Matrices.pdf

Capítulo 1: Matrices

_______________________________________________________________________________________

1

Capítulo 1

Matrices

Matrices. Definición. Matriz cuadrada. Matriz o vector columna.

Matriz o vector fila. Traza de una matriz. Igualdad de matrices.

Matriz nula. Matrices especiales: matriz triangular, matriz diagonal,

matriz escalar, matriz unidad o identidad. Operaciones con matrices.

Suma y diferencia de matrices, propiedades de la suma. Producto de

un escalar por una matriz, propiedades del producto. Producto de

matrices, propiedades. Matrices conmutativas. Matriz Transpuesta.

Matriz simétrica. Matriz inversa. Propiedades de las inversas de las

matrices. Método para calcular la matriz inversa. Aplicación

práctica. Autoevaluación.

Objetivos:

Valorar la importancia del álgebra matricial y la adquisición

de estrategias para la simplificación de los cálculos.

Identificar los tipos de matrices.

Conocer y adquirir destreza en las operaciones con matrices.

Evaluar la existencia de la inversa de una matriz y determinar

la matriz inversa.


_______________________________________________________________________________________

2

Referencia:

Torres, M.; Esper, L.; Juárez, G. Plaza, F. Iriarte, S. (2010). Matemática II.

Módulo 1. Tópicos de Álgebra lineal. 1ª. ed. Tucumán, EDIUNT. ISBN 978-987-

1366-59-0.


_______________________________________________________________________________________

3

INTRODUCCIÓN

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El

desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley

introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones

lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales,

de ecuaciones diferenciales y de derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de

sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.

La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de

programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc.

MATRICES

Definición de matriz Se llama matriz de orden mxn con n, m N (naturales), a un arreglo rectangular de elementos aij

dispuestos en m filas y n columnas. Si A es una matriz de orden mxn, se representa de la siguiente

manera:

(los elementos aij pertenecen a un cuerpo K, en este curso consideraremos K = R, reales.)

Los números o funciones aij se denominan elementos o componentes de la matriz. Las matrices se

designan, generalmente, con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas.

El elemento aij, situado en la i-ésima fila y j-ésima columna recibe el nombre de elemento

genérico.

Abreviadamente, la matriz se expresa en la forma:

A = (aij), con i =1, 2, ..., m; j =1, 2, ..., n.

Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el

segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 está ubicado en la fila 2 y columna 5.

Observación importante: No debemos confundir elemento genérico aij de una matriz con la

matriz (aij) , aij ≠ (aij)

mnmjmm

inijii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

21

21

222221

111211


_______________________________________________________________________________________

4

Ejemplo 1: En A =

511

732, a23 = 5, a12 = 3, a22 = -1.

En B =

674

412

131

, b13 = 1, b31 = 4, b22 = 1

En la matriz A las m n-uplas horizontales son las filas de la matriz:

y las n m-uplas verticales son las columnas de la matriz: 1ª 2da ... j-ésima … n-ésima columna

Una matriz de m filas y n columnas se dice que es de orden m por n (m x n).

La matriz A se suele llamar “matriz m x n, de elementos aij” o “matriz m x n, A = (aij)”.

En el Ejemplo 1, la matriz A tiene 2 filas y 3 columnas, por lo tanto es una matriz 2x3, y la matriz

B, tiene 3 filas y 3 columnas, es de orden 3x3.

Ejemplo 2: A = (3 -4 5 1)1x4

1ª fila

2ª fila

i-ésima fila

m-ésima fila

mnmjmm

inijii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

21

21

222221

111211

mnmjmm

inijii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

21

21

222221

111211

Matriz o vector fila: Es una matriz que sólo tiene una fila, es decir, m = 1 y por tanto es de orden 1xn.

A = (a11 a12 ... a1n)

Matriz o vector columna: Es una matriz que sólo tiene una columna, es decir, n = 1 y por

tanto es de orden m x1.

1

1

11

...

...

m

i

a

a

a

A


_______________________________________________________________________________________

5

Ejemplo 3:

157

5

1

4

2

x

A

En estos casos se acostumbra a decir que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Así una

matriz de dos filas y dos columnas es una matriz de orden 2.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y

los elementos aij con i + j = n +1, la diagonal secundaria.

