MATRIKS HESSENBERG DAN BARISAN BILANGAN BULAT

(Skripsi)

Oleh

NUR WAFIQOH HADI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2020

ABSTRACT

MATRIKS HESSENBERG AND INTEGER SEQUENCE

By

NUR WAFIQOH HADI

It consider a particular case of upper Hessenberg matrices, in which all

subdiagonal elements are −1. It investigate three type of matrices related to

polynomials, generalized Fibonacci numbers, and special compositions of natural

numbers. It give the combinatorial meaning of the coefficients of the

characteristic polynomials of these matrices.

ABSTRAK

MATRIKS HESSENBERG DAN BARISAN BILANGAN BULAT

Oleh

NUR WAFIQOH HADI

Dipertimbangkan kasus tertentu dari matriks Hessenberg atas, di mana semua

elemen subdiagonal adalah −1. Diselidiki tiga jenis matriks yang terkait dengan

polinomial, bilangan Fibonacci umum, dan komposisi khusus bilangan asli.

Selanjutnya diberikan arti kombinatorial dari koefisien polinomial karakteristik

dari matriks tersebut.

MATRIKS HESSENBERG DAN BARISAN BILANGAN BULAT

Oleh

NUR WAFIQOH HADI

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKADAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2020

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Nur Wafiqoh Hadi, anak kedua dari lima bersaudara

yang dilahirkan di Madiun Jawa timur pada tanggal 17 Oktober 1997 oleh

pasangan Bapak Prof. Sutopo Hadi dan Ibu Sri Endah Purwaningrum (Almh).

Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Al-Kautsar Bandar

Lampung pada tahun 2009. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP

Negeri 03 Natar. Pendidikan di sekolah menengah atas di MA Al-Muhsin Metro

pada tahun 2016.

Pada tahun 2016 penulis terdaftar sebagai mahasiswi S1 Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui

Jalur SNMPTN undangan. Pada tahun 2018, sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu

di dunia kerja, penulis telah melaksanakan Kerja Praktik (KP) selama 40 hari di

kantor Perusahaan Umum Badan Usaha dan Logistik (PERUM BULOG) Provinsi

Lampung. Dan pada tahun yang sama, sebagai bentuk pengabdian kepada

masyarakat, penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 40

hari di Desa Heni Arong, Kecamatan Lumbok Seminung, Kabupaten Lampung

Barat..

KATA INSPIRASI

Isy Kariman Au Mut Syahidaan

(Hidup Mulia atau Mati Syahid)

Perbuatan yang Baik Akan Membentengi (Seseorang dari) Kehidupan yang Jahat

(Abu Bakar Ash-Shiddiq R.A)

PERSEMBAHAN

Alhamdulillah Wasyukurillah.

Puji dan syukur tiada hentinya terpanjatkan kepada Allah S.W.T Tiada kata

yang lebih mampu mewakili setiap rasa bahagia yang ingin tercurahkan, ku

persembahkan karya kecil ini untuk:

Kedua orang tuaku, Abi dan Ummi

Dan juga Ibun

Kelima saudaraku, Nur Izdihar Hadi, Nur Fawwaz Hadi, Nur Faiz Mudhoffar

Hadi, Nur Maisun Wardah Hadi, dan Miftah Sholihul Hadi, terimakasih untuk

semua pengorbanan, cinta kasih, canda dan tawa yang tidak akan

terbayarkan oleh apapun

Dosen-dosen Pembimbing dan Pembahas yang sangat berjasa dan selalu

memberikan motivasi kepada penulis

Sahabat-sahabatku tersayang, terimakasih atas kebersamaan, keceriaan,

canda, tawa, doa dan semangat yang telah diberikan

Almamaterku, Universitas Lampung

SANWACANA

Alhamdulillahirobbil’alaamiin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas

izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi yang berjudul “Matriks

Hesssenberg dan Barisan Bilangan Bulat”. Shalawat serta salam tak lupa

kepada Nabi Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi

kita semua.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari

bimbingan, bantuan, dan kerjasama dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada

kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:

1. Bapak Amanto, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing I, yang senantiasa

selalu membimbing dan memberikan arahan kepada penulis dalam

menyelesaikan skripsi ini ditengah-tengah waktu kesibukannya.

2. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing II, yang telah

memberikan bimbingan serta saran yang membantu penulis dalam

menyelesaikan skripsi ini.

3. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembahas, terima kasih

atas kesediaannya untuk membahas, memberikan saran dan kritik yang

membangun dalam penyelesaian skripsi ini.

