Matrice ABCD

I coefficienti A e D sono adimensionali, B è un’impedenza e C un’ammettenza

1V1I

2V2I

2

2

1

1ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

I

V

DC

BA

I

V

Definibile solo per un numero pari di porte

Reciprocità (2 porte) se det(ABCD)=AD-BC=1

Per un circuito simmetrico vale anche A=D Assenza di perdite: A e D reali, B e C immaginari puri

Reciprocità (2N) se AD-BC=I dove I matrice identità

Matrice ABCD Normalizzata

In tal caso tutti i coefficienti sono adimensionali

011 /ˆ ZVv

011ˆ ZIi

022ˆ ZIi

022 /ˆ ZVv

2

2

1

1

i

v

dc

ba

i

v

Matrice di diffusione (S) di un 2 porte Definiamo quantità legate alle ampiezze delle onde incidenti e riflesse

022022

011011

//

//

2222

1111

ZVvb ZVva

ZVvb ZVva

In tal caso vale (se consideriamo le tensione e le correnti normalizzate alle due porte)

22222

1111

22

11

iiba vba

iba vba

2

1

2221

1211

2

1

a

a

ss

ss

b

b

La matrice S è quella che lega le ampiezze delle onde riflesse a quelle delle onde incidenti

Matrice di diffusione (S) di un 2 porte

Cioè, s11 è legato al coefficiente di riflessione alla porta 1 quando la due è chiusa su carico adattato (non c’è onda riflessa a2);

1a

2b1b

2a

011112

/ aabs

022221

/ aabs

021121

/ aabs

012212

/ aabs Cioè, s21 è legato al coefficiente di trasmissione dalla porta 1 alla porta 2 quando la due è chiusa su carico adattato

2

1

2221

1211

2

1

a

a

ss

ss

b

b

La matrice S è definita quindi solo quando si specifichino le impedenze caratteristiche delle linee che portano l’onda ai terminali dell’oggetto da caratterizzare, ovvero le impedenze di normalizzazione

La matrice S si definisce perché misurabile anche (e soprattutto) a frequenze di microonde

Matrice di diffusione (S) di un n porte definiamo

bbb NT ,..,, 21b aaa N

T ,..,, 21a

con Z

Vb

i

-i

i0

Z

Va

i

ii

0

Oppure (il che è lo stesso)

ZIb i-

ii 0 ZIa iii 0

La matrice S èSab

I cui elementijkseaj

iji

k

a

bS

0

,

jkseVii

ji

k

ZV

ZV

00

0

Notate che, nel caso molto comune di normalizzazione di tutte le porte ad una sola impedenza caratteristica (tipicamente 50 ) questa diventa

jkseVi

iji

kV

VS

0

, Cioè proprio i coefficienti di riflessione e trasmissione quando le porte sono chiuse sull’impedenza di normalizzazione

Matrice di diffusione (S) di un n porte Ma perché usare tale normalizzazione? Se calcoliamo la potenza media che incide

alle porte

Z

VP

i

i

i0

2

2

1

ai2

2

1

E la potenza riflessa

Z

VP

i

i

i0

2

2

1

bi2

2

1

Quindi con tale definizione le quantità sono legate all’energia trasportata dal campo elettromagnetico

La potenza netta entrante nel circuito sarà pari alla differenza tra potenza incidente e riflessa, sommata su ciascuna porta

i

ii PPP i

ii ba22

2

1 bbaa 2

1

Ma sappiamo che Sab Sab quindi

aSSIaSaSaaa 2

1

2

1P

Matrice di diffusione (S) di un n porte In assenza di perdite, tale potenza deve essere nulla per qualunque insieme di

eccitazioni a per cui

0 SSI ISS Condizione di assenza di perdite (Unitarietà di S)

La reciprocità invece implica che S sia simmetrica SS T

Consideriamo un due porte simmetrico e senza perdite: vediamo qual è il numero minimo di parametri necessari a caratterizzarlo; la matrice S è 2x2

1112

1211

ss

ssS

Nel definire la matrice S, dobbiamo specificare il piano di riferimento di fase si ciascuna porta: in pratica dobbiamo per esempio specificare in un dispositivo ad una porta, in quale sezione della linea di alimentazione il coefficiente di riflessione è misurato. Se la linea è senza perdite, il cambiamento della sezione comporterà solo un cambiamento della fase del coefficiente di riflessione

Possiamo quindi sempre scegliere un piano di riferimento per cui la fase di s11 sia zero, cioè s11 sia reale

