Math Problem Book by Yin Li

8/20/2019 Math Problem Book by Yin Li

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C o p y r i g h t

c

2 0 0 1 H o n g K o n g M a t h e m a t i c a l S o c i e t y I M O H K C o m m i t t e e .

P r i n t e d i n H o n g K o n g


2/155

P r e f a c e

T h e r e a r e o v e r f t y c o u n t r i e s i n t h e w o r l d n o w a d a y s t h a t h o l d m a t h -

e m a t i c a l o l y m p i a d s a t t h e s e c o n d a r y s c h o o l l e v e l a n n u a l l y . I n H u n g a r y

R u s s i a a n d R o m a n i a m a t h e m a t i c a l c o m p e t i t i o n s h a v e a l o n g h i s t o r y d a t -

i n g b a c k t o t h e l a t e 1 8 0 0 ' s i n H u n g a r y ' s c a s e . M a n y p r o f e s s i o n a l o r a m a -

t e u r m a t h e m a t i c i a n s d e v e l o p e d t h e i r i n t e r e s t i n m a t h b y w o r k i n g o n t h e s e

o l y m p i a d p r o b l e m s i n t h e i r y o u t h s a n d s o m e i n t h e i r a d u l t h o o d s a s w e l l .

T h e p r o b l e m s i n t h i s b o o k c a m e f r o m m a n y s o u r c e s . F o r t h o s e i n v o l v e d

i n i n t e r n a t i o n a l m a t h c o m p e t i t i o n s t h e y n o d o u b t w i l l r e c o g n i z e m a n y o f

t h e s e p r o b l e m s . W e t r i e d t o i d e n t i f y t h e s o u r c e s w h e n e v e r p o s s i b l e b u t

t h e r e a r e s t i l l s o m e t h a t e s c a p e u s a t t h e m o m e n t . H o p e f u l l y i n f u t u r e

e d i t i o n s o f t h e b o o k w e c a n l l i n t h e s e m i s s i n g s o u r c e s w i t h t h e h e l p o f t h e

k n o w l e d g e a b l e r e a d e r s .

T h i s b o o k i s f o r s t u d e n t s w h o h a v e c r e a t i v e m i n d s a n d a r e i n t e r e s t e d i n

m a t h e m a t i c s . T h r o u g h p r o b l e m s o l v i n g t h e y w i l l l e a r n a g r e a t d e a l m o r e

t h a n s c h o o l c u r r i c u l a c a n o e r a n d w i l l s h a r p e n t h e i r a n a l y t i c a l s k i l l s . W e

h o p e t h e p r o b l e m s c o l l e c t e d i n t h i s b o o k w i l l s t i m u l a t e t h e m a n d s e d u c e

t h e m t o d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f w h a t m a t h e m a t i c s i s a l l a b o u t . W e h o p e

t h e i n t e r n a t i o n a l m a t h c o m m u n i t i e s s u p p o r t o u r e o r t s f o r u s i n g t h e s e b r i l -

l i a n t p r o b l e m s a n d s o l u t i o n s t o a t t r a c t o u r y o u n g s t u d e n t s t o m a t h e m a t i c s .

M o s t o f t h e p r o b l e m s h a v e b e e n u s e d i n p r a c t i c e s e s s i o n s f o r s t u d e n t s

p a r t i c i p a t e d i n t h e H o n g K o n g I M O t r a i n i n g p r o g r a m . W e a r e e s p e c i a l l y

p l e a s e d w i t h t h e e o r t s o f t h e s e s t u d e n t s . I n f a c t t h e o r i g i n a l m o t i v a t i o n

f o r w r i t i n g t h e b o o k w a s t o r e w a r d t h e m i n s o m e w a y s e s p e c i a l l y t h o s e w h o

w o r k e d s o h a r d t o b e c o m e r e s e r v e o r t e a m m e m b e r s . I t i s o n l y t t i n g t o

l i s t t h e i r n a m e s a l o n g w i t h t h e i r s o l u t i o n s . A g a i n t h e r e a r e u n s u n g h e r o s

i i i


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w h o c o n t r i b u t e d s o l u t i o n s b u t w h o s e n a m e s w e c a n o n l y h o p e t o i d e n t i f y

i n f u t u r e e d i t i o n s .

A s t h e t i t l e o f t h e b o o k s u g g e s t t h i s i s a p r o b l e m b o o k . S o v e r y l i t t l e

i n t r o d u c t i o n m a t e r i a l s c a n b e f o u n d . W e d o p r o m i s e t o w r i t e a n o t h e r b o o k

p r e s e n t i n g t h e m a t e r i a l s c o v e r e d i n t h e H o n g K o n g I M O t r a i n i n g p r o g r a m .

T h i s f o r c e r t a i n w i l l i n v o l v e t h e d e d i c a t i o n o f m o r e t h a n o n e p e r s o n . A l s o

t h i s i s t h e r s t o f a s e r i e s o f p r o b l e m b o o k s w e h o p e . F r o m t h e r e s u l t s o f

t h e H o n g K o n g I M O p r e l i m i n a r y c o n t e s t s w e c a n s e e w a v e s o f n e w c r e a t i v e

m i n d s a p p e a r i n t h e t r a i n i n g p r o g r a m c o n t i n u o u s l y a n d t h e y a r e y o u n g e r

a n d y o u n g e r . M a y b e t h e n e x t p r o b l e m b o o k i n t h e s e r i e s w i l l b e w r i t t e n b y

o u r s t u d e n t s .

F i n a l l y w e w o u l d l i k e t o e x p r e s s d e e p g r a t i t u d e t o t h e H o n g K o n g

Q u a l i t y E d u c a t i o n F u n d w h i c h p r o v i d e d t h e s u p p o r t t h a t m a d e t h i s b o o k

p o s s i b l e .

K i n Y . L i

H o n g K o n g

A p r i l , 2 0 0 1

i v


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A d v i c e s t o t h e R e a d e r s

T h e o n l y w a y t o l e a r n m a t h e m a t i c s i s t o d o m a t h e m a t i c s . I n t h i s

b o o k y o u w i l l n d m a n y m a t h p r o b l e m s r a n g i n g f r o m s i m p l e t o c h a l l e n g i n g

p r o b l e m s . Y o u m a y n o t s u c c e e d i n s o l v i n g a l l t h e p r o b l e m s . V e r y f e w

p e o p l e c a n s o l v e t h e m a l l . T h e p u r p o s e s o f t h e b o o k a r e t o e x p o s e y o u t o

m a n y i n t e r e s t i n g a n d u s e f u l m a t h e m a t i c a l i d e a s t o d e v e l o p y o u r s k i l l s i n

a n a l y z i n g p r o b l e m s a n d m o s t i m p o r t a n t o f a l l t o u n l e a s h y o u r p o t e n t i a l

o f c r e a t i v i t y . W h i l e t h i n k i n g a b o u t t h e p r o b l e m s y o u m a y d i s c o v e r t h i n g s

y o u n e v e r k n o w b e f o r e a n d p u t t i n g i n y o u r i d e a s y o u c a n c r e a t e s o m e t h i n g

y o u c a n b e p r o u d o f .

T o s t a r t t h i n k i n g a b o u t a p r o b l e m v e r y o f t e n i t i s h e l p f u l t o l o o k a t

t h e i n i t i a l c a s e s s u c h a s w h e n n = 2 ; 3 ; 4 ; 5 T h e s e c a s e s a r e s i m p l e e n o u g h

t o l e t y o u g e t a f e e l i n g o f t h e s i t u a t i o n s . S o m e t i m e s t h e i d e a s i n t h e s e

c a s e s a l l o w y o u t o s e e a p a t t e r n w h i c h c a n s o l v e t h e w h o l e p r o b l e m . F o r

g e o m e t r y p r o b l e m s a l w a y s d r a w a p i c t u r e a s a c c u r a t e a s p o s s i b l e r s t .

H a v e p r o t r a c t o r r u l e r a n d c o m p a s s r e a d y t o m e a s u r e a n g l e s a n d l e n g t h s .

O t h e r t h i n g s y o u c a n t r y i n t a c k l i n g a p r o b l e m i n c l u d e c h a n g i n g t h e

g i v e n c o n d i t i o n s a l i t t l e o r e x p e r i m e n t i n g w i t h s o m e s p e c i a l c a s e s r s t .

S o m e t i m e s m a y b e y o u c a n e v e n g u e s s t h e a n s w e r s f r o m s o m e c a s e s t h e n

y o u c a n s t u d y t h e f o r m o f t h e a n s w e r s a n d t r a c e b a c k w a r d .

F i n a l l y w h e n y o u g u r e o u t t h e s o l u t i o n s d o n ' t j u s t s t o p t h e r e . Y o u

s h o u l d t r y t o g e n e r a l i z e t h e p r o b l e m s e e h o w t h e g i v e n f a c t s a r e n e c e s s a r y

f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m . T h i s m a y h e l p y o u t o s o l v e r e l a t e d p r o b l e m s l a t e r

o n . A l w a y s t r y t o w r i t e o u t y o u r s o l u t i o n i n a c l e a r a n d c o n c i s e m a n n e r .

A l o n g t h e w a y y o u w i l l p o l i s h t h e a r g u m e n t a n d s e e t h e s t e p s o f t h e s o -

l u t i o n s m o r e c l e a r l y . T h i s h e l p s y o u t o d e v e l o p s t r a t e g i e s f o r d e a l i n g w i t h

o t h e r p r o b l e m s .

v


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T h e s o l u t i o n s p r e s e n t e d i n t h e b o o k a r e b y n o m e a n s t h e o n l y w a y s

t o d o t h e p r o b l e m s . I f y o u h a v e a n i c e e l e g a n t s o l u t i o n t o a p r o b l e m a n d

w o u l d l i k e t o s h a r e w i t h o t h e r s i n f u t u r e e d i t i o n s o f t h i s b o o k p l e a s e s e n d

i t t o u s b y e m a i l a t m a k y l i @ u s t . h k . A l s o i f y o u h a v e s o m e t h i n g y o u c a n n o t

u n d e r s t a n d p l e a s e f e e l f r e e t o c o n t a c t u s b y e m a i l . W e h o p e t h i s b o o k w i l l

i n c r e a s e y o u r i n t e r e s t i n m a t h .

