Mathias Pennekamp ~ Kriging1 d 12 d 34 d 56 d 12 = ca. 60km d 34 = ca. 61km d 56 = ca. 66km ?...

Mathias Pennekamp ~ Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging 11

d12

d34

d56

d12 = ca. 60km

d34 = ca. 61km

d56 = ca. 66km

?

Kalifornien

Abb.2

Ozonwerte in Kalifornien

Quelle:

ArcGIS (Beispieldatensatz)


GeostatistikGeostatistik

2 Kriging2 Kriging


I. Einstieg in Kriging- was ist Kriging- Rückblick auf deterministische Verfahren- Ziel des Krigings

II. Signalbehandlung

- Statistische Grundbegriffe

- Semivarianz

- Semivariogramm

III. Kriging

- Analysen im Semivariogramm

- Beispielrechnung

- verschiedene Krigingverfahren

- ArcInfo

Inhaltsübersicht dieses Vortrags:


Kriging (1)

Benannt nach D. G. Krige : Bergbauingenieur, Südafrika

Der Name: „Kriging“

Kriging (2)

Oberbegriff für stochastische Interpolationsverfahren

seit Anfang der 60er

entwickelt durch G. Matheron, Frankreich

für geodätische Fragestellungen durch Krarup und Moritz über Kovarianzfunktionen

weiterentwickelt (um 1969) Man unterscheidet Kriging von den deterministischen Verfahren.

I. Kriging – Einstieg

-Der Name :“Kriging“

-Rückblick

-Ziel


-statistische Grundbegriffe

-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging

-Analysen im Semivariogramm

-Beispielrechnung

-verschiedene Krigingverfahren


Rückblick: deterministische Verfahren

Globale Methoden (z.B. Regression) Lokale Methoden (z.B. IDW, nearest neighbours)

Grundsätze:

Bestimmung von Attributwerten [z] an nicht beprobten Stellen (xu,yu)

Flächenhafte Information aus Punktdaten (xi,yi)

Verschiedene Möglichkeiten die Punktdaten (xi,yi) zu berücksichtigen ( Gewichtung)



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



Bei deterministischen Verfahren wird subjektiv gewichtet.

Deterministisches Verfahren Gewichtung der Punktdaten

• Polynom-Interpolation Unterschiedlich (Funktionswerte)

• Invers distance weighting Über die Distanz (i. A. Kehrwert)

• nearest neighbours Einheitlich für Voronoi-Region

Kriging optimiert die Gewichtung der Punktdaten.

??

?



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



Ziel des Krigings:

Gewichtsoptimierung bei der Attributbestimmung

eines Punktes, der nicht beobachtet wurde.

Genauigkeit des geschätzten Attributwertes

Motivationsbeispiel:

Es wird die Ozonbelastung einer Region bestimmt: Ist die aus den Punktdaten prädizierte Fläche jetzt genau genug, um in Bereichen mit kritischen Ozonwerten noch in die Sonne zu gehen.



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



II. Das Signal

Statistik:

Deterministisches Modell: l + v = f(x) oder l = f(x) + v

bzw. l + v = Ax

Neu:

Stochastisches Signal: s

Formel: l = f(x) + s + n

Approximation [Annäherung] der Beobachtung [ l ] durch eine

Funktion unter Minimierung der Verbesserungen [ v ].

Die Verbesserungen [v] werden in ein lokales Signal [s] und

ein normalverteiltes Rauschen [n] aufgespaltet.

v



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



Der Attributwert einer Zufalls-variablen wird mit z bezeichnet:

z(x) = f (x) + s + n

Unterschied von z(x) und l:

l ... Beobachtung

z(x) ... Attributwert auch für unbeprobte Stellen

Abb. 1

Geostatistik-Modell

Quelle:

Prof. Dr. W.-D. Schuh


II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe

l = f(x) +s + n

Der Erwartungswert [ E ]:

Der Erwartungswert der Summe aller Signale über das Gebiet ist null E { s } = 0 vgl. E { v } = 0

E { s } = 0

E { si } = si

Lokal jedoch existiert ein Erwartungswert für das Signal E { si } = si



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



P1

P2 P3

P4

P5

P6


Lokale Betrachtung des Signals:

Idee 1: Die Beobachtungen l benachbarter Punkte sind ähnlich

Korrelationen (Abhängigkeit) zwischen den benachbarten Punkten Pi(xi,yi)

Idee 2: Je größer der Punktabstand, desto geringer die Ähnlichkeit der Beobachtungen

Distanzabhängigkeit

l = f(x) +s + n



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



z4z3

z2

z1


Stationarität:

Idee 3: Die Lage der Punkte spielt für die Korrelation keine Rolle, es interessiert nur die Distanz Stationarität

P3

P4

P1

P2

d12

d34

Stationarität heißt, wenn d12 = d34 E{ z12 } = E{ z34 }

und ist eine Voraussetzung für Kriging

l = f(x) +s + n

In Pi wird zi beobachtet:



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



Definition: (d) = ½{ z(P) – z(P+d) } ²

(d) ... Semivarianz für die Distanz d

z(P) ... Attributwert im Punkt P(x,y)

z(P+d) ... Attributwert in einem Punkt, der um d von P(x,y) entfernt ist

Verknüpfung von Distanz und Signal (1)

- Semivarianz -

Problem:

Die Semivarianz muss für alle Punkte des Datensatzes und für alle Distanzen bestimmt werden.

