Mécanique Les Actions Mécaniques

Cours13CV08juinC C'est quoi une action mécanique ? Force et Moment d'une force Modélisation d'une action mécanique quelconque Torseur d'action mécanique

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Newtonienne

2

A – Les exigences du programme

B. Les actions mécaniques

B.1 - Définition

B.2 - Les différents types d'actions mécaniques

On distingue deux grands types d'actions mécaniques :

✓ Les actions à contact ponctuel

À chaque instant, il existe un point de contact P et un plan tangent de normale �⃗�

Exemple d'un double contact ponctuel

✓ Les actions à contact réparti

La zone d'application est une ligne ou une surface Exemple d'un contact réparti sur une surface Les actions à distance c'est-à-dire d'origine magnétique, électrique ou gravitationnelle sont à contacts répartis

Compétences développées Connaissances associées

Modéliser et résoudre

Proposer et justifier des hypothèses ou simplification en vue d'une modélisation

Hypothèses simplificatrices Modélisation plane

Modéliser les actions mécaniques

Trajectoires et mouvement. Liaisons. Torseurs cinématiques et d'actions mécaniques transmissibles, de contact ou à distance. Réciprocité mouvement relatif/actions mécaniques associées.

On appelle action mécanique toute cause susceptible de :

Créer ou modifier un

mouvement

Maintenir un corps en

équilibre ou au repos Déformer un corps

3

B.3 - Principe des actions mutuelles ou réciproques (Troisième théorème de Newton)

Toute action mécanique implique l'existence simultanée d'une action réciproque qui est son opposée.

"L'action est toujours égale à la réaction ; C'est-à-dire que

les actions de deux corps l'un sur l'autre sont toujours

égales et de sens contraires"

Isaac Newton

�⃗⃗� 𝟏/𝟐 = �⃗⃗� 𝟐/𝟏

Remarque : S'il n'y a pas de frottement, les actions sont perpendiculaires au plan

tangent aux deux surfaces de contact et sont dirigées vers l'intérieur de la matière.

Exemple : actions de contact pour une voiture à l'arrêt

C. Modélisation des actions mécaniques

C.1 - Définition d'une FORCE

C.2 - Modélisation d'un contact ponctuel parfait

Un contact ponctuel parfait est un contact sans frottement.

Prenons l'exemple d'un mécanisme de fin de course électrique.

L'action mécanique qui s'exerce entre les pièces 3 et 6, forme un contact ponctuel.

Action

Réaction

Action Réaction

On appelle FORCE une action mécanique exercée entre deux particules. Ces particules ne sont

pas forcément en contact (situation des actions à distance)

L'unité de force est le newton [N]

4

Ce contact ponctuel peut être modélisé

par une force dont les caractéristiques

sont celle d'un vecteur et par

conséquent on observe :

✓ Une origine : c'est le point de

contact (ici : E)

✓ Une direction : normale au plan

tangent de contact (ici : (E, 𝑥1⃗⃗ ⃗, 𝑧1⃗⃗ ⃗))

✓ Un sens : vers le bas (ici suivant

l'axe 𝑦1⃗⃗⃗⃗ négatif)

✓ Une norme : dépend de la

grandeur de l'effort (exprimée en

N)

Remarque : on utilise aussi comme

variable pour exprimer une force, son

point d'application.

𝐹 (𝐸,3→6) peut s'écrire aussi �⃗� 3→6

C.3 - Modélisation des contacts non ponctuels

C.3.1 - Cas du contact linéique

Reprenons l'exemple d'un mécanisme de fin de course électrique et plaçons un objet sur

l'extrémité du système.

L'action mécanique est uniformément répartie sur une

génératrice du cylindre sous la forme d'une infinité de forces

élémentaires 𝛿𝑓⃗⃗⃗⃗ .