Ejemplo 4: La matriz B =

674

412

131

dada en el ejemplo 1, es una matriz cuadrada de orden 3, la

diagonal principal está formada por los elementos: b11 = 1, b22 =1 y b33 =6 y la traza B=1+1+6= 8.

Los vectores filas de la matriz B, son: (1, 3, 1); (2, 1 ,4) y (4, 7, 6) y sus vectores columnas

son:

7

1

3

;

4

2

1 y

.

6

4

1

En el caso de matrices de orden 2, diremos que:

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

,

,

baba

babaigualesson

bb

bbB

aa

aaA

Matriz Cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir

m = n.

Traza: Se llama traza de una matriz cuadrada A, a la suma de los elementos de la diagonal

principal.

traza A nnaaa 2211

Igualdad de Matrices: Dos matrices A = (aij) y B = (bij) son iguales (A = B) si y sólo si ellas

tienen el mismo orden y los elementos correspondientes iguales.

A = B aij = bij , ( i = 1,2,...m; j = 1,2,...n )

Matriz nula: Es aquella que tiene todos sus elementos iguales a cero y se representa por O.

jiooO ijij ,0;


_______________________________________________________________________________________

6

Ejemplos 5:

La matriz O

000

000

000

es la matriz nula de orden 3.

La matriz O =

0000

0000 es la matriz nula de orden 2x4.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un

mismo lado de la diagonal principal.

Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Ejemplo 6:

201

033

001

A triangular inferior

200

130

201

B triangular superior

Si una matriz es simultáneamente triangular inferior y superior, se dice, matriz diagonal. Por lo

tanto, es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal

son nulos.

Ejemplo 7:

300

020

001

,20

03BA

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos

nulos. Es decir:

A es una matriz triangular superior aij = 0 para todo i > j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos

nulos. Es decir:

A es una matriz triangular inferior aij = 0 para todo i < j.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales

a un escalar k (kR), o sea:

A es una matriz escalar A es diagonal y aij = k para todo i = j.


_______________________________________________________________________________________

7

Ejemplo 8:

200

020

002

,30

03CB

Ejemplo 9:

100

010

001

,10

0132 II

OPERACIONES CON MATRICES

Adición y Sustracción de Matrices: La adición (sustracción) A+B (A-B) de dos matrices A = (aij)

y B = (bij) del mismo orden o dimensión, es otra matriz C = (cij) del mismo orden, cuyos elementos

se obtienen sumando (restando) los elementos correspondientes de las matrices dadas cij = aij + bij

( cij = aij - bij) para todo i y todo j, o sea:

Ejemplos 10:

i)

24

51

2013

32)2(1

21

32

03

21

ii) La siguiente suma no tiene solución por tratarse de dos matrices que no son conformables para

la suma, ya que el orden de la primera matriz es diferente al orden de la segunda.

3322 310

423

512

12

10

xx

Por tanto, para sumar dos matrices deben ser del mismo orden. Dos matrices del mismo orden

se dicen conformables para la adición (suma) o sustracción (diferencia). Dos matrices de

diferentes órdenes no pueden sumarse ni restarse.

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar nI , con los elementos de la diagonal

principal iguales a 1.

jisi

jisieeI ijijn

,0

,1donde, con i = 1,2,…,n; j = 1,2, …,n

Definición: A + B = C, tal que C = (cij) con cij = aij + bij para todo i, j

(orden de A = orden de B)

A - B = C, tal que C = (cij) con cij = aij - bij para todo i, j


_______________________________________________________________________________________

8

Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)

3. A + O = A (O es la matriz nula)

4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el

nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = O.

La diferencia de matrices A y B se representa por A – B, y se define como: A – B = A + (–B)

5. A + A + A + … + A = k. A

La suma de k matrices A es una matriz del mismo orden que A y cada uno de sus elementos es k

veces el correspondiente elemento de A. Si k es cualquier escalar entonces k.A = A.k lo que indica

la matriz obtenida de A multiplicando cada uno de sus elementos por k.

