MATRIKS dan DETERMINAN.doc

7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc

1/22

Matriks dan Determinan

MATRIKS dan DETERMINAN

MatriksDeterminan

Invers MatriksNilai Eigen dan Vektor Eigen

Terapan

3.1. Matriks

Definisi 1

Matriks adalah suatu susunan persegi-panjang elemen-

elemen.

Elemen yang dimaksud di dalam definisi 1 dapat berupa

bilangan, fungsi atau anggota suatu himpunan.

Pada bahasan selanjutnya hanya ditinjau matriks-matriks

dengan elemen bilangan real.

Suatu matriks disimbolkan dengan huruf besar sedangkan

elemen suatu matriks disimbolkan dengan huruf kecil.

Definisi !

Matriks A ukuran mn, disimbolkan Amn!aij"mnadalah

matriks dengan banyaknya baris m dan banyak kolom n,

ditulis #

( ) $a,

aaa

aaa

aaa

aA ij

mn%m1m

n%%%%1

n11%11

nmijnm

==

Elemen aijsuatu matriks adalah elemen pada baris ke-i dan

kolom ke-j.

1


2/22


Matriks Ann!aij"nndisebut matriks bujur-sangkar ukuran

nn. &iagonal utama matriks Annadalah elemen-elemen akk,k1,%, ... ,n.

Matriks 'dentitas, disimbolkan ', adalah suatu matriks

bujur-sangkar dengan elemen-elemen diagonal utama 1 dan

elemen-elemen selain diagonal utama (.

Matriks )ol, disimbolkan *, adalah matriks yang semua

elemennya (.

Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut

matriks kolom, sedangkan matriks yang hanya mempunyai

satu baris disebut matriks baris

Kesamaan D"a Matriks

&iketahui matriks-matriks Amn!aij"mn dan +mn!aij"mn

maka A+ hanya bila aijbij,

i1,%,...,m dan j1,%,...,n.

#perasi$#perasi Matriks

1. Penjumlahan Matriks

&iketahui matriks Amndan +mn, maka A+!aijbij"mn

ontoh #

=

%.%%%1

1.1%11

aaaaaaA dan

=

%.%%%1

1.1%11

bbbbbb+

++++++

=+%.%.%%%%%1%1

1.1.1%1%1111

bababa

bababa+A

%. Pergandaan Skalar Matriks

&iketahui matriks Amndan skalar k, maka kA!kaij"mn

ontoh #

%


3/22


=

%.%%%1

1.1%11

aaa

aaaA maka

=

%.%%%1

1.1%11

kakaka

kakakakA

. Perkalian Matriks

&iketahui matriks-matriks Ampdan +pn maka perkalian

matriks A dan + adalah ( ) =

==

p

1kkjikijnmij

ba,A+

ontoh #

=

%.%%%1

1.1%11

aaa

aaaA dan

=

.%.1

%%%1

1%11

bb

bb

bb

+ maka

++++++++

=

=

==

==

.%%.%%%%1%%1.1%.%1%%11%1

.%1.%%1%1%11.11.%11%1111

.

1k %kk%

.

1k 1kk%

.

1k %kk1

.

1k 1kk1

babababababa

babababababa

baba

babaA+

Perlu dinyatakan bah/a perkalian matriks tidak komutatif,

artinya A++A

0. ranspose Matriks

&iketahui A!aij"mnmaka transpose A adalah A!aji"nm

ontoh #

= %.%%%11.1%11

aaa

aaa

A maka

=.%1.

%%1%

%111

baaa

aa

A

+erikut adalah teorema-teorema yang terkait dengan operasi-

operasi matriks di atas.


4/22


Teorema 1

2ika matriks-matriks Amn, +mndan mndan skalar k, maka

berlakulah #

1. Sifat 3omutatif # A++A

%. Sifat Assosiatif # A!+"!A+"

. Sifat &istributuf # k!A+"kAk+

0. !A"A

4. !A+"A+

5. !kA"kA

Teorema !

2ika matriks-matriks Amp, +p6dan 6n, maka berlakulah #

1. !A+"+A

%. !A+"A!+"

3.!. Determinan

&eterminan, ditulis &et!." atau 7.7 adalah suatu fungsi

dengan domain koleksi matriks bujur-sangkar dan kodomain

bilangan real. 2adi, jika A suatu matriks bujur-sangkar, maka

&et!A"7A7 adalah suatu bilangan real. Matriks yang

determinannya tidak nol disebut matriks nonsingular.&efinisi berikut akan menjelaskan tentang nilai determinan

suatu matriks. &efinisi dibedakan menjadi determinan matriks

bujur sangkar A181dan matriks An8nuntuk nilai n91.