La somme de ces forces élémentaires sera représentée par une force

�⃗⃗� (𝑨,𝟏→𝟐)

Sa norme est la somme des normes élémentaires : ‖𝐹 (𝐴,1→2)‖ = ∑‖𝛿𝑓⃗⃗⃗⃗ ‖

Remarque : lorsque l'effort

de contact est réparti sur

une ligne, il peut être

représenté par une charge

dite linéique 𝑞 (unité :

𝑁.𝑚−1)

Cette force sera appliquée au centre de gravité de la ligne de contact (point C)

‖�⃗⃗� ‖ = 𝒒 × 𝑳

�⃗⃗� (𝑬,𝟑→𝟔)

�⃗⃗� (𝑬, 𝟑→𝟔) C'est un vecteur !

F est la variable habituellement utilisée pour exprimer une force

E est le point d'application de la force

3 est le solide qui exerce la force

6 est le solide sollicité

[1]

[2]

A

𝐹 (𝐴,1→2)

𝑳

5

C.3.2 - Cas de la pression d'un fluide sur une paroi plane

Le support utilisé est le vérin pneumatique ou hydraulique.

La pression appliquée sur la paroi du piston est supposée uniforme c'est-à-

dire constante sur toute la surface.

Chaque élément de la surface est donc soumis à une force notée 𝛿𝐹⃗⃗ ⃗⃗ .

Par conséquent, il existe une infinité de forces élémentaires 𝛿𝐹⃗⃗ ⃗⃗ .

La somme de ces forces élémentaires appelée force de pression 𝐹 à les

caractéristiques suivantes :

✓ Une origine : c'est le point d'application (ici, le centre de la

surface noté O)

✓ Une direction : perpendiculaire à la surface de contact entre le

fluide et la paroi

✓ Un sens : la force est dirigée vers la paroi

✓ Une norme : ‖�⃗⃗� ‖ = 𝒑 × 𝑺. 𝐹: Effort développé en newton [N],

𝑝 : Pression uniforme du fluide exprimée en pascal [Pa]

𝑆 : Surface de la paroi plane exprimée en [𝒎𝟐]

Unités : 1 𝑀𝑃𝑎 = 1 𝑁.𝑚𝑚−2 = 10 𝑏𝑎𝑟𝑠

1 𝑏𝑎𝑟 = 1 𝑑𝑎𝑁. 𝑐𝑚−2

C.3.3 - Cas de la pesanteur

Notion de masse

La masse d'un objet est la quantité de matière constituant cet objet

C'est une valeur qui est caractéristique du corps et qui ne varie pas avec le lieu.

La masse s'exprime en kilogramme [kg] et se mesure avec une balance.

Notion de poids

Le poids est l'action qu'exerce la pesanteur sur un corps immobile : le poids est une force.

Le poids dépend du lieu où se trouve l'objet car la pesanteur est dépendante de ce lieu.

Chaque élément de matière de l'objet est donc soumis à une infinité de forces élémentaires 𝛿𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ liées à la

pesanteur.

Leur somme donne une force appelée force de pesanteur �⃗� ayant les caractéristiques suivantes :

✓ Une origine : c'est le point d'application ou centre de gravité G qui correspond au point où le solide

est en équilibre,

✓ Une direction : verticale

✓ Un sens : vers le bas

✓ Une norme : ‖�⃗⃗� ‖ = 𝒎 × 𝒈. 𝑃: poids en newton [N],

𝛿𝐹⃗⃗ ⃗⃗

6

𝑚 : Masse de l'objet en kilogramme [kg]

𝑔 : L'accélération de la pesanteur en [𝒎. 𝒔−𝟐]

C.3.4 - Cas du ressort

L'action d'un ressort sur une pièce est une force

de support l'axe du ressort. Le ressort de

compression ci-contre pousse la pièce de masse

M.