Ejemplo 11:

0000)1()1()1()1(

22221111

01

21

01

21

01

21

01

21

01

214

0.4)1.(4

2.41.4

Producto de una matriz por un escalar

El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) del mismo orden

que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir,

Ejemplo 12:

9312

036

3.31.34.3

0.31.32.3

314

012.3

El producto de la matriz A por el número real k se designa por (k.A) al número real k se le llama

también escalar, y a este producto, producto de un escalar por una matriz.

B = k.A tal que bij = k · aij para todo i, j.


_______________________________________________________________________________________

9

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva respecto de la suma de vectores)

2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva respecto de la suma de escalares)

3. k [h A] = (k h) A= (h k) A= h (k A) (propiedad asociativa mixta)

4. 1·A = A

Otras Propiedades

1. A + C = B + C A = B.

2. k A = k B A = B, si k es distinto de 0.

3. k A = h A h = k, si A es distinto de 0 (matriz nula).

PRODUCTO DE MATRICES

Matrices multiplicables: Dadas dos matrices Amxn y Bpxq, ellas se dicen multiplicables sii n = p, es

decir, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B para poder multiplicar A.B

en ese orden.

Así: Amxp x Bpxn = Cmxn

B

434241

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

bbb

A

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

= C

Definición: El producto de la matriz A = (aij), de orden m x p, por la matriz B = (bij), de orden

p x n, es una matriz C = (cij) de orden m x n, donde

cij = ai1 b1j+ ai2 b2j+ ... +aip bpj

p

k

kjik ba1

. , ( i = 1,2 ,...,m; j = 1,2,...,n).

434241

333231

232221

131211

ccc

ccc

ccc

ccc


_______________________________________________________________________________________

10

Si A es conformable con B para la multiplicación (AB esta definida), B no necesariamente debe ser

conformable con A para la multiplicación, BA puede no existir y si existiera puede ser igual o no a

AB.

Ejemplo 13:

32332211

332211

32321

321

22 xxxubtaubtaubta

sbrasbrasbra

bbb

aaa

ut

sr

Observación: Para el producto de una matriz A de orden m x p por una matriz B de orden p x n,

podemos pensar en A como un conjunto de m filas y a B como n columnas, para obtener C = AB;

cada fila de A se multiplica por cada columna de B. El elemento cij de C es entonces el producto de

la i-ésima fila de A por la j-ésima columna de B.

Ejemplo 14:

Sea A = maaaa 1131211 ... una matriz de orden 1x m y B =

1

31

21

11

...

mb

b

b

b

una matriz de orden mx1

por lo tanto la matriz C = A.B será la matriz de orden 1x1

Así, C = maaaa 1131211 ... .

1

31

21

11

...

mb

b

b

b

= 11311321121111 ... mmbabababa =

m

k

kk ba1

11 .

Ejemplo 15: a) 11

13

31 72.4)1(31.2

2

1

1

432 x

x

x

b) 01266

3

6

2

413

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. En

cuyo caso se dice que el producto AB esta definido o que A es conformable con B para la multiplicación.


_______________________________________________________________________________________

11

Ejemplos 16:

El siguiente producto no tiene solución por tratarse de dos matrices que no son conformables para el

producto, ya que el número de columnas de la primera matriz es diferente del número de filas de la segunda.

32

13

103

112

1

1

2

x

x

Propiedades del producto de matrices

1. A·(B·C) = (A·B)·C (propiedad asociativa)

Ejemplo 17: Sea

43

21

35

11ByA . Demostraremos que A.B ≠ B.A

1523

711

35

11

43

21

2214

64

43

21

35

11

B.A

A.B

1523

711

2214

64

Dada A y B, ambas de orden n, existen los productos A.B y B.A pero en general A.B B.A

3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A .In = In .A = A.

4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que

A . B = B . A = I. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se

representa por A–1

.( o A = B –1

)

5. El producto de matrices es distributivo por izquierda respecto de la suma de matrices, es

decir:

A . (B + C) = A . B + A . C

Consecuencias de las propiedades

Ejemplo 18: A . B = O con A O y B O

00

00

01

00

00

01

2. El producto de matrices en general no es conmutativo. (A.B ≠ B.A)

1. Si A . B = O no implica que A = O ó B = O.


_______________________________________________________________________________________

12

2. Si A .B = A .C no implica que B = C.

Ejemplo 19: A . B = A . C con B C

23

00

00

01

01

00

00

01

3. (A+B)2 = A

2 + B

2 +2AB A .B = B . A.

