a n d a r e l i n k e d b y

t h e R a d o n N i k o d y m d e r i v a t i v e s g i v e n i n t e r m s o f t h e D o l e a n s e x p o n e n t i a l a s

d P

T

i

d P

T

i + 1

= E

T

i

Z

0

u ; T

i

; T

i + 1

d W

T

i + 1

u

P

T

i + 1

a . s . 3

w i t h

t ; T

i

; T

i + 1

=

L t ; T

i

1 + L t ; T

i

t ; T

i

8 t 2 0 ; T

i

4

I n p a r t i c u l a r , w e h a v e

d W

T

i

t = d W

T

i + 1

t , u ; T

i

; T

i + 1

d t 5

I f , f o r a l l i 2 f 1 ; : : : ; N , 1 g , t ; T

i

i s a d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n o f i t s a r g u m e n t s , e v e r y

p r o c e s s L t ; T

i

i s a l o g n o r m a l m a r t i n g a l e u n d e r t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i t y m e a s u r e

P

T

i + 1

a n d a n a l o g o u s l y f o r

~

L t ; T

i

u n d e r

~

P

T

i + 1

.

N o w l e t X t d e n o t e t h e s p o t e x c h a n g e r a t e i n t e r m s o f u n i t s o f d o m e s t i c c u r r e n c y

p e r u n i t o f f o r e i g n c u r r e n c y . T o s a t i s f y t e c h n i c a l r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s , l e t u s m a k e t h e

f o l l o w i n g a s s u m p t i o n :

X . 1 T h e s p o t e x c h a n g e r a t e p r o c e s s X t , t 2 0 ; T

, i s a s t r i c t l y p o s i t i v e s p e c i a l m a r t i n -

g a l e u n d e r P

T

.

4

T h i s r e s u l t g o e s b a c k t o a s e r i e s o f p a p e r s o f H a r r i s o n a n d K r e p s 1 9 7 9 , H a r r i s o n a n d P l i s k a 1 9 8 1

a n d H a r r i s o n a n d P l i s k a 1 9 8 3 , w h o s e s e m i n a l w o r k h a s s i n c e t h e n b e e n e x t e n d e d a n d r e n e d i n s e v e r a l

w a y s . F o r a m o r e c o m p l e t e l i s t o f r e f e r e n c e s , s e e a n y r e c e n t b o o k o n m a t h e m a t i c a l n a n c e , s u c h a s M u s i e l a

a n d R u t k o w s k i 1 9 9 7 b .


4/14


N o t e t h a t X t i s n o t a t r a d e a b l e a s s e t i n e i t h e r m a r k e t

5

; t h u s t h e s p o t e x c h a n g e r a t e

d i s c o u n t e d b y t h e n u m e r a i r e w i l l g e n e r a l l y n o t b e a m a r t i n g a l e u n d e r a n y e q u i v a l e n t

m a r t i n g a l e m e a s u r e s a s s o c i a t e d w i t h a n u m e r a i r e a s s e t . H o w e v e r , t h e f o r e i g n b o n d c o n -

v e r t e d t o d o m e s t i c c u r r e n c y a t t h e s p o t e x c h a n g e r a t e i s a d o m e s t i c a s s e t , a n d t h u s

X t ; T

i

: =

~

B t ; T

i

X t

B t ; T

i

6

i s a m a r t i n g a l e u n d e r P

T

i

. C o n v e r s e l y ,

1

X t ; T

i

=

B t ; T

i

1

X t

~

B t ; T

i

i s a m a r t i n g a l e u n d e r

~

P

T

i

. X t ; T

i

i s t h e t i m e T

i

f o r w a r d e x c h a n g e r a t e .

B y t h e G i r s a n o v t r a n s f o r m a t i o n s 3 , a l l d o m e s t i c f o r w a r d m e a s u r e s P

T

i

a r e l i n k e d t o

P

T

a n d a l l f o r e i g n f o r w a r d m e a s u r e s

~

P

T

i

a r e l i n k e d t o

~

P

T

. S i n c e t h e s e r e l a t i o n s h i p s a r e

t r a n s i t i v e , s p e c i f y i n g t h e m e a s u r e t r a n s f o r m a t i o n l i n k i n g P

T

i

a n d

~

P

T

i

x e s t h e r e l a t i o n s h i p s

b e t w e e n a l l f o r w a r d m e a s u r e s , d o m e s t i c a n d f o r e i g n .

W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y i n t h e s e n s e t h a t w e c o u l d h a v e c h o s e n a n y o t h e r f o r w a r d

m e a s u r e i n s t e a d , l e t u s s p e c i f y t h e l i n k f o r t h e t e r m i n a l f o r w a r d m e a s u r e s . S e t

d X t ; T

= X t ; T

X

t ; T

d W

T

t 7

A g a i n , i f

X

t ; T

i s a d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n o f i t s a r g u m e n t s , X t ; T

i s a l o g n o r m a l

m a r t i n g a l e .

F r o m g e n e r a l t h e o r y w e k n o w t h a t i n t h e c o m p l e t e , a r b i t r a g e f r e e m a r k e t w e a r e c o n s i d -

e r i n g , t h e r e e x i s t u n i q u e e q u i v a l e n t m e a s u r e s P

T

a n d

~

P

T

, s u c h t h a t a l l a s s e t s d i s c o u n t e d

b y t h e t i m e T

d o m e s t i c z e r o c o u p o n b o n d B ; T

a r e m a r t i n g a l e s u n d e r P

T

a n d a l l

a s s e t s d i s c o u n t e d b y t h e f o r e i g n b o n d

~

B ; T

a r e m a r t i n g a l e s u n d e r

~

P

T

. C o n s e q u e n t l y

w e m u s t h a v e

d

~

P

T

d P

T

=

X T

~

B T

; T

B 0 ; T

X 0

~

B 0 ; T

B T

; T

=

X T

; T

X 0 ; T

a n d r e s t r i c t i n g P

T

,

~

P

T

t o t h e i n f o r m a t i o n g i v e n a t t i m e t i . e . f o r F

t

m e a s u r a b l e e v e n t s ,

w h e r e F

t

0 t T

i s t h e a u g m e n t e d l t r a t i o n g e n e r a t e d b y t h e d r i v i n g B r o w n i a n m o t i o n ,

w e h a v e

d

~

P

T

d P

T

F

t

=

X t ; T

X 0 ; T

G i v e n t h e d y n a m i c s 7 w e c h o s e f o r t h e f o r w a r d f o r e i g n d o m e s t i c e x c h a n g e r a t e X t ; T

,

P

T

a n d

~

P

T

a r e t h e r e f o r e l i n k e d b y

d

~

P

T

d P

T

= E

T

Z

0

X

u ; T

d u

P

T

a . s .