4. Bapak Dr. Aang Nuryaman, S.Si., M.Si.. selaku Dosen Pembimbing

Akademik, terima kasih atas bimbingan dan pembelajarannya dalam

menjalani perkuliahan.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Bapak Drs. Suratman, M.Sc., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

8. Abi, dan Ibun tercinta yang tak pernah berhenti memberi semangat, doa,

dorongan, nasihat dan kasih sayang serta pengorbanan yang tak tergantikan

hingga penulis selalu kuat menjalani setiap rintangan yang ada di depan.

9. Mbak dan adik-adikku: Mbak dihar, Fawwaz, Dhoffar, Maisun dan Miftah

yang selalu berbagi canda dan tawa serta selalu menyemangati hingga

terselesaikannya skripsi ini.

10. Sahabat-sahabat seperjuangan: Evrilia Rahmawati, Erisa Aprilia Mely

Hartati, Ismawati, Raratia Ulsa Alfian, dan Wahyu Megarani yang selalu

menemani hari-hari penulis selama menjalani masa perkuliahan.

11. Teman-teman KKN: Reyza Sukma Fahri, Aini Hairunnisa, Elisa Aprilyanti,

Tasya Evita Agnesia, Muhammad Adli dan Muhamad Adnan Anas,

terimakasih untuk kebersamaan dan dukungan yang telah kalian berikan.

12. Teman-temanku Matematika 2016, terimakasih telah memberikan warna dan

keceriaan kepada penulis selama menjadi mahasiswi.

13. Almamater tercinta Universitas Lampung.

14. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu

persatu.

Bandar Lampung, 21 Februari 2020

Penulis,

Nur Wafiqoh Hadi

DAFTAR ISI

Halaman

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ......................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ......................................................................... 3

1.3 Tujuan Penelitian ........................................................................... 3

1.4Manfaat Penelitian .......................................................................... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Matriks ......................................................................................... 4

2.1.1 Definisi Matriks ................................................................ 4

2.1.2 Beberapa Definisi Khusus dan Operasi Matriks ................ 5

2.1.2.1 Kesamaan Matriks ................................................. 5

2.1.2.2 Penjumlahan Matriks ............................................. 5

2.1.2.3 Pengurangan Matriks ............................................. 5

2.1.2.4 Perkalian suatu matriks dengan suatu bilangan ..... 6

2.1.2.5 Perkalian Matriks................................................... 6

2.1.2.6 Matriks Transpos ................................................... 7

2.1.2.7 Matriks Setangkup (Simetri) dan Matriks Tak Setangkup

(Skew-Simetri) ....................................................... 7

2.1.2.8 Matriks Kompleks Sekawan .................................. 7

2.1.2.9 Matriks Hermite dan (Skew-Hermite) ................... 8

2.1.2.10 Matriks Diagonal Utama dan Jejak Suatu

Matriks ................................................................... 8

2.1.2.11 Matriks Satuan ..................................................... 8

2.1.2.12 Matriks Nol .......................................................... 9

2.1.3. Determinan ........................................................................ 9

2.1.4 Invers Suatu Matriks .......................................................... 10

2.1.5 Matriks Tegaklurus (Orthogonal) dan Uniter (Unitary) .... 11

2.1.6 Macam-Macam Matriks ........................................... 12

2.1.6.1 Matriks diagonal. ................................................. 12

2.1.6.2. Matriks Blok Diagonal dan penjumlahan secara

langsung. ............................................................... 13

2.1.6.3. Matriks Segitiga.................................................... 14

2.1.6.4 Blokir matriks segitiga .......................................... 16

2.1.6.5 Matriks Hessenberg ............................................... 18

2.2 Barisan ......................................................................................... 18

2.3 Polinomial .................................................................................... 19

2.4 Bilangan Fibonacci dan Bilangan Lucas ...................................... 21

2.4.1 Jumlah n Suku Pertama Barisan Fibonacci ........................ 21

2.4.2. Identitas Bilangan Fibonacci dan Lucas ........................... 23

2.5 Komposisi Bilangan Asli ............................................................. 24

2.6 Prinsip Induksi Sederhana ............................................................ 24

2.6.1 Definisi Induksi .................................................................. 24

2.6.2 Basis induksi ...................................................................... 25

2.6.3 Langkah induksi .................................................................. 25

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ...................................................... 26

3.2 Metode Penelitian ....................................................................... 26

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Polinomial .................................................................................... 27