(A + B) (A + B) = A . A + AB + B.A +B.B si A . B = B .A (A + B)

2 = A

2 + B

2 +2AB

4. (A + B).(A – B) =A2 – B

2 A . B = B . A.

Dada una matriz cualquiera A se verifica que A x I = I x A = A.

De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

Ejemplo 20: Si A =

023

721 A

t =

07

22

31

Propiedades de la transpuesta de una matriz:

Si At y B

t son las transpuestas de A y B respectivamente, y k un escalar, entonces

a) (At)

t = A b) (kA)

t= k A

t

c) ( A + B ) t

= At + B

t d) (AB)

t = B

t A

t

Ejemplo 21: B =

23

31 ; B

t =

23

31 por ser B = B

t podemos afirmar que B es simétrica.

Matrices Conmutativas: Si A y B son dos matrices tales que AB = BA, entonces A y B son

conmutativas o simplemente podemos decir que conmutan.

Matriz transpuesta: Dada una matriz A, se llama transpuesta de A, y se representa por At, a la

matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de A

t, la segunda fila de A es la segunda columna de A

t, etc.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica sii A = At, es decir:

A es una matriz simétrica aij = aji i, j.


_______________________________________________________________________________________

13

En el ejemplo anterior B es la inversa de A y A la inversa de B.

Como B = A–1

nIAAAA 11

Propiedades de la inversión de matrices

1. La matriz inversa, si existe, es única.

Demostración: Sea A una matriz inversible, es decir, existe A-1

. Suponemos que

A-1

sea igual a B y también a C o lo que es lo mismo

C

BA 1 por lo tanto

la inversa no es única.

Por definición sabemos que si tanto B como C son inversas de A

IACCA

IABBA

..

.. ; por otro lado podemos decir C = C.I = C (A.B) = (C.A).B = I .B

= B C = B o sea la inversa es única.

2. A-1

. A = A . A-1

= I

3. (A .B) –1

= B-1

. A-1

4. (A-1

) –1

= A

5. (kA) –1

= (1/k).A-1

6. (At)

–1 = (A

-1)

t

Observación

i) Si 1

ABC

IC.A

yIA.B . Demostración: C = C. I

(*) = C (A.B)

(**) = (C.A).B

(**) = I . B

(*) = B

(*) Propiedad de la matriz unidad (identidad). (**) Propiedad asociativa del producto de matrices

ii) Existen matrices A y B tales que A .B = I, pero que B . A I, en tal caso, podemos decir que A es

la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".

Toda matriz cuadrada que admite inversa se denomina inversible, regular o no singular en

caso contrario se dice que es singular.

Matriz Inversa: Si A y B son matrices cuadradas tales que AB = BA = I, entonces B se

denomina matriz inversa de A, y escribimos B = A-1

( B es igual a la inversa de A). La matriz B tiene también a A como su matriz inversa.


_______________________________________________________________________________________

14

Método para calcular la matriz inversa de una matriz dada

Dada la matriz A =

11

12 buscamos una matriz desconocida

dc

baA 1 que cumpla con la

condición A . A-1

= I, es decir

10

0122

.1.1.1.1

).1(.2).1(.2

11

12

dbca

dbca

dbca

dbca

dc

ba

Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:

1

02

0

12

db

dby

ca

ca

,3/1131)(212

aaaa

ac

ca y por lo tanto, como 3/1 cac

3113121

2/bbb)(b

db

db

y por lo tanto, como 3/22 ddb .

3/23/1

3/13/1

3/23/1

3/13/1

dc

ba

dc

ba

La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar

que también cumple A-1

. A = I, con lo cual es realmente la inversa de A.

APLICACIÓN PRÁCTICA

Una señal de radio transmitida por una estación puede ser retransmitida por estaciones vecinas las

cuales formando una cadena pueden llevarla hasta los confines más remotos.

Cuando el número de estaciones retransmisora aumenta, puede ser difícil determinar si la señal que

sale de una estación puede llegar a otra directamente o al menos utilizando algunos relevos.

Suponiendo que las estaciones 1, 2, 3, 4, 5 y 6 establecen canales de comunicación como los que

muestra la siguiente figura:

Se desearía determinar si una señal transmitida por una estación puede llegar a otra.