B y G i r s a n o v ' s T h e o r e m , B r o w n i a n m o t i o n s u n d e r t h e t w o m e a s u r e s a r e r e l a t e d b y

d

~

W

T

t = d W

T

t ,

X

t ; T

d t 8

5

I n t h e c o n t e x t o f t h e m o d e l u n d e r c o n s i d e r a t i o n , a t r a d e a b l e a s s e t i s a n y s e m i m a r t i n g a l e w h i c h c a n b e

r e p r e s e n t e d a s t h e v a l u e p r o c e s s o f a s e l f n a n c i n g t r a d i n g s t r a t e g y i n d o m e s t i c a n d o r f o r e i g n z e r o c o u p o n

b o n d s . F o r a n u m e r a i r e a s s e t , w e a d d i t i o n a l l y r e q u i r e t h a t t h e v a l u e p r o c e s s i s s t r i c t l y p o s i t i v e . X t i s

o n l y t h e t i m e t r a t e o f c o n v e r s i o n f r o m f o r e i g n t o d o m e s t i c c u r r e n c y , i . e . X t m u l t i p l i e d b y t h e v a l u e o f

a n a s s e t d e n o t e d i n f o r e i g n c u r r e n c y g i v e s t h e v a l u e o f t h a t a s s e t d e n o t e d i n d o m e s t i c c u r r e n c y .


5/14


a n d b y I t o ' s l e m m a ,

d

1

X t ; T

=

1

X t ; T

,

,

X

t ; T

d W

T

t + k

X

t ; T

k

2

d t

T h u s t h e v o l a t i l i t y o f t h e f o r w a r d d o m e s t i c f o r e i g n e x c h a n g e r a t e X t ; T

, 1

i s

1

X

t ; T

=

,

X

t ; T

a n d w e c a n w r i t e

d

1

X t ; T

=

1

X t ; T

1

X

t ; T

d

~

W

T

t

H a v i n g l i n k e d t h e f o r e i g n a n d d o m e s t i c x e d i n c o m e m a r k e t s b y s p e c i f y i n g t h e v o l a t i l i t y

o f t h e t i m e T

f o r w a r d e x c h a n g e r a t e u n d e r t h e d o m e s t i c a n d f o r e i g n t i m e T

f o r w a r d

m e a s u r e s , t h e v o l a t i l i t i e s o f a l l o t h e r f o r w a r d e x c h a n g e r a t e s u n d e r t h e r e s p e c t i v e f o r w a r d

m e a s u r e s a r e x e d , s i n c e t h e f o r w a r d m e a s u r e s o f d i e r e n t m a t u r i t i e s a r e a l r e a d y l i n k e d b y

t h e s p e c i c a t i o n o f f o r w a r d L I B O R v o l a t i l i t i e s . T o d e r i v e t h e r e m a i n i n g f o r w a r d e x c h a n g e

r a t e v o l a t i l i t i e s , w e i n d u c t i v e l y m a k e u s e o f t h e r e l a t i o n s h i p

X t ; T

i

X t ; T

i + 1

=

B t ; T

i + 1

B t ; T

i

~

B t ; T

i

~

B t ; T

i + 1

9

F o r e a s e o f n o t a t i o n , c o n s i d e r j u s t t h e r s t s t e p o f t h e i n d u c t i o n ,

X t ; T

N , 1

= X t ; T

B t ; T

B t ; T

N , 1

~

B t ; T

N , 1

~

B t ; T

A s s h o w n i n M u s i e l a a n d R u t k o w s k i 1 9 9 7 a , t h e d y n a m i c s o f t h e f o r w a r d b o n d p r i c e a r e

g i v e n b y

d

B t ; T

N , 1

B t ; T

=

B t ; T

N , 1

B t ; T

t ; T

N , 1

; T

d W

T

t

B y I t o ' s l e m m a ,

d

B t ; T

B t ; T

N , 1

=

B t ; T

B t ; T

N , 1

,

, t ; T

N , 1

; T

d W

T

t + k t ; T

N , 1

; T

k

2

d t

a n d f o r t h e f o r e i g n f o r w a r d b o n d , a f t e r s w i t c h i n g t o t h e c o r r e s p o n d i n g d o m e s t i c m e a s u r e

d

~

B t ; T

N , 1

~

B t ; T

!

=

~

B t ; T

N , 1

~

B t ; T

~ t ; T

N , 1

; T

d W

T

t , ~ t ; T

N , 1

; T

X

t ; T

d t

T h u s

d

~

B t ; T

N , 1

~

B t ; T

B t ; T

B t ; T

N , 1

!

=

~

B t ; T

N , 1

~

B t ; T

B t ; T

B t ; T

N , 1

~ t ; T

N , 1

; T

, t ; T

N , 1

; T

d W

T

t

+

,

k t ; T

N , 1

; T

k

2

, ~ t ; T

N , 1

; T

X

t ; T

, t ; T

N , 1

; T

~ t ; T

N , 1

; T

d t

a n d

d X t ; T

N , 1

= X t ; T

N , 1

,

~ t ; T

N , 1

; T

, t ; T

N , 1

; T

+

X

t ; T

d W

T

t

, t ; T

N , 1

; T

~ t ; T

N , 1

; T

, t ; T

N , 1

; T

+

X

t ; T

d t

S i n c e d W

T

N , 1

= d W

T

t , t ; T

N , 1

; T

d t , w e h a v e

d X t ; T

N , 1

= X t ; T

N , 1

,

~ t ; T

N , 1

; T

, t ; T

N , 1

; T

+

X

t ; T

d W

T

N , 1

t


6/14


Measure Links 1

Domestic Foreign

T 0 forward measure T 0 forward measure

T 2 forward measure

T 1 forward measure

T 2 forward measure

T 1 forward measure

T i forward measureT i forward measure

T N forward measureT N forward measure

F i g u r e 1 . L o g n o r m a l L I B O R s

Measure Links 2

Domestic Foreign

T 0 forward measure T 0 forward measure

T 2 forward measure

T 1 forward measure

T 2 forward measure

T 1 forward measure

T i forward measureT i forward measure

T N forward measureT N forward measure

F i g u r e 2 . L o g n o r m a l

e x c h a n g e r a t e s

T h u s w e m u s t s e t

X

t ; T

N , 1

= ~ t ; T

N , 1

; T

, t ; T

N , 1

; T

+

X

t ; T

1 0

i . e . t h e f o r w a r d e x c h a n g e r a t e v o l a t i l i t i e s f o r a l l m a t u r i t i e s a r e l i n k e d b y

X

t ; T

i , 1

= ~ t ; T

i , 1

; T

i

, t ; T

i , 1

; T

i

+

X

t ; T

i

1 1

N o t e t h a t t h e d e r i v a t i o n o f 1 1 d o e s n o t d e p e n d o n a n y o f t h e a s s u m p t i o n s o f d e t e r m i n i s t i c

v o l a t i l i t i e s , b u t s o l e l y o n t h e f a c t t h a t

X

, a n d ~ a r e , r e s p e c t i v e l y , t h e v o l a t i l i t y f u n c t i o n s

o f t h e f o r w a r d e x c h a n g e r a t e s , d o m e s t i c a n d f o r e i g n f o r w a r d b o n d p r i c e s .