4.2 Bilangan Fibonacci Umum .......................................................... 32

4.3 Komposisi Tertentu dari Bilangan Asli ...................................... 35

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Matematika (dari bahasa Yunani: μαθημα - mathēma, "pengetahuan, pemikiran,

pembelajaran") adalah ilmu yang mempelajari hal-hal seperti besaran, struktur,

ruang, dan perubahan. Para matematikawan merangkai dan menggunakan

berbagai pola dan menggunakannya untuk merumuskan konjektur baru, dan

membangun kebenaran melalui metode deduksi yang ketat diturunkan dari

aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian. Matematika dibagi

dalam beberapa divisi yaitu matematika murni, matematika terapan, matematika

diskrit, dan matematika komputasi. Matematika murni (dari bahasa Inggris: pure

mathematics) adalah studi tentang konsep-konsep matematika secara bebas dari

aplikasi apapun yang berada diluar lingkup matematika.

Konsep ini berasal dari fakta pada dunia nyata, dan hasil yang diporelah dapat

diaplikasikan tetapi matematikawan murni tidak termotivasi oleh beberapa

pengaplikasian. Sebaliknya, daya tarik ini dikaitkan dengan tantangan intelektual

dan keindahan estetika dari mengerjakan konsekuensi logis dari prinsip-prinsip

dasar.

2

Matematika murni mencakup banyak hal yang dipelajari atau dibagi menjadi

banyak bidang didalamnya; seperti teori graf, aritmetika, aljabar, geometri,

trigonometri, kalkulus/analisis, analisis fungsional, teori himpunan, logika, teori

bilangan, kombinatorika dan topologi. Yang akan penulis bahas yaitu pada bidang

teori bilangan. Teori bilangan adalah bagian dari Matematika murni yang

mempelajari tentang bilangan bulat dan fungsi bilangan bulat yang bernilai.

Dalam hal ini, penulis akan membahas tentang kasus tertentu dari sebuah matriks

yaitu Matriks Hessenberg atas di mana semua elemen subdiagonalnya adalah

dengan bentuk

[

]

(1.1)

Penulis akan mempertimbangkan tiga jenis matriks yang terkait dengan

Polinomial, Fibonacci dan Komposisi Bilangan Asli, untuk menemukan makna

kombinatorial dari koefisien dari karakteristik polinomial. Sehingga akan

mendapatkan 3 koefiseien dari karakteristik polinomial dari 1 tipe matriks.

Koefisien polinomial karakteristik dari matriks jenis pertama, yaitu penjumlahan

minor utama, yang terkait dengan beberapa identitas binomial. Koefisien

polinomial karakteristik dari matriks jenis kedua, sebagai kasus tertentu, yang

3

disebut bilangan Fibonacci terkonvolusi. Koefisien dari polinomial karakteristik

dari matriks jenis ketiga dihubungkan dengan jenis komposisi bilangan alami.

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana cara menemukan

Koefisien dari Polinomial Karakteristik dari 3 jenis matriks.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Mengaplikasikan Matriks Hessenberg Atas dengan Fibonacci, Polinomial

dan Komposisi Bilangan Asli .

2. Mendapatkan Koefisien dari karakteristik Polinomial dari 3 jenis matriks.

1.4 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Mengetahui jenis matriks yang baru dipelajari yaitu Matriks Hessenberg.

2. Mengetahui Matriks Hessenberg Atas yang dapat dikaitkan dengan

Fibonacci, Polinomial, Komposisi Bilangan Asli

3. Menambah pengetahuan baru tentang Teori Bilangan.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Matriks

2.1.1 Definisi Matriks

Suatu matriks berukuran atau matriks adalah suatu jajaran bilangan

berbentuk persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom. Matriks tersebut

ditulis dalam

(

) (2.1)

Setiap bilangan dalam matriks ini dinamakan elemen (unsur). Indeks dan

berturut-turut menyatakan baris dan kolom dari unsur tersebut.

Suatu matriks akan seringkali dinyatakan dengan suatu huruf, seperti misalnya A

dalam (1), atau dengan lambang ( ), yang menunjukkan unsur yang sesuai.

Suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris dinamakan suatu

( ) sedangkan suatu matriks yang hanya

mempunyai satu kolom disebut ( ). Jika

5

banyaknya baris dan kolom sama, matriksnya dinamakan matriks

bujursangkar berukuran , atau disingkat . Suatu matriks dikatakan matriks

riil atau matriks kompleks sesuai dengan apakah unsurnya bilangan riil atau

kompleks.