La norme de la force 𝐹 se calcule avec la loi de

Hooke :

‖�⃗⃗� ‖ = 𝒌 × ∆𝑳

∆𝐿 : Allongement (cas du ressort de traction) ou compression (cas du ressort de compression) du ressort en

mètres [m]

∆𝐿 = 𝐿 − 𝐿0 (pour un ressort de traction)

∆𝐿 = 𝐿0 − 𝐿 (pour un ressort de compression)

𝑘 : Coefficient de raideur du ressort qui s'exprime en mètres [m]. La valeur du coefficient de raideur dépend du

matériau utilisé, du diamètre du ressort, du diamètre du fil du ressort et du nombre de spires.

C.4 - Moment induit par une force

C.4.1 - Moment d'une force par rapport à un point

Prenons l'exemple d'un écrou serré avec une clé plate. L'écrou,

d'axe vertical, est placé au point 𝑂.

Admettons que la main exerce sur la clé une action mécanique équivalente à une

force appliquée au point 𝐴, représentée par le vecteur 𝐹 (𝐴,𝑚𝑎𝑖𝑛→𝑐𝑙é). Cette force

tend à serrer l'écrou.

On dira que la force exercée au point A crée

un moment par rapport au point 𝑶. Ce

moment dépend :

✓ De la norme de la force,

✓ De la distance 𝐷 appelée "Bras de levier"

Remarque : On dit parfois à tort, un couple. Dans le cas de la clé, on parle

de couple de serrage.

Caractérisons ce moment :

✓ Il s'exerce sur un axe (dans l'exemple de la clé, c'est l'axe de rotation de l'écrou) : il y a une direction,

✓ Il possède un sens car il est possible de serrer ou au contraire de desserrer,

✓ Il a une valeur c'est-à-dire une norme. ‖�⃗⃗⃗� 𝟎(�⃗⃗� 𝑨)‖ = ‖�⃗⃗� 𝑨‖ × 𝑫.

L'unité d'un moment est le newton-mètre [N.m]

7

Effectuons alors, dans l'espace, une représentation de ce moment :

Puis dans le plan :

Moyen mnémotechnique : Il est plus facile de s'imaginer que le vecteur moment va dans le même sens qu'un

tire-bouchon sur lequel on exercerait la force 𝐹

Cas général : Représentation dans l'espace

Soit une action mécanique appliquée en 𝐴 et

modélisée par une force 𝐹 .

Le point de calcul du moment créé par cette force

est 𝑂.

On construit le point 𝐻 comme étant la projection

orthogonale de 𝑂 sur le support du vecteur 𝐹 .

Le moment par rapport au point 𝑂 de la force 𝐹 est le vecteur �⃗⃗� 0(𝐹 ).

Rappel : La distance 𝑂𝐻 est le "bras de levier". D'après le paragraphe précédent : ‖�⃗⃗� 0(𝐹 )‖ = ‖𝐹 ‖ × 𝑂𝐻 et la

direction du vecteur �⃗⃗� 0(𝐹 ) est donnée par la règle du "tire-bouchon"

Malgré la représentation dans l'espace, le calcul de la norme du vecteur moment a été facilité par

l'identification du "bras de levier" représentée par la distance 𝑂𝐻

�⃗⃗� 0(𝐹 )

�⃗⃗� 0(𝐹 )

�⃗⃗� 0(𝐹𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)

�⃗⃗� 0(𝐹𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)

Cas particulier où le

moment est nul :

‖𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗ ‖ = 0 ou son support

passe par le point O

�⃗⃗� 0(𝐹 )

O

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Particularités du vecteur moment :

✓ Si le point d'application 𝐴 de la force 𝐹 𝐴 se

déplace sur le support ∆ de celui-ci, le

moment ne change pas.

✓ Le vecteur moment est perpendiculaire au plan

contenant le vecteur force 𝐹 𝐴 et le point 𝑂 où le

moment est calculé.

Calcul des composantes du "Produit vectoriel" :

Prenons une base orthonormée et deux vecteurs �⃗� et 𝑣 .