F i n a l l y w e w i l l o e r o n e l a s t a d v i c e . D o n ' t s t a r t w i t h p r o b l e m 1 . R e a d

t h e s t a t e m e n t s o f t h e p r o b l e m s a n d s t a r t w i t h t h e o n e s t h a t i n t e r e s t y o u t h e

m o s t . W e r e c o m m e n d i n s p e c t i n g t h e l i s t o f m i s c e l l a n e o u s p r o b l e m s r s t .

H a v e a f u n t i m e .

v i


6/155

T a b l e o f C o n t e n t s

P r e f a c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : i i i

A d v i c e s t o t h e R e a d e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : v

C o n t r i b u t o r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : i x

A l g e b r a P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

G e o m e t r y P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0

N u m b e r T h e o r y P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8

C o m b i n a t o r i c s P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4

M i s c e l l a n e o u s P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 8

S o l u t i o n s t o A l g e b r a P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5

S o l u t i o n s t o G e o m e t r y P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 9

S o l u t i o n s t o N u m b e r T h e o r y P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 8

S o l u t i o n s t o C o m b i n a t o r i c s P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2 1

S o l u t i o n s t o M i s c e l l a n e o u s P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3 5


7/155


8/155

C o n t r i b u t o r s

C h a n K i n H a n g 1 9 9 8 1 9 9 9 2 0 0 0 2 0 0 1 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

C h a n M i n g C h i u 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

C h a o K h e k L u n 2 0 0 1 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

C h e n g K e i T s i 2 0 0 1 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

C h e u n g P o k M a n 1 9 9 7 1 9 9 8 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

F a n W a i T o n g 2 0 0 0 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

F u n g H o Y i n 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

H o W i n g Y i p 1 9 9 4 1 9 9 5 1 9 9 6 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

K e e W i n g T a o 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

L a m P o L e u n g 1 9 9 9 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

L a m P e i F u n g 1 9 9 2 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

L a u L a p M i n g 1 9 9 7 1 9 9 8 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

L a w K a H o 1 9 9 8 1 9 9 9 2 0 0 0 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

L a w S i u L u n g 1 9 9 6 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

L e e T a k W i n g 1 9 9 3 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

L e u n g W a i Y i n g 2 0 0 1 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

L e u n g W i n g C h u n g 1 9 9 7 1 9 9 8 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

M o k T z e T a o 1 9 9 5 1 9 9 6 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

N g K a M a n 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

N g K a W i n g 1 9 9 9 2 0 0 0 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

P o o n W a i H o i 1 9 9 4 1 9 9 5 1 9 9 6 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

P o o n W i n g C h i 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

T a m S i u L u n g 1 9 9 9 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r

T o K a r K e u n g 1 9 9 1 1 9 9 2 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

W o n g C h u n W a i 1 9 9 9 2 0 0 0 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

W o n g H i m T i n g 1 9 9 4 1 9 9 5 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

Y u K a C h u n 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

Y u n g F a i 1 9 9 3 H o n g K o n g t e a m m e m b e r

i x


9/155


10/155

P r o b l e m s


11/155


12/155

A l g e b r a P r o b l e m s

P o l y n o m i a l s

1 . C r u x M a t h e m a t i c o r u m P r o b l e m 7 F i n d w i t h o u t c a l c u l u s a f t h

d e g r e e p o l y n o m i a l p x s u c h t h a t p x + 1 i s d i v i s i b l e b y x , 1

3

a n d

p x , 1 i s d i v i s i b l e b y x + 1

3

2 . A p o l y n o m i a l P x o f t h e n - t h d e g r e e s a t i s e s P k = 2

k

f o r k =

0 ; 1 ; 2 ; : : : ; n : F i n d t h e v a l u e o f P n + 1

3 . 1 9 9 9 P u t n a m E x a m L e t P x b e a p o l y n o m i a l w i t h r e a l c o e c i e n t s

s u c h t h a t P x 0 f o r e v e r y r e a l x P r o v e t h a t

P x = f

1

x

2

+ f

2

x

2

+ + f

n

x

2

f o r s o m e p o l y n o m i a l s f

1

x ; f

2

x ; : : : ; f

n

x w i t h r e a l c o e c i e n t s .

4 . 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d I s i t p o s s i b l e t o n d t h r e e q u a d r a t i c

p o l y n o m i a l s f x ; g x ; h x s u c h t h a t t h e e q u a t i o n f g h x = 0 h a s

t h e e i g h t r o o t s 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ?

5 . 1 9 6 8 P u t n a m E x a m D e t e r m i n e a l l p o l y n o m i a l s w h o s e c o e c i e n t s a r e

a l l 1 t h a t h a v e o n l y r e a l r o o t s .

6 . 1 9 9 0 P u t n a m E x a m I s t h e r e a n i n n i t e s e q u e n c e a

0

; a

1

; a

2

; : : : o f

n o n z e r o r e a l n u m b e r s s u c h t h a t f o r n = 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; t h e p o l y n o m i a l

P

n

x = a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ + a

n

x

n

h a s e x a c t l y n d i s t i n c t r e a l r o o t s ?

7 . 1 9 9 1 A u s t r i a n - P o l i s h M a t h C o m p e t i t i o n L e t P x b e a p o l y n o m i a l

w i t h r e a l c o e c i e n t s s u c h t h a t P x 0 f o r 0 x 1 S h o w t h a t

t h e r e a r e p o l y n o m i a l s A x ; B x ; C x w i t h r e a l c o e c i e n t s s u c h t h a t

a A x 0 ; B x 0 ; C x 0 f o r a l l r e a l x a n d

b P x = A x + x B x + 1 , x C x f o r a l l r e a l x

F o r e x a m p l e i f P x = x 1 , x ; t h e n P x = 0 + x 1 , x

2

+ 1 , x x

2

1


13/155

8 . 1 9 9 3 I M O L e t f x = x

n

+ 5 x

n , 1

+ 3 ; w h e r e n 1 i s a n i n t e g e r .

P r o v e t h a t f x c a n n o t b e e x p r e s s e d a s a p r o d u c t o f t w o p o l y n o m i a l s

e a c h h a s i n t e g e r c o e c i e n t s a n d d e g r e e a t l e a s t 1 .

9 . P r o v e t h a t i f t h e i n t e g e r a i s n o t d i v i s i b l e b y 5 t h e n f x = x

5

, x + a

c a n n o t b e f a c t o r e d a s t h e p r o d u c t o f t w o n o n c o n s t a n t p o l y n o m i a l s w i t h

i n t e g e r c o e c i e n t s .

1 0 . 1 9 9 1 S o v i e t M a t h O l y m p i a d G i v e n 2 n d i s t i n c t n u m b e r s a

1

; a

2

; : : : ; a

n

;

b

1

; b

2

; : : : ; b

n

; a n n n t a b l e i s l l e d a s f o l l o w s : i n t o t h e c e l l i n t h e i - t h

r o w a n d j - t h c o l u m n i s w r i t t e n t h e n u m b e r a

i

+ b

j

P r o v e t h a t i f t h e

p r o d u c t o f e a c h c o l u m n i s t h e s a m e t h e n a l s o t h e p r o d u c t o f e a c h r o w

i s t h e s a m e .

1 1 . L e t a

1

; a

2

; : : : ; a

n

a n d b

1

; b

2

; : : : ; b

n

b e t w o d i s t i n c t c o l l e c t i o n s o f n p o s -

i t i v e i n t e g e r s w h e r e e a c h c o l l e c t i o n m a y c o n t a i n r e p e t i t i o n s . I f t h e t w o

c o l l e c t i o n s o f i n t e g e r s a

i

+ a

j

1 i j n a n d b

i

+ b

j

1 i j n

a r e t h e s a m e t h e n s h o w t h a t n i s a p o w e r o f 2 .

R e c u r r e n c e R e l a t i o n s

1 2 . T h e s e q u e n c e x

n

i s d e n e d b y

x

1

= 2 ; x

n + 1

=

2 + x

n

1 , 2 x

n

; n = 1 ; 2 ; 3 ; : : : :

P r o v e t h a t x

n

6=

1

2

o r 0 f o r a l l n a n d t h e t e r m s o f t h e s e q u e n c e a r e a l l

d i s t i n c t .

1 3 . 1 9 8 8 N a n c h a n g C i t y M a t h C o m p e t i t i o n D e n e a

1

= 1 ; a

2

= 7 a n d

a

n + 2

=

a

2

n + 1

, 1

a

n

f o r p o s i t i v e i n t e g e r n P r o v e t h a t 9 a

n

a

n + 1

+ 1 i s a

p e r f e c t s q u a r e f o r e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r n

1 4 . P r o p o s e d b y B u l g a r i a f o r 1 9 8 8 I M O D e n e a

0

= 0 ; a

1

= 1 a n d a

n

=

2 a

n , 1

+ a

n , 2

f o r n 1 S h o w t h a t f o r p o s i t i v e i n t e g e r k ; a

n

i s d i v i s i b l e

b y 2

k

i f a n d o n l y i f n i s d i v i s i b l e b y 2

k

2


14/155

1 5 . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y P r o b l e m E 2 9 9 8 L e t x a n d y b e

d i s t i n c t c o m p l e x n u m b e r s s u c h t h a t

x

n

, y

n

x , y

i s a n i n t e g e r f o r s o m e

f o u r c o n s e c u t i v e p o s i t i v e i n t e g e r s n S h o w t h a t

x

n

, y

n

x , y

i s a n i n t e g e r

f o r a l l p o s i t i v e i n t e g e r s n

I n e q u a l i t i e s

1 6 . F o r r e a l n u m b e r s a

1

; a

2

; a

3

; : : : ; i f a

n , 1

+ a

n + 1

2 a

n

f o r n = 2 ; 3 ; : : : ;

t h e n p r o v e t h a t

A

n , 1

+ A

n + 1

2 A

n

f o r n = 2 ; 3 ; : : : ;

w h e r e A

n

i s t h e a v e r a g e o f a

1

; a

2

; : : : ; a

n

1 7 . L e t a ; b ; c 0 a n d a b c 1 P r o v e t h a t

a

c

+

b

a

+

c

b

a + b + c

1 8 . 1 9 8 2 M o s c o w M a t h O l y m p i a d U s e t h e i d e n t i t y 1

3

+ 2

3

+ + n

3

=

n

2

n + 1

2

2

t o p r o v e t h a t f o r d i s t i n c t p o s i t i v e i n t e g e r s a

1

; a

2

; : : : ; a

n

;

a

7

1

+ a

7

2

+ + a

7

n

+ a

5

1

+ a

5

2

+ + a

5

n

2 a

3

1

+ a

3

2

+ + a

3

n

2

C a n e q u a l i t y o c c u r ?

