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Fachhochschule DortmundUniversity of Applied Sciences and Arts

IfIT

Institut für InformationstechnikSoftware-Engineering Signalverarbeitung Regelungstechnik

Ubungen zu

MATLAB / Simulink

Wintersemester 2014/2015

Version 2.1 vom 23.11.2012

von: Prof. Dr.-Ing. Thomas Felderhoff

Fachhochschule Dortmund Tel. 0231 / 9112-386Sonnenstr. 96 Fax: 0231 / 9112-314D-44139 Dortmund E-Mail: [email protected]

Fachhochschule Dortmund, Fachbereich Informations- und ElektrotechnikUbungen zu MATLAB / Simulink Wintersemester 2014/2015

Aufgabe 1 Variablendefinition und Berechnungen

Mit der Entwicklungsumgebung MATLAB sollen Sie die unten aufgefuhrten Variablen de-finieren und danach die einzelnen Rechenoperationen ausfuhren. Uberprufen Sie dabeiimmer, ob sich das mit der Entwicklungsumgebung ergebende Ergebnis mit Ihren Erwar-tungen, also mit Ihrer handischen Kontrollrechnung, deckt.

Folgende Variablen sind zu definieren: A = 7 + 2i, B = 7− 2j, C = π/2 und a = −2 + 3j.

Wenn Sie bei der Eingabe, d.h. bei der Definition dieser Variablen Probleme haben soll-ten, dann schauen Sie selbststandig in der Hilfe bzw. in den Demo-Beispielen nach. Jeselbststandiger Sie mit der Entwicklungsumgebung umgehen, desto nachhaltiger wird dasErlernte sein. Berechnen Sie durch Eingabe im Command Window:

1.1 A · B

1.2 A · A

1.3 |A|2

1.4 A · B/|A|1.5 A · a

1.6 a · A

1.7 sin(C)

1.8 cos(C) · a

1.9 sin(C/2) + cos(C/2)

1.10 sin2(C) + cos2(C)

1.11 sin2(C/2) + cos2(C/2)

1.12 cos(A)

1.13 ej·A

1.14 e−j·A

1.15(ej·A + e−j·A

)/2

1.16 cos(A)−(ej·A + e−j·A

)/2

1.17 ej·C

1.18 e−j·C

1.19 ej·2C

1.20 e−j·2C

2


Aufgabe 2 Rechnen mit Matrizen und Vektoren

Gegeben sei die dargestellte elektrische Schaltung, die uber eine Spannungsquelle betriebenwird, die durch den komplexen Zeiger E = E(jω) = −jE0, mit E0 = 5V, beschriebenwird. Die Spannungsquelle besitzt ein monofrequentes Signal mit F0 = 700Hz, d.h. fur diedazugehorige Kreisfrequenz gilt Ω0 = 2πF0.

E

+

Z1

Z3

Z5

I1

I2

I3

I4

I5

I6

U6

I7

U7

Z2

Z4

Z6

Z7

Fur die Impedanzen gilt:

Z1 = R1 mit R1 = 100ΩZ2 = Z2(jω)|ω=Ω0

= 1/ (jωC2) mit C2 = 2, 262416µFZ3 = Z3(jω)|ω=Ω0

= jωL3 mit L3 = 16, 308211mHZ4 = Z4(jω)|ω=Ω0

= 1/ (jωC4) mit C4 = 3, 369948µFZ5 = Z5(jω)|ω=Ω0

= jωL5 mit L5 = 16, 308211mHZ6 = Z6(jω)|ω=Ω0

= 1/ (jωC6) mit C6 = 2, 262416µFZ7 = R7 mit R7 = 100Ω

Mithilfe des bekannten Maschenstromverfahrens ergibt sich folgender mathematischer Zu-sammenhang

Z1 + Z3 + Z4 −Z3 − Z4 −Z4 −Z4

−Z3 − Z4 Z2 + Z3 + Z4 Z4 Z4

−Z4 Z4 Z4 + Z5 + Z6 Z4 + Z5

−Z4 Z4 Z4 + Z5 Z4 + Z5 + Z7

·

I1

I2

I6

I7

=

E000

⇔ Z · I = U .

2.1 Definieren bzw. berechnen Sie die Variablen gemaß den gewahlten Bezeichnungen furdie Bauelemente und Frequenzen.

2.2 Berechnen Sie die Impedanzwerte Zi = Zi(jω)|ω=Ω0, i ∈ 1, 2, · · · 7, fur die gegebene

Frequenz F0.

2.3 Stellen Sie mithilfe der Impedanzen die Impedanzmatrix Z und den SpannungsvektorU auf.

2.4 Geben Sie an, wie Sie aus der Gleichung Z · I = U den Stromvektor I bestimmenkonnen.

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2.5 Berechnen Sie in MATLAB den Stromvektor I.

2.6 Uberprufen Sie ob folgende Aussage gultig ist:

Z6 · I6 = U6 = U7 = Z7 · I7 .

Erklaren Sie, wie Sie die Gleichheit uberprufen und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.

2.7 Bestimmen Sie fur die verwendete Kreisfrequenz Ω0 den Betrag der Ubertragungsfunk-tion

|H(jΩ0)| = 2 ·∣∣∣∣∣

U7(jΩ0)

E(jΩ0)

∣∣∣∣∣ = 2 · |U7(jΩ0)||E(jΩ0)|

und geben Sie diesen an.

2.8 Speichern Sie den komplexen Zeiger U7 in der Datei A2KompZeigerU70700.mat mit derVariablenbezeichnung U7 fur die Frequenz F0 = 700Hz.

2.9 Berechnen Sie den komplexen Zeiger U7 neu, wenn jetzt die Frequenz F0 =1200Hz gewahlt wird und speichern Sie den Zeiger als U71200 in der DateiA2KompZeigerU71200.mat.Berechnen Sie den komplexen Zeiger U7 neu, wenn nun die Frequenz F0 =1800Hz gewahlt wird und speichern Sie den Zeiger als U71800 in der DateiA2KompZeigerU71800.mat.