Definisi 3

&iketahui matriks bujur-sangkar A!a11", maka &et!A"a11.

0


5/22


Definisi %

&iketahui matriks bujur-sangkar A!aij"nn. n%.

!a". Minor (Minor)elemen aijdisimbolkan Mijdidefinisikan

sebagai determinan matriks yang diperoleh dengan

menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j pada

matriks A.

ontoh#

!b". 3ofaktor (Cofaktor)elemen aijdisimbolkan ij

didefinisikan oleh ij!-1"ij Mij

!c". &eterminan matriks Anndidefinisikan sebagai berikut#

det!A"ai1i1ai%i%ainin untuk 1in

atau

det!A"a1j1ja%j%janjnj untuk 1jn.

Sifat 1

2ika A matriks ukuran %%, maka determinan dapat dihitung

dengan aturan berikut #

4

=

000.0%01

.0...%.1

%0%.%%%1

101.1%11

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A000.01

%0%.%1

101.11

.%

aaa

aaa

aaa

M =

( ) %11%%%11%%%1

1%11aaaa

aa

aaAdet ==

+


6/22


Sifat ! &At"ran Sarr"s'2ika A matriks ukuran , maka determinan A dapat

dihitung dengan aturan berikut #

Teorema 3 &Teorema$Teorema Determinan'

1. 2ika A sebarang matriks bujur-sangkar yang memuat satu

baris elemen nol, maka det!A"(.

%. 2ika Aadalah transpose matriks A, maka det!A"det!A".

. 2ika Aadalah matriks yang diperoleh bila suatu baris

elemen matriks A dikalikan dengan konstanta k, maka #

det!A"k det!A"

0. 2ika Aadalah matriks yang diperoleh bila dua baris elemen

matriks A dipertukarkan, maka #

det!A"det!A"

4. 2ika Aadalah matriks yang diperoleh bila kelipatan dari

suatu baris elemen matriks A, ditambahkan ke suatu baris

elemen yang lain, maka #

det!A"det!A".

atatan

*perasi-operasi terhadap suatu matriks berikut #

1. Mengalikan suatu baris elemen dengan bilangan k(

5

( )

..%11%.%%.11.1%%1.

.%%11..1%.1%..%%11

.%.1

%1

1%11

...%.1

%.%%%1

1.1%11

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aa

a

aa

aaa

aaa

aaa

Adet

++=

=

+


7/22


%. Menukarkan suatu baris dengan suatu baris lainnya

. Menambahkan k kali suatu baris ke suatu baris lainnya,disebut #perasi (aris Elementer(elementary row

operations). *perasi serupa jika dikerjakan pada kolom-

kolom suatu matriks disebut *perasi 3olom Elementer.

3.3. Invers Matriks

Definisi )&iketahui A sebarang matriks bujur-sangkar. 2ika dapat

ditemukan matriks A-1sedemikian hingga AA-1A-1A',

dengan ' matriks identitas, maka A dikatakan invertibledan

matriks A-1disebut in:ers matriks A.

Teorema %

1. 2ika + dan masing-masing in:ers matriks A, maka +.

%. Matriks A invertiblejika hanya jika det!A"(.

. 2ika A invertible, maka det!A-1"1;det!A".

0. 2ika An8ndan +n8ninvertiblemaka !A+"-1+-1A-1

4. 2ika A invertible, maka A-1juga invertibledan !A-1"-1A.

Definisi *

&iketahui A suatu matriks bujur-sangkar ukuran nn.

1. Matriks

=

nn%n1n

n%%%%1

n11%11

---

---

---

"A!-

, ijkofaktor elemen aij

disebut Matriks 3ofaktorA.


8/22


%. Adjoin matriks A disimbolkan Adj!A", didefinisikan #

Adj!A"!!A""

Teorema ) #

2ika A invertible, maka ( ) ( )AAdj

Adet

1A 1 =

&engan teorema 4 tersebut, maka in:ers suatu matriks dapat

dicari dengan determinan dan adjoinnya.

ontoh

=

(0%

.51

1%.

A , diperoleh #

det!A"50

=

= 1515151(%5

1%01%

"A!Adj,

151(1%

15%0

1551%

"A!-

=

=

010101

.%4.%1.%.