1 9 . 1 9 9 7 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m L e t a

1

a

n

a

n + 1

= 0 b e a

s e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s . P r o v e t h a t

v

u

u

t

n

X

k = 1

a

k

n

X

k = 1

p

k

p

a

k

,

p

a

k + 1

3


15/155

2 0 . 1 9 9 4 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t F o r 0 a b c d e a n d

a + b + c + d + e = 1 ; s h o w t h a t

a d + d c + c b + b e + e a

1

5

2 1 . 1 9 8 5 W u h u C i t y M a t h C o m p e t i t i o n L e t x ; y ; z b e r e a l n u m b e r s s u c h

t h a t x + y + z = 0 S h o w t h a t

6 x

3

+ y

3

+ z

3

2

x

2

+ y

2

+ z

2

3

2 2 . 1 9 9 9 I M O L e t n b e a x e d i n t e g e r w i t h n 2

a D e t e r m i n e t h e l e a s t c o n s t a n t C s u c h t h a t t h e i n e q u a l i t y

X

1 i j n

x

i

x

j

x

2

i

+ x

2

j

C

X

1 i n

x

i

4

h o l d s f o r a l l n o n n e g a t i v e r e a l n u m b e r s x

1

; x

2

; : : : ; x

n

b F o r t h i s c o n s t a n t C ; d e t e r m i n e w h e n e q u a l i t y h o l d s .

2 3 . 1 9 9 5 B u l g a r i a n M a t h C o m p e t i t i o n L e t n 2 a n d 0 x

i

1 f o r

i = 1 ; 2 ; : : : ; n : P r o v e t h a t

x

1

+ x

2

+ + x

n

, x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ + x

n , 1

x

n

+ x

n

x

1

h

n

2

i

;

w h e r e x i s t h e g r e a t e s t i n t e g e r l e s s t h a n o r e q u a l t o x

2 4 . F o r e v e r y t r i p l e t o f f u n c t i o n s f ; g ; h : 0 ; 1 ! R ; p r o v e t h a t t h e r e a r e

n u m b e r s x ; y ; z i n 0 ; 1 s u c h t h a t

j f x + g y + h z , x y z j

1

3

2 5 . P r o p o s e d b y G r e a t B r i t a i n f o r 1 9 8 7 I M O I f x ; y ; z a r e r e a l n u m b e r s

s u c h t h a t x

2

+ y

2

+ z

2

= 2 ; t h e n s h o w t h a t x + y + z x y z + 2

4


16/155

2 6 . P r o p o s e d b y U S A f o r 1 9 9 3 I M O P r o v e t h a t f o r p o s i t i v e r e a l n u m b e r s

a ; b ; c ; d ;

a

b + 2 c + 3 d

+

b

c + 2 d + 3 a

+

c

d + 2 a + 3 b

+

d

a + 2 b + 3 c

2

3

2 7 . L e t a

1

; a

2

; : : : ; a

n

a n d b

1

; b

2

; : : : ; b

n

b e 2 n p o s i t i v e r e a l n u m b e r s s u c h

t h a t

a a

1

a

2

a

n

a n d

b b

1

b

2

b

k

a

1

a

2

a

k

f o r a l l k ; 1 k n

S h o w t h a t b

1

+ b

2

+ + b

n

a

1

+ a

2

+ + a

n

2 8 . P r o p o s e d b y G r e e c e f o r 1 9 8 7 I M O L e t a ; b ; c 0 a n d m b e a p o s i t i v e

i n t e g e r p r o v e t h a t

a

m

b + c

+

b

m

c + a

+

c

m

a + b

3

2

a + b + c

3

m , 1

2 9 . L e t a

1

; a

2

; : : : ; a

n

b e d i s t i n c t p o s i t i v e i n t e g e r s s h o w t h a t

a

1

2

+

a

2

8

+ +

a

n

n 2

n

1 ,

1

2

n

3 0 . 1 9 8 2 W e s t G e r m a n M a t h O l y m p i a d I f a

1

; a

2

; : : : ; a

n

0 a n d a =

a

1

+ a

2

+ + a

n

; t h e n s h o w t h a t

n

X

i = 1

a

i

2 a , a

i

n

2 n , 1

3 1 . P r o v e t h a t i f a ; b ; c 0 ; t h e n

a

3

b + c

+

b

3

c + a

+

c

3

a + b

a

2

+ b

2

+ c

2

2

3 2 . L e t a ; b ; c ; d 0 a n d

1

1 + a

4

+

1

1 + b

4

+

1

1 + c

4

+

1

1 + d

4

= 1

5


17/155

P r o v e t h a t a b c d 3

3 3 . D u e t o P a u l E r d o s E a c h o f t h e p o s i t i v e i n t e g e r s a

1

; : : : ; a

n

i s l e s s t h a n

1 9 5 1 . T h e l e a s t c o m m o n m u l t i p l e o f a n y t w o o f t h e s e i s g r e a t e r t h a n

1 9 5 1 . S h o w t h a t

1

a

1

+ +

1

a

n

1 +

n

1 9 5 1

3 4 . A s e q u e n c e P

n

o f p o l y n o m i a l s i s d e n e d r e c u r s i v e l y a s f o l l o w s :

P

0

x = 0 a n d f o r n 0 ; P

n + 1

x = P

n

x +

x , P

n

x

2

2

P r o v e t h a t

0

p

x , P

n

x

2

n + 1

f o r e v e r y n o n n e g a t i v e i n t e g e r n a n d a l l x i n 0 ; 1

3 5 . 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m L e t P x b e t h e r e a l p o l y n o m i a l f u n c -

t i o n P x = a x

3

+ b x

2

+ c x + d P r o v e t h a t i f j P x j 1 f o r a l l x s u c h

t h a t j x j 1 ; t h e n

j a j + j b j + j c j + j d j 7

3 6 . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y P r o b l e m 4 4 2 6 L e t P z = a z

3

+

b z

2

+ c z + d ; w h e r e a ; b ; c ; d a r e c o m p l e x n u m b e r s w i t h j a j = j b j = j c j =

j d j = 1 S h o w t h a t j P z j

p

6 f o r a t l e a s t o n e c o m p l e x n u m b e r z

s a t i s f y i n g j z j = 1

3 7 . 1 9 9 7 H u n g a r i a n - I s r a e l i M a t h C o m p e t i t i o n F i n d a l l r e a l n u m b e r s

w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n ; t h e r e e x i s t s a n

i n t e g e r m s u c h t h a t

,

m

n

1

3 n

?

3 8 . 1 9 7 9 B r i t i s h M a t h O l y m p i a d I f n i s a p o s i t i v e i n t e g e r d e n o t e b y p n

t h e n u m b e r o f w a y s o f e x p r e s s i n g n a s t h e s u m o f o n e o r m o r e p o s i t i v e

i n t e g e r s . T h u s p 4 = 5 ; a s t h e r e a r e v e d i e r e n t w a y s o f e x p r e s s i n g

4 i n t e r m s o f p o s i t i v e i n t e g e r s ; n a m e l y

1 + 1 + 1 + 1 ; 1 + 1 + 2 ; 1 + 3 ; 2 + 2 ; a n d 4

6


18/155

P r o v e t h a t p n + 1 , 2 p n + p n , 1 0 f o r e a c h n 1

F u n c t i o n a l E q u a t i o n s

3 9 . F i n d a l l p o l y n o m i a l s f s a t i s f y i n g f x

2

+ f x f x + 1 = 0

4 0 . 1 9 9 7 G r e e k M a t h O l y m p i a d L e t f : 0 ; 1 ! R b e a f u n c t i o n s u c h

t h a t

a f i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g

b f x ,

1

x

f o r a l l x 0 a n d

c f x f f x +

1

x

= 1 f o r a l l x 0

F i n d f 1

4 1 . 1 9 7 9 E o t v o s - K u r s c h a k M a t h C o m p e t i t i o n T h e f u n c t i o n f i s d e n e d

f o r a l l r e a l n u m b e r s a n d s a t i s e s f x x a n d f x + y f x + f y

f o r a l l r e a l x ; y : P r o v e t h a t f x = x f o r e v e r y r e a l n u m b e r x

4 2 . P r o p o s e d b y I r e l a n d f o r 1 9 8 9 I M O S u p p o s e f : R ! R s a t i s e s

f 1 = 1 ; f a + b = f a + f b f o r a l l a ; b 2 R a n d f x f

1

x

= 1 f o r

x 6= 0 S h o w t h a t f x = x f o r a l l x

4 3 . 1 9 9 2 P o l i s h M a t h O l y m p i a d L e t Q

+

b e t h e p o s i t i v e r a t i o n a l n u m b e r s .

D e t e r m i n e a l l f u n c t i o n s f : Q

+

! Q

+

s u c h t h a t f x + 1 = f x + 1

a n d f x

3

= f x

3

f o r e v e r y x 2 Q

+

4 4 . 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m L e t R d e n o t e t h e r e a l n u m b e r s a n d

f : R ! , 1 ; 1 s a t i s f y

f

x +

1 3

4 2

+ f x = f

x +

1

6

+ f

x +

1

7

f o r e v e r y x 2 R S h o w t h a t f i s a p e r i o d i c f u n c t i o n i . e . t h e r e i s a

n o n z e r o r e a l n u m b e r T s u c h t h a t f x + T = f x f o r e v e r y x 2 R

4 5 . L e t N d e n o t e t h e p o s i t i v e i n t e g e r s . S u p p o s e s : N ! N i s a n i n c r e a s i n g

f u n c t i o n s u c h t h a t s s n = 3 n f o r a l l n 2 N F i n d a l l p o s s i b l e v a l u e s

o f s 1 9 9 7

7


19/155

4 6 . L e t N b e t h e p o s i t i v e i n t e g e r s . I s t h e r e a f u n c t i o n f : N ! N s u c h t h a t

f

1 9 9 6

n = 2 n f o r a l l n 2 N ; w h e r e f

1

x = f x a n d f

k + 1

x =

f f

k

x ?

4 7 . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y P r o b l e m E 9 8 4 L e t R d e n o t e t h e

r e a l n u m b e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t f f x = x

2

, 2

o r s h o w n o s u c h f u n c t i o n c a n e x i s t .