En la figura anterior puede observarse que la estación 1 está aislada de las otras estaciones y que la

estación 3 no puede enviar señal a la estación 2, pese a que puede recibir señal de aquella.

1 2

3 5

4 6


_______________________________________________________________________________________

15

Algunas estaciones tienen comunicaciones de doble vía. Se puede observar que la estación 2 puede

enviar señales a la estación 6 utilizando las rutas:

2346, 2356, 256, 25346

Sea C la matriz de las comunicaciones directas, la cual condensa toda la información del grafo

anterior.

La matriz C = (cij)6x6, ha sido definida de tal manera que cij = 1, para i j, si la señal de la i-ésima

estación es reducida directamente por la j-ésima estación.

Por definición cii = 0 para todo i ( no se acepta retransmisión de una estación a sí misma).

Para averiguar cuáles estaciones se pueden comunicar entre sí enviando sus señales por intermedio

de otras estaciones (relevos), se observará un elemento en la matriz C2. Por ejemplo el elemento

situado en la 2da. fila, 4ta. columna de C2, tal elemento es:

c21. c14 + c22.c24 + c23.c34 + c24. c44 + c25.c54 + c26.c64

Cada elemento c2k.ck4 de la suma anterior es 0 o 1. Además c2k.ck4 es 1 sólo en el caso de que c2k = 1

y ck4 = 1. Es decir, sólo en el caso de que la señal de la estación 2 puede ser transmitida a la estación

4, pasando por la estación intermedia k.

En consecuencia, la suma anterior, cuenta de cuántas maneras se pueden enviar la señal de la

estación 2 a la estación 4, utilizando exactamente una estación como intermedia (un relevo).

Se asume de nuevo que los elementos de la diagonal de C2, se reemplazan por ceros.

Por un razonamiento similar se concluye que cada elemento de la fila i, columna j, de C3, da

exactamente el número de maneras como la señal de la estación i puede llegar a la estación j,

utilizando exactamente dos relevos.

Verificando el caso de C2.

6

5

4

3

2

1

654321

001000

100100

100000

011000

010100

000000

RECEPTORES

E

M

I

S

O

R

E

S


_______________________________________________________________________________________

16

C2 = (bij) =

001000

100100

100000

011000

010100

000000

.

001000

100100

100000

011000

010100

000000

=

En tal matriz, b36 = 2, ya que las cadenas que se pueden utilizar para enviar la señal de la estación 3

a la estación 6, a partir del grafo inicial, utilizando exactamente un relevo son:

356 y 346

Mientras que b26 = 1, ya que la única cadena que lleva la señal de la estación 2 a la estación 5,

utilizando exactamente un relevo es:

235.

El elemento C23,3 = 1, está informando de la cadena: 353; dependiendo del problema, esta

cadena puede o no tenerse en cuenta. En este caso se decide eliminarla ya que no se quiere que se

estorbe este tipo de transmisión tipo eco.

Similarmente, el elemento en la posición i, j de C3 dice de cuántas maneras se puede enviar la señal

de la estación i a la estación j utilizando exactamente 2 relevos.

En general, el elemento en la posición i, j, fila i, columna j de Ck, para cualquier k, cuenta de

cuántas maneras, la señal de la estación i puede llegar a la estación j, utilizando exactamente (k-1)

relevos.

Se concluye por lo tanto que el elemento en la posición i, j de C + C2 nos da el número de maneras

como la señal de la estación i puede ser transmitida a la estación j, utilizando a lo más un relevo.

En general, el elemento en la posición i, j de C + C2 + C

3 + C

4 + … + C

k señala el número de

maneras como la señal de la estación i puede llegar a la estación j, utilizando a lo más (k-1) relevos.

6

5

4

3

2

1

654321

100000

012000

001000

200100

111100

000000


_______________________________________________________________________________________

17

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Una compañía extrae Mineral metalífero de manera económica (mena). El número en gr.

(gramos) de los minerales A y B que se pueden extraer de cada tonelada de la mena I son 150 gr y

250 gr; y de la mena II son 225 gr y 55 gr. Ordene esta información en un arreglo rectangular.