15.15115.

151515

1(%5

1%01%

50

1A 1

'n:ers suatu matriks !jika ada" juga dapat dicari melalui

serangkaian operasi baris elementer, seperti dinyatakan teorema

berikut ini.

Teorema *

2ika matriks Anndapat ditransformasi menjadi matriks

'dentitas ' melalui serangkaian operasi baris elementer,

maka matriks A nonsingular. $angkaian operasi baris yang

=


9/22


mentransformasi A menjadi ' tersebut akan

mentransformasi ' menjadi A

-1

.

'lustrasi teorema # ( )

1A''A elementerbarisoperasi

ontoh #

Akan dicari kembali in:ers matriks

=

(0%

.51

1%.

A

( )

=

+ +

1(.%

(1.1

((.1

.%.15(

.1(.15(

.1.%1

1((

(1(((.1

(0%

.51.1.%1

1((

(1(((1

(0%

.511%.

'A

.+1+%%+1+

1+.1

010101

.%4.%1.%.

15.15115.

1((

(1(

((1

01

151

=.

1((

=41(

0.(1

1

151

=.

0((

=41(

0.(1

.%

151

.1

.%.15(

=41(

.1.%1

%+.+=4

1+.+0.

.+01

.+%+.15

1+%+.%

%+15.

++

++

3eterangan # -4;= ++% artinya, -4;= kali baris ke-ditambahkan ke baris ke-%.

2adi diperoleh

=

010101

.%4.%1.%.

15.15115.

A 1 .

&ua matriks A dan + dikatakan Ekui:alen

+aris (row equivalent)jika salah satu dari matriks tersebut

>


10/22


dapat diperoleh dari serangkaian operasi baris pada matriks

lainnya. Suatu matriks dikatakan berada pada +entuk

Eselon +aris ereduksi (reduced row-echelon form)jika

memenuhi #

!i". Pada suatu baris tak nol !tidak semua elemennya nol",

elemen pertama !dari kiri" tak nol adalah 1 !satu".

Elemen tersebut disebut 1 utama.

!ii". &i dalam sebarang dua baris tak nol berurutan, elemen

1 utama di dalam baris lebih rendah, terletak lebih

jauh ke kanan dibandingkan 1 utama pada baris yang

lebih tinggi.

!iii". +aris-baris dengan elemen-elemen semuanya ( !nol"

terkelompokkan bersama-sama di bagian ba/ah

matriks.

!i:". Setiap kolom yang memuat elemen 1 utama, maka

elemen lainnya (.

atatan # Suatu matriks yang hanya memenuhi keadaan !i",

!ii" dan !iii" saja dikatakan berada pada +entuk

Eselon +aris.

ontoh# - Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris

tereduksi

11((

.(1(

4((1

,

1((

(1(

((1

,

((

((,

(((((

(((((

01(((

1(.1(

- Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris

1(


11/22


01((

.41(

4=41

,

1((

(1(

(11

,

11((((

((11((

(54%1(

Eliminasi +a"ss$,ordanadalah serangkaian

operasi baris elementer yang dikerjakan pada suatu matriks

sedemikian hingga diperoleh bentuk eselon baris tereduksi

dari matriks tersebut.

ontoh #

+


12/22


$ank matriks Am8ndisimbolkan $ank!A" adalah bilangan

yang menyatakan jumlah maksimum :ektor-:ektor baris!:ektor-:ektor kolom" matriks A yang independen linear.

Sifat 3 &iketahui Am8n. $ank!A"( hanya bila A*.

Teorema -

&iketahui matriks Am8n!aij"m8ndan A*.

$ank!A"r jika dan hanya jika r adalah bilangan bulat

terbesar sedemikian hingga &et!AB "(, dengan AB r8r

submatriks A.

3eterangan # Submatriks dari suatu matriks A adalah suatu

matriks yang diperoleh dengan menghilangkan

satu atau beberapa baris atau kolom matriks A.

Teorema

&iketahui matriks bujursangkar An8n. Pernyataan-pernyata-

an berikut ini ekui:alen #

(a). A invertible

(b). $ank!A"n

(c). A ekui:alen baris dengan matriks 'dentitas 'n

3.%. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi

1%


13/22


&iketahui matriks bujursangkar Ann. +ilangan disebut nilai

eigen matriks A, jika terdapat :ektor v/sedemikian hinggaAvv

Selanjutnya vdisebut :ektor eigen terhadap nilai eigen .