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Aufgabe 3 Rechnen mit komplexwertigen Großen

Bei der Beschreibung von Systemen spielt die Ubertragungsfunktion eine entscheidende Rol-le. Diese ist in der Regel von der Frequenz der anregenden Quelle abhangig. Fur die inAufgabe 2 abgebildete Schaltung gilt

H(jω) = 2 · U7(jω)

E(jω),

wobei ω eine feste, von der Spannungsquelle verwendete Signalfrequenz bezeichnet und dieUbertragungsfunktion als Verhaltnis der komplexen Zeiger U7 und E fur diese Frequenzaufgefasst werden kann.

Die Frequenzabhangigkeit soll jetzt fur das Intervall 10 ≤ f/ [Hz] ≤ 5000 in 2Hz-Schrittenuntersucht werden.

3.1 Erzeugen Sie einen Frequenzvektor f, der die erforderlichen Frequenzstutzstellenenthalt.Berechnen Sie damit die Kreisfrequenzstutzstellen ω = 2πf im Vektor w.

3.2 Erzeugen Sie einen Vektor H, der die gleiche Dimensionierung wie f aufweist aberzunachst ausschließlich die Werte null enthalt.

3.3 Ubernehmen Sie aus der Losung von Aufgabe 2 die Losungsanteile, die Sie hier benoti-gen, um fur jede einzelne Frequenzstutzstelle den dazugehorigen Wert der Ubertra-gungsfunktion berechnen zu konnen.Bestimmen Sie die Werte der Ubertragungsfunktion an den gewunschten Fre-quenzstutzstellen.

3.4 Stellen Sie in einem Diagramm den Betrag der Ubertragungsfunktion uber den da-zugehorigen Frequenzstutzstellen dar.Interpretieren Sie den Verlauf.

3.5 Stellen Sie in einem weiteren Diagramm den Dampfungsverlauf der Ubertragungs-funktion in Dezibel, d.h.

20 · lg (|H(jω)|) = 20 · log10 (|H(jω)|) ,

uber den dazugehorigen Frequenzstutzstellen dar.

3.6 Stellen Sie erneut in einem weiteren Diagramm den Dampfungsverlauf der Uber-tragungsfunktion in Dezibel dar, wobei Sie jetzt auch die Frequenzachse logarithmischeinteilen.

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Aufgabe 4 Spannungsteiler und Rechnen mit Vektoren

Ist man ausschließlich an der Ubertragungsfunktion interessiert, dann empfiehlt sich derenBerechnung mithilfe der Spannungsteilerregel. Letztendlich setzt man dafur Impedanzen inRelation und bekommt so eine Frequenzabhangigkeit heraus. Dabei wird dann berucksichtigt,dass verwendete Impedanzen ihre Werte mit der Frequenz andern.

Wir gehen wieder von der Schaltung in Aufgabe 2 aus und wollen diese im Intervall10 ≤ f/ [Hz] ≤ 5000 an den in 2Hz-Schritten auseinanderliegenden Frequenzstutzstellenuntersuchen.

4.1 Definieren Sie einen passenden Frequenzvektor f und berechnen Sie damit den Kreis-frequenzvektor w.

4.2 Definieren Sie weitere Variablen zur Beschreibung der Schaltung gemaß Aufgabe 2,u.a. fur die verwendeten Bauelemente.Definieren Sie fur die frequenzabhangigen Impedanzen Zi, mit i ∈ 2, 3, · · · 6 diedazugehorigen Vektoren, Z2, Z3 · · · Z6, die die Impedanzen beschreiben zu den je-weiligen Frequenzen.

4.3 Bestimmen Sie mithilfe der Spannungsteilerregel und den Impedanzen Zi das Span-nungsteilerverhaltnis (bzw. die Ubertragungsfunktion)

H(jω) = 2 · U7(jω)

E(jω).

Setzen Sie dies in MATLAB um.

4.4 Laden Sie die Datei A3Zwischenergebnis.mat, die die Variable H A3 an den geforder-ten Frequenzstutzstellen enthalt.Stellen Sie zwei Diagramme untereinander dar. In dem oberen Diagramm soll derBetrag der Ubertragungsfunktion gemaß Spannungsteilerregel in blauer Farbe undder Betrag der Ubertragungsfunktion gemaß Aufgabe 3 in roter Farbe uber den Fre-quenzsstutzstellen dargestellt werden. In dem unteren Diagramm soll uber den Fre-quenzstutzstellen der Betrag der Differenz der beiden unterschiedlich berechnetenUbertragungsfunktionen in gruner Farbe dargestellt werden.Interpretieren Sie die Kurvenverlaufe.

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Aufgabe 5 Logarithmische Stutzstellen

Wenn Betrachtungen uber mehrere Dekaden erfolgen sollen, geht man oftmals auf eine lo-garithmische Skalierung uber. Dies geschieht insbesondere im Bode-Diagramm, einer Dar-stellungsweise der Ubertragungsfunktionen nach Betrag und Phase.

Wir wollen weiterhin die aus Aufgabe 2 entwickelte Ubertragungsfunktion betrachten, wobeiwir den Ansatz uber die Spannungsteilerregel gemaß Aufgabe 4 verwenden.

Jetzt gehen wir allerdings von einem Frequenzbereich 10−6 ≤ f/ [Hz] ≤ 106 aus.

5.1 Wie viele Frequenzstutzstellen wurden wir verwenden, wenn wir aquidistant mit ei-nem Abstand von 10−6Hz abtasten wurden?

Da eine aquidistante Anordnung der Frequenzstutzstellen nicht praktikabel ist, sollen proDekade N Stutzstellen verwendet werden. Dies kann man gut erreichen, indem die Zahlen-werte fur die Frequenzen in Hertz geschrieben werden als f = 10n, wobei −6 ≤ n ≤ 6gilt.

5.2 Diese Exponentwerte sind in dem Vektor n zu definieren und zwar so, dass dieser Vektoraus 1441 Elementen besteht.Wie viele Stutzstellen N verwenden Sie so pro Dekade?