[Komplexität] = O(n²) ;

n ... Anzahl der Punkte

Vereinfachung:

Bildung von Entfernungs-klassen:

Bsp.: 0 ... 40km

40 ... 80km

80 ...



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung




- Entfernungsklassen (Bsp.) -

1. Einordnen der Distanzen zwischen den Punkten in die zugehörige Klasse42, 44, 49, 51, 57, 67, 71 40 - 80

2. Berechnung des arithmetischen Mittels von allen Distanzen in einer Klasse 54,43

3. Bestimmung der Semivarianzen zwischen allen Punkten in der Klasse6+5+4+3+2+1 = 21 Semivarianzen

4. Berechnung der mittleren Semivarianz einer Entfernungsklasse

eine Semivarianz pro Entfernungsklasse



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung




- Semivariogramm -

Ein Semivariogramm ist ein Diagramm, bei dem Semivarianz und Distanz gegeneinander aufgetragen wird.

P1

P2

d12

z1 z2

d12

(d)

d

(d12)

(d12) = ½ { z1 – z2 } ²



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



Empirisches Semivariogramm

d

(d)

Problem (u.a.):

- ...

- nur punkthafte Information

?

Lösung (u.a.): Theoretisches Semivariogramm

- Approximation der Punkte durch eine Funktion

d



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



III. Kriging

Idee: Optimierung der Gewichte mit Hilfe des Semivariogramms

Vorteil: Genauigkeit der geschätzten Fläche ist bestimmbar.

Größen des Semivariogramms sind Nugget, Range und Sill.



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



Analysen im Semivariogramm

• Nugget ist ein Maß für Streuung des Signals im Nahbereich (Messfehler):

Semivarianz für d = 0: (d) = ½{ z(P) – z(P+d) } ² (d) = 0

• Range gibt an, wie weit die Punkte korrelieren:

Bestimmung der Größe der Nachbarschaft, dessen Punkte ich zur Interpolation verwende.

• Sill gibt das Maximum des Semivariogramms an. Sie ist ein Maß für die Varianz der beobachteten Attributwerte.



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



?Range

Beispiel zur Bestimmung der optimalen Gewichte:

• geg.: Punktdatensatz

• ges.: Attributwert an einem unbeprobten Ort

2) Bestimmung der Semivarianzen für alle Distanzen [ij]

3) Aufstellen einer Matrix, die diese Semivarianzen enthält

4) Bestimmung der optimalen Gewichte mit dem Kriging-Schätzer

Zu 1) Im Normalfall Entfernungsklassen berücksichtigen

Zu 2) Semivarianzen aus dem Semivariogramm bestimmen

1) Bestimmung der Distanzen zwischen den Punkten



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



11 . . .16 1 1 10

: : : : :

61 . . .66 1 * 6 = 60

1 . . . 1 0 m 1

?Semivarianz für die Punkte 1 und 6

1

6

23

4

5

0

Zu 4) Die zu berechnenden, optimalen Gewichte sind 1- 6 .:

Lösung: z0 = 1*l1 + 2*l2 + ... + 6*l6

Warum ? Ausarbeitung

Zu 3) Matrix der SemivarianzenI. Kriging – Einstieg


-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung



l

s

Verschiedene Krigingverfahren

1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination

1.1 Simple Kriging

1.2 Ordinary Kriging

1.3 Universal Kriging

2. Indicator Kriging

3. Probability Kriging

4. Disjunctive Kriging

5. Co-Kriging


1.1 Simple Kriging






5. Co-Kriging

1.1 Simple KrigingDer Trend f(x) wird beim Simple Kriging konstant gesetzt, d.h. man setzt den globalen Mittelwert als Trend ein:

f (x) =

1.1 Simple Kriging



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung




1.1 Simple Kriging






5. Co-Kriging


1.2 Ordinary KrigingDer Trend f(x) wird beim Ordinary Kriging durch eine Funktion (z.B. Polynom 3. Grades) global approximiert und vorm Kriging eliminiert.



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung


l



1.1 Simple Kriging






5. Co-Kriging


1.3 Universal KrigingDer Trend f(x) wird wie beim Ordinary Kriging eliminiert, mit dem Unterschied, dass lokale Trends (Signal) berücksichtigt werden können. Möglich- keit der iterativen Trendbestimmung:

l



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung


-Parameterschätzung

-verbleibendes Signal liefert Abhängigkeiten

-Iterationsprozess möglich mit neuen Parametern



1.1 Simple Kriging






5. Co-Kriging


2. Indicator KrigingEntwirft eine Karte, die angibt mit welcher Wahrscheinlichkeit ein wähl- barer Schwellenwert (Threshold), wie z.B. ein kritischer Ozonwert erreicht wird.

l



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung




1.1 Simple Kriging






5. Co-Kriging


5. Co-KrigingCo-Kriging benutzt zur Interpolation der Fläche einen zweiten Datensatz eines Attributs (z.B. Cd-Belastung), welches sich ähnlich zum ersten Datensatz (z.B. Pb-Belastung) verhält.

l

Vorteil:

Schwach beprobte Stellen können effizienter geschätzt werden.

[Multivariates Kriging]



-Rückblick

-Ziel



-Semivarianz

-Semivariogramm

III. Kriging


-Beispielrechnung


Mathias Pennekamp ~ Kriging1 d 12 d 34 d 56 d 12 = ca. 60km d 34 = ca. 61km d 56 = ca. 66km ?...

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