On peut définir alors leurs coordonnées :

�⃗� = (

𝑢1𝑢2𝑢3

) et 𝑣 = (

𝑣1𝑣2𝑣3

)

Le produit vectoriel est donné par : �⃗� ∧ 𝑣 = (

𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2𝑢3𝑣1 − 𝑢1𝑣3𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1

)

Il existe un moyen mnémotechnique pour retrouver ces composantes :

Expression générale du moment d'une force par rapport à un point

On appelle moment par rapport au point 𝑂 de la force 𝐹 𝐴 qui s'applique en 𝐴 le vecteur

d'origine 𝑂 tel que :

�⃗⃗� 0(𝐹 𝐴) = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∧ 𝐹 𝐴

∧ est l'opérateur mathématique "produit vectoriel"

�⃗⃗� 0(𝐹𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)

Étape n°1 Étape n°2 Étape n°3

9

Exemple : le pédalier

L'action du pieds 1 sur la pédale 2 est représentée en M par une force dans le plan vertical YZ.

Les coordonnées de cette force données dans le repère orthonormée (𝐴, 𝑋 , �⃗� , 𝑍 ) sont :

𝐹 (𝑀,1→2) = (010

−500)

Les valeurs numériques sont données en newton [N]

L'objectif de cet exemple est de découvrir le processus de calcul pour déterminer le moment de la force

𝐹 (𝑀,1→2) par rapport à l'axe de rotation du pédalier (𝐴, 𝑋 ) dans la position dessinée sur la figure.

On donne : 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (0,10,20,05

). Les valeurs numériques sont données en mètres [m]

Première méthode : Utilisation du produit vectoriel

Cette méthode est générale, elle reste la méthode incontournable dans le cas d'un problème spatial.

Calculons le moment par rapport au point 𝐴 de la force 𝐹 (𝑀,1→2). On applique la formule du cours :

�⃗⃗� 𝐴(𝐹 (𝑀,1→2)) = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∧ 𝐹 (𝑀,1→2)

Exprimons les coordonnées de chaque vecteur :

𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∧ 𝐹 (𝑀,1→2) = (0,10,20,05

) ∧ (010

−500)

Utilisons la méthode mnémotechnique pour calculer le produit vectoriel :

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Le vecteur moment a donc trois composantes. Seule la composante selon l'axe 𝑋 nous intéresse puisque c'est

elle qui contribuera à la rotation du pédalier.

‖𝑀𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗𝐴(𝐹 (𝑀,1→2))‖ = 100,5 𝑁

Le signe - indique le sens du vecteur moment. Il est conforme à celui que nous aurions trouvé avec la règle du

"tire-bouchon"

Deuxième méthode : Utilisation de la notion de "Bras de levier"

Cette méthode requiert pour être utiliser efficacement, une projection dans le plan YZ.

Le vecteur force 𝐹 (𝑀,1→2) est décomposé en deux vecteurs respectivement selon l'axe �⃗� et 𝑍 :

𝐹 (𝑀,1→2) = 𝐹𝑌⃗⃗⃗⃗ (𝑀,1→2) + 𝐹𝑍⃗⃗⃗⃗

(𝑀,1→2)

On admet que �⃗⃗� 𝐴(𝐹 (𝑀,1→2)) = �⃗⃗� 𝐴(𝐹𝑌⃗⃗⃗⃗ (𝑀,1→2))

+ �⃗⃗� 𝐴(𝐹𝑍⃗⃗⃗⃗ (𝑀,1→2))

(Théorème de Varignon)

On utilise alors la notion de "Bras de levier" pour chaque force

✓ Le "Bras de levier" pour la force 𝐹𝑌⃗⃗⃗⃗ (𝑀,1→2) est 𝐴𝑀′,

✓ Le "Bras de levier" pour la force 𝐹𝑍⃗⃗⃗⃗ (𝑀,1→2) est 𝐴𝑀′′

ۉ

ۈۇ

0,10,20,050,10,2 ی

ۋۊ

∧

ۉ

ۈۇ

010

−500010 ی

ۋۊ

= (

(0,2 × −500) − (0,05 × 10)(0,05 × 0) − (0,1 × −500)