2.1.2 Operasi Matriks

2.1.2.1 Kesamaan Matriks

Dua matriks ( ) dan ( ) yang berukuran sama (yaitu memiliki

jumlah baris dan kolom yang sama) dikatakan sama jika dan hanya jika

2.1.2.2 Penjumlahan Matriks

Jika ( ) dan ( ) mempunyai ukuran yang sama didefinisikan jumlah

dari A dan B sebagai ( ) ( ).

2.1.2.3 Pengurangan Matriks

Jika ( ) dan ( ) berukuran sama, didefiniskan selisih dari A dan B

sebagai ( ) ( )

6

2.1.2.4 Perkalian suatu matriks dengan suatu bilangan

Jika ( ) ( ) didefinisikan hasilkali

sebagai ( )

2.1.2.5 Perkalian Matriks

Jika ( ) suatu matriks berukuran sedangkan ( ) suatu

matriks berukuran maka didefiniskan atau dari matriks A dan B

sebagai matriks ( ) dimana

∑ (2.2)

Dan C berukuran .

Perhatikanlah bahwa matriks didefinisikan jika dan hanya jika banyaknya kolom

dari A sama dengan banyaknya baris dari B. Matriks demikian seringkali

dinamakan conformable. Secara umum , yaitu hukum komutatif untuk

perkalian tidak berlaku secara umum. Tetapi hukum asosiatif dan distributif

berlaku, yaitu

( ) ( ) ( ) ( ) (2.3)

Suatu matriks dapat dikalikan dengan dirinya sendiri jika dan hanya jika

matriks bujursangkar. Hasil kali dalam kasus ini ditulis . Dengan cara

7

yang sama didefinisikan pangkat suatu matriks bujur sangkar yaitu

dan seterusnya.

2.1.2.6 Matriks Transpos

Jika menukar baris dan kolom suatu matriks A, maka matriks yang dihasilkan

dinamakan transpos dari A dan dinyatakan Dengan lambang ditulis, jika

( ) maka ( )

2.1.2.7 Matriks Setangkup (Simetri) dan Matriks Tak Setangkup (Skew-

Simetri)

Suatu matriks bujursangkar dinamakan simetri jika dan skew-simetri

jika . Suatu matriks bujursangkar riil (yaitu matriks yang semua

unsurnya riil) dapat selalu dinyatakan sebagai jumlah dari matriks setangkup riil

dan suatu matriks tak setangkup riil

2.1.2.8 Matriks Kompleks Sekawan

Jika semua unsur dari suatu matriks diganti dengan kompleks sekawannya

maka matriks yang diperoleh dinamakan kompleks sekawan dari dan

dinyatakan

8

2.1.2.9 Matriks Hermite dan (Skew-Hermite)

Suatu matriks bujursangkar yang sama dengan transpos dari kompleks

sekawannya, yaitu dinamakan matriks Hermite. Jika , maka

dinamakan matriks (skew-Hermite). Jika riil, ini dapat direduksikan berturut-

turut menjadi matriks setangkup dan matriks tak setangkup.

2.1.2.10 Matriks Diagonal Utama dan Jejak Suatu Matriks

Jika ( ) adalah suatu matriks bujursangkar, maka diagonalnya yang terdiri

unsur-unsur ( ) dengan dinamakan diagonal utama dan jumlah semua

unsurnya dinamakan jejak dari matriks suatu matriks yang memnuhu

dinamakan suatu matriks diagonal.

2.1.2.11 Matriks Satuan

Suatu matriks bujursangkar yang semua unsur pada diagonal utamanya sama

dengan 1 sedangkan unsur lainnya nol dinamakan matriks satuan dan dinyatakan

dengan . Suatu sifat penting untuk adalah

(2.4)

Matriks satuan dalam aljabar matriks mempunyai peranan yang sama dengan

bilangan 1 dalam aljabar biasa.

9

2.1.2.12 Matriks Nol

Suatu Matriks yang semua unsurnya nol dinamakan matriks nol dan seringkali

dinyatakan dengan atau disederhanakan menjadi 0. Untuk suatu matriks yang

berukuran sama seperti 0 berlaku

(2.5)

Juga bila dan 0 adalah matriks bujur sangkar, maka

(2.6)

Matriks nol dalam aljabar matriks mempunyai peranan yang sama dengan

bilangan nol dalam aljabar biasa.

2.1.3. Determinan

Jika yang disajikan dalam (1) adalah suatu matriks bujur sangkar, maka

didefinisikan dengan suatu bilangan yang dinyatakan oleh

|

| (2.7)

10

yang dinamakan determinan dari dengan ukuran , ditulis ( ) untuk

mendefiniskan nilai suatu determinan, diharuskan mengenali beberapa konsep

berikut.