4 8 . L e t R b e t h e r e a l n u m b e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t f o r

a l l r e a l n u m b e r s x a n d y ;

f

,

x f y + x

= x y + f x

4 9 . 1 9 9 9 I M O D e t e r m i n e a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t

f x , f y = f f y + x f y + f x , 1

f o r a l l x ; y i n R

5 0 . 1 9 9 5 B y e l o r u s s i a n M a t h O l y m p i a d L e t R b e t h e r e a l n u m b e r s . F i n d

a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t

f f x + y = f x + y + f x f y , x y

f o r a l l x ; y 2 R

5 1 . 1 9 9 3 C z e c h o s l o v a k M a t h O l y m p i a d L e t Z b e t h e i n t e g e r s . F i n d a l l

f u n c t i o n s f : Z ! Z s u c h t h a t

f , 1 = f 1 a n d f x + f y = f x + 2 x y + f y , 2 x y

f o r a l l i n t e g e r s x ; y :

5 2 . 1 9 9 5 S o u t h K o r e a n M a t h O l y m p i a d L e t A b e t h e s e t o f n o n - n e g a t i v e

i n t e g e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : A ! A s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g t w o

c o n d i t i o n s :

a F o r a n y m ; n 2 A ; 2 f m

2

+ n

2

= f m

2

+ f n

2

8


20/155

b F o r a n y m ; n 2 A w i t h m n ; f m

2

f n

2

5 3 . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y P r o b l e m E 2 1 7 6 L e t Q d e n o t e t h e

r a t i o n a l n u m b e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : Q ! Q s u c h t h a t

f 2 = 2 a n d f

x + y

x , y

=

f x + f y

f x , f y

f o r x 6= y

5 4 . M a t h e m a t i c s M a g a z i n e P r o b l e m 1 5 5 2 F i n d a l l f u n c t i o n s f : R ! R

s u c h t h a t

f x + y f x = f x + x f y f o r a l l x ; y i n R

M a x i m u m M i n i m u m

5 5 . 1 9 8 5 A u s t r i a n M a t h O l y m p i a d F o r p o s i t i v e i n t e g e r s n ; d e n e

f n = 1

n

+ 2

n , 1

+ 3

n , 2

+ + n , 2

3

+ n , 1

2

+ n

W h a t i s t h e m i n i m u m o f f n + 1 = f n ?

5 6 . 1 9 9 6 P u t n a m E x a m G i v e n t h a t f x

1

; x

2

; : : : ; x

n

g = f 1 ; 2 ; : : : ; n g ; n d

t h e l a r g e s t p o s s i b l e v a l u e o f x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ + x

n , 1

x

n

+ x

n

x

1

i n t e r m s

o f n w i t h n 2

9


21/155

G e o m e t r y P r o b l e m s

5 7 . 1 9 9 5 B r i t i s h M a t h O l y m p i a d T r i a n g l e A B C h a s a r i g h t a n g l e a t C

T h e i n t e r n a l b i s e c t o r s o f a n g l e s B A C a n d A B C m e e t B C a n d C A

a t P a n d Q r e s p e c t i v e l y . T h e p o i n t s M a n d N a r e t h e f e e t o f t h e

p e r p e n d i c u l a r s f r o m P a n d Q t o A B F i n d a n g l e M C N :

5 8 . 1 9 8 8 L e n i n g r a d M a t h O l y m p i a d S q u a r e s A B D E a n d B C F G a r e

d r a w n o u t s i d e o f t r i a n g l e A B C : P r o v e t h a t t r i a n g l e A B C i s i s o s c e l e s i f

D G i s p a r a l l e l t o A C

5 9 A B i s a c h o r d o f a c i r c l e w h i c h i s n o t a d i a m e t e r . C h o r d s A

1

B

1

a n d

A

2

B

2

i n t e r s e c t a t t h e m i d p o i n t P o f A B L e t t h e t a n g e n t s t o t h e c i r c l e

a t A

1

a n d B

1

i n t e r s e c t a t C

1

S i m i l a r l y l e t t h e t a n g e n t s t o t h e c i r c l e

a t A

2

a n d B

2

i n t e r s e c t a t C

2

P r o v e t h a t C

1

C

2

i s p a r a l l e l t o A B

6 0 . 1 9 9 1 H u n a n P r o v i n c e M a t h C o m p e t i t i o n T w o c i r c l e s w i t h c e n t e r s O

1

a n d O

2

i n t e r s e c t a t p o i n t s A a n d B A l i n e t h r o u g h A i n t e r s e c t s t h e

c i r c l e s w i t h c e n t e r s O

1

a n d O

2

a t p o i n t s Y ; Z ; r e s p e c t i v e l y . L e t t h e

t a n g e n t s a t Y a n d Z i n t e r s e c t a t X a n d l i n e s Y O

1

a n d Z O

2

i n t e r s e c t

a t P L e t t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 O

1

O

2

B h a v e c e n t e r a t O a n d i n t e r s e c t

l i n e X B a t B a n d Q P r o v e t h a t P Q i s a d i a m e t e r o f t h e c i r c u m c i r c l e

o f 4 O

1

O

2

B

6 1 . 1 9 8 1 B e i j i n g C i t y M a t h C o m p e t i t i o n I n a d i s k w i t h c e n t e r O ; t h e r e

a r e f o u r p o i n t s s u c h t h a t t h e d i s t a n c e b e t w e e n e v e r y p a i r o f t h e m i s

g r e a t e r t h a n t h e r a d i u s o f t h e d i s k . P r o v e t h a t t h e r e i s a p a i r o f p e r -

p e n d i c u l a r d i a m e t e r s s u c h t h a t e x a c t l y o n e o f t h e f o u r p o i n t s l i e s i n s i d e

e a c h o f t h e f o u r q u a r t e r d i s k s f o r m e d b y t h e d i a m e t e r s .

6 2 . T h e l e n g t h s o f t h e s i d e s o f a q u a d r i l a t e r a l a r e p o s i t i v e i n t e g e r s . T h e

l e n g t h o f e a c h s i d e d i v i d e s t h e s u m o f t h e o t h e r t h r e e l e n g t h s . P r o v e

t h a t t w o o f t h e s i d e s h a v e t h e s a m e l e n g t h .

6 3 . 1 9 8 8 S i c h u a n P r o v i n c e M a t h C o m p e t i t i o n S u p p o s e t h e l e n g t h s o f t h e

t h r e e s i d e s o f 4 A B C a r e i n t e g e r s a n d t h e i n r a d i u s o f t h e t r i a n g l e i s 1 .

P r o v e t h a t t h e t r i a n g l e i s a r i g h t t r i a n g l e .

1 0


22/155

G e o m e t r i c E q u a t i o n s

6 4 . 1 9 8 5 I M O A c i r c l e h a s c e n t e r o n t h e s i d e A B o f t h e c y c l i c q u a d r i -

l a t e r a l A B C D : T h e o t h e r t h r e e s i d e s a r e t a n g e n t t o t h e c i r c l e . P r o v e

t h a t A D + B C = A B

6 5 . 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d C i r c l e s S

1

a n d S

2

w i t h c e n t e r s O

1

; O

2

r e s p e c t i v e l y i n t e r s e c t e a c h o t h e r a t p o i n t s A a n d B R a y O

1

B i n t e r s e c t s

S

2

a t p o i n t F a n d r a y O

2

B i n t e r s e c t s S

1

a t p o i n t E T h e l i n e p a r a l l e l

t o E F a n d p a s s i n g t h r o u g h B i n t e r s e c t s S

1

a n d S

2

a t p o i n t s M a n d

N ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t B i s t h e i n c e n t e r o f 4 E A F a n d M N =

A E + A F

6 6 . P o i n t C l i e s o n t h e m i n o r a r c A B o f t h e c i r c l e c e n t e r e d a t O S u p p o s e

t h e t a n g e n t l i n e a t C c u t s t h e p e r p e n d i c u l a r s t o c h o r d A B t h r o u g h A

a t E a n d t h r o u g h B a t F L e t D b e t h e i n t e r s e c t i o n o f c h o r d A B a n d

r a d i u s O C P r o v e t h a t C E C F = A D B D a n d C D

2

= A E B F

6 7 . Q u a d r i l a t e r a l s A B C P a n d A

0

B

0

C

0

P

0

a r e i n s c r i b e d i n t w o c o n c e n t r i c

c i r c l e s . I f t r i a n g l e s A B C a n d A

0

B

0

C

0

a r e e q u i l a t e r a l p r o v e t h a t

P

0

A

2

+ P

0

B

2

+ P

0

C

2

= P A

0 2

+ P B

0 2

+ P C

0 2

6 8 . L e t t h e i n s c r i b e d c i r c l e o f t r i a n g l e A B C t o u c h s s i d e B C a t D s i d e C A

a t E a n d s i d e A B a t F L e t G b e t h e f o o t o f p e r p e n d i c u l a r f r o m D t o

E F S h o w t h a t

F G

E G

=

B F

C E

6 9 . 1 9 9 8 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m L e t A B C D E F b e a c o n v e x h e x a g o n

s u c h t h a t

6

B +

6

D +

6

F = 3 6 0

a n d

A B

B C

C D

D E

E F

F A

= 1

P r o v e t h a t

B C

C A

A E

E F

F D

D B

= 1

1 1


23/155

S i m i l a r T r i a n g l e s

7 0 . 1 9 8 4 B r i t i s h M a t h O l y m p i a d P ; Q ; a n d R a r e a r b i t r a r y p o i n t s o n t h e

s i d e s B C ; C A ; a n d A B r e s p e c t i v e l y o f t r i a n g l e A B C : P r o v e t h a t t h e

t h r e e c i r c u m c e n t r e s o f t r i a n g l e s A Q R ; B R P ; a n d C P Q f o r m a t r i a n g l e

s i m i l a r t o t r i a n g l e A B C :

7 1 . H e x a g o n A B C D E F i s i n s c r i b e d i n a c i r c l e s o t h a t A B = C D = E F

L e t P ; Q ; R b e t h e p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f A C a n d B D ; C E a n d D F ;

E A a n d F B r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t t r i a n g l e s P Q R a n d B D F a r e

s i m i l a r .

7 2 . 1 9 9 8 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m L e t A B C D b e a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l .