5.3 Berechnen Sie mithilfe des Vektors n mit den Exponentwerten die dazugehorigen Fre-quenzstutzstellen und dann unter Verwendung der Losung aus Aufgabe 4 die Ubertra-gungsfunktion an diesen (logarithmisch unterteilten) Frequenzstutzstellen.

5.4 Stellen Sie nun, wie es fur ein Bode-Diagramm ublich ist, zwei Diagramme unterein-ander dar. In dem oberen Diagramm soll der Dampfungsverlauf (des Betrages) derUbertragungsfunktion in Dezibel und in dem unteren Diagramm der stetige Phasen-verlauf in Grad der Ubertragungsfunktion dargestellt werden. Beide Kurvenverlaufesind im vorgegebenen Frequenzbereich uber der logarithmisch skalierten Frequenzachseaufzutragen.

5.5 Stellen Sie in einem neuen Diagramm abermals den Dampfungsverlauf (des Betrages)der Ubertragungsfunktion in Dezibel dar. Dabei soll die Betrachtung auf die Frequen-zen zwischen 0Hz und 2000Hz und einen Wertebereich von −5dB bis +0, 5dB einge-schrankt werden. Ferner ist zur besseren Ubersicht ein Gitternetz in das Diagrammeinzuzeichnen.

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Aufgabe 6 Zusammenhang zwischen komplexem Zeiger und dem Zeitsignal

Verwendet man fur die Berechnung von Spannungen und Stromen in linearen elektrischenSchaltungen die komplexen Zeiger, dann basiert dies in der Regel auf der Annahme, dass dieSchaltung durch eine monofrequente sinus-formige Quelle angeregt wird und dem Wissen,dass jede Spannung und jeder Strom in dieser linearen elektrischen Schaltung auch sinus-formig mit gleicher Frequenz aber durchaus anderer Phase ist.

Gehen wir von einer solchen Spannungsquelle e(t) aus, d.h. es gilt

e(t) = e0 cos (Ω0t + α) ,

dann bezeichnet e0 den Scheitelwert, Ω0 die feste Kreisfrequenz mit der Beziehung Ω0 = 2πF0

zur Frequenz F0 des Signals und die Phase des Signals wird durch α beschrieben.

Fur dieses Zeitsignal ergibt sich der dazugehorige komplexe Zeiger zu

E =e0√2· ejα .

Der Betrag des komplexen Zeigers entspricht dem Effektivwert des monofrequenten Signals,und die Phase α bestimmt die Orientierung des komplexen Zeigers in der komplexen Ebene.

Fur einen beliebig berechneten komplexen Zeiger U ,

U = |U | · ejϕ

der mit Betrag |U | und Phase ϕ beschrieben wird, ergibt sich fur die benutze Frequenz F0

daraus der folgende Zeitverlauf

u(t) =√

2 ReU · ejΩ0t

=√

2 Re|U | · ej(Ω0t+ϕ)

.

6.1 Die Zeitsignale sollen im Zeitintervall 0 ≤ t/ [s] ≤ 2 mit einer Abtastperiode T =62, 5µs abgetastet werden. Bestimmen Sie einen entsprechenden (Zeit)Vektor t.

6.2 In Aufgabe 2 wurde fur den komplexen Zeiger der Spannungsquelle angegeben

E = −jE0 ,

wobei j die imaginare Einheit und E0 = 5V bezeichnet. Als Frequenz wurde F0 =700Hz gewahlt.Bestimmen Sie fur die Abtastzeitpunkte die Werte des Zeitsignals e(t) und schreibenSie diese in den Vektor e.

6.3 Der komplexe Zeiger fur die Spannung U7 uber dem Widerstand R7 kann aus der DateiA2KompZeigerU70700.mat mit der Bezeichnung U7 geladen werden.Bestimmen Sie auch hier fur die Abtastzeitpunkte die Werte des zeitlichen Verlaufsder Spannung u7(t) und schreiben Sie diese in den Vektor u7.

6.4 Stellen Sie in einem Diagramm die zeitlichen Verlaufe von e(t) in blauer Farbe undu7(t) in roter Farbe im betrachteten Zeitintervall uber der Zeit dar.

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6.5 Stellen Sie in einem zweiten Diagramm erneut die zeitlichen Verlaufe von e(t) in blauerFarbe und u7(t) in roter Farbe im betrachteten Zeitintervall uber der Zeit dar; aberreduzieren Sie den dargestellten Zeitausschnitt auf drei volle Perioden der Eingangs-spannung.Wie lange dauern diese drei Perioden?

6.6 Laden Sie uber die Dateien A2KompZeigerU71200.mat und A2KompZeigerU71800.mat

die Variablen U71200 bzw. U71800 als komplexe Zeiger, wenn die Signalfrequenzen1200Hz bzw. 1800Hz betragen.Bestimmen Sie die dazugehorigen Zeitverlaufe u71200 bzw. u71800 an den vorgegebe-nen Abtastzeitpunkten.Stellen Sie drei Diagramme nebeneinander dar. Dabei soll in jedem Diagramm jeweilsder Verlauf der Spannungsquelle e(t) in blauer Farbe und der Verlauf des Spannungu7(t) in roter Farbe zusammen dargestellt werden. Die einzelnen Diagramme sollendie Ergebnisse fur die unterschiedlichen Signalfrequenzen 700Hz, 1200Hz und 1800Hzverdeutlichen.

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Aufgabe 7 Abgebrochene Fourier-Reihe

Gegeben sei die T0-periodische Funktion

x(t) =

1 fur 0 < t < T0/20 fur T0/2 < t < T0

1/2 fur t = 0 oder t = T0/2sonst periodisch mit T0

,

die in eine Fourier-Reihe

x(t) = x(t + T0) =∞∑

n=−∞XnejnΩ0t mit Ω0 = 2π/T0

entwickelt werden kann. Fur die Fourier-Koeffizienten gilt

Xn =1

T0

∫ T0

0x(t)e−jnΩ0tdt =

1/2 fur n = 00 fur n gerade

1/(jnπ) fur n ungerade.