(0,1 × 10) − (0,2 × 0)) = (

−100,5501

)

Démonstration du théorème de Varignon

Par définition : �⃗⃗� 𝐴(𝐹 (𝑀,1→2)) = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∧ 𝐹 (𝑀,1→2)

𝐹 (𝑀,1→2) = 𝐹𝑌⃗⃗⃗⃗ (𝑀,1→2) + 𝐹𝑍⃗⃗⃗⃗

(𝑀,1→2)

Ainsi �⃗⃗� 𝐴(𝐹 (𝑀,1→2)) = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∧ (𝐹𝑌⃗⃗⃗⃗ (𝑀,1→2) + 𝐹𝑍

⃗⃗⃗⃗ (𝑀,1→2)

)

�⃗⃗� 𝐴(𝐹 (𝑀,1→2)) = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∧ 𝐹𝑌⃗⃗⃗⃗ (𝑀,1→2) + 𝐴𝑀

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∧ 𝐹𝑍⃗⃗⃗⃗ (𝑀,1→2)

�⃗⃗� 𝐴(𝐹 (𝑀,1→2)) = �⃗⃗� 𝐴(𝐹𝑌⃗⃗ ⃗⃗ ⃗(𝑀,1→2))

+ �⃗⃗� 𝐴(𝐹𝑍⃗⃗ ⃗⃗ ⃗(𝑀,1→2))

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Ainsi :

�⃗⃗� 𝐴(𝐹 (𝑀,1→2)) = (−‖𝐹𝑌⃗⃗ ⃗

(𝑀,1→2)‖ × 𝐴𝑀′ − ‖𝐹𝑍⃗⃗ ⃗(𝑀,1→2)‖ × 𝐴𝑀

′′) . �⃗�

Précisons les valeurs numériques :

‖𝐹𝑌⃗⃗⃗⃗ (𝑀,1→2)‖ = 10 𝑁

‖𝐹𝑍⃗⃗⃗⃗ (𝑀,1→2)‖ = 500 𝑁

𝐴𝑀′ = 0,05 𝑚 et 𝐴𝑀′′ = 0,2 𝑚

Calculons �⃗⃗� 𝐴(𝐹 (𝑀,1→2)) :

�⃗⃗� 𝐴(𝐹 (𝑀,1→2)) =(−10 × 0,05) + (−500 × 0,2) = −100,5. �⃗�

La force 𝐹 (𝑀,1→2) exerce un moment de 100,5 𝑁 autour de l'axe de rotation du pédalier

D. Modélisation d'une action mécanique quelconque

Prenons quelques exemples…

Exemple n°1 :

le tournevis

La représentation ci-contre

décrit l'action de la main sur le

tournevis dans deux situations :

le serrage et le desserrage.

L'action mécanique au point 𝐴

se modélise par une force et un

couple.

�⃗� 𝑚𝑎𝑖𝑛→𝑡𝑜𝑢𝑟𝑛𝑒𝑣𝑖𝑠

�⃗⃗⃗� 𝐴(�⃗⃗� 𝑚𝑎𝑖𝑛→𝑡𝑜𝑢𝑟𝑛𝑒𝑣𝑖𝑠)

�⃗⃗⃗� 𝐴(�⃗⃗� 𝑚𝑎𝑖𝑛→𝑡𝑜𝑢𝑟𝑛𝑒𝑣𝑖𝑠)

�⃗⃗� 𝑚𝑎𝑖𝑛→𝑡𝑜𝑢𝑟𝑛𝑒𝑣𝑖𝑠

Une action mécanique peut souvent se modéliser en considérant :

✓ Qu'elle agit en un point,

✓ Qu'en ce point s'exerce :

➢ Une force seule,

➢ Un couple seul,

➢ Ou une force et un couple.