L e t E a n d F b e v a r i a b l e p o i n t s o n t h e s i d e s A B a n d C D ; r e s p e c t i v e l y

s u c h t h a t A E : E B = C F : F D L e t P b e t h e p o i n t o n t h e s e g m e n t

E F s u c h t h a t P E : P F = A B : C D P r o v e t h a t t h e r a t i o b e t w e e n t h e

a r e a s o f t r i a n g l e s A P D a n d B P C d o e s n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e o f E

a n d F

T a n g e n t L i n e s

7 3 . T w o c i r c l e s i n t e r s e c t a t p o i n t s A a n d B A n a r b i t r a r y l i n e t h r o u g h B

i n t e r s e c t s t h e r s t c i r c l e a g a i n a t C a n d t h e s e c o n d c i r c l e a g a i n a t D

T h e t a n g e n t s t o t h e r s t c i r c l e a t C a n d t o t h e s e c o n d c i r c l e a t D

i n t e r s e c t a t M T h e p a r a l l e l t o C M w h i c h p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t

o f i n t e r s e c t i o n o f A M a n d C D i n t e r s e c t s A C a t K P r o v e t h a t B K i s

t a n g e n t t o t h e s e c o n d c i r c l e .

7 4 . 1 9 9 9 I M O T w o c i r c l e s ,

1

a n d ,

2

a r e c o n t a i n e d i n s i d e t h e c i r c l e , ;

a n d a r e t a n g e n t t o , a t t h e d i s t i n c t p o i n t s M a n d N ; r e s p e c t i v e l y .

,

1

p a s s e s t h r o u g h t h e c e n t e r o f ,

2

T h e l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h e t w o

p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f ,

1

a n d ,

2

m e e t s , a t A a n d B ; r e s p e c t i v e l y .

T h e l i n e s M A a n d M B m e e t s ,

1

a t C a n d D ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t

C D i s t a n g e n t t o ,

2

7 5 . P r o p o s e d b y I n d i a f o r 1 9 9 2 I M O C i r c l e s G

1

a n d G

2

t o u c h e a c h o t h e r

e x t e r n a l l y a t a p o i n t W a n d a r e i n s c r i b e d i n a c i r c l e G : A ; B ; C a r e

1 2


24/155

p o i n t s o n G s u c h t h a t A ; G

1

a n d G

2

a r e o n t h e s a m e s i d e o f c h o r d B C ;

w h i c h i s a l s o t a n g e n t t o G

1

a n d G

2

S u p p o s e A W i s a l s o t a n g e n t t o

G

1

a n d G

2

P r o v e t h a t W i s t h e i n c e n t e r o f t r i a n g l e A B C :

L o c u s

7 6 . P e r p e n d i c u l a r s f r o m a p o i n t P o n t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 A B C a r e d r a w n

t o l i n e s A B ; B C w i t h f e e t a t D ; E ; r e s p e c t i v e l y . F i n d t h e l o c u s o f t h e

c i r c u m c e n t e r o f 4 P D E a s P m o v e s a r o u n d t h e c i r c l e .

7 7 . S u p p o s e A i s a p o i n t i n s i d e a g i v e n c i r c l e a n d i s d i e r e n t f r o m t h e

c e n t e r . C o n s i d e r a l l c h o r d s e x c l u d i n g t h e d i a m e t e r p a s s i n g t h r o u g h

A W h a t i s t h e l o c u s o f t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e t a n g e n t l i n e s a t t h e

e n d p o i n t s o f t h e s e c h o r d s ?

7 8 . G i v e n 4 A B C : L e t l i n e E F b i s e c t s

6

B A C a n d A E A F = A B A C

F i n d t h e l o c u s o f t h e i n t e r s e c t i o n P o f l i n e s B E a n d C F

7 9 . 1 9 9 6 P u t n a m E x a m L e t C

1

a n d C

2

b e c i r c l e s w h o s e c e n t e r s a r e 1 0

u n i t s a p a r t a n d w h o s e r a d i i a r e 1 a n d 3 . F i n d t h e l o c u s o f a l l p o i n t s

M f o r w h i c h t h e r e e x i s t s p o i n t s X o n C

1

a n d Y o n C

2

s u c h t h a t M i s

t h e m i d p o i n t o f t h e l i n e s e g m e n t X Y

C o l l i n e a r o r C o n c y c l i c P o i n t s

8 0 . 1 9 8 2 I M O D i a g o n a l s A C a n d C E o f t h e r e g u l a r h e x a g o n A B C D E F

a r e d i v i d e d b y t h e i n n e r p o i n t s M a n d N ; r e s p e c t i v e l y s o t h a t

A M

A C

=

C N

C E

= r

D e t e r m i n e r i f B ; M a n d N a r e c o l l i n e a r .

8 1 . 1 9 6 5 P u t n a m E x a m I f A ; B ; C ; D a r e f o u r d i s t i n c t p o i n t s s u c h t h a t

e v e r y c i r c l e t h r o u g h A a n d B i n t e r s e c t s o r c o i n c i d e s w i t h e v e r y c i r c l e

t h r o u g h C a n d D ; p r o v e t h a t t h e f o u r p o i n t s a r e e i t h e r c o l l i n e a r o r

c o n c y c l i c .

1 3


25/155

8 2 . 1 9 5 7 P u t n a m E x a m G i v e n a n i n n i t e n u m b e r o f p o i n t s i n a p l a n e

p r o v e t h a t i f a l l t h e d i s t a n c e s b e t w e e n e v e r y p a i r a r e i n t e g e r s t h e n t h e

p o i n t s a r e c o l l i n e a r .

8 3 . 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m T h e i n c i r c l e o f t r i a n g l e A B C t o u c h e s

B C ; C A a n d A B a t D ; E a n d F r e s p e c t i v e l y . X i s a p o i n t i n s i d e

t r i a n g l e A B C s u c h t h a t t h e i n c i r c l e o f t r i a n g l e X B C t o u c h e s B C a t

D a l s o a n d t o u c h e s C X a n d X B a t Y a n d Z r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t

E F Z Y i s a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l .

8 4 . 1 9 9 8 I M O I n t h e c o n v e x q u a d r i l a t e r a l A B C D ; t h e d i a g o n a l s A C a n d

B D a r e p e r p e n d i c u l a r a n d t h e o p p o s i t e s i d e s A B a n d D C a r e n o t

p a r a l l e l . S u p p o s e t h e p o i n t P ; w h e r e t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r s o f

A B a n d D C m e e t i s i n s i d e A B C D : P r o v e t h a t A B C D i s a c y c l i c

q u a d r i l a t e r a l i f a n d o n l y i f t h e t r i a n g l e s A B P a n d C D P h a v e e q u a l

a r e a s .

8 5 . 1 9 7 0 P u t n a m E x a m S h o w t h a t i f a c o n v e x q u a d r i l a t e r a l w i t h s i d e -

l e n g t h s a ; b ; c ; d a n d a r e a

p

a b c d h a s a n i n s c r i b e d c i r c l e t h e n i t i s a

c y c l i c q u a d r i l a t e r a l .

C o n c u r r e n t L i n e s

8 6 . I n 4 A B C ; s u p p o s e A B A C : L e t P a n d Q b e t h e f e e t o f t h e p e r -

p e n d i c u l a r s f r o m B a n d C t o t h e a n g l e b i s e c t o r o f

6

B A C ; r e s p e c t i v e l y .

L e t D b e o n l i n e B C s u c h t h a t D A ? A P P r o v e t h a t l i n e s B Q ; P C

a n d A D a r e c o n c u r r e n t .

8 7 . 1 9 9 0 C h i n e s e N a t i o n a l M a t h C o m p e t i t i o n D i a g o n a l s A C a n d B D

o f a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l A B C D m e e t s a t P L e t t h e c i r c u m c e n t e r s o f

A B C D ; A B P ; B C P ; C D P a n d D A P b e O ; O

1

; O

2

; O

3

a n d O

4

; r e s p e c -

t i v e l y . P r o v e t h a t O P ; O

1

O

3

; O

2

O

4

a r e c o n c u r r e n t .

8 8 . 1 9 9 5 I M O L e t A ; B ; C a n d D b e f o u r d i s t i n c t p o i n t s o n a l i n e i n t h a t

o r d e r . T h e c i r c l e s w i t h d i a m e t e r s A C a n d B D i n t e r s e c t a t t h e p o i n t s

X a n d Y T h e l i n e X Y m e e t s B C a t t h e p o i n t Z L e t P b e a p o i n t o n

t h e l i n e X Y d i e r e n t f r o m Z T h e l i n e C P i n t e r s e c t s t h e c i r c l e w i t h

1 4


26/155

d i a m e t e r A C a t t h e p o i n t s C a n d M ; a n d t h e l i n e B P i n t e r s e c t s t h e

c i r c l e w i t h d i a m e t e r B D a t t h e p o i n t s B a n d N P r o v e t h a t t h e l i n e s

A M ; D N a n d X Y a r e c o n c u r r e n t .

8 9 A D ; B E ; C F a r e t h e a l t i t u d e s o f 4 A B C : I f P ; Q ; R a r e t h e m i d p o i n t s

o f D E ; E F ; F D ; r e s p e c t i v e l y t h e n s h o w t h a t t h e p e r p e n d i c u l a r f r o m

P ; Q ; R t o A B ; B C ; C A ; r e s p e c t i v e l y a r e c o n c u r r e n t .

9 0 . 1 9 8 8 C h i n e s e M a t h O l y m p i a d T r a i n i n g T e s t A B C D E F i s a h e x a g o n

i n s c r i b e d i n a c i r c l e . S h o w t h a t t h e d i a g o n a l s A D ; B E ; C F a r e c o n c u r -

r e n t i f a n d o n l y i f A B C D E F = B C D E F A

9 1 . A c i r c l e i n t e r s e c t s a t r i a n g l e A B C a t s i x p o i n t s A

1

; A

2

; B

1

; B

2

; C

1

; C

2

;

w h e r e t h e o r d e r o f a p p e a r a n c e a l o n g t h e t r i a n g l e i s A ; C

1

; C

2

; B ; A

1

; A

2

;

C ; B

1

; B

2

; A S u p p o s e B

1

C

1

; B

2

C

2

m e e t s a t X C

1

A

1

; C

2

A

2

m e e t s a t

Y a n d A

1

B

1

; A

2

B

2

m e e t s a t Z S h o w t h a t A X ; B Y ; C Z a r e c o n c u r r e n t .

9 2 . 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m A c i r c l e p a s s i n g t h r o u g h v e r t i c e s B

a n d C o f t r i a n g l e A B C i n t e r s e c t s s i d e s A B a n d A C a t C

0

a n d B

0

r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t B B

0

; C C

0

a n d H H

0

a r e c o n c u r r e n t w h e r e H

a n d H

0

a r e t h e o r t h o c e n t e r s o f t r i a n g l e s A B C a n d A B

0

C

0

; r e s p e c t i v e l y .