&iperhatikan bah/a

Avv !A-'"v( ,

dengan ' dan * masing-masing matriks identitas dan matriks

nol.

Cntuk mendapatkan penyelesaian v/,maka harus dipenuhi

det!A-'"(.

Persamaan terakhir biasa disebut persamaan karakteristik. &ari

persamaan karakteristik tersebut akan diperoleh penyelesaian

terhadap dan selanjutnya untuk setiap nilai akan menentukan

suatu :ektor v.

ontoh#

Akan dicari nilai eigen dan :ektor eigen matriks

=

1%1

(15

1%1

A

&ari persamaan karakterisitik

det!A-'"(

(1%1

(15

1%1

=

%-1%(

!0"!-"(

1(, %-0 atau

1


14/22


untuk 1(, diperoleh

!A-'"v(

!A-('"v(

=

(

(

(

:

:

:

(1%1

((15

1%(1

.

%

1

:1-1;1: dan :%-5;1:

diperoleh :ektor eigen v Rt,t13/t6

13/t

agar sederhana, dipilih t -1, sehingga diperoleh :ektor

eigen

v0

13

6

1

&engan cara serupa, untuk %-0 dan dapat diperoleh

:ektor eigen masing-masing

v0

1

%

1

danv0

%

.

%

eorema berikut ini sangat berguna untuk menghitung

matriks berpangkat. disamping itu, dapat pula digunakan untuk

meghitung in:ers suatu matriks !jika ada".

Teorema &2ale$4amilton'

Suatu matriks bujur-sangkar akan memenuhi persamaan

karakteristiknya.

2adi, jika diketahui matriks bujursangkar Ann dengan

persamaan karakteristik #

10


15/22


16/22


mk1k%

3onstanta k1dan k%diperoleh dari substitusi 11 dan %%yaitu # k1!%

m!-1"m"; , k%!%

m!-1"m%"; dan . &engan

demikian #

mk1k% A

m k1Ak%'

!%m!-1"m";FA!%m!-1"m%";F'

untuk m5 !misalnya" diperoleh

==4%1

=0%(A5 .

3.). Terapan

Sistem Persamaan @inear !SP@"

Sistem Persamaan @inear adalah suatu sistem persamaan

linear yang terdiri dari n persamaan dan m peubah #

a1181a1%8%a1n8nb1

a%181a%%8%a%n8nb%

am181am%8%amn8nbm

SP@ tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk perkalian matrik #

AG+

dengan

=

=

=

m

%

1

n

%

1

mn%m1m

n%%%%1

n11%11

b

b

b

+dan

8

8

8

G,

aaa

aaa

aaa

A

Teorema 1/

&iketahui SP@ dalam bentuk matriks AG+, dengan matriks

15


17/22


=

=

=

m

%

1

1m8

n

%

1

1n8

mn%m1m

n%%%%1

n11%11

m8n

b

b

b

+dan

8

8

8

G,

aaa

aaa

aaa

A

.

&iketahui pula AH , matriks imbuhan (augmented matriks).

=

m

%

1

mn%m1m

n%%%%1

n11%11

b

b

b

aaa

aaa

aaa

AH

!a". 2ika $ank!A"$ank!AH

", maka SP@ tersebut palingsedikit mempunyai satu penyelesaian. &alam hal ini

dikatakan SP@ tersebut konsisten.

!b". 2ika $ank!A"$ank!AH"n, maka SP@ tersebut

mempunyai penyelesaian tunggal.

!c". 2ika $ank!A"In, maka SP@ tersebut mempunyai

penyelesaian yang banyaknya takhingga.

Secara umum dapat dinyatakan bah/a suatu SP@ konsisten,

dapat diselesaikan melalui Eliminasi ?auss-2ordan.

+erikut ditinjau SP@ pada teorema 1( untuk kasus mn,

yaitu matriks An8n, Gn81dan +n81dengan A invertible.

Penyelesaian Menggunakan 'n:ers

Melalui operasi matriks, sistem persamaan AG+, dapat

diselesaikan, dengan syarat A suatu matriks invertible

!berdasarkan teorema = maka $ank!A"n" yaitu

AG+ A-1AGA-1+ 'GA-1+ GA-1+.

Penyelesaian Menggunakan &eterminan

1


18/22


Selain in:ers, determinan matriks pun dapat digunakan

untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, sepertidinyatakan oleh teorema berikut.