Die bei der N -ten Oberwelle abgebrochene Fourier-Reihe werde mit

xN(t) =N∑

n=−N

XnejnΩ0t

bezeichnet.

Es sei die Periodendauer T0 = 2ms. Wir interessieren uns fur die Signale in einem Zeitbereich0 ≤ t/ [ms] ≤ 20. Als Abtastperiode, d.h. dem zeitlichen Abstand zwischen zwei aufeinan-derfolgenden Abtastpunkten, wahlen wir T = 1µs. Demnach gilt fur die AbtastfrequenzF = 1/T = 1MHz.

7.1 Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf des Signals x(t) im gewunschten Zeitbereich 0 ≤t/ [ms] ≤ 20.

7.2 Erstellen Sie in MATLAB eine Funktion namens IdRechteck, der Sie einen Zeitvektort mit den zeitlichen Abtastwerten und die Periodendauer T0 als Konstante ubergeben.Als Ergebnis dieser Funktion ergibt sich ein Vektor x, der alle Funktionswerte x(t) anden Abtastwerten, die in tt t stehen, enthalt.Testen Sie diese eigene MATLAB-Funktion aus, indem Sie im interessierenden Zeitbe-reich den Verlauf der sich ergebenden Funktionswerte grafisch darstellen.

7.3 Schreiben Sie eine weitere MATLAB-Funktion namens FRRechteck fur die abgebroche-nen Fourier-Reihe, der Sie neben dem Zeitvektor t mit den Abtastzeitpunkten undder Periodendauer T0 auch die Anzahl N zu berucksichtigender Fourier-Koeffizientenubergeben konnen.Testen Sie diese eigene MATLAB-Funktion aus, indem Sie in einem neuen Diagrammuber dem interessierenden Zeitbereich die Verlaufe des idealen, periodischen Rechteck-signals x(t) und die abgebrochenen Fourier-Reihen x3(t), x9(t) und x31(t) gemeinsamdarstellen.

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7.4 Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen, insbesondere die Abhangigkeit von N , und be-nennen Sie das beobachtbare Phanomen an den Sprungstellen:

Nun wollen wir die Zeitsignale in den Frequenzbereich transformieren und verwenden dafurdie Fourier-Transformation. Dies bedeutet:

x(t) −−• X(jω) = F x(t) .

Bei der Entwicklungsumgebung MATLAB wird die Transformation mithilfe der schnellenFourier-Transformation uber den Befehl fft ausgefuhrt. Ein der obigen Gleichung ent-sprechender Aufruf konnte lauten:

X = fft(x);

7.5 Transformieren Sie die Signale x(t), x3(t), x9(t) und x31(t) in den Frequenzbereich zuX(jω), X3(jω), X5(jω) bzw. X31(jω).

7.6 Erzeugen Sie einen Vektor f, die die Frequenzstutzstellen enthalt, wobei zu berucksich-tigen ist, dass diese grundsatzliche im Frequenzbereich 0 ≤ f ≤ F liegen und genau soviele sind, wie Abtastwerte verwendet wurden.

7.7 Stellen Sie uber diesen Frequenzstutzstellen f den Betrag der Fourier-Transformierten X(jω), X31(jω), X5(jω) und X3(jω) in dieser Reihenfolge in einemneuen Diagramm gemeinsam dar.

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Aufgabe 8 Schrittweise Entwicklung eines MATLAB-Programms

Setzen Sie die nachfolgenden Aufgabenschritte in entsprechende Befehle eines MATLAB-Programms um. Erstellen Sie eine Skriptdatei mit dem Dateinamen ML2014Aufg08.m.

8.1 Die Abtastperiode T mit der Variablenbezeichnung T soll 20 ms betragen.

8.2 Die Signalfrequenz F0 mit der Variablenbezeichnung F0 besitzt den Wert 10Hz.

8.3 Die Amplitude x0 mit der Variablenbezeichnung x0 sei 5.

8.4 Zu den Abtastzeitpunkten t = kT , die als Vektor zusammengefasst mit t bezeichnetwerden, sollen im Intervall 0 ≤ t/ [s] ≤ 2

8.5 die Abtastwerte des Zeitsignals x(t) = x0 cos (2πF0t) in einem Vektor mit der Bezeich-nung x berechnet werden.

8.6 In einem ersten Diagramm sollen die Abtastwerte x fur ein Zeitintervall 0 ≤ t/ [s] ≤ 2dargestellt werden.

8.7 In einem zweiten Diagramm sollen die Abtastwerte x fur ein Zeitintervall 0 ≤ t/ [s] ≤0, 2 dargestellt werden.

8.8 In einem dritten Diagramm sollen alle Abtastwerte x dargestellt werden, wobei zusatz-lich jeder funfte Abtastwert mit einem roten Kreis zu kennzeichnen ist, beginnend mitdem ersten Abtastwert bei x(0).

8.9 Zu den gleichen Abtastzeitpunkten t werden nun fur ein im Wertebereich [−1, 1]gleichverteiltes Rauschen y(t) die Abtastwerte als Vektor mit y bezeichnet. BestimmenSie die Abtastwerte y im Intervall 0 ≤ t/ [s] ≤ 2.

8.10 Die Abtastwerte des Summensignals z(t) = x(t) + y(t) werden als Vektor mit z be-zeichnet.

8.11 Stellen Sie in einem vierten Diagramm die Abtastwerte z fur ein Zeitintervall 0 ≤t/ [s] ≤ 2 dar.

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Aufgabe 9 MATLAB-Programmsynthese

Gegeben sei eine lange, gerade Teststrecke. Auf dieser werden zwei Fahrzeuge mit unter-schiedlicher konstanter Geschwindigkeit V1 und V2 getestet. Hierzu durchfahrt jedes Fahr-zeug eine Lichtschranke und lost damit an allen Messplatzen ein akustisch-optisches Signalaus. In Entfernungen s zur Lichtschranke stehen jeweils zu beiden Seiten der Straße eineMessperson, die durch das akustisch-optischen Signal einen Zeitmesser startet und diesenbeim Vorbeifahren des Fahrzeuges wieder stoppt. Die gemessenen Zeiten fur das Fahrzeugmit der Geschwindigkeit V1 sind mit t1 bezeichnet; die Zeiten des anderen Fahrzeuges sindmit t2 bezeichnet.