P e r p e n d i c u l a r L i n e s

9 3 . 1 9 9 8 A P M O L e t A B C b e a t r i a n g l e a n d D t h e f o o t o f t h e a l t i t u d e

f r o m A L e t E a n d F b e o n a l i n e p a s s i n g t h r o u g h D s u c h t h a t A E

i s p e r p e n d i c u l a r t o B E ; A F i s p e r p e n d i c u l a r t o C F ; a n d E a n d F a r e

d i e r e n t f r o m D L e t M a n d N b e t h e m i d p o i n t s o f t h e l i n e s e g m e n t s

B C a n d E F ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t A N i s p e r p e n d i c u l a r t o N M

9 4 . 2 0 0 0 A P M O L e t A B C b e a t r i a n g l e . L e t M a n d N b e t h e p o i n t s

i n w h i c h t h e m e d i a n a n d t h e a n g l e b i s e c t o r r e s p e c t i v e l y a t A m e e t

t h e s i d e B C L e t Q a n d P b e t h e p o i n t s i n w h i c h t h e p e r p e n d i c u l a r a t

N t o N A m e e t s M A a n d B A ; r e s p e c t i v e l y a n d O t h e p o i n t i n w h i c h

t h e p e r p e n d i c u l a r a t P t o B A m e e t s A N p r o d u c e d . P r o v e t h a t Q O i s

p e r p e n d i c u l a r t o B C

1 5


27/155

9 5 . L e t B B

0

a n d C C

0

b e a l t i t u d e s o f t r i a n g l e A B C : A s s u m e t h a t A B 6=

A C L e t M b e t h e m i d p o i n t o f B C ; H t h e o r t h o c e n t e r o f A B C a n d D

t h e i n t e r s e c t i o n o f B

0

C

0

a n d B C P r o v e t h a t D H ? A M

9 6 . 1 9 9 6 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t T h e s e m i c i r c l e w i t h s i d e B C o f

4 A B C a s d i a m e t e r i n t e r s e c t s s i d e s A B ; A C a t p o i n t s D ; E ; r e s p e c -

t i v e l y . L e t F ; G b e t h e f e e t o f t h e p e r p e n d i c u l a r s f r o m D ; E t o s i d e

B C r e s p e c t i v e l y . L e t M b e t h e i n t e r s e c t i o n o f D G a n d E F P r o v e t h a t

A M ? B C

9 7 . 1 9 8 5 I M O A c i r c l e w i t h c e n t e r O p a s s e s t h r o u g h t h e v e r t i c e s A a n d

C o f t r i a n g l e A B C a n d i n t e r s e c t s t h e s e g m e n t s A B a n d A C a g a i n a t

d i s t i n c t p o i n t s K a n d N ; r e s p e c t i v e l y . T h e c i r c u m c i r c l e s o f t r i a n g l e s

A B C a n d K B N i n t e r s e c t a t e x a c t l y t w o d i s t i n c t p o i n t s B a n d M

P r o v e t h a t O M ? M B

9 8 . 1 9 9 7 C h i n e s e S e n o i r H i g h M a t h C o m p e t i t i o n A c i r c l e w i t h c e n t e r O

i s i n t e r n a l l y t a n g e n t t o t w o c i r c l e s i n s i d e i t a t p o i n t s S a n d T S u p p o s e

t h e t w o c i r c l e s i n s i d e i n t e r s e c t a t M a n d N w i t h N c l o s e r t o S T S h o w

t h a t O M ? M N i f a n d o n l y i f S ; N ; T a r e c o l l i n e a r .

9 9 A D ; B E ; C F a r e t h e a l t i t u d e s o f 4 A B C : L i n e s E F ; F D ; D E m e e t l i n e s

B C ; C A ; A B i n p o i n t s L ; M ; N ; r e s p e c t i v e l y . S h o w t h a t L ; M ; N a r e

c o l l i n e a r a n d t h e l i n e t h r o u g h t h e m i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e j o i n i n g

t h e o r t h o c e n t e r H a n d c i r c u m c e n t e r O o f 4 A B C :

G e o m e t r i c I n e q u a l i t i e s , M a x i m u m M i n i m u m

1 0 0 . 1 9 7 3 I M O L e t P

1

; P

2

; : : : ; P

2 n + 1

b e d i s t i n c t p o i n t s o n s o m e h a l f o f

t h e u n i t c i r c l e c e n t e r e d a t t h e o r i g i n O S h o w t h a t

j

, , !

O P

1

+

, , !

O P

2

+ +

, , , , , !

O P

2 n + 1

j 1

1 0 1 . L e t t h e a n g l e b i s e c t o r s o f

6

A ;

6

B ;

6

C o f t r i a n g l e A B C i n t e r s e c t i t s

c i r c u m c i r c l e a t P ; Q ; R ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t

A P + B Q + C R B C + C A + A B

1 6


28/155

1 0 2 . 1 9 9 7 A P M O L e t A B C b e a t r i a n g l e i n s c r i b e d i n a c i r c l e a n d l e t l

a

=

m

a

= M

a

; l

b

= m

b

= M

b

; l

c

= m

c

= M

c

; w h e r e m

a

; m

b

; m

c

a r e t h e l e n g t h s

o f t h e a n g l e b i s e c t o r s i n t e r n a l t o t h e t r i a n g l e a n d M

a

; M

b

; M

c

a r e

t h e l e n g t h s o f t h e a n g l e b i s e c t o r s e x t e n d e d u n t i l t h e y m e e t t h e c i r c l e .

P r o v e t h a t

l

a

s i n

2

A

+

l

b

s i n

2

B

+

l

c

s i n

2

C

3 ;

a n d t h a t e q u a l i t y h o l d s i A B C i s e q u i l a t e r a l .

1 0 3 . M a t h e m a t i c s M a g a z i n e P r o b l e m 1 5 0 6 L e t I a n d O b e t h e i n c e n -

t e r a n d c i r c u m c e n t e r o f 4 A B C ; r e s p e c t i v e l y . A s s u m e 4 A B C i s n o t

e q u i l a t e r a l s o I 6= O . P r o v e t h a t

6

A I O 9 0

i f a n d o n l y i f 2 B C A B + C A

1 0 4 . S q u a r e s A B D E a n d A C F G a r e d r a w n o u t s i d e 4 A B C : L e t P ; Q b e

p o i n t s o n E G s u c h t h a t B P a n d C Q a r e p e r p e n d i c u l a r t o B C P r o v e

t h a t B P + C Q B C + E G W h e n d o e s e q u a l i t y h o l d ?

1 0 5 . P o i n t P i s i n s i d e 4 A B C : D e t e r m i n e p o i n t s D o n s i d e A B a n d E o n

s i d e A C s u c h t h a t B D = C E a n d P D + P E i s m i n i m u m .

S o l i d o r S p a c e G e o m e t r y

1 0 6 . P r o p o s e d b y I t a l y f o r 1 9 6 7 I M O W h i c h r e g u l a r p o l y g o n s c a n b e o b -

t a i n e d a n d h o w b y c u t t i n g a c u b e w i t h a p l a n e ?

1 0 7 . 1 9 9 5 I s r a e l i M a t h O l y m p i a d F o u r p o i n t s a r e g i v e n i n s p a c e i n g e n e r a l

p o s i t i o n i . e . t h e y a r e n o t c o p l a n a r a n d a n y t h r e e a r e n o t c o l l i n e a r .

A p l a n e i s c a l l e d a n e q u a l i z i n g p l a n e i f a l l f o u r p o i n t s h a v e t h e s a m e

d i s t a n c e f r o m F i n d t h e n u m b e r o f e q u a l i z i n g p l a n e s .

1 7


29/155

N u m b e r T h e o r y P r o b l e m s

D i g i t s

1 0 8 . 1 9 5 6 P u t n a m E x a m P r o v e t h a t e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r h a s a m u l t i p l e

w h o s e d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n i n v o l v e s a l l t e n d i g i t s .

1 0 9 . D o e s t h e r e e x i s t a p o s i t i v e i n t e g e r a s u c h t h a t t h e s u m o f t h e d i g i t s

i n b a s e 1 0 o f a i s 1 9 9 9 a n d t h e s u m o f t h e d i g i t s i n b a s e 1 0 o f a

2

i s

1 9 9 9

2

?

1 1 0 . P r o p o s e d b y U S S R f o r 1 9 9 1 I M O L e t a

n

b e t h e l a s t n o n z e r o d i g i t

i n t h e d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e n u m b e r n ! . D o e s t h e s e q u e n c e

a

1

; a

2

; : : : ; a

n

; : : : b e c o m e p e r i o d i c a f t e r a n i t e n u m b e r o f t e r m s ?

M o d u l o A r i t h m e t i c

1 1 1 . 1 9 5 6 P u t n a m E x a m P r o v e t h a t t h e n u m b e r o f o d d b i n o m i a l c o e -

c i e n t s i n a n y r o w o f t h e P a s c a l t r i a n g l e i s a p o w e r o f 2 .

1 1 2 . L e t a

1

; a

2

; a

3

; : : : ; a

1 1

a n d b

1

; b

2

; b

3

; : : : ; b

1 1

b e t w o p e r m u t a t i o n s o f t h e

n a t u r a l n u m b e r s 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; 1 1 S h o w t h a t i f e a c h o f t h e n u m b e r s a

1

b

1

;

a

2

b

2

; a

3

b

3

; : : : ; a

1 1

b

1 1

i s d i v i d e d b y 1 1 t h e n a t l e a s t t w o o f t h e m w i l l

h a v e t h e s a m e r e m a i n d e r .

1 1 3 . 1 9 9 5 C z e c h - S l o v a k M a t c h L e t a

1

; a

2

; : : : b e a s e q u e n c e s a t i s f y i n g a

1

=

2 ; a

2

= 5 a n d

a

n + 2

= 2 , n

2

a

n + 1

+ 2 + n

2

a

n

f o r a l l n 1 D o t h e r e e x i s t i n d i c e s p ; q a n d r s u c h t h a t a

p

a

q

= a

r

?

P r i m e F a c t o r i z a t i o n

1 1 4 . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y P r o b l e m E 2 6 8 4 L e t A

n

b e t h e s e t

o f p o s i t i v e i n t e g e r s w h i c h a r e l e s s t h a n n a n d a r e r e l a t i v e l y p r i m e t o n

F o r w h i c h n 1 ; d o t h e i n t e g e r s i n A

n

f o r m a n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n ?