12

12

s

sS

Proprietà di un 2 porte simmetrico senza perdite La condizione di assenza di perdite porta a

0

1

*1212

212

2

SS

s

0Re2 12 S jS 12

122

Possiamo porre, parametrizzando

cos sin con /tanarc

Quindi abbiamo un solo parametro indipendente

Proprietà di un 3 porte simmetrico, reciproco, senza perdite Immaginiamo di avere un 3 porte con simmetria rotazionale, così che s11=s22=s33

Anche in questo caso scegliamo il piano di riferimento per ottenere s11 reale; la matrice diventa

1212

1212

1212

SS

SS

SS

S

Imponendo l’assenza di perdite otteniamo

100

010

001

1212

1212

1212

*12

*12

*12

*12

*12

*12

SS

SS

SS

SS

SS

SS

0

12

212

*1212

212

2

SSS

S

2

1 22

12

S

02

1)Re(2

2

12

S

Che NON AMMETTE SOLUZIONI PER =0

Proprietà di un 3 porte simmetrico, reciproco, senza perdite Quindi un tre porte simmetrico, reciproco e senza perdite non può essere adattato

simultaneamente a tutte le porte

Può esserlo, invece, un 3 porte non reciproco, o uno con perdite

0

0

0

3231

2321

1312

SS

SS

SS

111

0002

322

312

232

212

132

12

13*

1223*

2132*

31

SSSSSS

SSSSSS

Un particolare 3 porte non reciproco estremamente importante nella pratica è il circolatore

Di fatti possiamo dimostrare che 3 porte adattato, senza perdite non reciproco è necessariamente un circolatore

Infatti la matrice S di un 3 porte adattato è

Imponendo l’assenza di perdite otteniamo le equazioni

Che sono soddisfatte se

10 133221312312 SSSSSS Oppure se

10 312312133221 SSSSSS

Chiaramente non reciproco

Circolatore Le due possibili soluzioni corrispondono a due possibili circolatori, uno che consente

flusso di potenza in senso orario e l’altro in senso antiorario

La prima soluzione quindi descrive un circuito che trasmette potenza dalla porta 1 alla 2, o dalla 2 alla 3 o dalla 3 alla 1, ma non in direzione opposta o tra porte non contigue

00

00

00

3

2

1

j

j

j

e

e

e

Esempio possibile utilizzo: radar in cui la stessa antenna è usata sia in trasmissione che in ricezione

1 2

3

00

00

00

3

2

1

j

j

j

e

e

e 1 2

31 2

3

TX

RX

Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte In tal caso la matrice è

0

0

0

0

342414

342313

242312

141312

SSS

SSS

SSS

SSS

Imponiamo l’assenza di perdite

1000

0100

0010

0001

0

0

0

0

0

0

0

0

342414

342313

242312

141312

*34

*24

*14

*34

*23

*13

*24

*23

*12

*14

*13

*12

SSS

SSS

SSS

SSS

SSS

SSS

SSS

SSS

024*

1423*

13 SSSS

023*

2413*

14 SSSS

024*

1423*

13*

24 SSSSS

023*

2413*

14*

13 SSSSS

E sottraendo 02

242

13*

14 SSS

034*

1423*

12 SSSS

023*

3412*

14 SSSS

034*

1423*

1212 SSSSS

023*

3412*

1434 SSSSSE sottraendo 0

234

21223 SSS

Le due possono essere soddisfatte se S14=S23=0: ACCOPPIATORE DIREZIONALE

I prodotti per gli elementi diagonali danno poi

11112

342

242

342

132

242

122

132

12 SSSSSSSS

Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte

Che implica 34122413 SSSS

Possiamo scegliere il piano di riferimento in modo che S12 sia reale

3412 SSInoltre, considerando che S13 ed S24 hanno stesso modulo, in forma polare scriviamo

jeS 13

jeS 24

Ora valutiamo l’equazione che viene dal moltiplicare riga 2 e colonna 3

034*

2413*

12 SSSS

Cioè, sostituendo

0 jj ee 0 jj ee 0 jjj ee

Due scelte particolari si incontrano nella pratica

2/ Accoppiatore simmetrico o a quadratura di fase, la cui matrice S è quindi

00

00

00

00

j

j

j

jNotate che, in questo caso, oltre alla simmetria della matrice imposta dalla reciprocità, essa è simmetrica anche rispetto alla diagonale secondaria, indicando un circuito con un piano di simmetria

Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte

,0 Accoppiatore antisimmetrico, la cui matrice S è quindi

00

00

00

00

Notate infine che e non sono indipendenti, infatti

11 22213

212 SS

Ora, analizzando in dettaglio le altre possibili soluzioni, si perviene o a riconsiderare lo stesso caso sin qui analizzato, o ad ottenere il caso S12=S13=S24=S34=0, cioè 2 due porte disaccoppiati ed indipendenti

Quindi, escludendo quest’ultimo caso - di nessun interesse- ogni 4-porte reciproco e senza perdite adattato si comporta come un accoppiatore direzionale.

e l’accoppiatore direzionale in quadratura di fase deve per forza essere simmetrico.

Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle portequindi, schematicamente, un accoppiatore ideale cede potenza alla porta accoppiata in ragione del fattore di accoppiamento (coupling factor)

2213 S

mentre cede tutta la potenza rimanente alla porta diretta

La porta rimanente è disaccoppiata o isolata

22212 1 S

1 2

34

1222

12 1 S

2213 S

accoppiataisolata

AccoppiatoriNella pratica caratterizzano un accoppiatore:

Accoppiamento 1331 20/10 SLogPPLogC Cioè, che frazione della potenza in ingresso è ceduta sulla porta accoppiata

Isolamento 1441 20/10 SLogPPLogI Cioè, che frazione della potenza in ingresso è ceduta sulla porta isolata

Direttività 131443 /20/10 SSLogPPLogD

Cioè, capacità dell’accoppiatore di isolare onde che vanno in una direzione e nella direzione opposta

Se la potenza in ingresso si divide tra porta diretta ed accoppiata in parti uguali (1/2 della potenza va sulla 2 ed 1/2 sulla 3), ovvero se il fattore di accoppiamento è 3dB, si parla di ibridi. In tal caso 2/1

In tal caso, la matrice S per un ibrido ideale a 90° è

010

100

001

010

2

1

j

j

j

j

mentre, la matrice S per un ibrido ideale a 180° è

0110

1001

1001

0110

2

1

Divisore di potenza a “T”E’ un semplice 3 porte per divisione o combinazione potenza

Essendo reciproco e senza perdite, non può essere adattato a tutte le porte B è una suscettanza che tiene conto dei

campi dovuti alla discontinuità

Volendo adattare alla porta di ingresso, la condizione è che

21 /1/1 ZZjBYin 0/1 Z

I valori di Z1 e Z2 possono poi essere scelti per avere diversi rapporti di divisione. Chiaramente le 2 porte rimanenti non possono essere adattate

0

20

2Z

VPin

Trascuriamo inizialmente B, e consideriamo la frazione trasmessa alla porta 1 ed 1- quella alla 2; essendo la porta di ingresso adattata otteniamo

1

20

1 2

1

Z

VPP in

2

20

2 2

11

Z

VPP in

0201 1

1;

1ZZZZ

Chiaramente l’impedenza vista per esempio guardando nella linea 1, sarà il parallelo di Z0 e Z2

Ed il coefficiente di riflessione diviene

2

1

11

1

// 0

00

20

02Z

ZZ

ZZZ

Chiaramente l’impedenza vista per esempio guardando nella linea 1, sarà il parallelo di Z0 e Z2

1

2

2

//

//

00

00

102

1021

ZZ

ZZ

ZZZ

ZZZ

Divisore resistivoSi può adattare alle porte, anche se le porte di uscita non sono isolate

Analizziamo il caso di divisore con fattore 1/2 L’impedenza vista in uno dei rami di uscita

00

3Z

ZZ 03

4Z

Quindi, considerando i due rami di uscita in parallelo, deve essere

000

3

2

3ZZ

ZZ in

3/3/2

3/2

00

01 ZZ

ZVV

Essendo il 3 porte simmetrico, lo stesso avviene guardando nella porta 2 o nella porta 3: S11=S22=S33=0

Se la tensione alla porta 1 è V1, la tensione al centro (V) è

13

2V

E le tensioni di uscita

100

032 2

1

4

3

3/VV

ZZ

ZVVV

Per cui S21=S31=S23=1/2, ovvero -6dB Appare chiaro che metà della potenza è

dissipata nei resistori

Divisore WilkinsonE’ un divisore che utilizza resistori, ma

Se le porte sono adattate, nessuna potenza viene dissipata: solo la potenza riflessa è dissipata