Index k 1 2 3 ... 16 17 ... 24

s(k)/[m] 100 100 120 ... ... 1000t1(k)/[sec] 5,7401 5,7017 4,6207 ... ... 55,0302t2(k)/[sec] 7,9725 8,3687 11,4322 ... ... 98,3422

Ziel ist es, aufgrund der Messdaten die Geschwindigkeiten der beiden Fahrzeuge moglichstgut angeben zu konnen. Hierzu sind die Parameter der Ausgleichsgeraden

s1(t) = V1 · (t− t1,M) + sM bzw. s2(t) = V2 · (t− t2,M) + sM

optimal zu bestimmen. Fur die hier vorgenommenen K = 24 Messungen und dem Indexi ∈ 1, 2 gilt:

sM =1

K

K∑

k=1

s(k)

ti,M =1

K

K∑

k=1

ti(k)

ti,Var =1

K − 1

K∑

k=1

(ti(k)− ti,M)2

si,Var =1

K − 1

K∑

k=1

(s(k)− sM) (ti(k)− ti,M)

Vi =si,Var

ti,Var

Die Positionen, an denen die Messpersonen beiderseits der Straße stehen, sind im Vektor s

und die Messzeiten an diesen Positionen sind in dem Vektoren t1 bzw. t2 gespeichert. AlleVektoren sind in der Datei ML2014Aufg09.mat gespeichert und werden uber den Befehl loadML2014Aufg09 in den Workspace geladen.

9.1 Tragen Sie fur die Indizes k ∈ 16, 17 die Werte fur die Strecke s und die Messzeitent1 und t2 in die oben dargestellte Tabelle ein.

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9.2 Stellen Sie in einem Diagramm die einzelnen Streckenpositionen s uber den Messzeitent1 durch blaue Sterne, ∗, fur das erste Fahrzeug und uber den Messzeiten t2 durchgrune Kreise, , fur das zweite Fahrzeug dar. Ihr Diagramm soll einen Zeitbereich von-5 bis +105 Sekunden und eine Strecke von -100 bis + 1100 Metern darstellen. EinGitternetz dient der besseren Orientierung.

9.3 Berechnen Sie sM und bezeichnen die skalare Variable mit sM.Berechnen Sie t1,M und t2,M und bezeichnen diese skalaren Variablen mit t1M bzw.t2M.Berechnen Sie t1,Var und t2,Var und bezeichnen diese skalaren Variablen mit t1Var bzw.t2Var.Berechnen Sie s1,Var und s2,Var und bezeichnen diese skalaren Variablen mit s1Var bzw.s2Var.

9.4 Berechnen Sie die geschatzten Geschwindigkeiten V1 und V2 der beiden Fahrzeuge.Geben Sie die Geschwindigkeiten an.

Stellen Sie in dem bisherigen Diagramm die beiden Ausgleichsgeraden fur s1(t) unds2(t) in den dem jeweiligen Fahrzeug zugeordneten Farben dar.

9.5 Aufgrund der auftretenden Reaktionszeit aller Messpersonen sind die beiden Aus-gleichsgeraden keine Ursprungsgeraden.Erklaren Sie die Auswirkung der Reaktionszeit und daraus die Richtung der Verschie-bung der (Ursprungs)Geraden.

Geben Sie die mittleren Reaktionszeiten an, die sich aus diesen beiden Messreihenergeben.

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Aufgabe 10 Einfluss von Modellparametern auf zeitkontinuierliche Modelle

Gegeben sei ein Signal

x(t) =

0 fur t < T0

(t− T0)/(5[sec]) fur t ≥ T0mit T0 = 4, 16 [sec] ,

das Sie einerseits integrieren

y1(t) =∫ t

0x(τ)dτ mit y1(0) = 0

und andererseits differenzieren

y2(t) =dx(t)

dt.

Der Beobachtungszeitraum ist 0 ≤ t/[sec] ≤ 50.

10.1 Berechnen Sie analytisch die exakten Losungen zu y1(t) und y2(t).

10.2 Erstellen Sie ein Simulink-Modell in dem Sie das Signal x(t) erzeugen. Dann integrierenoder differenzieren Sie das Signal x(t) und anschließend bringen Sie die Ergebnisse miteinem scope zur Anzeige.

10.3 Erganzen Sie Ihr Simulink-Modell um Ihre analytischen Losungen und vergleichen Siediese mit Ihren modellierten Ergebnissen. Verdeutlichen Sie ggf. vorhandene Abwei-chungen auf einem weiteren scope.

10.4 Variieren Sie nun in den Model Configuration Parameters zu diesem Modellzunachst die verwendeten Losungsverfahren fur gewohnliche Differentialgleichungen(ODE, engl. ordinary differential equations). Geben Sie anschließend verschiedene fes-te Schrittweiten bei den Losungsverfahren vor. Beschreiben Sie den Einfluss dieserunterschiedlichen Einstellungen auf die zu beobachtende Genauigkeit der modelliertenLosungen.

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Aufgabe 11 Beschleunigung, Geschwindigkeit und Wegstrecke

Ein Fahrzeug befindet sich zum Zeitpunkt t = 0[sec] am Startpunkt s(0) = 0[m] undbesitze die (Anfangs-)Geschwindigkeit V (0) = 0[m/sec]. Das Fahrzeug beschleunige gemaß

a(t) =

a0 sin2 (πt/(30[sec])) fur 0 ≤ t/[sec] < 300 fur 30 ≤ t/[sec] < 60−a0 fur 60 ≤ t/[sec] < 70

−a0e−(t−70[sec])/(7[sec]) fur 70 ≤ t/[sec] < T0/[sec]

0 fur T0 ≤ t

mit a0 = 5[m/sec2] und T0 einem noch zu bestimmenden Zeitpunkt.