1 8


30/155

1 1 5 . 1 9 7 1 I M O P r o v e t h a t t h e s e t o f i n t e g e r s o f t h e f o r m 2

k

, 3 k =

2 ; 3 ; : : : c o n t a i n s a n i n n i t e s u b s e t i n w h i c h e v e r y t w o m e m b e r s a r e

r e l a t i v e l y p r i m e .

1 1 6 . 1 9 8 8 C h i n e s e M a t h O l y m p i a d T r a i n i n g T e s t D e t e r m i n e t h e s m a l l e s t

v a l u e o f t h e n a t u r a l n u m b e r n 3 w i t h t h e p r o p e r t y t h a t w h e n e v e r

t h e s e t S

n

= f 3 ; 4 ; : : : ; n g i s p a r t i t i o n e d i n t o t h e u n i o n o f t w o s u b -

s e t s a t l e a s t o n e o f t h e s u b s e t s c o n t a i n s t h r e e n u m b e r s a ; b a n d c n o t

n e c e s s a r i l y d i s t i n c t s u c h t h a t a b = c

B a s e n R e p r e s e n t a t i o n s

1 1 7 . 1 9 8 3 I M O C a n y o u c h o o s e 1 9 8 3 p a i r w i s e d i s t i n c t n o n n e g a t i v e i n t e g e r s

l e s s t h a n 1 0

5

s u c h t h a t n o t h r e e a r e i n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n ?

1 1 8 . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y P r o b l e m 2 4 8 6 L e t p b e a n o d d

p r i m e n u m b e r a n d r b e a p o s i t i v e i n t e g e r n o t d i v i s i b l e b y p F o r a n y

p o s i t i v e i n t e g e r k s h o w t h a t t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e i n t e g e r m s u c h t h a t

t h e r i g h t m o s t k d i g i t s o f m

r

; w h e n e x p r e s s e d i n t h e b a s e p ; a r e a l l 1 ' s .

1 1 9 . P r o p o s e d b y R o m a n i a f o r 1 9 8 5 I M O S h o w t h a t t h e s e q u e n c e f a

n

g

d e n e d b y a

n

= n

p

2 f o r n = 1 ; 2 ; 3 ; : : : w h e r e t h e b r a c k e t s d e n o t e

t h e g r e a t e s t i n t e g e r f u n c t i o n c o n t a i n s a n i n n i t e n u m b e r o f i n t e g r a l

p o w e r s o f 2 .

R e p r e s e n t a t i o n s

1 2 0 . F i n d a l l e v e n n a t u r a l n u m b e r s n w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f

t w o o d d c o m p o s i t e n u m b e r s .

1 2 1 . F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s w h i c h c a n n o t b e w r i t t e n a s t h e s u m o f t w o

o r m o r e c o n s e c u t i v e p o s i t i v e i n t e g e r s .

1 2 2 . P r o p o s e d b y A u s t r a l i a f o r 1 9 9 0 I M O O b s e r v e t h a t 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4

I s t h e r e a n i n t e g e r N w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f 1 9 9 0 c o n s e c u t i v e

p o s i t i v e i n t e g e r s a n d w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f m o r e t h a n o n e

c o n s e c u t i v e i n t e g e r s i n e x a c t l y 1 9 9 0 w a y s ?

1 9


31/155

1 2 3 . S h o w t h a t i f p 3 i s p r i m e t h e n p

n

c a n n o t b e t h e s u m o f t w o p o s i t i v e

c u b e s f o r a n y n 1 W h a t a b o u t p = 2 o r 3 ?

1 2 4 . D u e t o P a u l E r d o s a n d M . S u r a n y i P r o v e t h a t e v e r y i n t e g e r k c a n b e

r e p r e s e n t e d i n i n n i t e l y m a n y w a y s i n t h e f o r m k = 1

2

2

2

m

2

f o r s o m e p o s i t i v e i n t e g e r m a n d s o m e c h o i c e o f s i g n s + o r ,

1 2 5 . 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m A n i t e s e q u e n c e o f i n t e g e r s a

0

; a

1

; : : : ;

a

n

i s c a l l e d q u a d r a t i c i f f o r e a c h i 2 f 1 ; 2 ; : : : ; n g ; j a

i

, a

i , 1

j = i

2

a P r o v e t h a t f o r a n y t w o i n t e g e r s b a n d c ; t h e r e e x i s t s a n a t u r a l

n u m b e r n a n d a q u a d r a t i c s e q u e n c e w i t h a

0

= b a n d a

n

= c

b F i n d t h e l e a s t n a t u r a l n u m b e r n f o r w h i c h t h e r e e x i s t s a q u a d r a t i c

s e q u e n c e w i t h a

0

= 0 a n d a

n

= 1 9 9 6

1 2 6 . P r o v e t h a t e v e r y i n t e g e r g r e a t e r t h a n 1 7 c a n b e r e p r e s e n t e d a s a s u m o f

t h r e e i n t e g e r s 1 w h i c h a r e p a i r w i s e r e l a t i v e l y p r i m e a n d s h o w t h a t

1 7 d o e s n o t h a v e t h i s p r o p e r t y .

C h i n e s e R e m a i n d e r T h e o r e m

1 2 7 . 1 9 8 8 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t D e n e x

n

= 3 x

n , 1

+ 2 f o r a l l

p o s i t i v e i n t e g e r s n P r o v e t h a t a n i n t e g e r v a l u e c a n b e c h o s e n f o r x

0

s o

t h a t x

1 0 0

i s d i v i s i b l e b y 1 9 9 8 .

1 2 8 . P r o p o s e d b y N o r t h K o r e a f o r 1 9 9 2 I M O D o e s t h e r e e x i s t a s e t M

w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

a T h e s e t M c o n s i s t s o f 1 9 9 2 n a t u r a l n u m b e r s .

b E v e r y e l e m e n t i n M a n d t h e s u m o f a n y n u m b e r o f e l e m e n t s i n M

h a v e t h e f o r m m

k

; w h e r e m ; k a r e p o s i t i v e i n t e g e r s a n d k 2 ?

D i v i s i b i l i t y

1 2 9 . F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s a ; b s u c h t h a t b 2 a n d 2

a

+ 1 i s d i v i s i b l e b y

2

b

, 1

2 0


32/155

1 3 0 . S h o w t h a t t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y c o m p o s i t e n s u c h t h a t 3

n , 1

, 2

n , 1

i s d i v i s i b l e b y n

1 3 1 . P r o v e t h a t t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y p o s i t i v e i n t e g e r s n s u c h t h a t 2

n

+ 1

i s d i v i s i b l e b y n F i n d a l l s u c h n ' s t h a t a r e p r i m e n u m b e r s .

1 3 2 . 1 9 9 8 R o m a n i a n M a t h O l y m p i a d F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s x ; n s u c h

t h a t x

n

+ 2

n

+ 1 i s a d i v i s o r o f x

n + 1

+ 2

n + 1

+ 1

1 3 3 . 1 9 9 5 B u l g a r i a n M a t h C o m p e t i t i o n F i n d a l l p a i r s o f p o s i t i v e i n t e g e r s

x ; y f o r w h i c h

x

2

+ y

2

x , y

i s a n i n t e g e r a n d d i v i d e s 1 9 9 5 .

1 3 4 . 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d I s t h e r e a s e q u e n c e o f n a t u r a l n u m b e r s

i n w h i c h e v e r y n a t u r a l n u m b e r o c c u r s j u s t o n c e a n d m o r e o v e r f o r a n y

k = 1 ; 2 ; 3 ; : : : t h e s u m o f t h e r s t k t e r m s i s d i v i s i b l e b y k ?

1 3 5 . 1 9 9 8 P u t n a m E x a m L e t A

1

= 0 a n d A

2

= 1 F o r n 2 ; t h e n u m b e r

A

n

i s d e n e d b y c o n c a t e n a t i n g t h e d e c i m a l e x p a n s i o n s o f A

n , 1

a n d

A

n , 2

f r o m l e f t t o r i g h t . F o r e x a m p l e A

3

= A

2

A

1

= 1 0 ; A

4

= A

3

A

2

=

1 0 1 ; A

5

= A

4

A

3

= 1 0 1 1 0 ; a n d s o f o r t h . D e t e r m i n e a l l n s u c h t h a t A

n

i s d i v i s i b l e b y 1 1 .

1 3 6 . 1 9 9 5 B u l g a r i a n M a t h C o m p e t i t i o n I f k 1 ; s h o w t h a t k d o e s n o t

d i v i d e 2

k , 1

+ 1 U s e t h i s t o n d a l l p r i m e n u m b e r s p a n d q s u c h t h a t

2

p

+ 2

q

i s d i v i s i b l e b y p q

1 3 7 . S h o w t h a t f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n ; t h e r e i s a n u m b e r w h o s e d e c i m a l

r e p r e s e n t a t i o n c o n t a i n s n d i g i t s e a c h o f w h i c h i s 1 o r 2 a n d w h i c h i s

d i v i s i b l e b y 2

n

1 3 8 . F o r a p o s i t i v e i n t e g e r n ; l e t f n b e t h e l a r g e s t i n t e g e r k s u c h t h a t 2

k

d i v i d e s n a n d g n b e t h e s u m o f t h e d i g i t s i n t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n

o f n P r o v e t h a t f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n ;

a f n ! = n , g n ;

b 4 d i v i d e s

2 n

n

=

2 n !

n ! n !

i f a n d o n l y i f n i s n o t a p o w e r o f 2 .