Ainsi, toute action mécanique sera modélisable en un point par deux vecteurs :

✓ Un vecteur Force,

✓ Un vecteur Moment

L'un des deux pouvant être nul, en particulier le moment si le point de calcul de celui-ci

est judicieusement choisi.

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Exemple n°2 : Système courroie-poulie

La représentation ci-contre décrit l'action de la courroie sur la

poulie.

L'action mécanique au point 𝐴 se modélise par une force et un

couple.

Passons à une écriture analytique et notons :

✓ 𝑴 : Le point choisi comme point d'application de l'action mécanique,

✓ �⃗⃗� (𝑴,𝟏→𝟐) : La force exercée par le solide 1 sur le solide 2, éventuellement égale à la résultante, appliquée

en 𝐴, de coordonnées 𝑋, 𝑌, 𝑍 dans le repère ℛ,

✓ �⃗⃗⃗� 𝑨(�⃗⃗� (𝑴,𝟏→𝟐)) : Le moment calculé au point 𝐴, éventuellement égal au moment résultant, de la force

𝐹 (𝑀,1→2), de coordonnées 𝑅, 𝑆, 𝑇 dans le repère ℛ.

L'action mécanique se modélise en considérant les deux vecteurs :

�⃗⃗� (𝑴,𝟏→𝟐) = (

𝑋𝐹 (𝑀,1→2)𝑌𝐹 (𝑀,1→2)𝑍𝐹 (𝑀,1→2)

) et �⃗⃗⃗� 𝑨(�⃗⃗� (𝑴,𝟏→𝟐)) = (

𝑅𝐴(𝐹 (𝑀,1→2))𝑆𝐴(𝐹 (𝑀,1→2))𝑇𝐴(𝐹 (𝑀,1→2))

)

E. Torseur d'action mécanique

L'écriture des deux vecteurs précédents, Force et Moment, qui représentent le modèle d'une action mécanique,

est fastidieuse.

L'utilisation d'un outil mathématique que l'on nomme TORSEUR, va permettre une simplification de l'écriture

tout en gardant toutes les informations contenues dans le formalisme de l'écriture analytique des vecteurs.

L'écriture d'un torseur mécanique peut se faire de deux façons :

✓ Une écriture avec seulement les éléments de réduction : {𝑡1→2} = {�⃗� 1→2

�⃗⃗� 𝐴,�⃗� 1→2}

𝐴

(𝑜,𝑥 ,�⃗� ,𝑧 )

✓ Une écriture avec les composantes : {𝑡1→2} = {

𝑋�⃗� 1→2 𝑅𝐴,1→2𝑌�⃗� 1→2 𝑆𝐴,1→2𝑍�⃗� 1→2 𝑇𝐴,1→2

}

𝐴

(𝑜,𝑥 ,�⃗� ,𝑧 )

�⃗⃗⃗� 𝐴(�⃗⃗� 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑟𝑜𝑖𝑒→𝑝𝑜𝑢𝑙𝑖𝑒)

�⃗⃗� 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑟𝑜𝑖𝑒→𝑝𝑜𝑢𝑙𝑖𝑒

On appelle TORSEUR un ensemble noté {𝑡1→2} formé :

✓ D'un vecteur �⃗� 1→2 appelé résultante du torseur et exprimé dans un repère ℛ

✓ D'un moment �⃗⃗� 𝐴,�⃗� 1→2 appelé moment résultant, calculé au point 𝐴 et exprimé dans un

repère ℛ

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Pour résumer…

E.1 - "Déplacement" d'un torseur d'un point vers un autre point

On suppose connue l'action mécanique en un point 𝐴. Elle peut donc se modéliser par un torseur :

{𝑡1→2} = {�⃗� 1→2

�⃗⃗� 𝐴,�⃗� 1→2}

𝐴

(𝑜,𝑥 ,�⃗� ,𝑧 )

L'objectif est d'exprimer l'action mécanique en un autre point noté 𝐵. En d'autres termes, il s'agit d'écrire le

torseur au point 𝐵 :

{𝑡1→2} = { ? ?