11.1 Erzeugen Sie ein Signal a(t), das der vorgegebenen Beschleunigung entspricht.

11.2 Modellieren Sie die Geschwindigkeit V als Verlauf V (t).

11.3 Modellieren Sie die zuruckgelegte Strecke s als Verlauf s(t).

11.4 Stellen Sie den zeitlichen Verlauf der Beschleunigung a(t), der Geschwindigkeit V (t)und der Wegstrecke s(t) dar. Verwenden Sie dabei als Dimension der Signal [m/sec2],[km/h] bzw. [m].

11.5 Stellen Sie die Model Configuration Parameters derart sinnvoll ein, dass Ihr Modelleine moglichst genaue Losung liefert. Wie beurteilen Sie, ob Ihre Losung hinreichendgenau ist?

11.6 Welche Wegstrecke hat das Fahrzeug nach 1[min] zuruckgelegt?

11.7 Welche Geschwindigkeit besitzt das Fahrzeug zum Beginn des Bremsvorgangs?

11.8 Zu welchem Zeitpunkt T0 ist das Fahrzeug zum Stillstand gekommen?

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Aufgabe 12 Automatische Abstandseinhaltung

s/[m]100 5,5

L = 4,5m1D0 = 5,5m

Fahrzeug 1Fahrzeug 2

Die in der obigen Abbildung dargestellte Situation beschreibt zum Zeitpunkt t = 0 dieAusgangvoraussetzung des zeitkontinuierlichen Szenarios. Beide Fahrzeuge befinden sich inRuhe, d.h. fur die Beschleunigung beider Fahrzeuge gilt a1(0) = a2(0) = 0[m/sec2] und furderen Geschwindigkeit gilt V1(0) = V2(0) = 0[m/sec]. Die Positionen auf der Wegstreckes sind zu Beginn s1(0) = 10[m] und s2(0) = 0[m]. Das Fahrzeug 1 hat eine Lange vonL1 = 4, 5[m]. Damit ergibt sich als Abstand zwischen den Fahrzeugen ∆0 = 5, 5[m]. Dies istzunachst auch gleichzeitig der Sollwert als Abstand zwischen den Fahrzeugen, wenn sie sichin Bewegung setzen.

Das Fahrzeug 1 habe folgendes (zeitkontinuierliche) Beschleunigungsverhalten.

10 30 50 9060 120

180 200 240 250 280 320 360

0,75

1,3 1,4

-0,7-0,5

-3,6

t/[s]

a /[m/s ]1

2

12.1 Verwenden Sie den Signal Builder, um das Beschleunigungssignal a1(t) verwendenzu konnen.

12.2 Simulieren Sie ausgehend von der Beschleunigung des Fahrzeugs 1 auch seine Geschwin-digkeit V1(t) und die Position auf der Wegstrecke s1(t). Stellen Sie die drei Großengrafisch dar.

12.3 Erweitern Sie Ihr Simulink-Modell um einen einfachen Regelkreis, indem Sie mithilfeeines P-Reglers aus dem aktuellen Abstand der Fahrzeuge die Beschleunigung desFahrzeuges 2, a2(t), steuern.

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-1

ò ò-1

-1

-1s (t)1

d(t)D0

L1

P-Regler

s (t)2a (t)2

12.4 Stellen Sie den Proportionalitatsfaktor auf 0,5 ein und interpretieren Sie die so gewon-nen Simulationsergebnisse.

12.5 Untersuchen Sie den Einfluss des Proportionalitatsfaktor auf die Regelung.

12.6 Ersetzen Sie Ihren P-Regler durch einen geeigneteren Regler und optimieren Sie seinVerhalten.

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Aufgabe 13 Schrittweise Modellentwicklung in Simulink

T

T

T

T

x(kT)

x (kT)1

x (kT)2

a0

a1

a2 b2

b1

y(kT)Add

Add1

Add3

Add2

Gegeben sei der oben abgebildete Signalflussgraph. Dieser ist schrittweise in ein Simulink-Modell, SL2014Aufg13.slx, zu entwickeln. Die vorgegebene Datei SL2014Aufg13.slx

enthalt zunachst alle erforderlichen Modellblocke in ungeordneter und nicht verknupfterForm.

Dieses Modell soll mit einer Abtastperiode T von 0,001[sec] betrieben werden. Der Si-mulationszeitraum soll 2[sec] betragen. Ferner werden die Frequenzen F1 = 5[Hz] undF2 = 100[Hz] definiert.

Das Signal x(kT ) setzt sich aus den Signalen x1(kT ) und x2(kT ) zusammen. Es gilt:

x(kT ) = x1(kT ) + x2(kT ) = 2 sin (2πF1kT ) + 4 cos (2πF2kT ) .

Außerdem ist die Zuordnung der Multiplikationsblocke mit ihren Bezeichnungen im Simulink-Modell zu den Faktoren des abgebildeten Signalflussgraphen und den zu verwendenden Zah-lenwerten der nachstehenden Tabelle zu entnehmen.

GainA0 a0 0,0322653GainA1 a1 -0,0521695GainA2 a2 0,0322653GainB1 b1 1,8390197GainB2 b2 -0,8513809

13.1 Stellen Sie die Konfigurationsparameter des Modells so ein, dass das Modell imgewunschten Simulationszeitraum mit der oben angegebenen festen Abtastperiode be-trieben wird.

13.2 Konfigurieren Sie die Signalgeneratorblocke x1 und x2 derart, dass die Signale x1(kT )bzw. x2(kT ) erzeugt werden.

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13.3 Andern Sie den Additionsblock Add2 auf drei zu addierende Eingange um. VerandernSie alle Additionsblocke so, dass sie moglichst gut mit den entsprechenden Additions-stellen des Signalflussgraphen ubereinstimmen.