1. Minor

Diberikan suatu unsur dari . Suatu determinan berukuran ( ) yang

diperoleh dengan menghilangkan semua unsur di baris ke dan kolom ke

dinamakan minor dari

2. Kofaktor

Jika minor dari dikalikan dengan ( ) , maka hasilnya dinamakan

kofaktor dari dan dinyatakan dengan .

Nilai determinan didefinisikan sebagai jumlah dari hasilkali unsur-unsur pada

suatu baris [atau kolom] dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian, dan ini

dinamakan uraian Laplace. Dalam lambang ditulis

( ) ∑ (2.8)

2.1.4 Invers Suatu Matriks

Jika untuk suatu matriks bujursangkar terdapat suatu matriks sehingga

maka dinamakan invers dari dan dinyatakan Dasarnhya adalah

rumus berikut ini :

11

Jika suatu matriks tak singular berukuran , ( ) -

maka terdapat satu invers sehingga dan dapat

dinyatakan dalam bentuk

( )

( ) (2.9)

dimana ( ) adalah matriks dari kofaktor dan ( ) ( )

adalah transposnya

Bentuk berikut ini menyatakan sifat invers matriks:

( ) ( ) (2.10)

2.1.5 Matriks Tegaklurus (Orthogonal) dan Uniter (Unitary)

Suatu matriks riil dinamakan suatu matriks tegaklurus (orthogonal) jika

transposnya sama dengan inversnya, yaitu jika atau Suatu

matriks kompleks dinamakan suatu matriks uniter (unitary) jika kompleks

sekawan transposnya sama dengan inversnya, yaitu jika atau

Perhatikanlah bahwa matriks riil adalah matriks ortogonal (Murray, 1994).

12

2.1.6 Jenis-jenis Matriks

2.1.6.1 Matriks diagonal.

Matriks , - ( ) adalah diagonal jika dengan . Jika

semua entri diagonal dari matriks diagonal adalah bilangan real positif (tidak

negatif), kami menyebutnya sebagai matriks diagonal positif (nonnegatif). Itu

istilah matriks diagonal positif berarti bahwa matriks tersebut diagonal dan

memiliki entri diagonal positif; itu tidak merujuk ke matriks umum dengan entri

diagonal positif. Matriks identitas adalah matriks diagonal positif.

Matriks diagonal persegi D adalah sebuah matriks skalar jika semua entri

diagonalnya sama, yaitu, untuk beberapa . Perkalian kiri atau

kanan dari sebuah matriks dengan matriks skalar memiliki efek yang sama dengan

mengalikan dengan skalar yang sesuai.

Jika , - ( ) * +, maka diagonal

[ ] dinotasikan sebagai vektor entri diagonal dari ( ).

Sebaliknya, jika dan jika adalah bilangan bulat positif sehingga

* + , lalu diag ( ) menunjukkan matriks diagonal

sedemikian rupa sehingga diag ; untuk diag harus didefinisikan

dengan baik, keduanya harus ditentukan. Untuk ,

diag( ) selalu menunjukkan matriks , - ( ) sedemikian

rupa sehingga untuk setiap dan jika .

13

Misalkan , - , - ( ) adalah diagonal dan misalkan

, - ( ) diberikan. Maka (a) ∏ ; (b) D adalah

nonsingular jika dan hanya jika semua ; (c) perkalian kiri dari A dengan D

mengalikan baris A dengan entri diagonal D ( baris ke- dari adalah kali

dari baris ke-i dari A); (d) perkalian kanan dari A dengan D dengan mengalikan

kolom-kolom dari A oleh entri diagonal D, yaitu, kolom ke-j dari AD adalah

kali kolom ke-j dari A; (e) jika dan hanya jika setiap ;

(f) jika semua entri diagonal D berbeda dan , maka A adalah diagonal;

(g) untuk semua bilangan bulat positif k, (

); dan (h) dua

matriks diagonal dengan ukuran perhitungan yang sama:

( .

