Materia Condensada. Sistemas Complejos Clase 2 · Rayos X J J eV hc E h 15 4 10 34 8 2 10 1.2 10 10...
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Materia Condensada. Sistemas Complejos Clase 2
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Materia Condensada. Sistemas Complejos
Clase 2
BibliografíaGerald Burns
Charles Kittel
Feng Duan, Jin Guojun
Solid State PhysicsAcademic Press. 1990 ISBN: 0-12-146070-3
Introduction to Solid State PhysicsJohn Wiley & Sons. 2005ISBN 0-471-41526-X
Introduction to Condensed Matter PhysicsWorld Scientific. 2005ISBN 981-238-711-0
Difracción de radiación
Neutrones, electrones, Rx
Difracción de neutrones, electrones y Rx
La longitud de onda debe ser del orden de la separación interatómicaλ
m10o10A1 −=
Difracción de neutrones, electrones y Rx
neutrones
λ
mpE
mEh
ph
2
22
=
==λ Jhm
E2
10
34
27
2
1010626.6
10675.121
21
×××
≈
= −
−
−λ
eVJhm
E 082.01031.121 20
2
≈×≈
= −
λ
m10o10A1 −=
Difracción de neutrones, electrones y Rx
Los neutrones se dispersan por los núcleos o por los momentos magnéticos atómicos. Se pueden observar estructuras magnéticas y la contribución de los elementos livianos en las estructuras cristalinas .
neutrones
A temperatura ambiente
eVJJkTE 039.0102.62
3001038.1323 21
23
≈×≈×××
≈= −−
neutrones térmicosoA45.1≈λ
REACTORES
Difracción de neutrones, electrones y Rx
electrones
eVJJhm
E 1511041.21010626.6
101.921
21 17
2
10
34
31
2
≈×≈
×××
≈
= −
−
−
−λ
Usando la masa del electrón
Los electrones interactúan fuerte e inelásticamente con los electrones del material, por lo que sólo puede analizarse una zona muy superficial del mismo. Para lograr observar espesores de algunas decenas de nm hacen falta electrones mucho más energéticos:
o35 A106.2105.1 −×≈⇒×≈ λeVE
Ello da lugar a que la difracción sea mucho más difícil de observar: ocurre a ángulos mucho menores.
Difracción de neutrones, electrones y Rx
Rayos X
eVJJhchE 41510
834
102.110210
1031062.6×≈×≈
×××≈== −
−
−
λν
Los Rx se generan frenando un haz de electrones al incidir sobre un blanco material. Los electrones se aceleran a través de una diferencia de potencial Vca entre cátodo y ánodo.
caca eV
hceVhc≥⇒≤ λ
λ
Para Vca = 4x104 eV
oA3.0≥λ
Difracción de neutrones, electrones y Rx
Rayos X
Cuando los electrones tienen suficiente energía pueden arrancar electrones de las capas más internas de los átomos del blanco. El llenado de los huecos por electrones atómicos de niveles superiores da lugar a picos estrechos de radiación característica.
Ánodo de Mo
(bremsstrahlung)
Difracción de neutrones, electrones y Rx
)(4.12
keVEcaRX ≥λ
[ ] 5.0)(28.0
keVENeut =λ
[ ] 5.0)(12
keVEElect =λ
oA54056.1
1=
αλK
oA54439.1
1=
αλK
oA39222.1
1=
βλK
oA70930.0
1=
αλK
oA71359.0
1=
αλK
oA63229.0
1=
βλK
MoCuticoscaracterísXRayosRadiación
n
−e
X
Difracción de Rx
Ley de Bragg (1913)
λθ nd =sin2Condición de interferencia constructiva entre ambos rayos dispersados
Diferencia de camino (ACB)
Ley de Bragg (1913)
Ejemplo para n = 2
λθ 2sin2 =d
Difracción de Rx
Si agregamos un plano intermedio de átomos idénticos con un espaciado d/2 (por ejemplo en el centro de las celdas)
λθ =sin2d
Cuando se cumple la condición de interferencia constructiva para el sistema original (sin los planos extra)
2/' dd =
Hay un efecto entre un plano “negro” y uno “rojo” dado por
2/sin'2 λθ =dQue extingue la línea de difracción.
Difracción de Rx
Difractómetro θ - 2θ
Red recíproca
θ2
intensidad
Difracción de una estructura fcc
Al, Ca, Ni, Cu, Pd, Ag, Sr, Rh, Ir, Pt, Au, Pb
Red recíprocaDifracción de una estructura bcc
)310(
bccFe
Li, Na, K, V, Cr, Mn, Fe, Rb, Nb, Mo, Cs, Ba, Ta, W, Fr, Ra
2θ
Formulación de Laue: Cada punto de la red puede dispersar la radiación incidente con la misma frecuencia en todas las direcciones.
Difracción de Rx
Dispersión elástica
kr
kr
rkierr⋅ 'k
r
'kr
rkierr⋅'
θ 'θd
edd rr⋅=θsin ''sin edd rr
⋅=θ
eekk rrr
λπ2
==
'2'' eekk rrr
λπ
==
Ondaplana
er 'er
( )''sinsin eeddd rrr−⋅=+ θθ
Formulación de Laue
En cualquier dirección espacial donde haya interferencia constructiva se observarán picos de intensidad.