13.4 Verandern Sie alle Multiplikationsblocke so, dass sie moglichst gut mit den entspre-chenden Multiplikationsstellen des Signalflussgraphen ubereinstimmen. Setzen Sie dieFaktoren gemaß den Zahlenwerten aus der angegebenen Tabelle ein.

13.5 Positionieren und verknupfen Sie nun alle Blocke so in Ihrem Modell, dass Sie dendargestellten Signalflussgraph moglichst ahnlich nachbilden.

13.6 Bringen Sie fur den gesamten Simulationszeitraum alle Werte der Signale x(kT ) undy(kT ) mit einem Scope zur Anzeige.

13.7 Erganzen Sie nun Ihr Modell uber den bisherigen Stand hinaus.Zusatzlich sollen fur den gesamten Simulationszeitraum alle Werte des Signals z(kT ) =x(kT )− y(kT ) in ihrem zeitlichen Verlauf dargestellt werden.

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Aufgabe 14 Simulink-Modellentwicklung

y(kT)T

a(kT)

Gegeben sei der Signalflussgraph des dargestellten ruckgekoppelten zeitdiskreten Systems.Das Ausgangssignal werde mit y(kT ) bezeichnet, wobei T die Abtastperiode bezeichnet furdie gilt: T = 0, 001[sec].

Ferner seien zwei Koeffizienten gegeben als:

α1 = 1− 2 · 10−3 und α2 = −1− 8 · 10−4 .

Zunachst gelte fur den im Signalflussgraphen verwendeten Koeffizienten α(kT ) ein zeitun-abhangiges Verhalten derart, dass gilt α(kT ) = α1. Das mit T bezeichnete Verzogerungsele-ment ist zu Beginn der Simulation mit dem Wert 0,5 initialisiert. Die Simulationszeit soll0 ≤ t/[sec] ≤ 15 umfassen.

14.1 Stellen Sie die Konfigurationsparameter in dem Modell SL2014Aufg14.slx entspre-chend den Vorgaben ein. Entwickeln Sie ein Simulink-Modell fur den gegebenen Si-gnalflussgraphen und bringen Sie den zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals y(kT ) furdie gesamte Simulationszeit auf einem Scope zur Anzeige und benennen dieses als y1.

14.2 Erganzen Sie Ihr bisheriges Simulink-Modell um eine Kopie des bisherigen modelliertenSignalflussgraphen, so dass Sie die Simulation mit geandertem Koeffizienten paralleldurchfuhren konnen.Der Koeffizient α(kT ) dieser Kopie des Signalflussgraphen erfulle die Bedingungα(kT ) = α2. Bezeichnen Sie das Scope fur die Anzeige des Ausgangssignals mit y2.Beschreiben und erklaren Sie Ihre Beobachtung der Ausgangssignale y1 und y2.

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14.3 Erganzen Sie erneut Ihr bisheriges Simulink-Modell um eine weitere Kopie eines bisheri-gen modellierten Signalflussgraphen, so dass Sie die Simulation mit nochmals geander-tem Koeffizienten parallel durchfuhren konnen.Der Koeffizient α(kT ) sei nun nicht mehr konstant. Er erfullt:

α(kT ) =

α1 falls |y(kT )| > 0, 47

α2 falls |y(kT )| < 0, 2

bleibt unverandert falls 0, 2 ≤ |y(kT )| ≤ 0, 47

Bezeichnen Sie das Scope fur die Anzeige dieses dritten Ausgangssignals mit y3.

14.4 Erklaren Sie das zeitliche Verhalten des als y3 bezeichneten Ausgangssignals inAbhangigkeit des jeweiligen Wertes fur den Koeffizienten α(kT ).

14.5 Andert sich etwas am mit y3 bezeichneten Ausgangssignal, wenn das Verzogerungsele-ment nicht mit 0, 5 sondern mit 0, 05 initialisiert wird? Begrunden Sie Ihre Aussage.

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Aufgabe 15 Einfuhrung in die Stateflow-Modellentwicklung

Mit Stateflow lassen sich in Simulink Zustandsautomaten modellieren. Hierfur ist davonauszugehen, dass in einem Simulink-Modell mit der Bezeichnung SL2014Aufg15.slx wiedervon einer zeitdiskreten Modellierung auszugehen ist, d.h. die feste Schrittweite T werde zuT = 0, 1[sec] angenommen. Der Simulationszeitraum soll 2[min] betragen.

15.1 Erzeugen Sie ein Simulink-Modell in dem Sie zunachst die geforderten Einstellungenfur die Konfigurationsparameter vornehmen.Dann soll dieses Modell einen Stateflow-Chart enthalten, der aus den beiden (exklu-siven) Zustanden AUS und AN besteht, wobei der Default-Zustand AN sein soll. Ausdem AN-Zustand ist nach 2[sec] in den AUS-Zustand zu wechseln. Der AUS-Zustandwird nach 5[sec] zum AN-Zustand hin verlassen. Eine Variable Zustand erhalt imAN-Zustand den Wert 1 und im AUS-Zustand den Wert -1 zugewiesen. Stellen Sie dieVariable Zustand auf einem Scope im Simulink-Modell dar.

15.2 Eine Variable Counter soll zahlen, wie oft ein vollstandiger Durchlauf vom AN-Zustanduber den AUS-Zustand bis wieder zum AN-Zustand erfolgt. Die Variable Counter ist alszweites Signal auf dem Scope darzustellen.

15.3 Der An-Zustand ist weiterhin nach 2[sec] zu verlassen. Jedoch wird nur dann in denAUS-Zustand gewechselt, wenn Counter kleiner als 10 ist. Ist diese Bedingung nichterfullt, dann ist eine Variable LoopBack hochzuzahlen und es wird zuruck in den AN-Zustand gewechselt. Die Variable LoopBack ist auch im Simulink-Modell auf dem Scopedarzustellen.