F u r t h e r m o r e , i f w e c h o o s e t o l i n k t h e d o m e s t i c a n d f o r e i g n m a r k e t b y a f o r w a r d e x c h a n g e

r a t e t o a m a t u r i t y o t h e r t h a n t h e t e r m i n a l , w e a l s o s o l v e 1 1 f o r

X

t ; T

i

. I n e e c t , w e a r e

u s i n g t h e d o m e s t i c a n d f o r e i g n f o r w a r d b o n d v o l a t i l i t i e s a n d ~ t o m o v e e i t h e r f o r w a r d

o r b a c k w a r d i n m a t u r i t y f r o m t h e l i n k .

2 . C h o i c e s o f L o g n o r m a l i t y

A s a c o n s e q u e n c e o f 1 1 , t h e c h o i c e s o f w h i c h u n d e r l y i n g v a r i a b l e s s h o u l d f o l l o w a

l o g n o r m a l p r o b a b i l i t y l a w a r e r e s t r i c t e d . I n t h e e x t r e m e s , w e h a v e t w o c a s e s , w h i c h c a n

b e m i x e d a n d m a t c h e d t o p r o d u c e a v a r i e t y o f h y b r i d " m o d e l s . C o n s i d e r g u r e s 1 a n d

2 . E a c h a r r o w d e n o t e s a m e a s u r e r e l a t i o n s h i p b a s e d o n a d e t e r m i n i s t i c v o l a t i l i t y f u n c t i o n ,

i . e . v e r t i c a l a r r o w s s i g n i f y l o g n o r m a l f o r w a r d L I B O R s w h i l e h o r i z o n t a l a r r o w s s i g n i f y

l o g n o r m a l f o r w a r d e x c h a n g e r a t e s .

I n g u r e 1 , w e h a v e a d i s c r e t e t e n o r l o g n o r m a l f o r w a r d L I B O R m o d e l f o r b o t h t h e

d o m e s t i c a n d f o r e i g n x e d i n c o m e m a r k e t s . F u r t h e r m o r e , o n e f o r w a r d e x c h a n g e r a t e i s

c h o s e n t o b e l o g n o r m a l . W i t h t h a t , a l l m e a s u r e r e l a t i o n s h i p s a r e x e d a n d a l l r e m a i n i n g

f o r w a r d e x c h a n g e r a t e v o l a t i l i t i e s a r e g i v e n b y 1 1 . B y i n s e r t i n g 4 i n t o 1 1 , i t b e c o m e s


7/14


o b v i o u s t h a t t h e s e v o l a t i l i t i e s d e p e n d o n L I B O R l e v e l s a n d c o n s e q u e n t l y o n l y t h e f o r w a r d

e x c h a n g e r a t e c h o s e n t o l i n k " t h e t w o x e d i n c o m e m a r k e t s c a n b e l o g n o r m a l .

M o r e s p e c i c a l l y , i n t h i s c a s e t h e m o d e l i s c o n s t r u c t e d a s f o l l o w s . W e r s t s e t u p a

d i s c r e t e t e n o r l o g n o r m a l f o r w a r d L I B O R m o d e l f o r e a c h o f t h e c u r r e n c i e s a s i n M u s i e l a

a n d R u t k o w s k i 1 9 9 7 a , b y s p e c i f y i n g d d i m e n s i o n a l v o l a t i l i t y v e c t o r s t ; T

i

a n d

~

t ; T

i

f o r a l l 0 i N . S p e c i f y i n g t h e s e v o l a t i l i t i e s c o m p l e t e l y d e t e r m i n e s t h e d i s c r e t e t e n o r

t e r m s t r u c t u r e m o d e l s i n e a c h o f t h e c u r r e n c i e s . T h e m e a s u r e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n f o r w a r d

m e a s u r e s i n e a c h c u r r e n c y a r e c o n s t r u c t e d b y b a c k w a r d i n d u c t i o n u s i n g e q u a t i o n s 3 - 5 .

G i v e n t h e s e r e l a t i o n s h i p s , w e c a n m o v e b a c k w a r d a n d f o r w a r d i n m a t u r i t y a t w i l l . T h u s

i t i s s u c i e n t t o l i n k t h e t w o c u r r e n c i e s b y c h o o s i n g a f o r w a r d e x c h a n g e r a t e v o l a t i l i t y

f u n c t i o n

X

; T

i

f o r s o m e a r b i t r a r y T

i

.

I n g u r e 2 , o n l y d o m e s t i c f o r w a r d L I B O R s a r e a s s u m e d t o b e l o g n o r m a l , a s w e l l a s e v e r y

f o r w a r d e x c h a n g e r a t e . N o t e t h a t l o g n o r m a l i t y o f t h e f o r w a r d e x c h a n g e r a t e u n d e r t h e

c o r r e s p o n d i n g f o r w a r d m e a s u r e m e a n s t h a t t h e B l a c k S c h o l e s f o r m u l a h o l d s f o r a c u r r e n c y

o p t i o n o f t h i s m a t u r i t y , i r r e s p e c t i v e o f t h e i n t e r e s t r a t e d y n a m i c s . A g a i n , t h e r e s u l t i n g

d i s c r e t e t e n o r m o d e l i s f u l l y s p e c i e d a n d c o n d i t i o n 1 1 p r e c l u d e s t h e l o g n o r m a l i t y o f

f o r e i g n i n t e r e s t r a t e s .

H e r e , t h e d o m e s t i c d i s c r e t e t e n o r m o d e l i s c o n s t r u c t e d a s i n c a s e 1 . F u r t h e r m o r e , f o r a l l

0 i N , f o r w a r d e x c h a n g e r a t e v o l a t i l i t y f u n c t i o n s

X

t ; T

i

a r e i n p u t i n t o t h e m o d e l .

G i v e n t h e s e , 8 p e r m i t s u s t o m o v e f r o m a n y d o m e s t i c f o r w a r d m e a s u r e t o t h e f o r e i g n

f o r w a r d m e a s u r e o f t h e s a m e m a t u r i t y , a n d i n d i r e c t l y b e t w e e n f o r e i g n f o r w a r d m e a s u r e s o f

d i e r e n t m a t u r i t i e s , t h u s a l l m e a s u r e r e l a t i o n s h i p s a r e n o w x e d . B y t h e i n p u t v o l a t i l i t y

f u n c t i o n a n d t h e m e a s u r e r e l a t i o n s h i p s

6

, t h e c o n t i n u o u s t i m e d y n a m i c s o f L t ; T

i

a n d

X t ; T

j

a r e w e l l d e t e r m i n e d f o r a l l 0 i N a n d 0 j N , a n d b y e q u a t i o n 9 t h e

~

L t ; T

i

a r e w e l l d e t e r m i n e d a l s o a n d t h e i r d y n a m i c s a r e e a s i l y d e r i v e d b y a p p l y i n g I t o ' s

L e m m a .