Difracción de Rx
monocristal
Difracción de RxLa diferencia de camino para las radiaciones dispersadas en la dirección es:
( )''sinsin eeddd rrr−⋅=+ θθ
'er
( ) λneed =−⋅ 'rrr
La condición para interferencia constructiva es:
( ) nnkkd πλλπ 22' ==−⋅
rrr
En lugar de considerar sólo dos dispersores buscamos la condición para la interferencia constructiva de todos los puntos de la red de Bravais ubicados en las posiciones mt
r
Condición de Laue
( ) ( ) 12' ' =⇒=−⋅ ⋅− mtkkim enkkt
rrrrrrπ
Laue spots for electron diffraction from a single tungsten crystal
Difracción de Rx
Difracción de RxDifracción de Laue
Proyección sobre un plano de la red recíproca
monocristal
policristal
Red recíprocaEl concepto de red recíproca no sólo es importante en cristalografía, sino también en el estudio de la estructura de bandas electrónicas, los espectros de vibraciones de red, etc. Prácticamente estásubyacente en toda la física del estado sólido.
Es natural inferir que en cualquier propiedad microscópica del sólido se verán reflejadas las simetrías del cristal, en particular la simetría traslacional.
La red recíproca se define mediante la expresión:
1=⋅ mtKierr
Kr
Donde es la red “directa”
cmbmamtmrrrr321 ++=
mtr
Veremos que la red recíproca está compuesta de las direcciones en las que aparecen los máximos de difracción (interferencia constructiva)
Kr
[ ] 1−= mKunidades
Los vectores de la red recíproca pueden expresarse mediante vectores primitivos **,*, cba rrr
Red recíproca
enterosmmm
cmbmamKm
++=
'''
*,'*'*'
3
2
1
321'rrrr
( )cbacba rrr
rrr
×⋅×
= π2* ( )cbaacb rrr
rr
×⋅×
= π2* ( )cbabac rrr
rrr
×⋅×
= π2*
Donde son los vectores primitivos de la red directa
cba rrr ,, V = Volumen de celda de la red
directa
Consistencia con la definición de la RR
Red recíproca
( ) ( )cmbmamcmbmamtK mmrrrrrrrr321321' *'*'*' ++⋅++=⋅
ccmmbbmmaammtK mmrrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅ *'*'*' 332211'
( ) nmmmmmmtK mm ππ 2'''2 332211' =++=⋅rr
( )cbacba rrr
rrr
×⋅×
= π2* ( )cbaacb rrr
rr
×⋅×
= π2* ( )cbabac rrr
rrr
×⋅×
= π2*
Usando las expresiones para **,*, cba rrr
1=⋅ mtKierr
1=⋅ mtKierr
En el caso de ejes ortogonales
Red recíproca
2/πγβα ===
( )cbacba rrr
rrr
×⋅×
= π2* ( )cbaacb rrr
rr
×⋅×
= π2* ( )cbabac rrr
rrr
×⋅×
= π2*
(redes cúbicas, tetragonales y ortorrómbicas)
Se llega a una relación simple entre los módulos de los vectores de ambas redes
aa π2* =
bb π2* =
cc π2* =
y se verifica
ccbbaa rrrrrr //*;//*;//* ( )V
VR
32π=
Red recíproca
Regresamos a la formulación de Laue. La condición de interferencia constructiva
equivale a
( ) 1' =⋅− mtkkierrr
mKkkrrr
=− 'entonces
( )22 '' kkkk =⇒=rr
( ) ( ) mmmm KkKkKkkKkkrrrrrrr
⋅−+=−=⇒−= 2'' 2222
Teniendo en cuenta
Arribamos a 2
21
mm KKk =⋅rr
La componente de k a lo largo de Km debe ser la mitad de la longitud de Km.
RRvectorkk =− 'rr
Red recíproca
Las expresiones
Corresponden a la siguiente representación geométrica
mKkkrrr
=− ' 2
21
mm KKk =⋅rr
2/K
2/K
'k
k
La condición de Laue establece que la punta del vector k debe yacer sobre el plano bisector de Km. Estos planos son los planos de Bragg.
Red recíprocaEs común llamar
y expresar K como
veamos ahora a que nos lleva la expresión
*** clbkahKhklrrrr
++=
2
21
hklhkl KKk =⋅rr
θφ
hklKr k
r
'kr hklBragg
deplano
2
21cos2
hklhkl KKrr
=φλπ
( )Millerdeíndiceslkh ,,
;';';' 321 mlmkmh ===
Red recíprocaSeguimos
θπλ sin4
hklKr=
nd
Khkl
hkl
24=r
π
θλ sin2dnBraggdecondición
=
hklhkl d
nK π2=
r
2
21cos2
hklhkl KKrr
=φλπ
θφ sincos =
hklKr
=θλπ sin4θ
φhklKr k
r
'kr hklBragg
deplano
Red recíproca
Concluimos entonces que
hklKr
hklBraggdeplanos
hkld hklhkl d
nK π2=
r
Los módulos de los vectores de la red recíproca son inversamente proporcionales a las distancias entre los planos difractores de la red directa. Estos planos se designan por los índices de Miller h, k, l.
Fin clase 2