15.4 Das Verhalten des Zustandsautomaten ist jetzt von außen zu beeinflussen. Hierzu istein Signal ResetCounter zu erzeugen, das zwischen den Zeitpunkten T1 und T2 denWert 1 liefern soll und ansonsten den Wert 0 liefert. Zunachst gelte T1 = 26[sec]und T2 = 33[sec], wobei Sie bei Ihrer Losung berucksichtigen sollten, dass dieserZeitbereich deutlich kurzer oder auch erheblich langer eingestellt werden konnte.Der Zustandsautomat ist dahingehend zu erweitern, dass die Variable Counter auf 0zuruckzusetzen ist, wenn ResetCounter den Wert 1 besitzt.Stellen Sie das Signal ResetCounter ebenfalls auf dem Scope dar.

15.5 Funktioniert Ihre Losung auch fur folgende Reset-Zeiten:

a) T1 = 26[sec] und T2 = 27[sec]?

b) T1 = 26[sec] und T2 = 29[sec]?

c) T1 = 29[sec] und T2 = 31[sec]?

d) T1 = 26[sec] und T2 = 50[sec]?

Erklaren Sie jeweils, warum sich das Modell so verhalt, wie es sich verhalt.

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15.6 Finden Sie eine funktionierende Losung, die auch fur kurze Reset-Zeiten das geforderteVerhalten bewirkt. Testen Sie dies insbesondere fur die Falle

a) T1 = 26[sec] und T2 = 27[sec].

b) T1 = 29[sec] und T2 = 30[sec].

Aufgabe 16 Alternativen in der Modellierung

In der Aufgabe 14 wurde im Aufgabenpunkt 14.3 der Koeffizient α(kT ) nicht mehr als Kon-stante betrachtet sondern es wurden unterschiedliche Werte angenommen in Abhangigkeitvon Vorgaben.

16.1 Es ist moglich, den Koeffizienten α als zwei unterschiedliche Zustande, die er annehmenkann, zu modellieren. Entwickeln Sie einen entsprechenden Zustandsautomaten, wobeiSie darauf achten, dass er moglichst flexibel eingesetzt werden kann.Erklaren Sie Ihre Uberlegungen, die zu der Losung gefuhrt haben.

16.2 Vergleichen die beiden Losungen bzgl. des Ausgangssignals y3, idem Sie beide Losungs-ansatze in einem Modell betreiben und die Differenzen sichtbar machen.Welchen Modellierungsansatz bevorzugen Sie? Begrunden Sie Ihre Aussage.

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Aufgabe 17 Ampelanlage in Stateflow

Eine Verkehrsampel gehort zu den klassischen Beispielen fur eine zustandsorientierte Sys-tembetrachtung und -beschreibung. Es gibt klar definierte, exklusive Zustande und eineeindeutige Ubergangsregel zwischen den Zustanden.Fur die hier zu betrachtende Ampel wird zwischen dem Teil fur den Verkehr, der Verkehrs-ampel (VA), und dem Teil fur die Fußganger, der Fußgangerampel (FA), unterschieden. Furdie Modellierung ist von einer festen Abtastperiode, T = 1[sec], auszugehen. Die Simula-tionszeit soll 6 Minuten umfassen.Folgende zeitlichen Spezifikationen werden vorgenommen:

• Die VA zeigt 15[sec] rot, die VA zeigt 2[sec] gelb und rot, die VA zeigt 30[sec]grun und die VA zeigt 5[sec] gelb.

• Erst nachdem die VA auf rot gesprungen ist, wird 1[sec] spater die FA auf grungeschaltet. Die Grunphase der FA endet aus Sicherheitsgrunden 3[sec] bevor die Rot-phase der VA endet.

Damit in einer Kontrollzentrale die Zustande dieser Ampel beobachtet werden konnen, sendetdie Ampel Zustandsinformationen in codierter Form. Der Zustandscode Z berechnet sich als

Z = 4 · VAgrun + 2 · VAgelb + VArot + 4 · FAgrun .

Dabei besitzt jede Ampelvariable, VAgrun, VAgelb, VArot und FAgrun, den Wert 1, wenn dasentsprechende Licht leuchtet und den Wert 0, wenn das entsprechende Licht nicht leuchtet.

17.1 Wie viel unterschiedliche Zustande verwenden Sie zur Beschreibung der Ampel?Welche Werte der Zustandsvariablen Z ordnen Sie diesen Zustanden zu?Erklaren Sie, dass die gewahlte Zustandscodierung eindeutig ist.

17.2 Erstellen Sie ein Simulink-Modell SL2014Aufg17.slx mit den vorgegebenen Konfigu-rationsparametern, einem Zustandsautomaten in Stateflow, der die Ampel beschreibtund einem Scope, das die Zustandsvariable Z anzeigt.

17.3 Uberprufen Sie ordnungsgemaße, der Spezifikation entsprechende Arbeitsweise derAmpel.Wie lang ist die gesamte Ampelpase, d.h. wie lange dauert das Durchlaufen allerZustande?Wie lang ist die Grunphase fur die Fußganger?Wie lang ist die Rotphase fur die Fußganger?

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17.4 Aus Komfortgrunden fur die Fußganger soll diese Ampel verbessert werden. So kannder oben spezifizierte Regelbetrieb von einem Fußganger beeinflusst werden. Er kannfur die FA grun anfordern. Ist solch eine Anforderung A gesetzt, dann soll verkehrssicherund so schnell wie moglich fur den Fußganger auf grun geschaltet werden.Erganzen Sie Ihr Modell um die manuelle, bedarfsorientierte (zusatzlich) Anforderung.

17.5 Was ist nach solch einer manuellen Grunanforderung fur Fußganger die kurzeste War-tezeit fur den Fußganger?Was ist nach solch einer manuellen Grunanforderung fur Fußganger die langste War-tezeit fur den Fußganger?

17.6 Welche Gefahr existiert bei dem so veranderten Ampelbetrieb und wie konnte dieseGefahr ausgeschlossen werden?

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