F r o m a p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w , i t m a y b e a t t r a c t i v e t o m i x t h e t w o c a s e s . C o n s i d e r , f o r

e x a m p l e , a s i t u a t i o n w h e r e c u r r e n c y o p t i o n s f o r s h o r t e r m a t u r i t i e s a r e v e r y a c t i v e l y t r a d e d ,

w h i l e f o r l o n g e r m a t u r i t i e s t h e r e i s v e r y l i t t l e i m p l i e d v o l a t i l i t y i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e i n t h e

m a r k e t . O n t h e o t h e r h a n d , l o n g e r d a t e d i n t e r e s t r a t e o p t i o n s m a y b e r e a s o n a b l y l i q u i d .

I n s u c h a c a s e , o n e c o u l d m o d e l t h e l i q u i d " v o l a t i l i t i e s a s d e t e r m i n i s t i c , g r e a t l y f a c i l i t a t i n g

m o d e l c a l i b r a t i o n . T h i s m e a n s a s s u m i n g l o g n o r m a l f o r w a r d e x c h a n g e r a t e s o n t h e s h o r t

e n d a n d m o v i n g t o l o g n o r m a l f o r w a r d i n t e r e s t r a t e s i n b o t h m a r k e t s o n t h e l o n g e n d , i n

e e c t u s i n g t h e v o l a t i l i t i e s o f l o n g e r d a t e d i n t e r e s t r a t e s t o e x t r a p o l a t e t h e v o l a t i l i t i e s o f

f o r w a r d e x c h a n g e r a t e s .

3 . C o n t i n u o u s T e n o r a n d t h e S p o t E x c h a n g e R a t e

T h e d i s c r e t e t e n o r v e r s i o n o f t h e m o d e l d i s c u s s e d s o f a r c o m p l e t e l y s p e c i e s s t o c h a s t i c

d y n a m i c s o n l y f o r r a t e s b o t h f o r e i g n e x c h a n g e a n d i n t e r e s t m a t u r i n g a t d a t e s i n t h e t e n o r

s t r u c t u r e T . C o n s e q u e n t l y , p a y o s t h a t o c c u r a t i n t e r m e d i a t e d a t e s n o t i n T o r d e p e n d

o n i n t e r m e d i a t e r a t e s c a n n o t b e v a l u e d . E x t e n d i n g t h e m o d e l t o c o n t i n u o u s t e n o r e n s u r e s

t h a t t h e v a l u e o f t h e n u m e r a i r e a s s e t i s w e l l d e t e r m i n e d a t a n y p o i n t i n t i m e a n d s t i p u l a t e s

t h e d y n a m i c s o f r a t e s f o r a l l i n t e r m e d i a t e m a t u r i t i e s . I n p a r t i c u l a r , t h i s i s n e c e s s a r y i n

o r d e r t o s p e c i f y t h e d y n a m i c s o f t h e s p o t e x c h a n g e r a t e X t .

C a s e 1 : I n t h e c o n t i n u o u s t e n o r v e r s i o n o f t h e M a r k e t M o d e l s a s i t w a s o r i g i n a l l y

p r o p o s e d i n t h e M S S B G M p a p e r s , t h e a s s u m p t i o n i s t h a t a l l f o r w a r d L I B O R s L t ; T ,

i . e . f o r a l l t T a n d T T

, , a r e l o g n o r m a l m a r t i n g a l e s u n d e r t h e r e s p e c t i v e f o r w a r d

6

N o t e t h a t i n t h i s c o n t e x t , w e c o u l d u s e t h e t e r m s m e a s u r e r e l a t i o n s h i p a n d d r i f t s y n o n y m o u s l y .


8/14


m e a s u r e s . T h e n a l l t h a t i s m i s s i n g a r e t h e v o l a t i l i t i e s o f z e r o c o u p o n b o n d s w i t h t i m e t o

m a t u r i t y l e s s t h a n . B G M s e t t h i s v o l a t i l i t y t o z e r o a n d d e r i v e t h e r e s u l t i n g d y n a m i c s o f

a l l b o n d p r i c e s B t ; T a n d o f t h e c o n t i n u o u s l y c o m p o u n d e d s h o r t r a t e r t .

C a s e 2 : A l t e r n a t i v e l y , a s p r o p o s e d i n S c h l o g l 1 9 9 9 , o n e c o u l d s e t t h e v o l a t i l i t y o f a l l

b o n d s m a t u r i n g b e f o r e t h e n e x t d a t e i n t h e t e n o r s t r u c t u r e

7

t o z e r o a n d d e t e r m i n e t h e s e

b o n d p r i c e s b y a d e t e r m i n i s t i c i n t e r p o l a t i o n s c h e m e . T h i s h a s t h e a d v a n t a g e o f p r e s e r v i n g

t h e M a r k o v i a n s t r u c t u r e o f t h e d i s c r e t e t e n o r m o d e l a n d | c o n t r a r y t o t h e a p p r o a c h t a k e n

b y M S S B G M | g u a r a n t e e i n g t h e n o n - n e g a t i v i t y o f a l l i n t e r e s t r a t e s . F u r t h e r m o r e , i t

t u r n s o u t t h a t a r b i t r a g e f r e e i n t e r p o l a t i o n b y d a y c o u n t f r a c t i o n s b e c o m e s v e r y t r a c t a b l e .

I n e i t h e r c a s e , i f T

t

i s t h e n e x t d a t e i n t h e d i s c r e t e t e n o r s t r u c t u r e a f t e r t , t h e v o l a t i l i t y

o f B t ; T

t

i s z e r o . T h i s m e a n s t h a t w e c a n s p e a k s y n o n y m o u s l y o f t h e s p o t L I B O R

m e a s u r e o f J a m s h i d i a n 1 9 9 7 a n d t h e r i s k n e u t r a l m e a s u r e :

3 . 1 . D e f i n i t i o n . G i v e n a t e n o r s t r u c t u r e T = f T

i

: i 2 f 0 ; 1 ; : : : ; N g g , t h e s p o t L I B O R

m e a s u r e P

i s t h e e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e a s s o c i a t e d w i t h t h e n u m e r a i r e

t = B t ; T

t

t , 1

Y

i = 0

1 + L T

i

; T

i

w h e r e

t = m a x f i 2 f 0 ; : : : ; N g j T

i , 1

t g

N o t e t h a t t h e s p o t L I B O R m e a s u r e c a n b e i n t e r p r e t e d a s a c h a i n o f t r a n s i t i o n p r o b a -

b i l i t i e s g i v e n b y c o n d i t i o n a l f o r w a r d m e a s u r e s o f c o n s e c u t i v e m a t u r i t i e s c f . l e m m a A . 1 i n

t h e a p p e n d i x .

3 . 2 . D e f i n i t i o n . G i v e n a c o n t i n u o u s l y c o m p o u n d e d s h o r t r a t e r t , t h e r i s k n e u t r a l m e a -

s u r e P

i s t h e e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e a s s o c i a t e d w i t h t h e n u m e r a i r e

t = e x p

Z

t

0

r s d s

3 . 3 . L e m m a . I f t h e v o l a t i l i t y o f B t ; T

t

i s z e r o f o r a l l T

0

t T

N

, t h e s p o t L I B O R

m e a s u r e a n d t h e r i s k n e u t r a l m e a s u r e c o i n c i d e .