2.1.6.2. Matriks Blok Diagonal dan Penjumlahan Langsung.

Sebuah matriks ( ) dengan bentuk

[

] (2.11)

di mana ( ) ∑ , dan semua blok atas dan

bawah dari blok diagonal adalah blok nol, sehingga disebut blok diagonal. Lebih

mudah untuk menulis seperti berikut

(2.12)

14

Ini adalah penjumlahan langsung dari matriks . Banyak sifat matriks

diagonal blok yang menggeneralisasi sifat matriks diagonal. Misalnya, det

( ) ∏ ( )

, sehingga adalah nonsingular jika dan

hanya jika setiap adalah nonsingular, . Selanjutnya, dua

penjumlahan langsung dan

di mana setiap

memiliki ukuran yang sama dengan , dengan merubah jika dan hanya jika

setiap pasangan dan diubah, . Juga, barisan ( )

∑

Jika adalah nonsingular, maka ( )

dan

( ( ))( ) ( )( )( )

(( )( ) ( )( ) ), jadi argumen kontinuitas

memastikan hal itu

( ) ( ) ( ) (2.13)

2.1.6.3. Matriks Segitiga

Matriks , - ( ) adalah segitiga atas jika setiap . Jika

setiap , maka dikatakan segitiga atas rapat. Dianalogikan, T

adalah segitiga bawah (atau segitiga bawah rapat) jika transposnya adalah segitiga

atas (atau segitiga ketat rapat). Matriks segitiga adalah segitiga bawah atau atas;

15

matriks segitiga rapat adalah segitiga atas rapat atau segitiga bawah rapat.

Matriks segitiga satuan adalah matriks segitiga (atas atau bawah) yang memiliki

matriks pada diagonal utamanya. Kadang-kadang istilah adalah kanan (di tempat

atas) dan kiri (di tempat lebih rendah) digunakan untuk mendeskripsikan matriks

segitiga.

Misalkan ( ) diberikan. Jika T adalah segitiga atas, maka , -

jika , sedangkan 0 1 jika ; * +( ) adalah segitiga

atas dan adalah arbitrer (kosong jika ). Jika T adalah segitiga bawah,

maka , - jika , sedangkan [ ]jika ; * +( )

adalah segitiga bawah dan adalah arbitrer (kosong jika ).

Matriks segitiga kuadrat berbagi dengan matriks diagonal kuadrat properti yang

determinannya adalah produk dari entri diagonalnya. Matriks segitiga persegi

tidak perlu bolak-balik dengan matriks segitiga persegi lainnya dengan ukuran

yang sama. Namun, jika berbentuk segitiga, yang memiliki entri diagonal

yang berbeda, dan berpindah dengan , maka B harus berbentuk segitiga

dengan tipe yang sama dengan T (2.4.5.1).

Untuk setiap , perkalian kiri dari ( ) dengan matriks segitiga

bawah ( ) menggantikan baris ke-i dari A dengan kombinasi linear dari

yang pertama melewati baris ke-i dari A. Hasil melakukan sejumlah terbatas

16

operasi baris 3 tipe pada A (0.3.3) adalah matriks , di mana adalah matriks

segitiga unit yang lebih rendah. Pernyataan yang sesuai dapat dibuat tentang

operasi kolom dan perkalian kanan dengan matriks segitiga atas.

Pangkat matriks segitiga setidaknya, dan bisa lebih besar dari, jumlah entri bukan

nol pada diagonal utama. Jika matriks segitiga persegi adalah nonsingular,

kebalikannya adalah matriks segitiga dengan tipe yang sama. Sebuah produk dari

matriks segitiga persegi dengan ukuran dan tipe yang sama adalah matriks

segitiga dengan tipe yang sama; setiap entri diagonal dari produk matriks

tersebut adalah produk dari entri faktor.

2.1.6.4 Blokir matriks segitiga.

Matriks ( ) dari bentuk

[

] (2.14)

di mana ( ) ∑ , dan semua blok bawah blok

diagonal adalah nol, adalah blok segitiga atas; itu benar-benar memblokir segitiga

atas jika, dengan tambahan, semua blok diagonal adalah blok nol. Matriks adalah

blok segitiga bawah jika transposnya adalah blok atas segitiga; itu benar-benar

memblokir segitiga bawah jika itu transposnya secara ketat memblokir segitiga

atas. Dikatakan bahwa sebuah matriks adalah blok segitiga jika merupakan salah

satu dari blok segitiga bawah atau blok segitiga atas; sebuah matriks adalah kedua

17

blok bawah segitiga dan blok segitiga atas jika dan hanya jika adalah blok

diagonal.

Sebuah blok matriks segitiga atas di mana semua blok diagonal adalah 1 oleh 1

atau 2 oleh 2 dikatakan quasitriangular atas. Matriks merupakan quasitriangular

bawah jika transposnya merupakan quasitriangular atas; itu dikatakan

quasitriangular jika itu merupakan quasitriangular atas atau quasitriangular

bawah. Matriks yang merupakan quasitriangular atas dan quasitriangular bawah

dikatakan quasidiagonal.