2.- En un estudio petrológico y geoquímico de vulcanitas del área de la Cordillera Nordpatagónica,

se muestrearon 3 tipos de rocas diferentes, y se efectuó el análisis de 4 características

composicionales en la muestra, dando los contenidos porcentuales de dióxido de Silicio (SiO2),

cuyos valores son 55.18, 59.67 y 59.57; para el óxido de Hierro III (Fe2O3): 1.42; 1.15; 2.43; para

el óxido de Magnesio (MgO): 0.82; 2.37; 2.54; y para el óxido de Potasio (K2O): 1.48; 2.14; 1.90.

Utilice una matriz para presentar la información obtenida.

3.- Sea la matriz A =

321

402

111

,

a) Diga cuál es el elemento que esta:

i) en la 1a fila, 3

a columna, ii) en la 2

a fila, 1

a columna, iii) en la 3

a fila, 3

a columna,

b) Describa las filas y las columnas de A, como vectores.

c) Obtenga los elementos de su diagonal y su traza.

4.- Escriba una matriz que reúna las siguientes características:

i) nula de orden 2x1 ii) diagonal de orden 3

ii) opuesta de

21

5,01 iii) unidad de orden 3

5.- Escriba las matrices definidas por:

a) A3x4 / aij = i – j b) B1x3 / bij = j – i c) D5x1 / dij = 3i – j2

d) C3x2 / cij = 2 i – j2 e) I3x3 / eij =

jisi

jisi

0

1 f) P2x2 / pij = 0 i,j

6.- i) Establezca si son iguales las matrices siguientes y justifique su respuesta:

a)

01

5,01 y

18/2/

2/2cos2

sensen

sen

b)

22

2

0

1

ba

ba y

00

012 22

baba

baba

c)

210log4ln

101,0log4.2log

012log 3

e

y

22/81

ln24log2log

1log3log3/2log91

3

e

ii) Determine, si existen, todos los valores reales de las variables para los cuales, las

igualdades siguientes sean válidas:


_______________________________________________________________________________________

18

a)

12

54

27

152

zyx ; b)

2

5

2

5

y

z

z

y ; c)

14

332

6

mn

y

d)

0

1

6

32

xy

yx; e)

28

1910

2

2

yyx

yxyx

7. i) Dada B =

103

211

24/123 , obtenga los elementos de su diagonal y su traza.

ii) Escriba una matriz de orden 4, tal que su traza sea igual a 0.

8.- Identifique las matrices que sean diagonal, escalar y/o triangular:

25

03A ;

2

2

1

1

y

yB ;

31

13

x

xC ;

c

b

a

G

00

00

00

;

211

512

123

H ;

600

210

345

I

9.- i) Efectúe, en caso de ser posible, el cálculo indicado con las matrices A, B y C

37

64

11

;

57

41

02

;

21

52

31

CBA

a) 3A, b) A+B, c) 2C-5A, d) 2A-3B +4C, e) 0.B (0: cero escalar)

ii) Encontre una matriz D tal que: 2A +B – D sea igual a la matriz nula de orden 3x2.

iii) Determine los números reales x e y tal que:

1

02

y

yx +

16

01

x =

03

05x

10.- Sea la matriz B =

401

153=

2

1

B

B= [B

1 B

2 B

3], donde Bi expresa las matrices filas y

Bi , (i = 1, 2, 3 ) las matrices columnas.

Calcular: X = 3B1-2B2 (Combinación lineal de las matrices filas B1 y B2 ) ;

Y = 2 B1 + B

2 - 4B

3 (Combinación lineal de las matrices columnas B

1 ,B

2 y B

3)


_______________________________________________________________________________________

19

11.- Dadas

t

A

1

0

1

; B=

1

3

2

;

312

101C ,

100

012D , y

10

30

01

E

a) Efectúe, si es posible los siguientes productos: A.B, A.E, B.C; D.E; E.A y C.B .

b) Calcule: D.E y D.F, si: 221 D , tE 242 y

t

F

120

101

12.- Verifique que el producto del par de matrices dadas, da como resultado la matriz nula y saque

conclusiones:

i)

112

213

523

A ,

321

321

321

B , ii) C= ,12

24

D=

186

93

13.- Determine los productos A.B y B.A en caso de existir:

i)

012

223

111

A ,

321

642

321

B ; ii)

431

541

532

A ,

531

531

531

B

iii) A = (1 2 3) ,

1

3

2

B iv) A = (1 4 0 2) ,

10

30

01

B

14.- a) Determine Ak , para k = 1, 2 3; si

i) A =

02

11, ii) A =

31

62, iii)

431

510

216

A

15.-Las rocas se pueden asignar a sistemas químicos generales (hay siete), y a otros subsistemas

(más numerosos).