P r o o f . S e e a p p e n d i x . N o t e t h a t w h e n s p e a k i n g o f t h e r i s k n e u t r a l m e a s u r e i n t h i s c o n t e x t ,

i t i s i m p l i c i t l y a s s u m e d t h a t t h e c o n t i n u o u s l y c o m p o u n d e d s h o r t r a t e r t e x i s t s . A s a r g u e d

i n S c h l o g l 1 9 9 9 , i f t h e s h o r t b o n d v o l a t i l i t y i s z e r o , t h e d i s c r e t e t e n o r m o d e l c a n a l w a y s

b e e x t e n d e d t o c o n t i n u o u s t e n o r i n s u c h a m a n n e r t h a t t h e s h o r t r a t e e x i s t s o n e a c h o f t h e

o p e n i n t e r v a l s T

i

; T

i + 1

, w h i c h i s a l l t h a t i s n e e d e d .

2

I f d o m e s t i c a n d f o r e i g n x e d i n c o m e m a r k e t s a r e d e s c r i b e d b y c o n t i n u o u s t e n o r m o d e l s o f

e i t h e r t y p e 1 o r 2 , B t ; T

t

a n d

~

B t ; T

t

a r e w e l l d e n e d a n d t h e d y n a m i c s o f t h e s p o t

e x c h a n g e r a t e c a n b e o b t a i n e d r a t h e r t e d i o u s l y b y a p p l y i n g I t o ' s L e m m a t o

X t =

X t ; T

t

B t ; T

t

~

B t ; T

t

1 2

X t ; T c a n t h e n b e c a l c u l a t e d f o r a r b i t r a r y T b y i n s e r t i n g t h e X t r e s u l t i n g f r o m t h e

a b o v e e q u a t i o n i n t o 6 .

7

i . e . B t ; T

t

, w i t h t d e n e d a s i n d e n i t i o n 3 . 1 b e l o w


9/14


N o t e t h a t g i v e n B G M ' s c h o i c e s e t t i n g s h o r t b o n d v o l a t i l i t i e s t o z e r o , t h e a b o v e r e l a t i o n -

s h i p i m p l i e s

X

t ; t =

X

t ; t + =

X

t ; T 8 t T t +

w h i l e i n t h e s e c o n d c a s e o f e x t e n d i n g d i s c r e t e t o c o n t i n u o u s t e n o r w e o n l y h a v e

X

t ; t =

X

t ; T

t

=

X

t ; T 8 t T T

t

t + 1 3

F u r t h e r m o r e , s i n c e t h e s p o t e x c h a n g e r a t e X t i s w e l l d e n e d i n a c o n t i n u o u s t e n o r

f r a m e w o r k , d o m e s t i c a n d f o r e i g n x e d i n c o m e m a r k e t s c o u l d b e l i n k e d b y s p e c i f y i n g t h e

v o l a t i l i t y o f X t . H o w e v e r , s t i p u l a t i n g d e t e r m i n i s t i c v o l a t i l i t y f o r t h e s p o t e x c h a n g e r a t e

t o l i n k x e d i n c o m e m a r k e t s d e s c r i b e d b y c o n t i n u o u s t e n o r M S S B G M m o d e l s o f c a s e s

1 o r 2 i s n o t s u c i e n t t o g u a r a n t e e l o g n o r m a l i t y o f X t u n d e r t h e r i s k n e u t r a l m e a s u r e

i . e . t h e e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e a s s o c i a t e d w i t h t h e c o n t i n u o u s l y c o m p o u n d e d

s a v i n g s a c c o u n t , o r u n d e r a n y e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e a s s o c i a t e d w i t h a t r a d e a b l e

n u m e r a i r e a s s e t , f o r t h a t m a t t e r . T h i s c a n b e s e e n a s a c o n s e q u e n c e o f t h e h i g h l y n o n -

l i n e a r d r i f t t e r m r e l a t i n g f o r w a r d m e a s u r e s o f d i e r e n t m a t u r i t i e s c f . e q u a t i o n 5 a n d t h e

f a c t t h a t t h e s p o t e x c h a n g e r a t e i s n o t a t r a d e a b l e a s s e t

8

a n d t h e r e f o r e n o t a m a r t i n g a l e

u n d e r a n y f o r w a r d m e a s u r e o r t h e r i s k n e u t r a l m e a s u r e .

N o r i s t h e l o g n o r m a l i t y o f X t a p a r t i c u l a r l y d e s i r a b l e f e a t u r e w i t h a v i e w t o o b t a i n -

i n g B l a c k S c h o l e s t y p e f o r m u l a e : F o r c u r r e n c y o p t i o n s u n d e r s t o c h a s t i c i n t e r e s t r a t e s , i t

i s e a s i l y v e r i e d t h a t a B l a c k S c h o l e s t y p e p r i c i n g f o r m u l a r e s u l t s i f t h e e x c h a n g e r a t e

f o r w a r d t o t h e m a t u r i t y o f t h e o p t i o n i s a l o g n o r m a l m a r t i n g a l e u n d e r t h e c o r r e s p o n d i n g

f o r w a r d m e a s u r e ; t h u s i n v i e w o f m a r k e t p r a c t i c e i t i s m o r e n a t u r a l t o a s s u m e d e t e r m i n i s t i c

v o l a t i l i t i e s f o r f o r w a r d e x c h a n g e r a t e s .

I f n e v e r t h e l e s s o n e c h o o s e s t o l i n k x e d i n c o m e m a r k e t s i n t w o c u r r e n c i e s b y a s p o t

e x c h a n g e r a t e w i t h d e t e r m i n i s t i c v o l a t i l i t y , l o g n o r m a l i t y u n d e r t h e d o m e s t i c r i s k n e u t r a l

m e a s u r e h o l d s f o r t h e f o r e i g n s a v i n g s a c c o u n t c o n v e r t e d t o d o m e s t i c c u r r e n c y a t t h e s p o t

e x c h a n g e r a t e : B y d e n i t i o n o f t h e r i s k n e u t r a l m e a s u r e P

,

X t

~

t

t

=

X t e x p

n

R

t

0

~ r s d s

o

e x p

n

R

t

0

r s d s

o

i s a m a r t i n g a l e u n d e r P

, w h e r e r a n d ~ r d e n o t e t h e d o m e s t i c a n d f o r e i g n c o n t i n u o u s l y

c o m p o u n d e d s h o r t r a t e s , r e s p e c t i v e l y .

~

t a n d t a r e o f n i t e v a r i a t i o n , t h u s d e t e r -

m i n i s t i c v o l a t i l i t y o f X t i m p l i e s l o g n o r m a l i t y o f X t

~

t = t u n d e r P

. H o w e v e r , t h i s

o n l y i m p l i e s a B l a c k S c h o l e s t y p e f o r m u l a f o r t h e r a t h e r e x o t i c o p t i o n t o e x c h a n g e a f o r -

e i g n s a v i n g s a c c o u n t f o r a d o m e s t i c s a v i n g s a c c o u n t , i . e . f o r t i m e T p a y o s o f t h e t y p e

X T

~

T , K t

+

.