Pertimbangkan blok persegi matriks segitiga A dalam (0.9.4.1). Kami memiliki

. Jika adalah nonsingular (adalah, jika adalah nonsingular

untuk semua ), maka adalah blok matriks segitiga dipartisi yang

sesuai dengan yang blok diagonalnya adalah

.

Jika ( ) adalah segitiga atas, maka 0 [ ]1

adalah blok segitiga

atas untuk setiap partisi berurutan * +

18

2.1.6.5 Matriks Hessenberg.

Matriks , - ( ) dikatakan bentuk Hessenberg atas atau menjadi

matriks Hessenberg atas jika untuk semua :

[

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ]

(2.15)

Matriks Hessenberg atas dikatakan tidak tereduksi jika semua entri

subdiagonalnya bukan nol, yaitu, jika untuk semua ;

pangkat matriks tersebut berada pada sedikitnya sejak kolom

pertamanya independen.

Misalkan ( ) menjadi Hessenberg atas yang tidak tereduksi. Kemudian

adalah bagian atas yang tidak tereduksi dari Hessenberg atas untuk semua

, jadi derajat ( ) untuk semua .

Matriks ( ) merupakan Hessenberg bawah jika adalah Hessenberg atas

(Horn & Roger, 2013).

2.2 Barisan

Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan-bilangan yang

urutannya berdasarkan bilangan asli. Suatu barisan yang terdiri yang terdiri dari n

19

suku biasanya dinyatakan dalam menyatakan suku ke-1

menyatakan suku ke-2 dan menyatakan suku ke- .

Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya

adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah

* +

Contoh-contoh barisan :

Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus * +

Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus 2

3

Penentuan tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba-coba.

(Dawkins, 2003)

2.3 Polinomial

Fungsi linier dan kuadrat adalah kasus khusus dari polinomial. Sebagai contoh

( ) adalah polinomial derajat 4, dan ( )

merupakan salah satu polinomial berderajat 6. Secara umum, bentuk

fungsi polinomial adalah

20

( )

(2.18)

Di mana n adalah bilangan bulat non-negatif dan merupakan

bilangan konstan, dengan . Kami menyebut merupakan derajat

polinomial, adalah koefisien, dan merupakan koefisien utama.

Polinomial berderajat 0 adalah konstan, salah satu berderajat satu merupakan

fungsi linier tidak konstan, dan salah satu berderajat 2 merupakan fungsi

kuadratik. Kami mengingat beberapa properti polinomial.

Jumlah atau ada dua polinomial juga merupakan polinomial. Jika r adalah akar

dari suatu polynomial ( ) berderajat n, maka ( ) habis dibagi .

( ) ( ) ( ) (2.19)

Dimana ( ) merupakan polinomial berderajat derajat .Sebuah polinomial

berderajat paling banyak memiliki n akar, dengan menghitung multiplisitasnya .

Cara mencari akar polinom dapat menggunakan pembagian. Pembagian polinom

ini dapat diselesaikan dengan dua cara yan pertama dengan cara bersusun dan

yang kedua dengan cara horner.

Contoh

Apakah polinom ( ) memiliki akar ?

Dapat dicari akarnya dengan menggunakan cara bersusun

21

Dengan memisalkan maka

√

Jadi, polinomial memiliki 3 akar yaitu x=3 atau x=2 dan x=6

(Apostol, 2007).

2.4. Bilangan Fibonacci dan Bilangan Lucas

2.4.1 Jumlah n Suku Pertama Barisan Fibonacci

Barisan Fibonacci didefinisikan sebagai berikut :

(2.21)

(2.22)

(2.23)

Dalam hubungannya mencari jumlah n suku pertama, maka ini tak terlepas dari

deret. Simbol untuk menyatakan jumlah n suku pertama barisan Fibonacci (deret

Fibonacci). dan seterusnya.

22

Penjelasan : deretan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat

dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan

aturan ini, maka deretan bilangan Fibonacci yang pertama adalah :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, dan seterusnya.

Deret Fibonacci diberikan dalam bentuk berikut ini :

∑ (2.24)

Bukti :

Dari persamaan diatas , subtitusi maka :

∑

∑( )

∑

∑

∑

23

Tabel 1. Barisan Fibonacci ( )

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Tabel 2. Deret Fibonacci ( )

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10

1 2 4 7 12 20 33 54 88 144

2.4.2. Identitas Bilangan Fibonacci dan Lucas

Lucas mengembangkan barisan yang mempunyai sifat seperti barisan Fibonacci,

yang selanjutnya disebut barisan Lucas, yaitu 1, 3, 4, 7, 11, 18,...