}𝐵

(𝑜,𝑥 ,�⃗� ,𝑧 )

Nous savons que la résultante ne dépend pas du point de calcul considéré. Ainsi : {𝑡1→2} = {�⃗� 1→2

?}

𝐵

(𝑜,𝑥 ,�⃗� ,𝑧 )

La difficulté est essentiellement liée à l'écriture de �⃗⃗� 𝐵,�⃗� 1→2 en fonction de �⃗⃗� 𝐴,�⃗� 1→2

Par définition : �⃗⃗� 𝐵,�⃗� 1→2 = 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∧ �⃗� 1→2 et �⃗⃗� 𝐴,�⃗� 1→2 = 𝐴𝑀

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∧ �⃗� 1→2

𝑀 étant le point d'application de la résultante �⃗� 1→2

Calculons �⃗⃗� 𝐵,�⃗� 1→2 − �⃗⃗� 𝐴,�⃗� 1→2

:

�⃗⃗� 𝐵,�⃗� 1→2 − �⃗⃗� 𝐴,�⃗� 1→2

= 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∧ �⃗� 1→2 − 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∧ �⃗� 1→2 = (𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) ∧ �⃗� 1→2 = (𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) ∧ �⃗� 1→2 = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∧ �⃗� 1→2

Ainsi :

�⃗⃗� 𝐵,�⃗� 1→2 = �⃗⃗� 𝐴,�⃗� 1→2

+ 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∧ �⃗� 1→2 [𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛]

En conclusion :

{𝑡1→2} = {�⃗� 1→2

�⃗⃗� 𝐴,�⃗� 1→2}

𝐴

(𝑜,𝑥 ,�⃗� ,𝑧 )

= {

𝑋�⃗� 1→2 𝑅𝐴,1→2𝑌�⃗� 1→2 𝑆𝐴,1→2𝑍�⃗� 1→2 𝑇𝐴,1→2

}

𝐴

(𝑜,𝑥 ,�⃗� ,𝑧 )

Éléments de réduction

exprimés au point 𝐴 dans le

repère ℛ = (𝑜, 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )

Composantes exprimées

au point 𝐴 dans le repère

ℛ = (𝑜, 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )

{𝑡1→2} = {�⃗� 1→2

�⃗⃗� 𝐴,�⃗� 1→2}

𝐴

(𝑜,𝑥 ,�⃗� ,𝑧 )

= {�⃗� 1→2

�⃗⃗� 𝐴,�⃗� 1→2 + 𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ∧ �⃗� 1→2}

𝐵

(𝑜,𝑥 ,�⃗� ,𝑧 )

Torseur exprimé au point 𝐴 Torseur exprimé au point 𝐵

14

E.2 - Principe d'action réciproque avec un torseur

Le principe d'action réciproque s'applique :

E.3 - Addition de torseurs

L'étude d'un solide en équilibre nécessite d'additionner toutes les actions mécaniques donc tous les torseurs

auxquels il est soumis. Pour cela, il faut respecter une règle :

E.4 - Torseurs particuliers

Les torseurs "Glisseur" et "Couple" seront traités en Travaux Dirigés.

{𝑡1→2}𝐴 = −{𝑡2→1}𝐴

On ne peut additionner des torseurs que s'ils sont écrits au même point

{𝑡1→2}𝐴 + {𝑡3→2}𝐴 = {�⃗� 1→2 + �⃗� 3→2

�⃗⃗� 𝐴,�⃗� 1→2 + �⃗⃗� 𝐴,�⃗� 3→2

}

𝐴

(𝑜,𝑥 ,�⃗� ,𝑧 )