A s i n t h e d i s c r e t e t e n o r v e r s i o n o f t h e m o d e l , a l t e r n a t i v e l y t o l o g n o r m a l f o r w a r d L I B O R

d y n a m i c s i n b o t h c u r r e n c i e s , o n e c o u l d s p e c i f y d e t e r m i n i s t i c v o l a t i l i t i e s f o r d o m e s t i c f o r -

w a r d L I B O R s o n l y a n d l i n k x e d i n c o m e m a r k e t s i n t h e t w o c u r r e n c i e s b y s t i p u l a t i n g t h e

v o l a t i l i t i e s o f a l l e x c h a n g e r a t e s , f o r w a r d a n d s p o t . T h e d y n a m i c s o f f o r e i g n z e r o c o u p o n

b o n d s a r e t h e n w e l l d e n e d i n t e r m s o f s p o t a n d f o r w a r d e x c h a n g e r a t e s , a n d d o m e s t i c

z e r o c o u p o n b o n d s , s i m p l y b y r e a r r a n g i n g 6 . F o r e i g n f o r w a r d L I B O R v o l a t i l i t i e s a r e

d e t e r m i n e d b y 1 1 , v a l i d i n t h e c o n t i n u o u s t e n o r c a s e f o r a l l m a t u r i t i e s t T T

, :

~ t ; T ; T + =

X

t ; T ,

X

t ; T + + t ; T ; T +

8

c f . f o o t n o t e 5


10/14


11/14

A M U L T I C U R R E N C Y E X T E N S I O N O F T H E L O G N O R M A L I N T E R E S T R A T E M A R K E T M O D E L S 1 1

a l l j 2 f 1 ; : : : ; N , 1 g , a l l f o r e i g n f o r w a r d L I B O R s

~

L t ; T

j

c a n b e r e c o v e r e d . O b v i o u s l y ,

o n e w o u l d c h o o s e t h e s i m u l a t i o n m e a s u r e P

T

n

t o m a t c h t h e c h o i c e o f d e t e r m i n i s t i c f o r w a r d

e x c h a n g e r a t e v o l a t i l i t y , i . e . s u c h t h a t t h e l i n k e x c h a n g e r a t e X t ; T

n _ t

i s l o g n o r m a l u n -

d e r P

T

n

u p t o T

n

, a n d c o n d i t i o n a l l y l o g n o r m a l u n d e r P

t

g i v e n F

T

t , 1

o n e a c h i n t e r v a l

T

t , 1

; T

t

t h e r e a f t e r . G i v e n X t ; T

n _ t

, a l l L t ; T

j

a n d

~

L t ; T

j

, t h e r e m a i n i n g f o r -

w a r d e x c h a n g e r a t e s c a n a l s o b e r e c o v e r e d .

F o r t h e c a s e w h e r e a l l d i s c r e t e t e n o r f o r w a r d e x c h a n g e r a t e s a r e a s s u m e d t o b e l o g n o r m a l

u n d e r t h e r e s p e c t i v e f o r w a r d m e a s u r e s , a s l i g h t l y d i e r e n t t r a n s f o r m a t i o n s u g g e s t s i t s e l f .

S e t

U

n

t ; T

j

=

X t ; T

j

Q

n , 1

i = j

1 + L t ; T

i

j = 1 ; : : : ; n , 1

X t ; T

j

Q

j , 1

i = n _ t

1 + L t ; T

i

, 1

j = n ; : : : ; N

w h i c h i s a m a r t i n g a l e u n d e r t h e T

n

f o r w a r d m e a s u r e u p t o T

n

, a n d u n d e r t h e s p o t L I B O R

m e a s u r e t h e r e a f t e r . S i m u l a t i n g U

n

t ; T

j

f o r a l l j 2 f 1 ; : : : ; N g a n d V

n

t ; T

j

f o r a l l j 2

f 1 ; : : : ; N , 1 g y i e l d s a l l L t ; T

j

a n d a l l X t ; T

j

, f r o m w h i c h a l l

~

L t ; T

j

c a n t h e n b e

r e c o v e r e d .

A l t e r n a t i v e l y t o t h e a l g o r i t h m b y G l a s s e r m a n Z h a o , o n e c a n m a k e u s e o f t h e r e l a t i o n -

s h i p s b e t w e e n d o m e s t i c a n d f o r e i g n f o r w a r d m e a s u r e s d e r i v e d i n s e c t i o n 1 t o t r a n s f o r m

B r o w n i a n m o t i o n i n c r e m e n t s g e n e r a t e d u n d e r t h e m e a s u r e c h o s e n f o r s i m u l a t i o n i n t o t h e

c o r r e s p o n d i n g B r o w n i a n m o t i o n i n c r e m e n t s f o r a l l o t h e r m e a s u r e s , f o l l o w i n g t h e a p p r o a c h

p r o p o s e d i n B r a c e , M u s i e l a a n d S c h l o g l 1 9 9 8 . E a c h o f t h e r a t e s f o r w h i c h d e t e r m i n i s t i c

v o l a t i l i t y i s a s s u m e d i s t h e n s i m u l a t e d a s a l o g n o r m a l m a r t i n g a l e u n d e r t h e c o r r e s p o n d -

i n g f o r w a r d m e a s u r e . A g a i n , o n l y t h e s e r a t e s n e e d t o b e s i m u l a t e d , a s a l l o t h e r s c a n b e

r e c o v e r e d b y m e a n s o f s t a t i c r e l a t i o n s h i p s s u c h a s 6 a n d 9 , i . e .

X t ; T

i

= X t ; T

i + 1

1 +

~

L t ; T

i

1 + L t ; T

i

5 . C o n c l u s i o n

A p p l y i n g a B l a c k S c h o l e s t y p e f o r m u l a t o p r i c e a d e r i v a t i v e n a n c i a l i n s t r u m e n t r e l i e s

o n t h e l o g n o r m a l i t y o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t u n d e r t h e a p p r o p r i a t e m a r t i n g a l e m e a s u r e .

W h e n s i m u l t a n e o u s l y c o n s i d e r i n g i n t e r e s t r a t e a n d c u r r e n c y r i s k , t h e c h o i c e o f l o g n o r -

m a l i t y a s s u m p t i o n s i s r e s t r i c t e d b y n o - a r b i t r a g e c o n d i t i o n s r e s u l t i n g f r o m t h e r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n f o r w a r d e x c h a n g e r a t e s a n d d o m e s t i c a n d f o r e i g n i n t e r e s t r a t e s . P o s t u l a t i n g a

l o g n o r m a l M a r k e t M o d e l f o r b o t h t h e d o m e s t i c a n d f o r e i g n x e d i n c o m e m a r k e t s l e a v e s

o n l y t h e p o s s i b i l i t y o f s p e c i f y i n g a l o g n o r m a l p r o b a b i l i t y l a w f o r o n e f o r w a r d e x c h a n g e

r a t e , w h i l e i f o n l y d o m e s t i c i n t e r e s t r a t e d y n a m i c s a r e g i v e n , a l l f o r w a r d e x c h a n g e r a t e s