Como ejemplo, un sistema simple está formado por tres óxidos componentes, que son: SiO2

(dióxido de silicio), Mg O (oxido de magnesio) y H20 (agua).

Como producto de una combinación lineal de estos sólidos, aparecen en este sistema una serie de

minerales tales como Brucita, Forsterita, Talco, Enstatita, etc.

Según cuales sean los coeficientes (números de moles), de la combinación lineal de dichos óxidos,

se tendrá el mineral correspondiente. Por ejemplo:

Talco = 4 [SiO2] + 3 [Mg O] + 1 [H20]; en forma matricial Talco = 134 .

0H

O Mg

SiO

2

2

En particular, es posible aplicar el concepto de combinación lineal, tanto a las filas como columnas

de una matriz, ya que tanto unas como otras, son también matrices.


_______________________________________________________________________________________

20

Un producto de matrices permite armar fácilmente una tabla con los minerales de este sistema.

El primer factor es la “matriz de composición” en

término de moles, el segundo es la matriz de los

óxidos componentes, mientras en la matriz del

segundo miembro se tienen los minerales obtenidos.

Escribir cada mineral como una combinación lineal de los tres óxidos.

16.- Dadas las matrices, A, B y C, verifique que AB = BA = 0; AC = A ; CA = C y saque

conclusiones:

431

541

532

A

531

531

531

B y

321

431

422

C

17.- i) ¿Cuánto debe valer x para que la matriz

52

13

x

x sea simétrica?

ii) Escriba dos matrices de orden 3 que sean simétricas.

18.- a) De dos ejemplos de : i) matrices triangular superior de orden 3 y triangular inferior.

ii) de orden 4 que sea diagonal pero no escalar

iii) de orden 4 que sea triangular superior y tal que ija sea par.

b) Determine si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

i) El producto de matrices triangulares es triangular

ii) El producto de matrices triangulares del mismo orden es triangular del mismo orden.

19.- Averigue si AB = BA = I

i)

302

010

111

A ,

122

010

133

B ii)

41

32A ,

101

223B

iii)

012

123

111

A ,

321

642

321

B

20.- Dadas las matrices:

302

010

111

A ,

122

010

133

B . Verifique que:

a) (A + B) t = A

t + B

t b) (A.B)

t = B

t.A

t c) (k.A)

t = k. A

t

;

)(

)(

)(

)(

EnstatitaEn

TalcoTlc

BrucitaBrc

ForsteritaFo

0H

O Mg

SiO

2

2

022

134

110

021


_______________________________________________________________________________________

21

AUTOEVALUACION

1. Defina el concepto de Matriz, y caracterice simbólicamente.

2. ¿Qué significa que las matrices A y B sean conformables para la suma o para el producto?

3. ¿Por qué la multiplicación de matrices no es conmutativa?

4. Sean A, B matrices cuadradas de orden n. Diga si las siguientes afirmaciones son

verdaderas o falsas, justificando en cada caso:

(a) (At + B

t)t = A

t + B

t.

(b) (At + B)

t = B

t + A.

(c) (AtB)

t = AB

t.

5. Enuncie tres propiedades algebraicas de las matrices cuadradas.

6. Sean A y C matrices cuadradas de orden n, si A .C = O (matriz nula) se puede deducir que

A = O o C = O ? Justifique.

7. Defina matriz adjunta.

8. ¿Cuándo una matriz es inversible, o sea, bajo que condiciones admite inversa? Indique

cómo determinaría, en caso de que exista, la inversa de una matriz.

9. Enuncie por lo menos dos propiedades de la inversión de matrices.

10. ¿Es siempre válido que (A+B)2 = A

2 + B

2 + 2 AB? Justifique.

Matrices.pdf

Documents

Transcript of Matrices.pdf