Teorema 11 &At"ran 2ramer'

2ika AG+ adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari

n persamaan dan n peubah, dan diketahui det!A"( maka

sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian

tunggal

( )( )

( )( )

( )( )AdetAdet

8,,Adet

Adet8,

Adet

Adet8 nn

%%

11 ===

dengan Ak, k1,%,...,n adalah matriks yang diperoleh

dengan menggantikan elemen-elemen kolom ke-k dari

matriks A dengan elemen-elemen matriks +.

ontoh# Akan dicari penyelesaian SP@ berikut #

81%8%-8(

8158%8-0= AG+ , dengan

%81-08%%

=

(0%

.51

1%.

A

,

=

=

.%

0=

(

+dan

8

8

8

G

.

%

1

&engan Eliminasi ?auss-2ordan

Penyelesaian dengan cara ini adalah melalui eliminasi

gauss-jordan pada matriks imbuhan AH . Elemen-elemen

pada kolom terakhir AH setelah proses eliminasi selesai

meyatakan penyelesaian SP@.

1=


19/22


&iperhatikan

=

(0%

.51

1%.

A dan

=

.%

0=

(

+ , maka

=

++

1%=

>

0=

515(

=41(

.51

1%=

100

0=

515(

1(15(

.51

.%

(

0=

(0%

1%.

.51

.%

0=

(

(0%

.51

1%.

AH

%+151

.+1+%%+1+.

1%+

++

++

0

%1.

.

1((

(1(

((1

0

>

5

1((

=41(

0.(1

15

>

5

0((

=41(

0.(1

%+.+=4

1+.+0.

.+01

.+%+15

1+%+5

2adi diperoleh # G

=

0

%1.

.

8

8

8

.

%

1

.

&engan 'n:ers

3arena

=

010101

.%4.%1.%.

15.15115.

A 1 , maka diperoleh

=

==

0

%1.

.

.%

0=

(

010101

.%4.%1.%.

15.15115.

+AG 1

&engan &eterminan !eorema 11"

&ari SP@ di atas diperoleh #

=

(0%

.51

1%.

A , det!A"50

1>


20/22


=

(0.%

.50=

1%(

A1 , det!A1"1>%

=

(.%%

.0=1

1(.

A % , det!A%"-015

=

.%0%

0=51

(%.

A . , det!A"-%45

Maka berdasarkan teorema 11 diperoleh

811>%;50, 8%-015;50-5,4 dan 8-%45;50-0.

2adi G

=

0

%1.

.

8

8

8

.

%

1

.

S#A5$S#A5 5ATI4AN

1. entukan rank matriks-matriks berikut #

=


21/22


%. Ditung in:ers matriks-matriks berikut #

544

0.%

1(%

,

%%1%

%%11

(.%%

%%%(

. &iketahui &et!A"4 dan A suatu matriks ukuran 00. Ditunglah #

&et!A", &et!%A-1" dan &et!!%A"-1"

0. &iketahui matriks-matriks

=

243

412

321

A dan

=

243

k12

321

B

2ika &et!+"% &et!A", hitunglah nilai konstanta k

4. arilah nilai-nilai eigen dan :ektor-:ektor eigen masing-masing

matriks-matriks berikut

%1

04,

1%1

(15

1%1

dan

%(((

0%((

=.1(

11. entukan Ak

, k bilangan bulat positif, jika

%1


22/22

=

%%%

%40

%04

A

1(. &iperhatikan sebuah pelat bujursangkar dengan temperatur

pada masing-masing sisi seperti gambar. Pada beberapa keadaan

tertentu, hampiran temperatur pada titik P1, P%, P dan P0 dapat

dihitung masing-masing dengan rumus#

0

1((1((uuu

0

%((1((uuu

0

%((1((uu

u

0

1((1((uuu

.10

0%.

.1

%

0%1

+++=

+++=

+++=

+++=

a. unjukkan Sistem Persamaan @inear di atas e6ui:alen

dengan persamaan matriks

=

%((

.((

.((

%((

u

u

u

u

01(1

101(

(101

1(10

0

.

%

1

b. Selesaikan persamaan matriks pada bagian a dengan

mencari in:ers matriks koefisiennya.

1//o2

1//o2

1//o2

!//o2

61

6! 63

6%

MATRIKS dan DETERMINAN.doc

Documents

Transcript of MATRIKS dan DETERMINAN.doc