c o u l d b e a s s u m e d t o b e l o g n o r m a l u n d e r t h e r e s p e c t i v e f o r w a r d m e a s u r e s . T h e s e t w o

c a s e s m a y b e m i x e d a n d c o m b i n e d i n a v a r i e t y o f w a y s i n t o h y b r i d " m o d e l s . C o n v e r s e l y ,

c h o o s i n g l o g n o r m a l i t y a s s u m p t i o n s s o a s t o f a c i l i t a t e c a l i b r a t i o n t o a t t h e m o n e y p r i c e s o f

l i q u i d l y t r a d e d i n s t r u m e n t s a l l o w s l e s s l i q u i d v o l a t i l i t i e s t o b e i n t e r p o l a t e d o r e x t r a p o l a t e d

i n a c o n s i s t e n t m a n n e r , f o r e x a m p l e u s i n g i m p l i e d v o l a t i l i t i e s o f s h o r t d a t e d c u r r e n c y o p -

t i o n s a n d l o n g d a t e d i n t e r e s t r a t e o p t i o n s t o o b t a i n p r i c e s f o r c u r r e n c y o p t i o n s o f l o n g e r

m a t u r i t y .

T w o f u r t h e r e x t e n s i o n s o f t h e m o d e l s u g g e s t t h e m s e l v e s . T h e y a r e s i m p l e t h o u g h

i n s o m e c a s e s t e d i o u s a p p l i c a t i o n s o f t h e b a s i c a p p r o a c h d i s c u s s e d i n t h i s p a p e r . F o r

o n e , t h e p r e s e n t r e s u l t s e a s i l y s c a l e t o t h e c a s e o f a r b i t r a r i l y m a n y c u r r e n c i e s . S e c o n d l y ,

f o r t h e d o m e s t i c a n d o r f o r e i g n x e d i n c o m e m a r k e t , t h e l o g n o r m a l i t y a s s u m p t i o n o n


12/14


f o r w a r d L I B O R s m a y b e r e p l a c e d b y a f o r w a r d s w a p r a t e m o d e l o f t h e t y p e d e v e l o p e d b y

J a m s h i d i a n 1 9 9 7 .

A l s o , i t i s w o r t h w h i l e t o n o t e t h a t t h e m e a s u r e r e l a t i o n s h i p s d e r i v e d i n s e c t i o n 1 d o n o t

d e p e n d o n a s s u m p t i o n s o f d e t e r m i n i s t i c v o l a t i l i t y f u n c t i o n s . T h u s t h e y a r e e q u a l l y v a l i d i n

a n y t e r m s t r u c t u r e m o d e l c o n s t r u c t e d a l o n g t h e l i n e s o f H e a t h , J a r r o w a n d M o r t o n 1 9 9 2

1 1

a s w e l l a s i n e x t e n s i o n s o f t h e M a r k e t M o d e l s t o m o r e g e n e r a l v o l a t i l i t y f u n c t i o n s , s u c h

a s t h e m o d e l o f l e v e l d e p e n d e n t L I B O R v o l a t i l i t i e s p r o p o s e d b y A n d e r s e n a n d A n d r e a s e n

1 9 9 8 .

I n s u m m a r y , w h i l e t h i s p a p e r m a k e s n o a t t e m p t t o d e v e l o p a m o d e l t o b e t t e r e x p l a i n t h e

e m p i r i c a l d y n a m i c s o f i n t e r e s t r a t e s a n d e x c h a n g e r a t e s , w e h a v e i d e n t i e d t h e t r a d e o s

b e t w e e n l o g n o r m a l i t y a s s u m p t i o n s s u p p o r t i n g t h e s i m u l t a n e o u s u s e o f B l a c k S c h o l e s t y p e

f o r m u l a e f o r v a r i o u s d e r i v a t i v e n a n c i a l i n s t r u m e n t s , s h o w i n g t o w h a t d e g r e e a m o d e l c a n

r e e c t p o p u l a r m a r k e t p r a c t i c e w h i l e r e m a i n i n g c o n s i s t e n t w i t h n o - a r b i t r a g e .

A p p e n d i x A .

P r o o f o f l e m m a 3 . 3 : B y t h e d e n i t i o n o f t h e t w o m e a s u r e s , w e m u s t h a v e

d P

d P

F

t

=

t

0

0

t

=

t

t

P

a . s .

I f t h e v o l a t i l i t y o f B t ; T

t

i s z e r o f o r a l l T

0

t T

N

, w e h a v e

1 2

B t ; T

t

=

t

T

t

= e x p

Z

T

t

t

r s d s

8 T

0

t T

N

a n d c o n s e q u e n t l y

t

t

= t

, 1

B t ; T

t

T

t

, 1

Y

i = 0

B T

i

; T

i

+

, 1

= t

, 1

t

T

t

T

t

, 1

Y

i = 0

T

i + 1

T

i

= T

0

, 1

= 1

T h u s

d P

d P

F

t

= 1 8 T

0

t T

N

; P

a . s .

a n d t h e t w o m e a s u r e s c o i n c i d e .

2

T h e f o l l o w i n g l e m m a s h o w s t h a t t h e s p o t L I B O R m e a s u r e m a y b e i n t e r p r e t e d a s t h e

m e a s u r e o b t a i n e d b y c h a i n i n g " c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t i e s o f f o r w a r d m e a s u r e s :

1 1

T h e G a u s s i a n m o d e l p r e s e n t e d b y F r e y a n d S o m m e r 1 9 9 6 i m p l i c i t l y s a t i s e s t h e r e s t r i c t i o n s d e r i v e d

h e r e . H o w e v e r , i n t h e i r c a s e a l l v o l a t i l i t y f u n c t i o n s i n o u r e q u a t i o n 1 1 a r e d e t e r m i n i s t i c , i . e . l o g n o r m a l

e x c h a n g e r a t e d y n a m i c s a n d l o g n o r m a l b o n d p r i c e d y n a m i c s i n a l l c u r r e n c i e s c a n c o n s i s t e n t l y c o e x i s t i n a

m u l t i c u r r e n c y G a u s s i a n H J M m o d e l .

1 2

c f . r e m a r k 2 . 1 o f B r a c e , G a t a r e k a n d M u s i e l a 1 9 9 7


13/14


A . 1 . L e m m a . F o r a l l F

T

i + 1

m e a s u r a b l e e v e n t s , t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t i e s g i v e n F

T

i

a r e

i d e n t i c a l f o r t h e s p o t L I B O R m e a s u r e a n d t h e t i m e T

i + 1

f o r w a r d m e a s u r e , i . e .

P

f A j F

T

i

g = P

T

i + 1

f A j F

T

i

g 8 i 2 f 0 ; : : : ; N , 1 g ; A 2 F

T

i + 1

P r o o f . L e t E

a n d E

T

i + 1

d e n o t e t h e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r s u n d e r t h e m e a s u r e s P

a n d

P

T

i + 1

, r e s p e c t i v e l y .

P

f A j F

T

i

g = E

I

A

j F

T

i

=

E

T

i + 1

"

I

A

d P

d P

T

i + 1

F

T

i + 1

!