Sifat dasar barisan Lucas sama dengan barisan Fibonacci, yang berbeda adalah

suku keduanya. Suku ke-n barisan Lucas dilambangkan dengan , dengan bentuk

umumnya

Selanjutnya diperoleh beberapa identitas bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas :

a)

( )

b)

( )

c)

d)

24

e)

f)

g)

( )

h)

i)

j) .

k) (Milantika, 2017).

2.5 Komposisi Bilangan Asli

Komposisi dari n adalah suatu barisan berurut dari bilangan bulat positif yang

mempunyai jumlah sama dengan n. Suku-suku dari barisan tersebut disebut

bagian dari n. Diketahui bahwa komposisi dari n adalah dan banyaknya

komposisi dari n dengan k bagian yang sama dengan .

/ (Deutsch, 2005).

2.6 Prinsip Induksi Sederhana

2.6.1 Definisi Induksi

Misalkan ( ) adalah Teorema bilangan bulat positif dan ingin dibuktikan bahwa

( ) adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n. Maka langkah-

langkahnya adalah sebagai berikut :

1. ( ) benar

2. Diasumsikan ( ) benar, maka ( ) juga benar untuk setiap

Sehingga ( ) benar untuk semua bilangan bulat positif

25

2.6.2 Basis induksi

1) Digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan benar bila n diganti

dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil

2) Buat implikasi untuk fungsi berikutnya benar untuk setiap bilangan bulat

positif

2.6.3 Langkah induksi

1. Berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa ( ) benar.

2. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi (Sukirman, 1987).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1. Waktu Dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan pada semester ganjil tahun akademik 2019/2020.

Adapun tempat dilaksanakannya penilitian ini adalah di Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Berikut adalah langkah-langkah penelitian yang dilakukan:

1. Memahami Matriks Hessenberg yang subdiagonalnya adalah -1.

2. Mengkaji keterkaitan antara Matriks Hessenberg dengan Polinomial, Bilangan

Fibonacci umum, dan jenis komposisi khusus dari bilangan-bilangan asli.

3. Menarik kesimpulan dari Matriks Hessenberg yang terkait dengan polinomial,

angka fibonacci umum, dan jenis komposisi khusus dari bilangan-bilangan

alami yang telah dibuktikan

V KESIMPULAN

Dari hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya dapat disimpulkan bahwa:

Matriks Hessenberg atas dengan subdiagonalnya adalah didefinisikan dengan

determinan matriks yang pertama sebagai polinomial, lalu yang kedua sebagai

bilangan Fibonacci dan determinan matriks yang terakhir sebagai bentuk

komposisi bilangan asli. Hasil dari pembuktian Matriks Hessenberg atas sehingga

mendapatkan jumlah minor utama dari matriks akan mendapatkan pembuktian

yang tepat dan benar.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. Bivens, I., & Davis, S. 2012. Calculus Early Transcendentals. John &

Wiley Inc., USA

Apostol, T. M. Calculus. 2007. John & Wiley Inc., USA.

Benjamin, A. T. & Quinn, J. J. 2003. Proofs That Really Count. MAA, USA.

Dawkins, P. 2003. Calculus II Sequences and Series. Texas, USA.

Deutsch, E. 2005. Advanced exercise H-641, Fibonacci Quart. 44 (2006), 188.

Grimaldi, R.P. 2007. Compositions and the alternate Fibonacci numbers,

Congruen Numer. 186 (2007), 81–96

Hill, M. G. 1976. Finite Mathematics With Application. Palatino, USA.

Horn, R. & Johnson, C. 2013. Matrix Analysis. Second Edition. Cambridege,

USA

Jancjik, M. 2010. Hessenberg Matrix And Integer Sequences Journal of Integer

Sequences. 13(10): 2-9.

Milantika, S. 2017. Solusi Bilangan Bulat Persamaan Diophantine Melalui

Bilangan Fibonacci dan Bilangan Luccas. (Skripsi).Jurusan

Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Lampung. .

Murray R. Spiegel. 1994. Matematika Lanjutan untuk Insinyur dan Ilmuwan.

Diterjemahkan oleh Drs. Koko Martono. Erlangga. Bandung

Riordan, J. 1968. Combinatorial Identities. Wiley.

Sukirman, M. P. 1997. Ilmu Bilangan. Universitas Terbuka, Jakarta.