Consente di ottenere isolamento tra le porte di uscita; studiamo quello a 3dB

Per studiarlo, normalizziamo tutto a Zo e ridisegniamo evidenziando le simmetrie

0Z

02Z

4/

02Z

0Z

0Z

Divisore Wilkinson

Possiamo studiarlo sfruttando la sovrapposizione degli effetti

Se volessimo infatti sapere la risposta del circuito quando alla porta 2 applichiamo un generatore Vg2=4V mentre la porta 3 (Vg3) è lasciata a 0

potremmo prima studiare il caso in cui applichiamo Vg2=Vg3=2V e poi il caso Vg2=-Vg3=2V: la somma dei due casi produce il risultato desiderato

Calcolare la risposta a tali eccitazioni particolari (simmetrica ed antisimmetrica, ovvero pari e dispari) è più semplice, poiché la simmetria del problema consente di ridurre, come vedremo il 2-porte a 2 singole porte indipendenti

Questa è una proprietà del tutto generale dei circuiti con simmetrie, per cui si possono trovare insiemi di eccitazioni, o autoeccitazioni, che decompongono il problema a N porte in N problemi ad una porta

Consideriamo i due problemi indipendentemente, a partire dall’eccitazione pari

Divisore Wilkinson

Se Vg2 e Vg3 sono uguali, le tensioni V2 e V3 sono uguali

Quindi non fluisce corrente nel resistore, che possiamo togliere

In pratica c’è uno zero di corrente in tutti i rami che attraversano il piano di simmetria: si parla di muro magnetico

Il circuito risulta quindi un semplice tratto di linea in quarto d’onda chiuso su resistenza 2, per cui guardano nella porta 2 si vede un’impedenza

2V

2V Anche nel nodo di ingresso non fluisce corrente: è di fatto un circuito aperto

2

2ZZ e

in E chiaramente scegliendo Z pari alla radice di 2, si vede in ingresso 1, cioè

adattamento; quindi 022 eS Ora ci occorrono V1 e V2: sappiamo che l’impedenza che vediamo nel nodo di

V2 è 1: quindi abbiamo un partitore resistivo, e V2 risulta VV e 2

1

1

Per conoscere V1, ricordiamo che si tratta di un tratto di linea in quarto d’onda, in cui V(0)=V=V++V- zjzje eVeVV 1

22

jj

eVeV jVjV

VVjjV VVj 2

Divisore Wilkinson

D’altro canto sappiamo anche la corrente che fluisce sul resistore 2

eI1 2// jVjVZjVjV 2/ VVjjV

2/jV 2/1eV 2/2 VVj VV 2/12/1

221 jVVVjV e

Divisore Wilkinson

Trattiamo il caso dispari: Vg2 e Vg3 sono uguali e opposte

In pratica c’è un massimo di corrente in tutti i rami che attraversano il piano di simmetria, ovvero uno zero di tensione sul piano di simmetria: si parla di muro elettrico

Il circuito risulta quindi quello di partenza in cui tutti i nodi centrali sono stati rimpiazzati da un corto a massa

2V

-2V

Ora, il corto della porta 1, dopo un quarto d’onda diventa un aperto, e “vediamo” solo r

E vediamo che quindi se r=2, il coefficiente di riflessione è nullo, cioè

022 oS Chiaramente ora risulta

VVV oo 21 0

Divisore Wilkinson

Per vedere cosa succede alla porta 1, ci comportiamo in modo simile al caso pari, infatti il circuito appare così

il resistore non è attraversato da corrente (quindi lo possiamo togliere) e si tratta di due tratti in quarto d’onda, ciascuno che vede un’impedenza di ingresso normalizzata pari a

21

22

inZ

che posti in parallelo danno di nuovo impedenza 1, cioè adattamento (S11=0)

Ora, per riottenere la matrice S complessiva, bisogna ricombinare i risultati ottenuti, “pesandoli” con le eccitazioni ipotizzate

in particolare, sappiamo che S22 ed S33 saranno 0, visto che lo sono sia nel caso pari che nel caso dispari, così come 0 sarà S23=S32, visto che sia nel caso pari che dispari le porte 2 e 3 sono disaccoppiate

Divisore Wilkinson

Per S12 avremmo

0,2

12112

31

VV

V

VSS

e, per simmetria (porte 2 e 3 interscambiabili)

2

1

V

V

grazie al fatto che, in questo caso, tutte le porte sono adattate se chiuse sull’impedenza di normalizzazione

2/22

11 jVV

VVoe

oe

311213 SSS