F

T

i

E

T

i + 1

"

d P

d P

T

i + 1

F

T

i + 1

!

F

T

i

=

B 0 ; T

i + 1

Q

i

j = 0

1 + L T

j

; T

j

E

T

i + 1

I

A

j F

T

i

B 0 ; T

i + 1

Q

i

j = 0

1 + L T

j

; T

j

= E

T

i + 1

I

A

j F

T

i

= P

T

i + 1

f A j F

T

i

g

2

R e f e r e n c e s

A n d e r s e n , L . a n d A n d r e a s e n , J . 1 9 9 8 , V o l a t i l i t y S k e w s a n d E x t e n s i o n s o f t h e L I B O R M a r k e t

M o d e l , G e n e r a l R e F i n a n c i a l P r o d u c t s , w o r k i n g p a p e r .

B l a c k , F . a n d S c h o l e s , M . 1 9 7 3 , T h e P r i c i n g o f O p t i o n s a n d C o r p o r a t e L i a b i l i t i e s , J o u r n a l o f

P o l i t i c a l E c o n o m y p p . 6 3 7 6 5 4 .

B r a c e , A . , G a t a r e k , D . a n d M u s i e l a , M . 1 9 9 7 , T h e M a r k e t M o d e l o f I n t e r e s t R a t e D y n a m i c s ,

M a t h e m a t i c a l F i n a n c e 7 2 , 1 2 7 1 5 5 .

B r a c e , A . , M u s i e l a , M . a n d S c h l o g l , E . 1 9 9 8 , A S i m u l a t i o n A l g o r i t h m f o r L o g n o r m a l M a r k e t

M o d e l s , T h e U n i v e r s i t y o f N e w S o u t h W a l e s , w o r k i n g p a p e r .

F r e y , R . a n d S o m m e r , D . 1 9 9 6 , A S y s t e m a t i c A p p r o a c h t o P r i c i n g a n d H e d g i n g I n t e r n a t i o n a l

D e r i v a t i v e s w i t h I n t e r e s t R a t e R i s k : A n a l y s i s o f I n t e r n a t i o n a l D e r i v a t i v e s U n d e r S t o c h a s t i c I n t e r e s t

R a t e s , A p p l i e d M a t h e m a t i c a l F i n a n c e 3 4 , 2 9 5 3 1 7 .

G l a s s e r m a n , P . a n d Z h a o , X . 1 9 9 8 , A r b i t r a g e F r e e D i s c r e t i z a t i o n o f L o g n o r m a l F o r w a r d L i b o r a n d

S w a p R a t e M o d e l s , C o l u m b i a U n i v e r s i t y , w o r k i n g p a p e r .

H a r r i s o n , J . M . a n d K r e p s , D . M . 1 9 7 9 , M a r t i n g a l e s a n d A r b i t r a g e i n M u l t i p e r i o d S e c u r i t i e s

M a r k e t s , J o u r n a l o f E c o n o m i c T h e o r y 2 0 , 3 8 1 4 0 8 .

H a r r i s o n , J . M . a n d P l i s k a , S . R . 1 9 8 1 , M a r t i n g a l e s a n d S t o c h a s t i c I n t e g r a l s i n t h e T h e o r y o f

C o n t i n u o u s T r a d i n g , S t o c h a s t i c P r o c e s s e s a n d t h e i r A p p l i c a t i o n s 1 1 , 2 1 5 2 6 0 .

H a r r i s o n , J . M . a n d P l i s k a , S . R . 1 9 8 3 , A S t o c h a s t i c C a l c u l u s M o d e l o f C o n t i n u o u s T r a d i n g :

C o m p l e t e M a r k e t s , S t o c h a s t i c P r o c e s s e s a n d t h e i r A p p l i c a t i o n s 1 5 , 3 1 3 3 1 6 .

H e a t h , D . , J a r r o w , R . a n d M o r t o n , A . 1 9 9 2 , B o n d P r i c i n g a n d t h e T e r m S t r u c t u r e o f I n t e r e s t

R a t e s : A N e w M e t h o d o l o g y f o r C o n t i n g e n t C l a i m s V a l u a t i o n , E c o n o m e t r i c a 6 0 1 , 7 7 1 0 5 .

J a m s h i d i a n , F . 1 9 9 7 , L I B O R a n d S w a p M a r k e t M o d e l s a n d M e a s u r e s , F i n a n c e a n d S t o c h a s t i c s

1 4 , 2 9 3 3 3 0 .

M i k k e l s e n , P . 1 9 9 9 , P r i c i n g I n t e r e s t R a t e a n d F o r e i g n E x c h a n g e D e r i v a t i v e s i n a C o n s i s t e n t L I B O R

M a r k e t M o d e l , A a r h u s S c h o o l o f B u s i n e s s , w o r k i n g p a p e r .

M i l t e r s e n , K . R . , S a n d m a n n , K . a n d S o n d e r m a n n , D . 1 9 9 7 , C l o s e d F o r m S o l u t i o n s f o r T e r m

S t r u c t u r e D e r i v a t i v e s w i t h L o g - N o r m a l I n t e r e s t R a t e s , T h e J o u r n a l o f F i n a n c e 5 2 1 , 4 0 9 4 3 0 .

M u s i e l a , M . a n d R u t k o w s k i , M . 1 9 9 7 a , C o n t i n u o u s T i m e T e r m S t r u c t u r e M o d e l s : A F o r w a r d

M e a s u r e A p p r o a c h , F i n a n c e a n d S t o c h a s t i c s .


14/14


M u s i e l a , M . a n d R u t k o w s k i , M . 1 9 9 7 b , M a r t i n g a l e M e t h o d s i n F i n a n c i a l M o d e l l i n g , V o l . 3 6 o f

A p p l i c a t i o n s o f M a t h e m a t i c s , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , N e w Y o r k , U S A .

S a n d m a n n , K . a n d S o n d e r m a n n , D . 1 9 9 4 , A T e r m S t r u c t u r e M o d e l a n d t h e P r i c i n g o f I n t e r e s t

R a t e O p t i o n s , T h e R e v i e w o f F u t u r e s M a r k e t s 1 2 2 , 3 9 1 4 2 3 .

S a n d m a n n , K . , S o n d e r m a n n , D . a n d M i l t e r s e n , K . 1 9 9 5 , C l o s e d F o r m T e r m S t r u c t u r e D e r i v a -

t i v e s i n a H e a t h J a r r o w M o r t o n M o d e l w i t h L o g n o r m a l A n n u a l l y C o m p o u n d e d I n t e r e s t R a t e s ,

R e s e a r c h S y m p o s i u m P r o c e e d i n g s C B O T p p . 1 4 5 1 6 4 .

S c h l o g l , E . 1 9 9 9 , S o m e R e m a r k s o n A r b i t r a g e F r e e T e r m S t r u c t u r e I n t e r p o l a t i o n i n t h e L o g n o r m a l

I n t e r e s t R a t e M a r k e t M o d e l s , U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , S y d n e y , w o r k i n g p a p e r .

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