2 1


33/155

1 3 9 . P r o p o s e d b y A u s t r a l i a f o r 1 9 9 2 I M O P r o v e t h a t f o r a n y p o s i t i v e i n -

t e g e r m ; t h e r e e x i s t a n i n n i t e n u m b e r o f p a i r s o f i n t e g e r s x ; y s u c h

t h a t

a x a n d y a r e r e l a t i v e l y p r i m e ;

b y d i v i d e s x

2

+ m ;

c x d i v i d e s y

2

+ m

1 4 0 . F i n d a l l i n t e g e r s n 1 s u c h t h a t 1

n

+ 2

n

+ + n , 1

n

i s d i v i s i b l e

b y n

1 4 1 . 1 9 7 2 P u t n a m E x a m S h o w t h a t i f n i s a n i n t e g e r g r e a t e r t h a n 1 t h e n

n d o e s n o t d i v i d e 2

n

, 1

1 4 2 . P r o p o s e d b y R o m a n i a f o r 1 9 8 5 I M O F o r k 2 ; l e t n

1

; n

2

; : : : ; n

k

b e

p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t

n

2

2

n

1

, 1 ; n

3

2

n

2

, 1 ; : : : ; n

k

2

n

k 1

, 1 ; n

1

2

n

k

, 1

P r o v e t h a t n

1

= n

2

= = n

k

= 1

1 4 3 . 1 9 9 8 A P M O D e t e r m i n e t h e l a r g e s t o f a l l i n t e g e r n w i t h t h e p r o p e r t y

t h a t n i s d i v i s i b l e b y a l l p o s i t i v e i n t e g e r s t h a t a r e l e s s t h a n

3

p

n

1 4 4 . 1 9 9 7 U k r a i n i a n M a t h O l y m p i a d F i n d t h e s m a l l e s t i n t e g e r n s u c h t h a t

a m o n g a n y n i n t e g e r s w i t h p o s s i b l e r e p e t i t i o n s t h e r e e x i s t 1 8 i n t e g e r s

w h o s e s u m i s d i v i s i b l e b y 1 8 .

P e r f e c t S q u a r e s , P e r f e c t C u b e s

1 4 5 . L e t a ; b ; c b e p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t

1

a

+

1

b

=

1

c

I f t h e g r e a t e s t

c o m m o n d i v i s o r o f a ; b ; c i s 1 t h e n p r o v e t h a t a + b m u s t b e a p e r f e c t

s q u a r e .

1 4 6 . 1 9 6 9 E o t v o s - K u r s c h a k M a t h C o m p e t i t i o n L e t n b e a p o s i t i v e i n t e g e r .

S h o w t h a t i f 2 + 2

p

2 8 n

2

+ 1 i s a n i n t e g e r t h e n i t i s a s q u a r e .

2 2


34/155

1 4 7 . 1 9 9 8 P u t n a m E x a m P r o v e t h a t f o r a n y i n t e g e r s a ; b ; c ; t h e r e e x i s t s a

p o s i t i v e i n t e g e r n s u c h t h a t

p

n

3

+ a n

2

+ b n + c i s n o t a n i n t e g e r .

1 4 8 . 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m L e t k b e a p o s i t i v e i n t e g e r . P r o v e t h a t

t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y p e r f e c t s q u a r e s o f t h e f o r m n 2

k

, 7 ; w h e r e n

i s a p o s i t i v e i n t e g e r .

1 4 9 . L e t a ; b ; c b e i n t e g e r s s u c h t h a t

a

b

+

b

c

+

c

a

= 3 P r o v e t h a t a b c i s t h e

c u b e o f a n i n t e g e r .

D i o p h a n t i n e E q u a t i o n s

1 5 0 . F i n d a l l s e t s o f p o s i t i v e i n t e g e r s x ; y a n d z s u c h t h a t x y z a n d

x

y

+ y

z

= z

x

1 5 1 . D u e t o W . S i e r p i n s k i i n 1 9 5 5 F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g r a l s o l u t i o n s o f

3

x

+ 4

y

= 5

z

1 5 2 . D u e t o E u l e r a l s o 1 9 8 5 M o s c o w M a t h O l y m p i a d I f n 3 ; t h e n p r o v e

t h a t 2

n

c a n b e r e p r e s e n t e d i n t h e f o r m 2

n

= 7 x

2

+ y

2

w i t h x ; y o d d

p o s i t i v e i n t e g e r s .

1 5 3 . 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s x a n d y s u c h

t h a t x + y

2

+ z

3

= x y z ; w h e r e z i s t h e g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r o f x

a n d y

1 5 4 . F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g r a l s o l u t i o n s t o t h e e q u a t i o n x y + y z + z x =

x y z + 2

1 5 5 . S h o w t h a t i f t h e e q u a t i o n x

2

+ y

2

+ 1 = x y z h a s p o s i t i v e i n t e g r a l

s o l u t i o n s x ; y ; z ; t h e n z = 3

1 5 6 . 1 9 9 5 C z e c h - S l o v a k M a t c h F i n d a l l p a i r s o f n o n n e g a t i v e i n t e g e r s x a n d

y w h i c h s o l v e t h e e q u a t i o n p

x

, y

p

= 1 ; w h e r e p i s a g i v e n o d d p r i m e .

1 5 7 . F i n d a l l i n t e g e r s o l u t i o n s o f t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s

x + y + z = 3 a n d x

3

+ y

3

+ z

3

= 3

2 3


35/155

C o m b i n a t o r i c s P r o b l e m s

C o u n t i n g M e t h o d s

1 5 8 . 1 9 9 6 I t a l i a n M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d G i v e n a n a l p h a b e t w i t h t h r e e

l e t t e r s a ; b ; c ; n d t h e n u m b e r o f w o r d s o f n l e t t e r s w h i c h c o n t a i n a n

e v e n n u m b e r o f a ' s

1 5 9 . F i n d t h e n u m b e r o f n - w o r d s f r o m t h e a l p h a b e t A = f 0 ; 1 ; 2 g ; i f a n y

t w o n e i g h b o r s c a n d i e r b y a t m o s t 1 .

1 6 0 . 1 9 9 5 R o m a n i a n M a t h O l y m p i a d L e t A

1

; A

2

; : : : ; A

n

b e p o i n t s o n a

c i r c l e . F i n d t h e n u m b e r o f p o s s i b l e c o l o r i n g s o f t h e s e p o i n t s w i t h p

c o l o r s p 2 ; s u c h t h a t a n y t w o n e i g h b o r i n g p o i n t s h a v e d i s t i n c t c o l o r s .

P i g e o n h o l e P r i n c i p l e

1 6 1 . 1 9 8 7 A u s t r i a n - P o l i s h M a t h C o m p e t i t i o n D o e s t h e s e t f 1 ; 2 ; : : : ; 3 0 0 0 g

c o n t a i n a s u b s e t A c o n s i s t i n g o f 2 0 0 0 n u m b e r s s u c h t h a t x 2 A i m p l i e s

2 x 62 A ?

1 6 2 . 1 9 8 9 P o l i s h M a t h O l y m p i a d S u p p o s e a t r i a n g l e c a n b e p l a c e d i n s i d e

a s q u a r e o f u n i t a r e a i n s u c h a w a y t h a t t h e c e n t e r o f t h e s q u a r e i s n o t

i n s i d e t h e t r i a n g l e . S h o w t h a t o n e s i d e o f t h e t r i a n g l e h a s l e n g t h l e s s

t h a n 1 .

1 6 3 . T h e c e l l s o f a 7 7 s q u a r e a r e c o l o r e d w i t h t w o c o l o r s . P r o v e t h a t

t h e r e e x i s t a t l e a s t 2 1 r e c t a n g l e s w i t h v e r t i c e s o f t h e s a m e c o l o r a n d

w i t h s i d e s p a r a l l e l t o t h e s i d e s o f t h e s q u a r e .

1 6 4 . F o r n 1 ; l e t 2 n c h e s s p i e c e s b e p l a c e d a t t h e c e n t e r s o f 2 n s q u a r e s o f

a n n n c h e s s b o a r d . S h o w t h a t t h e r e a r e f o u r p i e c e s a m o n g t h e m t h a t

f o r m e d t h e v e r t i c e s o f a p a r a l l e l o g r a m . I f 2 n i s r e p l a c e d b y 2 n , 1 ; i s

t h e s t a t e m e n t s t i l l t r u e i n g e n e r a l ?

1 6 5 . T h e s e t f 1 ; 2 ; : : : ; 4 9 g i s p a r t i t i o n e d i n t o t h r e e s u b s e t s . S h o w t h a t a t

l e a s t o n e o f t h e s u b s e t s c o n t a i n s t h r e e d i e r e n t n u m b e r s a ; b ; c s u c h

t h a t a + b = c

2 4


36/155

I n c l u s i o n - E x c l u s i o n P r i n c i p l e

1 6 6 . L e t m n 0 F i n d t h e n u m b e r o f s u r j e c t i v e f u n c t i o n s f r o m B

m

=

f 1 ; 2 ; : : : ; m g t o B

n

= f 1 ; 2 ; : : : ; n g

1 6 7 . L e t A b e a s e t w i t h 8 e l e m e n t s . F i n d t h e m a x i m a l n u m b e r o f 3 - e l e m e n t

s u b s e t s o f A ; s u c h t h a t t h e i n t e r s e c t i o n o f a n y t w o o f t h e m i s n o t a 2 -

e l e m e n t s e t .

1 6 8 . a 1 9 9 9 H o n g K o n g C h i n a M a t h O l y m p i a d S t u d e n t s h a v e t a k e n a

t e s t p a p e r i n e a c h o f n n 3 s u b j e c t s . I t i s k n o w n t h a t f o r a n y

s u b j e c t e x a c t l y t h r e e s t u d e n t s g e t t h e b e s t s c o r e i n t h e s u b j e c t a n d

f o r a n y t w o s u b j e c t s e x c a t l y o n e s t u d e n t g e t s t h e b e s t s c o r e i n e v e r y

o n e o f t h e s e t w o s u b j e c t s . D e t e r m i n e t h e s m a l l e s t n s o t h a t t h e a b o v e

c o n d i t i o n s i m p l y t h a t e x a c t l y o n e s t u d e n t g e t s t h e b e s t s c o r e i n e v e r y

o n e o f t h e n s u b j e c t s .

b 1 9 7 8 A u s t r i a n - P o l i s h M a t h C o m p e t i t i o n T h e r e a r e 1 9 7 8 c l u b s .

E a c h h a s 4 0 m e m b e r s . I f e v e r y t w o c l u b s h a v e e x a c t l y o n e c o m m o n

m e m b e r t h e n p r o v e t h a t a l l 1 9 7 8 c l u b s h a v e a c o m m o n m e m b e r .

C o m b i n a t o r i a l D e s i g n s

1 6 9 . 1 9 9 5 B y e l o r u s s i a n M a t h O l y m p i a d I n t h e b e g i n i n g 6 5 b e e t l e s a r e

p l a c e d a t d i e r e n t s q u a r e s o f a 9 9 s q u a r e b o a r d . I n e a c h m o v e e v e r y

b e e t l e c r e e p s t o a h o r i z o n t a

Math Problem Book by Yin Li

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